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APRESENTAÇÃO
Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três 
séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-
lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que 
melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.
A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-
tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-
dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito 
crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas, 
histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de 
dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-
jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.
As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante 
situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos 
privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de 
questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada 
região brasileira.
Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia 
intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o 
aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.
Gerente Editorial
Matemática Básica
Livro do Professor
© Editora Positivo Ltda., 2013
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
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Divanzir Padilha (Divo) / Theo / Angela Giseli / Roberto Carlos Lopes
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2014
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Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
L852 Longen, Adilson.
Ensino médio : modular : matemática : matemática básica / Adilson Longen ; ilustrações 
Divanzir Padilha (Divo) ... [et al.]. – Curitiba : Positivo, 2013.
: il.
ISBN 978-85-385-7433-0 (livro do aluno)
ISBN 978-85-385-7434-7 (livro do professor)
1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Padilha, Divanzir (Divo). II. 
Título. 
CDU 373.33
Neste livro, você encontra ícones 
com códigos de acesso aos 
conteúdos digitais. Veja o exemplo:
Acesse o Portal e digite o código 
na Pesquisa Escolar.
@MAT809Cubos
@MAT809
SUMÁRIO
Unidade 1: Matemática Básica
Aritmética 5
Potenciação 10
Notação científica 13
Radiciação 15
Produtos notáveis 21
Fatoração 25
Equações do 1o. grau 28
Sistemas de equações do 1o. grau 33
Equações do 2o. grau 37
Relação entre coeficientes e raízes 42
Equações especiais 45
Números proporcionais – I 49
Números proporcionais – II 57
Matemática Básica4
Matemática Básica1
O abandono da matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele 
que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou coisas do mundo.
Roger Bacon
BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 
São Paulo: Edgard Blücher, 1996. p. 169.
Ensino Médio | Modular 5
MATEMÁTICA
Aritmética
1. Considerando um ano 0, escreva a sequência que representa o número de anos que decorrem para que 
os planetas Júpiter, Saturno e Urano completem 1, 2, 3, 4, ... períodos em torno do Sol. Escreva essas 
sequências até encontrar um número que seja comum às três sequencias.
Júpiter = 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 276, 288, 
300, 312, 324, 336, 348, 360, 372, 384, 396, 408, 420, ...
Saturno = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, ...
Urano = 0, 84, 168, 252, 336, 420, ...
2. O que foi possível observar quanto ao número comum às três sequências?
Pode ser que o aluno tenha várias conclusões, mas é importante destacar que esse número (420) é o menor múltiplo 
de 12, 30 e 84, ou seja, o mínimo múltiplo comum de 12, 30 e 84. O próximo alinhamento dos planetas idêntico ao da 
observação ocorrerá após 420 anos. 
Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm perío-
dos de revolução em torno do Sol de aproximada-
mente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Após uma 
observação, quanto tempo decorrerá para que esses 
três planetas voltem a ocupar simultaneamente as 
mesmas posições ocupadas nessa observação?
O problema apresentado terá como solução a 
quantidade em anos correspondente ao mínimo 
múltiplo comum entre os números 12, 30 e 84.
Esta aula tem por objetivo o estudo de tópicos 
importantes da Aritmética básica.
D
iv
an
zi
r P
ad
ilh
a
Múltiplos de um número
Múltiplo de um número natural não nulo é qualquer número natural resultante da multiplicação 
de um natural pelo número dado. Representando por M(4) o conjunto formado por todos os naturais 
que são múltiplos de 4, temos:
M(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; ...}
4 . 0 4 . 2 4 . 4 4 . 6
 4 . 1 4 . 3 4 . 5 4 . 7
Observação: um número que é múltiplo de 4 é divisível por 4.
Assim:
Números 
primos e 
compostos
@MAT2916
Decomposição 
em fatores 
primos
@MAT2784
28 é múltiplo de 4 equivale a dizer que 28 é divisível por 4.
