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Aula 08 - Fis. III C
� Teoria cinética dos gases
A. Movimento browniano
Consiste no movimento aleatório adquirido por
part́ıculas mesoscópicas (1 µm) por estarem se
chocando aleatoriamente com part́ıculas muito
menores (1 nm).
� Brown achava que o polén possuia vida pois obser-
vou seu movimento aleatório em um meio aquoso.
Video: movimento browniano em esferas de polie-
stireno.
www.youtube.com/watch?v=PzssJDZn9xI
� Einstein explicou que o movimento nada mais é do
que a interação com muitas moléculas de água.
Exemplo de difusão por movimento browniano:
Caminhante aleatório em uma dimensão.
� Caminhante em 1D. Eixo x com espaçamentos l
partindo da origem.
< x1 >= 0 ,
< x21 >= l
2 .
< x2 >=< x1 ± l >= 0 ,
< x22 >=< (x1±l)2 >=< x21+l2±2x1l >=< x21 > +l2 = 2l2 .
< xN >= 0 ,
< x2N >= Nl
2 .
Logo, a distância média quadrática,
xNrms =
√
< x2N > = l
√
N .
Para 100 passos temos que o caminhante está, na
média, próximo de 10 passos de distância da origem.
A teoria do movimento browniano também é aplicada
no mercado de ações, devido as constantes flutuações a
que estão submetidas.
O entendimento do movimento browniano reforçou
a ideia de que gases, ĺıquidos e sólidos são na ver-
dade formados por entes muitos menores, átomos e
moléculas.
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B. Velocidade média quadrática
Considere n mols de um gás ideal em uma caixa de
volume V . Todo o sistema é mantido a temperatura
T .
� “Caixa” quadrada de tamanho L com uma
molécula i viajando a velocidade vx pronta para
colidir com a parede sombreada.
O momento linear é a quantidade caracterizada pela
multiplicação da massa pela velocidade de um corpo.
A variação de momento linear da molécula i após a
colisão com a parede sombreada é ∆p = pf − pi =
−mvx−mvx = −2mvx, onde m é a massa da molécula
e vx é sua velocidade.
Ela simplesmente inverte o sinal da velocidade pois a
caixa é extremamente mais pesada que a molécula.
Pela conservação de momento, a parede recebe uma
variação de momento igual mas de sinal contrário.
Após um tempo ∆t a parede recebe um novo choque da
molécula. Esse tempo pode ser obtido pelo movimento
da molécula.
Peŕıodo entre colisões: ∆t = 2L
vx
.
Lembramos que estamos lidando com somente uma das
paredes.
A força sentida pela parede pode ser obtida pela
variação de momento da mesma,
F = ∆p
∆t
= 2mvx2L
vx
F =
mv2x
L
.
A pressão é definida como sendo P = F
A
, enquanto
que A = L2. Logo, P =
mv2
x
L3
.
Mas todas as moléculas presentes na caixa exercem
essa pressão.
Devemos somar todas as contribuições:
P =
m1v
2
x1
L3
+
m2v
2
x2
L3
+
m3v
2
x3
L3
+ ...+
mNv
2
xN
L3
.
Considerando uma substância pura, todas as moléculas
tem a mesma massa. Nesse caso,
P =
m
L3
(
v2x1 + v
2
x2
+ v2x3 + ...+ v
2
xN
)
.
Multiplicando por N em cima e embaixo, obtemos:
P =
mN
L3
(
v2x1 + v
2
x2
+ v2x3 + ...+ v
2
xN
N
)
.
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Identificamos o valor médio da velocidade das
part́ıculas ao quadrado, < v2x >.
P =
mN
L3
< v2x > .
Sendo que a velocidade é uma grandeza vetorial,
v2 = v2x + v
2
y + v
2
z ,
ao aplicar a média, vemos que
< v2 >=< v2x > + < v
2
y > + < v
2
z > .
Como o sistema é simétrico, não temos uma preferência
de dinâmica para as moléculas e os quadrado das com-
ponentes da velocidade se comportam de maneira seme-
lhante. Podemos então dizer que
< v2x >=< v
2
y >=< v
2
z > ,
logo,
< v2 >=< v2x > + < v
2
x > + < v
2
x >= 3 < v
2
x > .
Logo,
P =
mN
3L3
< v2 > .
Sendo n = N/NA, M = NAm e V = L
3, onde n é o
número de mols, NA é o número de Avogrado e M é
a massa molar, temos
P =
nM
3V
< v2 > .
< v2 >=
3PV
nM
.
Mas PV = nRT , pela lei dos gases ideais.
Logo:
< v2 >=
3RT
M
.
A velocidade média quadrática é definida como
vrms =
√
< v2 >.
Então:
vrms =
√
3RT
M
.
Vemos que a velocidade das part́ıculas que compõem
o gás tem ligação direta com a temperatura do
mesmo.
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Tabela para gases a temperatura de 300 K.
Gás vrms (m/s)
H2 1920
O2 483
CO2 412
C. Energia cinética média
A energia cinética média de uma molécula é dada por
Kmed =
m < v2 >
2
.
Vamos supor que a energia cinética média da molécula é
igual a energia cinética média das moléculas do gás. Com
isso:
Kmed =
mv2rms
2
=
3mRT
2M
.
A massa molar dividida pela massa da molécula é o
número de Avogrado.
M/m = NA.
Com isso:
Kmed =
3RT
2NA
.
Mas nR = NkB logo R/NA = kB .
Então:
Kmed =
3kBT
2
.
A energia de translação média de cada molécula ou
part́ıcula do gás depende diretamente da temperatura
do gás.
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I. PROBLEMA 1
Se as moléculas contidas em 1 g de água fossem
distribúıdas uniformemente sobre a superf́ıcie da terra,
quantas moléculas haveria em 1 cm2 da superf́ıcie do
planeta?
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II. PROBLEMA 2
Qual a velocidade média quadrática das moléculas de
hidrogênio a temperatura de 2, 7 K?
MH2 = 2, 02× 10−3
kg
mol
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III. PROBLEMA 3
A temperatura da atmosfera solar é 2×106 K. Calcule
a velocidade média quadrática dos elétrons livres na
superf́ıcie do sol, supondo que se portam como um gás
ideal. A massa do elétron é 9, 11× 10−31 kg.
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IV. PROBLEMA 4
Um feixe de moléculas de hidrogênio faz 55◦ com a
normal de um parede. As moléculas tem uma velocidade
média de 1 km/s e uma massa de 3, 3× 10−24 g. O feixe
atinge a parede em uma área de 2 cm2 a uma taxa de
1023 moléculas por segundo. Qual é a pressão do feixe
sobre a parede?