teorico (1)

Prévia do material em texto

Fundamentos Metodológicos 
do Ensino de Matemática
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Me. Priscila Bernardo Martins
Prof.ª Dr.ª Edda Curi
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Luciene Oliveira da Costa Granadeiro
O Ensino dos Números Naturais e do 
Sistema de Numeração Decimal
• O Ensino dos Números Naturais;
• O Sistema de Numeração Decimal;
• Anexo I.
• Discutir as mudanças no ensino de Matemática em relação aos números naturais;
• Refl etir, ainda, sobre concepções de ensino e aprendizagem dos números naturais e a 
contribuição de diferentes teorias e pesquisas sobre o tema, fazendo um paralelo de 
como se ensina esse tema e o que as teorias e as pesquisas atuais trazem de contribuições 
para avanços nas aprendizagens das crianças.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
Contextualização
Os avanços da Pedagogia e da Psicologia provocaram mudanças no foco do 
ensino dos Números Naturais. As investigações sobre a construção do conceito de 
número foram impulsionadas pela teoria de Piaget e também de sua colaboradora 
Kamii. No entanto, ao longo da década de 1990, as investigações sobre a constru-
ção do conceito de número receberam novos olhares e novas contribuições. Uma 
delas é a de Michel Fayol. Outra importante contribuição é a das pesquisadoras 
argentinas Delia Lerner e Patrícia Sadovsky.
A análise dos trabalhos dos diferentes autores revela pontos comuns, mas tam-
bém evidencia que a ênfase dada por eles a um determinado aspecto do processo 
de construção do número é bastante peculiar.
Nesta Unidade, apresentamos as posições de destaque que esses autores confe-
rem ao processo de construção do conceito de número pelas crianças.
8
9
O Ensino dos Números Naturais
Na década de 1980, educadores brasileiros entraram em contato com as ideias 
de Piaget sobre a construção do número. Esse autor defendia a importância de 
se trabalhar com atividades pré-numéricas (classificação, seriação e sequenciação) 
que, no seu entender, possibilitavam à criança construir o conceito de número. Des-
sa forma, nas orientações curriculares da época, havia recomendações para que, 
em sala de aula, fossem desenvolvidas atividades de seriação, classificação e cor-
respondência termo a termo. Essas orientações curriculares destacavam também o 
uso de materiais concretos nas aulas e apontavam a importância do trabalho com 
os denominados Blocos Lógicos em atividades que visavam ao desenvolvimento do 
raciocínio lógico.
Piaget defendia a ideia de que a interação entre as estruturas mentais, já existen-
tes na criança e o ambiente, por meio de uma ação, era responsável pela construção 
de conhecimentos. Ele afirmava que as seis etapas do desenvolvimento da criança 
ocorrem em uma sequência em que cada aquisição se apoia em conhecimentos 
anteriores e serve de apoio às aquisições posteriores. Segundo o autor, é por aná-
lise e síntese que a criança constrói o novo, o que ele denomina de assimilação. 
Essas informações conflitam com as já existentes e aumentam quantitativamente, 
provocando um desequilíbrio. Após essa etapa, ocorrem realinhamentos e compre-
ensões, denominadas pelo autor de acomodações que possibilitam mudanças na 
qualidade das aplicações, ou de novos esquemas.
O autor afirma que, entre a assimilação e a acomodação, ocorre uma espiral 
crescente de negações de negação, em que assimilações provocam acomodações e 
comodações provocam assimilações. Piaget considera o número como uma síntese 
de dois tipos de relações (uma de ordem e outra hierárquica) que a criança elabora 
entre os objetos, por meio de abstração reflexiva.
Kamii, seguidora de Piaget, também teve muita influência para educadores bra-
sileiros. Ela considera que o uso de desenhos e a manipulação de objetos não facili-
tam a aprendizagem de conceitos numéricos pela criança. Ela defende também que 
a construção do número se dá pela abstração reflexiva. Destaca a importância do 
papel do professor que deve proporcionar um ambiente de aprendizagem em que 
as crianças entrem em contato com números falados e escritos e façam relações 
entre objetos, em vez de focalizar apenas a quantificação. Para a autora, a estrutura 
lógico-matemática do número é construída pela criança e emerge a partir de ativi-
dades que permitam o estabelecimento de relações. Ela conclui que o conceito de 
número é criado mentalmente pela criança e posiciona-se contra as cópias excessi-
vas de listas de números, geralmente propostas para a criança.
