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<p>Campo magnético estacionário Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira Descrição o estudo da Lei de Biot-Savart e da Lei de Ampère para cálculo dos campos magnéticos. A definição do fluxo magnético, bem como dos potenciais magnéticos. A determinação das forças magnéticas, a análise dos materiais magnéticos e a determinação da indutância. Propósito o conhecimento dos fenômenos físicos relacionados ao campo magnético estacionário, bem como dos cálculos dos campos, potenciais e indutâncias são necessários para se estudar o Eletromagnetismo, a base de diversas disciplinas na área da Engenharia. Preparação Antes de iniciar o estudo, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone ou computador. Objetivos</p><p>Módulo 1 Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère Aplicar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère para determinação do campo magnético estacionário. Módulo 2 Densidade de fluxo magnético, fluxo magnético e potencial magnético Aplicar o fluxo magnético e os potenciais magnéticos no estudo dos fenômenos magnéticos. Módulo 3 Forças magnéticas, materiais magnéticos e indutância Analisar as forças magnéticas e materiais magnéticos, bem como os cálculos na determinação de indutâncias. Introdução Olá, seja bem-vindo! Assista ao vídeo e compreenda os principais conceitos envolvendo campo magnético estacionário. Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo.</p><p>1 - Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère para determinação do campo magnético estacionário. Vamos começar! Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère Veja a seguir importantes aspectos sobre a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère. Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Campo magnetostático Introdução ao campo magnetostático</p><p>Um tipo de campo relacionado ao eletromagnetismo que deve ser estudado é o Campo Magnético. Acredita-se que há mais de 4 mil anos foi descoberto que certos tipos de materiais como ferro, magnetita e outras ligas metálicas poderiam atrair uns aos outros e a certos metais Ferro na forma bruta. Magnetita. Exemplo de liga metálica.</p><p>No início, pensava-se que a eletricidade e o magnetismo não tinham nenhuma relação entre si. Apenas em 1820, o físico dinamarquês Hans C. Oersted provou, experimentalmente, uma ligação direta entre esses dois fenômenos. Sua experiência demostrou que um fio condutor, quando percorrido por uma corrente elétrica, ou seja, por cargas elétricas em movimento, era capaz de girar a agulha de uma bussola. Em outras palavras, apresentava uma propriedade idêntica aos materiais ferrosos, que é o magnetismo. Posteriormente, diversos cientistas demonstraram que os fenômenos magnéticos e elétricos estão fortemente relacionados, constituindo apenas dois aspectos diferentes do comportamento da carga elétrica. A carga elétrica, portanto, tem a capacidade de produzir os dois fenômenos. Ela gera e sofre sempre o efeito do campo elétrico; entretanto, para produzir e sofrer o efeito do campo magnético, ela deve estar em movimento. Na prática, carga elétrica em movimento é a corrente elétrica. Hans C. Oersted, físico e químico dinamarquês. Além da corrente elétrica, um campo elétrico variante no tempo também terá a capacidade de gerar um campo magnético e vice-versa. o princípio do magnetismo é utilizado em diversas aplicações, como</p><p>motores e geradores, microfones, veículos de alta velocidade e até em alto-falantes. Representaremos o campo magnético pelo vetor H, que tem unidade A/m. Existe outra forma de exprimir o campo magnético, por meio do vetor densidade de fluxo magnético ou indução magnética, com simbologia B Esse vetor terá como unidade denominada tesla (T). Usualmente, utilizamos mais o vetor indução magnética quando estudamos fluxo magnético. Existe uma ligação direta entre o vetor campo magnético e a indução magnética. Nos materiais não magnéticos ou fracamente magnéticos, existe uma linearidade. Assim: Em que é a permeabilidade magnética do meio. Nos materiais fortemente magnéticos, não existirá essa linearidade e a relação será definida pelas curvas denominadas de curvas de magnetização. Para cada meio, definimos uma permeabilidade magnética relativa assim, a permeabilidade do meio pode ser obtida pela permeabilidade magnética do vácuo ou do ar, que vale Veja: efeito do campo magnético será sentido através de uma força magnética. Lembre-se de que é um raciocínio análogo ao estudo do campo elétrico ou o campo gravitacional. Compare:</p><p>s A força elétrica