Cálculo Numérico(1)

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CÁLCULO 
NUMÉRICO
PROF. JEAN CARLOS RODRIGUES
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA
Prof. Jean Carlos Rodrigues
CÁLCULO 
NUMÉRICO
Marília/SP
2022
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
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emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 01
CAPÍTULO 02
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
CAPÍTULO 05
CAPÍTULO 06
CAPÍTULO 07
CAPÍTULO 08
CAPÍTULO 09
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
CAPÍTULO 13
CAPÍTULO 14
CAPÍTULO 15
08
19
30
41
52
62
74
84
93
102
113
126
137
147
157
A MODELAGEM MATEMÁTICA
MÉTODOS ANALÍTICOS X MÉTODOS 
NUMÉRICOS
TÉCNICAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA
ERROS E SUAS FONTES
TEORIA DA PROPAGAÇÃO DE ERROS
ESTUDO DE FUNÇÕES: REVISÃO
RAÍZES DE FUNÇÕES: MÉTODOS DA 
BISSECÇÃO, DA FALSA POSIÇÃO E DE 
NEWTON
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
CÁLCULO NUMÉRICO: REVISÃO DE PRODUTO 
MISTO E VETORIAL
MATRIZES E OPERAÇÕES
DETERMINANTES
SISTEMAS LINEARES: DECOMPOSIÇÃO LU
SISTEMAS LINEARES: DECOMPOSIÇÃO LU 
COM PIVOTAMENTO
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: REGRA DO 
TRAPÉZIO
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INTRODUÇÃO
Olá querido(a) aluno(a)!
O cálculo numérico e a modelagem matemática que conhecemos hoje são, na 
verdade, consequências de centenas de anos de evolução das técnicas e teorias 
matemáticas. Quando falamos em modelar um problema, estamos nos referindo à 
tradução de uma situação real para a linguagem matemática formal, que se utiliza de 
letras, números e métodos numéricos para a solução de problemas reais ou fictícios. 
Inicialmente, você vai aprender como os modelos matemáticos podem ser formulados 
e reconhecer o uso dos métodos numéricos para resolução de problemas que não 
podem ser resolvidos analiticamente e, por fim, identificar e corrigir os principais erros 
do método numérico. Os diversos ramos do setor produtivo e da área de engenharia 
química envolvem vários processos e sistemas que apresentam variáveis de entrada 
e parâmetros, sejam eles conhecidos ou não. O sucesso de uma empresa depende 
de como ela atua em toda a cadeia produtiva e do que gera para o consumidor final. 
Nesse sentido, a modelagem matemática e a simulação de processos servem como 
ferramentas preditivas que contribuem para a melhor tomada de decisão frente a 
incertezas, problemas ou mudanças necessárias. No entanto, tais técnicas só serão 
efetivas se bem compreendidas. Os processos em geral e suas propriedades físico-
químicas também devem ser compreendidas, pois serão objeto de estudo e validação 
das ferramentas. 
A indústria e o comércio, de maneira geral, estão interessados em agregar valor a 
um determinado produto ou serviço. Um empreendedor deve buscar constantemente 
a inovação e a otimização dos processos para se manter no mercado altamente 
competitivo. Para isso, ele tem que buscar um diferencial que atraia ou mantenha o 
consumidor, que está cada vez mais exigente. Além disso, o empreendedor precisa 
enfrentar a concorrência nacional e internacional. Essa busca pela otimização difere do 
clássico pensamento capitalista que focava apenas no aumento da lucratividade, obtido 
principalmente com práticas de redução de custos. No contexto atual, a otimização dos 
serviços e processos produtivos de uma empresa para que sejam alcançados melhores 
resultados demanda investimento, especialmente em mão de obra especializada, alta 
tecnologia e um sistema de gestão eficaz. Atualmente, a modelagem e a simulação 
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vêm ganhando destaque na indústria. Você saberá identificar os Erros de Medição e as 
principais causas de Erros. Diferenciará os tipos de Erros. Você vai estudar os principais 
conceitos sobre modelagem matemática e simulação. Além disso, vai conhecer os 
principais elementos presentes no processo de modelagem. Por fim, vai ver diferentes 
sistemas utilizados para o desenvolvimento dos modelos matemáticos. Reconhecerá 
a importância do uso dos métodos numéricos para o cálculo de raízes de funções. 
Definirá e diferenciará os métodos de Bissecção, Falsa Posição e Newton. Aplicará os 
métodos de Bissecção, Falsa Posição e Newton na solução de problemas. Estudará 
interpolação polinomial e a diferença entre o polinômio de Newton e o polinômio 
de Lagrange. Aplicará a interpolação polinomial e a interpolação por splines para 
estimar valores intermediários entre dados precisos. Verá o método da decomposição 
LU na resolução de sistemas lineares sem e com pivotamento, sua importância na 
resolução de tais sistemas, obtenção de matrizes inversas. Aprenderá a definição e a 
aplicação da regra do trapézio simples e composta como procedimentos para calcular 
integrais aproximadas em situações-problema, além de diferenciar esses processos 
de integração numérica, avaliando, assim, quando se deve utilizar cada um.
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CAPÍTULO 1
A MODELAGEM MATEMÁTICA
Imagem da capa: Gráfico tridimensional do valor absoluto da função gama complexa
Fonte: Wikimedia Commons Disponível em< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Gamma_abs_3D.png >
Os diversos ramos do setor produtivo e da área de engenharia química envolvem vários 
processos e sistemas que apresentam variáveis de entrada e parâmetros, sejam eles 
conhecidos ou não. O sucesso de uma empresa depende de como ela atua em toda a cadeia 
produtiva e do que gera para o consumidor final. Nesse sentido, a modelagem matemática 
e a simulação de processos servem como ferramentas preditivas que contribuem para 
a melhor tomada de decisão frente a incertezas, problemas ou mudanças necessárias. 
No entanto, tais técnicas só serão efetivas se bem compreendidas. Os processos em 
geral e suas propriedades físico-químicas também devem ser compreendidas, pois 
serão objeto de estudo e validação das ferramentas. Neste capítulo, você vai estudar os 
principais conceitos sobre modelagem matemática e simulação. Além disso, vai conhecer 
os principais elementos presentes no processo de modelagem. Por fim, vai ver diferentes 
sistemas utilizados para o desenvolvimento dos modelos matemáticos.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Gamma_abs_3D.png
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1.1 Modelagem matemática de processos 
A indústria e o comércio, de maneira geral, estão interessados em agregar valor a um 
determinado produto ou serviço. Um empreendedor deve buscar constantemente a inovação 
e a otimização dos processos para se manter no mercado altamente competitivo. Para isso, 
ele tem que buscar um diferencial que atraia ou mantenha o consumidor, que está cada 
vez mais exigente. Além disso, o empreendedor precisa enfrentar a concorrência nacional 
e internacional. Essa busca pela otimização difere do clássico pensamento capitalista 
que focava apenas no aumento da lucratividade, obtido principalmente com práticas de 
redução de custos. No contexto atual, a otimização dos serviços e processos produtivos 
de uma empresa para que sejam alcançados melhores resultados demanda investimento, 
especialmente em mão de obra especializada, alta tecnologia e um sistema de gestãoeficaz. 
Atualmente, a modelagem e a simulação vêm ganhando destaque na indústria. Um exemplo 
disso pode ser visto na planta química apresentada na Figura 1. Nesse caso, o principal 
objetivo é avaliar a operabilidade de toda a planta por meio de modelos matemáticos que 
descrevam cada processo e sistema pertencente a ela. Para a concretização desse novo 
modelo de negócio, algumas técnicas e/ou ferramentas foram criadas e aprimoradas, 
principalmente com a introdução de computadores e o avanço tecnológico. Entre essas 
técnicas, estão a modelagem matemática e a simulação de processos.
Figura 1: Diagrama de processo de uma planta química típica
Fonte: Franco (2021, p. 5).
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Antes de compreendermos o funcionamento dessas ferramentas, é impor- tante 
entendermos o que os termos e conceitos listados a seguir significam.
• Modelagem: sem estar inserida em um contexto, é apenas o substan- tivo feminino 
derivado do verbo modelar. No entanto, acompanhada do termo “matemática”, 
forma uma expressão e assume outro papel.
• Modelagem matemática: por ter aplicabilidade multidisciplinar, cada área adota 
uma explicação que mais se aproxima ao tema. Porém, para processos químicos, 
é possível definir como a constituição de modelos matemáticos que mais se 
aproximem de uma dada realidade a ser analisada e que podem ser interpretados 
como respostas no mundo real (BASSANEZI, 1999).
• Modelo matemático: representação de um processo (por exemplo, químico) por 
meio de equações matemáticas.
• Processo: conjunto de unidades de operação, como colunas de desti- lação e 
reatores, no caso da engenharia química.
• Parâmetro: valor atribuído a uma propriedade do processo (por exemplo, química 
ou física). É conhecido como uma constante ou não. Em caso negativo, deve 
ser estimado.
• Equação: expressão matemática que relaciona as variáveis.
• Variável: grandeza representada por simbologia matemática que, em geral, 
apresenta um valor inicial desconhecido.
• Variável de entrada: é determinada, com base no conhecimento prévio do 
processo, anteriormente à resolução dos problemas, sendo alterada durante 
a operação.
• Sistemas: conjunto de elementos interdependentes que interagem entre si.
• Simulação: realização ou imitação de um processo real por meio de um modelo 
computacional que gere resultados que permitam criar estratégias operacionais 
(BEQUETTE, 1998).
