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FÍSICA 3FÍSICA 3FÍSICA 3FÍSICA 3
Fontes de Campo MagnéticoFontes de Campo MagnéticoFontes de Campo MagnéticoFontes de Campo MagnéticoFontes de Campo MagnéticoFontes de Campo MagnéticoFontes de Campo MagnéticoFontes de Campo Magnético
Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba
EMENTAEMENTA
• Carga Elétrica
• Campo Elétrico
• Lei de Gauss
• Potencial Elétrico
• Capacitância
• Corrente e resistência• Corrente e resistência
• Circuitos Elétricos em Corrente Contínua
• Campo Magnético
• Indução Magnética
• Indutância
• Magnetismo em Meios Materiais
• Atividades
Fontes de Campo MagnéticoFontes de Campo Magnético
Como são criados os campos magnéticos?
• Qual é a natureza do campo magnético produzido por uma única partícula
carregada em movimento?carregada em movimento?
• Como é a descrição do campo magnético produzido por um segmento de
condutor que transporta uma corrente?
Sabemos que uma carga (não importa se estática ou em movimento) cria um
campo elétrico.
Uma carga elétrica cria um campo magnético somente quando está em movimento.
Campo Magnético Campo Magnético 
de Carga em Movimentode Carga em Movimento
Deseja-se calcular o campo magnético gerado
por uma carga em um ponto do espaço. 
Chama-se ponto da fonte o ponto onde se encontra 
a carga. E ponto do campo o ponto onde se deseja
calcular o campo.
A experiência mostra que o módulo do campo B é
proporcional a |q| e inversamente proporcional
a r2. Entretanto, a direção do campo é perpendicular
ao plano que contém a reta que une a carga ao
ponto do campo e o vetor velocidade v da mesma:
r
B =
µ0
4π
q
r
v × r̂
r 2
r é o vetor unitário que une a 
carga ao ponto do campo.
Campo Magnético Campo Magnético 
de Carga em Movimentode Carga em Movimento
O campo pode ser visto de 
outra perspectiva, quando
a carga se movimenta para
dentro da página.
Nota-se que as linhas de campo são Nota-se que as linhas de campo são 
circunferências, cujos raios são centrados na
carga (que se movimenta para dentro da página)
O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: “segure” o vetor v com a
mão direita, de modo que seu polegar aponte no sentido de v. Ao fechar os dedos
em torno da reta que representa a velocidade v, os dedos fazem uma rotação em
torno de v, no mesmo sentido da rotação das linhas de campo magnético.
Campo Magnético Campo Magnético 
de Carga em Movimentode Carga em Movimento
Ao se traçar também as linhas de campo elétrico,
originadas na própria carga, verifica-se que
as linhas do campo B e E são perpendiculares
entre si.
A unidade métrica de B (sistema SI) é 1 Tesla = 1 N.s/C.m = 1 N/A.m
Ao se tomar a expressão para B e substituir as unidades métricas 
correspondentes às grandezas envolvidas na equação, obtém-se
as unidades da constante µ0 (1 N.s2/C2 = 1 N/A2 = 1 Wb/A.m = 1 T.m/A).
No sistema SI µ0 = 4πx10-7 T.m/A 
ExemploExemplo
Dois prótons se deslocam paralelamente ao eixo Ox em sentidos opostos, com a
mesma velocidade v. Determine a força elétrica e a força magnética sobre o próton
da parte superior e calcule a razão entre os módulos dessas forças.
Força elétrica: Fe =
1
4πε0
q2
r 24πε0 r
r
B =
µ0
4π
q v î( ) × ĵ
r 2
=
µ0
4π
qv
r 2
k̂
Campo criado pela carga
inferior no ponto onde se
Encontra a carga superior.
Exemplo(continuação)Exemplo(continuação)
A velocidade do próton superior é: -v. A força magnética sobre ele, exercida
pelo próton inferior é: 
Fm = q −
r
v( ) ×
r
B = q −v( ) î × Bk̂ = −qvB − ĵ( ) = +qvB ĵ
Portanto, a força magnética é: 
r
Fm = +qvB ĵ = qv
µ0
4π
qv
r 2
=
µ0
4π
q2 v2
r 2
ĵ
A razão entre os módulos das forças será:
Fm
Fe
=
µ0
4π
q2 v2
r 2
1
4πε0
q2
r 2
= ε0 µ0 v
2
Campo Magnético Campo Magnético 
de um Elemento de Correntede um Elemento de Corrente
Princípio da superposição de campos magnéticos:
O campo magnético total produzido por diversas cargas em movimento é a
a soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais.
