Cálculo Numérico(1)

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CÁLCULO 
NUMÉRICO
PROF. JEAN CARLOS RODRIGUES
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA
Prof. Jean Carlos Rodrigues
CÁLCULO 
NUMÉRICO
Marília/SP
2022
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
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emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 01
CAPÍTULO 02
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
CAPÍTULO 05
CAPÍTULO 06
CAPÍTULO 07
CAPÍTULO 08
CAPÍTULO 09
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
CAPÍTULO 13
CAPÍTULO 14
CAPÍTULO 15
08
19
30
41
52
62
74
84
93
102
113
126
137
147
157
A MODELAGEM MATEMÁTICA
MÉTODOS ANALÍTICOS X MÉTODOS 
NUMÉRICOS
TÉCNICAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA
ERROS E SUAS FONTES
TEORIA DA PROPAGAÇÃO DE ERROS
ESTUDO DE FUNÇÕES: REVISÃO
RAÍZES DE FUNÇÕES: MÉTODOS DA 
BISSECÇÃO, DA FALSA POSIÇÃO E DE 
NEWTON
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
CÁLCULO NUMÉRICO: REVISÃO DE PRODUTO 
MISTO E VETORIAL
MATRIZES E OPERAÇÕES
DETERMINANTES
SISTEMAS LINEARES: DECOMPOSIÇÃO LU
SISTEMAS LINEARES: DECOMPOSIÇÃO LU 
COM PIVOTAMENTO
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: REGRA DO 
TRAPÉZIO
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INTRODUÇÃO
Olá querido(a) aluno(a)!
O cálculo numérico e a modelagem matemática que conhecemos hoje são, na 
verdade, consequências de centenas de anos de evolução das técnicas e teorias 
matemáticas. Quando falamos em modelar um problema, estamos nos referindo à 
tradução de uma situação real para a linguagem matemática formal, que se utiliza de 
letras, números e métodos numéricos para a solução de problemas reais ou fictícios. 
Inicialmente, você vai aprender como os modelos matemáticos podem ser formulados 
e reconhecer o uso dos métodos numéricos para resolução de problemas que não 
podem ser resolvidos analiticamente e, por fim, identificar e corrigir os principais erros 
do método numérico. Os diversos ramos do setor produtivo e da área de engenharia 
química envolvem vários processos e sistemas que apresentam variáveis de entrada 
e parâmetros, sejam eles conhecidos ou não. O sucesso de uma empresa depende 
de como ela atua em toda a cadeia produtiva e do que gera para o consumidor final. 
Nesse sentido, a modelagem matemática e a simulação de processos servem como 
ferramentas preditivas que contribuem para a melhor tomada de decisão frente a 
incertezas, problemas ou mudanças necessárias. No entanto, tais técnicas só serão 
efetivas se bem compreendidas. Os processos em geral e suas propriedades físico-
químicas também devem ser compreendidas, pois serão objeto de estudo e validação 
das ferramentas. 
A indústria e o comércio, de maneira geral, estão interessados em agregar valor a 
um determinado produto ou serviço. Um empreendedor deve buscar constantemente 
a inovação e a otimização dos processos para se manter no mercado altamente 
competitivo. Para isso, ele tem que buscar um diferencial que atraia ou mantenha o 
consumidor, que está cada vez mais exigente. Além disso, o empreendedor precisa 
enfrentar a concorrência nacional e internacional. Essa busca pela otimização difere do 
clássico pensamento capitalista que focava apenas no aumento da lucratividade, obtido 
principalmente com práticas de redução de custos. No contexto atual, a otimização dos 
serviços e processos produtivos de uma empresa para que sejam alcançados melhores 
resultados demanda investimento, especialmente em mão de obra especializada, alta 
tecnologia e um sistema de gestão eficaz. Atualmente, a modelagem e a simulação 
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vêm ganhando destaque na indústria. Você saberá identificar os Erros de Medição e as 
principais causas de Erros. Diferenciará os tipos de Erros. Você vai estudar os principais 
conceitos sobre modelagem matemática e simulação. Além disso, vai conhecer os 
principais elementos presentes no processo de modelagem. Por fim, vai ver diferentes 
sistemas utilizados para o desenvolvimento dos modelos matemáticos. Reconhecerá 
a importância do uso dos métodos numéricos para o cálculo de raízes de funções. 
Definirá e diferenciará os métodos de Bissecção, Falsa Posição e Newton. Aplicará os 
métodos de Bissecção, Falsa Posição e Newton na solução de problemas. Estudará 
interpolação polinomial e a diferença entre o polinômio de Newton e o polinômio 
de Lagrange. Aplicará a interpolação polinomial e a interpolação por splines para 
estimar valores intermediários entre dados precisos. Verá o método da decomposição 
LU na resolução de sistemas lineares sem e com pivotamento, sua importância na 
resolução de tais sistemas, obtenção de matrizes inversas. Aprenderá a definição e a 
aplicação da regra do trapézio simples e composta como procedimentos para calcular 
integrais aproximadas em situações-problema, além de diferenciar esses processos 
de integração numérica, avaliando, assim, quando se deve utilizar cada um.
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CAPÍTULO 1
A MODELAGEM MATEMÁTICA
Imagem da capa: Gráfico tridimensional do valor absoluto da função gama complexa
Fonte: Wikimedia Commons Disponível em< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Gamma_abs_3D.png >
Os diversos ramos do setor produtivo e da área de engenharia química envolvem vários 
processos e sistemas que apresentam variáveis de entrada e parâmetros, sejam eles 
conhecidos ou não. O sucesso de uma empresa depende de como ela atua em toda a cadeia 
produtiva e do que gera para o consumidor final. Nesse sentido, a modelagem matemática 
e a simulação de processos servem como ferramentas preditivas que contribuem para 
a melhor tomada de decisão frente a incertezas, problemas ou mudanças necessárias. 
No entanto, tais técnicas só serão efetivas se bem compreendidas. Os processos em 
geral e suas propriedades físico-químicas também devem ser compreendidas, pois 
serão objeto de estudo e validação das ferramentas. Neste capítulo, você vai estudar os 
principais conceitos sobre modelagem matemática e simulação. Além disso, vai conhecer 
os principais elementos presentes no processo de modelagem. Por fim, vai ver diferentes 
sistemas utilizados para o desenvolvimento dos modelos matemáticos.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Gamma_abs_3D.png
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1.1 Modelagem matemática de processos 
A indústria e o comércio, de maneira geral, estão interessados em agregar valor a um 
determinado produto ou serviço. Um empreendedor deve buscar constantemente a inovação 
e a otimização dos processos para se manter no mercado altamente competitivo. Para isso, 
ele tem que buscar um diferencial que atraia ou mantenha o consumidor, que está cada 
vez mais exigente. Além disso, o empreendedor precisa enfrentar a concorrência nacional 
e internacional. Essa busca pela otimização difere do clássico pensamento capitalista 
que focava apenas no aumento da lucratividade, obtido principalmente com práticas de 
redução de custos. No contexto atual, a otimização dos serviços e processos produtivos 
de uma empresa para que sejam alcançados melhores resultados demanda investimento, 
especialmente em mão de obra especializada, alta tecnologia e um sistema de gestãoeficaz. 
Atualmente, a modelagem e a simulação vêm ganhando destaque na indústria. Um exemplo 
disso pode ser visto na planta química apresentada na Figura 1. Nesse caso, o principal 
objetivo é avaliar a operabilidade de toda a planta por meio de modelos matemáticos que 
descrevam cada processo e sistema pertencente a ela. Para a concretização desse novo 
modelo de negócio, algumas técnicas e/ou ferramentas foram criadas e aprimoradas, 
principalmente com a introdução de computadores e o avanço tecnológico. Entre essas 
técnicas, estão a modelagem matemática e a simulação de processos.
Figura 1: Diagrama de processo de uma planta química típica
Fonte: Franco (2021, p. 5).
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Antes de compreendermos o funcionamento dessas ferramentas, é impor- tante 
entendermos o que os termos e conceitos listados a seguir significam.
• Modelagem: sem estar inserida em um contexto, é apenas o substan- tivo feminino 
derivado do verbo modelar. No entanto, acompanhada do termo “matemática”, 
forma uma expressão e assume outro papel.
• Modelagem matemática: por ter aplicabilidade multidisciplinar, cada área adota 
uma explicação que mais se aproxima ao tema. Porém, para processos químicos, 
é possível definir como a constituição de modelos matemáticos que mais se 
aproximem de uma dada realidade a ser analisada e que podem ser interpretados 
como respostas no mundo real (BASSANEZI, 1999).
• Modelo matemático: representação de um processo (por exemplo, químico) por 
meio de equações matemáticas.
• Processo: conjunto de unidades de operação, como colunas de desti- lação e 
reatores, no caso da engenharia química.
• Parâmetro: valor atribuído a uma propriedade do processo (por exemplo, química 
ou física). É conhecido como uma constante ou não. Em caso negativo, deve 
ser estimado.
• Equação: expressão matemática que relaciona as variáveis.
• Variável: grandeza representada por simbologia matemática que, em geral, 
apresenta um valor inicial desconhecido.
• Variável de entrada: é determinada, com base no conhecimento prévio do 
processo, anteriormente à resolução dos problemas, sendo alterada durante 
a operação.
• Sistemas: conjunto de elementos interdependentes que interagem entre si.
• Simulação: realização ou imitação de um processo real por meio de um modelo 
computacional que gere resultados que permitam criar estratégias operacionais 
(BEQUETTE, 1998).
• Grau de liberdade: é a diferença entre o número de variáveis inde- pendentes do 
processo e o número de equações independentes do processo.
A partir do conhecimento dos conceitos, vale ressaltar que as leis fun- damentais 
da física e da química (como as leis de conservação de energia e massa) constituem a 
base dos modelos matemáticos. Como se trata de um procedimento muito importante 
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para qualquer empreendimento, sua implantação deve ser realizada de forma criteriosa, 
devendo ser coordenada por um profissional devidamente habilitado. Tal profissional deve 
ter domínio sobre as principais áreas do conhecimento (termodinâmica, escoamento de 
fluídos, cinética, transferência de calor e massa, controle e otimização de processos, 
entre outras), sobre os proces- sos envolvidos (como colunas de destilação, reatores e 
trocadores de calor, no caso da engenharia química) e sobre as ferramentas utilizadas. 
Dentro de todo o contexto destacado, não se pode esquecer o principal objetivo da 
modelagem e simulação de processos: auxiliar na tomada de decisões, em todas as 
etapas, por meio de modelos matemáticos, sem a necessidade de realizar procedimentos 
experimentais, que demandam mais tempo e custos e podem apresentar respostas 
subjetivas. O Quadro 1 mostra um balanço entre as vantagens e desvantagens de 
implementar esse processo de modelagem matemática e simulação de processos.
Vantagens Desvantagens
• Custos menores.
• Validação do processo sem precisar fazer testes 
experimentais.
• Simulação de cenários com diferentes variáveis 
de entrada e valores dos parâmetros. Na
• prática, isso poderia levar tempo e saturar o 
sistema.
• Conhecimento técnico sobre modelagem 
matemática e simulação computacional.
• Treinamento para que o profissional 
especializado possa operar sistemas 
computacionais.
Quadro 1. Principais vantagens e desvantagens da modelagem matemática e simulação de processos
Fonte: autor (2019)
Diante da construção de modelos matemáticos usados na simulação de processos, 
alguns conceitos são fundamentais para compreensão do tema. Nesse sentido, o 
profissional responsável pelo desenvolvimento e pela otimização de um produto 
ou processo deve estar familiarizado com a simbologia matemática utilizada e, 
sobretudo, com os principais modelos matemáticos aplicados à indústria. Neste 
Infográfico, você vai aprender alguns conceitos utilizados em práticas de modelagem 
e simulação e conhecer as principais vantagens e desvantagens dos modelos 
matemáticos. 
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A constituição de um modelo matemático precisa atender a alguns elementos 
considerados básicos para ter o melhor desempenho possível (LUYBEN, 1996; 
OGUNNAIKE; RAY, 1994). Segundo Bequette (1998), oito elementos devem, 
necessariamente, estar presentes no modelo a ser criado. Além disso, podem ser 
incluídos outros elementos, dependendo da demanda do processo. A seguir, veja os 
oito elementos básicos da modelagem e simulação descritos por Bequette (1998). 
Descrição do processo e definição do problema: descrever o processo e definir o 
problema é o ponto de partida de um modelo matemático. Esse elemento pode ser 
definido como o conhecimento dos fenômenos que envolvem o processo e o que 
se deseja conhecer em relação a suas causas e efeitos. É possível considerar esse 
elemento como a parte mais importante para a análise de um processo, ainda que 
não se tenham regras ou padrões para que isso seja feito. Em caso de dificuldade 
para iniciar essa descrição e definição, é possível reunir as pessoas envolvidas no 
processo e fazer um brainstorming (tempestade de ideias). Assim, com diferentes 
pontos de vista, fica mais fácil detectar o que mais se repete na dinâmica.
Teoria e aplicação das leis fundamentais: Após descrever o processo e entendê-lo, 
deve-se aplicar a teoria que governa os seus fenômenos. Para esse elemento, deve-
se buscar embasamento e fundamentação em diferentes fontes bibliográficas ou 
referências sobre o processo, mesmo que elas não estejam publicadas, desde que 
sejam relevantes. Relacionar outros ensaios que se assemelham ao processo que se 
pretende realizar e pontuá-los na constituição do modelo matemático é fundamental 
para o sucesso da técnica, pois será possível averiguar situações em que já foram 
utilizados modelos que se mostraram inadequados, evitando repeti-los. Assim, é possível 
focar nos casos em que os resultados para um problema similar foram satisfatórios. 
Equacionamento: é a “tradução” da teoria para notação matemática. Considerações: é 
uma etapa fundamental feita pelo engenheiro de acordo com sua avaliação e percepção 
na modelagem. Consistência: um sistema ou processo é dito consistente se o número 
de variáveis é igual ao número de equações. Em outras palavras, se o grau de liberdade 
for igual a zero, o sistema é consistente. Caso contrário, pode ocorrer sub ou sobre 
especificação do sistema. Por fim, deve-se atentar para as unidades de medida dos 
termos que compõem as equações. 
Matemática e computação: a natureza das equações do modelo é o que de- termina 
o método para a obtenção da solução, seja ele analítico ou numérico. Por exemplo, 
um modelo dinâmico que resulta em um EDO de primeira ordem como condição 
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inicial pode ser resolvido pelo método de Runge-kutta de quarta ordem. Solução e 
validação: esses elementos são contemplados na etapa final do processo de construção 
de um modelo matemático, quando os resultados do modelo são comparados com 
dados experimentais. Para facilitar o entendimento do processo de modelagem e seus 
elementos básicos, veja o fluxograma da Figura 2.
Definição do processo e identificação do problema
Teoria e aplicação das leis fundamentais
Equacionamento
Considerações
Consistência
Solução desejada
Matemática e computação
Solução e validação
Figura 2. Fluxograma dos elementos básicos da modelagem matemática.
Fonte: autor (2022)
1.2 Principais tipos de sistemas para desenvolvimento dos modelos
A classificação de sistemas deve considerar o tipo de problema a ser resolvido, 
assim como os fenômenos químicos e físicos envolvidos. Desse modo, o engenheiro 
deve ser o responsável por avaliar e classificar qual sistema é mais adequado para o 
desenvolvimento do modelo que vai resolver o seu processo. Vale ressaltar que, antes de 
conhecer os diferentes sistemas para desenvolver um modelo matemático específico, 
é preciso entender uma classificação que divide os modelos matemáticos em dois 
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grandes grupos, dependendo da forma escolhida para sua obtenção: fenomenológicos 
(físicos ou teóricos) e empíricos. A obtenção de um modelo matemático por meio da 
abordagem fenomenológica (física ou teórica) está relacionada às leis químicas, que 
envolvem princípios para balanço de massa, energia e quantidade de movimento, 
com comportamento conhecido, de forma a permitir sua extrapolação. A abordagem 
empírica voltada para a obtenção de modelos matemáticos é baseada em dados 
experimentais ou observações. Os modelos dessa abordagem são, em alguns casos, 
mais simples e mais fáceis de serem desenvolvidos em comparação aos modelos 
fenomenológicos. No entanto, uma de suas desvantagens é que eles não podem 
ser extrapolados. Ou seja, essa abordagem só permite representar um determinado 
sistema para condições operacionais predeterminadas. A partir do entendimento da 
classificação das abordagens para a obtenção de um modelo matemático, surge uma 
nova classificação: a dos sistemas para o desenvolvimento de modelos matemáticos. 
Essa classificação vai ajudar o profissional envolvido no processo a entender as 
principais diferenças entre os sistemas. A seguir, vamos ver essa classificação em 
diferentes sistemas.
SAIBA MAIS
Neste vídeo, você vai conhecer uma simulação baseada no método heurístico 
de Ziegler e Nichols para sintonizar o controlador PID (Proporcional + Integral + 
Derivativo).
Disponível em < https://www.youtube.com/embed/ktEq1x-AFGA> 
Acessado em 24/06/2022
Sistemas lineares × não lineares
Os sistemas lineares são caracterizados pelos princípios de homogeneidade e 
superposição. Além disso, nesse tipo de sistema, as derivadas e a variável dependente 
aparecem com termos de primeiro grau. Ainda, de acordo com Maya e Leonardi (2014), 
os princípios de superposição devem satisfazer as seguintes duas condições.
1. Considere uma perturbação de entrada a(t) na resposta f1(t) e outra perturbação 
b(t) na resposta f2(t). Dessa forma, a soma das respostas f1(t) + f2(t) será igual 
à soma das perturbações a(t) + b(t). Traduzindo esse conceito para notação 
matemática, tem-se: f(a + b) = f(a) + f(b). Logo, esse é o princípio da superposição.
https://www.youtube.com/embed/ktEq1x-AFGA
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2. O princípio da homogeneidade está associado à seguinte situação: se aplicarmos 
uma constante k em uma entrada a(t), teremos que a resposta y1(t) será 
multiplicada por essa constante (k × a(t)), e a resposta será k × y1(t), resultando 
em y(k × a) = k × y(a). Tal resultado diz respeito ao princípio da homogeneidade.
 
