Desenvolvimento de Software para DImensionamento Otimizado de Porticos Espaciais em Estruturas de Metalicas

Estruturas de Aço I

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UFES

João Alfredo De Lazzari

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Estruturas de Aço I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROJETO DE GRADUAÇÃO
Vitória – ES
Dezembro / 2017

DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA
DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE PÓRTICOS
ESPACIAIS EM ESTRUTURAS METÁLICAS

JOÃO ALFREDO DE LAZZARI

Vitória – ES
Dezembro / 2017

DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA
DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE PÓRTICOS
ESPACIAIS EM ESTRUTURAS METÁLICAS

Projeto de graduação do aluno João Alfredo
de Lazzari, apresentado ao Departamento de
Engenharia Civil do Centro Tecnológico da
Universidade Federal do Espírito Santo, para
obtenção do grau de bacharel em Engenharia
Civil.

JOÃO ALFREDO DE LAZZARI

DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA
DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE PÓRTICOS
ESPACIAIS EM ESTRUTURAS METÁLICAS

Parte manuscrita do Projeto de graduação do aluno João Alfredo de Lazzari,
apresentado ao Departamento de Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade
Federal do Espírito Santo, para obtenção do grau de bacharel em Engenharia Civil.

COMISSÃO EXAMINADORA:

Prof. Dr. Elcio Cassimiro Alves
Universidade Federal do Espírito Santo
Orientador

Prof.ª Dr.ª Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani
Universidade Federal do Espírito Santo
Co-orientadora

Prof. Dr. Macksuel Soares de Azevedo
Universidade Federal do Espírito Santo
Examinador

Me. Francesco Mayer Sias
Universidade Federal do Espírito Santo
Examinador

Vitória – ES, 19 de Dezembro de 2017.

Dedico esse projeto a Deus, aos meus pais, aos
familiares, aos amigos e aos mestres e doutores
do curso de Engenharia Civil da UFES.

RESUMO
Na engenharia procuram-se soluções com qualidade, confiabilidade e acessibilidade. Dessa
forma, otimizando os custos para determinada atividade, atendendo aos requisitos de
qualidade e confiabilidade, obtém-se o que pode ser chamado de proposta ótima. Na
engenharia estrutural, mas especificamente em projetos de estruturas metálicas, sabe-se que
qualquer redução no peso da estrutura é considerado em um ganho econômico significativo.
Portanto, as técnicas de otimização são ferramentas de grande utilidade quando se quer obter
uma solução confiável e de baixo custo. O presente trabalho tem o objetivo de desenvolver
um software de dimensionamento ótimo para pórticos espaciais em estruturas metálicas com
perfis I e H laminados e soldados. O software desenvolvido na plataforma do Graphical User
Interface Development Environment do MATLAB utiliza uma metodologia determinística
para soluções com variável contínua e outra probabilística para soluções com variável
discreta. Toda a rotina de dimensionamento, será baseada na norma Brasileira NBR
8800:2008 e as técnicas de otimização utilizadas são a Programação Quadrática Sequencial e
o Algoritmo Genético. A Programação Quadrática Sequencial é um modelo matemático que a
partir de soluções de subproblemas quadráticos converge para uma solução ótima, com uma
solução com variável contínua. Já o Algoritmo Genético, é um modelo probabilístico que se
baseia no processo de seleção natural que imita a evolução biológica. A abordagem para a
otimização da estrutura, será feita com base na definição da função a ser otimizada e das
funções de restrições. Para a validação do software desenvolvido será proposto à comparação
com quatro exemplos. Dois desses exemplos estão na literatura, que envolve na verificação de
uma viga com contenção lateral e um pilar submetido a esforços combinados. Mais dois
outros exemplos serão comparados com as soluções sugeridas pelo dimensionamento do
programa comercial CYPE 3D. Uma que envolve na otimização de 15 vigas e outro que é a
verificação e otimização de um pórtico espacial de com 16 barras de dois andares com 3
metros de pé direito e 10 metros por 10 metros no plano. Os resultados serão apresentados em
formas de tabelas, gráficos e figuras do software desenvolvido e concluído com comentários
sobre os resultados e sugestões para trabalhos futuros.

Palavras-chave: Dimensionamento Ótimo, Estruturas Metálicas, Pórtico Espacial, Softwares,
Análise Estrutural.

iii

ABSTRACT
There is always a seeking for solutions with quality, reliability and accessibility on
engineering. In this way, it can be reached to a solution that can be called as the optimum
proposal when the cost for some activity is optimized, attending to the requisites for quality and
reliability. Every single reduction on the weight of a structure is considered a significant
economic save, on steel structures, since their cost per weight is high. Therefore, optimization
technics are strong tools when the seek is for reliability and low cost. The present paper has the
objective of developing an optimal design software for tridimensional steel frames with I and H
sections of hot-rolled and welded steel. The software was developed on the Graphical User
Interface Development Environment from MATLAB, and uses deterministic optimization
methodology for solution with continuous variable, and a probabilistic optimization methodology
for solution with discrete variable. All the routine for the design was based on the Brazilian
standard, NBR 8800:2008, and the optimization technics used are the Sequential Quadratic
Programming and Genetic Algorithm. The SQP is a mathematical model that begins with an
initial point and after evaluating the solution of small simple quadratic problems in each iteration,
it will converge to an optimal point. In addition, the GA method is a probabilistic model that is
based on the natural selection that imitates the biological evolution. The formulation for the
structure optimization will be made by defining the objective function and the constraints. For the
validation of the developed software, it will be proposed a comparison of four examples. Two of
these examples are found on the literature, and are the verification of a beam with lateral bracing
and a column with combined loads. Two more examples will be compared with solutions
suggested by the CYPE 3D commercial software, which are an optimization of 15 beams, and
verification and optimization of a tridimensional frame with 2 floors, 3 meters of celling height
and 10 by 10 meters on plane. The results will be present on tables, graphs and print screens of the
developed software. To conclude, it will be provide commentaries about the results and some
suggestions for future projects.

Keywords: Optimal Design, Steel Structures, Tridimensional Steel Frames, Software, Structural
Analysis.

LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 EXEMPLO DE PÓRTICO ESPACIAL MODELADO NO PROGRAMA COMERCIAL CYPE 3D 15
FIGURA 2 ILUSTRAÇÃO DA FORMULAÇÃO MATRICIAL DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
(𝐷𝑗 = 𝑑𝑗). ......................................................................................................................... 20
FIGURA 3 ESFORÇOS EM UM ELEMENTO BARRA ESPACIAL ........................................................ 21
FIGURA 4 MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DE UMA BARRA DE PÓRTICO ESPACIAL. .......................... 22
FIGURA 5 EIXOS LOCAIS DO ELEMENTO BARRA. ........................................................................ 23
FIGURA 6 ESQUEMA DE CONSTRUÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL. ................................... 24
FIGURA 7 VARIÁVEIS GEOMÉTRICAS EM PERFIL SOLDADO E LAMINADO I E H, E O VETOR 𝑿. .... 25
FIGURA 8 PROCESSO DE LAMINAÇÃO DO AÇO. ......................................................................... 26
FIGURA 9 VALORES DOS MOMENTOS PARA O CÁLCULO DO 𝐶𝑏. ................................................ 47
FIGURA 10 BARRA COM MESA TRAVADA E CARREGAMENTO COM SENTIDO DESSA MESA PARA A
LIVRE. ................................................................................................................................47
FIGURA 11 BARRA COM MESA TRAVADA E CARREGAMENTO COM SENTIDO DA MESA LIVRE PARA
ESSA MESA. ........................................................................................................................ 48
FIGURA 12 DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DOS TRÊS TIPOS DE FILHOS. ........................................... 55
FIGURA 13 POPULAÇÃO NAS GERAÇÕES 60, 80, 95 E 100. ......................................................... 55
FIGURA 14 MENU ARQUIVO DO PROGRAMA STRUCTURE3D ...................................................... 64
FIGURA 15 INTERFACE PRINCIPAL DO PROGRAMA STRUCTURE3D COM INFORMAÇÕES SOBRE O
PROGRAMA ........................................................................................................................ 65
FIGURA 16 MENU BARRA DO PROGRAMA STRUCTURE3D .......................................................... 65
FIGURA 17 INTERFACE DA SELEÇÃO DOS PERFIS CATALOGADOS ............................................... 66
FIGURA 18 INTERFACE PARA A DEFINIÇÃO DAS PROPRIEDADES DO MATERIAL DA BARRA ......... 67
FIGURA 19 INTERFACE PARA DEFINIR OS COEFICIENTES DE FLAMBAGEM POR COMPRESSÃO ..... 67
FIGURA 20 INTERFACE PARA DEFINIR OS DADOS REFERENTES A FLAMBAGEM LATERAL DA
BARRA ............................................................................................................................... 68
FIGURA 21 INTERFACE PARA DEFINIR OS DESLOCAMENTOS LIMITES DE CADA BARRA EM CADA
PLANO ................................................................................................................................ 69
FIGURA 22 INTERFACE COM PROPRIEDADES ADICIONAIS RELACIONADAS AO DIMENSIONAMENTO
DA ESTRUTURA .................................................................................................................. 70
FIGURA 23 INTERFACE QUE MOSTRA A VERIFICAÇÃO DA ESTRUTURA PARA OS SEUS ESTADOS
LIMITES .............................................................................................................................. 71
FIGURA 24 ACESSO AOS MÉTODOS PQS E AG PELO MENU RESULTADOS ................................... 71
FIGURA 25 INTERFACE PARA A OTIMIZAÇÃO DETERMINÍSTICA UTILIZANDO O PQS. ................. 72
FIGURA 26 INTERFACE QUE MOSTRA OS PERFIS ÓTIMOS ENCONTRADOS NA OTIMIZAÇÃO ......... 72
FIGURA 27 INTERFACE QUE OFERECE AJUDA AO USUÁRIO SOBRE O MÉTODO DO PQS .............. 73
FIGURA 28 INTERFACE PARA A OTIMIZAÇÃO PROBABILÍSTICA UTILIZANDO O AG. ................... 73
FIGURA 29 INTERFACE QUE ILUSTRA O PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO PELO AG ........................... 74
FIGURA 30 INTERFACE QUE OFERECE AJUDA AO USUÁRIO SOBRE O MÉTODO DO AG ................ 74
FIGURA 31 FLUXOGRAMA DO STRUCTURE3D PARA OTIMIZAÇÃO ............................................. 75