Seja dl um segmento de um condutor que
transporta uma corrente. Se A é área da seção
desse condutor, seu volume será: A dl. Se a 
densidade de cargas no condutor é n, então
a quantidade total de cargas no dito volume é:
dQ = nqAdl
Campo Magnético Campo Magnético 
de um Elemento de Correntede um Elemento de Corrente
Pode-se afirmar que as cargas que se movem nesse segmento são
equivalentes a uma única carga dQ que se desloca com velocidade de
arraste va. Assim, o campo magnético criado por essa “carga” dQ é:
µ dQv senϕ µ nqA dl( )v senϕ µ I dl( )senϕ
dB =
µ0
4π
dQva senϕ
r 2
=
µ0
4π
nqA dl( )va senϕ
r 2
=
µ0
4π
I dl( )senϕ
r 2
em que I = n q va A.
Na forma vetorial, tem-se: d
r
B =
µ0
4π
I d
r
l × r̂
r 2
Essa equação é conhecida como Lei de Biot e Savart.
Campo Magnético Campo Magnético 
de um Elemento de Correntede um Elemento de Corrente
O campo magnético total calculado em qualquer ponto do espaço por uma corrente
que flui em um circuito completo é determinado integrando-se sobre todos os
segmentos dl que conduzem a corrente.
r µ I d
r
l × r̂
∫d
r
B =
µ0
4π
I dl × r̂
r 2
∫
Caso exista um material que envolva tal condutor no espaço, o campo magnético
em suas vizinhanças terá uma contribuição adicional resultante da magnetização
do material. A não ser que tal material seja ferromagnético, esse campo magnético
adicional é pequeno e pode ser desprezado.
ExemploExemplo
Um fio de cobre conduz uma corrente constante de 125 A para um tanque de
eletrodeposição. Determine o campo magnético produzido por um segmento de
fio de 1,0 cm de comprimento em um ponto situado a uma distância de 1,2 m do
fio, considerando que o ponto seja:
a)um ponto P1 situado sobre a perpendicular superior do fio;
b)um ponto P2 situado sobre uma linha que forma um ângulo de 30°com o fio.b)um ponto P2 situado sobre uma linha que forma um ângulo de 30°com o fio.
SoluçãoSolução
De acordo com a regra da mão direita, no ponto P1 o campo está entrando na página
(plano xy). De acordo com a figura, o segmento dl está localizado na parte
negativa do eixo Ox. Assim, 
d
r
l = − dl( )î= −( )
d
r
l × r̂ = dl −î( ) × ĵ = − dl( ) k̂
O módulo de B no ponto P1 é calculado por:
dB =
µ0
4π
I dl( )senϕ
r 2
=
4π ×10−7( )
4π
125A( ) 1, 0 ×10−2 m( ) sen900( )
1, 2m( )
2
= 8, 7×10−8T
SoluçãoSolução
O módulo de B no ponto P2 é calculado por:
dB =
µ0
4π
I dl( )senϕ
r 2
=
4π ×10−7( )
4π
125A( ) 1, 0 ×10−2 m( ) sen300( )
1, 2m( )
2
= 4,3×10−8T
4π r 4π 1, 2m( )
Os valores obtidos são muito pequenos. Lembre que o valor do campo magnético
da Terra é 10-4 T. Os campos produzidos também se referem a apenas um pequeno
segmento de condutor com comprimento de 1,0 cm!
Campo Magnético de Campo Magnético de 
um Condutor Retilíneoum Condutor Retilíneo
Um caso simples e de interesse prático é o de um condutor retilíneo. Deseja-se
calcular o campo B gerado por esse condutor em um ponto sobre a reta perpendicular
que divide o condutor em duas metades, situado a uma distância x de seu centro.
Para se calcular o campo, deve-se partir da expressão:
d
r
B =
µ0
4π
I d
r
l × r̂
r 2
∫
O elemento dl encontra-se ao longo do eixo Oy. Assim,
dl = dy e 
( )
22
22
-sen
yx
x
sen
yxr
+
==
+=
ϕϕπO campo B penetra na página.
