Escoamento Interno e em Canal Aberto

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciência e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Agenda Semanal 02
Escoamento Interno e em Canal Aberto 
(Capítulo 8, Introdução à Mecânica dos Fluidos, 
Robert W. Fox, 7ª edição)
(Capítulo 10, Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, 
Bruce R. Munson, volume 2, 4ª edição)
Disciplina
Mecânica dos Fluidos II
Aluna
Joyce Ingrid Venceslau de Souto
Campina Grande - PB
Julho de 2021
Sumário
PARTE I
1.	SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ESCOAMENTO DE TUBO 	 	 3
PARTE II
1.	INTRODUÇÃO 	 	 	 	 4
2. 	CARACTERÍSTICAS GERAIS 5
3.	ONDAS SUPERFICIAIS 7
	3.1 Velocidade da onda 7
	3.2 Efeito do número de Froude	 8
4. 	CONSIDERAÇÕES ENERGÉTICAS 10
	4.1 Variação da profundidade do escoamento	 11
	4.2 Energia específica	 12
5.	ESCOAMENTO COM PROFUNDIDADE UNIFORME EM CANAIS 12
	5.1 Aproximação de Escoamento Uniforme 13
	5.2 Equações de Chezy e Manning	 13 
PARTE I
1. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ESCOAMENTO DE TUBO
Até agora, viu-se de uma forma geral e completa como resolver problemas em diferentes configurações de escoamento em tubo. Para sumarizar, é relevante trazer novamente as expressões mais importantes. Primeiramente, a equação de energia possibilita relacionar condições do escoamento entre dois pontos quaisquer tendo em vista a perda de carga total que existe entre esses pontos, e é dada por:
Essa perda se divide em maior e menor. As perdas maiores são calculadas através da seguinte equação,
E o coeficiente de atrito, para escoamento laminar, é dado por
Já as perdas menores são determinadas por
Onde é o comprimento equivalente do tubo. Então, para sistemas de trajeto único, para os quais se conhece a configuração e fluido, os problemas possuem os seguintes objetivos, geralmente:
a) Determinar queda de pressão para um dado tubo a uma dada vazão;
b) Determinar o comprimento do tubo para uma dada perda de carga, vazão e diâmetro do tubo;
c) Determinar a vazão para um dado tubo e uma perda de carga;
d) Determinar o diâmetro do tubo para um dado comprimento do tubo, queda de pressão e vazão.
Para os dois primeiros objetivos, consegue-se determinar os valores das variáveis de forma direta, ou seja, basta escrever a equação de energia, deixando a variável em função dos parâmetros conhecidos ou calculáveis. Já para os outros dois objetivos, deve-se utilizar método iterativo ou assistência de software computacional pois não é possível resolver de forma direta. De uma forma geral, a equação de energia é resolvida em termos da variável desejada e fica em função do fator de atrito e outra variável – diâmetro ou velocidade média, cujos valores também são desconhecidos. A partir disso, estima-se valores para o fator de atrito e o processo iterativo é repetido até a convergência, ou seja, até que o valor do fator de atrito encontrado se iguale ou seja bastante próximo ao valor encontrado na iteração posterior. 
PARTE II
1. INTRODUÇÃO
Entende-se por escoamento em canal aberto aquele no qual o fluido escoa através de uma superfície livre, ou seja, os canais e outros meios de transporte do fluido não o limitam geometricamente. Essa superfície livre se estabelece, geralmente, entre o fluido que escoa e o fluido acima deste que, geralmente, é o ar atmosférico. Exemplo disso é o escoamento de efluentes líquidos através de uma rede de canais a céu aberto ao longo de toda a Avenida Canal, em Campina Grande – PB, cuja visualização pode ser feita na Fig. 1.
Para entender as principais características desse tipo de escoamento, primeiramente, já é possível extrair algumas noções básicas pelo próprio conhecimento empírico desse tipo de escoamento e sua vasta gama de exemplos reais. Uma delas é que, ao contrário do escoamento interno, o gradiente de pressão em escoamento em canal aberto não é relevante visto que todo o fluido está submetido a um perfil de pressão hidrostática, se o escoamento é completamente desenvolvido e em regime permanente, uma vez que a inércia e os efeitos viscosos do ar são desprezíveis.
