Propriedade do Supremo

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Propriedade do Supremo 
 
Assim, pela Propriedade do Supremo, S tem supremo. 
Seja 𝑥 = 𝑆𝑢𝑝𝑆. Como os elementos de S são reais e maiores ou iguais a 0, pela definição do 
conjunto, temos que 𝑥 > 0. 
Podemos ter 
𝑥2 < 2 ou 
𝑥2 > 2 ou 
𝑥2 = 2 
 
Pensando em cada caso. 
𝑥2 < 2 
Seja 𝑛 ∈ ℕ tal que 
1
𝑛
<
2−𝑥2
2𝑥−1
 
(𝑥 +
1
𝑛
)
2
= 𝑥2 +
2𝑥
𝑛
+
1
𝑛2
≤ 𝑥2 +
2𝑥 + 1
𝑛
< 𝑥2 + (2 − 𝑥2) = 2 
 
Assim, 𝑘 +
1
𝑛
∈ 𝑆. O que é um absurdo, contraria o fato de que x é cota superior de S. 
𝑥2 > 2 
 
Seja 𝑚 ∈ ℕ tal que 
1
𝑛
<
𝑥2−2
2𝑥
 
Lembrando que 𝑥 = 𝑆𝑢𝑝𝑆. 
∃𝑠0 ∈ 𝑆 com 𝑥 −
1
𝑚
< 𝑠0. 
2 < 𝑥2 −
2𝑥
𝑚
< 𝑥2 −
2𝑥
𝑚
+
1
𝑚2
= (𝑥 −
1
𝑚
)
2
< 𝑠0
2 
 
Ou seja, 2 < 𝑠0
2. O que é um absurdo, contraria o fato de que 𝑠0 ∈ 𝑆 
Assim, ocorre (3) 𝑥2 = 2