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TRANSIÇÃO
MATEMÁTICA
FÍSICA
QUÍMICA
COLEÇÃO LUMEN
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Todos os direitos de edição reservados à Editora Poliedro. 
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal, Lei 9.610 
de 19 de fevereiro de 1998.
Presidente: Nicolau Arbex Sarkis 
Autoria: José Osvaldo de Souza Guimarães, Laércio do Valle, 
Juliana Rovere, Laís de Campos Barbieri, João Marcos Sousa 
Miranda e Rodolfo Pereira Borges
Edição de conteúdo: Jaqueline Paiva Cesar, Adriano Rosa 
Lopes, Isabela Ramalho dos Santos, João Messias Júnior, 
Larissa Calazans Nicoletti Mesquita, Marcelo de Hollanda 
Wolff e Maria Carolina Checchia da Ines
Edição de arte: Leonardo Carvalho, Fabiana Florencio 
Fernandes, Francisco Claudio M. Da Silva e Guilherme Oliveira
Ilustrações: Equipe Poliedro
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Licenciamento e multimídia: Leticia Palaria de Castro e 
Danielle Navarro Fernandes
Revisão: Rosangela Carmo Muricy, Bianca da Silva Rocha, 
Eliana Marilia G. Cesar, Ellen de Barros Souza, Ingrid 
Lourenço e Sara Santos
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A Editora Poliedro pesquisou junto às fontes apropriadas a existência de eventuais 
detentores dos direitos de todos os textos e de todas as imagens presentes nesta 
obra didática. Em caso de omissão, involuntária, de quaisquer créditos, colocamo-nos 
à disposição para avaliação e consequentes correção e inserção nas futuras edições, 
estando, ainda, reservados os direitos referidos no Art. 28 da Lei 9.610/98.
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T. 12 3924-1616 
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Apresentação
O material de transição vai ajudar os alunos a enfrentar os desafios 
do Novo Ensino Médio.
Ele apresenta os capítulos que foram deslocados para a 1ª série na 
edição de 2022 da coleção Lumen.
Assim, os alunos que usaram a Lumen em 2021 não terão ausência 
de conteúdo em sua formação.
Sumário
FÍSICA
F R E N T E A
Eletrodinâmica I ...........................................6
Capítulo T1 – Corrente elétrica ................................8
Carga elétrica................................................................... 9
Condutores e isolantes ..............................................10
Corrente elétrica ...........................................................10
Potencial elétrico ..........................................................16
Potência elétrica ...........................................................18
Circuito simples .............................................................21
Aplicando conhecimentos .......................................23
Consolidando saberes ..............................................25
Capítulo T2 – Leis de Ohm ..................................... 28
Resistor ............................................................................29
Primeira lei de Ohm .....................................................31
Potência em um resistor .............................................32
Segunda lei de Ohm ...................................................33
Curto-circuito ..................................................................35
Aplicando conhecimentos .......................................36
Consolidando saberes ..............................................39
No Enem é assim ........................................................43
F R E N T E B
Termologia I ............................................... 44
Capítulo T1 – Termometria ..................................... 46
Energia térmica e temperatura ................................47
Construção de um termômetro
de escala arbitrária.......................................................48
Escalas Celsius e Fahrenheit ....................................51
Uma escala absoluta: a escala Kelvin ....................53
Comparação das três principais escalas ..............55
Experimento ...................................................................56
Aplicando conhecimentos .......................................57
Consolidando saberes ..............................................59
Capítulo T2 – Calor sensível .................................. 61
Calor: energia em trânsito .........................................62
Fenômenos térmicos sem mudança de fase ......62
Equação do calor sensível ........................................64
Trocas de calor ..............................................................65
Experimento de Joule .................................................68
Calor de combustão ....................................................69
Aplicando conhecimentos .......................................70
Consolidando saberes ..............................................73
No Enem é assim ........................................................75
Gabarito .................................................................... 76
QUÍMICA
F R E N T E A
Propriedades coligativas ......................... 78
Capítulo T1 – Pressão máxima de vapor ............. 80
Sistemas dispersos ......................................................81
Mudanças de estado físico e diagrama
de fases da água ..........................................................81
Temperatura de ebulição e pressão
máxima de vapor ..........................................................82
Aplicando conhecimentos .......................................86
Consolidando saberes ..............................................86
Capítulo T2 – Outras propriedades coligativas ..90
Tonoscopia .................................................................... 91
Ebulioscopia ...................................................................92
Crioscopia .......................................................................92
Osmometria ....................................................................92
Experimento ...................................................................95
Lei de Raoult para as propriedades 
coligativas .......................................................................97
Aplicando conhecimentos .......................................98
Consolidando saberes ..............................................99
No Enem é assim .....................................................101
Gabarito ..................................................................102
MATEMÁTICA
F R E N T E A
Análise combinatória .............................104
Capítulo T1 – Princípios de análise 
combinatória ...............................................................106
Princípios de contagem ...........................................107
Princípio fundamental da contagem ...................112
Fatorial ...........................................................................118
Aplicando conhecimentos ....................................120
Consolidando saberes ...........................................124
Capítulo T2 – Formas de contagem ...................130
Tipos de agrupamentos ..........................................131
Combinação simples ................................................139
Contagem das soluções inteiras não negativas 
da equação x1 1 x2 1 ... 1 xn 5 p ......................142
Aplicando conhecimentos ....................................144
Consolidando saberes ...........................................147
No Enem é assim .....................................................155
F R E N T E B
Trigonometria ..........................................158
Capítulo T1 – Arcos geométricos ........................160
Medidas angulares ....................................................161
Aplicando conhecimentos ....................................168
Consolidando saberes ...........................................169
Capítulo T2 – A circunferência trigonométrica .174
Trigonometria no triângulo retângulo .................175
Arcos orientados .......................................................178
A circunferência trigonométrica............................182
Aplicando conhecimentos ....................................195Consolidando saberes ...........................................197
Capítulo T3 – Relações trigonométricas 
recíprocas ...............................................................203
Secante, cossecante e cotangente .....................204
Relações trigonométricas auxiliares ....................210
Provando identidades trigonométricas ..............211
Aplicando conhecimentos ....................................213
Consolidando saberes ...........................................214
Capítulo T4 – Adição e diferença de arcos ........216
Seno e cosseno da soma e 
diferença de arcos ....................................................217
Tangente da soma e da diferença de arcos .....220
Fórmulas de arco duplo ..........................................221
Fórmulas do arco metade .......................................225
Aplicando conhecimentos ....................................228
Consolidando saberes ...........................................229
No Enem é assim .....................................................234
F R E N T E C
Matrizes, determinantes e 
sistemas lineares ....................................236
Capítulo T1 – Matrizes ..........................................238
Conceitos iniciais .......................................................239
Operações com matrizes ........................................243
Aplicando conhecimentos ....................................258
Consolidando saberes ...........................................259
Gabarito ..................................................................265
Exemplos do aproveitamento de fluxos de energia.
A
Como aproveitar outros fluxos de energia para gerar 
o fluxo ordenado de energia elétrica?
Como conduzir o fluxo de energia elétrica?
Como aproveitar o fluxo de energia elétrica?
Física
FRENTE
Eletrodinâmica I
Como aproveitar outros fluxos de energia para gerar 
o fluxo ordenado de energia elétrica?
Como conduzir o fluxo de energia elétrica?
Como aproveitar o fluxo de energia elétrica?
Os seres vivos aproveitam o fluxo de energia para a 
sua sobrevivência desde os primórdios. Um simples ar-
busto aproveita o fluxo da energia solar e o transforma 
em energia química e a armazena. Os animais que se ali-
mentam desses arbustos perfazem um fluxo de energia 
química e o utilizam em seus movimentos, em seu cresci-
mento e em seu metabolismo.
Arados e moinhos aproveitavam o fluxo de energia 
dos animais para a agricultura e o preparo dos grãos. Vie-
ram as rodas-d'água e os moinhos de vento, que aprovei-
tavam o fluxo de massa do ar e das águas.
Na Primeira Revolução Industrial, o fluxo do calor foi 
aproveitado para a movimentação das máquinas térmicas. 
Ao longo do século XX foi se consolidando o aprovei-
tamento do fluxo da energia elétrica, que sem dúvida é o 
mais eficiente se comparado aos anteriormente mencio-
nados, com tecnologias que permitem responder a três 
grandes questões.
Vamos discuti-las nesta unidade. Enquanto isso, pense 
sobre elas. A resposta pode estar nas ilustrações.
T1
CAPÍTULO
W
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 R
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h
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o
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Corrente elétrica
Relâmpago sobre a cidade de São Paulo (SP).
• Pesquise sobre os fluxos de portadores de carga nos relâmpagos: nuvem para o solo, nuvem 
para nuvem, solo para a nuvem. Quais são os mais frequentes?
• Uma pessoa em pé na praia plana, com guarda-chuva metálico durante uma tempestade, corre 
um extremo perigo. Pesquise sobre os perigos representados pelos raios.
 Neste capítulo, será abordada a habilidade EM13CNT106.
Os relâmpagos demarcam a trajetória de um fluxo de portadores de carga elétrica. O súbito aque-
cimento do ar transpassado pelas cargas elétricas resulta na expansão tão rápida do ar quanto uma 
explosão – são os trovões.
Mitos e lendas figuram em todos os tempos e povos como tentativas de explicar os fenômenos naturais 
como trovões e relâmpagos. Para os nórdicos, Thor-don era o ruído de Thor golpeando as nuvens com seu 
martelo, trazendo a chuva que irrigava o plantio e promovia a fertilidade. Se comparado com o grego Zeus 
e o indígena Tupã, há em comum a imaginação e o medo ante o desconhecido. Entretanto, o conhecimento 
proporcionado pela Ciência, embora jamais afaste da cultura humana sua tendência à livre criação poética 
e literária, aproxima-nos dos eventos naturais com os recursos da lógica, da observação e da experiência.
Richard Feynman, físico teórico estadunidense, em uma de suas obras mais famosas descreve a forma-
ção dos relâmpagos por meio de conceitos que serão trabalhados ao longo deste capítulo.
Feynman aponta que, há 2 300 anos, Artabanis, conselheiro de Xerxes, procurou consolar seu senhor 
pela batalha perdida contra os gregos, tomando como exemplo o fato de os objetos altos atraírem muito 
mais raios que os baixos no descampado:
– Veja como Deus, com seus relâmpagos, sempre castiga os maiores animais no intuito de nunca lhes 
permitir a insolência, poupando os de menor grandeza porque nem sequer o irritam. Também seus raios 
persistirão em golpear as casas e árvores mais altas.
A explicação da Ciência é melhor? Feynman assegura que sim, mas lamenta ser ela menos poética. 
Vamos ver daqui a 2 300 anos.
9CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
 Carga elétrica
Existem relatos sobre experimentos com eletricidade desde a Grécia 
Antiga. Tales de Mileto, por exemplo, descreve experimentos com um 
bastão de resina fóssil (âmbar), em grego denominada elektra, que, após 
atritada, atraía pequenos pedaços de cortiça.
Nos experimentos eletrostáticos, verificamos que as forças podem ser 
de atração ou de repulsão, o que nos leva a conceber duas espécies de 
carga elétrica.
Em termos atuais compreendemos a propriedade de os corpos se 
eletrizarem como decorrente da estrutura da matéria. Podemos entender 
os processos elétricos baseados no modelo atômico de Rutherford.
Segundo esse modelo, a carga elétrica é uma propriedade de ele-
mentos básicos da estrutura do átomo. Os prótons e os elétrons têm car-
gas elétricas opostas, enquanto os nêutrons têm carga nula.
Modelo atômico de Rutherford
No modelo clássico de Rutherford, a menor unidade de carga elétrica, 
em módulo, é atribuída aos prótons e aos elétrons. Este valor é chama-
do de carga elementar e vale e 5 1,6 ? 10219 C, em que C é coulomb, 
unidade de carga elétrica. Convencionou-se atribuir ao elétron a carga 2e, 
e, como o próton tem carga oposta, sua carga é 1e.
A Ciência contemporânea constatou que prótons e nêutrons têm ain-
da uma estrutura interna que contém subpartículas (quarks) de cargas 
menores que e, mas veremos isso mais tarde.
Interação elétrica
Por ora, vamos considerar a interação elétrica somente em aspectos 
qualitativos. Um corpo está eletrizado se o seu número total de prótons 
for diferente de seu número total de elétrons, ou seja, quando as cargas 
não estão equilibradas.
Consideremos dois corpos eletrizados, um com carga positiva (1) e outro 
com carga negativa (–), separados por uma distância d (figura abaixo). Caso 
as dimensões desses corpos sejam muito menores que d, eles serão repre-
sentados por pontos e serão chamados de carga elétrica puntiforme.
+ –
d
Como os corpos estão eletrizados, há uma interação elétrica entre 
eles, provocando o surgimento de duas forças contrárias, uma em cada 
corpo, de intensidade F. A intensidade dessa força elétrica diminui à me-
dida que aumentamos a distância de separação d. A força elétrica segue 
a direção da reta que os une. Com relação ao sentido, temos (veja a 
figura a seguir):
• se forem eletrizados com cargas elétricas de sinais contrários, a força 
elétrica será de atração (a);
• se forem eletrizados com cargas elétricas de mesma natureza (mes-
mo sinal), a força elétrica será de repulsão (b).
Modelo atômico 
de Rutherford 
para o átomo de 
neônio. Os elétrons 
são distribuídos 
em camadas. À 
direita tem-se 
uma ampliação do 
núcleo.
Nesse contexto, o “e” é 
abreviação de elementar
(carga elétrica elementar), e 
não de elétron.ligado
Fique
10 FÍSICA / Frente A
Como essa interação da força elétrica ocorre à distância, usamos o 
conceito de campo, da mesma forma que na Gravitação. As cargas elé-
tricas geram no espaço ao redor de si um campo elétrico. Usualmente, 
o vetor campo elétrico característico de cada ponto do espaço é repre-
sentado por 
�
E .
 Condutores e isolantes
Em relação à eletricidade, os materiais são classificados em con-
dutores e isolantes. Todos os elementos químicos possuem prótons e 
elétrons, mas, para que um material seja condutor de energia elétrica, é 
necessário que ele possua portadores de carga elétrica livres (elétrons, 
íons positivos ou íons negativos) e mobilidade para esses portadores. 
Os metais são bons condutores de eletricidade, pois possuem elétrons 
“quase livres” (a interação entre as cargas e os átomos é bastante fraca) 
e mobilidade para esses elétrons; o mesmo acontece com as soluções 
eletrolíticas, que apresentam os íons como portadores de carga elétri-
ca, e com os gases ionizados, que possuem elétrons e íons como porta-
dores de carga elétrica. Outro exemplo é o ar, que é em geral isolante, 
mas, se ionizado, torna-se um excelente condutor: basta observar os 
relâmpagos.
Por outro lado, o vidro, a água pura, a madeira seca, a porcelana e os 
plásticos, de modo geral, são bons isolantes de eletricidade. Além dos 
condutores e dos isolantes, existem os materiais semicondutores, como 
o silício e o germânio.
Os animais, assim como os vegetais, possuem água em abundância 
com vários íons dissociados (sódio, potássio, ferro etc.), constituindo-se 
em verdadeiras soluções eletrolíticas que conduzem a eletricidade. É co-
mum ocorrer acidentes em que foram usados bambus ou cipós verdes 
em fios energizados, na crença de que fossem isolantes.
Por outro lado, não existe o isolante perfeito. O que encontramos na 
prática são os maus condutores. Em relação à condutividade, algumas 
substâncias com temperaturas próximas ao zero absoluto são conduto-
ras ideais (supercondutores). 
A associação em determinadas circunstâncias, como a que ocorre en-
tre o silício puro e proporções infinitesimais de arsênio, pode fazer do 
silício um condutor. 
Essa associação deu origem ao transistor, que por suas propriedades 
veio a substituir as antigas válvulas nos aparelhos eletrônicos.
 Corrente elétrica
Considere um pedaço de fio de cobre com 1 g de massa. Pelas 
características das ligações metálicas, esse pedaço de cobre tem 
cerca de 1022 elétrons livres. Mesmo com o fio isolado de qualquer 
contato, esses elétrons não estão em repouso, mas sim em movimen-
to desordenado.
elétron
Átomo
Elétrons livres em movimento desordenado.
+ +
– –
F
→
–F
→
Q
1
(b)
Q
2
F
→
–F
→
Q
1
Q
2
+ –
F
→
–F
→
Q
1
(a)
Q
2
11CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
Considerando uma seção transversal qualquer desse fio, em média, 
a quantidade de elétrons que cruza essa seção em um sentido é igual à 
que cruza essa mesma seção deslocando-se em sentido contrário.
Também em uma solução eletrolítica mantida em um recipiente isola-
do de qualquer contato elétrico, os íons não estão em repouso. Analoga-
mente ao exemplo do fio, eles estão em movimento desordenado.
Se aplicarmos um campo elétrico no sentido longitudinal de um fio 
metálico, além do movimento desordenado que os elétrons livres já pos-
suíam, eles passam a se mover ordenadamente, no sentido contrário à 
orientação do campo, uma vez que suas cargas são negativas. Temos 
então uma corrente elétrica.
Corrente elétrica é o movimento ordenado dos portadores de carga.
Vamos escolher uma seção transversal do condutor. A grandeza esca-
lar intensidade de corrente elétrica (i) é a quantidade de carga elétrica 
que atravessa essa seção por unidade de tempo.
Em termos mais formais, por definição, a quantidade de carga elétrica 
(Dq) que atravessa determinada seção transversal de um condutor, por 
unidade de tempo, é a intensidade média da corrente elétrica (im). Simbo-
licamente, escrevemos:
i
q
tm
5
D
D
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade é:
coulomb
segundo
C
s
ampère A5 5 5
Tal como as outras unidades do SI, a unidade ampère admite múltiplos 
e submúltiplos, conforme alguns exemplos da tabela seguinte.
SUBMÚLTIPLOS USUAIS DO AMPÈRE
miliampère mA 1 mA 5 1023 A
microampère mA 1 mA 5 1026 A
nanoampère nA 1 nA 5 1029 A
Tipos de corrente elétrica
Conforme o material em que ocorre o fluxo dos portadores de car-
ga, tem-se diferentes tipos de corrente elétrica. A seguir, apresenta-
mos alguns tipos básicos de condutores e o tipo de corrente elétrica 
correspondente.
Corrente eletrônica – condutores metálicos
Nesses condutores, há as ligações metálicas, que se caracterizam 
pela formação de uma nuvem eletrônica, constituída de elétrons fraca-
mente ligados aos átomos, mas confinados no condutor. Esses elétrons 
são os portadores de carga nos metais em geral.
Em alguns tipos de semicondutores acontece um fenômeno similar. 
Pela ação do campo elétrico, um elétron é retirado de um átomo de fósfo-
ro, deixando uma lacuna, por exemplo. Essa lacuna é preenchida quando 
esse átomo retira um elétron de seu vizinho, que por sua vez repetirá o 
processo. Enquanto a lacuna se desloca em um sentido, os elétrons se 
deslocam em sentido contrário. Esse tipo de corrente elétrica é chamado 
de corrente de par elétron-lacuna.
No exemplo do fio isolado 
de contatos elétricos, a 
corrente elétrica média é 
nula, mas pode-se aplicar 
ao fio um campo elétrico 
longitudinal. Nessa situação, 
teremos, além do movimento 
desordenado, a superposição 
de um movimento ordenado
de portadores de carga, e 
a intensidade da corrente 
elétrica não será mais nula.
ligado
Fique
12 FÍSICA / Frente A
Corrente iônica – soluções eletrolíticas
As soluções eletrolíticas têm como portadores de carga elétrica os 
íons positivos e negativos. Esses íons provêm da dissociação iônica 
(compostos iônicos) ou da ionização (compostos moleculares) num sol-
vente, normalmente a água. Nos seres vivos, particularmente na espécie 
humana, esse é o tipo de corrente elétrica que o meio propicia (choques).
Corrente mista – condutores gasosos
Geralmente, um gás é isolante. Porém, a ação de um intenso campo 
elétrico pode ionizá-lo, transformando íons positivos e elétrons em porta-
dores livres. Observa-se esse tipo de corrente elétrica, por exemplo, nas 
lâmpadas fluorescentes.
V
o
lk
e
r 
S
te
g
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m
e
n
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c
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 P
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o
to
 L
ib
ra
ry
/F
o
to
a
re
n
a
Sentido convencional da corrente elétrica
O movimento ordenado dos portadores de carga fica restrito aos li-
mites impostos pelo condutor, podendo acontecer em dois sentidos. No 
caso de portadores positivos, eles se movem no mesmo sentido do cam-
po elétrico, e, no caso de portadores negativos, eles se movem no senti-
do contrário ao do campo.
A figura seguinte é um esquema do movimento de um elétron livre 
particular, no interior de um fio metálico, antes e após a aplicação do 
campo elétrico.
No interior dessa lâmpada, há uma corrente mista.
→
→
V
B
V
A
i 0m 5
V VA B5
E
→
V
B
i
V
A
v
média
→
V VA B>
Movimento desordenado
�
�
v 0média 5
Movimento ordenado
�
�
v 0média =
Dispositivo experimental para estudo 
da corrente elétrica em uma solução 
eletrolítica.
C
h
a
rl
e
s
 D
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W
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c
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n
c
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 S
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e
/A
G
B
 P
h
o
to
 L
ib
ra
ry
13CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
Representando apenas a parte ordenada dos movimentos dos porta-
dores de carga em um fio metálico, o esquema ao lado ilustra o sentido 
convencional da corrente elétrica.
Se esse mesmo campo elétrico fosse aplicado em uma solução ele-
trolítica, teríamos íons positivos se movendo no sentido do campo e íons 
negativos se movimentando em sentido contrário. 
O sentido convencionado para a corrente elétrica é o sentido do cam-
po elétrico.
Esse é o sentido do movimento dos portadores de cargas positivos, 
ou, de maneira equivalente, o sentido contrário ao do movimentodos 
portadores negativos. Tal escolha se presta tanto para as soluções ele-
trolíticas como para os gases ionizados ou para os metais.
Dessa forma, corrente elétrica é então uma grandeza escalar e, assim 
como a velocidade escalar de um ponto material, possui um sentido.
Como veremos mais adiante, escolhida uma orientação de corrente 
em um ramo de um circuito elétrico, o valor obtido para a corrente elétrica 
pode ser positivo ou negativo, caso concorde ou discorde da orientação 
adotada inicialmente.
Se
ção
 tra
nsv
ers
al
Fio
 me
táli
co
E
→
i
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
1 Dentro de um tubo de vidro em que há vácuo, existe um feixe de 5,0 ? 1013 elétrons por segundo que 
se dirigem da esquerda para a direita, conforme indica a figura.
–
–
–
–
–
–
a) Qual é a intensidade da corrente elétrica associada a esse movimento de cargas?
b) Considerando que esse fluxo tenha se mantido constante e durado três segundos, qual foi a quan-
tidade de cargas adquirida por cada uma das extremidades do tubo, admitindo-se que inicialmente 
elas estavam neutras?
c) Qual das extremidades (direita ou esquerda) teve uma variação positiva em relação à sua carga 
elétrica?
Resolução:
a) Considerando o intervalo de tempo de um segundo, temos:
q neD 5q nD 5q nq nq n , assim q 5,0 10 1,6 1013 19D 5q 5D 5q 52 ?q 52 ?q 5,02 ? ? ?1,? ?6 1? ?6 1 2 .
q 8,0 10 C6D 5q 8D 5q 82 ?q 82 ?q 8,02 ? 2
i
q
t
5
D
D
, e como Dt 5 1 s, temos: i 5 –8,0 ? 1026 A 5 –8,0 mA
b) Como q i tD 5q iD 5q i ? D e Dt 5 3 s, obtemos:
q 8,0 10 36D 5q 8D 5q 82 ?q 82 ?q 8,02 ? ?2 ~ Dq 5 –24 mC
A extremidade direita recebeu –24 mC e fica, portanto, eletrizada com Qd 5 –24 mC. A extremidade 
esquerda cedeu elétrons e fica, portanto, positiva com carga 124 mC.
c) A extremidade esquerda. Algebricamente, a carga da extremidade direita diminuiu. Nesse aspecto, 
o sentido da corrente elétrica é da direita para a esquerda, embora o movimento dos elétrons seja 
no sentido contrário. Isso ocorre porque os elétrons possuem cargas negativas.
Questões resolvidas
14 FÍSICA / Frente A
Corrente elétrica variável
Em grande parte das situações, a corrente elétrica varia com o tempo. Se a variação ocorre somente na in-
tensidade, a corrente elétrica é dita contínua. Se ocorre variação também no sentido da corrente, essa corrente 
é dita alternada, conforme ilustram as figuras seguintes.
i
t
Corrente contínua Corrente alternada
i
t
Classificação da corrente elétrica em relação ao seu sentido.
2 Em um recipiente de vidro que contém uma solução aquosa de ácido sulfúrico (H2SO4), 1,0 ? 10
17, íons 
sulfato e 2,0 ? 1017 íons hidroxônio se movimentaram em sentidos opostos em 0,01 s, devido à aplicação 
de um campo elétrico horizontal, conforme figura.
E
→
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+ +
+ : Íon sulfato (SO4
–2)–
: Íon hidroxônio (H
3
O+)+
Qual foi a intensidade média da corrente elétrica nesse intervalo de tempo?
Lembre-se: a carga elementar é e 5 1,6 ? 10219 C.
Resolução:
Há a corrente elétrica i1 dos íons hidroxônio (H3O
1 ) e a corrente elétrica i2 dos íons sulfato ( )SO( )4( )2( )( ) .
Para a corrente dos íons hidroxônio, temos:
q 1 2,0 10 e 10 3,2 10
q 3,2 10 C
1q 1q 1
170 e170 e 17 19
1q 3q 3
2
D 5q 1D 5q 1q 1q 1D 5 ? ?2,? ?0 1? ?0 1 ? 50 e? 50 e ? ?3,? ?2 1? ?2 1
D 5q 3D 5q 3q 3q 3D 5 ?
2 20 e2 20 e 102 23,2 22 12 202 2172 20 e170 e2 217 172 2
2
Assim, i
q
t
3,2 10
0,01
i 3,2 A1
1
2
1i 3
−
5
D
D
5
2 12 1
~ 5i 3~ 5i 3i 3i 3~ 5 , para a direita (sentido do campo).
Para a corrente dos íons sulfato, temos:
q 2 1,0 10 e 2 10 1,6 10
q 3,2 10 C
2q 2q 2
170 e170 e 170 1170 1 19
2q 3q 3
2
D 5q 2D 5q 2q 2q 2D 5 ? ?1,? ?0 1? ?0 1 ? 50 e? 50 e ? ?2 1? ?2 10 1? ?0 1 ?
D 5q 3D 5q 3q 3q 3D 5 ?
2 20 e2 20 e 2 12 20 12 2,62 2102 2172 20 e170 e2 217 172 20 1170 12 217
2
Assim, i
q
t
3,2 10
0,01
i 3,2 A2
2
2
2i 3i 35
D
D
5
2 12 1
~ 5i 3~ 5i 3i 3i 3~ 5
2
, também para a direita (sentido do campo).
Dessa forma, a corrente elétrica total média foi, no intervalo de tempo considerado, igual a:
i i i
i 3,2 3,2 6,4 A
m 1i im 1i i 2
mi 3i 3
5 1i i5 1i im 15 1i im 15 1i im 1
5 1i 35 1i 3,25 1 2 62 6
15CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
Propriedade do diagrama i 3 t
No caso de correntes elétricas variáveis ou contínuas, a quantidade de cargas q( )D que atravessa determina-
da seção transversal de um condutor em um dado intervalo de tempo pode ser obtida a partir da área delimitada 
pela curva do gráfico i 3 t.
i
t
A
1
A
2
Área delimitada pela curva do gráfico para uma corrente elétrica variável.
Por essa propriedade, temos: q A A1 2D 5 2 .
3 O comportamento da corrente elétrica em um condutor, no de-
correr do tempo, é apresentado no gráfico ao lado.
Obtenha:
a) o módulo da quantidade de carga elétrica que atravessa uma 
seção transversal do condutor no intervalo de tempo de 2,0 s 
a 4,0 s;
b) a intensidade média de corrente elétrica no intervalo de tempo 
de 0 a 4,0 s.
Resolução:
a) A quantidade de carga elétrica ( )( )( )( )( )( )( ) correspondente ao in-
tervalo de 2,0 s a 4,0 s é dada, numericamente, pela área do 
retângulo mostrado na figura:
|Dq| 5 área do retângulo 
|Dq| 5 2,0 ? 10 ~ |Dq| 5 20 C
b) A intensidade média de corrente elétrica, no intervalo de
0 a 4,0 s, é dada por:
i
q
tm
5
D
D
, sendo |Dq| N= a área do trapézio destacado na 
figura:
q 4 2
2
10 q 30 CD 5qD 5 4 24 2 ? ~10? ~D 5q 3D 5q 3
Como i
q
t
, i 30
4
i 7,5 Am mtm m
, im m mi 7i 75
D
Dm mm m
5 ~5 ~305 ~ i 7i 7
i (A)
5
t (s)20 64
10
i (A)
5
t (s)20 64
10
i (A)
5
t (s)20 64
10
Questão resolvida
16 FÍSICA / Frente A
 Potencial elétrico
Algumas formas de energia nos são bem familiares, como a energia 
gravitacional. Pelo nível de água de uma represa, podemos em um primeiro 
olhar ter uma ideia da quantidade de energia armazenada — quanto maior 
a altura do nível da água, maior a quantidade de energia armazenada.
Da mesma forma, se olharmos para uma estante com alguns objetos, 
identificaremos os vários níveis de energia potencial gravitacional sim-
plesmente vendo as alturas de cada objeto.
No entanto, não temos a mesma percepção dos níveis de energia 
quando apenas olhamos para um circuito elétrico ou mesmo para um fio 
de cobre. Entretanto, podemos medir esses níveis utilizando um aparelho 
denominado voltímetro.
Objetos colocados em vários 
níveis de energia.
Voltímetro.
Unidade de potencial elétrico
A unidade de energia no SI é o joule (símbolo J).
Voltando ao exemplo da estante, em cada prateleira temos uma de-
terminada quantidade de joules para cada quilograma de massa ali dis-
posto. Da mesma forma, para cada ponto de um circuito elétrico, temos 
uma determinada quantidade de joules por unidade de carga. Esse é o 
potencial elétrico do ponto, que representamos por V.
Em termos mais formais, podemos escrever: V
energia
carga
5 .
A unidade de potencial elétrico é, no SI, joule
coulomb
J
C
volt V5 5 5 . 
A altura de um ponto depende da referência que escolhemos. Pode 
ser o piso do apartamento, o chão da rua, ou mesmo em relação ao nível 
do mar, como é usual na aviação. Na eletricidade procedemos da mesma 
forma. Usualmente, o nível zero é atribuído a um ponto ligado à Terra, 
mas podemos também, por conveniência, escolher outras referências. 
Por exemplo, no caso dos automóveis, o chassi é adotado como poten-
cial nulo, e a partir daí é possível mapear o potencial de todos os outros 
pontos de seus circuitos.
M
a
x
x-
S
tu
d
io
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
A
_
s
to
ck
p
h
o
to
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
17CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
Diferença de potencial (ddp)
A energia posta em jogo quando as cargas elétricas se deslocam en-
tre dois pontos de um circuito elétrico depende da diferença de potencial 
elétrico (U) entre eles. Essa diferença de potencial (ddp) pode ser medida 
com o voltímetro, como ilustram as figuras seguintes.
M
a
g
n
o
 S
o
u
za
Voltímetro fazendo a leitura da tensão entre os polos de uma pilha em duas disposições diferentes.O polo direito (protuberante) da pilha 
é o de maior potencial.
Considerando dois pontos A e B de um circuito elétrico, a diferença 
de potencial entre eles é: VA – VB  . Geralmente, trabalhamos com essa 
diferença em módulo, sem preocupação com o sinal.
Em circuitos eletrônicos, como o de celulares e computadores portáteis, 
as tensões são da ordem de alguns volts, mas nas redes de distribuição de 
energia elétrica as tensões podem ser da ordem de milhares de volts.
Observe os 3 fios de uma entrada típica de energia elétrica para uma 
residência, na figura a seguir. 
U V VA B5 2
Exemplo de fios de entrada para abastecimento de energia 
elétrica de uma residência.
A B C
Na figura apresentada, os três fios têm potenciais diferentes: 110 V,
0 e –110 V. O fio B é chamado neutro.
Se uma ligação for feita entre os terminais A e B, teremos uma tensão 
de 110 V, o mesmo valor que teríamos se fosse entre C e B. Mas, se a 
ligação for feita entre A e C, a tensão será de 220 V.
Na falta de um voltímetro, uma lâmpada pode ser usada para testar os 
potenciais, mas nunca se deve tocar os fios energizados.
Da mesma forma que o potencial gravitacional é associado ao campo 
gravitacional, o potencial elétrico tem relação com o campo elétrico, cujo 
sentido é do maior para o menor potencial.
M
a
g
n
o
 S
o
u
za
18 FÍSICA / Frente A
 Potência elétrica
A potência de uma máquina é uma grandeza que nos diz com que 
rapidez a energia é transformada ou transferida.
Para qualquer máquina e, em particular, para os aparelhos elétricos, 
definimos potência (  ) como a razão entre a quantidade de energia trans-
formada ou transferida (DE) e o intervalo de tempo (Dt) correspondente: 
E
t
P 5 D
D
Os elementos de circuitos elétricos que possuem apenas dois termi-
nais para ligação elétrica são chamados genericamente de bipolos.
A energia transformada ou transferida corresponde ao trabalho da for-
ça elétrica quando deslocamos uma certa quantidade de carga Dq entre 
dois terminais de um bipolo, cuja diferença de potencial entre eles seja U.
Bipolo genérico.
aparelho
U
i
Assim, podemos escrever:






q U
E
t 5 D ?
t 5 D
~ P
E
t
q U
t
5 D
D
5
D ?
D
, portanto: P i U5 ?
Vamos considerar um dispositivo elétrico qualquer, submetido a uma 
tensão U.
Esse dispositivo pode ser um chuveiro, um liquidificador ou mesmo 
uma TV. Como vamos avaliar a potência desse aparelho?
Com o aparelho funcionando, podemos medir a tensão nele com 
um voltímetro. Podemos também medir a corrente com um amperímetro 
(aparelho utilizado para medir correntes elétricas). Então, obtemos a po-
tência do aparelho calculando o produto dessas duas medidas.
Filamento
de tungstênio
Suporte
Rosca
Gás nobre
Isolante
i
i
A antiga lâmpada incandescente comum é um bipolo. A parte inferior da figura mostra a 
representação esquemática desse aparelho em um circuito elétrico.
A unidade de potência é o 
watt, de forma que:
1 watt 1 J
1 s
joule
segundo
5 55 51 J5 5
ligado
Fique
19CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
4 Uma batedeira de bolo possui as seguintes especificações: 240 W-120 V. Supondo que esse aparelho 
esteja funcionando dentro das especificações, quantos elétrons por segundo estão atravessando a 
seção transversal dos fios a que ele está ligado?
Resolução:
As especificações do aparelho informam que ele opera com potência de 240 W quando ligado a uma 
fonte de 120 V. As especificações rotuladas no aparelho são chamadas de valores nominais. São os 
valores de funcionamento normal do aparelho.
Utilizando P i U5 ?i U5 ?i U, temos:
240 5 i ? 120 ~ i 5 2 A
Como |Dq| 5 ne e o intervalo de tempo é de um segundo, pode-se escrever:
i
q
t
5
D
D
~ 2 n 1,6 10
1
19
5
? ?n 1? ?n 1,6? ? 2
~ n 5 1,25 ? 1019 elétrons por segundo
Consumo de energia elétrica
Vimos anteriormente que a unidade de medida de energia, no SI, é o joule (J). Atualmente, estamos acostu-
mados a utilizar diversos recursos tecnológicos que têm como principal forma de energia a energia elétrica. Na 
nossa moradia, por exemplo, há uma porção de eletrodomésticos e eletroeletrônicos consumidores e transfor-
madores de energia elétrica. Já imaginou em como fazer para calcular tanta energia assim? Vemos que, para os 
padrões de consumo usuais, precisamos de uma unidade de energia bem maior. A escolha acabou recaindo em 
uma unidade prática que, embora não seja do SI, mostrou-se adequada para que os consumidores tenham uma 
ideia de seus gastos.
A unidade quilowatt-hora corresponde à quantidade de energia que um aparelho de 1 kW gasta durante uma 
hora de funcionamento contínuo.
Comparando-se com o joule, temos:
1 kWh 10 W 3600 s 3,6 10 J
s
s 3,6 10 J3 6 65 ? 5 ? 5 ?
A intenção dessa unidade é facilitar o cálculo do consumo de energia elétrica. Assim, para tirar proveito 
dessa unidade prática, devemos considerar a potência dos aparelhos em kW (quilowatt) e os intervalos de 
tempo em h (hora), obtendo, automaticamente, o consumo em kWh.
5 Um chuveiro cujos dados nominais são 220 V-  4 000 W é usado, em média, meia hora por dia. 
Qual será o custo mensal desse uso, sabendo-se que o quilowatt-hora custa R$ 0,40, já incluindo os 
impostos?
Resolução:
Como E
t
P 5 D
D
, temos E tPE tE tD 5E tD 5E t? DE t? DE t .
Vamos obter o tempo mensal total de uso por:
t 30 0,5 15 hD 5t 3D 5t 3 ? 50 0? 50 0,5? 5 , considerando o mês de 30 dias.
Usando a potência de 4 000 W 5 4 kW, obtemos:
E 4 15 60 kWhD 5E 4D 5E 4 ? 515? 5
Como cada quilowatt-hora custa R$ 0,40, o custo total será: 
custo 5 0,4 ? 60 ~ custo 5 R$ 24,00
Questão resolvida
Questões resolvidas
20 FÍSICA / Frente A
6 No projeto de uma residência, o engenheiro verifica que em uma situação de extremo consumo, com 
vários aparelhos ligados, a demanda dessa casa seria de 5 500 W.
A casa é alimentada por uma rede que tem apenas dois fios, um neutro e outro com 220 V.
a) Precisando dimensionar os fios que alimentarão a casa, qual será a corrente elétrica nos fios de 
alimentação na situação de máxima demanda?
b) Considerando que a situação de máxima demanda permaneça por meia hora, qual será a energia 
consumida pela casa nesse tempo?
Resolução:
a) Como iUP 5 , temos 5500 220 i i 25 A5 ?2205 ? ~ 5i i~ 5i i .
b) Usando E tPE tE tD 5E tD 5E t? DE t? DE t, temos E 5,5 kW 0,5 h 2,75 kWhD 5E 5D 5E 5 ? 50,? 55 h? 5 .
Capacidade de uma bateria
Com a multiplicidade de aparelhos sem fio de que hoje dispomos, um 
parâmetro importante é saber por quanto tempo podemos usar um tele-
fone celular, por exemplo, antes de ser necessário recarregá-lo.
Nas baterias recarregáveis, ocorre uma reação de oxirredução, que 
é reversível.
A carga total é nula, mas é como se tivéssemos uma separação de 
cargas que iriam se juntando à medida que a bateria vai alimentando 
circuitos eletrônicos.
Como a unidade do SI para carga elétrica, o coulomb (C), não é fami-
liar à maioria das pessoas para medir essa separação de cargas dispo-
níveis, a indústria adotou uma unidade prática, baseada na definição de 
intensidade da corrente elétrica.
i
q
t
q i tm m5
D
D
~ D 5 ? D
Se adotarmos uma unidade mA (miliampère) para im e h (hora) para o 
intervalo de tempo, obteremos para unidade de qD :
unidade q unidade i unidade t , assim 1mAh 1mA 1hm( ) ( ) ( )D 5 ? D 5 ?
Observe que: 1 mAh 10 C
s
3 600 s 3,6 C35 ? 52 .
Uma bateria típica de celular tem capacidade de 2 400 mAh, o que 
significa dizer que, se trabalhar com uma corrente média de 2 400 mA, 
funcionará durante uma hora, ou, se trabalhar com corrente média de 
100 mA, funcionará por 24 h, e assim por diante.
Com relação à energia armazenada na bateria, precisamos considerar 
uma tensão média. Digamos que seja de 2,5 V.
Como E q U5 t 5 D ? ; na bateria do exemplo, teremos:
10E 2,4 C
s
3600 s 2,5 J
C
E 21,6 J35 ? ? ? ~ 52
21CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
7 Um determinado modelo de celular teve sua bateria de 2 400 mAh completamente carregada. Como o 
usuário ficou vendo muitos vídeos, a demanda de energia foi maior, e a bateria descarregouem ape-
nas 6 h. Qual foi a intensidade média da corrente elétrica nesse intervalo de tempo?
Resolução:
Como i
q
t
2400 mAh i 6 hm mtm m
24m m00m mmAm mh im m5
D
Dm mm m
~ 524~ 500~ 5mA~ 5h i~ 5h im m~ 5m m24m m~ 5m m00m m~ 5m mmAm m~ 5m mh im m~ 5m m ? , temos: i
2400 mAh
6 h
400 mAh
h
0,4 Am 5 55 5 5
 Circuito simples
Para que ocorra o funcionamento dos aparelhos elétricos, é necessá-
rio que estejam submetidos a uma tensão (ou voltagem, ou ainda ddp). 
Muito comuns são os geradores eletroquímicos que transformam energia 
química em energia elétrica. Como exemplo tem-se pilhas comuns, alcali-
nas, de lítio, baterias automotivas, de telefones celulares etc.
Um circuito bastante elementar seria constituído por uma fonte de 
tensão, fios de ligação e um aparelho elétrico qualquer (uma lâmpada, 
por exemplo). Vamos também acrescentar a esse circuito uma chave 
liga/desliga.
Questão resolvida
+
–
+
–
Pilha comum e sua representação 
esquemática nos circuitos.
+–
Um circuito simples, com chave “faca” fechada, e sua representação esquemática.
+–
Se a chave estiver aberta, os portadores de carga não circulam, e o 
aparelho ficará desligado.
Fusíveis
Os fusíveis em geral são elementos de controle de segurança dos 
circuitos elétricos.
O termo “fusível” significa que o elemento é passível de fusão. Esse 
recurso pode ser utilizado para obter uma chave automática que se abra 
quando a intensidade da corrente exceder os limites de operação normal 
dos circuitos.
Um antigo fusível, mas ainda usado em alguns circuitos elétricos resi-
denciais, é o fusível tipo “rolha”, conforme ilustra a figura seguinte. Nesse 
tipo de fusível, quando a corrente elétrica é acima das especificações, o 
material metálico que permite a passagem de corrente elétrica derrete 
(se funde), interrompendo a passagem de corrente.
22 FÍSICA / Frente A
Em equipamentos eletrônicos, também é comum o uso de fusíveis de 
vidro, como em filtros de linha. Nesse tipo de fusível, ocorre um rompi-
mento de um fio quando a corrente elétrica é muito alta, interrompendo 
sua passagem e protegendo outros equipamentos.
Fusíveis de vidro são utilizados para correntes menores.
Cristian Storto/Shutterstock.com
G
ir
a
rd
i 
e
 C
ia
 L
td
a
Atualmente, utilizam-se mais os disjuntores. Assim como os fusíveis, eles 
“abrem” o circuito elétrico quando a intensidade da corrente excede de-
terminados valores, mas podem ser “rearmados” após sanado o problema.
n
a
tt
a
p
a
n
7
2
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
Disjuntor. A chave permite rearmar o elemento.
Fusível tipo “rolha” e a representação esquemática de um fusível qualquer.
23CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
1 Em uma lâmpada, passa uma carga elétrica negativa 
de módulo 80 C a cada 10 s. Determine:
a) a intensidade média da corrente elétrica que 
atravessa a lâmpada;
b) a quantidade de elétrons que atravessa a lâm-
pada no intervalo de tempo de 10 s. 
Dado: carga elementar 5 1,6 ? 10219 C.
2 Unigranrio-RJ 2017 Dependendo da intensidade 
da corrente elétrica que atravesse o corpo humano, 
é possível sentir vários efeitos, como dores, contra-
ções musculares, parada respiratória, entre outros, 
que podem ser fatais. suponha que uma corrente 
de 0,1 A atravesse o corpo de uma pessoa durante 
2 minutos. qual o número de elétrons que atravessa 
esse corpo, sabendo que o valor da carga elementar 
do elétron é 1,6 ? 10–19 C?
a) 1,2 ? 1018.
b) 1,9 ? 1020.
c) 7,5 ? 1019.
d) 3,7 ? 1019.
e) 3,2 ? 1019.
3 UFMG Uma lâmpada fluorescente contém em seu in-
terior um gás que se ioniza após a aplicação de alta 
tensão entre seus terminais. Após a ionização, uma 
corrente elétrica é estabelecida e os íons negativos 
deslocam-se com uma taxa de 1,0 ? 1018 íons/segundo 
para o polo A. Os íons positivos deslocam-se, com a 
mesma taxa, para o polo B.
A B
Sabendo-se que a carga de cada íon positivo é 
1,6 ? 1019 C, pode-se dizer que a corrente elétrica na 
lâmpada será:
a) 0,16 A.
b) 0,32 A.
c) 1,0 ? 1018 A.
d) nula.
4 Uerj Simulado 2018 O gráfico abaixo indica o com-
portamento da corrente elétrica em função do tempo 
em um condutor.
60
20
5 15 t (s)
i (A)
A carga elétrica, em coulombs, que passa por uma 
seção transversal desse condutor em 15 s é igual a
a) 450.
b) 600.
c) 750.
d) 900.
5 Unicamp-SP 2017 Tecnologias móveis como celula-
res e tablets têm tempo de autonomia limitado pela 
carga armazenada em suas baterias. O gráfico abai-
xo apresenta, de forma simplificada, a corrente de 
recarga de uma célula de bateria de íon de lítio, em 
função do tempo. 
1200
1000
C
o
rr
e
n
te
 [
m
A
]
800
600
400
200
0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Tempo [h]
2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Considere uma célula de bateria inicialmente descar-
regada e que é carregada seguindo essa curva de 
corrente. A sua carga no final da recarga é de
a) 3,3 C.
b) 11 880 C.
c) 1 200 C.
d) 3 300 C.
Aplicando conhecimentos
24 FÍSICA / Frente A
6 O gráfico a seguir representa a intensidade da cor-
rente elétrica que passa por um fio condutor em fun-
ção do tempo.
t (s)
I (A)
4
50
Determine:
a) o módulo da quantidade de carga elétrica que 
atravessa uma seção transversal do fio no in-
tervalo de 0 a 50 s;
b) a intensidade da corrente elétrica média no in-
tervalo de a 0 a 50 s.
7 Unicamp-SP 2021 Lâmpadas de luz ultravioleta (UV) 
são indicadas para higienização e esterilização de 
objetos e ambientes em razão do seu potencial 
germicida.
Em outro processo de esterilização, uma lâmpada 
UV de potência P 5 60 W funciona sob uma dife-
rença de potencial elétrico U 5 100 V. A potência 
elétrica pode ser expressa também em kVA, sendo 
1 kVA 5 1 000 V ? 1 A 5 1 000 W. A corrente elétrica i 
do circuito que alimenta a lâmpada é igual a
a) 0,36 A.
b) 0,60 A.
c) 1,6 A.
d) 3,6 A.
8 Famerp-SP 2020 O gráfico mostra a intensidade da 
corrente elétrica que percorre o filamento de uma 
pequena lâmpada incandescente em função da di-
ferença de potencial aplicada entre seus terminais.
i (A)
0,5
0,3
0,1
0 2,0 4,0 6,0 U (V)
A potência elétrica dissipada pelo filamento dessa 
lâmpada, quando ele é percorrido por uma corrente 
elétrica de intensidade 0,4 A, é
a) 5,00 W.
b) 0,68 W.
c) 3,20 W.
d) 0,20 W.
e) 0,80 W.
9 EBMSP-BA 2017
Os profissionais de um posto de saúde promoveram 
uma atividade para orientar a comunidade local sobre 
a prevenção de doenças causadas por picadas de 
mosquitos. Eles exibiram um vídeo com a raquete para 
matar mosquito, mostrada na figura. A raquete é com-
posta de três telas metálicas, duas externas ligadas ao 
polo negativo e uma central ligada ao polo positivo de 
uma bateria. No interior da raquete, existe um circuito 
que amplifica a tensão para um valor de até 2,0 kV 
e a envia em forma de pulsos contínuos para a tela 
central. Um mosquito, ao entrar na raquete, fecha o 
circuito entre as telas e recebe uma descarga elétri-
ca com potência de, no máximo, 6,0 W que produz 
um estalo causado pelo aquecimento excessivo do ar, 
responsável por matar o mosquito carbonizado.
Com base nas informações do texto e nos conheci-
mentos de Física,
a) identifique o efeito responsável pelo aqueci-
mento excessivo do ar que mata o mosquito, 
b) calcule a intensidade máxima da corrente elé-
trica que atravessa a região entre as telas da 
raquete. 
10 A potência dissipada por um chuveiro elétrico é de 
3 000 W. Se o preço do kWh, em certa faixa de con-
sumo, é R$ 0,56, determine o custo de um banho 
quente de 30 minutos de duração.
25CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
1 UFU-MG A figura abaixo mostra um fio condutor, pelo 
qual passa uma corrente elétrica I. A área sombreada 
é a seção reta do fio.
I
A intensidade da corrente elétrica I, que passa pelo 
fio, é de 4 A. Sabendo-se que o módulo da carga de 
um elétron é 1,6 ? 10219 C, a quantidade de elétrons, 
que passará pela seção reta do fio em 8 segundos, 
será igual a:
a) 2 ? 1020.
b) 6,4 ? 1019.
c) 5 ? 1017.
d) 8 ? 1018.
2 Uece Em um fio metálico, a aplicação de uma d.d.p. en-tre seus extremos provoca, nele, uma corrente de 10 A 
durante 10 minutos. O número de elétrons que chegam 
ao polo positivo, nesse tempo, é, aproximadamente:
a) 3,75 ? 1022.
b) 2,67 ? 1022.
c) 2,67 ? 1019.
d) 3,75 ? 1016.
3 Mackenzie-SP 2020 Ainda em fase de testes, uma 
bateria de grafeno, para celulares, é capaz de carre-
gar toda sua carga em um tempo muito menor que 
as baterias de íons de lítio, além de ter uma vida útil 
muito maior. Ela pode ser reabastecida em cerca de 
15 minutos, tempo que uma bateria de íons de lítio 
conseguiria cerca de 20% de sua carga total.
 O grafeno, uma forma de carbono, é um mate-
rial interessante pela facilidade em conduzir a ele-
tricidade, por ter uma grande resistência, durabili-
dade e flexibilidade. Porém, por enquanto, o grafeno 
é um material extremamente caro de se trabalhar e 
produzir em largas escalas.
Dados: Carga elementar: e 5 1,6 ? 102¹⁹ C; 
1 mAh 5 3,6 C
Utilizando como base a carga máxima da bateria de 
6000 mAh, qual a intensidade média da corrente elé-
trica que essa bateria, saindo de 100% para 10% de 
seu armazenamento, fornece para o funcionamento 
de um celular que foi utilizado por 6 h?
a) 1,0 A.
b) 0,8 A.
c) 1,2 A.
d) 0,9 A.
e) 0,6 A.
4 UFG-GO O transporte ativo de Na1 e K1 através 
da membrana celular é realizado por uma proteí-
na complexa, existente na membrana, denominada 
“sódio-potássio-adenosina-trifosfatase” ou, simples-
mente, bomba de sódio.
Cada bomba de sódio dos neurônios do cérebro hu-
mano pode transportar, por segundo, até 200 Na1 
para fora da célula e 130 K1 para dentro da célula. 
Dado: carga elementar do elétron 5 1,6 ? 10219 C.
a) Sabendo-se que um pequeno neurônio possui 
cerca de um milhão de bombas de sódio, calcule 
a carga líquida que atravessa a membrana desse 
neurônio.
b) Calcule também a corrente elétrica média através 
da membrana de um neurônio.
5 Unifor-CE Um circuito eletrônico foi submetido a um 
pulso de corrente indicado no gráfico.
0
2
4
6
1 2 3 4 5 t (10–3 s)
i (A)
Durante esse pulso, a carga elétrica que fluiu no cir-
cuito, em coulombs, foi igual a
a) 1,3 ? 10−3.
b) 2,6 ? 10−3.
c) 3,0 ? 10−3.
d) 6,0 ? 10−3.
e) 1,2 ? 10−2.
6 Uefs-BA 2017 A figura representa a intensidade da 
corrente elétrica I, que percorre um fio condutor, em 
função do tempo t.
0 2,0 6,0 t (ms)
I (mA)
12,0
Nessas condições, é correto afirmar que a corrente 
média circulando no condutor no intervalo de tempo 
entre t 5 0 e t 5 6,0 ms, em mA, é igual a
a) 6,0.
b) 7,0.
c) 8,0.
d) 9,0.
e) 10,0.
CONSOLIDANDO SABERES
26 FÍSICA / Frente A
7 UEL-PR O gráfico mostra, em função do tempo t, o 
valor da corrente i através de um condutor.
0,4
i (A)
0 4 8 t (s)
Sendo Q a carga elétrica que circulou no intervalo de 
0 a 4 s, a carga elétrica que circulou no intervalo de 
tempo de 4 s a 8 s foi:
a) 0,25 Q.
b) 0,40 Q.
c) 0,50 Q.
d) 2,0 Q.
e) 4,0 Q.
8 Esc. Naval-RJ 2020 João, em sua residência, gas-
tava meia hora por dia tomando banho com o chu-
veiro na posição inverno. Preocupado com o gasto 
de energia elétrica, decide no primeiro dia do mês 
passar a utilizar o chuveiro por 15 minutos por dia e 
na posição verão, cuja potência é de 3 000 W. Ao 
final do mês (30 dias), qual será a economia de ener-
gia elétrica?
a) 18,5 kWh.
b) 28,5 kWh.
c) 38,5 kWh.
d) 48,5 kWh.
e) 58,5 kWh.
9 Uma família comprou um chuveiro novo de potência 
4 840 W para ser utilizado em rede elétrica de 220 V. 
Entre outras coisas, o manual pedia um disjuntor para 
proteger, exclusivamente, o chuveiro. Cada alternati-
va apresenta a corrente de desarme automático dos 
disjuntores disponíveis no mercado que o autor do 
manual tinha para escolher. Se o autor do manual es-
colheu o disjuntor mais adequado para fazer a prote-
ção, o escolhido foi o de
a) 10 A.
b) 15 A.
c) 20 A.
d) 25 A.
e) 30 A.
10 Vunesp 2018 Uma bateria de smartphone de 
4 000 mAh e 5,0 V pode fornecer uma corrente elé-
trica média de 4 000 mA durante uma hora até que 
se descarregue.
a) Calcule a quantidade de carga elétrica, em 
coulombs, que essa bateria pode fornecer ao 
circuito.
b) Considerando que, em funcionamento contí-
nuo, a bateria desse smartphone se descarre-
gue em 8,0 horas, calcule a potência média do 
aparelho, em watts.
11 Um chuveiro de potência 2 400/3 600 watts (ve-
rão/inverno) é ligado a uma tensão de 120 volts. 
Sabendo-se que a carga elétrica do elétron é 
1,6 ? 10−19 coulomb, qual é o número, em média, de 
elétrons que atravessa uma seção transversal do 
fio, em um segundo, para a chave nas posições 
“verão” e “inverno”?
12 UFU-MG 2018 Relâmpagos são eventos elétricos, 
normalmente de curta duração, gerados a partir de 
nuvens carregadas que possuem potenciais elé-
tricos com altos valores em relação à superfície 
da Terra e, durante a sua incidência, podem atingir 
elevados módulos de corrente elétrica. Um dado 
relâmpago tem a duração de 1 segundo, é gerado 
em uma nuvem que possui um potencial elétrico de 
300 000 000 V em relação à terra, e atinge o solo 
com uma corrente elétrica média de 36 000 A.
Quantas lâmpadas, de 60 W cada, seriam mantidas 
acesas durante 10 minutos com a energia desse 
relâmpago? 
a) 3,0 ? 108
b) 5,0 ? 105
c) 6,0 ? 107
d) 3,6 ? 104
13 Uece A intensidade máxima da radiação solar que che-
ga a Fortaleza, num dia de verão, é igual a 900 W/m2. 
Num dia frio de inverno, em Santana do Livramen-
to, Rio Grande do Sul, uma pessoa está a uma dis-
tância x de um aquecedor elétrico, muito usado na 
região Sul do Brasil, e cuja potência é de 1,256 kW. 
Supondo-se que a radiação oriunda do aquecedor 
seja igualmente distribuída em todas as direções, 
para que a pessoa que está em Livramento, num dia 
de inverno, tenha a mesma sensação térmica da que 
está em Fortaleza, num dia de verão, o valor de x, 
em cm, é, aproximadamente:
Adote p 5 3,14.
a) 68.
b) 52.
c) 40.
d) 33.
14 Mackenzie-SP A tabela a seguir mostra o tempo de 
uso diário de alguns dispositivos elétricos de uma re-
sidência. Sendo R$ 0,50 o preço total de 1 kWh de 
energia elétrica, o custo mensal (30 dias) da energia 
elétrica consumida nesse caso é:
27CAPÍTULO T1 / Corrente elétrica
DISPOSITIVO POTÊNCIA QUANTIDADE
TEMPO DE 
 USO DIÁRIO DE 
CADA UM
Lâmpada 60 W 4 5 horas
Lâmpada 100 W 2 4 horas
Chuveiro 4000 W 1 0,5 hora
a) R$ 50,00.
b) R$ 60,00.
c) R$ 55,00.
d) R$ 65,00.
e) R$ 70,00.
15 UFC-CE O gráfico abaixo representado mostra a po-
tência elétrica P, medida em kW, fornecida pela Co-
elce, em uma dada residência de Fortaleza, entre as 
6 horas e as 18 horas de um determinado dia. 
P
(kW)
0,8
0,6
0,4
0,2
6 8 10 12
Tempo (h)
14 16 18
O consumo de energia registrado no medidor da re-
sidência, correspondente ao gráfico acima, é
a) 5,6 kWh.
b) 12,0 kWh.
c) 8,0 kWh.
d) 4,8 kWh.
e) 9,6 kWh.
16 Uece 2018 A Agência Nacional de Energia Elétrica 
anunciou bandeira vermelha 2 para as contas de luz 
de junho deste ano, o que significa um adicional de 
R$ 5,00 para cada 100 kWh consumido. Consideran-
do que uma certa indústria utilizou um resistor para 
aquecimento, cuja potência é 50 kW, por 4 horas 
durante esse mês, o adicional na conta associado a 
este consumo foi, em R$:
a) 10.
b) 200.
c) 50.
d) 4.
17 UFJF/Pism-MG 2018 Suponha que cada metro qua-
drado de um painel solar fotovoltaico, instalado em 
Juiz de Fora, produza 2,0 kWh de energia por dia. 
Uma família deseja instalar painéis solares para ali-
mentar os aparelhos dentro de casa sem necessitar 
pagar excedentes à companhia de energia local. Su-
pondo que a energia produzida durante o dia pos-
sa ser armazenada para ser usada também à noite, 
pergunta-se:
a) Sabendo-se que o consumo médio dessa resi-
dência é de 180 kWh por mês (trinta dias), quantos 
metros quadrados de painéis solares são neces-
sários instalar, no mínimo?
b) Calcule a potência média consumida pela casa, 
dado o consumo declarado no item (a).
c) Supondo que, num dado instante, os aparelhos da 
casa estejam consumindo ao todo exatamente a 
potência calculada no item (b), qual a corrente queestá sendo fornecida nesse instante aos apare-
lhos, se a tensão dos aparelhos é de 120 V?
Enem (Cancelado) (Adapt.) Os motores elétricos 
são dispositivos com diversas aplicações, dentre 
as quais se destacam aquelas que proporcionam 
conforto e praticidade para as pessoas. É inegável 
a preferência pelo uso de elevadores quando o 
objetivo é o transporte de pessoas pelos andares 
de prédios elevados. Nesse caso, um dimensiona-
mento preciso da potência dos motores utilizados 
nos elevadores é muito importante e deve levar 
em consideração fatores como economia de ener-
gia e segurança.
Segundo o manual de instalação e uso de um ele-
vador, o motor precisa ser ligado à rede elétrica de 
220 volts de tensão e deve utilizar um disjuntor de 
300 A de corrente de desarme, explicando que esse 
valor é maior que 297,6 A, uma corrente 20% supe-
rior à corrente que percorre os cabos elétricos quan-
do o elevador sobe, com velocidade constante e 
carga máxima, os 10 andares do prédio, em torno de 
32 metros, em 8 s. Diz ainda que a massa do eleva-
dor vazio é 539 kg.
Considere que a tensão seja contínua, que a ace-
leração da gravidade vale 10 m/s2 e que o atrito 
pode ser desprezado, assim como eventuais tem-
pos de aceleração e desaceleração. Considere 
também que toda potência elétrica produzida pelo 
motor seja convertida em potência mecânica para 
movimentar o elevador. Nesse caso, para um ele-
vador sem carga, somente com pessoas dentro, 
qual deveria ser o número de pessoas de 75  kg 
para que o elevador suba com velocidade cons-
tante e carga máxima, conforme descrito em seu 
manual de uso e instalação?
SUPERAÇÃO
T2
CAPÍTULO
M
a
g
n
o
 S
o
u
za
Leis de Ohm
O chuveiro elétrico é muito comum em nosso país.
• Qual transformação de energia ocorre em um resistor?
• Se a tensão elétrica permanece constante, como podemos controlar a temperatura da água sem 
mudar a posição da chave inverno/verão?
• Considerando que uma moderna turbina a vapor, aquecida por gás, aproveita 30% do calor ge-
rado para produzir energia elétrica, que seu chuveiro elétrico aproveita 60% da energia recebida 
para aquecer a água e que 10% sejam dissipados nas linhas de transmissão elétrica, quanto por 
cento do calor produzido pela queima do gás você está aproveitando?
 Neste capítulo, serão abordadas as habilidades EM13CNT106, EM13CNT107 e EM13CNT308.
Vale a pena o aquecimento elétrico?
Transformar energia térmica em energia elétrica, por melhor que seja a máquina térmica usada (geradores 
a diesel, turbinas a vapor ou a gás), tem um rendimento de cerca de 30%, raramente chegando aos 45%.
A transformação da energia elétrica em térmica também não é um processo sem perdas. Assim, é 
evidente, tanto ecológica quanto economicamente, que se utilize diretamente o calor gerado pelos com-
bustíveis nos processos que só requerem aquecimento, seja de um ambiente ou da água de torneiras e 
chuveiros, evitando as perdas em processos intermediários.
Então por que usar a energia elétrica em processos de aquecimento? Isso só é aceitável se houver 
abundância da energia elétrica naturalmente, sem a necessidade de produzi-la a partir de máquinas tér-
micas. Esse fato acontece nas regiões que dispõem de hidrelétricas, ou seja, com recursos abundantes.
São poucos os países com essa disponibilidade, e, por isso, são poucos os que utilizam chuveiros com 
aquecimento elétrico. O Brasil é um deles. Alguns inclusive advogam que o chuveiro elétrico é uma invenção 
brasileira dos anos 1930, mas isso é outra história. A fartura de uma matriz energética nuclear também conta, 
já que ela reduz a dependência de importação de combustíveis fósseis.
29CAPÍTULO T2 / Leis de Ohm
 Resistor
Os dispositivos elétricos, pelo fluxo da energia elétrica, produzem 
imagens, sons, trabalho mecânico, calor, telecomunicações, computa-
ções etc. Alguns, como os telefones celulares modernos, têm várias des-
sas funções ao mesmo tempo.
Os chamados dispositivos elétricos passivos transformam a energia 
elétrica em outra forma de energia, e os ativos transformam energia de 
qualquer outra forma em energia elétrica. Como exemplo de dispositivo 
elétrico ativo temos os geradores.
Defi nição de resistência
O resistor é um bipolo (dois polos para conexão) elétrico que transfor-
ma a energia elétrica exclusivamente em energia térmica. Como exemplos 
temos o ferro de passar roupas elétrico, o chuveiro elétrico e as antigas 
lâmpadas incandescentes. Seria cabível perguntar: mas a lâmpada não pro-
duz luz? A luminosidade da lâmpada incandescente provém da excitação 
eletrônica provocada pela alta temperatura do filamento, ou seja, é a irradia-
ção da energia térmica, sendo uma parte dela perceptível aos nossos olhos. 
A luminosidade é um efeito da conversão de energia no resistor.
Em muitos casos o papel do resistor nos circuitos é também controlar 
a intensidade da corrente elétrica no circuito.
Considere dois pontos de um condutor qualquer. Vamos aplicar en-
tre esses dois pontos uma tensão U e medir a corrente i que se esta-
belece nele.
+
+
–
–
U
i
Por definição, a resistência R desse condutor entre esses dois pontos é:
R U
i
5
Pela definição anterior, podemos concluir que: U R i5 ? .
No SI a unidade de resistência é volt
ampère
ohm ( )5 V , e, simbolica-
mente, 1 1 V
1 A
V 5 . 
Em termos bem simples, R é a medida da resistência que o condutor 
oferece à passagem da corrente, conectando-se entre esses dois pon-
tos. Se considerarmos diferentes condutores conectados a uma mesma 
tensão, a intensidade da corrente elétrica será maior naquele que tiver 
menor resistência.
A seguir, ilustramos duas representações usuais de um resistor. 
R
i
A B
R
i
A B
Símbolo do resistor. O sentido da corrente poderia ser também contrário ao 
representado na figura, se o potencial de B for maior do que o de A.
O sentido da corrente 
em um resistor é sempre 
do maior para o menor 
potencial elétrico, uma 
vez que a passagem 
dos portadores de carga 
através dele resulta em 
um “consumo” de energia 
potencial elétrica.
ligado
Fique
30 FÍSICA / Frente A
Fisicamente, a resistência depende de vários fatores, entre os quais 
podemos mencionar:
• a geometria do condutor (tamanho e forma);
• os dois pontos entre os quais fazemos a medida;
• o material do condutor.
Em relação ao material, a resistência depende da densidade dos 
elétrons livres nele presentes e da mobilidade de que esses elétrons 
dispõem. Georg Simon Ohm (1787-1854) publicou em 1827 um aprofundado 
estudo desse fenômeno, e em sua homenagem foi adotada a unidade de 
resistência elétrica.
A figura a seguir ilustra uma simulação para medir a resistência do 
corpo humano considerando vários pares de pontos.
1 A montagem a seguir visa medir o valor da tensão entre dois pontos fixos de um condutor à medida 
que variamos a intensidade da corrente elétrica, mantendo-se constantes todos os outros fatores.
+ –
Gerador de
corrente elétrica
i
Condutor
Medidor de tensão
As medidas obtidas para a tensão permitiram a construção do seguinte gráfico:
0 2
20
5
4 i (A)
U (V)
Questão resolvida
Quais os choques mais 
perigosos?
Sabendo que os músculos 
cardíacos são controlados por 
pequenos impulsos elétricos, 
o que permite diagnósticos 
pelos eletrocardiogramas, e que 
os choques em uma pessoa 
ocorrem por causa da diferença 
de potencial entre dois pontos, 
relacione quais são os pontos que 
acarretam maior risco de parada 
cardíaca.
Discussão em sala
31CAPÍTULO T2 / Leis de Ohm
 Primeira lei de Ohm
Ohm verificou que em alguns condutores, particularmente os metais, 
fixados dois pontos e a temperatura, a resistência permanece constante. 
Em sua homenagem, esses condutores são ditos condutores ôhmicos.
Explicitamente, considerando um condutor ôhmico submetido a dife-
rentes tensões, a razão entre a tensão aplicada e a correspondente in-
tensidade da corrente elétrica permanecerá constante. Matematicamen-
te, escrevemos:
U
i
U
i
U
i
R constante1
1
2
2
n
n
5 5 » 5 5 5Pela definição de resistência, R U
i
5 , e para R 5 constante, a relação 
entre U e i é uma função linear cujo gráfico é uma reta que passa pela 
origem.
i
U
Gráfico U × i para um condutor ôhmico.
Se o gráfico não for o de uma função linear, o condutor é não ôhmico.
i
U
Gráfico U × i para um condutor não ôhmico.
Com base no gráfico, determine a resistência do condutor entre os dois pontos considerados para as 
tensões de 5 V e 20 V.
Resolução:
Vamos aplicar R U
i
5 para as duas situações.
R 5
2
R 2,51 121 1
R 21 1R 25 ~5 ~
55 ~1 15 ~1 1 5 VR 25 VR 2,55 V
R 20
4
R 52 242 2
R 52 2R 55 ~5 ~
205 ~2 25 ~2 2 5 VR 55 VR 5
A definição de resistência 
(inclinação do gráfico U × i) 
vale para os condutores em 
geral. O que a primeira lei 
de Ohm afirma é que para 
alguns condutores, chamados 
ôhmicos, o valor de R é 
constante. São afirmações 
diferentes.
Entretanto, na maioria 
dos casos práticos, com 
pequenas variações de 
temperatura, os condutores 
têm resistência praticamente 
constante e admitimos que 
estamos operando com 
condutores ôhmicos.
ligado
Fique
32 FÍSICA / Frente A
 Potência em um resistor
A potência elétrica em um bipolo qualquer, sob tensão U e percorrido 
por corrente i, pode ser obtida por iUP 5 .
Se o bipolo é um resistor, temos U Ri5 e i U
R
5 . A partir dessas duas 
igualdades, temos:
Ri i Ri2P P5 ? ~ 5 e  U U
R
U
R
2
P P5 ? ~ 5
Resistor dissipando energia na forma de calor.
2 Um chuveiro elétrico tem valores nominais 220 V –  4 400 W para a posição inverno.
a) Em condições normais de funcionamento, qual é a resistência elétrica do chuveiro?
b) Considerando o chuveiro como condutor ôhmico, qual será sua potência quando ligado em 110 V?
Resolução:
a) Como foram dadas a tensão e a potência, vamos usar: U
R
2
P 5 .
4400 220
R
2
5 ~ R 5 11 V
b) Considerando que o chuveiro é um condutor ôhmico, sua resistência é constante. Assim, ao ser 
ligado, a potência correspondente a uma tensão de 110 V vale:
U
R
110
11
1100 W
2 21102 2
P 5 55 5U5 5 5
Repare que, em um condutor ôhmico, quando a tensão é reduzida pela metade, a potência se reduz 
a um quarto do seu valor original. Reciprocamente, se erradamente ligarmos um condutor ôhmico 
no dobro da tensão para que foi projetado, a potência fica quadruplicada.
Questão resolvida
d
iy
13
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
d
iy
1
3
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
33CAPÍTULO T2 / Leis de Ohm
Identifi cando a resistência de um resistor
A indústria eletrônica adotou padrões para facilitar aos técnicos e en-
genheiros a identificação dos valores de resistência a partir de um código 
de cores em barras ordenadas, conforme a tabela a seguir. Para o técnico 
experiente, bastará um olhar para o elemento para que ele identifique a 
resistência e a respectiva margem de erro.
CÓDIGO DE CORES PARA RESISTORES
Cor Valor do dígito Multiplicador
Preto 0 1
Marrom 1 10
Vermelho 2 10
2
Laranja 3 103
Amarelo 4 104
Verde 5 105
Azul 6 106
Violeta 7 107
Cinza 8 108
Branco 9 109
Fonte: FREEDMAN, R. A.; YOUNG, H. D. Física. 14. ed. [s.l.]: Pearson, 2015. Tradução livre.
 Segunda lei de Ohm
O que hoje chamamos de segunda lei de Ohm é de fato um resul-
tado dos cálculos feitos por Ohm a partir de uma formulação de resis-
tividade dos materiais.
Ele considerou que a resistência de um condutor deveria depender 
dos seguintes parâmetros:
• Material – Esse parâmetro está ligado à densidade de elétrons livres 
e à mobilidade que eles possuem. Ele é medido pela resistividade 
elétrica (r) do material.
• Seção transversal – O fluxo é proporcional à área (A) da seção trans-
versal pela qual passa corrente elétrica, e, portanto, a resistência será 
inversamente proporcional a esse parâmetro.
• Comprimento – Quanto maior o comprimento (L), maior será a resis-
tência que o condutor oferecerá à passagem da corrente.
Ohm deduziu então que a resistência de um condutor homogêneo de 
seção transversal uniforme pode ser calculada por: R 5
A
r L .

A
Primeiro
dígito
Segundo
dígito Multiplicador
Tolerância
A segunda lei de Ohm nos 
permite entender por que se 
procura ter as grandes usinas 
geradoras de energia elétrica 
próximas dos grandes 
centros consumidores. 
Quanto maior o comprimento 
da linha de transmissão, 
maior a resistência e maiores 
as perdas de energia ao 
longo dessa linha.
ligado
Fique
Representação esquemática de um 
resistor com resistência de 5,7 kV com 
acurácia (tolerância) de 610%.
34 FÍSICA / Frente A
Condutividade
É de costume utilizar a grandeza inversa da resistividade, chamada de 
condutividade, cuja definição é 
1s 5
r
.
O símbolo s é a letra grega sigma. Com essa grandeza, a segunda lei 
de Ohm assume a forma R
A
5 L
s
.
Variação da resistividade 
com a temperatura
Considerando os modelos clássicos da eletrodinâmica, o aumento 
de temperatura resulta em maior agitação térmica dos átomos que com-
põem o material e decorrente aumento de resistividade. 
Sendo r0 a resistividade numa temperatura de referência (T0) e r a 
resistividade em uma temperatura T  >  T0, a variação da resistividade 
(Dr) pode ser calculada por:
Dr 5 r0 ? a ? DT, sendo a um coeficiente característico de cada 
substância.
Assim, mesmo para um condutor ôhmico, para verificar a primeira lei 
de Ohm devemos impor que a temperatura permaneça constante, ou 
que as variações de temperatura sejam pequenas, uma vez que a ordem 
de grandeza de a é não mais do que 10–3 °C–1. 
A tabela seguinte apresenta os coeficientes de aumento de resistivi-
dade para alguns materiais sob temperatura de 20 °C.
MATERIAL a [(°C)
21
] MATERIAL a [(°C)
21
]
Alumínio 0,0039 Chumbo 0,0043
Latão 0,0020 Manganina 0,00000
Carbono (grafite) –0,0005 Mercúrio 0,00088
Constantan 0,00001 Nicromo 0,0004
Cobre 0,00393 Prata 0,0038
Ferro 0,0050 Tungstênio 0,0045
Fonte: FREEDMAN, R. A.; YOUNG, H. D. Física. 14. ed. [s.l.]: 
Pearson, 2015. Tradução livre.
3 Qual é a resistência elétrica de um fio de cobre em forma-
to cilíndrico com 200  m de comprimento e 3,1  mm2 de área 
de seção transversal, considerando a resistividade do cobre 
1,7 10 cm6r 5 ? V ?2 ?
Resolução:
Usando R
A
5 r L , temos R 1,7 10
200
3,1 10
1,06
6
5 ?R 15 ?R 1,75 ? ?
1 11 1
5 V1,5 V05 V2
2
.
Questão resolvida
35CAPÍTULO T2 / Leis de Ohm
 Curto-circuito
No cotidiano, o termo “curto-circuito” nos põe em alerta sobre algo 
grave que pode estar ocorrendo nos circuitos elétricos, mas de fato ele é 
o elemento mais comum na maioria dos circuitos.
Vamos rever uma figura já apresentada no início deste capítulo.
+
+
–
–
U
i
Os elementos em azul são os fios de ligação, cujas resistências não 
são levadas em consideração. Isto está de pleno acordo com a prática, 
pois os fios de ligação que usamos têm resistências muito inferiores às 
dos elementos que vamos usar nos circuitos, de forma que podemos 
considerá-las desprezíveis.
Em um circuito elétrico, a função dos fios (condutores elétricos) é con-
duzir a corrente elétrica. Em condições ideais, os fios somente realizariam a 
condução, sem dissipar energia alguma pela circulação da corrente elétrica.
Observe, na figura a seguir, um trecho de fio, com destaque para dois 
pontos, X e Y. Se esse fio não dissipa energia, então esses dois pontos 
têm o mesmo potencial elétrico.
X
Y
Pontos em curto-circuito.
4 As antigas lâmpadas incandescentes operavam com um filamento de tungstênio cuja temperatura atingia 
3 000 °C, quando acesas. Considerando uma lâmpada desse tipo, com dados nominais 127 V – 100 W, e 
o filamento como condutor ôhmico, que resistência tem ele sob temperatura ambiente (20 °C)? Utilize 
os dados da tabela de aumento de resistividade.
Resolução:
Vamos calcular a resistência do filamento com a lâmpada acesa.
U
R
2
P 5 , logo R 127
100
161,29
2
5 55 5125 575 5 V .
Pela expressão do aumento da resistividade, considerando constantes o comprimento e a área, temos: 
R R 45 10 13,41
161,29 R 13,41
R 1 ,59
0
4
0R 1R 1
0R 1R 1
( )3000( )20( )2 5R R25R R02 5 ? ?10? ? 2 5( )2 5( )20( )2 5( )
2 5R 12 5R 1R 1R 12 5
5 VR 15 VR 1475 V,55 V95 V
2
Vemos que, mesmo com alta variação de temperatura, a resistência do condutor variou menos de 10%.
Observe que, para considerarmos o a da tabela, devemos considerar a R0 em uma temperatura de 20 °C.
Questão resolvida
36 FÍSICA / Frente A
De fato, aplicamos esse conceito no dia a dia. Se quisermos ligar um 
aparelho qualquer, mas ele estiver muito longe da tomada, usamos uma 
extensão. A extensão apenas leva os potenciais da tomada até os termi-
nais do aparelho. 
Do ponto de vista da potência, temos iUP 5 , mas, como U 5 0, a 
potência dissipada é nula, mesmo com a passagem de corrente.
Os pontos X e Y podem estar bem separados espacialmente um 
do outro, mas, eletricamente, a “distância” de potencial elétrico é nula. 
Nesse caso, dizemos que os pontos X e Y estão em curto-circuito.
Apesar de o curto-circuito ser um dos elementos mais usados 
nos circuitos, o mau uso dessa ligação pode ser catastrófico. Veremos 
adiante.
1 UFV-MG Normalmente, as distâncias entre os fios 
desencapados da rede elétrica de alta tensão são 
inferiores às distâncias entre as pontas das asas de 
algumas aves quando em voo. Argumentando que 
isso pode causar a morte de algumas aves, ecologis-
tas da região do Pantanal Mato-grossense têm cri-
ticado a empresa de energia elétrica da região. Em 
relação a esta argumentação, pode-se afirmar que:
a) os ecologistas não têm razão, pois sabe-se que é 
nula a resistência elétrica do corpo de uma ave.
b) os ecologistas têm razão, pois a morte de uma 
ave poderá se dar com sua colisão com um único 
fio e, por isto, a maior proximidade entre os fios 
aumenta a probabilidade desta colisão.
c) os ecologistas não têm razão, uma vez que, ao 
encostar simultaneamente em dois fios, uma ave 
nunca morrerá eletrocutada.
d) os ecologistas não têm razão, pois sabe-se que 
o corpo de uma ave é um isolante elétrico, não 
permitindo a passagem de corrente elétrica.
e) os ecologistas têm razão, uma vez que, ao encos-
tar simultaneamente em dois fios, uma ave prova-
velmente morrerá eletrocutada.
2 Uma diferença de potencial (ddp) de 220 V foi aplica-
da a um fio que passa a ser percorrido por uma carga 
de 60 C durante 30 s. Considerando esse tempo em 
que a ddp esteve aplicada:
a) determine a corrente elétrica que percorre o fio;
b) determine a resistência elétrica do fio.
3 Uece 2020 O choque elétrico caracteriza-se pela 
passagem da corrente elétrica através do corpo 
(animal ou humano), podendo apresentar vários efei-
tos, conforme a região atravessada pela referida cor-
rente.
O quadro, a seguir, indica a intensidade da corrente e 
o respectivo efeito causado no organismo:
INTENSIDADE DE 
CORRENTE (mA)
EFEITO
1 a 10 “Formigamento”
10 a 20 Sensação dolorosa
20 a 100 Dificuldade respiratória 
100 a 200 Fibrilação cardíaca
Acima de 200 Graves queimaduras e parada cardíaca
Uma pessoa com a pele seca apresenta uma resis-
tência de 100 000 Ω.
Com o corpo molhado, essa resistência diminui para 
cerca de 1 000 Ω.
Considerando que uma pessoa, ao sair do banheiro, 
molhada, sofra um choque em uma tomada de 220 V, 
é correto afirmar que ela estará submetida ao efeito 
correspondente a
a) dificuldades respiratórias.
b) graves queimaduras e parada cardíaca.
c) fibrilação cardíaca.
d) sensações dolorosas.
• Ohm's Law.
Acesse esse aplicativo de 
simulação da primeira lei de Ohm. 
Disponível em: <http://p.p4ed.com/
LBYVC>. 
• Circuit Construction Kit 
(AC1DC).
Veja também a simulação 
desenvolvida pela Universidade
do Colorado para elementos
de circuitos. 
Disponível em:
<http://p.p4ed.com/LBYVX>.
Mais
Aplicando conhecimentos
37CAPÍTULO T2 / Leis de Ohm
4 Ufop-MG As figuras mostram os diagramas tensão 
versus corrente para dois condutores (I e II).
3,5 7,0 10,5
0,5
1,0
1,5
V (V)
( I )
i (A)
4,0 5,0
0,5
1,0
V (V)
( II )
i (A)
a) Qual desses condutores obedece à lei de Ohm?
b) Determine a resistência elétrica desse condutor.
5 Fatec-SP 2017 Em uma disciplina de circuitos elétri-
cos da FATEC, o professor de Física pede aos alu-
nos que determinem o valor da resistência elétrica 
de um dispositivo com comportamento inicial ôh-
mico, ou seja, que obedece à primeira lei de Ohm. 
Para isso, os alunos utilizam um multímetro ideal de 
precisão e submetem o dispositivo a uma variação 
na diferença de potencial elétrico anotando os res-
pectivos valores das correntes elétricas observa-
das. Dessa forma, eles decidem construir um gráfico 
contendo a curva característica do dispositivo resis-
tivo, apresentada na figura.
Curva característica de dispositivo resistivo
U (V)
i (mA)
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
6
12
18
24
30
36
42
Com os dados obtidos pelos alunos, e consideran-
do apenas o trecho com comportamento ôhmico, 
podemos afirmar que o valor encontrado para a re-
sistência elétrica foi, em kΩ de
a) 3,0
b) 1,5
c) 0,8
d) 0,3
e) 0,1
6 UFPR 2020 As propriedades elétricas de dois resis-
tores A e B foram investigadas, e os dados obtidos 
para eles foram dispostos na forma de um gráfico 
V 3 i, em que V é a tensão aplicada e i é a corrente 
elétrica que por eles circula. As curvas para os resis-
tores A (linha cheia) e B (linha tracejada) são apresen-
tadas na figura abaixo.
V (V)
20
A
B
10 20 30 40 i (mA)
10
5
Com base nos dados apresentados, considere as se-
guintes afirmativas:
1) O resistor B é ôhmico.
2) Os resistores têm resistências iguais quando sub-
metidos a uma tensão de 10 V.
3) A potência dissipada pelo resistor A quando sub-
metido a uma tensão de 20 V vale 0,6 W.
4) O resistor B apresenta uma resistência de 50 Ω 
quando submetido a uma tensão de 5 V.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
7 Uma lâmpada possui dados nominais 120 V/60 W. 
Considerando o seu resistor ôhmico, qual é a resis-
tência elétrica dessa lâmpada?
38 FÍSICA / Frente A
8 Fuvest-SP A curva característica de um elemento re-
sistivo é vista na figura a seguir.
i (mA)
V (volts)
4
3
2
1
2 4 6 8 10
a) Qual é a potência dissipada quando i 5 10 mA?
b) Qual é a carga que passa em 10 segundos, quan-
do V 5 2,0 volts?
9 PUC-Rio 2016 Um resistor é ligado a uma bateria e 
consome 1,0 W. Se a tensão aplicada pela bateria é 
dobrada, qual é a potência dissipada por esse mes-
mo resistor, em watts? 
a) 0,25
b) 0,50
c) 1,0
d) 2,0
e) 4,0
10 UEPG-PR 2020 O motor elétrico de um liquidifica-
dor possui um rendimento elétrico de 80%. Sabendo 
que, quando ligado numa diferença de potencial de 
100 V, a corrente elétrica que percorre o motor é 5 A, 
assinale o que for correto.
01. A resistência elétrica interna do motor é 4 Ω.
02. A potência elétrica útil do motor é 400 W.
04. Pelo fato de possuir resistência elétrica interna, 
o motor elétrico não pode ser considerado um 
receptor elétrico.
08. A quantidade de energia dissipada na forma de 
calor no motor, em um intervalo de tempo de 
10 minutos, é 60 kJ.
Soma: 
11 Udesc Uma pessoa resolve tomar banho e liga o chu-
veiro elétrico de 220 V, o qual dissipa uma potência 
de 2,42 kW. Após o banho utiliza um secador de ca-
belo, cuja potência é 1 kW, deixando-o ligado por meia 
hora, para secagem dos cabelos.
Descreva detalhadamente todos os procedimentos e 
raciocínios utilizados para responder aos itens a seguir.
a) Qual é a energia gasta pelo secador, nesse inter-
valo de tempo?
b) Se 1 kWh (um quilowatt-hora) custa R$ 0,30, quan-
to custará a secagem de cabelos?
c) Desejando duplicar a variação de temperatura na 
água, mantendo constante sua vazão, qual deve 
ser a nova resistência do chuveiro?
12 Um fio homogêneo e uniforme possui 10 m de com-
primento e área de secção transversal 5  ?  10−6 m². 
Considere que o fio seja um resistor ôhmico. 
Sendo a resistividade do material queconstitui o fio 
2 ? 10−4 Ωm, determine:
a) a resistência desse fio;
b) a resistência de cada uma das partes do fio, caso 
ele fosse cortado no ponto médio;
c) a resistência de cada parte do fio, caso ele fosse 
cortado a 2,5 m de uma das extremidades.
13 UEPG-PR 2020 Um cilindro de cobre possui compri-
mento de 5 m e área de seção reta de 17 ? 10−3 mm2. 
As extremidades do cilindro são conectadas, por meio 
de fios de resistência elétrica desprezível, a uma bate-
ria ideal de 0,5 V. Desprezando os efeitos dos fios de 
conexão e a variação da resistividade elétrica com a 
temperatura, assinale o que for correto.
Dados: m0 5 4 p ? 10
−7 Tm/A
Resistividade elétrica do cobre 5 1,7 ? 10−8 Ω ? m.
39CAPÍTULO T2 / Leis de Ohm
01. A energia térmica dissipada por efeito Joule no 
cilindro, durante um intervalo de tempo de 2 ho-
ras, é 0,1 kW h.
02. A resistência elétrica do cilindro de cobre é 5 Ω.
04. Se a diferença de potencial aplicada entre as 
extremidades do cilindro for constante, a potên-
cia elétrica dissipada nele é inversamente pro-
porcional à sua resistência elétrica.
08. O módulo do campo magnético produzido pela 
corrente elétrica transportada pelo cilindro num 
ponto que, simultaneamente, corresponde à meta-
de do comprimento e a uma distância de 2 mm da 
superfície é 2pT.
Soma: 
14 Enem PPL 2014 Recentemente foram obtidos 
os fios de cobre mais finos possíveis, conten-
do apenas um átomo de espessura, que podem, 
futuramente, ser utilizados em microprocessadores. 
O chamado nanofio, representado na figura, pode 
ser aproximado por um pequeno cilindro de com-
primento 0,5 nm (1 nm 5 10−9 m). A seção reta de 
um átomo de cobre é 0,05 nm² e a resistividade do 
cobre é 17 Ω ? nm. Um engenheiro precisa estimar 
se seria possível introduzir esses nanofios nos mi-
croprocessadores atuais.
AMORIM, E. P. M.; SILVA, E. Z. Ab initio study of linear atomic chains in 
copper nanowires. Physical Review B, v. 81, 2010 (adaptado).
Um nanofio utilizando as aproximações propostas 
possui resistência elétrica de
a) 170 nΩ.
b) 0,17 Ω.
c) 1,7 Ω.
d) 17 Ω.
e) 170 Ω.
CONSOLIDANDO SABERES
1 UFJF-MG Medidas da corrente elétrica em função 
da diferença de potencial aplicada foram realizadas 
em dois resistores de metais diferentes, encontran-
do-se os resultados relacionados abaixo. Durante 
as medidas, a temperatura dos resistores foi man-
tida constante.
RESISTOR 1 RESISTOR 2
ampères volts ampères volts
0,5 2,18 0,5 3,18
1,0 4,36 1,0 4,36
2,0 8,72 2,0 6,72
4,0 17,44 4,0 11,44
Nestas condições são feitas as afirmativas:
I. Somente o resistor 1 obedece à Lei de Ohm.
II. Somente o resistor 2 obedece à Lei de Ohm.
III. Um dos resistores tem resistência elétrica com 
valor de 4,36 Ω.
São verdadeiras:
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) I e III.
e) II e III.
2 UGF-RJ A intensidade da corrente elétrica em um 
resistor ôhmico é 2,5 mA, quando ele é submetido a 
uma ddp de 1,5 V.
Nessas condições, a sua resistência elétrica, em 
ohms, vale
a) 0,6.
b) 6,0.
c) 6,0 ? 10¹.
d) 6,0 ? 10².
e) 6,0 ? 10³.
3 FEI-SP Quando a corrente elétrica atravessa o corpo 
humano ela provoca contrações musculares. É o que 
denominamos choque elétrico. O valor mínimo da 
corrente que uma pessoa consegue perceber é da 
ordem de 1 mA. O valor que pode ocasionar a morte é 
maior do que 10 mA. Se uma pessoa levar um choque 
de uma rede com diferença de potencial de 200 V, qual 
deverá ser sua resistência mínima para que ela não cor-
ra risco de vida?
a) 2 ? 105 Ω.
b) 2 ? 104 Ω.
c) 2 ? 103 Ω.
d) 2 ? 102 Ω.
e) 2 ? 101 Ω.
40 FÍSICA / Frente A
4 Efei-MG Quando submetidos a tensões compreen-
didas entre 0 e 12 V, dois resistores R1 e R2 apresen-
tam o comportamento descrito no gráfico abaixo. 
Determine o valor da resistência de cada um deles.
0
C
o
rr
e
n
te
 (
m
A
)
4
40
80
120
8 12
Tensão (V)
R₁
R₂
5 ESPM-SP O gráfico a seguir caracteriza a curva de 
um resistor ôhmico.
6
4,8
i (A)
U (V)
Qual é a quantidade de carga elétrica que atraves-
sa uma secção transversal do resistor, durante 15 s, 
quando sob tensão elétrica de 16 V?
6 PUC-SP Uma das alternativas usadas pelas compa-
nhias de eletricidade para reduzir o consumo de ener-
gia elétrica nos períodos de grande demanda é redu-
zir os valores da tensão estabelecida nas residências. 
Suponha uma torradeira cujos dados nominais são 
120 V – 1 200 W e que será utilizada em determinado 
mês (30 dias) na tensão de 108 V. Sabendo-se que a 
torradeira é utilizada diariamente por 10 minutos, a sua 
economia será de
a) 1,14 kWh.
b) 6 kWh.
c) 0,6 kWh.
d) 1,2 kWh.
e) 1,08 kWh.
7 Fafeod-MG Uma estufa elétrica tem uma resistência 
que dissipa uma potência de 2 000 W e funciona em 
110 V. O resistor da estufa queimou e foi substituído, 
por engano, por outro de 2 000 W/220 V. Levando-
-se em conta que a resistência do novo resistor não 
se altere ao ser ligado na estufa, a potência dissipa-
da por ela será igual a:
a) 500 W
b) 1 000 W
c) 2 000 W
d) 4 000 W
e) 8 000 W
8 Um aquecedor elétrico é fabricado para dissipar a 
potência de 2 400 W quando alimentado com a ddp 
de 120 V. Se o aquecedor for ligado numa ddp de 
127 V, então:
a) a potência dissipada aumentará cerca de 12%;
b) a corrente que a percorre não mudará;
c) a sua resistência elétrica diminuirá cerca de 18%;
d) a corrente que a percorre diminuirá, mantendo a 
potência inalterada.
9 Unificado-RJ Um estudante mede a intensidade da 
corrente elétrica que percorre o filamento de uma 
lâmpada, variando a ddp na qual ela é ligada, e ob-
tém o gráfico:
0
24
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
48
72
96
120
i (ampère)
V (volt)
A partir desses dados, ele faz três afirmações;
I. a potência que a lâmpada consome quando liga-
da a 120 V vale 60 W;
II. a resistência do filamento da lâmpada aumenta 
com o calor produzido nela;
III. para i 5 0,0 A, a resistência da lâmpada é nula.
É(são) verdadeira(s) a(s) afirmação(ões):
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e II, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
10 UFRRJ Um chuveiro, quando ligado a uma diferen-
ça de potencial constante de 110 V, desenvolve uma 
potência de 2 200 W. Este mesmo chuveiro fica ligado 
nesta ddp todos os dias durante, apenas, 10  minutos. 
Neste caso:
a) qual a energia, em joule, consumida por este chu-
veiro durante 10 minutos?
b) se 1 kWh custa R$ 0,20 (vinte centavos), qual a 
despesa em reais com este chuveiro durante um 
mês (30 dias)?
11 Um projeto urbanístico de uma cidade prevê fiação 
enterrada no solo. A cada 160 m há um alçapão para dar 
acesso ao subsolo. Ao preparar um circuito para 
atender a região compreendida entre o primeiro e o 
nono alçapão, um eletricitário corta um cabo no ta-
manho da distância que os separa. Sabendo-se que 
41CAPÍTULO T2 / Leis de Ohm
a resistividade do material do cabo é 6,28 ? 10–4 Ωm 
e que a seção transversal do cabo tem raio 8 mm 
(8 ? 10–3 m), qual é a resistência do cabo cortado?
Considere que o cabo tem formato cilíndrico e é feito 
de material homogêneo e adote p 5 3,14.
12 Unicamp-SP Uma lâmpada incandescente (100  W, 
120 V) tem um filamento de tungstênio de compri-
mento igual a 31,4 cm e diâmetro 4,0 ? 10–2 mm. A 
resistividade do tungstênio à temperatura ambiente 
é de 5,6 ? 10–8 Ωm.
a) Qual a resistência do filamento quando ele está à 
temperatura ambiente?
b) Qual a resistência do filamento com a lâmpada 
acesa?
13 UFC-CE Um pássaro pousa em um dos fios de 
uma linha de transmissão de energia elétrica. O 
fio conduz uma corrente elétrica i 5 1 000 A e sua 
resistência, por unidade de comprimento, é de 
5,0  ?  10–5 Ω/m. A distância que separa os pés do 
pássaro, ao longo do fio, é de 6,0 cm. A diferença 
de potencial, em milivolts (mV), entre os seus pés é
a) 1,0.
b) 2,0.
c) 3,0.
d) 4,0.
e) 5,0.
14 UFU-MG 2017 Um chuveiro pode ser regulado para 
funcionar liberando água em três temperaturas dis-
tintas: “fria”, “morna” e “quente”. Quando o chuveiro 
é ligado na opção “fria”, a água passa pelo aparelho 
e não sofre nenhum aquecimento; na opção “mor-
na”,sofre aquecimento leve; e na opção “quente”, 
um aquecimento maior. Este chuveiro possui uma 
resistência elétrica constituída por um fio fino enro-
lado e quatro pontos de contato (A, B, C e D). Uma 
fonte de tensão, de voltagem constante, é ligada 
com um de seus polos no ponto D, enquanto que 
o outro polo é ligado a uma chave que pode as-
sumir as posições A, B ou C, conforme mostrado 
no esquema.
Chave
Fonte de tensão
Resistência
a
b c
d
a) Identifique em qual posição (A, B ou C) a chave 
estará ligada para cada temperatura de funciona-
mento do chuveiro. Justifique sua resposta.
b) A fonte de tensão é de 220 V e a potência do 
chuveiro é de 4 400 W quando ligado na opção 
“quente”. Qual o valor da resistência elétrica nes-
ta situação de funcionamento?
15 UEL-PR Para evitar a potência dissipada por apa-
relhos tais como chuveiros, aquecedores elétricos, 
lâmpadas incandescentes, são projetados resistores 
com diferentes resistências elétricas. Em um projeto, 
um fio condutor de comprimento L e de diâmetro da 
secção transversal D teve reduzidos à metade tanto 
o seu diâmetro quanto o seu comprimento (conforme 
está representado na figura). O que acontecerá com 
a resistência R8 do novo fio, quando comparada à 
resistência R do fio original?

D

D
2
2
a)  R
R'
1
4
5
b)  R
R'
1
8
5
c)  R
R'
1
2
5
d)   R
R'
5 4
e)   R
R'
5 2
16 Uerj 2020 Em um experimento, quatro condutores, 
I, II, III e IV, constituídos por metais diferentes e com 
mesmo comprimento e espessura, estão submetidos 
à tensão elétrica. O gráfico abaixo apresenta a va-
riação da tensão u em cada resistor em função da 
corrente elétrica i.
u (V)
I
II
III
IV
i (A)
O condutor que apresenta a maior resistividade elé-
trica é
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
42 FÍSICA / Frente A
Uma espira circular chata, de secção transversal 
retangular de lados 10 cm e 15,5 mm, será utilizada 
como resistência para dissipar energia térmica den-
tro de um líquido, conforme mostra a figura a seguir.
12 V
A B
O
A espira é feita de um material que possui resistivi-
dade 7,75 ? 10–4 Ωm e raio 10 cm. Para que ela seja li-
gada a uma fonte de tensão constante 12 V e dissipe 
2 880 W de potência quando imersa no líquido, qual 
deve ser a distância AB, medida sobre o arco, em 
que devemos ligar os terminais da fonte?
Adote p 5 3,1.
17 UFJF-MG 2021 Considere dois resistores cilíndricos 
de comprimento L0. O primeiro possui área da seção 
reta A1 e resistividade uniforme r1. O segundo, uma 
área da seção reta A2 5 2 A1 e resistividade unifor-
me r2. Para que a potência dissipada nesse segundo 
resistor dobre de valor, quando submetida a mesma 
corrente que o primeiro, qual será o valor r2 quando 
comparado com r1?
a) 2 r1
b) ( )12 1r
c) r1
d) ( )14 1r
e) r1
SUPERAÇÃO
43CAPÍTULO T2 / Leis de Ohm
As questões selecionadas nesta seção são prioritariamente do Enem, mas questões de vestibulares diversos que apre-
sentam características semelhantes aos itens do referido exame também foram usadas como recurso para estudo.
No ENEM é assim
1 Enem PPL 2017 A figura mostra a bateria de um com-
putador portátil, a qual necessita de uma corrente elé-
trica de 2 A para funcionar corretamente.
Quando a bateria está completamente carregada, o tempo máximo, em minuto, que esse notebook pode ser 
usado antes que ela “descarregue” completamente é 
a) 24,4 b) 36,7 c) 132 d) 333 e) 528
2 Enem PPL 2017 As lâmpadas econômicas transformam 80% da energia elétrica consumida em luz e dissipam os 
20% restantes em forma de calor. Já as incandescentes transformam 20% da energia elétrica consumida em luz e 
dissipam o restante em forma de calor. Assim, quando duas dessas lâmpadas possuem luminosidades equivalen-
tes, a econômica apresenta uma potência igual a um quarto de potência da incandescente.
Quando uma lâmpada incandescente de 60 W é substituída por uma econômica de mesma luminosidade, deixa-se 
de transferir para o ambiente, a cada segundo, uma quantidade de calor, em joule, igual a
a) 3 b) 12 c) 15 d) 45 e) 48
3 Enem 2017 Dispositivos eletrônicos que utilizam materiais 
de baixo custo, como polímeros semicondutores, têm sido 
desenvolvidos para monitorar a concentração de amônia 
(gás tóxico e incolor) em granjas avícolas. A polianilina é um 
polímero semicondutor que tem o valor de sua resistência 
elétrica nominal quadruplicado quando exposta a altas con-
centrações de amônia. Na ausência de amônia, a polianilina 
se comporta como um resistor ôhmico e a sua resposta elé-
trica é mostrada no gráfico.
O valor da resistência elétrica da polianilina na presença de 
altas concentrações de amônia, em ohm, é igual a 
a) 0,5 ? 100
b) 0,2 ? 100
c) 2,5 ? 105
d) 5,0 ? 105
e) 2,0 ? 106
Dif. de potencial (V)
C
o
rr
e
n
te
 (
10
2
6
)
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
4 Enem Em um manual de um chuveiro elétrico são encontradas informações sobre algumas características técnicas, 
ilustradas no quadro, como a tensão de alimentação, a potência dissipada, o dimensionamento do disjuntor ou fusível, 
e a área da seção transversal dos condutores utilizados.
CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS
Especificação
Modelo A B
Tensão (V~) 127 220
Potência
(watt)
Seletor de 
Temperatura
Multitem-
peraturas
0 0
2 440 2 540
 4 400 4 400
 5 500 6 000
Disjuntor ou fusível (ampère) 50 30
Seção dos condutores (mm²) 10 4
Uma pessoa adquiriu um chuveiro do modelo A e, ao ler o manual, verificou que precisava ligá-lo a um disjuntor de 
50 ampères. No entanto, intrigou-se com o fato de que o disjuntor a ser utilizado para uma correta instalação de um chu-
veiro do modelo B devia possuir amperagem 40% menor.
Considerando-se os chuveiros de modelos A e B, funcionando à mesma potência de 4 400 W, a razão entre as suas re-
spectivas resistências elétricas, RA e RB, que justifica a diferença de dimensionamento dos disjuntores, é mais próxima de 
a) 0,3. b) 0,6. c) 0,8. d) 1,7. e) 3,0.
BATERIA DE LÍTIO MODELO: C450CBAT-4 11.1V 4400mAh 48.84Wh
CAUTION
...
Imagem digital de um luxuoso banheiro com alguns dispositivos térmicos e com vista para a neve.
B
Física
FRENTE
Como o usuário controla a temperatura da água 
que sai da ducha?
Em relação ao calor recebido da lareira, o que 
acontece à medida que a pessoa se afasta das 
chamas?
PlusONE/Shutterstock.com
Termologia I
Uma primeira ideia de temperatura nos remete à sen-
sação de conforto ou desconforto térmico no ambiente. 
Além de uma simples questão de comodidade, a tempe-
ratura comparece como grandeza fundamental em vários 
ramos da Ciência.
Observe a figura de um sofisticado banheiro planeja-
do em computação gráfica.
O contraste de temperaturas chama a atenção. Há 
uma ducha, uma banheira e, provavelmente, um condi-
cionador de ar regulando o conforto térmico.
Ao tomar uma ducha quente nesse banheiro, uma 
pessoa vai ter ao redor de si as três fases da água: a 
líquida, a neve lá fora e o vapor dentro do boxe.
T1
CAPÍTULO
P
h
o
to
g
ra
p
h
e
e
.e
u
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
Termometria
Sala de estar equipada com itens fabricados a partir de diferentes materiais, incluindo condutores e isolantes térmicos.
• Considerando os fluxos de energia térmica, por que os objetos metálicos nos parecem mais frios 
ao tocá-los?
• E por que toalhas ou cobertores nos parecem mais quentes?
 Neste capítulo, será abordada a habilidade EM13CNT101. 
A temperatura tem uma participação importante na possibilidade de vida em um determinado ambien-
te e, juntamente com a pressão, é um fator determinante no estado de agregação das partículas de uma 
substância.
Nossas primeiras noções a respeito da temperatura dizem respeito a corpos mais quentes ou mais 
frios. Para as crianças, as diferenças de temperatura entre a água fervendo e os cubos de gelo parecem 
ser extremas, mas quando comparamos esse intervalo de temperatura com aquela dos fornos de fundição, 
das lavas de um vulcão ou do coração de uma estrela, compreendemos como nosso mundo é pequeno.
Aprendemos maistarde que os corpos que interagem tendem a entrar em equilíbrio térmico, como o 
leite quente que esperamos esfriar ou o doce congelado que esperamos descongelar no ambiente.
Mas a rapidez da troca de calor, ou, mais precisamente, o fluxo de energia térmica, é aquilo que nossos 
sentidos apontam. Se largamos rapidamente um objeto frio, o desconforto é menor do que se segurarmos 
por mais tempo, assim como objetos muito quentes.
Agora, considere uma sala com vários móveis, roupas e outros objetos e as janelas abertas em um dia 
muito nublado e responda às questões a seguir.
47CAPÍTULO T1 / Termometria
 Energia térmica e temperatura
Nosso planeta é uma grande máquina térmica. A energia recebida do Sol faz a água evaporar e elevar-se na 
atmosfera; em seguida, a água retorna e põe em curso, junto a outros fatores, a manutenção da vida.
Embora pareça muito antiga, a ideia de temperatura e de energia térmica, nos moldes atuais, é uma concep-
ção recente.
Para Georg Ernst Stahl (1659-1734), o calor era concebido como uma substância especial – o flogístico –, sem 
massa ou volume perceptíveis, que habitava o interior dos corpos, e muitas vezes o termo "calor" era confundido 
com temperatura. Essa teoria foi dominante por mais de 80 anos sendo somente refutada definitivamente pelos 
trabalhos de Antoine Lavoisier (1743-1794).
Em 1798, Benjamin Thompson (1753-1814), conhecido como Conde de Rumford, propôs uma explicação 
para o calor como resultado do trabalho mecânico realizado pelas forças de atrito. Ao usinar canhões, ele 
verificava o aquecimento das ferramentas. Nesse mesmo ano, James Prescott Joule (1818-1889) publicou um 
histórico artigo sobre o equivalente mecânico do calor, relacionando a energia térmica como grandeza men-
surável, tal como a energia mecânica, e estabelecendo uma correspondência entre quantidade de calor e 
quantidade de energia.
Considere como sistema um bloco de ferro em repouso. Embora o corpo como um todo esteja em repouso, 
as partículas que o constituem estão em determinado grau de agitação e têm energia cinética.
O somatório das energias cinéticas de todas as partículas é a energia térmica associada ao sistema.
Equilíbrio térmico
Quando dois corpos são colocados em contato, a energia térmica flui, em nível molecular, do corpo em que as 
partículas têm maior grau médio de agitação para o outro em que o grau médio de agitação é menor. Essa transfe-
rência de energia em nível microscópico cessa quando as partículas do primeiro corpo tiverem o mesmo grau médio 
de agitação que o segundo. Nessa situação final não há o corpo mais quente ou o corpo mais frio. Dizemos que os 
corpos estão em equilíbrio térmico.
É importante notar que podemos ter em equilíbrio térmico corpos de massas e dimensões muito diferentes. 
Na situação de equilíbrio térmico, as energias térmicas totais de cada corpo podem ser muito diferentes, mas, em 
média, todas as partículas terão o mesmo grau de agitação.
Foi essa concepção que possibilitou a interpretação simples e atual do significado da temperatura. Os 
termômetros já existiam antes de Joule, uma vez que Galileu construiu um no começo do século XVII, mas 
a Calorimetria era um ramo da Física não relacionado com a Mecânica.
Gás a baixa temperatura com baixa energia
cinética média.
Gás a alta temperatura com alta energia
cinética média.
P
a
re
d
e
s 
is
o
la
n
te
s
Gases misturados. Agora eles têm a mesma energia cinética média.
Estão à mesma temperatura.
48 FÍSICA / Frente B
Temperatura
A temperatura é uma medida da média das energias cinéticas das 
partículas que compõem o sistema.
No caso dos sólidos e dos líquidos, isso corresponde a uma vibração 
em torno da posição média da partícula, e, no caso dos gases, correspon-
de à translação dessas partículas. O valor médio desse grau de agitação 
é a temperatura do corpo.
Assim, se dois corpos estão em equilíbrio térmico, eles têm a mesma 
temperatura, independentemente do número total de partículas que cada 
um tenha. Essa conclusão justifica a lei zero da Termodinâmica.
A lei zero da Termodinâmica
Se dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro corpo, 
então esses corpos estão em equilíbrio térmico entre si.
Colocamos o termômetro em contato com o primeiro corpo e espe-
ramos o equilíbrio térmico. Atingido o equilíbrio, lemos a temperatura no 
termômetro.
Perceba que estamos lendo a temperatura do termômetro em si e, 
pelo conceito de equilíbrio térmico, concluímos que essa também é a 
temperatura do corpo. Como ele está em equilíbrio térmico com o segun-
do corpo, então a temperatura deste será a mesma.
Suponha que a temperatura ambiente sob a sombra seja de 23 oC. 
Então você toca em uma torneira metálica e tem uma sensação térmica 
diferente daquela que teve quando tocou em uma toalha seca, embora 
os dois objetos estejam em equilíbrio térmico com o ambiente. Então, 
qual é o motivo dessa diferença de sensação térmica?
Considerando a temperatura de nosso corpo, 36,5 oC, quer você to-
que na toalha ou na torneira, a sua mão vai ceder calor, pois estará em 
contato com um corpo mais frio. Entretanto, como os metais são bons 
condutores de calor, você vai ceder calor muito mais rápido à torneira do 
que à toalha, e as sensações serão diferentes. Vemos que não somos 
imparciais para avaliar a temperatura dos corpos, por isso precisamos de 
um termômetro. 
Há mais fatores práticos que impõem a necessidade do termômetro. 
Por exemplo, saber se um paciente está febril, regular o conforto térmico 
de um ambiente ou controlar as condições de um forno de fundição.
Para comparar estados térmicos, elaboramos uma escala termométrica.
 Construção de um termômetro 
de escala arbitrária
O primeiro passo para se conhecer melhor uma grandeza consiste 
em medi-la. Sabemos que medir consiste em comparar a grandeza a um 
padrão. Nesse sentido, veremos alguns padrões para a medida de tem-
peratura – escalas termométricas – e qual princípio norteia a construção 
dos aparelhos de medida de temperatura, os termômetros.
Chamamos de grandeza termométrica qualquer 
grandeza que varie com a temperatura.
 
Um exemplo simples é a pressão exercida por um gás sob volume 
constante quando varia a sua temperatura. Isso pode ser percebido na 
panela de pressão comum. À medida que a temperatura vai aumentando, 
vai aumentando a pressão interna, sendo acionada a válvula de controle 
49CAPÍTULO T1 / Termometria
para exaustão do vapor aquecido. O volume dos líquidos também varia 
com a temperatura.
Um dos mais simples termômetros utiliza o álcool etílico colorizado, 
normalmente com corante vermelho, como grandeza termométrica.
Considere um termômetro que possui um bulbo que se conecta a um 
tubo vertical bem fino (capilar), conforme ilustra a figura ao lado.
O uso do capilar visa aumentar a precisão das medidas. Pequenas 
variações no volume do bulbo, provocadas pelas variações de tempe-
ratura, vão acarretar grandes variações na altura da coluna de líquido 
dentro do tubo capilar. Em seguida, o termômetro precisa ser calibrado, 
escolhendo-se estados térmicos bem definidos.
A relação entre a grandeza termométrica e a temperatura deve ser 
tal que cada valor da grandeza corresponda a uma única temperatura. 
Matematicamente, a função que relaciona a grandeza com a temperatura 
deve ser injetora.
A medida da temperatura de um corpo é feita, indiretamente, pelo 
efeito provocado na grandeza termométrica quando em equilíbrio térmi-
co com o corpo.
Escolhida a grandeza termométrica, como a variação do volume do 
álcool do exemplo, podemos definir os procedimentos para a obtenção 
de uma escala termométrica:
• Primeiramente, o dispositivo é colocado em contato com dois estados 
térmicos diferentes. Aguardando-se o equilíbrio térmico, são então 
atribuídos números que representem cada um desses estados. Ge-
ralmente, os dois estados térmicos, denominados pontos fixos, utili-
zados são a ebulição da água e a fusão do gelo, ambos sob pressão 
de 1 atm.
PONTOS FIXOS PARA CALIBRAÇÃODO TERMÔMETRO
Água e gelo em equilíbrio térmico
Água e vapor de água em equilíbrio 
térmico
• Em seguida, definimos:
– uG é o número atribuído ao ponto de fusão do gelo, que corres-
ponde ao comprimento hG da coluna de álcool;
– uV é o número atribuído ao ponto de ebulição da água, que corres-
ponde ao comprimento hV da coluna de álcool (ver figura).
O intervalo entre os dois pontos fixos (hV 2 hG) é dividido por (uV 2 uG), 
obtendo-se partes iguais e unitárias. Cada unidade recebe o nome de 
grau da escala.
θ
v
θ
G
h
V
h
h
G
θ
Construção de uma escala termométrica.
Termômetro de vidro com capilar.
50 FÍSICA / Frente B
• Finalmente, relacionamos os valores da grandeza termométrica (com-
primento h da coluna de álcool) com os valores da temperatura (u) 
através de uma função termométrica. Como nessa escolha a grande-
za termométrica varia linearmente com a temperatura, a relação entre 
elas obedece a uma função de primeiro grau (função afim). Com ela, 
fazemos as marcações da escala.
θ
A
B
D
C
E
θ
v
θ
G
h
G
h h
v
h
θ
A relação entre a temperatura (u) e a grandeza termométrica (h) é uma função afim.
A semelhança dos triângulos ABC e ADE, mostrados na figura, nos 
permite obter a função termométrica ao escrever:
h h
h h
G
V G
G
v G
u 2 u
u 2 u
5
2
2
A função termométrica é a relação entre a grandeza termométrica (h) 
e a temperatura (u).
1 Um estudante, de nome Marcelo, resolveu criar uma escala termométrica (escala M) usando um velho 
termômetro de álcool com a escala totalmente apagada. Ele colocou o termômetro em equilíbrio tér-
mico com gelo fundente e anotou a altura atingida pela coluna de álcool: 5,0 cm. A esse ponto ele atri-
buiu 0 oM. Em seguida, em equilíbrio térmico com água em ebulição sob pressão atmosférica normal, 
anotou a altura de 25 cm, atribuindo a esse ponto 60 oM.
a) Qual é a função termométrica dessa escala M?
b) Qual é o valor da temperatura na escala M se a altura da coluna de álcool atingir o valor de 17 cm?
Resolução:
a) A equação que relaciona a temperatura (uM) com a altura da coluna de álcool (h) é dada por:
0
60 0
h 5,0
25 5,0
Mu 2Mu 2
2
5
h 5h 5
2
~
60
20
(h 5,0)Mu 5Mu 5 2 portanto 3h 15Mu 5Mu 5 2
b) Para h 5 17 cm, temos:
uM 5 3 ? 17 – 15 ~ uM 5 36 
oM
Questão resolvida
51CAPÍTULO T1 / Termometria
 Escalas Celsius e Fahrenheit
Vejamos, agora, as escalas termométricas de maior uso cotidiano. A 
escala de temperatura adotada pela maioria dos países é a escala Cel-
sius, construída em 1742 por Anders Celsius (1701-1744). Essa escala adota 
para o ponto de fusão do gelo o valor 0 (zero) e, para o ponto de ebulição 
da água sob pressão normal, o valor 100 (cem). Em ambos os casos, a 
pressão é de 1 atm. O intervalo obtido entre os dois pontos fixos é dividi-
do em cem partes iguais e cada parte corresponde à unidade da escala, 
denominada grau Celsius (oC).
A escala Fahrenheit foi construída em 1727 por Daniel G. Fahrenheit 
(1686-1736). Originalmente, ele utilizou como primeiro ponto fixo uma mis-
tura de água, gelo e sal, para a qual atribuiu o valor 0 (zero) e, como se-
gundo ponto fixo, utilizou uma temperatura próxima à do corpo humano, 
para o qual atribuiu o valor 100 (cem).
Vamos colocar as escalas oC e oF lado a lado, como de fato acontece 
em alguns termômetros que permitem leituras nas duas escalas. Verifican-
do os pontos fixos escolhidos por Celsius na escala Fahrenheit, obtemos 
os valores: 32 oF para o ponto de fusão do gelo e 212 oF para o ponto de 
ebulição da água. Assim, na escala Fahrenheit, o intervalo entre esses dois 
pontos fixos é dividido em 180 partes (212 – 32). Cada parte corresponde à 
unidade da escala, denominada grau Fahrenheit (oF).
A conversão de temperaturas entre as escalas é feita através da com-
paração dos segmentos a e b da grandeza termométrica, que correspon-
dem aos mesmos estados térmicos, como indica a figura seguinte.
θ
F
∆θ
F
∆θ
C
θ
C
212
32
b
(2
12
–
3
2
)(1
0
0
–
0
)
100
a
0
Podemos estabelecer a proporção:
a
b 100 0 212 32
C F5
Du
2
5
Du
2
~
100 180
C FDu 5
Du
Da relação acima, obtemos:
5 9
C FDu 5
Du
Como 0C CDu 5 u 2 e 32F FDu 5 u 2 , obtemos:
5
32
9
C Fu 5
u 2
A primeira expressão, 
5 9
C FDu 5
Du
, é utilizada quando queremos 
comparar somente as variações de temperatura. Já a segunda expressão 
nos fornece diretamente a comparação entre as temperaturas propriamen-
te ditas.
52 FÍSICA / Frente B
2 Um brasileiro, habituado a viajar frequentemente para os Estados Unidos, pegou de um amigo a dica 
para converter temperaturas de oF para oC de forma aproximada, mas rápida e mentalmente. A dica era 
pegar o valor da temperatura em oF, dividir por 2 e depois subtrair 15, obtendo o valor aproximado da 
temperatura em oC.
a) Em qual temperatura, em oF, ao usar essa regra prática, ele vai obter 3 oC a mais do que o valor 
correto?
b) Em qual temperatura, em oF, ao usar essa regra prática, ele vai obter 3 oC a menos do que o valor 
correto?
Resolução:
a) A transformação exata é descrita pela equação:
5
32
9
C Fu 5C FC F
u 2C Fu 2C F , logo 5 3
9C
( )5 3( )5 32( )F( )5 3( )u 5Cu 5
? u5 3? u5 3( )? u( )5 3( )5 3? u5 3( )5 3( )5 3( ) (I)
Com a regra de aproximação, ele obteve 3 oC a mais, isto é:
3
2
15
2
18C
F
C
F
=u 1Cu 1 5
u
2 ~152 ~ u
u
2 (II)
Igualando-se as expressões I e II, obtemos:
5 3
9 2
18
10 320 9 324
4 F
F F
F F32F F0 9F F
F
( )5 3( )5 32( )F F( )F F5 3F F5 3( )F F2F F( )F F? u5 3? u5 3( )? u5 3( )5 3? u5 3( )5 3( )5 3( ) 5F FF F
uF FF F 2
? u 2 5322 50 92 50 9 ? uF F? uF F 2
u 5Fu 5 2 °4 F2 °4 F
Em oC essa temperatura é –20 oC. Pela regra prática daria –17 oC (confira).
b) Vamos acompanhar a sequência da resolução do item a.
5 3
9C
( )5 3( )2( )F( )5 35 3( )u 5Cu 5
? u5 3? u5 3( )? u( )5 3( )5 3? u5 3( )5 3( )5 3( ) (I)
Com a regra de aproximação, ele obteve 3 oC a menos, isto é:
3
2
15
2
12C
F
C
Fu 2Cu 2 5
u
2 ~152 ~ u 5Cu 5
u
2 (II)
Logo: 
5 3
9 2
12
10 320 9 216
104 F
F F
F F32F F0 9F F
F
( )5 3( )5 32( )F F( )F F5 3F F5 3( )F F2F F( )F F? u5 3? u5 3( )? u5 3( )5 3? u5 3( )5 3( )5 3( ) 5F FF F
uF FF F 2
? u 2 5322 50 92 50 9 ? uF F? uF F 2
u 5Fu 5 °4 F4 F
Em oC essa temperatura é 40 oC. Pela 
regra prática daria 37 oC (verifique).
O gráfico ao lado mostra a compara-
ção entre a escala exata (linha ver-
melha cheia) e a aproximação (linha 
azul pontilhada).
Pelo gráfico, vemos que a aproxima-
ção, em temperaturas ordinárias, é 
muito boa.
40
30
20
10ºC
0
–10
–20
–20 0 20 40 60
°F
80 100 120
Questão resolvida
53CAPÍTULO T1 / Termometria
 Uma escala absoluta: a escala Kelvin
O cenário é o começo do século XIX, no início da Primeira Revolução 
Industrial, e as máquinas a vapor se espalhavam pela Europa, sobretudo 
na Inglaterra, na França e na Alemanha. O carvão mineral, de difícil com-
bustão em condições ordinárias, libera grande quantidade de calor, se for 
superalimentado com oxigênio através de foles. Esse carvão era extraído 
de minas, que se aprofundavam cada vez mais, e havia o problema de os 
poços de escavação se encherem de água, que precisava ser retirada. 
Antes das máquinas a vapor, esse processo era realizado com tração 
animal, mas James Watt construiu uma máquina movida a carvão mineral 
que realizava essa tarefa muito mais rápido e com menor custo.
O aumento da disponibilidade de carvão mineral encorajou os fabri-
cantes de máquinas a vapor a produzirem mais máquinas, que por sua 
vez aumentavam mais ainda a disponibilidade do carvão, incrementando 
a mineração.
Na França, em 1824, o jovem engenheiro Nicolas Sadi Carnot publi-
cou às suas expensas 600 exemplares de um trabalho sobre potência 
motriz do fogo, usando um modelo de gás ideal para avaliar qual seria o 
rendimento máximo possível em uma máquina térmica, que seria a inspi-
ração para uma escala universal.
Quando um gás ideal é aquecido, com pressão constante, ele se ex-
pande. Essa expansão é medida por meio do coeficiente de dilatação 
volumétrica (g), que é a razão entrea variação de volume (DV) e o produto 
do volume inicial com a variação de temperatura (V0 ? DT), isto é:
V
V T0
g 5 D
? D
As medidas do coeficiente de dilatação dos gases em geral, em con-
dições comparáveis às do modelo de gás ideal, apontavam que todos 
tinham, a 0 oC, o mesmo coeficiente de dilatação volumétrica em relação 
à temperatura, isto é: 
1
273,15
C 1g 5 ° 2
Essas medidas são feitas sob pressão constante. Observe o gráfico 
seguinte.
V
0
0T
mín T (°C)
V
V (m3)
(II)
(I)
∆T
∆V
Em termos de equação termométrica, o volume é a grandeza termométrica.
No gráfico apresentado, as atenções estavam mais voltadas para a 
expansão do volume com o aumento de temperatura (seta I), mas por que 
não especular sobre a contração (seta II)?
Qual seria a menor temperatura possível nesse modelo de gás ideal?
Se a grandeza termométrica é o volume, o menor valor possível cor-
responde ao volume nulo. Como o coeficiente de dilatação era bem co-
nhecido experimentalmente, bastava aplicar a definição do coeficiente e 
considerar uma extrapolação de Tmín até 0 
oC, representada pela linha 
pontilhada no gráfico.
Extrapolação: é o processo de 
estimar o valor de uma variável (no 
caso, T) com base em sua relação 
com outra variável (no caso, V), 
além do intervalo de observação 
original.
54 FÍSICA / Frente B
Assim, podemos fazer:
V
V T
V 0
V 0 T
1
273,150
0
0 mín( )
g 5 D
? D
~
2
? 2
5
1
T
1
273,15mín2
5 ~
Tmín 5 −273,15 
oC
Temos a menor temperatura possível para o gás ideal, mas 
quem garante que essa é a menor temperatura possível para um tijolo, 
por exemplo?
Mais de 20 anos depois da publicação de Carnot, o cientista inglês 
William Thomson, que nascera no ano da publicação de Carnot, no outro 
lado do canal da Mancha, retomou esse trabalho e demonstrou que a 
escala do gás perfeito era aplicável aos corpos em geral.
Por suas descobertas, Thomson foi agraciado com título de Lorde Kelvin.
O limite inferior de temperaturas é –273,15 oC.
Kelvin propôs então uma escala que tivesse o ponto zero nessa me-
nor temperatura possível universalmente. As temperaturas nessa escala 
nunca assumiriam valores negativos, e os valores de temperatura seriam 
exatamente proporcionais às energias cinéticas médias das partículas; 
em suma, uma escala absoluta.
Nessa escala, o volume nulo corresponde, segundo a Física clássica, 
ao volume livre inexistente entre as partículas, com todas juntas em grau 
de agitação nulo.
Se compararmos a escala de temperaturas com uma régua não nu-
merada, podemos dizer que Kelvin encontrou o começo da régua. Mas 
faltava ainda escolher o tamanho das divisões dessa régua. Então:
• O tamanho da divisão (tamanho do grau) escolhido foi o mesmo que 
o da escala Celsius; assim, o 0 oC vai corresponder na escala Kelvin 
a 1273,15 K.
• Por ser uma escala absoluta, o termo grau foi retirado da unidade kelvin.
• Além disso, usualmente, o valor 273,15 é arredondado para 273.
Vamos agora comparar a escala Kelvin com a escala Celsius.
Observe a figura.
Primeiramente, notemos que as variações de temperatura são iguais 
nas duas escalas, pois  T
0 273
T
273 0
C K
( )
D
2 2
5
D
2
~ T TC KD 5 D .
De certa forma, esse é um resultado óbvio, já que o tamanho da divi-
são é o mesmo nas duas escalas, por escolha prévia.
Agora vamos comparar as temperaturas em si, e não as variações. 
Tomando como referência 2273 oC 5 0 K, obtemos na equação anterior:
TC 2 (2273) 5 TK 2 0
TK 5 TC 1 273
A disposição dos termos nessa última equação é de fácil lembrança, 
observando que a temperatura na escala Kelvin é sempre superior ao 
valor medido na escala Celsius.
°C K
0 273
–273
∆T
C
∆T
K
0
55CAPÍTULO T1 / Termometria
 Comparação das três principais escalas
Considerando todas as transformações entre as escalas, podemos 
resumir as igualdades colocando lado a lado as três principais escalas.
°C
100 373
212
0 273
32
°F K
∆T
K
∆T
F
∆T
C
Podemos estabelecer as proporções para as variações de temperatura:
T
100
T
180
T
100
C F KD 5
D
5
D
~
T
5
T
9
T
5
C F KD 5
D
5
D
Para os valores de temperatura em si, temos:
T
5
T 32
9
T 273
5
C F K5
2
5
2
3 A escala Rankine foi uma escala absoluta proposta usando como tamanho das divisões (grau) as da 
escala Fahrenheit. Qual é o ponto de fusão do gelo sob pressão normal nessa escala?
Resolução:
Devemos procurar quantas divisões há entre o ponto de fusão do gelo e o zero absoluto na escala 
Fahrenheit. Para tanto, primeiro vamos obter o zero absoluto na escala Fahrenheit, com duas casas 
decimais.
5 9
C FDu 5C F
DuC FDuC F
5
Du
Du 5 °
0 22 20 2
5 9
495 °495 °1,5 °1,5 °675 °675 °F
F
F
( )0 2( )0 22 20 2( )2 20 273( ), 1( )5( )
Assim, a escala Rankine acusa 491,67 R para o ponto de fusão do gelo.
Essa escala chegou a ser usada, sobretudo na Inglaterra, mas caiu em desuso.
Questão resolvida
56 FÍSICA / Frente B
4 Há séculos acostumados com seu sistema de unidades, os ingleses e norte-americanos vão paulatina-
mente absorvendo o SI, e em breve, provavelmente, a escala Fahrenheit deixará de existir. Talvez um dia 
fiquemos somente com a escala Kelvin, a “verdadeira” escala de temperaturas. Imagine sua mãe dizendo: 
“Leve um agasalho, pois a temperatura está muito baixa. A TV anunciou 280 K”. O conselho procede? 
Considere agora um corpo sendo aquecido desde 27 °C até 127 °C.
a) Transforme esses valores para a escala Kelvin.
b) Qual é a variação de temperatura sofrida por esse corpo nas escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin?
Resolução:
a) Para transformarmos da escala Celsius para a escala Kelvin, aplicamos: uK 5 uC 1 273, assim, para 
uC 5 27 °C, temos uK 5 27 1 273 ~ uK 5 300 K.
Para uC 5 127 °C, temos uK 5 127 1 273 ~ uK 5 400 K.
b) De 27 °C até 127 °C temos uma variação de 100 °C e, como a escala Kelvin apresenta a mesma va-
riação da escala Celsius, podemos escrever: DuK 5 DuC 5 100 K.
Para a escala Fahrenheit, temos a seguinte relação: DuF 5 1,8 ? DuC, logo ∆uF 5 1,8 ? 100 ~
~ DuF 5 180 °F.
Questão resolvida
Você como termômetro
Por meio de um simples contato com um objeto, conseguimos perceber o quanto ele está quente ou 
frio. Em alguns casos, o contato nem é necessário; basta nos aproximarmos dele. A sensação térmica está 
relacionada com a transferência de calor, que depende, inclusive, da temperatura do corpo. Além disso, 
ela é relativa, pois depende da situação e da nossa sensibilidade individual.
Materiais
• Recipiente com água fria (mistura de água e gelo);
• Recipiente com água quente. 
Procedimentos
• Com a orientação do professor, mergulhe a mão direita em um recipiente com água fria e a mão esquerda em 
um com água quente, simultaneamente, e mantenha as mãos assim durante alguns minutos. 
• Depois coloque as duas mãos em um mesmo recipiente com água morna e observe o que acontece.
Relate o ocorrido e discuta em sala.
 
 
Experimento
57CAPÍTULO T1 / Termometria
1 UFPR Analise as seguintes afirmações sobre concei-
tos de termologia:
I. Calor é uma forma de energia.
II. Calor é o mesmo que temperatura.
III. A grandeza que permite informar se dois corpos 
estão em equilíbrio térmico é a temperatura.
Está(ão) correta(s) apenas:
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
2 UEM-PR 2018 Com relação aos conceitos de ca-
lor e temperatura e ao princípio geral das trocas 
de calor, assinale o que for correto.
01. O fato de o calor passar de um corpo para outro se 
deve à quantidade de calor existente em cada um.
02. Se dois corpos de materiais diferentes estão 
em equilíbrio térmico entre si, isolados do am-
biente, então se pode afirmar que, nessa situa-
ção, o mais quente fornece calor ao mais frio. 
04. Se três corpos de materiais diferentes estão em 
equilíbrio térmico entre si, isolados do ambien-
te, então se pode afirmar que os três corpos se 
apresentam necessariamente no mesmo esta-
do (sólido, líquido ou gasoso).
08. Se dois corpos de materiais diferentes estão à 
mesma temperatura, então a sensação (apreen-
dida pelo tato) ao tocar nesses corpos deveser 
a mesma.
16. Quando dois corpos de um mesmo material 
(a diferentes temperaturas) são colocados em 
contato entre si, as moléculas do corpo de 
maior temperatura (mais rápidas) transferem 
energia para as moléculas do corpo de menor 
temperatura (mais lentas).
Soma:
3 Uece 2021 Em função da COVID-19, o acesso a lo-
cais públicos fechados tem sido permitido mediante 
a aferição da temperatura corporal da pessoa.
 Considerando o limite superior de 37 oC, assinale a 
opção que corresponde à temperatura que está aci-
ma desse limite.
a) 100,4 oF.
b) 97,7 oF.
c) 309,65 K.
d) 37 K.
4 Uma empresa vende sêmen bovino que é conserva-
do sob temperatura de −195 oC. Ao internacionalizar 
suas operações, percebe que, além de traduzir o tex-
to das orientações sobre como preservar o sêmen, 
precisa utilizar outras unidades de medida. No ma-
nual de conservação do sêmen, a temperatura será 
expressa na escala Celsius, Fahrenheit e Kelvin. Qual 
será o valor da temperatura em que o sêmen tem de 
ser conservado nas escalas Kelvin e Fahrenheit?
5 Fatec-SP Um cientista coloca um termômetro em um 
béquer contendo água no estado líquido. Supondo 
que o béquer esteja num local ao nível do mar, a única 
leitura que pode ter sido feita pelo cientista é
a) −30 K.
b) 36 K.
c) 130 oC.
d) 250 K.
e) 350 K.
Aplicando conhecimentos
58 FÍSICA / Frente B
6 Em determinado país, a diferença entre a máxima 
temperatura do verão e a mínima do inverno anterior 
foi 50 °C. Qual é o valor dessa diferença na escala 
Fahrenheit?
7 UFJF-MG 2020 Em uma aula sobre escalas de tem-
peratura, termômetros sem escala foram fornecidos 
aos alunos de dois grupos. A e B. para que criassem 
suas próprias escalas lineares. Ambos os grupos to-
maram como pontos fixos a fusão do gelo e a ebuli-
ção da água. Para a fusão do gelo, o grupo A atribuiu 
o valor 0, e o grupo B atribuiu o valor 10. Para a ebuli-
ção da água, o grupo A atribuiu o valor 100, e o grupo 
B atribuiu o valor 30. Se a temperatura para o gru-
po A é representada por TA, e para o grupo B ela é 
representada por TB. qual é a relação termométrica 
entre essas duas escalas? 
a) TA 5 100TB 1 20
b) TA5 20TB – 200
c) TA 5 5TB
d) TA5 100TB – 20
e) TA5 5TB – 50
8 IFCE 2019 Um termômetro com defeito está gradua-
do na escala Fahrenheit, indicando 30 oF para o pon-
to de fusão do gelo e 214 oF para o ponto de ebuli-
ção da água. A única temperatura nesse termômetro 
medida corretamente, na escala Celsius, é
a) 158.
b) 86.
c) 122.
d) 50.
e) 194.
9 Mackenzie-SP 2020 Uma escala de temperatura foi 
criada e batizada com o nome “Escala Mackenzie (°M)”. 
Como parâmetros, foram atribuídas as temperaturas 
de –5 °M e 245 °M para os pontos de fusão e ebuli-
ção da água a nível do mar, respectivamente.
A situação descrita acima pode ser observada a par-
tir do gráfico abaixo, que relaciona a escala Macken-
zie com a escala Celsius.
°M
245
100 °C
0
–5
A temperatura, na escala Celsius (oC), que corres-
ponde a 45 oM é de
a) 10.
b) 20.
c) 30.
d) 35.
e) 15.
59CAPÍTULO T1 / Termometria
CONSOLIDANDO SABERES
1 UFSC 2019 O transplante de órgãos é uma impor-
tante tarefa da medicina moderna e exige toda uma 
logística para ser bem-sucedido, desde a retirada do 
órgão do corpo do doador até o seu implante no cor-
po do receptor. Nesse processo, a armazenagem e 
o transporte são primordiais, pois cada órgão pos-
sui um tempo máximo de preservação fora do corpo 
que depende da temperatura de armazenagem. Por 
exemplo, o coração armazenado a uma temperatura 
de 39,2 oF pode ser preservado por cerca de 4 ho-
ras, aproximadamente; os rins armazenados a uma 
temperatura de 4 oC podem ser preservados por 
48 horas, aproximadamente. 
Sobre o assunto abordado e com base no exposto 
acima, é correto afirmar que: 
01. O tempo no transporte do órgão é um fator 
importante para o sucesso do transplante. 
02. A temperatura de armazenamento do coração 
é superior à temperatura de armazenamento 
dos rins. 
04. Os rins e o coração, quando preservados a 
4 oC, terão a mesma quantidade de calor ar-
mazenado. 
08. Se o recipiente de armazenamento dos órgãos 
for adiabático, trocará mais calor com o meio 
do que se o recipiente for não adiabático. 
16. A temperatura de armazenamento do coração 
é de 277 K.
Soma: 
2 Acafe-SC Nos noticiários, grande parte dos apre-
sentadores da previsão do tempo expressam, er-
roneamente, a unidade de temperatura em graus 
centígrados.
A maneira de expressar corretamente essa unidade é:
a) Celsius, pois não se deve citar os graus.
b) graus Kelvin, pois é a unidade do sistema inter-
nacional.
c) Centígrados, pois não se deve citar os graus.
d) graus Celsius, pois existem outras escalas em 
graus centígrados.
e) graus Fahrenheit, pois é a unidade do sistema in-
ternacional.
3 PUC-SP 2016 O Slide, nome dado ao skate futuris-
ta, usa levitação magnética para se manter longe do 
chão e ainda ser capaz de carregar o peso de uma pes-
soa. É o mesmo princípio utilizado, por exemplo, pelos 
trens ultrarrápidos japoneses. 
 Para operar, o Slide deve ter a sua estrutura 
metálica interna resfriada a temperaturas baixíssi-
mas, alcançadas com nitrogênio líquido. Daí a “fu-
maça” que se vê nas imagens, que, na verdade, é o 
nitrogênio vaporizando novamente devido à tem-
peratura ambiente e que, para permanecer no es-
tado líquido, deve ser mantido a aproximadamen-
te −200 graus Celsius. Então, quando o nitrogênio 
acaba, o skate para de “voar”.
 
Fumaça que aparenta sair do skate, na verdade, é nitrogênio em 
gaseificação.
Fonte: www.techtudo.com.br/noticias/noticia/2015/07/
comofunciona-o-skate-voador-inspirado-no-filme-de-volta-
para-o-futuro2.html. Consultado em: 03/07/2015
Com relação ao texto, a temperatura do nitrogênio 
líquido, −200 oC, que resfria a estrutura metálica in-
terna do Slide, quando convertida para as escalas 
Fahrenheit e Kelvin, seria respectivamente: 
a) −328 e 73. 
b) −392 e 73. 
c) −392 e −473. 
d) −328 e −73. 
4 IFCE 2020 O Sol é o objeto mais proeminente em 
nosso sistema solar. É o maior objeto e contém apro-
ximadamente 98% da massa total do sistema solar. 
A camada externa visível do Sol é chamada fotosfe-
ra e tem uma temperatura de 6 000oC. Essa camada 
tem uma aparência turbulenta devido às erupções 
energéticas que lá ocorrem. 
Disponível em: <https:// if.ufrgs.br/ast/solar/portug/sun.htm#intro>. 
Acesso em: 22 out. 2019. (Adaptado). 
Lendo o texto acima, um estudante norte-americano 
que resolve calcular a temperatura da superfície so-
lar na escala Fahrenheit obterá o valor
a) 10 816.
b) 10 632.
c) 10 800.
d) 10 732.
e) 10 832.
5 UFF-RJ Um turista brasileiro, ao desembarcar no ae-
roporto de Chicago, observou que o valor da tem-
peratura lá indicado, em oF, era um quinto do valor 
correspondente em oC.
O valor observado foi:
a) −2 oF.
b) 2 oF.
c) 4 oF.
d) 0 oF.
e) −4 oF.
D
iv
u
lg
aç
ão
/L
e
xu
s
60 FÍSICA / Frente B
6 IFCE 2019 Qualquer pessoa pode construir sua pró-
pria escala de temperaturas. Suponha que a esca-
la Nunes seja construída levando em consideração 
os valores 7 oN e 27 oN para os pontos de fusão e 
ebulição da água, respectivamente. Se existir, a tem-
peratura coincidente na escala Nunes e Celsius será 
a) 4,25.
b) 8,75. 
c) 3,75.
d) 2,25.
e) 1,75 
7 Um pesquisador construiu uma escala termométrica X 
utilizando álcool colorizado colocado dentro de um 
reservatório ligado a um tubo capilar de vidro. No 
ponto de fusão do gelo, sob pressão de 1 atm, a co-
luna de álcool atingiu 20 cm e no ponto de ebulição 
da água, também sob pressão de 1 atm, a coluna de 
álcool atingiu 30 cm. A esses pontos o pesquisador 
atribuiu os valores 10 oX e 60 oX, respectivamente. 
Determine a relação entre a temperatura em oX e a 
altura da coluna de álcool (h).
8 ITA-SP Para medir a febre de pacientes, um estu-
dante de medicina criou sua própria escala linear de 
temperaturas. Nessa nova escala, os valores de 0 
(zero) e 10 (dez) correspondem, respectivamente, a 
37 oC e 40 oC. A temperatura demesmo valor numé-
rico em ambas as escalas é aproximadamente:
a) 52,9 oC.
b) 28,5 oC.
c) 74,3 oC.
d) −8,5 oC.
e) −28,5 oC.
9 Mackenzie-SP Um profissional, necessitando efetuar 
uma medida de temperatura, utilizou um termômetro 
cujas escalas termométricas inicialmente impressas 
ao lado da coluna de mercúrio estavam ilegíveis. Para 
atingir seu objetivo, colocou o termômetro inicialmente 
numa vasilha com gelo fundente, sob pressão normal, 
e verificou que no equilíbrio térmico a coluna de mer-
cúrio atingiu 8,0 cm. Ao colocar o termômetro em con-
tato com água fervente, também sob pressão normal, 
o equilíbrio térmico se deu com a coluna de mercúrio 
atingindo 20,0 cm de altura. Se nesse termômetro uti-
lizarmos as escalas Celsius e Fahrenheit e a tempera-
tura a ser medida for expressa pelo mesmo valor nas 
duas escalas, a coluna de mercúrio terá altura de
a) 0,33 cm.
b) 0,80 cm.
c) 3,2 cm.
d) 4,0 cm.
e) 6,0 cm.
10 Inatel-MG O diagrama abaixo fornece a relação en-
tre as temperaturas Ta e Tb de duas escalas termo-
métricas A e B. Qual é a temperatura correspondente 
a 30 oA na escala b?
T
b
T
a
20
–40 0
a) 35 oB;
b) −35 oB;
c) 20 oB;
d) −40 oB;
e) nenhuma dessas temperaturas.
11 PUC-SP O gráfico representa a relação entre a tem-
peratura medida em uma escala de temperatura 
hipotética W e a temperatura medida na escala 
Celsius, sob pressão normal.
20
40
0
t
c
 (°C)
t
w
 (°W)
–40
A temperatura de fusão do gelo e a de ebulição da 
água são, em graus W, respectivamente iguais a
a) –40 e 40. 
b) –40 e 110. 
c) 20 e 110. 
d) –40 e 100. 
e) 20 e 100.
O físico escocês William John Macquorn Rankine 
propôs, em 1859, uma escala de temperatura abso-
luta que foi denominada escala Rankine (símbolo R, 
Ra), em sua homenagem. Assim como a escala 
 Kelvin, o valor 0 Ra é o zero absoluto, porém a va-
riação do rankine é definida como sendo igual a um 
grau Fahrenheit.
a) Determine a relação de conversão entre a escala 
Fahrenheit e a escala Rankine.
b) Um norte-americano (estadunidense) não habitua-
do com a escala Celsius faz a conversão soman-
do uma determinada quantidade x ao valor lido 
em Celsius e depois multiplica o resultado por 2 
para encontrar o valor em Fahrenheit. Quando a 
temperatura é 20 oC, o resultado é exato. Qual é 
o valor de x?
c) Qual é o erro porcentual da temperatura conver-
tida encontrada, se a temperatura for de 65 oC?
SUPERAÇÃO
T2
CAPÍTULO
R
a
d
u
 B
e
rc
a
n
/S
h
u
tt
e
rs
to
c
k
.c
o
m
Calor sensível
Vista aérea de praia em dia de sol.
• A areia seca e a areia molhada mencionadas no texto estão sob a mesma temperatura?
• Onde geralmente é mais fácil correr: na areia seca e fofa ou na areia molhada?
• Repare que raramente uma pipa cai na água. Para que isso não aconteça, qual deve ser o sentido 
do vento?
 Neste capítulo, serão abordadas as habilidades EM13CNT101 e EM13CNT102.
Um dia de folga na praia proporciona muitas aventuras. Nos permite também constatar a variedade de 
temperaturas dos objetos ao nosso redor.
A areia seca fica tão quente que é quase impossível caminhar sobre ela descalço, mas, quando atingi-
mos a areia úmida, caminhamos nela sem desconforto.
Pessoas aproveitam seus picolés frios, bebidas geladas, enquanto outros comem salgadinhos quentes.
Alguns se protegem sob os guarda-sóis, enquanto outros vão se bronzeando sob a radiação solar.
Esportes na praia são muito prazerosos, incluindo desde pequenas corridas até o vôlei, jogado com os 
pés ou com a mãos.
Fazer castelos de areia e empinar pipas também são diversões apreciadas por crianças e adultos.
Há contratempos, como ataque de pernilongos, bronzeado de zebra por passar irregularmente o prote-
tor solar e ventanias arrastando pertences, mas eles acabam temperando as boas lembranças.
62 FÍSICA / Frente B
 Calor: energia em trânsito
Em um dia de verão muito quente, uma pessoa liga o condicionador de ar para melhorar o conforto climático 
do ambiente. Com isso, ela consegue bombear calor de dentro da sala que está mais amena para o ambiente 
externo, que está mais quente, com certo consumo de energia. Nas regiões mais quentes, a geladeira doméstica 
realiza a mesma tarefa.
Os sistemas em geral têm energia térmica – dada pela agitação de suas partículas –, mas não contêm calor. 
O calor é a energia que flui espontaneamente do corpo mais quente para o corpo mais frio (ou menos quente).
Vale lembrar, entretanto, que a energia térmica disponível em um litro de água a 100 °C é maior que a energia 
térmica disponível na água, também a 100 °C, que está em uma pequena xícara. Ambos os corpos estão à mesma 
temperatura, mas a quantidade de energia (isto é, calor) que devem ceder para atingir a temperatura ambiente é 
bem diferente. Dizemos que esses dois sistemas têm diferentes capacidades térmicas.
 Fenômenos térmicos sem mudança de fase
Inicialmente, vamos analisar os fenômenos térmicos sem considerar as energias envolvidas durante as mu-
danças de fase, isto é, sem considerar processos como o derretimento do gelo ou a fundição de uma peça de 
chumbo.
Capacidade térmica de um corpo
Uma das formas de se transmitir o calor é pelo contato direto do corpo com uma chama.
Consideremos dois corpos de mesma massa expostos a uma mesma chama durante o mesmo intervalo de 
tempo. Um deles é um bloco de ferro e o outro, um recipiente contendo 1 litro de água. Ambos têm 1 kg. Se esse 
bloco de ferro ficar exposto à chama de um fogão comum durante dois minutos, por exemplo, ele atinge uma 
temperatura tão elevada que será quase impossível apanhá-lo diretamente com a mão. Entretanto, se o litro de 
água receber a mesma quantidade de calor, teremos água morna. Embora os dois corpos tenham a mesma mas-
sa, eles têm comportamentos térmicos diferentes. 
Dois corpos de 1 kg cada recebendo a mesma quantidade de calor (considere que cada um deles não troca calor com o ambiente, isto é, 
são sistemas isolados). 
Esses corpos, ao receberem quantidades de calor iguais, experimentaram variações de temperatura 
diferentes.
Dizemos que dois corpos são termicamente equivalentes quando, ao trocarem (cederem ou receberem) 
a mesma quantidade de calor, sofrem a mesma variação de temperatura, ou, em outras palavras, dois corpos 
são termicamente equivalentes quando possuem a mesma capacidade térmica. Assim, definimos capacidade 
térmica de um corpo como a razão entre a quantidade de calor recebida e a correspondente variação
de temperatura:
C Q5
Du
63CAPÍTULO T2 / Calor sensível
A capacidade térmica se refere sempre a um corpo ou a uma quanti-
dade de matéria, mas não a uma substância, e é uma grandeza sempre 
positiva.
No sistema usual da calorimetria a unidade para quantidade de calor 
é a caloria, que definiremos adiante. Como a variação de temperatura é 
usualmente medida na escala Celsius, é comum a utilização da unidade 
de capacidade térmica como calorias
grau Celsius
cal
C
5
°
.
1 Considere dois corpos, A e B, de mesma massa, mas com capacidades térmicas diferentes, sendo
CA 5 20 cal/°C e CB 5 300 cal/°C.
a) Se os dois corpos sofrerem a mesma variação de temperatura, qual deles receberá maior quantidade 
de calor?
b) Se os dois corpos receberem a mesma quantidade de calor, qual deles experimentará a maior va-
riação de temperatura?
Resolução:
a) Como C Q5
Du
, então Q
C
Du 5 . Além disso, DuA 5 DuB 5 Du, logo 
Q
C
Q
C
A
A
B
B
5 , resultando em 
Q
20
Q
300
A BQA B5A BA B ~
Q
Q
1
15
A
B
5 . Assim, o corpo B, de maior capacidade térmica, necessita de quinze ve-
zes o calor trocado pelo corpo A para sofrer a mesma variação de temperatura que o corpo A sofreu.
b) A quantidade de calor recebida pode ser calculada por Q 5 C ? Du, assim, CA ? DuA 5 CB ? DuB, resul-
tando em 20 ? DuA 5 300 ? DuB ~ 15
A
B
Du
Du
5 .
A variação de temperatura sofrida pelo corpo A é 15 vezes a sofrida pelo corpo B, com a mesma 
quantidade de calor. O corpo de menor capacidade térmica sofre maior variação de temperatura.
Em suma, quanto menor for a capacidade térmica de umcorpo (ou sistema), menos calor será ne-
cessário para produzir determinada variação de temperatura.
Calor específico de uma substância
A capacidade térmica, além de depender da quantidade de matéria, 
depende também da substância que constitui o corpo. Com o intuito de 
diferenciar as substâncias, foi definida uma grandeza para medir a capa-
cidade térmica por unidade de massa, chamada de calor específico.
Por definição, o calor específico é dado por:
c C
m
5
As unidades de medida no sistema usual da calorimetria são: 
caloria
C
/ grama cal
g C°
5
? °
.
Perceba que o sistema usual não utiliza as unidades padrão do SI. 
Mesmo os nomes das grandezas definidas não são adequados de acor-
do com a concepção atual de energia térmica. Por exemplo, o termo 
“calor específico” parece sugerir que cada grama da substância contém 
uma determinada quantidade de calor, mas sabemos que isso não é uma 
concepção correta. Entretanto, consagrado pelo uso, o nome da grande-
za permanece atrelado à sua origem histórica, a despeito do fato de ela 
medir, de fato, a capacidade térmica específica.
Questão resolvida
64 FÍSICA / Frente B
A unidade padrão no SI para energia é o joule (J), mas historicamente 
se utilizou como substância padrão a água, e por isso o calor específico da 
água é exatamente 1 cal/(g · °C).
Uma caloria é a quantidade de calor necessária 
para mudar de 1 °C a temperatura de 1 g de água.
A tabela ao lado apresenta os calores específicos de algumas subs-
tâncias em temperaturas ordinárias. Os valores referentes à fase gasosa 
se restringem a um volume constante.
Observações sobre o calor específico:
• Mede a “inércia térmica” que a substância tem, em relação às varia-
ções de temperatura ao trocar calor, por unidade de massa.
• Depende da substância, mas não da massa do corpo.
• Depende do estado de agregação da matéria. Assim, por exem-
plo, o carvão e o diamante, embora sejam compostos apenas por 
carbono, têm calores específicos diferentes, assim como a água 
líquida e o gelo.
• Embora consideremos um valor constante, o calor específico tem pe-
quenas variações de acordo com a temperatura.
• A água líquida é uma substância de alto calor específico.
Relembrando:
• Capacidade térmica é uma característica de um corpo, sistema ou 
quantidade de matéria.
• Calor específico é uma característica da substância.
 Equação do calor sensível
Por ora, estamos considerando os corpos trocando calor sem sofre-
rem mudança de fase. Nessa condição, se o corpo receber calor, sua 
temperatura aumenta e, se ele ceder calor, sua temperatura diminui. Es-
ses processos são perceptíveis (sensíveis) pelo uso de um termômetro, e 
por isso o calor é chamado de calor sensível.
As definições e conceitos se aplicam a sólidos, líquidos e gases. No 
caso dos gases, vamos considerar o volume constante. 
Os volumes dos gases podem variar muito com a temperatura, e pode 
haver troca de energia na forma de trabalho mecânico, além dos proces-
sos térmicos. Esses casos são analisados sob o aspecto da Termodinâmi-
ca, que estudaremos mais adiante.
Analisando a capacidade térmica de um sistema, temos que C Q5
Du
. 
Por outro lado, sabemos também que c C
m
C mc5 ~ 5 . Igualando-se 
esses dois resultados, obtemos: Q mc
Du
5 . Então:
Q 5 m ? c ? Du
Essa última equação reúne em uma igualdade todos os conceitos e 
definições descritos até aqui.
Um resultado que está implícito na expressão do calor sensível é o 
do valor algébrico da quantidade de calor. A variação de temperatura 
(diferença entre a temperatura final e a inicial) é positiva quando o corpo 
recebe calor e negativa no caso contrário.
CALORES ESPECÍFICOS DE 
ALGUMAS SUBSTÂNCIAS
Substância c [cal/(g ? °C)]
Água 1,00
Álcool (etílico) 0,58
Alumínio 0,215
Chumbo 0,0305
Cobre 0,0923
Gelo (−10 °C) 0,49
Mercúrio 0,033
Ouro 0,0301
Prata 0,0558
Tungstênio 0,0321
Vapor (a 1 atm) 0,048
Vidro 0,20
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cien-
tistas e engenheiros. v. 1. 6. ed. LTC. Adaptado.
Mais tarde, medidas mais 
precisas mostraram que o 
calor específico da água 
tem pequenas variações de 
acordo com a temperatura, 
e a definição de caloria foi 
aprimorada, determinando 
que a variação de 1 °C
deve ser entre
14,5 °C e 15,5 °C.
ligado
Fique
65CAPÍTULO T2 / Calor sensível
No sistema usual da Calorimetria, as unidades obedecem 
à regra:
Q cal
m g
C
[ ]
[ ]
[ ]∆





5
5
u 5 °
 e, portanto, c cal
g C
[ ] 5
? °
.
CONVENÇÃO DE SINAIS Q
Valor algébrico 
de Q
Variação de 
tempe ratura
Calor 
recebido
 Q > 0 Du > 0
Calor 
cedido
Q < 0 Du < 0
A água como estabilizador climático
Na abertura deste capítulo, comentamos o fato de a areia seca da praia estar muito mais quente que a areia 
úmida, embora ambas estejam expostas à mesma radiação solar.
Ocorre que o calor específico da areia é praticamente cinco vezes menor que o da água e, portanto, a areia vai 
esquentar bem mais, isto é, ela sofre maior variação de temperatura para a mesma quantidade de calor recebida.
Há cidades com alta umidade relativa do ar, conforme a quantidade e o volume de rios que a rodeiam, como é o 
caso de Manaus. A “inércia térmica” da água faz com que as amplitudes térmicas sejam menores, ou seja, as diferen-
ças entre as temperaturas máximas e mínimas são menores. No caso de Manaus, até as noites são muito quentes.
No planejamento e construção de Brasília, nossa capital, esse fator foi levado em conta e grandes lagos arti-
ficiais foram construídos, assim como vários espelhos de água em muitos edifícios, visando melhorar a umidade 
e reduzir as amplitudes térmicas.
Nos desertos de areia, as temperaturas durante o dia são muito altas, mas, com a pouca presença da água, 
as noites são muito frias.
Considerando o planeta como um todo, com quase 3/4 de água cobrindo a superfície, é a água um dos fato-
res que colabora para equilibrar as temperaturas entre o dia e a noite e mesmo para mitigar as grandes variações 
de temperatura ao longo das estações do ano. Em cidades à beira-mar, por exemplo, situadas a médias latitudes, 
o clima é mais amigável, porque elas compartilham a grande capacidade térmica dos oceanos.
 Trocas de calor
As trocas de calor terão impacto na temperatura dos corpos, mas as variações de temperatura vão depender 
da capacidade térmica dos corpos que participam do processo.
Fluxo de calor
As trocas de calor ocorrem em determinados intervalos de tempo. Podem ser mais rápidas ou mais lentas. Para 
medir com que rapidez se processa a transferência de calor, define-se o fluxo de calor por:
Q
t
f 5
D
2 Em um experimento de Calorimetria, são utilizados um bloco de cobre e determinada quantidade de água.
a) Qual a quantidade de calor que deve ser fornecida a 500 g de água a 20 °C para que sua tempe-
ratura atinja 80 °C?
b) Se essa mesma quantidade de calor fosse fornecida a um bloco de cobre de 500 g, também inicial-
mente a 20 °C, qual a temperatura que ele atingiria? Considere o calor específico do cobre como 
0,1 cal/(g ? °C).
Resolução:
a) Q 5 m ? c ? Du
Q 5 500 ? 1 ? (80 2 20) ~ Q 5 30  000 cal ou Q 5 30 kcal
b) Q 5 m ? c ? Du
30  000 5 500 ? 0,1 ? (u 2 20) ~ u 5 620 °C
Como o calor específico da água, 1 cal/(g ? °C), é dez vezes o calor específico do cobre, 
0,1 cal/(g ? °C), a variação de temperatura da água, 60 °C, é 1/10 da variação de temperatura sofrida 
pelo cobre, 600 °C, considerando a mesma massa.
Questão resolvida
66 FÍSICA / Frente B
No SI, a unidade é 
energia
tempo
joule
segundo
watt[ ]
[ ]
[ ]
f 5 5 5 , ou seja, é uma 
unidade de potência, no caso, a potência térmica da fonte.
No sistema usual da Calorimetria, a unidade de fluxo de calor é cal/s.
Sistema isolado termicamente
Um sistema isolado termicamente é um conjunto de corpos que ape-
nas trocam calor entre si, ou seja, esse sistema não recebe nem cede 
calor de outras fontes.
Considerando que sejam apenas dois corpos, A e B, e estando A ini-
cialmente mais quente, todo calor cedido por A será recebidopor B.
Em módulo, podemos escrever: |QA| 5 |QB|, mas, considerando a con-
venção de sinais em relação ao calor recebido e cedido, temos: QB 5
5 2QA e, portanto, QA 1 QB 5 0.
Se o sistema for constituído por três ou mais corpos, o resultado ante-
rior pode ser generalizado pelo somatório de todos os calores trocados 
no sistema isolado:
Q 0i
i 1
n
∑ 5
5
Na expressão anterior, n representa o número de corpos.
Caso haja trocas de calor também com o ambiente, essa troca pode 
ser incorporada na equação, obtendo-se:
Q Q 0i
i 1
n
ambiente∑ 1 5
5
Como, por ora, estamos considerando apenas trocas de calor 
sem mudança de fase e sem intervenção de trabalho mecânico, cada 
um dos calores envolvidos no somatório pode ser calculado por: 
Q 5 mc ? Du.
3 Um sistema de refrigeração utiliza-se de uma serpentina por onde circulam 12,5 kg/min de um óleo 
que entra na serpentina pelo ponto D, a 120 °C, e sai pelo ponto C. O calor específico desse óleo é 
0,8 cal/(g ? °C). Pelo tubo que envolve a serpentina passam 30 litros de água por minuto, que entram a 
20 °C pelo ponto B e saem a 50 °C pelo ponto A. Despreze as trocas de calor com o ambiente e indi-
que se é certa (C) ou errada (E) cada uma das afirmativas seguintes, justificando a sua escolha.
I. O fluxo de água recebe 900 kcal por minuto.
II. O fluxo de óleo cede 1  000 kcal por minuto.
III. A temperatura do óleo na saída C é 30 °C.
Pode-se afirmar que:
a) apenas I é correta.
b) apenas I e II são corretas.
c) apenas I e III são corretas.
d) apenas II e III são corretas.
e) I, II e III são corretas.
120 °C
20 °C
50 °C
óleo
água
C
D
A
B
Sistema termicamente isolado
BA
Questão resolvida
67CAPÍTULO T2 / Calor sensível
Calorímetro
O calorímetro é um recipiente cuja função é propiciar um ambiente termicamente isolado para que possamos 
estudar as trocas de calor.
A popular garrafa térmica, usada para manter bebidas quentes ou frias por longo tempo, é um exemplo razo-
ável. Se ela cumpre sua função, está mantendo o seu interior termicamente isolado.
No entanto, se colocarmos o café bem quente na garrafa térmica e medirmos a temperatura logo depois, 
veremos que o café esfriou um pouco. As paredes da garrafa e sua tampa constituem um segundo corpo, que 
vai trocar calor com o café que lá introduzimos, e isso vai acarretar pequena perda na temperatura da bebida. Os 
usuários mais experientes procuram aquecer todo o interior da garrafa, despejando a água fervendo remanes-
cente do preparo do café no interior dela e retirando-a antes de pôr o café. Isso vai aquecer as paredes e resultar 
em menor redução de temperatura ao confinarmos o café dentro da garrafa.
calorímetro usual
termômetro
orifício
isopor
alumínio
ou cobre
corpos
trocando
calor
líquido
Um calorímetro simples.
O fato é que o calorímetro em si tem paredes e tampa, possui determinada capacidade térmica e participa 
das trocas de calor que nele acontecem, o que parece uma má notícia.
Mas a boa notícia é que essa capacidade térmica pode ser facilmente medida, e depois levada em conta nos 
experimentos futuros. Um exemplo é apresentado na próxima questão resolvida.
Os calorímetros mais sofisticados possuem já em seu corpo a demarcação de sua capacidade térmica, para 
que o pesquisador use esse dado em seus cálculos.
Equilíbrio térmico em sistema isolado
Consideremos que vamos colocar vários corpos, com diferentes temperaturas, em um ambiente termicamen-
te isolado e aguardar o equilíbrio térmico.
Resumindo:
Sistema isolado ^ Q 0i
i 1
n
∑ 5
5
Equilíbrio térmico ^ ui 5 uequilíbrio (i 5 1, ..., n)
Resolução:
Alternativa: C
Afirmativa I: correta. Em 1 minuto, a quantidade de água que atravessa a serpentina é 30 kg 5 30 000 g, 
e a correspondente variação de temperatura é (50 – 20) °C 5 30 °C.
Como Q 5 mc ? Du, temos Q 5 30  000 ? 1 ? 30 ~ Q 5 900  000 cal 5 900 kcal.
Em termos de fluxo: 900 cal
min
f 5
Afirmativa II: incorreta. Se consideramos a troca de calor exclusivamente entre esses dois fluidos, o 
calor recebido pela água corresponde, em módulo, ao calor cedido pelo óleo, ou seja, 900 kcal.
Afirmativa III: correta. Como Q 5 mc ? Du e Qóleo 5 −900  000 cal (calor cedido), temos: 
−900  000 5 12  500 · 0,8 · (u 2 120), logo u 2 120 5 −90 ~ u 5 30 °C
68 FÍSICA / Frente B
4 Um calorímetro está há bastante tempo em equilíbrio térmico com o ambiente a 20 °C. Um pesquisa-
dor, desconhecendo a capacidade térmica do calorímetro, despeja nele 80 g de água a 80 °C, fecha 
a tampa, agita e espera um pouco até o equilíbrio térmico. O pesquisador constata que a temperatura 
final da água é 68 °C. Qual é a capacidade térmica desse calorímetro? Dado: cágua 5 1 cal/(g ? °C).
Resolução:
Como QA 1 QB 5 0, considerando que A seja o calorímetro, de modo que QB 5 mcDu e QA 5 CADu, 
então:
CA ? (68 2 20) 1 80 ? 1 ? (68 2 80) 5 0
CA ? 48 5 80 ? 12
Portanto, CA 5 20 cal/°C.
A quantidade de água que teria essa capacidade térmica é de 20 g.
 Experimento de Joule 
O cientista britânico James Prescott Joule (1818-1889) conhecia as conjecturas do Conde de Rumford sobre 
equivalência entre trabalho mecânico e energia térmica, como descrevemos no capítulo T1. Rumford estava intri-
gado com o aquecimento das peças ao usinar tubos de canhão.
Cuidadosamente, Joule elaborou um experimento para corroborar a concepção do calor como uma energia 
em trânsito, cuja descrição foi publicada em 1843. 
Joule realizou diversos experimentos na busca do equivalente mecânico do calor. Por volta de 1840, inventou 
um recipiente com água, isolado termicamente, no qual colocou um sistema de pás que podiam agitar a água. 
As pás giravam acionadas por blocos pendentes cujas massas eram conhecidas. A energia fornecida à água 
corresponde à variação de energia potencial dos blocos que desciam. Essa experiência, repetida várias vezes, 
comprovou que para cada unidade de energia mecânica fornecida existe uma mesma quantidade de calor asso-
ciada: a água era aquecida devido à rotação das pás.
10
20
40
50
60
70
80
90
Figura conceitual sobre o aparato de Joule utilizado para determinar a equivalência mecânica do calor.
A obsessão de Joule por esse resultado era tanta que teve o cuidado de levar um grande e preciso termôme-
tro em sua bagagem de lua de mel, em 1847, para Chamonix (França). Lá havia uma cachoeira, onde ele esperava 
constatar 0,2 °C de aumento na temperatura da água após a queda.
A importância histórica do trabalho de Joule reside no fato de ela unificar dois setores anteriormente separa-
dos da Física, a Calorimetria e a Mecânica. Assim, fica clara a seguinte afirmação:
A unidade caloria nada mais é que uma unidade de energia.
Questão resolvida
69CAPÍTULO T2 / Calor sensível
Com a evolução dos instrumentos de medida e a melhoria dos experimentos, o Escritório Internacional de 
Pesos e Medidas resolveu definir como padrão:
1 caloria 5 4,1868 joules (exatamente)
Essa definição está em vigor desde 1948.
Nos cálculos rotineiros, é comum a aproximação: 1 cal 5 4,2 J.
No campo teórico, Julius Robert Mayer havia mostrado em 1841 uma relação para o equivalente mecânico do calor, 
mas seu trabalho teve pouca repercussão. Ele e Joule calcularam, por caminhos diferentes, a exata quantidade de 
trabalho necessária para produzir aumento da quantidade de calor.
Mayer, baseado na teoria, e Joule, nos experimentos, chegaram à verdadeira natureza do calor: uma forma 
de energia. 
Carros a álcool ou 
gasolina?
Considere dois automóveis 
idênticos, sendo um alimentado a 
gasolina, e outro, a álcool. Suponha 
que o aproveitamento de energia 
é 10% superior no carro puramente 
a álcool. Se o automóvel a gasolina 
perfaz, em média, 
10 km/L, de quanto combustível 
precisará o abastecido a álcool, 
em L?
Abaixo de que percentual do preço 
da gasolina, por litro, se torna 
interessante economicamente o 
uso do álcool?
Dados: a densidade do álcool 
hidratado é 0,81 kg/L e a da 
gasolina é 0,79 kg/L.
Discussão em sala
COMBUSTÍVEL
CALOR DE 
COMBUSTÃO 
(cal/g)
Gás natural 11 270 a 12480
Gás hidrogênio 28 730 a 33 980
Gasolina 
convencional
10 380 a 11 120
Óleo diesel 10 230 a 10 940
Etanol 6 440 a 7 130
Lenha 4 670 a 4 920
Valores aproximados, calculados com base na 
tabela Heating Values of Hidro gen and Fuels, 
disponível em: <https://chemeng.queensu.ca/
courses/CHEE332/files/ethanol_heating-values.
pdf>. Acesso em: 8 jul. 2019. 
ALIMENTO VALOR ENERGÉTICO (kcal/100 g)
Arroz tipo 1 cozido 128
Macarrão instantâneo 436
Pão de trigo francês 300
Abóbora cabotiá cozida 48
Alface americana crua 9
Batata frita, tipo chips, industrializada 543
Banana-nanica 92
Contra-filé bovino com gordura, 
grelhado
278
Para se obter o valor energético em unidades de cal/g, basta multiplicar os valores por 10. O cálculo do valor 
energético de cada alimento considerou o calor de combustão e a disgestibilidade. Para detalhes, 
consultar a Tabela Brasileira de Composição de Alimentos – TACO, disponível em: <www.cfn.org.br/
wp-content/uploads/2017/03/taco_4_edicao_ampliada_e_revisada.pdf>. Acesso em: 8 jul. 2019. 
 Calor de combustão
Todos os organismos vivos necessitam de energia para a sua sobrevi-
vência. No caso dos animais, a principal fonte de energia é a alimentação. 
O homem, através da alimentação, ingere proteínas, gorduras, vitaminas, 
carboidratos e uma quantidade de energia necessária para a realização 
de todas as suas atividades diárias. 
O mesmo podemos dizer das máquinas e motores. Para que possam 
realizar trabalho, eles necessitam de energia, e, nestes casos, a principal fon-
te de energia é o combustível. Os combustíveis, assim como os alimentos, 
contêm energia que pode ser liberada e utilizada por outros mecanismos.
A energia contida nos alimentos e nos combustíveis pode ser medida 
através da queima (combustão). A combustão é uma reação exotérmica 
(liberação de calor) de uma substância com o oxigênio. Assim, a queima 
de 1 g de uma determinada substância libera uma quantidade de calor, 
denominada calor de combustão:
Calor de combustão é a quantidade de energia liberada 
na queima de uma substância, por unidade de massa.
Usualmente, o calor de combustão é apresentado em cal/g.
As tabelas a seguir apresentam os calores de combustão de alguns 
alimentos e combustíveis.
Nos alimentos, é comum encontrarmos a abreviação Cal, também 
chamada de “caloria grande”, sendo 1 Cal 5 1 kcal.
70 FÍSICA / Frente B
1 Os gráficos a seguir mostram a curva da temperatu-
ra em função da quantidade de calor fornecida para 
o aquecimento do ferro e do alumínio para duas 
amostras de cada. No gráfico 1, temos o resultado 
de duas amostras, uma de ferro e outra de alumí-
nio, cada uma de 100 g. No gráfico 2, temos também 
o resultado de duas amostras, uma de ferro e outra 
de alumínio, mas de 50 g cada uma. Com base nos 
gráficos, complete, na tabela a seguir, os valores das 
capacidades térmicas e dos calores específicos.
θ (oC)
Q (cal)
10
20
30
40
50
60
27555 110 165 220
Gráfico 1 – massa = 100 g
80
70
θ (oC)
Q (cal)
10
20
30
40
50
60
27555 110 165 220
Gráfico 2 – massa = 50 g
80
70
• Energy2D.
Aplicativo para visualizar o fluxo de calor a partir de um sólido aquecido 
(Mac e Windows). Disponível em: <http://p.p4ed.com/KCRXB>. 
Acesso em: 03 dez. 2019.
• Capacidade Térmica de um Calorímetro, Prof BrunoZiSc.
Vídeo sobre como determinar a capacidade térmica de um calorímetro. 
Disponível em: <http://p.p4ed.com/KCRXN>. 
Acesso em: 03 dez. 2019.
Mais
Aplicando conhecimentos
MASSA CORPO DE FERRO
CORPO DE 
ALUMÍNIO
100 g
C100g Fe 5
cFe 5
C100g AL 5
cAL 5
50 g
C50g Fe 5
cFe 5
C50g AL 5
cAL 5
2 No sistema usual da Calorimetria, o calor específico da 
água é 1 cal/g °C e o da areia de praia, 0,20 cal/g °C.
a) Qual é a quantidade de calor necessária para ele-
var a temperatura de 1 kg de água de 50 °C?
b) Se a quantidade de calor calculada no item ante-
rior for fornecida a 1 kg de areia, qual a variação 
de temperatura que seria observada?
c) Qual é o equivalente em água para essa massa 
de areia?
3 Uerj 2018 Em um estudo sobre fenômenos térmi-
cos, foram avaliados quatro objetos distintos, cujos 
valores de massa m, de quantidade de calor Q e de 
variação de temperatura Du estão apresentados na 
tabela abaixo.
OBJETO m (g) Q (cal) DU (oC) 
I 20 100 10
II 30 120 20
III 60 150 10
IV 40 180 15
71CAPÍTULO T2 / Calor sensível
Com base nesses dados, o objeto com o maior calor 
específico está identificado pelo seguinte número: 
a) I
b) II
c) III
d) IV
4 EEAR-SP 2019 Duas porções de líquidos, A e B, de 
substâncias diferentes, mas de mesma massa, apre-
sentam valores de calor específico respectivamente 
iguais a 0,58 cal/g · °C e 1,0 cal/g · °C. Se ambas rece-
berem a mesma quantidade de calor sem, contudo, 
sofrerem mudanças de estado físico, podemos afir-
mar corretamente que: 
a) a porção do líquido A sofrerá maior variação de 
temperatura do que a porção do líquido B. 
b) a porção do líquido B sofrerá maior variação de 
temperatura do que a porção do líquido A. 
c) as duas porções, dos líquidos A e B, sofrerão a 
mesma variação de temperatura. 
d) as duas porções, dos líquidos A e B, não sofrerão 
nenhuma variação de temperatura. 
5 EEAR-SP 2018 Um corpo absorve calor de uma fon-
te a uma taxa constante de 30 cal/min e sua tempera-
tura (T) muda em função do tempo (t) de acordo com 
o gráfico a seguir.
T (ºC)
50
40
30
20
10
0 05 10 15 20 25 30 t (min)
A capacidade térmica (ou calorífica), em cal/°C, desse 
corpo, no intervalo descrito pelo gráfico, é igual a 
a) 1.
b) 3.
c) 10.
d) 30.
6 UFPR 2020 Um objeto de massa m 5 500 g recebe 
uma certa quantidade de calor Q e, com isso, sofre 
uma variação de temperatura. A relação entre a va-
riação de temperatura e Q está representada no grá-
fico a seguir.
DT (°C)
60
40
20
0 40 80 120 Q (kJ)
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o 
valor do calor específico c desse objeto.
a) c 5 2 J/(g ? °C).
b) c 5 4 J/(g ? °C).
c) c 5 8 J/(g ? °C).
d) c 5 16 J/(g ? °C).
e) c 5 20 J/(g ? °C).
7 Fuvest-SP 2017 No início do século XX, Pierre Curie 
e colaboradores, em uma experiência para determi-
nar características do recém-descoberto elemento 
químico rádio, colocaram uma pequena quantidade 
desse material em um calorímetro e verificaram que 
1,30 grama de água líquida ia do ponto de congela-
mento ao ponto de ebulição em uma hora.
A potência média liberada pelo rádio nesse período 
de tempo foi, aproximadamente,
Note e adote:
• Calor específico da água: 1 cal/(g ? °C)
• 1 cal 5 4 J
• Temperatura de congelamento da água: 0 °C
• Temperatura de ebulição da água: 100 °C
• Considere que toda a energia emitida pelo rádio foi 
absorvida pela água e empregada exclusivamente 
para elevar sua temperatura. 
a) 0,06 W.
b) 0,10 W.
c) 0,14 W.
d) 0,18 W.
e) 0,22 W.
72 FÍSICA / Frente B
8 Famema-SP 2021 Sabendo que o calor específico 
da água tem por definição o valor 1 cal/(g?°C), um es-
tudante deseja determinar o valor do calor específi-
co de um material desconhecido. Para isso, ele dis-
põe de uma amostra de 40 g desse material, de um 
termômetro na escala Celsius, de um recipiente de 
capacidade térmica desprezível e de uma fonte de 
calor de fluxo invariável. 
Primeiramente, o estudante coloca 100 g de água 
no interior do recipiente e observa que, para elevar 
de 20 °C a temperatura dessa quantidade de água, 
são necessários 5 minutos de exposição à fonte de 
calor. Em seguida, o estudante esvazia o recipiente 
e coloca em seu interior a amostra, verificando que, 
para elevar de 20 °C a temperatura da amostra, a ex-
posição à mesma fonte de calor deve ser de 1 minuto 
apenas.
O valor do calor específico procurado pelo estudante é
a) 0,6 cal/(g ? °C).
b) 0,5 cal/(g ? °C).
c) 0,1 cal/(g ? °C).
d) 0,2 cal/(g ? °C).
e) 0,4 cal/(g ? °C).
 
 
 
 
9 Uerj 2018 Para explicar o princípio das trocas de ca-
lor, um professor realiza uma experiência, misturando 
em um recipiente térmico 300 g de água a 80 °C 
com 200 g de água a 10 °C. 
Desprezadas as perdasde calor para o recipiente 
e para o meio externo, a temperatura de equilíbrio 
térmico da mistura, em °C, é igual a 
a) 52. b) 45. c) 35. d) 28.
 
 
 
10 IFSul-RS 2020 Em um recipiente termicamente iso-
lado são misturados 400 g de água, inicialmente a 
temperatura de 20 °C, com uma pequena barra de 
aço, de massa 500 g e inicialmente a 80 °C.
Considerando que ocorre trocas de energia, na for-
ma de calor, apenas entre a água e o ferro e que o 
calor específico da água e do aço são respectiva-
mente iguais a 1,0 cal/g ? °C e 0,12 cal/g ? °C, a tem-
peratura de equilíbrio térmico é aproximadamente 
igual a
a) 20 °C.
b) 28 °C.
c) 40 °C.
d) 60 °C.
11 UFJF/Pism-MG 2018 Em um laboratório de física é 
encontrado um frasco opaco contendo 100 g de um 
líquido desconhecido, armazenado na geladeira do 
laboratório a uma temperatura de 6 graus Celsius. 
Um estudante deseja identificar o líquido sem abrir 
o frasco, usando um calorímetro ideal. No calorímetro, 
o estudante insere 100 mL de água pura, a 20 graus 
Celsius, e em seguida insere o frasco contendo o 
líquido. Após certo tempo, o frasco com o líquido des-
conhecido entra em equilíbrio térmico com a água, 
que passa a ter uma temperatura de 16 graus Celsius. 
Vamos supor que não há trocas de calor do conteú-
do do calorímetro com o ambiente, e que a massa do 
frasco seja desprezível. O calor específico da água é 
de aproximadamente 4,2  J  g21K21 e sua densidade 
é 1,0 g/mL.
A tabela abaixo tem a informação do calor específico 
de uma variedade de líquidos. 
SUBSTÂNCIA
CALOR ESPECÍFICO 
(J g21 K21) 
Tolueno 1,59
Azeite 1,68
Acetona 2,13
Glicerina 2,43
Parafina 3,26
Qual deles deve ser o líquido desconhecido? 
a) Parafina. 
b) Glicerina. 
c) Acetona. 
d) Azeite. 
e) Tolueno. 
 
12 Famerp-SP 2018 Em um recipiente de capacidade 
térmica desprezível, 300 g de água, inicialmente a 
20 °C, foram aquecidos. Após 2,0 minutos, quando 
a temperatura da água era 40 °C, mais 300 g de água 
a 20 °C foram adicionados ao recipiente. Conside-
rando que não ocorreu perda de calor da água para 
o meio e que a fonte fornece calor a uma potência 
constante durante o processo, o tempo decorrido, 
após a adição da água, para que a temperatura da 
água atingisse 80 °C foi de 
a) 5,0 min.
b) 14,0 min. 
c) 10,0 min. 
d) 15,0 min. 
e) 8,0 min. 
73CAPÍTULO T2 / Calor sensível
1 Ufes Considere que 2,40 kg de uma substância cujo 
calor específico é 0,500 cal/g °C, que está inicial-
mente a 35,0 °C, perde 9,60 kcal em um processo 
que não apresenta mudança de fase. A temperatura 
final da substância é
a) 43,0 °C.
b) 27,0 °C.
c) 12,0 °C.
d) 10,8 °C.
e) 8,0 °C.
2 Mackenzie-SP 2018 Para a prática de esportes olím-
picos, é adequada a piscina olímpica. As dimensões 
dela, segundo a Federação Internacional de Natação, 
devem ser de 50 m para o comprimento, 25 m para 
a largura e 2,0 m para a profundidade. A temperatura 
média ideal da água deve ser igual a 25 °C.
A quantidade de energia necessária, em joules, a ser 
fornecida para deixar a água da piscina na tempera-
tura ideal – sendo essa a única troca de energia a se 
considerar –, observando que inicialmente a água, que 
preenche todo o volume da piscina, estava a 20 °C, 
é igual a
Dados:
cágua 5 1,0 cal/g °C (calor específico sensível da água)
dágua 5 1,0 g/cm³ (massa específica da água)
1,0 cal 5 4,0 J
a) 2,0 ? 1010 J.
b) 3,0 ? 1010 J. 
c) 4,0 ? 1010 J. 
d) 5,0 ? 1010 J. 
e) 6,0 ? 1010 J.
3 Unicamp-SP 2019 A depilação a laser é um pro-
cedimento de eliminação dos pelos que tem se 
tornado bastante popular na indústria de beleza 
e no mundo dos esportes. O número de sessões 
do procedimento depende, entre outros fatores, 
da coloração da pele, da área a ser tratada e da 
quantidade de pelos nessa área. 
Na depilação, o laser age no interior da pele, pro-
duzindo uma lesão térmica que queima a raiz 
do pelo. Considere uma raiz de pelo de massa 
m 5 2,0  ·  10−10  kg, inicialmente a uma temperatura 
Ti 5 36 °C, que é aquecida pelo laser a uma tempe-
ratura final Tf 5 46 °C. 
Se o calor específico da raiz é igual a 
c 5 3  000 J   /   (kg °C), o calor absorvido pela raiz do 
pelo durante o aquecimento é igual a
Dados: Se necessário, use aceleração da gravidade 
g 5 10 m/s², aproxime p 5 3,0 e 1 atm 5 105 Pa. 
a) 6,0 ? 10−6 J. 
b) 6,0 ? 10−8 J. 
c) 1,3 ? 10−12 J.
d) 6,0 ? 10−13 J.
4 Unigranrio-RJ 2017 Duas amostras de massas iguais, 
uma de ferro e uma de alumínio, recebem a mes-
ma quantidade de calor Q. Sabendo que o calor 
 específico do ferro vale 0,11 cal/g °C, que o calor es-
pecífico do alumínio vale 0,22 cal/g °C e que a tem-
peratura da amostra do ferro se elevou em 200 °C 
após receber a quantidade de calor Q, qual foi a va-
riação da temperatura da amostra de alumínio após 
receber a mesma quantidade de calor Q? 
a) 50 °C 
b) 100 °C 
c) 150 °C 
d) 200 °C 
e) 250 °C 
5 IFSul-RS 2018 Na refrigeração de motores de auto-
móveis, a substância refrigerante tanto pode ser o ar 
como a água. 
Dados:
• calor específico do ar 5 0,25 cal/g ? °C.
• calor específico da água 5 1,00 cal/g ? °C. 
A razão entre a massa de ar e a massa de água, para 
proporcionar a mesma refrigeração no motor de um 
automóvel, deverá ser igual a 
a) 0,25. 
b) 1,00. 
c) 1,20. 
d) 4,00.
6 Uerj Considere duas amostras, X e Y, de materiais 
distintos, sendo a massa de X igual a quatro vezes 
a massa de Y.
As amostras foram colocadas em um calorímetro e, 
após o sistema atingir o equilíbrio térmico, determi-
nou-se que a capacidade térmica de X corresponde 
ao dobro da capacidade térmica de Y.
Admita que cX e cY sejam os calores específicos, res-
pectivamente, de X e Y.
A razão c
c
X
Y
 é dada por: 
a)   1
4
 b)   1
2
c) 1 d) 2 
7 Fuvest-SP Um amolador de facas, ao operar um es-
meril, é atingido por fagulhas incandescentes, mas 
não se queima.
Isso acontece porque as fagulhas:
a) têm calor específico muito grande.
b) têm temperatura muito baixa.
c) têm capacidade térmica muito pequena.
d) estão em mudança de fase.
e) não transportam energia.
8 Uerj 2016 Admita duas amostras de substâncias dis-
tintas com a mesma capacidade térmica, ou seja, que 
sofrem a mesma variação de temperatura ao recebe-
rem a mesma quantidade de calor. 
A diferença entre suas massas é igual a 100 g, e a 
razão entre seus calores específicos é igual a 6
5
.
A massa da amostra mais leve, em gramas, corres-
ponde a 
a) 250. b) 300. c) 500. d) 600.
CONSOLIDANDO SABERES
74 FÍSICA / Frente B
9 Famerp-SP 2020 Colocou-se certa massa de água a 
80 °C em um recipiente de alumínio de massa 420 g 
que estava à temperatura de 20 °C.
Após certo tempo, a temperatura do conjunto atin-
giu o equilíbrio em 70 °C. Considerando que a troca 
de calor ocorreu apenas entre a água e o recipien-
te, que não houve perda de calor para o ambiente 
e que os calores específicos do alumínio e da água 
sejam, respectivamente, iguais a 9,0 ? 10² J/(kg ? °C) 
e 4,2 ? 10³ J/(kg ? °C), a quantidade de água colocada 
no recipiente foi
a) 220 g.
b) 450 g.
c) 330 g.
d) 520 g.
e) 280 g.
10 Uerj 2020 Para aquecer a quantidade de massa m 
de uma substância, foram consumidas 1450 calorias. 
A variação de seu calor específico c, em função da 
temperatura u, está indicada no gráfico.
SUPERAÇÃO
IME-RJ 2019
400
P
R2
(W)
280
50
200
75 125 150 t (min)
V
F
fonte
agitador
saída
entrada 1 entrada 2
tanque
Figura 1 Figura 2
circuito de
aquecimento
R
1
R
2
A Figura 1 ilustra um tanque industrial contendo duas entradas e uma saída, além de um circuito de aquecimento. A tem-
peratura do líquido no interior do tanque deve ser controlada, a fim de alimentar o processo industrial conectado na saída 
do tanque. O agitador mistura continuamente os líquidos que chegam pelas entradas, de maneira que o volume total 
de líquido dentro do tanque esteja sempre numa única temperatura. A perda térmica do tanque pode ser desprezada. 
Considere o tanque inicialmente vazio, com a válvula de saída fechada e o sistema de aquecimento desligado. 
Em t 5 0 a válvula da entrada1 é aberta com uma vazão de água de 1 L/min à temperatura de 10 °C e a válvula da 
entrada 2 com uma vazão de água de 0,25 L/min à temperatura de 30 °C. Nessas condições, determine: 
a) a temperatura da água no interior do tanque em t 5 50 min;
b) a temperatura da água no interior do tanque em t 5 150 min, se o circuito de aquecimento é ligado em t 5 50 min 
e a potência dissipada na resistência R2, PR2, varia de acordo com o gráfico da Figura 2; 
c) a tensão VF que deverá ser ajustada na fonte para manter a temperatura da água na saída em 22 °C após um 
longo tempo de funcionamento do sistema (t >> 150 min), sabendo que a válvula da entrada 2 foi fechada, o 
volume no interior do tanque encontra-se nessa mesma temperatura de 22 °C e a válvula de saída foi aberta 
com a mesma vazão da válvula da entrada 1. 
Dados: 
• R1 5 2 V; 
• R2 5 10 V;
• 1 cal 5 4,2 J; 
• calor específico da água (c) 5 1 cal/g °C; e 
• densidade da água 5 1 kg/L.
c (cal/g°C)
0,25
0,20
0 20 60 u (°C)
O valor de m, em gramas, equivale a
a) 50 b) 100 c) 150 d) 300
11 PUC-Rio 2018 O conteúdo de uma garrafa térmica 
tem 
1
3
 de seu volume preenchido com água à tem-
peratura T0, e 
2
3
 preenchido com água à temperatura 
T0
2
. A temperatura de equilíbrio, em função de T0, é 
a) 2
T0
9
. 
b) 
T0
3
.
c) 
T0
2
. 
d) 2
T0
3
.
e) T0.
75CAPÍTULO T2 / Calor sensível
As questões selecionadas nesta seção são prioritariamente do Enem, mas questões de vestibulares diversos que apre-
sentam características semelhantes aos itens do referido exame também foram usadas como recurso para estudo.
No ENEM é assim
1 Enem PPL 2020 A fritura de alimentos é um proces-
so térmico que ocorre a temperaturas altas, apro-
ximadamente a 170 °C. Nessa condição, alimentos 
ricos em carboidratos e proteínas sofrem uma rá-
pida desidratação em sua superfície, tornando-a 
crocante. Uma pessoa quer fritar todas as unida-
des de frango empanado congelado de uma caixa. 
Para tanto, ela adiciona todo o conteúdo de uma 
vez em uma panela com óleo vegetal a 170 °C, cujo 
volume é suficiente para cobrir todas as unidades. 
Mas, para sua frustração, ao final do processo elas 
se mostram encharcadas de óleo e sem crocância.
As unidades ficaram fora da aparência desejada em 
razão da
a) evaporação parcial do óleo.
b) diminuição da temperatura do óleo.
c) desidratação excessiva das unidades.
d) barreira térmica causada pelo empanamento.
e) ausência de proteínas e carboidratos nas unidades.
2 Enem 2020 Mesmo para peixes de aquário, como o 
peixe arco-íris, a temperatura da água fora da faixa 
ideal (26 °C a 28 °C), bem como sua variação brus-
ca, pode afetar a saúde do animal. Para manter a 
temperatura da água dentro do aquário na média 
desejada, utilizam- se dispositivos de aquecimento 
com termostato. Por exemplo, para um aquário de 
50 L, pode-se utilizar um sistema de aquecimento 
de 50 W otimizado para suprir sua taxa de resfria-
mento. Essa taxa pode ser considerada pratica-
mente constante, já que a temperatura externa ao 
aquário é mantida pelas estufas. Utilize para a água 
o calor específico 4,0 kJ ? kg21 ? K21 e a densidade 
1 kg ? L21.
Se o sistema de aquecimento for desligado por 1 h, 
qual o valor mais próximo para à redução da tempe-
ratura da água do aquário?
a) 4,0 °C.
b) 3,6 °C.
c) 0,9 °C.
d) 0,6 °C.
e) 0,3 °C.
3 Enem 2017 O aproveitamento da luz solar como fon-
te de energia renovável tem aumentado significati-
vamente nos últimos anos. Uma das aplicações é o 
aquecimento de água (rágua 5 1 kg/L) para uso resi-
dencial. Em um local, a intensidade da radiação solar 
efetivamente captada por um painel solar com área 
de 1 m2 é de 0,03 kW/m2. O valor do calor específico 
da água é igual 4,2 kJ/(kg °C). 
Nessa situação, em quanto tempo é possível aque-
cer 1 litro de água de 20 °C até 70 °C?
a) 490 s
b) 2  800 s 
c) 6  300 s 
d) 7  000 s 
e) 7  800 s 
4 Enem 2015 Uma garrafa térmica tem como função 
evitar a troca de calor entre o líquido nela conti-
do e o ambiente, mantendo a temperatura de seu 
conteúdo constante. Uma forma de orientar os con-
sumidores na compra de uma garrafa térmica seria 
criar um selo de qualidade, como se faz atualmen-
te para informar o consumo de energia de eletro-
domésticos. O selo identificaria cinco categorias e 
informaria a variação de temperatura do conteúdo 
da garrafa, depois de decorridas seis horas de seu 
fechamento, por meio de uma porcentagem do 
valor inicial da temperatura de equilíbrio do líquido 
na garrafa.
O quadro apresenta as categorias e os intervalos 
de variação percentual da temperatura.
TIPO DE SELO VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
A menor que 10%
B entre 10% e 25%
C entre 25% e 40%
D entre 40% e 55%
E maior que 55%
Para atribuir uma categoria a um modelo de garrafa 
térmica, são preparadas e misturadas, em uma gar-
rafa, duas amostras de água, uma a 10 °C e outra a 
40 °C, na proporção de um terço de água fria para 
dois terços de água quente. A garrafa é fechada. 
Seis horas depois, abre-se a garrafa e mede-se a 
temperatura da água, obtendo-se 16 °C. 
Qual selo deveria ser posto na garrafa térmica testada? 
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
76 GABARITO
F R E N T E A
CAPÍTULO T1
Corrente elétrica
Aplicando conhecimentos
1 
a) i 5 8 A
b) n 5 5 ? 1020 elétrons
2 C
3 B
4 A
5 B
6 
a) IQI 5 100 C
b) im 5 2 A
7 B
8 E
9 
a) Efeito Joule
b) i 5 3 mA
10 R$ 0,84
Consolidando saberes
1 A
2 A
3 D
4 
a) Q 5 1,12 ? 10211 C
b) i 5 1,12 ? 10211 A
5 D
6 C
7 C
8 E
9 D
10 
a) |Q| 5 14 400 C
b) P 5 2,5 W
11 nV 5 1,25 · 10
20 elétrons
nI 5 1,875 · 10
20 elétrons
12 A
13 D
14 B
15 A
16 A
17 
a) A 5 3 m²
b) P 5 250 W
c) i à 2,08 A
SUPERAÇÃO
n 5 11
CAPÍTULO T2
Leis de Ohm
Aplicando conhecimentos
1 E
2 
a) i 5 2 A
b) R 5 110 V
3 B
4 
a) Apenas (I).
b) 7 V
5 A
6 D
7 R 5 240 V
8 
a) P 5 4 · 1022 W
b) |Dq| 5 8 · 1022 C
9 E
10 Soma: 01 1 08 5 09
11 
a) DE 5 0,5 kWh
b) R$ 0,15 
c) R 5 10 V
12 
a) R 5 4 · 102 V
b) R’ 5 2 · 102 V
c) RB 5 3 · 10
2 V
13 Soma: 02 1 04 5 06
14 E
Consolidando saberes
1 D 
2 D
3 B
4 R1 5 100 V; R2 5 400 V
5 |Q| 5 300 C
6 A
7 A
8 A
9 C
10 
a) DEdia 5 1,32 ? 10
6 J
b) Despesa de R$ 2,20.
11 R 5 4 000 V
12 
a) R 5 14 V
b) R 5 144 V
13 C
 Gabarito
77GABARITO
14 
a) Posição A – morna 
Posição B – desligado 
Posição C – quente
b) RCD 5 11 V
15 C
16 A
17 C
SUPERAÇÃO
x1 5 49,45 cm; x2 5 12,55 cm
No Enem é assim
1 C
2 D
3 E
4 A
F R E N T E B
CAPÍTULO T1
Termometria
Aplicando conhecimentos
1 E
2 Soma: 16
3 A
4 78 K e –319 °F
5 E
6 90 °F
7 B
8 D
9 B
Consolidando saberes
1 Soma: 01 1 16 5 17
2 D
3 A
4 E
5 E
6 B
7 uX 5 5h 2 90
8 A
9 C
10 A
11 B
SUPERAÇÃO
a) uR 5 uF 1 459,67
b) x 5 14
c) 1,5%
CAPÍTULO T2
Calor sensível
Aplicando conhecimentos
1 
Massa Corpo de ferro Corpo de alumínio
100 g
C100gFe 5 11 cal/°C
cFe 5 0,11 cal/g °C
C100gAL 5 22 cal/°C
CAL 5 0,22 cal/g °C
50 g
C50gFe 5 5,5 cal/°C
cFe 5 0,11 cal/g °C
C50gAL 5 11 cal/°C
CAL 5 0,22 cal/g °C
2 
a) 50 000 cal
b) 250 °C
c) 200 g
3 A
4 A
5 D
6 B
7 C
8 B
9 A
10 B
11 D
12 C
Consolidando saberes
1 B
2 D
3 A
4 B
5 D
6 B
7 C
8 C
9 B
10 B
11 D
SUPERAÇÃO
a) 14 oC
b) 16,4 oC
c) à 110 V
No Enem é assim
1 C 
2 D
3 D 
4 D
O mar Morto apresenta uma concentração de sais cerca de 10 vezes maior do que a 
média dos outros mares, permitindo que as pessoas boiem facilmente em suas águas.
C
h
a
m
e
le
o
n
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E
y
e
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ck
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Química
A
FRENTE
Propriedades 
coligativas
Por que o mar Morto tem esse nome?
Porque o excesso de sal nas suas águas torna a vida 
praticamente impossível por ali. Com exceção da bactéria 
Haloarcula marismortui, que consegue filtrar os sais e so-
breviver nesse cemitério marítimo, todos os organismos 
que chegam ao mar Morto morrem rapidamente. [...] Os 
oceanos têm uma média de 35 gramas de sal por litro de 
água, enquanto o mar Morto tem quase 300 gramas. Isso se 
deve basicamente a sua localização – na divisaentre Israel 
e Jordânia. A região é quente e seca, o que acelera a evapora-
ção e impede a reposição da água pela chuva. [...]
LOPES, Artur L. Mundo Estranho. São Paulo, ed. 42, p. 44, ago. 2005. 
Abril Comunicações S. A. Disponível em: <https://super.abril.com.br/
mundo-estranho/por-que-o-mar-morto-tem-esse-nome/>. 
Acesso em: 13 jul. 2021.
Nesta unidade, estudaremos as propriedades coliga-
tivas e com isso entenderemos vários fenômenos que 
ocorrem em nosso cotidiano. No capítulo T1, iniciamos 
nosso estudo com o conceito de temperatura de ebuli-
ção de uma substância e os fatores que podem alterá-la 
para, então, estudarmos a primeira propriedade coligati-
va: pressão máxima de vapor. No capítulo T2, estudare-
mos as demais propriedades: tonoscopia, ebulioscopia, 
crioscopia e osmose.
A água pode sofrer sublimação?
Por que a folha de alface murcha rapidamente 
depois que entra em contato com o tempero?
Por que sai fumaça do chuveiro se a água não chega a 100 °C?
Porque a água não precisa chegar a 100 °C para passar para o estado gasoso. Se a água só 
virasse vapor a 100 °C, nunca haveria chuva, pois rios, lagos e mares jamais entrariam em ebu-
lição. O segredo é que, além da ebulição, a água pode passar do estado líquido para o gasoso 
por duas outras maneiras. A primeira é a calefação, uma mudança quase imediata de estado. 
Ela ocorre quando você joga água numa chapa quente, por exemplo. A segunda é a evaporação. 
Para evaporar, a água precisa estar só um pouco mais quente que o ar. É aí que entra o chuveiro: 
ele consegue gerar essa diferença de temperatura para fazer a água virar vapor. As gotinhas 
que caem a uma temperatura de pelo menos 20 °C superior à do ambiente têm boas chances 
de evaporar. Só para exemplificar, num banho [...] quente, com temperatura média em torno 
dos 45 °C, cerca de 10% da água se perde em forma de vapor. Em um chuveiro elétrico comum, 
isso significa que cerca de 1,5 litro passa para o estado gasoso durante uma ducha rápida de 
apenas cinco minutos.
[...]
TIÓ NETO, Fernando. Mundo Estranho. São Paulo, ed. 40, p. 38, jun. 2005. Abril Comunicações S. A. Disponível em: 
<https://super.abril.com.br/mundo-estranho/por-que-sai-fumaca-do-chuveiro-se-a-agua-nao-chega-a-100-oc/>.
Acesso em: 24 jun. 2020.
Pressão máxima de vapor
S
te
v
e
n
 C
o
lin
g
/S
h
u
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ck
.c
o
m
• A água entra em ebulição em São Paulo à mesma temperatura que na Cidade do México?
• O que é uma substância volátil?
 Neste capítulo, serão abordadas as habilidades EM13CNT301, EM13CNT303 e EM13CNT306.
Ao nível do mar, a água ferve a 100 °C.
CAPÍTULO
T1
 Sistemas dispersos
Quando analisamos um sistema disperso, temos uma substância X 
formada por partículas que serão distribuídas uniformemente em toda a 
extensão de uma substância Y. As substâncias X e Y são denominadas, 
respectivamente, disperso e dispersante.
Os sistemas dispersos são classificados de acordo com o tamanho 
das partículas que os constituem, sendo:
• Soluções: sistemas formados por partículas (átomos, moléculas ou íons) 
com tamanho máximo de 1 nanômetro (nm) de diâmetro (1 nm 5 1 ? 1029 m); 
são misturas homogêneas. Exemplos: solução de água com sal, solução 
de água com álcool, ar filtrado (isento de poeira). 
• Coloides (ou dispersões coloidais): sistemas formados por partículas 
com tamanho entre 1 nm e 1000 nm de diâmetro; são misturas hetero-
gêneas, cujas fases não são diferenciáveis a olho nu, devido ao tama-
nho das partículas. Exemplos: sangue (glóbulos, plaquetas e plasma), 
leite (gordura e água), gelatina (proteínas e água), tintas (pigmentos e 
solvente) e chantili (creme de leite e ar).
• Suspensões: sistemas formados por partículas com tamanho superior 
a 1000 nm de diâmetro; são misturas heterogêneas visíveis a olho nu. 
Exemplos: areia e água, água turva de uma represa e água e óleo.
Estudaremos, nesta unidade, algumas propriedades físicas da água e as 
modificações causadas quando é adicionado um soluto não volátil, for-
mando uma solução. Entre essas propriedades, estão a temperatura de 
ebulição, a temperatura de congelamento e a pressão de vapor. Todas são 
classificadas como propriedades coligativas, pois são modificadas na pre-
sença de um soluto não volátil. Elas dependem apenas do número de par-
tículas de soluto por molécula de solvente, e não da identidade do soluto.
Lodo na água, um exemplo de 
suspensão. Na imagem, o lodo 
decantou com o repouso, pois é 
mais denso que a água.
Solução de água com sal.
Plasma 
(55%)
Glóbulos 
vermelhos 
(41%)
Glóbulos brancos
e plaquetas 
(4%)
Composição do sangue, um 
coloide.
L
P
N
k
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 Mudanças de estado físico e diagrama 
de fases da água 
Ao aquecermos água em uma panela, ela entra em ebulição a 100 °C 
ao nível do mar, sob pressão de 1 atm, formando bolhas. Uma poça de água 
seca após um dia de sol devido à evaporação. Após o preparo de um ham-
búrguer, a água da torneira muda bruscamente de temperatura ao atingir a 
chapa quente, mudança de estado físico conhecida como calefação. Ebu-
lição, evaporação e calefação são exemplos de vaporização, transforma-
ção de uma substância do estado líquido para o estado gasoso. Quando 
queremos reduzir a temperatura de uma bebida, podemos acrescentar gelo, 
produzido a partir da solidificação da água. Se demorarmos para utilizar o 
gelo, a água sofrerá fusão, passando para o estado líquido. Se um copo com 
água e gelo ficar exposto à temperatura ambiente, após certo intervalo de 
tempo, observaremos gotículas de água em seu exterior, consequência da 
condensação do vapor de água presente no ar. Observe o esquema abaixo 
para recordar as características da água nos três estados físicos da matéria 
e relembrar os nomes de todas as mudanças de estado físico da matéria:
Características da água nos três estados 
físicos da matéria e nomenclatura das 
mudanças de estado.
Sublimação
Fusão
Solidificação
Vaporização
Condensação
Sublimação inversa
 ENDOTÉRMICO
EXOTÉRMICO
A força entre as
moléculas é muito
forte. As moléculas não
apresentam movimento,
apenas vibram.
A força entre as
moléculas não é tão
forte. As moléculas
apresentam certo grau
de liberdade de
movimento.
Não há força de atração
entre as moléculas.
Alto grau de liberdade
de movimento.
81CAPÍTULO T1 / Pressão máxima de vapor
O estado físico da água (assim como das demais substâncias puras) 
depende de dois fatores: pressão e temperatura. A água é gasosa acima 
de 100 °C, sólida abaixo de 0 °C e líquida nesse intervalo, considerando 
uma pressão atmosférica ao nível do mar (1 atm ou 760 mmHg). Alterando 
a pressão atmosférica, os valores das temperaturas de fusão e ebulição 
também serão alterados. Assim, analisando um diagrama de fases, po-
demos observar qual será o estado físico de uma substância quando sub-
metida a determinados valores de pressão e temperatura. Veja:
Analisando o diagrama, observamos três regiões: a região cinza iden-
tifica o estado sólido; a região azul, o estado líquido; a região vermelha, o 
estado de vapor de água. Um ponto localizado na região azul do diagra-
ma indica que a água estará no estado líquido; já se o ponto estiver sobre 
a curva A, pode indicar a mudança do estado sólido para o estado líqui-
do (fusão) ou do estado líquido para o sólido (solidificação). Note, ainda, 
no diagrama, a existência de um ponto que indica as condições em que 
podem existir, simultaneamente, gelo, água líquida e vapor de água, de-
nominado ponto triplo (T). Além disso, a linha que separa as fases líquida 
e gasosa não continua indefinidamente e finaliza no chamado ponto críti-
co. Nesse estado (fluido supercrítico), as propriedades da água tornam-se 
completamente diferentes.
Diagrama de 
fases da água. 
 Temperatura de ebulição e pressão 
máxima de vapor 
Quando colocamos água em uma panela com tampa de vidro e a le-
vamos ao fogo, observamos o conteúdo da panela facilmente pelatampa 
no início do aquecimento. Com o avanço do aquecimento, passamos a 
ter dificuldade em enxergar o conteúdo, porque gotículas de água estão 
distribuídas na tampa. Essas gotículas tendem a aumentar até chegarem 
a uma quantidade máxima. 
As gotículas surgem porque parte da água líquida mudou 
para o estado de vapor com o aquecimento, uma vez que a 
temperatura de ebulição da água foi atingida. Assim, pode-
mos dizer que: 
Um líquido entra em ebulição 
quando Pvapor = Pexterna.
Pressão
atmosférica
Líquido
em
ebulição
P
v
Pressão da
camada líquida
(desprezível)
Líquido em
ebulição
0,01 100 374,12
221,2
Fase líquida 
(água)Fase sólida 
(gelo)
1,0
0,006
P
re
ss
ão
 (a
tm
)
Temperatura (°C)
A
T
B
C
Pressão
crítica
Fluido
supercrítico
Fase
gasosa 
(vapor de
água)
Vapor
superaquecido
Líquido
compressível
Temperatura
crítica
Ponto triplo
Ponto
crítico
Um líquido entra em ebulição quando a pressão má-
xima de seus vapores (Pvapor) se iguala à pressão externa 
(pressão atmosférica local). A pressão máxima de vapor 
de determinada substância é a maior pressão que seus 
vapores exercem em dada temperatura.
82 QUÍMICA / Frente A
La Paz
(3 600 m)
Coluna de ar Coluna de ar Coluna de ar
São Paulo
(750 m)
Rio de Janeiro
(nível do mar)
Monte Everest
(8 848 m)
Esquema 
que mostra 
a influência 
da altitude 
na pressão 
atmosférica.
Em determinado instante, o número de moléculas que passou para o 
estado gasoso se iguala ao número de moléculas no estado líquido por 
unidade de tempo. O sistema atinge um estado de equilíbrio dinâmico 
entre o líquido e seus vapores. 
Quando a quantidade de vapor dissolvido no ar atmosférico confina-
do atinge o seu valor máximo, damos o nome de pressão máxima de va-
por à pressão parcial que é exerci da por ele. Quanto maior for a pressão 
máxima de vapor de um líquido, mais volátil será o líquido, pois ele tende 
a evaporar facilmente.
Esquema de um recipiente fechado, no qual coexistem em equilíbrio os estados líquido e 
vapor de água. 
Fatores que alteram a pressão máxima de vapor 
A pressão máxima de vapor pode ser alterada pela temperatura e pela na-
tureza do líquido. No entanto, ela não é alterada pela quantidade de líquido. 
Por exemplo, em um isqueiro a gás, o nível do líquido vai diminuindo conforme 
o uso do isqueiro, porém a pressão se mantém constante.
Influência da temperatura 
A temperatura de ebulição de uma substância é influenciada pela 
pressão externa. Ao nível do mar (pressão de 760  mmHg ou 1  atm, 
como na cidade do Rio de Janeiro), a água ferve a 100 °C. Em locais de 
maior altitude, a pressão exercida pela coluna de ar é menor, sendo 
menor sua temperatura de ebulição. Na cidade de São Paulo – locali-
zada a 750 metros de altitude –, a água ferve por volta de 97,7 °C; já 
na cidade de La Paz (Bolívia) – localizada a 3 600 metros de altitude –, 
a água entra em ebulição a 87 °C; e no Monte Everest – localizado a 
8 848 metros –, ela ferve a 71 °C.
Equilíbrio dinâmico entre o líquido e 
seus vapores.
EquilíbrioEvaporação
Vapor de água
começa a se formar.
Mais moléculas vão
passando para o
estado de vapor.
O ar fica saturado
de vapor de água.
Para que uma molécula
de água passe para o
estado de vapor, outra
deve se condensar.
molécula de gás oxigênio molécula de gás nitrogênio molécula de água
⇌ ⇌ ⇌ ⇌
Volátil: líquido com baixa 
temperatura de ebulição, 
passando facilmente para o 
estado gasoso em condições 
ambientes (25 °C e 1 atm).
83CAPÍTULO T1 / Pressão máxima de vapor
Assim, ao variar a pressão externa, a temperatura de ebulição do 
líquido também muda. Considerando a água, o gráfico da pressão má-
xima de vapor em função da temperatura pode ser representado da se-
guinte forma: 
Influência da altitude sobre à pressão de vapor e a temperatura de 
ebulição.
P
vapor
 (mmHg)
T (°C) 71 87 98 100
(Rio de Janeiro) 760
(São Paulo) 700
H
2
O
(La Paz) 500
(Monte Everest) 240
Como Funciona: 
A Panela de Pressão 
Oficiencia
O professor de física da UFSCar 
Luiz Antônio de Oliveira Nunes 
aborda nesse vídeo o princípio 
de funcionamento da panela de 
pressão. Ele também traz 
curiosidades sobre tipos de 
panela de pressão desde sua 
invenção. O vídeo mostra, ainda, 
uma experiência que envolve 
esse utensílio.
Disponível em: 
 <https://www.youtube.com/
watch?v=MQUzdOh8JHc>. 
Acesso em: 3 ago. 2021.
Assim, a água poderia ferver à temperatura ambiente desde que a 
pressão sobre ela diminua bastante.
1 UEL-PR Um estudante do Ensino Médio fez a seguinte pergunta ao pro-
fessor: “É possível fazer a água entrar em ebulição em temperatura inferior 
à sua temperatura de ebulição normal (100 °C)? Para responder ao aluno, 
o professor colocou água até a metade em um balão de fundo redondo 
e o aqueceu até a água entrar em ebulição. Em seguida, retirou o balão do 
aquecimento e o tampou com uma rolha, observando, após poucos segun-
dos, o término da ebulição da água. Em seguida, virou o balão de cabeça 
para baixo e passou gelo na superfície do balão, conforme a figura ao lado.
Após alguns segundos, a água entrou em ebulição com o auxílio do gelo. 
O aluno, perplexo, observou, experimentalmente, que sua pergunta tinha 
sido respondida.
a) A partir do texto e da figura, explique o que provocou a ebulição da 
água com o auxílio do gelo.
b) O professor, mediante o interesse do aluno, utilizou o mesmo balão para 
fazer outro experimento. Esperou o balão resfriar até a temperatura de 
25  °C e acrescentou uma quantidade de um sal ao balão até saturar 
a solução, sem corpo de fundo. A massa da solução aquosa salina foi 
de 200 g e, com a evaporação total da solução, obteve-se um resíduo 
salino no fundo do balão de 50 g.
 A partir do texto, determine a solubilidade do sal em g/100 g de H2O, na 
mesma temperatura analisada. 
Resolução:
a)  Ao retirar o balão do aquecimento e fechá-lo com a rolha, houve a interrupção da ebulição, pois 
a pressão interna do balão impede as moléculas de água de mudarem de estado físico. Quando 
o fundo do balão entra em contato com o gelo, ocorre redução da pressão interna, devido à con-
densação das moléculas de água. Isso permite que as moléculas no estado líquido passem para o 
estado de vapor, mesmo que a temperatura seja menor que 100 °C.
b) Teremos:
 150 g de H2O 50 g de sal
 100 g de H2O x
 x = 33,3 g
Questão resolvida
Mais
84 QUÍMICA / Frente A
Nas panelas de pressão, a pressão interna é superior a 1 atm, e a água 
ferve em temperaturas superiores a 100 °C. Assim, os alimentos ficam 
cozidos mais rapidamente. Esse tipo de panela apresenta uma borracha 
na tampa cuja função é vedar totalmente o sistema para que ele perma-
neça fechado, impedindo que o vapor de água formado no aquecimento 
escape para o exterior. Assim, a pressão interna da panela aumenta pro-
gressivamente até um limite no qual ela começa a empurrar a válvula com 
pino. Nesse instante, a pressão para de aumentar, pois o vapor formado 
em excesso passa a ser liberado por essa válvula.
As forças intermoleculares são determinantes na disposição dos lí-
quidos no gráfico. Tanto o éter etílico (T.E. 5 35 °C) quanto o álcool etílico 
(T.E. 5 78 °C) são líquidos mais voláteis que a água (T.E. 5 100 °C). No entan-
to, o éter apresenta interações intermoleculares do tipo dipolo permanente, 
que são menos intensas do que as ligações de hidrogênio presentes no 
álcool etílico. Quanto mais intensa for a interação intermolecular, mais forte-
mente as moléculas são atraídas umas pelas outras e menos volátil será o 
líquido. Observe que, no gráfico, à temperatura de 35 °C, a água apresenta 
menor pressão de vapor, e o éter maior pressão de vapor.
A panela de pressão atinge temperaturas elevadas 
acima da temperatura de ebulição da água, fazendo 
com que o alimento seja cozido mais rapidamente.
Água
Vapor
Borracha
Válvula de
segurança
Válvula
com pino
Alimentos
Variação da pressão de vapor em função da temperatura para 
diferentes substâncias.
760
1007835
éter dietílico álcool etílico águaP
re
ss
ã
o
 d
e
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p
o
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(m
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H
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Temperatura (°C) 
J
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C
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Influência da natureza do líquido 
Alguns líquidos evaporam mais rapidamente do que outros. Líquidos 
mais voláteis que a água evaporam mais facilmente, apresentando maior 
pressão de vapor e, ao considerar-se um gráfico da pressão máxima de 
vapor de água em função da temperatura, localizam-se acima da curva da 
água. Líquidos menos voláteis localizam-se abaixo da curva da água. Em 
um gráfico, basta traçarmos uma reta horizontal a partir da pressão atmos-
férica que encontraremos a temperatura de ebulição de uma substância.
85CAPÍTULO T1 / Pressão máxima de vapor
1 Identifique o estado físico ou a mudança de estado fí-
sico representada no diagrama de fases, nos pontos 
A, B, C, D e E, e indique o que representa o ponto T.
6010 20 30 T (°C)
300
A B E
C
D
T
P (mmHg)
200
0
 
 
 
2 Quais são as três classificações dos sistemas dis-
persos? Dê duas características de cada um para 
diferenciá-los.
 
 
 
3 UFRGS 2018 Observe o gráfico abaixo, referente à 
pressão de vapor de dois líquidos, A e B, em função 
da temperatura.
P
re
ss
ã
o
 d
e
 v
a
p
o
r
A
B
Temperatura
Considere as afirmações abaixo, sobre o gráfico.
I. O líquido B é mais volátil que o líquido A.
II. A temperatura de ebulição de B, a uma dada 
pressão, será maior que a de A.
III. Um recipiente contendo somente o líquido A em 
equilíbrio com o seu vapor terá mais moléculas 
na fase vapor que o mesmo recipiente contendo 
somente o líquido B em equilíbrio com seu vapor, 
na mesma temperatura.
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
4 Uma moradora da cidade de Campinas, localizada no 
estado de São Paulo, foi passar férias na casa de um 
amigo que mora em La Paz, na Bolívia. Ao preparar 
seu café da manhã em Campinas, ela deixaria o ovo 
cozinhar por 3 minutos em água fervente para adqui-
rir a consistência desejada. La Paz está localizada a 
3 600 metros acima do nível do mar. A visitante deve 
deixar o ovo cozinhar por mais ou menos tempo em 
La Paz para que ele fique com a consistência à qual 
ela está acostumada? Justifique.
 
 
 
 
 
 
 
 
1 UEG-GO 2015 As propriedades físicas dos líquidos 
podem ser comparadas a partir de um gráfico de 
pressão de vapor em função da temperatura, como 
mostrado no gráfico hipotético a seguir para as subs-
tâncias A, B, C e D.
Segundo o gráfico, o líquido mais volátil será a subs-
tância:
a) A
b) B
c) C
d) D
Aplicando conhecimentos
CONSOLIDANDO SABERES
P
re
ss
ã
o
 d
e
 v
a
p
o
r 
(m
m
H
g
)
Temperatura (°C) 
760
A B C D
20 04 06 08 001 021
86 QUÍMICA / Frente A
4 Fasm-SP 2017 Analise a tabela que apresenta a pres-
são de vapor a 100 °C para três diferentes substâncias.
SUBSTÂNCIA PRESSÃO DE VAPOR (mmHg)
Butan-2-ol 790
Hexan-3-ol 495
Água 760
a) Esboce, no gráfico abaixo, as curvas de pressão 
de vapor relativas aos álcoois apresentados na 
tabela. Qual dos dois álcoois é o mais volátil?
760
100
P
re
ss
ã
o
 d
e
 v
a
p
o
r 
(m
m
H
g
)
Temperatura (°C) 
b) Explique, de acordo com a relação entre as for-
ças intermoleculares e os pontos de ebulição, por 
que o butan-2-ol apresenta maior pressão de va-
por que o hexan-3-ol à mesma temperatura. 
5 Unesp Entre 6 e 23 de fevereiro aconteceram os 
Jogos Olímpicos de Inverno de 2014. Dentre as 
diversas modalidades esportivas, o curling é um 
jogo disputado entre duas equipes sobre uma pis-
ta de gelo, seu objetivo consiste em fazer com que 
uma pedra de granito em forma de disco fique o 
mais próximo de um alvo circular. Vassouras são 
utilizadas pelas equipes para varrer a superfície 
do gelo na frente da pedra, de modo a influenciar 
tanto sua direção como sua velocidade. A intensi-
dade da fricção e a pressão aplicada pelos atletas 
durante o processo de varredura podem fazer com 
que a velocidade da pedra mude em até 20% de-
vido à formação de uma película de água líquida 
entre a pedra e a pista.
O gráfico apresenta o diagrama de fases da água.
P (mmHg)
760
2
4
Sólido
Gasoso
Líquido
1 3
4,6
0,01 100 T °(C)
5
(Tito Miragaia Peruzzo e Eduardo Leite do Canto. Química na abordagem 
do cotidiano, 2006. Adaptado.)
2 Fuvest-SP 2020
Disponível em: <https://www.boredpanda.com>.
Em Xangai, uma loja especializada em café oferece 
uma opção diferente para adoçar a bebida. A cha-
mada sweet little rain consiste em uma xícara de 
café sobre a qual é pendurado um algodão-doce, 
material rico em sacarose, o que passa a impressão 
de existir uma nuvem pairando sobre o café, conforme 
ilustrado na imagem.
O café quente é então adicionado na xícara e, pas-
sado um tempo, gotículas começam a pingar sobre 
a bebida, simulando uma chuva doce e reconfor-
tante. A adição de café quente inicia o processo 
descrito, pois
Note e adote: Temperatura de fusão da sacarose à 
pressão ambiente 5 186 °C;
Solubilidade da sacarose a 20 °C 5 1,97 kg/L de água. 
a) a temperatura do café é suficiente para liquefazer 
a sacarose do algodão-doce, fazendo com que 
este goteje na forma de sacarose líquida. 
b) o vapor de água que sai do café quente irá con-
densar na superfície do algodão-doce, gotejando 
na forma de água pura. 
c) a sacarose que evapora do café quente conden-
sa na superfície do algodão-doce e goteja na for-
ma de uma solução de sacarose em água. 
d) o vapor de água encontra o algodão-doce e so-
lubiliza a sacarose, que goteja na forma de uma 
solução de sacarose em água. 
e) o vapor de água encontra o algodão-doce e va-
poriza a sacarose, que goteja na forma de uma 
solução de sacarose em água. 
3 PUC-RS 2016 Quando se compara a água do mar 
com a água destilada, pode-se afirmar que a primei-
ra, em relação à segunda, tem menor __________, 
mas maior __________. 
a) densidade – ponto de ebulição 
b) condutividade elétrica – densidade 
c) pressão de vapor – condutividade elétrica 
d) concentração de íons – ponto de ebulição 
e) ponto de congelação – facilidade de vaporização 
do solvente
87CAPÍTULO T1 / Pressão máxima de vapor
Com base nas informações constantes no texto e no gráfico, a seta que representa corretamente a transformação 
promovida pela varredura é a de número:
a) 3.
b) 2.
c) 4.
d) 1.
e) 5.
6 Uece A panela de pressão, inventada pelo físico francês Denis Papin (1647-1712) é um extraordinário utensílio que 
permite o cozimento mais rápido dos alimentos, economizando combustível.
Sobre a panela de pressão e seu funcionamento, pode-se afirmar corretamente que:
a) é uma aplicação prática da lei de Boyle-Mariotte.
b) foi inspirada na lei de Dalton das pressões parciais.
c) aumenta o ponto de ebulição da água contida nos alimentos.
d) o vapor d’água represado catalisa o processo de cocção dos alimentos.
7 Fuvest-SP 2020 Em supermercados, é comum encontrar alimentos chamados de liofilizados, como frutas, legumes 
e carnes. Alimentos liofilizados continuam próprios para consumo após muito tempo, mesmo sem refrigeração. O 
termo “liofilizado”, nesses alimentos, refere-se ao processo de congelamento e posterior desidratação por sublima-
ção da água. Para que a sublimação da água ocorra, é necessária uma combinação de condições, como mostra o 
gráfico de pressão por temperatura, em que as linhas representam transições de fases.
P (atm)
Sólido
Vapor
Líquido
T °(C)
Apesar de ser um processo que requer, industrialmente, uso de certa tecnologia, existem evidências de que os 
povos pré-colombianos que viviam nas regiões mais altas dos Andes conseguiam liofilizar alimentos, possibilitando 
estocá-los por mais tempo.
Assinale a alternativa que explica como ocorria o processo de liofilização natural:
a) A sublimação da água ocorria devido às baixas temperaturas e à alta pressão atmosférica nas montanhas.
b) Os alimentos, após congelados naturalmente nos períodos frios, eram levados para a parte mais baixa das mon-
tanhas, onde a pressão atmosférica era menor, o que possibilitava a sublimação.c) Os alimentos eram expostos ao sol para aumentar a temperatura, e a baixa pressão atmosférica local favorecia 
a solidificação.
d) As temperaturas eram baixas o suficiente nos períodos frios para congelar os alimentos, e a baixa pressão at-
mosférica nas altas montanhas possibilitava a sublimação.
e) Os alimentos, após congelados naturalmente, eram prensados para aumentar a pressão, de forma que a subli-
mação ocorresse.
8 Falbe-SP 2016 O gráfico a seguir representa a pressão de vapor de quatro solventes em função da temperatura.
Pressão (kPa)
120
100
101,3 kPa
(1 atm)
80
60
40
20
0 20 40 60 80 100 120 Temperatura (°C)
D
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M
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Á
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88 QUÍMICA / Frente A
Unicamp-SP 2020 O “Ebulidor de Franklin” é um brinquedo constituído de dois bulbos de vidro conectados por um 
tubo espiralado, preenchido com líquido colorido. Seu uso consiste em encostar a mão na base do bulbo inferior, 
fazendo com que o líquido seja aquecido e ascenda para o bulbo superior. Popularmente, a libido de uma pessoa é 
avaliada com base na quantidade de líquido que ascende. O sucesso de venda, obviamente, é maior quanto mais 
positivamente o brinquedo indicar uma “alta libido”. Abaixo apresenta-se um gráfico da pressão de vapor em fun-
ção da temperatura para dois líquidos, A e B, que poderiam ser utilizados para preencher o “Ebulidor de Franklin”.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
800
700
A
B600
500
400
300
200
100P
re
ss
ã
o
 d
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 v
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p
o
r 
(m
m
H
g
)
Temperatura (°C)
0
Considerando essas informações, é correto afirmar que a pressão no interior do brinquedo 
a) não se altera durante o seu uso, e o ebulidor com o líquido A teria mais sucesso de vendas. 
b) aumenta durante o seu uso, e o ebulidor com o líquido A teria mais sucesso de vendas. 
c) não se altera durante o seu uso, e o ebulidor com o líquido B teria mais sucesso de vendas. 
d) aumenta durante o seu uso, e o ebulidor com o líquido B teria mais sucesso de vendas.
SUPERAÇÃO
Ao analisar o gráfico foram feitas as seguintes observações:
Apesar de metanol e etanol apresentarem ligações de hidrogênio entre suas moléculas, o etanol tem maior tem-
peratura de ebulição, pois sua massa molecular é maior do que a do metanol.
É possível ferver a água a 60 °C, caso essa substância esteja submetida uma pressão de 20 kPa.
Pode-se encontrar o dissulfeto de carbono no estado líquido a 50 °C, caso esteja submetido a uma pressão de 
120 kPa.
Pode-se afirmar que:
a) somente as afirmações I e II estão corretas.
b) somente as afirmações I e III estão corretas
c) somente as afirmações II e III estão corretas
d) todas as afirmações estão corretas.
9 UFRGS 2016 Na gastronomia, empregam-se diversos conhecimentos provindos de diferentes áreas da química. 
Considere os conhecimentos químicos listados no bloco superior abaixo e os processos relacionados à produção 
e conservação de alimentos, listados no bloco inferior.
Associe adequadamente o bloco inferior ao superior.
1. Propriedades coligativas
2. Coloides
3. Emulsões
4. Reversibilidade de reações
( ) Produção de charque
( ) Preparo de gelatina
( ) Preparo de maionese
A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:
a) 1, 2 e 3.
b) 1, 2 e 4.
c) 2, 3 e 4.
d) 2, 1 e 3.
e) 3, 4 e 2.
89CAPÍTULO T1 / Pressão máxima de vapor
Sistema de arrefecimento
O que é? Para que serve?
O sistema de arrefecimento é responsável por manter o carro a uma temperatura ideal de funcio-
namento – sempre na faixa dos 90° Celsius. [...] O sistema é composto por mangueiras, radiador, ven-
toinha, bomba d’água, vaso de expansão, válvula termostática e, no meio de tudo isso, um líquido, que 
deve ser composto 50% por água desmineralizada e 50% por aditivo a base de etilenoglicol. [...]
Como funciona?
O líquido percorre a parte interna do motor, sem entrar em contato com seus componentes de 
combustão, até chegar ao radiador. Por lá, a mistura, que ficou quente, transfere o seu calor para o ar. 
Toda essa movimentação é feita através de mangueiras e quem controla esse fluxo é a válvula termos-
tática: ela bloqueia a “água” quando o motor esfria e libera quando o motor ultrapassa determinada 
temperatura. Quem coloca o líquido em movimento pelo sistema é a bomba d’água. Quando o carro 
está desligado, todo o líquido fica alojado no vaso de expansão (que é a peça plástica que você usa 
para checar se o nível do líquido está correto). A ventoinha também ajuda a retirar o calor do motor, 
direcionando ar para dentro do motor exatamente como um ventilador.
[...]
FERREIRA, Michelle. “Autoajuda: sistema de arrefecimento”. Revista Autoesporte, 1° maio 2015. Disponível em: <https://autoesporte.globo.com/carros/
colunistas/post-coluna/2015/05/autoajuda-sistema-de-arrefecimento.ghtml>. Acesso em: 3 ago. 2021.
Outras propriedades coligativas
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• Por que, em países que enfrentam invernos rigorosos, é comum jogar sal de cozinha na neve que se 
deposita sobre calçadas e estradas?
• Você já deve ter provado algum doce em compota de frutas, como laranja, abóbora e figo. Nesses do-
ces, a fruta costuma ter durabilidade muito maior. Que propriedade coligativa explica esse processo?
 Neste capítulo, serão abordadas as habilidades EM13CNT301, EM13CNT302 e EM13CNT306.
O etilenoglicol é utilizado como aditivo em sistemas de arrefecimento de automóveis, aumentando a temperatura 
de ebulição da água e diminuindo a temperatura de congelamento, além de evitar a corrosão do sistema.
CAPÍTULO
T2
 Tonoscopia
A tonoscopia (ou tonometria) é uma propriedade coligativa na qual 
observamos o abaixamento da pressão máxima de vapor de um líquido 
pela dissolução de um soluto não volátil, devido à queda da taxa de eva-
poração do solvente. 
Observe as imagens a seguir para analisarmos o efeito da tonoscopia:
Solvente
puro
Solução
diluída
Solução
concentrada
As moléculas de solvente estão representadas pelas esferas azuis, e as moléculas do 
soluto, pelas esferas laranjas. 
No primeiro béquer, observamos que o solvente evapora conforme 
sua temperatura de ebulição é atingida, o que está representado na ima-
gem pelas setas pretas. 
No segundo béquer, ocorreu adição de um soluto não volátil ao sol-
vente, dificultando a sua evaporação, o que é representado pelo número 
menor de setas na segunda imagem. 
No terceiro béquer, adicionou-se mais soluto (observe o aumento do 
número de bolinhas laranjas), deixando a solução mais concentrada e 
dificultando ainda mais a evaporação, novamente indicada pela redução 
no número de setas. Quanto maior a concentração do soluto, maior será 
o efeito coligativo causado e menor será a pressão de vapor da água.
Esse fenômeno ocorre porque, em uma substância pura no estado 
líquido, a sua superfície apresenta apenas partículas dessa substância, 
e, com isso, a probabilidade de escape dessas partículas para a fase 
gasosa é a mesma em toda a superfície. No entanto, ao se adicionar um 
soluto não volátil a esse líquido, a solução passa a ter partículas do soluto 
na superfície, o que diminui a probabilidade de escape de partículas do 
solvente para a fase gasosa e reduz a pressão de vapor do solvente. 
Solvente puro
Solução
Efeito tonoscópico
Pressão de vapor (mmHg)
Temperatura (°C)
T
P
0
P
0
Diminuição da pressão de vapor do solvente puro (P0) com a adição de um soluto não 
volátil (P).
A tonoscopia pode ser observada quando adicionamos um soluto 
como o sal cloreto de sódio (NaCL) na água. Com essa adição, a pressão 
máxima de vapor da água na solução passa a ser inferior à pressão má-
xima de vapor da água pura. As partículas de soluto dificultam o escape 
das moléculas de água do sistema, diminuindo o número de moléculas 
que passam para o estado gasoso em dado intervalo de tempo, reduzin-
do a pressão de vapor da água no recipiente.
Um líquido entra em 
ebulição quando a pressão 
máxima de seu vapor (Pvapor) 
se iguala à pressão externa 
(pressão atmosféricalocal).
ligado
Fique
91CAPÍTULO T2 / Outras propriedades coligativas
 Ebulioscopia
A ebulioscopia (ou ebuliometria) é uma propriedade coligativa, na 
qual observamos a elevação da temperatura de ebulição de um líquido 
por meio da adição de um soluto não volátil. A presença do soluto torna 
o solvente menos volátil, como se o soluto “atrapalhasse” a ebulição do 
solvente.
Solvente
puro
∆T
e
T
0
T<
P
Pressão de vapor (mmHg)
Temperatura (°C)
Ebulição
da solução
Aumento da temperatura de ebulição do solvente puro (P0) com a adição de um soluto 
não volátil (P).
Observando o gráfico, é possível concluir que, em determinada tem-
peratura, a pressão de vapor do solvente em uma solução com soluto 
não volátil é menor que a pressão de vapor do solvente puro. Esse fe-
nômeno ocorre, porque a energia necessária para evaporar o solvente 
é maior na solução, uma vez que as partículas de soluto reduzem a pro-
babilidade de escape, ou seja, a evaporação das partículas de solvente.
 Crioscopia
A crioscopia (ou criometria) é uma propriedade coligativa na qual ob-
servamos o abaixamento da temperatura de congelamento de um líquido 
por meio da adição de um soluto não volátil. 
No gráfico abaixo, que representa o diagrama de fases da água, po-
demos observar que a curva referente à solução encontra-se abaixo do 
solvente puro. 
T
0
DT
C
Solvente puro
(líquido)
Solvente na
solução
P
0
P
T0
Solvente puro
(sólido)
Temperatura (°C)
Pressão de vapor (mmHg)
<
 Osmometria 
Para o entendimento da osmometria, primeiramente vamos definir o 
conceito de osmose: passagem de solvente do meio menos concen-
trado (hipotônico) para o meio mais concentrado (hipertônico) através 
de uma membrana semipermeável. O meio hipotônico pode ser uma 
solução mais diluída ou apenas água. Haverá uma diminuição de volume 
nesse meio e um aumento de volume no meio hipertônico.
A tonoscopia avalia a 
mudança da pressão de 
vapor de um solvente e 
de suas soluções a uma 
temperatura constante, 
enquanto a ebulioscopia
avalia a mudança da 
temperatura de ebulição 
de um solvente e de suas 
soluções a uma pressão de 
vapor constante.
ligado
Fique
Discussão em sala
Em janeiro de 2020, diversas 
reportagens foram feitas a respeito 
de um lote de cervejas de uma 
fábrica de Belo Horizonte após 
alguns casos de contaminação e, 
até mesmo, de morte de pessoas 
após sua ingestão.
É comum a utilização de um 
líquido viscoso, que passa por 
uma serpentina, dentro ou fora 
dos tonéis de cerveja, para resfriar 
a bebida. O procedimento não 
faz com que a bebida congele, e 
esse líquido não entra em contato 
com a cerveja no processo de 
resfriamento. Utiliza-se o etileno-
glicol (ou monoetilenoglicol, de 
fórmula HO2CH22CH22OH, cuja 
nomenclatura, segundo a IUPAC, é 
etano-1,2-diol) nesse processo de 
resfriamento. Resultados de análi-
ses também indicaram a presença 
de dietilenoglicol (de fórmula 
estrutural 
HO2CH22CH22OCH22CH22OH 
e nomenclatura, segundo a IUPAC, 
2,2’-oxibisetan-1-ol) na cerveja, 
uma substância não utilizada em 
processos de resfriamento envol-
vendo alimentos. Ambos contêm o 
grupo etileno (2CH22CH22), po-
rém, no dietilenoglicol, ele ocorre 
duas vezes.
Pesquise e traga suas anotações 
para discutir em sala:
Por que é necessária a adição de 
um anticongelante no processo? 
Para os seres humanos, quais são 
as principais consequências da 
ingestão dessas substâncias? 
Diagrama de fases do solvente e da solução.
92 QUÍMICA / Frente A
As membranas semipermeáveis recebem esse nome porque apresentam ação seletiva quanto 
ao tipo de substância que pode atravessá-las. Elas podem ser compostas de tecidos artificiais, 
como papel celofane e pergaminho, ou de tecidos orgânicos, como a membrana plasmática das 
células, a película do ovo de galinha, a bexiga urinária, entre outros. 
Considere, como exemplo, o sistema abaixo, formado por soluções de água e sal e uma mem-
brana semipermeável. Nele, há um movimento espontâneo mais acentuado de moléculas de água 
da esquerda para a direita até que as concentrações das soluções se igualam. 
A capacidade que cada solvente apresenta de atravessar uma membrana semipermeável está 
relacionada à sua pressão de vapor. Dados experimentais mostram que, quanto maior a pressão de 
vapor do solvente, maior será sua tendência de atravessar uma membrana semipermeável.
Fenômeno da osmose: passagem de 
solvente do meio menos concentrado 
para o mais concentrado, sendo o meio 
menos concentrado (A) uma solução 
ou (B) apenas água. Observamos em 
(C) que os vasos têm a mesma altura 
quando a pressão está constante e, 
com a osmose, há uma diminuição de 
h1, deixando p1 > p.
h
1
h
1
 = h
2
p
1
 = constante p
1
 > p
h
1
h
h
1
 < h
ph
2
C
Esquema dos efeitos da osmose em hemácias.
solução hipertônica
(murcha) 
solução isotônica
(normal)
solução hipotônica
(lisada)
N
a
e
b
ly
s
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
... a membrana plasmática das células é semipermeável, permitindo que ocorra osmose. Dessa forma, o soro 
fisiológico, utilizado em hospitais para aplicação intravenosa, deve ter concentração equivalente a uma solução de 
0,9% de cloreto de sódio, a mesma pressão osmótica que o sangue e as hemácias, ou seja, uma solução isotônica. 
Qualquer desequilíbrio pode causar danos às hemácias: utilizando água destilada (meio hipotônico) ocorre grande 
entrada de água nas células, o que pode levar ao rompimento da membrana plasmática, processo conhecido como 
“lise” celular, e à morte da hemácia. Ao se empregar uma solução saturada de cloreto de sódio (meio hipertônico), 
no entanto, ocorre diminuição de volume, retração da célula e, provavelmente, a morte dela.
Solução
diluída
Solução
concentrada
Membrana
semipermeável
Moléculas
de água
Partícula
de sal
A
Membrana
semipermeável
Moléculas
de água
Osmose
Partícula
de sal
Solução
diluída
Solução
concentrada
Membrana
semipermeável
Moléculas
de água
Partícula
de sal
B
Membrana
semipermeável
As moléculas de
água passam através
da membrana
93CAPÍTULO T2 / Outras propriedades coligativas
Pressão osmótica
A pressão osmótica (p) é a pressão exercida sobre a solução mais 
concentrada para impedir que a osmose ocorra. Adapta-se um êmbolo 
ao vaso da solução para interromper a osmose.
Pressão exercida
para impedir a
diluição da solução.
Membrana semipermeável
Solução
Água
pura
π
Esquema geral do funcionamento da pressão osmótica.
A osmometria estuda o aumento da pressão osmótica de um líquido, 
quando a ele é adicionado um soluto não volátil. Para calcular a pressão 
osmótica, utilizamos uma equação matemática proposta pelo químico 
neerlandês Jacobus Henricus van’t Hoff (1852-1911):
p 5 ? ? ?
n
V
R T i ou p = M ? R ? T ? i
Em que:
M: concentração em mol/L; 
R: constante universal dos gases ideais;
T: temperatura (em K);
i: fator de Van’t Hoff ou fator de correção.
Segundo Van’t Hoff, a pressão osmótica, em soluções diluídas, é dire-
tamente proporcional à concentração em mol/L da solução e à tempera-
tura, assim como ocorre na equação dos gases perfeitos, proposta pelo 
engenheiro civil e físico-químico francês Benoît-Pierre-Émile Clapeyron 
(1799-1864). Veja:
P ? V = n ? R ? T
Substituindo P por p, teremos
⇒p ? 5 ? ? p 5 ? ? ~ p 5V n R T
n
V
R T M ? R ? T
1 UFRGS Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas do enunciado abaixo, na ordem 
em que aparecem.
Uma solução injetável foi preparada de modo inadequado, pois, ao entrar na corrente sanguínea, 
promoveu o inchamento e a ruptura dos glóbulos vermelhos. A solução é, portanto, __________ em 
relação ao soro sanguíneo, e a concentração de soluto é __________ àquela que deveria ter sido 
preparada. 
a) hipotônica – superior 
b) hipotônica – inferior 
c) isotônica – superior 
d) hipertônica – superior 
e) hipertônica – inferior 
Resolução:
Alternativa B.
A solução hipotônica é menos concentrada e, consequentemente, sua pressão de vapor é maior. 
Questão resolvida
Mais
Ciência Explica – 
"Por que os peixesde água salgada não 
sobrevivem em água 
doce?" 
ClickCiência UFSCar
Um peixe que vive em água doce 
pode viver normalmente em água 
salgada? Assista ao vídeo para 
conferir a resposta. 
Disponível em: 
<https://www.youtube.com/
watch?v=Hs2xqVRMWds>. 
Acesso em: 3 ago. 2021.
94 QUÍMICA / Frente A
Osmose 
O experimento tem como objetivo compreender o 
processo de osmose e a importância da ingestão do 
soro caseiro em casos de diarreia.
Materiais
• 1 batata tipo inglesa; 
• 1 recipiente plástico de 250 mL (caneca de plástico); 
• água destilada (vendida em farmácias); 
• 1 rolo de filme de PVC; 
• 1 copo plástico de café;
• 1 seringa hipodérmica esterilizada de 1 mL (vendida 
em farmácias); 
• 1 colher de chá; 
• açúcar (cristal ou refinado); 
• 1 haste flexível sem o algodão nas pontas; 
• corante alimentício vermelho. 
Obs.: todos os materiais podem ser visualizados na 
figura a seguir.
Procedimento
• Tome a seringa e corte a sua ponta, de tal modo 
que ela possa ser usada como um fura-rolhas.
• Faça um orifício em uma batata do tipo inglesa com o 
auxílio da seringa (fura-rolhas). Tome o devido cuidado 
para não romper o tubérculo. O orifício formado deve 
ter uma profundidade adequada, isto é, a metade do 
comprimento da haste flexível de plástico. 
• Corte uma tira do filme de PVC de aproximadamen-
te 30 cm de comprimento e 3 cm de largura. 
• Pegue uma haste flexível, retire o algodão das 
pontas e envolva a parede central externa com o 
filme de PVC. 
• Dissolva em 30 mL de água, contidos em um copo 
plástico de café, uma colher de chá de açúcar 
(aproximadamente 3,5 g) e uma pequena quantida-
de do corante de alimento vermelho (aproximada-
mente 1,2 g). Transfira a solução para o orifício feito 
na batata. 
• Tampe o orifício com a haste flexível revestida com 
o filme de PVC.
• Coloque a batata em um copo contendo água de 
torneira (ou, preferencialmente, água destilada) e 
deixe em repouso de 3 a 6 h.
VIEIRA, Heberth J.; FIGUEIREDO-FILHO, Luiz C. S. de; FATIBELLO-
-FILHO, Orlando. “Um experimento simples e de baixo custo para com-
preender a osmose”. Química Nova na Escola. São Paulo, n. 26, p. 41-2, 
nov. 2007. Disponível em: <http://qnesc.sbq.org.br/online/qnesc26/
v26a11.pdf>. Acesso em: 3 ago. 2021. (Adapt.).
1 Como a ingestão de soro caseiro ajuda na conten-
ção da diarreia?
 
 
 
 
2 O que podemos observar após a realização do 
experimento?
 
 
 
 
D
o
tt
a
2
Material necessário para o experimento de demonstração 
do processo de osmose.
Fator de Van’t Hoff
Na equação proposta por Van’t Hoff, existe um fator de correção (representado por i) que deve ser levado em 
conta quando temos uma solução. As propriedades coligativas dependem do número de partículas dispersas 
em solução. 
Assim, para soluções moleculares, sempre teremos uma única partícula dispersa (representada por q; logo q = 1) 
em solução, uma vez que não formam íons (exceto os ácidos). 
Observe, por exemplo, o comportamento de uma solução de glicose em água:
5 5
C H O (s) C H O (aq)6 12 6
H2O
6 12 6
1
 →
i q
� ��� ���
Experimento
95CAPÍTULO T2 / Outras propriedades coligativas
É possível comparar o efeito coligativo que duas ou mais soluções terão sobre um solvente analisando ape-
nas o fator de correção de Van’t Hoff, desde que apresentem a mesma concentração em mol/L. Caso elas 
tenham concentrações diferentes, devemos encontrar um critério de comparação (representado por x), que é 
obtido multiplicando-se o fator de correção de Van’t Hoff pela concentração em mol/L de cada solução. Veja:
x 5 M ? a
Quanto maior o valor de x, maior o efeito coligativo gerado, ou seja:
• menor será a pressão de vapor da solução;
• maior será a pressão osmótica da solução;
• menor será a temperatura de congelamento da solução;
• maior será a temperatura de ebulição da solução.
Já para soluções iônicas, sempre teremos q > 1, pois ocorre dissociação iônica quando a substância entra 
em contato com a água. 
Observe, por exemplo, o comportamento de soluções de cloreto de sódio e cloreto de bário em água:
 →L L1 2
5 5
NaC (s) Na (aq) + C (aq)
H2O
2i q
� ���� ����
 →L 1 L1 2
5 5
BaC (s) Ba (aq) 2 C (aq)2
H2O 2
3i q
� ���� ����
Até agora, estamos considerando soluções que estão totalmente ionizadas, ou seja, que apresentam grau 
de ionização (a) igual a 100%. No entanto, sabemos que, na prática, elas nem sempre estarão 100% ionizadas, o 
que interfere no fator de Van’t Hoff. 
Vamos utilizar, como exemplo, uma solução de ácido sulfúrico 85% ionizada. Teremos:
H SO 22 4 
 →
1 2O 2 H S 11 2O 2 H SO4
2
Início 100 0 0
Ionização 85 2 ? 85 85
Final 15 170 85
Analisando a tabela, podemos concluir que, de cada 100 moléculas de H2SO4 inicialmente utilizadas, 15 per-
manecem sem sofrer ionização, e 255 se ionizam, totalizando 270 partículas em solução aquosa, aumentando 
2,7 vezes o efeito coligativo para essa solução, e não 3,0 vezes, como seria previsto para uma solução com grau 
de ionização 100%.
Podemos generalizar uma fórmula para calcularmos o grau de ionização para moléculas que não estão 100% 
ionizadas. Admitindo uma molécula genérica como CxAy, teremos:
C A
x y
1 2x Cy x → 11 2y Ay x
Início 1 0 0
Ionização 1 – a x ? a y ? a
Final 1 – a x ? a y ? a
O fator de correção (i) de Van’t Hoff será:
i 5 1 2 a 1 xa 1 ya ~ i 5 1 1 a(21 1 x 1 y) [1]
Para esse composto genérico, admitimos q como:
5 1q x y [2]
Substituindo 2 em 1, teremos:
i 5 1 1 a(q 2 1)
 →O 22 4
H2O
1
1 2O 2 H S
H2O
 → 1
1 2y Ay x
 → 1
1 2H SO 2 H SO2 4
H2O
4
2
96 QUÍMICA / Frente A
 Lei de Raoult para as propriedades 
coligativas 
O físico-químico francês François Marie Raoult (1830-1901) realizou di-
versos estudos relacionados às propriedades coligativas, criando leis re-
presentadas por equações matemáticas. 
Para a tonoscopia, Raoult afirma que o abaixamento relativo da 
pressão máxima de vapor de um líquido é aproximadamente igual à 
fração molar do soluto (X1).
Solvente puro
Solução
Efeito tonoscópico
Pressão de vapor (mmHg)
Temperatura (°C)
∆P
T
P
0
P
0
Análise quantitativa do abaixamento da pressão máxima de vapor.
No gráfico, temos:
• P0: pressão máxima de vapor do solvente; 
• P: pressão máxima de vapor da solução;
• DP 5 P0 2 P: abaixamento absoluto da pressão máxima de vapor;
• 
D
5
2
: abaixamento relativo da pressão máxima de vapor
0
0
0
P
P
P P
P
 
(sendo a diferença sempre entre a maior e a menor pressão).
Pelo enunciado da Lei de Raoult, teremos:
D
à 5, em que
0
1 1
1P
P
X X
n
n
Quando a solução é bem diluída, a quantidade de matéria do solu-
to (n1) é pequena, e como n = n1 + n2, podemos reduzir a n à n2. Assim:
à ~ à
?
?
1
1
2
1
1 2
2 1
X
n
n
X
m M
m M
Multiplicando o numerador e o denominador por 1  000 e fazendo o 
arranjo dos termos, teremos:
à
?
?1000
1000
1
2 1
1 2
X
M m
M m
KT W
� �� ���
Na expressão, temos:
• KT: constante tonoscópica;
• W: molalidade, sendo 5
(mol)
(Kg)
1
2
W
n
m
.
Logo:
X1 à KT ? W ou 
D
0
P
P
 à KT ? W
Observe que a constante tonoscópica depende da natureza do sol-
vente e independe do tipo de partícula (soluto) dissolvida. O mesmo 
ocorre com a ebulioscopia e a crioscopia.
97CAPÍTULO T2 / Outras propriedades coligativas
Para a ebulioscopia, teremos:
Solvente
puro
∆T
e
T
0
T<
P
0
Pressão (mmHg)
Temperatura (°C)
Ebulição
da solução
Análise quantitativa da variação da temperatura de ebulição.
DTe 5 Ke ? W ? i
Sendo:
• DTe: aumento da temperatura de ebulição (sendo a diferença sempre 
entre a maior e a menor temperatura); 
• Ke: constante ebulioscópica;
• W: molalidade;
• i: fator de correção de Van’t Hoff.
Para a crioscopia, teremos:
T
∆T
C
 
∆T
C
 = T
2
 – T
Solvente puro
(líquido)
Solvente na
solução
P
2
P
T
2
0
Solvente puro
(sólido)
Temperatura (°C)
Pressão (mmHg)
Análise quantitativa da variação da temperatura de congelamento.
DTc 5 Kc ? W ? i
Sendo:
• DTc: diminuição da temperatura de congelamento(sendo a diferença 
sempre entre a maior e a menor temperatura); 
• Kc: constante crioscópica;
• W: molalidade;
• i: fator de correção de Van’t Hoff.
1 Explique quais são as propriedades coligativas en-
volvidas no sistema de arrefecimento de automóveis 
com etilenoglicol.
 
 
 
 
2 Antigamente, uma prática comum para armazenar 
carnes era salgá-las. Explique o conceito envolvido 
e diga o nome da propriedade coligativa que explica 
a técnica utilizada.
 
 
 
Aplicando conhecimentos
98 QUÍMICA / Frente A
1 UFRGS 2017 As figuras abaixo representam a variação 
da temperatura, em função do tempo, no resfriamento 
de água líquida e de uma solução aquosa de sal.
T
1
T
t
T
2
T
t
Considere as seguintes afirmações a respeito das 
figuras.
I. A curva da direita representa o sistema de água 
e sal.
II. T1 5 T2.
III. T2 é inferior a 0 °C.
Quais estão corretas?
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas I e III. 
e) I, II e III. 
2 Unicamp-SP 2017 O etilenoglicol é uma substância 
muito solúvel em água, largamente utilizado como 
aditivo em radiadores de motores de automóveis, 
tanto em países frios como em países quentes. 
Considerando a função principal de um radiador, po-
de-se inferir corretamente que: 
a) a solidificação de uma solução aquosa de eti-
lenoglicol deve começar a uma temperatura 
mais elevada que a da água pura, e sua ebu-
lição, a uma temperatura mais baixa que a da 
água pura. 
b) a solidificação de uma solução aquosa de etile-
noglicol deve começar a uma temperatura mais 
baixa que a da água pura, e sua ebulição, a uma 
temperatura mais elevada que a da água pura. 
c) tanto a solidificação de uma solução aquosa de eti-
lenoglicol quanto a sua ebulição devem começar 
em temperaturas mais baixas que as da água pura. 
d) tanto a solidificação de uma solução aquosa de eti-
lenoglicol quanto a sua ebulição devem começar 
em temperaturas mais altas que as da água pura. 
3 Unicamp-SP 2021 Em 2020, o Brasil foi impactado 
com a notícia de que muitas pessoas haviam se conta-
minado ao ingerir cerveja. Como se apurou mais tarde, 
a bebida havia sido contaminada por dietilenoglicol. O 
fabricante argumentou que havia comprado monoetile-
noglicol, e que o dietilenoglicol chegou ao produto por 
contaminação ou por engano. A respeito desse episó-
dio, pode-se afirmar que, se o dietilenoglicol, que es-
tava dissolvido em água, fosse utilizado no sistema de 
a) resfriamento na linha de produção de cerveja, 
esse material poderia ser substituído por etanol, 
mas não por sal de cozinha. 
b) aquecimento na linha de produção de cerveja, 
esse material poderia ser substituído por etanol. 
c) resfriamento na linha de produção de cerveja, esse 
material poderia ser substituído por sal de cozinha. 
d) aquecimento na linha de produção de cerveja, 
esse material poderia ser substituído por etanol, 
mas não por sal de cozinha.
4 Uece 2018 O propanotriol, presente em alimentos 
industrializados, é também usado como umectante, 
solvente e amaciante. Utilizando-se a constante ebu-
lioscópica da água 0,512 °C ? kg/mol é correto afirmar 
que o ponto de ebulição de 18,4 g de propanotriol 
dissolvidos em 500 g de água é, aproximadamente,
3 Comparando três soluções, todas com a mesma con-
centração em mol/L, coloque-as em ordem crescente 
de temperatura de ebulição: C12H22O11, AgNO3 e MgBr2.
 
 
 
4 Comparando as mesmas soluções do exercício 
anterior, porém com concentrações diferentes: 
0,1 mol/L, 0,5 mol/L e 0,8 mol/L, a ordem crescente de 
temperatura de ebulição seria a mesma?
 
 
5 PUC-RS Tanto distúrbios intestinais graves quanto a 
disputa em uma maratona podem levar a perdas im-
portantes de água e eletrólitos pelo organismo. Con-
siderando que essas situações exigem a reposição 
cuidadosa de substâncias, um dos modos de fazê-lo 
é por meio da ingestão de soluções isotônicas. Essas 
soluções: 
a) contêm concentração molar de cloreto de sódio 
igual àquela encontrada no sangue. 
b) contêm massa de cloreto de sódio igual à massa 
de sacarose em dado volume. 
c) têm solvente com capacidade igual à do sangue 
para passar por uma membrana semipermeável. 
d) apresentam pressão osmótica igual à pressão 
atmosférica. 
e) apresentam pressão osmótica igual à da água. 
CONSOLIDANDO SABERES
99CAPÍTULO T2 / Outras propriedades coligativas
Dados: C 5 12; H 5 1; O 5 16. 
a) 100,14 °C 
b) 100,20 °C 
c) 100,60 °C
d) 100,79 °C
5 Unesp 2018 A concentração de cloreto de sódio no 
soro fisiológico é 0,15 mol/L. Esse soro apresenta a 
mesma pressão osmótica que uma solução aquosa 
0,15 mol/L de: 
a) sacarose, C12H22O11 
b) sulfato de sódio, Na2SO4
c) sulfato de alumínio, AL2(SO4)3
d) glicose, C6H12O6
e) cloreto de potássio, KCL
6 Cefet-MG O Mar Morto corresponde a uma grande 
extensão de águas localizadas entre Israel e a Jordâ-
nia e apresenta alto teor salino, em torno de 300 g 
de sal por litro de água, inviabilizando a vida marinha. 
Essa característica é responsável pelo fato de suas 
propriedades serem distintas daquelas pertencentes 
à água pura, como, por exemplo,
a) maior pressão de vapor.
b) menor pressão osmótica.
c) maior temperatura de fusão.
d) menor condutibilidade elétrica.
e) maior temperatura de ebulição.
7 Uece 2016 O soro fisiológico e a lágrima são solu-
ções de cloreto de sódio a 0,9% em água, sendo iso-
tônicos em relação às hemácias e a outros líquidos 
do organismo. Considerando a densidade absoluta 
da solução 1  g/mL a 27  °C, a pressão osmótica do 
soro fisiológico será aproximadamente:
Dados: Na 5 23; CL 5 35,5; 
R 5 0,082 atm ? L ? mol21 ? K21.
a) 10,32 atm.
b) 15,14 atm.
c) 8,44 atm.
d) 7,57 atm.
8 Uece 2017 O ponto de ebulição do etanol em de-
terminadas condições é 78,22 °C. Ao dissolver um 
pouco de fenol no etanol, um estudante de quími-
ca produziu uma solução com ponto de ebulição 
78,82 °C, nas mesmas condições. Sabendo-se que 
o etanol tem Ke 5 1,2 °C ? mol ? kg
21 pode-se afirmar 
corretamente que a molalidade da solução é:
a) 0,25 M
b) 0,30 M
c) 0,50 M
d) 0,60 M
9 UFRGS 2019 A água é fundamental para a vida conhe-
cida na Terra, de modo que a busca de planetas habi-
táveis ou com vida normalmente envolve, entre outros 
aspectos, a procura pela existência de água. Conside-
re as afirmações abaixo, a respeito da água na biosfera.
I. A água é decomposta em oxigênio e hidrogênio, 
através da respiração dos peixes.
II. A água do mar é inadequada ao consumo huma-
no devido à sua alta pressão osmótica.
III. Águas quentes possuem maior quantidade dis-
solvida de gás carbônico.
Quais estão corretas?
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
10 UFSC 2018 Em relação às proposições abaixo, é 
correto afirmar que:
01. um alpinista no topo do Morro do Cambirela 
precisará de mais energia para ferver a água 
contida em uma chaleira do que um turista que 
estiver nas areias da Praia de Jurerê, conside-
rando-se volumes iguais de água.
02. a água para cozimento do macarrão, se já estiver 
adicionada de sal de cozinha, entra em ebulição 
em uma temperatura maior do que a água pura.
04. ao temperar com azeite de oliva uma salada 
com folhas úmidas pelo processo de lavagem, 
forma-se uma mistura homogênea entre a água 
retida na superfície das folhas e o azeite.
08. a combustão de gasolina em um motor de auto-
móvel é um fenômeno químico que representa 
uma reação exotérmica.
16. o derretimento de uma barra de chocolate em 
um dia quente de verão é exemplo de uma 
transformação química.
32. em um mesmo dia e sob as mesmas condições 
de temperatura e pressão ambientes, a água potá-
vel de um reservatório aberto evapora a uma taxa 
maior do que a água do mar na Praia dos Ingleses.
64. o odor característico do vinagre sentido ao se 
temperar uma salada é decorrente da transfor-
mação química sofrida pelas moléculas de áci-
do acético, que passam do estado líquido ao 
estado gasoso.
Soma: 
11 Udesc 2019 Um aluno de química encontrou 5 fras-
cos na bancada do laboratório. Os frascos seriam 
utilizadosem um experimento sobre propriedades 
coligativas e apresentam descrições de acordo com 
a tabela abaixo:
FRASCO IDENTIFICAÇÃO
1 Solução de HCL 0,1 mol/L
2 Solução de Glicose 0,5 mol/L
3 Solução de MgCL2 0,1 mol/L
4 Solução de KCL 0,2 mol/L
5 Solução de CaCL2 0,2 mol/L
Analisando a descrição dos frascos, o aluno chegou 
à conclusão de que a ordem crescente de tempera-
tura de congelamento das soluções é:
a) 2 < 1 < 4 < 5 < 3
b) 1 < 3 < 4 < 2 < 5
c) 1 < 4 < 5 < 3 < 2
d) 5 < 2< 4 < 3 < 1
e) 4 < 5 < 1 < 3 < 2
100 QUÍMICA / Frente A
As questões selecionadas nesta seção são prioritariamente do Enem, mas questões de vestibulares diversos que apre-
sentam características semelhantes aos itens do referido exame também foram usadas como recurso para estudo.
No ENEM é assim
101CAPÍTULO T2 / Outras propriedades coligativas
1 Enem 2017 Na Idade Média, para elaborar prepara-
dos a partir de plantas produtoras de óleos essen-
ciais, as coletas das espécies eram realizadas ao 
raiar do dia. Naquela época, essa prática era funda-
mentada misticamente pelo efeito mágico dos raios 
lunares, que seria anulado pela emissão dos raios 
solares. Com a evolução da ciência, foi comprovado 
que a coleta de algumas espécies ao raiar do dia ga-
rante a obtenção de material com maiores quantida-
des de óleos essenciais.
A explicação científica que justifica essa prática se 
baseia na: 
a) volatilização das substâncias de interesse. 
b) polimerização dos óleos catalisada pela radiação 
solar. 
c) solubilização das substâncias de interesse pelo 
orvalho. 
d) oxidação do óleo pelo oxigênio produzido na 
fotossíntese. 
e) liberação das moléculas de óleo durante o pro-
cesso de fotossíntese.
2 Enem PPL 2018 Bebidas podem ser refrigera-
das de modo mais rápido utilizando-se caixas de 
isopor contendo gelo e um pouco de sal grosso 
comercial. Nesse processo ocorre o derretimento 
do gelo com consequente formação de líquido e 
resfriamento das bebidas. Uma interpretação equi-
vocada, baseada no senso comum, relaciona esse 
efeito à grande capacidade do sal grosso de remo-
ver calor do gelo.
Do ponto de vista científico, o resfriamento rápido 
ocorre em razão da: 
a) variação da solubilidade do sal. 
b) alteração da polaridade da água. 
c) elevação da densidade do líquido. 
d) modificação da viscosidade do líquido.
e) diminuição da temperatura de fusão do líquido.
3 Enem PPL 2019 Em regiões desérticas, a 
obtenção de água potável não pode depender ape-
nas da precipitação. Nesse sentido, portanto, siste-
mas para dessalinização da água do mar têm sido 
uma solução. Alguns desses sistemas consistem 
basicamente de duas câmaras (uma contendo água 
doce e outra contendo água salgada) separadas por 
uma membrana semipermeável. Aplicando-se pres-
são na câmara com água salgada, a água pura é for-
çada a passar através da membrana para a câmara 
contendo água doce.
O processo descrito para a purificação da água é 
denominado 
a) filtração. 
b) adsorção. 
c) destilação. 
d) troca iônica. 
e) osmose reversa. 
4 Famerp-SP 2020 A tabela apresenta as pressões 
de vapor, à mesma temperatura, de três substâncias 
polares I, II e III.
SUBSTÂNCIA PRESSÃO DE VAPOR (mmHg)
I 60
II 200
III 260
Considerando as informações fornecidas, pode-se 
afirmar que 
a) a substância II estará no estado gasoso à tempe-
ratura ambiente. 
b) a substância III apresentará menor pressão de va-
por em maior altitude. 
c) a substância I apresenta a maior intensidade de 
interações entre suas moléculas. 
d) a substância I apresentará maior temperatura de 
ebulição se for adicionada a ela certa quantidade 
da substância II. 
e) a substância III apresenta a maior temperatura de 
ebulição. 
5 Enem 2017 Alguns tipos de dessalinizadores usam o 
processo de osmose reversa para obtenção de água 
potável a partir da água salgada. Nesse método, uti-
liza-se um recipiente contendo dois compartimentos 
separados por uma membrana semipermeável: em 
um deles coloca-se água salgada e no outro recolhe-
-se a água potável. A aplicação de pressão mecânica 
no sistema faz a água fluir de um compartimento para 
o outro. O movimento das moléculas de água através 
da membrana é controlado pela pressão osmótica e 
pela pressão mecânica aplicada.
Para que ocorra esse processo é necessário que as 
resultantes das pressões osmótica e mecânica apre-
sentem: 
a) mesmo sentido e mesma intensidade. 
b) sentidos opostos e mesma intensidade. 
c) sentidos opostos e maior intensidade da pressão 
osmótica. 
d) mesmo sentido e maior intensidade da pressão 
osmótica. 
e) sentidos opostos e maior intensidade da pressão 
mecânica. 
102 GABARITO102 GABARITO
 Gabarito
F R E N T E A
CAPÍTULO T1
Pressão máxima de vapor
Aplicando conhecimentos
1 Ponto A: sólido
Ponto B: líquido
Ponto C: ponto crítico (passagem para fluido supercrítico)
Ponto D: gasoso
Ponto E: líquido
Ponto T: ponto triplo; condição de pressão e temperatura na 
qual os estados físicos sólido, líquido e gasoso coexistem.
2 Soluções: sistemas homogêneos formados por partículas com 
tamanho máximo de 1 nm.
Coloides: sistemas heterogêneos não visíveis a olho nu forma-
dos por partículas com tamanho variável entre 1 nm e 1000 nm.
Suspensões: sistemas heterogêneos formados por partículas 
com tamanho superior a 1000 nm.
3 D
4 A moradora de Campinas deve deixar o ovo cozinhar por mais 
tempo em La Paz, uma vez que essa cidade está localizada em 
maior altitude se comparada a Campinas, e, quanto maior a al-
titude, menor a pressão e menor a temperatura de ebulição da 
água. O ovo precisará de mais tempo para ficar cozido como 
de costume, pois a temperatura de cozimento será menor.
Consolidando saberes
1 A
2 D
3 C
4 
a) Quanto maior a pressão de vapor, menores as forças inter-
moleculares e vice-versa. De acordo com a tabela: 
790 mmHg > 760 mmHg > 795 mmHg.
P
vapor
(butan-2-ol) > P
vapor
(água) > P
vapor
(hexan-3-ol).
Forças atrativas (butan-2-ol) < forças atrativas (água) < for-
ças atrativas (hexan-3-ol).
760
100
Butan-2-ol
Água
Hexan-3-ol
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Temperatura (°C) 
b) Ambos os álcoois apresentam ligações de hidrogênio (em 
razão do grupo –OH) entre suas moléculas, porém o bu-
tan-2-ol tem uma cadeia carbônica menor (quatro átomos 
de carbono) que a do hexan-3-ol (seis átomos de carbono), 
fazendo que o caráter apolar (em razão da cadeia carbôni-
ca) do segundo prevaleça em comparação ao primeiro.
5 D 6 C 7 D 8 D 9 A
SUPERAÇÃO
B
CAPÍTULO T2
Outras propriedades coligativas
Aplicando conhecimentos
1 O etilenoglicol eleva a temperatura de ebulição da água do mo-
tor do automóvel e diminui a sua temperatura de congelamento, 
além de evitar a corrosão do sistema. As propriedades coligativas 
envolvidas, respectivamente, são a ebulioscopia e a crioscopia.
2 A propriedade coligativa envolvida nesse caso é a osmose. O 
meio externo (carne que recebeu o sal) está mais concentrado 
justamente pela adição do sal, e o meio interno (interior das 
células da carne) está menos concentrado. Assim, haverá saída 
de água das células dos microrganismos que poderiam causar 
a deterioração da carne, o que a conserva por mais tempo.
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1. C H O C H O
2. AgNO Ag NO
3. MgBr Mg 2 Br
Logo: 1 2 3.
12 22 11
H2O
12 22 11
1 mol de moléculas
3
H2O
3
2 mol de íons
2
H2O 2
3 mol de íons
 →
 →
 →
4 Como as soluções apresentam diferentes concentrações, de-
vemos achar um critério de comparação (x), multiplicando o va-
lor da concentração em mol/L pelo fator de correção de Van’t 
Hoff para soluções 100% ionizadas. Teremos:
1
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1 2
5 5 ? 5
1 2
5 5 ? 5
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1. C H O C H O
2. AgNO Ag NO
3. MgBr Mg + 2 Br
12 22 11
H2O
12 22 11
1 mol 0,1 0,1
3
H2O
3
2 mol 0,5 1,0
2
H2O 2
3 mol 0,8 2,4
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i q
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 →
 →
Logo, 1 < 2 < 3, mantendo a mesma ordem do exercício anterior.
5 C
Consolidando saberes
1 D
2 B3 C
4 B
5 E
6 E
7 D
8 C
9 B
10 Soma: 02 1 08 1 32 5 42
11 D
No Enem é assim
1 A
2 E
3 E
4 C
5 E
103
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45
4646
47
4848
49
50
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52
53
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31
32
33
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Análise combinatória
S e você esquecesse uma senha importante, já pensou 
em quantas tentativas teria de fazer para obtê-la 
novamente?
C aso a senha fosse composta apenas de quatro 
caracteres numéricos distintos, quantas possibilidades 
de senhas existiriam?
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A
Matemática
FRENTE
O estudo que visa à contagem do número de elemen-
tos de um conjunto segundo propriedades específicas é 
a análise combinatória. 
Pense sobre as seguintes questões: Quantas placas 
de automóveis formadas por quatro letras e três algaris-
mos existem? Quantas senhas numéricas com seis núme-
ros distintos podemos criar? Quantos grupos com quatro 
alunos podemos formar em uma sala de aula?
Nesses casos e em outros, estamos abordando proble-
mas que envolvem a contagem, ou seja, problemas de aná-
lise combinatória, em que queremos saber a quantidade de 
agrupamentos ou possibilidades para esses conjuntos.
O surgimento e o desenvolvimento da análise com-
binatória ocorrem de forma paralela em diferentes cam-
pos da Matemática, como na teoria dos números, no es-
tudo das propriedades dos números inteiros e na teoria 
dos jogos, desenvolvida no século XVII por Blaise Pascal 
(1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665).
Atualmente, a necessidade da contagem está presente 
em inúmeras áreas e no cotidiano de todos. Nesta unidade, 
vamos estudar ferramentas e padrões de contagem, e en-
tender estratégias que nos ajudarão a calcular a quantida-
de de maneiras de realizar uma experiência ou determinar 
o número de possibilidades de ocorrência de um evento.
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Princípios de análise combinatória
Um fato marcante, no início do século XXI, é a explosão no uso de telefones celulares, que mudou a for-
ma de as pessoas se comunicarem com a possibilidade de conexão fácil e rápida. Essa mudança ampliou 
o acesso dos brasileiros à internet, principalmente por meio de smartphones. Hoje quase todo cidadão do 
país, de diferentes idades, possui um smartphone, muitos têm mais de um aparelho.
Segundo a Anatel, o Brasil encerrou o mês de maio de 2019 com cerca de 235,45 milhões de linhas de 
telefonia móvel, ou seja, existem mais linhas do que pessoas no país, que, na mesma época, tinha aproxi-
madamente 210 milhões de habitantes.
O grande aumento da quantidade de linhasde celulares gerou demanda por novos números de tele-
fones. Para atender a essa demanda, a Anatel acrescentou um dígito aos números de telefones celulares, 
que até então tinham apenas 8 dígitos. O número 9 foi acrescentado antes do número antigo do celular 
e, em fevereiro de 2017, todos os celulares no Brasil passaram a ter 9 dígitos, no formato 9XXXX-XXXX. 
O acréscimo de mais um digito ampliou muito a quantidade de números distintos disponíveis no país.
 Neste capítulo, serão abordadas as habilidades EM13MAT106 e EM13MAT310.
Hoje em dia, é muito comum as pessoas utilizarem smartphones nos mais variados ambientes.
• Com o acréscimo de um dígito nos números de telefones celulares, qual foi o aumento na quan-
tidade de novas linhas?
• Contar grandes quantidades de elementos, como nos exemplos acima, pode ser uma tarefa mui-
to difícil. Quais são os meios de fazer a contagem de um grande número de elementos?
T1
CAPÍTULO
 Princípios de contagem
Os problemas e situações que envolvem contagem são muitos, cada um com suas características. 
Mesmo sendo a primeira habilidade matemática desenvolvida por uma criança, e que será trabalhada 
por toda a vida, a tarefa de contar nem sempre é fácil. A contagem direta de elementos, ou seja, enume-
rar cada um deles, pode ser inviável dependendo da quantidade. Vejamos alguns exemplos:
• Quantos jogos de seis números distintos podem ser feitos para um jogo da Mega-Sena?
Na Mega-Sena, recebe o maior prêmio quem 
acertar os 6 números sorteados dentre os 60 
disponíveis.
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• A cada dois anos, há eleições no Brasil para os poderes executivo e legislativo. Quantas chapas po-
demos formar com os candidatos disponíveis?
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A urna eletrônica é parte importante do processo 
eleitoral brasileiro.
• As placas usadas nos países do Mercosul são compostas do nome do país em que o veículo foi em-
placado, além de três letras seguidas, um número, uma letra e dois números. Quantas placas distintas 
podem ser formadas?
Placa adotada nos países que integram o 
Mercosul.
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Nos exemplos citados, podemos constatar as dificuldades na contagem direta dos elementos. Com 
isso, para chegarmos a boas estratégias de contagem, vamos estudar os principais fundamentos e prin-
cípios da contagem.
107CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
Princípio da adição
A primeira operação básica, aprendida na infância, é a contagem de elementos. Vejamos 
um exemplo simples que ilustra esse princípio.
Para uma viagem da cidade A para a cidade B, há duas companhias aéreas distintas e três 
empresas de ônibus que oferecem o serviço. De quantas formas essa viagem pode ser feita?
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A: companhias aéreas O: empresas de ônibus
ou
Nosso problema tem dois conjuntos, e as possibilidades de escolhas da viagem estão 
no conjunto A (companhias aéreas) ou no conjunto O (empresas de ônibus). Não há possi-
bilidade de escolher ambos, ou seja, são dois conjuntos disjuntos (interseção vazia). Sendo 
assim, temos:
+ =
� � �
2 3 5
possíveis
companhias aéreas
possíveis
empresas de ônibus
possíveis formas
de realizar a viagem
No exemplo de contagem discutido acima, estamos tratando do princípio da adição.
Se uma decisão A pode ser tomada por x maneiras e uma decisão B 
pode ser tomada por y maneiras, sendo elas independentes, então 
o número de maneiras de se tomar as decisões A ou B é x + y.
Questões resolvidas
1 Samantha tinha R$ 3,00 para comprar uma caneta ou uma lapiseira, cada uma 
custando R$ 3,00. Na papelaria, ela encontrou 8 tipos diferentes de canetas e 
6 tipos diferentes de lapiseiras. De quantas formas distintas Samantha pode fazer 
a compra?
Resolução:
Samantha pode comprar uma caneta ou uma lapiseira, logo há dois conjuntos 
disjuntos, pois com R$ 3,00 é possível fazer uma única compra. Sendo assim, pelo 
princípio da adição, temos:
+ =
� � �
8 6 14
opções de
caneta
opções de
lapiseira
opções de
compra
Portanto, Samantha tem 14 opções de compra distintas.
108 MATEMÁTICA / Frente A
2 Lucas gosta de almoçar em uma feira próxima, pois há grande diversidade de ali-
mentos. Há uma tenda com 5 opções de comida italiana; outra tenda com 3 opções 
de comida mexicana e, por fim, uma tenda com 4 opções de comida japonesa.
De quantas maneiras Lucas pode montar sua refeição, considerando que não há 
restrição de alimentos e que ele faz uma única refeição?
Resolução:
Há três conjuntos de alimentos, que não podem ocorrer de forma simultânea, ou 
seja, conjuntos disjuntos. Sendo assim, pelo princípio da adição, temos:
+ + =
� � � �
5 3 4 12
opções de
comida italiana
opções de
comida mexicana
opções de
comida japonesa
opções de
realizar a refeição
Portanto, Lucas pode fazer a refeição de 12 formas distintas.
Princípio da inclusão-exclusão
No princípio da adição, tratamos do número de elementos da união de conjuntos disjun-
tos (A ∩ B = ∅) e concluímos que é igual à soma dos elementos dos conjuntos.
U
A B
Princípio da adição: n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
No entanto, como nem sempre os conjuntos são disjuntos, para contar o número de ele-
mentos da união, recorremos ao princípio da inclusão-exclusão. Vamos revisar rapidamente 
esse princípio, que será de extrema importância.
Em sua forma mais simples, ou seja, para dois conjuntos, temos:
U
A B
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Para três conjuntos, temos:
U
AB
C
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − (B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
109CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
Questão resolvida
3 Quantos números inteiros de 1 a 100 são divisíveis por 2 ou por 3?
Resolução:
Vamos considerar os dois conjuntos:
A: Conjunto dos inteiros de 1 a 100 que são divisíveis por 2.
B: Conjunto dos inteiros de 1 a 100 que são divisíveis por 3.
Para calcular o número de elementos da união n (A ∪ B), vamos considerar [x] maior inteiro menor ou 
igual a x. Assim, temos:
n A
100
2
50 50( ) =








= 

 =
n B
100
3
33,333 33( ) =








= 

 =…
O conjunto A ∩ B tem todos os números inteiros de 1 a 100 que são divisíveis por 2 e 3, simultanea-
mente, ou seja, divisíveis por 6.
n A B
100
6
16,666 16( )∩ =








= 

 =…
Portanto, a cardinalidade na união será n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 50 + 33 − 16 = 67.
O princípio da inclusão-exclusão, quando aplicado para contagem de elementos da união de quatro conjuntos, é 
dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∪ ∪ ∪ = + + + − ∩ − ∩ − ∩ − ∩ − ∩ − ∩ +
+ ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ − ∩ ∩ ∩
n A B C D n A n B n C n D n A B n A C n A D n B C n B D n C D
n A B C n A B D n A C D n B C D n A B C D
O mesmo princípio pode ser aplicado na contagem da união de cinco ou mais conjuntos, seguindo a mesma ideia 
apresentada pelas fórmulas até aqui.
Aprofundando
Diagrama de árvore
A chave para uma boa e segura resolução de 
problemas que envolvem contagem é a escolha 
de como serão organizadas as estratégias para efe-
tuar a contagem.
Uma excelente estrutura para contagem é o dia-
grama de árvores, que consiste na organização das 
possibilidades em um diagrama ramificado, no qual 
cada ramificação descreve uma sequência de acon-
tecimentos. Com esse diagrama, é obtido o total de 
possibilidades de ocorrência do evento.
A figura ao lado representa um diagrama de ár-
vores, que pode auxiliar na resolução de muitos pro-
blemas para determinar o total de possibilidades em 
uma sequência de eventos. Também pode ser utiliza-
do em árvores genealógicas e na organização hierár-
quica de uma empresa.
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110 MATEMÁTICA / Frente A
4 Em um torneio de tênis entre Amanda e Betina, ficou combinado que quem obtivesse duas vitórias 
primeiroseria a vencedora. Sendo assim, determine as possibilidades de resultados do torneio.
Resolução:
Para contarmos quantos resultados o torneio pode ter, vamos definir pela letra A a vitória de Amanda 
e pela letra B a vitória de Betina. Cada uma das hipóteses será representada em um esquema com 
os possíveis resultados. Sendo assim, o diagrama será ramificado com todas os resultados possíveis. 
Cada ramificação terá fim quando a condição de duas vitórias para uma mesma jogadora for satisfeita.
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
ABA
AA
ABB
BAA
BAB
BB
Conjunto com
todos os
resultados
possíveis
1ª partida 2ª partida 3ª partida
Portanto, no decorrer do torneio podem surgir 6 sequências de resultados possíveis, como podemos 
visualizar no diagrama.
5 Em um jogo, a cada rodada, o jogador fará três jogadas seguidas. Ficou definido que o jogador ganha-
rá 50 pontos na jogada que acertar e perderá 70 pontos na jogada que errar. Supondo que um jogador 
inicie a partida com 300 pontos, determine:
a) Quantas possibilidades de resultados serão possíveis por rodada (três jogadas).
b) Quais serão as pontuações possíveis de um jogador ao final de cada rodada (três jogadas).
Resolução:
a) No problema em questão, podemos utilizar o diagrama de árvore, pois há uma sequência de jogadas 
facilmente contáveis e em cada passagem há novas ramificações de resultados.
Definindo por A o acerto e por E o erro, obtemos o seguinte diagrama de árvore:
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
AAE
AEA
AAA
AEE
EAA
EAE
EEE
EEA
Conjunto com todas
as formas em que 
o jogo pode se 
desenvolver
1ª jogada 2ª jogada 3ª jogada
Portanto, nas 3 jogadas, serão possíveis 8 resultados.
Questões resolvidas
111CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
b) No diagrama aparecem os resultados possíveis. Com ganho de 50 pontos em cada acerto e perda de 
70 pontos em cada erro, as pontuações finais serão:
Resultados AAA AAED AEA AEE EAA EAE EEA EEE
Pontos 450 330 330 210 330 210 210 90
Portanto, as pontuações, ao final de cada rodada, serão: 450, 330, 210, 90.
6 Uma pessoa tem no guarda-roupa 5 blusas e 3 calças. Quantas combinações com as peças (blusa e 
calça) podem ser feitas?
Resolução:
Vamos utilizar um diagrama de árvore para ilustrar as sequências que representam as escolhas das pe-
ças. As 5 opções de blusas serão representadas por {B1, B2, B3, B4, B5} e as 3 opções de calça por {C1, 
C2, C3}. Obtemos o seguinte diagrama:
B₁
B₁C₁
B₁C₂
B₁C₃
B₂C₁
B₂C₂
B₂C₃
B₃C₁
B₃C₂
B₃C₃
B₄C₁
B₄C₂
B₄C₃
B₅C₁
B₅C₂
B₅C₃
C₁
C₂
C₃
Conjunto das
possíveis formas
de a pessoa
se vestir
1ª escolha 2ª escolha
B₂
C₁
C₂
C₃
B₃
C₁
C₂
C₃
B₄
C₁
C₂
C₃
B₅
C₁
C₂
C₃
Portanto, serão 15 combinações distintas (com uma blusa e uma calça).
 Princípio fundamental da contagem
O princípio fundamental da contagem (princípio da multipli-
cação) é uma ferramenta de extrema importância, e será muito 
utilizada futuramente, para resolver problemas de probabilidade. 
Para ilustrar bem esse princípio, acompanhe os exemplos a seguir.
Exemplos:
a) Na hora do almoço, Helena decidiu que iria comer em um food 
truck próximo ao trabalho. Chegando lá, percebeu que havia 
quatro opções de lanches e duas opções de bebidas. Como 
Helena vai consumir um lanche e uma bebida, quantas combi-
nações podem ser feitas para a refeição?
 Uma forma de resolver o problema é com o diagrama de ár-
vore. Chamando as opções de lanche de {L1, L2, L3, L4} e as 
opções de bebida de {B1, B2}, podemos construir um diagrama 
com todas as combinações possíveis para a refeição.
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Os food trucks oferecem diversas opções de 
refeições rápidas.
112 MATEMÁTICA / Frente A
Observe o diagrama de árvore construído:
L₁
B₁ L₁B₁
L₁B₂
L₂B₁
L₂B₂
L₃B₁
L₃B₂
L₄B₁
L₄B₂
B₂
B₁
B₂
B₁
B₂
B₁
B₂
L₂
L₃
L₄
Conjunto das
combinações
de almoço
1ª decisão 3ª decisão
Portanto, podem ser feitas 8 combinações para a refeição. No entanto, podemos pensar, quase de for-
ma intuitiva, que há quatro opções de lanches, e que para cada uma delas há duas possibilidades de 
escolha de bebidas. Portanto, as opções de almoço podem ser calculadas por:
4 . 2 8 combinações de escolhas para o almoço
opções de
lanche
opções de
bebida
=
��
b) Um partido político decide montar uma chapa com can-
didatos à presidência e à vice-presidência da República. 
Para isso, os candidatos devem ser escolhidos entre 
quatro concorrentes com maior tempo de filiação ao 
partido. Determine quantas chapas podem ser formadas 
por esses quatro concorrentes.
Podemos representar todas as possibilidades em um dia-
grama de árvore. Chamando os quatro concorrentes do 
partido de {A, B, C, D}, temos as seguintes possibilidades:
A
B
C
D
B AB
AC
AD
BA
BC
BD
CA
CB
CD
DA
DB
DC
C
D
Conjunto das
possíveis chapas
Escolha do
presidente
Escolha do
vice-presidente
A
C
D
A
B
D
A
B
C
A partir do diagrama, podemos concluir que no total serão 12 chapas possíveis com os quatro principais 
concorrentes do partido. Como no exemplo anterior, podemos pensar que há uma sequência de decisões a 
serem tomadas. A primeira é a escolha do candidato à presidência, que pode ser feita de 4 formas possíveis; 
a segunda é a escolha do vice-presidente que, depois da escolha do presidente, é uma decisão que pode 
ser tomada de 3 formas. Sendo assim, o cálculo direto seria:
��
⋅ =4 3 12 chapas possíveis
candidatos
à presidência
candidatos à
vice-presidência
Palácio da Alvorada em Brasília, 
Distrito Federal.
D
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113CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
Nos dois exemplos discutidos, o uso do diagrama de árvore pode ser uma opção, mas já podemos notar que, 
em alguns problemas, pode ser inviável, devido à grande quantidade de ramificações. Note que a contagem se 
baseou em uma sequência de decisões que podem ser dependentes ou não. Inicialmente há x maneiras de to-
mar a decisão, a seguir y maneiras depois que a primeira foi tomada, então o total de maneiras de tomar ambas 
as decisões será x ⋅ y.
Estamos tratando do princípio fundamental da contagem, ou princípio da multiplicação:
Se uma decisão A pode ser tomada de x maneiras e se, para cada 
uma das x escolhas, outra decisão B pode ser tomada de y maneiras, 
então o número de maneiras de tomar as decisões A e B é x ⋅ y.
7 A viagem de uma cidade A para uma cidade B pode ser feita por 3 caminhos distintos, enquanto a 
viagem da cidade B para outra cidade C pode ser feita por dois caminhos distintos.
A B C
Sendo assim, de quantas maneiras a viagem da cidade A para a cidade C pode ser feita, passando 
sempre pela cidade B?
Resolução:
Como a passagem pela cidade B é obrigatória, temos de tomar duas decisões: o caminho de A para B 
e o caminho de B para C. Logo, pelo princípio da multiplicação, temos:
3 2 6
caminhos possíveis
de A para B
caminhos possíveis
de B para C
⋅ =
� �
8 Uma bandeira composta de 5 listras verticais será colorida por quatro cores distintas, sendo elas azul, 
branco, marrom e vermelho. Sabendo que listras adjacentes não podem ser coloridas com a mesma 
cor, determine de quantas formas a bandeira pode ser colorida.
Resolução:
Para pintar as cinco listras será necessário tomar 5 decisões consecutivas:
– 1ª listra: 4 possibilidades de cores;
– 2ª listra: 3 possibilidades de cores (não pode ser a mesma cor da listra anterior);
– 3ª listra: 3 possibilidades de cores (não pode ser a mesma cor da listra anterior);
– 4ª listra: 3 possibilidades de cores (não pode ser a mesma cor da listra anterior);
– 5ª listra: 3 possibilidades de cores (não pode ser a mesma cor da listra anterior).
4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 324 tipos de bandeira
Embaixo dos números, na sequência, acompanhado de chave {: 1ª listra; 2ª listra, 3ª listra, 4ª listra, 5ª listra.
9 Até o ano de 2019, as placas de automóveis brasileiros eram exclusivamente compostas de três letras 
seguidas (26 letras) e depois poruma sequência de quatro algarismos (zero a nove). Quantas placas 
poderiam ser formadas?
Resolução:
Para formar uma placa, é preciso fazer três escolhas de letras (sendo possíveis as 26 letras do alfabeto) 
e quatro escolhas de algarismos. Com isso, temos:
26 26 26 10 10 10 10 175760 000 placas distintas
1ª- letra 2ª- letra 3ª- letra 1º- algarismo 2º- algarismo 3º- algarismo 4º- algarismo
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
� � � �� � �
Questões resolvidas
114 MATEMÁTICA / Frente A
É muito importante estar atento ao princípio fundamental da conta-
gem, pois uma sequência de decisões deve ser tomada. Em princípio, 
uma decisão não é mais importante que outra. Isso significa que podem 
ser tomadas em diferentes ordens. Na questão resolvida 9, poderíamos 
ter contado as placas da seguinte forma:
10 10 10 10 26 . 26 . 26 175 760 000 placas
1º- algarismo 2º- algarismo 3º- algarismo 4º- algarismo 1ª- Letra 2ª- Letra 3ª- Letra
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
� � � � � � �
Ou seja, 175 760 000 placas distintas e teríamos o mesmo resultado 
final!
No entanto, em alguns problemas, podem ser necessárias decisões 
com restrições importantes, o que exige contagens mais complexas ou 
mais restritas. Quando isso ocorrer, deve-se começar pelas decisões mais 
restritas, para evitar maiores problemas na contagem.
10 Quantos números do sistema decimal compostos de dois 
algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 
{0, 1, 2, 3}?
Resolução:
Para a contagem de todos os números possíveis, será neces-
sária a contagem das escolhas de dois algarismos: dezena e 
unidade. É muito importante destacar que o algarismo da de-
zena não pode ser zero, uma vez que números como 02, por 
exemplo, não são considerados números com dois algarismos.
Algarismo da dezena: 3 possibilidades (1, 2, 3)
Algarismo da unidade: tem 3 possibilidades (não podemos es-
colher o algarismo usado na dezena) 
Portanto, a quantidade de números será: 
⋅ =
≠
� �
3 3 9
Dezena 0 Unidade
Vejamos como ficaria o diagrama de árvore dessas decisões 
possíveis:
1
1 0
1 2
1 3
3
2
2 0
2 1
2 3
3 0
3 1
3 2
Questões resolvidas
Note que, até aqui, cada 
problema de análise 
combinatória teve 
peculiaridades e caminhos 
distintos para se obter uma 
solução. Sendo assim, é 
recomendado que para 
escolher a melhor estratégia, 
devemos pensar como 
descreveríamos os problemas 
apresentados, ou como 
iríamos organizá-los para 
realizar a contagem.
ligado
Fique
Observe que, caso a 
contagem seja iniciada 
pelo algarismo da unidade, 
teríamos 4 possibilidades 
de escolha; já no caso 
do algarismo da dezena, 
teríamos um problema: caso o 
zero seja alocado na unidade, 
há três possibilidades para 
dezena (1, 2 ou 3); caso outro 
número diferente de zero seja 
alocado na unidade, há duas 
possibilidades para a dezena. 
Por isso, quando houver 
decisões mais restritivas, 
devemos iniciar por elas, 
para evitar possíveis erros. 
Portanto, nessa questão, 
é mais prudente iniciar a 
contagem pelo algarismo 
da dezena, como foi 
feito na resolução.
ligado
Fique
115CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
11 Quantos números naturais ímpares formados por três algarismos distintos existem no sistema decimal?
Resolução:
Para fazer a contagem dos números, devemos iniciar pelo algarismo com maior restrição, no caso, o 
algarismo da unidade, pois só pode ser composto de números ímpares. Sendo assim, há 5 possibili-
dades de escolha. Já a segunda decisão mais restritiva é do algarismo da centena, pois depois de es-
colhido o da unidade, há 8 possibilidades, já que deve ser diferente de zero e do algarismo escolhido 
na unidade.
Por fim, o algarismo da dezena, que deve ser distinto do da unidade e da centena. Há então 8 possi-
bilidades distintas.
Com isso, vejamos a contagem: 
⋅ ⋅ =
≠
�� �
8 8 5 320
Centena 0 Dezena Unidade
( 1,3,5,7,9)
Portanto, a quantidade de números naturais ímpares distintos com três algarismos é 320.
12 Quantos números pares do sistema decimal, compostos de dois algarismos distintos, podem ser forma-
dos com os algarismos {0, 1, 2, 3, 4}?
Resolução 1:
Mesmo adotando a estratégia de iniciar a contagem das possibilidades pela decisão mais complexa, 
no caso o algarismo da unidade, haverá um problema.
Vejamos: 
⋅ =
≠
��� �
4 ou 3 3 ?
Dezena 0 Unidade
(0,2,4)
Esse problema ocorre na contagem das possibilidades do algarismo da dezena, pois, após a escolha 
do algarismo da unidade, teremos 4 possibilidades para a dezena caso a unidade seja zero, ou 3 pos-
sibilidades para dezena caso a unidade seja 2 ou 4. Podemos visualizar a situação no diagrama de 
árvore:
1 0
1 2
3 2
4 2
2
0
4
2 0
1 4
2 4
3 4
3 0
4 0
Há 4 possibilidades
para a dezena se a
unidade for 0
Há 3 possibilidades
para a dezena se
a unidade for 2 ou 4
Vamos usar o princípio da adição e separar em dois casos, contando os casos em que a unidade é 
igual a zero e depois os casos em que a unidade é diferente de zero, no caso, 2 ou 4. Sendo assim, 
temos:
Caso A: números com dois algarismos distintos terminados com zero.
116 MATEMÁTICA / Frente A
Unidade: há 1 possibilidade de escolha;
Dezena: após a escolha da unidade, há 4 possibilidades de escolha.
)( = ⋅ =
=
��
n A 4 1 4
Dezena Unidade 0
Caso B: números com dois algarismos distintos terminados com 2 ou 4.
Unidade: há 2 possibilidades de escolha (no caso, 2 ou 4);
Dezena: há 3 possibilidades de escolha (não pode ser zero nem o algarismo já utilizado).
)( = ⋅ =
≠
� �
n B 3 2 6
Dezena 0 Unidade
(2,4)
Portanto, a quantidade de números pares com dois algarismos distintos será dada por:
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) = 4 + 6 = 10
Resolução 2:
Outra forma de calcular quantidade de números é calcular todas as escolhas de dois algarismos, com 
a unidade par, e retirar os casos que não satisfazem a condição, ou seja, que têm o zero na dezena. 
É a ideia do conjunto complementar. Vejamos o esquema abaixo:
A: conjunto das
escolhas de dois
algarismos com a
dezena diferente
de zero.
A΄: conjunto das
escolhas de dois
algarismos com a
dezena igual
a zero.
Sendo U o conjunto de todas escolhas de dois algarismos, com a casa da unidade sendo par, temos:
n(U) = n(A) + n(A′)
Logo, n(A) = n(U) − n(A′)
O número de elementos do conjunto U será dado por:
Unidade: há 3 possibilidades de escolha (os pares 0, 2 ou 4);
Dezena: há 4 possibilidades de escolha (não pode ser o algarismo já utilizado).
)( = ⋅ =
��
n U 4 3 12
Dezena Unidade
(0,2,4)
Os números pares com dezena zero serão representados pelo conjunto (A′) e terá a seguinte quanti-
dade de elementos:
Unidade: há 2 possibilidades de escolha (os pares 2 ou 4);
Dezena: há 1 possibilidade (o número 0).
)( ′ = =
=
� �
n A 1 . 2 2
Dezena 0 Unidade
(2,4)
Portanto, a quantidade de números pares com dois algarismos distintos será dado por:
n(A) = n(U) − n(A′) = 12 − 2 = 10.
117CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
 Fatorial
Nos exercícios de análise combinatória, é muito comum apa-
recer o produto de números naturais consecutivos até um. Po-
demos pensar em um exemplo:
Seis amigos vão se sentar nas seis primeiras cadeiras da pri-
meira fila da sala de cinema. De quantas formas eles podem se 
sentar?
Para resolver o problema, cabe aqui o uso do princípio funda-
mental da contagem. Portanto, a solução é dada por:
6 5 4 3 2   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ 1
1ª poltrona 2ª poltrona 3ª poltrona 4ª poltrona 5ª poltrona 6ª poltrona
Como há muitas situações como essa, usaremos uma notação que simplifica a representação do produto de 
naturais consecutivos, a notação fatorial. O fatorial de um número n será representado por n! (lemos “n fatorial”) 
e será o produto de todos os número naturais de n até 1.
A solução do exemplo acima pode ser escrita por:
��� � ��
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =6 5 4 3 2 1 6! maneiras
A definição de fatorial é dada por:
Sendo n um número natural, tal que n ≥ 2, definimos o fatorial de n como o produto de n e 
de todos os seus antecessores, até 1. Assim, representando o fatorial de n por n!, temos:
n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n −3) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Está definido também que: 0! 1 e 1! 1= = .
Exemplos:
a) 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
b) 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
c) 6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720
A definição de n! só existe para n ∈ N. Casos com n ∉ N não terão resultado definido. 
Exemplos:
a) (−5)! não tem resultado definido, pois (−5) ∉ N.
b) 








3
2
! não tem resultado definido pois ∉
3
2
N .
c) π! não tem resultado definido, pois π ∉ N.
Outros pontos importantes são:
I. a! + b! ≠ (a + b)! se a ≠ 1 ∧ b ≠ 1.
Exemplo: 3! + 2! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 = 8 e 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120, ou seja, 3! + 2! ≠ 5!
II. a! ⋅ b! ≠ (a ⋅ b)! se (a ≠ 1 ∧ b ≠ 2) ou (a ≠ 1 ∧ b ≠ 1)
Exemplo: 3! ⋅ 2! = (3 ⋅ 2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 1) = 12 e 6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720, ou seja, 3! ⋅ 2! ≠ 6! 
III. ≠








a!
b!
a
b
! se (a ≠ b) ou (b ≠ 1)
Exemplo: = ⋅ ⋅
⋅
=
3!
2!
3 2 1
2 1
3 e 








3
2
! não têm definição, ou seja, ≠








3!
2!
3
2
!
Aprofundando
D
e
v
ri
m
b
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
1a poltrona 4a poltrona2a poltrona 5a poltrona3a poltrona 6a poltrona
118 MATEMÁTICA / Frente A
Para verificarmos uma importante propriedade, vejamos o cálculo do fatorial de 7:
7! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
No entanto, o mesmo cálculo pode ser escrito da seguinte forma:
� ���� ����
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅7! 7 6 5 4 3 2 1 7 6!
6!
Da mesma forma que também podemos escrever:
7! 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5!
5!
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
� ��� ���
Com isso, podemos concluir que, no cálculo de um número fatorial, quando desenvolvemos os naturais an-
tecessores n, caso seja necessário interromper o desenvolvimento em um número antes do número 1, basta 
colocar o símbolo de fatorial (!) no último valor escrito.
n! = n ⋅ (n − 1)!, para n ∈ N e n ≥ 2
Exemplos:
a) 12! = 12 ⋅ 11!;
b) 12! = 12 ⋅ 11 ⋅ 10!;
c) 12! = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9!;
d) n! = n ⋅ (n − 1)!, para n ≥ 1;
e) n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)!, para n ≥ 2.
13 Simplifique as frações a seguir:
a) 12!
10!
b) 21!
22!
c) 15!
3! 12!⋅
d) 17! 7!
8! 15!
⋅
⋅
Resolução:
Usando a propriedade dos fatoriais, vamos decompor o maior número fatorial em fatores decrescentes 
até o menor número fatorial:
a) 12!
10!
12 11 10!
10!
12 11 132=
⋅ ⋅
= ⋅ =
b) 21!
22!
21!
22 21!
1
22
=
⋅
=
c) 15!
3! 12!
15 14 13 12!
3 2 1 12!
15 14 13
3 2 1
2730
6
455
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= =
d) 17! 7!
8! 15!
17 16 15! 7!
8 7! 15!
17 16
8
34
⋅
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅
=
14 Simplifique as frações a seguir:
a) n!
n 2 !( )−
b) n 3 !
n 5 !
( )
( )
+
+
c) )
)
(
(
+ −
−
n! n 1 !
n 2 !
Resolução:
Usando a propriedade dos fatoriais, vamos decompor o maior número fatorial em fatores decrescentes 
até o menor número fatorial:
a) Sendo n! > (n − 2)!, temos: n!
n 2 !
n n 1 n 2 !
n 2 !
n n 1 n n2
( )
( ) ( )
( )
( )
−
=
⋅ − ⋅ −
−
= ⋅ − = −
b) Sendo (n + 5)! > (n + 3)!, temos: 
n 3 !
n 5 !
n 3 !
n 5 n 4 n 3 !
1
n 5 n 4
1
n 9n 202
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+
=
+
+ ⋅ + ⋅ +
=
+ ⋅ +
=
+ +
c) Sendo n! > (n − 1)! > (n − 2)!, temos:
n! n 1 !
n 2 !
n n 1 n 2 ! n 1 n 2 !
n 2 !
n n 1 n 1 n n n 1 n 12 2
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
+ −
−
=
⋅ − ⋅ − + − ⋅ −
−
= ⋅ − + − = − + − = −
Questões resolvidas
119CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
A mudança nas placas
No início do capítulo, mencionamos o acréscimo do nono algarismo nos números de 
celulares no Brasil. Isso ocorreu pelo aumento expressivo de celulares adquiridos pelos 
brasileiros. Com a mudança de oito para nove números, você agora sabe calcular o 
aumento das possibilidades de números distintos de linhas de telefone celular? E se for 
acrescentado um décimo algarismo, de quanto seria o novo aumento nas possibilidades 
de linhas de telefone celular?
Um problema muito parecido é a mudança das placas de automóveis no Brasil para o 
padrão de placa do Mercosul. As placas são compostas de três letras e quatro números. 
Com a mudança, terão quatro letras e três números. Observe ao lado.
• Você sabe calcular o aumento da quantidade de placas possíveis?
Discussão em sala
BR
AM-MANAUS
As placas no padrão Mercosul 
começaram a ser adotadas no 
Brasil inicialmente no Rio de 
Janeiro e gradualmente nos demais 
Estados.
1 Uma pessoa, que parte do Rio de Janeiro e dese-
ja chegar a Salvador, tem algumas opções para a 
viagem: terrestre, área e marítima. Supondo que as 
opções por terra sejam 4; que haja 3 opções aéreas 
diferentes; e 2 alternativas por mar, de quantas ma-
neiras a viagem Rio-Salvador pode ser feita?
2 Considerando uma malha quadriculada 3 × 3, repre-
sentada pelo desenho abaixo, composta de 16 vér-
tices e 24 segmentos congruentes que ligam esses 
vértices, calcule quantos quadrados, com vértices da 
malha, podem ser formados. Considere que os lados 
dos quadrados sejam paralelos às linhas da malha 
(isto é, não considere quadrados formados por seg-
mentos não apresentados na figura).
3 Responda às questões a seguir.
a) Quantos inteiros entre 1 e 1 000 são divisíveis por 
2 ou 3?
b) Quantos inteiros entre 1 e 1 000 são divisíveis por 
2, 3 ou por 7?
4 Em um jogo de apostas, um jogador, que tinha 1 000 
pontos, decidiu arriscar e tentar participar de três jo-
gadas seguidas. Pelas regras do jogo, só pode parti-
cipar da jogada quem tiver pontos. Em caso de vitó-
ria somará 500 pontos, e terá que pagar 500 pontos 
em caso de derrota.
Sendo assim, responda:
a) Quantos resultados distintos é possível obter ao 
final das três jogadas?
Aplicando conhecimentos
15 Resolva a equação 
n 1 !
n 1 !
6
( )
( )
+
−
= .
Resolução:
Usando a propriedade dos fatoriais, vamos decompor o maior número fatorial em fatores decrescente 
até o menor número fatorial: 
n 1 !
n 1 !
6
n 1 n n 1 !
n 1 !
6 n n 6 02
( )
( )
( ) ( )
( )
+
−
= ⇒
+ ⋅ ⋅ −
−
= ⇒ + − =
Resolvendo a equação n2 + n − 6 = 0, as raízes são n = −3 ou n = 2.
No entanto, pela definição de fatorial: n ∈ N e n − 1 ≥ 1, portanto n = 2.
120 MATEMÁTICA / Frente A
b) Que pontuações finais são possíveis após três 
jogadas?
 
 
 
5 Uma pessoa lança um dado sucessivamente até que 
ocorram dois números pares consecutivos, ou qua-
tro lançamentos sejam feitos, o que primeiro ocorrer. 
Quais as sequências de resultados possíveis?
 
 
 
 
 
6 Responda às questões a seguir.
a) Uma pessoa possui 4 blusas e 3 calças. De quan-
tos modos podemos combinar as peças?
 
 
b) Uma pessoa possui 4 blusas, 3 calças e 2 pares 
de sapatos. De quantos modos podemos combi-
nar as peças?
 
 
7 A viagem de uma cidade A para uma cidade B pode 
ser feita por 5 caminhos distintos, enquanto a viagem 
da cidade B para a cidade C pode ser feita por 3 ca-
minhos distintos. Então responda:
a) De quantas maneiras a viagem de A para C pode 
ser feita, passando sempre pela cidade B?
 
 
 
 
 
b) De quantas maneiras a viagem de ida de A para 
C e depois de volta de C para A pode ser feita, 
passando sempre pela cidade B e sem repetir o 
caminho?
 
 
8 Unisinos-RS Num restaurante, são oferecidos 
4 tipos de carne, 5 tipos de massa, 8 tipos de salada e 
6 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferen-
tes podemos escolher uma refeição composta por 
1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa?
a) 23.
b) 24.
c) 401.
d) 572.
e) 960.
 
9 Quantos números com quatro algarismos distintos 
existem no sistema decimal, considerando que
a) Não há outra restrição.
 
 
b) São ímpares.
 
 
c) São pares.
 
 
10 IME-RJ 2020 Diversos modelos de placas de identi-
ficação de veículos já foram adotados no Brasil. Con-
sidere os seguintes modelos de placas e a descrição 
de sua composição alfanumérica:
Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números)
Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro 
números)
Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro 
números)
Modelo 4: ABC1D23 (três letras seguidas de um nú-
mero, uma letra e dois números)
Sejam c1, c2, c3 e c4 as quantidades das combina-
ções alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 
e4, respectivamente. Os números c1, c2, c3 e c4 são 
termos de uma progressão aritmética com infinitos 
termos com a maior razão possível. A soma dos alga-
rismos da razão dessa progressão é:
Observação:
• considere o alfabeto com 26 letras.
a) 11
b) 12
c) 14
d) 16
e) 19
 
121CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
11 Ana está em dúvida se deve sair de casa com um 
vestido ou uma calça e uma blusa. No seu guarda-
-roupa há 2 vestidos distintos; 5 blusas e 2 calças. Vai 
escolher também um calçado e nesse caso possui 
3 pares de tênis e 4 pares de sapatilhas. 
a) De quantas maneiras Ana pode se vestir se usar 
um vestido?
 
 
 
 
 
b) De quantas maneiras Ana pode se vestir se calçar 
tênis?
 
 
 
 
 
 
c) De quantas maneiras Ana pode se vestir no total?
 
 
 
 
 
 
 
12 Quantos números pares do sistema decimal, com-
postos de quatro algarismos distintos, podem ser 
formados?
 
 
 
 
13 O esquema a seguir mostra as rodovias entre quatro 
cidades: A, X, Y e B. Pode-se observar que:
• Duas estradas ligam diretamente as cidades A e B;
• Três estradas ligam as cidades A e X;
• Uma única estrada liga diretamente X e B;
• Duas estradas ligam X e Y;
• Duas estradas ligam Y e B.
A X Y B
Quantos caminhos diferentes podem ser feitos para 
ir da cidade A até a cidade B sem que se passe mais 
de uma vez em uma mesma cidade?
a) 11
b) 13
c) 15
d) 17
e) 19
 
14 Quantos números naturais compostos de 4 algaris-
mos existem:
a) Sem nenhuma restrição.
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sendo os quatro algarismos distintos.
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Com pelo menos dois algarismos iguais.
 
 
 
 
 
 
 
 
15 Ao abrir uma conta em determinado banco, Paulo tinha 
de criar uma senha de seis dígitos, formada apenas 
por algarismos de zero a nove. Por superstição, que-
ria que a senha começasse ou terminasse pelo nú-
mero dois seguido do número nove, de forma conse-
cutiva, por exemplo 290575; 057529; 297529.
Quantas senhas Paulo pode criar?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
122 MATEMÁTICA / Frente A
16 Calcule:
a) 7! 
 
 
 
b) 6! − 4!
 
 
 
c) 2! + 5!
 
 
 
d) 5! ⋅ 3!
 
 
 
17 Simplifique as frações a seguir:
a) 8!
6! 
 
 
 
b) 13!
14! 
 
 
 
c) 20!
2! 18!⋅ 
 
 
 
d) 16! 9!
10! 14!
⋅
⋅
e) 
n 2 !
n!
( )+
 
 
 
f) 
n 1 !
n 1 !
( )
( )
−
+ 
 
 
g) n 2 ! n 1 !
n!
( ) ( )+ − +
 
 
 
18 Resolva as equações:
a) n!
n 2 !
20
( )−
=
 
 
 
b) n! n 1 !
n 2 !
9
( )
( )
− −
−
=
 
 
 
c) n 1 !
3! n 1 !
n 1 !
n 2 !
( )
( )
( )
( )
+
⋅ −
=
−
−
123CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
CONSOLIDANDO SABERES
1 UFRGS 2018 Tomando-se os números primos com-
preendidos entre 0 e 20 o número de frações do tipo 
a
b
 em que a < b, que pode ser formado é
a) 21
b) 27
c) 28
d) 30
e) 36
2 Considerando uma malha quadriculada 4 3 4, repre-
sentada pelo desenho abaixo, composta de 25 vér-
tices e 40 segmentos congruentes que ligam esses 
vértices. Então o número de quadrados formados 
com os vértices da malha, e considerando que os 
lados dos quadrados sejam paralelos às linhas da 
malha (isto é, não considere quadrados formados por 
segmentos não apresentados na figura), é de
a) 20
b) 24
c) 30
d) 36
e) 40
3 FMP-RJ 2021 A Figura abaixo mostra o desenho de 
uma van. O lugar do motorista está assinalado com 
M e os lugares dos passageiros são os quadradinhos 
sombreados.
M
A van está, inicialmente, vazia e Bruno e Ana se-
rão os primeiros a entrar. Eles desejam sentar jun-
tos (um ao lado do outro), mas Ana não quer ficar 
ao lado do motorista. Considerando esse contex-
to, de quantas maneiras esse casal pode se sentar 
nessa van?
a) 6
b) 14
c) 30
d) 7
e) 15
4 Fuvest-SP Uma caixa automática de banco só traba-
lha com notas de 5 e 10 reais. Um usuário deseja fazer 
um saque de R$ 100,00. De quantas maneiras diferen-
tes a caixa eletrônica poderá fazer esse pagamento?
a) 5.
b) 6.
c) 11.
d) 15.
e) 20.
5 Vunesp Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 
100 reais por cédulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo 
cédulas de todos esses valores e o maior número 
possível de cédulas de 50 reais. Nessas condições, 
qual é o número mínimo de cédulas que ela poderá 
receber?
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
6 FMJ-SP 2021 Um jogo consiste de 8 peças para cada 
jogador, dispostas em um tabuleiro quadriculado for-
mado por 64 casas, com o início do jogo disposto 
conforme mostra a figura 1. Os jogadores fazem mo-
vimentos alternados, chamados lances, movendo as 
peças apenas para a frente, obedecendo às seguintes 
regras: no primeiro movimento de cada peça, esta 
pode avançar uma casa ou duas e, a partir do segundo 
movimento de cada peça, o avanço é de apenas uma 
casa por vez. Após os dois primeiros lances de cada 
jogador, o tabuleiro pode apresentar uma mesma con-
figuração para sequências distintas de movimentos. A 
figura 2 mostra uma configuração que pode ser obtida 
por 4 sequências de movimentos distintas.
Considere que não podem ser feitos movimentos em 
diagonal.
Após os dois primeiros lances de cada jogador, o 
número de sequências distintas de movimentos que 
podem ser feitas é
a) 57 600.
b) 53 760. 
c) 43 680. 
d) 60 436. 
e) 65 536.
124 MATEMÁTICA / Frente A
7 Regra muito comum em disputas eliminatórias é a 
chamada “melhor de três”. Em tal regra, dois compe-
tidores devem disputar no máximo três partidas, mas 
a disputa pode acabar no final da segunda partida 
se um dos competidores conseguir estabelecer uma 
vantagem de vitórias irreversível, isto é, quando um 
competidor ganha a primeira e a segunda partida.
Considerando uma disputa entre dois competidores 
A e B, determine:
a) De quantas formas a disputa, usando a regra “me-
lhor de três”, pode ocorrer;
b) De quantas formas a disputa entre A e B pode 
ocorrer pela regra “melhor de cinco”?
Observação: No caso da “melhor de cinco”, ocor-
re uma disputa com no máximo cinco jogos e que 
será finalizada quando algum dos competidores 
estabelecer uma vantagem irreversível, isto é, ob-
ter três vitórias.
8 ESPM-SP 2017 Uma sequência de números naturais 
é obtida de modo que, se um número é par, o próxi-
mo será sua metade mas, se for ímpar, o próximo será 
uma unidade a mais que ele, até chegar no número 1. 
Por exemplo: S (42) = (42, 21, 22, 11, 12, 6, 3, 4, 2, 1). O 
número de termos dessa sequência é igual a 10.
Podemos afirmar que a quantidade de sequências 
assim definidas e com exatamente 7 termos é igual a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
9 Fuvest-SP 2021 Um aplicativo de videoconferên-
cias estabelece, para cada reunião, um código de 
10  letras, usando um alfabeto completo de 26 le-
tras. A  quantidade de códigos distintos possíveis 
está entre
Note e adote: log10 ≅ 1,114 
1 bilhão 5 109
a) 10 bilhões e 100 bilhões.
b) 100 bilhões e 1 trilhão.
c) 1 trilhão e 10 trilhões.
d) 10 trilhões e 100 trilhões.
e) 100 trilhões e 1 quatrilhão.
10 UEG-GO 2015 Numa lanchonete o lanche é compos-
to por três partes: pão, molho e recheio. Se essa lan-
chonete oferece aos seus clientes duas opções de 
pão, três de molho e quatro de recheio, a quantidade 
de lanches distintos que ela pode oferecer é de
a) 9
b) 12
c) 18
d) 24
11 UEMG 2016 “Genius era um brinquedo muito popu-
lar na década de 1980 (...). O brinquedo buscava esti-
mular a memorização de cores e sons. Com formato 
semelhante a um OVNI, possuía 4 botões de cores dis-
tintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam 
em sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo 
sem errar”.
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado).
Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes 
irão acender de forma aleatória e em sequência, 
podendo cada cor acender mais de uma vez.
O número máximo de formas que essa sequência de 
3 luzes poderá acender é:
a) 12
b) 24
c) 36
d) 64
12 FICSAE-SP 2017 Um patrão tem 6 tarefas diferentes 
para serem distribuídas entre 3 empregados. Ele pode 
delegar todas elas a um só empregado, ou delegar 
apenas para alguns, ou ainda garantir que cada em-
pregado receba pelo menos uma tarefa. O número de 
maneiras distintas de distribuir essastarefas é
a) 639
b) 714
c) 729
d) 864
13 Mackenzie-SP Cada um dos círculos da figura de-
verá ser pintado com uma cor, escolhida dentre três 
disponíveis. Sabendo que dois círculos consecutivos 
nunca serão pintados com a mesma cor, o número 
de formas de se pintar os círculos é
a) 72
b) 68
c) 60
d) 54
e) 48
125CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
14 PUC-SP 2017 Uma pessoa dispõe das seguintes co-
res de tinta: amarela, azul, verde, vermelha e branca, 
e irá utilizá-las para pintar um pote. Nesse pote serão 
pintadas a tampa, a lateral e uma lista na lateral, de 
modo que a tampa e a lateral poderão ter a mesma 
cor ou cores diferentes. O número de maneiras dis-
tintas de pintar esse pote é
a) 100
b) 80
c) 60
d) 40
15 FGV-SP Usando as letras do conjunto {a, b, c, d, e, f, 
g, h, i, j}, quantas senhas de 4 letras podem ser for-
madas de modo que duas letras adjacentes, isto é, 
vizinhas, sejam necessariamente diferentes?
a) 7 290
b) 5 040
c) 10 000
d) 6 840
e) 11 220
16 Epcar 2020 Um pisca-pisca usado em árvores de 
natal é formado por um fio com lâmpadas acopladas, 
que acendem e apagam sequencialmente.
Uma pessoa comprou um pisca-pisca, formado por 
vários blocos, com lâmpadas em formato de flores, 
com o seguinte padrão:
• Cada bloco é composto por 5 flores, cada uma 
com 5 lâmpadas circulares, de cores distintas (A, 
B, C, D, E) como na figura:
E
C
D
A B
E
C
D
A B
E
C
D
A B
E
C
D
A B
E
D
A B C
• Em cada flor, apenas 3 lâmpadas quaisquer acen-
dem e apagam juntas, por vez, ficando as outras 
duas apagadas.
• Todas as 5 flores do bloco acendem e apagam 
juntas.
• Em duas flores consecutivas, nunca acendem e 
apagam as mesmas 3 cores da anterior. Assim, 
considere que uma composição possível para 
um bloco acender e apagar corresponde à figura 
abaixo:
E
C
D
A B
E
C
D
A B
E
C
D
A B
E
C
D
A B
E
D
A B C
O número de maneiras, distintas entre si, de con-
tar as possibilidades de composição para um bloco 
desse pisca-pisca é
a) 105
b) 94 ⋅ 10
c) 95
d) 95 ⋅ 10
17 UCS-RS Em uma prova, as seis primeiras questões 
eram do tipo C/E, em que o candidato devia optar 
entre certo ou errado para sua resposta. Nas outras 
quatro questões, o candidato devia escolher, entre 
três alternativas, a verdadeira. 
Quantas sequências de respostas são possíveis 
na resolução da prova?
a) (6 ⋅ 2)2
b) (6 ⋅ 2) + (4 ⋅ 3)
c) 62 ⋅ 43
d) 102 + 3
e) 26 ⋅ 34
18 Uece 2017 Quantos números inteiros positivos pares, 
com três dígitos distintos, podemos formar com os al-
garismos 3, 4, 5, 6 e 7?
a) 24
b) 28
c) 32
d) 36
19 EEAR-SP 2016 Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 
6. A partir deles, podem ser criados _____ números 
pares de quatro algarismos distintos.
a) 60
b) 120
c) 180
d) 360
20 UEPB Com os números naturais n, 1 ≤ n ≤ 9, o total de 
números inteiros que podemos obter com três alga-
rismos distintos, não divisíveis por 5, é:
a) 448
b) 446
c) 444
d) 348
e) 346
21 Acafe-SC A quantidade de números compreendidos 
entre 3 000 e 4 000 que podemos formar com os 
algarismos 1, 3, 5, 6, 7 e 8, sem repeti-los, é:
a) 360
b) 20
c) 12
d) 60
e) 90
22 Uerj 2020 Apenas com os algarismos 2, 4, 5, 6 ou 
9, foram escritos todos os números possíveis com 
cinco algarismos. Cada um desses números foi regis-
trado em um único cartão, como está exemplificado 
a seguir.
Alguns desses cartões podem ser lidos de duas 
maneiras, como é o caso dos cartões C, D e E.
Observe:
O total de cartões que admitem duas leituras é:
a) 32
b) 64
c) 81
d) 120
126 MATEMÁTICA / Frente A
23 Vunesp Dispomos de 4 cores distintas e temos que 
colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, 
R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha 
não podem ser coloridos com a mesma cor.
P Q
R S
Responda, justificando sua resposta, de quantas ma-
neiras é possível colorir o mapa, se:
a) os países P e S forem coloridos com cores dis-
tintas?
b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor?
24 Uece 2016 No sistema de numeração decimal, quan-
tos números de três dígitos distintos podemos for-
mar, de modo que a soma dos dígitos de cada um 
destes números seja um número ímpar?
a) 420
b) 380
c) 360
d) 320
25 UFJF-MG Uma empresa escolherá um chefe para 
cada uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve 
ser escolhido entre os funcionários das respectivas 
repartições e não devem ser ambos do mesmo sexo.
Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das 
repartições A e B.
FUNCIONÁRIOS
REPARTIÇÕES
A B
Mulheres 4 7
Homens 6 3
De quantas maneiras é possível ocupar esses dois 
cargos?
a) 12.
b) 24.
c) 42.
d) 54.
e) 72.
26 Famerp  2020 Admita que cada um dos tons de 
qualquer uma das três cores primárias seja definido 
por um número inteiro de 0 a 255. Sobrepondo-se 
duas cores primárias diferentes, com seus respec-
tivos tons, o resultado sempre será uma cor inédi-
ta.  Sobrepondo-se uma cor primária a ela mesma, 
o resultado será uma cor inédita apenas quando a 
sobreposição for entre cores primárias iguais, mas 
de tons diferentes. Nessas condições, o número de 
cores inéditas que podemos produzir com a sobre-
posição de duas cores primárias, sejam elas iguais 
ou diferentes, é
a) 216 ? 3 1 217 5 327 680
b) 215 ? 3 1 217 5 229 376
c) 28 ? (28 2 1) ⋅ 3 1 216 ⋅ 3 5 392 448
d) 28 ? (28 2 1) ⋅ 3 1 217 5 326 912
e) 217 ? 3 5 393 216
27 Ifal 2018 Em uma civilização antiga, o alfabeto tinha 
apenas três letras. Na linguagem dessa civilização, 
as palavras tinham de uma a quatro letras. Quantas 
palavras existiam na linguagem dessa civilização?
a) 4
b) 12
c) 6
d) 40
e) 120
28 Famema-SP 2017 Uma pessoa dispõe de 5 blocos 
de papel colorido nas cores azul, amarelo, verde, 
branco e rosa, sendo cada um deles de uma única 
cor, e irá utilizar 3 folhas para anotações. O número 
total de maneiras possíveis de essa pessoa escolher 
essas 3 folhas, sendo pelo menos 2 delas de uma 
mesma cor, é
a) 22
b) 12
c) 15
d) 18
e) 25
29 FGV-SP 2015 O total de números pares não negati-
vos de até quatro algarismos que podem ser forma-
dos com os algarismos 0, 1, 2 e 3, sem repetir alga-
rismos, é igual a
a) 26
b) 27
c) 28
d) 29
e) 30
30 Fuvest-SP
a) Quantos são os números inteiros positivos de 
quatro algarismos, escolhidos sem repetição, en-
tre 1, 3, 5, 6, 8, 9?
b) Dentre os números inteiros positivos de quatro 
algarismos citados no item a), quantos são divi-
síveis por 5?
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro 
algarismos citados no item a), quantos são divi-
síveis por 4?
31 EsPCEx-SP 2020 O Sargento encarregado de or-
ganizar as escalas de missão de certa organização 
militar deve escalar uma comitiva composta por um 
capitão, dois tenentes e dois sargentos. Estão aptos 
para serem escalados três capitães, cinco tenentes e 
sete sargentos. O número de comitivas distintas que 
se pode obter com esses militares é igual a
a) 630.
b) 570. 
c) 315. 
d) 285. 
e) 210.
32 Mackenzie-SP O total de números formados com al-
garismos distintos maiores que 50 000 e menores 
que 90 000 e que são divisíveis por 5 é:
a) 1 596
b) 2 352
c) 2 686
d) 2 688
e) 4 032
127CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
33 Enem Digital 2020 Um modelo de telefone celular 
oferece a opção de desbloquear a tela usando um 
padrão de toques como senha.
Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões 
numeradas da tela, sendo que o usuário pode esco-
lher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo.
Qual expressão representa o número total de códi-
gos existentes?
a) 45 – 44 – 43
b) 45 + 44 + 43
c) 45 × 44 × 43
d) (4!)5
e) 45
34 UFRGS 2019 Uma caixa contém 32 esferas nume-
radas de 1 a 32. O número de maneiras distintas de 
retirar 3 esferas da caixa, ordenadas como primeira, 
segunda e terceira, em que a esfera com o número 8 
seja pelo menos a terceira a ser retirada é
a) 27
b) 96
c) 2 000
d) 2 018
e) 2 790
35 Uece 2017 Quantos são os números naturais pares 
formados com quatro dígitos que têm pelo menos 
dois dígitosiguais?
a) 2 204 b) 2 468 c) 2 096 d) 2 296
36 UEM-PR 2020 Uma escola identifica as cadeiras e 
as mesas das salas de aula com etiquetas alfanu-
méricas. A etiqueta de cada cadeira é composta por 
uma sequência de duas vogais (escolhidas entre as 
5 possíveis) e de 4 algarismos escolhidos entre 0, 1, 2, 
3 e 4. A etiqueta de uma mesa, por sua vez, apresenta 
duas consoantes (escolhidas entre as 10 primeiras 
consoantes do alfabeto) e 4 algarismos escolhidos 
entre 5, 6, 7, 8 e 9. Por exemplo, uma possível etique-
ta para uma cadeira é AU1302 e uma possível etique-
ta para uma mesa é CD6787.
Com base nessas informações e em conhecimentos 
correlatos, assinale o que for correto.
01. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as mesas é o dobro do número de etiquetas 
distintas possíveis para as cadeiras.
02. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as mesas, com todas as letras distintas e com 
todos os algarismos distintos, é igual a 
10!
8!
5!+ .
04. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as cadeiras, com todas as letras distintas e com 
todos os algarismos distintos, é igual a 
5!
6
.
( )
08. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as cadeiras, usando-se apenas as vogais O e U e 
com todos os algarismos distintos, é igual a 480.
16. O número de etiquetas distintas possíveis 
para as m§esas, em que os algarismos são 
todos idênticos, é igual a 500.
Soma: 
37 FGV-SP 2017 O total de números de cinco algaris-
mos que possuem pelo menos dois dígitos conse-
cutivos iguais em sua composição é igual a
a) 6 581
b) 9 590
c) 18 621
d) 27 930
e) 30 951
38 Fuvest-SP Maria deve criar uma senha de 4 dígi-
tos para sua conta bancária. Nessa senha, somente 
os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um 
mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. 
Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua 
senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 se-
guido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas 
maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
a) 551
b) 552
c) 553
d) 554
e) 555
39 Unaerp-SP Se 
x! x 1 !
x 1 ! x !
20
( )
( )
+
−
= , então x vale:
a) −6
b) −5
c) 4
d) 5
e) 6
S
ta
tu
s
: 
re
p
ro
d
u
ç
ã
o
 d
e
 v
e
s
ti
b
u
la
r
128 MATEMÁTICA / Frente A
40 FEI-SP Se (n + 4)! + (n + 3)! = 15(n + 2)!, então:
a) n 5 4
b) n 5 3
c) n 5 2
d) n 5 1
e) n 5 0
41 UFJF/Pism-MG 2020 Em um jogo cada participante 
deve escolher uma senha abcde formada por 5 dígi-
tos distintos, escolhidos dentre os algarismos de 0 a 
9, de forma a cumprir a seguinte condição: a 3 b 3 
(c 1 d 1 e) 5 55.
Qual é o número máximo de senhas que podem 
ser formadas?
a) 48
b) 60
c) 1 512
d) 1 890
e) 2 592
42 ESPM-SP Para x ∈ N e x > 2 a expressão 
x 1 ! x!
x 2 ! x 1 !
2
2
( )
( ) ( )
− ⋅
− ⋅ +
 é equivalente a:
a) x − 2
b) (x − 2)!
c) (x − 1)!
d) x
e) x − 1
43 PUC-Minas O número natural que torna verdadeira a 
igualdade 
n 2 n 1 ! n n 1 !
n n 1 ! n 1 !
35
2 2
2
( )
( )
( ) ( )
( )
+ ⋅ + ⋅ ⋅ −
⋅ + ⋅ −
= é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 8
44 UFF-RJ O produto 20 ? 18 ? 16 ? 14 ... 6 ⋅ 4 ? 2 é equi-
valente a:
a) 20!
2
b) 2 ⋅ 10!
c) 
20!
210
d) 210 ⋅ 10!
e) 20!
10!
Seção Olímpica
1 OBM Quantos números de quatro algarismos distintos não têm 1 nas unidades, nem 2 nas dezenas, nem 3 nas 
centenas e nem 4 nos milhares?
a) Menos de 1 000
b) Mais de 1 000 e menos de 2 000
c) Mais de 2 000 e menos de 3 000
d) Mais de 3 000 e menos de 4 000
e) Mais de 4 000
2 OBM 2015 Existem quantos múltiplos de 99 com quatro dígitos distintos? Lembre-se de que números com quatro 
algarismos não podem começar com zero à esquerda; em particular, 0123 = 123 tem três algarismos.
a) 18 b) 27 c) 45 d) 72 e) 90
3 OBM 2014 Para descobrir a quantidade de divisores positivos de um número inteiro positivo n, basta to-
mar sua fatoração em primos e calcular o produto dos expoentes dos primos adicionados de 1. Por exemplo, 
2 800 = 24 ? 52 ? 7 possui (4 + 1) ⋅ (2 + 1) ? (1 + 1) = 30 divisores positivos. Qual é o menor inteiro positivo com 
2 014 divisores positivos?
a) 2² ? 3¹⁹ ? 553 b) 253 ? 319 ? 52 c) 252 ? 318 ? 5 d) 238 ? 353 e) 237 ? 352
4 OBM 2016 Determine o menor inteiro positivo n tal que n! é múltiplo de 2 016.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 2 016
UFF-RJ Em uma festa de aniversário estão presentes n famílias com pai, mãe e 2 filhos, além de 2 famílias com 
pai, mãe e 1 filho. Organiza-se uma brincadeira que envolve esforço físico, na qual uma equipe azul enfrentará 
uma equipe amarela. Para equilibrar a disputa, uma das equipes terá apenas o pai de uma das famílias, enquanto 
a outra equipe terá 2 pessoas de uma mesma família, não podendo incluir o pai. É permitido que o pai enfrente 
2 pessoas de sua própria família. Para que se tenha exatamente 2 014 formas distintas de se organizar a brinca-
deira, o valor de n deverá ser
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
SUPERAÇÃO
129CAPÍTULO T1 / Princípios de análise combinatória
Até o presente momento, você já deve compreender que contar elementos ou possibilidades nem 
sempre será uma tarefa simples. Mesmo tendo o domínio de princípios importantes, como o da adição e o 
da multiplicação, cada problema terá suas peculiaridades e estratégias únicas para contar seus elementos.
A principal forma de agrupar elementos se inicia com a paixão pelos jogos. No século XVII, 
Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1607-1665) trocavam cartas para discutir as possibilidades 
do chamado problema dos pontos e, assim, entender como seriam divididas as apostas em determinado 
jogo de azar. Até hoje, a contagem das possibilidades está envolvida nos principais jogos, sendo eles de azar 
ou não. Por exemplo, de acordo com o site da Caixa, responsável pelas loterias federais, o total de combina-
ções possíveis, que podem ser feitas no jogo da Mega-Sena escolhendo apenas 6 números (jogo simples), 
é de 50 063 860; já o famoso Cubo Mágico (Puzzle) possui 43 252 003 274 489 856 000 formas diferentes 
de agrupar suas peças; e o conhecido jogo de xadrez, mesmo com uma quantidade finita de combinações 
possíveis, estima-se que esse número de possibilidades é maior que o número de átomos do universo.
Neste capítulo, vamos estudar as mais importantes formas de agrupar elementos, para entender como 
determinar suas quantidades utilizando novas estratégias de contagem.
C
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Formas de contagem
T2
CAPÍTULO
 Neste capítulo, serão abordadas as habilidades EM13MAT106 e EM13MAT310.
São inúmeras as possibilidades de jogadas em uma partida de xadrez, o que torna o jogo interessante e sempre desafiador.
• Você já pensou em quantas são as possibilidades para realizar uma jogada em seu jogo favorito?
• No jogo de xadrez, quantos são os movimentos possíveis na primeira jogada de um jogador? 
E para o segundo movimento do mesmo jogador?
131CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
 Tipos de agrupamentos
Todo tipo de reunião de elementos é um tipo de agrupamento, como foi discutido na introdução: 
as disposições possíveis das peças de um jogo de xadrez, formas de organizar as peças do cubo 
mágico, a escolha de seis dezenas para o jogo na loteria. Serão formas distintas de reunir elemen-
tos, cada uma com suas particularidades, ou seja, diferentes formas de agrupamentos.
Com base no princípio fundamental da contagem, vamos definir os principais agrupamentos e 
estudar suas fórmulas específicas.
Arranjo simples
São inúmeras as competições esportivas em que são premiados apenas os três primeiros finalis-
tas. Em geral, os atletas sobem ao pódio de acordo com sua classificação na competição: primeiro, 
segundo e terceiro lugares.
Premiação da Maratona de Paris (França), realizada em abril de 2019. No pódio, os três primeiros colocados nas 
categorias feminino e masculino. 
A
u
d
e
 A
lc
o
v
e
r/
G
e
tt
y
 I
m
a
g
e
s
 
Suponhamos que quatro competidores {A, B, C, D} cheguem à final da competição e pretendam 
alcançar uma ótima posição no pódio. Quantas são as possibilidades de formação do pódio com ostrês primeiros classificados? 
Vamos representar cada possibilidade por um terno ordenado: 1º lugar, 2º lugar, 3º lugar. Temos 
os seguintes pódios possíveis: 
A, B, C B, A, C C, A, B D, A, B
A, B, D B, A, D C, A, D D, A, C
A, C, B B, C, A C, B, A D, B, A
A, C, D B, C, D C, B, D D, B, C
A, D, B B, D, A C, D, A D, C, A
A, D, C B, D, C C, D, B D, C, B
Cada ordenação representada acima é um arranjo simples dos quatro competidores tomados 
3 a 3 (arranjo de classe 3), isto é, um agrupamento de três elementos dentre quatro possíveis, sen-
do a ordem um fator importante e que diferencia uma sequência da outra. 
Na expressão “arranjo simples”, a palavra “simples” significa que, em cada arranjo, não há repe-
tição de elementos, ou seja, uma mesma pessoa não pode ocupar duas posições no pódio.
Observe que são 24 ordenações possíveis. Esse número pode ser obtido aplicando-se o 
Princípio Fundamental de Contagem apresentado a seguir: 
132 MATEMÁTICA / Frente A
1° colocado: 4 possibilidades.
2° colocado: 3 possibilidades, após a definição do 1° colocado.
3° colocado: 2 possibilidades, após a definição do 1° e 2° colocados.
Número de disposição no pódio: 
��� ��� ���
4 3 2
1 colocado 2 colocado 3 colocado
⋅ ⋅ =
° ° °
 24 possibilidades.
O total de arranjos simples de quatro elementos, tomados três a três, também poderá ser escrito 
pela notação A4, 3. Portanto, A4, 3 = 24 pódios possíveis.
O total de arranjos simples de n elementos, tomados p a p (ou de classe p), 
com 0 ≤ p ≤ n, pode ser calculado pela fórmula: 
A
n!
n p !n, p ( )
=
−
Apesar de existir uma fórmula para o cálculo do número de arranjos simples, é importante notar 
que, em geral, esse total pode ser obtido pelo princípio fundamental da contagem. 
Demonstração:
Vamos obter o total de arranjos simples dos n elementos do conjunto finito E = {a1, a2, a3, ... , an}, 
tomados p a p, considerando dois casos.
1° caso: p = 1
Com cada um dos elementos de E, pode-se formar um arranjo, portanto A nn, 1 =
.
2° caso: p ≥ 2 
Considerando-se os n elementos do conjunto finito E = {a1, a2, a3, ... , an}, um arranjo simples de 
classe p é formado em p etapas. Como não pode haver repetição, em cada nova etapa, há uma 
possibilidade a menos do que na etapa anterior. Observe:
1ª etapa → n possibilidades;
2ª etapa → n − 1 possibilidades;
3ª etapa → n − 2 possibilidades;
⋮
pª decisão → n − (p − 1) possibilidades.
Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos:
Número de arranjos = 
Portanto: …A n n 1 n 2 n 3 n p 1n,p ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − 
Exemplos:
a) A 5 4 20 arranjos simples5,2
tomados 2 a 2
= ⋅ =
�
b) A 7 6 5 210 arranjos simples7,3
tomados 3 a 3
= ⋅ ⋅ =
��� ��
c) A 9 8 7 6 3024 arranjos simples9,4
tomados 4 a 4
= ⋅ ⋅ ⋅ =
� ��� ���
Nos exemplos anteriores, as contagens podem ser representadas por notação fatorial. Observe.
a) =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= =A
5 4 3 2 1
3 2 1
5!
3!
120 arranjos simples5,2
b) A
7 6 5 4 3 2 1
3 2 1
7!
4 !
210 arranjos simples7,3 =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= =
c) A
9 8 7 6 5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
9!
5!
3024 arranjos simples9,4 =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
( )⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −n n 1 n 2 n p 1
1ª- decisão 2ª- decisão 3ª- decisão pª- decisão
��� �� � �� �� � �� ��
…
� ��� ���
133CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
Generalizando, o total de arranjos simples de n elementos tomados p a p, utilizando fatorial, é dado por:
A
n n 1 n 2 n 3 ... n p 1 n p n p 1 n p 2 3 2 1
n p n p 1 n p 2 3 2 1n,p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
…
…
n!
n p !( )
=
−
Questões resolvidas
1 Todo ano a Fifa (Federação Internacional de Futebol) indica os 10 melhores jogadores de futebol da-
quele ano. Após a indicação, um ranking é feito com base em uma votação e os três primeiros serão 
premiados, sendo que o primeiro lugar será considerado o melhor jogador do mundo.
Com isso, após a indicação dos 10 finalistas, de quantas maneiras distintas a premiação dos três me-
lhores jogadores pode ser feita?
Resolução 1:
Cada formação dos três primeiros colocados é considerada um arranjo dos 10 jogadores, tomados 3 a 
3. Como se trata de um ranking, a ordem das escolhas é importante. 
Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 
• 1° colocado ñ pode ser escolhido de 10 maneiras;
• 2° colocado ñ pode ser escolhido de 9 maneiras, após escolhido o primeiro;
• 3° colocado ñ pode ser escolhido de 8 maneiras, após escolhidos o primeiro e o segundo.
Portanto, são ⋅ ⋅
° ° °
10 9 8
1 colocado 2 colocado 3 colocado
� �� �� ��� �� � �� ��
= 720 premiações possíveis.
Resolução 2:
Podemos resolver esse problema utilizando a fórmula do número de arranjos simples.
A
10!
10 3 !
10!
7 !
10 9 8 7!
7 !
10,3 ( )
=
−
= =
⋅ ⋅ ⋅ = 720 premiações possíveis.
2 O conselho administrativo de uma empresa é constituído por doze pessoas, das quais algumas 
preencherão quatro cargos da diretoria, sendo eles: o presidente, o vice-presidente, o secretário e 
o tesoureiro. Uma pessoa não pode assumir dois cargos distintos, sendo assim, de quantas maneiras 
diferentes essa diretoria poderá ser formada? 
Resolução 1:
Como são 4 cargos distintos, a ordem de escolha é importante. Além disso, as 4 pessoas têm que ser 
distintas. Por isso, cada possível forma de escolher a diretoria é um arranjo simples das 12 pessoas 
disponíveis, tomadas 4 a 4. O total de maneiras de se formar a diretoria pode ser calculado de duas 
formas.
Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 
• Presidente ñ pode ser escolhido de 12 maneiras;
• Vice-presidente ñ pode ser escolhido de 11 maneiras, após escolhido o presidente;
• Secretário ñ pode ser escolhido de 10 maneiras, após escolhidos o presidente e o vice-presidente;
• Tesoureiro ñ pode ser escolhido de 9 maneiras, após escolhidos o presidente, o vice-presidente 
e o secretário.
Portanto, são 
� �� �� ��� �� � �� �� � �� ��
12 11 10 9 11 880 diretorias
Presidente Vice-presidente Secretário Tesoureiro
⋅ ⋅ ⋅ =
Resolução 2:
Podemos resolver esse problema utilizando a fórmula do número de arranjos simples.
A
12!
12 4 !
12!
8!
12 11 10 9 8!
8!
11880 diretorias12,4 ( )
=
−
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
coloca1 c 3 c
134 MATEMÁTICA / Frente A
Permutação simples
Um programa de televisão recebe patrocínio de quatro grandes marcas, sendo elas W, X, Y, Z, e, durante sua 
transmissão, que ocorre diariamente, ocorrerão pausas para as propagandas dessas marcas serem anunciadas, 
com cada patrocinadora sendo anunciada uma única vez por dia.
Apresentadores anunciando produtos durante programa de televisão.
Antes de cada programa, os apresentadores devem decidir em que ordem serão inseridas as propagandas 
dos quatro patrocinadores. Veja todas as possibilidades de ordenação:
W,X,Y,Z X,W,Y,Z Y,X,W,Z Z,X,Y,W
W,X,Z,Y X,W,Z,Y Y,X,Z,W Z,X,W,Y
W,Y,X,Z X,Y,W,Z Y,W,X,Z Z,Y,X,W
W,Y,Z,X X,Y,Z,W Y,W,Z,X Z,Y,W,X
W,Z,X,Y X,Z,W,Y Y,Z,W,X Z,W,X,Y
W,Z,Y,X X,Z,Y,W Y,Z,X,W Z,W,Y,X
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Portanto, há 24 formas diferentes de ordenar as quatro propagandas distintas. Dizemos que cada uma dessas 
ordenações é uma permutação simples das 4 propagandas. Podemos também interpretar cada permutação 
simples como sendo um arranjo simples das 4 propagandas, tomadas 4 a 4. 
Temos a seguinte definição:
Dado um conjunto finito E = {a1, a2, a3, ... , an}, chama-se permutação simples dos 
n elementos de E todo agrupamento ordenado desses elementos, sem repetição. 
O total de permutações simples de n elementos é representado por Pn e é dado por: 
P n!n =
A fórmula que determina o número de permutações simples pode ser obtida a partir da definição de arranjo 
simples. Observe:
P A
n!
n n !
n!
0!
P n!n n, n n( )
= =
−
= ⇒ =
Podemos entender a permutação simples como o arranjo dos n elementos de E, tomados n a n (ou de classe 
n). Com isso, temos: P An n, n= .
v
m
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
135CAPÍTULO T2 / Formas decontagem
Questões resolvidas
3 De quantas maneiras diferentes podem ser dispostos em uma estante, lado a lado, 8 livros distintos? 
Resolução 1:
Cada disposição possível dos livros é uma maneira de ordená-los, ou seja, uma permutação simples dos 
8 elementos. Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 
�� � � �� � �
8 7 6 5 4 3 2 1
1 livro 2 livro 3 livro 4 livro 5 livro 6 livro 7 livro 8 livro
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
°− °− °− °− °− °− °− °−
5 40  320 possíveis disposições.
Resolução 2:
Pela fórmula Pn 5 n!, para calcular o número de permutações dos 
8 elementos, temos:
P8 5 8! 5 40 320 possíveis disposições.
4 Sobre os anagramas da palavra TEORIA:
a) Qual é o total de anagramas?
b) Quantos deles começam por uma vogal?
c) Quantos começam e terminam por uma vogal?
Resolução:
a) Cada anagrama da palavra TEORIA é uma ordenação das 
6 letras: T, E, O, R, I, A. Logo, o total de anagramas é dado por:
P 6! 7206 = =
b) Temos agora uma restrição para a primeira letra, que deve ser uma vogal. Analisando todas as possi-
bilidades para a primeira letra, temos:
� ���� ����
E
permutações das 5 letras restantes
→ P5 = 5! = 120 anagramas iniciados com E
� ���� ����
O
permutações das 5 letras restantes
→ P5 = 5! = 120 anagramas iniciados com O
I
permutações das 5 letras restantes
� ���� ����
→ P5 = 5! = 120 anagramas iniciados com I
� ���� ����
A
permutações das 5 letras restantes
→ P5 = 5! = 120 anagramas iniciados com A
Total: 120 + 120 + 120 + 120 = 4 · 120 = 480 anagramas
Utilizando o princípio fundamental de contagem, poderíamos também efetuar o seguinte cálculo: 
4 . 5!
1ª- letra
(vogal)
permutações
das 5 letras
restantes
��� �� � �� �� = 4 · 120 = 480 anagramas
c) Nesse caso, temos restrições para a primeira e para a última letra, que devem ser vogais. Para a pri-
meira, temos 4 opções; para a última, 3 opções, já que não pode ser utilizada a da primeira posição. 
Para as letras intermediárias, devemos permutar as 4 letras restantes, havendo, então, P4 = 4! = 24
possibilidades.
Pelo princípio fundamental de contagem, temos:
4 4! 3
1ª- Letra
(vogal)
permutações
das 4 letras
restantes
última
letra
(vogal)
⋅ ⋅
��� �� � �� �� ��� �� = 4 · 24 · 3 = 288 anagramas
Chama-se anagrama de uma 
palavra toda permutação 
de suas letras. Por exemplo: 
alguns anagramas da 
palavra ROMA são AMOR, 
OMAR e AMRO. Note que 
o anagrama não tem que 
ser, necessariamente, uma 
palavra que faça sentido.
ligado
Fique
136 MATEMÁTICA / Frente A
Permutação com repetição
Por recomendação nutricional, uma escola decidiu servir, em seu refeitó-
rio, um tipo de fruta como sobremesa em cada dia da semana. Ficou acor-
dado que, em três dias da semana, fossem oferecidas laranjas (L), um dia da 
semana maçãs (M) e no outro dia bananas (B).
Com isso, um cardápio semanal de frutas oferecidas no refeitório da 
escola seria uma possível ordenação dos elementos L, M e B. Observe 
mais alguns exemplos de como a escola poderia oferecer as frutas du-
rante as semanas: 
L, L, L, M, B − L, L, L, B, M − M, L, L, L, B − L, M, B, L, L − M, L, L, B, L
Nesse exemplo, podemos notar que cada cardápio semanal é uma 
permutação das 5 frutas (letras) e que o cardápio só será diferente se 
permutarmos frutas diferentes. As permutações entre frutas repetidas 
não alteram a sequência, ou seja, mantêm o cardápio semanal. O que 
estamos estudando aqui é a chamada permutação com repetição, de-
vido à presença de elementos repetidos.
Em certos casos, queremos organizar elementos de um conjunto em uma disposição circular, importando 
apenas a posição de cada elemento em relação aos demais. A cada uma das formas de dispor assim esses 
elementos damos o nome de permutação circular.
Vamos analisar, por exemplo, de quantas maneiras distintas podemos dispor 3 elementos (A, B e C) em torno 
de uma circunferência. Observe as figuras a seguir.
A
BAC
B C
B
CBA
C A
C
ACB
A B
A
CAB
C B
C
BCA
B A
B
ABC
A C
À primeira vista, temos as permutações de 3 elementos, que a princípio poderiam ocorrer de P3 = 3! = 6 mo-
dos distintos. Observe, no entanto, que as três primeiras disposições da figura (BAC, CBA e ACB) são iguais, 
ocorrendo simplesmente um giro dos elementos no sentido horário, mas de forma que cada elemento está na 
mesma posição em relação aos outros dois. 
O mesmo ocorre para as três últimas disposições da figura (CAB, BCA e ABC), que na verdade também são iguais. 
Portanto, há apenas 2 permutações circulares dos elementos A, B e C. Em termos de cálculo, considerando que, 
com base na ilustração anterior, cada permutação circular havia sido contada 3 vezes, o total de permutações 
circulares de 3 elementos, que denotamos por (PC)3, é dado por ( ) = =PC
3!
3
23 .
Generalizando, o total de permutações circulares de n elementos, representado simbolicamente por (PC)n, é 
obtido dividindo-se Pn por n. Isso porque, no total Pn, cada permutação circular é contada n vezes, correspon-
dendo a n giros em que cada elemento fica na mesma posição em relação aos demais. Logo,
( ) ( ) ( )= = ⇒ = −PC
P
n
n!
n
PC n 1 !
n
n
n
Aprofundando
S
te
v
e
 D
e
b
e
n
p
o
rt
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
É importante manter uma alimentação 
saudável consumindo diferentes tipos de 
alimentos.
137CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
Exemplos:
a) Quantos são os anagramas da palavra SONO? 
 Se não houvesse letra repetida, o número de anagramas da palavra SONO seria o total de per-
mutações simples das quatro letras, ou seja, P 4! 244 = = anagramas. No entanto, como a letra O 
aparece duas vezes, cada anagrama é uma permutação com repetição. No raciocínio a seguir, vamos ima-
ginar que as duas letras O fossem diferentes, representando uma delas por O1 e a outra por O2. No caso, 
teríamos os 24 anagramas a seguir:
A sequência de palavras da segunda coluna 
é a mesma da primeira coluna
SO NO SO NO
SNO O SNO O
SO O N SO O N
NO SO NO SO
NSO O NSO O
NO O S NO O S
O SNO O SNO
O SO N O SO N
O NSO O NSO
O NO S O NO S
O O SN O O SN
O O NS O O NS
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
































 Observe que, nessa lista, cada anagrama da segunda coluna corresponde ao da primeira coluna, permu-
tando-se O1 e O2 entre si. Como O1 e O2 representam na verdade a mesma letra O, é fácil perceber que, no 
total de 24, cada anagrama da palavra SONO foi contado duas vezes (P2 = 2! = 2).
Portanto, o número de anagramas da palavra SONO é 
4!
2!
4 3 2 1
2 1
12=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= .
b) Quantos são os anagramas da palavra URUBU?
 Se a palavra URUBU fosse composta de 5 letras distintas, teríamos P 5! 1205 = = anagramas. No entanto, a 
letra “U” se repete três vezes e as permutações entre essas três letras iguais não gera um anagrama novo. 
Vejamos alguns anagramas que ilustram esse caso:
A permutação entre as letras “U” 
não gera um novo anagrama
U RU BU
U RU BU
U RU BU
U RU BU
U RU BU
U RU BU
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
















 Assim sendo, nos 120 anagramas obtidos supondo-se que as 5 letras fossem diferentes, cada anagrama 
está sendo contado 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 vezes. 
Portanto, o número de anagramas da palavra URUBU é 5!
3!
5 4 3 2 1
3 2 1
20=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= .
c) Quantos são os anagramas da palavra ARARAS?
 Seguindo o mesmo raciocínio dos exemplos anteriores, ARARAS teria P 6! 7206 = = anagramas se as letras 
fossem distintas, mas, como há três letras “A” e duas letras “R” e as permutações entre letras iguais geram ana-
gramas iguais, cada palavra formada está sendo contada 2! 3! 2 1 3 2 1 12⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = vezes.
Portanto, o número de anagramas da palavra ARARAS é 
6!
2! 3!
6 5 4 3 2 1
2 1 3 2 1
60
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= .
138 MATEMÁTICA / Frente A
Com base no raciocínio dos exemplos, podemos definir a permutação com repetição.
Seja o número de permutações de n elementos, dos quais n1 é de um tipo, 
n2 é de outrotipo, ..., nk é de outro tipo, com n1 + n2 + n3 + ... + nk = n, 
é representado por 
…
Pn
n1,n2, ,nk( ) e é dado por: 
…
…
P
n!
n ! n ! n ! n !n
n1,n2, ,nk
1 2 3 k
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )
Questões resolvidas
5 Sobre os anagramas da palavra SOSSEGO:
a) Quantos são esses anagramas?
b) Quantos deles começam pela letra S?
Resolução:
a) A palavra SOSSEGO tem 7 letras, entre as quais três são “S”, duas “O”, uma letra “E” e uma letra “G”. 
Portanto, o número de anagramas é:
P
7!
3! 2! 1! 1!
7 6 5 4 3 2 1
3 2 1 2 1
4207
3,2, 1, 1
=
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
( )
b) Para obter o total de anagramas que começam com S, vamos fixá-la na primeira posição e contar o 
número de permutações possíveis com as seis letras restantes: O, S, S, E, G, O.
Sendo assim, o número de anagramas iniciados por S é:
P
6!
2! 2! 1! 1!
6 5 4 3 2 1
2 1 2 1
1806
2, 2, 1, 1
=
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
( )
6 UPF-RS 2016 Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados re-
presentam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A a B é:
A
B
a) 40  320
b) 6  720
c) 256
d) 120
e) 56
Resolução:
Alternativa: E
Vamos considerar o lado de cada quarteirão como a unidade de medida. Para ir de A até B com traje-
to mínimo, devem-se deslocar necessariamente 5 unidades para a direita (D) e 3 unidades para cima 
(C), em qualquer ordem. Não podem ser feitos deslocamentos para baixo ou para a esquerda, o que 
aumentaria o trajeto. 
P
8!
5! 3!
8 7 6 5!
5! 3 2 1
568
(5, 3)
=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
139CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
 Combinação simples
Suponha que um hospital dispõe de 6 médicos, A, B, C, D, E, F, todos 
com a mesma especialidade. Nos fins de semana, dois médicos são es-
colhidos para ficarem de plantão atendendo os pacientes. De quantas 
formas distintas essa escolha pode ser feita?
Criança em consulta com pediatras.
O problema consiste em formar, a partir do conjunto {A, B, C, D, E, F}, um 
subconjunto com dois elementos. Podemos formar, por exemplo, o sub-
conjunto {A, B}, em que os médicos escolhidos para o plantão seriam A e B. 
Note que, nesse problema, o subconjunto {B, A} é o mesmo que {A, B}, ou 
seja, não é importante a ordem em que os médicos são escolhidos. 
Observe, a seguir, as possíveis duplas (subconjuntos) de médicos que 
poderiam ser formadas para o plantão do fim de semana:
A, B A, C A, D A, E A, F
B, C B, D B, E B, F C, D
C, E C, F D, E D, F E, F
{ } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { }
Cada um desses 15 subconjuntos é uma combinação simples dos 
6 elementos disponíveis, tomados 2 a 2. Portanto, o número total de 
combinações será dado por C 156,2 = . 
Observe que, na contagem de todas as duplas possíveis, se usásse-
mos o princípio fundamental da contagem, o primeiro médico poderia 
ter sido escolhido de 6 formas distintas e o segundo médico, de 5 for-
mas distintas, o que nos levaria à resposta 6 ⋅ 5 = 30. Entretanto, esses 
30 elementos contados, estaríamos considerando, por exemplo, as equipes 
{A, B} e {B, A} como equipes distintas, ou seja, cada combinação estaria 
sendo contada duas vezes (uma vez para cada ordem dos elementos).
Como dois elementos têm P2 = 2! ordens distintas, o número de com-
binações simples de 6 elementos, tomados 2 a 2, é dado por:
C
6 5
P
30
2!
156, 2
2
=
⋅
= =
Note que dividimos o resultado obtido, utilizando o princípio funda-
mental da contagem, para que não houvesse contagem a mais.
Vamos analisar agora quantas seriam as combinações simples se, entre 
os 6 médicos disponíveis, fosse necessário escolher 3 para o plantão. 
H
R
A
U
N
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
... o romance Iracema, 
escrito por José de Alencar 
(1829-1877), tem em seu nome 
um anagrama da 
palavra América. Uma espécie 
de mensagem criada pelo 
autor que representava na 
sua história: Iracema como a 
“virgem dos lábios de mel” 
que se relacionava com 
Martim, o homem branco, 
europeu, colonizador. 
Fazendo referência à mata 
virgem e selvagem 
da América, que era 
desbravada pelo colonizador 
europeu.
Em sua obra, cheia de 
simbologias, José de Alencar 
tentava escrever uma história 
que valorizasse o 
Brasil e sua cultura.
Estátua Iracema Guardiã, do artista 
Zenon Barreto, localizada em 
Fortaleza (CE), um dos símbolos 
da cidade.
S
o
n
ia
 A
lv
e
s
-P
o
lid
o
ri
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
É muito importante 
compreender a diferença 
entre arranjos e 
combinações. Arranjos são 
subconjuntos ordenados, ou 
seja, a ordem dos elementos 
importa. Combinações são 
subconjuntos em que a 
ordem dos elementos não 
importa.
ligado
Fique
140 MATEMÁTICA / Frente A
Nesse caso, cada possível escolha seria uma combinação simples de 
6 elementos, tomados 3 a 3. Veja a lista de todas as 20 combinações 
simples que podem ser formadas:
A,B,C A,B,D A,B,E A,B,F A,C,D
A,C,E A,C,F A,D,E A,D,F A,E,F
B,C,D B,C,E B,C,F B,D,E B,D,F
B,E,F C,D,E C,D,F C,E,F D,E,F
{ } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { }
Nesse caso, o número total de combinações será dado por 
C 20 equipes6,3 = . A mesma ideia anterior pode ser adotada aqui, isto 
é, pelo princípio fundamental da contagem, a primeira escolha de mé-
dico pode ser feita de 6 formas distintas, a segunda escolha de 5 
formas distintas e a terceira escolha de 4 formas distintas, que resulta 
em 6 5 4 120⋅ ⋅ = equipes. Mas, novamente, cada caso estaria sendo 
contado mais de uma vez e cada possível equipe estaria sendo con-
tada P3 = 3! = 6 vezes. Portanto, o total de combinações simples de 6 
elementos, tomados 3 a 3, será:
C
6 5 4
3!
120
6
206, 3 =
⋅ ⋅
= =
Generalizando nosso raciocínio, o número de combinações simples 
de n elementos tomados p a p, com n p≥ , é dado por:
C
n n 1 n 2 n p 1
P
n n 1 n 2 n p 1
p!n, p p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −

 =
⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +… …
Multiplicando o numerador e o denominador por n p !( )− , obtemos:
C
n n 1 n 2 n p 1 n p !
p! n p !n, p
( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ −
⋅ −
…
Portanto, C
n!
p! n p !n, p ( )
=
⋅ −
.
Dado um conjunto finito E 5 {a1, a2, a3, ... , an}, chama-se combinação 
simples dos n elementos de E, tomados p a p (ou de classe p), todo sub-
conjunto de E que possui p elementos distintos, com 0 ≤ p ≤ n. 
O total de combinações simples de n elementos, 
tomados p a p é indicado por Cn, p e é dado por:
C
n!
p! n p !n, p ( )
=
⋅ −
O número de combinações 
simples de n elementos, 
tomados p a p, pode ser 
indicado por:
Cn, p ou 






n
p
ligado
Fique
141CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
Questões resolvidas
7 Considere a circunferência ao lado, em que foram marcados 7 pontos distintos.
a) Quantas retas distintas podem ser determinadas, passando por dois 
desses pontos? 
b) Quantos triângulos podem ser construídos, com vértices em três des-
ses pontos?
Resolução:
a) Sabemos que dois pontos distintos determinam uma reta. Logo, o 
número de retas determinadas é igual à quantidade de maneiras de 
escolher dois dos sete pontos sem se preocupar com sua ordem, isto 
é, o número de combinações simples de 7 elementos, tomados 2 a 2. 
Portanto, a quantidade de retas é dada por:
C
7!
2! 7 2 !
7 6 5!
2 1 5!
217, 2 ( )
=
⋅ −
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
b) O número de triângulos que podem ser construídos é igual à quantidade de maneiras de escolher 
seus três vértices entre os sete pontos sem se preocupar com a ordem, ou seja, é o número de 
combinações simples de 7 elementos, tomados 3 a 3. Portanto, o número de triângulos é dado por:
( )
=
⋅ −
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=C
7!
3! 7 3 !
7 6 5 4!
3 2 1 4!
357,3
8 PUC-Rio 2017 O técnico da seleção brasileira de futebol precisa convocar mais 4 jogadores, dentre os 
quais exatamente um deve ser goleiro.
 Sabendo que na sua lista de possibilidades para essa convocação existem 15 nomes, dos quais 3 são 
goleiros, qual é o número de maneiras possíveis de ele escolher os 4 jogadores?
a) 220
b) 660 
c) 1.980 
d) 3.960e) 7.920 
Resolução:
Alternativa: B
O técnico tem que escolher um goleiro entre 3 possibilidades de escolha e outros 3 jogadores entre as 
12 possibilidades de escolha (as formas possíveis são o número de combinações simples de 12 ele-
mentos, tomados 3 a 3). Sendo assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número de maneiras 
de escolher um goleiro e mais três jogadores de linha é dado por:
3 C 3
12!
3! 12 3 !
3
12!
3! 9!
3
12 11 10 9!
3 2 1 9!
3 220 66012, 3 ( )
⋅ = ⋅
⋅ −
= ⋅
⋅
= ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ =
9 Famerp-SP 2018 Lucas possui 6 livros diferentes e Milton possui 8 revistas diferentes. Os dois preten-
dem fazer uma troca de 3 livros por 3 revistas. O total de possibilidades distintas para que essa troca 
possa ser feita é igual a 
a) 1  040
b) 684
c) 980
d) 1  120
e) 364
Resolução:
Alternativa: D
Lucas trocará 3 livros entre as 6 possibilidades de escolha (combinações simples de 6 elementos, to-
mados 3 a 3) e Milton trocará 3 revistas entre 8 possibilidades de escolha (combinações simples de 
8 elementos, tomados 3 a 3). Pelo princípio fundamental da contagem, o total de possibilidades de trocas é:
C C6 3 8 3
6
3 3
8
3 5
6 5 4 3
3 2 1 3
8 7 6 5
3 2 1 5
, ,
!
! !
!
! !
!
!
!
⋅ =
⋅
⋅
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ !!
= ⋅ =20 56 1 120
A
B
C
DE
F
G
142 MATEMÁTICA / Frente A
 Contagem das soluções inteiras não 
negativas da equação x1 + x2 + ... + xn = p 
Vamos analisar o seguinte problema: de quantas maneiras podemos 
distribuir 5 bolas idênticas entre Bruna, Laura e Carla, havendo a possi-
bilidade de alguma criança não receber nenhuma bola ou, até mesmo, 
receber todas as bolas?
Note que o resultado dessa questão é o número de soluções inteiras 
não negativas da equação B + L + C = 5, em que B, L e C representam as 
quantidades de bolas que Bruna, Lura e Carla receberão, respectivamen-
te. Cada solução dessa equação é uma distribuição possível das bolas. 
A ilustração a seguir representa algumas das soluções:
Bruna CarlaLaura
+
+
+
+
+
+
+
+
= 5
= 5
= 5
= 5
p
ija
m
a
6
1
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
Note que cada solução é uma permutação de sete elementos, sendo 
cinco bolas iguais e dois sinais de adição (+). Logo, o número de soluções 
inteiras não negativas da equação B L C 5+ + = é igual ao número de 
permutações, com repetição, dos sete elementos:
P
7!
5! 2!
7 6 5!
5! 2 1
217
5, 2
=
⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
( )
Podemos generalizar, considerando que fossem p bolas a serem 
distribuídas para n crianças. No caso, teríamos que permutar (n + p − 1) 
elementos, sendo p bolas iguais e (n − 1) sinais de adição (+).
O número de soluções inteiras não negativas da equação 
…x x x x p1 2 3 n+ + + + = é determinado pelo total de permutações de 
(n + p − 1) elementos, sendo p “bolas” e n 1( )− sinais de adição (+). 
Assim:
P
n p 1 !
p! n 1 !p n 1
p, n 1 ( )
( )
=
+ −
⋅ −( )+ −
−
143CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
Questões resolvidas
10 Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação: x x x x 21 2 3 4+ + + = ?
Resolução:
Fazendo uma analogia com a situação descrita anteriormente, cada solução dessa equação é uma 
permutação com repetição de 2 elementos “bolas” e 4 1( )− sinais “+”. Sendo assim, a quantidade de 
soluções da equação é:
P
5!
3! 2!
5 4 3!
3! 2
10solu5
3, 2
=
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
=
11 Unesp Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três sabores de 
sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra? 
a) 4. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. 
Resolução:
Alternativa: E
Vamos considerar x1 o número de bolas de chocolate, x2 o número de bolas de morango e x3 o nú-
mero de bolas de uva. A quantidade de modos diferentes de fazer a compra dessas 4 bolas de sorvete 
é igual às soluções inteiras não negativas da equação:
x x x 41 2 3+ + =
Portanto, há P
6!
4! 2!
6 5 4!
4 ! 2
156
4, 2
=
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
= formas de fazer a compra.
Até aqui, exploramos combinações simples, ou seja, agrupamentos não ordenados de elementos distintos. 
Agrupamentos não ordenados podem ter, às vezes, repetição de elementos. Nesse caso, eles são denomina-
dos combinações completas, já que incluem tanto aquelas em que há repetição como aquelas em que não há 
repetição de elementos. Veja o exemplo a seguir.
De quantos modos é possível comprar 2 sorvetes entre 4 sabores disponíveis?
Para a escolha de dois sabores dentre 4 possíveis {a, e, i, o}, temos as seguintes possibilidades:
aa
ae ee
ai ei ii
ao eo io oo
Essa lista mostra todas as 10 combinações completas, de classe 2, dos 4 elementos disponíveis. A quantidade 
dessas combinações completas é indicada por (CC)4, 2. Portanto, (CC)4, 2 5 10.
No entanto, o mesmo problema poderia ser pensado como x1 sendo a quantidade de sorvetes comprados do 
1o sabor, x2 sendo a quantidade de sorvetes comprados do 2
o sabor, x3 sendo a quantidade de sorvetes com-
prados do 3o sabor e x4 sendo a quantidade de sorvetes comprados do 4
o sabor. Assim, cada modo de comprar 
dois sorvetes entre os quatro sabores, seria uma solução inteira não negativa da equação:
x + x + x + x = 21 2 3 4
Logo, o número de soluções inteiras não negativas da equação x + x + x + … + x = p1 2 3 n , é o número de combi-
nações completas, de classe p, tomados de n elementos, CRn, p. Portanto,
( ) ⋅
CR = C = P =
(n + p – 1)!
n – 1 ! p!n, p n + p – 1, p n+ p – 1
p, n – 1
 sendo a quantidade de sorvetes com- sendo a quantidade de sorvetes comprados do 2
. Assim, cada modo de comprar sendo a quantidade de sorvetes comprados do 4
Aprofundando
144 MATEMÁTICA / Frente A
1 Um mercado de apostas em que circula muito dinhei-
ro é o hipódromo, lugar onde ocorrem as famosas 
corridas de cavalo. Nesses ambientes, existem vários 
tipos de apostas distintas, dentre elas, existem apos-
tas que vão desde a escolha de um possível cavalo 
vencedor até a sequência dos primeiros classifica-
dos na corrida. Vejamos alguns exemplos de apostas 
possíveis:
Vencedor: modalidade em que o apostador ganha 
se escolher o cavalo vencedor.
Exata: modalidade em que o apostador ganha se es-
colher os dois primeiros cavalos e acertar a ordem 
com que vão chegar.
Trifeta: modalidade em que o apostador ganha se 
escolher os três primeiros cavalos e acertar a ordem 
de chegada.
Em uma corrida entre 7 cavalos, determine quantas 
apostas distintas um jogador pode fazer se ele parti-
cipar da modalidade:
a) vencedor.
b) exata.
c) trifeta.
2 De um grupo de 12 alunos, entre os quais Eurico e 
Amélia, será formada uma chapa para concorrer às 
eleições do grêmio da escola. A chapa será compos-
ta de presidente, vice-presidente, secretário e tesou-
reiro, sem que uma mesma pessoa assuma dois ou 
mais cargos.
a) De quantas formas distintas a chapa pode ser 
formada?
b) De quantas formas distintas a chapa pode ser for-
mada, com Amélia sendo a presidente?
Aplicando conhecimentos
3 UEL-PR Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e 
B = {0, 1, 2, 3, 4}. O total de funções injetoras de A para 
B é
a) 10 
b) 15 
c) 60 
d) 120 
e) 125 
4 Formando todos os anagramas da palavra BIJETORA.
a) Qual é o total desses anagramas?
b) Quantos começam por uma consoante?
c) Em quantos deles as letras “B” e “I” aparecem jun-
tas e nessa ordem?
d) Em quantos deles as letras “B” e “I” aparecem jun-
tas em qualquer ordem?
5 Esc. Naval-RJ 2020 Sandro é o dono de uma empre-
sa de segurança que tem como empregados Alberto, 
Thiago, Robson e Rodrigo. Sandro deve realizar pa-
gamento aos seus empregados totalizando um valor 
de vinte mil reais. Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo 
recebem pagamentos com valor mínimo de dois mil, 
dois mil, três mil e quatro mil reais, respectivamente. 
Considerando que cada pagamento realizado aos 
empregados é múltiplo de um mil reais, assinale a op-
ção que apresenta a quantidade de maneiras distintas 
que a distribuição do pagamento de vinte mil reais aos 
funcionários pode ser realizada.
a) 110
b) 120
c) 220d) 330
e) 560
6 ESPM-SP 2018 O número de anagramas da palavra 
COLEGA em que as letras L, E e G aparecem juntas 
em qualquer ordem é igual a: 
a) 72
b) 144 
c) 120 
d) 60 
e) 24 
145CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
7 UFMG Permutando-se os algarismos do número 
123456, formam-se números de seis algarismos.
 Supondo-se que todos os números formados com 
esses seis algarismos tenham sido colocados numa 
lista em ordem crescente,
a) determine quantos números possui essa lista.
 
 
b) determine a posição do primeiro número que co-
meça com o algarismo 4.
 
 
 
 
 
c) determine a posição do primeiro número que ter-
mina com o algarismo 2. 
 
 
 
8 UFJF-MG 2018 Anagrama é a reordenação de letras 
de uma palavra para formar outras palavras.
a) Quantos são os anagramas da palavra paralela?
 
 
 
 
b) Quantos são os anagramas da palavra paralela 
que começam e terminam com a mesma letra? 
 
 
 
 
9 Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais 
representam ruas e os quadrados representam quar-
teirões. 
A
B
C
 Com base nas informações do desenho, determine a 
quantidade de trajetos distintos, utilizando as linhas 
da figura e de comprimento mínimo: 
a) ligando A a B.
 
 
b) ligando A a B, passando pelo ponto C.
 
 
 
 
 
10 Considere nove pontos distintos, A, B, C, D, E, F, G, H 
e I, dispostos em uma circunferência.
A
B
C
DE
F
G
a) Quantas retas distintas podem ser traçadas pas-
sando por dois desses pontos?
 
 
 
 
b) Quantos quadriláteros convexos distintos podem 
ser construídos com vértices nesses pontos, sen-
do um deles o ponto A?
 
 
 
 
 
11 Uepa 2015 Atual tendência alimentar baseada no 
maior consumo de legumes, verduras e frutas impul-
siona o mercado de produtos naturais e frescos sem 
agrotóxicos e uma diminuição no consumo de produ-
tos que levam glúten, lactose e açúcar. Uma empre-
sa especializada no preparo de refeições, visando a 
esse novo mercado de consumidores, disponibiliza 
aos seus clientes uma “quentinha executiva” que 
pode ser entregue no local de trabalho na hora do 
almoço. O cliente pode compor o seu almoço esco-
lhendo entradas, pratos principais e sobremesas. Se 
146 MATEMÁTICA / Frente A
essa empresa oferece 8 tipos de entradas, 10 tipos 
de pratos principais e 5 tipos de sobremesas, o nú-
mero de possiblidades com que um cliente pode 
compor seu almoço, escolhendo, dentre os tipos 
ofertados, duas entradas, um prato principal e uma 
sobremesa é: 
a) 400 
b) 600 
c) 800 
d) 1  200
e) 1  400
12 Famerp-SP 2021 Em uma empresa, o número de 
pessoas atuando na limpeza em cada dia pode variar 
de 1 a 9, dependendo da ocupação do prédio. Para 
compor a equipe de cada dia, a empresa conta com 
5 funcionários experientes e 4 em treinamento.
 Sabendo que a equipe de limpeza de um dia deve 
ter, necessariamente, um funcionário experiente a 
mais do que a quantidade de funcionários em treina-
mento, o total de equipes diferentes que podem ser 
formadas é igual a
a) 104.
b) 116.
c) 120.
d) 126.
e) 132.
13 Ifal 2018 Certa lanchonete possui 5 funcionários para 
atender os clientes durante os dias da semana. Em 
cada dia, pode trabalhar, no mínimo, 1 funcionário até 
todos os funcionários. Dentro desse princípio, quantos 
grupos de trabalho diário podem ser formados? 
a) 5
b) 15
c) 16
d) 31 
e) 32 
14 EsPCEx-SP 2021 Oito alunos, entre eles Gomes e 
Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditó-
rio da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. 
Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas 
formas distintas é possível distribuir os 8 alunos, de 
maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos?
a) 8!
b) 7 · 7!
c) 7!
d) 2 · 7!
e) 6 · 7!
15 PUC-RS 2016 Em cada uma das retas paralelas r e 
s, são marcados 4 pontos representados pelos sinais 
 e , como na figura. Na escolha de 3 desses pon-
tos como vértices de um triângulo, sendo um deles 
representado por um sinal diferente, o número de 
triângulos que podem ser determinados é
# # ••
# # ••
r
s
a) 48 
b) 46 
c) 44 
d) 42 
e) 40 
16 Unicamp-SP 2021 O número de anagramas da pa-
lavra REFLORESTAMENTO que começam com a se-
quência FLORES é
a) 9!
b) 
9!
2!
 
c) 
( )
9!
2!2!
 
d) 
( )
9!
2!2!2!
17 FGV-SP 2018 Existe quantidade ilimitada de bolas 
de três cores diferentes (branca, preta, azul) em um 
depósito, sendo que as bolas se diferenciam apenas 
pela cor. Oito dessas bolas serão colocadas em uma 
caixa. A quantidade de caixas diferentes que podem 
ser compostas com oito bolas é igual a 
a) 38
b) 336
c) 56
d) 45 
e) 25 
18 ITA-SP 2021 Um dodecaedro regular tem 12 faces 
que são pentágonos regulares. Escolhendo-se 2 vér-
tices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de 
eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a:
a) 
15
100
b) 3
19
c) 15
190
 
d) 5
12
 
e) 2
5
147CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
CONSOLIDANDO SABERES
1 FGV 2020 Dez pessoas, entre elas Gilberto e Laura, 
pretendem formar uma comissão com quatro mem-
bros escolhidos entre os dez.
 Quantas comissões são possíveis se Gilberto e Lau-
ra podem ou não comparecer, mas nunca juntos na 
mesma comissão?
a) 182
b) 45 
c) 240
d) 100 
e) 70
2 UEG-GO 2017 Uma comissão será composta pelo 
presidente, tesoureiro e secretário. Cinco candida-
tos se inscrevem para essa comissão, na qual o mais 
votado será o presidente, o segundo mais votado o 
tesoureiro e o menos votado o secretário.
 Dessa forma, de quantas maneiras possíveis essa 
comissão poderá ser formada? 
a) 120 
b) 60 
c) 40 
d) 20 
e) 10 
3 Fuvest-SP Vinte times de futebol disputam a Série A 
do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulis-
tas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos 
seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais 
os dois oponentes são paulistas é 
a) menor que 7%. 
b) maior que 7%, mas menor que 10%. 
c) maior que 10%, mas menor que 13%. 
d) maior que 13%, mas menor que 16%. 
e) maior que 16%. 
4 Famema-SP 2020 Em uma classe há 9 alunos, dos 
quais 3 são meninos e 6 são meninas. Os alunos des-
sa classe deverão formar 3 grupos com 3 integrantes 
em cada grupo, de modo que em cada um dos gru-
pos haja um menino.
 O número de maneiras que esses grupos podem ser 
formados é
a) 30.
b) 60.
c) 120.
d) 90.
e) 15.
5 PUC-SP 2015 No vestiário de uma Academia de 
Ginástica há exatamente 30 armários, cada qual 
para uso individual. Se, no instante em que dois 
alunos dessa Academia entram no vestiário para 
mudar suas roupas, apenas 8 dos armários estão 
desocupados, quantas opções eles terão para esco-
lher seus respectivos armários? 
a) 14
b) 28 
c) 48 
d) 56 
e) 112 
6 Enem PPL 2020 A prefeitura de uma cidade está re-
novando os canteiros de flores de suas praças. Entre 
as possíveis variedades que poderiam ser plantadas, 
foram escolhidas cinco: amor-perfeito, cravina, pe-
túnia, margarida e lírio. Em cada um dos canteiros, 
todos com composições diferentes, serão utilizadas 
somente três variedades distintas, não importando 
como elas serão dispostas.
 Um funcionário deve determinar os trios de varieda-
des de flores que irão compor cada canteiro.
 De acordo com o disposto, a quantidade de trios 
possíveis é dada por
a) 5
b) 5 ∙ 3
c) 
5!
(5 – 3)!
 
d) 
5!
(5 – 3)!2!
 
e) 
5!
(5 – 3)!3!
 
7 FGV-SP 2017 Somando todos os números de três al-
garismos distintos que podem ser formados com os 
dígitos 1, 2, 3 e 4, o resultado será igual a 
a) 2 400 
b) 2 444 
c) 6  000 
d) 6  600 
e) 6  660 
8 UEMG Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir:
A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de 
“cabo de guerra”. 
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituí- 
da por qualquer um de seus amigos, e que ela pode 
ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se 
em qualquer posição, o número de maneiras distintas 
que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a 
a) 60
b) 150
c) 600 
d) 120
148 MATEMÁTICA / Frente A
9 Ifpe 2020 Um professor do curso de Redes de Com-
putadores do IFPE Campus Palmares realizará um 
trabalhosobre 11 tipos de redes de computadores. 
Considerando que cada aluno falará sobre 2 (dois) 
tipos, quantos alunos, no mínimo, estão matriculados 
nesta turma?
a) 11
b) 22
c) 110
d) 40
e) 55
10 FCMMG 2020 Um hospital possui 5 salas de cirur-
gias eletivas, utilizadas diariamente por 8 médicos 
cirurgiões. Duas dessas salas destinam-se apenas 
aos procedimentos ortopédicos, sendo ocupadas, 
em todos os momentos de funcionamento do hospi-
tal, por 1 dos 2 ortopedistas que compõem a equipe. 
Em certo momento, o número de possibilidades de 
organizações para a ocupação das salas é de:
a) 120.
b) 240.
c) 336.
d) 6 720.
11 Fac. Albert Einstein 2017 Oito adultos e um bebê 
irão tirar uma foto de família. Os adultos se senta-
rão em oito cadeiras, um adulto por cadeira, que 
estão dispostas lado a lado e o bebê sentará no 
colo de um dos adultos. O número de maneiras dis-
tintas de dispor essas 9 pessoas para a foto é 
a) 8 ? 8! 
b) 9! 
c) 9 ? 88 
d) 89 
12 Enem PPL 2020 Um determinado campeonato de 
futebol, composto por 20 times, é disputado no sis-
tema de pontos corridos. Nesse sistema, cada time 
joga contra todos os demais times em dois turnos, 
isto é, cada time joga duas partidas com cada um 
dos outros times, sendo que cada jogo pode termi-
nar empatado ou haver um vencedor. Sabendo-se 
que, nesse campeonato, ocorreram 126 empates, o 
número de jogos em que houve ganhador é igual a
a) 64.
b) 74.
c) 254.
d) 274.
e) 634.
13 Esc. Naval-RJ Um aspirante da Escola Naval tem, em 
uma prateleira de sua estante, 2 livros de Cálculo, 3 
livros de História e 4 livros de Eletricidade. De quan-
tas maneiras ele pode dispor estes livros na pratelei-
ra de forma que os livros de cada disciplina estejam 
sempre juntos? 
a) 1 728 
b) 1 280 
c) 960 
d) 864 
e) 288 
14 Unigranrio-RJ 2017 Quantos são os anagramas da 
palavra VESTIBULAR, em que as consoantes apare-
cem juntas, mas em qualquer ordem? 
a) 120
b) 720
c) 17 280
d) 34 560
e) 86 400 
15 PUC-RS 2017 O número de anagramas da pala-
vra PRÊMIO nos quais as três vogais ficam juntas é 
igual a 
a) 2! 3!⋅ 
b) 3! 3!⋅ 
c) 3! 4!⋅ 
d) 3! 6!⋅ 
e) 6! 
16 Feevale-RS 2017 Considerando a ordem crescen-
te dos números com cinco algarismos distintos que 
podemos formar com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 8, 
em qual posição está o número 57 638? 
a) 33ª posição. 
b) 38ª posição. 
c) 39ª posição. 
d) 40ª posição. 
e) 41ª posição. 
17 Unifesp As permutações das letras da palavra 
PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se 
fossem palavras de cinco letras em um dicionário. 
A 73ª palavra nessa lista é 
a) PROVA. 
b) VAPOR. 
c) RAPOV. 
d) ROVAP. 
e) RAOPV.
18 EPCar-MG 2016 Uma caixa contém 10 bolas 
das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 
3 verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras 
cores todas distintas e sem numeração.
 A quantidade de formas distintas de se enfileirar es-
sas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo núme-
ro fiquem juntas é 
a) 8 7!⋅ 
b) 7! 
c) 5 4!⋅ 
d) 10! 
19 ITA-SP O número de anagramas da palavra 
VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vo-
gais juntas, é: 
a) 12! 
b) (8!) (5!) 
c) 12! – (8!) (5!) 
d) 12! – 8! 
e) 12! – (7!) (5!) 
149CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
20 Enem Digital 2020 Eduardo deseja criar um 
e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com 
as sete letras que compõem o seu nome, antes do 
símbolo @.
 O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de 
tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre 
juntas e exatamente nessa ordem.
 Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi 
criado por outro usuário e que qualquer outro agru-
pamento das letras do seu nome forma um e-mail 
que ainda não foi cadastrado.
 De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail 
desejado?
a) 59
b) 60
c) 118
d) 119
e) 120
21 UEG-GO 2018 O número de anagramas que se pode 
formar com a palavra ARRANJO é igual a 
a) 21
b) 42 
c) 5 040 
d) 2 520 
e) 1 260 
22 PUC-Rio 2015 A quantidade de anagramas da pala-
vra CONCURSO é: 
a) 2 520 
b) 5 040 
c) 10 080 
d) 20 160 
e) 40 320 
23 UFRGS 2020 Um aplicativo de transporte disponi-
biliza em sua plataforma a visualização de um mapa 
com ruas horizontais e verticais que permitem reali-
zar deslocamentos partindo do ponto A e chegando 
ao ponto B, conforme representado na figura abaixo.
A
B
C
 O número de menores caminhos possíveis que par-
tem de A e chegam a B, passando por C, é
a) 28
b) 25
c) 100
d) 300
e) 792
24 Uerj 2015 Uma criança ganhou seis picolés de três 
sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, 
representados, respectivamente, pelas letras B, M e 
C. De segunda a sábado, a criança consome um úni-
co picolé por dia, formando uma sequência de con-
sumo dos sabores. Observe estas sequências, que 
correspondem a diferentes modos de consumo:
(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C)
 O número total de modos distintos de consumir os 
picolés equivale a: 
a) 6 
b) 90 
c) 180 
d) 720 
25 Uece 2020 Se forem listando, em ordem crescente, 
todos os números de cinco dígitos distintos formados 
com os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, é correto dizer que o 
número 62 437 ocupa a posição (ordem) de número
a) 75.
b) 73.
c) 77.
d) 71.
26 Unesp A figura mostra a planta de um bairro de uma 
cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao pon-
to B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela ca-
minhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou 
“da esquerda para a direita”. O número de percursos 
diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:
a) 95 040
b) 40 635
c) 924
d) 792
e) 35
27 UFRGS No desenho a seguir, as linhas horizontais 
e verticais representam ruas, e os quadrados re-
presentam quarteirões. A quantidade de trajetos de 
comprimento mínimo ligando A e B que passam por 
C é 
150 MATEMÁTICA / Frente A
A
B
C
a) 12 
b) 13 
c) 15 
d) 24 
e) 30 
28 Unesp 2017 Uma criança possui 6 blocos de encai-
xe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul.
Usando essas peças, é possível fazer diferentes pi-
lhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas qua-
tro das pilhas possíveis.
 Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas di-
ferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, 
que a criança pode fazer é igual a 
a) 58
b) 20
c) 42
d) 36
e) 72
29 Uece 2017 O número de cordas determinadas por 
12 pontos distintos colocados sobre uma circunferência é 
a) 54
b) 66
c) 72
d) 78
30 UCS-RS 2016 Um supermercado está selecio-
nando, entre 15 candidatos que se apresentaram, 
3 funcionários para desempenhar a função de “caixa”.
 De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa 
escolha? 
a) 5 
b) 45 
c) 215 
d) 360 
e) 455 
31 Fuvest-SP 2018 Doze pontos são assinalados sobre 
quatro segmentos de reta de forma que três pontos 
sobre três segmentos distintos nunca são colineares, 
como na figura.
 O número de triângulos distintos que podem ser de-
senhados com os vértices nos pontos assinalados é 
a) 200
b) 204
c) 208
d) 212
e) 220
32 Enem PPL 2020 O governador de um estado pro-
põe a ampliação de investimentos em segurança no 
transporte realizado por meio de trens. Um estudo 
para um projeto de lei prevê que se tenha a presença 
de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 va-
gões de uma composição, de forma que duas dessas 
agentes não estejam em vagões adjacentes, garan-
tindo assim maior segurança aos usuários.
Disponível em: <www.sisgraph.com.br>. 
Acesso em: 29 jan. 2015 (adaptado).
 A expressão que representa a quantidade de manei-
ras distintas das três agentes serem distribuídas nos 
vagões é
a) +C 3!4
3
b) C6
3
c) C 34
3 × 3!
d) A6
3
e) A 34
3 3 × 3!
33 PUC-Campinas 2018 Admita que certa cidade bra-
sileira tenha 8 canais de TV aberta, todos com trans-
missões diárias. Se uma pessoa pretende assistir três 
dos oito canais em um mesmo dia, ela pode fazer 
isso de x maneiras diferentes sem levar em consi-
deração a ordem em que assiste os canais, e pode 
fazer de y maneiras diferentes levando em conside-
ração a ordem em que assiste os canais. Sendo as-
sim, y – x é iguala 
a) 112
b) 280
c) 224
d) 56
e) 140
151CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
34 Unigranrio-RJ 2017 Considere 5 pontos distintos so-
bre uma reta r e 4 pontos distintos sobre uma reta s, 
de forma que r seja paralela a s. O número de triân-
gulos com vértices nesses pontos é igual a: 
a) 10
b) 12
c) 20
d) 50
e) 70
35 Unicamp-SP 2020 Cinco pessoas devem ficar em 
pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, 
sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. 
O número de posições distintas para as cinco pesso-
as serem fotografadas juntas é igual a
a) 48.
b) 72.
c) 96.
d) 120.
36 Uern Numa lanchonete são vendidos sucos de 
8 sabores diferentes, sendo que 3 são de frutas cí-
tricas e os demais de frutas silvestres. De quantas 
maneiras pode-se escolher 3 sucos de sabores di-
ferentes, sendo que pelo menos 2 deles sejam de 
frutas silvestres? 
a) 40 
b) 55 
c) 72 
d) 85 
37 UFSM-RS As doenças cardiovasculares aparecem 
em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. 
As cirurgias cardíacas são alternativas bastante efica-
zes no tratamento dessas doenças.
Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardio-
logistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores 
que fazem parte do grupo de profissionais habilitados 
para realizar cirurgias cardíacas.
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 
3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores? 
a) 200 
b) 300 
c) 600 
d) 720 
e) 1 200 
38 Enem 2020 Três amigos, André, Bernardo e Carlos, 
moram em um condomínio fechado de uma cidade. 
O quadriculado representa a localização das ruas 
paralelas e perpendiculares, delimitando quadras 
de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos 
pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, 
Bernardo e Carlos, respectivamente.
C
B
A
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de 
Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguin-
do ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre 
deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), se-
gundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá 
utilizar para realizar o deslocamento nas condições 
propostas é
a) 4.
b) 14.
c) 17.
d) 35.
e) 48.
39 Uerj 
Considere como um único conjunto as 8 crianças – 
4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. 
A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, 
não vazios, que apresentam um número igual de me-
ninos e de meninas. 
O maior valor de n é equivalente a: 
a) 45
b) 56
c) 69
d) 81
40 Unesp Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distin-
tas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são 
sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior 
deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 
4 dezenas, custa R$ 2,00, uma aposta em 6 dezenas 
deve custar: 
a) R$ 15,00.
b) R$ 30,00. 
c) R$ 35,00.
d) R$ 70,00.
e) R$ 140,00. 
152 MATEMÁTICA / Frente A
41 Uece 2017 Seja X um conjunto formado por 
15 pontos distintos do espaço, o qual tem um sub-
conjunto Y formado por 5 pontos coplanares. Sem-
pre que são considerados quatro pontos coplanares, 
esses pontos estão em Y. O número de planos deter-
minados por esses 15 pontos de X é igual a 
a) 595
b) 446
c) 465
d) 485
42 EsPCEx-SP 2019 Considere o conjunto de números 
naturais {1, 2, , 15}.… Formando grupos de três núme-
ros distintos desse conjunto, o número de grupos em 
que a soma dos termos é ímpar é 
a) 168
b) 196
c) 224
d) 227
e) 231
43 Uern Régis está em uma loja de roupas e deseja 
selecionar 4 camisas dentre 14 modelos diferentes, 
sendo essas 8 brancas e 6 azuis. De quantas manei-
ras ele poderá escolher as 4 camisas de forma que 
pelo menos uma delas tenha cor distinta das demais? 
a) 748 
b) 916 
c) 812 
d) 636 
44 Udesc 2016 A Câmara de Vereadores de uma ci-
dade é composta por 13 vereadores, sendo que 
6 destes são de partidos políticos da situação (alia-
dos ao governo municipal) e os 7 restantes são de 
partidos da oposição (contrários ao governo muni-
cipal). É necessário compor uma comissão espe-
cial a ser formada por exatamente 5 vereadores, 
de forma que haja pelo menos dois representan-
tes de cada um destes blocos políticos. Além dis-
so, foi definido que o líder da situação e o líder 
da oposição não poderão fazer parte da mesma 
comissão. Sob essas condições, a quantidade de 
comissões distintas que pode ser constituída é 
igual a: 
a) 945
b) 500
c) 620
d) 810
e) 310
45 Uerj 2016 Um painel de iluminação possui nove se-
ções distintas, e cada uma delas acende uma luz de 
cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, 
ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma 
terceira de outra cor, enquanto as seis demais per-
manecem apagadas.
 Observe quatro diferentes possibilidades de ilumina-
ção do painel:
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de 
todas as possibilidades distintas de iluminação do 
painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e 
y segundos, sendo y < 60.
 Os valores respectivos de x e y são: 
a) 4 e 12
b) 8 e 24
c) 25 e 12
d) 50 e 24
46 UEL-PR Um grupo de 6 alunos decide escrever todos 
os anagramas da palavra PERGUNTA. Esta tarefa será 
feita em vários turnos de trabalho. Em cada turno 3 
alunos escrevem e os outros descansam. Para serem 
justos, decidiram escrever o mesmo número de ana-
gramas em cada turno.
Qual deve ser o número mínimo de anagramas, es-
crito por turno, de modo que não se repitam grupos 
de trabalho? 
a) 23 
b) 720 
c) 2 016 
d) 5 040 
e) 35 000 
47 Acafe-SC 2020 Um grupo de seis amigos, sendo 
dois meninos e quatro meninas, estão comemorando 
a formatura do Ensino Médio. O fotógrafo solicitou ao 
grupo que se sentasse em um banco de seis lugares 
e que os meninos se sentassem nas extremidades 
do banco.
Com essa configuração, o número de maneiras dis-
tintas que o grupo pode se sentar é de:
a) 720
b) 24
c) 48
d) 120
48 Enem 2020 Nos livros Harry Potter, um anagrama do 
nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” ge-
rou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
 Suponha que Harry quisesse formar todos os ana-
gramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as 
vogais e consoantes aparecessem sempre intercala-
das, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
 Nessas condições, o número de anagramas forma-
dos é dado por
a) 9!
b) 4!5!
c) 2×4!5!
d) 
9!
2
 
e) 4!5!
2
153CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
49 Unesp 2019 Bianca está preparando saquinhos 
com balas e pirulitos para os convidados da festa 
de aniversário de sua filha. Cada saquinho irá conter 
5 balas e 3 pirulitos, ou 3 balas e 4 pirulitos, já que am-
bas as combinações resultam no mesmo preço. Para 
fazer os saquinhos, ela dispõe de 7 sabores diferentes 
de balas (limão, menta, morango, framboesa, carame-
lo, canela e tutti-frutti) e 5 sabores diferentes de pirulito 
(chocolate, morango, uva, cereja e framboesa). Cada 
bala custou 25 centavos e cada pirulito custou x centa-
vos, independentemente dos sabores.
a) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca 
pode fazer se ela não quer que haja balas de um 
mesmo sabor nem pirulitos de um mesmo sabor 
em cada saquinho? Qual o preço de cada pirulito?
b) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca 
pode fazer se ela não quer que haja sabores re-
petidos em cada saquinho? 
50 Cefet-MG 2015 Como prêmio pela vitória em uma 
competição, serão distribuídas 12 moedas de ouro 
idênticas entre as três pessoas da equipe vencedo-
ra, e cada uma deverá receber, pelo menos, duas 
moedas. O número de maneiras distintas de efetuar-
mos essa distribuição é 
a) 12
b) 28
c) 38
d) 40
e) 120
51 Enem 2017 Um brinquedo infantil caminhão-cego-
nha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela 
transportados, conforme a figura.
 No setor de produção da empresa que fabrica esse 
brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos 
para que o aspecto do brinquedo fique mais atraen-
te. São utilizadas as cores amarelo, branco, laran-
ja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com 
uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. 
A empresa determinou que em todo caminhão-ce-
gonha deve haver pelomenos um carrinho de cada 
uma das quatro cores disponíveis. Mudança de po-
sição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera 
um novo modelo do brinquedo.
 Com base nessas informações, quantos são os mo-
delos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que 
essa empresa poderá produzir? 
a) C6, 4
b) C9, 3
c) C10, 4
d) 64
e) 46
52 Uece 2018 O número de ternos (x, y, z) de números 
inteiros positivos, maiores do que cinco, que cum-
prem a condição x + y + z = 30 é 
a) 71.
b) 91.
c) 61.
d) 81.
53 Uerj 2017 Uma criança possui um cofre com 
45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centa-
vos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 
12 moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa 
retirada. Admita que as retiradas são diferenciadas ape-
nas pela quantidade de moedas de cada valor. 
Determine quantas retiradas distintas, desse grupo 
de 12 moedas, a criança poderá realizar. 
54 Uerj 2019 Seis times de futebol disputaram um tor-
neio no qual cada time jogou apenas uma vez contra 
cada adversário. A regra de pontuação consistia em 
marcar 0 ponto para o time perdedor, 3 pontos para 
o vencedor e, no caso de empate, 1 ponto para cada 
time. A tabela mostra a pontuação final do torneio.
Times A B C D E F
Pontos 9 6 4 2 6 13
O número de empates nesse torneio foi igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
55 UEG-GO 2019 Um ovo de brinquedo contém no seu 
interior duas figurinhas distintas, um bonequinho e 
um docinho. Sabe-se que na produção desse brin-
quedo, há disponível para escolha 20 figurinhas, 
10 bonequinhos e 4 docinhos, todos distintos.
O número de maneiras que se pode compor o in-
terior desse ovo de brinquedo é
a) 15 200
b) 7 600
c) 3 800
d) 800
e) 400
154 MATEMÁTICA / Frente A
56 Mackenzie-SP 2019 Diz-se que um inteiro positivo 
com 2 ou mais algarismos é “crescente”, se cada um 
desses algarismos, a partir do segundo, for maior que 
o algarismo que o precede. Por exemplo, o número 
134789 é “crescente” enquanto que o número 2435 
não é “crescente”. Portanto, o número de inteiros 
positivos “crescentes” com 5 algarismos é igual a 
a) 122 
b) 124 
c) 126 
d) 128 
e) 130
Seção Olímpica
1 OBM Um gafanhoto pula exatamente 1 metro. Ele está em um ponto A de uma reta, só pula sobre ela, 
e deseja atingir um ponto B dessa mesma reta que está a 5 metros de distância de A com exatamente 
9 pulos. De quantas maneiras ele pode fazer isso?
a) 16
b) 18
c) 24
d) 36
e) 48
2 OBM Uma sequência de letras, com ou sem sentido, é dita alternada quando é formada alternadamente por con-
soantes e vogais. Por exemplo, EZEQAF, MATEMÁTICA, LEGAL e ANIMADA são palavras alternadas, mas DSOIUF, 
DINHEIRO e ORDINÁRIO não são. Quantos anagramas da palavra FELICIDADE (incluindo a palavra FELICIDADE) 
são sequências alternadas?
3 OBM O jogo de triminó simplificado é composto por peças na forma de triângulo em que cada um dos vértices possui 
um número de 0 a 5. Sabe-se que para qualquer peça do triminó simplificado quando se coloca o menor dos números 
no vértice superior os números estão em ordem crescente no sentido horário, ou seja, a peça faz parte do triminó sim-
plificado quando ≤ ≤X Y Z .
X
Z Y
 Por exemplo, das quatro peças a seguir, as três primeiras peças fazem parte do jogo, mas a quarta não.
0
5 2
1
4 1
3
3 3
2
3 5
 Existem quantas peças em um jogo de triminó simplificado?
a) 216
b) 125
c) 120
d) 56
e) 30
4 OBM De quantos modos podemos distribuir 10 bolas brancas e 8 bolas vermelhas em cinco caixas iguais, de 
modo que em cada caixa haja pelo menos uma bola e que em cada caixa haja um número diferente de bolas 
brancas?
a) 330
b) 348
c) 512
d) 676
e) 900
155CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
As questões selecionadas nesta seção são prioritariamente do Enem, mas questões de vestibulares diversos que apre-
sentam características semelhantes aos itens do referido exame também foram usadas como recurso para estudo.
No ENEM é assim
1 Enem 2017 Uma empresa construirá sua página na 
internet e espera atrair um público de aproximada-
mente um milhão de clientes. Para acessar essa pá-
gina, será necessária uma senha com formato a ser 
definido pela empresa. Existem cinco opções de for-
mato oferecidas pelo programador, descritas no qua-
dro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, 
letra maiúscula e dígito.
Opção Formato
I LDDDDD
II DDDDDD
III LLDDDD
IV DDDDD
V LLLDD
 As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem 
como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se re-
petir em qualquer das opções.
 A empresa quer escolher uma opção de formato cujo 
número de senhas distintas possíveis seja superior 
ao número esperado de clientes, mas que esse nú-
mero não seja superior ao dobro do número espera-
do de clientes.
A opção que mais se adequa às condições da em-
presa é 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
2 Enem Libras 2017 O Código de Endereçamento 
Postal (CEP) é um código numérico constituído por 
oito algarismos. Seu objetivo é orientar e acelerar o 
encaminhamento, o tratamento e a distribuição de 
objetos postados nos Correios. Ele está estruturado 
segundo o sistema métrico decimal, sendo que cada 
um dos algarismos que o compõem codifica região, 
sub-região, setor, subsetor, divisor de subsetor e 
identificadores de distribuição conforme apresenta 
a ilustração.
 O Brasil encontra-se dividido em dez regiões 
postais para fins de codificação. Cada região foi divi-
dida em dez sub-regiões. Cada uma dessas, por sua 
vez, foi dividida em dez setores. Cada setor, dividido 
em dez subsetores. Por fim, cada subsetor foi dividi-
do em dez divisores de subsetor. Além disso, sabe-se 
que os três últimos algarismos após o hífen são de-
nominados de sufixos e destinam-se à identificação 
individual de localidades, logradouros, códigos espe-
ciais e unidades dos Correios.
 A faixa de sufixos utilizada para codificação 
dos logradouros brasileiros inicia em 000 e termi-
na em 899.
Disponível em: <www.correios.com.br>. 
Acesso em: 22 ago. 2017 (adaptado).
 Quantos CEPs podem ser formados para a codifica-
ção de logradouros no Brasil? 
a) 5 ⋅ 0 + 9 ⋅ 102
b) 105 + 9 ⋅ 102
c) 2 ⋅ 9 ⋅ 107
d) 9 ⋅ 102
e) 9 ⋅ 107
3 Enem Libras 2017 As ruas de uma cidade estão re-
presentadas por linhas horizontais e verticais na ilus-
tração. Para um motorista trafegando nessa cidade, 
a menor distância entre dois pontos não pode ser 
calculada usando o segmento ligando esses pontos, 
mas sim pela contagem do menor número de qua-
dras horizontais e verticais necessárias para sair de 
um ponto e chegar ao outro. Por exemplo, a menor 
distância entre o ponto de táxi localizado no ponto O 
e o cruzamento das ruas no ponto A, ambos ilustra-
dos na figura, é de 400 metros.
156 MATEMÁTICA / Frente A
 Um indivíduo solicita um táxi e informa ao taxista que 
está a 300 metros do ponto O, segundo a regra de 
deslocamentos citada, em uma determinada esquina. 
Entretanto, o motorista ouve apenas a informação da 
distância do cliente, pois a bateria de seu celular des-
carregou antes de ouvir a informação de qual era a 
esquina.
 Quantas são as possíveis localizações desse cliente? 
a) 4
b) 5
c) 12
d) 16
e) 20
4 Enem PPL 2017 Desde 1999 houve uma significativa 
mudança nas placas dos carros particulares em todo 
o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas 
por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas 
de uma letra, passando a ser formadas por sete carac-
teres, sendo que os três primeiros caracteres devem 
ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro 
últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mu-
dança possibilitou a criação de um cadastro nacional 
unificado de todos os veículos licenciados e ainda au-
mentou significativamente a quantidade de combi-
nações possíveis de placas. Não são utilizadas placas 
em que todos os algarismos sejam iguais a zero.
Disponível em: <http://g1.globo.com>. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado).
 Nessas condições, a quantidade de placas que po-
dem ser utilizadas é igual a 
a) 263 + 94
b) 263 × 94
c) 263 × (104− 1)
d) (263 + 104) − 1
e) (263 × 104) − 1
5 Enem 2016 Para estimular o raciocínio de sua filha, 
um pai fez o seguinte desenho e o entregou à crian-
ça juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele 
deseja que a menina pinte somente os círculos, de 
modo que aqueles que estejam ligados por um seg-
mento tenham cores diferentes.
 De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer 
o que o pai pediu? 
a) 6
b) 12
c) 18
d) 24
e) 72
6 Enem Um artesão de joias tem a sua disposição 
pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e 
verdes.
 Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga 
metálica, a partir de um molde no formato de um lo-
sango não quadrado com pedras nos seus vértices, 
de modo que dois vértices consecutivos tenham 
sempre pedras de cores diferentes.
 A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, 
cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições 
ocupadas pelas pedras.
 Com base nas informações fornecidas, quantas joias 
diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 36 
7 Enem O diretor de uma escola convidou os 280 alu-
nos de terceiro ano a participarem de uma brincadei-
ra. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens 
numa casa de 9 cômodos; um dos personagens es-
conde um dos objetos em um dos cômodos da casa. 
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi 
escondido por qual personagem e em qual cômodo 
da casa o objeto foi escondido.
 Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um 
aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas 
devem ser sempre distintas das anteriores, e um 
mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma 
vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é de-
clarado vencedor e a brincadeira é encerrada. 
 O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta 
porque há 
157CAPÍTULO T2 / Formas de contagem
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas.
8 Enem O designer português Miguel Neiva criou um 
sistema de símbolos que permite que pessoas daltô-
nicas identifiquem cores. O sistema consiste na utili-
zação de símbolos que identificam as cores primárias 
(azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição 
de dois desses símbolos permite identificar cores se-
cundárias (como o verde, que é o amarelo combinado 
com o azul). O preto e o branco são identificados por 
pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, 
enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbo-
los que representam preto e branco também podem 
ser associados aos símbolos que identificam cores, 
significando se estas são claras ou escuras.
Folha de São Paulo. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br>. 
Acesso em: 18 fev. 2012. (adaptado)
 De acordo com o texto, quantas cores podem ser re-
presentadas pelo sistema proposto? 
a) 14 
b) 18 
c) 20 
d) 21 
e) 23 
9 Enem A escrita Braile para cegos é um sistema de 
símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 
pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo 
menos um se destaca em relação aos demais.
 Por exemplo, a letra A é representada por
 O número total de caracteres que podem ser repre-
sentados no sistema Braile é 
a) 12.
b) 31.
c) 36.
d) 63.
e) 720.
10 Enem O setor de recursos humanos de uma empre-
sa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a 
uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem 
atribuir a cada candidato um número, colocar a lista 
de números em ordem numérica crescente e usá-la 
para convocar os interessados. Acontece que, por 
um defeito do computador, foram gerados números 
com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apa-
receram dígitos pares. 
 Em razão disso, a ordem de chamada do candidato 
que tiver recebido o número 75.913 é 
a) 24. 
b) 31. 
c) 32. 
d) 88. 
e) 89. 
11 Enem 2017 Como não são adeptos da prática de es-
portes, um grupo de amigos resolveu fazer um tor-
neio de futebol utilizando videogame. Decidiram que 
cada jogador joga uma única vez com cada um dos 
outros jogadores. O campeão será aquele que con-
seguir o maior número de pontos. Observaram que o 
número de partidas jogadas depende do número de 
jogadores, como mostra o quadro:
Quantidade de jogadores 2 3 4 5 6 7
Número de partidas 1 3 6 10 15 21
 Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas 
serão realizadas? 
a) 64
b) 56
c) 49
d) 36
e) 28
12 Enem 2016 O tênis é um esporte em que a estra-
tégia de jogo a ser adotada depende, entre outros 
fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.
 Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 
4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube 
deseja realizar uma partida de exibição entre dois 
desses jogadores, porém, não poderão ser ambos 
canhotos.
 Qual o número de possibilidades de escolha dos te-
nistas para a partida de exibição? 
a) 
×
−
×
10!
2! 8!
4!
2! 2!
 
b) 
−
10!
8!
4!
2!
 
c) 
×
−
10!
2! 8!
2 
d) 
+ ×
6!
4!
4 4 
e) 6!
4!
6 4+ ×
Nascida do estudo de relações simples entre os lados 
de um triângulo, a trigonometria hoje é uma ferramenta 
matemática aplicada universalmente nas ciências exatas.
S
h
a
iit
h
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
Derivada do grego antigo, a palavra trigonometria sig-
nifica literalmente “medidas do triângulo’’. Essa definição, 
de fato, foi conveniente durante os primeiros estágios de 
desenvolvimento dessa área da Matemática: os modelos 
trigonométricos se ocupavam principalmente de medidas 
de terrenos, cálculos simples de rotas de navegação e al-
guns cálculos astronômicos.
Com o desenvolvimento da Matemática ao longo dos 
séculos, a trigonometria passou a abranger novos assun-
tos e tornou-se uma ferramenta indispensável em outras 
ciências, como a ótica geométrica, a ondulatória, a dinâmi-
ca e a atomística.
As medidas trigonométricas passaram a ser vistas não 
apenas como relações entre lados de um triângulo, mas 
como funções bem definidas em todo o domínio dos reais 
e que apresentam propriedades interessantes, como a 
sua periodicidade.
Ao longo dos próximos capítulos, daremos os primeiros
passos na trigonometria, aprendendo um conceito novo e 
bastante importante: a circunferência trigonométrica.
Trigonometria
Quais relações trigonométricas você conhece em um 
triângulo retângulo?
Você é capaz de citar algumas aplicações da tri-
gonometria na Física?
B
Matemática
FRENTE
A
n
d
re
y
 A
rm
y
a
g
o
v
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
Arcos geométricos
T1
CAPÍTULO
Os ponteiros de um relógio desenvolvem trajetórias que podem ser definidas como arcos de circunferência.
Desde a Antiguidade, pode-se dizer que a base da trigonometria foi construída sobre as fundações 
sólidas da geometria plana. Não é exagero dizer que um bom geômetra dominará com facilidade a ciência 
trigonométrica.
Neste primeiro capítulo, iremos revisar alguns conceitos fundamentais de geometria plana, como os 
tipos de medidas e de classificações de ângulos, o cálculo de arcos de circunferência e o método de 
conversão entre medidas em graus e em radianos, assuntos necessários para os nossos estudos ao longo 
deste livro.
É muito importante que você domine todos os conceitos apresentados neste capítulo. Eles serão a 
chave para o seu aprendizado nesta área da matemática tão útil e tão fascinante que é a trigonometria.
 Neste capítulo, será abordada a habilidade EM13MAT306.
• Você é capaz de definir a medida angular de 1 grau? E de 1 radiano?
• O que você sabe dizer sobre o número p?
161CAPÍTULO T1 / Arcos geométricos
 Medidas angulares
A trigonometria é uma área da matemática cuja base e o desenvolvi-
mento estão fortemente associados aos conceitos de medidas angulares. 
Desse modo, vamos iniciar o nosso estudo revisando os princípios funda-
mentais sobre ângulos, suas unidades de medida e classificações.
Da geometria plana, sabemos que ângulo é a reuniãode duas semir-
retas de mesma origem. Cada uma das semirretas é um lado do ângulo e 
a origem comum a elas é denominada vértice do ângulo.
A figura a seguir mostra um ângulo AÔB cujos lados são as semirretas 
� ���
OA e 
� ���
OB , e o vértice é o ponto O.
Ângulo
O
B
A
Vértice
É comum que ângulos sejam medidos em graus (°). Um ângulo defini-
do por uma volta inteira apresenta medida de 360°.
1 volta completa = 360°
Portanto, podemos definir a medida de 1° como aquela corresponden-
te a 1
360
 de uma volta completa.
Também, quanto a sua medida em graus, um ângulo pode ser classifi-
cado como agudo, reto, obtuso ou raso.
• Ângulo agudo: é aquele que apresenta medida positiva e inferior a 
90°.
α
Ângulo agudo, pois 0° < α < 90°.
Usualmente, ângulos são 
representados por letras do 
alfabeto grego. As letras 
mais comuns são α (alfa), β
(beta) e θ (theta).
ligado
Fique
• Ângulo reto: é aquele que corresponde a 
1
4
 de uma volta, ou seja, mede exatamente 90°. 
É bastante usual que ângulos retos sejam representados por meio de um pequeno quadrado 
com um ponto central, desenhado junto ao seu vértice.
90°
C
P D
Ângulo CP̂D reto.
• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é superior a 90°, mas inferior a 180°.
β
Ângulo β obtuso, já que 90° < β < 180°.
• Ângulo raso (ou de meia-volta) é aquele cujos lados são semirretas opostas, e mede 180°.
180°
O BA
Ângulo AÔ B raso
Se a soma das medidas de dois ângulos é igual a 90°, dizemos que eles são complementares. 
Se α e β são ângulos complementares, então dizemos que α é o complementar de β (ou que β é o 
complementar de α).
α e β são ângulos complementares
α
α + β = 90°
β
Se a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180° (meia-volta), dizemos que eles são 
suplementares.
α e β são ângulos suplementaresα
α + β = 180°
β
Se α e β são suplementares, dizemos que α é o suplementar de β (ou que β é o suplementar de α).
162 MATEMÁTICA / Frente B
Arcos na circunferência
Ao longo dos próximos capítulos, você trabalhará com ângulos em circunferências, principal-
mente após ser apresentado ao conceito de circunferência trigonométrica. É importante também 
relembrarmos alguns conceitos fundamentais sobre arcos de circunferência.
Ao tomarmos dois pontos A e B sobre uma circunferência, faremos com que esta seja dividida 
em duas partes chamadas arcos de circunferência, ou apenas arcos. Ao traçarmos os raios que li-
gam A e B ao centro da circunferência, determinamos o ângulo central associado ao arco. Observe.
A
B
O
θ
Medidas em radianos
Muito embora a medida de um ângulo em graus seja útil e eficaz, há outra medida bastante usual 
para medição de ângulos: o radiano.
Se o arco definido por um ângulo central em uma circunferência possui comprimento igual ao 
seu raio, dizemos que este ângulo mede 1 radiano (ou simplesmente 1 rad).
r
r
θ = 1 rad
1 Determine:
a) A medida do ângulo complementar de 42°;
b) A medida do ângulo suplementar de 127°;
c) A medida do ângulo cujo suplementar é o triplo do seu complementar.
Resolução:
a) Seja α a medida do ângulo complementar de 42°. Pela definição de ângulos complementares:
42 90 48α + ° = ° ⇒ α = °
b) Seja β a medida do ângulo suplementar de 127°. Pela definição de ângulos suplementares:
127 180 53β + ° = ° ⇒ β = °
c) Seja x esse ângulo. Como o seu complementar mede 90° − x e seu suplementar mede 180° − x, temos:
( )°− = ⋅ °− ⇒ °− = °− ⇒180 x 3 90 x 180 x 270 3x 2x 90 x 45= ° ⇒ = °
Questão resolvida
Arco AB determinado 
pelo ângulo central .
163CAPÍTULO T1 / Arcos geométricos
Questões resolvidas
2 Um ângulo central θ determina em uma circunferência de raio 
4 cm um arco de comprimento 9 cm.
Determine a medida do ângulo θ.
Resolução:
Da relação entre a medida do ângulo θ, do raio r e do comprimen-
to L do arco:
L
r
9
4
2,25 radθ = ⇒ θ = ⇒ θ =
4 cm
9 cm
θ
Por exemplo, para uma circunferência de raio 1 cm, o arco definido por um ângulo central de 1 ra-
diano medirá também 1 cm; enquanto que para uma circunferência de raio 3 cm, a medida do arco de-
finida pelo ângulo central de 1 radiano será também de 3 cm. A figura a seguir ilustra essas situações.
1 cm
3 cm
1 rad
1 cm
3 cm
Generalizando esse conceito, podemos definir a medida de um ângulo central θ em radianos 
como a razão entre a medida L do arco definido por ele e o raio r da circunferência.
r
r
A
L
B
θ θ (em rad) = 
L
r
Perceba que, para que a fórmula seja válida, a medida do arco e do raio devem estar na mesma 
unidade de comprimento (por exemplo, ambas em centímetros ou ambas em metros).
164 MATEMÁTICA / Frente B
Em geometria plana, aprendemos que o perímetro de uma circunferência de raio r é 2πr. Com 
essa informação, podemos calcular a medida de um ângulo de uma volta em radianos.
2πr
θ
(volta)
 = = 2πr
r
θ
2πr
r
Portanto, uma volta inteira corresponde a um ângulo de 2π radianos. Perceba que, como 
2 6,28,π ≅ então a medida do perímetro de uma circunferência é pouco mais de 6 vezes a medida 
de seu raio (em outras palavras, podemos dizer que o raio de uma circunferência “cabe” pouco 
mais de 6 vezes em seu perímetro). A figura a seguir ilustra essa característica das circunferências.
1 rad
1 rad
1 rad
1 rad
1 rad1 rad ≅ 0,28r
r
3 A figura representa uma roda gigante de 6 metros de raio e centro 
O. Uma criança, brincando na roda gigante, inicia seu movimento no 
ponto A e chega ao ponto B, deslocando-se um ângulo θ = 0,9 rad.
Determine, em metros, a distância percorrida pela criança durante 
esse percurso.
Resolução:
Seja L a medida do arco AB em metros. Da relação entre ângulo 
central, comprimento do arco e medida r do raio, temos: 
L
r
θ =
Fazendo θ = 0,9 e r = 6 m, temos:
0,9
L
6
L 6 0, 9 5, 4 m= ⇒ = ⋅ =
Portanto, a criança percorre um arco de medida 5,4 metros.
6 m
O
A
B
θ
165CAPÍTULO T1 / Arcos geométricos
Questão resolvida
Algumas medidas comuns em radianos, correspondentes a frações da 
circunferência, estão listadas a seguir.
2π rad
π rad
da circunferência
1
12
da circunferência
1
8
da circunferência
1
6
da circunferência
1
2
1 circunferênciada circunferência
1
4
π
6
rad
π
4
rad
π
3
rad
π
2
rad
Conversão entre graus e radianos
Há uma relação simples entre a medida de um ângulo em radianos e 
a sua medida em graus. Ela se baseia na medida associada ao percurso 
de uma volta inteira em uma circunferência.
Observe: 1 volta = 360º = 2π rad 
Dividindo ambos os membros da equação por 2, chegamos à relação 
desejada: 180 rad *( )° = π .
Essa relação pode ser reescrita de dois modos, dependendo de qual 
conversão desejamos realizar.
1
180
rad ou 1 rad
180° = π







 = π








°
Exemplos:
• 45 45
180
rad
4
rad° = ⋅ π







 =
π
 •  
3
rad
3
180
60
π = π ⋅
π








°
= °
4 Dados os arcos de circunferência, calcule
a) A medida do ângulo θ em radianos.
b) O comprimento L do arco �CD em centímetros.
Resolução:
a) Considerando o arco �AB , de raio OA , temos:
�med(AB)
OA
5
4
radθ = ⇒ θ =
b) Em relação ao arco �CD e raio OC, temos:
�med(CD)
OC
5
4
L
6
L
30
4
7,5 cmθ = ⇒ = ⇒ = =
5 cm
4 
cm
2 
cm
A
B
C
L
O
D
θ
166 MATEMÁTICA / Frente B
Com o que aprendemos até 
aqui, é fácil calcular a medida 
aproximada de 1 radiano em 
graus!
Da fórmula da conversão: 
1 rad 1
180= ⋅
π








°
  
.
Utilizando a aproximação 
3,14, obtemos que
1 rad à 57,3°.
ligado
Fique
Questões resolvidas
Ângulos menores que 0° e maiores que 360°: 
os arcos trigonométricos
Em alguns exercícios no decorrer deste capítulo, nos 
deparamos com ângulos cujas medidas ultrapassam o valor de 
360° ou 2π rad, e outros cuja medida pode ser negativa.
No âmbito dos chamados arcos geométricos (traçados 
com um compasso), isso não faz sentido. O menor arco 
geométrico é o nulo (mede 0°) e o maior arco geométrico 
possível é a circunferência completa (mede 360°).
Porém, se analisarmos o círculo trigonométrico, os 
chamados arcos trigonométricospodem assumir como 
medida qualquer número real. Os valores superiores a 2π
rad correspondem a mais de uma volta percorrida no sentido 
anti-horário a partir da origem.
Por outro lado, arcos trigonométricos com medidas 
negativas estão associados a voltas no círculo trigonométrico 
percorridas no sentido horário a partir da origem.
O
O arco de 7
3
π rad corresponde 
a uma volta completa mais um 
arco de 
3
π rad no sentido anti-
-horário a partir da origem O.
O
O arco de 
4
−
π rad corresponde 
a um arco de 
4
π rad percorrido 
no sentido horário a partir da 
origem O.
5 Uma estrutura de uma roda de bicicleta é montada de acordo com a 
imagem a seguir, com o suporte de 24 aros igualmente espaçados.
Calcule, em graus e em radianos, a medida do ângulo θ entre dois aros 
consecutivos.
Resolução:
Observe que a circunferência da roda está dividida em 24 partes iguais, 
todas de medida θ.
A medida de θ em graus é dada por: 360
24
15θ =
°
⇒ θ = °
Em radianos: 
2
24 12
radθ =
π
⇒ θ =
π
6 Uma molécula de água é composta de dois átomos de hidrogênio e um átomo de oxigênio e apresenta uma 
configuração conforme representada na imagem, com o oxigê-
nio na posição central.
Sabe-se que o ângulo entre as ligações de hidrogênio e oxi-
gênio é de aproximadamente 105°. Determine a medida des-
se mesmo ângulo em radianos.
Resolução:
Para converter 105° em radianos, vamos utilizar a relação
1
180
rad° = π .
Multiplicando ambos os lados da equação por 105:
105 1
180
105 rad⋅ ° =
π
⋅
Por fim, simplificando a fração do 2o membro:
105
7
12
rad° = π
Desse modo, o ângulo entre as duas ligações de hidrogênio e oxigênio é de 7
12
π rad.
θ
105°
Aprofundando
167CAPÍTULO T1 / Arcos geométricos
1 Converta para radianos as seguintes medidas em 
graus:
a) 160°
b) 36°
c) 120°
2 Converta para graus as seguintes medidas em 
radianos:
a) 5
2
π
b) 2π
c) 7
6
π
3 Determine, em radianos, a medida α do ângulo central 
que determina um arco de comprimento 30 cm em uma 
circunferência de raio 24 cm.
4 O ponteiro dos segundos em um relógio de pa-
rede possui comprimento de 12 cm. Determine, 
em centímetros, a medida do comprimento do arco 
percorrido pela extremidade desse ponteiro em um 
intervalo de 15 segundos. Utilize a aproximação π ≅ 3,1. 
12 cm
12
1
2
3
11
10
9
8
7
6
5
4
7 Converta:
a) 495° para radianos;
b) 
7
6
π
rad para graus.
Resolução:
a) Para converter graus para radianos, multiplique a medida em graus por 
180
π
°
.
Assim: 495 495
180
rad
11
4
rad° = ° ⋅ π
°







 =
π
;
b) Para converter radianos para graus, multiplique a medida em radianos por 180°
π
.
Portanto: 
7
6
rad
7
6
180
210
π






 =
π ⋅ °
π







 = ° .
Aplicando conhecimentos
168 MATEMÁTICA / Frente B
5 Unesp Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma 
de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.
1 cm
1 rad
A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, 
e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O períme-
tro do “monstro”, em cm, é:
a) π − 1
b) π + 1
c) 2p
d) 2π − 1
e) 2π + 1
6 UFSCar-SP Uma pizza circular será fatiada, a partir do 
seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada 
setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo 
N de fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia me-
nor, que é indicada na figura por fatia N + 1.
fatia 2
fatia 1
fatia N
fatia N+1
Considerando π = 3,14, o arco da fatia N + 1, em ra-
dianos, é
a) 0,74.
b) 0,72.
c) 0,68.
d) 0,56.
e) 0,34.
1 Converta para radianos as seguintes medidas em 
graus:
a) 45° b) 215° c) 630°
2 Converta para graus as seguintes medidas em radianos:
a) 5
4
π rad;
b) 7
12
π rad;
c) 32
3
π rad.
3 Disponha em ordem crescente as medidas desses 
três arcos: 
5
4
rad, 210 ,
2
3
rad
π
°
π
.
4 Simplifique as expressões a seguir:
a) 
4 3 2
π
+
π
+
π ;
b) 17
3 4
5
2
π
−
π
−
π .
5 Em um triângulo, um de seus ângulos mede 
4
π rad e 
outro 
3
π rad. Determine, em radianos, a medida do 
seu terceiro ângulo.
6 Simplifique a expressão E 3
2
5
2
=
π
−
π
π +
π
.
7 Determine, em radianos:
a) O complementar de 5
12
π rad;
b) O suplementar de 7
10
π rad.
8 Um ângulo α mede 5 radianos. Das medidas em graus 
a seguir, qual é a mais próxima da medida de α?
a) 30°
b) 180°
c) 270°
d) 360°
e) 450°
9 Determine, em radianos, a medida do ângulo central 
θ que determina um arco de comprimento  em uma 
circunferência de raio R, para cada um dos itens a 
seguir:
a) R = 10 cm,  = 6 cm;
b) R = 4 cm,  = 5 cm;
c) R = 2 cm,  = 3
4
 cm;
d) R = 0,5 cm,  = 1,25 cm.
CONSOLIDANDO SABERES
169CAPÍTULO T1 / Arcos geométricos
10 Determine o comprimento  dos arcos �AB a seguir, 
dados os ângulos centrais e as medidas dos raios em 
cada circunferência.
a) 
π
3
rad
A
B
12 cm
b) 
π
6
rad
A
B
10 cm
c) 
A
B
20 cm
120°
d) 
A
B
6 cm
225°
11 Um sprinkler espirra água formando um arco de 6 m 
de comprimento a uma distância de 10 m do ponto 
em que está fixado ao solo. Determine, em radianos, 
o ângulo de rotação do sprinkler.
10 m
θ
6 m
Sprinkler
12 O ponteiro dos minutos de um relógio possui 6 cm de 
comprimento. Determine o comprimento do arco percor-
rido pela extremidade do ponteiro em um intervalo de:
a) 5 minutos;
b) 20 minutos;
c) 50 minutos.
13 Um pêndulo balança a uma velocidade de 18° por 
segundo. Se o pêndulo tem 60 cm de comprimento, 
qual a medida do arco percorrido em 0,5 segundo?
14 Se θ = 2,5 rad, determine a medida x indicada.
x − 3
x + 6
x − 3
θ
15 Determine, em centímetros, a medida do arco �AB .
A
1º
B
O
100 cm
100 cm
170 MATEMÁTICA / Frente B
16 Dados os arcos concêntricos de circunferência, de-
termine a medida de a na figura.
18
B
3
3
a
a
C
A
24O
D
θ
17 Determine a medida do ângulo α em radianos.
8
66
12
BA
α
C D
18 Dados os arcos concêntricos a seguir, determine:
8
B
3
5
5
3
C
A
O
D
θ
a) a medida de θ em radianos;
b) a medida do arco �CD.
19 Dada a figura, determine o valor de 
a 2b
2a b
+
+
.
2
b
a
A
B
C
3O
D
θ
20 Enem PPL 2019 Uma pista circular delimitada por 
duas circunferências concêntricas foi construí-
da. Na circunferência interna dessa pista, de raio 
0,3 km, serão colocados aparelhos de ginástica loca-
lizados nos pontos P, Q e R, conforme a figura.
Q
R P
O segmento RP é um diâmetro dessa circunferência 
interna, e o ângulo PRQ tem medida igual a 
5
π 
radianos.
Para uma pessoa ir do ponto P ao ponto Q andando 
pela circunferência interna no sentido anti-horário, 
ela percorrerá uma distância, em quilômetro, igual a
a) 0,009π
b) 0,03π
c) 0,06π
d) 0,12π
e) 0,18π
171CAPÍTULO T1 / Arcos geométricos
Sabe-se que o comprimento de um arco circular é 
dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido 
em radiano, subentendido pelo arco. Nas condições 
apresentadas, a razão da medida do ângulo P ĈP2 1 
pela diferença L – I é dada por
a) R2 – R1 
b) 
1
R
–
1
R1 2
c) 
1
R
–
1
R2 1
d) 
1
R –R2 1
e) 
1
R –R1 2
24 EEAR 2019 Gabriel verificou que a medida de um 
ângulo é 
3
10
rad . Essa medida é igual a
a) 48°
b) 54°
c) 66°
d) 72°
25 Uerj 2019 Observe no esquema um círculo de raio 
igual a 3,14 cm. Seu maior arco, AB, correspondente 
ao ângulo central α, tem comprimento de 15,7cm. 
15,7 cm
a
A
B
3,14 cm
Calcule, em graus, a medida do ângulo α.
26 Esc. Naval-RJ 2014 Rola-se, sem deslizar, uma roda 
de 1 metro de diâmetro, por um percurso reto de 
30 centímetros, em uma superfície plana. O ângulo 
central de giro da roda, em radianos, é
a) 0,1
b) 0,2
c) 0,3
d) 0,6
e) 0,8
21 IFPE 2019 O relógio abaixo está marcando 2 horas 
em ponto. O ponteiro dos minutos começa a se loco-
mover e anda 240.
Após esses 240° percorridos pelo ponteiro dos mi-
nutos, que horas o relógio marcará?
a) 2h 45
b) 2h 20
c) 2h 30
d) 2h 40
e) 2h 24
22 IFCE 2016 Em uma engrenagem, uma roda tem 
90 cm de comprimento e dá 600 voltas, enquanto 
outra, menor, dá 1800 voltas. O raio da rodamenor, 
em centímetros, é
a) 
p
12 .
b) 
p
15 .
c) 
p
5
2
.
d) p3
2
.
e) π.
23 Enem PPL 2020 Dois atletas partem de pon-
tos, respectivamente P1 e P2, em duas pistas pla-
nas distintas, conforme a figura, deslocando-se 
no sentido anti-horário até a linha de chegada, 
percorrendo, desta forma, a mesma distância (L). 
Os trechos retos dos finais das curvas até a linha 
de chegada desse percurso têm o mesmo compri-
mento (l) nas duas pistas e são tangentes aos tre-
chos curvos, que são semicírculos de centro C. 
O raio do semicírculo maior é R1 e o raio do 
semicírculo menor é R2.
Linha de chegada
CR₁
P₁
P₂
R₂
172 MATEMÁTICA / Frente B
27 Uece 2016 Um relógio analógico marca duas 
horas e trinta minutos. Ao lado deste, um segun-
do relógio marca um fuso horário diferente: dez 
horas e trinta minutos. Considerando o menor ângulo 
formado entre o ponteiro dos minutos e o ponteiro 
das horas, em cada um dos relógios, assinale o que 
for correto.
01. O ângulo no primeiro relógio é menor que 120°.
02. O ângulo no segundo relógio é maior que 140°.
04. No primeiro relógio, o ângulo é maior que no 
segundo.
08. O módulo da diferença entre os ângulos dos 
dois relógios é 30°.
Soma: 
28 Uece 2019 Em um relógio analógico circular usual, 
no momento em que está registrando 10 horas e trin-
ta e cinco minutos, a medida do menor ângulo entre 
os ponteiros indicadores de horas e minutos é
a) 108 graus
b) 107 graus e trinta minutos
c) 109 graus
d) 108 graus e trinta minutos
29 Fuvest 2019 Um triângulo retângulo com vértices 
denominados A, B e C apoia-se sobre uma linha ho-
rizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escor-
regar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial 
é aquela mostrada na figura, o movimento começa 
com uma rotação em torno do vértice C até o vértice 
A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação 
em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim 
por diante.
A
C2
1
B
Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e 
BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percor-
rida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a 
aresta BC apoiar-se no solo novamente?
a) 
3
2
b) +3 3
3
c) 13
6
d) +3 3
2
e) +8 2 3
3
30 Cefet-MG Uma partícula descreve um arco de 1080° 
sobre uma circunferência de 15 cm de raio. A distân-
cia percorrida por essa partícula, em cm, é igual a
a) 90 π.
b) 120 π.
c) 140 π.
d) 160 π.
31 Feevale-RS Um grupo de amigos resolveu “abraçar” 
uma árvore centenária com 4 metros de diâmetro. 
Considere que cada um deles consegue abraçar 
0,4 π metros da árvore. Nessas condições, quantos 
amigos foram necessários para conseguir fechar o 
abraço na árvore?
a) 16 amigos
b) 10 amigos
c) 6 amigos
d) 4 amigos
e) 3 amigos
32 UTFPR A London Eye também conhecida como 
Millennium Wheel (Roda do Milênio), é uma roda-
-gigante de observação com 135 metros de diâme-
tro e está situada na cidade de Londres, capital do 
Reino Unido. Quanto aproximadamente percorrerá 
uma pessoa nesta roda-gigante em 6 voltas, consi-
derando π = 3,14?
a) 67,5 m.
b) 135 m.
c) 423,9 m.
d) 2 543,4 m.
e) 85 839,75 m.
Determine, em radianos, a medida do ângulo θ 
indicado no diagrama a seguir.
a
b
b
a
a
bθ
173CAPÍTULO T1 / Arcos geométricos
SUPERAÇÃO
Este capítulo é o coração deste livro. É nele que você aprenderá o importante conceito de circunferên-
cia trigonométrica e como utilizá-la para calcular valores de seno, cosseno e tangente de ângulos que não 
estão limitados a triângulos retângulos.
O capítulo inicia-se com uma breve revisão das razões trigonométricas como razões numéricas en-
tre as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo. Em seguida, são desenvolvi-
das as ideias que definem a geometria dos arcos orientados e como é possível, a partir deles, definir 
ângulos de medidas negativas e até mesmo de medidas maiores que 360°. Por fim, de posse desses 
conceitos, é apresentada a definição de circunferência trigonométrica, uma ferramenta muito importante
da trigonometria e que será utilizada ao longo de todo o livro.
A
rt
u
ro
 V
e
re
a
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
.c
o
m
A circunferência trigonométrica
• Você é capaz de lembrar a definição das três razões trigonométricas fundamentais: seno, 
cosseno e tangente?
• Como poderíamos definir ângulos com medidas superiores a 360°? E ângulos de medidas 
negativas?
T2
CAPÍTULO
 Neste capítulo, será abordada a habilidade EM13MAT306.
O skatista Tony Hawk foi o primeiro a executar publicamente uma difícil manobra conhecida como 900°, em Playa del Carmen, 
México, 2017.
 Trigonometria no triângulo retângulo
Para que você compreenda perfeitamente o assunto do capitulo, é fundamental que relembre os 
conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, conforme aprendidos em geometria 
plana. Vamos revisá-los!
Considere, primeiramente, um triângulo ABC, retângulo em A e com med ACB , conforme 
representado a seguir.
O cateto do triângulo ABC que está em oposição ao ângulo de medida θ é denominado cateto 
oposto, enquanto o outro cateto é definido como cateto adjacente.
Em um triângulo retângulo, as razões trigonométricas de seus ângulos agudos são definidas a 
partir de razões entre as medidas de seus catetos e de sua hipotenusa. Define-se:
Seno de θ: θ = =sen
cateto oposto
hipotenusa
b
a
Cosseno de θ: θ = =cos
cateto adjacente
hipotenusa
c
a
Tangente de θ: θ = =tg
cateto oposto
cateto adjacente
b
c
Uma relação muito importante surge dessas definições: a relação 
fundamental da trigonometria. Para o ângulo de medida θ definido no 
triângulo acima, temos que:
θ + θ = + =
+
sen cos
b
a
c
a
b c
a
2 2
2
2
2
2
2 2
2
Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que + =b c a ,2 2 2 assim:
Simplificando, chegamos à relação fundamental da trigonometria, 
válida para qualquer ângulo θ:
hipotenusa
cateto adjacente
cateto
oposto
a
θ
A
B
C
b
c
θ + θ =sen cos
a
a
2 2
2
2
A tangente de um ângulo 
também pode ser calculada 
como a razão entre o seu 
seno e o seu cosseno. 
Observe:
θ
θ
= == =
cos  θs  
sen
cateto oposto
hipotenusa
s  cas  tetos  tetos   adjacentes   adjacentes  
hipotenusa
= = =
  
cateto oposto
cateto adjacente
tg θ
ligado
Fique
θ + θ =sen cos 12 2
175CAPÍTULO T2 / A circunferência trigonométrica
Há três ângulos notáveis cujos valores de seno, de cosseno e de tangente devem ser conheci-
dos por todo estudante devido à grande frequência com a qual ocorrem em situações-problema. 
Tais ângulos são os de medida 30°, 45° e 60°. Suas razões trigonométricas fundamentais são 
apresentadas no quadro abaixo.
30° 45° 60°
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno 3
2
2
2
1
2
tangente 3
3
1 3
Questões resolvidas
1 Dado o triângulo retângulo a seguir, determine o valor de sen α, cos α e tg α.
13
5
x
α
Resolução: 
É necessário calcular a medida x do cateto adjacente ao ângulo de medida α. Pelo teorema de Pitágoras:
+ = ⇒ + = ⇒x 5+ =x 5+ = 13 x 2⇒ +x 2⇒ + 5 1= ⇒5 1= ⇒69= ⇒69= ⇒ x 1=x 122 2+ =2 2+ =x 52 2x 5+ =x 5+ =2 2x 5 2 2⇒ +2 2x 22 2x 2⇒ +x 2⇒ +2 2⇒ +x 2
Assim, pelas definições das razões trigonométricas: α =sen
5
13
; α =cos
12
13
; α =tg
5
12
2 Um observador imóvel percebe um avião voando a uma altura de 2 400 m em relação ao solo, conforme a 
figura.
θ
d
2400 m
Sendo θ o ângulo de observação e considerando desprezível a altura do observador, determine a 
distância d entre o avião e o observador para
a) θ 5 30°; b) θ 5 60°.
(Considere a aproximação 3 1,7.)≅
176 MATEMÁTICA / Frente B
Resolução:
A situação pode ser modelada geometricamente por meio do triângulo ABC a seguir.
d
2400 m
θ
A
B
C
Perceba que θ = ⇒ θ = ⇒= ⇒ =
θ
sen
AB
BC
⇒ θse⇒ θ⇒ θ⇒ θ
2400
d
d
2400
sen
a) Para 0 5 30°:
=
°
⇒ = =d
2400
sen 30
d⇒ =⇒ =
2400
1
2
4800 m
b) Para 0 5 60°:
=
°
⇒ = =d
2400
sen 60
d⇒ =⇒ =
2400
3
2
4800
3
m
Racionalizando a expressão: = == =d
4800 3
3
1 600 3 m
Utilizando a aproximação : = ≅ ⋅ ⇒ =3 1= ≅3 1= ≅,7= ≅,7= ≅: d= ≅: d= ≅ 1 600 1,⋅ ⇒1,⋅ ⇒7 d⋅ ⇒7 d⋅ ⇒ 2720 m
3 Dado