estatistica 6

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AULA 6 - 
CORRELAÇÃO
• Aplicar e diferenciar Correlação
CONTEXTUALIZANDO A APRENDIZAGEM
Prezado(a) Aluno(a), estudamos nas Aulas anteriores as medidas de Tendência Central e 
Medidas de Dispersão. Nesta Aula, vamos trabalhar a correlação. Você sabe o que é 
correlação? Qual a importância do estudo? Aqui, trabalharemos com duas ou mais variáveis 
para sabermos se elas se relacionam entre si, isto é, se valores altos (baixos) de uma das 
variáveis implicam em valores altos (baixos) de outra variável. Além disso, vamos verificar se 
existe associação entre a taxa de desemprego e a taxa de criminalidade em uma grande 
cidade, entre verba investida em propaganda e retorno nas verbas.
Preparado(a) para conhecer esses assuntos? Então, prossiga e bons estudos!
 
Mapa mental panorâmico
Para contextualizar e ajudá-lo(a) a obter uma visão panorâmica dos conteúdos que você estudará na Aula 6, bem como entender a inter-
relação entre eles, é importante que se atente para o Mapa Mental, apresentado a seguir:
CORRELAÇÃO
1 CORRELAÇÃO
1.1 O QUE É CORRELAÇÃO?
1.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO
1.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PERSON
1.4 PROPRIEDADES DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO “R”
CORRELAÇÃO
1 CORRELAÇÃO
Quando um valor em um conjunto de dados corresponde a um valor em um segundo conjunto de dados, tais conjuntos são 
chamados de dados emparelhados. 
Um conjunto de dados contém as quantidades de vendas correspondentes e cada custo corresponde a uma quantidade de vendas. 
Esses conjuntos de dados são emparelhados.
Uma maneira de representar graficamente conjuntos com dados emparelhados é usando o gráfico de dispersão, no qual os pares 
ordenados são representados como pontos em um plano coordenado (plano cartesiano). Um gráfico de dispersão é usado para 
mostrar a relação entre duas variáveis quantitativas.
O estatístico britânico, Ronald Fisher, apresentou um famoso conjunto de dados chamado conjunto de dados de Íris de Fisher. Esse 
conjunto de dados descreve várias características físicas, tais como comprimento e a largura das pétalas (em milímetros), para três 
espécies da flor íris.
No gráfico de dispersão a seguir, o comprimento das pétalas forma o primeiro conjunto de dados e a largura forma o segundo.
Figura 1: Conjunto de dados de Íris de Fisher
Fonte: Larson (2008, p. 58).
Conforme o comprimento da pétala aumenta, o que tende a acontecer com a largura? O eixo horizontal representa o comprimento 
da pétala e o vertical, a largura. Cada ponto do gráfico de dispersão corresponde ao comprimento e a largura da pétala de uma flor.
Com base no gráfico de dispersão, podemos ver que, conforme o comprimento da pétala aumenta, a largura também tende a 
aumentar.
1.1 O QUE É CORRELAÇÃO?
Uma correlação é uma relação entre duas variáveis. Os dados podem ser apresentados por pares ordenados (x, y), sendo x a variável 
independente e y a variável dependente. Podemos citar como exemplos de variáveis:
·         Número de peças produzidas e número de peças defeituosas.
·         Número de falhas em uma obra e a satisfação média dos construtores.
·         Dias de atraso de entrega e número de dias chuvosos.
·         Média de tempo de atraso de pagamento e número de erros de fatura.
·         Porcentagem de imóveis vendidos na data de entrega da obra e satisfação dos clientes nos últimos 10 empreendimentos.
Saiba ainda que representamos as variáveis em diagramas de dispersão, conforme veremos a seguir.
1.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO
Em um diagrama de dispersão, os pares ordenados são colocados no gráfico como pontos em um plano coordenado. A variável 