Campo Magnético de Campo Magnético de 
um Condutor Retilíneoum Condutor Retilíneo
( ) ( )
∫ ∫∫
+ +
==
×
=
a a
yd
xIrydIrldI
Bd 000
senˆˆ µϕµµ
r
r
O limite de integração corresponde ao tamanho do segmento de corrente L=2a.
Portanto, yinf = -a e ysup = +a
( ) ( )
∫ ∫∫
− − +
=
+
=
×
=
a a
yd
yx
xI
yx
I
r
rldI
Bd
2/322
0
2
22
0
2
0
44
ˆ
4 π
µ
π
µ
π
µ
Examinando-se uma tabela de integrais, verifica-se que (em que n = 3/2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫ −−
+−
−
+
+−
=
+
1222122222 22
32
12
nnn
ya
dy
an
n
yaan
y
ya
dy
Campo Magnético de um condutor Campo Magnético de um condutor 
retilíneoretilíneo
Portanto, o resultado da integração fornece a seguinte expressão:
B =
µ0 I
4π
2a
x x2 + a2
Quando o comprimento do condutor for muito grande (a � ∞), então a>> x e
B =
µ0 I
2π x
Neste caso, B possui o mesmo módulo em todos os pontos sobre uma
circunferência centralizada no condutor e situada em um plano perpendicular a ele. 
Campo Magnético em Fio RetilíneoCampo Magnético em Fio Retilíneo
in the direction of the magnetic field lines.
I
I
B
S
B
S
B
S
B
S B
S
B
S
As linhas do campo magnético são
circunferências centrallizadas sobre o fio
que conduz a corrente uniforme I.
Assim, as linhas de campo sempre formam
curvas fechadas e nunca possuem pontos
Iniciais ou finais.
B
Iniciais ou finais.
ExemploExemplo
Um condutor retilíneo longo conduz uma corrente de 1,0 A. Para qual distância,
a partir do eixo do condutor, o módulo do campo magnético produzido pela
corrente é igual ao módulo aproximado do campo magnético médio na 
superfície da Terra? Considere que tal campo magnético tenha o valor de 0,5x10-4 T
=
µ I
=
4π ×10−7T.m/ A( ) 1, 0A( )
=r =
µ0 I
2π B
=
4π ×10 T.m/ A( ) 1, 0A( )
2π 0, 5×10−4T( )
= 4mm
Campo Magnético de Dois FiosCampo Magnético de Dois Fios
A figura abaixo mostra um plano xy que corta perpendicularmente dois fios
longos paralelos, cada um deles conduzindo uma corrente I de mesmo módulo,
porém de sentidos contrários. Determine
a) o módulo, a direção e o sentido de B nos pontos P1, P2 e P3;
b) calcule o módulo a direção e o sentido de B nos pontos do eixo Ox à direita
do fio 2, com base na coordenada x do ponto.do fio 2, com base na coordenada x do ponto.
SoluçãoSolução
A solução requer o cálculo da resultante da soma dos campos em cada ponto.
a figura ilustra a direção e sentido que o vetor B de cada fio produz nos pontos
desejados. 
No ponto P1 tem-se (B1 aponta no sentido negativo do eixo Oy e B2 aponta no
sentido positivo de Oy):
r
Btot =
r
B1 +
r
B2
B1 =
µ0 I
2π 2d( )
e B2 =
µ0 I
2π 4d( )
Btot = B1 − B2 =
µ0 I
8π d
O campo resultante aponta no sentido negativo de Oy.
Exemplo (solução)Exemplo (solução)
No ponto P2 tem-se (tanto B1 como B2 apontam no sentido positivo de Oy):
r
Btot =
r
B1 +
r
B2
B =
µ0 I e B =
µ0 IB1 =
µ0 I
2π d( )
e B2 =
µ0 I
2π d( )
Btot = B1 + B2 =
µ0 I
π d
O campo resultante aponta no sentido positivo de Oy.
