PDF Pesquisa Operacional EAD UVA - Unidade 1 e 2

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PESQUISA OPERACIONAL 1
PESQUISA OPERACIONAL
AVA2
AV1
PERIODO 6
STATUS EM ANDAMENTO
Unid1
Unid2
Unid3
Unid4
ÁVA1
Se preferir, faça o download do áudio (mp3 compactado) deste vídeo clicando aqui. 
Caro(a) Estudante, 
Estamos na era do conhecimento, sendo assim, inteligência, criatividade, representações 
e inferências são elementos-chave deste cenário. No segmento empresarial, a busca 
incessante é pela definição de modelos de comportamento e/ou tarefas que possam 
fortalecer as organizações através do pleno atendimento aos seus Stakeholders. 
As organizações disputam fatias de mercado, precisam oferecer serviços ou produtos 
com a qualidade adequada, para tanto, analisam e monitoram os investimentos nos 
processos e se colocam frente aos mais diversos desafios no universo empresarial, 
atentas ainda a uma condição elementar no mundo dos negócios: maximizar os 
resultados e ganhos ao tempo que minimiza os custos. 
E como equacionar todos esses elementos para alcançar o objetivo traçado? Simples, 
através da Pesquisa Operacional. Trata-se de um método científico para tomadas de 
decisão, que realiza uma representação de situações reais através da construção de 
modelos matemáticos, portanto, simulações indispensáveis às atividades empresariais. 
Unidade 1: Modelos Matemáticos de Apoio à Decisão: A Pesquisa Operacional
Unidade 2: Problemas para alocação de recursos: a Programação Linear
AVA 1: Método simplex, planilha eletrônica e o suplemento Solver
AVA 2
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/ab/audio/G_POP_AB_mp3.zip
PESQUISA OPERACIONAL 2
Assim, ao empregar o ferramental matemático na resolução desses modelos, é permitido 
ao Administrador compreender as melhores estratégias para otimização dos fluxos. 
Prepare-se! A partir de agora você estará se preparando para fazer frente a esses 
desafios e empregar corretamente os conhecimentos da Pesquisa Operacional em sua 
futura atuação profissional. Para alcançar êxito, seu compromisso com as ações e 
atividades propostas ao longo desse material é parte fundamental do processo. Acredito 
no seu potencial e lembro que a disciplina foi elaborada pensando em você. Por isso, 
utilize todas as ferramentas disponíveis em prol do seu aprendizado. 
Seja muito bem-vindo(a) à disciplina Pesquisa Operacional! 
Livro da disciplina 
Os conteúdos apresentados nesta disciplina devem ser complementados e aprofundados 
por meio do estudo do livro: TAHA, Hamndy A. Pesquisa Operacional:  uma visão geral. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. Você poderá encontrá-lo na Biblioteca Virtual. 
Para saber como acessar a Biblioteca Virtual, leia este Guia. 
Fórum 
Como uma das primeiras ações nesta disciplina, você deverá participar do Fórum Inicial, 
clicando nesse item, no menu do ambiente virtual de aprendizagem. 
Atividades 
Além do estudo dos roteiros, do livro da disciplina, dos itens indicados como Ampliando o 
Foco e dos vídeos das aulas, você deverá realizar as atividades pontuadas que se 
encontram no ambiente virtual de aprendizagem. Acompanhe os prazos de envio das 
avaliações no documento “Calendário e Critérios de Avaliação”, na introdução da 
disciplina. 
Lembre-se: procure o professor-tutor no fórum "Fale com o tutor". 
Autor
Professor Rodolfo Bello Exler 
Rodolfo Bello Exler é Bacharel em Ciências Estatísticas, MBA em Gestão Empresarial, 
Especialista em Educação à Distância e Mestre em Tecnologias Aplicáveis a Bioenergia. 
Ministra as disciplinas Estatística, Controle Estatístico de Processo, Pesquisa 
Operacional e Gestão Logística em cursos de graduação presencial e EAD. Possui ampla 
experiência na elaboração e revisão de Livros e materiais didáticos.
Importância da disciplina 
O cenário de mercado em que as empresas estão inseridas na atualidade não admite 
falhas quanto à resolução de problemas, bem como o alcance de resultados abaixo 
daqueles almejados pelas organizações. Dessa maneira, o gestor que deseja fazer frente 
aos desafios empresariais deve apresentar conhecimentos de técnicas e/ou ferramentas 
https://ead.uva.br/filemanager/file/3/BIBLIOTECA_VIRTUAL_GUIA.pdf
PESQUISA OPERACIONAL 3
que permitam a tomada de decisão na resolução de problemas complexos, aqueles que 
envolvem uma diversidade de variáveis. Assim, representar situações reais através de 
relações e simbologias matemáticas, objetivo maior da Pesquisa Operacional, permite ao 
Administrador determinar o melhor posicionamento para atender todas as restrições, 
condições e exigências que compõem a perspectiva empresarial, buscando seus 
menores custos e maiores lucros.
Objetivos 
Ao final desta disciplina, você deverá ser capaz de: 
• Definir a importância da cautelosa modelagem matemática como instrumento para a 
tomada de decisão gerencial. 
• Resolver problemas de alocação de recursos empresariais por meio da aplicação de 
Programação Linear. 
• Determinar fluxos de transporte almejando redução dos custos e otimização de 
entregas. 
• Identificar os principais conceitos, importância e aplicações da Teoria dos Grafos, Teoria 
das Filas e Teoria dos Jogos.
Ementa 
Conceitos introdutórios e aplicações da pesquisa operacional para área de gestão 
empresarial. Programação linear aplicada à gestão empresarial. Problemas de transporte 
aplicados à gestão empresarial. Introdução à teoria dos grafos, Teoria dos Jogos e à 
Teoria da fila. Aplicação computacional (Solver) em programação linear e transporte.
Referências 
Básica 
• BARBOSA, Marcos Antonio; ZANARDINI, Ricardo Alexandre. Iniciação à Pesquisa 
Operacional no ambiente de gestão. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
• LACHTERMANCHER, Gerson. Pesquisa Operacional na tomada de decisões (sic.). 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
• TAHA, Hamndy A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2008. 
Complementar 
• BEZERRA, Cicero Aparecido. Técnicas de Planejamento, programação e controle 
da produção e introdução à programação linear. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
• CHIAVENATO, Idalberto. Introdução à teoria geral da Administração. Barueri: 
Manole, 2014. 
• FERNANDES, Daniela Barude (Org.) Álgebra linear (Coleção Bibliografia Universitária 
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Pearson). São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014. 
• MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica: probabilidade e inferência. São Paulo: 
Pearson, 2010. 
• SILVA, Reinaldo O. Teorias da Administração. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2013.
Unidade 1: Modelos Matemáticos de Apoio 
à Decisão: A Pesquisa Operacional
O processo decisório organizacional ganha mais força ao empregar métodos 
matemáticos para representação da realidade. Assim, ao apresentar situações reais 
através de simbologias e relações matemáticas conseguimos delinear os melhores 
caminhos frente às restrições existentes e objetivos traçados para os processos 
organizacionais. Entretanto, a qualidade dos resultados obtidos depende diretamente 
do cuidado no levantamento de características e definição do modelo mais adequado.
Objetivos
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
Definir a importância da cautelosa modelagem matemática como instrumento para 
a tomada de decisão gerencial.
Conteúdo Programático
Esta unidade está dividida em:
Aula 1 - Conceitos introdutórios e o enfoque gerencial da Pesquisa Operacional
Aula 2 - Modelos Matemáticos: importância, elementos e etapas
Aula 3 - Elaboração de Modelos Matemáticos
Rota de Aprendizagem
A Rota de Aprendizagem apresenta as ações que devem ser realizadas nesta 
unidade. Utilize a Rota de Aprendizagem para planejar e gerir, com eficiência, as suas 
ações e o seu tempo de estudo. Isso facilitará a construção do seu conhecimento e 
aumentará a possibilidade de que você tenha um bom desempenho nas 
avaliações. Clique aqui para acessar a Rota de Aprendizagem.
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/RA/G_POP_RA_U1.htm
PESQUISA OPERACIONAL 5
O processo decisório nas organizações é uma realidade diária evidenciada em todos 
os níveis. Seja nochão de fábrica, entre os supervisores, ou até mesmo nos mais 
altos escalões envolvidos no planejamento estratégico da instituição, todos os 
agentes são levados a tomar decisões e escolher caminhos, assim como verificamos 
na imagem. E quais sãos os melhores caminhos e técnicas para representar e 
solucionar situações reais que envolvam restrições, exigências e limitações? 
Descobriremos nas aulas a seguir. Prepare-se!
Aula 1: Conceitos introdutórios e o enfoque gerencial da 
Pesquisa Operacional
A Pesquisa Operacional consiste em um método científico para as tomadas de 
decisão que envolvem dados quantitativos. Nesta metodologia, situações reais são 
representadas por modelos matemáticos que, através de símbolos e relações 
matemáticas, possibilitam simulações das mais diversas situações inerentes às 
atividades empresariais.