FIGURA 32 VERIFICAÇÃO DE BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE
DISTRIBUÍDO EM DOIS SENTIDOS E COM MESA SUPERIOR COM CONTENÇÃO LATERAL
CONTÍNUA. ......................................................................................................................... 76
FIGURA 33 VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO DE 50 KN/M
E COM CONTENÇÃO LATERAL CONTÍNUA NA MESA SUPERIOR, MODELADA NO
STRUCTURE3D .................................................................................................................. 77
FIGURA 34 VERIFICAÇÃO DE BARRA FLEXO-COMPRIMIDA EM PERFIL I SOLDADO. .................... 80
FIGURA 35 DIMENSÕES E PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS IMPORTANTES DA SEÇÃO
TRANSVERSAL. .................................................................................................................. 80
FIGURA 36 PILAR COM CARGA AXIAL DE COMPRESSÃO E FLEXÃO ASSIMÉTRICA, MODELADO NO
STRUCTURE3D. ................................................................................................................. 81
FIGURA 37 DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES PARA A BARRA 1. ................................. 81
FIGURA 38 DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES PARA A BARRA 2. ................................. 82
FIGURA 39 RESULTADOS DA VERIFICAÇÃO PELO PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO DO
STRUCTURE3D. ................................................................................................................. 84
FIGURA 40 CONFIGURAÇÕES INICIAIS E CRITÉRIO DE PARADA DO AG PARA PILAR SUBMETIDO A
COMBINAÇÃO DE ESFORÇOS ............................................................................................... 85
FIGURA 41 PERFIS ÓTIMOS PARA PILAR SUBMETIDO A ESFORÇOS COMBINADOS ....................... 86
FIGURA 43 COMPARAÇÃO GRÁFICA DA RESISTÊNCIA EFETIVA. ................................................. 91
FIGURA 44 COMPARAÇÃO GRÁFICA DA DEFORMAÇÃO EFETIVA. ............................................... 91
FIGURA 45 PÓRTICO ESPACIAL MODELADO NO PROGRAMA COMERCIAL CYPE 3D .................. 92
FIGURA 46 PÓRTICO ESPACIAL MODELADO NO PROGRAMA STRUCTURE3D .............................. 93
FIGURA 47 GRÁFICO DE DISPERSÃO COM AS VERIFICAÇÕES DO CYPE 3D E DO STRUCTURE3D
.......................................................................................................................................... 94
FIGURA 48 GRÁFICOS DE CONVERGÊNCIA DO AG ..................................................................... 95
FIGURA 49 COMPARAÇÃO DO DIMENSIONAMENTO DO CYPE 3D COM OS MÉTODOS DE
OTIMIZAÇÃO AG E PQS ..................................................................................................... 97

LISTA DE TABELAS
TABELA 1 AÇOS ESPECIFICADOS POR NORMA BRASILEIRA PARA USO ESTRUTURALª ...................................... 30
TABELA 2 AÇOS DE USO FREQUENTE ESPECIFICADOS PELA ASTM PARA USO ESTRUTURAL ............................ 31
TABELA 3 DESLOCAMENTOS LIMITES (𝑆𝑙𝑖𝑚) ...................................................................................... 33
TABELA 4 COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO UNIFICADO DAS AÇÕES PERMANENTES E VARIÁVEIS ........................ 34
TABELA 5 COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS RESISTÊNCIAS 𝛾𝑚 PARA ELU ............................................ 35
TABELA 6 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM POR FLEXÃO DE ELEMENTOS ISOLADOS .......................................... 39
TABELA 7 VALORES DE 𝑏/𝑡𝑙𝑖𝑚 PARA CÁLCULO DOS FATORES DE REDUÇÃO PARA ELEMENTOS AA E AL. ......... 40
TABELA 8 PARÂMETROS REFERENTES AO MOMENTO FLETOR RESISTENTE .................................................. 43
TABELA 9 ESFORÇOS SOLICITANTES DE CÁLCULO MÁXIMO DA VIGA COM CONTENÇÃO LATERAL CONTÍNUA NA
MESA SUPERIOR ..................................................................................................................... 77
TABELA 10 ESFORÇOS RESISTENTES DE CÁLCULO DA VIGA COM CONTENÇÃO LATERAL CONTÍNUA NA MESA
SUPERIOR ............................................................................................................................. 78
TABELA 11 PERFIS OTIMIZADOS PELA METODOLOGIA DO AG E DO PQS, IMPLEMENTADO NO STRUCTURE3D,
PARA CARREGAMENTO GRAVITACIONAL DE 50 KN/M .................................................................... 78
TABELA 12 COMPARAÇÃO DA VERIFICAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS AG E PQS COM OS RESULTADOS DO FAKURY
(2016), PARA CARREGAMENTO GRAVITACIONAL DE 50 KN/M ........................................................ 79
TABELA 13 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS......................................... 82
TABELA 14 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DOS ESFORÇOS RESISTENTES DE CÁLCULO. ............................... 83
TABELA 15 COMPARAÇÃO DA OTIMIZAÇÃO DISCRETA DO CYPE3D COM O AG. ......................................... 87
TABELA 16 COMPARAÇÃO DAS MASSAS LINEARES ENTRE O CYPE3D, AG E PQS. ...................................... 88
TABELA 17 VALORES DA VARIÁVEL DE PROJETO OTIMIZADA PELO MÉTODO DO PQS. ................................... 89
TABELA 18 COMPARAÇÃO DA RESISTÊNCIA RELATIVA/EFETIVA E DEFORMAÇÃO RELATIVA/EFETIVA. ............... 90
TABELA 19 COMPARAÇÃODA VERIFICAÇÃO AOS ESFORÇOS COMBINADOS ENTRE O CYPE 3D E O STRUCTURE3D.
.......................................................................................................................................... 94
TABELA 20 COMPARAÇÃO DO PESO (KG) DA ESTRUTURA ENTRE OS MÉTODOS DO CYPE 3D E O STRUCTURE3D
.......................................................................................................................................... 96
TABELA 21 DIMENSÕES DOS PERFIS DO PÓRTICO ESPACIAL OTIMIZADOS ................................................... 96

vii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
AA Elementos Apoiados Apoiados, duas bordas longitudinais vinculadas
ABCEM Associação Brasileira de Construção Metálica
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
AG Algoritmo Genético
AISC American Institute of Steel Construction
AL Elementos Apoiados Livres, apenas uma borda longitudinal vinculada
ANSI American National Standards Institute
ASTM American Society for Testing and Materials
BFGS Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (método aproximado da matriz Hessiana)
CBCA Centro Brasileiro da Construção em Aço
CS Colunas Soldadas
CVS Colunas e Vigas Soldadas
CYPE Software espanhol para Engenharia e Construção
ELS Estado-Limite de Serviço
ELU Estado-Limite Último
GA Genetic Algorithm
GERDAU Denominação da empresa siderúrgica brasileira também conhecida como
Grupo Gerdau.
GUIDE Graphical User Interface Development Environment
MATLAB Matrix Laboratory
MAES Método de Amplificação dos Esforços Solicitantes
NBR Norma Brasileira
PQS Programação Quadrática Sequencial
SQP Sequential Quadratic Programming
UFES Universidade Federal do Espírito Santo
VS Vigas Soldadas

viii

LISTA DE SÍMBOLOS
Minúsculas Romanas

𝑎 Distancia entre enrijecedores
𝑏𝑓 Largura da mesa do perfil
𝑐𝑥 Cosseno diretor de um vetor em relação ao eixo global x
𝑐𝑦 Cosseno diretor de um vetor em relação ao eixo global y
𝑐𝑧 Cosseno diretor de um vetor em relação ao eixo global z
𝑑 Distancia da face superior da mesa superior à face inferior da mesa inferior
𝒅 Vetor com os deslocamentos nodais de um elemento barra
𝑑’ Altura livre da alma (sem os raios de concordância, ℎ − 2𝑅 ).
𝑓𝑎𝑝𝑡𝑖𝑑ã𝑜 Função aptidão para o Algoritmo Genético
𝑓𝑑 Resistência de cálculo de um material
𝑓𝑘 Resistência característica de um material
𝑓𝑙𝑖𝑚 Flecha limite
𝑓𝑚𝑎𝑥 Flecha máxima
𝑓𝑦 Resistência ao escoamento do aço
𝑔(𝑿) Função de restrições por inequações lineares e não lineares
𝑔𝐶𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de perfis CS para cada barra 𝑖
𝑔𝐶𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de perfis CVS para cada barra 𝑖
𝑔EL
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições aos estados-limites para cada barra 𝑖
𝑔𝑒𝑛𝑟
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições a enrijecedores para cada barra 𝑖
𝑔𝑔𝑒𝑜
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas para cada barra 𝑖
𝑔𝑘𝑐
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas relacionadas ao fator 𝑘𝑐 para cada barra 𝑖
𝑔𝑙𝑎𝑚
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de perfis laminados para cada barra 𝑖
𝑔𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de perfis VS para cada barra 𝑖
𝑔𝑤
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições de perfis de alma esbelta para cada barra 𝑖
𝑔𝜆
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas relacionadas ao índice de esbeltez para cada
barra
ℎ(𝑿) Função de restrições por igualdades lineares e não lineares
ℎ𝐶𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade de perfis CS para cada barra 𝑖
ℎ𝐶𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade de perfis CVS para cada barra 𝑖
ℎ𝑔𝑒𝑜
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade para cada barra 𝑖
ℎ𝑙𝑎𝑚
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade de perfis laminados para cada
barra 𝑖
ℎ𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) Função de restrições geométricas de igualdade de perfis VS para cada barra 𝑖
ℎ Distancia da face inferior da mesa superior à face superior da mesa inferior
𝑘𝑐 Coeficiente para elementos AL de perfis soldados

𝑘𝑣 Fator amplificador do parâmetro de esbeltez
𝑘𝑥 Coeficiente de flambagem por torção em relação ao eixo local longitudinal x
𝑘𝑦 Coeficiente de flambagem por flexão em relação ao eixo local y
𝑘𝑧 Coeficiente de flambagem por flexão em relação ao eixo local z
𝑟0 Raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de cisalhamento
𝑟𝑦 Raio de giração em torno de 𝑦
𝑟𝑧 Raio de giração em torno de 𝑧
𝑡𝑓 Espessura da mesa
𝑡𝑤 Espessura da alma
𝑥 Eixo local longitudinal da barra
𝑦 Eixo local perpendicular à mesa do perfil
𝑦0 Coordenadas do centro de cisalhamento na direção do eixo central y
𝑧 Eixo local perpendicular à alma do perfil
𝑧0 Coordenadas do centro de cisalhamento na direção do eixo central z