Os sistemas não lineares são aqueles que não se aplicam aos princí- pios da 
superposição e/ou homogeneidade. Se um desses princípios falhar, o sistema é dito 
não linear.
Sistemas contínuos × discretos
Quando a relação entre o sinal de interesse e uma variável é descrita de maneira 
contínua no tempo, esse sistema é classificado como contínuo. Essa relação é, em 
geral, descrita por meio de equações diferenciais. Por outro lado, conforme indica 
Aguirre (2007), sistemas discretos são definidos quando a relação entre o sinal de 
interesse e a variável é expressa em instantes de amostragem.
Sistemas determinísticos × estocásticos
Os modelos determinísticos não consideram a incerteza do sistema, além de 
relacionarem as variáveis mensuradas de forma exata. Os modelos estocásticos, 
também chamados de modelos probabilísticos, são aqueles relacionados a variáveis 
aleatórias, ou seja, trabalham com a incerteza do sistema.
Sistemas estáticos × dinâmicos
Os sistemas estáticos são representados por equações algébricas, são conhecidos 
como estacionários e não variam no tempo. Os sistemas dinâmicos são expressos 
por equações diferenciais e apresentam como principal característica as variações das 
variáveis no tempo. Tais sistemas também são conhecidos como sistemas transientes, 
uma vez que sua resposta não depende das condições anteriores.
Sistemas de parâmetros concentrados × parâmetros distribuídos
Em sistemas de parâmetros concentrados, as variações espaciais são descartadas. 
Além disso, são gerados sistemas de equações diferenciais ordinárias. Ainda, em todo o 
volume do processo, suas propriedades são consideradas homogêneas. Nos sistemas 
de parâmetros distribuídos, são consideradas variações espaciais e há mais de uma 
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variável independente. Elas são resolvidas por um sistema de equações diferenciais 
parciais. Franco (2021) apresenta um exemplo de modelo matemático baseado em 
parâmetros concentrados. Trata-se de um tanque de aperfeiçoamento misturado, 
com expressão dada por:
onde:
• T é a temperatura do fluido;
• F é a vazão volumétrica;
• Ti é a temperatura na entrada;
• Q é o calor adicionado;
• ρ é a densidade do fluido;
• V é o volume do tanque;
• Cp é o calor específico.
Franco (2021) também mostra um exemplo de um modelo matemático com sistema 
distribuído para um trocador casco-tubo. Nesse caso, é importante observar que a 
temperatura do líquido apresenta variação ao longo do tempo, como pode ser observado 
na seguinte equação:
onde:
• T é a temperatura do fluido;
• v é a velocidade do fluido;
• d é o diâmetro do tubo;
• U é o coeficiente global de troca térmica;
• ρ é a densidade do fluido;
• Cp é o calor específico;
• A é a área da seção transversal do tubo;
• Tst é a temperatura no estado estacionário.
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SAIBA MAIS
Modelagem e simulação de duas colunas de destilação em série para purificação 
do benzeno utilizando redes neurais
Neste link, você vai acessar um artigo que trata de técnicas usadas em simulação 
em que são aplicadas colunas de destilação em série para purificação do benzeno.
Disponível em: < https://www.editorarealize.com.br/index.php/artigo/
visualizar/75267> acessado em 20/06/2022
Neste capítulo, vimos como é importante entender o conceito de modelagem 
matemática de processos e conhecer os elementos mais importantes que compõem 
os modelos. Além disso, conferimos como diferenciar os principais tipos de sistemas 
usados em modelagem e simulação, com suas vantagens e desvantagens. Estudamos 
os principais conhecimentos que um(a) engenheiro(a) e sua equipe precisam ter para 
usar modelos matemáticos que representem problemas reais, ou seja, problemas 
com dados obtidos por meio de experimentos físicos. Vale destacar que também é 
importante estar familiarizado com métodos matemáticos e softwares específicos 
para modelagem e simulação de processos.
https://www.editorarealize.com.br/index.php/artigo/visualizar/75267https://www.editorarealize.com.br/index.php/artigo/visualizar/75267
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CAPÍTULO 2
MÉTODOS ANALÍTICOS X 
MÉTODOS NUMÉRICOS
Imagem: modelagem matemática do roteamento de veículos nas ruas de uma cidade
Fonte: wikimedia Commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Vehicle_Routing_Problem_Example.svg/2098px-
Vehicle_Routing_Problem_Example.svg.png >
Olá caros(as) alunos(as), sejam bem vindos(as)!
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Vehicle_Routing_Problem_Example.svg/2098px-Vehicle_Routing_Problem_Example.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Vehicle_Routing_Problem_Example.svg/2098px-Vehicle_Routing_Problem_Example.svg.png
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A maioria dos problemas práticos enfrentados pelas equipes de pesquisa operacional 
(PO) é em princípio descrita de forma vaga e imprecisa. Desse modo, é preciso estudar 
o sistema relevante e desenvolver um enunciado bem definido do problema a ser 
considerado. Isso inclui determinar os objetivos apropriados, as restrições sobre o que 
pode ser feito, a relação entre a área a ser estudada e outras áreas da organização, 
opções alternativas, limites de tempo para tomada de decisão, entre outras coisas. 
Esse processo de definição de problema é fundamental, pois afeta de modo substancial 
as conclusões do estudo. De acordo com Hillier (2013), é difícil obter uma resposta 
“correta” para um problema “incorreto”! Inicialmente, deve-se reconhecer que uma equipe 
de PO em geral trabalha na qualidade de consultores. Os integrantes da equipe, além 
de resolverem problemas conforme julgarem apropriado, também devem aconselhar 
a gerência na tomada de decisões. Em geral, o relatório que a equipe encaminha à 
gerência apresenta uma série de alternativas particularmente atrativas considerando 
as suposições ou um intervalo de valores diferentes que pode ser avaliado somente 
pela gerência (p. ex., o conflito entre custo e benefício). A gerência, de posse do estudo 
e suas recomendações, avalia uma série de fatores intangíveis e, com bom senso, 
toma a decisão final. É fundamental também que a equipe de PO seja sintonizada 
com a gerência, inclusive identificando o problema “correto” segundo seu ponto de 
vista e obtendo o seu apoio ao longo do projeto. Determinar os objetivos apropriados 
é um aspecto fundamental na definição de um problema. De início deve-se identificar 
o integrante da gerência que efetivamente decidirá quanto ao sistema em estudo e, 
posteriormente, extrair desse integrante os objetivos pertinentes. A PO se preocupa com o 
bem-estar de toda a organização, e não somente com o bem-estar de alguns integrantes. 
Contudo, a técnica de PO busca soluções que sejam ótimas para a organização, e não 
uma solução subotimizada que seja boa apenas para um integrante. Desse modo, os 
objetivos que são idealmente formulados devem ser de toda a organização. Entretanto, 
isso nem sempre é conveniente. Os objetivos no estudo devem ser os mais específicos 
e, ainda, englobar os principais objetivos do tomador de decisões e manter um grau 
de consistência razoável com os mais altos objetivos. Para contornar o problema de 
subotimização, uma alternativa possível para organizações com fins lucrativos é usar 
a maximização de lucros em longo prazo (levando-se em conta o valor do dinheiro no 
tempo) como o único objetivo. A qualificação em longo prazo indica que esse objetivo 
apresenta a flexibilidade de se considerarem atividades que não visam imediatamente 
aos lucros (p. ex., projetos de pesquisa e desenvolvimento), mas precisam fazê-lo com 
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o tempo, de modo a valer a pena. Na maioria das vezes, as organizações com fins 
lucrativos não adotam essa abordagem. Estudos de corporações norte-americanas 
revelam que a tendência entre os administradores é optar por um objetivo de lucros 
satisfatórios em conjunto com outros objetivos, em vez de apostar na maximização de 
lucros em longo prazo. Muitas vezes, alguns desses outros objetivos buscam manter 
os lucros estáveis, aumentar (ou manter) a participação no mercado, favorecer a 
diversificação de produtos e a estabilidade de preços, motivar os funcionários, preservar 
o controle familiar do negócio e aumentar o prestígio da empresa. Além disso, há́ outros 
fatores que envolvem responsabilidades sociais distintas da lucratividade. Para Hillier 
(2013), as cinco partes geralmente afetadas por uma empresa comercial localizada 
em um único país são:
1. Os proprietários (acionistas, etc.), que desejam lucros (dividendos, valorização 
das ações e assim por diante);
2. Os funcionários, que desejam emprego estável com salários razoáveis;
3. Os clientes, que desejam um produto confiável a preços razoáveis;
4. Os fornecedores, que desejam integridade e um preço de venda razoável para 
suas mercadorias;
5. O governo e, consequentemente, a nação, que desejam o pagamento de impostos 
razoáveis e consideração pelo interesse nacional.
Essas cinco partes são essenciais para a empresa, e nenhuma das partes deve ser 
vista como um servidor exclusivo em detrimento das demais. De modo semelhante, 
corporações internacionais assumem obrigações adicionais para seguir práticas 
socialmente responsáveis. Ou seja, mesmo que a responsabilidade principal da gerência 
seja a de gerar lucros, o que, de qualquer forma, acabará beneficiando as cinco partes 
envolvidas, é importante que suas responsabilidades sociais mais amplas também 
sejam reconhecidas. Em geral, as equipes de PO dedicam um tempo consideravelmente 
longo na coleta de dados relevantes sobre o problema em análise. A maioria desses 
dados é importante para ter o entendimento preciso do problema, bem como para 
fornecer os dados necessários para o modelo matemático que será desenvolvido na 
fase seguinte do estudo. É comum grande parte desses dados não
estar disponível quando se inicia o estudo. Isso ocorre porque essas informações 
não foram guardadas ou estão desatualizadas ou porque seu armazenamento foi feito 
de modo inadequado. Desse modo, às vezes, é necessário instalar um sistema de 
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informações gerenciais com base em computadores para coletar os dados necessários 
regularmente e no formato desejado. A equipe de PO deve contar com o apoio de 
especialistas em TI (tecnologia da informação), para obter todos os dados vitais para 
o processo. Mesmo com esse empenho, grande parte dos dados pode ser de certo 
modo superficial. Em geral, uma equipe de PO dedicará tempo considerável na tentativa 
de melhorar a precisão dos dados. Com a ampla difusão do uso de bancos de dados 
e o recente crescimento de seu tamanho, a maioria das equipes de PO entende que o 
maior problema relativo a dados é o fato de haver dados em demasia. Podem existir 
milhares de fontes de dados, e a quantidade total de dados pode ser medida até́ 
mesmo em terabytes. Assim, fica muito difícil localizar os dados mais relevantes e 
identificar os padrões de interesse nesses dados. 
Segundo Humes (1984) boa parte dos problemas matemáticos surge devido à 
necessidade de se ter soluções para problemas da natureza, já que muitos fenômenos 
naturais podem ser descritos por meio de modelos matemáticos.
Ohse, 2005, p.1. traz
Desde que o homem começou a observar os fenômenos naturais e 
verificar que os mesmos seguiam princípios constantes, ele observou 
que estes fenômenos podiam ser colocados por meio de “fórmula”. 
Este princípio levou a utilização da matemática como uma ferramenta 
para auxiliar estas observações. Este é o princípio da matemática 
como um modelo, ou seja, modelar matematicamente o mundo em 
que vivemos e suas leis naturais.
Para tanto, traremos as formas de representação dos números em sistemasde 
numeração, com ênfase na representação em ponto flutuante, que é adotada em 
computadores e calculadoras. Serão trazidas noções de erro e de aproximação 
numérica, que se mostram fundamentais no cálculo numérico desenvolvido, já que 
este é uma grande ferramenta na resolução de problemas originários da Matemática e 
das ciências exatas em geral. Imagine a seguinte situação: você recebe um problema 
para propor uma solução e desenvolve um modelo matemático (modelagem), chegando 
a uma determinada solução através de resoluções com métodos numéricos. Mas, 
você sabe o que seja um modelo matemático? Observe a figura 1:
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Figura 1: Etapas para solucionar um problema da natureza.
Fonte: Humes, et. al (1984, p.1)
ANOTE ISSO
Modelo matemático é a representação simplificada da realidade, segundo uma 
estrutura de conceitos mentais ou experimentais.
A modelagem do problema trata-se do início do processo em que representa-se o 
problema por um modelo matemático mais adequado. Como deseja-se ter um modelo 
matemático aplicável/solucionável, ele pode conter simplificações do problema real. Vale 
lembrar que um mesmo problema pode ter vários modelos matemáticos. A resolução 
do modelo é a etapa seguinte na qual busca-se encontrar a solução para o modelo 
matemático proposto na fase anterior (modelagem). É nesta fase que necessita-se 
dos métodos numéricos específicos que resolvam o modelo análogo.
Biembengut e Hein (2000, p.12) definem de maneira sucinta um modelo matemático 
ao afirmarem “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz, de alguma 
forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação real, é denominado 
modelo matemático”. A modelagem matemática apresenta os seguintes benefícios:
a) Auxilia na compreensão da relação entre a Matemática e a realidade;
b) Permite ao estudante pensar em soluções para as mais variadas situações;
c) Desenvolve uma maior autonomia do aluno no processo de aprendizagem já 
que esse elabora as hipóteses que solucionarão o problema;
d) Enaltece o saber do aluno, já que ele desenvolve sua capacidade de avaliação 
do processo de construção dos modelos matemáticos em contextos variados.
Sobre as etapas da solução de um problema por modelagem matemática, é possível 
descrevê-las da seguinte forma:
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1) Situação-problema: não precisa, necessariamente estar ligada à Matemática ou 
a conteúdos da área de exatas. 
2) Pesquisa exploratória: após a escolha do tema, deve-se iniciar a busca por materiais 
que contenham as noções e informações necessárias para o desenvolvimento do 
tema. Essa etapa pode ser tanto uma pesquisa de campo quanto uma pesquisa 
bibliográfica;
3) Levantamento dos problemas: após a pesquisa realizada e com os materiais 
coletados deve-se conjecturar sobre os modelos matemática mais adequados 
à modelagem do problema;
4) Resolução de problemas/ do modelo: nessa fase, o conteúdo matemático será 
mais explorado ao se tentar responder as questões levantadas já com um olhar 
voltado para a matemática em si. Ou seja, o conteúdo matemático poderá ser 
abordado de forma compreensível para depois ser sistematizado, fazendo o 
caminho inverso do habitual já que o conteúdo será ensinado para responder 
as dúvidas surgidas ao longo da pesquisa.
5) Análise crítica das soluções: nessa etapa, haverá a reflexão sobre os resultados 
obtidos ao longo do processo e como eles possibilitam a melhoria de decisões 
e ações, o que leva à formação de cidadãos mais participativos e que auxiliem, 
efetivamente, na melhoria da comunidade em que estão inseridos. Ao final 
dessa etapa, espera-se que os envolvidos estejam mais críticos, não apenas em 
relação à matemática, mas em condições de avaliar criticamente a viabilidade 
das soluções apresentadas. 
6) Tomada de decisão: decidir se o modelo matemático será aplicado ou não de 
acordo com a resposta desejada.
Vamos analisar um exemplo de aplicação prática da modelagem matemática em um 
Laboratório de Metrologia. Suponha que o objetivo seja realizar medições dos blocos-
padrão, seguindo as normas definidas, e, em seguida, obter os gráficos contendo os 
erros nas referidas medições quanto ao tamanho dos blocos. Os erros de medição 
poderiam ser provenientes de alguns motivos tais como: temperatura durantes as 
medições realizadas, força exercida sobre o fuso, falha do observador ao longo das 
medições realizadas. Visando uma melhor calibração do micrômetro, equipamento 
utilizado nas medições lineares, pensou-se em utilizar a modelagem Matemática.
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O 1º passo: visita o laboratório e coletar os dados imprescindíveis para propor o 
modelo matemático. Com os dados coletados, um gráfico de dispersão foi gerado, por 
meio do software Excel, no qual observou-se que o comportamento dos dados referia-
se a um modelo polinomial, permitindo, assim, encontrar uma função de calibração 
de erros para aquele micrômetro.
Ao longo desta atividade desenvolvida, alguns testes de ajustes de funções foram 
realizados do grau um até o nono, sendo necessário usar o software curve a partir do 
sexto grau porque o Excel só permite ajuste até esse grau. A partir dos testes realizados, 
pôde-se perceber que não ocorria uma melhora significativa a partir do sexto grau, isto 
é, o coeficiente de determinação (R2) apresentava uma variação insignificante para o 
problema, decidindo-se, então, pelo ajuste polinomial de sexto grau.
 Para uma melhor visão e compreensão do modelo matemático exemplificado, 
traremos as etapas que foram seguidas abaixo:
a) Definição da situação problema: De que maneira propor um modelo matemático 
de calibração para o micrômetro?
b) Simplificação e formulação de hipóteses: a temperatura da sala onde foram 
realizadas as medições; o micrômetro e o jogo de bloco-padrão estavam à 
mesma temperatura; não havia oxidação no jogo de bloco e no micrômetro; 
luvas foram usadas durante a medição; o erro do observador do desconsiderado; 
valor da medida-padrão estava no domínio de 0,25 mm; 
c) Dedução do modelo matemático: De que maneira propor um modelo matemático 
de calibração para o micrômetro através de uma função matemática?
d) Resolução do problema matemático: Apresentação dos dados coletados na 
calibração do micrômetro que deseja calibrar. A partir dos dados coletados e os 
de medida padrão, calcula-se o erro e determina-se a média aritmética simples 
para cada medida padrão. Logo em seguida, um gráfico com as medidas-padrão 
e erro médio é construído para facilitar as suposições acerca da tendência 
dos pontos nele contido. Para se ter o modelo de calibração do micrômetro, a 
diferença entre o ado observado (y) e o erro estimado (E(x)), que deve retornar 
à medida-padrão. Tem-se, então, que o diâmetro da peça medido será C(x) = 
x – E(x).
e) Validação do modelo: Essa validação é feita com os dados usados na determinação 
do modelo como descrito acima, utilizando-se o Excel que permite comparar as 
medidas-padrão com os dados calculados pelo modelo de calibração. Para o 
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modelo ser considerado válido, a diferença entre o valor encontrado e a medida-
padrão deve ser próximo de zero. 
f) Aplicação do modelo: Escolheu-se aleatoriamente blocos padrão no domínio de 
0 mm a 25 mm observou-se os diâmetros dos blocos-padrão escolhidos. Foi 
estimado um erro de 0,001073 mm para a observação de 1,051 mm. Considerou-
se 6 casas decimais no erro estimado E(x), para que as medidas não fossem 
distorcidas já que aproximações realizadas ao longo da atividade podem acarretar 
em distorções no modelo.
Após as análises, é fundamental ter em mente que o modelo encontrado por 
meio do ajuste de função tem por finalidade minimizar os erros das medições 
feitas através do micrômetro e nãozerá-los. Dessa maneira, é possível que o 
modelo ajustado cause distorções em algumas medições e piorem os dados 
coletados. 
Para a resolução de modelos matemáticos, existem duas categorias de métodos: 
métodos numéricos e métodos analíticos. O método numérico é aquele em que há 
uma sequência finita de operações aritméticas que levam à solução ou aproximação da 
solução do problema. Já o método analítico é aquele que fornece as soluções exatas 
de um problema real. Comumente, as soluções são obtidas com o auxílio de fórmulas 
explícitas. No método numérico, a solução aproximada é obtida, comumente, de forma 
construtiva: partindo de aproximações iniciais, constroem-se novas aproximações até 
que uma dessas aproximações considerada “adequada” seja obtida. Dessa maneira, 
tem-se que um método numérico pode ser escrito em forma de algoritmo com as 
operações, ou grupo dessas, sendo repetidas quantas vezes forem necessárias. 
No método analítico, tem-se um menor erro de arredondamento (ɛa), cuja definição 
e aplicação estudaremos mais adiante. Opta-se por utilizar o método analítico na 
resolução dos modelos matemáticos por ele levar a uma maior exatidão na solução 
do problema proposto. Ambos os métodos tem a vantagem de trazer informações 
gerais ao invés de particularizadas, além de uma maior informação em relação à 
dependência e à natureza das funções envolvidas no modelo. Porém, a resolução de 
modelos matemáticos obtidos através da modelagem aplicada a problemas reais de 
algumas áreas pode ser complexa e não envolver fenômenos não-lineares, tornando 
impossível a evidência de uma solução analítica para o problema dado. Uma opção 
para resolução do modelo, então, seriam os métodos numéricos. Para uma melhor 
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compreensão e diferenciação entre os métodos analítico e numéricos, vejamos, abaixo, 
exemplos simples de suas aplicações:
1ª exemplo: Usa-se o método analítico para determinar os zeros de uma função 
quadrática
 , com a ≠0
Lembrando que a fórmula de Bhaskara é:
Os zeros da são:
2ª exemplo: Como exemplo de método numérico, tem-se o algoritmo de Eudoxo 
para determinar uma aproximação para a raiz quadrada de um número real p, que 
seja maior que 1:
Do fato que p>1, temos que 1< < p. Então, tem-se, com uma 1ª aproximação 
para , , isto é, a média aritmética entre 1 e p. Logo:
Faz-se uma nova aproximação , ou seja, a média aritmética entre 
e x0. Vê-se, novamente, que 
Seguindo essa lógica, tem-se uma sequência de aproximações dada por:
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 se n=0
 se n≥1
A tabela 1 fornece os valores de algumas aproximações para obtidas pelo algoritmo 
de Eudoxo. Para que se possa avaliar a precisão das aproximações, são fornecidos 
também os quadrados dessas aproximações. Trabalhando com 14 dígitos depois 
do ponto decimal, é possível observar que, na quinta aproximação x4, temos, x4 = 
2,00000000000000
0 1,50000000000000 2,25000000000000 
1 1,41666666666667 2,00694444444444 
2 1,41421568627451 2,00000600730488 
3 1,41421356237469 2,00000000000451 
4 1,41421356237310 2,00000000000000 
Tabela 1: Algoritmo de Eudoxo para 2 
Fonte: Freitas (2000, p.11)
Caso tenha se interessado pelo algoritmo de Eudoxo e queira saber mais, basta 
consultar o artigo intitulado Raiz Quadrada Utilizando Médias que foi publicado na 
Revista de matemática 45 (CARNEIRO, 2001). O artigo traz as justificativas que levam 
ao funcionamento deste método, bem como um procedimento generalizado para o 
cálculo aproximado de raízes quadradas de números reais maiores que 1 a partir de 
uso de médias. Há, também, uma discussão sobre a precisão do processo ao calcular 
o erro cometido nas aproximações.
SAIBA MAIS
Existe uma variedade de pacotes de software para PCs que podem solucionar 
muitos modelos matemáticos. Porém, há́ dificuldades que devem ser evitadas, 
como usar modelos matemáticos que são, necessariamente, uma idealização 
abstrata do problema, de modo que em geral se requerem aproximações e 
suposições simplificadas, caso queira que o modelo seja possível de ser resolvido. 
Por isso, deve-se garantir que o modelo permaneça uma representação válida do 
problema.
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E quem foi Eudoxo?
Eudoxo foi um astrônomo, matemático e filósofo grego que vivem entre os anos 
de 408 a.c. e 355 a.c. Ele nasceu em Cnidos que corresponde à Turquia nos dias de 
hoje. De modo geral, o objetivo do cálculo numérico é criar respostas numéricas para 
problemas matemáticas, isto é, estudar técnicas numéricas que trazem soluções 
de problemas matemáticos utilizando os modelos matemáticos. Pode-se afirmar 
que o cálculo numérico possua grande importância na formação de profissionais de 
engenharia e da área de ciências extas por possibilitar aos alunos conhecerem um 
leque variado de técnicas para a solução de determinados problemas, conseguindo 
escolher entre os métodos o que responderá melhor ao problema proposto e aplicando-
os de maneira a obter a solução para o problema em questão.
Mas, afinal de contas, o que são métodos numéricos? Os métodos numéricos 
desenvolvidos e estudados no cálculo numérico servem, em geral, para a aproximação 
da solução de problemas complexos que normalmente não são resolúveis por técnicas 
analíticas.
Uma característica importante de se frisar é que a aplicação das técnicas adquiridas 
no cálculo numérico na resolução de problemas demanda, comumente, um esforço 
computacional alto, o que faz ser imprescindível trabalhar de maneira integrada com 
calculadoras, preferencialmente, científicas, gráficas ou programáveis. Os ambientes 
computacionais programáveis também podem ser utilizados, já que possuem 
ferramentas gráficas, numéricas e algébricas, o que facilita e possibilita o trabalho 
em si. Com o advindo de computadores digitais e dos ambientes de programação 
cada vez mais avançados, a importância dos métodos numéricos tem crescido de 
forma significativa na resolução de problemas. Espero que você tenha compreendido a 
importância e o papel do cálculo numérico como dispositivo na resolução de problemas 
reais nas áreas das ciências extas. 
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CAPÍTULO 3
TÉCNICAS DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA
Imagem da capa: os gradientes como setas abaixo da representação da grade curva de uma função de duas variáveis: f (x, y) = - (cos² x + cos² y) ²
Fonte: Wikimedia Commons Disponível em: < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/3d-gradient-cos.svg/2444px-3d-gradient-cos.svg.
png
A modelagem computacional é uma área de conhecimento multidisciplinar que 
trata da aplicação de modelos matemáticos e técnicas da computação à análise, 
compreensão e ao estudo da fenomenologia de problemas complexos em áreas tão 
abrangentes quanto as engenharias, ciências exatas, biológicas, humanas, economia e 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/3d-gradient-cos.svg/2444px-3d-gradient-cos.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/3d-gradient-cos.svg/2444px-3d-gradient-cos.svg.png
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ciências ambientais. Arenales et al. (2015) mencionam que fazer ciência é a capacidade 
de observar e descrever fenômenos naturais, sociais, econômicos, entre outros, e que 
a matemática tem uma importância fundamental na descrição desses fenômenos. A 
partir da observação de fenômenos, processos ou sistemas, que podem ser físicos, 
químicos, biológicos, econômicos, buscam-se as leis que os regem. Essas leis, se 
passíveis de serem descritas por relações matemáticas, dão origem aos modelos 
matemáticos. O termo modelo usado neste capítulo procura imitar as principais 
características de um objeto real para fins de representá-lo.Andrade (2009) menciona 
que a metodologia da pesquisa operacional é mais desenvolvida para a solução de 
problemas que podem ser representados por modelos matemáticos. O modelo mais 
apropriado para um dado contexto ou problema depende de vários fatores, como:
• a natureza matemática das relações entre as variáveis;
• os objetivos do encarregado da decisão;
• a extensão do controle sobre as variáveis de decisão;
• o nível de incerteza associado ao ambiente da decisão.
Com base nessas informações, Batalha (2008) e Andrade (2009) ressaltam que os 
modelos matemáticos podem ser divididos ainda em dois grandes grupos.
3.1 Modelos de simulação
Os modelos de simulação procuram oferecer uma representação do mundo real com 
o objetivo de permitir a geração e a análise de alternativas antes da implementação 
de qualquer uma delas. Dessa forma, permitem que o analista tenha um considerável 
grau de liberdade e flexibilidade em relação à escolha da ação mais conveniente. Com 
isso, o administrador poderá criar ambientes futuros possíveis e testar alternativas, 
visando responder perguntas como: “e se...?”, “o que acontecerá se...?”. É importante 
mencionar que a escolha da melhor alternativa não é fixada na estrutura do modelo, 
sendo aplicada pelo analista. Para facilitar o entendimento, acompanhe a Figura 1.
Figura 1. Processos de decisão com modelos de simulação
Fonte: Andrade (2009, p. 15).
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Estes modelos não permitem flexibilidade na escolha das alternativas, uma vez que 
são estruturados para selecionar uma única alternativa, que será considerada “ótima” 
de acordo com o critério estabelecido pelo analista. O critério faz parte da estrutura 
do modelo, que encontra a melhor alternativa a partir de uma análise matemática. 
Essa análise matemática, por sua vez, é processada por métodos sistemáticos de 
solução, os quais são chamados de algoritmos. Para facilitar o entendimento, observe 
a Figura 2.
Figura 2. Processo de decisão com modelos de otimização
Fonte: Andrade (2009, p. 15).
ANOTE ISTO
O modelo matemático é uma representação simplificada (abstração) do problema 
real. Logo, o modelo deve ser suficientemente detalhado para captar os elementos 
essenciais do problema, mas também suficientemente “simples”, a fim de ser 
resolvido por métodos de resolução e computadores disponíveis.
Os modelos matemáticos também podem ser classificados segundo a natureza de 
sua contribuição para o processo decisório das organizações ou, em outras palavras, de 
acordo com o tipo das informações que eles produzem e das respostas que fornecem, 
sendo, segundo Andrade (2009):
• Modelos prescritivos: são modelos de otimização baseados em relações 
matemáticas como: Y = f(X1, X2,...Xn), onde X1, X2, ... Xn são variáveis 
independentes e, por isso, sob controle da administração. Logo, esse tipo 
de modelo visa alertar a direção e quais devem ser os valores das variáveis 
independentes que produzirão o valor ótimo para a variável dependente.
• Modelos preditivos: geralmente são modelos de simulação que têm por objetivo 
estimar valores futuros para o objetivo desejado. Em alguns casos, a relação funcional 
entre as variáveis independentes xi e dependente Y é conhecida, porém, em outros 
casos, é necessária uma análise estatística que estime a relação funcional.
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• Modelos descritivos: são considerados modelos de simulação, mas com a 
característica principal de haver uma grande incerteza sobre os valores futuros 
das variáveis independentes. Esses modelos produzem cenários futuros cuja 
possibilidade de concretização é determinada a partir de probabilidades subjetivas.
• Modelos de análise estatística: são baseados em todos os métodos estatísticos 
(descritivo, diferencial, inferencial, bayesiana, regressão, multivariada, entre outros) 
que formam os módulos analíticos de softwares de amplo uso pelas empresas. 
Por exemplo, a inferência bayesiana pode auxiliar a prever situações futuras, 
permitindo estimar o grau de certeza de uma hipótese a partir da observação 
de evidências.
Segundo Batalha (2008), os modelos de otimização matemática têm um papel 
destacado na pesquisa operacional e podem ser divididos em duas partes:
• Modelos de programação matemática (determinística): além da programação 
linear, discreta, não linear e fluxos em redes, incluem a programação multiobjetivos 
(como, por exemplo, programação de metas, análise de Pareto e curvas de trade-
off, análise de envoltório de dados DEA), que consideram situações com múltiplos 
objetivos (critérios a serem otimizados) possivelmente conflitantes. Também há 
os modelos baseados em técnicas de programação dinâmica determinística.
• Modelos estocásticos: incluem os modelos baseados em programação 
estocástica e otimização robusta, programação dinâmica estocástica, teoria 
de decisão, teoria de jogos, controle de estoque, previsão e séries temporais, 
cadeias de Markov e processos markovianos de decisão, teoria de filas e 
simulação.
3.2 Construção De Modelos De Programação Matemática
A Programação Linear (PL) envolve técnicas de modelagem matemática desenvolvidas 
para otimizar o uso de recursos limitados. Devido à eficiência computacional, a PL 
é uma base para o desenvolvimento de algoritmos de solução de outros tipos de 
modelos de Pesquisa Operacional (PO), incluindo programação inteira, não linear e 
estocástica (BELFIORE; FÁVERO, 2012).
Formalmente, um modelo matemático é escrito da seguinte maneira:
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Maximizar/Minimizar f(x), sujeito a:
g(x) ≥ a
h(x) ≤ b
s(x) = c
l ≤ x ≤ u
Em que f(x) é uma função, linear ou não linear, a ser otimizada (maximizada 
ou minimizada), sujeita às restrições (lineares ou não lineares) que indicam uma 
necessidade a ser satisfeita (“maior ou igual”), uma disponibilidade a ser respeitada 
(“menor ou igual”) ou um condicionante a ser satisfeito de maneira exata (“igual”).
A pesquisa operacional e, em particular, a programação matemática tratam de 
problemas de decisão, fazendo uso de modelos matemáticos que procuram representar 
o problema real (de forma parcial), de acordo com Arenales et al. (2015). De modo 
geral, o modelo de PL ou PO consiste em três elementos básicos:
1. Variáveis de decisão que se busca determinar;
2. Objetivo (meta) que se deseja otimizar;
3. Restrições que se deve respeitar.
A abordagem de resolução de um problema por meio de pesquisa operacional envolve 
várias fases, conforme pode ser visto na Figura 3, que apresenta uma ilustração do 
processo simplificado da abordagem de solução de um problema usando a modelagem 
matemática. Obviamente, a elaboração de qualquer modelo matemático se tornará mais 
simples se for seguida uma certa sistemática para a análise do problema. Dessa forma, 
é possível garantir que o modelo em desenvolvimento seja adequado ao problema e 
que, uma vez desenvolvido, poderá ser usado de maneira efetiva.
Figura 3. Processo de modelagem matemática
Fonte: Batalha (2008, p. 163).
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A formulação/modelagem define as variáveis e as relações matemáticas para 
descrever o comportamento relevante do sistema ou problema real. A dedução/análise 
aplica técnicas matemáticas e tecnológicas para resolver o modelo matemático e 
visualizar quais conclusões ele sugere. A interpretação/ inferência argumenta que as 
conclusões retiradas do modelo têm significado suficiente para inferir conclusões ou 
decisões para o problema real. Comumente, uma avaliação ou um julgamento dessas 
conclusões ou decisões inferidas mostra que elas não são adequadas e que a definição 
do problema e sua modelagem matemática precisam de revisão, e, então, o ciclo é 
repetido (ARENALES et al., 2015). Entre as várias fases, tem-se, para os problemas 
de simulação:
• Definiçãodo problema: define o escopo do problema em estudo.
• Construção do modelo: traduz a fase (i) em relações matemáticas ou lógicas 
de simulação ou, então, uma combinação delas.
Para a construção dos modelos, é necessário identificar as variáveis rele- vantes, 
as quais podem ser:
• Variáveis endógenas: representarão aspectos de interesse do sistema que foram 
identificados na fase (i) e, também, outras que serão geradas dentro do modelo, 
para se chegar à solução final.
• Variáveis exógenas: são variáveis que representam valores importantes 
determinados por influências externas ao sistema e incluem, também, aquelas 
variáveis que estão sob o controle e a decisão direta do gerente/administrador.
• Solução do modelo: utiliza métodos de solução e algoritmos conhecidos 
para resolver o modelo da fase (ii). Uma vez definido o conjunto de variáveis 
significativas, as relações entre elas devem ser formalmente escritas em termos 
matemáticos. Essas relações podem ser:
• Definidas pela lógica do problema, como, por exemplo: Receita =venda x preço 
unitário.
• Empíricas, as quais são obtidas a partir de técnicas de estimação, como, por 
exemplo: Lucro Bruto = K · Volume de Vendas, onde o fator K é estimado a partir 
de dados históricos.
• Derivadas de outras variáveis por meio de relações algébricas.
• Validação do modelo: verifica se o modelo proposto representa de maneira 
apropriada o problema. Esta é uma fase trabalhosa do processo e deve ser 
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realizada com cautela. Os testes do modelo são realizados com o objetivo 
de ajustar o modelo ao que se espera dele e validá-lo, visando promover sua 
aceitação. Uma vez que tenha sido validado, o modelo pode ser usado para 
gerar respostas para as questões identificadas na fase (i).
• Implementação da solução: preocupa-se com a implementação da solução na 
prática, traduzindo os resultados do modelo em decisões.
SAIBA MAIS
Cabe ressaltar que um modelo matemático nem sempre é formulado em uma 
única vez, podendo haver ciclos (ou subciclos) das fases (i)-(v) para revisão 
do modelo matemático. Com o avanço tecnológico, tem sido possível resolver 
modelos de pesquisa operacional (e, consequentemente, modelos matemáticos) 
cada vez mais complexos, o que não era possível no passado. Mas aí você pode 
estar questionado o estudo de modelos matemáticos diante das facilidades do 
uso dos mais variados softwares comerciais já existentes. Nem sempre é possível 
resolver problemas de aplicação direta nesses aplicativos computacionais, sendo 
necessário algum domínio da teoria em que se baseia o método. Além disso, o não 
conhecimento pode conduzir a um uso equivocado dos softwares.
Porém, conforme descrito anteriormente, os modelos podem ser de simulação 
e otimização. Como os modelos de otimização têm características diferentes com 
relação aos modelos de simulação, os passos que devem ser seguidos são diferentes, 
de acordo com Andrade (2009).
• Definição do problema: desde o início já deve-se reconhecer que existe um 
problema para o qual é indicada a procura da melhor solução pela pesquisa 
dos valores ótimos das variáveis de decisão. Será mais útil empregar técnicas 
de otimização quando:
• Existirem muitas variáveis de decisão ou quando as variáveis puderem assumir 
valores em uma ampla faixa de viabilidade, fazendo com que os modelos de 
simulação se tornem muitos lentos.
• Houver restrições nos recursos ou variáveis que tornem complexo o processo 
de escolha dos valores das variáveis.
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• Os sistemas forem tais que algumas variáveis devem ter seus valores calculados 
de maneira precisa para respeitar restrições ou evitar grandes variações no 
resultado final.
Identificação das variáveis relevantes: o conjunto de variáveis importantes inclui:
• As variáveis de decisão para as quais o administrador procura valores
• ótimos.
• Variáveis exógenas que servem de base para a definição de restrições ou de 
variáveis endógenas.
• Variáveis endógenas que, dependendo dos valores de outras, muitas vezes, 
entram na formação da função objetiva ou das restrições que o administrador 
deve especificar.
• Formulação da função objetivo: reflete o critério de otimização das variáveis de 
decisão e deve ser escrita em forma matemática.
• Formulação das restrições: as restrições devem ser escritas em forma 
matemática; da mesma forma, a relação entre as variáveis deve ser formulada 
matematicamente.
• Escolha do método matemático de solução: após definido o problema, deve-se 
escolher um método matemático adequado para a solução do modelo. A escolha 
do método deve ser baseada tendo em vista o tipo de modelo matemático criado 
e as análises e questões para as quais o modelo deve fornecer subsídios.
• Aplicação do método de solução: consiste em um exercício matemático que 
pode ser realizado manualmente ou por computador, porém, é necessário um 
conhecimento de algoritmo, indiferentemente da opção escolhida.
• Avaliação da solução: após alcançar a solução, deve-se verificá-la e avaliá-la 
à luz das expectativas e experiências do administrador antes de efetivamente 
implementá-la.
Atualmente, a principal utilização dos modelos matemáticos é como ferramenta nos 
processos de tomada de decisão. No ambiente empresarial e nos negócios (tanto no 
setor privado quanto no setor público), os modelos matemáticos podem ser utilizados 
em: otimização de recursos; roteirização; localização; carteiras de investimento; alocação 
de pessoas; previsão de planejamento; alocação de verbas de mídia; determinação de 
mix de produtos; escalonamento e planejamento da produção; planejamento financeiro; 
análise de projetos; entre outros.
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ANOTE ISSO
A modelagem matemática pode ser aplicada em indústrias de diferentes 
segmentos, como, por exemplo: indústria de petróleo (extração, refinamento, 
mistura e distribuição); indústria de alimentos, como a ração animal (problema da 
mistura); planejamento da produção (dimensionamento de lotes – o que, quando 
e quanto produzir); indústria siderúrgica (ligas metálicas – problema da mistura); 
indústria de papel (otimização do processo de cortagem de bobinas); indústrias de 
móveis (otimização do processo de cortagem de placas retangulares); aplicações 
financeiras (otimização do fluxo de caixa, análise de carteiras de investimento).
Com o intuito de facilitar o entendimento, são apresentados, a seguir, dois exemplos 
práticos do uso de modelos de simulação e otimização.
Exemplo prático de modelo de simulação
Andrade (2009) apresenta um exemplo prático do uso de um modelo matemático 
de simulação. Imagine que uma indústria de queijo vende apenas um único tipo de 
queijo e necessita simular o lucro final que poderia obter a partir de várias hipóteses 
de preço. Nesse caso, visa-se relacionar o preço ao lucro obtido, sendo necessário 
examinar a relação entre preço e receita, considerando-se que o produto apresenta 
determinada elasticidade, ou seja, o preço e a demanda variam em relação inversa. 
Consequentemente, a receita também varia em função do preço, mas em uma relação 
não diretamente proporcional.
Para a construção do modelo, podem ser definidas as seguintes variáveis:
• Preço: é o preço de venda de um queijo.
• Quantidade: é a quantidade de queijo vendida em um mês.
• Receita: é a receita total obtida com a venda do produto.
• Lucro: lucro líquido obtido no mês.
Como o proprietário do estabelecimento conhece o mercado, ele estima que a 
relação pode ser representada de acordo com a Figura 4.
Figura 4. Função da demanda do produto.
Fonte: Andrade (2009, p. 17).
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Com base na relação “preço x demanda” e na função de demanda apresentada 
na Figura 4, pode-se montar o modelo que simula o valor Lucroem função do Preço 
estabelecido pelo empresário, sendo a função escrita como:/lucro
Quantidade = 1000 – 10 × PREÇO Receita = quantidade × PREÇO Lucro = Receita 
- custo
Ao variar o preço do produto, podem ser verificadas as variações no lucro da empresa. 
À medida que ocorre a variação do preço do produto, são obtidos vários valores para 
a variável de decisão lucro.
Exemplo prático de modelo de otimização
Tomando como exemplo o mesmo problema do modelo de simulação, agora, visa-
se estudar a política de estocagem de modo a otimizar sua operação, reduzindo 
eventuais custos. Após ser realizado um levantamento, verificou-se que o custo anual 
para manter os queijos em estoque é de R$ 50,00, sendo contabilizado, nesse valor, 
o capital investido, o custo das instalações, refrigeração, limpeza e seguro, durante 
um ano, e dividindo-se pelo número estimado de queijos que irão compor o estoque 
no mesmo período (um ano). Para isso, vamos considerar que esse número seja 
constante e igual a 1.000 por ano. Considere que o suprimento do produto seja feito em 
quantidades constantes a intervalos regulares e que a colocação de cada encomenda 
tem um custo fixo de R$ 1,000,00. Dessa forma, o objetivo é descobrir a quantidade 
de mercadoria que deve ser encomendada de cada vez, de modo a minimizar o custo 
total de operação de estoque. Como única restrição do problema, suponha que o 
fornecedor poderá entregar no máximo 200 unidades do produto por vez.
As seguintes variáveis para o modelo do problema são definidas:
• A = quantidade anual do produto que a empresa comercializa;
• S = custo de manutenção do estoque, por unidade, por ano;
• P = custo fixo de colocação da encomenda, por pedido;
• Q = quantidade ordenada ao atacadista para suprimento.
Para esse problema, a montagem do modelo se resume a escrever matematicamente 
a função objetivo, a qual pode ser escrita como:
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Custo Total (CT) = custo de manutenção do estoque + custo de colocação da 
encomenda
Sendo que:
Custo de manutenção do estoque = nível médio x custo unitário de manutenção
Custo de colocação da encomenda = nº de pedidos x custo de colocação do pedido
Dessa forma, o modelo do problema é:
Minimizar: CT = (Q/2) · S +(A/Q) · P; sendo que a restrição é Q ≤ 200.
Assim, pode-se resolver o problema derivando a função (CT) com relação à variável 
de decisão Q e igualando o resultado a zero:
d(CT)/dQ = S/2 – (A·P/Q²) = 0
Logo, Q* = √2 ∙ A ∙ P/S; sendo Q* a quantidade a encomendar para mínimo custo 
anual total. Ao utilizarmos os dados do problema, obtemos:
Logo, a encomenda que minimizaria o custo total da operação do estoque seria 
Q* = 200 unidades mensais. Porém, como existe a restrição de que o fornecedor 
pode entregar no máximo 180 unidades, a encomenda mais econômica torna-se, 
obviamente, Q = 180 itens do produto por vez.
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CAPÍTULO 4
ERROS E SUAS FONTES
Imagem: Ilustração sobre erro de paralaxe
Fonte: wikimedia Commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Spiegelskala2.jpg >
Olá caros(as) alunos(as), sejam bem vindos(as) a mais uma aula de cálculo numérico! 
Sobre a imagem da capa, o erro de paralaxe é causado pelo desvio óptico entre o 
observador e a escalar a ser lida. Tanto a posição do observador, quanto o meio 
material (vidrarias), que o separa da escala graduada afetam a leitura do valor. Dentro 
do contexto do estudo dos erros, também há uma discussão sobre as diferenças 
entre precisão e exatidão. São teorias que interessam muito os físicos experimentais, 
teóricos, matemáticos, estatísticos, economistas, dentre outros. Os conceitos de 
precisão e exatidão são de grande importância para o estudo do erro. O conceito 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Spiegelskala2.jpg
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de exatidão diz respeito ao quão perto determinada medição encontra-se ou não do 
valor verdadeiro. Precisão trata-se sobre quão próximas as medidas estão umas das 
outras considerando um mesmo item ou grupo. A precisão independe da exatidão. 
Analisando o exemplo de um alvo de dardos considerando o centro como o verdadeiro 
valor. Quanto mais perto os dardos caem do centro do alvo, mais exatos são. Se os 
dardos não estiverem perto do centro do alvo, nem próximos uns dos outros, não 
haverá exatidão nem precisão, conforme figura 1A. Se todos os dardos caírem muito 
próximos uns dos outros, mas longe do centro do alvo, haverá precisão, mas não 
exatidão, conforme figura 1C. Se os dardos pousam perto do centro do alvo e juntos, 
há exatidão e precisão, conforme figura 1B.
Figura 1: diferença entre precisão e exatidão
Fonte: wikimedia Commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Precision_versus_accuracy.svg/2543px-Precision_
versus_accuracy.svg.png>
Como os conceitos de precisão e exatidão poderiam ser aplicados em problemas 
simples? Um biólogo precisa sair em um barco para coletar e registrar dados de 
temperatura e salinidade de um registrador que está conectado a uma boia submarina. 
O biólogo verifica a previsão do tempo na noite anterior à viagem para saber o que 
vestir no barco. O meteorologista da TV diz que estará entre 26 e 31 C° ao meio-dia 
do dia seguinte. A leitura da temperatura real, no dia seguinte, no barco ao meio-dia 
é de 28°C. Observe que o valor real representa quase que o valor médio em relação a 
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faixa estimada. Então, qual seria a margem de erro ou tolerância para classificar um 
