Livro-Texto Unidade II COMPLEMENTOS DE ANÁLISE 7212-30_15402_R_E1_20222

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Unidade II
Unidade II
5 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DA DERIVADA EM UM PONTO
Dedicaremo‑nos a estudar rigorosamente, a seguir, os conceitos e teoremas fundamentais para o 
cálculo diferencial.
Para facilitar o entendimento desse tema, o estudante pode retomar os métodos e técnicas 
relacionados à derivadas trabalhados nos cursos introdutórios de cálculo.
 Saiba mais
Para saber mais sobre as origens históricas do cálculo diferencial, sob 
uma abordagem voltada para a educação matemática, recomendamos a 
leitura da seguinte dissertação:
BATARCE, M. S. Um contexto histórico para análise matemática para 
uma educação matemática. 2003. 52 f. Dissertação (Mestrado em Educação 
Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2003.
Outra referência sobre as origens históricas dos conceitos de limite e 
funções contínuas é:
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. rev. e ampl. 
São Paulo: Edgard Blucher, 2006.
Nesse livro o autor apresenta notas históricas referentes aos seguintes temas: 
• a origem do cálculo; 
• o cálculo fluxional de Newton; 
• o cálculo formal de Newton e Libniz; 
• o problema dos fundamentos.
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COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
5.1 Introdução
Considere o gráfico a seguir, de uma função y = f(x), para a elaboração de algumas definições iniciais.
∆y = y1 ‑ y0
f(x)
N(x1, y1)
M(x0, y0)
∆x = x1 ‑ x0
a
Figura 17 
a) Acréscimo do argumento e acréscimo da função: se x0 e x1 são valores do argumento x e y0 = f(x0) 
e y1 = f(x1), os valores correspondentes da função y = f(x), então,
∆x = x1 ‑ x0
é denominado acréscimo do argumento x no segmento [x0,x1] e
∆y = y1 ‑ y0 
ou, ainda,
1 0 0 0y f(x ) f(x ) f(x x) f(x )∆ = − = + ∆ −
é denominado acréscimo da função y neste mesmo segmento [x0,x1].
Observando o gráfico anterior (no qual ∆x = MA e ∆y = AN) e considerando que
y
tg
x
∆α =
∆
representa o coeficiente angular da secante MN do gráfico da função y =f(x); essa razão é denominada 
velocidade média de variação da função y no segmento [x0, x0 + ∆x].
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Unidade II
b) Linearização de uma função: esta importante técnica consiste em substituir funções por outras 
funções lineares que se aproximam do valor assumido pela função original na vizinhança de um 
determinado ponto arbitrário. Esta técnica está na base da formulação do método das declividades, 
desenvolvido por Isaac Newton, em 1664.
Intuitivamente, o que se deseja é aproximar localmente; isto é, aproximar um ponto da função y 
= f(x) – que, na ilustração, corresponde ao ponto M: (x0, y0) = (x0, f(x0)) – de uma função linear do tipo 
h(x) = ax + b. Essa função vai depender de f(x) e também do ponto arbitrário (x0, f(x0)), na vizinhança da 
qual será feita a aproximação. Como f(x0) fica automaticamente determinado quando se fixa a variável 
independente x0, pode‑se afirmar que h(x) depende do ponto fixado (no caso, x0) e da função inicial 
dada (ou seja, f(x)). Desse modo, o problema se resume em, dada a função f(x), achar uma função linear 
que “próxima a um dado ponto” (isto é, (x0, f(x0))), aproxime‑se de dada função. Novamente, assim como 
ocorria com os limites, será necessário especificar rigorosamente o significado da afirmação “próxima a 
um dado ponto”.
∆y = y1 ‑ y0
f(x)
N(x1, y1)
M(x0, y0)
∆x = x1 ‑ x0
a
Figura 18 
Observando a reta secante MN, tem‑se que:
1 0 1 0
1 0 1 0
y y f(x ) f(x )y
tg
x x x x x
− −∆α = = =
∆ − −
Por outro lado, a tangente em M é a posição limite da secante MN; ou seja, quando N se aproxima a M. 
Ou, em outros termos, quando x1 (abscissa de N) se aproxima de x0 (abscissa de M). Usando a notação 
de limite, “x1 → x0”. Assim, a declividade da reta tangente em M é dada por:
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COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
1 0 1 0
1 0 1 0x x x x1 0 1 0
y y f(x ) f(x )
x x x xlim lim→ →
− −=
− −
Devemos perceber que esta relação fica condicionada à existência de tal limite, reforçando a 
necessidade de se especificar o significado da afirmação “aproximar a função nas proximidades de um 
dado ponto”.
c) Infinitésimos: a afirmação “aproximar a função nas proximidades de um dado ponto” pode ser 
melhor definida se considerarmos a ideia de vizinhança de um ponto. Na vizinhança de um dado ponto 
x0, isto é, para qualquer valor que a variável independente assuma em seu domínio, as funções f(x) e h(x) 
diferem por um valor que naturalmente depende de x e que pode ser representado por:
0x x0
A(x)
0
x xlim→
=
−
 Observação
A(x) é definida como a diferença das funções f(x) e h(x); isto é, A(x) = 
f(x) – h(x).
Nessa situação, quando x → x0, tanto A(x) quanto x – x0 tendem a zero. Desse modo, ambas as 
quantidades, A(x) e x – x0, são denominadas infinitésimas no ponto x0. Porém, para fugir da possibilidade 
da indeterminação do tipo 0
0
, o que se considera é que A(x) tenda a zero mais rápido do que x – x0, e, 
neste caso, a condição
0x x0
A(x)
0
x xlim→
=
−
é denominada A(x) sendo um infinitésimo de ordem superior a x – x0.
Portanto, retomando o que foi desenvolvido até agora, temos que dada uma função f(x), a função 
linear h(x) que aproxima f(x) nas proximidades de um ponto x0 é representada por
0x x0
A(x)
0
x xlim→
=
−
sendo A(x) = f(x) ‑ h(x), com x em uma vizinhança de x0.
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Unidade II
∆y = y1 ‑ y0
f(x)
N(x1, y1)
M(x0, y0)
∆x = x1 ‑ x0
a
Figura 19 
É possível perceber, na figura anterior, que a declividade da h(x) (quando se considera x0 como o 
ponto dado e x1, como simplesmente x) é dada por
0
0x x0
f(x) f(x )
m
x xlim→
−=
−
A declividade de h(x) é denominada derivada de f(x) no ponto x0 e a notação usual é f’(x0).
Essa definição pode ser escrita de maneira mais rigorosa como apresentado a seguir:
Sejam X ⊂ R, f: X → R e x0 ∈ X ∩ X’ (isto é, x0 é um ponto de acumulação de X pertencente a R). 
Diz‑se que f é derivável no ponto x0 quando existir o limite
0
0
0x x0
f(x) f(x )
f '(x )
x xlim→
−=
−
No caso afirmativo, o limite f’(x0) é denominado como sendo a derivada de f no ponto x0.
É interessante notar que o valor da declividade da reta tangente depende não só da função f(x), mas 
também do ponto x0. Portanto, para cada x0 se obtém um valor f’(x0); isto é, existe uma função f’(x) com 
o mesmo campo de definição da f(x) e que é chamada de derivada de f(x). Sendo definida como um 
limite, a derivada tem caráter local.
Sejam X ⊂ R, f: X → R. Diz‑se que f é derivável no conjunto X quando existir a derivada de f em 
todos os pontos x0 ∈ X ∩ X’.
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COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
5.2 Funções diferenciáveis e suas propriedades
5.2.1 Conceito de função diferenciável em um ponto
Dizemos que uma função f é diferenciável no ponto x0 quando admitir uma derivada nesse ponto.
Retomando a definição de h(x) como uma função linear e sabendo que a derivada de f em um x0 é 
sua declividade, podemos reescrevê‑la como:
h(x) = f’(x0)x + b
b = f(x0) ‑ f’(x0)x0
Então, a diferenciabilidade de f no ponto x0 é a existência de um número f’(x0) tal que
0 0 0
0 0x x x x0 0
f(x) h(x) 1
(f(x) f(x ) f '(x ).(x x )) 0
x x x xlim lim→ →
− − − − =
− −=
 Observação
É importante notar que, como tudo se passa na vizinhança de x0, o 
número x – x0, na última expressão, é um infinitésimo em x0.
Assim, a diferenciação é a substituição de uma dada função f por outra mais simples – uma função 
linear e que se aproxime da função dada de tal forma que a diferença entre elas seja um infinitésimo 
de ordem superior.
Dada uma função f(x), busca‑se:
h(x) = f’(x0)(x ‑ x0) + f(x0)
tal que
0x x0
A(x)
0
x xlim→
=
−
onde
A(x) = f(x) ‑ h(x)
ou
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Unidade II
A(x) = f(x) ‑ f’(x0)(x ‑ x0) ‑ f(x0)
Com essa ideia em mente, devemos definir as propriedades básicas para a derivada num ponto. 
A primeira condição para a existência da derivada num ponto é dada pelo teorema a seguir:
Se existe a derivada f’(x0), então f é contínua no ponto x0.
Podemos demonstrar esse teorema a partir da definição de derivada por um limite, que nos diz que 
se uma função é diferenciável num ponto x0, existem os limites 
0
0x x0
f(x) f(x )x xlim→
−
− e também:
[ ]
x x0
00 0x x0 0
f(x) f(x )f(x) f(x )lim .(x x )lim
x x→
=
→
 −− − − 
= 0 0
0x x x x0 0
f(x) f(x )
. (x x ) 0
x xlim lim→ →
− − =
−
Logo, f é contínua no ponto x0.
 Observação
A existência do limite [ ]0
x x0
f(x) f(x )lim
→
− advém das propriedades 
operatórias dos limites.
Exemplos:
1) Verifique se a função f(x) é derivável no ponto x0=1.
