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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROJETO DE GRADUAÇÃO Vitória – ES Dezembro / 2017 DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE PÓRTICOS ESPACIAIS EM ESTRUTURAS METÁLICAS JOÃO ALFREDO DE LAZZARI Vitória – ES Dezembro / 2017 DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE PÓRTICOS ESPACIAIS EM ESTRUTURAS METÁLICAS Projeto de graduação do aluno João Alfredo de Lazzari, apresentado ao Departamento de Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, para obtenção do grau de bacharel em Engenharia Civil. JOÃO ALFREDO DE LAZZARI DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE PÓRTICOS ESPACIAIS EM ESTRUTURAS METÁLICAS Parte manuscrita do Projeto de graduação do aluno João Alfredo de Lazzari, apresentado ao Departamento de Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, para obtenção do grau de bacharel em Engenharia Civil. COMISSÃO EXAMINADORA: Prof. Dr. Elcio Cassimiro Alves Universidade Federal do Espírito Santo Orientador Prof.ª Dr.ª Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani Universidade Federal do Espírito Santo Co-orientadora Prof. Dr. Macksuel Soares de Azevedo Universidade Federal do Espírito Santo Examinador Me. Francesco Mayer Sias Universidade Federal do Espírito Santo Examinador Vitória – ES, 19 de Dezembro de 2017. Dedico esse projeto a Deus, aos meus pais, aos familiares, aos amigos e aos mestres e doutores do curso de Engenharia Civil da UFES. ii RESUMO Na engenharia procuram-se soluções com qualidade, confiabilidade e acessibilidade. Dessa forma, otimizando os custos para determinada atividade, atendendo aos requisitos de qualidade e confiabilidade, obtém-se o que pode ser chamado de proposta ótima. Na engenharia estrutural, mas especificamente em projetos de estruturas metálicas, sabe-se que qualquer redução no peso da estrutura é considerado em um ganho econômico significativo. Portanto, as técnicas de otimização são ferramentas de grande utilidade quando se quer obter uma solução confiável e de baixo custo. O presente trabalho tem o objetivo de desenvolver um software de dimensionamento ótimo para pórticos espaciais em estruturas metálicas com perfis I e H laminados e soldados. O software desenvolvido na plataforma do Graphical User Interface Development Environment do MATLAB utiliza uma metodologia determinística para soluções com variável contínua e outra probabilística para soluções com variável discreta. Toda a rotina de dimensionamento, será baseada na norma Brasileira NBR 8800:2008 e as técnicas de otimização utilizadas são a Programação Quadrática Sequencial e o Algoritmo Genético. A Programação Quadrática Sequencial é um modelo matemático que a partir de soluções de subproblemas quadráticos converge para uma solução ótima, com uma solução com variável contínua. Já o Algoritmo Genético, é um modelo probabilístico que se baseia no processo de seleção natural que imita a evolução biológica. A abordagem para a otimização da estrutura, será feita com base na definição da função a ser otimizada e das funções de restrições. Para a validação do software desenvolvido será proposto à comparação com quatro exemplos. Dois desses exemplos estão na literatura, que envolve na verificação de uma viga com contenção lateral e um pilar submetido a esforços combinados. Mais dois outros exemplos serão comparados com as soluções sugeridas pelo dimensionamento do programa comercial CYPE 3D. Uma que envolve na otimização de 15 vigas e outro que é a verificação e otimização de um pórtico espacial de com 16 barras de dois andares com 3 metros de pé direito e 10 metros por 10 metros no plano. Os resultados serão apresentados em formas de tabelas, gráficos e figuras do software desenvolvido e concluído com comentários sobre os resultados e sugestões para trabalhos futuros. Palavras-chave: Dimensionamento Ótimo, Estruturas Metálicas, Pórtico Espacial, Softwares, Análise Estrutural. iii ABSTRACT There is always a seeking for solutions with quality, reliability and accessibility on engineering. In this way, it can be reached to a solution that can be called as the optimum proposal when the cost for some activity is optimized, attending to the requisites for quality and reliability. Every single reduction on the weight of a structure is considered a significant economic save, on steel structures, since their cost per weight is high. Therefore, optimization technics are strong tools when the seek is for reliability and low cost. The present paper has the objective of developing an optimal design software for tridimensional steel frames with I and H sections of hot-rolled and welded steel. The software was developed on the Graphical User Interface Development Environment from MATLAB, and uses deterministic optimization methodology for solution with continuous variable, and a probabilistic optimization methodology for solution with discrete variable. All the routine for the design was based on the Brazilian standard, NBR 8800:2008, and the optimization technics used are the Sequential Quadratic Programming and Genetic Algorithm. The SQP is a mathematical model that begins with an initial point and after evaluating the solution of small simple quadratic problems in each iteration, it will converge to an optimal point. In addition, the GA method is a probabilistic model that is based on the natural selection that imitates the biological evolution. The formulation for the structure optimization will be made by defining the objective function and the constraints. For the validation of the developed software, it will be proposed a comparison of four examples. Two of these examples are found on the literature, and are the verification of a beam with lateral bracing and a column with combined loads. Two more examples will be compared with solutions suggested by the CYPE 3D commercial software, which are an optimization of 15 beams, and verification and optimization of a tridimensional frame with 2 floors, 3 meters of celling height and 10 by 10 meters on plane. The results will be present on tables, graphs and print screens of the developed software. To conclude, it will be provide commentaries about the results and some suggestions for future projects. Keywords: Optimal Design, Steel Structures, Tridimensional Steel Frames, Software, Structural Analysis. iv LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 EXEMPLO DE PÓRTICO ESPACIAL MODELADO NO PROGRAMA COMERCIAL CYPE 3D 15 FIGURA 2 ILUSTRAÇÃO DA FORMULAÇÃO MATRICIAL DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS (𝐷𝑗 = 𝑑𝑗). ......................................................................................................................... 20 FIGURA 3 ESFORÇOS EM UM ELEMENTO BARRA ESPACIAL ........................................................ 21 FIGURA 4 MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DE UMA BARRA DE PÓRTICO ESPACIAL. .......................... 22 FIGURA 5 EIXOS LOCAIS DO ELEMENTO BARRA. ........................................................................ 23 FIGURA 6 ESQUEMA DE CONSTRUÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL. ................................... 24 FIGURA 7 VARIÁVEIS GEOMÉTRICAS EM PERFIL SOLDADO E LAMINADO I E H, E O VETOR 𝑿. .... 25 FIGURA 8 PROCESSO DE LAMINAÇÃO DO AÇO. ......................................................................... 26 FIGURA 9 VALORES DOS MOMENTOS PARA O CÁLCULO DO 𝐶𝑏. ................................................ 47 FIGURA 10 BARRA COM MESA TRAVADA E CARREGAMENTO COM SENTIDO DESSA MESA PARA A LIVRE. ................................................................................................................................47 FIGURA 11 BARRA COM MESA TRAVADA E CARREGAMENTO COM SENTIDO DA MESA LIVRE PARA ESSA MESA. ........................................................................................................................ 48 FIGURA 12 DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DOS TRÊS TIPOS DE FILHOS. ........................................... 55 FIGURA 13 POPULAÇÃO NAS GERAÇÕES 60, 80, 95 E 100. ......................................................... 55 FIGURA 14 MENU ARQUIVO DO PROGRAMA STRUCTURE3D ...................................................... 64 FIGURA 15 INTERFACE PRINCIPAL DO PROGRAMA STRUCTURE3D COM INFORMAÇÕES SOBRE O PROGRAMA ........................................................................................................................ 65 FIGURA 16 MENU BARRA DO PROGRAMA STRUCTURE3D .......................................................... 65 FIGURA 17 INTERFACE DA SELEÇÃO DOS PERFIS CATALOGADOS ............................................... 66 FIGURA 18 INTERFACE PARA A DEFINIÇÃO DAS PROPRIEDADES DO MATERIAL DA BARRA ......... 67 FIGURA 19 INTERFACE PARA DEFINIR OS COEFICIENTES DE FLAMBAGEM POR COMPRESSÃO ..... 67 FIGURA 20 INTERFACE PARA DEFINIR OS DADOS REFERENTES A FLAMBAGEM LATERAL DA BARRA ............................................................................................................................... 68 FIGURA 21 INTERFACE PARA DEFINIR OS DESLOCAMENTOS LIMITES DE CADA BARRA EM CADA PLANO ................................................................................................................................ 69 FIGURA 22 INTERFACE COM PROPRIEDADES ADICIONAIS RELACIONADAS AO DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA .................................................................................................................. 