2-Dimensionamento de concreto armado à flexão

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(ESTRUTURAS DE CONCRETO) 1- Dimensionamento de aconcreto armado à flexão.
MÓDULO 1 - Identificar os processos de colapso da estrutura em concreto armado.
Processo de colapso: estádios: Para o correto dimensionamento dos elementos estruturais submetidos à flexão, é importante que o engenheiro calculista tenha o domínio sobre o tipo de flexão que atua sobre o elemento e os níveis de deformação que a flexão pode provocar. Tais deformações são conhecidas como estádios e determinam o comportamento da peça até o seu colapso.
Dizemos que o elemento estrutural está submetido à flexão quando nele atua o momento fletor, e é com o objetivo de resistir a esse momento que o engenheiro dimensiona as armaduras longitudinais. Esse dimensionamento é realizado tendo em vista o Estado Limite Último a Momento Fletor (ELU-M) e considera que, na seção mais solicitada (com o maior valor de momento), seja alcançada a deformação específica limite do material (concreto ou aço), isto é, a ruptura pode ocorrer no concreto comprimido ou no aço tracionado.
Vale lembrar que, para o dimensionamento de elementos em concreto armado no Estado Limite Último (ELU), devemos considerar as:
Solicitações de cálculo: São majoradas.
+
Resistências características de cálculo: São minoradas.
Se as solicitações de cálculo alcançarem as resistências de cálculo, consideraremos que a estrutura entrou em colapso, ou seja, o dimensionamento ocorreu para o estado limite último.
Para a viga em questão (biapoiada), a Armadura Longitudinal Inferior (ALI) é a armadura utilizada para combater os esforços de tração devido ao momento fletor positivo que atua no elemento. Vamos ver a principal diferença entre a ALI e a Armadura Longitudinal Superior. Ambas serão dimensionadas e explicadas no módulo 3.
Armadura Longitudinal Inferior (ALI): Podemos afirmar que ela é uma armadura passiva utilizada para combater o esforço tração na flexão.
X
Armadura Longitudinal Superior (ALS): Já a ALS pode tanto ser uma armadura de flexão para auxiliar o concreto no combate às tensões de compressão devido ao momento fletor como ser apenas uma armadura de porta estribo.
A seguir serão apresentados os tipos de flexão que podem atuar no elemento estrutural e os estádios em que o elemento pode ser classificado.
Tipos de flexão: As tensões que surgem no elemento estrutural devido aos esforços de flexão provocados pelo momento fletor (M) são tensões normais de tração ou compressão. Essas tensões surgem na seção transversal do elemento, e o que separa a tração da compressão é a Linha Neutra (LN), que passa pelo centroide da seção transversal. Nela, as tensões e as deformações são nulas.
A imagem a seguir ilustra, de forma esquemática, a seção transversal de uma viga submetida a esforços de flexão devido à ação do momento fletor positivo, com tensão normal de compressão acima da linha neutra e tensão normal de tração abaixo dessa linha. Na linha neutra, a tensão é nula.
A seguir serão apresentados os tipos de flexão comuns que ocorrem em elementos estruturais.
Flexão normal simples- É o exemplo clássico para o dimensionamento de armadura longitudinal em vigas e lajes. A flexão normal simples ocorre quando o plano do carregamento, ou sua resultante, é perpendicular ao eixo da Linha Neutra (LN). A imagem a seguir, lado esquerdo (a), ilustra um caso de flexão normal simples no qual o carregamento distribuído uniforme (q) é perpendicular ao eixo da viga biapoiada de comprimento (L). O momento utilizado para o dimensionamento da armadura longitudinal de flexão é o maior momento atuante na viga para este caso, 
 , que ocorre no meio do vão, conforme ilustra o diagrama de momento fletor no lado direito (b) da imagem.
Flexão normal composta- Ocorre quando, além da tensão normal provocada pelo momento fletor (M), existe a tensão de uma força normal (N) agindo na seção transversal. Esse caso acontece com frequência em pilares, não sendo comum ocorrer em vigas, pois elas, com exceção das protendidas, geralmente não são submetidas de forma direta a ações normais. Em vigas protendidas, a força normal é de extrema importância para o seu dimensionamento. A imagem a seguir mostra um pilar submetido à flexão composta, ou seja, sob a ação de uma força normal e um momento fletor.