2x ‑1 se x 1
f(x) 
1 se x 1
 ≤= 
>
Solução:
A função f(x) não é contínua em 1, pois, calculando os limites laterais a esse ponto, temos:
x 1
f(x) 0lim
−→
=
 x 1
f(x) 1lim
+→
=
Logo, a função f(x) não é derivável em 1.
De fato, observando o gráfico da função f(x), podemos verificar a descontinuidade em x0 (o “salto” 
que a função dá nesse ponto).
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COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
x
y
‑4 
1
‑3 ‑2 ‑1 
‑1 
1 2 3 4
2
3
‑2 
‑3
5‑5 
Figura 20 
2) Considerando a função f(x) definida por
2x se x 1
f(x) 
2x‑1 se x 1
 ≤= 
>
Verifique se:
a) f é contínua em 1.
b)f é diferenciável em 1.
Solução:
a) Calculando os limites laterais ao ponto 1, temos:
2
x 1 x 1 x 1 x 1
f(x) f(1) x 1 (x 1).(x 1)
(x 1) 2
x 1 x 1 (x 1)lim lim lim lim− − − −→ → → →
− − + −= = = + =
− − −
e
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
f(x) f(1) (2x 1) 1 2x 2 2(x 1)
2 2
x 1 x 1 x 1 x 1lim lim lim lim lim+ + + + +→ → → → →
− − − − −= = = = =
− − − −
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Unidade II
Logo, o limite 
x 1
f(x) f(1)
x 1lim→
−
− existe e, portanto, f é derivável em 1.
b) Como f é derivável em 1, pelo teorema anteriormente apresentado ela é contínua neste ponto.
A observação do gráfico de f(x) permite verificar a continuidade da função em x=1.
x
y
1
‑2 ‑1 1 2 3 4
2
3
4
5
6
Figura 21 
É importante observar que é possível que a função f tenha apenas uma derivada lateral e, desta 
forma, ela pode ser descontínua no ponto x0. No entanto, aplicando o mesmo raciocínio anterior, é 
possível mostrar que se, por exemplo, a derivada à direita existe, então f é contínua à direita no ponto 
x0. Isto é:
0
x x0
f(x) f(x )lim
+→
=
De forma similar, pode ser considerada a existência da derivada à esquerda, e se a derivada à esquerda 
existe, então f é contínua à esquerda de x0, isto é:
0
x x0
f(x) f(x )lim
−→
=
Assim, em particular, para que a função f seja contínua no ponto x0, basta que existam as duas 
derivadas laterais, mesmo que sejam diferentes.
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COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Desse modo, podemos concluir que continuidade não implica derivabilidade, mas derivabilidade 
implica continuidade. Esse fato será ilustrado a seguir.
Exemplo:
Considerando a função f(x) definida por
2x se x 1
f(x) 
1 se x 1
 ≤= 
>
Verifique se:
a) f é contínua em 1?
b)f é diferenciável em 1?
Solução:
a) Calculando os limites laterais ao ponto 1, temos:
x 1
f(x) 1lim
−→
=
 x 1
f(x) 1lim
+→
=
E, como f(1) = 1, f é contínua em 1.
b) Pelo definição, para que a função seja diferenciável em 1, é necessário que o limite 
x 1
f(x) f(1)
x 1lim→
−
−
exista. Isto é, os limites à direita e à esquerda de x=1 devem existir e serem iguais. Calculando os limites 
laterais temos:
2
x 1 x 1 x 1 x 1
f(x) f(1) x 1 (x 1).(x 1)
(x 1) 2
x 1 x 1 (x 1)lim lim lim lim− − − −→ → → →
− − + −= = = + =
− − −
e
x 1
f(x) f(1)
0
x 1lim+→
− =
−
Logo, o limite 
x 1
f(x) f(1)
x 1lim→
−
− não existe e, portanto, f não é derivável em 1.
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Unidade II
Observando o gráfico da função f(x), a seguir, você poderá perceber que, de fato, a função não 
apresenta descontinuidade em seu domínio. Contudo, em (1,f(1)) não é possível obter uma função linear 
que se aproxime da função original.
‑1 
‑2 
‑3
x
y
‑4 
1
‑3 ‑2 ‑1 1 2 3 4
2
3
5
Figura 22
5.2.2 Propriedades
Do mesmo modo como, anteriormente, estudamos as propriedades operatórias dos limites, agora 
analisaremos os resultados para funções diferenciáveis. O teorema a seguir enuncia formalmente as 
principais regras de derivação:
Sejam f,g: X → R deriváveis no ponto x0 ∈ X ∩ X’. Então se 0f g, f.g e f / g (caso g(x ) 0)± ≠ 
são deriváveis nesse mesmo ponto, tem‑se:
a) 0 0 0(f g)'(x ) f '(x ) g'(x )± = ±
b) '0 0 0 0(f.g)'(x ) f '(x ).g (x ) f(x ).g'(x)= +
c) 
'
0 0 0 0
0 2
0
f '(x ).g(x ) f(x ).g'(x )f
(x )
g g(x )
−  =  
As três propriedades enunciadas no teorema anterior serão demonstradas a seguir. É importante 
notar que todas essas regras podem ser obtidas a partir da definição da derivada como um limite.
a) 0 0 0(f g)'(x ) f '(x ) g'(x )± = ±
Sejam f,g: X → R deriváveis no ponto x0 ∈ X ∩ X’. Então a soma das derivadas de f e g pode ser 
escrita, segundo a definição, como:
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COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
0 0
0
0x x0
[f(x) g(x)] [f(x ) g(x )]
(f g)'(x )
x xlim→
+ − ++ =
−
0 0
0
0x x0
f(x) g(x) f(x ) g(x )
(f g)'(x )
x xlim→
+ − −+ =
−
Agrupando os termos referentes às funções f e g:
0 0
0
0x x0
f(x) f(x ) g(x) g(x )
(f g)'(x )
x xlim→
− + −+ =
−
Separando os termos, obtemos:
0 0
0
0 0x x0
f(x) f(x ) g(x) g(x )
(f g)'(x )
x x x xlim→
 − −+ = + − − 
Aplicando as propriedades operatórias de limites:
0 0
0
0 0x x x x0 0
f(x) f(x ) g(x) g(x )
(f g)'(x )
x x x xlim lim→ →
− −+ = +
− −
Que, pela definição de derivadas, pode ser reescrito como:
0 0 0(f g)'(x ) f '(x ) g'(x )+ = +
Esse teorema também pode ser enunciado como “a derivada de uma soma é igual à soma das 
derivadas das parcelas”.
b) '0 0 0 0(f.g)'(x ) f '(x ).g (x ) f(x ).g'(x)= +
Sejam f,g: X → R deriváveis no ponto x0 ∈ X ∩ X’. Então a multiplicação das derivadas de f e g pode 
ser escrita, segundo a definição, como:
0 0
0
0x x0
f(x).g(x) f(x ).g(x )
(f.g)'(x )
x xlim→
−=
−
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Unidade II
Podemos adicionar o termo (f(x0)g(x)‑f(x0)g(x)) preservando a igualdade:
0 0 0 0
0
0x x0
f(x).g(x) f(x ).g(x) f(x )g(x) f(x ).g(x )
(f.g)'(x )
x xlim→
− + −=
−
Colocando os termos [f(x)‑f(x0)] e [g(x)‑g(x0)] em evidência, obtemos:
0 0 0
0
0x x0
[f(x) f(x )].g(x) [g(x) g(x )].f(x )]
(f.g)'(x )
x xlim→
− + −=
−
Separando os termos, temos:
0 0
0 0
0 0x x0
f(x) f(x ) g(x) g(x )
(f.g)'(x ) g(x) .f(x )
x x x xlim→
 − −= + − − 
Aplicando as propriedades operatórias de limites:
0 0
0 0
0 0x x x x0 0
f(x) f(x ) g(x) g(x )
(f.g)'(x ) g(x) f(x )
x x x xlim lim→ →
− −= +
− −
E novamente:
0 0
0 0
0 0x x x x x x x x0 0 0 0
f(x) f(x ) g(x) g(x )
(f.g)'(x ) . g(x) . f(x )
x x x xlim lim lim lim→ → → →
− −= +
− −
Que, pela definição de derivadas, pode ser reescrito como:
0 0 0 0 0(f.g)'(x ) f '(x )g(x ) g'(x )f(x )= +
 Observação
É importante notar que, pelo fato de g ser derivável em x0, g será 
contínua em x0 e, portanto, 0
x x0
g(x) g(x )lim
→
= . O mesmo é verdade para 
0
x x0
f(x )lim
→
.
Esse teorema também pode ser enunciado como “a derivada do produto de duas funções é igual à 
derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda”.