resultado como preciso ou exato? A resposta é: depende das métricas e das ordem de 
grandeza. Certas análises de dados demandam maior rigor do que outras, entretanto, 
os conceitos da precisão e exatidão você já conhece. Um jogador de dardos pode ver 
a precisão de seus lançamentos, comparando a localização dos dardos lançados, 
com o alvo. Isso ocorre, pois, os círculos delimitam, razoavelmente, por meio da sua 
geometria, o que é ou não preciso e exato. Se atribuirmos valores de raio, diâmetro 
ou área para estes círculos poderemos fazer algumas analogias utilizando números. 
Esta discussão deve ser levada em consideração durante a coleta e análise de dados 
experimentais nas práticas laboratoriais de física, matemática, engenharia, dentre 
outras. Entendeu? 
Esta aula tem como propósito o estudo das principais fontes de erros e apontar erros 
absolutos e relativos. Pode-se afirmar que erros surgirão na resolução de problemas 
reais utilizando os métodos numéricos. Ao longo deste capítulo, serão estudadas as 
variadas fontes de erros que podem causar alteração nas soluções de problemas. A 
análise dos erros é essencial devido ao fato de os métodos numéricos fornecerem 
soluções aproximadas para os problemas sugeridos. Para nos auxiliar em um melhor 
entendimento acerca dos conceitos tratados ao longo da disciplina, trabalharemos 
as noções de erro absoluto e erro relativo. Existem 4 fontes principais de erros que 
podem ocasionar as diferenças entre a solução exata e a solução aproximada do 
problema real, sendo possível de ocorrerem tanto na fase de modelagem quanto na 
fase de resolução:
a) Erros nos dados;
b) Simplificações na construção do modelo matemático;
c) Erros de truncamentos;
d) Erros de arredondamentos nos cálculos.
Pode-se afirmar que os erros nos dados e as simplificações da construção de um 
modelo físico e matemático ocorrem durante a fase da modelagem. Já os erros de 
truncamento e arredondamento na fase de resolução.
A seguir, trataremos de cada um desses tipos de erro de maneira particularizada.
Erros inerentes aos dados: um modelo matemático é composto por equações, 
relações dados e parâmetros que são medidos experimentalmente e que podem ter 
uma grande repercussão no resultado final. Isso ocorreporque os dados em si nem 
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sempre são exatos. Logo, operações sobre valores não exatos propagam seus erros 
aos resultados gerados;
Erros nos dados
Como os dados e parâmetros de um problema real são provenientes de medidas 
adquiridas através de experimentos, levantamentos ou pesquisas, eles estão sujeitos 
a imprecisões ou incertezas sejam de ações humanas, sejam dos instrumentos de 
pesquisas ou ainda dos equipamentos de medições em si. O próprio armazenamento 
dos dados no computador pode gerar os erros nos dados, uma vez que o computador 
utiliza um número finito de dígitos na representação de números reais. Sendo assim, 
a representação exata de números irracionais se torna praticamente impossível. Vale 
ressaltar, também, que até certos os números racionais podem ter sua representação 
exata ameaçada dependendo do sistema numérico escolhido. Outro cenário que pode 
ocorrer é de os dados serem provenientes de outro problema que possua erros em si. 
Esse é um tipo de erro que se define como exterior ao processo de cálculo.
Simplificações na construção do modelo matemático
Um mesmo problema real pode ter vários modelos matemáticos propostos para a 
sua resolução, ocorrendo, às vezes, de um modelo matemático não traduzir de forma 
fidedigna o problema real e, em outras vezes, o modelo ser muito complexo para ser 
aplicado. Em ambas as situações, na tentativa de ser ter um modelo considerado 
tratável, é necessário forçar algumas restrições de simplificações do modelo. Tem-se, 
dessa maneira, um modelo aproximado que não elucida fielmente a realidade. Quando 
a solução, mesmo que exata, de um modelo aproximado, derivar de alterações e/
ou simplificações, é necessário considerar os erros nela surgidos. Por conseguinte, 
recomenda-se que sejam realizados experimentos que visem a verificação das 
simplificações feitas e a compatibilidade dessas com os dados experimentais, isto 
é, é sensato que o modelo simplificado seja validado. Portanto, são considerados os 
melhores modelos matemáticos aqueles que incluem as características do problema 
real necessárias para reduzir os erros na fase do cálculo a um nível plausível; alguns 
exemplos de simplificação de modelos são: desconsiderar o atrito ou a resistência nos 
movimentos, subestimar a massa de um pêndulo quando calcular o ser período. Isso 
ocorre porque, dificilmente, um modelo matemático representa os fenômenos reais.
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 Erro de truncamento (ɛt)
Esse tipo de erro ocorre quando se interrompe um processo infinito ou muito grande 
em um ponto estabelecido, isto é, quando se substitui o processo infinito por um 
processo com uma limitação prefixada. Logo, pode-se dizer que um erro de truncamento 
ocorre ao substituir-se um processo matemático exato, seja finito ou infinito, por um 
processo aproximado que corresponda a uma parte do processo exato. O truncamento 
da série ou sequência ocorrerá por se desprezar alguns termos de uma série ou 
sequência como sem 7, e3, ln(10), 41/5. Um exemplo que temos é a série de Taylor para 
y= f(x) e que tenha imagem e derivadas sucessivas em x = a é a seguinte fórmula:
Como não se consegue usar os infinitos termos, ela será interrompida e o erro 
de truncamento (ɛt) é gerado. Um outro exemplo é a série de Maclaurin onde o valor 
exato é dado pela série:
A representação desse somatório seria:
Porém, como é impossível somar os infinitos termos da série, faz-se uma aproximação 
por um número finito de termos, que nos retornará:
onde N é um determinado número natural. A aproximação será mais precisa à 
medida que N aumentar e, consequentemente, o erro de truncamento, diminuir.
ISTO OCORRE NA PRÁTICA
Para a série de Maclaurin interrompida no 6º termo, obtém-se com ɛa ≤ 10-9:
e = 1 + 1 + + + + = 2,718055556
Se aumentarmos os termos, tem-se:
e = 1 + 1 + + + + + + + = 2,718305585
Pode-se observar que o erro ocorreu na 4ª casa decimal.
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Erro de Arredondamento (ɛa)
Os erros de arredondamento decorrem dos cálculos/operações matemáticas 
envolvidas em um método numérico. Ele ocorre sempre que se despreza a parte 
decimal de um número e isso se dá ao operar com números irracionais ou dízimas 
periódicas por estes serem representados por valores aproximados no computador e 
na calculadora já que suas casas decimais são infinitas e a representação na máquina 
é finita, o que é chamado de aritmética de precisão finita. Portanto, quando o resultado 
de uma operação for um número em que não seja possível sua representação exata 
no sistema, é necessário fazer arredondamentos onde dígitos podem ser desprezados 
e arredondamento do número ser realizado.
ANOTE ISTO
Lida-se fundamentalmente, nas soluções numéricas, com valores aproximados o 
que leva a erros em quase todos os cálculos. Logo, não se pode ignorar a existência 
de erros na utilização de métodos numéricos. 
Ressalta-se que não se pode contar com um resultado exato de uma operação 
mesmo que haja parcelas ou fatores de uma operação representados de forma exta 
no sistema. Por exemplo, não é possível multiplicar o número 0,333 por 2 já que não 
se tem o último algarismo. No computador ou na calculadora, considera-se uma parte 
muito grande o número 0,3333333333333333 para se realizar a multiplicação, tendo 
0,6666666666666666 como resultado. Como, no exemplo acima, parte do número foi 
desprezada a partir da 16ª casa decimal, então tem-se que ɛa ≤10-16.
Outro exemplo corre ao se escrever o número π como 3,1 ou 3,14 ou 3,1415, 
cometem-se ɛa da ordem de 10-1, 10-2, e 10-4 respectivamente. Abaixo, seguem alguns 
outros exemplos:
• 4.568,7389:3 = 1.522,9130 (valor correto com ɛa≤10-4). Pode-se, também, 
multiplicar por 0,3333 esperando ter quatro casas decimais corretas, obtendo-
se: 4.568,79 x 0,3333= 1.522,7605. Observe que o erro apareceu na 1ª casa 
decimal; 
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• 45 : (4-√15 = 354,284 (valor correto com ɛa ≤ 10-3 ). Ao tomar a raiz quadrada de 
15 como 3,872 obtém-se 45 : (4-3,872) = 351,563. Observe que o erro apareceu 
na casa das unidades.
• Para se calcular a área de um círculo com r= 5,3749 m, usa-se a fórmula A= 
πr2. Utilizando-se π = 3,14 * (5,3749)2 = 90,7131870314 m2 .Como o π usado foi 
com 2 casas, tem-se o ɛa≤10-2, dando-se a resposta A = 90,71. Como o raio foi 
medido com 4 casas decimais, para dar uma resposta com ɛa≤10-4, o π deve ser 
usado com o máximo possível de casas decimais, como na calculadora ou no 
computador. Ao usar a calculadora obtém-se A = 90,75919807..., considerando 
ɛa≤10-4, A= 90,7592.
O erro de arredondamento pode ocorrer, também, na mudança de base numérica 
já que computadores e calculadoras, ao passarem números da base 10 para a base 
2, introduzem esse tipo de erro. O número 0,6, por exemplo, ao ser representado na 
base dois se transforma em dízima periódica como podemos ver abaixo:
0,610 = 0,1001 ... 2 (dízima periódica). O erro de arredondamento pode, na aplicação 
de métodos numéricos, ser controlado até certo ponto. Portanto, para se evitar erros de 
arredondamento, deve-se procurar operar com mais casas decimais do que a resposta 
pretendida. Outra forma de se melhorar a precisão decorrente do arredondamento é 
reformular o problema proposto. Um outro cuidado que se deve ter é, em grandes 
operações com dados numéricos e em certas operações instáveis, trabalhar de forma 
que os erros de arredondamento não se propaguem em proporções que venham 
interferir drasticamente nos resultados. Como pode-se observar, modelos matemáticos 
em geral, sejam de álgebra linear ou não linear, estatística, cálculo diferencial e integral, 
análise de dados, podem trazer algumas formas de erros de arredondamento, sendo 
os mais comuns:
1) Erros de precisão nas mediações:ocorrem devido aos instrumentos utilizados 
e condições de medição;
2) Erros de simplificação na modelação: ocorrem ao se desconsiderar fatores 
menos relevantes de forma proposital no equacionamento de um dado problema, 
como por exemplo a velocidade do vento;
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3) Erros acumulados no processo de cálculo: esses tipos de erro, quando pequenos, 
caso sejam “desconsiderados” irão se propagar e acumular ao longo das 
operações seguintes.
4) Erros devido à mudança de base: esses tipos de erros ocorrem devido à limitação 
que há nos aparelhos eletrônicos quando a conversão é feita do sistema binário 
para o decimal. 
Espera-se, que ao conhecer as origens de alguns erros numéricos, exista uma maior 
preocupação para controla-los ao máximo. Por isso, é primordial conhecer os efeitos 
da propagação dos erros e a determinação do erro final das operações numéricas.
ANOTE ISTO
Pode-se comparar o erro de truncamento ao de arredondamento no seguinte 
sentido: o erro de truncamento “corta” os números a partir de uma casa decimal 
qualquer, já o erro de arredondamento “analisa” como deve ser feito o arredondar do 
resultado encontrado. Por exemplo:
No número 3,0789, considerando a 2ª casa decimal, tem-se que, pelo ɛa teríamos o 
resultado 3,08; já pelo ɛt, teríamos 3,07 como resultado.
Erro absoluto
Ao resolver um problema real com o auxílio de métodos numéricos, os resultados 
encontrados são comumente aproximações do valor exato/real da solução do problema. 
Dessa maneira, trabalhar com erros e aproximações torna-se algo intrínseco aos 
métodos numéricos. Para se saber acerca da qualidade da aproximação e se ter 
uma noção mais clara sobre o valor exato da solução, é de extrema importância se 
ter a informação do erro ali contido.
Exemplo 1:Observe a equação 2x3 + 3x -7 =0. 
Ela possui apenas uma raiz com aproximações iguais a: 1,195000, 1,195175 e 
1,195200. Qual dessas aproximações está mais perto do valor real da raiz?
Esta pergunta só pode ser respondida se conhecermos a qualidade da aproximação.
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Geralmente, tem-se uma melhora nas aproximações ao se aumentar o esforço 
computacional, porém, é de suma importância que essa aproximação esteja o mais 
perto do valor exato. Tem-se, então, o erro absoluto que irá quantificar essa informação. 
Ou seja, o quão distante está do valor real, o valor calculado.
Cunha & Castro (2010), trazem a seguinte consideração:
Definição 1: Seja x um número e uma aproximação, chama-se erro absoluto, e 
designa-se por EAx, a diferença entre x e Simbolicamente, EAX = x- . No caso de x> , 
ou seja, quando EAx > 0, dizemos que é uma aproximação por falta e, no caso de x< 
, ou seja EAx <0, dizemos que é uma aproximação por excesso. Vejamos o seguinte 
exemplo: 3,14<π<3,15, logo 3,14 é uma aproximação do número π por falta e 3,15 por 
excesso. Vale lembrar que, quando não conhecermos o valor exato de um número x, 
será muito difícil calcularmos o valor exato do erro absoluto o que nos leva a determinar 
uma estimativa ou um limitante superior para o módulo do erro absoluto. 
Se considerarmos π ϵ (3,14;3,15), teremos que:
 Isso nos mostra que o erro absoluto cometido é inferior 
a um centésimo.
Por definição, tem-se que ɛ>0, tal que <ɛ, é denominado de cota para o erro 
EAx. No caso de <ɛ, teremos:
Dessa forma, vemos ser possível definir que o valor exato x estará entre 2 valores 
conhecidos: e . O esperado é que uma cota para EAx, seja a mais próxima 
de 0 possível. Entretanto, o erro absoluto nem sempre será o bastante para assegurar 
a qualidade da aproximação.
Trabalharemos duas situações:
1ª situação- apropriada de Ruggiero e Lopes (1996, p.13): considere um número x 
como uma aproximação = 2112,9, tal que <0,1, o que implica xϵ(2112,8;2113) 
e seja o número y com uma aproximação de = 5,3 tal que <0,1, implicando em y ϵ 
(5,2; 5,4). Pode ser observado que os limites superiores para os módulos dos erros 
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absolutos são os mesmos, mas isso garante que as aproximações tenham a mesma 
precisão?
2ª situação- apropriada de Freitas (2000, p.18): Tem-se que x =100, = 100,1, 
y= 0,0006 e = 0,0004. Logo, EAx = 0,1 e EAy=0,0002. O fato de ser muito 
menor do que garante que é melhor do que ?
Antes de responder às questões acima, deve-se confrontar a ordem de grandeza 
de x e y. A primeira análise assegura que as grandezas dos números envolvidos são 
bem diferentes, sendo que, na situação 1, conclui-se que é mais precisa do que . 
Isso ocorre porque a ordem de grandeza de x é maior que a ordem de grandeza de y 
e as cotas para os erros absolutos são as mesmas (0,1). Na situação 2, a ordem de 
grandeza de x ainda é maior que a ordem de grandeza de y, porém a cota para o erro 
em x é maior que a cota para o erro em y, fazendo ser necessária uma análise mais 
cuidadosa nesse caso. O que nos leva ao estudo do erro relativo.
Erro relativo
Dados um número x e ≠ 0 o erro relativo (ERx) será a razão entre o EAx e . 
Ou seja:
Para representar o ERx em porcentagem, chamando-o de erro percentual ou 
porcentagem de erro, devemos fazer a multiplicação 100 X ERx.
Usaremos os valores da situação 1 como um primeiro caso prático desse tipo de 
erro.
A partir dos valores obtidos acima, podemos dizer que a aproximação para x é 
mais precisa que a aproximação para y. Por certo, um erro da ordem de 0,1 é menos 
significativo para x que é da ordem de milhares do que para y que é da ordem de 
unidades.
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Agora, usaremos os valores da situação 2 para calcularmos os erros relativos e 
percentuais cometidos nas aproximações:
Logo, observa-se que a aproximação para x é mais precisa do que a para y. Dessa 
forma, um erro de ordem de 0,1 para x, que é da ordem de centenas, terá menos 
importância que um erro de 0,0002 para y, que é da ordem de décimos de milésimos.
Considerações finais
Um dos grandes desafios para físicos, cientistas e engenheiros(as) dentre outros 
profissionais é modelar matematicamente um problema, com intuito de obter uma 
resposta a um conjunto de parâmetros de um projeto ou operação. No ensino de base, 
aprendemos a utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver uma equação quadrática. Por 
meio dela, conseguimos encontrar as “raízes” de determinada equação, representando 
os valores de x que tornam a equação igual a zero. Esse processo pode ser realizado 
com tranquilidade e sem muita dificuldade. No entanto, para muitas outras funções, as 
raízes não podem ser determinadas tão facilmente. A técnica de solução aproximada 
utiliza o recurso gráfico para mostrar onde a função cruza o eixo x, retratando assim 
a raiz. Esse tipo de recurso, também é limitado, pois se trata de uma estimativa 
grosseira e de pouca precisão. Outra técnica possível é a de tentativa e erro, em 
que se sugere um valor para x. Dada a ineficiência e inadequação de tais métodos 
as necessidades da ciência, os métodos numéricos surgiram como uma alternativa 
que emprega estratégias sistemáticas para solucionar de maneira mais assertiva 
problemas reais. Por fim, nesta aula, também conscientizarmo-nos das principais 
fontes geradoras de erros ao utilizarmos os métodos numéricos para a resolução de 
problemas reais. Apresentamos algumas técnicas para se medir estes erros. 
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CAPÍTULO 5
TEORIA DA 
PROPAGAÇÃO DE ERROS
Imagem: Representação de alta precisão e baixa exatidão.
Fonte: wikimedia Commons Disponível em <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/High_precision_Low_accuracy.svg/2048px-High_
precision_Low_accuracy.svg.png>
A incerteza na medição é inerente ao processo de medir uma grandeza, pois, ainda 
que nas mesmas condições, é possível que o operadorobtenha diferentes leituras para 
a mesma grandeza. Para trabalhar com essas incertezas, o profissional precisa estar 
atento ao efeito que elas têm no sistema, por meio do cálculo da propagação do erro. 
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Para isso, é necessário relembrar os conceitos de cálculo diferencial, como a derivada e a 
derivada parcial, fundamentais para o entendimento da propagação do erro em sistemas 
multivariáveis. Neste capítulo, você vai estudar o papel da derivada parcial na propagação 
de incertezas de medição. Além disso, vai ver o método de Kleine e McClintock para o 
cálculo da propagação do erro em sistemas multivariáveis. Por fim, vai reconhecer a fonte 
dos principais erros e incertezas presentes em medições industriais.
5.1 Derivadas parciais
O cálculo diferencial está presente no cotidiano do engenheiro. É por meio dele 
que entendemos e descrevemos muitos fenômenos físicos, otimizamos sistemas e 
desenvolvemos algoritmos. O seu uso se estende até mesmo para o equacionamento 
de incertezas presentes em processos de medição. Para entender como isso funciona, 
é necessário revisar os conceitos de cálculo, a começar pela derivada de uma função.
A derivada de uma função pode ser definida como a taxa de variação instantânea 
de uma variável em relação a outra. Essa taxa de variação está ligada à inclinação de 
uma reta tangente em um determinado ponto estudado (LARSON; EDWARDS, 2013). 
Para expressarmos essa taxa de variação, é comum utilizarmos a seguinte notação, 
considerando uma função dada por:
A derivada dessa função em relação à variável independente x pode ser descrita 
como:
Na Figura 1, observe o conceito de derivada como a linha tangente ao ponto “a”.
Figura 1. Conceito de derivada
AUTOR (2019)
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Exemplo Resolvido
O posicionamento de peças em uma esteira é dado pela seguinte expressão
Para conhecer a velocidade da esteira, podemos utilizar a derivada da função s(t) 
em relação à variável independente t. Assim, obtemos:
Essa expressão representa a velocidade das peças na esteira. Note que ainda é 
possível diferenciar novamente a expressão, de modo a obter a aceleração das peças:
Essa expressão representa a velocidade das peças na esteira. Note que ainda é 
possível diferenciar novamente a expressão, de modo a obter a aceleração das peças:
Essa definição nos dá a derivada para um sistema com apenas uma variável de 
entrada. No entanto, em processos industriais, muitas vezes trabalhamos com sistemas 
que dependem de diversas variáveis independentes. Como o valor da função que 
estamos estudando será afetado pela mudança em uma das variáveis independentes? 
Por meio desse questionamento, surge o conceito de derivada parcial, em que podemos 
considerar a mudança em uma variável independente por vez (LARSON; EDWARDS, 
2013).
Começamos por definir a nossa função em relação a múltiplas variáveis, conforme 
a expressão a seguir:
A derivada parcial dessa função é obtida ao considerarmos uma variável como 
objeto de estudo e as demais como constantes da função. Assim, a derivada parcial 
para as diferentes variáveis é dada por:
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Nesta seção, vimos a importância da derivada parcial e como realizar seu cálculo. Os 
sistemas multivariáveis são comuns e estão presentes no ambiente industrial. Assim, 
o uso das derivadas parciais para a determinação da incerteza nesses processos é 
fundamental. A seguir, veremos como a derivada parcial pode ser utilizada para o 
cálculo da incerteza.
5.2 Método de Kleine e McClintock
Em processos industriais, é comum desejar estimar o valor de uma grandeza do 
processo, baseando nossa estimativa em medições de variáveis que contribuem para 
a variação da grandeza. Como o processo de medição em si contém incertezas, é 
fácil perceber que tais incertezas serão propagadas para a grandeza que desejamos 
conhecer. Além disso, podemos querer entender como a grandeza estudada é sensível 
à mudança em diferentes variáveis do processo, para contribuir ao controle da grandeza 
de interesse. A relação entre a variável de interesse y e a variável medida x pode ser 
definida como apresentado na Equação (1). Supondo que diversas medidas da variável 
x foram realizadas, podemos inferir que o valor real da variável x está em uma faixa 
de valores dada pela média de x e um intervalo de incerteza dado pelo desvio-padrão 
das medições realizadas (FIGLIOLA; BEASLEY, 2020). Assim, podemos calcular o valor 
médio da variável como:
onde:
• N é o número total de medidas da variável x;
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• i é a i-ésima grandeza de entrada do sistema;
• j é a j-ésima medida da grandeza xi.
Segundo Hogg, McKean e Craig (2005), a incerteza das medições de x pode ser 
dada pelo desvio-padrão, calculado por:
Onde sigma² é a variância das medições de xi .
Por fim, sigma xi é o desvio-padrão das medições de xi. Essa incerteza no valor 
da variável independente implica que o valor da grandeza estudada estará em algum 
ponto dado por:
Onde é o valor médio da saída do sistema e é a incerteza relacionada à saída.
Com isso, percebemos que as incertezas relacionadas às medidas serão propagadas 
para a variável de interesse e resultam em incerteza na estimativa para y. Perceba que 
quanto maior o número de variáveis independentes no processo, maior será a incerteza 
relacionada à medida da grandeza y. Pensando nisso, seria necessária uma expressão 
que descrevesse como as incertezas nas variáveis independentes se propagaria para 
a grandeza estudada. Então, Kleine e McClintock apresentaram a seguinte expressão 
para a determinação da incerteza:
Essa equação recebe o nome de lei de propagação da incerteza, ou lei da propagação 
do erro. É por meio dessa expressão que podemos obter o valor de incerteza para a 
grandeza de interesse. Na Figura 2, é possível notar os efeitos que as incertezas na 
variável independente causam na variável dependente. Perceba que agora não estamos 
trabalhando com um ponto, mas sim com uma faixa de valores dada pela incerteza. 
Seguindo a sensibilidade da função em relação à variável de entrada, a incerteza na 
grandeza estudada pode aumentar ou diminuir.
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Figura 2: Derivada da função y em relação a x considerando as incertezas. 
Autor (2019)
Para expressarmos um intervalo de valores para a grandeza y com determinada 
probabilidade, é possível adotar o nível de confiança percentual. O nível de confiança 
percentual está associado a um fator de abrangência k, como apresentado no quadro 
a seguir (BARATTO, 2012).
p k
68,27% 1,000
90,00% 1,645
95,00% 1,960
95,45% 2,000
99,00% 2,576
99,73% 3,000
Tabela 1: nível de confiança percentual e o fator de abrangência k
Autor (2019)
Ao adotar um nível de confiança para a medição, é possível descrever a incerteza 
expandida para a grandeza conforme a seguinte equação:
Por fim, podemos descrever a faixa de valores para a grandeza y com uma determinada 
probabilidade por meio da expressão:
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Exemplo:
Em um processo industrial, deseja-se a estimativa de uma grandeza z que está em 
função das medições x e y, conforme o quadro a seguir. Sabendo que z é dado por Z= 
X². Y. Determine a faixa de valores para z com uma probabilidade de 95%.
Autor (2018)
Para solucionar o problema, começamos calculando a média e as variâncias das 
amostras conforme a seguinte expressão:
Agora, precisamos determinar a incerteza combinada, dada pelo método de Kleine 
e McClintock:
A seguir, calculamos a incerteza expandida, obtendo:
Obtemos a faixa de valores com probabilidade de 95%, dada por:
Nesta seção, estudamos a relação entre a derivada parcial e a propagaçãode erros 
dada pelo método de Kleine e McClintock. Por meio dessa expressão, avaliamos como 
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as variáveis independentes afetam a variável dependente. A seguir, estudaremos o que 
causa as incertezas e os erros de medição em instrumentos utilizados no ambiente 
industrial.
5.2 Propagação De Erros Em Instrumentação
Nas seções anteriores, nos dedicamos a entender como as incertezas e os erros 
em medição podem se propagar para a variável de interesse no processo de medição. 
Porém, até agora, pouco falamos sobre o que causa tais erros e incertezas. Entender 
os diferentes tipos de erros e suas causas auxilia o profissional a tomar medidas para 
minimizar o erro nas medições e, consequentemente, diminuir a sua propagação para 
a grandeza estudada.
O erro é geralmente classificado como erro sistemático e erro aleatório. Veja a 
seguir a definição deles, conforme Aguirre (2013) e Figliola e Beasley (2020).
• Erro sistemático: é um valor de erro constante que ocorre em medições 
repetidas e nas mesmas condições. Esse erro pode causar uma variação 
pequena ou grande no valor estimado da variável de interesse. É comum que, 
ao perceber o erro sistemático, seja estimada uma faixa de valores para esse 
erro. Essa faixa de valores recebe o nome de incerteza sistemática. O maior 
problema quanto ao erro sistemático é que ele é de difícil reconhecimento. 
Para ajudar a reconhecer o erro sistemático no sistema, é necessário fazer 
comparações. São métodos para a minimização desse erro: calibração de 
instrumentos, diferentes metodologias para a mesma medição, comparação 
entre processos, entre outros.
• Erro aleatório: muitas vezes, ao realizarmos medições repetidas e nas mesmas 
condições, podemos observar algum espalhamento nos dados medidos. 
Diferentemente do erro sistemático, esse erro é de fácil observação no 
conjunto de dados. Eles ocorrem em razão da própria dinâmica do sistema, 
de ruídos do processo, de problemas na calibração do instrumento, entre 
outros motivos.
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A Figura 3 apresenta exemplos de erro aleatório e de erro sistemático. A Figura 3a 
mostra um sistema que apresenta erro aleatório e sem erro sistemático, uma vez que 
os pontos estão em torno do valor real, mas com grande espalhamento. A Figura 3b 
apresenta um sistema com erro aleatório e erro sistemático, pois os valores mostram 
um erro constante em relação ao valor real e com grande espalhamento. Nas Figuras 3c 
e 3d, vemos um sistema sem erro aleatório, pois o valor entre os pontos está próximo 
entre si. A diferença entre elas é que a Figura 3c apresenta um erro sistemático.
Figura 3. Exemplos de erros sistemáticos e randômicos: (a) impreciso e exato; (b) impreciso e inexato; (c) preciso e inexato; (d) preciso e exato.
Autor (2019)
Segundo Figliola e Beasley (2020), é possível classificar a fonte do erro ao separar 
o processo de medição em três grandes grupos: a calibração, a aquisição dos dados 
e a redução dos dados. Segundo os autores, nesses processos principais existem 
erros que podem ser levados para o sistema. Veja a seguir, no Quadro 1, os erros 
mais comuns que podem surgir durante esses processos.
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Elemento Erros de calibração Erros na aquisição dos dados Erros na redução dos dados
1 Erro no valor de referência Medição das condições de operação do sistema Erro na adequação da curva
2 Erro no instrumento ou no sistema Sensor-transdutor (erro no instrumento) Erro de truncamento
3 Erro no processo de calibração Condicionamento do sinal (erro no instrumento) Erro de modelagem
4 Adequação da curva de calibração Saída (erro no instrumento)
5 Condições de operação do processo
6 Efeito da instalação dos sensores
7 Efeitos do ambiente
8 Erro de variação espacial (conjunto de dados)
9 Erro de variação temporal (conjunto de dados)
Quadro 1. Tipos de erros e seus exemplos
Fonte: Adaptado de Figliola e Beasley (2020).
Ainda, é possível apontar erros relacionados à leitura realizada pelo profissional que 
está operando o instrumento. Esses erros são chamados de erros grosseiros e podem 
ser causados tanto pelo descuido do operador quanto por fenômenos intrínsecos ao 
processo de medição. Os erros mais comuns relacionados à leitura dos instrumentos 
são o erro de interpolação e o erro de paralaxe (SILVA NETO, 2013).
O erro de interpolação ocorre devido ao posicionamento do ponteiro do instrumento 
em relação à escala que está sendo medida. Quando, ao realizar uma medição, o 
ponteiro está entre dois valores conhecidos da escala, esse valor não representa o 
valor médio entre os dois valores conhecidos, e fica ao critério do operador o valor que 
será atribuído à leitura. Assim, ocorre um erro relacionado à medida do instrumento.
Segundo Silva Neto (2013), o erro de paralaxe ocorre quando a posição do operador 
e do instrumento de leitura não é a correta. Se existir um ângulo entre a linha de visão 
do operador e a escala do aparelho, o erro de paralaxe ocorrerá, e um valor errôneo 
será atribuído à leitura. Vale ressaltar que aparelhos analógicos apresentam uma 
marcação auxiliar para evitar o erro de paralaxe. 
Neste capítulo, você viu o papel da derivada parcial para a determinação da incerteza 
combinada quando o processo está em função de múltiplas variáveis de entrada. 
Além disso, conheceu o método de propagação de erro para avaliar a incerteza de 
forma quantitativa e determinar a probabilidade de o valor da grandeza estar dentro 
de uma faixa de valores. Por fim, estudou os erros e as incertezas que ocorrem no 
processo de medição.
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CAPÍTULO 6
ESTUDO DE FUNÇÕES: REVISÃO
Imagem de capa: Definição de função
Fonte: wikimedia Commons Disp0nível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/PolygonsFunction.svg/2444px-PolygonsFunction.
svg.png> 
6.1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
A noção de função é um dos principais conceitos aplicados no nosso cotidiano, 
justamente por ser uma das principais tarefas visando o entendimento do cotidiano 
em diversas áreas e o estabelecimento de regras ou padrões. Veja , por exemplo, na 
figura a seguir a representação gráfica do crescimento do PIB e da renda per capita 
de 2010 a 2022.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/PolygonsFunction.svg/2444px-PolygonsFunction.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/PolygonsFunction.svg/2444px-PolygonsFunction.svg.png
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FIGURA 1– GRÁFICO RELACIONANDO O PIB E A RENDA PER CAPITA DE 2010 A 2022
FONTE: ALVES, J. E. D. População e economia nos 200 anos da Independência do Brasil: 1822-2022. Juiz de Fora: UFJF, 2017. Disponível em: https://www.ufjf.
br/ladem/2017/05/05/populacao-e-economia-nos-200-anos-da-independencia-do-brasil-1822-2022-artigo-de-jose-eustaquio-diniz-alves/. Acesso em: 22 set. 
2022
Veja que existe uma relação entre as grandezas PIB e Renda per capita e tempo 
em anos, certamente estas não são as únicas informações que devemos levar em 
consideração para conclusões maiores sobre a relação direta, mas a representação 
gráfica destes dados nos possibilitou facilitar o entendimento geral e extrair algumas 
informações importantes. Diversos matemáticos como René Descartes, Gottfried 
Wilhelm von Leibniz, Daniel Bernouilli, Jacob Bernoulli, Leonhard Euller, Jean Baptiste 
Joseph Fourier, entre outros contribuíram fortemente suas definições para o campo 
de estudo de cálculo e funções. A princípio entendemos função como uma regra 
de correspondência entre dois grupos numéricos, onde um elemento x do conjunto 
denominado domínio está ligado a um outro elemento y de um segundo conjunto, 
chamado de contra domínio. Mas segundo GERÔNIMO J. e FrancoV. (2008), uma 
função de A em B, sendo estes dois conjuntos quaisquer, é uma terna (f, A, B) em que 
f é uma relação dada por f : A B→ em que o domínio da função é todo o conjunto A 
de onde para qualquer elemento x em A existe um único elemento y em B, formando 
um par ordenado (x,y) pertencente a f. Sendo x a chamada variável independente e 
f(x) = y é a variável dependente.
Existem diversos tipos de funções, as polinomiais, logarítmicas, modulares, 
exponenciais, por parte, entre outras. Toda função pode ser representada pela regra 
que faz a descrição dos seus elementos, a chamada lei de formação, pela enumeração 
de alguns elementos, ou por um recurso visual que reúne os pares ordenados (x,y) 
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desta relação, chamado gráfico. Cada tipo de função é representado por um gráfico 
diferente, podendo ser uma reta, uma curva ou um conjunto de pontos. Para auxiliar 
no desenho do gráfico é usado o plano cartesiano. 
6.2 FUNÇÃO POLINOMIAL: GRÁFICO DAS FUNÇÕES, ZEROS E SINAIS DAS 
FUNÇÕES
Definimos uma função polinomial uma função que possui a lei de formação um 
polinômio. Este tipo de função é muito comum no estudo e comparação entre grandezas. 
Uma função polinomial é representada por:
As funções polinomiais são classificadas de acordo com o grau de seu polinômio.
Função polinomial de grau 1
Uma função é dita polinomial do grau 1 quando em sua lei de formação o expoente 
da variável é 1 e ela é escrita da forma f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. O 
coeficiente à é o chamado de coeficiente angular e o coeficiente b é o chamado de 
coeficiente linear. 
Raiz (zero)
A raiz, ou zero, da função, é o valor de x que faz com que a função tenha valor 0. 
O número de raízes de uma função depende do grau da mesma, ou seja, uma função 
do 1° grau possui apenas uma raiz. Para determinar a raiz da função a igualamos a 
0 e operamos algebricamente para determinar o valor de x.
EXEMPLO
Um instituto de meteorologia localizado em uma cidade no Sul do Canadá e percebeu 
que as temperaturas daquela cidade obedeciam um comportamento linear, de forma 
que até as 15 horas a função que descrevia a temperatura era f(x) = 2x – 10 e após 
as 15 horas a função passava a ser g(x) = -3.3x + 70. Determine a quais horas do dia 
a temperatura era igual a 0°C.
Solução:
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A temperatura ao longo do dia era descrita por duas funções do primeiro grau. O 
exercício pede para encontrar quando a temperatura era igual a 0°, ou seja, encontrar 
a raiz de cada função.
f(x) = 2x – 10
0 = 2x – 10
10 = 2x
x = 5.
g(x) = -3.3x + 70
0 = -3.3x + 70
-70 = -3.3x
x ≈ 21.
Ou seja, a temperatura era 0 graus às 5 e aproximadamente as 21 horas. O gráfico 
de uma função polinomial do 1° grau, ou função afim, é sempre uma reta, e seu 
traçado é influenciado pelos coeficientes angular e linear. A inclinação da reta depende 
do coeficiente angular. Se o valor de a for positivo então a função será crescente, se 
o valor de a for negativo, a função será decrescente e sendo a igual a 0 temos uma 
função constante. O coeficiente linear da função, b, define o momento em que a 
função corta o eixo y.
a > 0 a = 0 a < 0
Crescente Constante Decrescente
Figura 2: INCLINAÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
FONTE: Elaborado pelo autor - Geogebra (2020).
Como vimos, a função do primeiro grau possui apenas uma raiz e seu gráfico é 
sempre uma reta que corta o eixo x no valor da raiz da função.
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a > 0 a = 0 a < 0
Crescente Constante Decrescente
Figura 3: ESTUDO DE SINAL DA FUNÇÃO AFIM
FONTE: Elaborado pelo autor - Geogebra (2019).
Em uma função afim crescente, todos os valores à direita da raiz são positivos, e 
todos os valores à esquerda são negativos. Em uma função afim decrescente, todos os 
valores à esquerda da raiz são positivos, e todos os valores à direita são negativos. Em 
uma função afim constante, todos os valores serão positivos ou negativos, dependendo 
do coeficiente linear da função.
Função polinomial de grau 2
Uma função é dita polinomial do grau 2 quando em sua lei de formação o expoente 
da variável é 2 e ela é escrita da forma f(x) = ax² + bx + c, sendo a, b e c números 
reais, com a ≠ 0. Uma função do 2° grau é considerada completa quando a, b e c 
são diferentes de zero e incompleta quando pelo menos um dos coeficientes b ou c 
são iguais a 0.
EXEMPLO
f(x) = 2x² + 3x – 8  Completa  a = 2, b = 3, c = -8
f(x) = x² + 5x  Incompleta  a = 1, b = 5, c = 0
f(x) = 22x 8−  Incompleta  a = 2 , b = 0, c = 8−
f(x) = 1
9
x²  Incompleta  a = 1
9
, b = 0, c =0
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Raiz (zero)
A raiz, ou zero, da função, é o valor de x que faz com que a função tenha valor 0. 
Uma função do 2° grau pode possuir até NO MÁXIMO duas raízes. Para determinar 
a raiz da função a igualamos a 0, transformando a função em uma equação do 2° 
grau, e operamos algebricamente para determinar o valor de x.
Para o desenvolvimento da a equação do 2° grau podemos utilizar de vários processos 
como a fatoração, a soma e produto ou a fórmula resolutiva para equação do 2° grau, 
popularmente conhecida como Fórmula de Bhaskara. 
 A fórmula resolutiva serve tanto para as funções completas como para as 
incompletas. Como mencionado, a função quadrática pode ter ATÉ duas raízes, isso 
por que ela pode ter uma, duas ou mesmo não ter raiz. O que determina a quantidade 
de raízes é o valor do discriminante ∆ . ∆ pode ser maior, igual ou menor do que zero. 
Observe a figura abaixo.
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ >0
Duas raízes reais Uma raiz real Não possui raízes reais
Figura 4: QUANTIDADE DE RAIZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
FONTE: Elaborado pelo autor - Geogebra (2019).
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau, ou função quadrática, é sempre 
uma parábola, e sua concavidade é influenciada pelos coeficientes a, b e c. A direção 
da concavidade está diretamente ligada ao valor do coeficiente “a”
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a > 0 a < 0
Voltada para cima Voltada para baixo
Figura 5: DIREÇÃO DA CONCAVIDADE DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
FONTE: Elaborado pelo autor - Geogebra (2019).
O coeficiente “b” da função influencia na posição do vértice da parábola e também 
no crescimento ou decrescimento da função imediatamente após a interseção com 
o eixo y. Observe as possibilidades:
O termo independente “c” é o que determina em qual valor a parábola corta o eixo y.
Chamamos de vértice o ponto máximo, quando a parábola está voltada para baixo, 
ou ponto mínimo da função, quando a função está voltada para cima. O vértice é o 
ponto o qual a parábola muda de sentido. Como qualquer ponto, o vértice tem uma 
coordenada x e uma coordenada y. Podemos definir as coordenadas do vértice através 
de duas fórmulas.
bXv ;Yv
2a 4a
− −∆
= =
Sinais da função
Como vimos, a função do primeiro grau possui apenas uma raiz e seu gráfico é 
sempre uma reta que corta o eixo x no valor da raiz da função.
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∆ > 0 ∆ = 0 ∆ >0
a > 0
a < 0
FIGURA 6: ESTUDO DE SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
FONTE: Elaborado pelo autor - Geogebra (2019).
Para realizar o estudo de sinais de uma função quadrática é necessário analisar em 
conjunto o sinal do coeficiente a e do discriminante ∆ . Funções polinomiais de grau 
maior do que 2 são menos usuais, mas seguem alguns conceitos semelhantes às do 
segundo grau. O gráfico de uma função polinomial de grau 3 ou superior são curvas 
que cortam o eixo x em n pontos, onde n é igual ao grau da função. Para encontrar as 
raízes de uma equação de grau 3 ou 4 utiliza-se as relações de Girard. Para equações 
de grau 5 ou superior não existem fórmulas através de transformações algébricas, 
mas o método de Newton-Raphsonauxilia a estimar estas raízes, este é um processo 
da análise numérica,
6.3 AJUSTE DE FUNÇÕES BÁSICA COM A UTILIZAÇÃO DO EXCEL
Em algumas situações, de acordo com o número de pontos que pertencem à 
observação, é necessário utilizar algum recurso para definir a função que mais se 
aproxima aos pontos dados. A análise de regressão linear é usada para prever o 
valor de uma variável com base no valor de outras já conhecidas. A regressão linear 
aproxima os pontos a uma reta, ou seja, uma função do primeiro grau. Para realizar 
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a regressão linear com a utilização da planilha eletrônica, o primeiro passo é o de 
coleta de dados com duas variáveis, sendo x a variável independente e y a variável 
dependente, e escrever os valores em uma tabela de duas colunas. O passo seguinte 
é utilizar a análise dos dados. Pode haver alguma variação entre as versões, mas em 
geral no canto superior na aba ”Dados” e em seguida “Análise de Dados”. Nas opções 
apresentadas clicar em “Regressão”. Uma nova janela será aberta, neste momento é 
que deve-se selecionar os dados como referência. Em “intervalo Y de entrada”: selecione 
nos dados digitados os valores de y, clicando na primeira célula e arrastando até a 
última. Repita o processo em “intervalo X de entrada”. Ao clicar em “ok” uma nova 
aba com os resultados será apresentada. Além da análise estatística, será exibido 
um gráfico com os pontos correlacionados. Na parte de “Estatística de Regressão” 
o R-quadrado mostra o quão bom os dados se ajustam a uma linha. Quanto mais 
próximo de 1 melhor o ajuste. Além da regressão linear há outras formas de determinar 
a lei de formação.
Crie um gráfico de dispersão com os dados, em seguida clique com o botão direito 
em “Adicionar linha de tendência”. Um menu com vários tipos de função aparecerá. 
Ao final do menu selecione as caixas “Exibir Equação no gráfico” e “Exibir o valor de 
R quadrado no gráfico”.
6.4 FUNÇÕES REAIS: LIMITES, CONTINUIDADE, GRÁFICOS
O conceito de limite é usado para descrever o comportamento de um função à 
medida que se aproxima de determinados valores, além de também servir como base 
para definição de derivadas. Para melhor entender o conceito de limite, vamos analisar 
o comportamento da função f(x) = x² em torno do valor de x = 1.
x f(x)
0,5 0,25
0,8 0,64
0,9 0,81
0,99 0,9801
1,01 1,0201
1,1 1,21
1,2 1,44
1,5 2,25
QUADRO 1: VALORES DE X E DE F(X)
Fonte: Elaborado pelo autor (2019)
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Ao analisar o quadro, percebe-se que quanto mais os valores de x se aproximam 
de 1, mais o valor da função se aproxima de 1. Ao traçar o gráfico da função a partir 
dos pontos da tabela tem-se uma visão clara do que de fato acontece com os valores.
FIGURA 7 – GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = X² NO INTERVALO DE -0.2 < X < 1.8 
FONTE: Elaborado pelo autor (2019)
De maneira mais formal, temos que o limite da função f(x) quando x tende a 1 é 1. 
E a notação usual é dada por:
Lendo temos: “o limite da função f(x) quando x tende a 1 é 1”. Observe agora uma 
outra função:
O gráfico é dado por:
FIGURA 8 – GRÁFICO DA FUNÇÃO G(X) = 2 PARA X ≤1 E 0,5 PARA X > 1
FONTE: Elaborado pelo autor (2020)
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Ao analisar o gráfico, percebe-se que ao aproximar a função pela esquerda, a função 
é constante em 2, e ao analisar a função pela direita, quando a função se aproxima de 
1, a função é constante em 0,5. Ou seja, não há um valor comum da função à direita 
e à esquerda de 1, e com isso dizemos que não há limite de g(x) para x tendendo a 
1. Em contrapartida, se tomarmos como referência o valor de 0,4, tanto pela direita 
quanto pela esquerda a função se aproxima de 2. Com isso:
Neste último exemplo vimos que quando o limite de f(x) quando x tende a “a” 
pela direita ou pela esquerda temos então o limite lateral, sendo representado por 
x a x a
lim f(x) e lim f(x)
− +→ →
. Com isso podemos concluir que o limite de uma função f(x) no 
ponto a só existe quando os limites laterais são iguais a aplicação do ponto na função, 
ou seja, 
x a x a
lim f(x) lim f(x)
− +→ →
= .
O conceito de continuidade é intimamente ligado ao de limites. Dizemos que uma 
função f é contínua em a se e somente se
x a
lim f(x) f(a)
→
= , ou seja:
• f(a) é definido
• x a
lim f(x)
→
existe
• x alim f(x) f(a)→ =
Caso alguma destas condições não for satisfeita, a função f(x) é descontínua em 
x = a.
EXEMPLO
Verifique se a função é contínua em 
x = 1.
Solução:
Para que a função seja contínua em x = 1, os limites laterais devem ser iguais. 
Para x tendendo a 1 pela direita, temos valores maiores do que 1, ou seja, aplicamos 
o cálculo:
x 1 x 1 x 1
x² x 2 (x 2)(x 1)lim lim lim(x 2) 1 2 3
x 1 x 1+ + +→ → →
+ − + −
= = + = + =
− −
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Para valores menores do que 1, temos x tendendo a 1 pela esquerda, e aplicamos 
o outro cálculo:
x 1
lim(2 x) 2 1 1
−→
− = − =
Como os limites laterais são diferentes, então o limite da função f(x) no ponto não 
existe e consequentemente f(x) não é continua em x = 1.
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CAPÍTULO 7
RAÍZES DE FUNÇÕES: MÉTODOS 
DA BISSECÇÃO, DA FALSA 
POSIÇÃO E DE NEWTON
Imagem de capa: O Espiral de Arquimedes
Fonte: wikimedia commons
Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Archimedean_spiral_polar.svg/2018px-Archimedean_spiral_polar.svg.png> 
Há diversas técnicas indiretas ou interativas para obtenção de raízes de funções. 
Definimos a raiz de uma função em um intervalo real [a, b] como o valor de ε para 
o qual f(ε) = 0. O conhecimento e o estudo das raízes de funções são fundamentais 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Archimedean_spiral_polar.svg/2018px-Archimedean_spiral_polar.svg.png
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para as aplicações matemáticas, porém suas técnicas de obtenção nem sempre são 
exatas ou possuem teoremas fechados. Neste capítulo, você verá algumas técnicas 
para obter raízes exatas ou por aproximação de funções em um dado intervalo real.
7.1 Métodos numéricos para obtenção de raízes
Inicialmente, podemos dividir os métodos para se obter as raízes de funções em 
dois grupos: métodos diretos e métodos indiretos. Método direto: é utilizado quando 
for possível obter a raiz por meio de teorema, fórmula ou expressão fechada, de 
forma que com um único “passo” seja possível concluir as raízes da equação, ou 
dividir o polinômio para que cada fator “menor” seja solucionado por uma das formas 
mencionadas. Assim, a resolução de uma função por meio do isolamento da variável 
x com y = 0 é uma forma direta. Ainda, é possível utilizar a fórmula de Bhaskara para 
determinar as raízes das funções quadráticas.
Método indireto ou interativo: é um recurso de cálculo infinito, no qual o valor obtido 
em etapas depende do valor anterior. Esse método busca, em cada etapa, se aproximar 
mais da solução exata para as raízes, porém nem sempre isso é possível. No caso 
de não ser possível encontrar a solução exata, é preciso decidir quando e com qual 
aproximação parar. Uma importante forma analítica de verificar raízes é considerar 
um intervalo real [a,b]. Se existe uma contínua no intervalo [a,b], de modo que tenham 
sinais contrários, então corta o eixo OX em ao menos um ponto no intervalo [a,b].
 