Divisores de um número
Números primos
Quando um número natural admitir apenas dois divisores naturais diferentes (o número 1 e o próprio 
número), será denominado número primo.
O quadro abaixo contém os números primos que são menores que 100:
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
Representando por D(n) o conjunto dos divisores de um número natural, temos, como exemplos:
D(2) = {1; 2}
D(3) = {1; 3}
D(5) = {1; 5}
D(7) = {1; 7}
Observações
 o número 0 (zero) não é primo;
 o número 1 (um) não é primo.
Decomposição em fatores primos
Qualquer número natural diferente de zero que possui 
mais do que dois divisores naturais é chamado de número 
composto.
Exemplo
O número 20 é composto, pois D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Todo número natural composto pode ser decomposto 
em fatores primos. Essa decomposição 
se faz por meio de sucessivas divisões 
por números primos.
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Decompor em fatores primos o número 60:
 60 = 6 . 10
 
 
 60 = 2 . 3 . 5 . 2 
 60 = 22 . 3 . 5
 60 = 30 . 2
 
 60 = 15 . 2 . 2
 
 60 = 3 . 5 . 2 . 2
 60 = 22 . 3 . 5
Matemática Básica6
Portanto:
60 = 22 . 3 . 5
Existe um mecanismo prático que indica as divisões su-
cessivas:
60 2 60 : 2 = 30
30 2 30 : 2 = 15
15 3 15 : 3 = 5
 5 5 5 : 5 = 1
 1
60 = 22 . 3 . 5
Exemplo 2
Decompor em fatores primos o número 84:
84 2
42 2
21 3
7 7
1
84 = 22 . 3 . 7
fatores 
primos
Como encontraros divisores naturais de um número natural?
Quando o número natural é pequeno, encontrar seus 
divisores não representa nenhuma dificuldade: pode ser por 
tentativa. Entretanto, uma maneira interessante e prática é 
por meio da decomposição em fatores primos.
Antes de mostrar esse mecanismo prático, vamos observar 
os produtos das potências de fatores primos do número 60:
60 = 22 . 3 . 5
ou
60 = 22 . 31 . 51
Considere as potências contidas em cada coluna:
20 
 30 50
21
 31 51
22 
Vamos multiplicar os elementos três a três, sendo um 
de cada coluna:
20 . 30 . 50 = 1 
20 . 30 . 51 = 5
20 . 31 . 50 = 3
20 . 31 . 51 = 15
21 . 30 . 50 = 2
21 . 30 . 51 = 10 
divisores de 60
21 . 31 . 50 = 6
21 . 31 . 51 = 30
22 . 30 . 50 = 4
22 . 30 . 51 = 20
22 . 31 . 50 = 12
22 . 31 . 51 = 60
Agora, vamos pela decomposição:
 Decompomos o número em fatores primos:
60 2
30 2
15 3
5 5
1
 Multiplicamos cada fator primo pelos números que 
estão à direita e acima dele no dispositivo:
1
60 2 2
30 2 4
15 3 3; 6; 12
5 5 5; 10; 20; 15; 30; 60
1
Portanto:
D(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}
Th
eo
 C
or
de
iro
Você verá que, a 
partir dos fatores 
primos de um número, 
podemos encontrar 
todos os seus divisores 
naturais.
Uma dona de casa compra mensalmente 16 kg de feijão, 24 kg de arroz e 8 kg de lentilha. 
Ela separa esses alimentos em porções individuais com a mesma quantidade em cada uma 
e cada porção tem apenas um tipo de alimento. Qual é a menor quantidade de porções que 
ela pode ter e quantos quilogramas tem em cada porção? 
