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ROTEIRO DE PRÁTICA aluno : antonio jose porpino dos santos - curso bach. eng. mecânica Tema Cálculo da Equação da Reta Tangente ao Gráfico de Uma Função Unidade 01 Disciplina (s) Cálculo Aplicado – Uma Variável Data da última atualização 17/06/2020 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio de derivadas de funções elementares e regras de derivação. 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. Utilize o material de apoio (e-book unidade 1). II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Quantidade Roteiro da prática 1 Computador 1 Applets 5 GEOGEBRA 1 Calculadora científica 1 III. Introdução Geometricamente, a derivada da função , aplicada a um ponto , é igual ao coeficiente angular da reta (x)f P tangente à curva neste ponto. Isso significa que a derivada da função aplicada ao ponto é igual à tangente do ângulo formado por essa reta e o eixo das abscissas. Dessa forma, é possível geometricamente compreender o conceito da função derivadas através da sua definição por limite, que é representa uma taxa de variação instantânea. IV. Objetivos de Aprendizagem ▪ Reconhecer a derivada como medida de taxa de variação, o que pode ser identificada a partir dos coeficientes de uma reta tangente ▪ Aplicar a tabela de derivadas e regras de derivação para derivar operações que envolve as funções elementares Capstone). ▪ Encontrar a equação da reta tangente a uma curva num dado ponto. V. Procedimentos 1 Parte A: ENTENDENDO O CONCEITO DE DERIVADAS ATAVÉS DA RETA TANGENTE À CURVA NUM DADO PONTO. 1. Reconhecimento da reta tangente: Aqui você deve acessar os applets 1, 2 e 3, em arquivo htlm disponibilizados para a prática, através dos links indicados no quadro abaixo. Applet 1: (reta tangente) Link: https://www.geogebra.org/m/qsu3sb57 Acesso em: 22 jan. 2020 Applet 2: (reta tangente local) Link: https://www.geogebra.org/m/cgwm96 c6 Acesso em: 22 jan. 2020 Applet 3: (reta tangente e derivada) Link: https://www.geogebra.org/m/btm ewm9s Acesso em: 22 jan. 2020 ✔ O applet 1 mostra a reta tangente ao longo da curva . Experimente mover o ponto e observar af A inclinação da reta tangente e sua equação. ✔ Verifique, através do applet 2, que ao mover o ponto sobre o eixo , a reta corta a curva em dois pontos: x T e . No entanto, podemos considerar que localmente a reta é tangente à curva no ponto . Ou seja, uma S T reta pode tangenciar uma curva em um determinado ponto, mesmo sendo secante à essa curva. ✔ O applet 3 mostra que o coeficiente angular da reta no ponto é igual ao valor da derivada da função A f aplicada ao ponto . Ao mover o ponto, verifique que os valores permanecem iguais ao longo do A movimento. 2. Definição da derivada: 2 https://www.geogebra.org/m/qsu3sb57 https://www.geogebra.org/m/cgwm96c6 https://www.geogebra.org/m/cgwm96c6 https://www.geogebra.org/m/btmewm9s https://www.geogebra.org/m/btmewm9s Tomando-se o ponto e o ponto arbitrário , o coeficiente angular da reta secante é dado pela (x , y )P 0 0 (x , y )Q 0 0 taxa média de variação: . Você verificou através dos applets, que o coeficiente angular da reta secante ∆x ∆y = x−x0 f (x)−f (x )0 tende ao coeficiente angular da reta tangente quando o ponto Q se aproxima do ponto P. Portanto, podemos afirmar que o coeficiente angular da reta tangente é a taxa de variação instantânea dada por: , se este ∆x ∆y = lim x−x0 x−x0 f (x)−f (x )0 limite existir. Nesse caso definimos a derivada da função aplicada ao ponto como:(x)f (x , f (x ))P 0 0 , se esse limite existir.(x )f ′ 0 = limx−x0 x−x0 f (x)−f (x )0 Aqui você deve acessar os applets 4 e 5, em arquivo htlm disponibilizados para a prática. Applet 4: reta secante Link: https://www.geogebra.org/m/bh4u4xnb Acesso em: 22 jan. de 2020 Applet 5: Limite e derivada Link: https://www.geogebra.org/m/kx2nqfjz Acesso em: 22 jan. de 2020 ✔ Verifique através do applet 4, que ao mover o ponto Q ao longo da curva no sentido do ponto P o ângulo α (da reta secante com a reta horizontal) diminui, consequentemente, a taxa média de variação também diminui. ✔ O applet 5, mostra que ao mover o ponto Q no sentido do ponto P, o coeficiente angular da reta secante tende ao coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P. Ou seja, o ângulo beta tende ao ângulo alpha. Parte B: EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE A UMA CURVA É possível encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto , calculando-se o coeficiente angular atravésP da derivada da função no ponto e, por fim, aplicar a fórmula 3 https://www.geogebra.org/m/bh4u4xnb https://www.geogebra.org/m/kx2nqfjz .y ) (x ) (x )( − y0 = f ′ 0 − x0 Atividade 1: Neste contexto, encontre a equação da reta tangente de curva a seguir no ponto indicado. Usando o Geogebra, plote o gráfico da função e a reta obtida, de modo a verificar se sua resposta está correta. ; no ponto de abscissa x − .f (x) = 3x−4 2x+1 = 1 y = 2x+1/3x-4 x = -1 1º) f( -1)=2(-1)+1/ 2(-1)-4 = (-2+1) / (-3+4) = (-1) / (-7) -1 = 1 / 7 = 0,1428 2º) f’(x) = d/dx (2x+1)/ (3x-4) = 2*(3x-4)-(2x+1)*d/dx / (3x-4)*(3x-4) = 11 / (3x-4)2 3º) f’ (-1) = 11 / (3x-4)2 = 11 / ( 3(-1)-4)2 = 11/49 = 0,2244 1º (y - yº) = f (xº)(x-xº)> yº = 0,14 onde xº = -1 f’xº = 0,22 y - 0,14 = 0,22 (x+1) > y-0,14 = -0,22x + 0,14 = y = -22x - 0,08 4 (x x )· 3 ; no ponto de abscissa x − f (x) = 2 − 2 + 1 x = 2 1º ponto de tangência de f(x) = ((-2)² - 2 (-2) +1). = 1 3x 2º inclinação da função f’ (x) = (x² - 2x +1) . = (f . g )’ = f’ . g + f . g’ 3x f’(x) = d / dx (( x²-2x+1). = d/dx (x²-2x+1). = d/dx ( ). (x²-2x+1) 3x 3x 3x f’(x) = (2x-2). + ln(3).(x²-2x+1) 3x 3x 3º inclinação da l’ (-2) = (2(-2)-2). + ln(3) = ((-2)² -2 (-2) +1)3−2 3−2 f’ (-2) = ln(3) -⅔ = 0,431946 4º equação da reta ( y - yº) = f’ (xº).(x-xº) = (y-1) = 0,43 (x-(-2)) onde y= 0,43x + 1,86 5 VII. Referências FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração - 6ª edição ver.e ampl. Pearson 458 ISBN 9788576051152. STEWART, James. Cálculo, v.1. 3. São Paulo Cengage Learning 2013 1 recurso online ISBN 9788522114610. 6
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