No conjunto de processos organizacionais, um deles ganha salutar importância no 
gerenciamento eficaz das empresas: o processo decisório. Trata-se do poder de 
selecionar, de acordo com cada circunstância, o posicionamento mais adequado 
para o negócio. Para desenvolver sua estratégia competitiva, a organização deve 
buscar desempenho superior aos concorrentes, fato que implica na definição das 
melhores estratégias, portanto, das decisões certas. Desde o ano de 1940, 
analisar e aperfeiçoar o processo decisório nas organizações tem sido tema de 
diversos estudos que, ao longo do tempo, foram permitindo compreender 
especificidades de problemas aplicados, a fim de desenvolver inovações quanto 
às técnicas administrativas e absorver procedimentos quantitativos oriundos da 
matemática, estatística e pesquisa operacional.
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#more-info-1
PESQUISA OPERACIONAL 6
A primeira aplicação formal da Pesquisa Operacional ocorreu na Inglaterra, 
durante a Segunda Guerra Mundial. Para avaliar um conjunto de problemas 
estratégicos e táticos quanto à defesa do país, um grupo multidisciplinar de 
cientistas foi convocado para definir as novas diretrizes. O objetivo maior dessa 
equipe versou acerca da mais eficaz utilização dos recursos militares disponíveis, 
que possuíam um conjunto de limitações e exigências a serem consideradas.
Os estudos do grupo inglês foram bem-sucedidos e trouxeram avanços 
significativos para o processo decisório das forças nacionais. Diante desse 
contexto, os Estados Unidos sentiram-se motivados a tomarem iniciativa similar e 
desenvolver análises na mesma perspectiva. Coube a equipe liderada por George 
B. Dantzig essa tarefa que, em 1947, resultou no Método Simplex.
Ainda que seu nascimento tenha origem na Inglaterra, a Pesquisa Operacional foi 
propagada nas demais nações através do trabalho realizado pelo grupo americano 
que conseguiu apresentá-la como método científico para tomadas de decisão 
referentes à operação de sistemas que demandam alocações eficientes de 
recursos escassos.
Passos (2008), aponta que após a guerra, por volta de 1947, com o 
desenvolvimento do Método Simplex (resultado dos trabalhos desenvolvidos pela 
equipe de George B. Dantzig), a Pesquisa Operacional deixou de ser empregada 
apenas no campo militar e alcançou as empresas civis. Inclusive, registros 
PESQUISA OPERACIONAL 7
apontam que já em 1951 empresas americanas faziam uso dos novos 
conhecimentos para melhorar seus fluxos operacionais.
Com o fim da guerra, outras áreas perceberam o alcance da utilização de técnicas 
de pesquisa operacional e se interessaram por implementar essa metodologia 
para seus correspondentes processos decisórios. Assim, os conhecimentos 
adquiridos pelas equipes de trabalhos das nações em guerra chegaram à gestão 
das organizações, afinal a utilização das técnicas da Pesquisa Operacional 
independem da natureza dos problemas reais, pois nos permite reconhecer os 
múltiplos aspectos envolvidos nas situações empresariais, além de viabilizar a 
experimentação da solução proposta antes de sua real adoção, fato que permite 
com que todas as decisões sejam melhor avaliadas e testadas antes de se 
tornarem efetivamente implementadas.
Para o desenvolvimento dos estudos de Pesquisa Operacional, Silva et al. (2010) 
preveem que um conjunto de etapas devem ser vencidas para que a tomada de 
decisão seja completa, eficaz e eficiente. Segundo Andrade (2011), cada uma das 
etapas possui características distintas, porém complementares, que implicarão no 
satisfatório resultado final. Sendo assim, o desenvolvimento de cada fase deve ser 
realizado com cautela e atenção. A seguir, veremos passo a passo, as ações a 
serem executadas em cada um dos cinco momentos evidenciados.
Basicamente, cinco (05) etapas compõem esse estudo, são elas:
Formulaçãodo Problema
Construçãodo Modelodo sistema
Solução doModelo
Validação doModelo
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-1
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-1
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-2
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-2
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-2
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-3
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-3
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-4
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-4
PESQUISA OPERACIONAL 8
Implementação e acompanhamentoda solução
Considerando um problema verificado pelo gestor, o resultado da realização das 
cinco etapas de um estudo de Pesquisa Operacional é responsável pela definição 
do melhor direcionamento para a tomada de decisão gerencial. Como sabemos, 
diante do ambiente sistêmico, em que as empresas estão inseridas, 
os recursos são limitados e ratificam a necessidade de esforços para determinar 
a melhor utilização dos mesmos, evidenciando o enfoque gerencial da Pesquisa 
Operacional na racionalização desses recursos envolvidos.
Basicamente, cinco tipos de recursos fazem parte do contexto empresarial, são 
eles: materiais, financeiros, mercadológicos, humanos e administrativos. Na tabela 
a seguir, dispomos desse conjunto de recursos, bem como características e 
exemplos.
Veja só:
Tipo de Recurso Características Exemplo
Materiais
Também
conhecidos
como recursos
físicos, estão
relacionados ao
fator de
produção
natureza.
EquipamentosMaquinárioInstalações
prediaisFerramentasMatéria-prima
Financeiros
Referem-se aos
meios
financeiros que
permitem a
execução das
operações da
empresa,
portanto se
relacionam com
o fator de
produção
capital.
CapitalInvestimentosContas a receberCréditos
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-5
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#info-5
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-1.htm#more-info-2
PESQUISA OPERACIONAL 9
Tipo de Recurso Características Exemplo
Mercadológicos
Tratam-se dos
recursos
comerciais
utilizados pelas
empresas para
ofertar produtos
ou serviços no
mercado, são os
meios para se
relacionar com o
ambiente
externo.
VendasPromoçõesPesquisas de Mercado
Humanos
Estão
relacionados ao
fator de
produção
trabalho.
Representam as
diversas
pessoas que
fazem parte do
quadro de
colaboradores
da organização.
Portanto se
relacionam ao
fator de
produção
trabalho.
OperáriosSupervisoresAtendentesAuxiliaresGestores
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Tipo de Recurso Características Exemplo
Administrativos
Representam os
recursos
gerenciais
utilizados pelas
empresas em
seus processos
de
planejamento,
organização,
direção e
controle de suas
atividades.
DiretoriasGerenciasSupervisões
Dessa maneira, tanto o funcionamento quanto os resultados empresariais estão 
relacionados com o quantitativo de recursos ao alcance de uma organização. 
Quanto menos foremos recursos, maiores serão as dificuldades para que a 
organização alcance seus objetivos. Assim, a sistematização do seu uso permite, 
considerando limitações e exigências, alcançar os melhores resultados 
organizacionais possíveis.
Aula 2: Modelos Matemáticos: importância, elementos e etapas
A Pesquisa Operacional se propõe a fornecer ferramentas quantitativas para o 
processo de tomadas de decisão gerenciais. Acerca do tema, Andrade (2011, p.9) 
afirma que:
Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, na 
construção de um modelo para um sistema real que sirva como 
instrumento de análise e compreensão do comportamento 
desse sistema, com o objetivo de levar o sistema a apresentar 
o desempenho desejado.
Nesse contexto, cenários relativos à otimização de recursos, definição quanto a 
roteirização, determinação de localização de instalações, decisões sobre carteiras 
de investimento, alocação de pessoas para atividades, previsões de planejamento, 
definição quanto ao mix de produtos, planejamento da produção, verificação de 
projetos, e tantos outros, recebem subsídios para o processo decisório.
PESQUISA OPERACIONAL 11
O processo de elaboração dos modelos, além de possibilitar um posicionamento 
futuro embasado nos resultados quantitativos, é vantajoso ainda, pois permite ao 
gestor a compreensão ampla dos processos sob sua responsabilidade, afinal 
exige que:
Os tomadores de decisão tornem explícitos seus objetivos.
As relações entre diferentes decisões sejam evidenciadas.
As limitações sejam identificadas.
As variáveis a serem consideradas sejam levantadas.
Exista espaço para comunicação e trabalho em grupo.
Mas então, o que são modelos?
Ao pensarmos na palavra modelo, acredito que facilmente compreendemos a 
mesma como referência, exemplo, padrão ou representação. Considerando os 
graus de abstração, nível comumente utilizado pelas várias ciências, podemos 
classificar os modelos basicamente em: físicos, analógicos e matemáticos ou 
simbólicos. Vejamos a seguir.
Modelos físicosModelos analógicosModelos matemáticos
Os modelos físicos, também chamados de icônicos, são aqueles concretos, 
portanto, fáceis de compreender e construir. Tratam-se de modelos como as 
maquetes, utilizadas pelas áreas de urbanismo e arquitetura.
Cabe a Pesquisa Operacional agregar uma diversidade de técnicas e algoritmos 
para estruturar e solucionar os modelos quantitativos que passaram a ser 
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-2.htm#link-1
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-2.htm#link-2
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/aula-2.htm#link-3
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expressos pelo formato matemático. Nesse contexto, os principais modelos 
utilizados recebem a nomenclatura de programação matemática, devido à ideia de 
planejamento implícita na aplicação dos mesmos.