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COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
c) 
'
0 0 0 0
0 2
0
f '(x ).g(x ) f(x ).g'(x )f
(x )
g g(x )
−  =  
Sejam f,g: X → R deriváveis no ponto x0 ∈ X ∩ X’. Se g(x0) ≠ 0, então o produto das derivadas de f e 
g pode ser escrito, segundo a definição, como:
0
'
0
0
0x x0
f(x )f(x)
g(x) g(x )f
(x )
g x xlim→
−
  =   −
Reduzindo as frações do numerador a um denominador comum e colocando o termo 
0
1
x x−
 em 
evidência, temos:
'
0 0
0
0 0x x0
f(x).g(x ) f(x ).g(x)f 1
(x ) .
g g(x).g(x ) x xlim→
−  =   −
Que pode ser reorganizado como:
'
0 0
0
0 0x x0
f(x).g(x ) f(x ).g(x)f 1
(x ) .
g x x g(x).g(x )lim→
−  =   −
Usando o mesmo artifício empregado na dedução da derivada do produto de funções, podemos 
adicionar o termo 0 0 0 0
0 0
f(x ).g(x ) f(x ).g(x )
g(x).g(x ) g(x).g(x )
 
− 
 
, que preserva a igualdade:
'
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0x x0
f(x).g(x ) f(x ).g(x) f(x ).g(x ) f(x ).g(x )f 1
(x ) .
g x x g(x).g(x ) g(x).g(x ) g(x).g(x )lim→
 −  = + −    − 
E permite reordenar os termos de forma a obter:
'
0 0 0 0 0 0
0
0 0x x0f(x).g(x ) f(x ).g(x) f(x ).g(x ) f(x ).g(x )f 1
(x ) .
g x x g(x).g(x )lim→
 − + −  =     − 
Que permite colocar em evidência os termos [f(x)‑f(x0)] e [g(x)‑g(x0)]:
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Unidade II
'
0 0 0 0
0
0 0x x0
g(x ).(f(x) f(x )) f(x ).(g(x) g(x ))f 1
(x ) .
g x x g(x).g(x )lim→
 − − −  =     − 
Aplicando as propriedades operatórias de limites:
'
0 0 0 0
0
0 0 0x x0
g(x ).(f(x) f(x ) f(x )(g(x) g(x ))f 1
(x ) .
g x x x x g(x).g(x )lim→
 − −  = −    − − 
0 0 0 0
0 0 0 0x x x x x x x x0 0 0 0
g(x ).(f(x) f(x ) f(x )(g(x) g(x ))1 1
. .
x x g(x).g(x ) x x g(x).g(x )lim lim lim lim→ → → →
   − −= −   − −   
0 0
0 0
0 0 0 0x x x x x x x x0 0 0 0
(f(x) f(x ) (g(x) g(x ))1 1
.g(x ) . .f(x ) .
x x g(x).g(x ) x x g(x).g(x )lim lim lim lim→ → → →
   − −= −   − −   
Que, por fim, pela definição de derivadas, pode ser reescrito como:
'
0 0 0 0 02 2
0 0
f 1 1
(x ) f '(x ).g(x ). g'(x ).f(x )
g [g(x )] [g(x )]
  = −  
E com a redução ao denominador comum resulta no enunciado apresentado no teorema:
'
0 0 0 0
0 2
0
f '(x ).g(x ) g'(x )f(x )f
(x )
g [g(x )]
−  =  
Esse teorema também pode ser enunciado como “a derivada de um quociente é igual à derivada 
do numerador multiplicada pelo denominador menos o numerador multiplicado pela derivada do 
denominador, sobre o quadrado do denominador”.
 Saiba mais
Destacamos que sua compreensão dos conceitos apresentados neste 
livro‑texto depende do quão sólidos os seus conhecimentos de cálculo são. 
Por isso, recomendamos a você o estudo do sétimo capítulo da seguinte obra:
GUIDORIZZI, H. L. Capítulo 7. In: ___. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro, 
2004. v. 1.
65
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Seja c ∈ R, então (c.f)’ = c.f’. Se f(x0) ≠ 0 então 
'
0
0 2
0
f(x )1
(x )
f f(x )
−  =  
A demonstração dessa proposição, novamente, pode ser feita a partir da definição de derivada por limite.
Sejam f: X → R deriváveis no ponto x0 ∈ X ∩ X’. Então:
0
0
0x x0
cf(x) cf(x )
(cf)'(x )
x xlim→
−=
−
Colocando a constante c em evidência:
0
0
0x x0
c[f(x) f(x )]
(cf)'(x )
x xlim→
−=
−
Da propriedade do limite de uma constante obtemos:
0
0
0x x0
f(x) f(x )
(cf)'(x ) c
x xlim→
−=
−
que, por fim, pela definição de derivadas, pode ser reescrito como:
(cf)’(x0) = cf’(x0)
Embora úteis, as regras de diferenciação anteriormente apresentadas em muitos casos não são 
suficientes para resolver problemas importantes de diferenciação. Apresentaremos agora um teorema 
muito útil na diferenciação de funções compostas, a regra da cadeia, formulado pelo matemático 
escocês James Gregory (1638–1675).
A regra da cadeia estabelece que: sejam y = f(x) e x = g(y0) duas funções deriváveis, com a 
Img ⊂ Df. Então f g � é derivável e vale:
0 0 0 0 g(f g)'(y ) f '(g(y )).g'(y ),y D= ∈�
Para demonstrar esse teorema, consideremos duas funções: y = f(x) e x = g(y). Supondo que y = f(x) 
é derivável em x0 e x = g(y) é derivável em y0, sendo x0 = g(y0).
Para isso, vamos considerar uma função linear T, tangente ao gráfico de f em (x0, f(x0)) dada por:
T(x) = f(x0) + f’(x0)(x ‑ x0)
66
Unidade II
Observando o gráfico a seguir, podemos definir f(x) como:
f(x) = T(x) + A(x)
Substituindo a definição de T(x) em f(x), obtemos:
f(x) = f(x0) + f’(x0)(x ‑ x0) + A(x)
Que pode ser rearranjado para:
f(x) ‑ f(x0) = f’(x0)(x ‑ x0) + A(x)
y f
N(x, y)
M(x0, y0)
x0 x
x
f(x)
A(x)
T
f(x0)
T(x)
Figura 23 
onde A(x) é o erro por se aproximar da função original por uma função linear (A(x) sendo um 
infinitésimo de ordem superior a x‑x0).
Substituindo na relação anterior x= g(y) e x0 = g(y0):
f(g(y)) ‑ f(g(y0)) = f’(g(y0))(g(g(y)) ‑ g(y0)) + A(g(y))
Dividindo ambos os membros por y ‑ y0, y ≠ y0:
0 0
0
0 0 0
f(g(x)) f(g(y )) g(g(y)) g(y ) A(g(y))
f '(g(y ))
y y y y y y
− −= +
− − −
Tomando o limite com y → y0 nos dois lados da igualdade, resultamos em:
0 0
0
0 0 0y y y y y y0 0 0
f(g(x)) f(g(y )) g(g(y)) g(y ) A(g(y))
f '(g(y ))
y y y y y ylim lim lim→ → →
− −= +
− − −
67
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Analisando os termos separadamente, temos:
0
0y y0
f(g(x)) f(g(y ))
f '(g(y))
y ylim→
− =
−
0
0 0 0
0y y0
g(g(y)) g(y )
f '(g(y )) f '(g(y )).g'(y )
y ylim→
− =
−
Como visto anteriormente, 
0y y0
A(g(y))
0
y ylim→
=
−
. Desse modo, conclui‑se que:
f’(g(y)) = f’(g(y0)) . g’(y0)
A regra da cadeia pode ser escrita alternativamente como: sejam y=f(u) e u=g(x) duas funções 
deriváveis, com Img → Df. Então a derivada da função composta y=f(g(x)) é derivável e vale:
dy
f '(u).g'(x), u g(x)
dx
= =
Exemplo:
1) Calcule a derivada da função f(x)=cos(x²‑4).
Solução:
A função f(x) é uma função composta, f ⊄g, em que f(u) = cos(u) e u = g(x) = x²‑4. Para resolver a 
derivada de f(x), devemos derivar as funções que a compõem e aplicar a regra da cadeia.
Analisando primeiramente g(x), a derivada pode ser calculada a partir da definição como segue:
2 2
0
0
0x x0
(x 4) (x 4)
g'(x )
x xlim→
− − −=
−
Eliminando os parênteses, obtemos:
2 2
0
0
0x x0
x x
g'(x )
x xlim→
−=
−
A fatoração do numerador em um produto de fatores lineares permite reescrever esse limite na forma:
68
Unidade II
0 0
0
0x x0
(x x )(x x )
g'(x )
x xlim→
+ −=
−
De modo que podemos simplificar esse limite para:
0 0
x x0
g'(x ) [x x ]lim
→
= +
Que resulta em:
g’(x0) = x0 + x0 = 2x0
Como x0 é arbitrário, temos que para todo x ∈ Dg:
g(x) = x2 ‑ 4 ⇒ g’(x) = 2x
Por sua vez, podemos calcular a derivada de f(u) = cos(u) como:
0
0
0u u0
cos(u) cos(u )
f '(u )
u ulim→
−=
−
que, assumindo que u0=u0+h, pode ser reescrita como:
0 0
0
h 0
cos(u h) cosu
f '(u )
hlim→
+ −=
Aplicando a relação trigonométrica 
a b a b
cosa cosb 2sen .sen
2 2
+ −− = − , tem‑se:
0 0 0 0
0
h 0
u h u u h u
2sen .sen
2 2f '(u )
hlim→
+ + + −−
=
que pode ser simplificado em:
0
0
h 0
2u h h
2sen .sen
2 2f '(u )
hlim→
+−
=
69
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Podendo ser decomposto no produto de limites:
0
0
h 0 x 0
h
sen2u h 2f '(u ) 2sen
h2 2
2
lim lim
→ ∆ →
+ = −  
Colocando as constantes fora o limite, resultamos em:
0
0
h 0 h 0
h
sen2u h 1 2f '(u ) 2 sen .
h2 2
2
lim lim
→ →
 
   + = −         
 
Como 
x 0
senx
1
xlim→
= , obtemos:
0 0
1
f '(u ) 2.sen(u ). .1
2
= −
Então concluímos que:
f’(u0) = ‑ sen(u0)
Assim como no caso da derivada de g(x), u0 é arbitrário, então temos que para todo u ∈ Df:
f’(u) = ‑ sen(u)
Tendo em mãos os resultados das derivadas de f(u) e g(x), aplicamos a regra da cadeia, por fim, obtendo:
2 2 2f(x) cos(x 4) f '(x) sen(x 4).(2x) 2xsen(x 4)= − ⇒ = − − = − −
O teorema apresentado a seguir tem grande importância para o cálculo das derivadas de certas 
funções em termos de suas funções inversas. Nesse caso, nos interessam as funções deriváveis e 
invertíveis; isto é, funções contínuas, crescentes ou decrescentes.