Ela pode fazer porções de 1 kg cada, então teria 16 porções de feijão, 24 porções de arroz e 8 porções de 
lentilha, ou fazer porções de 2 kg cada, então teria 8 porções de feijão, 12 porções de arroz e 4 porções de 
lentilha, ou fazer porções de 4 kg, então teria 4 porções de feijão, 6 porções de arroz e 2 porções de lentilha, ou 
fazer porções de 8 kg, então teria 2 porções de feijão, 3 porções de arroz e 1 porção de lentilha, e essa seria a 
menor quantidade de porções que poderia fazer. O número 8, portanto, é o maior número que divide 16, 24 e 8 
simultaneamente, logo é o mdc de 16, 24 e 8. 
Máximo divisor comum
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
7
FÍSICAMATEMÁTICA
O máximo divisor comum de dois ou mais números natu-
rais é obtido pela intersecção entre os conjuntos dos divisores 
desses números. O maior número natural nessa intersecção 
é o máximo divisor comum.
Existe uma maneira 
prática de se obter o 
máximo divisor comum de 
números naturais?
Th
e 
Co
rd
ei
ro
Vamos observar duas outras maneiras de chegarmos ao 
máximo divisor comum.
Exemplo: Obter o máximo divisor comum dos números 
36 e 24.
 1o. modo:
1
36 2 2
18 2 4
9 3 3; 6; 12
3 3 9; 18; 36
1
divisores 
de 36
 D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
1
24 2 2
12 2 4
6 2 8
3 3 3; 6; 12; 24
1
 D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
 Assim:
 mdc {36; 24} = máximo {D(36) ∩ D(24)}
 mdc {36; 24} = máximo {1; 2; 3; 4; 6; 12}
 mdc {36; 24} = 12
 2o. modo:
 O mdc é obtido multiplicando-se os fatores primos 
comuns e com os menores expoentes.
 24 = 23 . 31
 36 = 22 . 32
 mdc {24; 36} = 22 . 31 = 12
 Agora vamos utilizar o mecanismo prático, que nada mais 
é do que a decomposição simultânea em fatores primos:
24; 36 2
12; 18 2
6; 9 2
3; 9 3
1; 3 3
1
dividem
simultaneamente
mdc {24; 36} = 2 . 2 . 3 = 12
Você vai observar 
que esse mesmo 
processo serve para 
se obter o mínimo 
múltiplo comum.
Th
eo
 C
or
de
iro
Observação
Quando dois números naturais possuem como único divi-
sor comum a unidade (número 1), são denominados números 
primos entre si.
Mínimo 
múltiplo comum
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números natu-
rais é obtido pela intersecção entre os conjuntos dos múltiplos 
não nulos desses números. O menor número natural nessa 
intersecção é o mínimo múltiplo comum.
Exemplo:
Obter o mínimo múltiplo comum dos números 12 e 18.
 1o. modo:
 M(12) = {12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; ...}
 M(18) = {18; 36; 54; 72; 90; 108; ...}
 Assim:
 mmc {12; 18} = mínimo {M(12) ∩ M(18)}
 mmc {12; 18} = mínimo {36; 72; 108; ...}
 mmc {12; 18} = 36
 2o. modo:
 O mmc é o produto de todos os fatores primos dos 
números, considerados uma única vez, apenas os de 
maior expoente.
Matemática Básica8
 1. (CESGRANRIO – RJ) O máximo divisor comum de 
20 e 32 é:
 a) 1 b) 2 X c) 4 d) 8 e) 16 
 2. (FUVEST – SP) Sabendo-se que mdc (360, 300) = a e 
mmc (360, 300) = b, então o produto a . b é igual a:
Observação: mmc (x, y) . mdc (x, y) = x . y
 a) 1 080 000 X b) 108 000 c) 1 080
 d) 10 800 e) 108
 3. (Olimpíada de Matemática – SP) Um número pri-
mo tem:
X a) só dois divisores;
 b) nenhum divisor;
 c) apenas um divisor;
 d) mais do que dois divisores;
 e) 3 divisores.
