Escoamento Interno e em Canal Aberto - Parte 2

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciência e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Agenda Semanal 03
Escoamento Interno e em Canal Aberto 
(Capítulo 10, Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, 
Bruce R. Munson, volume 2, 4ª edição)
Disciplina
Mecânica dos Fluidos II
Aluna
Joyce Ingrid Venceslau de Souto
Campina Grande - PB
Julho de 2021
Sumário
1. 	ESCOAMENTO COM VARIAÇÃO GRADUAL (GVF) 3
	1.1 Classificação das Formas de Superfícies Livres 	 	 4
2.	ESCOAMENTO COM VARIAÇÃO RÁPIDA 8
	2.1 Ressalto Hidráulico 9
	2.2 Vertedores com Soleira Delgada	 13
	2.3 Vertedores com Soleira Espessa	 16
	2.4 Comportas Submersas 	 17
1. ESCOAMENTO COM VARIAÇÃO GRADUAL (GVF) 
Um escoamento com variação gradual, ou gradualmente variado, (GVF, do inglês Gradually Varied Flow) é definido como um escoamento aberto cujas cujos aspectos geométricos, além da velocidade, variam progressivamente ao longo da corrente. Especificamente, para distingui-lo de um escoamento com variação rápida, ou bruscamente variado, sabe-se que enquanto neste a variação da profundidade ao longo do canal é bem menor que 1, isto é, ; naquele, essa taxa é aproximadamente 1, isto é, . 
Figura 1 – Diferença no comportamento de um escoamento gradualmente e bruscamente variado
Fonte: https://engucm.files.wordpress.com/2015/05/cap_tulo_6___epgv-apontamentos-para-amanha.pdf
Para efeitos de simplificação de análise, em escoamentos de grande complexidade, divide-se seu canal em trechos e, para cada uma região, existe uma classificação distinta com base na forma em que se varia a profundidade do escoamento em função da distância medida ao longo desse trecho do canal. Em conformidade com o atual estudo, deve-se observar que a profundidade do escoamento varia se a inclinação do fundo do canal e a linha de energia diferirem de valor, ou seja, . Isso implica que a variação de energia potencial do escoamento difere da dissipação energética causado pelos efeitos viscosos haja posto que, neste caso, a diferença entre a componente da força peso e da tensão de cisalhamento na direção do escoamento produz uma variação da quantidade de movimento do escoamento, provocando mudança de velocidade e de profundidade dele.
No caso desta última variável, seu valor é função de inúmeros parâmetros e, por conta disso, existem uma ampla faixa de configurações possíveis associadas a mudança da profundidade do escoamento. Por outro lado, seu comportamento é função dos sinais do numerador e denominador da seguinte expressão:
Daí, percebe-se que o sinal do numerador se associa ao fato da inclinação do fundo do canal ser mais íngreme, ou não, comparada à inclinação necessária para um escoamento uniforme. Já o sinal do denominador depende se o escoamento é subcrítico ou supercrítico.
Ademais, é de fundamental importância o presente estudo pois seu domínio permite a análise em inúmeras aplicações reais. Uma delas que pode ser citada é o caso em que a construção de uma barragem em um canal de pequena inclinação provoca uma sobrelevação do nível d’água que pode ser sentida a quilômetros da barragem, a montante do escoamento. Então, deve-se calcular a elevação do nível d’água para estimar a área de inundação em, principalmente, locais com população ribeirinha.
Figura 2 – Aumento da zona de inundação de barragem, causando remoção de famílias em MG.
Fonte: https://www.hojeemdia.com.br/horizontes/fam%C3%ADlias-s%C3%A3o-removidas-em-nova-lima-devido-%C3%A0-amplia%C3%A7%C3%A3o-da-mancha-de-inunda%C3%A7%C3%A3o-de-barragem-1.797093
1.1 Classificação das Formas de Superfícies Livres
Como já introduzido no tópico anterior, o escoamento com variação gradual é classificado em função do paralelo entre a inclinação do fundo do canal, , e a inclinação requerida para produzir um escoamento crítico, . Além disso, essa classificação também é incrementada pela dependência qualitativa da profundidade do escoamento em comparação com a profundidade normal que ocorreria no caso de um escoamento uniforme no canal, . 