Que mudanças significativas com relação ao ensino você observa a partir da década de 1990? 
Que mudanças você observa em relação ao papel do professor e das crianças?Ex
pl
or
9
UNIDADE O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
Pires (2012) afirma que os avanços em relação à construção do conhecimento 
pelas crianças, a partir da década de 1990, permitiram um novo foco para o ensino 
em que o papel do professor não é mais o de transmitir conhecimentos, mas sim 
de criar situações que possibilitem às crianças colocar em ação seus conhecimentos 
prévios, suas hipóteses, permitindo a construção de aprendizagens significativas so-
bre conceitos e procedimentos matemáticos. Em função desse avanço, pesquisado-
res, como Fayol (1996) e Lerner e Sadovsky (1996), discorrem sobre o ensino dos 
números e apresentam suas investigações sobre conhecimentos prévios e hipóteses 
das crianças a esse respeito.
Fayol (1996) defende que a aquisição da sequência verbal depende dos diferen-
tes estímulos do ambiente social e que é o componente linguístico que permite a 
denominação de número. Ele destaca que, mesmo sem compreender as funções 
do número, as crianças percebem, desde pequenas, a diversidade de situações em 
que o número é usado. Fayol afirma que a utilização da notação posicional causa 
dificuldades para a compreensão das crianças e cita como exemplo a passagem da 
enumeração e contagem para codificação e decodificação.
Duas pesquisadoras argentinas, Lerner e Sadovsky (1996), fizeram uma grande 
pesquisa na década de 1990 sobre os númerose o Sistema de Numeração Deci-
mal. As autoras revelam que as crianças constroem o conceito de número com 
base no desenvolvimento cognitivo, e também na interação com o ambiente social 
em que convivem. Elas afirmam que as crianças, a partir de experiências significa-
tivas, constroem hipóteses em relação à escrita numérica antes mesmo de iniciar a 
escolaridade básica. Entre as hipóteses, destacam: a quantidade de algarismos de 
um número e a posição dos algarismos como critérios de comparação e a escrita 
baseada na fala.
A quantidade de algarismos no número e a posição 
dos algarismos como critério de comparação
Segundo Lerner e Sadovsky (1996), um dos argumentos usados pelas crianças é 
que, ao comparar números com a mesma quantidade de algarismos, a posição do 
algarismo revela o maior, ou seja, 31 é maior que 13 porque o 3 vem primeiro no 
31. As crianças do primeiro ano que ainda não conhecem as dezenas, conseguem 
ver a magnitude do número, dizem que o 31 é maior do que o 25, porque o 3 de 
31 é maior que o 2 do 25, justificando que “o primeiro é quem manda”.
Em relação a números com magnitudes diferentes, a criança diz que entre 12345 
e 98, o número 12345 é maior porque “é mais comprido” ou “tem mais números”. 
Assim, os dados sugerem que as crianças reconhecem a magnitude de um número 
pela quantidade de algarismos e, se eles têm a mesma quantidade de algarismos, 
comparam o primeiro algarismo de cada número.
10
11
Figura 1
Fonte: Getty Images
A escrita baseada na fala
Para Lerner e Sadovsky (1996), os conceitos elaborados pelas crianças a res-
peito dos números são baseados na numeração falada e em seu conhecimento de 
escrita convencional dos “nós”.
Para produzir os números cuja escrita convencional ainda não haviam ad-
quirido, as crianças misturavam os símbolos que conheciam colocando-
-os de maneira tal, que se correspondiam com a ordenação dos termos 
na numeração falada . (LERNER e SADOVSKY, 1996, p.92) 
Sendo assim, ao fazerem comparações de sua escrita, o fazem como resultado 
de uma correspondência com a numeração falada, e por ser esta não posicional. 