Maiúsculas Romanas

𝐴𝑏 Área bruta
𝐴𝑒 Área efetiva
𝐴𝐺,𝑘 Ação permanente característica
𝐴𝑛 Área líquida
𝐴𝑄,𝑘 Ação variável característica
𝐴𝑤 Área efetiva de cisalhamento
𝐁 Aproximação positiva definida da matriz Hessiana da função de Lagrange
𝐶𝑏 Fator de modificação da resistência à flexão para o diagrama não uniforme de
momento fletor
𝐶𝑢𝑙𝑡 Combinação última de ações
𝐶𝑢𝑛𝑖,𝑢𝑙𝑡 Combinação última de ações com coeficientes de ponderação unificados
𝐶𝑢𝑛𝑖,𝑠𝑒𝑟 Combinação de serviço com coeficientes de ponderação unificados
𝐶𝑟𝑎𝑟,𝑠𝑒𝑟 Combinação rara de serviço
𝐶𝑤 Constante de empenamento
𝐶𝑡 Coeficiente de redução
𝐷1 Parâmetro de correção da constante de torção
𝐸 Modulo de elasticidade do aço (200 GPa).
𝑭𝒂 Vetor de ações aplicadas nos nós da estrutura, incluindo as reações de apoio
𝑭𝒆 Vetor de ações de engasgamento perfeito
𝐹(𝑿) Função a ser otimizada
𝐹(𝑿)𝑃𝑄𝑆 Função objetivo para o PQS
𝐹(𝑿𝑏𝑖𝑛)𝐴𝐺 Função Aptidão para o AG
𝐼𝑦 Momento de inércia em relação ao eixo 𝑦

𝐼𝑧 Momento de inércia em relação ao eixo 𝑧
𝐽 Constante de torção
𝑲𝓵 Matriz de rigidez local
𝑲𝒈 Matriz de rigidez global
𝐿 Comprimento do elemento barra
𝐿𝑏 Comprimento destravado da viga
𝑀0 Momento com maior possibilidade de comprimir a mesa livre
𝑀1 Momento fletor solicitante de cálculo na outra extremidade
𝑀1
∗ Momento fletor solicitante de cálculo igual a 𝑀1, porém tomado igual a zero
se tracionar a mesa livre
𝑀2 Momento fletor na seção central do comprimento destravado
𝑀𝐴 Momento fletor a uma distância de 25% do comprimento da viga em relação a
um dos pontos de contenção lateral
𝑀𝐵 Momento fletor a uma distância de 50% do comprimento da viga em relação a
um dos pontos de contenção lateral
𝑀𝐶 Momento fletor a uma distância de 75% do comprimento da viga em relação a
um dos pontos de contenção lateral
𝑀𝑐𝑟 Momento crítico de flambagem elástica
𝑀𝑑,𝑒𝑙𝑎 Momento fletor para a validade da análise elastica
𝑀𝑚á𝑥 Momento fletor máximo no trecho da viga em módulo
𝑀𝑝𝑙 Momento de plastificação total da seção
𝑀𝑟 Momento de início de escoamento considerando as tensões residuais
𝑀𝑅𝑑 Momento resistente de cálculo
𝑀𝑅𝑑,𝐹𝐿𝐴 Momento fletor resistente de cálculo para o estado limite de flambagem local
da alma
𝑀𝑅𝑑,𝐹𝐿𝑀 Momento fletor resistente de cálculo para o estado limite de flambagem local
da mesa
𝑀𝑅𝑑,𝐹𝐿𝑇 Momento fletor resistente de cálculo para o estado limite de flambagem lateral
com torção
𝑀𝑆𝑑 Momento solicitante de cálculo
𝑁𝑐,𝑅𝑑 Força axial de compressão resistente de cálculo
𝑁𝑐,𝑆𝑑 Força axial de compressão solicitante de cálculo
𝑁𝑒 Força axial de flambagem elástica
𝑁𝑒𝑥 Força axial de flambagem elástica por torção em relação ao eixo longitudinal x
𝑁𝑒𝑦 Força axial de flambagem elástica por flexão em relação ao eixo local y
𝑁𝑒𝑧 Força axial de flambagem elástica por flexão em relação ao eixo local z
𝑁𝑡,𝑅𝑑𝐸 Forçaaxial resistente de cálculo para escoamento da seção bruta
𝑁𝑡,𝑅𝑑𝑅 Força axial resistente de cálculo para ruptura da seção líquida
𝑄(𝑺) Função objetivo do método do PQS
𝑄 Fator de redução total associado à flambagem local

𝑄𝑎 Fator de redução associado a elementos comprimidos AA
𝑄𝑠 Fator de redução associado a elementos comprimidos AL
𝑅 Raio de concordância entre a alma e a mesa da seção
𝑹 Matriz de rotação
𝑅𝑑 Valores de cálculo dos esforços resistentes correspondentes aos atuantes
𝑹𝒑 Matriz de rotação do pórtico espacial
𝐒 Matriz com as componentes das variáveis de projeto
𝑆𝑑 Valores de cálculo dos esforços atuantes
𝑆𝑙𝑖𝑚 Valores-limites adotados para os efeitos estruturais de interesse para o ELS
𝑆𝑚𝑎𝑥 Valores referentes ao ELS que representa os efeitos estruturais de interesse.
𝑉𝑆𝑑 Força cortante solicitante de cálculo
𝑉𝑅𝑑 Força cortante resistente de cálculo
𝑉𝑝𝑙 Força cortante de plastificação da alma
𝑊𝑥𝑐 Módulo de resistência elástico do lado comprimido e tracionado da seção,
relativo ao eixo de flexão, 𝑥
𝑊𝑦𝑐 Módulo de resistência elástico relativo ao eixo de flexão 𝑦 do lado comprimido
𝑊𝑦𝑡 Módulo de resistência elástico relativo ao eixo de flexão 𝑦 do lado tracionado
𝑊𝑧𝑐 Módulo de resistência elástico relativo ao eixo de flexão 𝑧 do lado comprimido
𝑊𝑧𝑡 Módulo de resistência elástico relativo ao eixo de flexão 𝑧 do lado tracionado
�̅�1,0
𝑖 Variável de projeto 𝑑 inicial para cada barra 𝑖
�̅�2,0
𝑖 Variável de projeto 𝑏𝑓 inicial para cada barra 𝑖
�̅�3,0
𝑖 Variável de projeto 𝑅 inicial para cada barra 𝑖
�̅�4,0
𝑖 Variável de projeto 𝑡𝑤 inicial para cada barra 𝑖
�̅�5,0
𝑖 Variável de projeto 𝑡𝑓 inicial para cada barra 𝑖
𝑿𝑖 Vetor com as variáveis de projeto da barra 𝑖
𝑿𝑏𝑖𝑛
𝑖 Variável de projeto em formato binário para cada barra 𝑖
𝑿0
𝑖 Ponto inicial para otimização pela PQS para cada barra 𝑖
𝑋1,𝑙𝑏,𝑢𝑏
𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑑 para cada barra 𝑖
𝑋2,𝑙𝑏,𝑢𝑏
𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑏𝑓 para cada barra 𝑖
𝑋3,𝑙𝑏,𝑢𝑏
𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑅 para cada barra 𝑖
𝑋4,𝑙𝑏,𝑢𝑏
𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑡𝑤 para cada barra 𝑖
𝑋5,𝑙𝑏,𝑢𝑏
𝑖 Limite superior e inferior da variável 𝑡𝑓 para cada barra 𝑖
𝑋1 Variável de projeto igual a 𝑑 para cada barra 𝑖
𝑋2 Variável de projeto igual a 𝑏𝑓 para cada barra 𝑖
𝑋3 Variável de projeto igual a 𝑅 para cada barra 𝑖
𝑋4 Variável de projeto igual a 𝑡𝑤 para cada barra 𝑖
𝑋5 Variável de projeto igual a 𝑡𝑓 para cada barra 𝑖
𝑿𝑙𝑏 Limite inferior da variável de projeto

xii

𝑿𝑢𝑏 Limite superior da variável de projeto
𝑍𝑦 Módulo plástico para flexão em torno do eixo 𝑦
𝑍𝑧 Módulo plástico para flexão em torno do eixo 𝑧

Minúsculas Gregas

𝛼1 Parâmetro de correção da constante de torção
𝛽 Fator de redução da área bruta para seções submetidas a esforços de tração
𝛽1 Parâmetro para determinação do coeficiente de esbeltez correspondente ao
início de escoamento
𝛾𝑎1 Coeficiente de ponderação da resistência para escoamento, flambagem e
instabilidade
𝛾𝑎2 Coeficiente de ponderação da resistência para ruptura
𝛾𝑔 Coeficiente de ponderação das ações permanentes
𝛾𝑞 Coeficiente de ponderação da ação variável principal
𝛾𝑚 Coeficiente de ponderação das resistências
𝛾𝑀 Fator de agrupamento dos coeficientes de ponderação unificados para as ações
permanentes características
𝜆𝑓 Parâmetro de esbeltez correspondente à mesa da seção
𝜆𝑤 Parâmetro de esbeltez correspondente à alma do perfil
𝜆0 Índice de esbeltez reduzido da barra
𝜆𝑝 Parâmetro de esbeltez correspondente a plastificação
𝜆𝑟 Parâmetro de esbeltes correspondente ao início de escoamento
𝜆 Parâmetro de esbeltez correspondente ao elemento do perfil (𝜆𝑓 para a mesa e
𝜆𝑤 para a alma)
𝜌𝑎ç𝑜 Peso específico do aço (7850 𝑘𝑔𝑓/𝑚
3)
𝜎𝑟 Tensão residual de compressão nas mesas, tomadas igual a 30% do 𝑓𝑦
𝜒 Fator de redução associado à resistência à compressão
Ψ1 Fator de minoração para redução das ações variáveis secundárias
Ψ0 Fator de minoração para combinação das ações variáveis secundárias

xiii

SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 15
1.1. GENERALIDADES ........................................................................................................................... 15
1.2. OBJETIVOS ...................................................................................................................................... 17
1.2.1. Objetivo Geral ...................................................................................................................... 17
1.2.2. Objetivos Específicos ......................................................................................................... 17
1.3. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................................... 17
2. REVISÃO BIBLIOGRÁGICA ........................................................................................... 19
2.1. ANÁLISE ESTRUTURAL DE PÓRTICO ESPACIAL ..................................................................... 19
2.1.1. Formulação matricial pelo Método dos Deslocamentos ......................................... 19
2.2. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS .................................................................................................. 24
2.2.1. Perfis Laminados I e H ...................................................................................................... 26
2.2.2. Perfis Soldados I e H .......................................................................................................... 28
2.3. CONDIÇÕES GERAIS DE PROJETO .............................................................................................. 30
2.3.1. Materiais ................................................................................................................................ 30
2.3.2. Segurança e Estados-Limites ........................................................................................... 32
2.3.3. Ações ....................................................................................................................................... 33
2.3.4. Resistências ........................................................................................................................... 35
2.3.5. Estabilidade e Análise Estrutural ................................................................................... 35
2.4. DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS EM AÇO ....................................................................... 36
2.4.1. Força Axial de Tração ....................................................................................................... 36
2.4.2. Força Axial de Compressão ............................................................................................. 37
2.4.3. Momento fletor Resistente de Cálculo ........................................................................... 42
2.4.4. Força Cortante Resistente de Cálculo .......................................................................... 49
2.4.5. Combinação de Esforços Solicitantes ........................................................................... 51
2.5. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ........................................................................................................ 51
2.5.1. Programação Quadrática Sequencial ........................................................................... 53
2.5.2. Algoritmo Genético ............................................................................................................. 54
3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ..................................................................................56
3.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ........................................................................................................... 56
3.2. FUNÇÃO OBJETIVO ....................................................................................................................... 56
3.3. RESTRIÇÕES DO PROBLEMA ....................................................................................................... 57
3.4. PROBLEMA COM VARIÁVEL CONTÍNUA .................................................................................. 60
3.5. PROBLEMA COM VARIÁVEL DISCRETA ................................................................................... 62
4. METODOLOGIA ................................................................................................................... 64
4.1. O PROGRAMA STRUCTURE3D .................................................................................................... 64
4.2. FLUXOGRAMA ................................................................................................................................ 75
5. EXEMPLOS COMPARATIVOS E RESULTADOS .................................................. 76