 4. (MAPOFEI – SP) O mdc dos números 36, 40 e 56 é:
X a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 2 
 5. (UNIMONTES – MG) Cada um dos números intei-
ros a = 22 . 3x . 5y e b = 2z . 32 admite 18 diviso-
res positivos e o mdc (a, b) = 12. Os valores de a 
e b são, respectivamente:
X a) 300 e 288 b) 300 e 144
 c) 144 e 288 d) 600 e 576
 e) 288 e 300
 6. (UCPel – RS) Dado o conjunto {5, 10, 20, 40, 
80, ...}, seus elementos podem ser descritos por:
 a) { x ∈ R | x = 5n}, n ∈ N*
 b) { x ∈ R | x = 5n – 1}, n ∈ N
X c) { x ∈ R | x = 5 . 2n – 1}, n ∈ N*
 d) { x ∈ R | x = 2 . 5n – 1}, n ∈ N*
 e) { x ∈ R | x = 2 . 5n}, n ∈ N
 7. (UNESP – SP) Imagine os números inteiros não 
negativos formando a seguinte tabela:
0 3 6 9 12...
1 4 7 10 13...
2 5 8 11 14...
a) Em que linha da tabela se encontra o número 
319? Por quê? 2a. linha.
b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê?
107a. coluna.
 12 = 22 . 3
 18 = 2 . 32
 mmc {12; 18} = 22 . 32 = 36
 E como seria o mmc {60; 18}?
 60 = 22 . 3 . 5
 18 = 2 . 32
 mmc { 60; 18} = 22 . 32 . 5 = 180
Há também um mecanismo prático que possibilita a 
obtenção do mmc pela decomposição simultânea em fatores 
primos dos números considerados. O produto de todos esses 
fatores é o mmc:
12; 18 2
6; 9 2
3; 9 3
1; 3 3
1
mmc {12; 18} = 22 . 32 = 36
Vamos, agora, obter a solução do problema apresentado 
na introdução desta aula:
12; 30; 84 2
6; 15; 42 2
3; 15; 21 3
1; 5; 7 5
1; 7 7
1
mmc {12; 30; 84} = 22 . 3 . 5 . 7
mmc {12; 30; 84} = 420
Portanto, 420 anos após a observação.
 Este ícone indica que há respostas e/ou comentários nas Orientações Metodológicas.
1 (CESGRANR
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
9
FÍSICAMATEMÁTICA
Potenciação
Observe a situação a seguir, envolvendo o lançamento de 1 dado, 2 dados, 3 dados e, assim, 
sucessivamente.
 No lançamento de um dado, existem 6 resultados possíveis:
 No lançamento de dois dados, existem 36 resultados possíveis:
Na tabela ao lado, complete a 
segunda coluna com o número de 
resultados a partir do número de 
dados da primeira coluna:
Número de dados Número de resultados
1
2
3
4
...
6
36
216
1 296
...
Matemática Básica10
Observe que o número de resultados possíveis é uma 
potência de seis:
 6 = 61
 36 = 62
 216 = 63
1 296 = 64
…
Como o expoente indica o número de dados lançados 
em cada situação considerada, podemos generalizar tal re-
sultado:
O número de resultados possíveis no lançamento de 
n dados pode ser representado por 6n.
Potenciação
Certos cálculos aritméticos são resolvidos por meio de 
procedimentos que demandam muito tempo. É possível, en-
tretanto, simplificar esses cálculos. Para ilustrar, observe que 
podemos calcular os resultados de certas divisões mediante 
uma simples subtração.
Vamos considerar as potências do quadro abaixo.
416 = 4 294 967 296
49 = 262 144
47 = 16 384
Como você faria, sem calculadora, para obter o quociente 
do número 4 294 967 296 por 16 384? Certamente, proce-
deria usando o algoritmo da divisão, que demandaria certo 
esforço e paciência. Se você conhecesse uma propriedade da 
potenciação, bastaria, diante dos dados fornecidos, efetuara 
subtração 16 – 7 = 9 e, a seguir, apontar a resposta 262 144.