independente x é indicada no eixo horizontal e a variável dependente y, no eixo vertical. Um diagrama de dispersão pode ser usado 
para averiguar sobre a existência de uma correlação linear (linha reta) entre duas variáveis. Veja alguns exemplos de diagramas de 
dispersão que mostram os tipos de correlação.
Figura 2: Tipos de correlação
. Acesso em 23 de mai. 2019.
Para entender melhor, veremos um exemplo de um economista que deseja determinar se existe relação linear entre o Produto Interno 
Bruto (PIB) de alguns países e as respectivas emissões de dióxido de carbono. Os dados estão descritos na Tabela 1:
Tabela 1: Dados do PIB e da quantidade de emitida em 10 países
Fonte: Larson (2008).
Solução:
O diagrama de dispersão é mostrado na Figura 3. Note que nele parece que existe uma correlação linear positiva entre as variáveis.
Figura 3: Gráfico de dispersão relacionando o PIB versus emissão de dióxido de carbono
Fonte: Elaborada pela Autora.
Observando o gráfico da esquerda para direita, verifica-se que conforme o produto interno bruto cresce, as emissões de dióxido de 
carbono também tendem a crescer e por isso, a correlação é dita positiva.
Para construir gráficos você pode utilizar o Excel. Insira os dados das duas colunas da tabela na planilha, selecione os dados e vá em 
inserir gráfico de dispersão. À direita do gráfico, no sinal de +, você pode configurar dados e rótulos.
Figura 4: Construindo um gráfico de dispersão no excel
Fonte: Elaborada pela Autora.
Em outro exemplo, um aluno do curso de Administração de Empresas participa do projeto de iniciação científica e conduz um estudo 
para determinar se existe uma relação linear entre o número de horas que um aluno faz exercícios de cálculo a cada semana e seu 
coeficiente de rendimento (CR). Os dados são mostrados na Tabela 2:
Tabela 2: Dados alunos do curso de Administração de Empresas
Fonte: Elaborado pela Autora.
Que tal exibir os pontos em um diagrama de dispersão e descrever o tipo de correlação?
Solução:
O diagrama de dispersão é mostrado na Figura a seguir. Nele não parece que existe correlação linear entre as variáveis.
Figura 5: Relação entre o tempo dedicado aos exercícios e ao rendimento de um aluno
Fonte: Elaborada pela Autora.
Em uma interpretação do gráfico, podemos entender que o número de horas que um estudante faz exercícios a cada semana não 
parece estar relacionado ao seu coeficiente de rendimento.
1.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PERSON
Interpretar a correlação usando um diagrama de dispersão pode ser subjetivo. Uma maneira adequada de obter a direção e medir a 
força de uma correlação linear entre duas variáveis é calcular o coeficiente de correlação.
O coeficiente de correlação é uma medida da força e da direção de uma relação linear entre duas variáveis. O símbolo “r” representa 
o coeficiente de correlação amostral. Uma fórmula para calcular o coeficiente de correlação   é:
Onde “n” é o número de pares ordenados. Essa fórmula é conhecida como coeficiente de correlação de Pearson ou coeficiente de 
correlação linear.
A variação do coeficiente de correlação é de -1 a 1, inclusive. Quando x e y têm uma correlação linear positiva forte, r está próximo de 
1. Quando x e y têm uma correlação linear negativa forte, r está próximo de -1. Quando x e y têm correlação linear positiva perfeita ou 
correlação linear negativa perfeita, r é igual a 1 ou -1, respectivamente. Quando não há correlação linear, r está próximo de 0. É 
importante lembrar que quando r está próximo de 0 não significa que não há relação entre x e y, significa apenas que não há relação 
linear. Veja alguns exemplos.
Figura 6: Exemplos de correlações e os respectivos valores do coeficiente “r”
. Acesso em 23 de mai. 2019.
Para calcular o coeficiente de correlação linear, basta seguir alguns passos:
1º passo:
Encontrar a soma dos valores de x:
 