Há um destaque para a programação matemática devido a sua grande 
aplicabilidade para solucionar os problemas de otimização presentes em 
expressiva quantidade no cotidiano empresarial. Assim, os modelos de otimização 
não procuram flexibilidade na escolha da alternativa e sim a definição da melhor 
alternativa ou resultado matemático para solucionar a situação real representada 
pelo modelo.
A qualidade do modelo será diretamente responsável pela validade dos resultados 
obtidos para a situação-problema. Sendo assim, sua elaboração deve ser 
estabelecida após a verificação completa acerca do objeto de estudo (situação 
para otimização) e precisa indicar claramente as variáveis de decisão, o objetivo 
traçado e as restrições que impactam no contexto, sendo esses os itens que 
compõem um modelo matemático.
As variáveis de decisão correspondem aos aspectos do problema que necessitam 
de solução. Matematicamente falando, são as incógnitas as quais buscamos 
definir a partir da identificação, solução e validação do modelo.
Por exemplo, quando nos deparamos com a necessidade de programação de 
produção, as variáveis de decisão representarão as quantidades que deverão ser 
produzidas, no entanto, se estamos analisando o envio de mercadorias a centros 
de distribuição, teremos as quantidades a enviar da origem aos determinados 
destinos sendo nossas incógnitas.
É muito comum que utilizemos x1, x2, xn, para representar as variáveis envolvidas 
nos sistemas em análise. Assim, atribuímos a cada variável uma nova 
nomenclatura em sua representação matemática.
A função objetivo, busca retratar a meta que desejamos alcançar com a aplicação 
do modelo, portanto, identificar o objetivo da tomada de decisão. Para isso, 
relacionaremos as incógnitas, que agora sabemos que são chamadas de variáveis 
de decisão, com os lucros, custos ou demais itens de otimização (dependendo do 
modelo elaborado) correspondentes. Vale ressaltar que cabe a essa função, 
calcular o valor alcançado para o objetivo diante do atendimento às exigências.
O objetivo do modelo matemático deve ser indicado logo ao início da função 
objetivo. Assim, sinalizamos MAX L para o contexto de busca utilizar recursos para 
PESQUISA OPERACIONAL 13
ampliar lucros, ou MIN C, quando o desejo é racionar o uso dos mesmos para 
atenuar dispêndios.
Cada restrição imposta pela descrição do sistema deve ganhar representação na 
forma de uma relação linear considerando as nomenclaturas adotadas para cada 
uma das variáveis de decisão.
Ainda no conjunto de restrições, devemos incluir as restrições de não 
negatividade, que são aquelas que afirmam que as variáveis de decisão precisam 
ser iguais ou maiores que zero.
Teremos indicações matemáticas quanto a quantidade de matérias-primas 
disponíveis e o quantitativo utilizado por cada unidade produzida, período total de 
processamento diário e tempo para cada item, exigências do cliente quanto a 
quantidades mínimas de entrega e tantas outras condições e limitações que 
possam impactar na situação avaliada e que são classificadas como restrições 
técnicas.
Os modelos matemáticos são compostos por três conjuntos principais de 
elementos. São eles:
Variáveis de decisão
Função objetivo
Restrições
Posicione o cursor sobre as imagens acima para saber mais.
Vídeo da Unidade
Para saber mais sobre a importância dos modelos matemáticos para os estudos 
de Pesquisa Operacional e suas características, assista ao vídeo: Construção de 
Modelos Matemáticos.
Se preferir, faça o download do áudio (mp3 compactado) deste vídeo clicando 
aqui.
Aula 3: Elaboração de Modelos Matemáticos
A qualidade da decisão nos estudos de Pesquisa Operacional dependerá do 
modelo matemático elaborado e do nível de representação da realidade que o 
mesmo apresenta. As variáveis de decisão, função objetivo e restrições são os 
itens que devem constar na composição de um modelo. Assim, para melhor 
https://player.vimeo.com/video/338919249
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u1/audio/G_POP_U1_mp3.zip
PESQUISA OPERACIONAL 14
compreensão quanto à concepção desses elementos, te convido a acompanhar a 
elaboração dos modelos matemáticos correspondentes a duas situações-
problema:
1 2
Situação-problema 1: o caso do Sr. Mário e o transporte de frutas
Sr. Mário produz em suas terras morangos, damascos e uvas para 
comercialização na capital e região metropolitana. Semanalmente, as frutas são 
devidamente embaladas e direcionadas para o mercado consumidor, sendo todo o 
processo, inclusive o transporte, de responsabilidade do empresário. Entretanto, 
para as entregas da semana que vem um problema deverá ser contornado pelo 
agricultor, afinal alguns de seus caminhões não poderão viajar por conta de falhas 
mecânicas e o mesmo não costuma trabalhar com serviços terceirizados de 
logística.
Diante desse cenário, sabe-se que até 900 caixas poderão ser transportas do 
ponto de origem ao destino final, no entanto, o empresário deverá tomar a decisão 
certa para, ainda assim, obter lucro máximo frente à ausência de toda sua frota em 
pleno funcionamento.O agricultor tem uma encomenda certa de morangos, e por conta disso necessita 
transportar 250 caixas da fruta para não perder espaço como fornecedor semanal 
do Mercado Alfa, fato que o permite embolsar um lucro de R$ 25,00 por caixa. 
Devido à grande procura na semana passada, pelo menos 150 caixas de uvas, 
que apresentam lucro por caixa de R$ 12,00, devem ser transportadas para 
atender a busca dos clientes. Para os damascos, o histórico de vendas semanais 
indica que no máximo 200 caixas, com R$ 30,00 de lucro por caixa, devem ser 
transportadas também.
Sendo assim, considerando todos os elementos e restrições que impactam nos 
negócios do Sr. Mário, qual modelo matemático representa essa situação 
empresarial?
VARIÁVEIS DE DECISÃO
PESQUISA OPERACIONAL 15
O grande problema vivenciado pelo empresário consiste na definição de quantas 
caixas de cada uma das frutas devem ser direcionadas para venda na capital e 
região metropolitana. Assim, sabemos que o Sr. Mário comercializa:
Desse modo, a decisão a ser tomada se refere ao quantitativo de caixas a serem 
transportadas de cada tipo de fruta, fato que nos permite que as identifiquemos 
como as variáveis de decisão da situação-problema. Representaremos cada uma 
das frutas/quantidades, como uma incógnita a ser descoberta após a resolução 
matemática do modelo, portanto, as chamaremos da seguinte forma:
1 2 3
Função Objetivo
Agora que definimos quais são as variáveis de decisão envolvidas na situação-
problema, bem como suas nomenclaturas, deveremos passar ao momento 
seguinte, aquele que buscamos expressar na forma de equação o objetivo da 
nossa modelagem.
Nossa situação-problema afirma que o empresário deverá tomar a decisão certa 
para, ainda assim, obter lucro máximo frente à ausência de toda sua frota em 
pleno funcionamento. Portanto, o objetivo do Sr. Mário é transportar o número 
suficiente de caixas para atingir o lucro máximo com a composição das vendas de 
morango, uva e damasco.
Assim, como se deseja maximizar os lucros, faremos essa indicação através da 
expressão MaxL inserida antes da igualdade, dando início à função objetivo. Por 
tipo de fruta, existe um lucro específico por venda da caixa o que, portanto, deve 
estar sinalizado na composição da função. Lembremos que:
Para cada caixa de morango vendida, que nós chamamos de x1, o lucro é de 
R$ 25,00.
Para cada caixa de ameixa vendida, que nós chamamos de x2, o lucro é de 
R$ 12,00.
Para cada caixa de damasco vendida, que nós chamamos de x3, o lucro é de 
R$ 30,00.
Dessa maneira, o lucro total a ser obtido pelo Sr. Mário será dado pela soma entre 
os lucros obtidos com venda de morangos, uvas e damascos, sendo registrados 
PESQUISA OPERACIONAL 16
na Função Objetivo da seguinte maneira:
= X1 + X2 + X3
Restrições
Ainda que o desejo seja pelo maior lucro possível, não podemos desconsiderar 
todas as informações que fazem parte desse contexto empresarial. Existe um 
conjunto de restrições impostas pelas práticas comerciais e que foram listadas em 
nossa situação-problema. Vamos lembrar quais são? Observe:
1 2 3 4
Outra informação importante que deve ser lembrada se refere a nomenclatura 
adotada para nossas variáveis de decisões. São elas:
1 2 3
Pronto! Nos trechos a seguir, destacaremos as limitações, restrições ou exigências 
e, de acordo com as mesmas, como se apresentam no formato matemático.
