Resultante de forças e equilíbrio de uma partícula

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Profª Bárbara Drumond
FORÇA
Força é uma das grandezas vetoriais que necessitam,
para uma completa caracterização, de três
componentes em uma base vetorial (intensidade,
direção e sentido) e de um ponto de aplicação.
No Sistema Internacional de Unidades, as forças são
medidas em N (newtons).
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
y
x
𝜃𝑦
𝜃𝑥
𝐹
𝐹𝑥
𝐹𝑦
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑦 Ԧ𝑗
𝜃𝑥
𝜃
C
a
te
to
 o
p
o
st
o
Cateto adjacente
sin 𝜃𝑥 =
𝐹𝑦
𝐹
cos 𝜃𝑥 =
𝐹𝑥
𝐹
𝐹𝑦 = F sin 𝜃𝑥𝐹𝑥 = F cos 𝜃𝑥
sin 𝜃𝑦 =
𝐹𝑥
𝐹
cos 𝜃𝑦 =
𝐹𝑦
𝐹
𝐹𝑥 = F sin 𝜃𝑥 𝐹𝑦 = F cos 𝜃𝑦
𝜃𝑦
COMPOSIÇÃO DE VETORES
y
x
𝜃𝑦
𝜃𝑥
𝐹
𝐹𝑥
𝐹𝑦
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑦 Ԧ𝑗
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2
cos 𝜃𝑥 =
𝐹𝑥
Ԧ𝐹
cos 𝜃𝑦 =
𝐹𝑦
Ԧ𝐹
RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES
RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES
𝑅𝑥 = ෍𝐹𝑥 𝑅𝑦 = ෍𝐹𝑦
𝑅 = 𝑅𝑥Ԧ𝑖 + 𝑅𝑦 Ԧ𝑗
𝑅 = 𝑅𝑥
2 + 𝑅𝑦
2
cos 𝜃𝑥 =
𝑅𝑥
𝑅
cos 𝜃𝑦 =
𝑅𝑦
𝑅
EXEMPLO
Dois cabos presos em um gancho, exercem as forças F1 e F2. É dado que F1 = 150 N e F2 = 180 
N. 
Determine:
a) o vetor F1;
b) o vetor F2;
c) o vetor resultante dessas forças;
d) o módulo da resultante;
e) o ângulo que a resultante faz com o eixo x positivo.
EXEMPLO
Dois cabos presos em um gancho, exercem as forças F1 e F2. É dado que F1 = 150 N e F2 = 180 
N. 
Determine:
a) o vetor F1;
Ԧ𝐹1 = 150 cos 30° Ԧ𝑖 + 150 sin 30° Ԧ𝑗
Ԧ𝐹1 = 129,90 Ԧ𝑖 + 75 Ԧ𝑗
b) o vetor F2;
Ԧ𝐹2 = 180 cos 50° Ԧ𝑖 + 180 sin 50° Ԧ𝑗
Ԧ𝐹2 = 115,70 Ԧ𝑖 + 137,89 Ԧ𝑗
EXEMPLO
Dois cabos presos em um gancho, exercem as forças F1 e F2. É dado que F1 = 150 N e F2 = 180 
N. 
Determine:
c) o vetor resultante dessas forças;
𝑅𝑥 = ෍𝐹𝑥 = 129,90 + 115,70 = 245,60N
𝑅𝑦 = ෍𝐹𝑦 = 75 + 137,89 = 212,89N
𝑅 = 245,60 Ԧ𝑖 + 212,89 Ԧ𝑗
EXEMPLO
Dois cabos presos em um gancho, exercem as forças F1 e F2. É dado que F1 = 150 N e F2 = 180 
N. 
Determine:
d) o módulo da resultante;
𝑅 = 245,60 2 + 212,89 2
𝑅 = 325,02𝑁
e) o ângulo que a resultante faz com o eixo x positivo.
cos 𝜃𝑥 =
245,60
325,02
cos 𝜃𝑦 =
212,89
325,02
𝜃𝑥 = 40,92° 𝜃𝑦 = 49,08°
EXEMPLO
Dois cabos presos em um gancho, exercem as forças F1 e F2. É dado que F1 = 150 N e F2 = 180 
N. 
y
x
49,08°
40,92°
325,02𝑁
245,60𝑁
212,89𝑁
Como visto anteriormente, ao analisar um sistema de forças pode-se determinar a
intensidade da força resultante e sua direção ao longo dos eixos x e y.
Do mesmo modo, conhecida a intensidade da força resultante e sua orientação, é
possível determinar a intensidade e direção de uma força desconhecida aplicada no
sistema de forças em questão.