Número de raízes reais
Teorema de Bolzano: considerando f(x) = 0, uma equação algébrica com coeficientes 
reais e x ∈ [a, b]:
• Se f(a) × f(b) < 0, então existe um número ímpar de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) no intervalo [a, b].
• Se f(a) × f(b) > 0, então existe um número par de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) ou não existem raízes reais no intervalo [a, b].
Após definirse existem raízes reais no intervalo, você deve utilizar métodos numéricos 
para obter essas raízes. Como visto anteriormente, alguns métodos fornecem raízes 
exatas, ao passo que outros fornecem uma sequência de aproximações com limite 
na raiz da função.
7.1.1 Método da bissecção
Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e 𝜀, uma raiz dessa função, 𝜀 ∈ [a, 
b] será f(𝜀) = 0. Sabendo que os intervalos f(a) e f(b possuem sinais opostos, logo, 
pelo Teorema de Bolzano, há um número ímpar de raízes, ou seja, no intervalo [a, b], 
há ao menos uma raiz real. Observe o gráfico da Figura 2.
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Figura 2. Representação gráfica do método de bissecção
AUTOR (2018)
Dividindo o intervalo [a, b] ao meio, obtemos x1, e, consequentemente, o intervalo 
fica seccionado em dois novos intervalos, [a, x1] e [x1, b]. Se f(x1) = 0, então a raiz 
procurada é x1, caso contrário, você deve testar f(a), f(x 1) e f(b), de forma que a raiz 
estará no subintervalo em que os sinais extremos forem opostos. Portanto, a função 
contínua corta o intervalo um número par de vezes, ou não há raiz no intervalo. Como 
temos por hipótese inicial que o intervalo [a, b] possui ao menos uma raiz, vamos 
testar o subintervalo [f(x 1), f(b)] → f(x1) = -, e f(b) = +. Assim, temos que a(s) raiz(es) 
procurada está(ão) no subintervalo [f(x 1), f(b)]. O processo deve ser repetido até que 
se obtenha uma aproximação dentro do desejado, ou se obtenha o valor exato de ε 
para a função f(x), tal que f(ε) = 0. É possível verificar este processo por indução finita:
Um problema para o emprego dessa técnica é que se conheça o intervalo que 
contenha ao menos uma raiz ou, de forma mais conveniente, que contenha somente 
uma raiz.
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7.1.2 Método da falsa posição
Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e 𝜀, uma raiz desta função,
𝜀 ∈ [a, b] será f(𝜀) = 0. Pelo método da bissecção, você viu que xn é dado como a 
média aritmética do intervalo [a, b].
Na maioria das vezes, a raiz não se encontra exatamente no ponto médio do intervalo 
[a, b], porque se isso ocorre, temos f(x1) = 0, e o processo terá sido concluído. Então, 
você deve considerar o fato de que a raiz está mais próxima de a ou de b. Lembre-se 
que uma raiz tem coordenada cartesiana (x, 0), nesse caso, na maior parte das vezes, 
a raiz estará mais próxima do extremo do intervalo com menor valor de y, f(a) ou f(b). 
Portanto, use a média ponderada, em vez da média aritmética, com pesos |f(a)| e |f(b)| 
para b e a, respectivamente:
Observe, na Figura 3, a representação do método da falsa posição.
Figura 3. Representação gráfica do método da falsa posição
Autor(2020)
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Uma vez que seja encontrado o ponto x1, devemos verificar, como no método de 
bissecção, se a raiz está no intervalo [a, x1] ou [x1,b]. Se f(a) × f(x1) < 0, então teremos 
b = x1, caso contrário, teremos a = x1. A repetição do processo deve continuar até 
que se obtenha uma aproximação dentro do desejado, ou se obtenha o valor exato 
de ε para a função f(x), ou seja, f(ε) = 0.
7.1.3 Método de Newton
Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e 𝜀, uma raiz desta função,
𝜀 ∈ [a, b] será f(𝜀) = 0 e f′(x) ≠ 0. Se f′(x) for derivada da função:
A função f: A → ℝ é derivável no ponto a ∈ A, quando existe e é finito o limite:
Quando f é derivável em a, o limite é denominado derivada de f no ponto a, conforme 
apresentado na Figura 4.
Figura 4. Exemplo de gráfico mostrando a derivada de f no ponto a
Autor (2020)
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Se | x1 – x0| estiver dentro da margem de precisão procurada, ou seja, com uma 
margem de erro “aceitável”, a raiz da função estará determinada. Senão, devemos 
repetir o processo para calcular x2 com:
Para decidir qual o melhor extremo do intervalo [a, b] para iniciar o método, basta 
verificar qual dos extremos possui função e segunda derivada com mesmo sinal:
f(x1) × f’’ (xi) > 0. Para i = {extremos do intervalo}
Condições:
Para a série convergir para uma raiz usando o método de Newton, basta que o 
intervalo [a, b] em análise seja suficientemente pequeno e contenha uma raiz. Contudo, 
como se define um intervalo suficientemente pequeno e se verifica a unicidade da 
raiz? Para estabelecer essas condições, você deve seguir algumas etapas:
1. Se f(a) × f(b) > 0, então existe um número par de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) ou não existe raízes reais no intervalo [a, b] (teorema de Bolzano).
2. Se f(a) × f(b) < 0, então existe um número ímpar de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) no intervalo [a, b] (teorema de Bolzano).
3. Se f’(a) × f’(b) > 0, então o comportamento da função neste intervalo poderá ser 
apenas crescente ou decrescente, nunca os dois se alternando.
4. Se f’(a) × f’(b) < 0, então a função terá o comportamento de ora crescer ora 
decrescer.
5. Se f’’(a) × f’’(b) > 0, então a concavidade não muda no intervalo em análise.
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6. Se f’’(a) × f’’(b) < 0, então a concavidade muda no intervalo em análise.
Assim, podemos concluir que o intervalo irá convergir para uma raiz somente se:
Exemplo: Resolvendo problemas pelo método da bissecção
Para encontrar a raiz de f(x) = x² - 3, contida no intervalo [1,2], após 5 iterações, 
com duas casas decimais após a vírgula, é necessário considerar:
Exemplo:
Considere a função f(x) = x² - 9x + 9. Para obter a raiz contida no intervalo [6,9] utilize 
truncamento com 6 casas decimais após a vírgula, caso precise utilize calculadora 
ou planilhas eletrônicas. 
Algoritmo do método de Newton:
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Resolvendo problemas pelo método da falsa posição
Para determinar a menor raiz positiva da função de quarto grau f(x) = x4 – 26x² + 
24x + 21 pelo método da falsa posição, estime o resultado final e todas as iterações 
com 2 casas decimais e com arredondamento. 
Algoritmo da falsa posição:
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F(x2) × f(x3) = (0,24) × (-0,17) = -0,04 < 0, portanto a raiz está no intervalo [x2, x3], 
então b = x3 [1,58; 1,59].
Resultado:
A raiz procurada está entre 1,58 e 1,59. Uma nova iteração precisará de uma precisão 
maior que 2 casas decimais, assim, considere 1,59 como a raiz procurada.
Resolvendo problemas pelo método de Newton
Para calcular a raiz positiva da função f(x) = 2x – sen(x) – 4, use as interações com 4 
casas decimais e finalize com a raiz utilizando duas casas decimais e arredondamento.
Algoritmo do método de Newton:
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Resultado:
A raiz procurada pode ser arredondada para 𝜀 = 2,35.
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CAPÍTULO 8
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Imagem de capa: Fenômeno de Runge
Fonte: wikimedia commons Disponível em< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/Rungesphenomenon.png> 
Nesta aula, você vai adquirir conhecimentos sobre interpolação polinomial, que define 
uma função a partir de alguns pontos dados. Você também aprenderá como deduzir 
funções que servirão como modelos matemáticos para diversos sistemas. Por meio 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/Rungesphenomenon.png
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da interpolação de polinômios somos capazes de construir modelos matemáticos 
de diversos sistemas, como o comportamento de gases e metais quando aquecidos.
8.1 O que é interpolação polinomial?
Em determinado momento da nossa vida estudantil somos apresentados ao plano 
cartesiano, formado pelos eixos x e y,com o qual podemos marcar pontos a partir de um 
par ordenado que nos fornece a posição nos quadrantes. Para indicar as coordenadas 
é usada a notação (x, y), significando que o 1º número se refere ao eixo x e o segundo, 
ao eixo y. Cada par ordenado corresponde a um ponto do plano cartesiano e cada 
ponto do plano corresponde a um par ordenado, conforme ilustrado na Figura 1.
Figura 1: plano cartesiano
Fonte: wikimedia commons Disponível em < https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CartesianPlane.svg> 
Após conhecermos o plano cartesiano, iniciamos nossa jornada de estudos sobre 
funções, que podem ser definidas como uma correspondência entre um elemento de 
A, que tem somente um correspondente em B. O conceito de função foi desenvolvido 
por Nicole d’Oresme, intelectual nascido em Alemagne na França, em 1323. Ele foi 
grande mestre do Colégio de Navarre, da Universidade de Paris, e bispo da cidade de 
Lisieux. O primeiro gráfico é atribuído a d’Oresme, propondo uma dependência entre 
uma variável e outra. Esse fenômeno, na maior parte das vezes, pode ser descrito por 
meio de uma lei matemática. Continuamos estudando funções e aprendemos que, a 
partir de dois pontos do sistema cartesiano, podemos determinar a lei de formação 
de uma função de 1º grau.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CartesianPlane.svg
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Exemplo
Para relembrar a lei de formação de uma função de 1º grau, considere as coordenadas 
de dois pontos em um plano cartesiano P(1, 5) e Q(-2, -4), qual a equação (lei de 
formação) da reta que passa por eles?
Este exemplo apresenta um caso simples de interpolação no qual, a partir de dois 
pontos dados, deduzimos uma lei de formação, no caso uma reta, que é a representação 
gráfica de um comportamento linear. Contudo, boa parte dos sistemas nos campos da 
engenharia, dos negócios, da física e da biologia, não apresentam um comportamento 
linear, exigindo outros modelos, dentre eles a interpolação polinomial.
Podemos definir interpolação polinomial como a elaboração de uma função polinomial 
construída a partir de dados obtidos ou observados em um experimento. Essa função 
é um modelo matemático que pode servir para fazer previsões sobre o comportamento 
futuro de diversos sistemas, por meio de polinômios de terceiro, quinto ou mais graus. 
Existem vários métodos para determinar polinômios a partir de pontos dados, no entanto 
os mais utilizados, pela sua praticidade e objetividade, são o método de Lagrange e o 
método de Newton, que permitem, por exemplo, a construção de modelos matemáticos 
de experimentos em laboratório, conforme você pode ver na Figura 2.
Figura 2- levantamento de dados em laboratório
Fonte: wikimedia commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Cient%C3%ADficos-Laboratorio-UNLP.jpg> 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Cient%C3%ADficos-Laboratorio-UNLP.jpg
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ANOTE ISSO
Apesar de em alguns casos a interpolação fornecer soluções exatas, na maioria das 
vezes são produzidas aproximações. É importante verificar se a aproximação é boa 
o suficiente para gerar um modelo matemático satisfatório.
8.2 Polinômios de Newton e de Lagrange
O estudo da interpolação envolveu um grande número de matemáticos no decorrer 
dos séculos. O matemático árabe Al Biruni (973-1050) já usava a interpolação em torno 
do ano 1000; os ingleses Thomas Herriot (1560-1621) e Henry Briggs (1556-1630), 
interessados em contribuir para o desenvolvi- mento da arte náutica que marcou o 
período na Inglaterra, colaboraram para o desenvolvimento do cálculo numérico, sendo 
a contribuição de Briggs citada por Laplace (ARAUJO, 2002). Contudo, o grande salto 
nessa área aconteceu com os estudos de Isaac Newton (Figura 3). O cientista inglês 
foi responsável pelo estabelecimento das leis da mecânica clássica, com a definição da 
lei da gravitação universal, o desenvolvimento da ótica e o estabelecimento do cálculo 
diferencial e integral (em paralelo com outro gênio, Gottfried Wilhelm Leibniz). Além de se 
interessar por questões filosóficas e científicas, Newton estudou hermetismo e alquimia, 
aparentemente, misturando tais temas com a formulação dos conceitos científicos 
que ajudaram a mudar o mundo e a própria forma de fazer ciência (WESTFALL, 2018).
Figura 3: quadro de Isaac Newton
Fonte: Wikimedia Commons Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sir_Isaac_Newton_1702.jpg >
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sir_Isaac_Newton_1702.jpg
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Segundo Araujo (2002), Sir Isaac Newton interessou-se pela integral:
que fazia parte do problema de Wallis, e, na tentativa de resolver a questão, produziu 
o conceito de diferença finita, base do método que leva seu nome e do teorema do 
binômio, uma obra de arte matemática. Sobre o binômio “Fernando Pessoa disse, pela 
boca de Álvaro Campos: o Teorema do Binômio é tão belo como a Vênus de Milo; o 
que há é pouca gente para dar por isso [...]” (ARAUJO, 2002, p. 65).
Para interpolar polinômios pelo método de Newton, você precisa conhecer dois 
elementos: a tabela de diferenças divididas (veja a Tabela 1) e a fórmula para o polinômio 
de interpolação.
Autor (2020)
Fórmula do polinômio de interpolação de Newton:
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Exemplo:
Em uma linha de produção, obtiveram-se os dados a seguir, que podem ser utilizados 
na construção de um polinômio que sirva de modelo matemático:
Solução:
P3 (x) = 4 – 3( x + 2) + (x + 2) (x + 1) + 0 (x + 2) (x + 1) ( x + 0) = x²
Joseph-Louis Lagrange (Figura 4) nasceu em Turim, Itália, em 1736. Sua família 
por parte de pai era originária da França, onde o matemático exerceu parte de sua 
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carreira, embora obras relevantes tenham sido produzidas em Berlim, onde trabalhou 
a convite do Rei Frederico, o grande. Na Prússia, deu início a um novo período da 
álgebra, influenciando os estudiosos da teoria dos grupos. Em Paris, trabalhou na 
reforma do sistema métrico decimal, sendo nomeado Senador e Conde do Império 
por Napoleão Bonaparte (STRUIK, 2018)
Figura 4: foto de Joseph-Louis Lagrange
Fonte: wikimedia commons Disponível em < https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joseph_Louis_Lagrange2.jpg> 
Os polinômios que levam o nome de Lagrange são definidos pela fórmula:
Casos recorrentes: Interpolação quadrática n = 2
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joseph_Louis_Lagrange2.jpg
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Os polinômios de Lagrange são formados por:
Interpolação cúbica n = 3
Forma os polinômios de Lagrange:
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Exemplo Resolvido
Para calcular o polinômio de grau igual ou menor que três que interpola os pontos 
(-1, 1), (0,2), (-1,1), (2,2), forma-se os seguintes polinômios de Lagrange:
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CAPÍTULO 9
CÁLCULO NUMÉRICO: REVISÃO 
DE PRODUTO MISTO E VETORIAL
Imagem da capa: produto vetorial
Fonte: wikimedia commons Disponível em< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Crossproduct.png> 
Uma grandeza física é um escalar quando pode ser medida ou associada a apenas 
um número, sem ter nenhuma orientação, como por exemplo, a massa de um objeto, 
o tempo de deslocamento de um corpo, a temperatura de uma ambiente, a carga 
elétrica, entre outros, já outras grandezas não podem ser descritas por escalares, 
como a velocidade, que além do seu valor a direção também é essencial.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Crossproduct.png
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9.1 VETORES COLINEARES, COORDENADAS E IGUALDADE
Um vetor é um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. 
Um vetor é caracterizado por três características importantes: módulo, direção e sentido, 
e são usados para representar grandezas físicas vetoriais. Os vetores são representados 
como setas que começam na origem das coordenadas de referência e termina em 
um ponto. Nomeia-se um vetor com uma letra e um seta em cima, por exemplo: v

