Cálculo Diferencial e Integral II

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
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Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
Aula 6 (Capítulo 2) 
Exemplo 5 
Calcular a integral: 
a) ∫ 𝑠𝑒𝑐(5𝑥 − 𝜋) 𝑑𝑥 
Aqui devemos começar aplicando o método da substituição e depois aplicar a defini-
ção para secante. 
𝑢 = 5𝑥 − 𝜋 
𝑢′ = 5 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 5 
∫ 𝑠𝑒𝑐(5𝑥 − 𝜋) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑢
𝑑𝑢
5
=
1
5
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐(5𝑥 − 𝜋) + 𝑡𝑎𝑛𝑔(5𝑥 − 𝜋)| + 𝑐 
b) ∫
𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 
Aqui devemos começar aplicando o método da substituição e depois aplicar a defini-
ção para cossecante. 
𝑢 = 2𝜃 
𝑢′ = 2 
𝑑𝑢
𝑑𝜃
= 2 
∫
𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑢
𝑑𝑢
2
=
1
2
𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑛𝑔2𝜃 + 𝑐| 
 
 
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2.2 Integração de algumas funções Trigonométricas 
As integrais: 
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑢𝑑𝑢 2.18 
e 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑢𝑑𝑢 2.19 
Onde, 𝑛 é um número inteiro positivo. 
As soluções destas integrais podem ser mais facilmente conseguidas com o auxílio 
das identidades trigonométricas 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 2.20 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
 2.21 
𝑐𝑜𝑠²𝑥 =
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
 2.22 
 
Exemplo 6 
Calcular a integral: 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 
Para esse tipo de função devemos preparar o integrando para a substituição: 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠²𝑥)2𝑑𝑥 
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥(1 − 𝑠𝑒𝑛²𝑥)2𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥(1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥)2𝑑𝑥 
 
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= ∫[𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥] 𝑑𝑥 
Podemos agora integrar cada termo e quando necessário aplicar a substituição. 
= ∫[𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥] 𝑑𝑥 
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑢′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑢2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠𝑥
+ ∫ 𝑢4𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑠𝑒𝑥 −
2
3
𝑠𝑒𝑛3𝑥 +
1
5
𝑠𝑒𝑛5𝑥 + 𝑐 
 
Exemplo 7 
Calcular a integral: 
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛²𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫ (
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
)
2
𝑑𝑥 
=
1
4
∫(1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²2𝑥) 𝑑𝑥 =
1
4
[∫ 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 + ∫
1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥
2
𝑑𝑥] 
 
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Aqui, vamos aplicar a substituição na função cosseno: 
𝑢 = 2𝑥 𝑢 = 4𝑥 
𝑢′ = 2 𝑢′ = 4 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4 
=
1
4
[∫ 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑑𝑢
2
+
1
2
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑑𝑢
4
] 
=
1
4
[𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
1
2
𝑥 +
1
8
𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐] =
1
4
𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
1
8
𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑐 
=
3
8
𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑐 
 
Exemplo 8 
Calcular a integral: 
∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠²𝑥𝑑𝑥 
Neste exemplo devemos aplicar a substituição nas duas funções; 
∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛2𝑥)2𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥)2 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑐𝑜𝑠²𝑥𝑑𝑥 
= ∫(1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 
= ∫(𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 
 
 
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Aplicando o método de substituição de variável. 
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑢′ = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛𝑥 
= ∫ 𝑢2𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥
− 2 ∫ 𝑢4𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥
+ ∫ 𝑢6𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥
 
= −
1
3
𝑐𝑜𝑠3𝑥 +
2
5
𝑐𝑜𝑠5𝑥 −
1
7
𝑐𝑜𝑠7𝑥 + 𝑐 
 As integrais: 
∫ 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑛𝑢𝑑𝑢 2.23 
e 
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑛𝑢𝑑𝑢 2.24 
Onde, 𝑛 é um número inteiro positivo 
Para alterar o integrando usaremos as identidades 
𝑡𝑎𝑛𝑔2𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2𝑢 − 1 2.25 
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔2𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑢 − 1 2.26 
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑛𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑛−2𝑢 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝑔2𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑛−2𝑢(𝑠𝑒𝑐2𝑢 − 1) 2.27 
 
 
 
 
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Referencial Bibliográfico: 
1. FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A: Funções, Limi-
tes, Derivação e Integração. 6ª ed. São Paulo: Makron Books, 2006. 
 
2. BOULOS, Paulo (Compilador). Cálculo diferencial e integral 1. São Paulo: Ma-
kron Books, 1999. 381p. 
 
3. LEITHOLD, LOUIS. O Cálculo com Geometria Analítica. V.1. São Paulo: Har-
bra, 2000. 
 
4. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. V.1. São Paulo: Ma-
kron Books, 1994. 2º Edição revisada.