As autoras destacam que, na numeração falada, a justaposição de palavras supõe 
sempre uma operação aritmética de adição ou de multiplicação, como no exemplo 
que dão sobre a ideia de adição: escrevem duzentos e cinquenta e quatro como 
200504, ou, no exemplo que dão sobre a ideia de multiplicação: escrevem quatro 
mil como 41000.
As autoras afirmam que as crianças que realizam a escrita não convencional o 
fazem à semelhança da numeração falada, pois demonstraram em suas escritas 
numéricas que as diferentes modalidades de produção coexistem para os núme-
ros posicionados em diferentes intervalos da sequência ao escreverem qualquer 
número convencionalmente com dois ou três algarismos em correspondência 
com a forma oral. Elas concluem que, mesmo aquelas crianças que escrevem 
convencionalmente os números entre cem e duzentos, podem não generalizar 
essa modalidade a outras centenas.
11
UNIDADE O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
Esses estudos foram incorporados em orientações curriculares que surgiram no 
final da década de 1990 e nos anos 2000. Os Parâmetros Curriculares Nacionais 
se apoiaram nas pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996) para o ensino dos núme-
ros. Em suas Orientações Didáticas, o documento destaca as diferentes funções 
sociais dos números: cardinal, ordinal, codificação, medida. O documento sugere 
que as sequências didáticas para a construção das aprendizagens das crianças 
sobre os números devem ter como questão norteadora “Para que servem os nú-
meros” e a exploração das funções sociais dos números. O documento explicita 
quais são essas funções:
• Em sua função cardinal, o número natural é um indicador de quantidade, ou 
seja, permite evocar mentalmente uma quantidade, mesmo que ela não esteja 
fisicamente presente. Situações que permitam à criança responder quantos 
são os dias do mês, quantas pessoas moram em casa etc. são exemplos que 
consideram o aspecto cardinal do número;
• O aspecto ordinal do número natural é ressaltado quando ele é um indicador 
de posição, ou seja, ele permite guardar o lugar ocupado por um objeto, pes-
soa ou acontecimentos. Situações que permitam discutir com a criança quem 
foi o quinto colocado no campeonato de futebol da escola, ou quem senta na 
segunda carteira da fila que fica em frente à mesa da professora etc. são exem-
plos que focalizam o aspecto ordinal do número;
• Há algumas situações em que o número não tem ligação nem com o aspecto 
cardinal, nem com o aspecto ordinal, mas permite identificar uma pessoa ou 
um objeto. Nesse caso, os números naturais são usados como código. São 
exemplos de situações em que o número aparece como código: o número de 
telefone, da carteira de identidade, da senha bancária, do ônibus etc;
• Com relação ao aspecto de medida, os números expressam medida de compri-
mento, de tempo, de temperatura etc., como nos exemplos: situações em que 
os alunos expressem o comprimento de uma régua, ou medidas que aparecem 
em folhetos de supermercado etc.
Em tempos atuais, a Base Nacional Comum Curricular (2017) propõe para os 
anos iniciais do Ensino Fundamental que escrita e ordenação de números naturais 
seja por meio da identificação e compreensão de características do Sistema de Nu-
meração Decimal, especialmente o valor posicional dos algarismos.
As atividades numéricas desenvolvidas nos anos iniciais da escolaridade básica devem dar continuidade 
às experiências vividas pela criança fora da escola. Conhecer o que as crianças pensam a respeito do uso 
dos números é o ponto de partida para a formulação de uma nova didática para o ensino de números.
12
13
O Sistema de Numeração Decimal
O nosso sistema numérico, denominado de Sistema de Numeração Decimal, foi 
criado por hindus e divulgado pelos árabes, por isso é considerado de indo-arábico.
