Dimensionamento à Flexão Simples de Seções Retangulares de Concreto Armado

Prévia do material em texto

Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
CCE 1529 – Sistemas Estruturais de Concreto 
Professora: M.Sc. Rebecca Mansur de Castro Silva 
Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Flexão 
 
1. Equacionamento da Solicitação Resistente 
No dimensionamento à flexão simples de vigas de concreto armado, as seguintes hipóteses 
são consideradas: 
• Perfeita aderência entre as armaduras e o concreto, de forma que a deformação 
específica de cada barra da armadura é igual à do concreto adjacente; 
• A resistência à tração do concreto é desprezada; 
• Seções planas permanecem planas, e com isso as deformações específicas 
longitudinais em cada ponto da seção transversal são proporcionais à distância até 
a linha neutra. 
Seja a seção retangular abaixo submetida a momento fletor positivo (fibras superiores 
comprimidas), com suas correspondentes deformações de ruptura (nos domínios 2, 3 ou 
4), tensões e resultantes conforme indicado: 
 
Figura 1 - Seção, Deformada e Binário interno para o Diagrama Simplificado. 
Sendo, Rc a resultante no concreto, Rs a resultante na armadura de aço, c a deformação 
no concreto e s a deformação na armadura de aço. 
 
 
 
 
 
Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
Fazendo o equilíbrio de momentos em torno do ponto p, obtém-se: 
∑ 𝑀 = 0 (1) 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐 . 𝑧 (2) 
Do equilíbrio das forças normais, têm-se: 
∑ 𝑁 = 0 (3) 
𝑅𝑑 = 𝑅𝑆 (4) 
Portanto, a equação (2) pode ser estendida para: 
𝑀𝑠𝑑 = 𝑅𝑐 . 𝑧 = 𝑅𝑠 . 𝑧 (5) 
No dimensionamento de elementos de concreto armado pelo Método dos Estados Limites 
(MEL), a seção deve resistir a uma solicitação Rd equivalente à solicitação de 
dimensionamento Sd aplicada. Assim, o 2º e 3º termos de (5) representam Mrd, que é o 
momento resistente do elemento. 
A análise do 2º termo da igualdade (5) resulta no equacionamento de um conjunto de 
parâmetros que servirão de base para a construção da ferramenta de cálculo utilizada no 
dimensionamento de seções retangulares fletidas de concreto armado pelo MEL. Esta 
ferramenta, denominada Tabela para Dimensionamento à Flexão Simples (TDFS), tem 
como finalidade determinar as variáveis que equilibram o binário interno que produz o 
momento resistente Mrd. 
No 2º termo da equação (5), a resultante no concreto (Rc) é obtida pelo produto entre a 
sua área comprimida e a sua tensão de dimensionamento, conforme a equação (6). 
𝑅𝑐 = 𝐴𝑐 . 𝜎𝑐 (6) 
Em princípio, a área comprimida de concreto equivale a área do diagrama de tensões 
parábola-retângulo (Figura 1.c). Para simplificar o cálculo, a NBR 6118:2014, permite a 
simplificação do diagrama de tensões parábola-retângulo para um diagrama de tensões 
retangular, com a mesma tensão máxima e altura y conforme indicado na Figura 1.d, sendo: 
 
 
 
 
 
Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
𝑦 = 0,8 . 𝑥 (7) 
onde x é a profundidade da linha neutra. 
A Figura 2 indica a compensação de áreas que leva à simplificação do diagrama de 
tensões. 
Figura 2 - Simplificação do diagrama de tensões parábola-retângulo. 
Assim, a equação (6) pode ser reescrita como: 
𝑅𝑐 = (𝑏𝑤 . 𝑦) . 0,85𝑓𝑐𝑑 = 𝑏𝑤 . 0,8 . 𝑥 . 0,85𝑓𝑐𝑑 (8) 
𝑅𝑐 = 0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 (9) 
Substituindo a equação (9) nos dois termos iniciais da equação (5), tem-se: 
𝑀𝑠𝑑 = (0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑥 . 𝑓𝑐𝑑). 𝑧 (10) 
Analisando-se os fatores da equação (10), tem-se que 3 fatores representam valores 
conhecidos no dimensionamento à flexão, sendo eles o momento de dimensionamento 
Msd, a largura comprimida bw e a resistência à compressão de dimensionamento do 
concreto fcd. Os outros 2 fatores, a profundidade da linha neutra x e o braço de alavanca 
do binário interno resistente z, representam as incógnitas do problema. Estas duas 
incógnitas por sua vez representam dimensões verticais que estarão sempre contidas 
dentro da altura total h da seção. 
A configuração da deformada da seção, mostrada na Figura 3, permite fixar uma relação 
de proporcionalidade geométrica entre a incógnita x e a altura útil d da seção. 
 