Flexão obliqua simples e composta- A flexão obliqua simples corre quando, na seção transversal, atuam dois momentos fletores, sendo um em cada direção dos eixos que passam pelo centroide da peça. A flexão obliqua composta ocorre quando, além dos dois momentos, há o esforço normal, provocando tensão na peça. Quando existe uma alteração na seção transversal dos pilares entre pavimentos de uma edificação, tem-se a flexão obliqua, que é consequência da excentricidade da carga normal. A imagem a seguir mostra um pilar submetido à flexão obliqua simples, ou seja, sob a ação de dois momentos fletores indicados pela seta dupla.
Flexão pura- A flexão pura é um caso particular de flexão e ocorre em trechos de vigas em que atua apenas o momento fletor, ou seja, o esforço cortante é nulo. A imagem a seguir, na esquerda (a), ilustra uma viga biapoiada com duas cargas pontuais (P) e comprimento (L). Já a direita (b) mostra o diagrama de momento fletor para essa viga com a indicação do trecho com flexão pura.
Como as armaduras de flexão são dimensionadas para o Estado Limite Último, ou seja, considerando o limite de resistência do elemento estrutural, além de conhecer a tensão de flexão ao qual o elemento está submetido, é necessário identificar o estádio em que o elemento será dimensionado. Vamos apresentar os estádios a seguir.
Estádios: Os conceitos apresentados aqui são referentes ao processo de colapso de vigas sob tensões normais. São adotadas as vigas por serem elas elementos com cálculos de dimensionamento mais simples, o que facilita a compreensão dos conceitos relacionados aos estádios.
Os estádios podem ser definidos como os vários estágios de tensão pelo qual um elemento fletido passa, desde o carregamento inicial até a sua ruptura. Experimentalmente, a viga é instrumentada e submetida a um carregamento crescente, de forma que seja possível a medição das deformações que ocorrem na parte central ao longo da sua altura, conforme ilustra a imagem a seguir.
Para a viga de concreto armado, são definidos três estádios de deformação: estádio I, estádio II e estádio III. Eles serão descritos a seguir.
Estádio I- O estádio I corresponde ao início do carregamento; logo, as tensões normais que surgem são de baixa magnitude e dessa forma o concreto consegue resistir às tensões de tração. Nesse estádio, o diagrama de tensões é linear ao longo da seção transversal da peça, a lei de Hooke é válida e a peça se encontra no estado elástico.
A imagem a seguir apresenta o estádio I de forma esquemática. Ao ser aplicado o momento fletor (MI) na viga devido ao carregamento externo, surgem internamente as forças de compressão na parte superior (Fco) e de tração na parte inferior (Ttr) a fim de obter o equilibrio das ações. Essas forças internas provocam a tensão de compressão com a consequente deformação de encurtamento e a tensão de tração com o consequente alongamento 
A linha neutra (LN) encontra-se a uma profundidade x I. A distância d é chamada de altura útil da seção e é medida da extremidade da viga mais distante das barras de aço até o centroide dessas barras, já a altura h é a altura total da viga. Neste estádio, a tensão de tração do concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração, logo não ocorrem fissuras de tração na peça. O estádio I encerra quando surgem as primeiras fissuras.
Estádio II- No estádio II, a tensão de tração no concreto supera sua resistência característica à tração, ou seja, o concreto não resiste mais à tração. Com isso, a seção se encontra fissurada na região de tração. Mesmo com o aparecimento de fissuras, o diagrama de tensões se mantém linear, permanecendo válida a lei de Hooke. Nesse estádio, conhecido como estádio de fissuração, se deve realizar a verificação da viga em serviço(ELS).
A imagem a seguir apresenta o estádio II de forma esquemática. Ao ser aplicado o momento fletor (MII) na viga devido ao carregamento externo surgem internamente, as forças de compressão na parte superior e de tração na parte inferior a fim de obter o equilíbrio das ações, como no estádio I. Porém o M II apresenta intensidade superior ao M I, e a tensão de tração passa ser maior que a resistência característica à tração; por isso, surgem as fissuras. As fissuras caminham no sentido da borda comprimida, assim como a linha neutra. Com isso, x II passa a ser menor do que x I.