A organização do Sistema de Numeração Decimal é bastante óbvia para nós 
adultos, mas, para as crianças, é muito complicado porque algumas de suas ca-
racterísticas e propriedades não são visíveis na escrita do número. O Sistema de 
Numeração Decimal apresenta algumas características importantes:
1. Possui apenas 10 algarismos e com eles é possível escrever qualquer número;
2. É posicional, ou seja, cada algarismo dentro de um número tem um valor 
diferente, mesmo que sejam algarismos iguais. A cada posição à esquerda 
que um algarismo ocupe, seu valor fi ca aumentado dez vezes, ou seja, no 
número 345, o algarismo 4 está na posição da ordem das dezenas e vale 
40 unidades e, no número 435, o algarismo 4 está na posição da ordem 
das centenas e vale 400 unidades, dez vezes maior do que quando ele está 
na posição das dezenas;
3. É de base 10, ou seja, cada agrupamento de 10 unidades pode ser trocado 
por uma unidade de ordem superior;
4. A escrita numérica tem base aditiva e multiplicativa, mesmo essas opera-
ções não estejam visíveis na escrita numérica, ou seja, as operações não 
são explicitadas numa escrita que é econômica e decorrente do processo 
de desenvolvimento histórico da humanidade. Essa escrita resumida é de 
difícil compreensão pelas crianças.
A decomposição de um número em suas diversas ordens e classes permite a 
visualização das operações de adição e multiplicação no número, mostrando a 
complexidade da escrita numérica, como no exemplo:
5432= 5000 + 400 + 30 + 2
5432 = 5 x 1000 + 4 x 100 + 3 x 10 + 2 x 1
5432 = 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100
A expressão 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100 é denominada escrita po-
linomial do número 5432.
13
UNIDADE O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
Como as crianças não veem as características do Sistema de Numeração Deci-
mal, o valor posicional de um algarismo é pouco percebido pelas crianças. Para que 
elas evoluam na compreensão do nosso sistema numérico, é preciso que a escola 
desenvolva um trabalho de observação de regularidades,de problematizações de 
registros e de reflexões sobre o Sistema de Numeração Decimal. Estudos atuais 
mostram que é importante que se apresentem às crianças, desde o início da esco-
laridade básica, atividades em que elas tenham oportunidade de refletir e utilizar 
números de diferentes ordens de grandeza, para que identifiquem em que situações 
são usadas, façam sua leitura e escrita, percebam arredondamentos etc.
As características do Sistema de Numeração Decimal não devem ser colocadas como regras 
para as crianças. A reflexão sobre a leitura, a escrita numérica, a composição e decomposi-
ção de números, além de outras atividades, permite que as crianças compreendam nosso 
sistema numérico.
Ex
pl
or
Algumas pesquisas recentes sobre o ensino 
do Sistema de Numeração Decimal
Vergnaud (1994) destaca que a noção de número não é elementar e se apoia 
sobre as noções de correspondência biunívoca, de relação de equivalência e de rela-
ção de ordem. Mas ele afirma que não são essas noções que caracterizam verdadei-
ramente os números. O autor considera que é a possibilidade de adicionar números 
e de dar um sentido a essa adição que dá aos números sua característica essencial.
Segundo Lerner e Sadovsky (1996), a escrita de um número apresenta regula-
ridades, porque a adição e a multiplicação são utilizadas sempre da mesma ma-
neira na composição do número, mas também precisa de compreensão do que 
está “escondido”, porque as potências de base 10 não são apresentadas na escrita 
numérica e são deduzidas a partir da compreensão da posição que um algarismo 
ocupa no número.
Uma pesquisa realizada em 2011 por um grupo de pesquisa da Universidade 
Cruzeiro do Sul, no âmbito do programa Observatório da Educação, com financia-
mento da CAPES e sob a coordenação de Edda Curi, envolvendo alunos de 5º ano 
de seis escolas públicas do estado de São Paulo, apresenta revelações interessantes 
sobre a compreensão das crianças em relação ao Sistema de Numeração Decimal.