• Grau de liberdade: é a diferença entre o número de variáveis inde- pendentes do 
processo e o número de equações independentes do processo.
A partir do conhecimento dos conceitos, vale ressaltar que as leis fun- damentais 
da física e da química (como as leis de conservação de energia e massa) constituem a 
base dos modelos matemáticos. Como se trata de um procedimento muito importante 
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para qualquer empreendimento, sua implantação deve ser realizada de forma criteriosa, 
devendo ser coordenada por um profissional devidamente habilitado. Tal profissional deve 
ter domínio sobre as principais áreas do conhecimento (termodinâmica, escoamento de 
fluídos, cinética, transferência de calor e massa, controle e otimização de processos, 
entre outras), sobre os proces- sos envolvidos (como colunas de destilação, reatores e 
trocadores de calor, no caso da engenharia química) e sobre as ferramentas utilizadas. 
Dentro de todo o contexto destacado, não se pode esquecer o principal objetivo da 
modelagem e simulação de processos: auxiliar na tomada de decisões, em todas as 
etapas, por meio de modelos matemáticos, sem a necessidade de realizar procedimentos 
experimentais, que demandam mais tempo e custos e podem apresentar respostas 
subjetivas. O Quadro 1 mostra um balanço entre as vantagens e desvantagens de 
implementar esse processo de modelagem matemática e simulação de processos.
Vantagens Desvantagens
• Custos menores.
• Validação do processo sem precisar fazer testes 
experimentais.
• Simulação de cenários com diferentes variáveis 
de entrada e valores dos parâmetros. Na
• prática, isso poderia levar tempo e saturar o 
sistema.
• Conhecimento técnico sobre modelagem 
matemática e simulação computacional.
• Treinamento para que o profissional 
especializado possa operar sistemas 
computacionais.
Quadro 1. Principais vantagens e desvantagens da modelagem matemática e simulação de processos
Fonte: autor (2019)
Diante da construção de modelos matemáticos usados na simulação de processos, 
alguns conceitos são fundamentais para compreensão do tema. Nesse sentido, o 
profissional responsável pelo desenvolvimento e pela otimização de um produto 
ou processo deve estar familiarizado com a simbologia matemática utilizada e, 
sobretudo, com os principais modelos matemáticos aplicados à indústria. Neste 
Infográfico, você vai aprender alguns conceitos utilizados em práticas de modelagem 
e simulação e conhecer as principais vantagens e desvantagens dos modelos 
matemáticos. 
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A constituição de um modelo matemático precisa atender a alguns elementos 
considerados básicos para ter o melhor desempenho possível (LUYBEN, 1996; 
OGUNNAIKE; RAY, 1994). Segundo Bequette (1998), oito elementos devem, 
necessariamente, estar presentes no modelo a ser criado. Além disso, podem ser 
incluídos outros elementos, dependendo da demanda do processo. A seguir, veja os 
oito elementos básicos da modelagem e simulação descritos por Bequette (1998). 
Descrição do processo e definição do problema: descrever o processo e definir o 
problema é o ponto de partida de um modelo matemático. Esse elemento pode ser 
definido como o conhecimento dos fenômenos que envolvem o processo e o que 
se deseja conhecer em relação a suas causas e efeitos. É possível considerar esse 
elemento como a parte mais importante para a análise de um processo, ainda que 
não se tenham regras ou padrões para que isso seja feito. Em caso de dificuldade 
para iniciar essa descrição e definição, é possível reunir as pessoas envolvidas no 
processo e fazer um brainstorming (tempestade de ideias). Assim, com diferentes 
pontos de vista, fica mais fácil detectar o que mais se repete na dinâmica.
Teoria e aplicação das leis fundamentais: Após descrever o processo e entendê-lo, 
deve-se aplicar a teoria que governa os seus fenômenos. Para esse elemento, deve-
se buscar embasamento e fundamentação em diferentes fontes bibliográficas ou 
referências sobre o processo, mesmo que elas não estejam publicadas, desde que 
sejam relevantes. Relacionar outros ensaios que se assemelham ao processo que se 
pretende realizar e pontuá-los na constituição do modelo matemático é fundamental 
para o sucesso da técnica, pois será possível averiguar situações em que já foram 
utilizados modelos que se mostraram inadequados, evitando repeti-los. Assim, é possível 
focar nos casos em que os resultados para um problema similar foram satisfatórios. 
Equacionamento: é a “tradução” da teoria para notação matemática. Considerações: é 
uma etapa fundamental feita pelo engenheiro de acordo com sua avaliação e percepção 
na modelagem. Consistência: um sistema ou processo é dito consistente se o número 
de variáveis é igual ao número de equações. Em outras palavras, se o grau de liberdade 
for igual a zero, o sistema é consistente. Caso contrário, pode ocorrer sub ou sobre 
especificação do sistema. Por fim, deve-se atentar para as unidades de medida dos 
termos que compõem as equações. 
Matemática e computação: a natureza das equações do modelo é o que de- termina 
o método para a obtenção da solução, seja ele analítico ou numérico. Por exemplo, 
um modelo dinâmico que resulta em um EDO de primeira ordem como condição 
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inicial pode ser resolvido pelo método de Runge-kutta de quarta ordem. Solução e 
validação: esses elementos são contemplados na etapa final do processo de construção 
de um modelo matemático, quando os resultados do modelo são comparados com 
dados experimentais. Para facilitar o entendimento do processo de modelagem e seus 
elementos básicos, veja o fluxograma da Figura 2.
Definição do processo e identificação do problema
Teoria e aplicação das leis fundamentais
Equacionamento
Considerações
Consistência
Solução desejada
Matemática e computação
Solução e validação
Figura 2. Fluxograma dos elementos básicos da modelagem matemática.
Fonte: autor (2022)
1.2 Principais tipos de sistemas para desenvolvimento dos modelos
A classificação de sistemas deve considerar o tipo de problema a ser resolvido, 
assim como os fenômenos químicos e físicos envolvidos. Desse modo, o engenheiro 
deve ser o responsável por avaliar e classificar qual sistema é mais adequado para o 
desenvolvimento do modelo que vai resolver o seu processo. Vale ressaltar que, antes de 
conhecer os diferentes sistemas para desenvolver um modelo matemático específico, 
é preciso entender uma classificação que divide os modelos matemáticos em dois 
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grandes grupos, dependendo da forma escolhida para sua obtenção: fenomenológicos 
(físicos ou teóricos) e empíricos. A obtenção de um modelo matemático por meio da 
abordagem fenomenológica (física ou teórica) está relacionada às leis químicas, que 
envolvem princípios para balanço de massa, energia e quantidade de movimento, 
com comportamento conhecido, de forma a permitir sua extrapolação. A abordagem 
empírica voltada para a obtenção de modelos matemáticos é baseada em dados 
experimentais ou observações. Os modelos dessa abordagem são, em alguns casos, 
mais simples e mais fáceis de serem desenvolvidos em comparação aos modelos 
fenomenológicos. No entanto, uma de suas desvantagens é que eles não podem 
ser extrapolados. Ou seja, essa abordagem só permite representar um determinado 
sistema para condições operacionais predeterminadas. A partir do entendimento da 
classificação das abordagens para a obtenção de um modelo matemático, surge uma 
nova classificação: a dos sistemas para o desenvolvimento de modelos matemáticos. 
Essa classificação vai ajudar o profissional envolvido no processo a entender as 
principais diferenças entre os sistemas. A seguir, vamos ver essa classificação em 
diferentes sistemas.
SAIBA MAIS
Neste vídeo, você vai conhecer uma simulação baseada no método heurístico 
de Ziegler e Nichols para sintonizar o controlador PID (Proporcional + Integral + 
Derivativo).
Disponível em < https://www.youtube.com/embed/ktEq1x-AFGA> 
Acessado em 24/06/2022
Sistemas lineares × não lineares
Os sistemas lineares são caracterizados pelos princípios de homogeneidade e 
superposição. Além disso, nesse tipo de sistema, as derivadas e a variável dependente 
aparecem com termos de primeiro grau. Ainda, de acordo com Maya e Leonardi (2014), 
os princípios de superposição devem satisfazer as seguintes duas condições.
1. Considere uma perturbação de entrada a(t) na resposta f1(t) e outra perturbação 
b(t) na resposta f2(t). Dessa forma, a soma das respostas f1(t) + f2(t) será igual 
à soma das perturbações a(t) + b(t). Traduzindo esse conceito para notação 
matemática, tem-se: f(a + b) = f(a) + f(b). Logo, esse é o princípio da superposição.
https://www.youtube.com/embed/ktEq1x-AFGA
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2. O princípio da homogeneidade está associado à seguinte situação: se aplicarmos 
uma constante k em uma entrada a(t), teremos que a resposta y1(t) será 
multiplicada por essa constante (k × a(t)), e a resposta será k × y1(t), resultando 
em y(k × a) = k × y(a). Tal resultado diz respeito ao princípio da homogeneidade.
 
Os sistemas não lineares são aqueles que não se aplicam aos princí- pios da 
superposição e/ou homogeneidade. Se um desses princípios falhar, o sistema é dito 
não linear.
Sistemas contínuos × discretos
Quando a relação entre o sinal de interesse e uma variável é descrita de maneira 
contínua no tempo, esse sistema é classificado como contínuo. Essa relação é, em 
geral, descrita por meio de equações diferenciais. Por outro lado, conforme indica 
Aguirre (2007), sistemas discretos são definidos quando a relação entre o sinal de 
interesse e a variável é expressa em instantes de amostragem.