. 
Imaginemos a importância de um vetor pelo seguinte exemplo:
 EXEMPLO
Um turista está parado na Avenida Sapopemba, a maior avenida do Brasil, e pede 
a orientação de onde tem um ponto turístico específico. Alguém pode lhe responder 
que ele está a 2 quilômetros. Só isso não localiza exatamente para onde ele deve 
seguir. Outra pessoa pode apenas lhe informar que o ponto mais próximo é nesta 
mesma avenida. Informação inútil sozinha. Assim como alguém pode apenas lhe 
indicar a direção que o turista deve seguir, sem dizer a distância. Essas informações 
sem complementação não definem uma localização. A informação completa seria, 
“Siga nesta rua, nesta direção por 2 quilômetros”. Esta forma de representar o trajeto 
é a ideia intuitiva de um vetor. Algo com medida, direção e sentido.
As características do vetor são:
• Módulo: É o tamanho da seta. Representa o escalar associado a esse vetor. 
Quanto maior o módulo, maior a seta que representa o vetor.
• Direção: É a reta associada a seta, representa a direção: vertical, horizontal, 
noroeste...
• Sentido: É a ponta da seta, ou seja, mostra para onde a reta está apontando. 
Figura 1: Vetor V
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
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ANOTE ISSO
Não existe vetor negativo. Todo vetor é positivo. Quando há um sinal de menos “-“ 
associado a um vetor significa que este vetor está em sentido contrário ao proposto.
Vejamos agora alguns tipos de vetores:
• Vetor oposto: Dado um vetor b