xiv

5.1. EXEMPLO 01 – VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORME E CONTENÇÃO
LATERAL CONTÍNUA. ................................................................................................................................... 76
5.2. EXEMPLO 02 – PILAR COM CARGA AXIAL E FLEXÃO ASSIMÉTRICA .................................. 79
5.3. EXEMPLO 03 – OTIMIZAÇÃO DE 15 VIGAS BIAPOIADAS ...................................................... 86
5.4. EXEMPLO 04 – PÓRTICO ESPACIAL COM 16 BARRAS ............................................................ 92
6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES........................................................................................ 98
6.1. CONCLUSÕES .................................................................................................................................. 98
6.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ............................................................................... 99
7. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................... 101
APÊNDICES ...................................................................................................................................... 103
ANEXOS ............................................................................................................................................. 150

1. INTRODUÇÃO

1.1. Generalidades

Quando se trata de estruturas de aço no Brasil, o mercado ainda possui relativamente
um baixo volume de obras. De acordo com a última pesquisa feita pela ABCEM e o CBCA
com dados de 2016, as principais dificuldades dos fabricantes de aço no Brasil, é o baixo
volume de obras, a crise financeira e o baixo conhecimento do mercado. Porém, todos esses
fatores são correlacionados, o que deixa pistas de que o mercado de estruturas metálicas no
Brasil está prestes a prosperar. Dentro desta última pesquisa, obras de galpões, mezaninos e
comerciais são as mais competitivas, cerca de 80% das obras de aço, devido à necessidade de
velocidade de execução e praticidade que o sistema oferece. Estes tipos de estruturas são
formados no geral por pórticos espaciais complexos, que são dimensionados em softwares
comerciais.
Os softwares de hoje, além de fazer a verificação dos elementos estruturais, começam a
desenvolver métodos de otimização para o dimensionamento de estruturas. O CYPE (figura 1)
é um software espanhol que verifica tanto estruturas de concreto armado, quanto estruturas
metálicas. Um dos maiores desafios no desenvolvimento de um software que faz o
dimensionamento de uma estrutura espacial é relacionar a análise estrutural com a resistência
dos materiais. Para tornar esse desafio possível, é importante entender como funciona o
processo de dimensionamento e como aplica-lo da melhor forma ao problema.

Figura 1 Exemplo de Pórtico espacial modelado no programa comercial CYPE 3D

Fonte: Autor (modelado no CYPE 3D)

O conceito de otimização é basicamente o que fazemos em todos os nossos dias de
nossas vidas. O desejo de chegar primeiro em uma corrida, ganhar um debate, ou aumentar os
lucros de uma corporação implica no desejo de fazer ou ser o melhor em algum sentido. Na
engenharia, procura-se produzir “a melhor qualidade de vida possível com os recursos
disponíveis”. Ainda no dimensionamento de novos produtos, devemos usar ferramentas que
providenciam os resultados desejados com uma economia de custo e tempo. Basicamente, a
otimização numérica é uma das ferramentas a disposição. (Vanderplaats, 1998)
No desenvolvimento de um projeto estrutural, as etapas de análise e resistência operam
juntas, com um objetivo de buscar um projeto de baixo custo. Além da economia de projeto, o
ideal deve atender aos requisitos de qualidade e confiabilidade (Alves, 2017). A proposta
ótima pode ser obtida quando a área da seção transversal do elemento feito de material
homogêneo tende ao menor valor possível, obedecendo à qualidade e confiabilidade sob as
condições de projeto.
No que se refere ao o dimensionamento dos elementos estruturais em aço, será abordada
a verificação à flexão assimétrica com cargas axiais de uma estrutura formada por pórticos
espaciais segundo os critérios da NBR 8800:2008. Os tipos de perfis mais pertinentes para
esforços ocasionados pela flexão são aqueles que possuem maior momento de inércia no
plano da flexão, ou seja, perfis cuja maior parte da área da seção transversal está afastada da
linha neutra. Dessa forma, idealiza-se uma seção que seja formada por duas chapas
horizontais (superior e inferior) ligadas por uma chapa vertical central mais fina. Assim, as
vigas em formato I são as mais praticáveis, pela facilidade de mercado, e alta resistência às
limitações de flambagem. (Pfeil, 2015).
Técnicas de otimização vem sendo cada vez mais exploradas no dimensionamento de
estruturas metálicas, como pode ser visto em Novelli et al. (2015), Lubke et al. (2016), Unde
(2016), Akbari et al. (2016), De Lazzari et al. (2017) entre outros. Em Cabas (2015) foi
proposto o dimensionamento ótimo de pórticos espaciais, utilizando uma técnica baseada na
Biogeography Optimization.
Uma das técnicas de otimização abordada nesse projeto é a Programação Quadrática
Sequencial. Esta técnica utiliza como base o método de Newton, e parte de um ponto inicial,
presente na região de pesquisa. A partir de uma solução inicial, o método parte para a solução
ótima de subproblemas quadráticos, para cada iteração. A cada passo, o problema é
aproximado da solução ótima global, chegando assim na solução ótima do problema.
A outra técnica abordada é o Algoritmo Genético. Este método resolve problemas com
ou sem restrições, e se baseia no processo de seleção natural que imita a evolução biológica.
Basicamente o algoritmo modifica a população repetidamente, selecionando indivíduos de
forma aleatória para serem os pais de futuros filhos para a próxima geração da população.
Após sucessivas gerações, a população converge para um único indivíduo, que é a solução
ótima.

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo Geral
O objetivo geral deste projeto é criar um software capaz de otimizar o dimensionamento
de pórticos espaciais, sob as condições possíveis de projeto, utilizando a NBR 8800:2008
como base para o dimensionamento, a Programação Quadrática Sequencial como formulação
para a otimização determinística e o Algoritmo Genético como a formulação para a
otimização probabilística.
1.2.2. Objetivos Específicos

 Propor rotinas de calculo para o dimensionamento à flexão assimétrica com
cargas axiais de pórticos espaciais;
 Utilizar métodos de otimizaçãopara reduzir o peso da estrutura, e
consequentemente minimizar o custo total;
 Integrar as rotinas, de dimensionamento e otimização em um programa de
análise estrutural, a fim de unificar todo o processo, desde a análise até o
dimensionamento ótimo da estrutura;
 Comparar os resultados obtidos com fontes externas, para validação da
formulação e dos métodos utilizados;

1.3. Justificativa

Primeiramente a utilização do aço em estruturas, apresenta inúmeras vantagens. Com o
uso do aço, é possível ter liberdade no projeto de arquitetura, já que o seu uso permite obter
inúmeras soluções com a possibilidade de elaboração de projetos arrojados. O uso do aço
oferece maior grau de confiança ao engenheiro estrutural, já que o material é homogêneo e
isotrópico, além de permitir uma elevada resistência e ductilidade, resistindo bem aos
impactos e à alta concentração de tensões. No quesito sustentabilidade, o aço também leva
vantagem. De acordo com Centro Brasileiro de Construção em Aço (CBCA) é possível obter
uma redução do desperdício de materiais na obra, já que as estruturas de aço possibilitam a
adoção de sistemas industrializados. Além disso, permite que o canteiro de obras seja mais
limpo e organizado, reduzindo os grandes estoques de materiais, e contribuindo para um
ambiente com melhores condições de segurança ao trabalhador. Outro fator ambiental
importante do aço, é que ele é totalmente reciclável, e suas peças podem ser desmontadas e
reaproveitadas. Outra vantagem é que a utilização de estruturas em aço pode reduzir o tempo
de execução da obra em até 40% comparado com os processos convencionais e possui
facilidade de reforço e ampliação, mostrando que o seu uso permite ter um alto grau de
flexibilidade nos projetos. Adicionalmente, estruturas metálicas são mais leves que as
convencionais, permitindo uma redução de até 30% do custo com a fundação.

De acordo com a pesquisa feita em 2016 pela Associação Brasileira da Construção
Metálica (ABCEM) juntamente com o Centro Brasileiro da Construção em Aço (CBCA), o
cenário dos fabricantes de estrutura de aço no Brasil deixa muito claro, que em 82,1% das
obras em estruturas de aço, foi feita nos setores industriais e comerciais. Sendo que em 54,2%
foram destinados apenas ao setor industrial, mas especificamente a obras de galpões e
mezaninos. De acordo com os entrevistados pela ABCEM, as obras necessitavam de
velocidade de execução e praticidade, o que é uma das vantagens do uso de estruturas
metálicas. Grande parte das obras industriais é formada por pórticos espaciais com um grau de
complexidade de médio a alto, e com condições de projeto bem específicas. Dessa forma, é
justificável que projetos de pórticos espaciais em estruturas metálicas sejam um assunto
relevante para um novo cenário econômico que está por vir.
Um dos objetivos principais quando se fala em obras de construção, é a busca pelo
menor custo. Já que a construção de estruturas em aço no Brasil possui um investimento um
pouco mais elevado, comparado aos métodos convencionais, os processos de otimização na
etapa de projeto irão proporcionar uma economia significativa no custo final de uma obra.
Apesar dos novos softwares comerciais para estruturas já começarem a programar técnicas de
otimização, ainda alguns softwares que já foram desenvolvidos não possuem essas técnicas, e
os que possuem, não informam a garantia e o método utilizado. Assim, a importância em
determinar uma formulação para se otimizar uma estrutura, se torna relevante. Dessa forma,
aliando as vantagens da utilização do aço com a redução no gasto de execução de um projeto
em estruturas de aço, torna-se a melhor opção custo benefício.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁGICA

2.1. Análise Estrutural de Pórtico Espacial

Para efeito de dimensionamento de estruturas, saber os esforços solicitantes é fundamental. A
análise estrutural consiste na determinação dos esforços que estão atuando na estrutura. Estes
esforços podem ser interpretados através de diagramas.
Atualmente, em se tratando de análise e projeto estrutural, por mais simples que a
estrutura venha a ser, os projetistas se deparam com softwares que efetuam os cálculos por
meio do método dos elementos finitos e dentre outros. Não poderia ser diferente, pois este
método representa uma das mais importantes realizações no campo dos métodos
computacionais (Khennane, 2013).
Para estruturas isostáticas, esse processo de determinar os esforços, fica simples, pois só
leva em consideração as equações de equilíbrio de forças e momentos. Entretanto, quando se
trata de estruturas hiperestáticas, as equações de equilíbrio são insuficientes para determinar
os esforços. Dessa forma, é necessário partir para soluções e métodos mais elaborados.
Neste trabalho será utilizado o método dos deslocamentos para a resolução dos pórticos
espaciais. Este método consiste, primeiramente, na determinação dos deslocamentos e, em
sequência, a determinação das reações.
É um método bastante versátil, pois resolve tanto estruturas isostáticas, quanto
hiperestáticas. Vale ressaltar que o número de equações é igual ao grau de indeterminação da
estrutura, ou seja, é igual ao número de graus de liberdade da estrutura.