 Lembrete
Quando estudamos continuidade de funções, vimos que toda função f, 
contínua e injetiva num intervalo I é crescente ou decrescente. Sua inversa 
g, definida em J = f(I), também é contínua.
70
Unidade II
Agora falaremos do teorema da derivada da função inversa: seja f: X → Y ⊂ R uma função 
que possui inversa g = f’: Y → X ⊂ R. Se f é derivável no ponto x0 ∈ X ∩ X’ e g é contínua em 
y0 = f(x0), então g é derivável em y0 se, e somente se, f(x0) ≠ 0. No caso afirmativo,
0
0
1
g'(y )
f '(x )
=
A continuidade de g no ponto y0 é consequência da continuidade de f no ponto x0, quando f for 
contínua em todos os pontos de X.
Como g é contínua no ponto y0, é possível afirmar que:
0 0
y y0
g(y) g(y ) xlim
←
= =
Além disso, 0 0y Y {y } g(y) x∈ − ⇒ ≠ .
Aplicando a definição de derivadas por limite, obtemos:
0 0
0 0y y y y0 0
g(y) g(y ) g(y) x
y y f(g(y)) f(x )lim lim← →
− −=
− −
1
0
0 0y y0
f(g(y)) f(x ) 1
g(y) x f '(x )lim
−
←
 − = − 
Logo g’(y0) existe e é igual 
0
1
f '(x )
, quando f(x0) ≠ 0.
Passemos a outro teorema, que traz a relação entre o sinalda derivada de uma função e a variação 
da função.
Seja f: X → R derivável à direita no ponto x0 ∈ X ∩ X’+. Se f’(x0)+ > 0, então existe um δ > 0 
tal que x ∈ X, x0 < x < x0 + δ ⇒ f(x0) < f(x).
Se,
0
o
x x 00
f(x) f(x )
lim f '(x ) 0
x x ++→
− = >
−
existe um número real positivo δ tal que para qualquer x ∈ X, x ≠ x0, x0 < x < x0 
0
0 0 0
0
f(x) f(x )
x X, x x ,x x x 0
x x
−∈ ≠ < < + δ ⇒ >
−
e, portanto, f(x)‑f(x0)>0.
71
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
O teorema anterior nos mostra que, dada uma função f(x) derivável à direita no ponto x0, se a derivada 
à direita em x0 for maior que 0, logo a função apresenta comportamento crescente (isto é, f(x)‑f(x0)>0).
 Saiba mais
É importante observar que se trocarmos os sinais > e <, bem como 
+ e ‑, obtemos mais três teoremas análogos a este, com demonstrações 
semelhantes. Tente fazê‑los e depois consulte os resultados em:
LIMA, E. L. Curso de análise. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA; CNPq, 1976.
Por fim, o último teorema que diz respeito à relação entre o valor assumido pela derivada em um 
ponto e o comportamento da função na vizinhança versa sobre a existência de máximos ou mínimos 
locais e é enunciado a seguir:
Seja x0 ∈ X um ponto de acumulação à direita e à esquerda. Se f: X → R possui, em x0, 
uma derivada f’(x0)>0, então existe um δ>0 tal que: x, y ∈ X, x0 ‑ δ < x < x0 < y < x0 + δ ⇒ 
f(x) < f(x0) < f(y).
Portanto, f(x)<f(x0).
Seja x0 ∈ X ∩ X’+ ∩ X’‑. Se f: X → R é derivável no ponto x0 e possui um máximo local nesse 
ponto, então f’(x0)=0
É importante observar que, embora a derivada da função seja 0 num ponto de máximo ou mínimo 
local, esse teorema não é recíproco: não é possível dizer que um ponto é um máximo ou mínimo local 
exclusivamente pela derivada ser igual a 0.
6 FUNÇÕES DERIVÁVEIS NUM INTERVALO
6.1 Extremos de uma função f em um intervalo [a,b]
Um ponto x0 em um intervalo [a,b] é chamado ponto de máximo de f nesse intervalo se f(x0) ≥ f(x) 
para todo x ∈ [a,b]. Um ponto x1 em um intervalo [a,b] é chamado ponto de mínimo de f nesse intervalo 
se f(x1) ≤ f(x) para todo x ∈ [a,b].
Um resultado importante relacionado aos extremos de uma função é o teorema de 
Weiestrass, o qual define que se f é contínua em um intervalo [a,b], então existem, nesse 
intervalo, ao menos um ponto de máximo e um ponto mínimo.
72
Unidade II
6.2 Principais teoremas
Com os conhecimentos que você acabou de adquirir, analise o gráfico a seguir:
x
y
x0 ba
f(x0)
f(a) = f(b)
Figura 24 
Admitindo o resultado de Weierstrass, vamos assumir que f tenha um máximo em x0 ∈ (a,b), isto 
é, que a função atinja o ponto máximo num ponto interno do intervalo [a,b]. Então a derivada em x0 é 
dada por 0
x x0 0
f(x) f(x )
lim 
x x→
−
−
, independentemente de x → x0 pela direita ou pela esquerda.
a) Supondo f’(x)>0, então para todo x suficientemente próximo de x0,
0
0
f(x) f(x )
0
x x
− >
− .
Se x estiver à direita de x0, isto é, x ‑ x0 > 0 ⇒ f(x) ‑ f(x0) > 0 e x0 não for ponto de máximo.
b) Supondo f’(x)<0, então para todo x suficientemente próximo de x0,
0
0
f(x) f(x )
0
x x
− <
−
Se x estiver à esquerda de x 0, isto é, x ‑ x0 > 0 ⇒ f(x) ‑ f(x0) > 0. Também nesse caso x0 não é ponto 
de máximo.
c) Portanto, se f’(x)>0 e f’(x)<0, a possibilidade então é f’(x0)=0.
Naturalmente, esse resultado também é válido se acontecer um mínimo no lugar de máximo. O leitor 
poderá seguir o mesmo caminho e demonstrar que a afirmação é verdadeira. Esse resultado é traduzido 
a seguir, como condição necessária para que um ponto seja extremo:
73
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Seja f: [a,b] → R. Se f é derivável em (a,b) e atinge para um ponto x0 ∈ (a,b) um valor máximo (ou 
mínimo), então necessariamente f’(x0)=0.
O teorema de Rolle, enunciado a seguir, se apresenta como consequência direta do teorema 
de Weierstrass.
O teorema de Rolle estabelece que: seja f: [a,b] → R contínua, tal que f(a)=f(b). Se f é derivável em 
(a,b) então existe um ponto x0 ∈ (a,b), onde f’(x0)=0.
Como f(x) é contínua, ela tem um máximo e um mínimo em [a,b]. No entanto, existem duas 
possibilidades em relação a f(x):
a) Se a função é constante no intervalo [a,b], qualquer x0 ∈ (a,b) serve para demonstrar o teorema, 
uma vez que a derivada de uma constante é zero.
b) Se existe algum x0 ∈ (a,b) tal que f(x) ≠ f(x0). Nesse caso, existe um máximo ou um mínimo interno 
ao intervalo [a,b]. Um desses valores pode ser uma das extremidades, mas não ambos, uma vez que, se 
isso ocorresse, a função seria uma função constante. Considerando x0 o outro ponto, uma vez que f é 
derivável em (a,b), então f’(x0)=0.
Exemplo:
1) Demonstre que a função f(x)=x‑x³ satisfaz às condições do teorema de Rolle nos segmentos 
‑1 ≤ x ≤ 0 e 0 ≤ x ≤ 1. Encontre os valores correspondentes para x0.
Solução:
Como a função é um polinômio, ela é contínua para todos os valores de x. Além disso, f(‑1)=f(0)=f(1)=0, 
o que complementa as exigências de aplicabilidade do teorema. Para encontrarmos os correspondentes 
de x0:
f’(x) = 1 ‑ 3x2
f’(x0) = 1 ‑ 3x
2
0
1 ‑ 3x 20 = 0
Logo, 0
1
x
3
= ± , ou seja, 11 0
3
− < − < e 10 1
3
< < .
A seguir enunciaremos o teorema do valor médio, também conhecido como teorema de Lagrange, 
considerado um dos resultados mais importantes do cálculo diferencial, devido às suas consequências.
74
Unidade II
O teorema do valor médio (ou de Lagrange) estabelece que seja f: [a,b] → R contínua. 
Se f é derivável em (a,b), existe um ponto c ∈ (a,b) tal que:
f(b) f(a)
f '(c)
b a
−=
−
 ou f(b) ‑ f(a) = f’(c)(b ‑ a)
Se uma função contínua f: [a,b] → R possui derivada nula em todos os pontos x0 ∈ (a,b), 
então f é constante.
Geometricamente, é possível visualizar o teorema do valor médio com o suporte do gráfico a seguir:
xx0 ba
y
f(x0)
f(b)
f(a)
f
s
T
Figura 25 
Se s é uma reta secante passando pelos pontos (a, f(a)), então existirá pelo menos um ponto (c, f(c)), 
com a<c<b, tal que a reta tangente ao gráfico de f, neste ponto, é paralela à reta s. Como o coeficiente 
angular da reta s é
s
f(b) f(a)
m
b a
−=
−
e o coeficiente angular da reta tangente à função f é f(c), então
f(b) f(a)
f '(c)
b a
−=
−
Exemplo:
1) Verifique a validade das condições do teorema de Lagrange para a função: f(x)=x‑x³ no segmento 
[‑2,1] e ache o valor intermediário c.
75
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Solução:
Como a função é um polinômio, ela é contínua e derivável para todos os valores de x.
Como a derivada da função é dada por f’(x)=1‑3x², logo, f’(c)=1‑3c².
Para os extremos da função, temos que:
f(‑2) = ‑2 ‑ (‑2)3 = 6
f(1) = 1 ‑ 13 = 0
Assim, pela fórmula de Lagrange:
2 0 61 3c
1 ( 2)
−− =
− −
1 ‑ 3c2 = ‑2, logo, c 1= ± .