1. O total de 250 caixas de Morangos deverá ser encaminhado para atendimento 
ao Mercado Alfa. Nesse trecho, contamos com uma afirmativa quanto ao total de 
caixas de Morangos que deverá ser encaminhado para atender ao cliente. Dessa 
maneira, já temos uma igualdade definidas para nossa primeira variável de 
decisão. Portanto:
x1 = 250
2. Ao menos 150 caixas de Uvas devem ser transportadas para a capital e região 
metropolitana. Essa restrição aponta uma condição mínima de 150 caixas de uvas 
para serem transportadas até o destino final. Desse modo, sabemos que a solução 
do problema deverá indicar o envio de qualquer quantidade de ameixas, desde 
que seja igual ou superior a 150 caixas. Portanto:
x2 ≥ 150
3. Devem ser enviadas, no máximo, 200 caixas de Damasco. Para o transporte de 
Damascos há uma limitação quanto à quantidade, pois se afirma que até 200 
caixas podem ser direcionadas. A solução do problema deverá indicar o envio de 
PESQUISA OPERACIONAL 17
qualquer quantidade de damascos, desde que não ultrapasse as 200 caixas. 
Matematicamente:
x3 ≤ 200
4. O total de caixas de frutas que poderão ser direcionadas para essa entrega 
semanal é de até 900 caixas. Além das restrições para cada fruta, existe outra que 
aponta a capacidade máxima de caixas a ser transportada, o que implica em 
afirmar que somando a quantidade de caixas de frutas devemos alcançar um total 
máximo de 900 caixas. Ou seja:
x1 + x2 +x3 ≤ 900
As quatro primeiras restrições construídas são chamadas de restrições técnicas. 
Entretanto, para finalizar o modelo que representa o caso do Sr. Mário e o 
Transporte de frutas, devemos inserir uma restrição que deverá fazer parte de 
todos os modelos: a restrição de não negatividade. Cabe a mesma, indicar que os 
valores a serem assumidos pelas variáveis de decisão deverão ser iguais ou 
superiores a zero, afinal, não podemos enviar -5 caixas de morango, por exemplo. 
Assim, considerando nossas três variáveis de decisão:
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Pronto! Agregando nossa função objetivo, as restrições técnicas e a restrição de 
não negatividade, podemos afirmar que o modelo matemático que representa o 
contexto vivenciado pelo agricultor é:
= X1 + X2 + X3
Sujeito a:
x1 = 250
x2 ≥ 150
x3 ≤ 200
x1 + x2 +x3 ≤ 900
x1 , x2 , x3 ≥ 0
PESQUISA OPERACIONAL 18
Situação-problema 2: o caso de Letícia e a produção dos modelos Alfa e 
Beta
A empresa XXW produz equipamentos para manutenção de aviões. Para atender 
as aeronaves de pequeno porte, dois equipamentos, chamados respectivamente 
de ALFA e BETA, são os itens produzidos para comercialização no mercado.
Assim que foi contratada pela referida empresa, Letícia recebeu a demanda de 
otimizar o fluxo produtivo para determinação de quanto produzir diariamente de 
cada modelo, visando o aumento dos lucros da organização. Para embasar essa 
decisão, a orientação dos diretores foi considerar o histórico de vendas da 
empresa para definir as restrições e exigências do sistema.
Logo ao início das verificações, Letícia constatou que o modelo Alfa apresentou 
venda máxima diária de 8 unidades, o que aponta de que não mais do que esse 
quantitativo de unidades deve ser fabricado. Para o modelo Beta, os registros 
indicam que não mais do que 6 unidades devem ser fabricadas. Além dessas 
limitações de mercado, Letícia verificou que pelo quantitativo de linhas de 
produção e funcionários envolvidos, diariamente a produção total deveria ser de, 
no mínimo, 6 unidades.
Quanto aos lucros correspondentes aos equipamentos, Alfa e Beta, levantou-se 
que os mesmos geram, respectivamente, uma margem de lucro de R$600,00 e 
R$400,00 por unidade.
Sendo assim, considerando todos os elementos e restrições que impactam na 
produção dos equipamentos para manutenção de aviões de pequeno porte, qual 
modelo matemático representa essa situação empresarial?
Variáveis de Decisão
Como vimos na situação-problema, Letícia precisa determinar o número de 
produtos Alfa e Beta que deverão ser produzidos pela Fábrica XXW para alcançar 
maior lucro e atender as limitações de mercado. Portanto, teremos apenas duas 
variáveis de decisão: quantidade de equipamentos Alfa a ser produzida e 
quantidade de equipamentos Beta a ser produzida. Sendo assim:
PESQUISA OPERACIONAL 19
1 2
Função Objetivo
A situação-problema sinaliza que a venda dos produtos Alfa e Beta possibilita 
margens de lucro diferenciadas para os produtos. Assim, enquanto que para o 
primeiro produto o lucro é estimado em R$ 600,00, no segundo produto, essa 
margem é menor, sendo R$ 400,00 por unidade.
= X1 + X2
Como vimos, a meta da empresa é maximizar seus lucroscom a venda desses 
produtos, o que em termos de função objetivo pode ser representado por:
Restrições
Para alcançar o objetivo traçado pela empresa, Letícia deverá estar atenta às 
restrições levantadas durante suas primeiras análises quanto ao processo. Desse 
modo, teremos 3 restrições técnicas na composição do modelo matemático 
referente à produção dos equipamentos Alfa e Beta. A seguir, lembraremos cada 
umas delas e, em seguida, serão estabelecidas as inequações que as 
representam:
1. Letícia constatou que o modelo Alfa apresentou venda máxima diária de 8 
unidades, o que aponta que mais do que esse quantitativo de unidades não 
deve ser fabricado. Os dados de venda indicaram que o quantitativo máximo do 
modelo Alfa poderia alcançar 8 unidades. Assim, a nossa incógnita x1 poderá ser 
representada por um valor igual ou inferior ao valor citado. Portanto:
x1 ≤ 8
2. Para o modelo Beta, os registros indicam que não mais do que 6 unidades 
devem ser fabricadas. Da mesma maneira que verificamos para o modelo ALFA, 
constatou-se que a produção de BETA tem uma quantidade máxima de produção 
por dia. Espera-se que esse total seja inferior ou igual a 6 unidades, conforme 
indicamos na seguinte restrição:
x2 ≤ 6
PESQUISA OPERACIONAL 20
3. Letícia verificou que pelo quantitativo de linhas de produção e 
funcionários envolvidos, diariamente a produção total deveria ser de, no 
mínimo, 6 unidades. Uma vez que existe uma estrutura pronta na empresa XXW, 
para a produção dos equipamentos de manutenção, é importante que as linhas de 
produção sejam utilizadas para produzir, ao menos, 6 unidades entre ambos os 
modelos. Esse fato implica em dizer que o somatório das produções individuais 
deve ser igual ou superior a esse valor. Matematicamente:
x1 + x2≥ 6
Para concluir o modelo, devemos indicar ainda a restrição de não negatividade 
para indicar que o resultado a ser obtido com a resolução do modelo matemático 
deverá apontar valores iguais ou maiores que zero para as variáveis de decisão.
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Modelo matemático para o caso de Letícia
= X1 + X2
Sujeito a:
x1 ≤ 8
x2 ≤ 6
x1 + x2 ≥ 6
x1 , x2 , ≥ 0
Resumo da Unidade
Nesta unidade, aforam apresentados os conceitos introdutórios sobre a Pesquisa 
Operacional, destacando-a como ferramenta para o processo decisório gerencial. 
PESQUISA OPERACIONAL 21
Além disso, você identificou a importância dos Modelos Matemáticos, os elementos e 
as etapas necessárias para sua elaboração.
Unidade 2: Problemas para alocação de 
recursos: a Programação Linear
Objetivos
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
Resolver problemas de alocação de recursos empresariais por meio da aplicação 
de Programação Linear.
Conteúdo Programático
Esta unidade está dividida em:
Aula 1 - Programação linear (PL) e a Resolução pelo Método Gráfico
Aula 2 - O Método Simplex
Aula 3 - Métodos computacionais: a utilização do Solver na resolução de 
problemas de programação linear
Rota de Aprendizagem
A Rota de Aprendizagem apresenta as ações que devem ser realizadas nesta 
unidade. Utilize a Rota de Aprendizagem para planejar e gerir, com eficiência, as suas 
ações e o seu tempo de estudo. Isso facilitará a construção do seu conhecimento e 
aumentará a possibilidade de que você tenha um bom desempenho nas 
avaliações. Clique aqui para acessar a Rota de Aprendizagem.
O modelo matemático é um elemento muito importante no âmbito da Pesquisa 
Operacional. Trata-se do ponto de partida para as tentativas de otimização do uso dos 
recursos em prol dos melhores resultados organizacionais. Nesse contexto, você 
deve estar se perguntando: e agora, o que devo fazer para entender, a partir de um 
modelo matemático, qual ou quais decisões devem ser implementadas para atender 
aos anseios organizacionais?
Fique tranquilo(a)! A resposta dessa pergunta é simples e será apresentada em 
nossas próximas três aulas. Portanto, revise os primeiros conteúdos estudados na 
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u2/RA/G_POP_RA_U2.htm
PESQUISA OPERACIONAL 22
disciplina e aprenda conosco as formas de resolução aplicáveis a um modelo 
matemático.
