Tarefa aula 7 Calculo III

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DISCIPLINA: Cálculo III 
TAREFA – AULA 7 
ALUNO(A): Maria Alexandra Costa Freire Massimino 
 
1. (3,0 pts) Calcule a derivada direcional de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) no ponto (1,0), 
segundo a direção dada pelo ângulo . 
Resolução: 
 Temos que �⃗� = (cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃) = (
1
2
 ,
√3
2
) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 𝑦 + 𝑦 cos(𝑥𝑦) ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥 + 𝑥 cos(𝑥𝑦) 
𝐷�⃗⃗� 𝑓 =
1
2
 .
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(1,0) +
√3
2
 .
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(1,0) =
1
2
. 2 +
√3
2
 . 2 = 1 + √3 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= (1,0) = 2. 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(1,0) = 2 𝑒 𝐷
(
1
2 .
√3
2 )
𝑓(1,0) = 1 + √3 
Portanto, no ponto (1,0), a variação de 𝑓 é maior na direção de (
1
2
 .
√3
2
) do que nas direções 
segundo semi-eixos positivos de x e y. 
 
2. (4,0 pts) Encontre o gradiente da função no ponto dado. 
a) 
Resolução: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = −2𝑥 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = 1 
▽ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) 
▽ 𝑓(𝑥, 𝑦) =< −2𝑥, 1 > 
▽ 𝑓(−1,0) =< −2. (−1), 1 >= < 2,1 > 
b) 
Resolução: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) =
1
2
𝑥2 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = −
1
2
𝑦2 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) =
1
2
. 2𝑥 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = −
1
2
. 2𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = 𝑥 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = −𝑦 
▽ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) 
▽ 𝑓(𝑥, 𝑦) = < √2,−1 > 
 
 
3. (3,0 pts) Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. 
a) 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦 = 1 em (1,2) 
Resolução: 
Considere 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦. Temos 
▽ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 2𝑦 − 3) ⇒ ▽ 𝑓(1,2) = (4,2) 
Logo 
(4,2). (𝑥 − 1, 𝑦 − 2) = 0 ⇒ 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 
De outra forma, lembre que o vetor tangente, (a, b), ´e perpendicular ao gradiente, assim 
(4,2). (𝑎, 𝑏) = 0 ⇒ 𝑏 = −2𝑎 
Então o vetor tangente é (1,−2). Portanto, 
(𝑥, 𝑦) = (1,2) + 𝜆(1,−2), 𝜆 ∈ ℝ 
 
b) 
Resolução: 
Considere 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒2𝑥−𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦. Temos 
▽ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑒2𝑥−𝑦 + 2,−𝑒2𝑥−𝑦 + 2) ⇒▽ 𝑓 (
1
2
, 2) = (4,1) 
Logo 
(4,1). (
𝑥 − 1
2
, 𝑦 − 1) = 0 ⇒ 4𝑥 + 𝑦 − 3 = 0. 
De outra forma, lembre que o vetor tangente, (a, b), ´e perpendicular ao gradiente, assim 
(4,1). (𝑎, 𝑏) = 0 ⇒ 𝑏 = −4𝑎 
Então o vetor tangente é (1,−4). Portanto, 
(𝑥, 𝑦) = (
1
2
, 1) + 𝜆(1,−4), 𝜆 ∈ ℝ