 Além disso, pela sua ampla abrangência de situações, é intuitivo concluir que essas características e sua complexidade também variam de acordo a aplicação. Logo, não se pode esperar que o escoamento visto no exemplo da Avenida Canal tenha o mesmo comportamento que a saída de líquido aquecido para o mar de uma torre de resfriamento de usina nuclear, vista na Figura 2, uma vez que a seção transversal é diferente, as condições do fluido são bastante distintas, o estado dos canais como rugosidade, curvas, inclinação do fundo são variáveis, dentre outras circunstâncias.
Figura 1 – Escoamento de resíduos líquidos através de um sistema de canais, na Av. Canal – Campina Grande.
Fonte: https://www.flickr.com/photos/hellohellenn/5566140385
Figura 2 – Usina nuclear de Heilbronn.
Fonte: https://www.blogs.unicamp.br/100nexos/2012/02/20/o-sr-burns-e-a-torre-de-resfriamento/
2. CARACTERÍSTICAS GERAIS 
Uma das razões associadas a grande amplitude de formas de classificar um escoamento em canal aberto se deve a existência da superfície livre e, em consequência disso, surgem novos fenômenos a se analisar. De todo modo, para classificar um escoamento em canal aberto, tem-se em vista a taxa temporal da profundidade do escoamento () com a distância ao longo do canal (). 
Primeiramente, quanto à perspectiva de posição, um escoamento em canal aberto pode ser classificado como uniforme (EU) se a profundidade do escoamento ao longo do canal não sofre variações (). Ao contrário disso, diz-se que o escoamento é variado, ou não uniforme. Ademais essa não uniformidade pode ser dada de forma rápida, sendo o escoamento classificado como com variação rápida (EVR ou RVF), ou lenta e, nesse caso, o escoamento é com variação gradual (EVG ou GVF). Assim, enquanto naquele caso a profundidade varia dentro de uma curta distância (), nesta classificação a profundidade varia pouco ao longo do canal ().
Figura 3 – Classificação dos escoamentos em canal aberto.
Fonte: https://slideplayer.com/slide/14856023/
Quanto à circunstância temporal, analogamente aos outros tipos de escoamento, o em canal aberto pode ser permanente ou não-permanente, dependendo se a profundidade do escoamento varia com o tempo ou não, respectivamente. Ademais, pode-se também classificar os escoamentos em canal aberto quanto ao seu regime, que é função do número de Reynolds (). Em termos gerais, classifica-se como turbulento o escoamento em canal aberto que apresente ; laminar com ; e de transição com .
Figura 4 – Tipos de escoamentos em canal aberto, quanto a espaço – a e b – e tempo – c e d.
Fonte: https://slideplayer.com/slide/14856023/ (modificado)
Ademais, classifica-se também esse tipo de escoamento quanto a uniformidade de propriedades ao longo do fluido, sendo tratado como uniforme aqueles que não apresentam variação de propriedades no campo do seu escoamento e, ao contrário disso, classifica-se o escoamento como estratificado como no caso das enxurradas e enchentes urbanas. E, finalmente, o escoamento em canal aberto é classificado por outro parâmetro adimensionalque representa como o fluido se movimenta e como uma onda se desloca com relação a ele. Este parâmetro é o número de Froude (), sendo que se , denomina-se que o escoamento é supercrítico; se , o escoamento é crítico; e se , o escoamento é subcrítico.
3. ONDAS SUPERFICIAIS
O fenômeno das ondas superficiais está relacionado a característica do escoamento em canal aberto de distorcer a superfície livre em variadas formas. De uma forma geral, as alterações de forma na superfície livre geram ondas superficiais que podem ser altas, baixas, longas ou curtas, logo, entender as suas principais propriedades é fundamental para que se analisar escoamentos em canal aberto.
3.1 Velocidade da Onda
Tendo em vista um observador fixo observando, inicialmente em repouso, uma onda simples de altura , se deslocando com uma velocidade , formando-se após um tempo na superfície de um canal apó s a imposição de velocidade da placa que também estava em repouso inicialmente, como sugere a Fig. 5. A relação entre os parâmetros deste escoamento pode ser determinada através da aplicação da equação da continuidade e da conservação da quantidade de movimento a um volume de controle pertinente.
Figura 5 – Geração e propagação da onda, vista por um observador estacionário.