 , chamamos de vetor oposto o vetor b−

 que 
possui o mesmo módulo, mesma direção, mas sentido oposto de b

 .
• Vetor unitário: Os vetores unitários, também chamados de versores, possuem 
módulo de 1 unidade. Este vetor tem uma representação específica î
• Vetor nulo: O vetor nulo é aquele que possui módulo igual a 0 e não possuem 
um sentido definido. Geometricamente ele é representado por um ponto
• Vetores colineares: Dois ou mais vetores são considerados colineares quando 
tiverem a mesma direção. 
Dois, ou mais, vetores são iguais se têm o mesmo comprimento e direção, sendo 
paralelos ou coincidentes.
9.1.1 OPERAÇÕES, MÓDULO E PARALELISMO
As coordenadas de um vetor dadas por duas coordenadas do plano cartesiano 
representando o ponto inicial e o ponto final do vetor. Com base nestas coordenadas 
podemos determinar o módulo de um vetor. Para isso precisamos considerar dois 
casos:
1°caso) O vetor tem origem na origem do plano cartesiano
FIGURA 2: VETOR U
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
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Neste caso, o módulo é o comprimento do segmento, que pode ser calculado 
através do teorema de Pitágoras.
u 3² 2²
u 9 4
u 13
= +
= +
=
2°caso) O vetor não tem origem na origem do plano cartesiano
FIGURA 3: VETOR U
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
O módulo é o comprimento do segmento, que pode ser calculado através do teorema 
de Pitágoras.
Operações com vetores
Para realizar as operações com os vetores, é importante observar o sentido e a 
direção de cada vetor.
Soma e subtração de vetores na mesma direção
Na soma de dois vetores de mesma direção e sentido o vetor resultante será resultado 
da adição dos módulos dos vetores na operação. O resultado terá a mesma direção 
e sentido dos originais.
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Na subtração de dois vetores de mesma direção e sentido opostos o vetor resultante 
será resultado da subtração dos módulos dos vetores na operação. O resultado terá 
a mesma direção e manterá o sentido do maior vetor original.
Soma de vetores perpendiculares
Para vetores perpendiculares não há a subtração, apenas a soma. O cálculo da 
soma de vetores perpendiculares, é similar com o cálculo do módulo. Posiciona-se 
os vetores, de forma que o início de um coincida com o final do outro. O módulo 
resultante é determinado pelo teorema de Pitágoras
Soma e subtração de vetores oblíquos
Vetores oblíquos são aqueles que fazem ângulos diferente de 0°, 90° e 180°. Há 
duas formas de realizar as operações: Método de paralelogramo e Método da linha 
poligonal. 
Método do paralelogramo
Este método é aplicado apenas na soma de dois vetores. Caso haja 3 ou mais, o 
processo precisa ser feito em mais de uma etapa. Na soma a + b + c, realiza-se a 
soma de a + b e com o resultado refaz o processo com c. 
1° passo: Posicionar suas origens no mesmo ponto e traçamos retas paralelas 
para formar um paralelogramo.
2° passo: Traçar a diagonal do paralelogramo
FIGURA 4: VETOR R RESULTANTE DO METODO DO PARALELOGRAMO
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
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O vetor resultante é a linha que liga a origem dos vetores ao encontro das paralelas. 
O módulo do vetor resultante é dado pela lei dos cossenos
Sendo:
R é o modulo do vetor resultante
a é o modulo do vetor a

b é o modulo do vetor b

θo ângulo formado pelos vetores originais.
	Método da linha poligonal
Esse método é útil ao realizar a soma de mais de dois vetores. O objetivo dele 
é de unir os vetores, sempre pelo fim de um e origem de outro, a fim de fechar um 
polígono. Pode-se transladar os vetores, mas não se pode alterar a direção, sentido 
ou módulo dos mesmos.
FIGURA 5: VETOR R RESULTANTE DO METODO DO DA LINHA POLIGONAL
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
Multiplicação de um número real por um vetor
Ao multiplicar um número real por um vetor, o resultado será um vetor com a mesma 
direção original se o número real for diferente de 0, mesmo sentido se o número real 
for positivo ou sentido oposto se o número for negativo. O módulo do novo vetor será 
o produto entre o módulo original e o módulo do número real.
9.1.2 PRODUTO ESCALAR E ORTOGONALIDADE
O produto escalar é um operação em que dois vetores são passados como 
parâmetros e a resposta é um número escalar. Para isso, multiplica-se o módulo 
do primeiro vetor, o módulo do segundo vetor e o cosseno do ângulo formado 
entre estes dois vetores.
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FIGURA 6: VETORES A E B E ÂNGULO ENTRE ELES 
Fonte: Elaborado Pelo Autor (2022)
Há outra forma que encontrar o produto escalar. Cada vetor tem duas coordenadas, 
uma x e uma y. logo, podemos dizer que 
a = (x1, y1) e b = (x2, y2).
1 2 1 2a,b x x y y< >= +
Em matemática, popularmente falando, definimos a perpendicularidade como 
formação de um ângulo de 90° no plano e ortogonalidade como a formação de 90° 
no espaço. Dois vetores são ditos ortogonais se o seu produto escalar é igual a 0.
Ângulo Entre Dois Vetores E Projeção Ortogonal
Com as definições já mostradas é possível calcular o ângulo entre dois vetores 
1 1a (x ,y )= e 2 2b (x ,y )= .
A projeção ortogonal de u em relação a v é dada por 
u v v
v ²
⋅
, sendo que ela significa 
que se deseja espelha o comprimento de um vetor u sobre o vetor v
FIGURA 7: VETOR U COM PROJEÇÃO SOBRE O VETOR V
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
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Produto Vetorial Em R³: Definição Propriedades E Interpretação Geométrica
Sejam V e W dois vetores em R³. Se os vetores não forem nulos, o produto vetorial V x 
W será um vetor U ortogonal a V e W, tem comprimento dado por V x W V W sen ,= θ 
ou seja, o módulo do produto é numericamente igual à área do paralelogramo formado 
por V e W:
FIGURA 8: VETORES V EW NO ESPAÇO
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
Para ajudar a entender o produto vetorial e a direção do vetor resultante há a regra 
da mão direita. Com a mão direita, estique o dedo indicador para algum sentido, em 
seguida, estique o dedo médio formando um ângulo de 90°. Ao esticar o polegar, em 
direção à mão aberta, forma-se um vetor ortogonal aos dois iniciais.
Sejam U, V e W vetores no espaço e a um escalar. São válidas as seguintes 
propriedades:
• V x V = 0
• 0 x V = 0
• V x W = – W x V (anti-comutativa)
• V x W = 0, somente se V = aW ou W = aV.
• (V x W) x V = (V x W) x W = 0
• a(V x W) = (aV) x W = V x (aW)
• V x (W + U) = V x W + V x U e (V + W) x U = V x U + W x U
Produto Misto Em R³: Definição, Propriedades E Interpretação Geométrica
Para vetores v e w no espaço, o seu produto vetorial v x w é um terceiro vetor no 
espaço. Dado um terceiro vetor u, é possível fazer o produto escalar de u por v x w, 
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obtendo um número real. Este produto misto representa o volume de um paralelepípedo 
de arestas u, v e w,
  
com vértice em um ponto qualquer.
FIGURA 9: PRODUTO MISTO DE U, V E W 
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
A altura h do paralelepípedo é medida pela projeção ortogonal de w

 sobre o plano 
u x v,
 
sendo, portanto, h w cos= θ

, onde (w,u x v)θ =
  
 . Além disso, o produto [ ]u,v,w
pode ser calculado pelo determinante
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CAPÍTULO 10
MATRIZES E OPERAÇÕES
Quando precisamos interpretar os dados de uma pesquisa temos a possibilidade apenas 
listar os resultados ou organizá-los em tabelas, porém por volta de 1850 dois matemáticos 
britânicos deram um novo sentido às tabelas. James Joseph Sylvester e Arthur Cayley 
introduziram o conceito de matriz. A princípio as matrizes eram utilizadas para tabular e 
representar sistemas lineares, mas elas foram muito além, elas representam funções de 
transformação de vetores em outros de acordo com as operações realizadas. Atualmente 
as matrizes são utilizadas em diversas áreas do conhecimento, como por exemplo na física, 
computação, economia, engenharia, entre outros. Apesar da ordem de estudo mais comum 
ser Matriz, Determinantes e Sistemas Lineares, a ordem histórica do desenvolvimento do 
conteúdo foi diferente, inicialmente foi desenvolvida a ideia de determinantes, sistemas 
lineares e por fim as matrizes.
10.1 MATRIZES: DEFINIÇÃO E TOPOLOGIA
A ideia geral de uma matriz Amxn é uma tabela retangular composta por m linhas e n 
colunas, a qual cada elemento da matriz, de forma genérica aij, ocupa uma posição única 
na linha i e na coluna j. Assim, o elemento a54, é o elemento que está na 5ª linha e na 4ª 
coluna. Geralmente uma matriz recebe como nome uma letra maiúscula do alfabeto latino. 
EXEMPLO
Observe a matriz a seguir e determine o que se pede
1 0 3
2 4 3
D
6 1 0
1 5 4
− 
 
− =  − 
 − 
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a) Qual a ordem da matriz D?
b) Qual o elemento a23?
c) Qual o elemento a34?
a) A ordem é 4 x 3
b) 3 
c) Não há este elemento
Lei de formação
Uma matriz pode ser formada com números aleatórios, provenientes de uma 
observação, ou pode ser uma regra específica. Esta regra específica é a que chamamos 
de lei de formação. Pode ser descrita por uma única sentença matemática ou um 
conjunto de regras que dependem da posição do elemento.
EXEMPLO
A = [aij]2x2 tal que j²-3i
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Classificação de Matrizes
Matriz Quadrada
Uma matriz é chamada de matriz quadrada quando o número de linhas é igual ao 
número de colunas, ou seja, m = n.
EXEMPLO
Nas matrizes quadradas os elementos aij onde i = j formam a diagonal principal. 
Na matriz B acima a diagonal principal eram os elementos -1 e -2, e na matriz C eram 
os elementos -1, -4 e 1. Chamamos de diagonal secundária os elementos em que 
i j n 1,+ = + ou seja, em uma matriz B2x2, onde n = 2, a diagonal secundária é formada 
pelos elementos em que a soma da linha com a da coluna resulta em 2 + 1 = 3, ou 
seja, a12 e a21.
Na figura 1 a seguir estão destacados em azul as diagonais principais e em vermelho 
as diagonais secundárias.
FIGURA 1– DIAGONAIS PRINCIPAIS E DIAGONAIS SECUNDÁRIAS
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
Matriz Triangular
Uma matriz é classificada como triangular quando todos os elementos, acima ou 
abaixo, da sua diagonal principal são iguais a zero.
EXEMPLO
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Matriz Nula
Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são iguais a zero, ou seja, aij = 0. 
EXEMPLO
Matriz Linha
É uma matriz que possui apenas uma linha
EXEMPLO
Matriz Coluna
É uma matriz que possui apenas uma coluna
EXEMPLO
Matriz Oposta
Duas matrizes de ordens iguais se os elementos correspondentes forem números 
opostos, ou seja, aij = bij.
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EXEMPLO
Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada onde os elementos aij para i j≠ são nulos.
EXEMPLO
Matriz Identidade
Uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 
1 e os demais elementos são 0, ou seja, sua lei de formação é dada por
Denotamos essa matriz pela letra I e o número que representa a sua ordem
Matriz Transposta
A matriz transposta de uma matriz Amxn é a matriz 
T
mxnA em que Tij jia a ,= ou seja, na 
matriz transposta a primeira coluna corresponde a primeira linha da matriz original. A 
segunda coluna corresponde à segunda linha da matriz original, e assim por diante.
EXEMPLO
Matriz Simétrica
Uma matriz A é dita simétrica quando ela é quadrada e é igual à sua transposta, 
ou seja, os respectivos elementos das duas matrizes possuem o mesmo valor.
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EXEMPLO
Operações com matrizes
As matrizes em si compõem um conjunto numérico bem definido, e nele incidem 
as operações de soma, subtração e multiplicação. A divisão é a única das operações 
matemáticas que não estão definidas no conjunto das matrizes.
Soma e subtração de matrizes
A adição e a diferença de matrizes são definidas apenas para matrizes de mesma 
ordem, gerando uma nova matriz de mesma ordem que as duas originais. Logo, se 
definirmos uma matriz C tal que = A + B, e D = A - B teremos os elementos cij = aij + 
bij e dij = aij - bij
EXEMPLO
Observe as matrizes A e B a seguir e defina a matriz C de tal forma que C = A + B 
e a matriz D onde D = A – B
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Propriedades da adição de matrizes
Sendo A e B duas matrizes de mesma ordem, e O uma matriz nula, valem as 
seguintes propriedades:
• Comutativa: A + B = B + A
• Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
• Elementos Neutro: A + O = O + A = A
• Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O
Multiplicação de matrizes
Multiplicação por um escalar
Na multiplicação de uma matriz A = [aij] por um escalar k (número real qualquer), 
o resultado é uma matriz kA = [kaij], ou seja, todos os elementos da matriz original 
serão multiplicados pelo valor k.
EXEMPLO
Multiplicação entre matrizes
Diferente da soma e da subtração entre matrizes, a multiplicação não se dá com 
a condição de as matrizes terem a mesma ordem. Para que seja possível multiplicar 
uma matriz A por uma matriz B, o número de colunas da primeira deve ser igual ao 
número de linhas da segunda. Com isso, o resultado será uma matriz C com o número 
de linhas de A e o números de colunas de B.
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FIGURA 2 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Fonte: Elaborado Pelo Autor (2022)
EXEMPLO
Uma matriz A4x3 é multiplicável por uma matriz B3x5 e o resultadoserá uma matriz 
C4x5, porém não é possível efetuar a multiplicação de B por A. O que mostra que a 
multiplicação não é comutativa.
Para encontrar cada elemento dessa matriz resultado iremos somar o produto de 
cada linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz.
Veja o esquema de multiplicação de uma matriz A2 x 3 por uma matriz B3 x 2
Figura 32 – esquema de multiplicação de matrizes
Fonte: elaborado pelo autor (2022)
Com isso, os elementos da matriz C serão dados por
Propriedades da adição de matrizes
Sendo A, B e C três matrizes, e I uma matriz identidade, valem as seguintes 
propriedades:
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• Associativa: (AB)C = A(BC)
• Distributiva em relação à soma: A(B + C) = AB + AC
• Elemento Neutro: AI = IA = A
Uma aplicação da multiplicação de matrizes é a representação e resolução de um 
sistema de equações lineares, mas apenas veremos isto mais à frente.
Matrizes: Inversa E Operações Elementares Sobre Linhas
O conceito de matriz inversa se assemelha ao conceito de inverso de um número.
Um número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1. Já com a matriz é semelhante, 
uma matriz é inversa da outra caso a multiplicação de ambas resulta na matriz identidade 
de mesma ordem. Com isso podemos concluir que nem toda matriz admite uma 
inversa e que para que a matriz seja invertível ela precisa ser uma matriz quadrada. 
Neste caso, dizemos que a matriz B é a inversa da matriz A e vice-versa. Podemos 
indicar a inversa da matriz A por A-1.
EXEMPLO
Dada a matriz encontre a matriz A-1.
Chamaremos A-1 de uma matriz genérica , logo:
Temos então dois sistemas lineares de duas equações:
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Utilizando o método da substituição, temos que a = - c,
Substituindo na primeira equação:
3(-c) + 2c = 1
-3c + 2c = 1
-c = 1 c = -1.
Substituindo o valor de c:
a – 1 = 0  a = 1.
O segundo sistema é dado por:
Utilizando o método da substituição, temos que b = 1 - d,
Substituindo na primeira equação:
3(1 - d) + 2d = 0
3 - 3d + 2d = 0  3 –d = 0
-d = -3  d = 3
Substituindo o valor de d:
b = 1 - 3  b = -2
Assim a matriz .
E pra uma matriz quadrada de ordem 3, como encontrar uma matriz inversa?
Dada a matriz , repetimos o processo que vimos. Utilizamos uma matriz 
genérica B-1.
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Chegamos a três sistemas lineares de três incógnitas cada, mas vamos deixar 
para resolver mais à frente. 
Operações elementares entre linhas
Além das operações matemáticas sobre matrizes inteiras, algumas operações podem 
ser realizadas em apenas algumas linhas, ou colunas. Observe:
1ª Operação: Permutar duas linhas ou duas colunas
2ª Operação: Multiplicar uma linha (ou coluna) por uma constante não nula
3ª Operação: Adicionar um múltiplo de uma linha (ou coluna) a outra linha (ou coluna)
Apesar de simples, estas propriedades contam com várias manipulações algébricas, 
o que pode confundir o seu desenvolvimento. É importante efetuar os cálculos com 
calma e atenção à cada etapa. 
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CAPÍTULO 11
DETERMINANTES
Toda matriz quadrada possui um número real associado a ela. Este número é 
chamado de determinante. O determinante possui diversas aplicações tanto no campo 
da matemática quanto na física. Em matemática utilizamos o determinante no cálculo 
de área de triângulos, verificar a colinearidade de três pontos, resolução de sistemas 
lineares, já na física, o determinante auxilia no estudo de campos elétricos. 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 é o próprio elemento da matriz.
11.1 O DETERMINANTE
O determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado pela diferença do produtos 
dos elementos da diagonal principal pelo produto da diagonal secundária. Observe o 
diagrama abaixo:
FIGURA 1 – ESQUEMA DO CÁLCULO DO DETERMINANTE DE ORDEM 2
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
EXEMPLO
Para uma matriz de ordem 3 há diversas maneiras de calcular o determinante. 
Veremos agora algumas delas.
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Regra de Sarrus
Para o cálculo do determinante considere uma matriz quadrada de ordem 3:
Repete-se as duas primeiras colunas à direita da terceira coluna
Para calcular o determinante soma-se o produto das diagonais principais e subtrai-
se a soma dos produtos das diagonais secundárias.
FIGURA 2 – DIAGONAIS PRINCIPAIS E DIAGONAIS SECUNDÁRIAS
FONTE: Elaborado pelo autor (2022)
Para calcular o determinantes de matrizes de ordem igual ou superior a 3 pode 
utilizar o método de Laplace.
Teorema de Laplace
O primeiro passo é o de calcular o cofator
O cofator de um elemento aij (1 i, j n≤ ≤ ), sendo n a ordem da matriz, é chamado 
de Aij e definido por ( )i jij ijA 1 D
+
= − ⋅ , onde Dij é o determinante da matriz que se 
obtém de A eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Em seguida, escolhe-se 
aleatoriamente uma linha ou uma coluna da matriz. O determinante da matriz será 
dado por ij ijdet A a A= ⋅∑
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Observe o caso genérico de uma matriz de ordem 4.
Ao escolher aleatório uma linha ou coluna pode-se escolher a 1ª linha. Com isso:
11.2 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
O cálculo dos determinantes obedece algumas propriedades que podem auxiliar 
no seu desenvolvimento.
1ª Propriedade: Caso uma das linhas ou colunas igual a 0, então o seu determinante 
também será igual a 0.
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2ª Propriedade: Sejam A e B duas matrizes, o determinante do produto das matrizes 
será igual o produto dos determinantes das matrizes separadas ( )det A B det(A) det(B)⋅ = ⋅ 
3ª Propriedade: Seja A uma matriz quadrada e A’ uma matriz resultante da troca 
de duas linhas ou duas colunas entre si da matriz A, então det(A’) = -det(A), ou seja, 
ao inverter a posição de duas linhas ou duas colunas, o determinante da matriz será 
o oposto do original.
4ª Propriedade: Caso duas linhas ou duas colunas de uma matriz sejam iguais ou 
múltiplas de uma constante k, o determinante desta matriz será igual a 0.
5ª Propriedade: Caso uma matriz B seja resultado da multiplicação de uma matriz 
A por um escalar k, o determinante de B será o produto do determinante de A pela 
potência de k pela ordem da matriz.
6ª Propriedade: O determinantes da matriz transposta é igual ao determinante da 
matriz original.
REGRA DE CRAMER E MATRIZES INVERSAS
A regra de Cramer é um método para resolver sistemas lineares com base no 
cálculo de determinantes. Normalmente este cálculo é utilizado para sistemas com 
mais de 3 linhas e 3 incógnitas. Observe o sistema a seguir:
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Temos que 
Onde: D, Dx, Dy e Dz são determinantes formados a partir do sistema.
D  Determinante da matriz formada com os coeficientes das incógnitas
Dx  Determinante da matriz formada substituindo a coluna dos coeficientes da 
incógnita x pelos termos independentes do sistema
Dy  Determinante da matriz formada substituindo a coluna dos coeficientes da 
incógnita y pelos termos independentes do sistema
Dz  Determinante da matriz formada substituindo a coluna dos coeficientes da 
incógnita z pelos termos independentes do sistema
Sistemas Lineares: Definição, Representação Matricial, Classificação E Sistemas 
Equivalentes
Uma equação é uma sentença matemática que possui uma igualdade entre dois 
membros, onde estes podem ser duas expressões algébricas ou uma expressão 
algébrica e um número. O grau de uma equação está ligado diretamente com a maior 
potência de uma incógnita em relação a um coeficiente numérico diferente de zero. 
Com isso, uma equação linear do primeiro grau é uma equação onde o expoente de 
todas as variáveisé 1, e não apresenta a multiplicação entre duas variáveis.
Um sistema linear é um conjunto de p equações lineares e q incógnitas que estão 
associadas entre si.
Sistema de duas equações e duas incógnitas: 
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Sistema de três equações e três incógnitas: 
Sistema de p equações e q incógnitas: 
Um sistema de equações pode ser representado por uma multiplicação de matrizes. 
Os coeficientes das incógnitas do sistema formam a matriz principal, essa matriz é 
multiplicada matriz coluna formada pelas incógnitas. As soluções do sistema formam 
uma outra matriz coluna.
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 33 3 3 3
a x b y c z k a b c x k
a x b y c z k a b c y k
a b c z ka x b y c z k
+ + =
 + + = ⇒ ⋅ =
 + + =
Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. 
Dado um sistema de duas equações, é possível construir um sistema equivalente ao 
realizar algumas manipulações algébricas.
a) Trocar de posição as equações de um sistema
b) Multiplicar uma ou mais equações por uma constante K diferente de 0.
c) Adicionar a uma das equações o produto de outra equação desses sistema por 
uma constante K. 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES
Um sistema linear de equações pode ser classificado conforme o seu número de 
soluções. A saber:
Sistema Possível e Determinado (SPD): Há apenas uma solução para o sistema. 
Na regra de Cramer, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema original 
deve ser diferente de 0.
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): Há infinitas soluções para o sistema. Na 
regra de Cramer, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema original e dos 
determinantes secundários deve ser igual a 0.
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Sistema Impossível (SI): Não há soluções para o sistema. Na regra de Cramer, o 
determinante da matriz dos coeficientes do sistema original deve ser igual a 0 e pelo 
menos um dos determinantes secundários deve ser diferente de 0.
Resolução de sistemas lineares: método de Gauss e de Gauss-Jordan. 
Matriz inversa (excel)
O método de Gauss também é chamado de escalonamento, um método pra resolver 
sistemas de equações lineares. Esse método consiste em realizar manipulações 
algébricas transformando um sistema estendido (com os coeficientes numéricos das 
variáveis e na última coluna os resultados das equações) em um sistema triangular, 
ou seja, onde os coeficientes abaixo da diagonal principal são 0. 
As operações possíveis são:
1) Multiplicar uma linha por uma constante não nula
2) Substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha.
3) Troca de posição de linhas
Observe o sistema com 3 equações e 3 incógnitas a seguir:
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a b c k a b c k
a b c k 0 t u v
a b c k 0 0 w j
matriz estendida matriz escalonada
   