aparece A força gravitacional em uma carga elétrica aparece em um corpo que se encontra em com massa em uma uma região com campo região com campo gravitacional. Assim, a força magnética aparecerá em uma carga elétrica pontual em movimento ou em um condutor com corrente elétrica que se localiza em uma região com campo magnético. A diferença fundamental entre a força gerada por um campo magnético é que ela estará sempre perpendicular ao campo magnético, diferentemente com o que acontece com as forças elétricas e gravitacionais, que estão na direção dos respectivos campos. Quando um campo magnético não varia com o tempo, ele leva o nome de campo magnético estacionário ou campo magnetostático. Lei de Biot-Savart: definição e aplicação A Lei de Biot-Savart Um pouco após a descoberta de Oersted de que a corrente elétrica gerava um campo magnético, foi obtida a Lei de Biot-Savart, de forma experimental. Essa lei apresenta uma relação entre o campo magnético e sua corrente elétrica. Inicialmente, determina-se qual o campo gerado por um pedaço elementar do condutor percorrido por uma corrente elétrica.Tal pedaço será um elemento de corrente infinitesimal, que iremos representar por IdL, sendo I o valor da corrente elétrica e dL o elemento vetorial de deslocamento, que determina a direção e o sentido da corrente. Vamos calcular o campo gerado em um ponto P, que está a uma distância R do elemento de corrente. o vetor R é o vetor posição entre o ponto P e o elemento infinitesimal de corrente. Observe:</p><p>P IdL Condutor percorrido por uma corrente elétrica. vetor R pode ser representado pelo vetor unitário que define a sua direção e sentido: A Lei de Biot-Savart determinou que o campo gerado por IdL será um campo magnético (dH) dado por: dH = 4R2 Repare que o campo magnético será diretamente proporcional à corrente e inversamente proporcional à distância ao quadrado. Observe também que o campo será o resultado de um produto vetorial, significando que o campo magnético será perpendicular aos dois vetores. Na prática, significa que as linhas do campo magnético circulam ao redor do condutor. o sentido do campo será dado pela regra da mão direita, em que o dedo polegar aponta para o sentido da corrente e o sentido dos demais dedos mostram o sentido do campo.</p><p>Regra da mão direita. Para calcular o campo gerado por todo condutor, temos que usar o Teorema da Superposição. o campo será a soma dos campos gerados individualmente por cada elemento de corrente. Veja: IdL H = dH = condutor condutor 4R2 Vamos analisar um exemplo para compreendermos melhor esse assunto! Exemplo Determine o campo magnético gerado por um fio reto de comprimento 2L, percorrido por uma corrente I, em um ponto que se encontra, no meio do fio, a uma distância D. Solução Colocaremos o fio no eixo A corrente está no sentido de Z positivo, assim o elemento infinitesimal de corrente será dado por: IdL =</p><p>Z IdL R Z o P D Fio reto delgado percorrido por uma corrente elétrica Em coordenadas cilíndricas, temos: Repare que vetor R aponta na horizontal no sentido da radial e na vertical contrário ao eixo Z. Além disso, Assim, o campo gerado por um elemento de corrente localizando em Z será dado por: Porém, temos: Lembre-se de</p><p>= = Portanto, o campo gerado de todo o condutor é: = condutor condutor = Usando a tabela de integral, temos: L (-L) ID 2L Como já deveríamos esperar, o campo terá direção e sentido do vetor ou seja, contornando o fio. Se o condutor for infinito, então, L assim, VD2 + L2 = + Outros exemplos do cálculo de campo magnético pela Lei de Biot-Savart podem ser obtidos nas referências bibliográficas. Nos exercícios deste módulo aplicaremos essa lei para calcular o campo obtido por um anel circular percorrido por uma corrente I, em um ponto P localizado em seu eixo central. Esse campo será dado por:</p><p>Ia2 H = Em que a é o raio do anel e Z a distância do ponto P ao centro do anel. Esse campo terá direção do eixo do anel. Será apontado para cima, se a corrente for no sentido anti-horário, ou para baixo, se a corrente estiver no sentido horário. H H Sentido do campo magnético H em função do sentido da corrente Se o ponto estiver localizado no centro do anel, ou seja, Z=0, Lei Circuital de Ampère: definição e aplicação A Lei de Ampère A Lei de Gauss permite encontrar os campos elétricos para algumas distribuições de carga com simetria de uma forma mais simples. Os campos elétricos eram obtidos diretamente das distribuições de carga que se encontravam no interior de uma superfície fechada denominada superfície Gaussiana. De modo semelhante, encontramos na magnetostática, a Lei