Dito isto, segue na Fig. 3, todas as 12 configurações de superfície livre para um escoamento gradualmente variado e, a partir disso, será possível entrar em mais detalhes sobre estas, a partir da notação da inclinação referente. 
Figura 3 – Configurações possíveis das superfícies livres, para GVF.
Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2016/02/livro-fundamentos-da-mecc3a2nica-dos-fluidos-4c2aa-ed-bruce-r-munson-donald-f-young-e-theodore-h-okiishi.pdf
A partir da Figura acima, é notório que existem 5 diferentes tipos de inclinação para superfície livre, sendo eles: inclinação suave, inferindo que o escoamento seria subcrítico caso fosse uniforme; inclinação crítica, inferindo que o escoamento seria crítico caso fosse uniforme; inclinação íngreme, ou seja, o escoamento seria supercrítico se o mesmo apresentasse profundidade uniforme; inclinação horizontal; inclinação adversa. Além disso, para tratar com escoamento cuja profundidade é não-uniforme, os números de Froude podem mudar, de acordo com a comparação entre a profundidade do escoamento, , e a profundidade associada à do escoamento uniforme crítico com profundidade uniforme, .
Além da inclinação do fundo do canal, em escoamentos com profundidade variável ao longo do canal, a sua classificação também é função de condições adicionais, já que a inércia do fluido é importante e cuja influência deve ser também levada em consideração, desse modo, promovendo uma maior liberdade para o escoamento.
 
1.2 Exemplos de Escoamentos com Variação Gradual 
De uma maneira geral, a declividade de um escoamento é causada pela variação geométrica do canal, devido à obstrução, ou também pode ocorrer nos arredores do local onde existe essa declividade. Assim sendo, viu-se que o tipo de escoamento com variação gradual mais comum é o de curva M-1, cujas subdivisões e principais características de ocorrência estão sumarizado na Fig. 5. Já a curva M-2 é obtida quando um escoamento subcrítico acelera quando se aproxima do fim do canal devido à redução da resistência a jusante pela condição de descarga mostrada na Fig. 5. Ademais, a curva M-3 ocorre quando um escoamento supercrítico passa através de um ressalto hidráulico, e cuja inclinação não é suficiente para manter as condições supercríticas do escoamento, tornando-o subcrítico a jusante da comporta.
Para além das informações contidas na Figura 5, deve-se saber que essa curva ocorre quando um escoamento subcrítico é desacelerado por obstrução no canal e, além disso, é primordial calcular o aumento do nível do escoamento em relação a um caso hipotético para o qual não existisse essa obstrução.
Figura 5 – Configurações típicas para GVF com inclinação suave ou fraca.
Fonte:https://www.grancursospresencial.com.br/novo/upload/HIDROLOGIA_FUNDAMENTOS_DO_ESCOAMENTO_23_01_2011_20110126100010.pdf
Os perfis de escoamento crítico, mostrados na Figura 6, localizada logo abaixo, podem ser, não facilmente, encontrados na vizinhança de uma comporta deslizante. A dificuldade de sua ocorrência se deve ao fato de que suas condições () não são comuns. 
Figura 6 – Configurações típicas para GVF com inclinação crítica.
Fonte:https://www.grancursospresencial.com.br/novo/upload/HIDROLOGIA_FUNDAMENTOS_DO_ESCOAMENTO_23_01_2011_20110126100010.pdf
Já os escoamentos íngremes, indicados na Fig. 7 abaixo, são produzidos similarmente aos com inclinação suave. Porém, no presente caso, é notório que as curvaturas das superfícies livres apresentadas são opostas às mostradas naquelecaso. No caso do perfil S-2, ele é obtido quando o canal apresenta escoamento com profundidade crítica, .