Sistemas determinísticos × estocásticos
Os modelos determinísticos não consideram a incerteza do sistema, além de 
relacionarem as variáveis mensuradas de forma exata. Os modelos estocásticos, 
também chamados de modelos probabilísticos, são aqueles relacionados a variáveis 
aleatórias, ou seja, trabalham com a incerteza do sistema.
Sistemas estáticos × dinâmicos
Os sistemas estáticos são representados por equações algébricas, são conhecidos 
como estacionários e não variam no tempo. Os sistemas dinâmicos são expressos 
por equações diferenciais e apresentam como principal característica as variações das 
variáveis no tempo. Tais sistemas também são conhecidos como sistemas transientes, 
uma vez que sua resposta não depende das condições anteriores.
Sistemas de parâmetros concentrados × parâmetros distribuídos
Em sistemas de parâmetros concentrados, as variações espaciais são descartadas. 
Além disso, são gerados sistemas de equações diferenciais ordinárias. Ainda, em todo o 
volume do processo, suas propriedades são consideradas homogêneas. Nos sistemas 
de parâmetros distribuídos, são consideradas variações espaciais e há mais de uma 
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variável independente. Elas são resolvidas por um sistema de equações diferenciais 
parciais. Franco (2021) apresenta um exemplo de modelo matemático baseado em 
parâmetros concentrados. Trata-se de um tanque de aperfeiçoamento misturado, 
com expressão dada por:
onde:
• T é a temperatura do fluido;
• F é a vazão volumétrica;
• Ti é a temperatura na entrada;
• Q é o calor adicionado;
• ρ é a densidade do fluido;
• V é o volume do tanque;
• Cp é o calor específico.
Franco (2021) também mostra um exemplo de um modelo matemático com sistema 
distribuído para um trocador casco-tubo. Nesse caso, é importante observar que a 
temperatura do líquido apresenta variação ao longo do tempo, como pode ser observado 
na seguinte equação:
onde:
• T é a temperatura do fluido;
• v é a velocidade do fluido;
• d é o diâmetro do tubo;
• U é o coeficiente global de troca térmica;
• ρ é a densidade do fluido;
• Cp é o calor específico;
• A é a área da seção transversal do tubo;
• Tst é a temperatura no estado estacionário.
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SAIBA MAIS
Modelagem e simulação de duas colunas de destilação em série para purificação 
do benzeno utilizando redes neurais
Neste link, você vai acessar um artigo que trata de técnicas usadas em simulação 
em que são aplicadas colunas de destilação em série para purificação do benzeno.
Disponível em: < https://www.editorarealize.com.br/index.php/artigo/
visualizar/75267> acessado em 20/06/2022
Neste capítulo, vimos como é importante entender o conceito de modelagem 
matemática de processos e conhecer os elementos mais importantes que compõem 
os modelos. Além disso, conferimos como diferenciar os principais tipos de sistemas 
usados em modelagem e simulação, com suas vantagens e desvantagens. Estudamos 
os principais conhecimentos que um(a) engenheiro(a) e sua equipe precisam ter para 
usar modelos matemáticos que representem problemas reais, ou seja, problemas 
com dados obtidos por meio de experimentos físicos. Vale destacar que também é 
importante estar familiarizado com métodos matemáticos e softwares específicos 
para modelagem e simulação de processos.
https://www.editorarealize.com.br/index.php/artigo/visualizar/75267https://www.editorarealize.com.br/index.php/artigo/visualizar/75267
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CAPÍTULO 2
MÉTODOS ANALÍTICOS X 
MÉTODOS NUMÉRICOS
Imagem: modelagem matemática do roteamento de veículos nas ruas de uma cidade
Fonte: wikimedia Commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Vehicle_Routing_Problem_Example.svg/2098px-
Vehicle_Routing_Problem_Example.svg.png >
Olá caros(as) alunos(as), sejam bem vindos(as)!
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Vehicle_Routing_Problem_Example.svg/2098px-Vehicle_Routing_Problem_Example.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Vehicle_Routing_Problem_Example.svg/2098px-Vehicle_Routing_Problem_Example.svg.png
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A maioria dos problemas práticos enfrentados pelas equipes de pesquisa operacional 
(PO) é em princípio descrita de forma vaga e imprecisa. Desse modo, é preciso estudar 
o sistema relevante e desenvolver um enunciado bem definido do problema a ser 
considerado. Isso inclui determinar os objetivos apropriados, as restrições sobre o que 
pode ser feito, a relação entre a área a ser estudada e outras áreas da organização, 
opções alternativas, limites de tempo para tomada de decisão, entre outras coisas. 
Esse processo de definição de problema é fundamental, pois afeta de modo substancial 
as conclusões do estudo. De acordo com Hillier (2013), é difícil obter uma resposta 
“correta” para um problema “incorreto”! Inicialmente, deve-se reconhecer que uma equipe 
de PO em geral trabalha na qualidade de consultores. Os integrantes da equipe, além 
de resolverem problemas conforme julgarem apropriado, também devem aconselhar 
a gerência na tomada de decisões. Em geral, o relatório que a equipe encaminha à 
gerência apresenta uma série de alternativas particularmente atrativas considerando 
as suposições ou um intervalo de valores diferentes que pode ser avaliado somente 
pela gerência (p. ex., o conflito entre custo e benefício). A gerência, de posse do estudo 
e suas recomendações, avalia uma série de fatores intangíveis e, com bom senso, 
toma a decisão final. É fundamental também que a equipe de PO seja sintonizada 
com a gerência, inclusive identificando o problema “correto” segundo seu ponto de 
vista e obtendo o seu apoio ao longo do projeto. Determinar os objetivos apropriados 
é um aspecto fundamental na definição de um problema. De início deve-se identificar 
o integrante da gerência que efetivamente decidirá quanto ao sistema em estudo e, 
posteriormente, extrair desse integrante os objetivos pertinentes. A PO se preocupa com o 
bem-estar de toda a organização, e não somente com o bem-estar de alguns integrantes. 
Contudo, a técnica de PO busca soluções que sejam ótimas para a organização, e não 
uma solução subotimizada que seja boa apenas para um integrante. Desse modo, os 
objetivos que são idealmente formulados devem ser de toda a organização. Entretanto, 
isso nem sempre é conveniente. Os objetivos no estudo devem ser os mais específicos 
e, ainda, englobar os principais objetivos do tomador de decisões e manter um grau 
de consistência razoável com os mais altos objetivos. Para contornar o problema de 
subotimização, uma alternativa possível para organizações com fins lucrativos é usar 
a maximização de lucros em longo prazo (levando-se em conta o valor do dinheiro no 
tempo) como o único objetivo. A qualificação em longo prazo indica que esse objetivo 
apresenta a flexibilidade de se considerarem atividades que não visam imediatamente 
aos lucros (p. ex., projetos de pesquisa e desenvolvimento), mas precisam fazê-lo com 
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o tempo, de modo a valer a pena. Na maioria das vezes, as organizações com fins 
lucrativos não adotam essa abordagem. Estudos de corporações norte-americanas 
revelam que a tendência entre os administradores é optar por um objetivo de lucros 
satisfatórios em conjunto com outros objetivos, em vez de apostar na maximização de 
lucros em longo prazo. Muitas vezes, alguns desses outros objetivos buscam manter 
os lucros estáveis, aumentar (ou manter) a participação no mercado, favorecer a 
diversificação de produtos e a estabilidade de preços, motivar os funcionários, preservar 
o controle familiar do negócio e aumentar o prestígio da empresa. Além disso, há́ outros 
fatores que envolvem responsabilidades sociais distintas da lucratividade. Para Hillier 
(2013), as cinco partes geralmente afetadas por uma empresa comercial localizada 
em um único país são:
1. Os proprietários (acionistas, etc.), que desejam lucros (dividendos, valorização 
das ações e assim por diante);
2. Os funcionários, que desejam emprego estável com salários razoáveis;
3. Os clientes, que desejam um produto confiável a preços razoáveis;
4. Os fornecedores, que desejam integridade e um preço de venda razoável para 
suas mercadorias;
5. O governo e, consequentemente, a nação, que desejam o pagamento de impostos 
razoáveis e consideração pelo interesse nacional.
Essas cinco partes são essenciais para a empresa, e nenhuma das partes deve ser 
vista como um servidor exclusivo em detrimento das demais. De modo semelhante, 
corporações internacionais assumem obrigações adicionais para seguir práticas 
socialmente responsáveis. Ou seja, mesmo que a responsabilidade principal da gerência 
seja a de gerar lucros, o que, de qualquer forma, acabará beneficiando as cinco partes 
envolvidas, é importante que suas responsabilidades sociais mais amplas também 
sejam reconhecidas. Em geral, as equipes de PO dedicam um tempo consideravelmente 
longo na coleta de dados relevantes sobre o problema em análise. A maioria desses 
dados é importante para ter o entendimento preciso do problema, bem como para 
fornecer os dados necessários para o modelo matemático que será desenvolvido na 
fase seguinte do estudo. É comum grande parte desses dados não
estar disponível quando se inicia o estudo. Isso ocorre porque essas informações 
não foram guardadas ou estão desatualizadas ou porque seu armazenamento foi feito 
de modo inadequado. Desse modo, às vezes, é necessário instalar um sistema de 
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informações gerenciais com base em computadores para coletar os dados necessários 
regularmente e no formato desejado. A equipe de PO deve contar com o apoio de 
especialistas em TI (tecnologia da informação), para obter todos os dados vitais para 
o processo. Mesmo com esse empenho, grande parte dos dados pode ser de certo 
modo superficial. Em geral, uma equipe de PO dedicará tempo considerável na tentativa 
de melhorar a precisão dos dados. Com a ampla difusão do uso de bancos de dados 
e o recente crescimento de seu tamanho, a maioria das equipes de PO entende que o 
maior problema relativo a dados é o fato de haver dados em demasia. Podem existir 
milhares de fontes de dados, e a quantidade total de dados pode ser medida até́ 
mesmo em terabytes. Assim, fica muito difícil localizar os dados mais relevantes e 
identificar os padrões de interesse nesses dados. 