Nesse estádio, consideramos que apenas o aço resista aos esforços de tração por conta das fissuras que surgem no concreto. A tensão na armadura cresce, podendo atingir o escoamento ou não. O estádio II termina com o início da plastificação do concreto comprimido. Admite-se que a tensão de compressão no concreto continue linear.
Estádio III- No estádio III, aumenta-se o momento fletor até um valor próximo de colapso, isto é, o concreto na zona comprimida está na iminência de ruptura e encontra-se plastificado. O diagrama de tensões, também conhecido como diagrama parábola retângulo, passa a ser da forma parabólico retangular. No entanto, a norma brasileira permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um diagrama retangular equivalente. 
Na forma esquemática do estádio III representada na imagem a seguir, verifica-se que a fibra mais comprimida do concreto começa a plastificar a partir da deformação específica de 0,2%, chegando a atingir na extremidade, sem variação de tensão, a deformação específica última $ $. No esquema, é possivel observar que a peça está com muitas fissuras e que a profundidade da linha neutra diminui. Por consequência, há uma redução da região de concreto comprimida. O estádio 3 é a situação extrema que corresponde ao dimensionamento pelo ELU.
O dimensionamento dos sistemas em concreto armado será realizado no estádio III, já que este se refere ao Estado Limite Último, quando o elemento está na iminência de ruptura. O objetivo principal do engenheiro estrutural é projetar estruturas que resistam, de forma econômica, aos esforços sem entrar em colapso. O item a seguir apresenta algumas hipóteses básicas de dimensionamento que serão de extrema relevância para os módulos seguintes.
Hipóteses básicas de dimensionamento
Vamos conhecer as hipóteses de cálculo de elementos estruturais lineares sob solicitações normais que são apresentadas na ABNT NBR 6118:2014. As hipóteses são:
· As seções transversais permanecem planas após a deformação. Ou seja, as deformações são, em cada fibra de concreto, proporcionais à sua distância até a linha neutra da seção;
· A deformação das barras de aço passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras de aço ativas (para concreto protendido) aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em seu entorno. Isto é, a deformação no aço é igual à deformação no concreto;
· As tensões de tração no concreto, normais na seção transversal, devem ser desprezadas no ELU;
· O colapso da seção transversal submetida a qualquer tipo de flexão no estado limite último é caracterizado pelas deformações específicas de cálculo do concreto para as fibras mais comprimidas e do aço próximo da borda mais tracionada. Os valores últimos das deformações vão definir os domínios de deformação a serem apresentados no próximo módulo.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1- Um engenheiro calculista dimensionará algumas peças estruturais de uma pequena residência. Para tanto, ele decidiu voltar às anotações que fez durante o curso de Concreto Armado I para relembrar alguns conceitos. Ao verificar suas anotações, percebeu que, em uma delas, se equivocou e anotou o conceito errado. Marque a opção que apresenta a anotação equivocada que estava em seu caderno.
a) Os elementos estruturais do tipo pilares são elementos caracterizados por suportar apenas tensão normal devido às forças normais, não sendo necessário o estudo de tensões de flexão.
b) Os elementos estruturais do tipo pilares são submetidos à flexão obliqua composta, em que ocorre a excentricidade da resultante dos esforços normais, gerando momento em duas direções.
c) As vigas, assim como as lajes, são, na maioria dos casos, submetidas à flexão simples, ou seja, o carregamento das peças é perpendicular à seção transversal do elemento.
d) Em elementos estruturais do tipo vigas protendidas, atuam esforços normais na seção transversal da viga. Esses esforços não podem ser desprezados no cálculo das tensões.
e) A flexão pura é um caso específico de flexão em que se atua no elemento estrutural, ou em parte dele, apenas o momento fletor, sendo todos os demais esforços nulos.
Questão 2- Para uma boa compreensão do dimensionamento de elementos estruturais, é necessária a identificação dos domínios de deformação de peças de concreto armado. A seguir são apresentadas afirmações a respeito dos estádios
I. Os estádios de deformação são estudados experimentalmente por meio de um carregamento inicial até a ruptura do elemento estrutural. 
II. O estádio I é o primeiro e corresponde ao início do carregamento. As tensões são pequenas, e o concreto resiste aos esforços de tração, não ocorrendo fissuração do elemento. 
III. No estádio II, o elemento ainda se comporta segundo a lei de Hooke e se encontra fissurado. A profundida da linha neutra nesse estádio é menor que no estádio I.
