Avaliação II - gabarito

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:765037)
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Prova 58048169
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços 
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma 
transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das 
transformações lineares, analise as opções a seguir: 
I- T(x,y) = (x² , y²). 
II- T (x,y) = (2x, - x + y). 
III- T (x,y) = (- x + y, x - 1). 
IV- T (x,y) = (x, x - y). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções II e IV estão corretas.
B As opções I e III estão corretas.
C As opções III e IV estão corretas.
D Somente a opção IV está correta.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador:
A [(1,0,1)].
B [(0,1,1)].
C [(0,0,1)].
D [(1,1,0)].
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no 
eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial 
aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores 
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A+ Alterar modo de visualização
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tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto 
ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as opções a seguir: 
I- u x v = (1,8,-4). 
II- u x v = (0,8,4). 
III- u x v = (0,-8,4). 
IV- u x v = (0,8,-4). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção I está correta.
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços 
vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o exposto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais. 
( ) Um plano é um subespaço de R² 
( ) Um ponto é um subespaço de R. 
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R². 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F.
B V - F - F - V.
C F - V - V - F.
D F - F - V - V.
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. 
Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva 
as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta a imagem do vetor (-1, 2, 4) quando aplicado na transformação a seguir.
A (-7, 2).
B (-2, 7).
C (-5, 2).
D (7, -2).
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Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
( ) u x v = -2.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 0. 
( ) u x v = 1. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - F - F - V.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, 
C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades 
em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, assinale a 
alternativa CORRETA:
A AC.
B AD.
C AB.
D AE.
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Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como 
estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. 
No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por 
coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado 
pelos pares de vetores apresentados, com relação aos ângulos agudos, analise as opções a seguir: 
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2). 
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1). 
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3). 
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4). 
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I, III e IV estão corretas.
B As opções I e IV estão corretas.
C As opções III e V estão corretas.
D Somente a opção II está correta.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito 
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de 
uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial 
para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., 
como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os 
seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, 
plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B V - F - F - F.
C F - F - V - F.
D V - V - F - V.
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Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de 
uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio formado 
pelos vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de 
vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. 
Baseado nisso, assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:
A A transformação a seguir não é um operador linear.
B O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.
C O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
D O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
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