Fonte: https://www.slideshare.net/GeoRuizO/open-channel-flow
Ao fazermos as considerações de que o escoamento é unidimensional, uniforme e a amplitude da onda é muito pequena, além de que a distribuição de pressão é hidrostática, pode-se combinar os resultados para a velocidade da onda através da aplicação das equações da continuidade e da quantidade de movimento, obtendo a seguinte expressão para a velocidade da onda:
A partir da equação acima, infere-se que a velocidade de uma onda simples é proporcional à raiz quadrada da profundidade do escoamento e a aceleração da gravidade também é relevante no processo. Outra forma de determinar a velocidade de ondas de pequena amplitude é, através da diferenciação das equações de Bernoulli e da continuidade para um escoamento com as mesmas considerações feitas anteriormente, obtendo as expressões:
Contudo, sabe-se que os resultados anteriores são válidos apenas para ondas de pequena amplitude e resultados experimentais mostram que a velocidade de uma onda solitária de amplitude genérica é maior do que a estipulada por eles. Para além disso, uma descrição mais geral pode ser atingida ao levar em consideração ondas contínuas senoidais cuja descrição é baseada nas séries de Fourier na qual cada termo representa uma onda. Nessa análise, para ondas de pequena amplitude, obtém-se:
Dessa forma, a velocidade da onda é função da profundidade do escoamento e do comprimento de onda. No caso de escoamentos com profundidade é muito maior que o comprimento da onda (), a velocidade se torna independente de , logo, o termo destacado em vermelho na equação anterior some.
3.2 Efeitos do Número de Froude
Basicamente, a partir do que foi previamente definido como o número de Froude, admitindo , que é a profundidade do escoamento, como a dimensão característica do escoamento, o número de Froude é dado por:
Então, o número de Froude também pode ser descrito como a razão entre as velocidades do escoamento e da onda. A partir disso, observa-se que, se a velocidade do escoamento é nula, a velocidade da onda é igual em todas as direções; se a velocidade do escoamento é quase estacionária (), a onda pode se mover para regiões a jusante do ponto considerado no campo de velocidade do escoamento, inferindo que os pontos a montante e a jusante da geração da onda estão em comunicação hidráulica.
Ademais, é notório que os efeitos viscosos podem dissipar as ondas, quando , ou , sendo o escoamento classificado como subcrítico dessa forma. Por outro lado, se o escoamento possui velocidade alta suficiente tal que , temos que e o escoamento é supercrítico, de forma que um observador fixo, localizado a montante do ponto de perturbação, não conseguirá perceber se houve tal perturbação, de fato. Para além disso, é interessante perceber algumas semelhanças entre parâmetros características de tipos de escoamento distintos: é o caso do número de Mach para escoamentos compressíveis com o número de Froude para escoamento em canal aberto. Suas descrições são relacionadas com a razão entre a velocidade do escoamento e a de propagação de uma onda, sendo ela uma onda superficial, no caso do escoamento em canal aberto, ou de propagação de som, no caso dos escoamentos compressíveis. Um breve resumo acerca desses parâmetros em conformidade com seus escoamentos característicos e classificações pode ser encontrado na Fig. 6, logo abaixo.
Figura 6 – Semelhança entre números de Mach () e de Froude ().
Fonte: https://www.slideserve.com/malana/chapter-13-open-channel-flow
4. CONSIDERAÇÕES ENERGÉTICAS 
Agora, para realizar considerações acerca do escoamento em canal aberto através da aplicação da conservação de energia, deve-se levar em consideração um segmento representativo desse escoamento, representado na Fig. 7. Nele, é notório destacar que é a inclinação do fundo do canal e é constante dada por: . As velocidades e as profundidades do escoamento são dadas, respectivamente, por , , e . Quanto ao referencial de coordenadas, os valores dados em e em são considerados, respectivamente, como a distância ao longo do canal e a profundidade normal ao fundo do canal.
Figura 7 – Canal aberto típico.
Fonte: https://www.slideserve.com/malana/chapter-13-open-channel-flow
	Dessa forma, ao considerar que o perfil de velocidade é uniforme em toda seção transversal, a equação de energia é dada por:
Onde já se conhece que é a perda de carga devido aos efeitos viscosos entre as seções definidas. Sabendo que a distribuição de pressão é hidrostática, pode-se escrevê-la em função da inclinação da linha de energia, ou de atrito, . Assim, obtém-se
Nota-se que, se a perda de carga for numa, a linha de energia é horizontal e a energia mecânica total do escoamento será conservada, distribuindo-se entre as energias potencial e cinética, e o termo destacado em vermelho é nulo.