IV. No estádio III, ocorre o momento fletor com valor próximo de colapso, ou seja, o concreto na zona comprimida está na iminência de ruptura e encontra-se plastificado. O diagrama de tensões passa a ser da forma parabólico retangular.
a) Apenas I e III.
b) Apenas II e IV.
c) Apenas I e II.
d) Apenas II, III e IV.
e) I, II, III e IV.
MÓDULO 2 - Os domínios de deformação da estrutura.
Domínios de deformação: Os domínios de deformação são situações em que pelo menos um dos materiais, aço ou concreto, atinge o seu estado limite último, ou seja, corresponde à ruína de uma seção transversal por ruptura do concreto ou deformação excessiva da armadura (aço).
Para a melhor compreensão deste módulo, primeiramente serão apresentadas as situações de deformações últimas dos materiais, os diagramas de tensões do concreto no estado limite último, para então serem abordados os domínios de deformação. Inicialmente, vamos conhecer as classes.
Para o alongamento último da armadura, que é o alongamento máximo permitido ao longo da armadura tracionada, (Ecu) é dado por:
para prevenir deformação plástica excessiva.
A tensão de cálculo na armadura (fyg) é obtida a partir do diagrama de tensão x deformação do aço e é dada pela divisão da resistência última do aço (fyk) pelo seu coeficiente de ponderação (ys), obtendo-se a seguinte equação:
A distribuição das tensões dos concretos até a classe C50 é realizada de acordo com o diagrama parábola-retângulo para o qual é permitida (pela ABNT NBR 6118:2004) a transformação para o diagrama tensão-deformação simplificado do concreto. A tensão máxima do concreto no diagrama parábola-retângulo é: 0,85. fcd Esse diagrama é formado por uma parábola do 2º grau com vértice na fibra correspondente à deformação de compressão de 2% e um trecho reto entre as deformações 2% e 3,5%.
Como citado anteriormente, a norma permite a utilização do diagrama simplificado em substituição ao diagrama parábola-retângulo esquematizado na imagem 11. Nesse caso, considera-se a profundidade da linha neutra (y) igual a: 0,8. x; , e as seguintes tensões são consideradas:
Na imagem 11, é a área de aço na zona comprimida; As, a área de aço na zona tracionada; d’, a distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida e a face mais próxima do elemento estrutural; e Es, o alongamento do aço.
Já a distribuição das tensões para concretos das classes C50 a C90 se faz de acordo com um diagrama curvo e retangular com tensão de pico igual a:0,85. fcd Esse diagrama, conforme a ABNT NBR 6118:2014, pode ser substituídopor um retângulo com profundidade da linha neutra (y) dada pela seguinte equação:
A tensão pode ser admitida constante até a profundidade da linha neutra, sendo igual a:
 : Quando a largura da seção, medida paralelamente em relação à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;
Quando ocorre o contrário.
Entendidas as deformações e as tensões últimas, seguiremos para o próximo item com o objetivo de compreender os domínios de deformação dos sistemas de concreto armado.
Domínios de deformação na seção transversal: Os domínios de deformação representam diversas possibilidades de ruína da seção do elemento estrutural. Podemos ter deformação excessiva da armadura, esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas ou esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas.
Para um bom dimensionamento e desempenho da estrutura, é essencial que o engenheiro calculista identifique em qual domínio o elemento estrutural está trabalhando.
Vejamos a representação gráfica dos domínios de deformação.
Tem-se seis domínios de deformação para os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo da seção transversal retangular com armadura apenas na região de tração em elementos submetidos a esforços normais, conforme ilustra a Imagem 12 para concretos de classe até C50.
Já a imagem 13 apresenta os domínios de deformação para uma situação genérica com concretos de todas as classes.
Cada trecho do diagrama apresentado nas Imagens 12 e 13 será descrito e explicado nas seções seguintes.
Com objetivo esclarcer melhor esse tópico, as dimensões altura de seção transversal (h), distância do centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até a fibra mais comprimida de concreto, também chamada de altura útil da seção (d) , e a distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida e a face mais próxima do elemento estrutural comprimido (d) são apresentadas na imagem 14, assim como a largura da seção transversal de vigas de seção retangular. Vale citar que é comum no pré-projeto utilizar d= 0,9h.