Figura 7 – Configurações típicas para GVF com inclinação íngreme ou forte.
Fonte:https://www.grancursospresencial.com.br/novo/upload/HIDROLOGIA_FUNDAMENTOS_DO_ESCOAMENTO_23_01_2011_20110126100010.pdf
No caso especial dos escoamentos horizontais ou adversos é impossível manter um escoamento uniforme e, somado a isso, a inércia do fluido é importante pois, devido a inclinação do escoamento, a componente da força peso na direção do canal poderá ser ou nula (em escoamentos horizontais) ou no sentido oposto a ele (em escoamentos adversos). Para mais detalhes, basta visualizar as Figs. 8 e 9.
Figura 8 – Configurações típicas para GVF com inclinação horizontal ou nula.
Fonte:https://www.grancursospresencial.com.br/novo/upload/HIDROLOGIA_FUNDAMENTOS_DO_ESCOAMENTO_23_01_2011_20110126100010.pdf
Figura 9 – Configurações típicas para GVF com inclinação adversa.
Fonte: http://www.ce.memphis.edu/3180/PDFsF12/Gradually%20Varied%20Flow.pdf [modificado]
Tendo em vista todas as configurações de superfície livre abordadas neste tópico, observa-se que o seu formato é ajustado de forma que a aplicação das equações físicas básicas seja satisfeita. Para além disso, a forma da superfície, que é um parâmetro importante no projeto de medidores de vazão em canais abertos, pode ser calculada pela solução de uma equação diferencial obtida pela combinação entre a equação de Manning com a primeira lei da termodinâmica.
2. ESCOAMENTO COM VARIAÇÃO RÁPIDA (RVF)
Um escoamento com variação rápida, ou bruscamente variado, (RVF, do inglês Rapidly-Varied Flow) se define como um escoamento aberto cuja profundidade sobre variação brusca ao longo do canal, , modificando de forma rápida e localizada as características do escoamento, ou seja, ocorre em:
· Curvatura do fluxo pronunciada, não sendo possível admitir a distribuição hidrostática das pressões; 
· Distribuição de velocidades; 
· Ocorrência em pequena extensão; 
· Ocorrência de turbulência, vórtices, correntes secundárias, zonas de estagnação, etc.
Ocorre onde há uma perturbação local no equilíbrio entre gravidade e atrito (por exemplo, em um açude, venturi, queda livre, mudança repentina na inclinação) ou uma incompatibilidade entre as profundidades impostas pelos controles a montante e a jusante (ressalto hidráulico). Além disso, frequentemente, há uma transição de escoamento entre o fluxo raso e rápido (supercrítico; ) e um profundo e lento (subcrítico; ), como é o caso do ressalto hidráulico que ocorre em canais cuja área é constante. Além disso, outros causadores desse tipo de escoamento é mudança geométrica brusca do canal.
Figura 10 – Ressalto hidráulico na embocadura de uma lagoa.
Fonte: https://www.researchgate.net/figure/Figura-5-Exemplo-de-ressalto-hidraulico-na-embocadura-da-Lagoa-de-Sto-Andre-Notar-a_fig5_262388270
A suposição de que o escoamento varia rapidamente em uma distância curta significa que os efeitos de atrito no fundo do canal não são importantes. Assim, para uma transição abrupta (ressalto hidráulico), pode haver perda de carga significativa, mas está associada a altos níveis de turbulência, não ao atrito do leito. Ademais, para fins de análise, conseguiu-se aproximar resultados considerando um modelo unidimensional simples cujos coeficientes foram obtidos experimentalmente.
Somado a isso, muitos dispositivos medidores de vazão em canais abertos são projetados a partir do comportamento de escoamento com variação rápida, como vertedoros com soleira delgada ou espessa, e comportas deslizantes.
Figura 11 – Uso de vertedoro com soleira delgada como medidor de vazão.