Segundo Humes (1984) boa parte dos problemas matemáticos surge devido à 
necessidade de se ter soluções para problemas da natureza, já que muitos fenômenos 
naturais podem ser descritos por meio de modelos matemáticos.
Ohse, 2005, p.1. traz
Desde que o homem começou a observar os fenômenos naturais e 
verificar que os mesmos seguiam princípios constantes, ele observou 
que estes fenômenos podiam ser colocados por meio de “fórmula”. 
Este princípio levou a utilização da matemática como uma ferramenta 
para auxiliar estas observações. Este é o princípio da matemática 
como um modelo, ou seja, modelar matematicamente o mundo em 
que vivemos e suas leis naturais.
Para tanto, traremos as formas de representação dos números em sistemasde 
numeração, com ênfase na representação em ponto flutuante, que é adotada em 
computadores e calculadoras. Serão trazidas noções de erro e de aproximação 
numérica, que se mostram fundamentais no cálculo numérico desenvolvido, já que 
este é uma grande ferramenta na resolução de problemas originários da Matemática e 
das ciências exatas em geral. Imagine a seguinte situação: você recebe um problema 
para propor uma solução e desenvolve um modelo matemático (modelagem), chegando 
a uma determinada solução através de resoluções com métodos numéricos. Mas, 
você sabe o que seja um modelo matemático? Observe a figura 1:
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Figura 1: Etapas para solucionar um problema da natureza.
Fonte: Humes, et. al (1984, p.1)
ANOTE ISSO
Modelo matemático é a representação simplificada da realidade, segundo uma 
estrutura de conceitos mentais ou experimentais.
A modelagem do problema trata-se do início do processo em que representa-se o 
problema por um modelo matemático mais adequado. Como deseja-se ter um modelo 
matemático aplicável/solucionável, ele pode conter simplificações do problema real. Vale 
lembrar que um mesmo problema pode ter vários modelos matemáticos. A resolução 
do modelo é a etapa seguinte na qual busca-se encontrar a solução para o modelo 
matemático proposto na fase anterior (modelagem). É nesta fase que necessita-se 
dos métodos numéricos específicos que resolvam o modelo análogo.
Biembengut e Hein (2000, p.12) definem de maneira sucinta um modelo matemático 
ao afirmarem “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz, de alguma 
forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação real, é denominado 
modelo matemático”. A modelagem matemática apresenta os seguintes benefícios:
a) Auxilia na compreensão da relação entre a Matemática e a realidade;
b) Permite ao estudante pensar em soluções para as mais variadas situações;
c) Desenvolve uma maior autonomia do aluno no processo de aprendizagem já 
que esse elabora as hipóteses que solucionarão o problema;
d) Enaltece o saber do aluno, já que ele desenvolve sua capacidade de avaliação 
do processo de construção dos modelos matemáticos em contextos variados.
Sobre as etapas da solução de um problema por modelagem matemática, é possível 
descrevê-las da seguinte forma:
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1) Situação-problema: não precisa, necessariamente estar ligada à Matemática ou 
a conteúdos da área de exatas. 
2) Pesquisa exploratória: após a escolha do tema, deve-se iniciar a busca por materiais 
que contenham as noções e informações necessárias para o desenvolvimento do 
tema. Essa etapa pode ser tanto uma pesquisa de campo quanto uma pesquisa 
bibliográfica;
3) Levantamento dos problemas: após a pesquisa realizada e com os materiais 
coletados deve-se conjecturar sobre os modelos matemática mais adequados 
à modelagem do problema;
4) Resolução de problemas/ do modelo: nessa fase, o conteúdo matemático será 
mais explorado ao se tentar responder as questões levantadas já com um olhar 
voltado para a matemática em si. Ou seja, o conteúdo matemático poderá ser 
abordado de forma compreensível para depois ser sistematizado, fazendo o 
caminho inverso do habitual já que o conteúdo será ensinado para responder 
as dúvidas surgidas ao longo da pesquisa.
5) Análise crítica das soluções: nessa etapa, haverá a reflexão sobre os resultados 
obtidos ao longo do processo e como eles possibilitam a melhoria de decisões 
e ações, o que leva à formação de cidadãos mais participativos e que auxiliem, 
efetivamente, na melhoria da comunidade em que estão inseridos. Ao final 
dessa etapa, espera-se que os envolvidos estejam mais críticos, não apenas em 
relação à matemática, mas em condições de avaliar criticamente a viabilidade 
das soluções apresentadas. 
6) Tomada de decisão: decidir se o modelo matemático será aplicado ou não de 
acordo com a resposta desejada.
Vamos analisar um exemplo de aplicação prática da modelagem matemática em um 
Laboratório de Metrologia. Suponha que o objetivo seja realizar medições dos blocos-
padrão, seguindo as normas definidas, e, em seguida, obter os gráficos contendo os 
erros nas referidas medições quanto ao tamanho dos blocos. Os erros de medição 
poderiam ser provenientes de alguns motivos tais como: temperatura durantes as 
medições realizadas, força exercida sobre o fuso, falha do observador ao longo das 
medições realizadas. Visando uma melhor calibração do micrômetro, equipamento 
utilizado nas medições lineares, pensou-se em utilizar a modelagem Matemática.
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O 1º passo: visita o laboratório e coletar os dados imprescindíveis para propor o 
modelo matemático. Com os dados coletados, um gráfico de dispersão foi gerado, por 
meio do software Excel, no qual observou-se que o comportamento dos dados referia-
se a um modelo polinomial, permitindo, assim, encontrar uma função de calibração 
de erros para aquele micrômetro.
Ao longo desta atividade desenvolvida, alguns testes de ajustes de funções foram 
realizados do grau um até o nono, sendo necessário usar o software curve a partir do 
sexto grau porque o Excel só permite ajuste até esse grau. A partir dos testes realizados, 
pôde-se perceber que não ocorria uma melhora significativa a partir do sexto grau, isto 
é, o coeficiente de determinação (R2) apresentava uma variação insignificante para o 
problema, decidindo-se, então, pelo ajuste polinomial de sexto grau.
 Para uma melhor visão e compreensão do modelo matemático exemplificado, 
traremos as etapas que foram seguidas abaixo:
a) Definição da situação problema: De que maneira propor um modelo matemático 
de calibração para o micrômetro?
b) Simplificação e formulação de hipóteses: a temperatura da sala onde foram 
realizadas as medições; o micrômetro e o jogo de bloco-padrão estavam à 
mesma temperatura; não havia oxidação no jogo de bloco e no micrômetro; 
luvas foram usadas durante a medição; o erro do observador do desconsiderado; 
valor da medida-padrão estava no domínio de 0,25 mm; 
c) Dedução do modelo matemático: De que maneira propor um modelo matemático 
de calibração para o micrômetro através de uma função matemática?
d) Resolução do problema matemático: Apresentação dos dados coletados na 
calibração do micrômetro que deseja calibrar. A partir dos dados coletados e os 
de medida padrão, calcula-se o erro e determina-se a média aritmética simples 
para cada medida padrão. Logo em seguida, um gráfico com as medidas-padrão 
e erro médio é construído para facilitar as suposições acerca da tendência 
dos pontos nele contido. Para se ter o modelo de calibração do micrômetro, a 
diferença entre o ado observado (y) e o erro estimado (E(x)), que deve retornar 
à medida-padrão. Tem-se, então, que o diâmetro da peça medido será C(x) = 
x – E(x).
e) Validação do modelo: Essa validação é feita com os dados usados na determinação 
do modelo como descrito acima, utilizando-se o Excel que permite comparar as 
medidas-padrão com os dados calculados pelo modelo de calibração. Para o 
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modelo ser considerado válido, a diferença entre o valor encontrado e a medida-
padrão deve ser próximo de zero. 
f) Aplicação do modelo: Escolheu-se aleatoriamente blocos padrão no domínio de 
0 mm a 25 mm observou-se os diâmetros dos blocos-padrão escolhidos. Foi 
estimado um erro de 0,001073 mm para a observação de 1,051 mm. Considerou-
se 6 casas decimais no erro estimado E(x), para que as medidas não fossem 
distorcidas já que aproximações realizadas ao longo da atividade podem acarretar 
em distorções no modelo.
Após as análises, é fundamental ter em mente que o modelo encontrado por 
meio do ajuste de função tem por finalidade minimizar os erros das medições 
feitas através do micrômetro e nãozerá-los. Dessa maneira, é possível que o 
modelo ajustado cause distorções em algumas medições e piorem os dados 
coletados. 