A pesquisa envolveu 385 alunos de escolas diferentes, com abordagens didáticas 
e metodológicas diferentes, mas apresentou resultados muito parecidos que pude-
ram ser categorizados como: a incompreensão do valor posicional, a presença do 
zero no úmero, o conhecimento até a ordem de grandeza da unidade de milhar, a 
influência sonora na escrita numérica. Essas categorias são explicitadas a seguir:
• A incompreensão do valor posicional estende-se para as diferentes ordens 
e classes do número, aumentando o índice de erros a partir da decompo-
sição dos números da ordem de dezena de milhar. Nos procedimentos de 
14
15
decomposição de um número, os alunos desconsideram o valor posicional do 
algarismo no número ;
• Nos números com zero intercalado, os alunos apresentam um procedimento 
comum na decomposição numérica para suprir a ausência de quantidade, a 
criança sente a necessidade de colocar o zero para ocupar a “casa vazia” do 
número, como nos exemplos:
• 1908 = 1000 + 900 + 0 + 8 ou 108 = 100 + 00 + 8
• Nos casos de escritas numéricas com o zero intercalado, os registros revelaram 
mais uma vez inconsistências na compreensão do valor posicional que o alga-
rismo ocupa no número, como, por exemplo: 3000 + 60 + 8 = 3608 ;
• No procedimento de composição de números, os alunos apresentaram melhor com-
preensão e domínio, ainda que muitos concebam esse procedimento como uma 
operação aritmética apoiando-se na propriedade aditiva do sistema de numeração e 
na apresentação das multiplicações organizadas separada pelo sinal da adição ;
• Os alunos mostraram seus conhecimentos com números até a ordem das uni-
dades de milhar. Com números dessa ordem de grandeza, percebem a rela-
ção entre a posição do algarismo e o valor dele no número, decompõem e 
compõem números com base na escrita numérica apresentada e procuram 
representar a escrita numérica baseando-se em informações extraídas da fala 
e do conhecimento prévio a respeito da escrita de números de ordem menor ;
• No que se refere à influência sonora na escrita numérica, em situações de 
decomposição do número, o apoio na leitura do número pode levar a alguns 
procedimentos desnecessários, como a representação do zero para suprir a 
ausência de quantidade na classe, por exemplo: 8 001= 8000 + 00 + 01.
A pesquisa realizada permitiu algumas ponderações a respeito do tema. A com-
preensão das crianças das noções de agrupamentos e de contagem de agrupamen-
tos é gradativa e parece desenvolver-se, primeiramente, com números da ordem 
das dezenas. Consideramos que essa compreensão se amplia à medida que se faz 
um trabalho com números de diferentes ordens de grandeza, possibilitando que os 
alunos percebam que as características do Sistema de Numeração Decimal podem 
ser generalizadas para números de qualquer ordem de grandeza.
No que se refere à resolução de problema envolvendo agrupamentos e trocas, 
observou-se que o índice de erro foi superior ainda, o que parece ser decorrente 
de práticas de ensino baseadas em tarefas por repetição e memorização em que a 
leitura e escrita numérica são aplicadas com a intenção de sistematizar regras sin-
táticas do sistema, contradizendo as propostas atuais, presentes nos documentos e 
matrizes curriculares.
Os dados contrastam um pensamento persistente e comum acerca do ensino 
do sistema de numeração. Em geral, pensa-se que, como a criança de cerca de 10 
anos já sabe os números até a unidade de milhar, a mesma será capaz de gene-
ralizar e ler um número de qualquer ordem de grandeza, mas isso não aconteceu 
nessa pesquisa.
15
UNIDADE O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
Os resultados apontam que, independentemente do conhecimento consolidado 
nas unidades simples, o processo de generalização é construído em espiral, com 
avanços e retomadas conceituais, sendo este de inteira responsabilidade do profes-
sor. A pesquisa mostrou resultados em particular no que se refere aos agrupamen-
tos de dez em dez e à troca das ordens e classes no número. Consideramos que o 
processo para desenvolver a capacidade de generalização se constrói em diferentes 
âmbitos que vão formando uma malha a partir da qual as crianças organizam, refle-
tem, reorganizam e ampliam seus conhecimentos a respeito do sistema numérico.