É preciso saber em qual domínio está situado o diagrama de deformações (imagem 12 e imagem 13) do elemento a ser dimensionado com a finalidade de determinar a resistência de cálculo de uma dada seção transversal. O engenheiro calculista deve buscar o dimensionamento das vigas e lajes nos domínios 2 e 3 e, para o dimensionamento de pilares, os domínios 4, 4a e 5. Essa busca é importante para evitar rupturas. Vejamos:
Essas situações devem ser evitadas. Para isso, fazemos o emprego de armadura dupla.
Com o objetivo de explicar cada um desses domínios, nos itens seguintes eles serão abordados de forma individualizada. Vale ressaltar que, neste conteúdo, serão considerados apenas concretos para classes até C50.
Domínio 1
Nesse domínio, a reta de deformação gira em torno do ponto A, a linha neutra fica fora da seção transversal e a seção resistente é composta pelo aço, não havendo participação do concreto, pois ele se encontra totalmente fissurado devido às tensões de tração. Todas as situações descritas acima são ilustradas de forma esquemática na imagem 15, sendo que o último desenho do esquema mostra o giro em torna do ponto A e a faixa do domínio 1 (para uma melhor compreensão, vale ver novamente a Imagem 12. Não há ocorrência de compressão na seção transversal do elemento.
Domínio 2
Domínio 3
A seção resistente é composta de aço tracionado e concreto comprimido. Ocorre uma grande deformação no aço e ruptura do concreto, que se dá com o escoamento do aço. Desse modo, o colapso se dá com aviso prévio. Até o domínio 3, as peças estruturais são sub armadas. O ideal, com peças normalmente armadas, ocorre em dimensionamentos no domínio 3 perto do domínio 4.
Domínio 4 
Domínio 4ª
Domínio 5
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1: O engenheiro estrutural, ao fazer o cálculo do elemento de concreto armado dentro dos domínios de deformação, precisa considerar quais tipos de deformações e tensões?
a) Específicas; de flexão.
b) Últimas; últimas.
c) Características; específicas.
d) Características; características.
e) Últimas; características.
Questão 2: Os domínios de deformação classificam as diversas possibilidades de colapso da seção do elemento estrutural, que podem ser por deformação excessiva da armadura, por esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas ou por esmagamento dele em seções totalmente comprimidas. A seguir é apresentada uma frase que caracteriza um desses domínios:
Nesse domínio, a linha neutra corta a seção transversal; logo, a seção resistente é composta de aço tracionado e concreto comprimido, e a reta gira em torno do ponto B. Ocorre grande deformação no aço e ruptura do concreto, que se dá com o escoamento do aço. Desse modo, o colapso ocorre com aviso prévio.
Marque a opção que apresenta o domínio correspondente à frase descrita acima.
a) Domínio 1
b) Domínio 2
c) Domínio 3
d) Domínio 4
e) Domínio 5
MÓDULO 3 - Como dimensionar os elementos submetidos à flexão.
Cálculo da armadura longitudinal: O cálculo da armadura longitudinal é utilizado para a determinação da área de aço em elementos submetidos à flexão normal, como as vigas. No dimensionamento da quantidade de armadura longitudinal para seções transversais retangulares, são conhecidos a resistência do concreto (fck), a largura da seção (b), a altura útil (d) e o tipo de aço (sua tensão - fyf e sua deformação específica Eyd). Ele é realizado a partir do equilíbrio de forças e momentos na seção transversal.
A ABNT NBR 61118:2014, a fim de garantir a ductilidade do elemento estrutural (no caso de vigas e lajes), afirma que a posição da linha neutra no ELU deve ser limitada aos valores:
Portanto, para o estudo do dimensionamento da armadura longitudinal, este módulo será subdividido em: equações para concretos de classes até C50 e equações para concretos de classes entre C50 e C90, além de dimensionamentos específicos para o máximo momento resistente na seção, a altura mínima de uma seção com armadura simples e o cálculo de armadura dupla.
Equacionamento para concretos de classe até C50:
As equações para o cálculo da armadura longitudinal são obtidas por meio do equilibrio de forças e momentos na seção transversal do elemento. Com o objetivo de obter equaçốes padronizadas, vamos adotar como conhecidos os parâmetros: fck, b, d, fyd e Eyd. Além disso, consideraremos o momento de cálculo igual a:
Sendo M o momento atuante na seção devido aos esforços solicitantes. A seguir, será apresentado o passo a passo para o dimensionamento da armadura longitudinal tracionada As.