Determinação da intensidade de uma força e/ou direção em um
sistema de forças coplanares a partir de sua resultante
1º Determinar as componentes em x e y da força resultante;
2° Determinar as componentes x e y das forças aplicadas no sistema;
3° Igualar a soma das componentes x das forças aplicadas no sistema com a componente x da 
resultante;
4° Igualar a soma das componentes y das forças aplicadas no sistema com a componente y da 
resultante;
5° Resolver o sistema de equações a fim de determinar as incógnitas do problema.
Dica: Utilizar a razão trigonométrica 
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos 𝜃
= 𝑡𝑔 𝜃 quando necessário.
Passo-a-passo
EXEMPLO
Se a força resultante agindo
no olhal tem a intensidade de 600 N
e orientação θ=30° em relação ao
sentido positivo do eixo x, determine
a intensidade da força F1 e o ângulo
φ.
RESOLUÇÃO
◦ 1º Determinar as componentes em x e y da força 
resultante:
𝑅 = 600 cos 30° Ԧ𝑖 + 600 sin 30° Ԧ𝑗 𝑁
𝑅 = 519,61 Ԧ𝑖 + 300 Ԧ𝑗 𝑁
𝑅𝑦
𝑅𝑥
◦ 2° Determinar as componentes x e y das forças 
aplicadas no sistema;
RESOLUÇÃO
◦ 2° Determinar as componentes x e y das forças aplicadas 
no sistema;
RESOLUÇÃO
◦ 2° Determinar as componentes x e y das forças aplicadas no 
sistema;
RESOLUÇÃO
3° Igualar a soma das componentes x das forças aplicadas no sistema com a componente x da 
resultante;
𝑅𝑥 = 𝐹1 cos∅ + 250𝑁 − 270𝑁 = 519,61𝑁
𝐹1𝑥 = 𝐹1 cos∅ = 539,61𝑁
4° Igualar a soma das componentes y das forças aplicadas no sistema com a componente y da 
resultante;
𝑅𝑦 = 𝐹1 sin∅ − 433,01𝑁 − 360𝑁 = 300𝑁
𝐹1𝑦 = 𝐹1 sin ∅ = 1093,01𝑁
RESOLUÇÃO
5° Resolver o sistema de equações a fim de determinar as incógnitas do problema.
𝐹1𝑥 = 𝐹1 cos ∅ = 539,61𝑁 (Eq. 1)
𝐹1𝑦 = 𝐹1 sin ∅ = 1093,01𝑁 (Eq. 2)
RESOLUÇÃO
𝐹1 = (
539,61
cos∅
)𝑁
539,61
cos∅
sin∅ = 1093,01𝑁
sin ∅
cos∅
=
1093,01𝑁
539,61𝑁
RESOLUÇÃO
tan∅ =
1093,01𝑁
539,61𝑁
∅ = tan−1
1093,01𝑁
539,61𝑁
∅ = 63,7248° ≅ 63,72°
5° Resolver o sistema de equações a fim de determinar as incógnitas do problema.
Colocando 𝐹1 em evidência na equação 1 e substituindo na equação 2, obtém-se:
RESOLUÇÃO
5° Resolver o sistema de equações a fim de determinar as incógnitas do problema.
Substitui-se então o ângulo ∅ nas equações do item 3 ou 4 para determinar a intensidade de F1.
𝐹1 sin 63,7248° = 1093,01𝑁
𝐹1 =
1093,01𝑁
sin 63,7248°
𝐹1 = 1218,95𝑁
𝐹1 cos 63,72° = 539,61𝑁
𝐹1 =
539,61𝑁
cos 63,7248°
𝐹1 = 1218,95𝑁
ou
Resolução
5° Resolver o sistema de equações a fim de determinar as incógnitas do problema.
Pode-se ainda utilizar o teorema de Pitágoras para determinar a intensidade de F1.
𝐹1 = 𝐹1𝑥
2 + 𝐹1𝑦
2
𝐹1 = (539,61𝑁)
2+(1093,01𝑁)2
𝐹1 = 1218,95𝑁
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é igual a zero,
pode-se dizer que a partícula está em equilíbrio.
Portanto, para expressar algebricamente as condições de equilíbrio de uma partícula,
pode-se escrever:
𝑅 =෍𝐹 = 0
Conclui-se ainda que as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de uma
partícula são:
σ𝐹𝑥 = 0 σ𝐹𝑦 = 0
24
METODOLOGIA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Comece selecionando os
eixos x e y apropriados e
decomponha cada uma das
forças mostradas no diagrama
de corpo livre em componentes
x e y.
