AULA 4 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE DERIVADAS

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE 
DERIVADAS
UNINASSAU PARNAÍBA
PROF. MSC. MACIEL DOS SANTOS SILVA
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE DERIVADAS
✓ REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
✓ INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE A F, EM 
RELAÇÃO AO PONTO P.
Assim, com este argumento geométrico e 
intuitivo, interpretamos f ′ (xo) = tg α como 
sendo o coeficiente angular (ou a inclinação) da 
reta t, tangente ao gráfico de f (ou seja, 
tangente à curva y = f(x)) no ponto Po = (xo, 
f(xo)).
Definição de derivadas:
𝑓` 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Derivada como velocidade média e aceleração
𝑣𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
=
𝑠 𝑡1 − 𝑠 𝑡0
𝑡1 − 𝑡0
𝑣𝑚 = 𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑡→0
𝑠(𝑡0 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡0)
∆𝑡
De um modo geral, definimos a velocidade 
instantânea v(to), do ponto M, no instante 
t0, como sendo o limite da velocidade 
média no intervalo de to a to + ∆t, quando 
∆t tende a zero (esta foi uma idéia de Isaac 
Newton), e escrevemos v(to) = = lim
∆𝑡→0
∆s/ ∆t
Em física, podemos calcular a aceleração 
como 𝑣𝑡 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡 , então se 
calcularmos o limite da expressão:
lim
∆𝑡→0
𝑣0 + 𝑎 𝑡0 + ∆𝑡 − [𝑣0 + 𝑎𝑡0]
∆𝑡
Esse limite, nada mais é do que a 
derivada da função velocidade, então:
𝑣` = 𝑎
Ou seja, a derivada da função velocidade 
é a função aceleração.
Regras de Derivação
■ NOTAÇÕES DE DERIVADAS
𝑓` 𝑥 𝑜𝑢
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑜𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥
REGRAS DE DERIVAÇÃO:
I- DERIVADAS DE UMA FUNÇÃO 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
𝑓` 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓` 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ 𝑛 − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓` 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ + ⋯+ ℎ𝑛 − 𝑥𝑛
ℎ
𝑓` 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑛𝑥𝑛−1ℎ + 𝑛2 − 𝑛 𝑥𝑛−2. ℎ2…+ ℎ𝑛
ℎ
𝑓` 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1
Alguns exemplos:
𝑖) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑖𝑖) 𝑓 𝑥 = 𝑥5
𝑖𝑖𝑖) 𝑓 𝑥 = 𝑥9
𝑖𝑣) 𝑓 𝑥 = 𝑥3
ALGUMAS PROPRIEDADES DE DERIVADAS:
I- DERIVADA DA SOMA:
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ` = 𝑓` 𝑥 ± 𝑔` 𝑥
II- PRODUTO POR UMA CONSTANTE
𝑘𝑓 𝑥 ` = 𝑘𝑓` 𝑥
Encontre as derivadas das funções:
𝑖: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 6
𝑖𝑖: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2 3
𝑖𝑖𝑖: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 . 𝑥2 + 4
𝑖𝑣: 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2
𝑣: 𝑓 𝑥 = 6𝑥3 + 4𝑥2 − 10𝑥
𝑣𝑖: 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 + 6𝑥
NOVAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
I-REGRA DO PRODUTO
𝑓. 𝑔 ` = 𝑓`𝑔 + 𝑓. 𝑔`
Pegando as manhas: 
𝑖: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 . 𝑥2 + 4
𝑖𝑖: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥3 . 4 − 𝑥
II- REGRA DO QUOCIENTE
𝑓 𝑥 =
𝑔 𝑥
ℎ 𝑥
∷ 𝑓´ 𝑥 =?
𝑓 𝑥 . ℎ 𝑥 = 𝑔 𝑥
𝑓′ 𝑥 . ℎ 𝑥 + 𝑓 𝑥 . ℎ`(𝑥) = 𝑔`(𝑥)
𝑓´ 𝑥 =
𝑔` 𝑥 − 𝑓 𝑥 . ℎ` 𝑥 .
ℎ 𝑥
𝑓´ 𝑥 =
𝑔` 𝑥 −
𝑔 𝑥
ℎ 𝑥
. ℎ` 𝑥 .