Sem compreensão do sistema numérico, as crianças não fazem generalizações 
e utilizam o conhecimento mecanicamente. Os alunos de cerca de dez anos não 
possuem a capacidade de generalizar as características do SND, em particular no 
que se refere aos agrupamentos de dez em dez e à troca das ordens e classes no 
número. Consideramos que o processo para desenvolver a capacidade de genera-
lização se constrói em diferentes âmbitos que vão formando uma malha a partir da 
qual as crianças organizam, refletem, reorganizam e ampliam seus conhecimentos 
a respeito do sistema numérico.
Sem compreensão do sistema numérico, as crianças não fazem generalizações 
e utilizam o conhecimento mecanicamente.
Estudos sobre contagens
Você já teve oportunidade de ver crianças pequenas contando? Elas precisam 
de apoio em objetos, recitam a sequência oralmente, contam mentalmente? Leia o 
trecho a seguir e amplie seus conhecimentos sobre o assunto.
Vários autores discutem sobre procedimentos de contagem das crianças. Vamos 
conhecer alguns deles. Do ponto de vista cognitivo, Vergnaud (1994) afirma que, 
ao enunciar a sequência numérica, a criança pode situar-se em dois níveis diferen-
tes: o nível da recitação e o da contagem propriamente dita. Ele descreve cada um 
desses níveis:
1. Denomina de nível da recitação àquele em que a criança diz as palavras 
que sabe que devem se suceder e, mesmo sem enganos, não significa que 
ela saiba contar objetos até um número qualquer. Mas ele afirma que, fre-
quentemente, a criança se engana nessa recitação;
2. No nível da contagem, ele afirma que a criança acompanha a sequência 
numérica ou com de gestos da mão ou de movimentos dos olhos, o que 
mostra que a criança estabelece uma correspondênciaentre o conjunto 
contado e a sequência numérica oral.
Gray e Tall (1994) apresentam estratégias de contagem das crianças e as catego-
rizam em seis níveis. Partindo de um exemplo de uma adição, como, por exemplo, 
4 + 5, eles descrevem esses níveis:
1. No primeiro nível – “conta-todos” –, a criança usa 3 procedimentos de con-
tagem de objetos físicos. No exemplo acima, conta primeiro os 4 objetos 
16
17
falando 1, 2, 3, 4 e depois conta os 5 objetos falando 1, 2, 3, 4, 5 e, em 
seguida, conta novamente todos os objetos, falando 1, 2, 3, ...9);
2. No segundo nível – “conta-ambos” –, a criança usa dois procedimentos de 
contagem: conta inicialmente os 4 objetos, falando 1, 2, 3, 4 e faz uma 
contagem para os objetos seguintes, falando 5, 6, 7, 8, 9;
3. No terceiro nível – sobrecontagem –, a criança usa apenas um procedi-
mento de contagem: conta diretamente 5 objetos, falando 5, 6, 7, 8, 9 sem 
precisar contar os quatro primeiros objetos, usando o total da contagem;
4. No quarto nível – sobrecontagem a partir do maior –, a criança inicia a 
contagem de 5 objetos, falando 6, 7, 8, 9 sem proceder à contagem dos 
outros 4 objetos;
5. No quinto nível – fato derivado –, o resultado deriva de outros conhecidos. 
Por exemplo, 5 + 5 = 10, então 4 + 5 = 9, um a menos porque 4 é “um 
a menos que 5”;
6. No sexto nível – fato conhecido –, a criança busca um resultado já memo-
rizado (4 + 5 =9).
Outros autores que discutem estratégias de contagem são Chapin e Johnson 
(2006). Eles consideram estratégias de modelagem em que os alunos usam objetos 
físicos, tais como blocos, calculadoras e os dedos para modelar as ações e/ou rela-
ções em um problema. Eles contam alguns ou todos esses objetos para obter uma 
resposta, no geral, quando começam a resolver problemas de adição e subtração. 