Aula 1: Programação linear (PL) e a Resolução pelo Método 
Gráfico
Quando pensamos no termo “programação”, é comum que o mesmo nos remeta 
diretamente à ideia de programação de computadores ou à linguagem de 
computação. Entretanto, no âmbito da Pesquisa Operacional, o sentido atribuído a 
essa palavra é um pouco diferente. Nesse caso, a palavra é empregada com o 
objetivo de atender às motivações originais de seu desenvolvimento: os problemas 
industriais. Nesse contexto, o termo “programação” se relaciona ao planejamento 
para uso dos recursos escassos frente às condições operacionais impostas pelos 
processos organizacionais. 
Esse cenário em que todas as limitações e todos os objetivos organizacionais são 
considerados é chamado de alocação ótima dos recursos, fato que ratifica a 
programação linear como uma técnica de otimização. Nosso problema geral é 
otimizar – por meio da maximização ou da minimização – uma função linear de 
variáveis que chamamos de “função objetivo” que encontra-se sujeita a uma série 
de restrições representadas por equações ou inequações lineares. 
Tendo como ponto de partida a modelagem matemática de um problema de 
programação linear, a sua solução pode ser encontrada a partir da interpretação 
gráfica das restrições impostas pelo sistema e da função objetivo. Entretanto, vale 
destacar que o método gráfico somente deve ser aplicado em problemas que 
possuam apenas duas variáveis de decisão. 
Mas, por que somente duas variáveis? 
• Porque a restrição de não negatividade, presente em todos os modelos 
matemáticos de programação linear, afirma que os valores utilizados devem ser 
positivos (portanto, estão no 1º quadrante). 
• Porque no espaço de duas dimensões uma igualdade é representada por uma 
reta. 
• Porque é importante destacar que cada desigualdade representa um 
semiespaço. 
Assim, para encontrar a solução gráfica de determinado contexto devemos plotar 
todas as restrições em um único diagrama ortogonal em que teremos os eixos do 
plano cartesiano representando as variáveis de decisão envolvidas no problema. A 
combinação das restrições apresentará a região viável, aquela em que o nosso 
PESQUISA OPERACIONAL 23
processo decisório deverá acontecer. 
Para compreender os passos que nos levarão à aplicação da resolução gráfica, e 
consequentes definições operacionais que resolvem uma determinada situação-
problema, vamos desenvolver o seguinte exemplo: 
A XXW ConstruLar é especializada na construção e venda de casas residenciais 
de pequeno porte. Atualmente, dois tipos de casa são ofertados ao mercado: os 
modelos Azul e Amarelo. 
As casas modelo Azul requerem 8.000 horas de mão de obra, seis toneladas de 
pedras e 1.200 metros lineares de tábuas de madeira. As casas modelo Amarelo 
requerem 20.000 horas de mão de obra, seis toneladas de pedra e 1.200 metros 
lineares de tábuas de madeira. 
Um terreno foi adquirido no sul do Pará para a construção de um novo 
condomínio, no entanto, motivado pela extensão considerável dos leads times 
para o pedido de suprimentos e devido à escassez de mão de obra especializada 
na região, a XXW ConstruLar deverá operar considerando apenas os seus 
recursos atuais. Portanto ela pode dispor de 800.000 horas de mão de obra, 300 
toneladas de pedra e 120.000 metros lineares de tábua de madeira. 
Considerando que as casas Azuis geram lucros unitários de R$2.000,00 e que as 
casas Amarelas geram lucros de R$4.000,00, defina qual é o mix de casas que 
devem ser construídas para maximizar os ganhos da empresa. 
Nesse problema de otimização para a construção das casas da XXW ConstruLar, 
buscamos determinar a alocação ótima dos recursos de produção para atender as 
limitações de tempo, de mão de obra e de disponibilidade de matéria-prima, 
objetivando maximizar o lucro resultante de suas vendas. Precisamos determinar o 
modelo matemático querepresenta essa situação-problema, ou seja, é necessário 
definir as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições que impactam no 
problema. 
As variáveis de decisão devem representar os tipos de casas construídas pela 
empresa. Assim, chamaremos de x1 as casas do modelo Azul e x2 as casas do 
modelo Amarelo: 
x1: quantidade de casas do modelo Azul.x2: quantidade de casas do modelo 
Amarelo. 
O objetivo apresentado pela situação-problema é definir a combinação das 
quantidades de casas construídas, objetivando maximizar os ganhos da empresa. 
Nesse cenário, uma vez que as casas Azuis geram lucros unitários de R$2.000,00 
e que as casas Amarelas geram lucros de R$4.000,00, nossa função objetivo será 
PESQUISA OPERACIONAL 24
igual a: 
Max L = 2.000x1 + 4.000 x2 
A construtora pode dispor de 800.000 horas de mão de obra, 300 toneladas de 
pedra e 120.000 metros lineares de tábua de madeira, sendo essas as nossas 
limitações para o sistema. Sabemos que cada casa Azul demanda 8.000 horas de 
mão de obra e que cada casa Amarela demanda 20.000 horas de mão de obra. 
Desse modo, a combinação dos seus usos deve ser menor ou igual ao total de 
800.000 horas disponíveis. Portanto: 
8.000x1 + 20.000x2 ≤800.000 
O total de pedras disponíveis para a obra é de 300 toneladas, sendo esse o 
quantitativo limitador. Assim, como ambas as casas precisam de seis toneladas 
para suas respectivas construções, podemos representar, matematicamente, essa 
informação por: 
6x1 + 6x2 ≤300 
Ambos os modelos de casas apontam a necessidade, individual, de 1.200 metros 
lineares de tábuas. Considerando que a empresa conta com 120.000 metros 
lineares para uso, podemos representar da seguinte forma: 
1.200x1 + 1.200x2 ≤120.000 
A função de maximizar o lucro e as restrições dos recursos são representadas por 
funções lineares. Assim, por meio da representação gráfica, o tomador de decisão 
terá acesso às diversas combinações quanto aos quantitativos de casas a serem 
construídas, assim como à determinação da combinação mais lucrativa entre elas. 
Modelo matemático para a XXW ConstruLar 
Max L = 2.000x1 + 4.000 x2Sujeito a:8.000x1 + 20.000x2 ≤800.0006x1 + 
6x2 ≤3001.200x1 + 1.200x2 ≤120.000x1, x2≥0 
Para representar as restrições no plano cartesiano, devemos seguir cinco etapas: 
1. Transformar a inequação em equação; 
2. Isolar x2; 
3. Substituir por 0 os valores destinados às variáveis de decisão para 
determinação dos pares ordenados; 
4. Marcar pontos do gráfico; 
5. Ligar pontos para gerar a reta que representará a restrição. 
Esse conjunto de ações deve ser repetido para cada restrição existente, a fim de 
que todas as informações estejam devidamente registradas no gráfico. 
Atente-se para os casos em que as limitações não são relacionadas às duas 
variáveis de decisão e, sim, a apenas uma delas. Nesse caso teremos apenas 
PESQUISA OPERACIONAL 25
uma reta tendendo ao infinito para representar a informação (Para saber mais, 
acesse o conteúdo dinâmico da Unidade). 
Começaremos pela restrição referente ao total de horas de mão de obra 
disponível: 
8.000x1 + 20.000x2 ≤800.000Passo 1Passo 2Passo 3Passo 4Passo 5 
Com a primeira restrição devidamente registrada, devemos repetir a operação com 
as demais restrições. Assim, diante do total de 300 toneladas de pedra e do 
quantitativo necessário para a produção de cada tipo de casa, teremos: 
6x1 + 6x2 ≤ 300Passo 1Passo 2Passo 3Passo 4Passo 5 
Para finalizar, devemos considerar a restrição referente ao total de metros lineares 
de tábuas: 
1.200x1 + 1.200x2 ≤ 120.000Passo 1Passo 2Passo 3Passo 4Passo 5 
Com a representação gráfica finalizada, devemos observar em qual área todas as 
restrições são aceitas. Nesse caso, as três restrições utilizam o sinal “≤” para 
indicar que os valores obtidos devem ser iguais ou inferiores a determinado total. 
Assim, as retas apontam que a área viável estará sempre abaixo das retas 
traçadas, sendo sua definição concluída no espaço em que todas as informações 
são aceitas. 
Após a definição dessa região em que as restrições estão todas aceitas, devemos 
nomear os vértices da figura formada, sendo o primeiro ponto – Ponto A – aquele 
que primeiro toca o eixo y. Assim, teremos 3 pontos compondo nossa região 
viável: A, B, C. 
Após definição dos pontos, devemos determinar as ordenadas dos mesmos. Em 
nosso exemplo, os pontos A e C são de fácil identificação, entretanto, o ponto B, 
dado pelo cruzamento das restrições de mão de obra e toneladas de pedras, não 
é facilmente definido apenas com a visualização do gráfico. 
A (0, 40)B (?, ?)C (50, 0) 
A escala adotada para a elaboração do gráfico não possibilita a determinação dos 
valores concernentes ao ponto B, no entanto, precisamos dessa informação para 
que possamos escolher o ponto ótimo. Por se tratar de um cruzamento entre 
restrições (retas), basta que igualemos as equações que utilizamos para definição 
dos pontos e em seguida façamos a substituição do valor encontrado para 
determinação do outro. 