Para a resolução de modelos matemáticos, existem duas categorias de métodos: 
métodos numéricos e métodos analíticos. O método numérico é aquele em que há 
uma sequência finita de operações aritméticas que levam à solução ou aproximação da 
solução do problema. Já o método analítico é aquele que fornece as soluções exatas 
de um problema real. Comumente, as soluções são obtidas com o auxílio de fórmulas 
explícitas. No método numérico, a solução aproximada é obtida, comumente, de forma 
construtiva: partindo de aproximações iniciais, constroem-se novas aproximações até 
que uma dessas aproximações considerada “adequada” seja obtida. Dessa maneira, 
tem-se que um método numérico pode ser escrito em forma de algoritmo com as 
operações, ou grupo dessas, sendo repetidas quantas vezes forem necessárias. 
No método analítico, tem-se um menor erro de arredondamento (ɛa), cuja definição 
e aplicação estudaremos mais adiante. Opta-se por utilizar o método analítico na 
resolução dos modelos matemáticos por ele levar a uma maior exatidão na solução 
do problema proposto. Ambos os métodos tem a vantagem de trazer informações 
gerais ao invés de particularizadas, além de uma maior informação em relação à 
dependência e à natureza das funções envolvidas no modelo. Porém, a resolução de 
modelos matemáticos obtidos através da modelagem aplicada a problemas reais de 
algumas áreas pode ser complexa e não envolver fenômenos não-lineares, tornando 
impossível a evidência de uma solução analítica para o problema dado. Uma opção 
para resolução do modelo, então, seriam os métodos numéricos. Para uma melhor 
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compreensão e diferenciação entre os métodos analítico e numéricos, vejamos, abaixo, 
exemplos simples de suas aplicações:
1ª exemplo: Usa-se o método analítico para determinar os zeros de uma função 
quadrática
 , com a ≠0
Lembrando que a fórmula de Bhaskara é:
Os zeros da são:
2ª exemplo: Como exemplo de método numérico, tem-se o algoritmo de Eudoxo 
para determinar uma aproximação para a raiz quadrada de um número real p, que 
seja maior que 1:
Do fato que p>1, temos que 1< < p. Então, tem-se, com uma 1ª aproximação 
para , , isto é, a média aritmética entre 1 e p. Logo:
Faz-se uma nova aproximação , ou seja, a média aritmética entre 
e x0. Vê-se, novamente, que 
Seguindo essa lógica, tem-se uma sequência de aproximações dada por:
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 se n=0
 se n≥1
A tabela 1 fornece os valores de algumas aproximações para obtidas pelo algoritmo 
de Eudoxo. Para que se possa avaliar a precisão das aproximações, são fornecidos 
também os quadrados dessas aproximações. Trabalhando com 14 dígitos depois 
do ponto decimal, é possível observar que, na quinta aproximação x4, temos, x4 = 
2,00000000000000
0 1,50000000000000 2,25000000000000 
1 1,41666666666667 2,00694444444444 
2 1,41421568627451 2,00000600730488 
3 1,41421356237469 2,00000000000451 
4 1,41421356237310 2,00000000000000 
Tabela 1: Algoritmo de Eudoxo para 2 
Fonte: Freitas (2000, p.11)
Caso tenha se interessado pelo algoritmo de Eudoxo e queira saber mais, basta 
consultar o artigo intitulado Raiz Quadrada Utilizando Médias que foi publicado na 
Revista de matemática 45 (CARNEIRO, 2001). O artigo traz as justificativas que levam 
ao funcionamento deste método, bem como um procedimento generalizado para o 
cálculo aproximado de raízes quadradas de números reais maiores que 1 a partir de 
uso de médias. Há, também, uma discussão sobre a precisão do processo ao calcular 
o erro cometido nas aproximações.
SAIBA MAIS
Existe uma variedade de pacotes de software para PCs que podem solucionar 
muitos modelos matemáticos. Porém, há́ dificuldades que devem ser evitadas, 
como usar modelos matemáticos que são, necessariamente, uma idealização 
abstrata do problema, de modo que em geral se requerem aproximações e 
suposições simplificadas, caso queira que o modelo seja possível de ser resolvido. 
Por isso, deve-se garantir que o modelo permaneça uma representação válida do 
problema.
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E quem foi Eudoxo?
Eudoxo foi um astrônomo, matemático e filósofo grego que vivem entre os anos 
de 408 a.c. e 355 a.c. Ele nasceu em Cnidos que corresponde à Turquia nos dias de 
hoje. De modo geral, o objetivo do cálculo numérico é criar respostas numéricas para 
problemas matemáticas, isto é, estudar técnicas numéricas que trazem soluções 
de problemas matemáticos utilizando os modelos matemáticos. Pode-se afirmar 
que o cálculo numérico possua grande importância na formação de profissionais de 
engenharia e da área de ciências extas por possibilitar aos alunos conhecerem um 
leque variado de técnicas para a solução de determinados problemas, conseguindo 
escolher entre os métodos o que responderá melhor ao problema proposto e aplicando-
os de maneira a obter a solução para o problema em questão.
Mas, afinal de contas, o que são métodos numéricos? Os métodos numéricos 
desenvolvidos e estudados no cálculo numérico servem, em geral, para a aproximação 
da solução de problemas complexos que normalmente não são resolúveis por técnicas 
analíticas.
Uma característica importante de se frisar é que a aplicação das técnicas adquiridas 
no cálculo numérico na resolução de problemas demanda, comumente, um esforço 
computacional alto, o que faz ser imprescindível trabalhar de maneira integrada com 
calculadoras, preferencialmente, científicas, gráficas ou programáveis. Os ambientes 
computacionais programáveis também podem ser utilizados, já que possuem 
ferramentas gráficas, numéricas e algébricas, o que facilita e possibilita o trabalho 
em si. Com o advindo de computadores digitais e dos ambientes de programação 
cada vez mais avançados, a importância dos métodos numéricos tem crescido de 
forma significativa na resolução de problemas. Espero que você tenha compreendido a 
importância e o papel do cálculo numérico como dispositivo na resolução de problemas 
reais nas áreas das ciências extas. 
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CAPÍTULO 3
TÉCNICAS DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA
Imagem da capa: os gradientes como setas abaixo da representação da grade curva de uma função de duas variáveis: f (x, y) = - (cos² x + cos² y) ²
Fonte: Wikimedia Commons Disponível em: < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/3d-gradient-cos.svg/2444px-3d-gradient-cos.svg.
png
A modelagem computacional é uma área de conhecimento multidisciplinar que 
trata da aplicação de modelos matemáticos e técnicas da computação à análise, 
compreensão e ao estudo da fenomenologia de problemas complexos em áreas tão 
abrangentes quanto as engenharias, ciências exatas, biológicas, humanas, economia e 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/3d-gradient-cos.svg/2444px-3d-gradient-cos.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/3d-gradient-cos.svg/2444px-3d-gradient-cos.svg.png
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ciências ambientais. Arenales et al. (2015) mencionam que fazer ciência é a capacidade 
de observar e descrever fenômenos naturais, sociais, econômicos, entre outros, e que 
a matemática tem uma importância fundamental na descrição desses fenômenos. A 
partir da observação de fenômenos, processos ou sistemas, que podem ser físicos, 
químicos, biológicos, econômicos, buscam-se as leis que os regem. Essas leis, se 
passíveis de serem descritas por relações matemáticas, dão origem aos modelos 
matemáticos. O termo modelo usado neste capítulo procura imitar as principais 
características de um objeto real para fins de representá-lo.Andrade (2009) menciona 
que a metodologia da pesquisa operacional é mais desenvolvida para a solução de 
problemas que podem ser representados por modelos matemáticos. O modelo mais 
apropriado para um dado contexto ou problema depende de vários fatores, como:
• a natureza matemática das relações entre as variáveis;
• os objetivos do encarregado da decisão;
• a extensão do controle sobre as variáveis de decisão;
• o nível de incerteza associado ao ambiente da decisão.
Com base nessas informações, Batalha (2008) e Andrade (2009) ressaltam que os 
modelos matemáticos podem ser divididos ainda em dois grandes grupos.
3.1 Modelos de simulação
Os modelos de simulação procuram oferecer uma representação do mundo real com 
o objetivo de permitir a geração e a análise de alternativas antes da implementação 
de qualquer uma delas. Dessa forma, permitem que o analista tenha um considerável 
grau de liberdade e flexibilidade em relação à escolha da ação mais conveniente. Com 
isso, o administrador poderá criar ambientes futuros possíveis e testar alternativas, 
visando responder perguntas como: “e se...?”, “o que acontecerá se...?”. É importante 
mencionar que a escolha da melhor alternativa não é fixada na estrutura do modelo, 
sendo aplicada pelo analista. Para facilitar o entendimento, acompanhe a Figura 1.
Figura 1. Processos de decisão com modelos de simulação
Fonte: Andrade (2009, p. 15).
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Estes modelos não permitem flexibilidade na escolha das alternativas, uma vez que 
são estruturados para selecionar uma única alternativa, que será considerada “ótima” 
de acordo com o critério estabelecido pelo analista. O critério faz parte da estrutura 
do modelo, que encontra a melhor alternativa a partir de uma análise matemática. 
Essa análise matemática, por sua vez, é processada por métodos sistemáticos de 
solução, os quais são chamados de algoritmos. Para facilitar o entendimento, observe 
a Figura 2.
Figura 2. Processo de decisão com modelos de otimização
Fonte: Andrade (2009, p. 15).
ANOTE ISTO
O modelo matemático é uma representação simplificada (abstração) do problema 
real. Logo, o modelo deve ser suficientemente detalhado para captar os elementos 
essenciais do problema, mas também suficientemente “simples”, a fim de ser 
resolvido por métodos de resolução e computadores disponíveis.