2º passo:
Encontrar a soma dos valores de y:
 
3º passo:
Multiplicar cada valor de x pelo correspondente valor de y e encontrar a soma:
   
4º passo:
Elevar ao quadrado cada valor de x e encontrar sua soma:
 
5º passo:
Elevar ao quadrado cada valor de y e encontrar sua soma:
 
6º passo:
Usar essas cinco somas para calcular o coeficiente de correlação.
  
Para entender melhor, vamos analisar um exemplo, onde vamos calcular o coeficiente de correlação para os dados do produto 
interno bruto e da emissão dedióxido de carbono. Veja os dados na Tabela 3:
Tabela 3: Dados
Fonte: Larson (2008).
Solução:
Para solucionar, primeiro, vamos organizar os dados em uma tabela.
Tabela 4: Organização dos dados
Fonte: Larson (2008).
Agora, vamos preencher os dados.
Tabela 5: Organização dos dados
Fonte: Elaborada pela Autora.
Com essas somas e n=10, o coeficiente de correlação é:
O resultado   sugere uma correlação linear positiva forte.
Interpretando o resultado no contexto dos dados, conforme o produto interno bruto do país aumenta, as emissões de dióxido de 
carbono tendem a aumentar.
O fato de duas variáveis serem fortemente correlacionadas não implica, em si, numa relação de causa e efeito entre elas. Um estudo 
mais profundo é usualmente necessário para determinar se há uma relação causal entre duas variáveis.
Segundo  Larson  (2008), quando há uma correlação significativa entre duas variáveis, um pesquisador deve considerar as seguintes 
possibilidades.
• Há uma relação direta de causa e efeito entre as variáveis?
• Há uma relação reversa de causa e efeito entre as variáveis?
Não confunda  com  .      é  a soma dos quadrados, 
ou seja, primeiro você eleva ao quadrado a variável x e depois 
soma os resultados.  Já    é  o quadrado da soma, isto é, 
primeiro você soma os valores da variável x e depois eleve o 
resultado ao quadrado.
• É possível que a relação entre duas variáveis possa ser causada por uma terceira variável ou talvez pela combinação de diversas 
outras variáveis?
• É possível que a relação entre duas variáveis seja uma coincidência?
O Excel disponibiliza a função chamada CORREL que retorna o coeficiente de correlação entre duas variáveis de dois conjuntos de 
dados. A sintaxe é: CORREL (matriz1; matriz2).
Figura 7: Coeficiente de correlação e EXCEL
Fonte: Elaborada pela Autora.
A matriz 1 corresponde aos dados da primeira coluna e a matriz 2 corresponde aos dados da segunda coluna.
Vamos determinar o coeficiente de correlação através da função CORREL do Excel para as variáveis peso e altura da amostra de 10 
alunos da engenharia.
Tabela 6: Dados
Fonte: Elaborada pela Autora.
Agora, veja a solução na Tabela 7:
Tabela 7: Solução
Fonte: Elaborada pela Autora.
Podemos utilizar a tecnologia para encontrar o coeficiente de 
correlação linear.
Para conhecer um pouco mais sobre o Coeficiente de Correlação de Person, leia o artigo: Desvendando os Mistérios do Coeficiente de 
Correlação de Pearson (r). Nele, você verá as principais propriedades do coeficiente de correlação de Pearson (r), suas respectivas 
aplicações e limites a partir de uma abordagem descritiva. Para ler o artigo, clique aqui!
Acesso em 12 de fev. 2021.
Muito bem, após a leitura, você acredita que existe uma relação entre X e Y? O que significa dizer que duas variáveis estão 
correlacionadas? Bom, é fato que compreender melhor o significado do coeficiente de correlação de Pearson (r) é um passo 
fundamental para usar um diagrama de dispersão.
1.4 PROPRIEDADES DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO “R”
O coeficiente de correlação apresenta algumas propriedades importantes dentre elas podemos citar:
• O intervalo de variação do coeficiente de variação “r “ vai de -1 a +1.
• O coeficiente de correlação não possui unidade de medida, ou seja, é uma medida adimensional.
• Quanto mais “r” se aproxima de +1, maior é o grau de relacionamento linear positivo entre x e y, ou seja, se x varia em uma 
direção y variará na mesma direção.
• Quanto mais próximo de -1 for “r”, maior será o grau de relacionamento linear negativo entre x e y, ou seja, se x varia em um 
sentido y variará no sentido inverso.
• Quanto mais próximo de zero estiver “r” menor será o relacionamento linear entre x e y. Um valor igual a zero, indicará ausência 
apenas de relacionamento linear.
Para exemplificar, vamos usar uma empresa de cosméticos que desconfia que exista uma forte correlação positiva entre a quantidade 
de vendedores de produtos a domicílio e o volume de vendas. Para tanto, realizou uma coleta de dados. O resultado dessa coleta é 
apresentado a seguir:
Tabela 8: Dados da coleta
Fonte: Elaborado pela Autora.
Muito bem, vamos verificar se existe uma correlação forte entre números de vendedores e quantidades de vendas.
Resolução:
No primeiro passo, para compreendermos o que ocorre, primeiramente, vamos construir o diagrama de dispersão da situação 
apresentada.
Figura 8: Vendas de cosméticos
Fonte: Elaborada pela Autora.
Quando analisamos percebemos que o diagrama de dispersão nos dá uma boa ideia do comportamento das variáveis.  De acordo 