70 FIGURA 23 INTERFACE QUE MOSTRA A VERIFICAÇÃO DA ESTRUTURA PARA OS SEUS ESTADOS LIMITES .............................................................................................................................. 71 FIGURA 24 ACESSO AOS MÉTODOS PQS E AG PELO MENU RESULTADOS ................................... 71 FIGURA 25 INTERFACE PARA A OTIMIZAÇÃO DETERMINÍSTICA UTILIZANDO O PQS. ................. 72 FIGURA 26 INTERFACE QUE MOSTRA OS PERFIS ÓTIMOS ENCONTRADOS NA OTIMIZAÇÃO ......... 72 FIGURA 27 INTERFACE QUE OFERECE AJUDA AO USUÁRIO SOBRE O MÉTODO DO PQS .............. 73 FIGURA 28 INTERFACE PARA A OTIMIZAÇÃO PROBABILÍSTICA UTILIZANDO O AG. ................... 73 FIGURA 29 INTERFACE QUE ILUSTRA O PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO PELO AG ........................... 74 FIGURA 30 INTERFACE QUE OFERECE AJUDA AO USUÁRIO SOBRE O MÉTODO DO AG ................ 74 FIGURA 31 FLUXOGRAMA DO STRUCTURE3D PARA OTIMIZAÇÃO ............................................. 75 v FIGURA 32 VERIFICAÇÃO DE BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO EM DOIS SENTIDOS E COM MESA SUPERIOR COM CONTENÇÃO LATERAL CONTÍNUA. ......................................................................................................................... 76 FIGURA 33 VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO DE 50 KN/M E COM CONTENÇÃO LATERAL CONTÍNUA NA MESA SUPERIOR, MODELADA NO STRUCTURE3D .................................................................................................................. 77 FIGURA 34 VERIFICAÇÃO DE BARRA FLEXO-COMPRIMIDA EM PERFIL I SOLDADO. .................... 80 FIGURA 35 DIMENSÕES E PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS IMPORTANTES DA SEÇÃO TRANSVERSAL. .................................................................................................................. 80 FIGURA 36 PILAR COM CARGA AXIAL DE COMPRESSÃO E FLEXÃO ASSIMÉTRICA, MODELADO NO STRUCTURE3D. ................................................................................................................. 81 FIGURA 37 DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES PARA A BARRA 1. ................................. 81 FIGURA 38 DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES PARA A BARRA 2. ................................. 82 FIGURA 39 RESULTADOS DA VERIFICAÇÃO PELO PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO DO STRUCTURE3D. ................................................................................................................. 84 FIGURA 40 CONFIGURAÇÕES INICIAIS E CRITÉRIO DE PARADA DO AG PARA PILAR SUBMETIDO A COMBINAÇÃO DE ESFORÇOS ............................................................................................... 85 FIGURA 41 PERFIS ÓTIMOS PARA PILAR SUBMETIDO A ESFORÇOS COMBINADOS ....................... 86 FIGURA 43 COMPARAÇÃO GRÁFICA DA RESISTÊNCIA EFETIVA. ................................................. 91 FIGURA 44 COMPARAÇÃO GRÁFICA DA DEFORMAÇÃO EFETIVA. ............................................... 91 FIGURA 45 PÓRTICO ESPACIAL MODELADO NO PROGRAMA COMERCIAL CYPE 3D .................. 92 FIGURA 46 PÓRTICO ESPACIAL MODELADO NO PROGRAMA STRUCTURE3D .............................. 93 FIGURA 47 GRÁFICO DE DISPERSÃO COM AS VERIFICAÇÕES DO CYPE 3D E DO STRUCTURE3D .......................................................................................................................................... 94 FIGURA 48 GRÁFICOS DE CONVERGÊNCIA DO AG ..................................................................... 95 FIGURA 49 COMPARAÇÃO DO DIMENSIONAMENTO DO CYPE 3D COM OS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO AG E PQS ..................................................................................................... 97 vi LISTA DE TABELAS TABELA 1 AÇOS ESPECIFICADOS POR NORMA BRASILEIRA PARA USO ESTRUTURALª ...................................... 30 TABELA 2 AÇOS DE USO FREQUENTE ESPECIFICADOS PELA ASTM PARA USO ESTRUTURAL ............................ 31 TABELA 3 DESLOCAMENTOS LIMITES (𝑆𝑙𝑖𝑚) ...................................................................................... 33 TABELA 4 COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO UNIFICADO DAS AÇÕES PERMANENTES E VARIÁVEIS ........................ 34 TABELA 5 COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS RESISTÊNCIAS 𝛾𝑚 PARA ELU ............................................ 35 TABELA 6 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM POR FLEXÃO DE ELEMENTOS ISOLADOS .......................................... 39 TABELA 7 VALORES DE 𝑏/𝑡𝑙𝑖𝑚 PARA CÁLCULO DOS FATORES DE REDUÇÃO PARA ELEMENTOS AA E AL. ......... 40 TABELA 8 PARÂMETROS REFERENTES AO MOMENTO FLETOR RESISTENTE .................................................. 43 TABELA 9 ESFORÇOS SOLICITANTES DE CÁLCULO MÁXIMO DA VIGA COM CONTENÇÃO LATERAL CONTÍNUA NA MESA SUPERIOR ..................................................................................................................... 77 TABELA 10 ESFORÇOS RESISTENTES DE CÁLCULO DA VIGA COM CONTENÇÃO LATERAL CONTÍNUA NA MESA SUPERIOR ............................................................................................................................. 78 TABELA 11 PERFIS OTIMIZADOS PELA METODOLOGIA DO AG E DO PQS, IMPLEMENTADO NO STRUCTURE3D, PARA CARREGAMENTO GRAVITACIONAL DE 50 KN/M .................................................................... 78 TABELA 12 COMPARAÇÃO DA VERIFICAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS AG E PQS COM OS RESULTADOS DO FAKURY (2016), PARA CARREGAMENTO GRAVITACIONAL DE 50 KN/M ........................................................ 79 TABELA 13 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS......................................... 82 TABELA 14 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DOS ESFORÇOS RESISTENTES DE CÁLCULO. ............................... 83 TABELA 15 COMPARAÇÃO DA OTIMIZAÇÃO DISCRETA DO CYPE3D COM O AG. ......................................... 87 TABELA 16 COMPARAÇÃO DAS MASSAS LINEARES ENTRE O CYPE3D, AG E PQS. ...................................... 88 TABELA 17 VALORES DA VARIÁVEL DE PROJETO OTIMIZADA PELO MÉTODO DO PQS. ................................... 89 TABELA 18 COMPARAÇÃO DA RESISTÊNCIA RELATIVA/EFETIVA E DEFORMAÇÃO RELATIVA/EFETIVA. ............... 90 TABELA 19 COMPARAÇÃODA VERIFICAÇÃO AOS ESFORÇOS COMBINADOS ENTRE O CYPE 3D E O STRUCTURE3D. .......................................................................................................................................... 94 TABELA 20 COMPARAÇÃO DO PESO (KG) DA ESTRUTURA ENTRE OS MÉTODOS DO CYPE 3D E O STRUCTURE3D .......................................................................................................................................... 96 TABELA 21 DIMENSÕES DOS PERFIS DO PÓRTICO ESPACIAL OTIMIZADOS ................................................... 96 vii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AA Elementos Apoiados Apoiados, duas bordas longitudinais vinculadas ABCEM Associação Brasileira de Construção Metálica ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas AG Algoritmo Genético AISC American Institute of Steel Construction AL Elementos Apoiados Livres, apenas uma borda longitudinal vinculada ANSI American National Standards Institute ASTM American Society for Testing and Materials BFGS Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (método aproximado da matriz Hessiana) CBCA Centro Brasileiro da Construção em Aço CS Colunas Soldadas CVS Colunas e Vigas Soldadas CYPE Software espanhol para Engenharia e Construção ELS Estado-Limite de Serviço ELU Estado-Limite Último GA Genetic Algorithm GERDAU Denominação da empresa siderúrgica brasileira também conhecida como Grupo Gerdau. GUIDE Graphical User Interface Development Environment MATLAB Matrix Laboratory MAES Método de Amplificação dos Esforços Solicitantes NBR Norma Brasileira PQS Programação Quadrática Sequencial SQP Sequential Quadratic Programming UFES Universidade Federal do Espírito Santo VS Vigas Soldadas viii LISTA DE SÍMBOLOS Minúsculas Romanas 𝑎 Distancia entre enrijecedores 𝑏𝑓 Largura da mesa do perfil 𝑐𝑥 Cosseno diretor de um vetor em relação ao eixo global x 𝑐𝑦 Cosseno diretor de um vetor em relação ao eixo global y 𝑐𝑧 Cosseno diretor de um vetor em relação ao eixo global z 𝑑 Distancia da face superior da mesa superior à face inferior da mesa inferior 𝒅 Vetor com os deslocamentos nodais de um elemento barra 𝑑’ Altura livre da alma (sem os raios de concordância, ℎ − 2𝑅 ). 𝑓𝑎𝑝𝑡𝑖𝑑ã𝑜 Função aptidão para o Algoritmo Genético 𝑓𝑑 Resistência de cálculo de um material 𝑓𝑘 Resistência característica de um material 𝑓𝑙𝑖𝑚 Flecha limite 𝑓𝑚𝑎𝑥 Flecha máxima 𝑓𝑦 Resistência ao escoamento do aço 𝑔(𝑿) Função de restrições por inequações lineares e não lineares 𝑔𝐶𝑆 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de perfis CS para cada barra 𝑖 𝑔𝐶𝑉𝑆 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de perfis CVS para cada barra 𝑖 𝑔EL 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições aos estados-limites para cada barra 𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑟 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições a enrijecedores para cada barra 𝑖 𝑔𝑔𝑒𝑜 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas para cada barra 𝑖 𝑔𝑘𝑐 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas relacionadas ao fator 𝑘𝑐 para cada barra 𝑖 𝑔𝑙𝑎𝑚 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de perfis laminados para cada barra 𝑖 𝑔𝑉𝑆 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de perfis VS para cada barra 𝑖 𝑔𝑤 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições de perfis de alma esbelta para cada barra 𝑖 𝑔𝜆 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas relacionadas ao índice de esbeltez para cada barra ℎ(𝑿) Função de restrições por igualdades lineares e não lineares ℎ𝐶𝑆 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade de perfis CS para cada barra 𝑖 ℎ𝐶𝑉𝑆 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade de perfis CVS para cada barra 𝑖 ℎ𝑔𝑒𝑜 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade para cada barra 𝑖 ℎ𝑙𝑎𝑚 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade de perfis laminados para cada barra 𝑖 ℎ𝑉𝑆 𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade de perfis VS para cada barra 𝑖 ℎ Distancia da face inferior da mesa superior à face superior da mesa inferior 𝑘𝑐 Coeficiente para elementos AL de perfis soldados ix 𝑘𝑣 Fator amplificador do parâmetro de esbeltez 𝑘𝑥 Coeficiente de flambagem por torção em relação ao eixo local longitudinal x 𝑘𝑦 Coeficiente de flambagem por flexão em relação ao eixo local y 𝑘𝑧 Coeficiente de flambagem por flexão em relação ao eixo local z 𝑟0 Raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de cisalhamento 𝑟𝑦 Raio de giração em torno de 𝑦 𝑟𝑧 Raio de giração em torno de 𝑧 𝑡𝑓 Espessura da mesa 𝑡𝑤 Espessura da alma 𝑥 Eixo local longitudinal da barra 𝑦 Eixo local perpendicular à mesa do perfil 𝑦0 Coordenadas do centro de cisalhamento na direção do eixo central y 𝑧 Eixo local perpendicular à alma do perfil 𝑧0 Coordenadas do centro de cisalhamento na direção do eixo central z Maiúsculas Romanas 𝐴𝑏 Área bruta 𝐴𝑒 Área efetiva 𝐴𝐺,𝑘 Ação permanente característica 𝐴𝑛 Área líquida 𝐴𝑄,𝑘 Ação variável característica 𝐴𝑤 Área efetiva de cisalhamento 𝐁 Aproximação positiva definida da matriz Hessiana da função de Lagrange 𝐶𝑏 Fator de modificação da resistência à flexão para o diagrama não uniforme de momento fletor 𝐶𝑢𝑙𝑡 Combinação última de ações 𝐶𝑢𝑛𝑖,𝑢𝑙𝑡 Combinação última de ações com coeficientes de ponderação unificados 𝐶𝑢𝑛𝑖,𝑠𝑒𝑟 Combinação de serviço com coeficientes de ponderação unificados 𝐶𝑟𝑎𝑟,𝑠𝑒𝑟 Combinação rara de serviço 𝐶𝑤 Constante de empenamento 𝐶𝑡 Coeficiente de redução 𝐷1 Parâmetro de correção da constante de torção 𝐸 Modulo de elasticidade do aço (200 GPa). 𝑭𝒂 Vetor de ações aplicadas nos nós da estrutura, incluindo as reações de apoio 𝑭𝒆 Vetor de ações de engasgamento perfeito 𝐹(𝑿) Função a ser otimizada 𝐹(𝑿)𝑃𝑄𝑆 Função objetivo para o PQS 𝐹(𝑿𝑏𝑖𝑛)𝐴𝐺 Função Aptidão para o AG 𝐼𝑦 Momento de inércia em relação ao eixo 𝑦 x 𝐼𝑧 Momento de inércia em relação ao eixo 𝑧 𝐽 Constante de torção 𝑲𝓵 Matriz de rigidez local 𝑲𝒈 Matriz de rigidez global 𝐿 Comprimento do elemento barra 𝐿𝑏 Comprimento destravado da viga 𝑀0 Momento com maior possibilidade de comprimir a mesa livre 𝑀1 Momento fletor solicitante de cálculo na outra extremidade 𝑀1 ∗ Momento fletor solicitante de cálculo igual a 𝑀1, porém tomado igual a zero se tracionar a mesa livre 𝑀2 Momento fletor na seção central do comprimento destravado 𝑀𝐴 Momento fletor a uma distância de 25% do comprimento da viga em relação a um dos pontos de contenção lateral 𝑀𝐵 Momento fletor a uma distância de 50% do comprimento da viga em relação a um dos pontos de contenção lateral 𝑀𝐶 Momento fletor a uma distância de 75% do comprimento da viga em relação a um dos pontos de contenção lateral 𝑀𝑐𝑟 Momento crítico de flambagem elástica 𝑀𝑑,𝑒𝑙𝑎 Momento fletor para a validade da análise elastica 𝑀𝑚á𝑥 Momento fletor máximo no trecho da viga em módulo 𝑀𝑝𝑙 Momento de plastificação total da seção 𝑀𝑟 Momento de início de escoamento considerando as tensões residuais 𝑀𝑅𝑑 Momento resistente de cálculo 𝑀𝑅𝑑,𝐹𝐿𝐴 Momento fletor resistente de cálculo para o estado limite de flambagem local da alma 𝑀𝑅𝑑,𝐹𝐿𝑀 Momento fletor resistente de cálculo para o estado limite de flambagem local da mesa 𝑀𝑅𝑑,𝐹𝐿𝑇 Momento fletor resistente de cálculo para o estado limite de flambagem lateral com torção 𝑀𝑆𝑑 Momento solicitante de cálculo 𝑁𝑐,𝑅𝑑 Força axial de compressão resistente de cálculo 𝑁𝑐,𝑆𝑑 Força axial de compressão solicitante de cálculo 𝑁𝑒 Força axial de flambagem elástica 𝑁𝑒𝑥 Força axial de flambagem elástica por torção em relação ao eixo longitudinal x 𝑁𝑒𝑦 Força axial de flambagem elástica por flexão em relação ao eixo local y 𝑁𝑒𝑧 Força axial de flambagem elástica por flexão em relação ao eixo local z 𝑁𝑡,𝑅𝑑𝐸 Forçaaxial resistente de cálculo para escoamento da seção bruta 𝑁𝑡,𝑅𝑑𝑅 Força axial resistente de cálculo para ruptura da seção líquida 𝑄(𝑺) Função objetivo do método do PQS 𝑄 Fator de redução total associado à flambagem local xi 𝑄𝑎 Fator de redução associado a elementos comprimidos AA 𝑄𝑠 Fator de redução associado a elementos comprimidos AL 𝑅 Raio de concordância entre a alma e a mesa da seção 𝑹 Matriz de rotação 𝑅𝑑 Valores de cálculo dos esforços resistentes correspondentes aos atuantes 𝑹𝒑 Matriz de rotação do pórtico espacial 𝐒 Matriz com as componentes das variáveis de projeto 𝑆𝑑 Valores de cálculo dos esforços atuantes 𝑆𝑙𝑖𝑚 Valores-limites adotados para os efeitos estruturais de interesse para o ELS 𝑆𝑚𝑎𝑥 Valores referentes ao ELS que representa os efeitos estruturais de interesse. 𝑉𝑆𝑑 Força cortante solicitante de cálculo 𝑉𝑅𝑑 Força cortante resistente de cálculo 𝑉𝑝𝑙 Força cortante de plastificação da alma 𝑊𝑥𝑐 Módulo de resistência elástico do lado comprimido e tracionado da seção, relativo ao eixo de flexão, 𝑥 𝑊𝑦𝑐 Módulo de resistência elástico relativo ao eixo de flexão 𝑦 do lado comprimido 𝑊𝑦𝑡 Módulo de resistência elástico relativo ao eixo de flexão 𝑦 do lado tracionado 𝑊𝑧𝑐 Módulo de resistência elástico relativo ao eixo de flexão 𝑧 do lado comprimido 𝑊𝑧𝑡 Módulo de resistência elástico relativo ao eixo de flexão 𝑧 do lado tracionado �̅�1,0 𝑖 Variável de projeto 𝑑 inicial para cada barra 𝑖 �̅�2,0 𝑖 Variável de projeto 𝑏𝑓 inicial para cada barra 𝑖 �̅�3,0 𝑖 Variável de projeto 𝑅 inicial para cada barra 𝑖 �̅�4,0 𝑖 Variável de projeto 𝑡𝑤 inicial para cada barra 𝑖 �̅�5,0 𝑖 Variável de projeto 𝑡𝑓 inicial para cada barra 𝑖 𝑿𝑖 Vetor com as variáveis de projeto da barra 𝑖 𝑿𝑏𝑖𝑛 𝑖 Variável de projeto em formato binário para cada barra 𝑖 𝑿0 𝑖 Ponto inicial para otimização pela PQS para cada barra 𝑖 𝑋1,𝑙𝑏,𝑢𝑏 𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑑 para cada barra 𝑖 𝑋2,𝑙𝑏,𝑢𝑏 𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑏𝑓 para cada barra 𝑖 𝑋3,𝑙𝑏,𝑢𝑏 𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑅 para cada barra 𝑖 𝑋4,𝑙𝑏,𝑢𝑏 𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑡𝑤 para cada barra 𝑖 𝑋5,𝑙𝑏,𝑢𝑏 𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑡𝑓 para cada barra 𝑖 𝑋1 Variável de projeto igual a 𝑑 para cada barra 𝑖 𝑋2 Variável de projeto igual a 𝑏𝑓 para cada barra 𝑖 𝑋3 Variável de projeto igual a 𝑅 para cada barra 𝑖 𝑋4 Variável de projeto igual a 𝑡𝑤 para cada barra 𝑖 𝑋5 Variável de projeto igual a 𝑡𝑓 para cada barra 𝑖 𝑿𝑙𝑏 Limite inferior da variável de projeto xii 𝑿𝑢𝑏 Limite superior da variável de projeto 𝑍𝑦 Módulo plástico para flexão em torno do eixo 𝑦 𝑍𝑧 Módulo plástico para flexão em torno do eixo 𝑧 Minúsculas Gregas 𝛼1 Parâmetro de correção da constante de torção 𝛽 Fator de redução da área bruta para seções submetidas a esforços de tração 𝛽1 Parâmetro para determinação do coeficiente de esbeltez correspondente ao início de escoamento 𝛾𝑎1 Coeficiente de ponderação da resistência para escoamento, flambagem e instabilidade 𝛾𝑎2 Coeficiente de ponderação da resistência para ruptura 𝛾𝑔 Coeficiente de ponderação das ações permanentes 𝛾𝑞 Coeficiente de ponderação da ação variável principal 𝛾𝑚 Coeficiente de ponderação das resistências 𝛾𝑀 Fator de agrupamento dos coeficientes de ponderação unificados para as ações permanentes características 𝜆𝑓 Parâmetro de esbeltez correspondente à mesa da seção 𝜆𝑤 Parâmetro de esbeltez correspondente à alma do perfil 𝜆0 Índice de esbeltez reduzido da barra 𝜆𝑝 Parâmetro de esbeltez correspondente a plastificação 𝜆𝑟 Parâmetro de esbeltes correspondente ao início de escoamento 𝜆 Parâmetro de esbeltez correspondente ao elemento do perfil (𝜆𝑓 para a mesa e 𝜆𝑤 para a alma) 𝜌𝑎ç𝑜 Peso específico do aço (7850 𝑘𝑔𝑓/𝑚 3) 𝜎𝑟 Tensão residual de compressão nas mesas, tomadas igual a 30% do 𝑓𝑦 𝜒 Fator de redução associado à resistência à compressão Ψ1 Fator de minoração para redução das ações variáveis secundárias Ψ0 Fator de minoração para combinação das ações variáveis secundárias xiii SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 15 1.1. GENERALIDADES ........................................................................................................................... 15 1.2. OBJETIVOS ...................................................................................................................................... 17 1.2.1. Objetivo Geral ...................................................................................................................... 17 1.2.2. Objetivos Específicos ......................................................................................................... 17 1.3. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................................... 17 2. REVISÃO BIBLIOGRÁGICA ........................................................................................... 19 2.1. ANÁLISE ESTRUTURAL DE PÓRTICO ESPACIAL ..................................................................... 19 2.1.1. Formulação matricial pelo Método dos Deslocamentos ......................................... 19 2.2. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS .................................................................................................. 24 2.2.1. Perfis Laminados I e H ...................................................................................................... 26 2.2.2. Perfis Soldados I e H .......................................................................................................... 28 2.3. CONDIÇÕES GERAIS DE PROJETO .............................................................................................. 30 2.3.1. Materiais ................................................................................................................................ 30 2.3.2. Segurança e Estados-Limites ........................................................................................... 32 2.3.3. Ações ....................................................................................................................................... 33 2.3.4. Resistências ........................................................................................................................... 35 2.3.5. Estabilidade e Análise Estrutural ................................................................................... 35 2.4. DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS EM AÇO ....................................................................... 36 2.4.1. Força Axial de Tração ....................................................................................................... 36 2.4.2. Força Axial de Compressão ............................................................................................. 37 2.4.3. Momento fletor Resistente de Cálculo ........................................................................... 42 2.4.4. Força Cortante Resistente de Cálculo .......................................................................... 49 2.4.5. Combinação de Esforços Solicitantes ........................................................................... 51 2.5. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ........................................................................................................ 51 2.5.1. Programação Quadrática Sequencial ........................................................................... 53 2.5.2. Algoritmo Genético ............................................................................................................. 54 3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ..................................................................................56 3.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ........................................................................................................... 56 3.2. FUNÇÃO OBJETIVO ....................................................................................................................... 56 3.3. RESTRIÇÕES DO PROBLEMA ....................................................................................................... 57 3.4. PROBLEMA COM VARIÁVEL CONTÍNUA .................................................................................. 60 3.5. PROBLEMA COM VARIÁVEL DISCRETA ................................................................................... 62 4. METODOLOGIA ................................................................................................................... 64 4.1. O PROGRAMA STRUCTURE3D .................................................................................................... 64 4.2. FLUXOGRAMA ................................................................................................................................ 75 5. EXEMPLOS COMPARATIVOS E RESULTADOS .................................................. 76 xiv 5.1. EXEMPLO 01 – VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORME E CONTENÇÃO LATERAL CONTÍNUA. ................................................................................................................................... 76 5.2. EXEMPLO 02 – PILAR COM CARGA AXIAL E FLEXÃO ASSIMÉTRICA .................................. 79 5.3. EXEMPLO 03 – OTIMIZAÇÃO DE 15 VIGAS BIAPOIADAS ...................................................... 86 5.4. EXEMPLO 04 – PÓRTICO ESPACIAL COM 16 BARRAS ............................................................ 92 6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES........................................................................................ 98 6.1. CONCLUSÕES .................................................................................................................................. 98 6.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ............................................................................... 99 7. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................... 101 APÊNDICES ...................................................................................................................................... 103 ANEXOS ............................................................................................................................................. 150 1. INTRODUÇÃO 1.1. Generalidades Quando se trata de estruturas de aço no Brasil, o mercado ainda possui relativamente um baixo volume de obras. De acordo com a última pesquisa feita pela ABCEM e o CBCA com dados de 2016, as principais dificuldades dos fabricantes de aço no Brasil, é o baixo volume de obras, a crise financeira e o baixo conhecimento do mercado. Porém, todos esses fatores são correlacionados, o que deixa pistas de que o mercado de estruturas metálicas no Brasil está prestes a prosperar. Dentro desta última pesquisa, obras de galpões, mezaninos e comerciais são as mais competitivas, cerca de 80% das obras de aço, devido à necessidade de velocidade de execução e praticidade que o sistema oferece. Estes tipos de estruturas são formados no geral por pórticos espaciais complexos, que são dimensionados em softwares comerciais. Os softwares de hoje, além de fazer a verificação dos elementos estruturais, começam a desenvolver métodos de otimização para o dimensionamento de estruturas. O CYPE (figura 1) é um software espanhol que verifica tanto estruturas de concreto armado, quanto estruturas metálicas. Um dos maiores desafios no desenvolvimento de um software que faz o dimensionamento de uma estrutura espacial é relacionar a análise estrutural com a resistência dos materiais. Para tornar esse desafio possível, é importante entender como funciona o processo de dimensionamento e como aplica-lo da melhor forma ao problema. Figura 1 Exemplo de Pórtico espacial modelado no programa comercial CYPE 3D Fonte: Autor (modelado no CYPE 3D) 16 O conceito de otimização é basicamente o que fazemos em todos os nossos dias de nossas vidas. O desejo de chegar primeiro em uma corrida, ganhar um debate, ou aumentar os lucros de uma corporação implica no desejo de fazer ou ser o melhor em algum sentido. Na engenharia, procura-se produzir “a melhor qualidade de vida possível com os recursos disponíveis”. Ainda no dimensionamento de novos produtos, devemos usar ferramentas que providenciam os resultados desejados com uma economia de custo e tempo. Basicamente, a otimização numérica é uma das ferramentas a disposição. (Vanderplaats, 1998) No desenvolvimento de um projeto estrutural, as etapas de análise e resistência operam juntas, com um objetivo de buscar um projeto de baixo custo. Além da economia de projeto, o ideal deve atender aos requisitos de qualidade e confiabilidade (Alves, 2017). A proposta ótima pode ser obtida quando a área da seção transversal do elemento feito de material homogêneo tende ao menor valor possível, obedecendo à qualidade e confiabilidade sob as condições de projeto. No que se refere ao o dimensionamento dos elementos estruturais em aço, será abordada a verificação à flexão assimétrica com cargas axiais de uma estrutura formada por pórticos espaciais segundo os critérios da NBR 8800:2008. Os tipos de perfis mais pertinentes para esforços ocasionados pela flexão são aqueles que possuem maior momento de inércia no plano da flexão, ou seja, perfis cuja maior parte da área da seção transversal está afastada da linha neutra. Dessa forma, idealiza-se uma seção que seja formada por duas chapas horizontais (superior e inferior) ligadas por uma chapa vertical central mais fina. Assim, as vigas em formato I são as mais praticáveis, pela facilidade de mercado, e alta resistência às limitações de flambagem. (Pfeil, 2015). Técnicas de otimização vem sendo cada vez mais exploradas no dimensionamento de estruturas metálicas, como pode ser visto em Novelli et al. (2015), Lubke et al. (2016), Unde (2016), Akbari et al. (2016), De Lazzari et al. (2017) entre outros. Em Cabas (2015) foi proposto o dimensionamento ótimo de pórticos espaciais, utilizando uma técnica baseada na Biogeography Optimization. Uma das técnicas de otimização abordada nesse projeto é a Programação Quadrática Sequencial. Esta técnica utiliza como base o método de Newton, e parte de um ponto inicial, presente na região de pesquisa. A partir de uma solução inicial, o método parte para a solução ótima de subproblemas quadráticos, para cada iteração. A cada passo, o problema é aproximado da solução ótima global, chegando assim na solução ótima do problema. A outra técnica abordada é o Algoritmo Genético. Este método resolve problemas com ou sem restrições, e se baseia no processo de seleção natural que imita a evolução biológica. Basicamente o algoritmo modifica a população repetidamente, selecionando indivíduos de forma aleatória para serem os pais de futuros filhos para a próxima geração da população. Após sucessivas gerações, a população converge para um único indivíduo, que é a solução ótima. 17 1.2. Objetivos 1.2.1. Objetivo Geral O objetivo geral deste projeto é criar um software capaz de otimizar o dimensionamento de pórticos espaciais, sob as condições possíveis de projeto, utilizando a NBR 8800:2008 como base para o dimensionamento, a Programação Quadrática Sequencial como formulação para a otimização determinística e o Algoritmo Genético como a formulação para a otimização probabilística. 1.2.2. Objetivos Específicos Propor rotinas de calculo para o dimensionamento à flexão assimétrica com cargas axiais de pórticos espaciais; Utilizar métodos de otimizaçãopara reduzir o peso da estrutura, e consequentemente minimizar o custo total; Integrar as rotinas, de dimensionamento e otimização em um programa de análise estrutural, a fim de unificar todo o processo, desde a análise até o dimensionamento ótimo da estrutura; Comparar os resultados obtidos com fontes externas, para validação da formulação e dos métodos utilizados; 1.3. Justificativa Primeiramente a utilização do aço em estruturas, apresenta inúmeras vantagens. Com o uso do aço, é possível ter liberdade no projeto de arquitetura, já que o seu uso permite obter inúmeras soluções com a possibilidade de elaboração de projetos arrojados. O uso do aço oferece maior grau de confiança ao engenheiro estrutural, já que o material é homogêneo e isotrópico, além de permitir uma elevada resistência e ductilidade, resistindo bem aos impactos e à alta concentração de tensões. No quesito sustentabilidade, o aço também leva vantagem. De acordo com Centro Brasileiro de Construção em Aço (CBCA) é possível obter uma redução do desperdício de materiais na obra, já que as estruturas de aço possibilitam a adoção de sistemas industrializados. Além disso, permite que o canteiro de obras seja mais limpo e organizado, reduzindo os grandes estoques de materiais, e contribuindo para um ambiente com melhores condições de segurança ao trabalhador. Outro fator ambiental importante do aço, é que ele é totalmente reciclável, e suas peças podem ser desmontadas e reaproveitadas. Outra vantagem é que a utilização de estruturas em aço pode reduzir o tempo de execução da obra em até 40% comparado com os processos convencionais e possui facilidade de reforço e ampliação, mostrando que o seu uso permite ter um alto grau de flexibilidade nos projetos. Adicionalmente, estruturas metálicas são mais leves que as convencionais, permitindo uma redução de até 30% do custo com a fundação. 18 De acordo com a pesquisa feita em 2016 pela Associação Brasileira da Construção Metálica (ABCEM) juntamente com o Centro Brasileiro da Construção em Aço (CBCA), o cenário dos fabricantes de estrutura de aço no Brasil deixa muito claro, que em 82,1% das obras em estruturas de aço, foi feita nos setores industriais e comerciais. Sendo que em 54,2% foram destinados apenas ao setor industrial, mas especificamente a obras de galpões e mezaninos. De acordo com os entrevistados pela ABCEM, as obras necessitavam de velocidade de execução e praticidade, o que é uma das vantagens do uso de estruturas metálicas. Grande parte das obras industriais é formada por pórticos espaciais com um grau de complexidade de médio a alto, e com condições de projeto bem específicas. Dessa forma, é justificável que projetos de pórticos espaciais em estruturas metálicas sejam um assunto relevante para um novo cenário econômico que está por vir. Um dos objetivos principais quando se fala em obras de construção, é a busca pelo menor custo. Já que a construção de estruturas em aço no Brasil possui um investimento um pouco mais elevado, comparado aos métodos convencionais, os processos de otimização na etapa de projeto irão proporcionar uma economia significativa no custo final de uma obra. Apesar dos novos softwares comerciais para estruturas já começarem a programar técnicas de otimização, ainda alguns softwares que já foram desenvolvidos não possuem essas técnicas, e os que possuem, não informam a garantia e o método utilizado. Assim, a importância em determinar uma formulação para se otimizar uma estrutura, se torna relevante. Dessa forma, aliando as vantagens da utilização do aço com a redução no gasto de execução de um projeto em estruturas de aço, torna-se a melhor opção custo benefício. 2. REVISÃO BIBLIOGRÁGICA 2.1. Análise Estrutural de Pórtico Espacial Para efeito de dimensionamento de estruturas, saber os esforços solicitantes é fundamental. A análise estrutural consiste na determinação dos esforços que estão atuando na estrutura. Estes esforços podem ser interpretados através de diagramas. Atualmente, em se tratando de análise e projeto estrutural, por mais simples que a estrutura venha a ser, os projetistas se deparam com softwares que efetuam os cálculos por meio do método dos elementos finitos e dentre outros. Não poderia ser diferente, pois este método representa uma das mais importantes realizações no campo dos métodos computacionais (Khennane, 2013). Para estruturas isostáticas, esse processo de determinar os esforços, fica simples, pois só leva em consideração as equações de equilíbrio de forças e momentos. Entretanto, quando se trata de estruturas hiperestáticas, as equações de equilíbrio são insuficientes para determinar os esforços. Dessa forma, é necessário partir para soluções e métodos mais elaborados. Neste trabalho será utilizado o método dos deslocamentos para a resolução dos pórticos espaciais. Este método consiste, primeiramente, na determinação dos deslocamentos e, em sequência, a determinação das reações. É um método bastante versátil, pois resolve tanto estruturas isostáticas, quanto hiperestáticas. Vale ressaltar que o número de equações é igual ao grau de indeterminação da estrutura, ou seja, é igual ao número de graus de liberdade da estrutura. 2.1.1. Formulação matricial pelo Método dos Deslocamentos A formulação matricial do método dos deslocamentos consiste em determinar os possíveis deslocamentos da estrutura, denominados graus de liberdade. Ao identificar os deslocamentos da estrutura, restringem-se esses deslocamentos obtendo o sistema principal de estrutura em análise. Sequencialmente, obtêm-se as ações de engasgamento perfeito provocada pelas cargas atuantes na estrutura. Assim, impondo um deslocamento unitário por vez nos pontos onde o deslocamento foi impedido no sistema principal de estrutura em análise, é possível obter os coeficientes de rigidez, que são numericamente iguais aos esforços que ocasionam esse deslocamento unitário. Ao fazer esse procedimento para cada nó da estrutura onde existe pelo menos um grau de liberdade, e fazer a superposição de todas essas equações geradas, como mostra na Figura 2, é possível chegar ao seguinte sistema de equações formulado na equação (1). 20 Figura 2 Ilustração da Formulação matricial do método dos deslocamentos (𝐷𝑗 = 𝑑𝑗). Fonte: Gomes Filho, H., e Garozi, (2014). { 𝐹𝑒1 + 𝐾11 × 𝑑1 +⋯+ 𝐾1 𝑗 × 𝑑𝑗 +⋯+ 𝐾1 𝑚 × 𝑑𝑚 = 𝐹𝑎1 ⋮ 𝐹𝑒𝑖 + 𝐾𝑖1 × 𝑑1 +⋯+ 𝐾𝑖 𝑗 × 𝑑𝑗 +⋯+ 𝐾𝑖 𝑚 × 𝑑𝑚 = 𝐹𝑎𝑖 ⋮ 𝐹𝑒𝑛 + 𝐾𝑛1 × 𝑑1 +⋯+ 𝐾𝑛 𝑚 × 𝑑𝑗 +⋯+ 𝐾𝑛 𝑚 × 𝑑𝑚 = 𝐹𝑎𝑛 (1) Para, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 e 𝑗 = 1, 2, 3, … ,𝑚. Onde 𝐹𝑒𝑖 são as ações de engasgamento perfeito; 𝐾𝑖𝑗 é o coeficiente de rigidez que é definido pelas reações aos deslocamentos unitários impostos; 𝑑𝑗 são os deslocamentos (iguais 21 a 𝐷𝑗 na Figura 2); 𝐹𝑎𝑖 as ações aplicadas nos nós, incluindo as reações de apoio; 𝑛 é o número máximo de ações aplicadas em um nó; 𝑚 é o número máximo de deslocamentos possíveis em um nó. Transformando a formulação proposta na equação (1) em uma análise matricial, é possível obter o seguinte sistema: {𝑭𝒆} + [𝑲𝓵]{𝒅} = {𝑭𝒂} (2) Onde [𝑲𝓵] é definido como a matriz de rigidez local. Essa matriz de rigidez é o parâmetro chave para a resolução do problema pelo método dos deslocamentos. Em um pórtico espacial, as barras podem ter posições quaisquer e ser submetidas a quaisquer dos seis esforços seccionais, como mostra na Figura 3. Dessa forma, a matriz de rigidez é obtida com a superposição dos termos das matrizes de rigidez para treliças, grelhas, e vigas. Esses coeficientes são determinados pela lei de Hooke e pela integração da linha elástica, aplicando as devidas condições de contorno. Figura 3 Esforços em um elemento barra espacial Fonte: Gomes Filho, H. e Garozi,(2014). Assim, a matriz de rigidez local do pórtico espacial, é obtida com a superposição dos efeitos de esforços axiais, flexão e torção. Alocando cada um dos termos relacionados aos 6 possíveis deslocamentos em um nó, e 12 possíveis esforços internos em uma barra, chega-se a matriz de rigidez local da barra de um pórtico espacial, ilustrado na Figura 4. 22 Figura 4 Matriz de rigidez local de uma barra de pórtico espacial. Fonte: Gomes Filho, H., e Garozi, (2014). Entretanto, em estruturas espaciais, é importante considerar a orientação da barra no espaço. Dessa forma, é necessária uma formulação matricial de transformação de coordenadas. Para isso, será definida a matriz de rotação espacial, definida pela matriz: [𝑹] = [ 𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧 −𝑐𝑥𝑐𝑦 √𝑐𝑥2+𝑐𝑧2 √𝑐𝑥2 + 𝑐𝑧2 −𝑐𝑦𝑐𝑧 √𝑐𝑥2+𝑐𝑧2 −𝑐𝑧 √𝑐𝑥2+𝑐𝑧2 0 𝑐𝑥 √𝑐𝑥2+𝑐𝑧2] (3) Caso 𝑐𝑥 = 0 e 𝑐𝑧 = 0, [𝑹] = [− 0 𝑐𝑦 0 𝑐𝑦 0 0 0 0 1 ] (4) Sendo: 𝑐𝑥 = 𝑥 √𝑥2+𝑦2+𝑧2 (5) 𝑐𝑦 = 𝑦 √𝑥2+𝑦2+𝑧2 (6) 𝑐𝑧 = 𝑧 √𝑥2+𝑦2+𝑧2 (7) 23 Onde 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são as coordenadas dos nós no espaço tridimensional, e 𝑐𝑥, 𝑐𝑦 e 𝑐𝑧 são os cossenos diretores de um vetor com as coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧). De forma gráfica, os cossenos diretores são vetores ortonormais que representam a orientação no eixo local da barra no espaço de três dimensões e podem ser mostrados na Figura 5. Para toda a formulação tanto para análise quanto para dimensionamento, os eixos locais de referência, serão sempre os definidos pelos cossenos diretores (Figura 5). Sendo que o eixo x o eixo longitudinal da barra, o eixo z como o eixo perpendicular a alma do perfil (eixo de maior momento de inércia) e por fim o eixo y como sendo o eixo perpendicular às mesas do perfil (eixo de menor momento de inércia). Figura 5 Eixos locais do elemento barra. Fonte: Autor Como o pórtico espacial possui uma matriz de rigidez de 12x12, a matriz de rotação do pórtico, deverá ser montada da seguinte forma: [𝑹𝒑] = [ [𝑹] [𝟎] [𝟎] [𝟎] [𝟎] [𝑹] [𝟎] [𝟎] [𝟎] [𝟎] [𝑹] [𝟎] [𝟎] [𝟎] [𝟎] [𝑹]] 12𝑥12 (8) Onde [𝟎] é a matriz nula de dimensão 3x3, e [𝑹𝒑] é a matriz de rotação do pórtico espacial. Assim, a matriz de rigidez de uma barra no sistema global de coordenadas, o qual é o sistema unificado e comum a todas as barras, é dado por: [𝑲𝒈]𝑖 = [𝑹𝑷] 𝑡[𝑲ℓ]𝑖[𝑹𝑷] (9) 24 Onde [𝑹𝑷]é a matriz de rotação do pórtico espacial (Eq. 8), [𝑲ℓ]𝑖 é a matriz de rigidez local da barra 𝑖 e [𝑲𝒈]𝑖 é a matriz de rigidez global da barra 𝑖. Portanto, a matriz de rigidez global da estrutura pode ser montada de acordo com o esquema montado na Figura 6. Onde 𝑚 e 𝑛 são os nós sequenciais em uma barra. Figura 6 Esquema de construção da matriz de rigidez global. Fonte: Gomes Filho e Garozi, (2014). Dessa forma, com a inversa da matriz de rigidez global de todas as barras, é possível determinar os deslocamentos através da equação (2). Sendo que na matriz de rigidez global deverá ser imposta rigidez infinita nas diagonais referentes a deslocamentos e/ou rotações impedidas. Com os deslocamentos e rotações de todos os nós, determinam-se as reações pela mesma equação (2), mas agora, com a matriz de rigidez global sem os infinitos na diagonal. Com as reações e deslocamentos, retorna-se para a matriz local das barras, e determina os esforços internos pela mesma formulação matricial dada pela equação (2). Com os esforços internos, é possível gerar os diagramas para verificação da estrutura quanto ao dimensionamento adotado. 2.2. Propriedades Geométricas Os perfis estruturais idealizados pelas condições de projeto neste trabalho e previstos na NBR 8800:2008 e ainda os que são mais utilizados na construção civil brasileira, podem ser subdivididos em dois grandes grupos: perfis laminados e perfis soldados. Neste item, serão definidas todas as propriedades geométricas, ambos para os perfis laminados e soldados, com formato I e H. Sequencialmente, a formulação para verificação de elementos estruturais em aço, de acordo com NBR 8800:2008, será apresentada abordando o dimensionamento às forças axiais, de tração e compressão, à flexão simples, à força cortante e à flexão assimétrica, além de outras prescrições da NBR 8800:2008. Toda a formulação ficará em função das propriedades geométricas aqui definidas, as quais dependem somente das variáveis de projeto estabelecida na Figura 7. 25 Na Figura 7 estão representados os perfis soldados e laminados, com as variáveis de projeto, atribuídas ao vetor 𝑿𝑖 que será mais detalhado no item 2.5 (Métodos de Otimização). É importante observar a simbologia geométrica de cada elemento do perfil, onde 𝑑 é a altura nominal do perfil, 𝑏𝑓 é a largura das mesas superior e inferior do perfil, 𝑅 é o raio de concordância (para perfis laminados), 𝑡𝑤 é a espessura da alma, 𝑡𝑓 é a espessura da mesa, ℎ é a distancia entre as faces internas das mesas e 𝑑′ é a altura da alma. Figura 7 Variáveis geométricas em perfil soldado e laminado I e H, e o vetor 𝑿. Fonte: Autor Na Figura 7, o perfil de menor altura nominal é o perfil laminado e o outro é um perfil soldado. De caráter geométrico, a única diferença notável na forma dos perfis laminados e soldados está na presença do raio de concordância (R). Por sua vez, os perfis soldados possuem dimensões maiores e uma maior variedade de possibilidades de dimensões, enquanto os laminados possuem uma dimensão mais limitada. Ainda, os perfis soldados possuem um custo de fabricação um pouco maior, sendo utilizados em situações onde não é possível aplicar os perfis laminados. 26 2.2.1. Perfis Laminados I e H Os perfis laminados são aqueles obtidos por um processo de transformação mecânica de metais chamado laminação. Nesse processo, a forma de um corpo metálico é alterada para torná-lo adequado a determinada aplicação. O processo de laminação é feito a quente, com temperaturas superiores a 1.000 ºC. Neste processo, a seção da placa ou do perfil é reduzida com o giro de cilindros dispostos em todas as direções, os quais formam uma seção que diminui gradativamente, com o objetivo de formar a seção desejada. Os cilindros são dispostos em direções opostas e em pares, os quais giram em sentidos opostos e movem a peça alongada de aço por arrastamento, devido às forças de atrito. Durante a passagem pelos cilindros, a peça é comprimida pelos cilindros na direção transversal, com o objetivo de homogeneizar a peça e alongar no sentido longitudinal (Fakury, 2016). A Figura 8 mostra a disposição dos cilindros na produção de uma chapa laminada. Figura 8 Processo de Laminação do Aço. Fonte: Associação Brasileira do Alumínio Dentre os a perfis laminados de seção aberta como o I, H, U e L e os de chapas e barras redondas, será dado um enfoque maior em perfis I e H de faces paralelas. Estes possuem essa denominação, pois a face interna das mesas é paralela à externa. Estes perfis são inspirados na padronização norte-americana e europeia, e são produzidos pela GERDAU, utilizando em sua maioria o aço ASTM A572-Grau 50. Estes perfis foram projetados para terem boas propriedades geométricas para uso estrutural em relação ao volume de aço consumido. Os perfis I laminados são mais pertinentes a ser utilizado para flexão simples em torno do eixo x, o qual por referencia é o eixo de maior momento de inércia. Estes possuem altura de 150 mm até aproximadamente 610 mm e são especificados pela letra W (wide flange), seguido pela sua altura nominal em milímetros e a sua massa em quilogramas por metro (exemplo: W 460 x 89). Os perfis H por sua vez, são mais indicados para compressão, associados com flexão, situação bem comum em pilares. Este tipo de seçãopossui momento de inércia significativo nos dois eixos principais do perfil, devido à largura das mesas serem bem próximas da altura nominal da seção, a qual varia de 150 mm a 360 mm. Perfis H laminados são indicados tanto 27 pela letra W quanto pelas letras HP (perfis HP possuem uma particularidade de possuírem as espessuras de mesas e almas iguais ou bem próximas). Os perfis laminados I e H de abas paralelas utilizados neste trabalho são encontrados no catálogo de bitolas da GERDAU, e estão em anexo neste trabalho. As expressões para as propriedades geométricas descritas nas equações (10) a (24), podem ser encontradas em Pfeil (2015), Fakury (2016) e De Lazzari e Alves (2017). Entretanto, dentre essas referências, somente De Lazzari et al. (2017) inclui a contribuição das áreas delimitadas pelo raio de concordância. Os parâmetros de esbeltez correspondente à mesa (Eq. 10) e à alma (Eq. 11) da seção podem ser determinados de acordo com a NBR 8800:2008 pelas equações abaixo. 𝜆𝑓 = 𝑏𝑓 2𝑡𝑓 (10) 𝜆𝑤 = ℎ 𝑡𝑤 (11) Sendo que os valores de 𝑑, 𝑏𝑓, 𝑅, 𝑡𝑤 e 𝑡𝑓 podem ser obtidos de acordo com a Figura 7. A área da seção transversal do perfil (Eq. 12) fica definida por: 𝐴𝑏 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + ℎ𝑡𝑤 + 𝑅 2(4 − 𝜋) (12) O momento de inércia em relação ao eixo de maior momento de inércia (Eq. 13), definido como o eixo 𝑧 (figura 5), pode ser formulado como a soma das parcelas referente às mesas e alma do perfil, mais a parcela referente a uma área quadrada de lado 𝑅 nas interseções entre a mesa e a alma e subtraindo-se da parcela referente à área de um quarto de circulo de raio 𝑅. 𝐼𝑧 = ℎ3𝑡𝑤+𝑏𝑓(𝑑 3−ℎ3) 12 + 𝑅 6 (ℎ3 − 𝑑′3) − 𝜋𝑅2 ( 𝑅2 4 + 𝑑′ 2 4 + 𝑑′ 4𝑅 3𝜋 ) (13) O módulo de resistência elástico do lado comprimido e tracionado da seção, relativo ao eixo de flexão, 𝑧 (Eq. 14) é defino como a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo 𝑧 dividido pela distancia do centroide até a fibra extrema com maiores tensões de compressão e/ou tração. Os módulos de tração e compressão são iguais, já que a seção é duplamente simétrica. 𝑊𝑧𝑐 = 𝑊𝑧𝑡 = 𝐼𝑧 𝑑 2⁄ (14) O raio de giração em relação ao eixo 𝑧 (Eq. 15) fica definido como raiz quadrada da razão do momento de inércia em relação ao eixo 𝑧 pela área bruta do perfil. 𝑟𝑧 = √ 𝐼𝑧 𝐴𝑏 (15) A última propriedade relativa ao eixo 𝑧 é o módulo plástico para flexão em torno do eixo 𝑧 (Eq. 16). 𝑍𝑧 = 𝑏𝑓(𝑑 2−ℎ2)+𝑡𝑤ℎ 2 4 + 𝑅2 [2(𝑑′ + 𝑅) − 𝜋 ( 𝑑′ 2 + 4𝑅 3𝜋 )] (16) O momento de inércia em relação ao eixo 𝑦 (Eq. 17) é dado por: 𝐼𝑦 = 2𝑡𝑓𝑏𝑓 3+𝑑′𝑡𝑤 3 12 + 𝑅(2𝑅+𝑡𝑤) 3 6 − 𝜋𝑅2 4 [𝑅2 + (2𝑅 + 𝑡𝑤) (2𝑅 + 𝑡𝑤 − 16𝑅 3𝜋 )] (17) 28 O módulo de resistência elástico do lado comprimido e tracionado da seção, relativo ao eixo de flexão, 𝑦 (Eq. 18), fica definido por: 𝑊𝑦𝑐 = 𝑊𝑦𝑡 = 𝐼𝑦 𝑏𝑓 2 ⁄ (18) O raio de giração em relação ao eixo 𝑦 (Eq. 19) fica definido como raiz quadrada da razão do momento de inércia em relação ao eixo 𝑦 pela área bruta do perfil. 𝑟𝑦 = √ 𝐼𝑦 𝐴𝑏 (19) O módulo plástico para flexão em torno do eixo 𝑦 (Eq. 20) pode ser determinado por: 𝑍𝑦 = 𝑡𝑓𝑏𝑓 2 2 + ℎ 𝑡𝑤 2 4 + 𝑅2 [2(𝑅 + 𝑡𝑤) − 𝜋 (𝑅 − 4𝑅 3𝜋 + 𝑡𝑤 2 )] (20) A constante de empenamento (Eq. 21) pode ser aproximada pela expressão: 𝐶𝑤 = 𝐼𝑦(𝑑−𝑡𝑓) 2 4 (21) O momento de inércia à torção pura (Eq. 22), também chamado de constante de torção, pode ser apresentado de forma precisa para perfis laminados I e H de abas paralelas, pela seguinte formulação sugerida por De Lazzari e Alves (2017). 𝐽 = 1 3 (2𝑏𝑓𝑡𝑓 3 + ℎ𝑡𝑤 3 ) + 2𝛼1𝐷1 4 − 0,420𝑡𝑓 4 (22) Onde: 𝛼1 = −0,042 + 0,2204 𝑡𝑤 𝑡𝑓 + 0,1355 𝑅 𝑡𝑓 − 0,0865 𝑡𝑤𝑅 𝑡𝑓 2 − 0,0725 𝑡𝑤 2 𝑡𝑓 2 (23) 𝐷1 = (𝑡𝑓+𝑅) 2 +𝑡𝑤(𝑅+ 𝑡𝑤 4 ) 2𝑅+𝑡𝑓 (24) 2.2.2. Perfis Soldados I e H O outro grande grupo de perfis estruturais abordados pela NBR 8800:2008 são os perfis soldados. Estes por sua vez, são formados por dois ou mais perfis laminados, unidos continuamente por meio de solda elétrica. Como já foi dito, são mais requisitados quando há a necessidade de seções com dimensões maiores que os laminados disponíveis. Os perfis mais comuns e abordados neste trabalho são os perfis I e H, os quais são prescritos pela norma NBR 5884:2005 e são encontrados em quatro séries: serie CS, série VS, série CVS e série VSM. A série CS (colunas soldadas) são perfis H destinados a pilares, por terem a largura de mesa igual à altura do perfil, que varie entre 150 mm e 750 mm. A série VS (vigas soldadas) são perfis I apropriados a resistirem à flexão de forma mais efetiva, possuindo um momento de inércia com valores mais significativos no eixo de maior momento de inércia. A altura dos perfis da serie VS variam de 150 mm até 2.000 mm. A série CVS (colunas-vigas soldadas) por sua vez são perfis intermediários entre I e H e são mais usuais em situações de esforços combinados, com altura variando de 150 mm a 1.000 mm. E por 29 fim, a série VSM (vigas soldadas monossimétricas) utilizadas principalmente em vigas mistas. (Fakury, 2016) A nomenclatura dos perfis soldados é dada de acordo com a sua série. Deve ser utilizado o símbolo CS, VS, CVS ou VSM, seguido da altura em milímetros e da massa por unidade de comprimento (exemplo: CVS 350 x 98). Nos casos de perfis soldados não padronizados, devem ser utilizadas a nomenclatura de PS e PSM, para perfis soldados duplamente simétricos e monossimétricos, respectivamente. Outra nomenclatura para denominação de perfis soldados é utilizando o símbolo I ou H, seguido da altura, largura das mesas, espessura das mesas e espessura da alma (exemplo: I 500 x 300 x 16 x 8). Os perfis soldados I e H utilizados neste trabalho são encontrados na NBR 5884:2005 e estão em anexo neste trabalho. Além disso, toda a formulação é encontrada na mesma norma brasileira. As expressões para as propriedades geométricas, Equações (25) a (35) são apresentadas na referida norma. Pode-se notar que algumas das formulações podem ser obtidas com a formulação proposta para os perfis laminados, quando o raio de concordância é igual à zero. Os valores de 𝑑, 𝑏𝑓, 𝑡𝑤 e 𝑡𝑓 podem ser obtidos de acordo com a Figura 7. 𝐴𝑏 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + ℎ𝑡𝑤 + 𝑅 2(4 − 𝜋) (25) 𝐼𝑧 = ℎ3𝑡𝑤+𝑏𝑓(𝑑 3−ℎ3) 12 (26) 𝑊𝑧𝑐 = 𝑊𝑧𝑡 = 𝐼𝑧 𝑑 2⁄ (27) 𝑟𝑧 = √ 𝐼𝑧 𝐴𝑏 (28) 𝑍𝑧 = 𝑏𝑓(𝑑 2−ℎ2)+𝑡𝑤ℎ 2 4 (29) 𝐼𝑦 = 2𝑡𝑓𝑏𝑓 3+𝑑′𝑡𝑤 3 12 (30) 𝑊𝑦𝑐 = 𝑊𝑦𝑡 = 𝐼𝑦 𝑏𝑓 2 ⁄ (31) 𝑟𝑦 = √ 𝐼𝑦 𝐴𝑏 (32) 𝑍𝑦 = 𝑡𝑓𝑏𝑓 2 2 + ℎ 𝑡𝑤 2 4 (33) 𝐶𝑤 = 𝑏𝑓 3𝑡𝑓 12 (𝑑−𝑡𝑓) 2 2 (34) 𝐽 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 3+(𝑑−𝑡𝑓)𝑡𝑤 3 3 (35) É importante destacar que os perfis soldados possuem cordões de solda entre a mesa e a alma do perfil. Entretanto essa área não é considerada no cálculo das propriedades geométricas. Os índices de esbeltez da mesa (𝜆𝑓) e da alma (𝜆𝑤) para perfis soldados podem ser pelas equações (10) e (11), utilizando as variáveis definidas na Figura 7. 30 2.3. Condições Gerais de Projeto Serão tratados nessa seção todos os principais assuntos envolvidos em um projeto de estruturas de aço que se aplicam a este trabalho, de acordo com a NBR 8800:2008. 2.3.1. Materiais De acordo com a NBR 8800:2008, o aço estrutural aprovado para uso, são aqueles com qualificação assegurada por norma brasileira (Tabela 1) ou especificação estrangeira (Tabela 2). Entretanto, o aço não pode ter resistência ao escoamento acima de 450 MPa e relação entre tensão de ruptura (𝑓𝑢) e tensão de escoamento (𝑓𝑦) inferior a 1,18. Tabela 1 Aços especificados por norma brasileira para uso estruturalª Fonte: NBR 8800:2008, Anexo A Materiais e produtos estruturais devem possuir identificação adequada, especificandoo tipo ou grau, devendo atender aos seguintes métodos: certificados de qualidade e marcas legíveis de acordo com os padrões das normas correspondentes. 31 Tabela 2 Aços de uso frequente especificados pela ASTM para uso estrutural Fonte: NBR 8800:2008, Anexo A Para efeito de calculo, a norma NBR 8800:2008, recomenda os seguintes valores para as propriedades mecânicas do aço estrutural: a) Módulo de Elasticidade: 𝐸 = 200.000 𝑀𝑃𝑎; b) Coeficiente de Poisson: 𝜈 = 0,3; c) Módulo de Elasticidade Transversal: 𝐺 = 77 000 𝑀𝑃𝑎; d) Coeficiente de Dilatação Térmica: 𝛽 = 1,2. 10−5 ℃−1; e) Massa Específica: 𝜌𝑎ç𝑜 = 7 850 𝑘𝑔/𝑚 3. 32 2.3.2. Segurança e Estados-Limites A norma NBR 8800:2008 abrange os critérios de segurança baseados na NBR 8681:2003. Como critério de segurança, a NBR 8800:2008 considera os estados-limites últimos (ELU) e os estados-limites de serviço (ELS), exigindo que nenhum estado-limite seja excedido, caso contrário à estrutura não estará apta para atender aos objetivos de projeto. Os ELU estão relacionados às combinações mais desfavoráveis de ações, e a sua ocorrência significa colapso estrutural total ou parcial. Enquanto os ELS estão relacionados com o desempenho da estrutura sob condições normais de utilização. A verificação quanto aos ELU é feita considerando que a razão entre os valores de cálculo dos esforços solicitantes e os correspondentes esforços resistentes seja menor que 1. 𝑆𝑑 𝑅𝑑 ≤ 1 (36) A verificação quanto aos ELS é feita considerando que a razão entre os valores dos efeitos estruturais de interesse, com os valores-limites adotados para esses efeitos (valores definidos pela NBR 8800:2008) seja menor que 1. 𝑆𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑙𝑖𝑚 ≤ 1 (37) Se o efeito estrutural analisado é o deslocamento excessivo, os valores de 𝑆𝑚𝑎𝑥 são obtidos com a deformada da estrutura, já 𝑆𝑙𝑖𝑚 pode ser obtido de acordo com a tabela 3 extraída do Anexo C da NBR 8800:2008. 33 Tabela 3 Deslocamentos Limites (𝑆𝑙𝑖𝑚) Fonte: NBR 8800:2008 2.3.3. Ações Segundo a variabilidade com o tempo, as ações podem ser definidas em permanentes, variáveis e excepcionais. Ações permanentes são aquelas que atuam com valores praticamente constantes durante toda a vida útil da edificação ou que crescem ao longo do tempo, tendendo a um valor-limite constante. Como exemplo, têm-se as ações constituídas pelo peso próprio, instalações permanentes, deslocamentos de apoios, entre outras. Ações variáveis são aquelas que apresentam variações significativas durante toda a vida útil da construção. Entre elas estão às ações decorrentes de uso e ocupação da edificação, ações do vento, variação de temperatura e entre outras. Já as ações excepcionais, são definidas por ações com duração 34 extremamente curta e probabilidade muito baixa de ocorrência, como por exemplo, as ações ocasionadas por explosões, choques de veículos, abalos sísmicos, entre outras. Durante análise estrutural, deve ser considerado o comportamento dos esforços solicitantes. Os valores fornecidos pelas normas e especificações para as ações são de modo geral, valores característicos. Esses valores característicos são valores de ocorrência média de determinada ação. Dessa forma, esse valor característico difere um pouco dos valores máximos que as ações atuantes em uma estrutura podem ocorrer. Todas as ações atuantes em um modelo estrutural devem, por sua vez, ser majorados. Essa majoração considera incertezas envolvendo os valores característicos adotados. Essas inexatidões estão associadas às incertezas obtidas na análise estrutural, que utiliza modelos ideais, especialmente relacionadas às dimensões das peças e grau de rigidez das ligações entre barras e apoios. A fim de combinar todas as ações possíveis atuantes na estrutura, a NBR 8800:2008 usa como referência a NBR 8681 na ponderação de todas as ações atuantes na estrutura. A combinação última normal de ações é dada por: 𝐶𝑢𝑙𝑡 = ∑ (𝛾𝑔𝑖𝐴𝐺𝑖,𝑘) 𝑚 𝑖=1 + 𝛾𝑞1𝐴𝑄1,𝑘 + ∑ (𝛾𝑞𝑗Ψ0𝑗𝐴𝑄𝑗,𝑘) 𝑛 𝑗=2 (38) onde 𝛾𝑔𝑖 é o coeficiente de ponderação das ações permanentes, 𝐴𝐺𝑖,𝑘; 𝛾𝑞1 é o coeficiente de ponderação da ação variável principal 𝐴𝑄1,𝑘; 𝛾𝑞𝑗 é o coeficiente de ponderação das demais ações variáveis, e Ψ0𝑗 é p fator de combinação. Já para os estados-limites de serviço, as combinações de ações podem ser quase permanentes, frequentes e raras, de acordo com a sua permanência na estrutura. A combinação que fornece os maiores valores de deslocamentos é a rara, dada por: 𝐶𝑟𝑎𝑟,𝑠𝑒𝑟 = ∑ (𝐴𝐺𝑖,𝑘) 𝑚 𝑖=1 + 𝐴𝑄1,𝑘 + ∑ (Ψ1𝑗𝐴𝑄𝑗,𝑘) 𝑛 𝑗=2 (39) onde Ψ1𝑗 é o fator de combinação. A NBR 8800:2008 permite o agrupamento das ações com um único coeficiente de ponderação. A Tabela 4 apresenta os coeficientes de ponderação para ações agrupadas. Tabela 4 Coeficiente de ponderação unificado das ações permanentes e variáveis Fonte: Fakury, 2016. 35 2.3.4. Resistências Para determinação dos esforços resistentes de cálculo é necessário dividir os esforços característicos resistentes por coeficientes de ponderação da resistência, de forma a reduzir ou manter o valor característico. Assim, os esforços resistentes são dados por: 𝑓𝑑 = 𝑓𝑘 𝛾𝑚 (40) sendo 𝛾𝑚 o coeficiente de ponderação, que inclui: variabilidade da resistência dos materiais envolvidos, diferença entre resistência do material no corpo-de-prova da estrutura e desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências. Na tabela 5 são apresentados os coeficientes de acordo com a combinação de ações. Tabela 5 Coeficientes de Ponderação das Resistências 𝛾𝑚 para ELU Fonte: NBR 8800:2008 Para os ELS, a NBR 8800:2008 estabelece que os limites não necessitem de minoração, dessa forma, 𝛾𝑚 = 1,0. 2.3.5. Estabilidade e Análise Estrutural A análise estrutural tem o objetivo de determinar os efeitos ocasionados pelas ações. Dessa forma é importante que a análise seja feita de forma mais realista possível, mostrando todos os efeitos resultantes na estrutura. O tipo de análise estrutural pode ser determinado de acordo com considerações do material e dos efeitos dos deslocamentos. A norma brasileira de projeto de estruturas de aço cita que a análise de segunda ordem dever ser usada sempre que os deslocamentos afetarem de forma significativa os esforços internos. Para isso, a análise pode ser feita com base em teorias geometricamente exatas, teorias aproximadas ou adaptações a resultados da teoria de primeira ordem. A NBR 8800:2008 traz o Método da Amplificação dos Esforços Solicitantes (MAES), como uma análise aproximada de segunda ordem, levando em conta o efeito 𝑃∆ e 𝑃𝛿. 36 2.4. Dimensionamento de Elementos em Aço 2.4.1. Força Axial de Tração Em edifícios de aço, barras tracionadas aparecem compondo treliças planas que funcionam como vigas de piso e de cobertura (tesouras de cobertura), treliças espaciais, geralmente empregadas em coberturas de edificações que precisam de grande área livre, treliças de pilares e em tirantes e pendurais que transferem cargas gravitacionais de um piso para componentes estruturais situados em nível superior. Para o dimensionamento aos ELU de barras solicitadas somente a tração, é preciso que seja respeitada a seguinte relação: 𝑁𝑡,𝑆𝑑 𝑁𝑡,𝑅𝑑 ≤ 1 (41) sendo 𝑁𝑡,𝑆𝑑 a força normal de tração solicitante de cálculo e 𝑁𝑡,𝑅𝑑 a força normal de tração resistente de cálculo, considerando os estados-limites últimos de escoamento da seção bruta e ruptura da seção líquida. A força axial resistente de cálculo é determinada pela menor capacidade resistente entre os dois estados-limites aplicáveis. Dessa forma, para o estado limite de escoamento da seçãobruta, tem-se: 𝑁𝑡,𝑅𝑑𝐸 = 𝐴𝑏𝑓𝑦 𝛾𝑎1 (42) onde 𝐴𝑏 é a área bruta do perfil definido pela equação (12) para perfis laminados ou (25) para perfis soldados, 𝑓𝑦 é a tensão de escoamento do aço estrutural, definido pelas tabelas 1 e/ou tabela 2. O 𝛾𝑎1 é o coeficiente de ponderação das resistências, definido pela tabela 5. Como as barras tracionadas não estão sujeitas a instabilidade, a propriedade geométrica mais importante no dimensionamento é a área da seção transversal. Assim, deve-se considerar a área de trabalho dessas barras ao longo de todo o seu eixo. A área na região da ligação pode ser inferior à área da seção bruta, devido à presença de furos e devido à distribuição não uniforme das tensões na região da ligação. Assim, para o estado-limite da ruptura da seção líquida, tem-se: 𝑁𝑡,𝑅𝑑𝑅 = 𝐴𝑒𝑓𝑢 𝛾𝑎2 (43) 𝐴𝑒 = 𝛽 𝐴𝑏 (44) 𝛽 = 𝐶𝑡 𝐴𝑛 𝐴𝑏 (45) A área 𝐴𝑒 é a área efetiva, que fica em função da área líquida 𝐴𝑛 e do coeficiente de redução 𝐶𝑡. Considerou-se um fator β de redução da área bruta, Equação (45), não descrito na NBR 8800:2008, para que a análise de otimização, por simplicidade, não considere as diversas formas de ligação entre os elementos. Assim, um único coeficiente, β, leva em consideração os furos na seção e o coeficiente de redução. Desta forma, fica simples definir a área efetiva da seção líquida apenas com um fator, que varia de 0 a 1 37 A equação (43) possui um coeficiente de ponderação da resistência maior (𝛾𝑎2 = 1,35, 𝛾𝑎1 = 1,10), isso é devido ao fato do estado-limite de ruptura da seção líquida expressar um maior nível de incerteza quanto ao valor da capacidade resistente característica. Ainda, para seções submetidas a forças de tração, deve ser verificada a limitação do índice de esbeltez. Essa recomendação tem o objetivo de que as barras tracionadas fiquem demasiadamente flexíveis e possam apresentar deformações excessivas devido a choques ou peso próprio da estrutura e também podem apresentar vibrações de grande intensidade, causando desconforto aos usuários (Fakury, 2016). Dessa forma, o índice de esbeltez fica limitado a 300, sendo a maior relação entre o comprimento destravado 𝐿𝑡 e o raio de giração 𝑟. ( 𝐿𝑡 𝑟 ) 𝑚𝑎𝑥 ≤ 300 (46) 2.4.2. Força Axial de Compressão No dimensionamento de elementos comprimidos, um dos modos de colapso é a instabilidade global da barra, dotada de curvatura inicial. O outro modo de colapso é a flambagem local da mesa e da alma do perfil. A condição a ser atendida para o dimensionamento de barras prismáticas com seção I ou H comprimidas é: 𝑁𝑐,𝑆𝑑 𝑁𝑐,𝑅𝑑 ≤ 1 (47) onde 𝑁𝑐,𝑆𝑑 é a força axial de compressão solicitante de cálculo e 𝑁𝑐,𝑅𝑑 é a força axial de compressão resistente de cálculo definido por: 𝑁𝑐,𝑅𝑑 = 𝜒𝑄𝐴𝑏𝑓𝑦 𝛾𝑎1 (48) sendo 𝐴𝑏 a área bruta da seção definido pelas equações (12) e (25), 𝑓𝑦 a tensão de escoamento definido pelas tabelas 1 e 2, e 𝛾𝑎1 o coeficiente de ponderação da resistência, igual a 1,10. A equação (48) apresenta dois fatores: fator de redução associado à resistência à compressão, 𝜒 e fator de redução total associado à flambagem local, 𝑄. Fator de redução 𝝌: Esse fator redutor considera a influência das tensões residuais e da curvatura inicial na capacidade resistente da barra. Ele é obtido por meio de ensaios laboratoriais e análises numéricas. De acordo com a NBR 8800:2008, para barras com curvatura inicial de geometria praticamente senoidal e deslocamento transversal no meio da barra da ordem de L/500, têm-se: Para 𝜆0 ≤ 1,5 𝜒 = 0,658𝜆0 2 (49) Para 𝜆0 > 1,5 𝜒 = 0,877 𝜆0 2 (50) 38 Sendo que 𝜆0 o índice de esbeltez reduzido da barra, dado por: 𝜆0 = √ 𝑄𝐴𝑏𝑓𝑦 𝑁𝑒 (51) Onde 𝑁𝑒 é a força axial de flambagem elástica, obtido para barras prismáticas com seção de dupla simetria. Essa força axial deverá ser calculada para flambagem por flexão em relação ao eixo local central principal de inércia z e y, e para flambagem por torção em relação ao eixo local longitudinal x, conforme as equações (52) a (54). 𝑁𝑒𝑧 = 𝜋2𝐸𝐼𝑧 (𝑘𝑧𝐿)2 (52) 𝑁𝑒𝑦 = 𝜋2𝐸𝐼𝑦 (𝑘𝑦𝐿) 2 (53) 𝑁𝑒𝑥 = 1 𝑟02 [ 𝜋2𝐸𝐶𝑤 (𝑘𝑥𝐿)2 + 𝐺𝐽] (54) sendo 𝐸 o módulo de elasticidade do aço, definido no item 2.3.1; 𝐼𝑧 o momento de inércia em relação ao eixo de maior momento de inércia, definido pelas equações (13) e (26); 𝐼𝑦 o momento de inercial em relação ao eixo de menor momento de inércia, definido pelas equações (17) e (30); 𝐿 o comprimento da barra; 𝐶𝑤 o constante de empenamento definido pelas equações (21) e (34); 𝐺 o módulo de elasticidade transversal do aço definido no item 2.3.1; 𝐽 a constante de torção da seção transversal definido pelas equações (22) e (35); 𝑟0 o raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de cisalhamento dado por: 𝑟0 = √𝑟𝑧2 + 𝑟𝑦2 + 𝑧02 + 𝑦02 (55) Onde 𝑟𝑧 e 𝑟𝑦 são os raios de giração em relação aos eixos principais z e y definidos pelas equações (15), (28) e (19), (32). Já 𝑧0 e 𝑦0 são as coordenadas do centro de cisalhamento na direção dos eixos centrais z e y, que neste caso para perfis I e H, são nulos, já que o centro de cisalhamento coincide com o centro geométrico. Ainda nas equações para determinar a carga de flambagem elástica, tem-se 𝑘𝑧 e 𝑘𝑦 que são os coeficientes de flambagem por flexão. Esses coeficientes são fornecidos pela NBR 8800:2008 em valores teóricos ou recomendados (usados quando não possa assegurar a perfeição do engaste), para elementos isolados, tabela 6. Entretanto, esses valores de coeficientes de flambagem por flexão devem ser tomados iguais a 1,00 para elementos contraventados e em barras das subestruturas de contraventamento, quando forem analisados os efeitos de segunda ordem. 39 Tabela 6 Coeficiente de flambagem por flexão de elementos isolados Fonte: NBR 8800:2008, Anexo E Na equação (54), o valor de 𝑘𝑥 é o coeficiente de flambagem por torção. Este valor pode ser tomado igual a 1,0 quando ambas as extremidades da barra possuem rotação em relação ao eixo longitudinal impedida e empenamento livre, ou igual a 2,0 quando uma das extremidades da barra possui rotação em relação ao eixo longitudinal e empenamento livre, e a outra possui rotação e empenamento impedidos, ou iguais a 0,7 quando uma das extremidades da barra possui rotação em relação ao eixo longitudinal impedida e empenamento livre, e a outra possui rotação e empenamento impedidos, ou iguais a 0,5 quando ambas as extremidades da barra possuem rotação em relação ao eixo longitudinal e empenamento impedido. Assim, o valor de 𝑁𝑒 adotado para o cálculo do índice de esbeltez reduzido, será o menor valor entre 𝑁𝑒𝑧, 𝑁𝑒𝑦 e 𝑁𝑒𝑥. Fator de redução total 𝑸: Esse fator de redução é dado pelo produto de dois coeficientes, equação (56). Esses coeficientes levam em conta o efeito da flambagem local nos elementos constituintes do perfil. 𝑄 = 𝑄𝑠𝑄𝑎 (56) Assim é necessário classificar os elementos constituintes da seção transversal. De acordo com a NBR 8800:2008, a mesa dos perfis I e H são classificados como elementos AL (apenas uma borda longitudinal vinculada) associado ao coeficiente 𝑄𝑠 e a alma dos perfis I e H são classificadas como elementos AA (duas bordas longitudinais vinculadas) associado ao 40 coeficiente 𝑄𝑎. Cada elemento tem uma relação 𝑏/𝑡 que deverá ser comparada com (𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 definido pela tabela 7. Tabela 7 Valores de (𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 para cálculo dos fatores de redução para elementos AA e AL. Fonte: NBR 8800:2008, Anexo F. Para o cálculo do coeficiente 𝑄𝑠, relativo aos elementos comprimidos AL, é utilizado duas formulações, uma para os perfis soldados e outra para os laminados. A mesa dos perfis laminados refere-se ao grupo 4 da tabela 7. Assim, a
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