Os modelos matemáticos também podem ser classificados segundo a natureza de 
sua contribuição para o processo decisório das organizações ou, em outras palavras, de 
acordo com o tipo das informações que eles produzem e das respostas que fornecem, 
sendo, segundo Andrade (2009):
• Modelos prescritivos: são modelos de otimização baseados em relações 
matemáticas como: Y = f(X1, X2,...Xn), onde X1, X2, ... Xn são variáveis 
independentes e, por isso, sob controle da administração. Logo, esse tipo 
de modelo visa alertar a direção e quais devem ser os valores das variáveis 
independentes que produzirão o valor ótimo para a variável dependente.
• Modelos preditivos: geralmente são modelos de simulação que têm por objetivo 
estimar valores futuros para o objetivo desejado. Em alguns casos, a relação funcional 
entre as variáveis independentes xi e dependente Y é conhecida, porém, em outros 
casos, é necessária uma análise estatística que estime a relação funcional.
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• Modelos descritivos: são considerados modelos de simulação, mas com a 
característica principal de haver uma grande incerteza sobre os valores futuros 
das variáveis independentes. Esses modelos produzem cenários futuros cuja 
possibilidade de concretização é determinada a partir de probabilidades subjetivas.
• Modelos de análise estatística: são baseados em todos os métodos estatísticos 
(descritivo, diferencial, inferencial, bayesiana, regressão, multivariada, entre outros) 
que formam os módulos analíticos de softwares de amplo uso pelas empresas. 
Por exemplo, a inferência bayesiana pode auxiliar a prever situações futuras, 
permitindo estimar o grau de certeza de uma hipótese a partir da observação 
de evidências.
Segundo Batalha (2008), os modelos de otimização matemática têm um papel 
destacado na pesquisa operacional e podem ser divididos em duas partes:
• Modelos de programação matemática (determinística): além da programação 
linear, discreta, não linear e fluxos em redes, incluem a programação multiobjetivos 
(como, por exemplo, programação de metas, análise de Pareto e curvas de trade-
off, análise de envoltório de dados DEA), que consideram situações com múltiplos 
objetivos (critérios a serem otimizados) possivelmente conflitantes. Também há 
os modelos baseados em técnicas de programação dinâmica determinística.
• Modelos estocásticos: incluem os modelos baseados em programação 
estocástica e otimização robusta, programação dinâmica estocástica, teoria 
de decisão, teoria de jogos, controle de estoque, previsão e séries temporais, 
cadeias de Markov e processos markovianos de decisão, teoria de filas e 
simulação.
3.2 Construção De Modelos De Programação Matemática
A Programação Linear (PL) envolve técnicas de modelagem matemática desenvolvidas 
para otimizar o uso de recursos limitados. Devido à eficiência computacional, a PL 
é uma base para o desenvolvimento de algoritmos de solução de outros tipos de 
modelos de Pesquisa Operacional (PO), incluindo programação inteira, não linear e 
estocástica (BELFIORE; FÁVERO, 2012).
Formalmente, um modelo matemático é escrito da seguinte maneira:
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Maximizar/Minimizar f(x), sujeito a:
g(x) ≥ a
h(x) ≤ b
s(x) = c
l ≤ x ≤ u
Em que f(x) é uma função, linear ou não linear, a ser otimizada (maximizada 
ou minimizada), sujeita às restrições (lineares ou não lineares) que indicam uma 
necessidade a ser satisfeita (“maior ou igual”), uma disponibilidade a ser respeitada 
(“menor ou igual”) ou um condicionante a ser satisfeito de maneira exata (“igual”).
A pesquisa operacional e, em particular, a programação matemática tratam de 
problemas de decisão, fazendo uso de modelos matemáticos que procuram representar 
o problema real (de forma parcial), de acordo com Arenales et al. (2015). De modo 
geral, o modelo de PL ou PO consiste em três elementos básicos:
1. Variáveis de decisão que se busca determinar;
2. Objetivo (meta) que se deseja otimizar;
3. Restrições que se deve respeitar.
A abordagem de resolução de um problema por meio de pesquisa operacional envolve 
várias fases, conforme pode ser visto na Figura 3, que apresenta uma ilustração do 
processo simplificado da abordagem de solução de um problema usando a modelagem 
matemática. Obviamente, a elaboração de qualquer modelo matemático se tornará mais 
simples se for seguida uma certa sistemática para a análise do problema. Dessa forma, 
é possível garantir que o modelo em desenvolvimento seja adequado ao problema e 
que, uma vez desenvolvido, poderá ser usado de maneira efetiva.
Figura 3. Processo de modelagem matemática
Fonte: Batalha (2008, p. 163).
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A formulação/modelagem define as variáveis e as relações matemáticas para 
descrever o comportamento relevante do sistema ou problema real. A dedução/análise 
aplica técnicas matemáticas e tecnológicas para resolver o modelo matemático e 
visualizar quais conclusões ele sugere. A interpretação/ inferência argumenta que as 
conclusões retiradas do modelo têm significado suficiente para inferir conclusões ou 
decisões para o problema real. Comumente, uma avaliação ou um julgamento dessas 
conclusões ou decisões inferidas mostra que elas não são adequadas e que a definição 
do problema e sua modelagem matemática precisam de revisão, e, então, o ciclo é 
repetido (ARENALES et al., 2015). Entre as várias fases, tem-se, para os problemas 
de simulação:
• Definiçãodo problema: define o escopo do problema em estudo.
• Construção do modelo: traduz a fase (i) em relações matemáticas ou lógicas 
de simulação ou, então, uma combinação delas.
Para a construção dos modelos, é necessário identificar as variáveis rele- vantes, 
as quais podem ser:
• Variáveis endógenas: representarão aspectos de interesse do sistema que foram 
identificados na fase (i) e, também, outras que serão geradas dentro do modelo, 
para se chegar à solução final.
• Variáveis exógenas: são variáveis que representam valores importantes 
determinados por influências externas ao sistema e incluem, também, aquelas 
variáveis que estão sob o controle e a decisão direta do gerente/administrador.
• Solução do modelo: utiliza métodos de solução e algoritmos conhecidos 
para resolver o modelo da fase (ii). Uma vez definido o conjunto de variáveis 
significativas, as relações entre elas devem ser formalmente escritas em termos 
matemáticos. Essas relações podem ser:
• Definidas pela lógica do problema, como, por exemplo: Receita =venda x preço 
unitário.
• Empíricas, as quais são obtidas a partir de técnicas de estimação, como, por 
exemplo: Lucro Bruto = K · Volume de Vendas, onde o fator K é estimado a partir 
de dados históricos.
• Derivadas de outras variáveis por meio de relações algébricas.
• Validação do modelo: verifica se o modelo proposto representa de maneira 
apropriada o problema. Esta é uma fase trabalhosa do processo e deve ser 
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realizada com cautela. Os testes do modelo são realizados com o objetivo 
de ajustar o modelo ao que se espera dele e validá-lo, visando promover sua 
aceitação. Uma vez que tenha sido validado, o modelo pode ser usado para 
gerar respostas para as questões identificadas na fase (i).
• Implementação da solução: preocupa-se com a implementação da solução na 
prática, traduzindo os resultados do modelo em decisões.
SAIBA MAIS
Cabe ressaltar que um modelo matemático nem sempre é formulado em uma 
única vez, podendo haver ciclos (ou subciclos) das fases (i)-(v) para revisão 
do modelo matemático. Com o avanço tecnológico, tem sido possível resolver 
modelos de pesquisa operacional (e, consequentemente, modelos matemáticos) 
cada vez mais complexos, o que não era possível no passado. Mas aí você pode 
estar questionado o estudo de modelos matemáticos diante das facilidades do 
uso dos mais variados softwares comerciais já existentes. Nem sempre é possível 
resolver problemas de aplicação direta nesses aplicativos computacionais, sendo 
necessário algum domínio da teoria em que se baseia o método. Além disso, o não 
conhecimento pode conduzir a um uso equivocado dos softwares.
Porém, conforme descrito anteriormente, os modelos podem ser de simulação 
e otimização. Como os modelos de otimização têm características diferentes com 
relação aos modelos de simulação, os passos que devem ser seguidos são diferentes, 
de acordo com Andrade (2009).
• Definição do problema: desde o início já deve-se reconhecer que existe um 
problema para o qual é indicada a procura da melhor solução pela pesquisa 
dos valores ótimos das variáveis de decisão. Será mais útil empregar técnicas 
de otimização quando:
• Existirem muitas variáveis de decisão ou quando as variáveis puderem assumir 
valores em uma ampla faixa de viabilidade, fazendo com que os modelos de 
simulação se tornem muitos lentos.
• Houver restrições nos recursos ou variáveis que tornem complexo o processo 
de escolha dos valores das variáveis.
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• Os sistemas forem tais que algumas variáveis devem ter seus valores calculados 
de maneira precisa para respeitar restrições ou evitar grandes variações no 
resultado final.
Identificação das variáveis relevantes: o conjunto de variáveis importantes inclui:
• As variáveis de decisão para as quais o administrador procura valores
• ótimos.
• Variáveis exógenas que servem de base para a definição de restrições ou de 
variáveis endógenas.
• Variáveis endógenas que, dependendo dos valores de outras, muitas vezes, 
entram na formação da função objetiva ou das restrições que o administrador 
deve especificar.
• Formulação da função objetivo: reflete o critério de otimização das variáveis de 
decisão e deve ser escrita em forma matemática.
• Formulação das restrições: as restrições devem ser escritas em forma 
matemática; da mesma forma, a relação entre as variáveis deve ser formulada 
matematicamente.