Circuital de Ampère ou apenas Lei de Ampère, que permite o cálculo do campo magnético diretamente da distribuição de corrente, de uma forma mais simples do que a Lei de Biot-Savart. A Lei de Ampère é utilizada em problemas que possuam certa simetria e pode ser provada por meio de experimentos práticos. Nesse sentido, torna-se importante ressaltar o que a lei diz:</p><p>66 A circulação da intensidade do campo magnético através de um percurso fechado é igual a corrente elétrica envolvida por este percurso. (Lei de Ampère) Matematicamente tem-se que: A circulação de um campo vetorial é a integral de linha em um percurso fechado. A linha auxiliar que usaremos para circular a distribuição de corrente será denominada de Amperiana. Teremos que usar uma Amperiana adequada para cada distribuição de corrente, de modo a calcular a circulação do campo magnético de uma forma simples. Para o caso de problemas com a simetria de um fio cilíndrico, a Amperiana utilizada será sempre uma circunferência que circunda o fio e tem seu centro no fio. Já sabemos que o campo magnético, gerado por um fio, circula o fio com sentido obtido pela regra da mão direita. o valor do campo depende da distância ao fio.</p><p>D Amperiana para um fio condutor. Ao escolher a Amperiana, o campo magnético em todos os pontos da linha terá o mesmo valor, pois todos os pontos distam D do fio. Além disso a direção do campo será tangencial à linha, facilitando o cálculo da integral de linha (circulação). Portanto, H = = HDDdo Logo, H . dL = Linha = 0 Linha Linha . = Linha</p><p>Como o campo tem direção e sentido de temos: H Ienv Vejamos alguns exemplos para fixarmos o conteúdo estudado! Exemplo Determine o campo magnético gerado por um fio infinito, que possua uma corrente I em um ponto que se encontra a uma distância D do fio. Solução Já sabemos pelo cálculo feito antes do exemplo, que: Repare que a corrente que atravessa a Amperiana será a corrente do condutor. Ienv = I H Que é o mesmo campo calculado através da Lei de Biot-Savart. Exemplo Determine o campo magnético gerado por um fio grosso infinito, de raio a, que possua uma corrente uniformemente distribuída I, em um ponto que se encontra a uma distância D do seu centro. Solução No exemplo anterior, o fio tinha raio desprezível, aqui tem um raio a. Vamos iniciar o cálculo do campo magnético para a parte interna do fio, ou seja, D < a. Escolheremos a mesma Amperiana do exemplo anterior, circular de raio D. Agora não é a corrente total I que atravessa a Amperiana, pois ela só circunda parte do fio. Observe:</p><p>Fio D a Amperiana Amperiana vista na visão da seção reta do fio. Como a corrente é uniformemente distribuída, deveremos fazer uma proporção de área para obter a corrente que atravessa a Amperiana: Linha H . dL - Linha Linha = : = = Linha Vamos realizar o cálculo do campo magnético para a parte externa do fio, ou seja, D > a. Para essa região, basta repetir o que foi feito no exemplo anterior, pois toda corrente I atravessa a Amperiana circular de raio D. Portanto, H = ID D < a De forma temos: resumida, H = Obs.: Outros exemplos do cálculo de campo magnético pela Lei de Ampère podem ser obtidos nas referências bibliográficas.</p><p>Rotacional e campo vetorial Rotacional e a forma diferencial da Lei de Ampère Na eletrostática, usamos o divergente do campo para achar a forma diferencial da Lei de Gauss. Acontece, porém, que para encontrarmos a forma diferencial da Lei de Ampère, necessitamos utilizar outro operador diferencial, que é o rotacional de um campo vetorial. o gradiente de um campo escalar f é representado por gradiente é um operador diferencial aplicado em uma função real e tem como resultado um vetor. Além do gradiente, já estudamos o divergente de um campo vetorial representado por divergente é um operador aplicado em um campo (função) vetorial que tem como resultado uma função real (escalar). Agora, vamos definir esse novo operador diferencial. Rotacional de um campo vetorial Seja um campo representado por suas funções componentes da forma: Em que as funções componentes são funções escalares que admitem derivadas parciais em S. Definimos, em coordenadas -> cartesianas, o rotacional de simbolizado por rot F ou por rot Essa expressão também pode ser representada pelo cálculo de um determinante: x Sx F F2</p><p>Observe que o rotacional é um operador aplicado a um campo vetorial e tem como resultado também um campo vetorial. rotacional só será definido para um campo do e seu caso particular no Podemos obter a fórmula do rotacional para o sistema de coordenadas cilíndricas e de coordenadas esféricas, veja: Coordenada