2.1.1. Formulação matricial pelo Método dos Deslocamentos

A formulação matricial do método dos deslocamentos consiste em determinar os
possíveis deslocamentos da estrutura, denominados graus de liberdade. Ao identificar os
deslocamentos da estrutura, restringem-se esses deslocamentos obtendo o sistema principal de
estrutura em análise.
Sequencialmente, obtêm-se as ações de engasgamento perfeito provocada pelas cargas
atuantes na estrutura. Assim, impondo um deslocamento unitário por vez nos pontos onde o
deslocamento foi impedido no sistema principal de estrutura em análise, é possível obter os
coeficientes de rigidez, que são numericamente iguais aos esforços que ocasionam esse
deslocamento unitário. Ao fazer esse procedimento para cada nó da estrutura onde existe pelo
menos um grau de liberdade, e fazer a superposição de todas essas equações geradas, como
mostra na Figura 2, é possível chegar ao seguinte sistema de equações formulado na equação
(1).

Figura 2 Ilustração da Formulação matricial do método dos deslocamentos (𝐷𝑗 = 𝑑𝑗).

Fonte: Gomes Filho, H., e Garozi, (2014).

{

𝐹𝑒1 + 𝐾11 × 𝑑1 +⋯+ 𝐾1 𝑗 × 𝑑𝑗 +⋯+ 𝐾1 𝑚 × 𝑑𝑚 = 𝐹𝑎1
⋮
𝐹𝑒𝑖 + 𝐾𝑖1 × 𝑑1 +⋯+ 𝐾𝑖 𝑗 × 𝑑𝑗 +⋯+ 𝐾𝑖 𝑚 × 𝑑𝑚 = 𝐹𝑎𝑖
⋮
𝐹𝑒𝑛 + 𝐾𝑛1 × 𝑑1 +⋯+ 𝐾𝑛 𝑚 × 𝑑𝑗 +⋯+ 𝐾𝑛 𝑚 × 𝑑𝑚 = 𝐹𝑎𝑛
(1)
Para, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 e 𝑗 = 1, 2, 3, … ,𝑚.

Onde 𝐹𝑒𝑖 são as ações de engasgamento perfeito; 𝐾𝑖𝑗 é o coeficiente de rigidez que é
definido pelas reações aos deslocamentos unitários impostos; 𝑑𝑗 são os deslocamentos (iguais

a 𝐷𝑗 na Figura 2); 𝐹𝑎𝑖 as ações aplicadas nos nós, incluindo as reações de apoio; 𝑛 é o número
máximo de ações aplicadas em um nó; 𝑚 é o número máximo de deslocamentos possíveis em
um nó.
Transformando a formulação proposta na equação (1) em uma análise matricial, é
possível obter o seguinte sistema:
{𝑭𝒆} + [𝑲𝓵]{𝒅} = {𝑭𝒂} (2)
Onde [𝑲𝓵] é definido como a matriz de rigidez local. Essa matriz de rigidez é o
parâmetro chave para a resolução do problema pelo método dos deslocamentos. Em um
pórtico espacial, as barras podem ter posições quaisquer e ser submetidas a quaisquer dos seis
esforços seccionais, como mostra na Figura 3. Dessa forma, a matriz de rigidez é obtida com a
superposição dos termos das matrizes de rigidez para treliças, grelhas, e vigas. Esses
coeficientes são determinados pela lei de Hooke e pela integração da linha elástica, aplicando
as devidas condições de contorno.

Figura 3 Esforços em um elemento barra espacial

Fonte: Gomes Filho, H. e Garozi,(2014).

Assim, a matriz de rigidez local do pórtico espacial, é obtida com a superposição dos
efeitos de esforços axiais, flexão e torção. Alocando cada um dos termos relacionados aos 6
possíveis deslocamentos em um nó, e 12 possíveis esforços internos em uma barra, chega-se a
matriz de rigidez local da barra de um pórtico espacial, ilustrado na Figura 4.

Figura 4 Matriz de rigidez local de uma barra de pórtico espacial.

Fonte: Gomes Filho, H., e Garozi, (2014).

Entretanto, em estruturas espaciais, é importante considerar a orientação da barra no
espaço. Dessa forma, é necessária uma formulação matricial de transformação de
coordenadas. Para isso, será definida a matriz de rotação espacial, definida pela matriz:

[𝑹] =
[

𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧
−𝑐𝑥𝑐𝑦
√𝑐𝑥2+𝑐𝑧2
√𝑐𝑥2 + 𝑐𝑧2
−𝑐𝑦𝑐𝑧
√𝑐𝑥2+𝑐𝑧2
−𝑐𝑧
√𝑐𝑥2+𝑐𝑧2
0
𝑐𝑥
√𝑐𝑥2+𝑐𝑧2]

(3)
Caso 𝑐𝑥 = 0 e 𝑐𝑧 = 0,
[𝑹] = [−
0 𝑐𝑦 0
𝑐𝑦 0 0
0 0 1
] (4)

Sendo:
𝑐𝑥 =
𝑥
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
(5)
𝑐𝑦 =
𝑦
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
(6)
𝑐𝑧 =
𝑧
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
(7)

Onde 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são as coordenadas dos nós no espaço tridimensional, e 𝑐𝑥, 𝑐𝑦 e 𝑐𝑧 são os
cossenos diretores de um vetor com as coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧). De forma gráfica, os cossenos
diretores são vetores ortonormais que representam a orientação no eixo local da barra no
espaço de três dimensões e podem ser mostrados na Figura 5.
Para toda a formulação tanto para análise quanto para dimensionamento, os eixos locais
de referência, serão sempre os definidos pelos cossenos diretores (Figura 5). Sendo que o eixo
x o eixo longitudinal da barra, o eixo z como o eixo perpendicular a alma do perfil (eixo de
maior momento de inércia) e por fim o eixo y como sendo o eixo perpendicular às mesas do
perfil (eixo de menor momento de inércia).

Figura 5 Eixos locais do elemento barra.

Fonte: Autor

Como o pórtico espacial possui uma matriz de rigidez de 12x12, a matriz de rotação do
pórtico, deverá ser montada da seguinte forma:
[𝑹𝒑] =
[

[𝑹] [𝟎] [𝟎] [𝟎]
[𝟎] [𝑹] [𝟎] [𝟎]
[𝟎] [𝟎] [𝑹] [𝟎]
[𝟎] [𝟎] [𝟎] [𝑹]]

12𝑥12
(8)
Onde [𝟎] é a matriz nula de dimensão 3x3, e [𝑹𝒑] é a matriz de rotação do pórtico
espacial.
Assim, a matriz de rigidez de uma barra no sistema global de coordenadas, o qual é o
sistema unificado e comum a todas as barras, é dado por:
[𝑲𝒈]𝑖
= [𝑹𝑷]
𝑡[𝑲ℓ]𝑖[𝑹𝑷] (9)

Onde [𝑹𝑷]é a matriz de rotação do pórtico espacial (Eq. 8), [𝑲ℓ]𝑖 é a matriz de rigidez
local da barra 𝑖 e [𝑲𝒈]𝑖
é a matriz de rigidez global da barra 𝑖.
Portanto, a matriz de rigidez global da estrutura pode ser montada de acordo com o
esquema montado na Figura 6. Onde 𝑚 e 𝑛 são os nós sequenciais em uma barra.

Figura 6 Esquema de construção da matriz de rigidez global.

Fonte: Gomes Filho e Garozi, (2014).

Dessa forma, com a inversa da matriz de rigidez global de todas as barras, é possível
determinar os deslocamentos através da equação (2). Sendo que na matriz de rigidez global
deverá ser imposta rigidez infinita nas diagonais referentes a deslocamentos e/ou rotações
impedidas. Com os deslocamentos e rotações de todos os nós, determinam-se as reações pela
mesma equação (2), mas agora, com a matriz de rigidez global sem os infinitos na diagonal.
Com as reações e deslocamentos, retorna-se para a matriz local das barras, e determina os
esforços internos pela mesma formulação matricial dada pela equação (2). Com os esforços
internos, é possível gerar os diagramas para verificação da estrutura quanto ao
dimensionamento adotado.

2.2. Propriedades Geométricas

Os perfis estruturais idealizados pelas condições de projeto neste trabalho e previstos na
NBR 8800:2008 e ainda os que são mais utilizados na construção civil brasileira, podem ser
subdivididos em dois grandes grupos: perfis laminados e perfis soldados.
Neste item, serão definidas todas as propriedades geométricas, ambos para os perfis
laminados e soldados, com formato I e H. Sequencialmente, a formulação para verificação de
elementos estruturais em aço, de acordo com NBR 8800:2008, será apresentada abordando o
dimensionamento às forças axiais, de tração e compressão, à flexão simples, à força cortante e
à flexão assimétrica, além de outras prescrições da NBR 8800:2008. Toda a formulação ficará
em função das propriedades geométricas aqui definidas, as quais dependem somente das
variáveis de projeto estabelecida na Figura 7.

Na Figura 7 estão representados os perfis soldados e laminados, com as variáveis de
projeto, atribuídas ao vetor 𝑿𝑖 que será mais detalhado no item 2.5 (Métodos de Otimização).
É importante observar a simbologia geométrica de cada elemento do perfil, onde 𝑑 é a altura
nominal do perfil, 𝑏𝑓 é a largura das mesas superior e inferior do perfil, 𝑅 é o raio de
concordância (para perfis laminados), 𝑡𝑤 é a espessura da alma, 𝑡𝑓 é a espessura da mesa, ℎ é
a distancia entre as faces internas das mesas e 𝑑′ é a altura da alma.