Equilíbrio da seção: O equilíbrio de esforços na seção transversal, forças e momentos, será realizado considerando o esquema apresentado na imagem a seguir.
Fazendo o equilíbrio de momentos no ponto (indicado na imagem 22), temos:
É importante conhecer a posição da linha neutra (x) para poder identificar o domínio em que a peça está trabalhando e calcular a resultante de força no concreto e o braço de alavanca (z) dado pela equação:
Substituindo a equação do braço de alavanca na equação do momento de cálculo, temos:
Resolvendo a equação acima, obtém-se o valor de , que é fundamental para o dimensionamento da armadura longitudinal. Verifica-se que x não varia de forma linear com o Md, mas segue um polinômio de segundo grau, como mostra esta equação:
Para determinar a área de aço (As) da armadura longitudinal, é feito o somatório de momento no ponto a (veja a imagem 22), como mostra a seguinte equação:
Após calcular a profundidade da linha neutra, é possível determinar qual o domínio a peça atingirá no seu estado limite último. Na flexão simples, que está sendo considerada neste tópico, os domínios possíveis são o 2, o 3 e o 4. Sendo a melhor opção que a peça trabalhe no domínio 3, o 2 é aceitável, enquanto o 4 tem de ser evitado devido à ruptura frágil, entre outros motivos.
Como as seções permanecem planas após a deformação, podemos relacionar a profundidadeda linha neutra com a altura útil, utilizando, para tal, a semelhança de triângulos ABC e ADE apresentada a seguir. A relação entre x e d é dada pela equação:
Portanto, para uma seção conhecida, a posição da linha neutra no domínio 3 dependerá apenas da deformação específica do aço. De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, não devemos usar valores do domínio 3 que sejam superiores a x= 0,45. d; sendo assim, também não cabe o estudo para o limite entre o domínio 3 e o 4.
Equacionamento para concretos de qualquer classe: O equacionamento para o cálculo da armadura longitudinal é realizado da mesma forma que para concretos de classes até C50, porém aparecem os termos α e ʎ. As equaçőes a serem utilizadas para o dimensionamento são:
Sendo que Ecu, αc e ʎ devem ser empregados em função da classe do concreto e das condiçốes de ductilidade. As equações para αc e ʎ e foram apresentadas no módulo 2.
Cálculo do máximo momento resistente na seção:
Temos que o momento máximo resistido na seção, conhecida As, é dado por:
Vale lembrar que a profundidade da linha neutra deve atender ao limite x=0,45.d. e que, caso isso não ocorra, deve-se aumentar a altura útil da viga ou utilizar uma armadura de compressão (armadura dupla). Contudo, esse assunto não será abordado em nosso estudo.
Cálculo do máximo momento resistente da seção com armadura simples: Quando a viga apresenta armadura longitudinal apenas na região tracionada, não sendo necessária uma armadura na região comprimida, dizemos que se trata de uma viga com armadura simples. Para uma viga com essa armadura, determinada seção e submetida à ação de um momento fletor, podemos determinar a menor altura útil necessária (dmin) a partir destas equações:
Assim, temos que:
Cálculo de seções com armadura dupla: O engenheiro estrutural poderá encontrar situações em que, por imposição de projeto, seja ele arquitetônico ou até mesmo estrutural, será necessário dimensionar uma viga para uma altura menor do que a mínima determinada por dmin e exigida pelo momento fletor atuante de cálculo (Md).
Para essas situações, será necessário determinar o momento de cálculo máximo suportado pela seção transversal da viga utilizando a armadura simples (Md, lim). Esse momento será limitado pela profundidade limite da linha neutra xlim= 0,45. d. (domínio 3). A diferença entre o momento de cálculo aplicado à estrutura e o momento limite, ΔM é dada por:
A imagem 24 apresenta uma seção transversal com armadura dupla para um momento fletor positivo e o esquema de cálculo utilizado para obter as equações do dimensionamento de vigas em que se faz necessária a armadura dupla. O dimensionamento é separado em duas partes. Primeiramente, calcula-se o momento fletor limite para a armadura simples e a área de aço para essa armadura (As, lim) Em seguida, calcula-se a armadura necessária para resistir ao momento ΔM.