Portanto, vamos igualar as informações referentes às restrições de mão de obra e 
toneladas de pedras já isoladas. Ou seja: 
50 – x1 = 40 – 0,4x1-x1 + 0,4x1 = 40-50-0,6 x1 = -10 (-1)x1 = 16,67 
PESQUISA OPERACIONAL 26
(aproximadamente 17) 
Com o valor de x1 definido, podemos utilizá-lo para substituição em qualquer uma 
das equações envolvidas. Ou seja, 
X2 = 40 – 0,4 x1 = 40 – 0,4 (16,67) = 33,33 (aproximadamente 33)OuX2 = 50 – 
x1 = 50 – (16,67) = 33,33 (aproximadamente 33) 
Agora com os três pares definidos – A(0,40) , B(17,33), C(50,0) –, devemos nos 
ater à função objetivo, aquela que representa matematicamente o aspecto 
almejado pela situação-problema. Uma vez que consideramos alcançar o lucro 
máximo com a produção das casas, devemos substituir na função objetivo os 
pares ordenados encontradas em cada ponto. Assim: 
Max L = 2.000x1 + 4.000x2A(0,40) = 2.000x1 + 4.000x2 = 2.000(0) + 4.000(40) = 
160.000,00B(17,33) = 2.000x1 + 4.000 x2 = 2.000(17) + 4.000(33) = 
166.000,00C(50,0) = 2.000x1 + 4.000 x2 = 2.000(50) + 4.000(0) = 100.000,00 
Esse cenário aponta que, considerando as restrições de mão de obra, toneladas 
de pedras e metros lineares de tábuas, a construtora alcançará lucro maximizado 
de R$166.000,00 construindo 17 casas do modelo Azul (x1) e 33 casas do modelo 
Amarelo (x2). 
Para os casos em que em determinado par ordenado apenas tivermos um ponto 
desconhecido, basta que façamos a substituição do ponto conhecido na equação 
que representa a reta, assim como fizemos logo após a determinação de x1 no 
exemplo acima.
Objeto de Aprendizagem 
Para se aprofundar no estudo das resoluções de modelos matemáticos, assista à 
animação O Método Gráfico.
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u2/objeto-aprendizagem/objeto.htm
PESQUISA OPERACIONAL 27
Aula 2: O Método Simplex
Devido a sua gama de aplicações no mundo dos negócios, a programação linear é 
uma das técnicas mais usadas dentre as outras grandes áreas da pesquisa 
operacional. A invenção do seu problema básico é de responsabilidade do 
matemático russo L. Kantorovich, em 1939, mas pôde contar também com as 
contribuições de T. Koopmans, fato que levou os pesquisadores a ganhar o prêmio 
Nobel pelas contribuições dadas à teoria de alocação ótima de recursos. 
No entanto, conforme sabemos, a maior parte dos problemas que demandam 
racionalização do uso de recursos não apresenta apenas duas variáveis de 
decisão, pressuposto para a aplicação do método gráfico. Sendo assim, devemos 
contar com o algoritmo Simplex na resolução dos problemas com duas ou mais 
variáveis de decisões envolvidas. O algoritmo Simplex foi formalizado por George 
Dantzig, no ano de 1947, como resultado dos trabalhos feitos durante o projeto de 
computação científica de otimização SCOOP realizado para a Força Aérea 
Americana. Trata-se de um método interativo que nos permite percorrer pontos 
extremos de um conjunto de soluções compatíveis ao problema verificado, 
buscando determinar a solução de certo cenário. 
Podemoscaracterizar algoritmo como uma sequência finita de instruções claras e 
devidamente definidas. Nesse contexto, dispomos de um conjunto de repetidos 
passos (chamados também de interações) que demandam por etapas de decisões 
(orientadas por comparações e critérios lógicos) até que a tarefa seja completada. 
De uma forma geral, três teoremas fundamentam o método Simplex. São 
eles:Teorema 1Teorema 2Teorema 3 
Para o desenvolvimento das etapas do Simplex, vamos apresentar e desenvolver 
um exemplo completo, evidenciando as etapas que compõem a técnica. Vamos 
lá? 
Marcos Antônio tem um pequeno negócio na garagem de sua casa. Trata-se de 
uma oficina de marcenaria de brinquedos infantis que produz apenas dois tipos 
produtos: mesa e armário. Durante o processo de produção da mesa são 
necessários 2m2 de madeira e 2h/h de mão de obra. Para a produção do armário 
são necessários 3m2 de madeira e 1h/h de mão de obra. Simplificadamente, as 
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u2/aula-2.htm#teste-1
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u2/aula-2.htm#teste-2
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u2/aula-2.htm#teste-3
PESQUISA OPERACIONAL 28
limitações diárias de produção são: 
Madeira: 12m2Mão de obra: 8 h/h 
Considerando que cada mesa apresenta lucro de R$4,00 e cada armário permite 
um lucro de R$1,00, qual programa de produção será responsável por maximizar 
os lucros de Marcos Antônio? 
Diante do exposto, precisamos definir o modelo matemático em que o método será 
aplicado. Assim, variáveis de decisão, função objetivo e restrições devem estar 
devidamente identificadas. Começando pelas variáveis de decisão, teremos então 
dois itens: 
x1: quantidade a produzir de mesas.x2: quantidade a produzir de armários.
Vale destacar que nesse exemplo são indicadas apenas duas variáveis de 
decisão, no entanto, o Simplex pode ser aplicado para qualquer quantidade de 
variáveis de decisão. 
Quanto aos valores de lucros, sabemos que os mesmos devem ser apresentados 
pela função objetivo. De acordo com os nossos dados, Marcos Antônio deseja 
programar sua produção diária, visando ao aumento dos lucros, sabendo-se que 
mesas apresentam lucro de R$4,00 e armários apresentam lucro de R$1,00. 
Assim: Max L = 4x1 + x2. 
Para a produção dos itens, madeira e tempo de produção são os elementos 
limitadores. Para madeira dispomos do total de 12 metros quadrados e para o 
tempo de produção dispomos de 8 horas/homens. Assim, considerando a 
utilização unitária detalhada na situação-problema, podemos chegar às seguintes 
restrições técnicas: 
Madeira: 2x1 + 3x2 ≤ 12Mão de obra: 2x1 + x2 ≤ 8 
Considerando a marcenaria de Marcos Antônio, o modelo matemático 
correspondente é: 
Max L = 4x1 + x2Sujeito a2x1 + 3x2 ≤ 122x1 + x2 ≤ 8x1 ; x2 ≥ 0 
Com a modelagem definida, dispomos dos dados necessários à aplicação do 
algoritmo Simplex. Desse modo, quatro etapas devem ser realizadas para que 
cheguemos à solução. Continuaremos desenvolvendo o exemplo da marcenaria 
de Marcos Antônio para que possamos conhecer e aplicar cada um desses 
estágios para resolução da situação-problema. 
Etapa 1 
A primeira etapa do método consiste na organização dos dados para composição 
do quadro em que o método será aplicado. Desse modo, considerando que as 
restrições indicam limitações, poderemos ou não utilizá-las totalmente. Motivados 
PESQUISA OPERACIONAL 29
por esse contexto, incluiremos em nossas restrições as variáveis de folga, aquelas 
que nos informarão sobre os quantitativos não utilizados. Uma vez que dispormos 
de duas restrições técnicas, contaremos então com duas folgas: F1 representando 
a folga de madeira e F2 representando a folga de mão de obra. 
Madeira: 2x1 + 3x2 + F1 ≤ 12Mão de obra: 2x1 + x2 + F2 ≤ 8 
Ainda na etapa 1, devemos igualar a função objetivo a zero. Portanto, teremos 
uma alteração nos sinais atribuídos aos termos. 
Max L = 4x1 + x2L - 4x1 - x2 = 0 
Etapa 2 
Com os dados prontos, durante a etapa 2 devemos armar o quadro dos 
coeficientes, ou seja, a representação que permitirá a aplicação do método. Seu 
formato segue o formato abaixo apresentado, sendo as linhas referentes às folgas 
iniciais, as colunas internas referentes às variáveis de decisão e folgas e a coluna 
final referente aos totais das restrições. Assim, VB são as variáveis básicas e TI os 
termos independentes.VB    TI            L      
Diante dos dados apresentados em nosso modelo matemático, poderemos 
organizar o nosso quadro da maneira abaixo realizada. Perceba que quando não 
dispomos de valores correspondentes, devemos inserir zero aos termos que não 
conhecemos.VBx1x2F1F2TIF1231012F221018L-4-1000 
Etapa 3 
Nessa etapa acontece o início da operacionalização do método. Assim, a mesma 
consiste em saber quais elementos entrarão e sairão da base. Essas informações 
são necessárias para que as interações entre linhas e colunas comecem a 
acontecer. Portanto: 
• Quem entra? O maior valor absoluto da função 
objetivo.VBx1x2F1F2TIF1231012F221018L-4-1000 
Em nossa função objetivo, o maior absoluto pertence à primeira coluna, portanto, 
x1 entrará na base durante essa interação. No entanto, devemos estabelecer qual 
linha sairá para dar lugar às novas informações. 