Figura 7 Variáveis geométricas em perfil soldado e laminado I e H, e o vetor 𝑿.

Fonte: Autor
Na Figura 7, o perfil de menor altura nominal é o perfil laminado e o outro é um perfil
soldado. De caráter geométrico, a única diferença notável na forma dos perfis laminados e
soldados está na presença do raio de concordância (R). Por sua vez, os perfis soldados
possuem dimensões maiores e uma maior variedade de possibilidades de dimensões, enquanto
os laminados possuem uma dimensão mais limitada. Ainda, os perfis soldados possuem um
custo de fabricação um pouco maior, sendo utilizados em situações onde não é possível
aplicar os perfis laminados.

2.2.1. Perfis Laminados I e H

Os perfis laminados são aqueles obtidos por um processo de transformação mecânica de
metais chamado laminação. Nesse processo, a forma de um corpo metálico é alterada para
torná-lo adequado a determinada aplicação. O processo de laminação é feito a quente, com
temperaturas superiores a 1.000 ºC. Neste processo, a seção da placa ou do perfil é reduzida
com o giro de cilindros dispostos em todas as direções, os quais formam uma seção que
diminui gradativamente, com o objetivo de formar a seção desejada. Os cilindros são
dispostos em direções opostas e em pares, os quais giram em sentidos opostos e movem a
peça alongada de aço por arrastamento, devido às forças de atrito. Durante a passagem pelos
cilindros, a peça é comprimida pelos cilindros na direção transversal, com o objetivo de
homogeneizar a peça e alongar no sentido longitudinal (Fakury, 2016). A Figura 8 mostra a
disposição dos cilindros na produção de uma chapa laminada.

Figura 8 Processo de Laminação do Aço.

Fonte: Associação Brasileira do Alumínio
Dentre os a perfis laminados de seção aberta como o I, H, U e L e os de chapas e barras
redondas, será dado um enfoque maior em perfis I e H de faces paralelas. Estes possuem essa
denominação, pois a face interna das mesas é paralela à externa. Estes perfis são inspirados na
padronização norte-americana e europeia, e são produzidos pela GERDAU, utilizando em sua
maioria o aço ASTM A572-Grau 50. Estes perfis foram projetados para terem boas
propriedades geométricas para uso estrutural em relação ao volume de aço consumido.
Os perfis I laminados são mais pertinentes a ser utilizado para flexão simples em torno
do eixo x, o qual por referencia é o eixo de maior momento de inércia. Estes possuem altura
de 150 mm até aproximadamente 610 mm e são especificados pela letra W (wide flange),
seguido pela sua altura nominal em milímetros e a sua massa em quilogramas por metro
(exemplo: W 460 x 89).
Os perfis H por sua vez, são mais indicados para compressão, associados com flexão,
situação bem comum em pilares. Este tipo de seçãopossui momento de inércia significativo
nos dois eixos principais do perfil, devido à largura das mesas serem bem próximas da altura
nominal da seção, a qual varia de 150 mm a 360 mm. Perfis H laminados são indicados tanto

pela letra W quanto pelas letras HP (perfis HP possuem uma particularidade de possuírem as
espessuras de mesas e almas iguais ou bem próximas).
Os perfis laminados I e H de abas paralelas utilizados neste trabalho são encontrados no
catálogo de bitolas da GERDAU, e estão em anexo neste trabalho. As expressões para as
propriedades geométricas descritas nas equações (10) a (24), podem ser encontradas em Pfeil
(2015), Fakury (2016) e De Lazzari e Alves (2017). Entretanto, dentre essas referências,
somente De Lazzari et al. (2017) inclui a contribuição das áreas delimitadas pelo raio de
concordância.
Os parâmetros de esbeltez correspondente à mesa (Eq. 10) e à alma (Eq. 11) da seção
podem ser determinados de acordo com a NBR 8800:2008 pelas equações abaixo.
𝜆𝑓 =
𝑏𝑓
2𝑡𝑓
(10)
𝜆𝑤 =
ℎ
𝑡𝑤
(11)
Sendo que os valores de 𝑑, 𝑏𝑓, 𝑅, 𝑡𝑤 e 𝑡𝑓 podem ser obtidos de acordo com a Figura 7.
A área da seção transversal do perfil (Eq. 12) fica definida por:
𝐴𝑏 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + ℎ𝑡𝑤 + 𝑅
2(4 − 𝜋) (12)
O momento de inércia em relação ao eixo de maior momento de inércia (Eq. 13),
definido como o eixo 𝑧 (figura 5), pode ser formulado como a soma das parcelas referente às
mesas e alma do perfil, mais a parcela referente a uma área quadrada de lado 𝑅 nas
interseções entre a mesa e a alma e subtraindo-se da parcela referente à área de um quarto de
circulo de raio 𝑅.
𝐼𝑧 =
ℎ3𝑡𝑤+𝑏𝑓(𝑑
3−ℎ3)
12
+
𝑅
6
(ℎ3 − 𝑑′3) − 𝜋𝑅2 (
𝑅2
4
+
𝑑′
2
4
+ 𝑑′
4𝑅
3𝜋
) (13)
O módulo de resistência elástico do lado comprimido e tracionado da seção, relativo ao
eixo de flexão, 𝑧 (Eq. 14) é defino como a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo 𝑧
dividido pela distancia do centroide até a fibra extrema com maiores tensões de compressão
e/ou tração. Os módulos de tração e compressão são iguais, já que a seção é duplamente
simétrica.
𝑊𝑧𝑐 = 𝑊𝑧𝑡 =
𝐼𝑧
𝑑
2⁄
(14)
O raio de giração em relação ao eixo 𝑧 (Eq. 15) fica definido como raiz quadrada da
razão do momento de inércia em relação ao eixo 𝑧 pela área bruta do perfil.
𝑟𝑧 = √
𝐼𝑧
𝐴𝑏
(15)
A última propriedade relativa ao eixo 𝑧 é o módulo plástico para flexão em torno do
eixo 𝑧 (Eq. 16).
𝑍𝑧 =
𝑏𝑓(𝑑
2−ℎ2)+𝑡𝑤ℎ
2
4
+ 𝑅2 [2(𝑑′ + 𝑅) − 𝜋 (
𝑑′
2
+
4𝑅
3𝜋
)] (16)
O momento de inércia em relação ao eixo 𝑦 (Eq. 17) é dado por:
𝐼𝑦 =
2𝑡𝑓𝑏𝑓
3+𝑑′𝑡𝑤
3
12
+
𝑅(2𝑅+𝑡𝑤)
3
6
−
𝜋𝑅2
4
[𝑅2 + (2𝑅 + 𝑡𝑤) (2𝑅 + 𝑡𝑤 −
16𝑅
3𝜋
)] (17)

O módulo de resistência elástico do lado comprimido e tracionado da seção, relativo ao
eixo de flexão, 𝑦 (Eq. 18), fica definido por:
𝑊𝑦𝑐 = 𝑊𝑦𝑡 =
𝐼𝑦
𝑏𝑓
2
⁄
(18)
O raio de giração em relação ao eixo 𝑦 (Eq. 19) fica definido como raiz quadrada da
razão do momento de inércia em relação ao eixo 𝑦 pela área bruta do perfil.
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴𝑏
(19)
O módulo plástico para flexão em torno do eixo 𝑦 (Eq. 20) pode ser determinado por:
𝑍𝑦 =
𝑡𝑓𝑏𝑓
2
2
+
ℎ 𝑡𝑤
2
4
+ 𝑅2 [2(𝑅 + 𝑡𝑤) − 𝜋 (𝑅 −
4𝑅
3𝜋
+
𝑡𝑤
2
)] (20)
A constante de empenamento (Eq. 21) pode ser aproximada pela expressão:
𝐶𝑤 =
𝐼𝑦(𝑑−𝑡𝑓)
2
4
(21)
O momento de inércia à torção pura (Eq. 22), também chamado de constante de torção,
pode ser apresentado de forma precisa para perfis laminados I e H de abas paralelas, pela
seguinte formulação sugerida por De Lazzari e Alves (2017).
𝐽 =
1
3
(2𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + ℎ𝑡𝑤
3 ) + 2𝛼1𝐷1
4 − 0,420𝑡𝑓
4 (22)
Onde:
𝛼1 = −0,042 + 0,2204
𝑡𝑤
𝑡𝑓
+ 0,1355
𝑅
𝑡𝑓
− 0,0865
𝑡𝑤𝑅
𝑡𝑓
2 − 0,0725
𝑡𝑤
2
𝑡𝑓
2 (23)
𝐷1 =
(𝑡𝑓+𝑅)
2
+𝑡𝑤(𝑅+
𝑡𝑤
4
)
2𝑅+𝑡𝑓
(24)

2.2.2. Perfis Soldados I e H

O outro grande grupo de perfis estruturais abordados pela NBR 8800:2008 são os perfis
soldados. Estes por sua vez, são formados por dois ou mais perfis laminados, unidos
continuamente por meio de solda elétrica. Como já foi dito, são mais requisitados quando há a
necessidade de seções com dimensões maiores que os laminados disponíveis.
Os perfis mais comuns e abordados neste trabalho são os perfis I e H, os quais são
prescritos pela norma NBR 5884:2005 e são encontrados em quatro séries: serie CS, série VS,
série CVS e série VSM. A série CS (colunas soldadas) são perfis H destinados a pilares, por
terem a largura de mesa igual à altura do perfil, que varie entre 150 mm e 750 mm. A série
VS (vigas soldadas) são perfis I apropriados a resistirem à flexão de forma mais efetiva,
possuindo um momento de inércia com valores mais significativos no eixo de maior momento
de inércia. A altura dos perfis da serie VS variam de 150 mm até 2.000 mm. A série CVS
(colunas-vigas soldadas) por sua vez são perfis intermediários entre I e H e são mais usuais
em situações de esforços combinados, com altura variando de 150 mm a 1.000 mm. E por