A potenciação utiliza propriedades básicas que minimi-
zam os cálculos. Podemos até dizer que uma multiplicação é 
transformada numa adição, e uma divisão, numa subtração.
Dado um número real a qualquer e sendo n um 
número natural diferente de zero, a potência an é de-
finida como an = a . a . a . (...) . a, ou seja, o produto 
de n fatores iguais ao número a.
n fatores
Exemplo
202 = 20 . 20 = 400
(– 3)4 = (– 3) . (– 3) . (– 3) . (– 3) = 81
0,15 = 0,1 . 0,1 . 0,1 . 0,1 . 0,1 = 0,00001
Observações
1. Por definição, considera-se que a1 = a, pois não há produto 
com um único fator.
2. Na potenciação an = b, temos os seguintes termos:
 a: base; n: expoente; b: potência.
3. Embora na definição tenha sido considerado o expoente 
como sendo um número natural, intuitivamente podemos 
trabalhar com expoentes inteiros. Assim, veja se você con-
segue completar os valores das potências, substituindo 
a interrogação por número:
25 = 32
24 = 16
23 = 8 
22 = 4 
21 = 2 
20 = ? 
2–1 = ?
2–2 = ?
2–3 = ?
2–4 = ?
2–5 = ?
Uma 
consequência da 
propriedade 1, que 
você verá a seguir, 
pode explicar melhor 
como proceder com 
expoente negativo.
Th
eo
 C
or
de
iro
As propriedades a seguir são consequências da definição 
apresentada de potenciação. Essas propriedades serão muito 
utilizadas na simplificação de cálculos.
Propriedade 1
Na multiplicação de potências de mesma 
base, a potência resultante é obtida conservan-
do-se a base e adicionando-se os expoentes:
am . an = am + n
Exemplo:
56 . 53 = (5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5) . (5 . 5 . 5)
56 . 53 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5
56 . 53 = 59 = 56 + 3
Convenção:
O valor de a0 pode agora ser validado conforme a pro-
priedade 1 vista anteriormente, ou seja:
a0 . a1 = a0 + 1 = a1
Portanto, a0 . a1 = a1, então a0 precisa ser igual a 1, o 
que justifica a convenção a0 = 1.
Observação
A potência 00 não está definida.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
11
FÍSICAMATEMÁTICA
Importante
Podemos estender a noção de potência an para n inteiro 
(positivo ou negativo), mantendo válida a propriedade 1, ou seja:
1 = a0 = a–n + n = a–n . an
Portanto, a potência a–n pode ser considerada como sendo
a–n = 
Importante
Podemos estender a noção de potência an para 
n inteiro (positivo ou negativo), mantendo válida a 
propriedade 1, ou seja:
1 = a0 = a–n + n = a–n . an
Portanto, a potência a–n pode ser considerada como 
sendo
a–n = 1
an
 
Propriedade 2
Na divisão de potências de mesma base, a 
potência resultante é obtida conservando-se a 
base e subtraindo-se os expoentes:
am ÷ an = am – n
Exemplo
57 ÷ 54 = 5
5
7
4
57 ÷ 54 = 
5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5
. . . . . .
. . .
57 ÷ 54 = 5 . 5 . 5 = 53 = 57 – 4
Propriedade 3
Na potência de potência, o resultado é obtido con-
servando-se a base e multiplicando-se os expoentes: 
(am)n = am . n
Exemplo
(54)3 = 54 . 54 . 54
(54)3 = (5 . 5 . 5 . 5) . (5 . 5 . 5 . 5) . (5 . 5 . 5 . 5)
(54)3 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5
(54)3 = 512 = 54 . 3
A propriedade 3 é 
uma consequência 
imediata da 
propriedade 1.
Th
eo
 C
or
de
iro
(am)n ≠ am
n
Atenção!