• Quem sai? Após dividir os TI’s pelos coeficientes respectivos, o menor valor 
encontrado indica a linha que sairá.VBx1x2F1F2TIF1231012F221018L-4-1000 
De acordo com a coluna que entrará, teremos seus correspondentes coeficientes 
de entrada. Assim, para a linha 1, o coeficiente é o número 2; para a linha 2, o 
coeficiente é o número 2 e para a última linha, o coeficiente de entrada é o valor 
-4. Como não operamos na linha do lucro, devemos realizar as divisões 
considerando os termos independentes e coeficientes das demais linhas. 
PESQUISA OPERACIONAL 30
Linha 1: 12/2 = 6Linha 2: 8/2 = 4 
Entre os valores calculados, a menor divisão tem resultado igual a 4, fato que 
indica que a linha 2 sairá da base para dar lugar a x1. 
Etapa 4 
Durante essa etapa, estaremos elaborando a nova tabela, aquela que será 
resultado das primeiras interações. Nesse processo, devemos começar pela linha 
que saiu, portanto, a linha 2(L2) que representará a variável x1. 
Para o cálculo dos novos valores da L2, que também pode ser chamada de linha 
pivô, devemos dividir cada valor da antiga L2 pelo correspondente coeficiente na 
linha de entrada, portanto o valor 2. 
Novos valores L2 (Linha Pivô):2 /2 = 11/2 = 0,50 /2 = 01 /2 = 0,58 /2 = 
4VBx1x2F1F2TIF1     x110,500,54L      
Após definirmos os valores da linha pivô, devemos retornar para a primeira linha e 
operacionalizar uma a uma até chegarmos ao novo quadro completo. No entanto, 
a sistemática para definição dos demais valores é diferente da aplicada na linha 
pivô. 
Nesse contexto, os novos valores da linha 1 (L1) serão definidos por meio da 
multiplicação da linha pivô pelo coeficiente da linha de entrada com sinal invertido, 
sendo esse resultado somado à antiga L1. Para L1, o coeficiente da linha de 
entrada é representado por 2, portanto, para esse cálculo teremos: -2. Linha Pivô 
+ Antiga L1. 
Novos valores L1:-2(1) + 2 = 0-2(0,5) + 3 = 2-2(0) + 1 = 1-2(0,5) + 0 = -1-2(4) + 
12 =4VBx1x2F1F2TIF1021-14x110,500,54L      
Utilizando a mesma sistemática, devemos buscar os novos valores da nossa linha 
do livro, a linha 3 (L3). Nessa linha, o coeficiente de entrada com sinal invertido 
será 4 e o nosso cálculo será dado por 4. Linha Pivô + Antiga L3. 
Novos valores L3:4(1) + (-4) = 04(0,5) + (-1) = 14(0) + 0 = 04(0,5) + 0 = 24(4) + 0 
= 16VBx1x2F1F2TIF1021-14x110,500,54L010216 
Com o quadro completo, podemos afirmar que ocorreu a primeira interação do 
modelo. Entretanto, para determinar se a situação-problema foi resolvida, é 
necessário verificar os valores da última linha, a linha do lucro, pois os mesmos 
devem estar, em sua totalidade, positivos. Em caso da presença de algum valor 
negativo nessa linha, devemos reiniciar o processo pela etapa 3, atacando o valor 
que porventuraesteja negativo, caso tenhamos apenas um valor negativo, ou 
optando por aquele de maior valor absoluto, caso tenhamos mais de um valor 
nessa condição. 
PESQUISA OPERACIONAL 31
Em nosso exemplo, diante da primeira interação chegamos aos valores positivos 
almejados para a linha do lucro, portanto à solução do problema da marcenaria de 
Marcos Antônio. Para interpretação dos resultados obtidos, devemos estar atentos 
aos elementos apresentados na primeira coluna e os valores apresentados na 
última coluna. Sabemos que F1 corresponde à folga no uso da madeira, portanto, 
quando visualizamos F1 igual a 4, podemos concluir que na solução maximizada 
teremos sobra de 4m2 de madeira. Definimos que x1 corresponde à quantidade de 
mesas a serem produzidas na marcenaria, ou seja, diante da solução encontrada 
para o modelo devem ser fabricadas quatro unidades de mesas. Quanto aos 
valores ausentes na solução, os mesmos devem ser interpretados como zero. 
Assim, podemos concluir que para alcançar o lucro maximizado de R$16,00, 
Marcos Antônio deverá produzir quatro mesas e nenhum armário, contando com 
uma sobra de matéria-prima em torno de 4m2. 
O algoritmo Simplex é usual para situações-problema que apresentem duas ou 
mais variáveis de decisão. No entanto, no exemplo acima contamos com apenas 
duas variáveis, fato que permite a solução da situação-problema da marcenaria de 
Marcos Antônio também pelo método gráfico. 
Que tal testar? 
Vídeo da Unidade 
Para saber mais sobre metodologias para resolução dos problemas de 
programação linear, assista ao vídeo: Programação Linear: métodos para 
resolução. 
Se preferir, faça o download do áudio (mp3 compactado) deste vídeo clicando 
aqui.
https://player.vimeo.com/video/338919990
https://ead.uva.br/disciplinas/grad/publica/cont/pqr/pop/re/u2/audio/G_POP_U2_mp3.zip
PESQUISA OPERACIONAL 32
PESQUISA OPERACIONAL 33
Aula 3: Métodos computacionais: a utilização do Solver na 
resolução de problemas de programação linear
PESQUISA OPERACIONAL 34
Na resolução de problemas de programação linear, é possível fazer uso de 
diversos softwares que rapidamente nos indicam os resultados para nossas 
variáveis de decisão. Nesse cenário, temos o Lindo, Lingo, OMP, COM, QSV e o 
Suplemento Solver como exemplos de recursos computacionais que nos ajudam a 
encontrar as soluções para os sistemas. 
Nesse contexto você agora deve estar se perguntando: por que precisamos 
aprender os cálculos manuais e não somente os procedimentos de utilização dos 
programas? 
Pois bem, a resposta desse questionamento é simples, afinal, o profissional 
atuante na área de pesquisa operacional deve ter competências e habilidades 
para analisar os relatórios extraídos dos sistemas e ter convicção quanto à 
veracidade dos dados lançados diante dos recursos que a empresa disponibiliza e 
necessita para operar. Todo esse aprendizado é resultado da prática manual dos 
cálculos para resolução de problemas tanto pelo método gráfico, quanto para o 
algoritmo Simplex. 
Neste material, pela sua facilidade de acesso e instalação, dialogaremos acerca 
dos procedimentos para uso do Solver. Trata-se de uma ferramenta inerente ao 
Microsoft Excel com grande alcance para resolução de problemas de programação 
linear. O mesmo opera admitindo situações empresariais com até 200 variáveis de 
decisão e pouco mais de 400 restrições. 
Para instalar o Solver na sua máquina, devemos seguir três etapas: 
1. Após abrir uma planilha do Excel, acesse o menu Ferramentas e escolha a 
opção Suplementos. Uma caixa de diálogo como a apresentada na imagem 
abaixo aparecerá em sua tela. 
2. Na caixa de diálogo Suplementos, busque na lista o Solver e o selecione. 
3. Por fim, para confirmar a instalação, clique em OK. 
Com o Solver devidamente instalado, devemos organizar uma planilha com 
espaços definidos para nossas variáveis de decisão, função objetivo e restrições 
do sistema. Se considerarmos uma situação-problema com duas variáveis de 
decisão, podemos formular uma planilha da seguinte maneira: 
As células B2 e B3 representam as células ajustáveis, aquelas que nos indicarão 
em breve quais os valores respectivos às variáveis de decisão. Sendo assim, as 
mesmas devem ser deixadas em branco para que, após a solução do problema, 
seus valores possam ser apresentados. 
A célula B6 é reservada para a função objetivo do modelo. Assim, se 
considerarmos uma situação-problema em que desejamos maximizar os ganhos 
PESQUISA OPERACIONAL 35
de dois produtos tendo os mesmos, respectivamente, os lucros de R$20,00 e 
R$30,00, devemos inserir a seguinte fórmula na planilha: 
= 20 * B2 + 30 * B3 
Para uma situação-problema com apenas três restrições técnicas, apresentar nas 
células A10, A11 e A12, B10, B11 e B12, C10, C11 e C12 as restrições existentes. 
As células da coluna A trarão a operação entre variáveis de decisão, as células da 
coluna B indicarão o sinal de relação com os limites e as células da coluna C 
serão responsáveis por apresentar os limites. Assim, considerando uma restrição 
que afirma que x1 + x2 ≤ 100, indicaremos: 
Na célula A10: = B2 + B3Na célula B10: ≤Na célula C10: 100 
Após a inserção de todas as restrições técnicas relativas a determinado problema, 
daremos início à resolução do problema por meio do suplemento Solver. Sendo 
assim, clique no ícone do Solver e abrirá uma nova caixa de diálogo em sua tela. 