fim, a série VSM (vigas soldadas monossimétricas) utilizadas principalmente em vigas mistas.
(Fakury, 2016)
A nomenclatura dos perfis soldados é dada de acordo com a sua série. Deve ser
utilizado o símbolo CS, VS, CVS ou VSM, seguido da altura em milímetros e da massa por
unidade de comprimento (exemplo: CVS 350 x 98). Nos casos de perfis soldados não
padronizados, devem ser utilizadas a nomenclatura de PS e PSM, para perfis soldados
duplamente simétricos e monossimétricos, respectivamente. Outra nomenclatura para
denominação de perfis soldados é utilizando o símbolo I ou H, seguido da altura, largura das
mesas, espessura das mesas e espessura da alma (exemplo: I 500 x 300 x 16 x 8).
Os perfis soldados I e H utilizados neste trabalho são encontrados na NBR 5884:2005 e
estão em anexo neste trabalho. Além disso, toda a formulação é encontrada na mesma norma
brasileira. As expressões para as propriedades geométricas, Equações (25) a (35) são
apresentadas na referida norma. Pode-se notar que algumas das formulações podem ser
obtidas com a formulação proposta para os perfis laminados, quando o raio de concordância é
igual à zero. Os valores de 𝑑, 𝑏𝑓, 𝑡𝑤 e 𝑡𝑓 podem ser obtidos de acordo com a Figura 7.
𝐴𝑏 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + ℎ𝑡𝑤 + 𝑅
2(4 − 𝜋) (25)
𝐼𝑧 =
ℎ3𝑡𝑤+𝑏𝑓(𝑑
3−ℎ3)
12
(26)
𝑊𝑧𝑐 = 𝑊𝑧𝑡 =
𝐼𝑧
𝑑
2⁄
(27)
𝑟𝑧 = √
𝐼𝑧
𝐴𝑏
(28)
𝑍𝑧 =
𝑏𝑓(𝑑
2−ℎ2)+𝑡𝑤ℎ
2
4
(29)
𝐼𝑦 =
2𝑡𝑓𝑏𝑓
3+𝑑′𝑡𝑤
3
12
(30)
𝑊𝑦𝑐 = 𝑊𝑦𝑡 =
𝐼𝑦
𝑏𝑓
2
⁄
(31)
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴𝑏
(32)
𝑍𝑦 =
𝑡𝑓𝑏𝑓
2
2
+
ℎ 𝑡𝑤
2
4
(33)
𝐶𝑤 =
𝑏𝑓
3𝑡𝑓
12
(𝑑−𝑡𝑓)
2
2
(34)
𝐽 =
2𝑏𝑓𝑡𝑓
3+(𝑑−𝑡𝑓)𝑡𝑤
3
3
(35)
É importante destacar que os perfis soldados possuem cordões de solda entre a mesa e a
alma do perfil. Entretanto essa área não é considerada no cálculo das propriedades
geométricas.
Os índices de esbeltez da mesa (𝜆𝑓) e da alma (𝜆𝑤) para perfis soldados podem ser
pelas equações (10) e (11), utilizando as variáveis definidas na Figura 7.

2.3. Condições Gerais de Projeto

Serão tratados nessa seção todos os principais assuntos envolvidos em um projeto de
estruturas de aço que se aplicam a este trabalho, de acordo com a NBR 8800:2008.

2.3.1. Materiais

De acordo com a NBR 8800:2008, o aço estrutural aprovado para uso, são aqueles com
qualificação assegurada por norma brasileira (Tabela 1) ou especificação estrangeira (Tabela
2). Entretanto, o aço não pode ter resistência ao escoamento acima de 450 MPa e relação entre
tensão de ruptura (𝑓𝑢) e tensão de escoamento (𝑓𝑦) inferior a 1,18.

Tabela 1 Aços especificados por norma brasileira para uso estruturalª

Fonte: NBR 8800:2008, Anexo A

Materiais e produtos estruturais devem possuir identificação adequada, especificandoo
tipo ou grau, devendo atender aos seguintes métodos: certificados de qualidade e marcas
legíveis de acordo com os padrões das normas correspondentes.

Tabela 2 Aços de uso frequente especificados pela ASTM para uso estrutural

Fonte: NBR 8800:2008, Anexo A

Para efeito de calculo, a norma NBR 8800:2008, recomenda os seguintes valores para as
propriedades mecânicas do aço estrutural:
a) Módulo de Elasticidade: 𝐸 = 200.000 𝑀𝑃𝑎;
b) Coeficiente de Poisson: 𝜈 = 0,3;
c) Módulo de Elasticidade Transversal: 𝐺 = 77 000 𝑀𝑃𝑎;
d) Coeficiente de Dilatação Térmica: 𝛽 = 1,2. 10−5 ℃−1;
e) Massa Específica: 𝜌𝑎ç𝑜 = 7 850 𝑘𝑔/𝑚
3.

2.3.2. Segurança e Estados-Limites

A norma NBR 8800:2008 abrange os critérios de segurança baseados na NBR
8681:2003. Como critério de segurança, a NBR 8800:2008 considera os estados-limites
últimos (ELU) e os estados-limites de serviço (ELS), exigindo que nenhum estado-limite seja
excedido, caso contrário à estrutura não estará apta para atender aos objetivos de projeto. Os
ELU estão relacionados às combinações mais desfavoráveis de ações, e a sua ocorrência
significa colapso estrutural total ou parcial. Enquanto os ELS estão relacionados com o
desempenho da estrutura sob condições normais de utilização.
A verificação quanto aos ELU é feita considerando que a razão entre os valores de
cálculo dos esforços solicitantes e os correspondentes esforços resistentes seja menor que 1.
𝑆𝑑
𝑅𝑑
≤ 1 (36)
A verificação quanto aos ELS é feita considerando que a razão entre os valores dos
efeitos estruturais de interesse, com os valores-limites adotados para esses efeitos (valores
definidos pela NBR 8800:2008) seja menor que 1.

𝑆𝑚𝑎𝑥
𝑆𝑙𝑖𝑚
≤ 1 (37)
Se o efeito estrutural analisado é o deslocamento excessivo, os valores de 𝑆𝑚𝑎𝑥 são
obtidos com a deformada da estrutura, já 𝑆𝑙𝑖𝑚 pode ser obtido de acordo com a tabela 3
extraída do Anexo C da NBR 8800:2008.

Tabela 3 Deslocamentos Limites (𝑆𝑙𝑖𝑚)

Fonte: NBR 8800:2008

2.3.3. Ações

Segundo a variabilidade com o tempo, as ações podem ser definidas em permanentes,
variáveis e excepcionais. Ações permanentes são aquelas que atuam com valores praticamente
constantes durante toda a vida útil da edificação ou que crescem ao longo do tempo, tendendo
a um valor-limite constante. Como exemplo, têm-se as ações constituídas pelo peso próprio,
instalações permanentes, deslocamentos de apoios, entre outras. Ações variáveis são aquelas
que apresentam variações significativas durante toda a vida útil da construção. Entre elas
estão às ações decorrentes de uso e ocupação da edificação, ações do vento, variação de
temperatura e entre outras. Já as ações excepcionais, são definidas por ações com duração

extremamente curta e probabilidade muito baixa de ocorrência, como por exemplo, as ações
ocasionadas por explosões, choques de veículos, abalos sísmicos, entre outras.
Durante análise estrutural, deve ser considerado o comportamento dos esforços
solicitantes. Os valores fornecidos pelas normas e especificações para as ações são de modo
geral, valores característicos. Esses valores característicos são valores de ocorrência média de
determinada ação. Dessa forma, esse valor característico difere um pouco dos valores
máximos que as ações atuantes em uma estrutura podem ocorrer.
Todas as ações atuantes em um modelo estrutural devem, por sua vez, ser majorados.
Essa majoração considera incertezas envolvendo os valores característicos adotados. Essas
inexatidões estão associadas às incertezas obtidas na análise estrutural, que utiliza modelos
ideais, especialmente relacionadas às dimensões das peças e grau de rigidez das ligações entre
barras e apoios.
A fim de combinar todas as ações possíveis atuantes na estrutura, a NBR 8800:2008 usa
como referência a NBR 8681 na ponderação de todas as ações atuantes na estrutura. A
combinação última normal de ações é dada por:
𝐶𝑢𝑙𝑡 = ∑ (𝛾𝑔𝑖𝐴𝐺𝑖,𝑘)
𝑚
𝑖=1 + 𝛾𝑞1𝐴𝑄1,𝑘 + ∑ (𝛾𝑞𝑗Ψ0𝑗𝐴𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2 (38)
onde 𝛾𝑔𝑖 é o coeficiente de ponderação das ações permanentes, 𝐴𝐺𝑖,𝑘; 𝛾𝑞1 é o coeficiente de
ponderação da ação variável principal 𝐴𝑄1,𝑘; 𝛾𝑞𝑗 é o coeficiente de ponderação das demais
ações variáveis, e Ψ0𝑗 é p fator de combinação.
Já para os estados-limites de serviço, as combinações de ações podem ser quase
permanentes, frequentes e raras, de acordo com a sua permanência na estrutura. A
combinação que fornece os maiores valores de deslocamentos é a rara, dada por:
𝐶𝑟𝑎𝑟,𝑠𝑒𝑟 = ∑ (𝐴𝐺𝑖,𝑘)
𝑚
𝑖=1 + 𝐴𝑄1,𝑘 + ∑ (Ψ1𝑗𝐴𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2 (39)
onde Ψ1𝑗 é o fator de combinação.
A NBR 8800:2008 permite o agrupamento das ações com um único coeficiente de
ponderação. A Tabela 4 apresenta os coeficientes de ponderação para ações agrupadas.

Tabela 4 Coeficiente de ponderação unificado das ações permanentes e variáveis

Fonte: Fakury, 2016.

2.3.4. Resistências

Para determinação dos esforços resistentes de cálculo é necessário dividir os esforços
característicos resistentes por coeficientes de ponderação da resistência, de forma a reduzir ou
manter o valor característico. Assim, os esforços resistentes são dados por:
𝑓𝑑 =
𝑓𝑘
𝛾𝑚
(40)
sendo 𝛾𝑚 o coeficiente de ponderação, que inclui: variabilidade da resistência dos materiais
envolvidos, diferença entre resistência do material no corpo-de-prova da estrutura e desvios
gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências.
Na tabela 5 são apresentados os coeficientes de acordo com a combinação de ações.

Tabela 5 Coeficientes de Ponderação das Resistências 𝛾𝑚 para ELU

Fonte: NBR 8800:2008

Para os ELS, a NBR 8800:2008 estabelece que os limites não necessitem de minoração,
dessa forma, 𝛾𝑚 = 1,0.

2.3.5. Estabilidade e Análise Estrutural

A análise estrutural tem o objetivo de determinar os efeitos ocasionados pelas ações.
Dessa forma é importante que a análise seja feita de forma mais realista possível, mostrando
todos os efeitos resultantes na estrutura.
O tipo de análise estrutural pode ser determinado de acordo com considerações do
material e dos efeitos dos deslocamentos. A norma brasileira de projeto de estruturas de aço
cita que a análise de segunda ordem dever ser usada sempre que os deslocamentos afetarem
de forma significativa os esforços internos. Para isso, a análise pode ser feita com base em
teorias geometricamente exatas, teorias aproximadas ou adaptações a resultados da teoria de
primeira ordem. A NBR 8800:2008 traz o Método da Amplificação dos Esforços Solicitantes
(MAES), como uma análise aproximada de segunda ordem, levando em conta o efeito 𝑃∆ e
𝑃𝛿.

