Derivada-de-funcao

Prévia do material em texto

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo físico que o cerca. Particularmente, o Cálculo teve sua aplicação estendida aos fenômenos físicos mensuráveis como, por exemplo, eletricidade, ondas de rádio, som, luz, calor e gravitação.
A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto.
O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente.
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
Definição. Seja f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite
Quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f’(p). Assim
f’(p) = 
Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p.
NOTAÇÕES DA DERIVADA
A derivada de f será indicada por uma das quatro formas abaixo:
f ’(x)						y’
Exemplo:
Seja f(x) = x². Calcule.
a) f’(1).		b) f’(x).			c) f’(-3).
a) 
Assim, f’(1) = 2, ou seja, a derivada de f(x) = x², em p = 1, é igual a 2.
b) 
Como 
Segue que
Portanto, 
Observe que f’(x) = 2x é uma fórmula que nos fornece a derivada de f(x) = x², em todo x real.
c) Segue de (b) que 
f’(-3) = 2 . (-3) = -6.
Segue da definição de derivada que quando este limite existe representa-se por f’(p) e dá-nos o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto p.
 A reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) é dada por
y – f(p) = f’(p) (x – p).
Assim a derivada de f, em p, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa p.
Exemplo:
Se f(x) = x2, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto
a) (1, f(1))		b) (-1, f(-1))		c)(2, f(2))
a) A equação da tangente em (1,f(1)) é
y – f(1) = f’(1) (x – 1) (1)
Substituindo em (1), temos:
y – 1 = 2 (x – 1) ou y = 2x – 1.
b) y = -2x -1 (verifique)
c) y = 4x – 4 (verifique).
A análise das derivadas de uma função é uma técnica a que frequentemente se recorre para o estudo dessa função. Se uma função possui derivada (finita) num ponto, é contínua nesse ponto (condição necessária de derivabilidade), mas o recíproco não é verdadeiro (a continuidade da função num ponto não é condição suficiente para que a função seja derivável nesse ponto).
Nesse sentido, a derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação instantânea de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra.
Por exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto em relação ao tempo, isto é, sua velocidade instantânea, é uma derivada.
Quando um movimento apresenta variação da sua velocidade instantânea, ao longo do tempo, o movimento é um movimento variado - apresenta aceleração instantânea.
Observação: Uma conseqüência imediata da interpretação geométrica da derivada é que uma função só é derivável (ou diferenciável) em um ponto de seu domínio se existir uma reta tangente ao seu gráfico por este ponto, ou seja, o gráfico da função neste ponto não apresenta comportamento pontiagudo. Estendendo este raciocínio a todos os pontos do domínio da função, notamos que o gráfico de uma função diferenciável é uma curva suave, sem nenhum pico “pontudo”. Assim, a função apresentada na da figura abaixo, por exemplo, não é diferenciável em x0, ou seja, neste ponto não existe a sua derivada, pois por (x0, f(x0) não passa uma única reta tangente.
EXERCÍCIOS:
1) Determine a função derivada através da definição e encontre a equação da reta tangente ao gráfico, y – f(x0) = f’(x0). (x – x0), para os casos em que isso for possível.
a) f(x) = x² - 2x + 1;
b) f(x) = x² - 8x + 9
c) f(x) = x3 - x;
d) f(x) = x² + 1, no ponto x0 = 5
e) f(x) = 3x², no ponto x0 = 2
f) f(x) = x², no ponto x0 = 1
g) f(x) = 2x² - 2, no ponto x0 = 3
RESPOSTAS:
a) f ’(x) = 2x – 2 b) 2x – 8 c) 3x2 – 1 d) 10 e) 12 f) 2 g) 12
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES
1. Derivada da função constante
f(x) = c ⇒ f’(x) = 0
2. Derivada da função potência
f(x) = xn ⇒ f’(x) = n . xn-1
3. Derivadas de funções trigonométricas
f(x) = sen x ⇒ f’(x) = cos x
f(x) = cos x ⇒ f’(x) = - sen x
f(x) = tg x ⇒ f’(x) = 1/cos² x ⇒ f’(x) = sec² x
4. Derivada da função exponencial
 
Regras gerais para derivadas de funções
5. Multiplicação por constante: a derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.
(kf) '(x) = k f '(x)
6. Soma de funções: a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas das parcelas.
(f + g) '(x) = f '(x) + g '(x)
7. Diferença de funções: a derivada de uma diferença é igual à diferença das derivadas das parcelas.
(f – g) '(x) = f '(x) – g '(x)
8. Produto de funções: a derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
(f.g) '(x) = f '(x).g(x) + f(x).g '(x) 
9. Divisão de funções, quando o denominador g = g(x) é não nulo: a derivada de um quociente é igual à derivada do numerador multiplicada pelo denominador menos o numerador multiplicado pela derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador.
Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.
EXERCÍCIOS - DERIVADA
1) Calcular a derivada das funções, usando o formulário da página anterior:
a) y = 4x + 5			b) y = - x + 3		c) y = 		d) y = x2 + 4x + 5
e) y = 		f) y = 0,2 x2 – 4x	g) y = (3x2 - 4x) (6x + 1)	h) y = (1 - x2) (1 + x2)
i) y = (x2 – 4) (x + 2x4)	j) y = 2 (x3 - 4x2 + 2x – 1)	k) 		l) 		
m) 			n) 			o) 		p) 		
q) 		r) 			s) 		t) 
RESPOSTAS
a) y’ = 4 b) y’ = -1 		 c) y’ = d) y´= 2x + 4 	 e) y´ = - x + 5 
 
f) y´ = 0,4x – 4 g) y’= 54 x2 - 42x – 4 h) y’ = - 4x3 i) y’= 12x5 - 32x3 + 3x2 - 4 j) y’=6x2-16x+4
k) y´ = l) y´ = m) y´ = n) y´ = o) y´ = 
p) y´ = q) y´ = r) y´ = s) y´ = t) y´ = 
2
2
1
+
x
7
5
2
1
2
+
+
-
x
x
4
x
y
=
9
x
y
=
3
x
y
=
6
x
y
=
x
y
1
-
=
3
6
x
y
=
2
2
15
x
x
y
+
+
=
1
4
-
=
x
x
y
2
10
+
=
x
x
y
x
x
y
-
=
1
2
1
4
3
4
1
x
9
8
9
1
x
3
2
3
1
x
6
5
6
1
x
2
1
x
4
18
x
-
(
)
2
2
2
30
15
x
x
x
+
+
-
-
(
)
2
1
4
-
-
x
(
)
2
2
20
+
x
(
)
2
1
1
x
-
 
dx
df
dx
dy