cilíndrica : rot p F2 Coordenada esférica F(r,0,0) = 1 rFA A interpretação geométrica do rotacional de um campo vetorial é que ele é um vetor que representa quando o campo se rotaciona em torno de um ponto, por isso o nome rotacional. rotacional é interpretado como circulação por área. Vamos usar esse conceito para definirmos a forma diferencial da Lei de Ampère, partindo de sua forma integral e considerando um percurso ao redor de uma superfície de área Vamos dividir ambos os lados pela área da superfície envolvida pelo percurso:</p><p>AS - Ienv AS Vamos fazer esta área AS tender a zero: Ienv lim lim AS-0 AS AS-0 AS Lembre-se de que é a circulação de H pelo percurso definido por dL. Repare que ao fazer AS tender a zero, estamos calculando a circulação de H dividido pela área, em um ponto. Esta é a definição do rotacional de lim = rot AS-0 AS Do lado direito, temos a corrente que entra nesse ponto dividida pela área, que é a densidade de corrente, representada por J lim AS-0 Assim, chegamos na forma diferencial da Lei de Ampère: Fisicamente, um rotacional do campo magnético não nulo indica a presença de uma corrente elétrica no ponto. Para facilitar o entendimento desse conceito, vamos analisar um exemplo! Exemplo IV Determine a densidade de corrente em um ponto P(X,Y,Z) = (1,1,2), com coordenadas medidas em m, em uma região que possui um campo magnético, medido em A/m, Solução</p><p>Temos: = Mas Y X = xz2 xyz 3y3 Resolvendo o determinante, obtemos: X = X Para (1,1,2): Um ponto importante a ser ressaltado: a expressão também ser obtida pela Lei de Biot-Savart. Teorema de Stokes Teorema de Stokes e generalização da Lei de Ampère Existe um teorema do Cálculo que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície. Esse teorema é o Teorema de Stokes. Seja uma superfície fechada S com sua fronteira descrita por uma curva fechada L. Seja também um campo vetorial F definido em S e em sua fronteira. Pelo Teorema de Stokes podemos afirmar que:</p><p>Em outras palavras, a circulação de F pela fronteira da superfície fechada S é igual ao fluxo do rotacional de F por essa superfície. Um ponto importante: o sentido de dL e dS é determinado pela regra da mão direita já Esse teorema permite, então, calcular a circulação de um campo vetorial em um caminho fechado com o cálculo do fluxo do seu rotacional pela superfície formada por esse caminho fechado. Vamos aplicar agora esse Teorema de Stokes para o campo magnético, que é um campo vetorial. Mas no item anterior vimos que e pode ser provada pela Lei de Biot-Savart. Desse modo, temos: Mas J é uma densidade de corrente superficial, portanto: 1 Em que é a corrente que atravessa a área S. Concluindo é a própria Lei de Ampère. Assim, partindo da Lei de Biot-Savart e utilizando o Teorema de Stokes, é possível provar a Lei de Ampère, que vale para qualquer superfície que envolva uma distribuição de corrente. Mão na massa Questão 1 Marque a alternativa relacionada a um campo magnetostático:</p><p>Nos materiais não magnéticos ou fracamente A magnéticos, a relação entre intensidade do campo magnético e a indução magnética é logarítmica. Uma carga elétrica pontual parada no vácuo gera ao B redor de si um campo magnético e um campo elétrico Um condutor com uma corrente elétrica constante C gera ao redor de si um campo elétrico e um campo magnético. A força magnética produzida por um campo D magnético é sempre paralela ao campo. Campo magnetostático são campos magnéticos E invariantes no espaço. Parabéns! A alternativa C está correta. No interior de um condutor, há cargas elétricas em movimento. Devido a esse movimento, gera-se um campo magnético ao seu redor, perpendicular à sua direção de movimento, que é a direção perpendicular do fio. Além disso, as cargas elétricas, também geram ao seu redor um campo elétrico. Questão 2 Uma espira circular de raio 10cm é percorrida por uma corrente de 5A. Um condutor retilíneo infinito é percorrido por uma corrente de 20 A. Determine o valor do campo magnético no centro do anel, sabendo que a distância do fio para o centro da espira é de 20cm. Confira:</p><p>5A A 10 cm 10 cm Espira circular. A 75A/m para fora do B 75A/m para dentro do papel C 25A/m para fora do papel. D 25A/m para dentro do papel. E 55A/m para fora do papel. Parabéns! A alternativa D está correta. Temos: = + Fio Pela regra da mão direita, o campo gerado no centro da espira, pelo fio, terá sentido para dentro, mas o campo gerado pela espira, em seu centro, terá sentido para fora. = 2a Assim, o módulo será 25 com sentido para dentro do papel.