2.4. Dimensionamento de Elementos em Aço

2.4.1. Força Axial de Tração

Em edifícios de aço, barras tracionadas aparecem compondo treliças planas que
funcionam como vigas de piso e de cobertura (tesouras de cobertura), treliças espaciais,
geralmente empregadas em coberturas de edificações que precisam de grande área livre,
treliças de pilares e em tirantes e pendurais que transferem cargas gravitacionais de um piso
para componentes estruturais situados em nível superior.
Para o dimensionamento aos ELU de barras solicitadas somente a tração, é preciso que
seja respeitada a seguinte relação:
𝑁𝑡,𝑆𝑑
𝑁𝑡,𝑅𝑑
≤ 1 (41)
sendo 𝑁𝑡,𝑆𝑑 a força normal de tração solicitante de cálculo e 𝑁𝑡,𝑅𝑑 a força normal de tração
resistente de cálculo, considerando os estados-limites últimos de escoamento da seção bruta e
ruptura da seção líquida.
A força axial resistente de cálculo é determinada pela menor capacidade resistente entre
os dois estados-limites aplicáveis. Dessa forma, para o estado limite de escoamento da seçãobruta, tem-se:
𝑁𝑡,𝑅𝑑𝐸 =
𝐴𝑏𝑓𝑦
𝛾𝑎1
(42)
onde 𝐴𝑏 é a área bruta do perfil definido pela equação (12) para perfis laminados ou (25) para
perfis soldados, 𝑓𝑦 é a tensão de escoamento do aço estrutural, definido pelas tabelas 1 e/ou
tabela 2. O 𝛾𝑎1 é o coeficiente de ponderação das resistências, definido pela tabela 5.
Como as barras tracionadas não estão sujeitas a instabilidade, a propriedade geométrica
mais importante no dimensionamento é a área da seção transversal. Assim, deve-se considerar
a área de trabalho dessas barras ao longo de todo o seu eixo. A área na região da ligação pode
ser inferior à área da seção bruta, devido à presença de furos e devido à distribuição não
uniforme das tensões na região da ligação. Assim, para o estado-limite da ruptura da seção
líquida, tem-se:
𝑁𝑡,𝑅𝑑𝑅 =
𝐴𝑒𝑓𝑢
𝛾𝑎2
(43)
𝐴𝑒 = 𝛽 𝐴𝑏 (44)
𝛽 = 𝐶𝑡
𝐴𝑛
𝐴𝑏
(45)
A área 𝐴𝑒 é a área efetiva, que fica em função da área líquida 𝐴𝑛 e do coeficiente de
redução 𝐶𝑡. Considerou-se um fator β de redução da área bruta, Equação (45), não descrito na
NBR 8800:2008, para que a análise de otimização, por simplicidade, não considere as
diversas formas de ligação entre os elementos. Assim, um único coeficiente, β, leva em
consideração os furos na seção e o coeficiente de redução. Desta forma, fica simples definir a
área efetiva da seção líquida apenas com um fator, que varia de 0 a 1

A equação (43) possui um coeficiente de ponderação da resistência maior (𝛾𝑎2 = 1,35,
𝛾𝑎1 = 1,10), isso é devido ao fato do estado-limite de ruptura da seção líquida expressar um
maior nível de incerteza quanto ao valor da capacidade resistente característica.
Ainda, para seções submetidas a forças de tração, deve ser verificada a limitação do
índice de esbeltez. Essa recomendação tem o objetivo de que as barras tracionadas fiquem
demasiadamente flexíveis e possam apresentar deformações excessivas devido a choques ou
peso próprio da estrutura e também podem apresentar vibrações de grande intensidade,
causando desconforto aos usuários (Fakury, 2016). Dessa forma, o índice de esbeltez fica
limitado a 300, sendo a maior relação entre o comprimento destravado 𝐿𝑡 e o raio de giração
𝑟.
(
𝐿𝑡
𝑟
)
𝑚𝑎𝑥
≤ 300 (46)

2.4.2. Força Axial de Compressão

No dimensionamento de elementos comprimidos, um dos modos de colapso é a
instabilidade global da barra, dotada de curvatura inicial. O outro modo de colapso é a
flambagem local da mesa e da alma do perfil.
A condição a ser atendida para o dimensionamento de barras prismáticas com seção I ou
H comprimidas é:
𝑁𝑐,𝑆𝑑
𝑁𝑐,𝑅𝑑
≤ 1 (47)
onde 𝑁𝑐,𝑆𝑑 é a força axial de compressão solicitante de cálculo e 𝑁𝑐,𝑅𝑑 é a força axial de
compressão resistente de cálculo definido por:
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑏𝑓𝑦
𝛾𝑎1
(48)
sendo 𝐴𝑏 a área bruta da seção definido pelas equações (12) e (25), 𝑓𝑦 a tensão de escoamento
definido pelas tabelas 1 e 2, e 𝛾𝑎1 o coeficiente de ponderação da resistência, igual a 1,10.
A equação (48) apresenta dois fatores: fator de redução associado à resistência à
compressão, 𝜒 e fator de redução total associado à flambagem local, 𝑄.

Fator de redução 𝝌: Esse fator redutor considera a influência das tensões residuais e da
curvatura inicial na capacidade resistente da barra. Ele é obtido por meio de ensaios
laboratoriais e análises numéricas. De acordo com a NBR 8800:2008, para barras com
curvatura inicial de geometria praticamente senoidal e deslocamento transversal no meio da
barra da ordem de L/500, têm-se:
Para 𝜆0 ≤ 1,5
𝜒 = 0,658𝜆0
2
(49)
Para 𝜆0 > 1,5
𝜒 =
0,877
𝜆0
2 (50)

Sendo que 𝜆0 o índice de esbeltez reduzido da barra, dado por:

𝜆0 = √
𝑄𝐴𝑏𝑓𝑦
𝑁𝑒
(51)
Onde 𝑁𝑒 é a força axial de flambagem elástica, obtido para barras prismáticas com
seção de dupla simetria. Essa força axial deverá ser calculada para flambagem por flexão em
relação ao eixo local central principal de inércia z e y, e para flambagem por torção em
relação ao eixo local longitudinal x, conforme as equações (52) a (54).
𝑁𝑒𝑧 =
𝜋2𝐸𝐼𝑧
(𝑘𝑧𝐿)2
(52)
𝑁𝑒𝑦 =
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝑘𝑦𝐿)
2 (53)
𝑁𝑒𝑥 =
1
𝑟02
[
𝜋2𝐸𝐶𝑤
(𝑘𝑥𝐿)2
+ 𝐺𝐽] (54)
sendo 𝐸 o módulo de elasticidade do aço, definido no item 2.3.1; 𝐼𝑧 o momento de inércia em
relação ao eixo de maior momento de inércia, definido pelas equações (13) e (26); 𝐼𝑦 o
momento de inercial em relação ao eixo de menor momento de inércia, definido pelas
equações (17) e (30); 𝐿 o comprimento da barra; 𝐶𝑤 o constante de empenamento definido
pelas equações (21) e (34); 𝐺 o módulo de elasticidade transversal do aço definido no item
2.3.1; 𝐽 a constante de torção da seção transversal definido pelas equações (22) e (35); 𝑟0 o
raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de cisalhamento dado por:
𝑟0 = √𝑟𝑧2 + 𝑟𝑦2 + 𝑧02 + 𝑦02 (55)
Onde 𝑟𝑧 e 𝑟𝑦 são os raios de giração em relação aos eixos principais z e y definidos pelas
equações (15), (28) e (19), (32). Já 𝑧0 e 𝑦0 são as coordenadas do centro de cisalhamento na
direção dos eixos centrais z e y, que neste caso para perfis I e H, são nulos, já que o centro de
cisalhamento coincide com o centro geométrico.
Ainda nas equações para determinar a carga de flambagem elástica, tem-se 𝑘𝑧 e 𝑘𝑦 que
são os coeficientes de flambagem por flexão. Esses coeficientes são fornecidos pela NBR
8800:2008 em valores teóricos ou recomendados (usados quando não possa assegurar a
perfeição do engaste), para elementos isolados, tabela 6. Entretanto, esses valores de
coeficientes de flambagem por flexão devem ser tomados iguais a 1,00 para elementos
contraventados e em barras das subestruturas de contraventamento, quando forem analisados
os efeitos de segunda ordem.

Tabela 6 Coeficiente de flambagem por flexão de elementos isolados

Fonte: NBR 8800:2008, Anexo E

Na equação (54), o valor de 𝑘𝑥 é o coeficiente de flambagem por torção. Este valor
pode ser tomado igual a 1,0 quando ambas as extremidades da barra possuem rotação em
relação ao eixo longitudinal impedida e empenamento livre, ou igual a 2,0 quando uma das
extremidades da barra possui rotação em relação ao eixo longitudinal e empenamento livre, e
a outra possui rotação e empenamento impedidos, ou iguais a 0,7 quando uma das
extremidades da barra possui rotação em relação ao eixo longitudinal impedida e
empenamento livre, e a outra possui rotação e empenamento impedidos, ou iguais a 0,5
quando ambas as extremidades da barra possuem rotação em relação ao eixo longitudinal e
empenamento impedido.
Assim, o valor de 𝑁𝑒 adotado para o cálculo do índice de esbeltez reduzido, será o
menor valor entre 𝑁𝑒𝑧, 𝑁𝑒𝑦 e 𝑁𝑒𝑥.

Fator de redução total 𝑸: Esse fator de redução é dado pelo produto de dois
coeficientes, equação (56). Esses coeficientes levam em conta o efeito da flambagem local
nos elementos constituintes do perfil.
𝑄 = 𝑄𝑠𝑄𝑎 (56)
Assim é necessário classificar os elementos constituintes da seção transversal. De
acordo com a NBR 8800:2008, a mesa dos perfis I e H são classificados como elementos AL
(apenas uma borda longitudinal vinculada) associado ao coeficiente 𝑄𝑠 e a alma dos perfis I e
H são classificadas como elementos AA (duas bordas longitudinais vinculadas) associado ao

coeficiente 𝑄𝑎. Cada elemento tem uma relação 𝑏/𝑡 que deverá ser comparada com (𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚
definido pela tabela 7.

Tabela 7 Valores de (𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 para cálculo dos fatores de redução para elementos AA e AL.

Fonte: NBR 8800:2008, Anexo F.

Para o cálculo do coeficiente 𝑄𝑠, relativo aos elementos comprimidos AL, é utilizado
duas formulações, uma para os perfis soldados e outra para os laminados. A mesa dos perfis
laminados refere-se ao grupo 4 da tabela 7. Assim, a