Tomando c=‑1, tem‑se que ‑2<c<1, o que satisfaz as condições do teorema.
O teorema do valor médio nos permite afirmar, por exemplo, se uma função é crescente ou 
decrescente descobrindo se sua derivada é positiva ou negativa. Uma função que tem uma derivada 
positiva em todo o intervalo (a,b) resulta em:
x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
em que f é uma função crescente. Por outro lado, a derivada negativa em (a,b) resulta:
x1 > x2 → f(x1) > f(x2)
e, desse modo, f é decrescente.
Como já foi visto no tópico anterior, quando a função f: I → R possui derivada em todos os pontos 
do intervalo I, diz‑se que existe a função derivada f’: I → R, que associa a cada x ∈ I a derivada f’(x). 
Porém, quando a f’ é contínua, diz‑se que f’ é uma função continuamente derivável no intervalo I, 
ou uma função de classe C1. No entanto, isso nem sempre ocorre: a função derivada não precisa ser 
contínua em toda a reta.
Em decorrência do teorema do valor intermediário para funções contínuas, quando uma função 
f: I → R é de classe C1 no intervalo I, dados a<b em I, se f’(a)<d<f’(b), então existe c ∈ I, com a<c<b, tal 
que f’(c)=d.
76
Unidade II
 Lembrete
Conforme vimos, segundo o teorema do valor intermediário: seja f: I 
→ R contínua num intervalo I (que pode ser fechado ou não, limitado ou 
ilimitado). Se a<b pertencer a I e f(a)<d<f(b),então existe c ∈ I tal que 
f(c)=d.
Se f,g: [a,b] → R são contínuas, deriváveis em (a,b) e f’(x)=g’(x) para todo x0 ∈ (a,b), então existe um 
c ∈ R tal que g(x)=f(x)+c para todo x ∈ [a,b].
Uma função f: [a,b] → R é uniformemente variável se e somente se for de classe C1.
6.3 Fórmula de Taylor
6.3.1 Algumas observações iniciais
Para o entendimento da fórmula de Taylor, que será apresentada mais adiante nesse tópico, 
é necessário primeiro que compreendamos alguns conceitos sobre derivadas de ordem superior 
apresentados a seguir.
Diz‑se que f: I → R é derivável n vezes no intervalo I quando existir fn(b) para todo x ∈ I.
Diz‑se que f: I → R é derivável n vezes no ponto x0 ∈ I quando houver um intervalo aberto J 
contendo x0 tal que f seja n‑1 vezes derivável em I ∩ J e, além disso, exista fn(x0).
Dizer que f: I → R é de classe Cn e que f ∈ Cn significa que f é n vezes derivável em nI e x f (x)→ e 
é uma função contínua em I. Em particular, se f ∈ C0, significa que f é contínua em I.
Exemplo:
Verificar se a f: R → R definida a seguir é de classe Cn.
2n
n
1
x .sen se x 0
f (x) x
0 se x 0
 ≠= 
 =
Solução:
Você poderá verificar que a função f é n vezes derivável, fazendo n variar, tal que n =0, 1, 2...; 
no entanto, a função não é contínua em x=0, logo, ela não é de classe Cn .
77
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
6.3.2 Fórmula de Taylor
A fórmula de Taylor (também chamada de Polinômio de Taylor) permite uma aproximação local cada 
vez melhor de uma dada função (muitas vezes) diferenciável por uma função polinomial.
Se uma função f(x) é contínua e tem derivadas contínuas, inclusive de grau (n‑1) no segmento 
a ≤ x ≤ b (ou b ≤ x ≤ a), e que para cada ponto interior dele existe uma derivada finita fn(x), nesse 
intervalo vale a fórmula de Taylor:
2 n 1 n
(n 1) n
2 n 1 n
(n 1) n
(n 1) (n
n 1 n 1
(x a) (x a) (x a)
f(x) f(a) (x a)f '(a) f ''(a) ... f (a) f (a) ...
2! (n 1)! n!
(x a) (x a) (x a)
P(x) f(a) (x a)f '(a) f ''(a) ... f (a) f (a)
2! (n 1)! n!
f ( )(x a)
f(x) P(x) R (x) e R (x)
−
−
−
−
+
+ +
− − −= + − + + + + +
−
− − −= + − + + + +
−
ξ −− = =
1)
(n 1)!
−
+
Onde a (x a) e 0 1ξ = + θ − < θ <
Uma situação particular que merece destaque é quando a=0 na fórmula de Taylor, resultando na 
fórmula de Maclaurin:
2 n 1 n n 1
(n 1) n nx x x xf(x) f(0) xf '(0) f ''(0) ... f (0) f (0) f ( )
2! (n 1)! n! (n 1)!
− +
−= + + + + + + ξ
− +
onde x e 0 1ξ = θ < θ < .
Para entender como empregar esse teorema, analisemos o exemplo prático a seguir:
Exemplo:
1) Desenvolva a função f(x)=ex em potências do binômio (x+1) até o termo que contenha (x+1)3.
Solução:
A derivada enésima de f(x) = ex é fn(x) = ex. Assim:
n 1 1f ( 1) e
e
−− = =
78
Unidade II
Pela fórmula de Taylor:
2 n n 1
n n 1(x a) (x a) (x a)f(x) f(a) (x a)f '(a) f ''(a) ... f (a) f ( )
2! n! (n 1)!
+
+− − −= + − + + + + ξ
+
Substituindo os valores de f, temos:
2 3 4
x 1 1 (x 1) 1 (x 1) 1 (x 1)e (x 1). . . .e
e e 2! e 3! e 4!
ξ+ + += + + + + +
onde: 1 (x 1) e 0 1ξ = − + θ + < θ < .
6.3.3 Aplicações da fórmula de Taylor
Como dito na breve introdução do enunciado da fórmula de Taylor, é possível usá‑la para aproximar 
uma função diferenciável por uma função polinomial. A seguir, poderemos entender melhor as aplicações 
práticas dessa ideia com o emprego desse conceito.
Exemplo de aplicação
A aprendizagem colaborativa apoiada em projetos é uma ferramenta educacional importante 
na Educação em geral e na educação matemática em particular. Existem livros do ensino médio que 
apresentam em seus conteúdos a derivadas de funções polinomiais. Após alguma experiência como 
docente, você pode propor o seguinte projeto para seus alunos. Descobrir qual o procedimento 
matemático está embutido na calculadora e é acionado quando o botão raiz de um determinado valor 
é acionado?
Figura 26 
79
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
a) Máximos e mínimos locais: seja f uma função que é n vezes derivável em um ponto x0, interior ao 
domínio de f. Se f’(x0) = 0, x0 chama‑se um ponto crítico de f. Caso f’(x0) = f”(x0) = ... = f
n‑1(x0) = 0, mas 
fn(x0) ≠ 0 é possível afirmar que:
1) Se n for par, então x0 será um ponto de máximo local se f
n(x0) < 0, ou um ponto de mínimo local 
se fn(x0)>0.
2) Se n for ímpar, o ponto x0 não será nem de máximo nem de mínimo.
b) Indeterminações do tipo 0/0 (LIMA, 1976, p. 224): f,g: I → R é n vezes derivável no ponto x0 ∈ I. 
Caso as funções f e g, incluindo suas derivadas até a ordem n‑1 (inclusive), se anulem no ponto x0, mas 
fn(x0) e g
n(x0) não sejam ambas nulas; além disso, g(x) ≠ 0 para todo x ≠ x0, suficientemente próximo de 
x0, valem as afirmações:
n
n0
0n
x x 00
f (x )f(x)
, se g (x ) 0
g(x) g (x )lim→
= ≠
n
0
x x0
f(x)
, se g (x ) 0
g(x)lim→
= ∞ =
7 PREPARAÇÃO PARA A INTEGRAL DE RIEMANN
Temos como objetivo agora definir rigorosamente o conceito de integral, a partir do limite de 
somas de Riemann. Recomendamos a você que retome os métodos e técnicas relacionados às integrais 
trabalhados nos cursos introdutórios de cálculo.
7.1 Sobre supremo (SUP) e ínfimo (INF)
Para o desenvolvimento do conceito da integral de Riemann, é necessário primeiro que 
compreendamos alguns conceitos relacionados a propriedades de intervalos e partições, apresentados 
a seguir.
Seja a função real f: [a,b] → R, e limitada neste intervalo. Existem números reais m e M tais 
que m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a,b], de modo que o menor dos intervalos que contém os valores de 
f(x), x ∈ [a,b], é dado por m = inf{f(x); x ∈ [a,b]} e m = sup{f(x); x ∈ [a,b]} (por simplicidade, podemos 
escrever apenas m=inf f e M=sup f, respectivamente).
Portanto, seja a função real f: [a,b] → R, para que ela seja limitada em [a,b] é necessário e suficiente 
que exista um K>0, tal que |f(x)| ≤ K, para todo x ∈ [a,b].
80
Unidade II
7.1.1 Partição de um intervalo
Denomina‑se uma partição de um intervalo [a,b] um subconjunto finito p ⊂ [a,b] tal que a ∈ P e 
b ∈ P (LIMA, 1976, p. 240), onde:.
a) A representação P={t0,t1,...,tn} representa a=t0<t1<...<tn=b.
b) Os intervalos [ti‑1,ti], sendo i=1,...,n são chamados intervalos da partição P.
c) Seja f: [a,b] → R uma função limitada e P={t0,t1,...,tn}, uma partição de [a,b]. Para cada i=1,...,n, mi 
representa o ínfimo e Mi o supremo dos valores da função no intervalo [ti‑1,ti].