</p><p>Questão 3 Determine a densidade de corrente em um ponto = com coordenadas medidas em m, que se encontra em uma região com um campo magnético medido em A/m, A C D E Parabéns! A alternativa A está correta. Calculando: Y Y 2 = = H2 z2 xy xy3 = =</p><p>= Questão 4 Seja um fio grosso infinito, de raio 4m, que possua uma corrente uniformemente distribuída de 8A. Determine a expressão do campo magnético para região dentro do fio, em um ponto que se encontra a uma distância D do seu centro. A B C D E Parabéns! A alternativa E está correta. Escolheremos a Amperiana circular de raio D: Como a corrente é uniformemente distribuída, deveremos fazer uma proporção de área para obter a corrente que atravessa a Amperiana:</p><p>- 2 D Questão 5 Uma lâmina metálica infinita de largura L é percorrida por uma corrente uniformemente distribuída. Determine o campo magnético gerado por essa lâmina em um ponto P, que se encontra a uma distância D da lateral da lâmina. Considere a lâmina como uma superposição de fios infinitos. D P L Lâmina metálica infinita. A B 2D</p><p>C D E Parabéns! A alternativa E está correta. Vamos considerar que a lâmina é composta pela superposição de fios retilíneos, cada um com uma corrente di, a uma distância do ponto P. Como a corrente é uniformemente distribuída, a corrente no fio será calculada por uma relação entre a largura do fio e a largura total. Vamos considerar que o fio tem uma largura dx, que é infinitesimal. Usando a fórmula do campo gerado por um fio infinito retilíneo, o campo gerado por cada fio será di = Esse campo estará perpendicular ao papel para dentro, pela regra da mão direita. Assim, o campo total será a soma dos campos gerados por cada fio: =</p><p>di P Lâmina metálica infinita. Questão 6 Seja o cabo coaxial com condutor interno de raio a e condutor externo de raio menor b e raio maior C. cabo coaxial possui como dielétrico o ar. A corrente que circula pelo cabo coaxial é uniformemente distribuída de valor I. Determine a expressão do campo magnético para a região dentro do condutor externo, ou seja, b<D< C. A I B C = I D I E H=0</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta. Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo. -0 Teoria na prática Em um laboratório encontra-se um anel circular com 10cm de raio percorrido por uma corrente de 1A. Determine o vetor indução magnética gerado no centro do anel de corrente. Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Uma espira circular de raio 5cm, que se encontra no ar, é percorrido por uma corrente de 10A. o primeiro condutor retilíneo infinito é percorrido por uma corrente de 10 A e se encontra a 20cm do centro da espira. segundo condutor retilíneo infinito é percorrido por uma corrente de 5 A e se encontra a 10cm do centro da espira, veja a imagem. Determine o valor do vetor indução magnética no centro da espira</p><p>10A 10cm 5cm 5cm 10n A A Dois fios condutores e uma espira condutora. A 10A/m para fora do B 10A/m para dentro do papel. C 25A/m para fora do papel. D 25A/m para dentro do papel. E 50A/m para fora do papel Parabéns! A alternativa A está correta. Temos: Pela regra da mão direita, o campo gerado no centro da espira pelo fio 1 e pela espira terá sentido para fora. o campo gerado pelo fio 2 terá sentido para dentro. 2nd - 10 5 =</p><p>Assim, o módulo será 10 com sentido para fora do papel. Questão 2 Seja um fio grosso infinito, de raio 2m, que possua uma corrente uniformemente distribuída de 10A. Determine a expressão do campo magnético para região dentro do fio, em um ponto que se encontra a uma distância D do seu centro A B H = 4D C H = 5D 10 D = E = Parabéns! A alternativa C está correta. Escolheremos a Amperiana circular de raio D: 2D Como a corrente é uniformemente distribuída, deveremos fazer uma proporção de área para obter a corrente que atravessa a Amperiana.</p><p>= = 5 2 5D 2 - Densidade de fluxo magnético, fluxo magnético e potencial magnético Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar 0 fluxo magnético e os potenciais magnéticos no estudo dos fenômenos magnéticos. Vamos começar! Densidade, fluxo e potencial magnético</p><p>Para assistir a um vídeo sobre assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Densidade de fluxo A densidade do fluxo magnético No estudo da eletrostática, além da definição do campo elétrico é definido o vetor densidade de fluxo elétrico, simbolizado pelo vetor que tem como medida Por esse vetor é possível calcular o fluxo elétrico através de uma superfície: Super fície Esse fluxo é uma medida da quantidade de linhas de campo elétrico que entram ou saem da superfície. De forma análoga, podemos definir o fluxo magnético no estudo do campo