ÁLGEBRA LINEAR APLICADA - BASE E DIMENSÃO

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� BASE E DIMENSÃO
Seja V um espaço vetorial sobre R. Um conjunto � = fu1; : : : ;ung de vetores em V é uma
base de V se as seguintes condições são satisfeitas:
1. � = fu1; : : : ;ung é LI.
2. V = [�] = [u1; : : : ;un]:
Exemplo 0.1 Seja V = R2 e � = f(1;0) ; (1; 1)g: Veri�que se � é uma de V .
Solução: Note que
x (1;0) + y (1; 1) = (0; 0)) (x+ y;y) = (0; 0)) x = y = 0
Assim, � é LI:
Agora seja, (a; b) 2 R2, tal que
(a; b) = x (1;0) + y (1; 1)) (x+ y;y) = (a; b)
De onde temos:(
x+ y = a
y = b
!
(
x = a� b
y = b
Portanto V = R2 = [�] = [(1;0) ; (1; 1)]
Exemplo 0.2 Seja V = R3 e
� = f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g:
Já vimos que V = [�], além disso é fácil ver que � é LI. Assim, � é uma base �nita de V , a qual
chamaremos de base canônica de V . Denotaremos os vetores de �, por e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0)
e e3 = (0; 0; 1) e os chamaremos de vetores canônicos do R3:
De�nição 0.3 Seja V um espaço vetorial sobre R. Dizemos que V é de dimensão �nita se ele
possui uma base �nita, por exemplo, V = R3 é de dimensão �nita. Caso contrário, V é de
dimensão in�nita. A dimensão de V é dada pelo número de vetores em qualquer base de V e será
denotada por dimV:
Exemplo 0.4 Note que dimR3 = 3 e dimR2 = 2
Observação 0.5
ÁLGEBRA LINEAR 
APLICADA
iv
1. Sendo V = Rn, o conjunto � = f(1; 0; � � � 0) ; (0; 1; � � � ; 0) ; � � � ; (0; � � � ; 1)g é chamado de base
canônica do Rn, fazendo e1 = (1; 0; � � � 0) ; e2 = (0; 1; � � � ; 0) ; � � � ; en = (0; � � � ; 1), teremos
� = fe1; e2; � � � ; eng
2. Da observação anterior note que dimRn = n.
3. Se V é um espaço vetorial real, tal que dimV = n, então todo conjunto LI formado por n
vetores forma uma base para V:
Exemplo 0.6 Note que � = f(1;0) ; (0; 1)g é base canônica do R2
Exemplo 0.7 Note que � = f(1;0;0;0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g é base canônica do R4
Exemplo 0.8 Sendo V = Rm�n o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem m�n, temos
que dimRm�n = m:n
Exemplo 0.9 Sejam V = R2�2 e
E11 =
"
1 0
0 0
#
; E12 =
"
0 1
0 0
#
; E21 =
"
0 0
1 0
#
; E22 =
"
0 0
0 1
#
vetores em V . Como � = [E11;E12;E21;E22] é LI, temos que � é uma base para V , ou seja
dimR2�2 = 2:2 = 4.
Exemplo 0.10 Seja V = R4. Veri�que se � = f(1;1;1;1) ; (�1; 1; 0; 1) ; (0; 0; 1; 1) ; (�1;�1; 0;�1)g
forma uma base para V .
Solução: Exercício
Exemplo 0.11 Seja V = R4. Veri�que se o conjunto � = f(1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0); (0; 0; 1; 1); (1; 0; 0; 1)g
é uma base para V:
Solução: Como a dimensão de V é 4, ou seja, dimR4 = 4. Basta veri�car se o conjunto é LI,
pois 4 vetores LIs no R4 forma uma base pela observação anterior. Logo, fazendo
x(1; 1;�1; 0) + y(0; 1; 1;�1) + z(�1; 0; 1; 1) + t(1; 0; 1; 1) = (0; 0; 0; 0)
Obtemos o sistema linear 8>>><>>>:
x+ y + t = 0
x+ y = 0
�x+ y + z + t = 0
�y + z + t = 0
:
Resolva o sistema, caso o sistema seja possível e determinado com solução (0; 0; 0; 0) o conjunto
é LI, caso contrário LD e não forma uma base para V .
Façam as contas como exercício!!!
BASE ORDENADA
v
Seja V um espaço vetorial de dimensão �nita sobre R. Uma base ordenada de V é uma
sequência �nita de vetores LI que gera V e será denotada por
(u1; : : : ;un) e fu1; : : : ;ung
Se a seqüência u1; : : : ;un é uma base ordenada de V , então
fu1; : : : ;ung
é uma base de V .
Observação 0.12 É importante destacar as principais diferenças entre seqüência e conjunto de
vetores: a primeira é a ordem - no conjunto não importa a ordem dos elementos enquanto na
seqüência a ordem é importante - segunda é a identidade - no conjunto os elementos são todos
distintos enquanto na seqüência todos podem ser iguais, isto é,
ui = u; i = 1; : : : ; n:
Teorema 0.13 Sejam V um espaço vetorial de dimensão �nita sobre R e � = fu1; u2 : : : ;ung
uma base ordenada de V . Então todo vetor u 2 V pode ser escrito de modo único sob a forma:
u = x1u1 + � � �+ xnun:
Os escalares x1; : : : ; xn são chamados as coordenadas do vetor u em relação à base ordenada
� e será denotada por
[u]� =
264 x1...
xn
375 :
Note que
[u+ v]� = [u]� + [v]� e [au]� = a[u]�; 8 u;v 2 V; a 2 R:
Exemplo 0.14 Sejam V = R3 e
� = f(1; 0;�1); (1; 1; 1); (1; 0; 0)g
uma base ordenada de V . Determine [(a; b; c)]�.
Solução. Para resolver esse problema devemos encontrar x1; x2; x3 2 R tais que
(a; b; c) = x1(1; 0;�1) + x2(1; 1; 1) + x3(1; 0; 0);
isto é, resolver o sistema não-homogêneo8><>:
x1 + x2 + x3 = a
x2 = b
�x1 + x2 = c
:
vi
É fácil veri�car que x1 = b� c, x2 = b e x3 = a� 2b+ c. Portanto,
[(a; b; c)]� =
264 b� cb
a� 2b+ c
375 :
Note que [(�1; 1; 2)]� =
264 1� 21
�1� 2:1 + 2
375 =
264 �11
�1
375
Assim, (�1; 1; 2) = (�1) (1; 0;�1) + 1(1; 1; 1) + (�1) (1; 0; 0)