Chapin e Johnson (2006) comentam que as crianças usam estratégias de conta-
gem e que, para tal, precisam comprender a relação entre contagem e número de 
elementos em um determinado conjunto matemático (cardinalmente), bem como 
serem capazes de começar a contar em qualquer número ou contar para trás. Em 
algumas situações, os alunos devem também ser capazes de manter o controle de 
quantos números eles contaram e, ao mesmo tempo, reconhecerem quando atingi-
ram o número apropriado.
Eles apontam seis estratégias comuns de contagem: contar tudo, contando a 
partir do primeiro, contando a partir do maior, contagem regressiva de, contagem 
regressiva para, e contando a partir de um número dado. Eles consideram que as 
estratégias de contagem não são técnicas mecânicas que os alunos podem simples-
mente memorizar, mas que são baseadas conceitualmente e construídas diretamen-
te sobre as estratégias de modelagem.
Passamos a apresentar cada uma dessas estratégias segundo esses autores:
1. Contando tudo: os alunos começam a sequência de contagem com um 
e continuam até que a resposta seja alcançada. Essa estratégia exige que 
os alunos tenham um método de manter o controle do número de passos 
da contagem, a fi m de saber quando parar. Às vezes, usam os dedos para 
acompanhar o número de contagens ;
17
UNIDADE O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
2. Contando a partir do primeiro termo do problema (sobrecontagem): 
com essa estratégia, o estudante reconhece que não é necessário recons-
truir toda a sequência de contagem e começar a “contar” a partir do pri-
meiro termo no problema;
3. Contando a partir do maior: essa estratégia é idêntica à estratégia de 
contar a partir do primeiro termo do problema, exceto que a contagem co-
meça a partir do maior dos dois termos. Essa é uma estratégia mais sofis-
ticada de contagem, já que a sua aplicação deixa implícito que o estudante 
entende que a ordem dos termos não importa em problemas de adição, 
ou seja, compreende implicitamente a propriedade comutativa da adição;
4. Contagem regressiva de: nesta estratégia, estudantes iniciam uma sequên-
cia de contagem para trás começando pelo maior número dado. A sequência 
de contagem contém tantos números quanto o menor número dado;
5. Contagem regressiva para: os alunos usam uma sequência de contagem 
para trás até que o número menor seja atingido. Quantos números há na 
sequência de contagem é a solução. Às vezes, os estudantes costumam 
usar seus dedos para acompanhar a contagem;
6. Contando a partir de um número dado: o aluno inicia uma estratégia 
a contar para frente a partir do menor número dado até o maior número 
dado. O estudante acompanha (muitas vezes usando seus dedos) quantos 
números há na sequência.
Chapin e Johnson (2006) comentam que, em todas essas estratégias de conta-
gem, os alunos podem contar de um em um, ou em pequenos grupos, como de 
dois em dois, de cinco em cinco etc. Afirmam que algumas estratégias são me-
nos usadas do que outras e citam como exemplo a contagem regressiva. Afirmam 
também que alguns alunos nunca usam algumas das estratégias ou mesmo nem 
sequer as diferenciam. Há outros grupos de alunos que frequentemente mudam as 
estratégias que usam. Eles concluem que não é necessário para os alunos que o 
professor denomine as estratégias de contagem, mas é importante que o professor 
as reconheça a fim de escolher atividades que deem suporte ao desenvolvimento 
dos alunos.
18
19
Anexo I
Atividades
Algumas atividades envolvendo o ensino dos números naturais e o Sistema de 
Numeração Decimal baseadas nas habilidades previstas nos documentos curricula-
res mais recentes
4º ano
• Habilidade: ler, escrever comparar e ordenar números naturais, observando 
algumas regularidades do Sistema de Numeração Decimal, e localizá-los na 
reta numerada.
Figura 2
Fonte: Caderno da Cidade Saberes e Aprendizagens, 2017, p.10
19
UNIDADE O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
5º ano
• Habilidade: ler, escrever, comparar, arredondar, ordenar, compor e decompor 
números naturais de qualquer ordem de grandeza pela compreensão e uso das 
regras do Sistema de Numeração Decimal, incluindo o uso da reta numerada.
Figura 3
Fonte: Caderno da Cidade Saberes e Aprendizagens, 2017, p.8.