magnético. Definimos, portanto, o vetor densidade de fluxo magnético ou indução magnética, simbolizada por B A unidade da indução magnética será Weber por metro quadrado, Essa medida representa a divisão da unidade de fluxo magnético (Wb) pela unidade de área de modo análogo ao que temos com o vetor densidade de fluxo elétrico, que tem como medida a divisão da unidade de fluxo elétrico (C) pela unidade de área A unidade é denominada no sistema internacional de medidas por tesla, representada pela letra T. Existe uma ligação direta entre o vetor campo magnético e indução magnética. Nos materiais não magnéticos, como o vácuo ou o ar, é: É a permeabilidade magnética do meio. Para cada meio, definimos uma permeabilidade magnética relativa assim, a permeabilidade do</p><p>meio pode ser obtida pela permeabilidade magnética do vácuo ou do ar, que vale = Sendo: Nos materiais magnéticos, não existirá essa linearidade e a relação será definida pelas curvas denominadas de curvas de magnetização. o vetor B terá sempre a mesma direção e igual sentido ao vetor No módulo anterior, estudamos algumas leis que permitiam a obtenção do campo magnético conhecendo-se a distribuição de corrente em uma região. Assim, para calcularmos o vetor densidade de fluxo magnético, nos meios magnéticos lineares, basta calcular o vetor campo magnético e multiplicá-lo pela permeabilidade magnética. Para compreender o conceito aqui apresentado e enriquecer o seu entendimento, confira o exemplo! Exemplo Um fio reto infinito se encontra em uma região com permeabilidade magnética relativa Determine o valor da indução magnética produzida por esse fio, atravessado por uma corrente de I, em um ponto distante D. Solução Já estudamos, na Lei de Biot-Savart ou Lei de Ampère que o campo magnético produzido por um condutor reto infinito é dado por: I 2D Como o condutor está em uma região com Assim:</p><p>2D 2D Fluxo 0 fluxo magnético o fluxo magnético através de uma superfície S será dado pela expressão: M B Superficie Repare que o fluxo é obtido pela integral de superfície, dependendo do produto escalar, entre o vetor B e o elemento de área em cada ponto da área Sabendo que: Sendo o ângulo entre os vetores B e o vetor dS é sempre perpendicular à área, assim, quando B for paralelo à área, será perpendicular ao vetor não tendo fluxo magnético através da área, pois o ângulo entre os vetores será de 90°. Quando B for perpendicular à área, será paralelo ao vetor ds tendo o fluxo magnético máximo através da área, pois cos valerá 1. Consideramos o sentido de ds sempre no sentido da referência do fluxo positivo. Se a área for a superfície de um volume fechado, o sentido do fluxo positivo é sempre para fora da superfície. Vejamos alguns exemplos de cálculo do fluxo magnético! Exemplo Em uma região do vácuo, encontra-se um campo magnético constante com intensidade 10A/m, formando um ângulo de 30° com o plano XY no sentido de positivo. Determine o fluxo magnético, gerado por esse</p><p>campo, sobre uma área de paralela ao plano Considere como fluxo positivo o sentido de positivo. Solução Como B = teremos o módulo de B constante em todos os pontos do espaço e formando sempre 30° com o plano XY. A área é paralela ao plano XY, como o fluxo positivo está no sentido de Z positivo, o vetor terá esse sentido. o vetor B forma 30° com o plano XY, assim, vai formar com o vetor dessa área. Para todos os pontos da área: = o fluxo será: B ds = Superficie Superficie Exemplo Em uma região existe uma indução magnética dada por Determine o fluxo magnético através de um círculo de raio 3 m, localizado no plano XZ. Considere fluxo positivo no sentido de y positivo. Solução A área está no plano Pela referência de fluxo positivo, teremos:</p><p>o campo magnético é um vetor constante, assim: = Como Como a área é paralela ao plano XZ, as componentes x e Z do vetor B não geraram fluxo magnético, pois são paralelas a ela. = Superfície = sinal negativo representa que o fluxo é no sentido contrário à referência, isso é, no sentido do negativo de Exemplo IV Seja um fio reto infinito com uma corrente de 10A. Esse fio se encontra no vácuo. Determine o fluxo magnético que atravessa uma bobina quadrada de lado 2m. Solução Para facilitar o cálculo, colocaremos o fim sobre o eixo Z com corrente no sentido de Z positivo e a bobina sobre o plano</p><p>Z Y Representação simples do e da bobina. campo magnético é dado por: I = 2D Como o fio está no vácuo, temos: 2D quadrado se encontra sobre o plano assim, a distância D pode ser representada pela coordenada p. Precisamos definir o elemento infinitesimal de área dS dessa superfície. Nesse exemplo, teremos