 
 
 
 
Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
 
Figura 3 - Configuração deformada da seção retangular submetida a momento fletor positivo. 
𝑥
𝑑
=
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
 (11) 
𝑥 = (
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
) 𝑑 (12) 
Adotando um parâmetro adicional kx que define o percentual da altura útil d que 
corresponde à profundidade da linha neutra x, tem-se: 
𝑘𝑥 = (
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
) (13) 
Substituindo (13) em (12), tem-se: 
𝑥 = 𝑘𝑥 𝑑 (14) 
A partir da fixação de x em função de kx, pode-se estabelecer também uma relação para o 
braço de alavanca z de acordo com a Figura 4. 
 
Figura 4 - Braço de alavanca z em função da altura da linha neutra. 
Assim, 
 
 
 
 
 
Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
𝑧 = 𝑑 −
𝑦
2
 (14) 
𝑧 = 𝑑 −
0,8 𝑥
2
 (15) 
𝑧 = 𝑑 −
0,8 (𝑘𝑥 . 𝑑)
2
 (16) 
𝑧 = 𝑑 − 0,4 (𝑘𝑥 . 𝑑) (17) 
𝑧 = (1 − 0,4𝑘𝑥) 𝑑 (18) 
Adotando um parâmetro adimensional kz que expressa o percentual da incógnita z em 
relação à altura útil d, tem-se: 
𝑘𝑧 = (1 − 0,4𝑘𝑥) (19) 
Substituindo-se (19) em (18), tem-se: 
𝑧 = 𝑘𝑧 . 𝑑 (20) 
Introduzindo os valores parametrizados de x e z na equação (10), tem-se: 
𝑀𝑠𝑑 = (0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑥 . 𝑓𝑐𝑑). 𝑧 = (0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑘𝑥 . 𝑑 . 𝑓𝑐𝑑). 𝑘𝑧 . 𝑑 (21) 
𝑀𝑠𝑑 = 0,68 . 𝑘𝑥 . 𝑘𝑧 (𝑏𝑤 . 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑 ) (22) 
Adotando um parâmetro adimensional kmd que vincula o momento fletor de 
dimensionamento Msd à altura útil d, tem-se: 
𝑘𝑚𝑑 = 0,68 . 𝑘𝑥 . 𝑘𝑧 (23) 
Substituindo-se (23) em (22), tem-se: 
𝑀𝑠𝑑 = 𝑘𝑚𝑑 (𝑏𝑤 . 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑 ) (24) 
Observa-se agora que as duas incógnitas x e z não integram mais diretamente a equação 
do momento fletor de dimensionamento. Entretanto, na equação (24), ainda restam duas 
incógnitas, o parâmetro kmd e a altura útil d. Analisando cada uma delas, é visto que: 
• A altura útil d é em princípio uma incógnita, já que seu valor só poderia ser 
determinado após o cálculo da quantidade de barras de armadura junto com o seu 
 
 
 
 
 
Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
centroide, como visto na Figura 5, e a obtenção desta constitui o objetivo final do 
próprio processo dimensionamento. 
 
