APOSTILA INTEGRAL DE LINHA, TEOREMAS DE GREEN, STOKES E DIVERGENCIA DE GAUSS

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GRUPO SER EDUCACIONAL 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DA AMAZÔNIA- UNAMA- SANTARÉM 
ENGENHARIA CIVIL E ELÉTRICA 
CÁLCULO VETORIAL 
 
 
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INTEGRAL DE LINHA 
ALUNO: 
MATRÍCULA: 
PROFESSORA: Ednelma Branco Madeira 
 
1. INTEGRAL DE LINHA 
1.1. Situação 01 
∫ 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝑪
𝒅𝒔 = ∫ 𝒇[𝒓(𝒕)]|𝒓′(𝒕)|𝒅𝒕
𝒃
𝒂
 
|𝒓′(𝒕)| = √(𝑥′)2 + (𝑦′)² 
 Exemplo 01: 
Calcule ∫ (𝒙𝒚 + 𝒚 + 𝒛)𝒅𝒔
𝒄
 ao longo da curva �⃗� (𝒕) = 𝟐𝒕𝒊 + 𝒕𝒋 + (𝟐 − 𝟐𝒕)�⃗⃗� , 
com 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏. 
 
 
 
 
 
 
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 Exemplo 02: 
Calcule a integral ∫ 𝒙𝒚²𝒅𝒔
𝒄
 onde {
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕
𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒕 𝒕 ∈ [𝟎,
𝝅
𝟐
] 
 
 
 
 
 
1.2. Situação 02 
 
∫ �⃗⃗� . 𝒅𝒓⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ∫ �⃗⃗� [𝒓(𝒕)]⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . �⃗� ′(𝒕)
𝒃
𝒂
𝒅𝒕
𝒄
 
 
 
 
 
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 Exemplo 03: 
Calcule ∫ �⃗⃗� . 𝒅𝒓⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝒄
 onde �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛�⃗⃗� , �⃗� (𝒕) = (𝒄𝒐𝒔 𝒕, 𝒔𝒊𝒏 𝒕 , 𝒕) 
e 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
 
 
 Exemplo 04: 
Calcule ∫ �⃗⃗� . 𝒅𝒓⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝒄
 onde �⃗⃗� (𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐𝒊 − 𝒙𝒚𝒋 , �⃗� (𝒕) = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏 𝒕 𝒋 e 
𝟎 ≤ 𝒕 ≤
𝝅
𝟐
 
 
 
 
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2. TEOREMA DE GREEN 
∬(
𝜕𝐹2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐹1
𝜕𝑦
)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∮𝐹1𝑑𝑥 + 𝐹2𝑑𝑦
𝑅
 
 Exemplo: 
Seja 𝐹 (𝑥; 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦)𝑖 + (3𝑦 + 4𝑥)𝑗 . Calcular as duas integrais do 
enunciado do teorema de Green, para D a região triangular de vértices (0;0), 
(1;0) e (0;1). 
 
 
 
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MÉTODO 01 
 
PARTE 01 
 
 
PARTE 02 
 
 
 
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PARTE 03 
 
 
 
 
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PARTE 04 
 
MÉTODO 02 
 
 
3. TEOREMA DE DIVERGÊNCIA DE GAUSS 
∭𝒅𝒊𝒗�⃗⃗� 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 = ∬ �⃗⃗� : �⃗⃗� 𝒅𝑨
𝝏𝒕
𝑻
 
 
 
 
 
 
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 Exemplo: 
Verifique o teorema de Gauss calculando a integral de superfície e a 
integral tripla para o campo: 
𝐹 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑧2�⃗� 
E 𝑆 a superfície da seguinte região: 
𝑤 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧); 𝑥2 + 𝑦² ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1} 
 
 
 
 
 
 
 
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4. TEOREMA DE STOKES 
∬ �⃗� 𝑥 𝐹 . �⃗� 𝑑𝑠
𝑆
= ∮𝐹 ⃗⃗ ⃗. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
 
 Exemplo: 
Verifique o teorema de Stokes, calculando as integrais para 
𝐹 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = −𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧�⃗� e S o paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦² com 𝑧 ≥ 0 e �⃗� a 
normal unitária exterior a S. 
 
METODO 01 
 
 
 
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METODO 02 
 
 
 
 
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