Exemplo (solução)Exemplo (solução)
No ponto P3 tem-se (B1 aponta no sentido positivo do eixo Oy e B2 aponta no
sentido negativo de Oy):
r
Btot =
r
B1 +
r
B2
µ I µ I
B1 =
µ0 I
2π 3d( )
e B2 =
µ0 I
2π d( )
Btot = B2 − B1 =
µ0 I
3π d
O campo resultante aponta no sentido negativo de Oy.
Exemplo (solução)Exemplo (solução)
Para qualquer ponto à direita do fio 2 (para x > d), B1 e B2 possuem a mesma
direção, mas sentidos opostos.
r
Btot =
r
B1 +
r
B2
B =
µ0 I e B =
µ0 IB1 =
µ0 I
2π x+ d( )
e B2 =
µ0 I
2π x− d( )
Btot = B2 − B1 =
µ0 I
2π
1
x+ d
−
1
x− d





=
µ0 I d
π
1
x2 − d2( )
Para pontos muito distantes dos fios (x >> d2)� Btot =
µ0 I d
π x2
Campo Magnético de Campo Magnético de 
uma Espira Circularuma Espira Circular
Anteriormente discutimos a força e o torque sobre uma espira que conduz
corrente e que se encontrava inserida em um campo magnético uniforme.
Agora deseja-se determinar o campo magnético produzido pela própria espira.
Seja a figura abaixo que mostra uma espira circular com raio a e que conduz
uma corrente I. Deseja-se calcular o campo magnético em um ponto P situadouma corrente I. Deseja-se calcular o campo magnético em um ponto P situado
sobre o eixo da espira e localizado a uma distância x do seu centro.
y
O
x
dBy
dBx
I
a
P
x
r
u
u
p
2
2 u
p
2
2 u
dB
S
dl
S
r̂
S
z
I
I
Novamente, utiliza-se a Lei de Biot e Savart:
r
B =
µ0
4π
I d
r
l × r̂
r 2
∫
Campo Magnético de Campo Magnético de 
uma Espira Circularuma Espira Circular
A figura mostra que dl e r são perpendiculares e que a direção de B está contida
no plano xy. Da figura observa-se que r2 =x2 + a2. Ao se calcular a contribuição
das componentes de campo ao longo dos eixos Ox e Oy verifica-se que as 
dontribuições ao longo de Oy se cancelam, restando apenas as contribuições ao
longo de Ox.
A componente dBx é calculada como:
∴Bx =
µ0
4π
I dl( ) r̂ cosθ( )
r 2
=∫
µ0 I
4π
dl
x2 + a2( )
a
x2 + a2( )
1 2∫
dBx = dBcosθ
com cosθ =
a
x2 + a2
Campo Magnético de Campo Magnético de 
uma Espira Circularuma Espira Circular
∴Bx =
µ0 I
4π
a
x2 + a2( )
3 2
dl∫
Todas as grandezas na intregral, exceto dl, são constantes. Portanto
4π x + a( )
A integral restante requer o cálculo da contribuição do elemento dl sobre o
perímetro da espira, cujo resultado é: 2πa. Assim,
Bx =
µ0 I
4π
a
x2 + a2( )
3 2
dl∫ =
µ0 I
4π
a
x2 + a2( )
3 2
2π a( ) =
µ0 I
2
a2
x2 + a2( )
3 2
Campo Magnético sobre Campo Magnético sobre 
o eixo de uma bobinao eixo de uma bobina
Se agora, ao invés de uma única espira, tivermos uma bobina constituída por
N espiras de mesmo raio, o campo magnético resultante ao longo do eixo
central dessa bobina será:
µ NI a2
Bbobinax =
µ0 NI a
2
2 x2 + a2( )
3 2
O fator N é a razão pela qual se usa uma bobina, ao invés de uma única
espira, para se obter um campo magnético de grande intensidade.
Atenção: essa equação é válida
somente para os pontos sobre o
eixo da bobina!
Campo Magnético sobre Campo Magnético sobre 
o eixo de uma bobinao eixo de uma bobina
A figura abaixo mostra o comportamento do campo B em função da variável x.
O valor máximo é obtido quando x = 0 (no centro da bobina).
Bx
m NI
Pode-se reescrever a equação do campo
O a 2a
x
3aa2a3a
1
2
Bmax 5
Bmax
m0NI
2a
Pode-se reescrever a equação do campo
Magnético em função do momento de dipolo
magnético da espira (ou bobina). 