Proposta:
Analise a BNCC (2017) e verifique quais são as habilidades sobre o ensino dos 
números naturais e o Sistema de Numeração Decimal para cada ano de escolarida-
de. Verifique a progressão e especificidades de cada ano. Vamos lá!
20
21
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Descobertas de professoras sobre o universo numérico das crianças: a construção de saberes por meio de 
pesquisas realizadas com seus alunos
PIRES, C. M. P. Descobertas de professoras sobre o universo numérico das crianças: a 
construção de saberes por meio de pesquisas realizadas com seus alunos. In: Anais do 
Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino (ENDIPE), 2008, Porto Alegre.
 Vídeos
A criança, a matemática e a realidade
https://youtu.be/rStgAvkozxI
 Leitura
Construção dos Números Naturais e do Sistema de Numeração Decimal
https://bit.ly/2tVnm2U
Números naturais
https://bit.ly/2OO0CZE
21
UNIDADE O Ensino dos Números Naturais e 
do Sistema de Numeração Decimal
Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Parâmetros 
Curriculares Nacionais. Matemática,1º e 2º ciclos. Brasília: MEC / SEB, 1997.
BRASIL. Base nacional comum curricular. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria.
CHAPIN, S.H.; JOHNSON, A. Math matters: understanding the math you 
teach, grades K8, 2. ed. Sausalito, CA, USA: Math Solutions, 2006.
FAYOL, M. A Criança e o Número: Da contagem à resolução de problemas. Tra-
dução por Rosana Severino de Leoni. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.
FAYOL, M. Institut Nacional de Recherche Pédagogique. Un, deux, beaucoup ... 
passionement: les enfants et les nombres. Rencontre Pédagogique, 21. Paris: 
INRP, 1988.
GRAY, E. M.; TALL, D. O. Duality, ambiguity and flexibility: A proceptual view 
of simple arithmetic. In: Journal of Research in Mathematics Education, 115-141, 1994.
KAMI, C. A criança e o Número: implicações educacionais da teoria de Piaget 
para a atuação junto a escolares de 4 a 6 anos. Tradução por Regina A. de Assis. 
28. ed. Campinas: Papirus, 2001.
LERNER, D.; SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: 
PARRA, C.; SAIZ, I. et al. (Org.). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógi-
cas. Tradução por Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 73-155.
MARIANO, S. F. Procedimentos de crianças do 2º ano do ensino fundamental na 
resolução de problemas do campo aditivo com o significado de transformação. In: 
Educação Matemática: grupos colaborativos, mitos e práticas. Org. Curi, E. e 
Nascimento, J. C. P. São Paulo: Terracota, 2012.
PIRES, C. M. C. Educação Matemática: conversas com professores dos anos ini-
ciais. São Paulo: Zapt, 2012.
PIRES, C. M. C. Descobertas de professoras sobre o universo numérico das crian-
ças: a construção de saberes por meio de pesquisas realizadas com seus alunos. In: 
Anais do Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino (ENDIPE), 2008, 
Porto Alegre.
SANTOS, C. A. B.; CURI, E. Produção do grupo colaborativo em relação ao ensi-
no do Sistema de Numeração Decimal de autoria de Santos. In: Educação Mate-
mática: grupos colaborativos, mitos e práticas. Org. Curi, E. Nascimento, J. C. P. 
São Paulo: Terracota, 2012.
SÃO PAULO. Caderno da Cidade Saberes e Aprendizagens – Matemática. São 
Paulo: Secretaria Municipal da Educação, 2017.
22
23
VECE, J. P. SILVA, S. D.; CURI, E. Desatando os nós do Sistema de Numeração 
Decimal: investigações sobre o processo de aprendizagem dos alunos do 5º ano 
do Ensino Fundamental a partir de questões do SAEB / Prova Brasil. Educação 
Matemática e Pesquisa, São Paulo, v. 15, n. 1, p. 223-240, 2013.
VERGNAUD, G. L’enfant, la mathématique et la réalité. 5.ed. Berne: Peter 
Lang, 1994.
23