• Escolha do método matemático de solução: após definido o problema, deve-se 
escolher um método matemático adequado para a solução do modelo. A escolha 
do método deve ser baseada tendo em vista o tipo de modelo matemático criado 
e as análises e questões para as quais o modelo deve fornecer subsídios.
• Aplicação do método de solução: consiste em um exercício matemático que 
pode ser realizado manualmente ou por computador, porém, é necessário um 
conhecimento de algoritmo, indiferentemente da opção escolhida.
• Avaliação da solução: após alcançar a solução, deve-se verificá-la e avaliá-la 
à luz das expectativas e experiências do administrador antes de efetivamente 
implementá-la.
Atualmente, a principal utilização dos modelos matemáticos é como ferramenta nos 
processos de tomada de decisão. No ambiente empresarial e nos negócios (tanto no 
setor privado quanto no setor público), os modelos matemáticos podem ser utilizados 
em: otimização de recursos; roteirização; localização; carteiras de investimento; alocação 
de pessoas; previsão de planejamento; alocação de verbas de mídia; determinação de 
mix de produtos; escalonamento e planejamento da produção; planejamento financeiro; 
análise de projetos; entre outros.
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ANOTE ISSO
A modelagem matemática pode ser aplicada em indústrias de diferentes 
segmentos, como, por exemplo: indústria de petróleo (extração, refinamento, 
mistura e distribuição); indústria de alimentos, como a ração animal (problema da 
mistura); planejamento da produção (dimensionamento de lotes – o que, quando 
e quanto produzir); indústria siderúrgica (ligas metálicas – problema da mistura); 
indústria de papel (otimização do processo de cortagem de bobinas); indústrias de 
móveis (otimização do processo de cortagem de placas retangulares); aplicações 
financeiras (otimização do fluxo de caixa, análise de carteiras de investimento).
Com o intuito de facilitar o entendimento, são apresentados, a seguir, dois exemplos 
práticos do uso de modelos de simulação e otimização.
Exemplo prático de modelo de simulação
Andrade (2009) apresenta um exemplo prático do uso de um modelo matemático 
de simulação. Imagine que uma indústria de queijo vende apenas um único tipo de 
queijo e necessita simular o lucro final que poderia obter a partir de várias hipóteses 
de preço. Nesse caso, visa-se relacionar o preço ao lucro obtido, sendo necessário 
examinar a relação entre preço e receita, considerando-se que o produto apresenta 
determinada elasticidade, ou seja, o preço e a demanda variam em relação inversa. 
Consequentemente, a receita também varia em função do preço, mas em uma relação 
não diretamente proporcional.
Para a construção do modelo, podem ser definidas as seguintes variáveis:
• Preço: é o preço de venda de um queijo.
• Quantidade: é a quantidade de queijo vendida em um mês.
• Receita: é a receita total obtida com a venda do produto.
• Lucro: lucro líquido obtido no mês.
Como o proprietário do estabelecimento conhece o mercado, ele estima que a 
relação pode ser representada de acordo com a Figura 4.
Figura 4. Função da demanda do produto.
Fonte: Andrade (2009, p. 17).
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Com base na relação “preço x demanda” e na função de demanda apresentada 
na Figura 4, pode-se montar o modelo que simula o valor Lucroem função do Preço 
estabelecido pelo empresário, sendo a função escrita como:/lucro
Quantidade = 1000 – 10 × PREÇO Receita = quantidade × PREÇO Lucro = Receita 
- custo
Ao variar o preço do produto, podem ser verificadas as variações no lucro da empresa. 
À medida que ocorre a variação do preço do produto, são obtidos vários valores para 
a variável de decisão lucro.
Exemplo prático de modelo de otimização
Tomando como exemplo o mesmo problema do modelo de simulação, agora, visa-
se estudar a política de estocagem de modo a otimizar sua operação, reduzindo 
eventuais custos. Após ser realizado um levantamento, verificou-se que o custo anual 
para manter os queijos em estoque é de R$ 50,00, sendo contabilizado, nesse valor, 
o capital investido, o custo das instalações, refrigeração, limpeza e seguro, durante 
um ano, e dividindo-se pelo número estimado de queijos que irão compor o estoque 
no mesmo período (um ano). Para isso, vamos considerar que esse número seja 
constante e igual a 1.000 por ano. Considere que o suprimento do produto seja feito em 
quantidades constantes a intervalos regulares e que a colocação de cada encomenda 
tem um custo fixo de R$ 1,000,00. Dessa forma, o objetivo é descobrir a quantidade 
de mercadoria que deve ser encomendada de cada vez, de modo a minimizar o custo 
total de operação de estoque. Como única restrição do problema, suponha que o 
fornecedor poderá entregar no máximo 200 unidades do produto por vez.
As seguintes variáveis para o modelo do problema são definidas:
• A = quantidade anual do produto que a empresa comercializa;
• S = custo de manutenção do estoque, por unidade, por ano;
• P = custo fixo de colocação da encomenda, por pedido;
• Q = quantidade ordenada ao atacadista para suprimento.
Para esse problema, a montagem do modelo se resume a escrever matematicamente 
a função objetivo, a qual pode ser escrita como:
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Custo Total (CT) = custo de manutenção do estoque + custo de colocação da 
encomenda
Sendo que:
Custo de manutenção do estoque = nível médio x custo unitário de manutenção
Custo de colocação da encomenda = nº de pedidos x custo de colocação do pedido
Dessa forma, o modelo do problema é:
Minimizar: CT = (Q/2) · S +(A/Q) · P; sendo que a restrição é Q ≤ 200.
Assim, pode-se resolver o problema derivando a função (CT) com relação à variável 
de decisão Q e igualando o resultado a zero:
d(CT)/dQ = S/2 – (A·P/Q²) = 0
Logo, Q* = √2 ∙ A ∙ P/S; sendo Q* a quantidade a encomendar para mínimo custo 
anual total. Ao utilizarmos os dados do problema, obtemos:
Logo, a encomenda que minimizaria o custo total da operação do estoque seria 
Q* = 200 unidades mensais. Porém, como existe a restrição de que o fornecedor 
pode entregar no máximo 180 unidades, a encomenda mais econômica torna-se, 
obviamente, Q = 180 itens do produto por vez.
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CAPÍTULO 4
ERROS E SUAS FONTES
Imagem: Ilustração sobre erro de paralaxe
Fonte: wikimedia Commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Spiegelskala2.jpg >
Olá caros(as) alunos(as), sejam bem vindos(as) a mais uma aula de cálculo numérico! 
Sobre a imagem da capa, o erro de paralaxe é causado pelo desvio óptico entre o 
observador e a escalar a ser lida. Tanto a posição do observador, quanto o meio 
material (vidrarias), que o separa da escala graduada afetam a leitura do valor. Dentro 
do contexto do estudo dos erros, também há uma discussão sobre as diferenças 
entre precisão e exatidão. São teorias que interessam muito os físicos experimentais, 
teóricos, matemáticos, estatísticos, economistas, dentre outros. Os conceitos de 
precisão e exatidão são de grande importância para o estudo do erro. O conceito 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Spiegelskala2.jpg
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de exatidão diz respeito ao quão perto determinada medição encontra-se ou não do 
valor verdadeiro. Precisão trata-se sobre quão próximas as medidas estão umas das 
outras considerando um mesmo item ou grupo. A precisão independe da exatidão. 
Analisando o exemplo de um alvo de dardos considerando o centro como o verdadeiro 
valor. Quanto mais perto os dardos caem do centro do alvo, mais exatos são. Se os 
dardos não estiverem perto do centro do alvo, nem próximos uns dos outros, não 
haverá exatidão nem precisão, conforme figura 1A. Se todos os dardos caírem muito 
próximos uns dos outros, mas longe do centro do alvo, haverá precisão, mas não 
exatidão, conforme figura 1C. Se os dardos pousam perto do centro do alvo e juntos, 
há exatidão e precisão, conforme figura 1B.
Figura 1: diferença entre precisão e exatidão
Fonte: wikimedia Commons Disponível em < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Precision_versus_accuracy.svg/2543px-Precision_
versus_accuracy.svg.png>
Como os conceitos de precisão e exatidão poderiam ser aplicados em problemas 
simples? Um biólogo precisa sair em um barco para coletar e registrar dados de 
temperatura e salinidade de um registrador que está conectado a uma boia submarina. 
O biólogo verifica a previsão do tempo na noite anterior à viagem para saber o que 
vestir no barco. O meteorologista da TV diz que estará entre 26 e 31 C° ao meio-dia 
do dia seguinte. A leitura da temperatura real, no dia seguinte, no barco ao meio-dia 
é de 28°C. Observe que o valor real representa quase que o valor médio em relação a 
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faixa estimada. Então, qual seria a margem de erro ou tolerância para classificar um 
resultado como preciso ou exato? A resposta é: depende das métricas e das ordem de 
grandeza. Certas análises de dados demandam maior rigor do que outras, entretanto, 
os conceitos da precisão e exatidão você já conhece. Um jogador de dardos pode ver 
a precisão de seus lançamentos, comparando a localização dos dardos lançados, 
com o alvo. Isso ocorre, pois, os círculos delimitam, razoavelmente, por meio da sua 
geometria, o que é ou não preciso e exato. Se atribuirmos valores de raio, diâmetro 
ou área para estes círculos poderemos fazer algumas analogias utilizando números. 
Esta discussão deve ser levada em consideração durante a coleta e análise de dados 
experimentais nas práticas laboratoriais de física, matemática, engenharia, dentre 
outras. Entendeu? 