ℎ 𝑥
𝑓´ 𝑥 =
𝑔` 𝑥 , ℎ 𝑥 − 𝑔 𝑥 . ℎ` 𝑥 .
[ℎ 𝑥 ]2
Alguns exemplos:
𝑖: 𝑓(𝑥) =
𝑥2
3𝑥 + 4
𝑖𝑖: 𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥
𝑖𝑖𝑖: 𝑓(𝑥) =
𝑥 − 𝑥2 , (𝑥3 − 1)
𝑥2 + 4𝑥
REGRA DA CADEIA:
Dada uma função quaisquer, que formada 
pela composição de duas outras funções, 
sua derivada e dada por:
Assim sendo:
𝑖) 𝑦 = (𝑥2 + 𝑥)8
𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) = (
𝑥2
𝑥 + 1
)4
DERIVADA IMPLICITA:
Nem sempre teremos as funções de forma 
explicita, ou seja, da forma y=f(x). Em alguns 
casos devemos toma-la de forma implícita, 
ou seja, como uma equação x+y=k.
Para esses casos, consideramos a derivada 
implícita, além das regras de derivação 
conhecidas.
𝑖) 𝑥2 + 𝑦2 = 1
𝑖) 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 0
Inclinação da reta tangente
A equação da reta tangente a uma função f, 
no ponto (xo,yo) é dada por
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓` 𝑥0 . 𝑥 − 𝑥0
Dada uma função qualquer a derivada no 
ponto é a inclinação da reta tangente.
Ex: encontre a equação da reta tangente a 
função f(x)=x² no ponto (2,4).
Se duas retas são perpendiculares entre si, 
o produto de seus coeficiente angulares é 
dado por: 
𝑓`𝑟 𝑥0 . f`n x0 = −1
Então o coeficiente da reta normal é:
f`n x0 =
1
𝑓` 𝑥0
Ex: Qual é a equação da reta t, que 
tangencia a parábola y = x² , no ponto P = 
(−1, 1)? Qual é a equação da reta r, normal 
à parábola nesse ponto?
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
■ Seja f, uma função definimos f`, como 
a derivada da função e f`` (Lê: f duas 
linhas) como sendo a derivada da 
derivada de f.
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 4
𝑓´´ 𝑥 = 6𝑥
■ Então, define-se como derivadas de 
ordem superior, as derivadas das 
derivadas de funções:
■ Encontre as derivadas de segunda 
ordem (f``) das funções abaixo:
𝑖: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2
𝑖𝑖: 𝑓 𝑥 = 5𝑥2 − 4𝑥4
𝑖𝑖𝑖: 𝑓 𝑥 = 2𝑥5 − 3𝑥2 + 1
Funções crescente e decrescentes
■ Se a derivada da função f `(x) > 0, 
então a função é crescente, caso 
contrário, ou seja, f `(x) < 0, ela é 
decrescente.
Ex: verifique os intervalos onde as funções 
são crescente ou decrescente nos casos a 
seguir:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 9x
■ Mostrar no gráfico:
Pontos de máximos e mínimos
■ Dizemos que x é um ponto de 
máximo, todo os pontos do domínio 
tiverem imagem menor em um 
intervalo (a,b).
■ Dizemos que x é um ponto de mínimo, 
todo os pontos do domínio tiverem 
imagem maior em um intervalo (a,b);
➢ ESTRATÉGIAS PARA ENCONTRAR 
PONTOS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS:
I PASSO: DERIVA FUNÇÃO E IGUALA A 
ZERO;
II- ENCONTRA OS POSSÍVEIS PONTOS, 
CHAMADOS DE PONTOS CRÍTICOS;
III- FAZ A SEGUNDA DERIVADA E SUBSTITUI 
OS PONTOS CRÍTICOS, SE:
✓ 𝑓 `` 𝑥 < 0 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 ;
✓ 𝑓 `` 𝑥 > 0 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
■ Verifique se a função tem pontos de 
máximos ou de mínimos. Aponte-os:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥
■ Verifique se a função tem pontos de 
máximos ou de mínimos. Aponte-os:
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 9x