Slides de Aula - Unidade II COMPLEMENTOS DE ANÁLISE 7212-30_15402_R_E1_20222

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Unidade II
COMPLEMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
Prof. Gastón Henriquez
 Conceito de derivada de um ponto.
 Função derivável num ponto.
 Propriedades da derivada.
 Função derivável num intervalo.
 Teoremas principais.
 Fórmula de Taylor.
 Aplicações da fórmula de Taylor.
Introdução
 Definição
Devida em um Ponto
Acréscimo do argumento e acréscimo da função:
Se x0 e x1 são valores do argumento x e y0 = f(x0) e y1 = f(x1), os 
valores correspondentes da função Y= f(x), então, 
∆x = x1 – x0
é denominado do acréscimo do argumento x no segmento
[x0 x1] e ∆y = y1 – y0
ou ainda,
∆y = f(x1) – f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0)
é denominado de acréscimo da função y
neste mesmo segmento [x0x1].
Conceitos básicos
Observando o gráfico acima 
(no qual ∆x = MA e ∆y = AN) e considerando que:
tgα = 
 representa o coeficiente angular da secante MN do gráfico
da função; 
 y = f(x), esta razão é denominada de velocidade média de 
variação da função y no segmento [x0x0 + ∆x].
Conceitos básicos
Observando a reta secante MN, tem-se que:
Como a tgα é o limite da função no ponto, temos:
 “Aproximar a função nas proximidades de um dado ponto”. 
Conceitos básicos
 Sejam (isto é, x0 é um ponto de 
acumulação de X pertencente a R). Diz-se que f é derivável
no ponto x0 quando existir o limite
 No caso afirmativo, o limite f(x0) chama-se derivada de f no 
ponto x0.
 Sejam Diz-se que f é derivável no conjunto X 
quando existir a derivada de f em todos os pontos 
Conceitos básicos
Teorema: se existe a derivada f(x0), 
então f é contínua no pontox0.
De fato, se existe o Limite 
então existe também o Limite
Logo, f é contínua no ponto x0.
Conceitos básicos
Sabemos que é possível mostrar que se a derivada à direita existe, 
então f é contínua à direita de x0, isto é: 
De forma similar, se a derivada á esquerda existe, então f é 
contínua à esquerda de x0, isto é: 
 Assim, em particular, para que a f seja contínua no ponto x0, 
basta que existam as duas derivadas laterais e que esses 
valores sejam iguais. 
 Continuidade não implica derivabilidade, mas derivabilidade
implica continuidade. 
Conceitos básicos
Dado F:
Na função é possível afirmar:
a) f é derivável em 1.
b) f é contínua em 1.
c) f não é contínua em 1.
d) f não é derivável em 1.
e) As alternativas “a” e “b” estão corretas.
Exemplo
Resposta
Logo, o limite
existe, ou seja, f é derivável em 1. 
 Como f derivável em 1, ela é contínua neste ponto. 
Observe o gráfico abaixo:
Resposta
 Finalmente podemos afirmar que a alternativa certa 
é a letra “e”.
 A função é contínua e derivável em 1.
Resposta
Teorema
 Sejam f, g : X → R deriváveis no ponto 
 Então, se f ± g, : f.g e f / g (caso g(x0) ≠ 0) são deriváveis nesse 
mesmo ponto, tem-se:
Teorema
Teorema (Regra da Cadeia)
Sejam y = f(x) e x = g(y0) duas funções deriváveis,
com a Então, fog é derivável e vale:
 Supondo y = f(x) derivável em x0 e x = g(y) derivável em y0, 
sendo x0 = g(y0). 
 Para isso, vamos considerar uma função linear T, tangente ao 
gráfico de f em (x0 f(x0) dada por:
T(x) = f(x0) + f(x0)(x-x0)
Teorema
Observando o gráfico abaixo: 
 f(x) = T(x) + A(x)
 f(x) = f(x0) + f ´(x0)(x – x0) + A(x)
 f(x) – f(x0) = f ´(x0)(x – x0) + A(x)
Teorema
Teorema (Regra da Cadeia)
 Sejam y = f(u) e u = g(x) duas funções deriváveis, 
com Então a derivada da função composta y = 
f(g(x)) é deriváveis e vale:
(Derivada da função inversa)
 Seja uma função que possui inversa 
Se f é derivável no ponto e g é contínua em y0 = 
f(x0), então g é derivável em y0 se, e somente se, f(x0) ≠ 0.
No caso afirmativo: 
Teorema
Demonstração
 A continuidade de g no ponto y0 é consequência da 
continuidade de f no ponto x0, quando f for contínua
em todos os pontos de X. 