Nesse caso, não se considera a resistência do concreto, pois ela já foi considerada no primeiro cálculo. Resolvendo de forma análoga ao procedimento para determinar a armadura longitudinal simples (equacionamento para concretos de classe até C50), chega-se às seguintes equações:
Portanto:
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1: O engenheiro estrutural da obra de uma casa unifamiliar, ao verificar seu projeto, ficou em dúvida sobre a área de aço (As) adotada em determinada viga. Ele retirou do projeto da viga as seguintes informações:
 
Em seguida, ele refez o cálculo. Marque a opção que apresenta o valor que mais se aproxima da As encontrada pelo engenheiro ao recalcular a viga.
a) 0,57cm²
b) 1,57cm²
c) 2,57cm²
d) 3,57cm²
e) 4,57cm²
Questão 2: Dois anos após a conclusão da obra de uma residência, os proprietários chamaram o engenheiro calculista para saber se poderiam acrescentar um carregamento em uma viga na garagem. O engenheiro, de posse dos projetos, obteve as seguintes informações:
A partir dessas informações, ele calculou o momento máximo que poderia ser aplicado na viga em questão. Indique a opção que apresenta o valor mais próximo do obtido pelo engenheiro.
a) 16,4kN.m
b) 22,3kN.m
c) 30,7kN.m
d) 42,9kN.m
e) 54,6kN.m
MÓDULO 1 - Análise de uso de tabelas adimensionais.
Uso de tabelas adimensionais: As tabelas adimensionais são utilizadas como facilitadoras para o dimensionamento de estruturas de concreto armado. Elas permitem o emprego de diversos sistemas de unidades e a utilização de quadros e gráficos. Como consequência, essas tabelas simplificam os cálculos de dimensionamento dos elementos.
As equações que utilizam tabelas adimensionais para concretos de classe até C50 serão apresentadas a seguir.
Equações de dimensionamento utilizando as tabelas adimensionais: Neste item, serão apresentadas as equações de dimensionamento nos casos em que são utilizadas as tabelas adimensionais para o cálculo de elementos estruturais.
 
As tabelas adimensionais: Como K X só admite valores de 0 a 1, constitui-se uma tabela variando o valor de K X dentro dessa intervalo. Cada valor arbitrário de K X corresponde a um valor de K M D e outro de K Z, ambos calculados pelas equações apresentadas no item anterior. Conhecendo Ec, é possível determinar OE8e, como par das deformações, identificar o domínio no qual a peça está trabalhando.
Exemplos de aplicação: Agora veremos alguns exemplos de dimensionamento utilizando a tabela unidimensional.
Exemplo prático
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1: Um jovem, com o intuito de ampliar sua residência, contratou um engenheiro estrutural para elaborar o projeto de expansão. O engenheiro concluiu que, nessa expansão, será necessária uma viga para suportar um momento atuante de 30kN cuja seção transversal tem largura=14 cm e altura útil d= 36 cm .Para o dimensionamento, ele utilizou o auxílio das tabelas adimensionais e optou por usar concreto de fck = 30 Mpa e aço CA50. Sendo assim, ele obteve a área de aço de armadura longitudinal, As, igual a:
a) 0,88cm²
b) 1,22cm²
c) 1,88cm²
d) 2,22cm²
e) 2,88cm²
Questão 2: Durante a fase de armação dos elementos estruturais de uma obra, o cliente decidiu paralisá-la para solicitar o aumento de esforços em determinada região do projeto. O engenheiro calculista, responsável pelo projeto da obra, concluiu que o aumento dos esforços resultaria em um momento atuante de 35kN. m em uma viga. A fim de obter a menor altura para essa viga, o engenheiro fez o cálculo da armadura longitudinal (As) utilizando a altura útil mínima (dmin) e mantendo a largura da viga b= 16 cm. Sabendo que a resistência característica de projeto do concreto para essa obra é fck= 25Mpa e que o aço utilizado é o CA 50, a As obtida nos cálculos do engenheiro, sabendo que ele utilizou o auxílio das tabelas adimensionais, foi de:
a) 2,26cm2
b) 3,52cm2
c) 4,68cm2
d) 5,74cm2
e) 6,23cm2
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