7.1.2 Soma inferior e soma superior da função em relação a uma partição P
Denominando a soma inferior como s (f,P) e a soma superior como S (f,P), temos:
n
i 1 0 n n n 1 i i i 1
i 1
s(f,P) m (t t ) ... m (t t ) m .(t t )− −
=
= − + + − = −∑
e
n
i 1 0 n n n 1 i i i 1
i 1
S(f,P) M (t t ) ... M (t t ) M .(t t )− −
=
= − + + − = −∑
Se m representa o ínfimo e M o supremo da função em [a,b], então:
m(b a) s(f,P) S(f,P) M.(b a)− ≤ ≤ ≤ −
Para toda partição P do intervalo [a,b].
Esse conceito de partição irá auxiliar na compreensão de integral como área, uma vez que se a 
função é positiva, as somas inferior e superior podem ser interpretadas como áreas de polígonos, um 
inscrito e outro circunscrito ao gráfico de f, respectivamente. Esses valores representam ainda os valores 
aproximados (sub e superestimados, respectivamente) da área entre esse gráfico e o eixo x.
7.2 Introdução de Riemann
O conceito de integral definida está intimamente ligado à noção de área. Diferentemente do que 
sugere a disposição dos livros didáticos, este conceito é anterior à noção de diferencial. Enquanto o 
cálculo diferencial apresenta conceitos relativamente modernos (século XVII), a ideia de integral remonta 
a Arquimedes, há mais de dois mil anos, com o cálculo de volumes e áreas de figuras geométricas – e, 
embora não houvesse simbologia desenvolvida para constituir o cálculo integral como conhecemos hoje, 
81
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
seus procedimentos baseados em argumentos geométricos são equivalentes aos usados atualmente. 
Para entender o encaminhamento dado em sua constituição, vamos consideraruma função contínua, 
conforme a figura a seguir:
a
f(x)
A(t)
t t + h b
Figura 27 
O cálculo de áreas de figuras regulares não é tarefa complicada, como o leitor já tem conhecimento. 
No entanto, quando a área em questão é como a limitada pelo gráfico da função f(x), pelo eixo das 
abscissas e pelas retas verticais x=a e x=b, os mecanismos usuais, empregados até o momento para o 
cálculo de área, não são eficientes.
Vamos supor t, um ponto qualquer no intervalo [a,b]. Logo, a área da figura relativa ao intervalo [a,b] 
depende de t, isto é, é uma função de t. Chamando esta função de A(t) e calculando sua derivada ao 
tomarmos um ponto próximo t+h:
h 0
A(t h) A(t)
hlim→
+ −
m
m
M
M
t t + h 
h
Figura 28
82
Unidade II
Sendo h > 0 e se considerarmos m o menor valor da função no intervalo [t+h] e por M seu maior 
valor, a área relativa ao intervalo [t+h], que é a diferença A(t+h)‑A(t), estará compreendida entre as 
áreas dos retângulos de base h e altura M e o retângulo de base h e altura m. Ou seja,
m . h ≤ A(t + h) ‑ A(t) ≤ M . h
E, portanto,
A(t h) A(t)
m. M
h
+ −≤ ≤
Caso h<0, as desigualdades teriam o sentido invertido, mas o mesmo raciocínio continuaria válido.
Como a consideração inicial era que a função fosse contínua, para qualquer t ∈ (a,b), pelo conceito 
de continuidade de funções, temos:
h 0
f(t h) f(t)lim
→
+ =
Assim, quando h → 0, m e M vão tender a f(t), logo:
h 0
A(t h) A(t)
f(t)
hlim→
+ − = ou A’(t) = f(t)
Chama‑se primitiva uma função f: [a,b] → R a uma função derivável F: [a,b] → R, tal que F’=f.
Logo, A(t) é uma primitiva de f(t). Como, no entanto, duas funções, que diferem por uma constante, 
podem ter a mesma derivada, então A(t) é uma família de primitivas de f(t), isto é:
(A(t) + C)’ = f(t)
Generalizando, considerando F(x)+C como uma família de primitivas de f(x), a área limitada pela 
curva f(x) é representada por:
F(x) + C ou pela integral f(x) dx C+∫
O símbolo da integral induz à ideia de soma de áreas de polígonos sob a curva f(x), enquanto o 
símbolo dx indica que as subdivisões [t,t+h] do intervalo [a,b], que resultam nesses polígonos, são muito 
pequenas. De fato, quando se fez h → 0, as subdivisões tenderam a zero.
Para se obter a área sob a curva em todo o intervalo [a,b], basta tomar x=b; para determinar a 
constante C, faz‑se F(a)+C=0, ou seja, C=‑F(a), uma vez que a área em x=a é zero.
83
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
A área sob a curva determinada pela função real f: [a,b] → R é dada por
F(b)‑F(a)
Sendo F(x) uma primitiva de f(x).
7.2.1 Funções integráveis
Seja f: [a,b] → R uma função limitada e os Sup. Mi e o Inf. mi tomados em relação às partições, com 
amplitude hi, do intervalo [a,b]:
Mi
mi
hi
xo = a x1 x2 xi‑1 xi xn = b
Figura 29 
Considerando a área sob a curva f(x) no intervalo [a,b] como A(a,b), ela estará situada entre a soma 
dos retângulos de base hi e altura mi e a soma dos retângulos de base hi e altura Mi, conforme mostra a 
figura anterior.
Logo, a soma inferior das partições, a partir do que foi definido anteriormente, pode ser escrita como:
n
i 1 0 n n n 1 i i i 1
i 1
S (f,P) m (t t ) ... m (t t ) m .(t t )− −
=
= − + + − = −∑
Resultando em:
n
1 1 2 2 n n i n
i 1
S (f,P) m h m h ... m h m .h
=
= + + + = ∑
E a soma superior das partições pode ser dada por:
n
i 1 0 n n n 1 i i i 1
i 1
S (f,P) M (t t ) ... M (t t ) M .(t t )− −
=
= − + + − = −∑
84
Unidade II
Resultando em:
n
1 1 2 2 n n i n
i 1
S (f,P) M h M h ... M h M .h
=
= + + + = ∑
Além disso, se m é o ínfimo e M o supremo de f(x) no intervalo [a,b], temos:
m.(b a) s(f,P) S(f,P) M.(b a)− ≤ ≤ ≤ −
Para toda partição P do intervalo [a,b]
Considerando f: [a,b] → R uma função limitada:
a) Denominando 
b
a
f(x)dx
−
∫ como integral inferior, temos:
f x dx s f P
a
b
P
( ) sup ( ; )
�
� �
 Observação
A integral é o supremo das somas inferiores.
b) Denominando 
b
a
f(x)dx
−
∫ como integral inferior, temos:
f x dx s f P
a
b
P
( ) inf ( ; )
�
� �
 Observação
A integral é o ínfimo das somas superiores.
Uma função limitada f: [a,b] → R é dita integrável quando:
b b
a a
f(x)dx f(x)dx
−
−
=∫ ∫
85
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Esse valor comum é denominado integral da função f(x) e indicado por:
b
a
f(x)dx∫
A partir da discussão anterior, duas definições podem ser feitas:
A primeira é a de soma integral: seja uma função limitada f: [a,b] → R e a=x0<x1<...<xn=b, uma 
divisão arbitrária desse segmento em n partes. A soma da forma:
n 1
n i i
i 0
S f( )h
−
=
= ξ∑
onde i i i 1x x +≤ ξ ≤ ; i i 1 ih x x+= − , recebe o nome de soma integral da função f(x) em [a,b].
A segunda é a de integral definida. O limite da Sn, quando o número de partes n de divisões tende 
ao infinito e a maior das diferenças hi tende a zero se chama integral definida da função f(x) entre os 
limites x=a e x=b, isto é,
bn 1
i i
maxh 0i i 0 a
lim f( ).h f(x)dx
−
→ =
ξ =∑ ∫
 Observação
Se a função f(x) é contínua em [a,b], também será integrável em [a,b]; 
isto é, o limite da definição de integral existe e independe do método que 
use para dividir [a,b] em segmentos parciais e de ξi dentro desses segmentos.
Vejamos agora a aplicação dessas definições na resolução de problemas:
Exemplos:
1) Dada a função f: [‑1,3] → R, calcule a soma integral de f(x)=4.
Solução:
Tomando hi como:
i 1 i
i
x x
h
n
+ −=
86
Unidade II
i
3 ( 1) 4
h
n n
− −= =
E ξi como:
i i 0 i
4i
x x ih 1
n
ξ = = + = − +
Como f(x)=4,
f(ξi) = 4
E fazendo a substituição na definição de Sn apresentada anteriormente, temos:
n 1 n 1 n 1
n i i
i 0 i 0 i 0
4 16 16
S f( )h 4. n. 16
n n n
− − −
= = =
= ξ = = = =∑ ∑ ∑
2) Dada a função f: [1,10] → R, obtenha a soma integral de f(x) = 1 + x.
y
‑1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
‑1
Figura 30 
Solução:
Tomando hi como:
87
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
i
10 1 9
h
n n
−= =
E ξi como:
i i 0 i
9i
x x ih 1
n
ξ = = + = +
Podemos calcular f(ξi), conforme indicado a seguir:
i
9i 9i
f( ) 1 1 2
n n
ξ = + + = +
E fazer a substituição na definição de Sn apresentada anteriormente:
n 1 n 1 n 1
n i i 2
i 0 i 0 i 0
9i 9 18 81.i
S f( )h (2 ).
n n n n
− − −
= = =
 = ξ = + = + =  ∑ ∑ ∑
( )
n 1 n 1
2 2
i 0 i 0
18 81.i 18.n 81
. 0 1 2 ... (n 1)
n nn n
− −
= =
= + = + + + + + −∑ ∑
Observe que a soma à direita da expressão anterior corresponde à soma de uma progressão aritmética 
na qual o primeiro termo é 0 e o último (n‑1). Como essa soma é dada pela expressão:
1 n(a a ).n (0 n 1).n (n 1).nS
2 2 2
+ + − −= = =
Podemos substituí‑la, resultando em:
2
18.n 81 (n 1).n 81.(n 1) 81n 81 81 81 117 81
. 18 18 18
n 2 2.n 2n 2n 2 2n 2 2nn
− − = + = + = + − = + − = −  
Considerando que quando hi tende a zero, n tende a infinito, temos que:
n
n n
117 81 117
lim S lim
2 2n 2→∞ →∞
 = − =  
3) Encontre a área limitada pelo arco da parábola y=x², pelo eixo das abscissas e pela reta vertical 
x=a para (a>0).