Como g é contínua no ponto x0, é possível afirmar que:
 Além disso, 
 Logo, 
Teorema
Assim, 
 Logo g´(y0) existe e é igual , quando f(x0) ≠ 0.
 Seja f : X → R derivável á direita no ponto . 
Se f(x0)+ > 0, então existe um ∂ > 0 tal que 
Teorema
 Se, 
 Existe um numero real positivo tal que para qualquer
 e, portanto, f(x) – f(x0) > 0.
Teorema
 Supondo as funções abaixo representadas em seus Domínios 
convenientes, assinale a alternativa falsa.
Interatividade
Resposta: alternativa “c”.
 Para se verificar a alternativa “a”, é necessário
obter a derivada da função f (x) = K, k é constante.
Diz-se que f é derivável quando existir o limite:
Resposta
 II) Para se verificar a alternativa “b”, é necessário
obter a derivada da função f(x) = x+b, a,b constantes: 
Diz-se que f é derivável quando existir o limite:
Resposta
 Para se verificar as alternativas “c” e “d”, é necessário
utilizar função composta Teorema (Regra da Cadeia).
Verificando a alternativa “c”:
 Portanto, esta alternativa é a solução da questão 
 Assim, a questão falsa é a “c”.
 Verificando a alternativa “d”:
Resposta
 III) Para se verificar a alternativa “e”, é necessário obter a 
derivada da função f(x) = senx. Diz-se que f é derivável quando 
existir o limite:
 Utilizando a relação trigonométrica:
 Tem-se: 
 f´(x) = cosx
Resposta
 Um ponto x1 em um intervalo [a,b] é chamado ponto de mínimo 
de f neste intervalo se f(x1) f(x) para todo x [a,b].
 Um resultado importante relacionado aos extremos de uma 
função é o Teorema de Weierstrass: se f é contínua em um 
intervalo [a,b], então existem neste intervalo ao menos um 
ponto de máximo e um ponto de mínimo.
 Com os conhecimentos que você acabou de adquirir, 
analise o gráfico abaixo:
Funções deriváveis num intervalo
 Admitindo o resultado de Weierstrass, vamos admitir que f 
tenha um máximo em isto é, a função atinja o ponto 
máximo num ponto interno do intervalo [a,b]. Então a derivada 
em x0 é dada por 
 Independentemente de x x0, pela direita ou pela esquerda.
 Supondo f(x) > 0, então para todo x suficientemente próximo de 
x0, 
 Se x estiver á direita de x0,
 isto é, 
 não é ponto de máximo. 
Funções deriváveis num intervalo
 Supondo f(x) < 0, então para todo x suficientemente próximo de 
 Se x estiver à esquerda de x0, neste caso x0 não é ponto
de máximo.
 Portanto, se f (x) > 0 e f(x) < 0, possibilidade então e f(x0)=0.
 Seja f : [a,b] → R. se f é derivável em (a,b) e atinge para um 
ponto um valor máximo (ou mínimo), então 
necessariamente f(x0) = 0.
Funções deriváveis num intervalo
 Seja f ; [a,b] →R contínua, tal que f(a) = f(b). Se f é derivável em 
(a,b), então existe um ponto x0 ∈ (a,b), em que f(x0) = 0.
Como f(x) é contínua, ela tem um máximo e um mínino em [a,b]. 
No entanto, existem duas possibilidades em relação a f(x):
 A função é constante no intervalo [a,b], qualquer x0 ∈ (a,b) 
serve para demonstrar o teorema, uma vez que a derivada de 
uma constante é zero.
 Existe algum x0 ∈ (a,b) tal que f(x) ≠ f(x0). Neste caso, existe um 
máximo ou um mínimo interno ao intervalo [a,b]. 
Teorema de Rolle
 Demonstrar que a função f(x) = x – x3 satisfaz as condições do 
Teorema de Rolle nos segmentos -1 ≤ x ≤ 0 e 0 ≤ x ≤ 1. 
Encontrar os valores correspondentes para x0. 
 Como a função é um polinômio, ela é contínua para todos os 
valores de x. Além disso, f(-1) = f(0) = f(1) = 0
 O que complementa as exigências de aplicabilidade do 
teorema. Para encontrarmos os correspondentes x0:
f´(x) = 1-3x2
f´(x0) = 1-3x0
2
1-3x0
2 = 0
Logo, 
Teorema de Rolle: exemplo
Teorema do Valor Médio (Lagrange)
 Seja f : [a,b] → R contínua. Se f é derivável em (a,b), existe um 
ponto c ∈ (a,b) tal que:
 Se uma função contínua f: [a,b] → R possui derivada nula em 
todos os pontos x ∈ (a,b), então f é constante. 