   ⇒   
      
Sendo t, u, v, w e j o coeficientes modificados após a realização das operações.
EXEMPLO
Observe o sistema a seguir e resolva através da eliminação gaussiana
x y z 1
4x 4y 2z 2
6x 2y 4z 0
+ + =
 + + =
 + − =
Resposta:
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O ideal é deixar que o primeiro coeficiente da primeira matriz seja o valor 1, assim 
facilita os cálculos. Como o sistema já obedece o critério, não é necessário realizar 
alguma alteração. 
Transforma-se o sistema em uma matriz expandida
1 1 1 1
4 4 2 2
6 2 4 0−
O objetivo é transformar a matriz em uma matriz triangular através de manipulações 
algébricas.
I
2 1 2
I
3 1 3
I
2
I
2
I
2
I
3
I
3
I
3
L 4L L
L 6L L
L 4 1 1 1 1 4 4 2 2
L 4 4 4 4 4 4 2 2
L 0 0 2 2
L 6 1 1 1 1 6 2 4 0
L 6 6 6 6 6 2 4 0
L 0 4 10 6
1 1 1 1
0 0 2 2
0 4 10 6
= −
= −
= −
= −
=
= − −
= − −
=
A seguir, permuta-se a segunda com a terceira linha
Com isso, o sistema já está na forma escalonada e podemos voltar à forma de 
sistema
Pela última equação, temos que 2z = 2 e consequentemente z = 1.
Utilizando o valor de z na segunda equação descobrimos o valor de y.
4y+10 = 6
4y = -4
y = -1.
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Por fim, substitui-se os valores de y e z para descobrir o valor de x
x -1 + 1 = 1
x = 1.
O conjunto solução do sistema é S = {1, -1, 1}
Esse processo de eliminação de Gauss pode ser feito manualmente, como mostrado 
no exemplo anterior, assim como utilizando planilhas eletrônicas. Observe o processo 
para resolver o seguinte sistema:
Inicia-se montando uma tabela com os coeficientes do sistema original
1º passo: Criar uma nova tabela repetindo a primeira linha dos coeficientes
2° passo: Zerar os coeficientes numéricos relativo à variável x da segunda e terceira 
linha do sistema. Para isso, na célula B11 aplica-se a fórmula: multiplica a célula E3 
por 2 e depois subtrai-se pela célula E4. Repete-se o processo para as células E3 e 
E5 na célula B12.
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3° passo: Aplicar a mesma fórmula para as células adjacentes
4° Passo: Criar uma nova tabela mantendo a primeira e a segunda linha do sistema 
modificado.
5° Passo: Zerar o coeficiente y da terceira linha do sistema. Para isso, basta somar 
a segunda linha da tabela modificada com a terceira linha modificada. G12 = B11+B12, 
e assim com as demais.
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Com esta última tabela conseguimos descobrir os valores da incógnita z. Para isso, 
vamos construir a linha solução. A variável z será o resultado da divisão do último 
valor de k pelo último coeficiente de z.
Para determinar o valor de y, utilizaremos a segunda linha da última tabela que 
representa o sistema realizando a manipulação algébrica: Dada a constante em J11, 
subtrai-se o produto entre o coeficiente numérico relativo a z e o seu valor e por fim 
divide-se pelo coeficiente relativo a y.
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Para determinar a última variável, x, repete-se o processo considerando qualquer 
primeira linha.
Com isso, obtém-se a solução do sistema: S = {1, -1, 2}
O método chamado de Gauss-Jordan é uma extensão do método de eliminação de 
Gauss, já que o objetivo dele é transformar os elementos fora da diagonal principal 
em nulos, enquanto a Eliminação de Gauss exige apenas que seja transformado em 
uma matriz triangular.
Também é possível calcular a matriz inversa com o auxílio da planilha eletrônica. 
Algumas versões já possuem uma fórmula pronta a “=matriz.inverso()”.
1° Passo: Digitar na planilha a matriz original, sendo cada número em uma célula.
2º Passo: Selecionar a região de igual tamanho àquela da matriz original e digitar 
nela “=matriz.invers(“ 
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3º Passo: Com a ajuda do mouse, selecione a matriz original e pressione 
CTRL+Shift+Enter
APLICAÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (EXCEL)
Sistemas de equações apresentam diferentes aplicações em diferentes áreas do 
conhecimento como física, química, informática, medicina, economia, entre outros, 
e pode auxiliar em diversos tipos de cálculo. Na engenharia é importante explorar 
o estudo de circuitos elétricos e a Lei de Ohm, em que a força elétrica é resultante 
da multiplicação da resistência pela corrente elétrica. A Lei dos Nós, que também 
é conhecida como Lei de Kirchhoff, mostra que a soma das correntes que atingem 
um nó é equivalente a soma das correntes que saem. Pode-se descrever um circuito 
de baterias e resistores com o uso de sistemas de equações lineares. Na química, 
a estequiometria é o cálculo que relaciona reagentes e produtos. Utilizar o sistema 
linear de equações é muito útil ao realizar o balanceamento de uma equação química.
Na construção de estruturas metálicas, a análisedas forças e seu equilibro é algo 
a ser estudado e por conta das diversas variáveis que podem surgir por conta de 
ângulos ou massa da estrutura, um sistema de equações pode ser primordial. Na 
gestão de tráfego de veículos é importante o conhecimento de sistemas de equações 
para ajudar no planejamento do fluxo e funcionamento dos semáforos. Na área de 
cálculo o sistema de equações auxilia na hora de modelar uma função polinomial 
dados pontos conhecidos. 
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CAPÍTULO 12
SISTEMAS LINEARES: 
DECOMPOSIÇÃO LU
Imagem capa: 3 planos se cruzam em um ponto
Fonte: wikimedia commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Secretsharing_3-point.svg/2048px-Secretsharing_3-
point.svg.png>
Sistemas lineares surgem com frequência em situações do cotidiano, e com mais 
frequência ainda em problemas de caráter técnico. A modelagem de um problema 
em equações lineares é de extrema importância para a resolução e a obtenção da 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Secretsharing_3-point.svg/2048px-Secretsharing_3-point.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Secretsharing_3-point.svg/2048px-Secretsharing_3-point.svg.png
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solução. As equações modeladas envolvendo as mesmas variáveis são agrupadas 
e definidas como um sistema de equações lineares. Nesta aula, você vai aprender a 
resolver um sistema linear com o método da decomposição LU sem pivotamento e 
com pivotamento, identificando quando e como deverá ser aplicada cada uma das 
técnicas.
12.1 Decomposição LU
Um sistema linear com n variáveis x1, x2, x3, ..., xn é um conjunto de m equações 
lineares:
onde aij e bj são constantes reais, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Todo sistema linear 
pode ser reescrito como o produto matricial AX = B, onde:
é a matriz dos coeficientes; 
 é a matriz das variáveis; 
é a matriz das constantes.
A resolução de sistemas lineares pode ser obtida através de métodos numéricos 
que são divididos em métodos diretos e métodos iterativos. O método da decomposição 
LU é um dos métodos diretos, que são métodos que permitem obter a solução do sistema 
linear realizando um número finito de operações. Neste caso a solução é exata, a menos 
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de erros de arredondamento, e é possível determinar o esforço computacional gasto 
para obter a solução.
Método da decomposição LU
Neste método, para a solução de um sistema linear usa-se o fato de que, nas 
condições necessárias, uma matriz quadrada pode ser decomposta como um produto 
de duas matrizes triangulares. Considere o sistema linear Ax = B, onde A é uma matriz 
invertível (det(A) ≠ 0). Nessa condição, a matriz A pode ser decomposta como o produto 
A = LU, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior.
Teorema: se a matriz A é tal que det(A) ≠ 0, então existe uma única matriz triangular 
inferior L = [lij], onde lij = mij (multiplicadores do método de Gauss) e uma matriz 
triangular superior U = [uij], tal que A = LU (CONTE, 1965).
Podemos reescrever o teorema da seguinte forma: se o método da elimi- nação de 
Gauss pode ser efetuado sobre a matriz A, então pode ser escrita por A = LU, onde 
L é uma matriz triangular inferior com lii = 1, e U é uma matriz triangular superior. O 
teorema fornece um processo para construir as matrizes L e U. A matriz L é obtida 
pelos multiplicadores utilizados no processo da eliminação de Gauss, sendo que lii = 1, 
e a matriz L é a própria matriz triangular superior obtida no processo da decomposição 
de Gauss.
Conhecer a decomposição LU de uma matriz facilita na resolução de um sistema 
linear. Para a solução do sistema linear Ax = B, fatoramos a matriz A = LU e obtemos 
o sistema:
LUx = B
Fazendo Ux = y, reescrevemos o sistema por Ly = B. Dessa forma, recaímos sobre 
dois sistemas lineares mais simples de resolver:
Ly = B
Ux = y
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O primeiro sistema é simples pelo fato de ser um sistema triangular superior e, 
para determinar a solução, basta usar substituição sucessiva. Já o segundo sistema 
é triangular superior e, por retrossubstituição, determinamos a solução. Resolvendo 
o primeiro sistema determinamos os valores do vetor y. Subs- tituindo y no segundo 
sistema, determinamos os valores de x, que é o vetor solução do sistema.
A sequência de passos para o método da decomposição LU é a seguinte.
1. Decompor A = LU. Nessa etapa, as matrizes L e U são construídas simultaneamente. 
A cada processo do método da eliminação de Gauss estabelecemos uma linha 
de U e uma coluna de L.
2. Resolver o sistema linear Ly = B por substituição sucessiva.
3. Resolver o sistema linear Ux = y por retrossubstituição.
De forma geral, para um sistema de ordem n:
obtida no método da eliminação de Gauss sobre a matriz A.
Exemplo resolvido
Resolva o sistema linear pelo método LU.
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a) Inicialmente montamos as matrizes relacionadas ao sistema: Ax = B.
b) Construção das matrizes triangulares L e U, a partir da matriz A.
Observe que a matriz A é a mesma do exercício anterior. Nesse caso não é necessário 
refazer todos os passos para determinar as matrizes L e U, que já estão determinadas:
Assim, podemos passar para as próximas etapas de resolver os sistemas triangulares.
c) Calcular a solução do sistema Ly = B.
Por substituição direta:
d) Calcular a solução do sistema Ux = y (e, por sua vez, a solução do sistema Ax = B).
Por retrossubstituição
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Algoritmo: determinar as matrizes L e U
Dado o sistema linear Ax = B, de n variáveis e n equações:
a) Definir a matriz [A], com n linhas e n colunas.
b) Construção das matrizes triangulares L = [lij] e U = [uij].
• Para m = 1, ..., n – 1, faça:
• Para j = m, m + 1, ..., n, faça:
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ANOTE ISSO
Teste seus conhecimentos e o algoritmo anterior para programar o código 
apresentado para determinar as matrizes L e U de uma matriz quadrada inversível. 
Utilize o Matlab ou Scilab para fazer a implementação do código anterior e 
determinar solução de sistemas lineares pelo método do pivotamento parcial.
Exemplo:
Considere o sistema linear trabalhado no primeiro exemplo:
Pelo método da decomposição LU, a cada etapa construímos uma matriz L e uma
matriz U:
Poderíamos reescrever as duas matrizes em uma única, dada por:
Onde os elementos verdes são da matriz L e os elementos pretos da matriz U. 
Lembrando que L é triangular inferior com todos os elementos da diagonal principal 
iguais a 1. E U é uma matriz triangular superior. A cada passo obteríamos as matrizes.
Passo 1: determinar primeira coluna e primeira linha de L/U.
Pivô da primeira coluna: a11 = 1. Zerar elementos da primeira coluna abaixo da
diagonal principal:
Em seguida, determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e 
procedemos com o método de Gauss para zerar os elementos abaixo do pivô:
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Passo 2: determinar segunda coluna e segunda linha de L/U.
Pivô da segunda coluna: a22 = 2. Zerar elementos da segunda coluna abaixo da
diagonal principal:
Em seguida, determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e 
procedemos com o método de Gauss para zerar os elementos abaixo do pivô:
Passo 3: determinar a terceira coluna de L e terceira linha de U. Pivô da terceira 
coluna: a33 = –12.
Nesse caso, a linha e a coluna da matriz L/U já estão definidas. Assim:
E as matrizes L e U são:
Exemplo:
Resolva o sistema linear:
Pelo método da decomposição LU com três casasdecimais.
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a) Inicialmente montamos as matrizes relacionadas as sistema: Ax = B.
b) Construção das matrizes triangulares L e U, a partir da matriz A.
Passo 1: determinar primeira coluna de L e primeira linha de U.
Pivô da primeira coluna: a11 = 0,42. Zerar elementos da primeira coluna abaixo da
diagonal principal:
Em seguida, determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e 
procedemos com o método de Gauss para zerar os elementos abaixo do pivô:
Passo 2: determinar segunda coluna de L e segunda linha de U.
Pivô da segunda coluna: a22 = 0,495. Zerar elementos da segunda coluna abaixo da
diagonal principal:
Em seguida, determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e 
procedemos com o método de Gauss para zerar os elementos abaixo do pivô:
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Passo 3: determinar a terceira coluna de L e terceira linha de U. Pivô da terceira 
coluna: a33 = –12.
Nesse caso, a linha e a coluna das matrizes L e U, respectivamente, já estão definidas. 
Assim:
c) Calcular a solução do sistema Ly = B.
Por substituição direta:
d) Calcular a solução do sistema Ux = y ( por sua vez, a solução do sistema Ax = B).
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Por retrossubstituição:
Note que é possível verificarmos se a solução obtida está de acordo com o sistema
linear. Nesse caso, basta fazer o produto Ax e verificar se o resultado será igual a B.
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CAPÍTULO 13
SISTEMAS LINEARES: 
DECOMPOSIÇÃO LU 
COM PIVOTAMENTO
Imagem da capa: Autovetores complexos em rotação em um plano (bidimensional)
Fonte: wikimedia commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/EigenvectorsRotation.svg/2560px-
EigenvectorsRotation.svg.png> 
13.1 DECOMPOSIÇÃO LU COM PIVOTAMENTO
Nas operações elementares aplicadas sobre as linhas da matriz A no método de 
Gauss aparece a operação de divisão pelo pivô. Na maioria das operações de divisão 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/EigenvectorsRotation.svg/2560px-EigenvectorsRotation.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/EigenvectorsRotation.svg/2560px-EigenvectorsRotation.svg.png
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são gerados erros de arredondamento que vão se acumulando ao longo das eliminações 
sucessivas. Outros problemas que observamos nesse método são o caso em que um 
dos pivôs é igual a zero (o que impossibilita a obtenção do multiplicador) ou o caso 
em que os multiplicadores assumem valores muito grandes (pivô próximo de zero). 
Podemos associar o processo da decomposição LU a um processo de pivotamento 
parcial para evitar pivôs nulos (ou próximos de zero) e diminuir a perda
de significação. Para aplicar a estratégia de pivotamento parcial ao Método da 
Decomposição LU, faz-se necessário armazenar um vetor de permutação P, que armazena 
a informação das trocas de linhas. Nesse caso, continuamos com a decomposição A 
= LU e os sistemas triangulares a serem resolvidos são: Ly = B– e Ux = y
Onde B– é o vetor obtido do vetor B alterando a ordem das linhas de acordo
com o vetor de permutação P.
Exemplo:
Resolva o sistema linear:
Pelo método da decomposição LU com pivotamento usando três dígitos significativos.
a) Inicialmente montamos as matrizes relacionadas ao sistema: Ax = B e o vetor P.
b) Construção das matrizes triangulares L e U, a partir da matriz A.
Passo 1: determinar primeira coluna de L e primeira linha de U. Pivô da primeira 
coluna – elemento de maior valor absoluto: a11 = 0,448. Zerar elementos da primeira 
coluna abaixo da diagonal principal:
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Em seguida, determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e 
procedemos com o método de Gauss para zerar os elementos abaixo do pivô:
Passo 2: determinar segunda coluna de L e segunda linha de U. Pivô da segunda 
coluna – elemento de maior valor absoluto: a32 = –1,559. Trocar linhas 2 e 3 de 
posição e zerar elementos da segunda coluna abaixo da diagonal principal:
Em seguida, determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e 
procedemos com o método de Gauss para zerar os elementos abaixo do pivô:
Passo 3: determinar a terceira coluna de L e terceira linha de U. Pivô da terceira 
coluna: a33 = –0,388.
Nesse caso, a linha e a coluna das matrizes L e U, respectivamente, já estão definidas. 
Assim:
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c) Calcular a solução do sistema Ly = B
d) Calcular a solução do sistema Ux = y (e, por sua vez, a solução do sistema Ax = B).
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Ao resolver um sistema linear por métodos diretos, é interessante adotar um método 
com o menor número possível de operações possíveis. Neste caso, o método de 
decomposição LU é o mais indicado. Apesar do número total de operações ser da 
mesma ordem que o método de Gauss, a decomposição LU acumula menos erros de 
arredondamento. Outro fator importante que devemos considerar é que, em sistemas 
mal condicionados, isto é, sistemas nos quais uma pequena variação nos coeficientes
acarreta uma variação enorme na solução do sistema, o método de pivotamento 
torna-se imprescindível, pois a solução do sistema fica menos sensível a erros de 
arredondamento.
Fatoração LU no cálculo da matriz inversa e condicionamento de sistemas
Se a é uma matriz quadrada tal que det(A) ≠ 0, então existe outra matriz A–1, com 
a mesma ordem de A, chamada inversa de a, para a qual AA– 1 = A– 1A = I. Uma das 
melhores formas de determinar a inversa de uma matriz numericamente é através do 
método da decomposição LU. Tal método fornece uma forma eficaz de determinar a 
solução de um sistema Ax = B, para diversos
valores do vetor B.
Cálculo da matriz inversa por decomposição LU
Podemos utilizar a decomposição LU para determinar a inversa de uma matriz. 
Dada uma matriz , quadrada de ordem n, queremos determinar A– 1, tal que:
AA–1 = I
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Assim, temos:
Podemos determinar a inversa de A com o auxílio da decomposição A = LU, 
resolvendo sistemas do tipo:
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é a j-ésima coluna de I. Com a decomposição, obtemos sistemas do tipo:
Axj = LUxj = Ij, para j = 1, ..., n
Gerando os sistemas:
Uxj = yj e Lyj = Ij
Como a matriz A é comum em todos os sistemas, com uma única aplicação da 
eliminação de Gauss conseguimos determinar os n vetores xj que formam a matriz 
inversa.
Exemplo:
Determine a inversa da matriz:
Pelo método da decomposição LU.
a) Determinar as matrizes triangulares L e U, a partir de A.
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Passo 1: determinar primeira coluna de L e primeira linha de U. Pivô da primeira 
coluna: a11 = 1. Zerar elementos da primeira coluna abaixo da diagonal principal:
Em seguida, determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e 
procedemos com o método de Gauss para zerar os elementos abaixo do pivô:
Passo 2: determinar segunda coluna de L e segunda linha de U. Pivô da segunda 
coluna: a22 = 3. Zerar elementos da segunda coluna abaixo da diagonal principal:
Em seguida, determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e 
procedemos com o método de Gauss para zerar os elementos abaixo do pivô:
Passo 3: determinar a terceira coluna de L e terceira linha de U. Pivô da terceira 
coluna: a33 = –2/3.
Nesse caso, a linha e a coluna das matrizes L e U, respectivamente, já estão definidas. 
Assim:
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b)Calcular a solução dos sistemas Lyj = Ij e Uxj = yj para j = 1, 2, 3. Para j = 1:
Por retrossubstituição:
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Por substituição direta:
Por retrossubstituição:
Por substituição direta:
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Por retrossubstituição:
Condicionamento de sistemas
A inversa de uma matriz tem muitas aplicações em áreas científicas e na engenharia. 
Além disso, a inversa também fornece formas de determinar se um sistema é mal 
condicionado. De acordo com Chapra (2013), existem três métodos para determinar 
se um sistema é mal condicionado, descritos a seguir.
• Alterar a escala da matriz A de tal forma que o maior elemento de cada linha 
seja igual a 1. Inverta a matriz obtida. Se houver elementos em A–1 que sejam 
várias ordens de grandeza maiores que 1, é provável que o sistema seja mal 
condicionado.
• Multiplique A–1 pela matriz A original. Verifique se a multiplicação obtida
• está próxima da matriz identidade. Se não, indica mau condicionamento.
• Determine a inversa de A–1. Verifique se o resultado está próximo de A. Caso 
contrário, significa um sistema mal condicionado.
Muitos problemas em engenharia são baseados em leis de conservação, como, por 
exemplo, energia, massa, momento. Matematicamente, modelamos esses problemas 
com equações de continuidade ou de balanço. O princípio da conservação da massa 
pode ser usado, por exemplo, para formular um modelo para uma série de reatores 
químicos. Além de sistemas físicos, as equações lineares aparecem também em 
problemas matemáticos.
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CAPÍTULO 14
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Imagem de capa: Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método Simpson
Fonte: wikimedia commons Disponível em < https://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_num%C3%A9rica#/media/Ficheiro:Int%C3%A9gration_num_
Simpson.svg >
À medida que começamos a ver que a integração por fórmulas é uma coisa 
muito mais difícil do que a diferenciação, e às vezes impossível de fazer em termos 
elementares, torna-se razoável pedir aproximações numéricas para integrais definidas. 
Como uma integral definida é apenas um número, isso é possível. Em contraste, integrais 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_num%C3%A9rica#/media/Ficheiro:Int%C3%A9gration_num_Simpson.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_num%C3%A9rica#/media/Ficheiro:Int%C3%A9gration_num_Simpson.svg
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indefinidas, sendo funções em vez de apenas números, não são facilmente descritas por 
aproximações numéricas. Existem várias abordagens relacionadas, todas elas usando 
a ideia de que uma integral definida está relacionada à área, sendo assim, cada uma 
dessas abordagens é essencialmente uma maneira de aproximar a área sob uma curva. 
Isso não é exatamente correto porque integrais não são necessariamente áreas, mas 
pensar em área é uma heurística razoável. Nesta aula, você vai aprender as técnicas 
mais comumente usadas para a integração numérica: regra do ponto médio, regra 
trapezoidal e regra de Simpson. A regra do ponto médio aproxima a integral definida 
usando regiões retangulares, ao passo que a regra trapezoidal aproxima a integral 
definida usando aproximações trapezoidais. A regra de Simpson aproxima a integral 
definida primeiramente aproximando a função original usando funções quadráticas 
por partes.
14.1 Integral de uma função
O termo integral pode se referir a vários conceitos diferentes em matemática. O 
significado mais comum é: objeto fundamental do cálculo que corresponde à soma 
de peças infinitesimais para encontrar o conteúdo de uma região contínua (CHAPRA; 
CANALE, 2016). Outros usos de integral incluem valores que sempre assumem valores 
inteiros (p. ex., desenho integral, gráfico integral), objetos matemáticos para os quais 
os inteiros formam exemplos básicos (p. ex., domínio integral) e valores particulares 
de uma equação (p. ex., curva integral). Em matemática, integral é um procedimento 
sofisticado que pode ser interpretado como uma área ou uma generalização de área, 
segundo Hartman et al. (2014). As integrais e as derivadas são aplicadas diretamente 
nas nossas vidas. O procedimento de cálculo de uma integral é chamado de integração 
e o cálculo aproximado (computacional) de uma integral é denominado integração 
numérica. Integral de Riemann é a integral mais simples, a qual é comumente explorada 
nos campos da física e nas engenharias.
comumente explorada nos campos da física e nas engenharias.
Observe que se , a integral é escrita simplesmente como:
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Existem, basicamente, dois tipos de integrais (de Riemann): integrais 
definidas, como em , que têm limites superior e inferior, e integrais 
indefinidas, como:
A integral de Riemann é a integral definida que normalmente é encontrada em textos 
de cálculo e que é usada por físicos e engenheiros. A integral de Riemann se baseia 
na medida de Jordan, que é definida tomando um limite de uma soma de Riemann.
O teorema fundamental do cálculo permite que integrais definidas sejam calculadas 
em termos de integrais indefinidas.
Uma vez que a derivada de uma constante é zero, integrais indefinidas são definidas 
apenas até uma constante arbitrária de integração C, ou seja:
14.1 Regras de Newton-Cotes da integração numérica
Integração numérica é o cálculo aproximado de uma integral usando técnicas 
numéricas. O cálculo numérico de uma integral é, às vezes, chamado de quadratura. A 
técnica de integração numérica mais direta usa as fórmulas de Newton-Cotes (também 
chamadas de fórmulas de quadratura), as quais aproximam uma função tabulada 
em uma sequência de intervalos regularmente espaçados por polinômios de vários 
graus. As fórmulas de Newton-Cotes são uma família extremamente útil e direta de 
técnicas de integração numérica.
Para integrar uma função em algum intervalo, divida-a em n partes iguais, de modo 
que e que é o tamanho da base do polígono na Figura 1. Em 
seguida, encontre polinômios que se aproximem da função tabulada e os integre 
para aproximar a área sob a curva. Para encontrar os polinômios de ajuste, use os 
polinômios de interpolação de Lagrange. As fórmulas resultantes são chamadas de 
fórmulas de Newton-Cotes, ou fórmulas de quadratura (WEISSTEIN, c2020).
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Figura 1. Ilustração da regra do trapézio para calcular a integral numérica
Fonte: Weisstein (1999).
As primitivas de muitas funções não podem ser expressas ou não podem ser 
expressas facilmente de forma fechada, isto é, em termos de funções conhecidas, 
consequentemente, em vez de avaliar integrais definidas dessas funções diretamente, 
recorremos a várias técnicas de integração numérica para aproximar seus valores. Nesta 
seção, exploraremos várias dessas técnicas, além disso, também iremos examinar o 
processo de estimativa do erro no uso dessas técnicas.
A soma de Riemann correspondente à contagem dos intervalos é dada por:
ou seja, xi é o comprimento do i-ésimo intervalo. A regra do ponto médio para estimar 
uma integral definida usa uma soma de Riemann com subintervalos de igual largura 
e os pontos médios de cada subintervalo no lugar de xi*. Formalmente, declaramos 
um teorema relativo à convergência da regra do ponto médio como segue.
Assim então:
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O gráfico mostra os retângulos correspondentes a M4 para uma função não negativa 
em um intervalo fechado somando as áreas dos retângulos com pontos médios que 
são pontos em.
Figura 2. Ilustração da regra do ponto médio para cálculo da integral numérica
Autor (2019)
14.2 Regra dotrapézio
Também podemos aproximar o valor de uma integral definida usando tra- pézios 
em vez de retângulos, é o que você pode ver na Figura 3, uma vez que a área abaixo 
da curva é aproximada por trapézios em vez de retângulos. Os trapézios podem ser 
usados para aproximar a área sob uma curva, aproxi- mando, portanto, a integral 
definida. A regra trapezoidal para estimar integrais definidas usa trapézios em vez 
de retângulos para aproximar a área sob uma curva (EDELWEISS; LIVI, 2014). Para 
entender a forma final da regra, considere os trapézios mostrados na Figura 3
Figura 3. Ilustração da regra do trapézio para cálculo da integral numérica
Autor (2019)
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As áreas dos três trapézios restantes são:
Consequentemente:
Simplificando, isto é, colocando ½ x em evidência (o que fica mais fácil para você 
compreender):
É possível, porém, realizar uma generalização, isto é, deduzir para um caso geral 
no qual o número de trapézios seja bem maior. 
Dentro do conjunto de pontos:
uma generalização para a área total dos trapézios será:
Logo:
Vamos fazer algumas observações sobre a regra trapezoidal. Em primeiro lugar, é 
útil observar que:
Isto é Ln e Rn aproximam a integral usando os pontos finais esquerdo e direito de 
cada subintervalo, respectivamente. Além disso, um exame cuidadoso de Figura 4 nos 
leva a fazer as seguintes observações sobre o uso de regras trapezoidais e regras 
de ponto médio para estimar a integral definida de uma função não negativa: a regra 
trapezoidal tende a superestimar o valor de uma integral definida sistematicamente 
em intervalos nos quais a função é côncava para cima e a subestimar o valor de uma 
integral definida sistematicamente em intervalos em que a função é côncava para 
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baixo. Por outro lado, a regra do ponto médio tende a calcular a média desses erros 
de alguma forma, parcialmente superestimando e parcialmente subestimando o valor 
da integral definida nesses mesmos tipos de intervalos. Isso nos leva a hipotetizar que, 
em geral, a regra do ponto médio tende a ser mais precisa do que a regra trapezoidal. 
A regra trapezoidal tende a ser menos precisa do que a regra do ponto médio.
Figura 4. Ilustração da regra do trapézio para o cálculo da integral numérica.
Autor (2019)
14.3 Regra de Simpson
Com a regra do ponto médio estimamos as áreas das regiões sob as curvas usando 
retângulos. Em certo sentido, aproximamos a curva com funções constantes por partes, 
conforme Dornelles Filho (2016), ao passo que com a regra trapezoidal aproximamos 
a curva usando funções lineares por partes. E se fossemos, em vez disso, aproximar 
uma curva usando funções quadráticas por partes? Com a regra de Simpson, fazemos 
exatamente isso: dividimos o intervalo em um número par de subintervalos, cada um 
de largura igual. Sobre o primeiro par de subintervalos, aproximamos:
Com:
Onde: , essa função quadrática passando por:
Conforme ilustra a figura 5. Ao longo do próximo par de subintervalos, aproximamos 
de:
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com a integral de outra função quadrática passando por:
Esse processo deve continuar com cada par sucessivo de subintervalos. Com a regra 
de Simpson, aproximamos uma integral definida integrando uma função quadrática 
por partes.
Figura 5. Aproximação da função pelo método de Simpson
Autor (2019)
Para entender a fórmula que obtemos para a regra de Simpson, começamos 
derivando uma fórmula para essa aproximação sobre os dois primeiros subintervalos. 
Conforme avançamos na derivação, precisamos ter em mente as seguintes relações:
onde é o comprimento de um subintervalo.
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Assim, então:
Abrindo os termos, teremos:
Reagrupando os termos e utilizando:
teremos:
Se fizermos aproximações usando o mesmo método, vemos que temos:
Combinando essas duas aproximações, obtemos:
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O padrão continua à medida que adicionamos pares de subintervalos à nossa 
aproximação. O conjunto dos pontos, pela regra de Simpson:
Sendo assim, é fácil ver que:
Assim como a regra trapezoidal é a média das regras da mão esquerda e da mão 
direita para estimar integrais definidas, a regra de Simpson pode ser obtida a partir 
do ponto médio e das regras trapezoidais usando uma média ponderada. Pode-se 
mostrar que:
Também é possível colocar um limite no erro ao usar a regra de Simpson para 
aproximar uma integral definida.
O termo integração numérica surgiu, pela primeira vez, em 1915 na publicação 
A course in interpolation and numeric integration for the mathematical laboratory, 
de David Gibb, sempre relacionado com o conceito de quadratura, isto é, com uma 
maneira calcular a área de superfícies curvas aproximando-as por meio de quadrados. 
A vantagem de quadrar consiste no fato de ser mais simples calcular a área de um 
quadrado do que de uma superfície curva.
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CAPÍTULO 15
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: 
REGRA DO TRAPÉZIO
Imagem de capa: Integração numérica pela regra dos trapézios
Fonte: wikimedia commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Int%C3%A9gration_num_trap%C3%A8zes.
svg/2560px-Int%C3%A9gration_num_trap%C3%A8zes.svg.png >
Nesta aula, você vai aprender a calcular integrais numéricas aproximadas utilizando 
a regra do trapézio simples e composta, além de identificar quando cada regra deve 
ser usada e a aplicá-las na resolução de problemas. Em diversas situações em que 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Int%C3%A9gration_num_trap%C3%A8zes.svg/2560px-Int%C3%A9gration_num_trap%C3%A8zes.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Int%C3%A9gration_num_trap%C3%A8zes.svg/2560px-Int%C3%A9gration_num_trap%C3%A8zes.svg.png
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se investigam problemas físicos na engenharia, computação, física e em vários 
experimentos em que se desenvolvem modelos matemáticos envolvendo equações 
diferenciais de segunda ordem, surgem equações que necessitam de resolução 
numérica, principalmente com situações nas quais se calculem integrais. Como são 
impossíveis de determinar analiticamente, utilizam-se métodos numéricos para calcular 
integrais aproximadas; entre esses métodos, as fórmulas de Newton-Cotes fechadas e 
abertas são as mais usadas devido a sua facilidade de aplicação e a seu baixo custo 
computacional. Vamos estudar as regras do trapézio simples e composta (fórmulas 
fechadas de Newton-Cotes).
15.1 Regra do trapézio simples e composta
A ideia básica do desenvolvimento da integração numérica está ligada à necessidade 
de calcular integrais definidas de funções que não possuam antiderivada ou primitivas 
conhecidas ou de forma analítica (BARROSO, et al., 1987). O método elementar para 
encontrar uma aproximação da integral da função é chamado de quadratura numérica 
e usa o somatório:
Dado um conjunto de pontos diferentes [u0, u1, ..., un] pertencentes a um intervalo 
fechado [a, b], ao integrarmos o polinômio interpolador de Lagrange
obtemos a fórmula da quadratura descrita em (1). Usando o polinômio de Lagrange 
de grau 1 com pontos igualmente espaçados, obtemos a fórmula do trapézio simples 
ou regra do trapézio simples para determinar integrais numéricas. Para encontrar a 
expressão da regra do trapézio simples para a aproximação de uma integral, podemos 
utilizar o polinômio de Lagrange de grau 1:
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Aplicando para o caso da quadratura numérica, levamos em conta os dados a seguir.
Com isso, temos:
Nesse sentido, se aplicarmos o Teoremado Valor Médio para as integrais ao termo 
do erro, obtemos um erro no intervalo (u0, u1); para um ξ, temos:
Dessa forma, a equação (3) pode ser descrita como:
Lembrando que p = u1 – u0 = b – a. Substituindo esse valor na equação anterior, 
temos:
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Essa fórmula representa a regra do trapézio simples ou sem repetições. A Figura 
1 descreve uma interpretação geométrica dessa fórmula.
Figura 1. Representação gráfica da regra do trapézio simples ou sem repetições.
Fonte: Adaptada de Burden e Faires (2008).
Quando t é uma função com valores maiores do que zero em:
 