com o diagrama, aparentemente há correlação positiva forte,  pois  o número de vendedores está aumentando e a quantidade 
vendida aumenta também.
No segundo passo, vamos calcular o coeficiente de correlação. Veja a Tabela 9:
https://periodicos.ufpe.br/revistas/politicahoje/article/viewFile/3852/3156
Tabela 9: Coeficiente de correlação
Número de
vendedores
x
Quantidades vendidas
y
X² Y² x.y
6 340 36 11560 2040
8 356 64 126736 2848
9 400 81 160000 3600
10 398 100 158404 3980
11 421 121 177241 4631
11 444 121 197136 4884
12 433 144 187489 5196
13 464 169 215296 6032
14 467 196 218089 6538
14 500 196 250000 7000
15 521 225 271441 7815
15 489 225 239121 7335
16 566 256 320356 9056
17 580 289 336400 9860
19 602 361 362404 11438
21 631 441 398161 13251
21 645 441 416025 13545
24 662 576 444889 16008
25 700 625 490000 17500
Fonte: Elaborada pela Autora.
Para calcularmos o coeficiente de correlação, aplicamos a fórmula:
Como encontramos o valor de r = 1, significa que as variáveis em estudo estão relacionadas perfeitamente. Construindo o diagrama de 
dispersão temos:
Figura 9: Diagrama de dispersão
Fonte: Elaborada pela Autora.
Note na Figura 9 que o diagrama de dispersão segue exatamente uma reta. Bem fácil de identificar, não é mesmo?
O coeficiente de correlação é muito utilizado na área de pesquisa clínica ou biomédica. Geralmente um pesquisador se interessa em 
investigar se os valores de duas ou mais variáveis quantitativas se modificam de forma conjunta em um mesmo sujeito ou objeto de 
estudo. Nesse sentido, quando o valor de uma variável aumenta, o valor de outra tende a aumentar; ou, inversamente, reduza-se 
progressivamente. Há uma série de testes estatísticos que exploram a intensidade e o sentido desse comportamento mútuo entre 
variáveis, os chamados testes de correlação 1,2. O primeiro passo para analisar a correlação entre duas variáveis quantitativas deve 
ser a visualização do diagrama de dispersão, a fim de identificar se existe uma variabilidade gradual entre os conjuntos de dados, se 
essa variação é monotônica (predominantemente ascendente ou descendente), se assume uma tendência proporcional (linear) e se a 
distribuição subjacente dos dados é norma.
Após a Aula 6, você é capaz de calcular o coeficiente de correlação entre duas variáveis e identificar se há relação entre elas? 
Consegue construir o diagrama de dispersão verificando se a relação é forte ou fraca?
Caso você tenha conseguido responder a essa questão, parabéns! Você atingiu os objetivos específicos da Aula 6. Caso tenha 
dificuldades para responder a algumas delas, aproveite para reler o conteúdo desta Aula; e acesse o UNIARAXÁ Virtual e interaja com 
seus Colegas, Tutor(a) e Professor(a). Você não está sozinho(a) nessa caminhada. Conte conosco!
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RECAPITULANDO
Ao longo desta Aula, estudamos a existência do grau de relação e as variáveis, ou seja, o objetivo de medir e de avaliar o grau de 
relação existente entre duas variáveis aleatórias. Assim, percebemos que o vínculo entre o número de filhos de uma família e sua renda, 
por exemplo, pode ser forte, fraca ou nula.
Vimos, também, que a correlação linear procura medir a relação entre as variáveis x e y através da disposição dos pontos (x, y) em 
torno de uma reta e, para isso,utilizamos como instrumento de medida da correlação linear é o coeficiente de correlação de Pearson.
Na próxima Aula, estudaremos como aplicar e diferenciar a regressão linear. Encontramo-nos na Aula 7. Até lá!
REFERÊNCIAS
BARBETTA, P. A. Estatística para cursos de engenharia e informática. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
BUSSAB, W. O. e MORETTIN, P. A. Estatística Básica. São Paulo: Editora Saraiva, 2003.
COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2009.
COSTA, Paulo Roberto da. Estatística. 3. ed. Santa Maria: Universidade Federal de Santa Maria, 2011.
COUTINHO,  Cileda  de Q. S.; SILVA, Cláudia B. O nascimento da estatística e sua relação com o surgimento da Teoria de 
Probabilidade. Revista Integração, n. 41, p.191-196, 2005.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
FONSECA, J. S. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013.
LARSON, R. Estatística aplicada.   4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
MIOT, Hélio Amante. Análise de correlação em estudos clínicos e experimentais. Jornal Vascular Brasileiro, São Paulo;2018. 17(4):275-279. 
Disponível em < https://www.scielo.br/pdf/jvb/v17n4/1677-5449-jvb-1677-5449174118.pdf> Acesso: jan.2021
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e probabilidade: teoria, exercícios resolvidos, exercícios propostos. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
RAMOS, Raniere. O estatístico. 2015. Site disponível em: https://oestatistico.com.br. Acesso em: 23 de dez. 2018.
REIS, Elizabeth. Estatística descritiva. Lisboa: Silabo, 1998.
https://www.scielo.br/pdf/jvb/v17n4/1677-5449-jvb-1677-5449174118.pdf
https://oestatistico.com.br/