88
Unidade II
x
y
‑3 ‑2 ‑1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
5
4
3
2
1
‑1
‑2
‑3
‑4
‑5
a
Figura 31
Solução:
Tomando hi como:
i
a 0 a
h
n n
−= =
E ξi como:
i i 0 i
ai ai
x x ih 0
n n
ξ = = + = + =
Podemos calcular f(ξi) conforme indicado a seguir:
2
i
ai
f( )
n
 ξ =   
E substituir na definição de Sn apresentada anteriormente:
2 2n 1 n 1 n 1
2
n i i
i 0 i 0 i 0
ai a a a
S f( )h . . .i
n n n n
− − −
= = =
   = ξ = = =      ∑ ∑ ∑
89
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Resultando em:
2
2 2 2
n
soma dos quadrados dos números inteiros
a a
S . .( 0 1 2 .... (n 1) )
n n
 = + + + + −   �����������
Utilizando a fórmula da soma dos quadrados dos números inteiros:
t
2
k 1
t(t 1)(2t 1)
k
6=
+ +=∑
E fazendo t=n‑1:
n 1
2 2 2
k 1
(n 1)(n 1 1)(2(n 1) 1) (n 1)n(2n 1)
(1 2 ... (n 1) ) k
6 6
−
=
− − + − + − −+ + + − = = =∑
Que pode sersubstituído na formula de Sn anteriormente encontrada:
2 3
n 3
a a (n 1)n(2n 1) a (n 1)n(2n 1)
S . .
n n 6 6n
− − − − = =  
Considerando que quando hi tende a zero, n tende a infinito, temos que:
3 3
n 3 2n n n
a (n 1)n(2n 1) a (n 1)(2n 1)
lim S lim lim
66n n→∞ →∞ →∞
− − − −= = =
3 2 3 2
2 2 2 2n n
a 2n 3n 1 a 2n 3n 1
lim lim
6 6n n n n→∞ →∞
 − += = − + =  
3 3 3
2n
a 3 1 a .2 a
lim 2
6 6 3n n→∞
 = − + = =  
Passemos agora ao teorema do valor médio para integrais: seja uma função contínua 
f: [a,b] → R. Então existirá pelo menos um ponto c em [a,b] tal que
b
a
f(x)dx f(c)(b a)= −∫
90
Unidade II
A demonstração desse teorema pode ser feita pelas considerações que seguem:
Como f é contínua em [a,b], pelo teorema de Weierstrass, a função assume nesse intervalo valor 
máximo e valor mínimo. Seja M o valor máximo e m o valor mínimo de f em [a,b]. Assim, para todo 
x ∈ [a,b]:
m ≤ f(x) ≤ M
Logo,
b b b
a a a
m dx f(x) dx M dx≤ ≤∫ ∫ ∫
b
a
m(b a) f(x) dx M(b a)− ≤ ≤ −∫
E, portanto,
b
a
1
m f(x) dx M
b a
≤ ≤
− ∫
Assim, se chamarmos 
b
a
f(x)dx
b a
ξ =
−
∫
, este será um valor situado entre o maior e o menor valor de f 
em [a,b].
Pelo teorema do valor intermediário, existe um c em [a,b] tal que
b
a
f(x)dx
f(c)
b a
=
−
∫
 Lembrete
De acordo com o teorema do valor intermediário: seja f: I → R contínua 
num intervalo I (que pode ser fechado ou não, limitado ou ilimitado). 
Se a<b pertencer a I e f(a)<d<f(b), então existe c ∈ I tal que f(c)=d.
91
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Ou seja,
b
a
f(x)dx f(c)(b a)= −∫
 Observação
Note que a igualdade permanece válida mesmo se b<a, pois isso implica 
a mudança do sinal dos dois membros da igualdade.
O teorema fundamental do cálculo prevê que se uma função integrável f: [a,b] → R possui 
uma primitiva F: [a,b] → R, então
b
a
f(x)dx F(b) F(a)= −∫
Ou,
Se uma função F: [a,b] → R possui derivada integrável, então
b
a
F(b) F(a) F '(t)dt− = ∫
8 INTEGRAL DE RIEMANN: PROPRIEDADES
Usando como base Lima (1976), ilustraremos a seguir algumas propriedades das integrais que o 
leitor já deve ter visto nos cursos introdutórios de cálculo.
Para isso, considere inicialmente f,g: [a,b] → R integráveis. Então:
a) Sendo a<c<b, para f|[a,c] e f|[c,b] integráveis, temos que:
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx= +∫ ∫ ∫
Reciprocamente, se f|[a,c] e f|[c,b] são integráveis, então f é integrável, e vale a igualdade mencionada.
A demonstração dessa afirmação é feita a seguir. Sejam
92
Unidade II
c
a
f(x)dx
−
α = ∫ e 
b
c
f(x)dx
−
β = ∫
c
a
A f(x)dx
−
= ∫ e 
b
c
B f(x)dx
−
= ∫
Então
b
a
f(x)dx A B
−
= +∫ e 
b
a
f(x)dx
−
= α + β∫
Mas,
c c
a a
f(x)dx f(x)dx
−
−
≤∫ ∫ , ou seja, a ≤ A
b b
c c
f(x)dx f(x)dx
−
−
≤∫ ∫ , ou seja, β ≤ B
Logo a + β = A + B ⇔ a = A e β = B, ou seja, f é integrável se, e somente se, f|[a,c] e f|[c,b] 
são integráveis.
b) Para todo c ∈ R, c.f é integrável e
b b
a a
c.f(x)dx c. f(x)dx=∫ ∫
c) f + g é integrável e
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx+ = +∫ ∫ ∫
d) Se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a,b], então
b b
a a
f(x)dx g(x)dx≤∫ ∫
93
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Em particular, se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,b], então,
b
a
f(x)dx 0≥∫
e) |f(x)| é integrável e se tem
b b
a a
f(x)dx f(x) dx≤∫ ∫
 Observação
Como consequência dos itens “d” e “e”, tem‑se que, se |f(x)| ≤ K para 
todo x ∈ [a,b], então:
b
a
f(x)dx K(b a)≤ −∫
f) O produto de f.g é integrável.
 Saiba mais
As demonstrações completas de cada uma dessas propriedades podem 
ser consultadas na obra:
LIMA, E. L. Integral de Riemann. In: ___. Curso de análise. v. 1. Rio de Janeiro: 
IMPA, CNPq, 1976.
Outro material interessante é a dissertação de mestrado que 
recomendamos a seguir. Ela faz uma análise sobre o processo de integração 
de funções de Riemann, aborda a integral de Riemann‑Stieltjes usada no 
estudo de variáveis aleatórias e apresenta uma proposta para a sala de aula 
sobre distância percorrida por um objeto em movimento retilíneo uniforme 
associado à área. Leia:
MANÇO, R. de F. Integrais e aplicações. 2016. 113 f. Dissertação (Mestrado 
Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Instituto de Ciências 
Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2016.
94
Unidade II
8.1 A integral como limite de somas de Riemann
Seja P={t0,..., tn} uma partição do intervalo[a,b]. A norma de P, ou seja, |P| é definida como sendo o 
maior comprimento ti‑ti‑1 dos intervalos da partição.
Assim, a integral superior de uma função limitada f é o limite das somas superiores S(f;P), quando 
|P| → 0. Desse modo:
b
P 0
a
f(x)dx lim S(f;P)
−
→
=∫
Seja f: [a,b] → R uma função limitada. Para todo ε>0, existe um δ>0 tal que
b
a
S(f;P) f(x)dx
−
< + ε∫
Qualquer que seja a partição P com |P|<δ.
Podemos demonstrar esse teorema da seguinte forma: vamos supor que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,b]. 
Logo, dado um ε>0, existe uma partição P={t0,..., tn} de [a,b] tal que
b
0
a
S(f;P ) f(x)dx
2
− ε< +∫
Seja M o Sup. da função f no intervalo [a,b] e um δ tal que 0
2Mn
ε< δ < .
Considere uma partição arbitrária com |P|<δ na qual seus intervalos indicados por [rj‑i,rj] estejam 
contidos em algum intervalo [ti‑1,ti] da partição anterior P0, sendo j ⊂ i. Ou seja, [rj‑1,rj] ⊂ [ti‑1,ti], os 
intervalos restantes de P que contêm ao menos um ponto ti em seu interior são de número n e do 
tipo [rk‑1,rk].
Se j ⊂ i, então Mj ≤ M1 e j j 1 i i 1
j i
[r r ] (t t )− −
⊂
− ≤ −∑ . Como f(x) ≥ 0, todos esses números são maiores 
ou iguais a zero, logo:
j j j 1 i i i 1
j i
M [r r ] M (t t )− −
⊂
− ≤ −∑ e k k k 1M [r r ] M.−− ≤ δ
95
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Assim,
j j j 1 k k k 1
j k
S (f;P) M [r r ] M (r r )− −= − + − ≤∑ ∑
bn
i i i 1 0
i 1 a
M[t t ] M.n.. S(f;P ) f(x)dx
2
−
−
=
ε≤ − + δ ≤ + < + ε∑ ∫
Seja f: [a,b] → R uma função limitada. A integral inferior dessa função é o limite das somas inferiores 
s(f;P) quando |P| → 0. Ou seja,
b
P 0
a
f(x)dx lim s(f;P)
→
−
=∫
Exemplo de aplicação
1) Demonstre que a função f(x) = 4x – 4x3 satisfaz as condições do teorema de Rolle nos segmentos 
‑1 < x < 0 e 0 < x < 1. Encontre os valores correspondentes para x0.