Fonte: http://conhecendofluidos.blogspot.com/2011/05/medidores-de-vazao.html
2.1 Ressalto Hidráulico
A partir de um escoamento com variação rápida com seção transversal constante, sabe-se que a mudança repentina de profundidade pode ser aproximada como uma descontinuidade tipo degrau da elevação da superfície livre (). A essa descontinuidade, dá-se o nome de ressalto hidráulico, cujo esquema básico pode ser visualizado na Fig. 12, e ele é o resultado do conflito entre as influências dos escoamentos a montante e a jusante do ressalto no canal, como já previamente introduzido no tópico anterior.
Figura 12 – Esquema básico de um ressalto hidráulico.
Fonte: https://engenhariacivilfsp.files.wordpress.com/2015/11/aula-09_ressalto-1.pdf
O ressalto hidráulico mais simples ocorre em um canal horizontal de seção transversal constante e retangular. Algumas das considerações feitas neste caso, e podem ser visualizadas na Fig. 12, são que os escoamentos nas seções 1 e 2 são unidimensionais e o regime do escoamento é permanente. Além disso, como já foi descrito, considera-se a tensão de cisalhamento na parede do canal, delimitado pelas seções 1 e 2, desprezível. Ademais, considerando as forças de pressão hidrostáticas nas seções, a aplicação da equação da conservação da quantidade de movimento fica restrita a
Já a aplicação da equação da continuidade ao volume de controle fornece
Além disso, a aplicação da equação de energia fornece
Onde é a perda de carga devida à dissipação viscosa intensa, uma vez que as perdas devido ao atrito, como já mencionado, são nulas. A partir da análise deste conjunto de equações, deve-se observar que ele pode apresentar mais de uma solução porque não é linear. Combinando as três equações anteriores, obtém-se
Essa equação que relaciona as profundidades em função do número de Froude do escoamento a montante do ressalto pode ser expressa graficamente, como consta na Fig. 13, situada logo abaixo.
Figura 13 – Razão entre as profundidades do escoamento e perda de carga adimensional em função do número de Froude a montante de um ressalto hidráulico.
Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2016/02/livro-fundamentos-da-mecc3a2nica-dos-fluidos-4c2aa-ed-bruce-r-munson-donald-f-young-e-theodore-h-okiishi.pdf
A porção tracejada indicada que o ressalto hidráulico não ocorre para , visto que, abaixo desse valor, o escoamento é subcrítico e é impossível um ressalto acontecer com essa característica de escoamento a montante. Logo, deve-se restringir a equação que rege a curva da Fig. 13 para , isto é, para escoamento nos quais se tem, no mínimo, um escoamento supercrítico, . Isso é validade a partir da análise da equação de energia mostrada anteriormente, a partir da qual, ao escrevê-la em função da razão entre a perda de carga e da profundidade a montante do ressalto, observa-se que a perda de carga é negativa caso e isso contraria a segunda lei da termodinâmica.
Contudo, um escoamento supercrítico não é garantia de que irá acontecer um ressalto hidráulico pois o conjunto de soluções mostrado anteriormente pode admitir também a solução trivial (). A estrutura real de um ressalto hidráulico depende do número de Froude a montante do ressalto, porém esta relação é complexa. Logo, uma análise mais aprofundada mostra que existem 5 tipos básicos de ressalto hidráulico, cujas principais características e esboços estão presentes na Fig. 14, apresentada abaixo.
Figura 14 – Classificação dos Ressaltos Hidráulicos.
Fonte: https://documen.site/download/escoamento-bruscamente-variado_pdf
No caso geral, o ressalto é parecido com uma onda estacionária e, para número de Froude pequeno (sendo maior que 1), não apresenta variação abrupta de profundidade. Em outras condições, o ressalto é transitório e apresenta oscilações periódicas, propagadas a jusante do escoamento. O comprimento de um ressalto hidráulico, apesar de ser importante, não é definido teoricamente, mas existem fórmulas empíricas que possibilitam sua estimativa, como é o caso da proposta pelo USBR (U.S. Bureau of Reclamation), dada por
Para entender melhor a relação entre o comprimento do ressalto e a profundidade do escoamento para os tipos de ressalto, basta visualizar a Figura 15. Ademais, no caso de ressaltos cuja seção é não retangular (i.e, circular, trapezoidal, etc), o seu comportamento é similar ao analisadoneste tópico, cuja referência foi seção retangular, porém a relação entre as profundidades do escoamento e a equação da perda de carga difere. 