Exemplo
 23
4
 = 23 . 3 . 3 . 3 = 281
 (23)
4
 = 23 . 23 . 23 . 23 = 23 + 3 + 3 + 3 = 212
 Logo, (23)
4
 ≠ 23
4
Propriedade 4
A potência de um produto de dois ou mais 
fatores pode ser calculada elevando-se cada 
termo do produto ao mesmo expoente:
(a . b)n = an . bn
Exemplo
(3 . 5)4 = (3 . 5) . (3 . 5) . (3 . 5) . (3 . 5)
(3 . 5)4 = (3 . 3 . 3 . 3) . (5 . 5 . 5. 5)
(3 . 5)4 = 34 . 54
Propriedade 5
A potência de um quociente é o quociente 
das potências:
a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= (Onde b ≠ 0)
Exemplo
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
4
4 4
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
. . .
Observação
Essa propriedade é consequência da propriedade 4.
Potências de base 10
As potências de base 10 aparecem com muita fre quência 
na Física e na Química, quando se trabalha com grandezas 
micro ou macroscópicas.
Observe algumas potências de 10:
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
104 = 10 000
Matemática Básica12
105 = 100 000
106 = 1 000 000
107 = 10 000 000
O expoente 
da base 10 corresponde 
ao número de zeros da 
potência resultante.
Th
eo
 C
or
de
iro
Assim:
108 = 100 000 000 8 zeros
Genericamente, podemos dizer que:
10n = 100 000 (...) 000 
 n zeros
Veja o que ocorre quando o expoente do 10 é um número 
inteiro negativo:
10–1 = 1
10
 = 0,1
10–2 = 1
102
 = 0,01
10–3 = 1
103
 = 0,001
10–4 = 1
104
 = 0,0001
10–5 = 1
105
 = 0,00001
10–6 = 1
106
 = 0,000001
10–7 = 1
107
 = 0,0000001
Agora, o número 
que está no expoente, 
sem o sinal, indica o nú-
mero de casas decimais 
da potência
resultante.
Th
eo
 C
or
de
iro
Assim:
10–8 = 0,00000001 8 casas decimais
Portanto:
10–n = 
1
10n
 = 0,000(...)001 
 n casas decimais
Notação científica
A distância média do nosso planeta até o Sol é de 149 600 000 000 m.
D
iv
an
zi
r P
ad
ilh
a
Conversão de 
um número 
em notação 
científica
@MAT961
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
13
FÍSICAMATEMÁTICA
Escrever a distância do Sol à Terra e a massa do elétron em notação científica, ou seja, em dois fatores 
nos quais o 1º. é um número igual ou superior a 1 e menor que 10 e o 2º. fator é uma potência de base 10.
Um número estará escrito na notação científica quando aparecer como a multiplicação de dois 
números reais, em que:
 um dos fatores é um número α pertencente ao intervalo [1, 10);
 o outro fator é uma potência de base dez.
α . 10n, 1 ≤ α < 10
Exemplos
 7,28 . 1032
 4,001 . 10–5
 6,05 . 10–34
149 600 000 000 m = 1,496 . 1011 m
0,000000000000000000000000000911 = 9,11 . 10–28 g
A massa de um elétron é de aproximadamente 
0,000000000000000000000000000911 g.
É muito comum nos meios científicos a manipula-
ção de números muito grandes, envolvendo grandezas 
macroscópicas, ou extremamente pequenos, relacio-
nados com grandezas microscópicas.
Por isso, existe a necessidade de uma notação es-
pecial para esses números que facilite tanto a escrita 
quanto os cálculos a eles relacionados. Essa notação 
especial é chamada notação científica.