valor de campo diferente em cada ponto da superfície. o elemento dS é composto pelo produto das coordenadas que variam para construção da área. Para definir esse quadrado, variamos as coordenadas pe a coordenada assim:</p><p>= dpdz Consideraremos como fluxo positivo o fluxo no sentido entrando no papel, assim: Desse modo: = dpdz ( Substituindo valores: = Uma observação importante para esse exemplo: como o quadrado está sobre o plano YZ, em vez de se trabalhar com coordenadas cilíndricas poderíamos ter trabalhado com coordenadas cartesianas, apenas substituindo o valor de p por y Obs.: Outros exemplos de cálculo de fluxo magnético podem ser encontrados nas referências bibliográficas. Dipolo magnético Lei de Gauss Magnética</p><p>No tópico anterior, calculamos o fluxo através de uma área isolada. Quando desejarmos calcular o fluxo através de um volume fechado, somaremos os fluxos de todas as áreas que formam a superfície desse volume. Na eletrostática, usamos a Lei de Gauss e determinamos que o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é igual à carga no interior da superfície. As linhas de campo elétrico partem das cargas positivas e terminam em cargas negativas, gerando, por uma superfície fechada, fluxo elétrico de saída ou fluxo elétrico de entrada, conforme a carga elétrica resultante dentro da superfície. Porém, as linhas do campo magnético têm uma característica diferente, elas são sempre fechadas, ou seja, elas iniciam e terminam no mesmo ponto. Isso significa que não existe o monopólio magnético, em outras palavras, não existem cargas magnéticas isoladas positivas ou negativas, ou polo norte e polo sul isolados. Se você quebrar um ímã, ele permanecerá com dois pedaços com a mesma característica de ou seja, manteremos sempre um polo positivo e um polo negativo nos dois pedaços resultantes. Mesmo quebrado, um imã se mantém com polo positivo e negativo. Essa característica das linhas de campo fechadas faz com que, pela superfície fechada, tenhamos sempre o mesmo número de linhas de campo magnético entrando e saindo, ou seja, o fluxo magnético líquido será sempre nulo.</p><p>S Fluxo magnético através de superfície fechada. Desse modo, diferentemente do campo elétrico, teremos: 0 S Essa equação é chamada de Lei de Gauss Magnética ou Lei da Conservação do Fluxo Magnético. Resumidamente, a Lei de Gauss Magnética estabelece que o fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é sempre zero. Vamos usar essa Lei de Gauss Magnética para resolver um exemplo! Exemplo V Seja um cone reto de base circular de altura H e raio da base R. Esse cone se encontra em uma região que apresenta um campo magnético constante, com densidade de fluxo magnético perpendicular à base do cone e no sentido entrando na base. Determine o fluxo do campo magnético através da superfície lateral do cone. Solução o cálculo direto do fluxo magnético pela superfície lateral não é simples, mas podemos usar a Lei de Gauss Magnética para seguir um caminho alternativo. Como o campo é perpendicular à base, o cálculo do fluxo pela base é bem simples. Pela Lei de Gauss Magnética o fluxo total</p><p>através do cone reto será nulo, pois é um volume fechado. Esse fluxo pode ser calculado como a soma do fluxo magnético pela base com o fluxo magnético através da área lateral: Base + Lateral elemento área da base será perpendicular à base apontado para fora, assim o vetor B será paralelo ao vetor porém, de sentido contrário. = cos -Bods É negativo, pois o campo está entrando na figura através da base. o fluxo será: Base Base Base - Base dS Base = Area Base = Assim: =0-> Lateral = Base fluxo será positivo, pois as linhas de campo magnética sairão através da lateral do cone reto. Potencial Potencial magnético o potencial elétrico é uma grandeza escalar associada ao campo elétrico (E). Pelo potencial elétrico, podemos obter os valores dos campos elétricos de uma forma mais simples. potencial elétrico pode ser obtido diretamente das distribuições de carga elétricas. De forma similar, definiremos o potencial magnético, que poderá ser obtido diretamente das distribuições de corrente e ser utilizado como outro caminho para se determinar o campo magnético.