4.1 Energia específica
A energia específica, , é dada por:
Tendo em vista a perda de carga nula, aplica-se a equação de energia considerando um canal com seção transversal retangular, a energia específica pode ser escrita, em função da vazão em volume por unidade de largura do canal da seguinte forma:
Para uma melhor compreensão acerca da expressão obtida anteriormente, tem-se a construção das curvas apresentadas na Fig. 8. Elas são obtidas quando se estabelece um valor de q constante ao longo do canal, mas a sua profundidade pode variar. Para um conjunto de q e , a expressão se torna uma equação cúbica logo, para cada valor associado a vazão e energia específica, existirá 3 raízes para a equação, sendo 2 positivas e 1 negativa – esta não tem significado físico e pode ser desconsiderada.
Figura 8 – Diagrama de energia específica.
Fonte: https://www.slideserve.com/malana/chapter-13-open-channel-flow
	Além disso, a partir do diagrama, observa-se que o ponto associado a é o da condição crítica () e ele divide as curvas nas partes superior e inferior, sendo a superior representando condições relativas aos escoamentos subcríticos e a inferior correspondendo às condições do escoamento supercrítico.
4.2 Variação da profundidade do escoamento
Utilizando algumas considerações passadas, como a do conceito de energia específica e a condição de escoamento crítico (), pode-se determinar a forma como varia a profundidade do escoamento ao longo do canal. Além dessa, será considerado apenas escoamentos com variação gradual porque, neste caso, pode-se admitir que o escoamento é unidirecional.
Partindo da equação da carga total para duas seções transversais definidas, enfatizando a adição do termo relacionado a perda de carga entre as seções, consegue-se escrever a carga total em termos da inclinação da linha de energia para um escoamento de seção transversal constante e, ao combiná-la com a equação de energia,obter a seguinte expressão:
É notório perceber que a variação da profundidade depende das inclinações do fundo do canal e da linha de energia, bem como do número de Froude. Vale ressaltar que essa equação é válida somente para escoamentos cujos canais possuam seção transversal constante e que o número de Froude seja interpretado corretamente.
5. ESCOAMENTO COM PROFUNDIDADE UNIFORME EM CANAIS 
Enquanto alguns canais são projetados para possuírem uniformidade, outros dificilmente possuem tal característica naturalmente. De toda forma, há como realizar ajuste em de forma que ele seja igual a , garantindo também que o escoamento possua profundidade uniforme (). Por outro lado, levando em conta as considerações energéticas, tal característica de escoamento infere equilíbrio entre a variação da energia potencial do escoamento e aos efeitos viscosos associados às tensões de cisalhamento do fluido.
5.1 Aproximação de Escoamento Uniforme 
Primeiramente, deve-se entender que, em situações reais, é impossível de se obter uma distribuição de velocidade uniforme uma vez que existe aderência entre o fluido e as superfícies sólidas. Contudo, é possível obter resultados razoáveis admitindo que as distribuições de velocidade e tensão de cisalhamento são uniformes em escoamento em canais abertos com seção transversal constante, admitindo que a interação entre o fluido e o meio atmosférico é desprezível e não será contabilizada no cálculo do perímetro molhado .
5.2 Equações de Chezy e Manning 
Essa são as equações utilizadas para determinar a vazão em escoamentos em canais abertos e, para seus coeficientes, existem métodos empíricos ou semiempíricos para estipulá-los. Para se chegar a essas equações, deve-se partir de um volume de controle representativo do tipo de escoamento em estudo, visualizado na Fig. 9. 
Figura 9 – Volume de controle para escoamento uniforme em canal aberto.
Fonte: http://www.taiwan921.lib.ntu.edu.tw/mypdf/fluid10.pdf
Ao aplicar a 2ª lei de Newton neste, considerando escoamento uniforme e permanente, além da aceleração no escoamento ser nula e, portanto, as vazões em ambas as seções são iguais, obtém-se duas expressões equivalentes:
Sendo uma constante que é dada em função da rugosidade superficial da superfície do tubo. A relação acima também é restrita a valores de inclinação do fundo do canal bem pequenos. Para tanto, nota-se também que a dependência da tensão de cisalhamento na parede com a pressão dinâmica também é válida para escoamentos turbulentos. Dessa forma, a expressão anterior é reescrita assim:
	Onde é chamada de constante de Chezy. Por outro lado, notou-se que a dependência da velocidade com o raio hidráulico não estava precisa e, para corrigir o coeficiente do raio hidráulico, surgiu a equação de Manning, dada por:
Onde é o coeficiente de resistência de Manning, sendo função das características da superfície molhada do canal. Os valores de , válidos para escoamento em canais de água, estão dispostos na Tab. 1, logo abaixo. 
Tabela 1 – Valores para o coeficiente de resistência de Manning.
Fonte: https://www.researchgate.net/figure/Manning-roughness-coefficients_tbl1_254857740
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