Teorema de Lagrange
Geometricamente,é possível visualizar a situação acima:
Teorema de Lagrange: exemplo
Como o coeficiente angular da reta s é:
e o coeficiente angular da reta tangente à
função f é f´(c), então: 
Teorema de Lagrange: exemplo
Para verificar a validade das condições
do Teorema de Lagrange na função:
 f(x) = x – x3 no segmento [-2,1] 
O valor intermediário “c” válido é:
a) 0
b) -1
c) 1
d) 2
e) -2
Exemplo
 Sabemos que 
 Pela fórmula de Lagrange:
 Assim, tomando c = 1, tem-se: -2 < e < 1, o que satisfaz as 
condições do teorema.
Resposta
Seja a soma dada pela expressão:
vale: 
a)
b)
c)
d)
e)
Funções: séries
Resposta: alternativa “c”.
Funções
Funções
Propriedades do somatório 
1. é uma constante
2.
Outras propriedades do somatório
1.
2.
3.
4. 
Funções
Funções
Seja a soma dada pela expressão:
O vale:
a) a
b) b)
c) c)
d) d)
e) f
Funções
Funções
O intervalo [-2,4] é dividido em n subintervalos 
de igual comprimento 
Seja ck o ponto médio do K-ésimo subintervalo. A expressão do limite
como integral é:
a) a)
b) b)
c) c)
d) d)
e) e)
Funções
 Resposta: alternativa “b”.
 Como os pontos médios ck foram escolhidos a partir dos 
intervalos da partição, esta expressão pode ser entendida como 
limite das somas de Riemann. Logo, a expressão que está 
sendo integrada é f(x) = 4x2 – 2x + 6 ao longo do
intervalo [-2,4]
Funções
Dada f : [0,4] → R, f(x) = 6 – x, o valor médio de f e o ponto do 
domínio dado em que assume este valor é:
a)
b)
c)
d)
e)
Interatividade
Resposta: alternativa “a”.
Teorema (do Valor Médio para Integral): seja uma função contínua 
f: [a,b] → R. Então existirá pelo menos um ponto 
em [a,b] tal que:
Logo, como f(x) = 6 – x é contínua em todo seu domínio 
(função polinomial):
Resposta
A Integral de Riemann
Sobre SUP e INF
 Seja a função real f: [a,b] → R, e limitada neste intervalo. Logo, 
existem números reais m e M, tais que m ≤ f(x) ≤ M, para todo x 
∈ [a,b] tal que o menor dos intervalos que contém os valores 
de f(x), x ∈ [a,b] é dado por m = inf{f(x); x ∈ [a,b]} 
e M = sup{f(x); x ∈ [a,b]}. 
 Portanto, seja a função real f: [a,b] → R, para que ela seja 
limitada em [a,b] é necessário e suficiente que exista um k > 0, 
tal que lf(x) ≤, para todo x ∈ [a,b]
Riemann
Soma Inferior e Soma Superior da função
em relação a uma partição P
Denominando a soma inferior como s(f,P) e a soma superior como 
s(f,P):
e 
Se m representa o ínfimo e M o supremo da função 
em [a,b], então:
para toda participação P do intervalo [a,b].
Soma inferior e superior em P
Introdução de Riemann
 O conceito de integral definida está intimamente ligado à noção 
de área. Diferentemente do que sugere a disposição dos livros 
didáticos, este conceito é anterior à noção de diferencial e 
remonta aos matemáticos gregos. Para se entender o 
encaminhamento dado em sua constituição, vamos considerar 
uma função contínua, conforme a figura abaixo.
Integral de Riemann
 Vamos supor t, um ponto qualquer no intervalo [a,b]. Logo, 
a área da figura relativa ao intervalo [a,b] depende de t, isto é, 
é uma função de t. Chamando esta função de A(t) e calculando 
sua derivada ao tomarmos um ponto próximo t + h:
Integral de Riemann
 Sendo h > 0 e se considerarmos m o menor valor da função no 
intervalo [t+h] e por M seu maior valor, a área relativa ao 
intervalo [t+h], que obviamente é a diferença A(t+h) – A(t), 
estará compreendida entre as áreas dos retângulos de base h e 
altura M e o retângulo de base h e altura m.
 Ou seja, m.h ≤ A(t + h) – A(t) ≤ M.h
Integral de Riemann
Assim,
quando h → , m e M vão tender a f(t), 
logo:
ou 
chama-se primitiva de uma função 
f: [a,b] → R a uma função derivável F : [a,b] → R, tal que F´= f. 