 1. (UEL – PR) Efetuando-se (0,1)3 x (0,2 : 0,04), 
obtém-se: 
 
X a) 0,005
 b) 0,015
 c) 0,05
 d) 0,15
 e) 0,5
 2. (EFOA – MG) Qual dos números abaixo é 
igual a 0,000000375? 
 a) (0,175 + 0,2) . 10–7
 b) 3
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . 10–5
X c) 3
3
4
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . 10
–7 
 d) 375
10 6−
 e) 375 . 109
 3. (UFBA) Simplificando a expressão 
6 10 10 10
6 10 10
3 4 8
1 4
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
− −
−
, obteremos: 
1.1111111 (U(U(((( EEL –– PR)
A
ng
el
a 
G
is
el
i
Matemática Básica14
 a) 100 b) 10–1 X c) 10–2
 d) 10–3 e) 10–4
 4. (CEFET – PR) Assinale a afirmativa correta:
 a) 43
2
= (43)2
X b) 43
2 3)2
 c) (43)
2
 = 49
 d) (43)
2 2)3
 e) 43
2
= 42
3
 5. (CESGRANRIO – RJ) A representação decimal 
de (0,01)3 é:
 a) 0,03 b) 0,0001
 c) 0,001 X d) 0,000001
 e) 0,003
 6. (CESCEM – SP) Simplificando a expressão 
[29 : (22 . 2)3]–3, obteremos: 
 a) 2–30 X b) 1 c) 2–6
 d) 236 e) 2
 7. Se b > 0 e se m, p e q são inteiros positivos, 
então 
b
p
q
m
−⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
 é igual a: 
 a) b
qm
p b) b
mq p
m
−
 X c) 1
b
pm
q⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 d) 1
b
qm
b⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 e) 1
b
mq p
m⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
 8. (OSEC – SP) Sabendo-se que a2 = 56, b3 = 57, 
c4 = 58 e que a e c são dois números reais de 
mesmo sinal, ao escrever (a b c)9 como potên-
cia de base 5, qual o valor do expoente?
 9. (MACK – SP) Considere as seguintes afirmações:
 1) (0,001)–3 = 109
 2) –2–2 = 1/4
 3) (a–1 + b–1)–2 = a2 + b2
Associando V ou F a cada afirmação, nesta or-
dem, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se
 a) V – V – V
 b) V – V – F
 c) V – F – V
 d) F – V – F
X e) V – F – F
10. (CEFET – RJ) Das sentenças a seguir, a que não 
é verdadeira é: 
 a) (2/3)2 = (3/2)–2
X b) (0,1)–2 = 1/100
 c) x–1 = x se x = 1
 d) (–2)0 = 1
 e) (2/3) < (3/2)
RadiciaçãoNos cálculos que efetuamos, as operações aritméticas envolvendo números sempre aparecem em 
duplas, ou seja:
adição e subtração
multiplicação e divisão
potenciação e radiciaçãoO que uma delas 
faz, a outra 
correspondente 
desfaz.
Th
eo
 C
or
de
iro
Observe
 2 + 7 = 9 é equivalente a 7 = 9 – 2
 2 . 10 = 20 é equivalente a 10 = 20 : 2
 53 = 125 é equivalente a 5 = 1253
Vamos estudar, nesta unidade, a radiciação de números reais.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
15
FÍSICAMATEMÁTICA
O quadrado abaixo é formado por 256 quadradinhos menores e de mesmo tamanho:
O número de quadradinhos existentes no quadrado 
pode ser obtido pela potência:
162 = 256
Observe que 162 = 16 . 16, ou seja, o número total é o 
produto do número de quadradinhos existentes em cada 
linha pelo número de linhas.
Assim:
256 16=
 
n.o de quadradinhos 
em cada linha
16
16
A radiciação permite 
obter o número de quadradinhos 
em cada linha ou em cada coluna, 
conhecendo-se o número total de 
quadradinhos existentes.
Th
eo
 C
or
de
iro
a) Se um quadrado é dividido em 400 quadradinhos idênticos, quantos quadradinhos existem em cada linha 
e cada coluna? = 20 quadradinhos. 
b) E se o quadrado tiver 121 quadradinhos idênticos, quantos quadradinhos existem em cada linha e cada coluna?