</p><p>Como vimos, o divergente do campo magnético é nulo. Usando uma propriedade do cálculo, se o divergente é nulo o campo vetorial é o resultado do rotacional de um outro campo. Assim: A esse vetor A, dá-se o nome de potencial vetor magnético ou vetor potencial magnético. A unidade do vetor potencial magnético será T.m. o vetor potencial magnético pode ser obtido diretamente da distribuição de corrente que existe na região. Para uma distribuição linear de corrente, teremos: r Sendo r a distância do elemento de corrente IdL ao ponto onde estamos analisando o valor do vetor A. A demonstração dessa equação requer vários passos de cálculo, pode ser encontrada nas referências bibliográficas, mas não é objeto de nosso estudo. Normalmente, a obtenção do potencial vetor magnético é muito mais simples do que obter o campo magnético pela Lei de Biot-Savart ou Lei de Ampère. Vamos analisar um exemplo para compreender melhor! Exemplo VI Determine o campo magnético gerado por um pedaço pequeno L de um fio que é atravessado por uma corrente I em um ponto do espaço distante r do fio. Considere Solução Para facilitar o cálculo, colocamos o pedaço de fio na origem dos eixos coordenados com direção dada pelo eixo e sentido da corrente no sentido positivo de Z. Assim, Iniciaremos, calculando o vetor potencial magnético em um ponto P, dado em coordenadas esféricas por P(r, = L r</p><p>Como r > > L, podemos considerar que a distância entre o ponto P e cada ponto do pedaço do fio é constante e vale r. IdL Repare que A = tendo a mesma direção da corrente geradora do campo. Como queremos o valor do campo para pontos do espaço, vamos converter o vetor A de coordenada cartesiana para coordenada esférica. Ar = sen + sen sen + = cos + cos sen - sen = - Assim, como Ax = Ay = 0 Ar = = = - sen Para calcular o vetor densidade de fluxo magnético, devemos usar = Usando rotacional em coordenadas esféricas, temos: r Ar sen 0 +</p><p>Obs.: Outros exemplos do cálculo de campo magnético através do vetor potencial magnético podem ser observados nas referências bibliográficas. Para finalizarmos esse tópico, cabe apenas um comentário. Além do potencial vetor magnético, podemos também definir o potencial escalar magnético. Esse potencial escalar magnético, tem muito menos aplicação do que o potencial vetor magnético (o potencial magnético escalar também pode ser estudado nas referências). Mão na massa Questão 1 Um campo magnético constante, em todos os pontos de uma região, no vácuo, possui uma intensidade de 20A/m e ângulo de 30° com a direção do eixo positivo. Determine o fluxo magnético, gerado por esse campo, sobre uma área quadrada de lado 2m paralela ao plano Considere como fluxo positivo o sentido de x positivo. A B C D E Parabéns! A alternativa D está correta. Temos:</p><p>= com constante formando sempre 30° com o eixo A área é paralela ao plano YZ, como o fluxo positivo está no sentido de positivo, o vetor dS terá a mesma direção e sentido do eixo Assim, o vetor B formará 30° com o vetor dessa área. = Superficie Superficie / PM= = Area S = = Questão 2 o vetor indução magnética é dado, em coordenadas cilíndricas, por B = Determine o fluxo magnético através de uma área localizada sobre o plano XZ, definida por 2m Considere fluxo positivo no sentido do eixo positivo. A 32Wb B 32Wb C 24Wb D 24Wb E 40Wb Parabéns! A alternativa A está correta. A área está no plano XZ. Pela referência de fluxo positivo, teremos:</p><p>No plano XZ, o vetor é igual ao vetor assim, em coordenadas cilíndricas: Então, para todos os pontos da área: = dpc = 32Wb Questão 3 Seja um volume formado por uma semiesfera de raio 2m com uma base circular. o volume se encontra no vácuo em uma região com campo magnético de intensidade 2A/m. Esse campo é perpendicular à base da figura, no sentido entrando na base. Determine o fluxo magnético através da superfície esférica. A B</p><p>C Wb D E 16Wb Parabéns! A alternativa B está correta. Pela Lei de Gauss Magnética, o fluxo total será nulo, pois é um volume fechado. Semiesfera Base + Semiesfera =0 Semiesfera = - Base o elemento área da base será perpendicular à base apontado para fora, assim, o vetor B será paralelo ao vetor dS, de sentido contrário. - Base Base Base Base a Base Area Base = = Assim: = Base Questão 4 Seja um campo magnético no an dado, em coordenadas cilíndricas, por H = Determine o fluxo magnético gerado por esse campo ao atravessar uma superfície definida por Considere como fluxo positivo o sentido positivo da coordenada p.</p><p>A B C D E Parabéns! A alternativa C está correta. Como o campo está no ar: Para compor a superfície, faz-se a variação das coordenadas usando a referência positiva do fluxo, assim: 2 Superfície cos ododz Resolvendo a integral em :</p><p>= odo = sen = sen Assim, = = Questão 5 Use o potencial vetor magnético para calcular o campo magnético gerado por um fio de comprimento 2L, percorrido por uma corrente I, em um ponto P a uma distância do fio, localizado na metade do fio. A 2 pL B C 2 L D 1 E 8TT Parabéns! A alternativa C está correta. Temos:</p>