Figura 5 - Relação entre a altura útil e a quantidade de barras da armadura. 
• O parâmetro kmd é função de kx e kz, que por sua vez é função de kx. Assim, a solução 
passa então pela determinação de kx. 
Ainda que se trate de uma variável do equacionamento, a altura útil é em geral, por razões 
práticas e normativa, da ordem de 90% da altura h total da seção. Pode-se então atribuir a 
d a condição de valor conhecido, sem que esta aproximação prejudique o resultado final. 
Assim, a solução depende apenas da variável kx. A Figura 6 mostra que seus valores devem 
estar compreendidos nos limites abaixo especificados: 
0 < 𝑥 < 𝑑 (25) 
0 < (𝑘𝑥. 𝑑) < 𝑑 (26) 
0 < 𝑘𝑥 < 1 (27) 
 
Figura 6 - Variação de kx com suas interdependências. 
 
 
 
 
 
Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
A Tabela de Dimensionamento à Flexão Simples é então construída a partir da variação 
gradual de kx dentro dos limites apontados, segundo a sequência abaixo: 
i. Faz-se kx variar de seu valor mínimo kx,mín = 0,01 até seu valor máximo kx,máx = 0,99 
com incrementos de 0,01 representando 1% da altura útil; 
ii. Para cada valor de kx, faz-se o cálculo dos demais parâmetros kz e kmd de acordo 
com as equações (19) e (23). 
Calculam-se os valores intermediários kx correspondentes às deformadas das mudanças de 
domínios 2→3 e 3→4 com yd assumindo os valores correspondentes aos aços CA-25, CA-
50 e CA-60. 
 
Figura 7 - Valores de kx nas mudanças de domínios. 
Para cada deformadacontida no domínio 2, dispondo-se de kx e de s = 10‰, pode-se então 
com a equação (13) obter a deformação no concreto. Para cada deformada contida nos 
domínios 3 e 4, dispondo-se de kx e de c = 3,5‰, pode-se então com a equação (13) obter 
a deformação no aço. 
 
 
 
 
 
Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
 
Figura 8 - Domínios de ruptura. 
Portanto, após a construção da Tabela de Dimensionamento à Flexão Simples (TDFS) pode-
se iniciar um dimensionamento à flexão pela equação: 
𝑘𝑚𝑑 =
𝑀𝑠𝑑
(𝑏𝑤 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑 )
 (28) 
Para o valor de kmd calculado, é possível extrair da tabela, na ordem abaixo indicada, as 
seguintes informações: 
• Se os valores pré-dimensionados viabilizam a seção estruturalmente para o 
momento de dimensionamento aplicado. Caso não, a seção deve ser 
redimensionada; 
• O domínio e, consequentemente o tipo de ruptura, em que a seção trabalha. Caso 
se trate de ruptura frágil, é possível utilizar de algumas técnicas que imponham a 
ruptura dúctil; 
• O valor de kz para que se possa prosseguir com o dimensionamento conhecendo-se 
o braço de alavanca z. 
Os procedimentos desenvolvidos permitiram a solução da equação de equilíbrio de 
momentos com o conhecimento da resultante de compressão e do braço de alavanca. O 
encerramento do dimensionamento se dá com a análise do último termo da equação (5). 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐 . 𝑧 = 𝑅𝑠 . 𝑧 (29) 
 
 
 
 
 
Sistemas Estruturais de Concreto – Prof. M.Sc. Rebecca M. C. Silva 
2022.2 
 
Portanto, 
𝑅𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧
=
𝑀𝑑
𝑘𝑧 . 𝑑
 (30) 
Sendo também a resultante no aço tracionado expressa por: 
𝑅𝑠 = 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠𝑑 (31) 
Tem-se finalmente a equação abaixo que encerra o processo de dimensionamento 
definindo a quantidade de armação necessária: 
𝐴𝑠 . 𝜎𝑠𝑑 =
𝑀𝑠𝑑
𝑘𝑧 . 𝑑
 (32) 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑠𝑑
𝑘𝑧 . 𝑑 . 𝜎𝑠𝑑 
 (33) 
 
A Tabela 1 indica o procedimento adotado no dimensionamento à flexão de seções de 
concreto armado com uso da Tabela de Dimensionamento à Flexão Simples. 
Tabela 1 - Procedimento para o dimensionamento à flexão simples em seções retangulares.