Se µespira = I A= I πa2 (ou µbobina = N I A= N I πa2 ,
tem-se:
Bbobinax =
µ0 µbobina
2π x2 + a2( )
3 2
ExemploExemplo
Uma bobina conduzindo uma corrente de 5,0 A é constituída de 100 espiras
Circulares com raio igual a 0,60 m. Detremine:
a)O campo magnético ao longo do eixo da bobina, situado a uma distância
de 0,80 m do seu centro;
b) Em que ponto ao longo do eixo da bobina o campo magnético se reduz a 1/8
do valor do campo no centro da bobina.do valor do campo no centro da bobina.
Bx =
4π ×10−7T.m/ A( ) 100( ) 5, 0A( ) 0, 6m( )
2 0,8m( )
2
+ 0,6m( )
2



=1,1×10−4T
a) Campo magnético ao longo do eixo da bobina
ExemploExemplo ((continuaçãocontinuação))
( ) ( )a
aIN
ax
aIN
028
1
2
2322
2
0
2322
2
0
+
=
+
µµ
b) A incógnita é o valor de x, no qual o campo possui 1/8 do módulo qu possui
quando x = 0. Assim,
( ) ( )
( ) ( )
max
aaxaax
aax
04,13
8
11
8
11
0282
32
3
32
232232322
±=±=






=





+
⇒=
+
∴
++
Lei de AmpèreLei de Ampère
Em problemas com simetria elevada o cálculo do campo magnético pode
ser realizado empregando-se a Lei de Àmpere. Tal lei é definida tomando-se a
integral de linha do campo B em torno de uma trajetória fechada.
∫ =⋅ IldB µ
rr
∫ =⋅ IldB 0µ
Nessa equação o círculo no símbolo da integral indica que esta deve ser calculada
em uma curva fechada, ou seja, o ponto inicial e final da trajetória devem coincidir.
Tal equação vale para todos os percursos e condutores, qualquer que seja a forma
do condutor e o percurso escolhido. A corrente I significa a corrente total existente
no interior ou correntes englobadas pelo circuito de integração. 
Lei de AmpèreLei de Ampère
Seja o campo magnético produzido por um condutor retilíneo que transporta uma
corrente I. De nossa análise anterior verificamos que
B =
µ0 I
2π r2π r
e que as linhas de campo magnético são circunferências, cujo centros são o
próprio condutor.
Para entender como tal resultado pode ser obtido empregando-se
a Lei de Àmpere, deseja-se calcular o produto de B e dl sobre um elemento do
caminho escolhido e realizar a integral sobre todo o caminho.
Lei de AmpèreLei de Ampère
Examinando-se a figura abaixo, na qual se toma uma conferência com raio r,
observa-se que B e dl são paralelos. Como r é constante (ou seja, o caminho
escolhido não sofre alteração em seu diâmetro) o valor de B também é constante. 
Assim, na integral de caminhopode-se tirar
B para fora da operação de integração:B para fora da operação de integração:
( )∫ ∫∫ ==⋅ dlBdlBldB o
rr
0cos
A integral no caminho fechado ao longo da circunferência
de raio r nada mais é do que o comprimento da própria
circunferência. Assim,
( )rBdlB π2=∫
Lei de AmpèreLei de Ampère
Utilizando-se nosso conhecimento sobre B, ou seja, sabendo-se que: 
B =
µ0 I
2π r2π r
então ( ) ( ) Ir
r
I
rBdlB
0
0 2
2
2 µπ
π
µ
π ===∫
Portanto, a integral no caminho fechado é igual ao produto de µ0 pela corrente I
que atravessa a área delimitada por tal caminho.
Lei de AmpèreLei de Ampère
Pode-se estender o resultado obtido para percursos de integração mas gerais.
Seja a figura abaixo que mostra um caminho de integração genérico. O ângulo
entre B e dl é Φ, portanto:
r
B ⋅ d
r
l = Bdl cosΦB ⋅ dl = Bdl cosΦ
Mas, dl cosΦ = r dθ
em que dθ é o ângulo subtendido pelo elemento
de caminho dl em relação ao fio e r é a distância
entre dl e o fio. 
Lei de Lei de AmpèreAmpère
Assim,
( ) ( )∫ ∫∫ =Φ=⋅ θ
π
µ
dr
r
I
dlBldB
2
cos 0
rr
( )∫ θ
µ
d
I
0
Portanto, ( )∫ θ
π
d
2
0
Portanto,
Finalmente, ∫ ∫ =⋅→= IldBd 02 µπθ
rr
A integral sobre dθ representa o ângulo varrido pela linha que liga o fio
condutor com o elemento dl durante uma volta completa ao longo do
caminho de integração. Tal resultado não depende da forma do percurso
ou da posição do fio no interior do mesmo.
Lei de Lei de AmpèreAmpère
∫ =⋅ totIldB 0µ
rr
A lei de Àmpere continua valendo para quaisquer condutores que se encontram
dentro do percurso de integração, como mostra a figura acima. 
Contrariamente ao caso da força elétrica, a força magnética não é conservativa, pois
ela depende também da velocidade da partícula. Assim, a lei de Àmpere não 
representa o trabalho realizado pela força sobre uma carga de prova movida ao longo
do percurso.
ExemploExemplo 11
Um condutor cilíndrico longo de raio R conduz uma corrente I. A corrente está
uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro. Calcule o campo
magnético em função da distância r entre o ponto do campo e o eixo do cilindro
para todos os pontos dentro (r < R) e fora do condutor (r > R).
Interior do Condutor:
No interior do condutor o campo B tem o mesmo
módulo a uma distância r do seu centro. Assim, 
escolhe-se uma circunferência de raio r para o
percurso fechado da Lei de Àmpere. Como
B é constante, obtém-se:
( )∫ ∫ ===⋅ percIrBdlBldB 02 µπ
rr
ExemploExemplo 1 (1 (continuaçãocontinuação))
Para calcular a corrente Iperc no interior percurso de integração, nota-se que a 
densidade de corrente no condutor é dada por:
2área
corrente
R
I
J ==
π
( ) ( )
2
2
2
2
2,
área
R
rI
r
R
I
rJIAssim
R
perc
=== π
π
π
π
Substituindo a expressão para Iperc na expressão da Lei de Àmpere, tem-se:
( ) r
R
I
B
R
rI
rB
2
0
2
2
0
2
2
π
µ
µπ =⇒= (para r < R)
ExemploExemplo 1 (1 (continuaçãocontinuação))
Fora do condutor considera-se uma circunferência para o percurso, cujo
raio r é maior do que R (r > R). Neste caso, I = Iperc e o resultado é mesmo
calculado anteriormente para um fio condutor. Portanto,
B =
µ0 I
2π r
(para r > R)B =
2π r
Fora do condutor o campo magnético é o mesmo 
que o produzido por um fio retilíneo longo que 
conduz uma corrente I.
ExemploExemplo 2 2 
Um solenóide é constituído por um enrolamento helicoidal de fio sobre um núcleo,
em geral com seção reta circular. A figura abaixo mostra a seção longitudinal de
um solenóide com N espiras. Todas as espiras conduzem uma corrente I. Assim,
o campo magnético total é a soma dos campos magnéticos produzidos por cada 
espira. Utilize a Lei de Àmpere para determinar o campo magnético no centro ou
nas proximidades do centro desse solenóide.
Escolhe-se como caminho de integração o retângulo
abcd visto na figura ao lado. Assim,
∫∫∫∫ ∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
a
d
d
c
c
b
b
a
ldBldBldBldBldB
rrrrrrrrrr
ExemploExemplo 2 (2 (continuaçãocontinuação))
Considerações:
- campo B uniforme no interior do solenóide;
- campo B nulo fora dele;
- supõe-se que os lados bc e da sejam muito longos, de modo que o lado
cd esteja tão afastdo a ponto de o campo magnético sobre ele ser desprezível.
A figura abaixo ajuda a entender tais premissas:
As linhas de campo próximas do centro do solenóide
são paralelas, indicando um campo quase uniforme.
Fora dele, as linhas são mais espaçadas e o campo
magnético é fraco (quase nulo).
Quando o solenóide possui comprimento muito maior
do que o diâmetro de sua seção reta e as espiras são
enroladas de forma compacta, o campo interno nas 
vizinhanças do seu centro é paralelo ao eixo e o campo
externo é muito pequeno.
ExemploExemplo 2 (2 (continuaçãocontinuação))
( )
( ) 090cos
0cos
0
0
==⋅
==⋅
∫∫
∫∫
cc
b
a
b
a
BdlldB
LBdlBldB
rr
rr
Assim, considerando-se as premissas anteriores, tem-se:
( )
( )
( ) 090cos
0,00cos
090cos
0
0
==⋅
===⋅
==⋅
∫∫
∫∫
∫∫
a
d
a
d
d
c
d
c
bb
BdlldB
BpoisBdlldB
BdlldB
rr
rr
Observa-se, na verdade, que as integrais ao longo dos trechos bc e da podem
ainda ser segmentadas em duas partes: uma que vai do centro ao limite das 
espiras e outras que se estende desse limite até os pontos c e d, respectivamente.
ExemploExemplo 2 (2 (continuaçãocontinuação))
Finalmente, ∫ ∫ ==⋅=⋅ perc
b
a
ILBldBldB
0
µ
rrrr
Como o número de espiras em um comprimento L é nL (onde n é a densidade
de espiras por unidade de comprimento), então a corrente total no interiorde espiras por unidade de comprimento), então a corrente total no interior
do retângulo é: Iperc = nLI. Assim,
InBILnLB
00
µµ =⇒=
ExemploExemplo 2 (2 (continuaçãocontinuação))
Um cálculo mais exato fornece o comportamento
mostrado na figura ao lado para o campo magnético.
Para os pontos ao longo do eixo o campo é mais forte
nas vizinhanças do centro (pnto x = 0) e diminui à nas vizinhanças do centro (pnto x = 0) e diminui à 
medida que o ponto se aproxima das extremidades,
na direção de x = +2a e x = - 2a.
ExercícioExercício
Os fios que formam as semicircunferências indicadas na figura abaixo possuem 
raios a e b. Determine o móudlo, a direção e o sentido do campo magnético
resultante produzido pelas correntes dos fios no ponto P.
MateriaisMateriais MagnéticosMagnéticos
A origem do magnetismo está no movimento dos elétrons no interior do átomo.
Os elétrons formam espiras de corrente microscópicas que se movem e produzem
indvidualmente campos magnéticos.
Em muito materiais, esses campos magnéticos microscópicos estão distribuídos
aleatoriamente e não produzem nenhum campo magnético externo. 
Entretanto, em outros materiais esses campos microscópicos produzem um 
campo externo. 
Ou ainda em alguns materiais, os campos magnéticos microscópicos podem ser
alinhados com um campo externo aplicado sobre eles, para o qual então 
Contribuem. Neste caso, diz-se que tais materiais foram magnetizados.
MagnetonMagneton de Bohrde Bohr
Seja a figura ao lado que mostra o modelo primitivo
de um elétron em um átomo. O elétron (massa m
e carga –e) move-se com velocidade v em uma órbita
circular de raio r. A carga que se move é então
equivalente a uma espira circular!
Assim, tal espira possui um momento de dipolo magnéticoAssim, tal espira possui um momento de dipolo magnético
dado por µ = I A, onde I é a corrente e A é a área da espira. 
A corrente é calculada como: 
( ) v2 r
e
T
e
I
π
==
T é o período de tempo que o elétron gasta para percorrer
a distância de 2π r.
MagnetonMagneton de Bohrde Bohr
Portanto, o momento de dipolo magnético do elétron é: ( )
2
rv
r2
v
2
e
r
e
== π
π
µ
Em comum expressar o momento magnético µ em termos do momento angular L
do elétron, L = (mv)r, que é o produto do momento linear (mv) pelo raio r. Assim, 
L
m
ee
22
rv
==µ
Segundo a Física Quântica, o momento angular atômico é quantizado e possui
o valor L = h/2π, que representa sua unidade fundamental (h é a conhecida 
como constante de Planck e possui o valor h = 6,626x10-34 J.s. 
MagnetonMagneton de Bohrde BohrAssim,
m
heh
m
e
ππ
µ
422
=





=
Tal momento de dipolo magnético é chamado de magneton de Bohr, cujo valor é:
µB = 9,274x10-24 A.m2 = 9,274x10-24 J/T.
Os elétrons também possuem um momento angular intrínseco, conhecido como
spin e pode ser descrito classicamente como oriundo da rotação do elétron em
torno de seu próprio eixo. Esse momento angular possui também um momento
de dipolo magnético associado, cujo módulo é quase exatamente o valor de um
magneton de Bohr. ~(1,001 µB).
ClassificaçãoClassificação dos dos 
MateriaisMateriais MagnéticosMagnéticos
Os materiais magnéticos podem ser classificados em três categorias:
• Paramagnéticos
• Diamagnéticos
• Ferromagnéticos• Ferromagnéticos
Paramagnetismo
O campo magnético produzido pelas espiras microscópicas dos elétrons é
diretamente proporcional ao momento magnético total µtot por unidade de volume V
do material. Essa grandeza é conhecida como magnetização do material:
V
M tot
µ
r
r
=
V
M =
E o campo magnético adicional produzido pela magnetização é: M
r
0
µ
Quando esse material preenche o espaço em torno de um condutor que transporta
uma corrente I, o campo magnético total observado no seio desse material será:
MBB
rrv
00
µ+=
Paramagnetismo
Um material paramagnético é aquele que possui o comportamento descrito
logo acima, em que o campo magnético interno fica ampliado em relação
ao valor que existiria se em seu lugar houvesse apenas o vácuo.
Introduz-se um parâmetro conhecido como permeabilidade magnética relativa do
material, expresso por: µmaterial, expresso por: 
0
µ
µ
=
m
K
A diferença entre o valor da permeabilidade relativa e a unidade é conhecida
como suscetibilidade magnética, designada por: 1−=
mm
Kχ
χm e Km são grandezas adimensionais.
Observação: não confundir o parâmetro µ com a grandeza vetorial que representa o 
dipolo de momento magnético!
Paramagnetismo
A tendência dos momentos magnéticos atômicos de se alinharem paralelalmente
ao campo magnético externo é dificultada pelo movimento caótico dos elétrons,
devido à agitação térmica. A suscetibilidade magnética sempre diminui quando a
temperatura aumenta.
Esse fenômeno é conhecido por Lei de Curie, em que o valor de M é dado por:
T
B
CM =
C é a constante de Curie (possui valor diferente para diferentes materiais) e T é
a temperatura.
Diamagnetismo
A maioria dos materiais na natureza pode ser classificada como diamagnética.
(mais comumente conhecidos como não-magnéticos).
Quando um campo magnético externo é aplicado em materiais diamagnéticos, 
o resultado é um campo magnético interno que se opõe ao campo externo 
aplicado. O efeito geralmente é muito pequeno e não é observado.
Um material diamagnético possui apresenta uma suscetibilidade magnética
negativa. Um supercondutor é um diamagneto perfeito (χm = -1) e repele 
completamente o campo externo aplicado.
Valores de χm
Ferromagnetismo
Em materiais ferromagnéticos há fortes interações entre os momentos magnéticos
atômicos que produzem um alinhamento interno em certas regiões do material,
denominadas de domínios magnéticos
Na presença de um campo magnético externo, tais domínios tendem a se alinhar
paralelamente ao campo. O campo magnético total no interior de um domínio
pode ser da ordem de alguns milhares de magnetons de Bohr. Assim, a 
Permeabilidade relativa Km é muito maior do que um. Assim, um materialPermeabilidade relativa Km é muito maior do que um. Assim, um material
ferromagnético (por exemplo, ferro) é fortemente magnetizado pel campo de um
imã permanente. 
Entretanto, à medida que o campo magnético externo aumenta
atinge-se uma saturação, cujo valor é conhecido como magnetização de saturação.
Ferromagnetismo
Em muito materiais ferromagnéticos a relação entre a magnetização e o campo
magnético externo quando o campo aumenta é diferente de quando ele diminui.
esse tipo de comportamento é conhecido como histerese e pode ser visto nas
figuras abaixo.
Imã permanente
Memórias de 
computadores
Transformadores
A magnetização e desmagnetização de um material produz dissipaçao de energia
e a temperatura do material aumenta durante o processo. Materiais ferromagnéticos
São largamente empregados em eletroimãs, transfomadores, geradores e motores.