Esta aula tem como propósito o estudo das principais fontes de erros e apontar erros 
absolutos e relativos. Pode-se afirmar que erros surgirão na resolução de problemas 
reais utilizando os métodos numéricos. Ao longo deste capítulo, serão estudadas as 
variadas fontes de erros que podem causar alteração nas soluções de problemas. A 
análise dos erros é essencial devido ao fato de os métodos numéricos fornecerem 
soluções aproximadas para os problemas sugeridos. Para nos auxiliar em um melhor 
entendimento acerca dos conceitos tratados ao longo da disciplina, trabalharemos 
as noções de erro absoluto e erro relativo. Existem 4 fontes principais de erros que 
podem ocasionar as diferenças entre a solução exata e a solução aproximada do 
problema real, sendo possível de ocorrerem tanto na fase de modelagem quanto na 
fase de resolução:
a) Erros nos dados;
b) Simplificações na construção do modelo matemático;
c) Erros de truncamentos;
d) Erros de arredondamentos nos cálculos.
Pode-se afirmar que os erros nos dados e as simplificações da construção de um 
modelo físico e matemático ocorrem durante a fase da modelagem. Já os erros de 
truncamento e arredondamento na fase de resolução.
A seguir, trataremos de cada um desses tipos de erro de maneira particularizada.
Erros inerentes aos dados: um modelo matemático é composto por equações, 
relações dados e parâmetros que são medidos experimentalmente e que podem ter 
uma grande repercussão no resultado final. Isso ocorreporque os dados em si nem 
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sempre são exatos. Logo, operações sobre valores não exatos propagam seus erros 
aos resultados gerados;
Erros nos dados
Como os dados e parâmetros de um problema real são provenientes de medidas 
adquiridas através de experimentos, levantamentos ou pesquisas, eles estão sujeitos 
a imprecisões ou incertezas sejam de ações humanas, sejam dos instrumentos de 
pesquisas ou ainda dos equipamentos de medições em si. O próprio armazenamento 
dos dados no computador pode gerar os erros nos dados, uma vez que o computador 
utiliza um número finito de dígitos na representação de números reais. Sendo assim, 
a representação exata de números irracionais se torna praticamente impossível. Vale 
ressaltar, também, que até certos os números racionais podem ter sua representação 
exata ameaçada dependendo do sistema numérico escolhido. Outro cenário que pode 
ocorrer é de os dados serem provenientes de outro problema que possua erros em si. 
Esse é um tipo de erro que se define como exterior ao processo de cálculo.
Simplificações na construção do modelo matemático
Um mesmo problema real pode ter vários modelos matemáticos propostos para a 
sua resolução, ocorrendo, às vezes, de um modelo matemático não traduzir de forma 
fidedigna o problema real e, em outras vezes, o modelo ser muito complexo para ser 
aplicado. Em ambas as situações, na tentativa de ser ter um modelo considerado 
tratável, é necessário forçar algumas restrições de simplificações do modelo. Tem-se, 
dessa maneira, um modelo aproximado que não elucida fielmente a realidade. Quando 
a solução, mesmo que exata, de um modelo aproximado, derivar de alterações e/
ou simplificações, é necessário considerar os erros nela surgidos. Por conseguinte, 
recomenda-se que sejam realizados experimentos que visem a verificação das 
simplificações feitas e a compatibilidade dessas com os dados experimentais, isto 
é, é sensato que o modelo simplificado seja validado. Portanto, são considerados os 
melhores modelos matemáticos aqueles que incluem as características do problema 
real necessárias para reduzir os erros na fase do cálculo a um nível plausível; alguns 
exemplos de simplificação de modelos são: desconsiderar o atrito ou a resistência nos 
movimentos, subestimar a massa de um pêndulo quando calcular o ser período. Isso 
ocorre porque, dificilmente, um modelo matemático representa os fenômenos reais.
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 Erro de truncamento (ɛt)
Esse tipo de erro ocorre quando se interrompe um processo infinito ou muito grande 
em um ponto estabelecido, isto é, quando se substitui o processo infinito por um 
processo com uma limitação prefixada. Logo, pode-se dizer que um erro de truncamento 
ocorre ao substituir-se um processo matemático exato, seja finito ou infinito, por um 
processo aproximado que corresponda a uma parte do processo exato. O truncamento 
da série ou sequência ocorrerá por se desprezar alguns termos de uma série ou 
sequência como sem 7, e3, ln(10), 41/5. Um exemplo que temos é a série de Taylor para 
y= f(x) e que tenha imagem e derivadas sucessivas em x = a é a seguinte fórmula:
Como não se consegue usar os infinitos termos, ela será interrompida e o erro 
de truncamento (ɛt) é gerado. Um outro exemplo é a série de Maclaurin onde o valor 
exato é dado pela série:
A representação desse somatório seria:
Porém, como é impossível somar os infinitos termos da série, faz-se uma aproximação 
por um número finito de termos, que nos retornará:
onde N é um determinado número natural. A aproximação será mais precisa à 
medida que N aumentar e, consequentemente, o erro de truncamento, diminuir.
ISTO OCORRE NA PRÁTICA
Para a série de Maclaurin interrompida no 6º termo, obtém-se com ɛa ≤ 10-9:
e = 1 + 1 + + + + = 2,718055556
Se aumentarmos os termos, tem-se:
e = 1 + 1 + + + + + + + = 2,718305585
Pode-se observar que o erro ocorreu na 4ª casa decimal.
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Erro de Arredondamento (ɛa)
Os erros de arredondamento decorrem dos cálculos/operações matemáticas 
envolvidas em um método numérico. Ele ocorre sempre que se despreza a parte 
decimal de um número e isso se dá ao operar com números irracionais ou dízimas 
periódicas por estes serem representados por valores aproximados no computador e 
na calculadora já que suas casas decimais são infinitas e a representação na máquina 
é finita, o que é chamado de aritmética de precisão finita. Portanto, quando o resultado 
de uma operação for um número em que não seja possível sua representação exata 
no sistema, é necessário fazer arredondamentos onde dígitos podem ser desprezados 
e arredondamento do número ser realizado.
ANOTE ISTO
Lida-se fundamentalmente, nas soluções numéricas, com valores aproximados o 
que leva a erros em quase todos os cálculos. Logo, não se pode ignorar a existência 
de erros na utilização de métodos numéricos. 
Ressalta-se que não se pode contar com um resultado exato de uma operação 
mesmo que haja parcelas ou fatores de uma operação representados de forma exta 
no sistema. Por exemplo, não é possível multiplicar o número 0,333 por 2 já que não 
se tem o último algarismo. No computador ou na calculadora, considera-se uma parte 
muito grande o número 0,3333333333333333 para se realizar a multiplicação, tendo 
0,6666666666666666 como resultado. Como, no exemplo acima, parte do número foi 
desprezada a partir da 16ª casa decimal, então tem-se que ɛa ≤10-16.
Outro exemplo corre ao se escrever o número π como 3,1 ou 3,14 ou 3,1415, 
cometem-se ɛa da ordem de 10-1, 10-2, e 10-4 respectivamente. Abaixo, seguem alguns 
outros exemplos:
• 4.568,7389:3 = 1.522,9130 (valor correto com ɛa≤10-4). Pode-se, também, 
multiplicar por 0,3333 esperando ter quatro casas decimais corretas, obtendo-
se: 4.568,79 x 0,3333= 1.522,7605. Observe que o erro apareceu na 1ª casa 
decimal; 
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• 45 : (4-√15 = 354,284 (valor correto com ɛa ≤ 10-3 ). Ao tomar a raiz quadrada de 
15 como 3,872 obtém-se 45 : (4-3,872) = 351,563. Observe que o erro apareceu 
na casa das unidades.
• Para se calcular a área de um círculo com r= 5,3749 m, usa-se a fórmula A= 
πr2. Utilizando-se π = 3,14 * (5,3749)2 = 90,7131870314 m2 .Como o π usado foi 
com 2 casas, tem-se o ɛa≤10-2, dando-se a resposta A = 90,71. Como o raio foi 
medido com 4 casas decimais, para dar uma resposta com ɛa≤10-4, o π deve ser 
usado com o máximo possível de casas decimais, como na calculadora ou no 
computador. Ao usar a calculadora obtém-se A = 90,75919807..., considerando 
ɛa≤10-4, A= 90,7592.
O erro de arredondamento pode ocorrer, também, na mudança de base numérica 
já que computadores e calculadoras, ao passarem números da base 10 para a base 
2, introduzem esse tipo de erro. O número 0,6, por exemplo, ao ser representado na 
base dois se transforma em dízima periódica como podemos ver abaixo:
0,610 = 0,1001 ... 2 (dízima periódica). O erro de arredondamento pode, na aplicação 
de métodos numéricos, ser controlado até certo ponto. Portanto, para se evitar erros de 
arredondamento, deve-se procurar operar com mais casas decimais do que a resposta 
pretendida. Outra forma de se melhorar a precisão decorrente do arredondamento é 
reformular o problema proposto. Um outro cuidado que se deve ter é, em grandes 
operações com dados numéricos e em certas operações instáveis, trabalhar de forma 
que os erros de arredondamento não se propaguem em proporções que venham 
interferir drasticamente nos resultados. Como pode-se observar, modelos matemáticos 
em geral, sejam de álgebra linear ou não linear, estatística, cálculo diferencial e integral, 
análise de dados, podem trazer algumas formas de erros de arredondamento, sendo 
os mais comuns:
1) Erros de precisão nas mediações: