Aula 3 - Parametrização de curvas

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Professora Roberta Briesemeister – Cálculo 3
▪ Sejam
𝑥 = 𝑥 𝑡
𝑦 = 𝑦 𝑡
𝑧 = 𝑧 𝑡
funções contínuas de uma variável 𝑡 , definida para 𝑡 ∈ 𝑎, 𝑏 .
Chamamos CURVA o conjunto de todos os pontos 𝑥, 𝑦, 𝑧
determinados por estas equações. As equações acima são
chamadas equações paramétricas da curva e 𝑡 é chamado
parâmetro.
▪ Podemos obter uma equação vetorial de uma curva. Basta considerar o
vetor posição Ԧ𝑟 𝑡 de cada ponto da curva. As componentes de Ԧ𝑟 𝑡 são
precisamente as coordenadas do ponto.
▪ Escrevemos,
Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑦 𝑡 Ԧ𝑗 + 𝑧 𝑡 𝑘, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
A) A equação vetorial Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑡Ԧ𝑖 + 𝑡Ԧ𝑗 + 𝑡𝑘 representa uma reta, cujas
equações paramétricas são ൞
𝑥 𝑡 = 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑡
𝑧 𝑡 = 𝑡
ቊ
𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑦 = 𝑥
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 𝑥
𝑥 = 𝑦 = 𝑧
B) As equações paramétricas ቐ
𝑥 = 2 cos 𝑡
𝑦 = 2 sin 𝑡
𝑧 = 3𝑡
, representam uma curva no
espaço, chamada hélice circular. Trata-se de uma curva reversa (não
está contida num plano). A equação vetorial correspondente é:
Ԧ𝑟 𝑡 = 2 cos 𝑡 Ԧ𝑖 + 2 sin 𝑡 Ԧ𝑗 + 3𝑡𝑘
ቐ
𝑥 = 2 cos 𝑡
𝑦 = 2 sin 𝑡
𝑧 = 3𝑡
C) A equação vetorial Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑡Ԧ𝑖 + 𝑡2Ԧ𝑗 + 3𝑘 representa uma parábola no
plano 𝑧 = 3.
▪Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no
espaço.
▪ Uma curva que não é plana cham
curva plana 
curva reversa
1) Parametrização de uma reta;
2) Parametrização de uma circunferência;
3) Parametrização de uma elipse;
4) Parametrização de uma parábola;
5) Parametrização de uma hélice circular;
▪A equação vetorial de uma reta qualquer pode ser dada
por Ԧ𝑟 𝑡 = Ԧ𝑎 + 𝑡𝑏, onde Ԧ𝑎 e 𝑏 são vetores constantes e 𝑡 é
um parâmetro real.
Seja 𝐴 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 um ponto da reta e
𝑏 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 um vetor diretor da reta.
Equação vetorial da reta:
Ԧ𝑟 𝑡 = (𝑎1 + 𝑡𝑏1)Ԧ𝑖 + 𝑎2 + 𝑡𝑏2 Ԧ𝑗 + 𝑎3 + 𝑡𝑏3 𝑘
Equação paramétrica da reta:
Ԧ𝑟 𝑡 = ቐ
𝑥 = 𝑎1 + 𝑡𝑏1
𝑦 = 𝑎2 + 𝑡𝑏2
𝑧 = 𝑎3 + 𝑡𝑏3
a) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa
pelo ponto 𝐴 2, 1, −1 na direção do vetor 𝑏 = 2,−3, 1 .
b) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa
por 𝐴 2, 0, 1 e 𝐵 −1,
1
2
, 0 .
c) Determinar uma representação paramétrica da reta tangente
ao hodógrafo de Ԧ𝑓 𝑡 = 𝑡, 𝑡2 para 𝑡 = 1.
a) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto
𝐴 2, 1, −1 na direção do vetor 𝑏 = 2,−3, 1 .
Ԧ𝑟 𝑡 = 2 + 2𝑡 Ԧ𝑖 + 1 − 3𝑡 Ԧ𝑗 + −1 + 𝑡 𝑘
Ԧ𝑟 𝑡 : ቐ
𝑥 = 2 + 2𝑡
𝑦 = 1 − 3𝑡
𝑧 = −1 + 𝑡
b) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa por
𝐴 2, 0, 1 e 𝐵 −1,
1
2
, 0 .
Ԧ𝑟 𝑡 = 2 − 3𝑡 Ԧ𝑖 +
𝑡
2
Ԧ𝑗 + 1 − 𝑡 𝑘
Ԧ𝑟 𝑡 : ቐ
𝑥 = 2 − 3𝑡
𝑦 = 𝑡/2
𝑧 = 1 − 𝑡
c) Determinar uma representação
paramétrica e uma representação
cartesiana da reta tangente ao
hodógrafo de Ԧ𝑓 𝑡 = 𝑡, 𝑡2 para
𝑡 = 1.
𝑦 = 2𝑥 − 1
ቊ
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 2𝑡 − 1
a) Determine a inclinação da reta no espaço R² cuja equação vetorial é
b) Determine as coordenadas do ponto onde a reta
intercepta o plano xz.
a) Determine a inclinação da reta no espaço R² cuja equação vetorial é
−56,3° + 180° = 123,7°
b) Determine as coordenadas do ponto onde a reta
intercepta o plano xz (y = 0).
1 − 2𝑡 = 0 → 𝑡 =
1
2
Ԧ𝑟
1
2
= 𝑃(5/2, 0, 3/2)
▪ Uma equação vetorial da circunferência de raio 𝑎, com centro na
origem, no plano 𝑥𝑦, é Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑅 cos 𝑡 , 𝑅 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
Ԧ𝑟 𝑡 = ቊ
𝑥 = 𝑅 cos 𝑡
𝑦 = 𝑅 sin 𝑡
▪ Circunferência deslocada da origem, com centro em 𝑥0, 𝑦0 :
Ԧ𝑟 𝑡 = ቊ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑅 cos 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑅 sin 𝑡
▪ Equação cartesiana: 𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑅2
𝑅
a) Obter equações paramétricas da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 +
4 = 0 no plano 𝑧 = 3.
b) Obter equações paramétricas da circunferência 𝑥2 + 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦 = 0 no
plano 𝑧 = 0.
c) A equação vetorial Ԧ𝑟 𝑡 = 2Ԧ𝑖 + 3 cos 𝑡 Ԧ𝑗 + 3 sin 𝑡 𝑘 representa uma
circunferência. Determine a correspondente equação cartesiana.
d) A equação vetorial Ԧ𝑟 𝑡 = 2Ԧ𝑖 + (−1 + 3 cos 𝑡)Ԧ𝑗 + 3 sin 𝑡 𝑘 representa uma
circunferência. Determine a correspondente equação cartesiana.
a) Obter equações paramétricas da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 −
6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 no plano 𝑧 = 3.
Ԧ𝑟 𝑡 : ቐ
𝑥 = 3 + 3 cos 𝑡
𝑦 = 2 + 3 sin 𝑡
𝑧 = 3
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Dica: completar quadrados!
b) Obter equações paramétricas da circunferência 𝑥2 + 𝑥 +
𝑦2 − 𝑦 = 0 no plano 𝑧 = 0.
Ԧ𝑟 𝑡 :
𝑥 =
1
2
+
1
2
cos 𝑡
𝑦 = −
1
2
+
1
2
sin 𝑡
𝑧 = 0
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Dica: completar quadrados!
c) A equação vetorial Ԧ𝑟 𝑡 = 2Ԧ𝑖 + 3 cos 𝑡 Ԧ𝑗 + 3 sin 𝑡 𝑘 representa uma
circunferência. Determine a correspondente equação cartesiana.
ቊ𝑦
2 + 𝑧2 = 9
𝑥 = 2
d) A equação vetorial Ԧ𝑟 𝑡 = 2Ԧ𝑖 + (−1 + 3 cos 𝑡)Ԧ𝑗 + 3 sin 𝑡 𝑘
representa uma circunferência. Determine a correspondente
equação cartesiana.
ቊ 𝑦 + 1
2 + 𝑧2 = 9
𝑥 = 2
Nas solicitações técnicas, por conveniência, é comum o uso de
outras formas de parametrizações. Logo, o parâmetro “t” pode
representar muitas situações diferentes, vejamos:
Represente o vetor de posição para um
movimento circular de raio 10 cm, com
frequência de 3 Hz na altura de z = 5.
https://www.youtube.com/watch?v=CxjBZyDRfgc&list=
PL0FDA601EFDEECB24&index=2
Parametrização de curvas
https://www.youtube.com/watch?v=CxjBZyDRfgc&list=PL0FDA601EFDEECB24&index=2
▪ Uma equação vetorial de uma elipse, com centro na origem, no plano
𝑥𝑦, é Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑎 cos 𝑡 , 𝑏 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
Ԧ𝑟 𝑡 = ቊ
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡
𝑦 = 𝑏 sin 𝑡
▪ Elipse deslocada da origem, com centro em 𝑥0, 𝑦0 :
Ԧ𝑟 𝑡 = ቊ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎 cos 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏 sin 𝑡
▪ Equação cartesiana:
𝑥 − 𝑥0
2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑦0
2
𝑏2
= 1
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
→ O eixo maior está sobre o eixo dos x
a = b → circunferência
→ O eixo maior está sobre o eixo dos y
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
a) Escrever uma equação vetorial da elipse 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36, no plano 𝑥𝑦. 
b) Escrever uma equação vetorial para a elipse da figura abaixo: 
a) Escrever uma equação vetorial da elipse 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36, no plano 𝑥𝑦. 
b) Escrever uma equação vetorial para a elipse da figura abaixo: 
▪Dica ... A variável que está ao quadrado chamar de t
Escreva uma equação paramétrica para as parábolas:
a) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 no plano 𝑧 = 2
b) 𝑥 = 4𝑦2 + 2𝑦 − 1 no plano 𝑧 = 0
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 no plano 𝑧 = 2
ቐ
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑡2 + 2𝑡 − 1
𝑧 = 2
𝑥 = 4𝑦2 + 2𝑦 − 1 no plano 𝑧 = 0
ቐ
𝑥 = 4𝑡2 + 2𝑡 − 1
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 0
▪ A hélice circular é uma curva reversa. Ela se desenvolve sobre a
superfície cilíndrica 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2.
ቐ
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡
𝑦 = 𝑎 sin 𝑡
𝑧 = 𝑎 𝑡 tan 𝜃
m > 0 : 
uma parafuso de 
rosca à direita
m < 0 : 
uma parafuso de 
rosca à esquerda
Dupla hélice circular
(ENEM - 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usado uma faixa
retangular de papel transparente na qual está desenhada em negrito uma
diagonal que forma 30° com a borda inferior o raio da base do cilindro mede
6/π centímetros e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice
como na figura. O valor da medida da altura do cilindro em centímetros é
Determine a equação paramétrica da hélice ilustrada abaixo, sendo
6/𝜋 o raio do cilindro.
(ENEM - 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usado uma faixa retangular
de papel transparente na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30°
com a borda inferior o raio da base do cilindro mede 6/π centímetros e ao enrolar a
faixa obtém-se uma linha em formato de hélice como na figura. O valor da medida da
altura do cilindro em centímetros é
Digite a
equação aqui.
30°
ℎ
𝐶 = 2𝜋𝑟 = 2𝜋
6
𝜋
= 12
tan 30° =
ℎ
12
3
3
=
ℎ
12
→ ℎ = 4 3
ቐ
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡
𝑦 = 𝑎 sin 𝑡
𝑧 = 𝑎 𝑡 tan 𝜃
12𝜋
Assinale a alternativa que apresenta a representação gráfica da hélice
circular, com t entre 0 e 6:
a) b) c)
Assinale a alternativa que apresenta a representação gráfica da hélice
circular, com t entre 0 e 6:
Determinaro vetor velocidade e o vetor aceleração no
instante 𝑡 =
9𝜋
4
da hélice circular Ԧ𝑟 𝑡 = cos 𝑡 Ԧ𝑖 + sin 𝑡 Ԧ𝑗 + 𝑡𝑘,
para 0 ≤ 𝑡 ≤ 3𝜋.
Determinar o vetor e velocidade e o vetor aceleração no
instante 𝑡 =
9𝜋
4
da hélice circular Ԧ𝑟 𝑡 = cos 𝑡 Ԧ𝑖 + sin 𝑡 Ԧ𝑗 + 𝑡𝑘,
para 0 ≤ 𝑡 ≤ 3𝜋.
Ԧ𝑣
9𝜋
4
= −
2
2
,
2
2
, 1
Ԧ𝑎
9𝜋
4
= −
2
2
, −
2
2
, 0