Integral de Riemann
Funções integráveis
 Seja f: [a,b] → R uma função limitada e os Sup. Mi e o Inf mi
tomados em relação as partições, com amplitude hi, do 
intervalo [a,b]:
Funções integráveis
Considerando F : [a,b] → R uma função limitada:
Denominado como integral inferior, temos:
Observação: a integral é o supremo das somas inferiores.
Denominado como integral inferior, temos:
Observação: a integral é o ínfimo das somas . 
Uma função limitada 
f : [a.b] → R e dita integrável quando:
Funções integráveis
Soma Integral. Seja uma função limitada f : [a,b] → R e a = x0 < x1< 
... < xn = b, uma divisão arbitrária deste segmento em n partes. A 
soma da forma
em que recebe o nome de Soma Integral da 
função f(x) em [a,b].
Integral Definida. O limite da Sn, quando o número de partes n de 
divisões tende ao infinito e a maior das diferenças h: tende a zero, 
chama-se Integral definida da função f(x) entre os limites
x = a e x = b, isto é, 
Funções integráveis
1. Dada a função f : [1,10] → R, obter a soma integral 
de f(x) = 1 + x.
Funções integráveis: exemplo
Funções integráveis: exemplo
Sabemos que:
Funções integráveis: exemplo
A área limitada pelo arco da parábola 
Y = x2 pelo eixo X e pela Reta x = a, (a > 0) é:
a) a3
b) a/3
c) a2/3
d) a3/3
e) a2
Interatividade
Resposta: alternativa “d”.
Resposta
Utilizando a fórmula da soma dos quadrados dos números 
inteiros:
Fazendo t = n -1
Resposta
Resposta
Teorema do Valor para Integral
 Seja uma função contínua f: [a,b] → R. Então existirá pelos 
menos um ponto c em [a,b] tal que 
Teorema do valor médio
Dada f : [0,4] → R , f(x) = 6 – x, o valor médio de f e o ponto do 
domínio dado em que assume este valor é:
a)
b)
c)
d)
e)
Teorema do valor médio: exemplo
Teorema (do Valor Médio para Integral). Seja uma função contínua 
f: [a,b] → R. Então existirá pelo menos um ponto 
c em [a.b] tal que:
Logo, como f(x) = 6 - x é contínua em todo seu domínio
(função polinomial).
Exemplo
Então, o valor médio de f(x) = 6 -x ao longo do intervalo [0,4] é 4. A 
função assume esse valor quando 4 = 6 - x ou x = 2. 
Observe o gráfico a seguir:
 A alternativa correta é “a”.
Exemplo
Teorema Fundamental do Cálculo
Se uma função integrável f: [a,b] → R possui uma primitiva F : 
[a,b] →R, então:
ou, se uma função F : [a,b] → R possui derivada integrável, então:
Teorema fundamental do cálculo
Sejam f, g :[a,b] → R integráveis. Então:
a) Para a < c < b, |[a,c] e f|[c,b] são integráveis e se tem
 Reciprocamente, se f|[a,b] e f|[c,b] são integráveis, então f é 
integrável, e vale a igualdade acima. 
Propriedades da integral
Demonstração
Sejam:
Então:
Propriedades da integral
Propriedades da integral
b) Para todo c ∈ R, c.f é integrável e 
c) f + g é integrável e 
d) Se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a,b], então, 
Propriedades da integral
Em particular, se f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [a,b], então:
e) f(x) é integrável e tem-se
Observação: como consequência de “d” e “e” tem-se que, se |f(x)| 
≤ K para todo x ∈ [a,b], então:
f) O produto de f.g é integrável. 
Propriedades da integral
Dada a função f[-1,3] → R. A soma integral de f(x) = 4 é igual a:
a) a)
b) b)
c) c
d) As alternativas “a” e “b” são equivalentes.
e) A alternativa “a” está parcialmente correta.
Exemplo 
Resposta 
O intervalo [-2,4] é dividido em n subintervalos
de igual comprimento 
Seja Ck o ponto médio do K-ésimo subintervalo. A expressão
do limite como integral é:
a) a)
b) b)
c) c)
d) d)
e) e)
Interatividade
 Resposta: alternativa “b”.
 Como os pontos médios Ck foram escolhidos a partir dos 
intervalos da partidão, esta expressão pode ser entendida como 
limite das somas de Riemann.
 Logo, a expressão que está sendo integrada
é f(x) = 4x2 - 2x + 6 ao longo do intervalo [-2,4]. De fato:
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!