Figura 15 – Comprimento e Tipos de Ressaltos Hidráulicos.
Fonte: https://www.passeidireto.com/arquivo/68635315/escoamento-bruscamente-variado
2.2 Vertedores com Soleira Delgada
Define-se vertedores como obstruções instaladas no canal sobre o qual ocorre o escoamento de um fluido. Como já mencionado anteriormente, a partir de um vertedor, é possível calcular a vazão em um canal a partir de uma medida de profundidade. No caso do vertedor com soleira delgada, sua característica principal é a obstrução ser representada por uma placa fina vertical com uma ponta afilada sobre a qual o fluido é escoado. Além disso, os vertedores com soleira delgada, geralmente, são classificados de acordo com a forma da área de escoamento acima dele, sendo os tipos mais comuns os retangulares, trapezoidais e os triangulares.
Figura 16 – Tipos comuns de vertedores com soleira delgada.
Fonte: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/5003634/mod_resource/content/1/Cap12b-2019.pdf
	Apesar da descrição analítica desse tipo de escoamento ser demasiadamente complexo, nota-se que os principais parâmetros são a geometria (para os triangulares, o ângulo ; para os retangulares, a relação de aspecto, ), altura () e carga () do vertedor, a profundidade do escoamento a montante do vertedor. Diferente do caso geral no qual o escoamento pode ser considerado unidimensional, isso não é valido para o caso dos vertedoros de soleira delgada. Agora, tratando das considerações simplificadoras, admite-se que o perfil de velocidade do escoamento a montante do vertedor é uniforme e a pressão no jorro é igual a atmosférica pela superfície livre. Ademais, considera-se que o fluido escoa horizontalmente à placa do vertedor e o perfil de velocidade neste local também é uniforme.
 Somado a isso, nesse escoamento, os efeitos de maior influência são a gravidade e a inércia, além dos efeitos viscosos e os devidos à tensão superficial que, apesar de terem influência secundária, ainda são importantes e seus valores quantitativos são introduzidos na modelagem matemática através de coeficientes experimentais. Pelas considerações dadas, é possível aplicar a equação de Bernoulli ao longo da linha arbitrária A-B, mostrada na Fig. 17 abaixo, e se obtém o seguinte:
Figura 17 – Estrutura do escoamento sobre um vertedor.
Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2016/02/livro-fundamentos-da-mecc3a2nica-dos-fluidos-4c2aa-ed-bruce-r-munson-donald-f-young-e-theodore-h-okiishi.pdf
 Sabendo que e a carga total de qualquer partícula posicionada ao longo da seção transversal 1 é constante, a posição relativa à partícula A não é relevante e a velocidade do fluido sobre o vertedoro é dada por:
 Por outro lado, a vazão pode ser calculada pela integral de linha do produto da velocidade do fluido sobre o vertedouro e uma área diferencial, ao longo da altura do escoamento entre a extremidade superior do vertedoro e a superfície livre. Admite-se também que , e que a velocidade a montante é muito pequena. Além de adicionar um coeficiente de correção para aproximar seus resultados dos reais, para o caso de um vertedoro de seção retangular, tem-se:
De forma geral, o coeficiente de correção do vertedor retangular, , é dado em função dos números de Reynolds e de Weber, além da geometria. Contudo, na maioria das aplicações, os efeitos inerciais e viscosos são desprezíveis, retando o seguinte:
De forma similar, o vertedoro triangular é utilizado, principalmente, em aplicações com vazão que varrem uma ampla faixa de valores, visto que sua sensibilidade é superior aos vertedoros de outras seções tendo em vista a dependência da largura da seção transversal com a altura . Isso infere que, em vazões baixas, a área diminui com o decréscimo da profundidade, possibilitando desenvolvimento de carga considerável. A partir de desenvolvimento matemático similar, obtém-se a equação resultante para a vazão de escoamentos com vertedoro triangular:
Os valores típicos para o coeficiente do vertedoro triangular, , estão no intervalo entre 0,58 e 0,62, além de que sua relação com a carga no vertedoro é dada pelo seguinte gráfico:
 Na qual o expoente varia com o número de Reynolds . As limitações quanto à aplicação da lei de potência são a falha ao prever a tensão de cisalhamento próxima à parede e a falha ao não fornecer inclinação zero próximo à linha de centro.