Expressando que a soma
dos componentes x e a soma
dos componentes y de todas as
forças são ambas iguais a zero,
obterá duas equações que
podem ser resolvidas para no
máximo duas incógnitas.
25
EXEMPLO
Numa operação de descarregamento
de um navio, um automóvel de 15.750 N é
sustentado por um cabo. Uma corda é
amarrada ao cabo em A e puxada para
pousar o automóvel na posição desejada. O
ângulo entre o cabo e a vertical e ́ de 2°,
enquanto o ângulo entre a corda e a
horizontal e ́ de 30°. Qual e ́ a tração da
corda?
26
RESOLUÇÃO
27
O ponto A é escolhido como um corpo livre,
podendo, assim, desenhar o diagrama de corpo
livre completo. TAB é a tração no cabo AB, e TAC e ́
a tração na corda.
1º Determinar as componentes x e y das forças
aplicadas no sistema;
𝑇𝐴𝐵 = −𝑇𝐴𝐵 sin 2° Ԧ𝑖 + 𝑇𝐴𝐵 cos 2° Ԧ𝑗 𝑁
𝑇𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶 cos 30° Ԧ𝑖 − 𝑇𝐴𝐶 sin 30° Ԧ𝑗 𝑁
Ԧ𝐹 = 0 Ԧ𝑖 − 15750 Ԧ𝑗 𝑁
RESOLUÇÃO
28
𝑇𝐴𝐵 = −𝑇𝐴𝐵 sin 2° Ԧ𝑖 + 𝑇𝐴𝐵 cos 2° Ԧ𝑗 𝑁
𝑇𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶 cos 30° Ԧ𝑖 − 𝑇𝐴𝐶 sin 30° Ԧ𝑗 𝑁
Ԧ𝐹 = 0 Ԧ𝑖 − 15750 Ԧ𝑗 𝑁
2º Expressar que a soma dos componentes x e a 
soma dos componentes y de todas as forças são 
ambas iguais a zero;
෍𝐹𝑥 = −𝑇𝐴𝐵 sin 2° + 𝑇𝐴𝐶 cos 30° =0
෍𝐹𝑦 = 𝑇𝐴𝐵 cos 2° − 𝑇𝐴𝐶 sin 30° − 15750 = 0
RESOLUÇÃO
29
−𝑇𝐴𝐵 sin 2° + 𝑇𝐴𝐶 cos 30° =0
𝑇𝐴𝐵 cos 2° − 𝑇𝐴𝐶 sin 30° − 15750 = 0
3° Resolver o sistema de equações.
𝑇𝐴𝐶 cos 30° =𝑇𝐴𝐵 sin 2° (Eq.1)
𝑇𝐴𝐵 cos 2° − 𝑇𝐴𝐶 sin 30° = 15750 (Eq. 2)
Ao colocar a tração no cabo AC (𝑇𝐴𝐶) em evidência na 
Eq. 1, tem-se:
𝑇𝐴𝐶 cos 30° =𝑇𝐴𝐵 sin 2°
𝑇𝐴𝐶 =
𝑇𝐴𝐵 sin 2°
cos 30°
RESOLUÇÃO
30
3° Resolver o sistema de equações.
Substitui-se então 𝑇𝐴𝐶 na Eq. 2, para obter a tração no cabo AB (𝑇𝐴𝐵):
𝑇𝐴𝐵 cos 2° − 𝑇𝐴𝐶 sin 30° = 15750 (Eq.2)
𝑇𝐴𝐵 cos 2° −
𝑇𝐴𝐵 sin 2°
cos30°
sin 30° = 15750
𝑇𝐴𝐵 cos2° − 𝑇𝐴𝐵 sin 2° tan 30° = 15750
𝑇𝐴𝐵 (cos2° − sin 2° tan 30°) = 15750
𝑇𝐴𝐵 =
15750
(cos2° − sin 2° tan 30°)
𝑇𝐴𝐵 = 16083,88 𝑁
−𝑇𝐴𝐵 sin 2° + 𝑇𝐴𝐶 cos 30° =0
𝑇𝐴𝐵 cos 2° − 𝑇𝐴𝐶sin 30° − 15750 = 0
RESOLUÇÃO
3° Resolver o sistema de equações.
De posse da intensidade de 𝑇𝐴𝐵, pode-se 
determinar a intensidade de 𝑇𝐴𝐶 .
𝑇𝐴𝐶 =
16083,88 sin 2°
cos 30°
𝑇𝐴𝐶 =648,15 𝑁
31
DÚVIDAS?
barbara.drumond@ubm.br