No campo destinado a célula de destino, você deverá selecionar a célula em que a 
função objetivo está apresentada. Em nosso exemplo, essa informação está na 
célula B6. No campo seguinte, opte por “Max” para maximizar a função objetivo, 
por “Min” para minimizar a mesma ou por “Valor para”, quando desejar especificar 
determinado valor prévio para a função objetivo. 
No campo reservado às células ajustáveis deverão ser inseridas as células 
reservadas para as variáveis de decisão. Desse modo, basta clicar na primeira e 
arrastar até a última, lembrando que o Solver admite até 200 variáveis de decisão. 
No caso do nosso exemplo, serão as células B2 e B3, responsáveis por nos 
indicar a solução do modelo, portanto, são elas as indicadas no campo das células 
variáveis. 
A etapa seguinte consiste em apresentar ao sistema as informações relacionadas 
às restrições, portanto, no quadro “Submeter às restrições”: 
1. Clique em Adicionar para que surja a janela indicada na imagem abaixo. 
2. Na caixa Referência de célula, deve ser selecionada ou digitada a referência da 
célula que conterá o valor a será comparado ao limite da restrição. Em nosso 
exemplo, para essa etapa devemos selecionar individualmente as células A10, 
A11 ou A12. 
3. De acordo com a restrição, devemos especificar no quadro seguinte o operador 
pertinente à restrição (≥ ,≤ ou =) 
4. Na caixa Restrição, deve ser selecionada ou digitada a referência da célula que 
apresenta o limite para a restrição. Portanto, em nosso exemplo, consiste nas 
informações apresentadas nas células C10, C11 ou C12. 
PESQUISA OPERACIONAL 36
5. Para finalizar, clique em adicionar. 
Essa operação deve ser repetida até que todas as restrições técnicas 
apresentadas pelo modelo sejam inseridas no Solver. 
Finalizada essa etapa, no momento seguinte clique em Opções para aparecer a 
seguinte caixa na tela: 
Nesse momento devemos informar ao sistema que ele deve atender às restrições 
de não negatividade, portanto, basta que cliquemos no botão “Presumir não 
negativos”. Da mesma forma, uma vez que estamos trabalhando com problemas 
lineares, devemos pedir ao sistema para “Presumir modelo linear”. 
Com todas as informações lançadas, a tela inicial do Solver apresentará o modelo 
proposto. Assim, antes de acionar o botão “Resolver”, avalie se todas as 
informações foram inseridas corretamente. 
Ao clicar no botão “Resolver”, uma nova janela surgirá questionando se desejamos 
Manter ou Restaurar os valores, e ainda nos apresentará os relatórios possíveis 
para o processo de solução. Devemos escolher as condições que nos atendem e 
em seguida clicar em ok. 
A soluçãodo modelo será indicada então nas células que destacamos em verde 
na imagem abaixo. Assim, em nosso exemplo, nas células B2 e B3 teremos os 
valores assumidos pelas variáveis de decisão, na célula B será apresentado o 
valor da função objetivo otimizada e nas células A10, A11 e A12 teremos a 
indicação do quanto de cada restrição será usado pelo sistema. 
Com as informações apresentadas pelo Solver, agora é chegado o momento de 
convertermos as mesmas em regras operacionais conforme as diretrizes 
organizacionais.
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Resumo da Unidade
Nessa unidade, constatamos que a Programação Linear é uma técnica que busca 
desenvolver o planejamento para promover a otimização dos recursos 
organizacionais, visando a maximizar resultados ou minimizar custos. Desse modo, 
partimos de um modelo matemático referente a uma situação-problema para 
determinar quais os valores das suas variáveis de decisão que atendem ao objetivo 
empresarial e as possíveis limitações impostas. Assim, aprendemos qual solução 
ótima pode ser encontrada por meio da solução gráfica, do algoritmo Simplex ou dos 
recursos computacionais.
AVA 1: Método simplex, planilha eletrônica 
e o suplemento Solver
Segundo a Organização de Transporte Aéreo Internacional – IATA, o Brasil é o quarto 
maior mercado mundial de voos domésticos, perdendo apenas para países, como 
Estados Unidos, China e Japão. Com base nesse cenário, é possível constatar o 
grande desafio que as atuais empresas de aviação têm para manter o seu sistema em 
PESQUISA OPERACIONAL 40
operação, reduzindo seus custos, potencializando seus ganhos e aproveitando esse 
potencial mercadológico nacional.
Atentos ao cenário, os gestores da Companhia XXW Air – hipotética empresa atuando 
no mercado nacional de aviação — constataram a necessidade de realização de 
estudos que apontassem as melhores decisões para ampliação dos lucros na oferta 
dos diferentes tipos de passagens praticados pela empresa e definição do programa 
de abastecimento das aeronaves para viagens visando à redução dos custos com 
combustível. Para essa ação, você foi contratado(a) como consultor(a) da Companhia 
e deverá emitir seu parecer quanto aos seguintes aspectos:
1. a)(Utilize o método simplex)A Companhia XXW Air trabalha com três diferentes 
programas de venda de passagens: Comercial, Flex e Plus. As passagens do tipo 
comercial apresentam lucro unitário equivalente a R$ 40,00, no entanto 
demandam por duas águas minerais e seis pacotes de bombom a serem 
entregues aos clientes. As passagens do tipo Flex apresentam lucro unitário 
equivalente a R$ 60,00 e demandam duas águas minerais, um pacote de 
bombom e cinco pacotes de biscoito. As passagens do tipo Plus apresentam lucro 
unitário equivalente a R$ 30,00 e demandam três águas minerais, cinco pacotes 
de bombom e um pacote de biscoito.
Considerando que a companhia conta com uma entrega, por voo, de 100 unidades de 
água, 250 pacotes de bombons e 200 pacotes de biscoito — e que pretende utilizar 
PESQUISA OPERACIONAL 41
ao máximo esses itens —, quantas passagens devem ser ofertadas a cada saída para 
maximizar seus lucros?
1. b)(Utilize a planilha eletrônica e o suplementoSolver) Outra preocupação da 
companhia aérea XXW Air consiste na programação da compra de combustível. 
As empresas Gs, Duto e Bio fornecem o combustível que abastece as aeronaves 
da companhia e estão localizadas nos 3 aeroportos em que a companhia opera. 
Os fornecedores de combustível informaram a empresa que as capacidades de 
fornecimento para o próximo mês e os preços em cada aeroporto são:
Custo por litro em cada aeroporto
Fornecedores Capacidade
Gs 1000000
Duto 2200000
Bio 2400000
Em cada aeroporto, temos uma alteração na necessidade de combustível. Desse 
modo, no Aeroporto Sul, a necessidade mínima é de 400 mil litros; no Aeroporto 
Norte, a necessidade mínima é de 800 mil litros; e, no Aeroporto Leste, a 
necessidade mínima é de 900 mil litros. Diante desses dados, qual a programação 
de abastecimento que atende à companhia e minimiza seus custos de compra?
AVA 2
O governo estadual de Pernambuco está realizando obras em três cidades: Caruaru, 
Recife e Garanhuns. No entanto, diversos temas vêm chamando atenção dos 
gestores do processo e demandando aplicação das técnicas da pesquisa operacional 
para otimização dos resultados. Vejamos:
a) O material para essas obras é transportado de três depósitos com capacidades de 
58, 77 e 94 toneladas de material. Para a realização das obras, as cidades 
demandam, diariamente, 42, 81 e 106 toneladas de material, respectivamente.
Com relação aos custos, os valores (R$) para o transporte de cada tonelada desse 
material estão na tabela a seguir.
Caruaru Recife Garanhuns
Depósito 1 8 9 4,5
PESQUISA OPERACIONAL 42
Caruaru Recife Garanhuns
Depósito 2 6 8,5 4
Depósito 3 7,5 5,5 5
Assim, considerando a aplicação das 3 técnicas propostas pelo algoritmo do 
transporte, aponte as programações possíveis para a minimização dos custos de 
transporte com essa operação.
b) Na preparação dos materiais para carregamento dos caminhões, a fase da 
conferência de cada tonelada demora em média 12 minutos. Considerando o 
momento em que a capacidade de cada um dos depósitos está completa, qual o total 
de servidores necessários para que essa etapa não fique atrasada, sabendo-se que 
os colaboradores responsáveis por essa ação têm apenas duas horas para a sua 
conclusão e que o volume de itens é igual a 60 unidades?
c) A inauguração de uma das obras, a de Recife, já tem data marcada, fato que 
preocupa os gestores dessas construções. Sendo assim, o acompanhamento do 
projeto está sendo realizado com base na aplicação dos princípios da Teoria dos 
Grafos. Para a definição das estimativas quanto aos prazos das atividades finais da 
obra, foi montada uma equipe. Em particular, para a etapa de colocação dos pisos 
táteis e para instalação dos semáforos, os envolvidos chegaram as seguintes 
estimativas:
Para a colocação dos pisos táteis:
Estimativa otimista= 17 dias
Estimativa pessimista= 22 dias
Estimativa mais provável= 18 dias
Para a instalação dos semáforos:
Estimativa otimista= 8 dias
Estimativa pessimista= 12 dias
Estimativa mais provável= 9 dias
Qual a estimativa de duração para cada uma das operações acima?