1 LISTA DE EXERCÍCIOS - MATRIZES

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iii
LISTA DE EXERCÍCIOS - MATRIZES 
01 Sejam A 2 Rm�n e R uma matriz m � n linha reduzida à forma em escada de A. Sabendo que o
posto (linha) de A, em símbolos posto(A), é igual ao número de linhas não-nulas de R e que a nulidade
de A, em símbolos nul(A), é dado pela expressão nul(A) = n � posto(A). Calcule o posto e a nulidade
das matrizes abaixo.
a) A =
0BBB@
1 1 1 1
1 �1 1 1
0 1 �1 2
2 0 1 �1
1CCCA
b) B =
0BBB@
�1 2 �1 1
1 �1 2 3
3 1 1 2
2 �1 1 �1
1CCCA
Solução:
a)
0BBB@
1 1 1 1
1 �1 1 1
0 1 �1 2
2 0 1 �1
1CCCA!
0BBB@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCCA
PostoA = 4
b)
0BBB@
�1 2 �1 1
1 �1 2 3
3 1 1 2
2 �1 1 �1
1CCCA!
0BBB@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCCA
02 Use ESCALONAMENTO para encontrar a inversa das matrizes abaixo, caso existam.
a) A =
0B@ 1 1 �11 1 2
0 1 2
1CA
b) D =
0BBB@
2 1 �1 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 1
1CCCA
c) C =
0BBB@
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
1CCCA
iv
Solução:
a)
0BB@
1 1 �1 ... 1 0 0
1 1 2
... 0 1 0
0 1 2
... 0 0 1
1CCA!
0BB@
1 0 0
... 0 1 �1
0 1 0
... 2
3
�2
3
1
0 0 1
... �1
3
1
3
0
1CCA
A�1 =
0B@ 0 1 �123 �23 1
�1
3
1
3
0
1CA
b) D�1 =
0BBB@
�1
4
3
2
3
4
�5
4
1
4
�1
2
1
4
1
4
�1
2
1 1
2
�1
2
3
4
�3
2
�5
4
7
4
1CCCA
c) C�1 =
0BBB@
�1
2
2 1
2
�1
2
�1
2
1 5
6
�1
6
1 �2 �2
3
1
3
�1
2
1 1
6
1
6
1CCCA
03 Use o teorema de Laplace para calcular o determinante das matrizes
a) A =
0BBB@
3 �1 2 1
1 0 �1 �2
2 0 �1 0
�1 0 3 3
1CCCA
Solução:
detA = a12A12 = (�1)
0B@(�1)1+2
�������
1 �1 �2
2 �1 0
�1 3 3
�������
1CA = (�1) ((�1) : (�7)) = �7
b) B =
0BBB@
2 1 �1 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 1
1CCCA
Solução:
detB = a11A11 + a21A21 = 2A11 + 1A21 = 2
0B@(�1)1+1
�������
0 1 1
2 1 0
1 2 1
�������
1CA+ 1
0B@(�1)2+1
�������
1 �1 1
2 1 0
1 2 1
�������
1CA =
= �4
04 Dadas as matrizes A = [aij]2�2 tal que aij = i
j e B = [bij]2�2, tal que bij = j
i, calcule det (At �B)
Solução: A =
 
a11 a12
a21 a22
!
=
 
11 12
21 22
!
=
 
1 1
2 4
!
e B =
 
11 21
12 22
!
=
 
1 2
1 4
!
Agora
det (At �B) = det (At) : detB = det
 
1 2
1 4
!
: det
 
1 2
1 4
!
= (4� 2) (4� 2) = 4
v
05 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3, tais que detA = 3 e detB = 4. Calcule det [(2A) �B2].
Solução: Sabemos que det (AB) = detA � detB
det [(2A) �B2] = det (2A) detB = 23 det (A) detB detB = 23 � 3 � 4 � 4 = 384
06 Sabemos que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal
principal. Use operações elementares sobre as linhas das matrizes e as propriedades dos determi-
nantes caso necessário, para transformar as matrizes abaixo em uma matriz triangular e calcular o seu
determinante.
a) A =
0BBBBBB@
0 �1 0 1 1
1 2 0 1 0
�1 1 �1 0 0
2 1 1 1 1
0 0 0 2 1
1CCCCCCA
b) B =
0BBB@
2 1 �1 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 1
1CCCA
c) C =
0BBB@
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
1CCCA
Solução:
b)
���������
2 1 �1 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 1
��������� = �4
c)
���������
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
��������� = 6
a)
0BBBBBB@
0 �1 0 1 1
1 2 0 1 0
�1 1 �1 0 0
2 1 1 1 1
0 0 0 2 1
1CCCCCCA!
0BBBBBB@
0 �1 0 1 1
1 2 0 1 0
�1 1 �1 0 0
0 3 �1 1 1
0 0 0 2 1
1CCCCCCA!
0BBBBBB@
0 �1 0 1 1
1 2 0 1 0
�1 1 �1 0 0
0 0 �1 4 4
0 0 0 2 1
1CCCCCCA
!
0BBBBBB@
0 �1 0 1 1
1 2 0 1 0
0 3 �1 0 0
0 0 �1 4 4
0 0 0 2 1
1CCCCCCA
Continue....
vi
������������
0 �1 0 1 1
1 2 0 1 0
�1 1 �1 0 0
2 1 1 1 1
0 0 0 2 1
������������
= 2
07 Sabendo que A e B 2 Rn�n são matrizes inversíveis, encotre a matriz X de cada uma das equações
abaixo.
a) AXB = I
b) (AX)t = B
c) (A+X)t = B
Solução:
a) X = A�1B�1 = (BA)�1
b) (AX)t = B ,
�
(AX)t
�t
= Bt , AX = Bt , X = A�1Bt
c) X = Bt � A