Resolução: como a função é um polinômio, ela é contínua para todos os valores de x. Além disso, 
f(‑1) = f(0) = f(1) = 0, o que complementa as exigências de aplicabilidade do teorema. Para encontrarmos 
os correspondentes x0:
f’(x) = 4 ‑ 12x2
4 ‑ 12x2 = 0
‑12x2 = ‑4
x2
1
3
=
1 1 3
x
3 33
= ± = ± = ±
Ou seja:
3
1 0
3
− < − < e 30 1
3
< <
2) O teorema do valor intermediário afirma que se f: [a, b] → R é contínua e se f(a) < d < f(b) então 
existe c ∈ (a,b) tal que f(c) = d. Seja f(x) = x2 – x – 2, contínua no intervalo 0 ≤ x ≤ 3, prove que existe 
c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0
96
Unidade II
Resolução: neste caso, temos que f(0) = ‑2 e f(3) = 9 ‑ 3 ‑ 2 = 4, ou seja, f(0) < 0 e f(3) > 0. Como a 
f(x)é contínua em [0,3], pelo teorema do valor intermediário, como f(0) < 0 < f(3) então existe c ∈ (0,3) 
tal que f(c) = 0. Ou seja:
f(c) = c2 ‑ c ‑ 2
0 = c2 ‑ c ‑ 2
(c + 1)(c ‑ 2) = 0
(c + 1) = 0
Ou
(c ‑ 2) = 0
Logo:
c = 2
3) Mostre pela definição que se f(x) = ‑5 ⇒ f’(x) = 0.
Resolução: é necessário obter a derivada da função f(x) = K, k é constante.
Diz‑se que f é derivável quando existir o limite:
( ) ( )
x 0
f x x
f ' x lim
x∆ →
+ ∆
=
∆
( ) ( )
x 0
5 5
f ' x lim
x∆ →
− − −
=
∆
( )
x 0
f ' x lim 0 0
∆ →
= =
4) Seja f: R → R definida por:
( )
2x se x 2
f x
1 se x 2
 ≥= 
− <
A f é derivável no ponto x0 = 2? Demonstre.
97
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Resolução: a função não é contínua nesse ponto, o que pode ser demonstrado com o cálculo dos 
limites laterais. Ou seja, a f não é contínua em x0 = 2, pois
( ) ( )
x 2" x 2"
lim f x 1 lim f x 4
→ →
= − =
Logo, como continuidade não implica derivabilidade, mas derivabilidade implica continuidade, a 
função não é derivável em x0 = 2
5) Seja f: R → R definida por:
()
2x 4 se x 2
f x
x 2 se x 2
 − ≤= 
− + >
A função é derivável em x0 = 2? Prove.
Resolução: para se afirmar que uma função é derivável em um ponto, é necessário mostrar que:
f é contínua em x0 = 2?
2
x 2
(x 4) 0lim
−→
− = e 
x 2
( x 2) 0lim
+→
− + = e f(2) = 0, Logo f é contínua em x0 = 2
No entanto, o fato de a função ser contínua em x0 = 2 não garante que ela seja derivável nesse ponto.
2
x 2 x 2 x 2 x 2
f(x) f(2) x 4 0 (x 2).(x 2)
(x 2) 4
x 2 x 2 (x 2)lim lim lim lim− − − −→ → → →
− − − + −= = = + =
− − −
e
x x x
f x f
x
x
x
x
x
� � � � � �
�
�
�
� � �
�
�
� �
�
� �
2 3 3
2
2
2 0
2
2
2
1lim lim lim
( ) ( ) ( )
Logo, o limite
x 2
f(x) f(2)
x 2lim→
−
−
 não existe, ou seja, f não é derivável em x0 = 2.
6) Seja f: R → R definida por:
( )
x 5 se x 2
f x 1
se x 2
x
+ <
=  >
98
Unidade II
Qual o tipo de descontinuidade da função? Demonstre.
Resolução: a f(x) possui uma descontinuidade de primeira espécie em x = 2 porque a função não 
está definida no ponto.
Uma f: X → R possui uma descontinuidade de primeira espécie no ponto x0 ∈ X quando f é 
descontínua em x0, mas existem os limites laterais e são finitos:
x 2
lim x 5 7
−→
+ =
 x 2
1 1
lim
x 2+→
=
Os limites laterais existem e a função não está definida em x0=2, portanto, ela é descontínua. Assim, 
x0=2 é ponto de descontinuidade e de primeira espécie.
7) Seja f: R → R definida por:
( )
2x 9 se x 3
f x
x 3 se x 3
 − ≥= 
− + <
A f é derivável no ponto x0 = 3? Demonstre.
Resolução: a função é contínua nesse ponto, pois:
2
x 3
(x 9) 0lim
+→
− = e 
x 3
( 3 3) 0lim
−→
− + = e f(3) = 32 ‑ 9 = 0, logo f é contínua em x0 = 3
No entanto, o fato de a função ser contínua em x0 = 3 não garante que ela seja derivável nesse ponto.
2
x 3 x 3 x 3 x 3
f(x) f(3) x 9 0 (x 3).(x 3)
(x 3) 6
x 3 x 3 (x 3)lim lim lim lim+ + + +→ → → →
− − − + −= = = + =
− − −
e
x 3 x 3 x 3
f(x) f(3) x 3 0 (x 3)
1
x 3 x 3 x 3lim lim lim− − +→ → →
− − + − − −= = =
− − −
Logo, como continuidade não implica derivabilidade, mas derivabilidade implica continuidade, a 
função não é derivável em x0 = 3.
99
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
8) Mostre pela definição que se f(x) = ‑ 18 ⇒ f’(x) = 0:
Resolução: é necessário obter a derivada da função f(x) = K, k é constante.
Diz‑se que f é derivável quando existir o limite:
x 0
f(x x) f(x)
f '(x)
xlim∆ →
+ ∆ −=
∆
x 0
18 ( 18)
f '(x)
xlim∆ →
− − −=
∆
x 0
f '(x) 0 0lim
∆ →
= =
9) Seja f: R → R definida por:
( )
2x 4 se x 1
f x
8x 2 se x 1
 − ≥= 
− − <
A f é derivável no ponto x0 = 1? Prove.
Resolução: a função não é contínua nesse ponto, o que pode ser demonstrado com o cálculo dos 
limites laterais. Ou seja, a f não é contínua em x0 = 1, pois
2
x 1
(x 2) 1lim
+→
− = −
x 1
( 8x 2) 10lim
−→
− − = −
Continuidade não implica derivabilidade, mas derivabilidade implica continuidade, logo, a função 
não é derivável em x0 = 1.
100
Unidade II
 Resumo
Nessa unidade, trabalhamos com a definição rigorosa de alguns 
conceitos do cálculo diferencial e integral de uma variável.
Inicialmente, trabalhamos com a ideia da linearização de uma função 
num ponto pela reta tangente a ele. Esse raciocínio permitiu definir a 
inclinação dessa reta tangente ao ponto x0 da função f(x) como:
0
0
0x x0
f(x) f(x )
f '(x )
x xlim→
−=
−
que também é denominada derivada de f(x) no ponto x0 (f’(x0)).
Observamos ainda que para que uma função seja diferenciável no ponto 
x0 (isto é, para que f’(x0) exista), a função f precisa ser continua nesse ponto.
Foram demonstradas, a partir da definição de derivada como um limite, 
uma série de propriedades operatórias das derivadas particularmente 
importantes na resolução de problemas complexos – incluindo a derivada 
da soma, produto e divisão de duas funções, bem como a derivada de 
funções compostas (regra da cadeia).
Um dos principais resultados obtidos no estudo das derivadas foi a 
definição do teorema do valor médio (ou de Lagrange), que nos permite 
inferir sobre o comportamento de uma função – isto é, se a função cresce ou 
decresce em um intervalo – a partir dos valores tomados por sua derivada.
Para o estudo das integrais de Riemann, por sua vez, foi necessário 
antes estabelecer os conceitos de partição de um intervalo, bem como das 
somas superior e inferior de uma função com relação a uma partição.
Tendo em mãos esse ferramental, foi possível construir a definição 
de integral a partir do argumento geométrico – uma vez que a integral 
definida está intimamente relacionada à área delimitada pela curva de 
uma função num determinado intervalo. Com isso, pode‑se conceituar a 
integral definida como o limite da soma integral, quando o número n de 
divisões tende ao infinito, isto é:
bn 1
i i
maxh 0i i 0 a
lim f( ).h f(x)dx
−
→ =
ξ =∑ ∫
101
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Um dos resultados notórios desse conteúdo está na definição do teorema 
fundamental do cálculo, em que determinamos a relação entre uma função 
f(x) e sua primitiva F(x). Além disso, exploramos diferentes propriedades 
operatórias empregadas na resolução de problemas envolvendo o cálculo 
de integrais.
102
REFERÊNCIAS
Textuais
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. rev. e ampl. São Paulo: Edgard Blucher, 2006.
BARANENKOV, G. et al. Problemas e exercícios de análise matemática. Moscou: MIR, 1977.
BATARCE, M. S. Um contexto histórico para análise matemática para uma educação matemática. 2003. 
52 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2003.
D’AMBROSIO, U. Cálculo e introdução à análise. São Paulo: Nacional, 1975.
FIGUEIREDO, D. G. de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2004. v. 1.
LIMA, E. L. Curso de análise. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA; CNPq, 1976.
MANÇO, R. de F. Integrais e aplicações. 2016. 113 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática 
em Rede Nacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 
São Carlos, 2016.
103
104
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000