Figura 18 – Coeficientes de correção para vertedores triangulares.
Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2016/02/livro-fundamentos-da-mecc3a2nica-dos-fluidos-4c2aa-ed-bruce-r-munson-donald-f-young-e-theodore-h-okiishi.pdf
2.3 Vertedores com Soleira Espessa
No caso do vertedor de soleira espessa, apresenta-se uma estrutura com plano horizontal sobre o qual o fluido escoa com distribuição de pressão estática. Primeiramente, sabe-se que esses vertedores estão limitados à faixa . Além disso, o mecanismo responsável pelo funcionamento desse tipo de vertedor está relacionado à possibilidade de obter escoamento crítico e uniforme na região inicial do bloco. Ademais, resultados experimentais demonstraram que o escoamento sobre o bloco acelera e atinge as condições críticas, e , e que o escoamento também não acelera até as condições supercríticas, . 
Figura 19 – Geometria com vertedor de soleira espessa.
Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2016/02/livro-fundamentos-da-mecc3a2nica-dos-fluidos-4c2aa-ed-bruce-r-munson-donald-f-young-e-theodore-h-okiishi.pdf
Considerando a carga de velocidade a montante desprezível, a equação de Bernoulli aplicada entre os pontos 1 e 2, conforme a Fig. 19, resulta em: 
Já a vazão em volume, considerando novamente um coeficiente de correção empírico, é expressa por
Onde os valores típicos do coeficiente de correção do vertedor com soleira espessa podem ser estimados com a equação:
2.4 Comportas Submersas 
De forma geral, as comportas servem para controle de vazão em canais abertos, como segue a Fig. 20, sendo seus principais tipos as verticais, as radiais e as de tambor. O escoamento sob a comporta é do tipo descarga livre quando o fluido assume características supercríticas e com a superfície livre, como um jato. 
Figura 20 – Diagrama de porta radial mostrando variáveis de calibração.
Fonte: https://www.usbr.gov/tsc/techreferences/mands/wmm/chap09_13.html
Para as hipóteses simplificadoras, tem-se que a vazão na comporta é igual ao produto entre a aberta da comporta e a velocidade de referência, , como demonstrado na Fig. 21. A partir disso obtém-se 
Onde é a descarga por unidade de largura da comporta. Além disso, o coeficiente de descarga, , é função do coeficiente de contração e da relação entre as profundidades. Os valores típicos para o coeficiente de descarga, que se situa entre 0,55 a 0,60, estão postos na Fig. 22, logo abaixo.
Figura 22 – Escoamento submerso em uma comporta deslizante.
Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2016/02/livro-fundamentos-da-mecc3a2nica-dos-fluidos-4c2aa-ed-bruce-r-munson-donald-f-young-e-theodore-h-okiishi.pdf
É notório observar que um escoamento numa dada comporta de condição a montante conhecida, se , infere-se que não existe carga para promover escoamento, de modo que o coeficiente de descarga é nulo e o fluido está parado. Para essa condição conhecida, o valor de é inversamente proporcional a , até que o valor máximo do coeficiente seja alcançado e este ponto corresponde á condição de descarga livre.
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