consideremos a aproximação como uma área de trapézios, por isso o nome regra 
dos trapézios (BURDEN; FAIRES, 2008).
Quando a aproximação é realizada em um intervalo com grande amplitude, o erro 
pode ser muito alto. Nesses casos, utilizamos a regra do trapézio composta ou repetida, 
aproximando a cada intervalo de aplicação, ou seja, com subintervalos (FRANCO, 
2006). O teorema abaixo caracteriza a regra do trapézio composta:
Dado t ∈:
(a, b) para o qual a regra do trapézio composta para n subintervalos pode ser 
expressa com o termo de erro por:
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A Figura 2 descreve uma interpretação geométrica dessa fórmula
Figura 2. Representação gráfica da regra do trapézio composta ou com repetições
Fonte: Adaptada de Burden e Faires (2008).
As expressões (4) e (5) determinam um limitante para o erro nas regras do trapézio 
simples e composta:
15.2 TIPOS DE REGRAS DO TRAPÉZIO NA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Quando desejamos calcular a integral de funções pelos métodos numéricos das 
regras do trapézio simples e composta, temos que avaliar algumas premissas, como: se 
o intervalo [a, b] apresenta amplitude pequena ou grande ou se o valor da aproximação 
é considerável, pois a aproximação é defasada. Analisemos essas considerações e 
premissas por meio do Exemplo 1, a seguir:
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Exemplo 1. Determine o valor de:
e estime o erro pela regra do trapézio simples.
Aplicando a regra do trapézio simples, temos:
O valor de:
Substituindo esses valores na regra do trapézio, temos:
Agora vamos calcular o erro estimado determinando cada componente da fórmula 
do limitante do erro para a regra do trapézio simples.
Esse erro obtido é muito grande.
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Recorrendo ao problema, verificamos que, ao determinar o valor de U pela regra do 
trapézio simples, há uma diferença considerável em relação ao valor encontrado de 
forma analítica (usando o teorema fundamental do cálculo). No Exemplo 2, a seguir, 
vamos calcular numericamente o valor de U do exemplo anterior usando a regra do 
trapézio composta com seis subintervalos.
Exemplo 2. Determine o valor de:
e estime o erro pela regra do trapézio composta com seis subintervalos.
Primeiro passo.
Com isso determinamos os valores
igualmente espaçados no intervalo [1,7] para seis subdivisões. u0 = 1; u1 = 2; u2 = 3;
u3 = 4; u4= 5; u5 = 6; u6 = 7. Aplicando a regra do trapézio composta, temos:
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Para calcular o erro estimado, substituímos os valores encontrados na expressão:
O erro foi 36 vezes menor 108/3 = 36. Melhorou significativamente a estimativa 
do erro. 
Agora, se desejássemos um erro menor que 0,001 na aproximação, ou seja, 
considerando 3 casas decimais, como faríamos isso? De forma geral, é possível 
determinar o número de subdivisões a realizar para atender a um erro de aproximação 
pela expressão:
O Exemplo 3, a seguir, vai ilustrar o número de subdivisões para que o erro em U 
seja menor do que 0,001.
Exemplo 3. Determine o número de subdivisões de U para que o erro estimado seja 
menor do que 0,001.
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Como o número de subdivisões é natural, n = 329 subdivisões para o erro atender 
o critério 0,001.
Exemplo 4. Um radar foi usado para medir a velocidade de um atleta em ritmo de 
preparação para uma seletiva de 100 metros rasos durante os primeiros 5 segundos 
de uma corrida de testes (visualize o quadro abaixo). Utilize a regra dos trapézios 
composta para estimar a distância que o atleta de teste percorreu nesses 5 segundos.
Dessa forma, o atleta percorreu uma distância aproximada de 44,68 metros.
ISTO ESTÁ NA REDE
Explorando a regra do trapézio simples e composta para integração numérica
No link a seguir, você encontrará um resumo ilustrado e esquematizado da regra do
trapézio simples e composta para estimar integrais numéricas, elaborado pelo 
professor Carlos Alves do Instituto de Matemática da Universidade de Lisboa.
https://qrgo.page.link/s322d 
Para a implementação computacional do método de integração numérica do trapézio, 
podemos utilizar softwares que têm funcionalidade para a matemática científica em 
ambientes como o Visual Basic for Applications (VBA) no Excel, Octave, Matlab e 
Scilab associando a alguma linguagem de programação, por exemplo, C, C++, Fortran, 
entre outras, de acordo com a finalidade e habilidades de programação do usuário 
(RUGGIERO; LOPES, 2000).
https://qrgo.page.link/s322d
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CONCLUSÃO
Olá caro(a) aluno(a)!
Finalizamos nosso estudo sobre cálculo numérico. 
Aprendemos que o cálculo numérico e a modelagem matemática que conhecemos 
hoje são, na verdade, consequências de centenas de anos de evolução das técnicas e 
teorias matemáticas. Estudamos como os modelos matemáticos podem ser formulados 
e reconhecer o uso dos métodos numéricos para resolução de problemas que não 
podem ser resolvidos analiticamente e, por fim, identificar e corrigir os principais 
erros do método numérico. Compreendemos como a modelagem matemática e a 
simulação de processos servem como ferramentas preditivas que contribuem para a 
melhor tomada de decisão frente a incertezas, problemas ou mudanças necessárias. 
Você identificou os Erros de Medição e as principais causas de Erros. Diferenciou 
os tipos de Erros. Estudou os principais conceitos sobre modelagem matemática e 
simulação. Além disso, conheceu os principais elementos presentes no processo de 
modelagem. Viu diferentes sistemas utilizados para o desenvolvimento dos modelos 
matemáticos. Reconheceu a importância do uso dos métodos numéricos para o cálculo 
de raízes de funções. Definiu e diferenciou os métodos de Bissecção, Falsa Posição 
e Newton. Aplicou os métodos de Bissecção, Falsa Posição e Newton na solução 
de problemas. Estudou interpolação polinomial e a diferença entre o polinômio de 
Newton e o polinômio de Lagrange. Aplicou a interpolação polinomial e a interpolação 
por splines para estimar valores intermediários entre dados precisos. Viu o método 
da decomposição LU na resolução de sistemas lineares sem e com pivotamento, sua 
importância na resolução de tais sistemas, obtenção de matrizes inversas. Aprendeu a 
definição e a aplicação da regra do trapézio simples e composta como procedimentos 
para calcular integrais aproximadas em situações-problema, além de diferenciar esses 
processos de integração numérica, avaliando, assim, quando se deve utilizar cada um.
Espero que tenham gostado desta jornada dentro do cálculo numérico e da 
modelagem matemática!
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ELEMENTOS COMPLEMENTARES
LIVRO
O Homem que calculava
Autor: Malba Tahan. Editora: Record
Sinopse: O Homem que Calculava: aventuras de 
um singular calculista persa é um romance infanto-
juvenil do fictício escritor Malba Tahan (heterônimo 
do professor brasileiro Júlio César de Mello e Souza), 
que narra as aventuras e proezas matemáticas do 
calculista persa Beremiz Samir na Bagdá do séculoXIII.
O poder do pensamento matemático: A ciência de 
como não estar errado.
Autor: Jordan Ellenberg. Editora: Zamar
Sinopse: Eleito um dos 50 livros notáveis de não 
ficção pelo The Washington Post Best-seller do The 
New York Times. “Quando será que vou usar isso?” 
Esta é a pergunta clássica de nove entre dez alunos 
às voltas com cálculos, fórmulas e equações. Para 
muitos, a matemática que aprendemos na escola 
é algo totalmente abstrato. O matemático Jordan 
Ellenberg mostra, porém, que a matemática está em 
todo lugar e se relaciona com questões do nosso 
cotidiano. Com humor e irreverência, Ellenberg aborda 
de modo simples e claro os conceitos mais complicados, sem os jargões próprios 
da área.
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FILME
O Homem que Viu o Infinito
Ano: 2015
Sinopse: A história de Srinivasa Ramanujan, matemático 
indiano
que fez importantes contribuições para o mundo da 
matemática,
bem como a teoria dos números, a série e frações 
contínuas.
Gênio Indomável
Ano: 1998
Sinopse: Em Boston, um jovem de 20 anos (Matt Damon) 
que já teve algumas passagens pela polícia e servente 
de uma universidade, revela-se um gênio em matemática 
e, por determinação legal, precisa fazer terapia, mas 
nada funciona, pois ele debocha de todos os analistas, 
até se identificar com um deles.
WEB
[Este trabalho apresenta uma explicação detalhada sobre as leis de Maxwell, sobretudo 
as demonstrações e aplicações das quatro leis]
<https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Frepositorio.ufsc.br%2Fbitstre
am%2Fhandle%2F123456789%2F119376%2FAna_Paula%2520%25281%2529.pdf%3
Fsequence%3D1%26isAllowed%3Dy&embedded=true&chrome=false&dov=1 >
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Frepositorio.ufsc.br%2Fbitstream%2Fhandle%2F123456789%2F119376%2FAna_Paula%2520%25281%2529.pdf%3Fsequence%3D1%26isAllowed%3Dy&embedded=true&chrome=false&dov=1
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Frepositorio.ufsc.br%2Fbitstream%2Fhandle%2F123456789%2F119376%2FAna_Paula%2520%25281%2529.pdf%3Fsequence%3D1%26isAllowed%3Dy&embedded=true&chrome=false&dov=1
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Frepositorio.ufsc.br%2Fbitstream%2Fhandle%2F123456789%2F119376%2FAna_Paula%2520%25281%2529.pdf%3Fsequence%3D1%26isAllowed%3Dy&embedded=true&chrome=false&dov=1
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	A MODELAGEM MATEMÁTICA
	MÉTODOS ANALÍTICOS X MÉTODOS NUMÉRICOS
	TÉCNICAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA
	ERROS E SUAS FONTES
	TEORIA DA PROPAGAÇÃO DE ERROS
	ESTUDO DE FUNÇÕES: REVISÃO
	Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton
	INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
	CÁLCULO NUMÉRICO: REVISÃO DE PRODUTO MISTO E VETORIAL
	MATRIZES E OPERAÇÕES
	DETERMINANTES
	SISTEMAS LINEARES: DECOMPOSIÇÃO LU
	SISTEMAS LINEARES: DECOMPOSIÇÃO LU COM PIVOTAMENTO
	INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
	INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: REGRA DO TRAPÉZIO