 = 11 quadradinhos. 
400
121
O estudo de radicais tem a finalidade de complementar 
o assunto potenciação, uma vez que a radiciação pode ser 
definida como potenciação com expoente fracionário.
Define-se como raiz de índice n 
de um número a o número x tal que 
elevado a n resulta em a, ou seja:
n a = x ⇔ xn = a
Observação
Exemplos:
3 8 = 2 ⇔ 23 = 8
5 243 = 3 ⇔ 35 = 243
16 = 4 ⇔ 42 = 16 
Importante
Em todo radical cujo índice é um número par, 
a raiz considerada é sempre a positiva.
n a = x
índice
radicando
raiz
Matemática Básica16
Atenção!
 No conjunto dos números reais, se o radicando for um 
número negativo e o índice do radical for par, a raiz não 
é definida.
Quando 
você estudar números 
complexos, terá a oportunida-
de de extrair raiz quadrada, 
por exemplo, de números 
negativos.
Th
eo
 C
or
de
iro
Propriedades
Assim como a potenciação, a radiciação permite a exis-
tência de algumas propriedades que tornam possível a sim-
plificação de cálculos envolvendo radicais.
Propriedade 1
O radical, de uma potência qualquer, 
quando é definido, pode ser obtido como 
potência de expoente fracionário:
n am = a
m
n
Exemplos
 5 5
1
2=
 5 523
2
3=
Observação
Como consequência imediata dessa propriedade, temos:
 a a a a
mxnx
mx
nx
m
n mn= = =
 a a a ann
n
n= = =1
Propriedade 2
O radical de um produto pode ser escrito 
como o produto dos radicais, quando estes 
forem definidos:
a b a bn n n⋅ = ⋅
Exemplos
 16 25 16 25 4 5 20⋅ = ⋅ = ⋅ =
 8 27 8 27 2 3 63 3 3⋅ = ⋅ = ⋅ =
Observações
1. Em caso de índice par, os radicandos devem ser positivos.
2. Podemos usar a potenciação para justificar essa proprie-
dade, ou seja:
a b a b a b a bn n n n n n⋅ = ⋅( ) = ⋅ = ⋅
1 1 1
Propriedade 3
O radical de um quociente pode ser escrito 
como o quociente dos radicais, quando estes 
forem definidos:
a
b
a
b
n
n
n
=
Exemplos
 
16
25
16
25
4
5
= = 
 
8
27
8
27
2
3
3
3
3
= =
Observações
1. Em caso de índice par, os radicandos devem ser positivos.
2. Podemos utilizar a potenciação para justificar essa pro-
priedade, ou seja:
a
b
a
b
a
b
a
b
n
n n
n
n
n
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =
1 1
1
 
Propriedade 4
O radical de outro radical é obtido por meio 
de um terceiro radical, cujo índice é o produto 
dos índices dos radicais dados:
a = amn
n . m
Exemplos
 10 10 10
2 2 4= =.
 7 7 7
43 3 4 12= =.
Cálculo da 
raiz de uma 
raiz
@MAT1675
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FÍSICA
17
FÍSICAMATEMÁTICA
Observações
1. Em caso de índice par, o radicando deve ser positivo.
2. Podemos utilizar a potenciação para justificar essa pro-
priedade, ou seja:
a a a a a
mn m n m n m n m n= ( ) = = =
1 1 1 1
( ) .
.
Importante
Um número que multiplica um radical pode ser in-
troduzido no radical, desde que fique elevado ao índice:
a b a bn nn⋅ = ⋅
Radicais semelhantes: 
adição e subtração
Considere a expressão algébrica: 10x + 2x – 7x + 15x.
Como todos os termos dessa expressão são semelhantes, 
podemos reduzir a um termo apenas, ou seja:
10x + 2x – 7x + 15x = (10 + 2 – 7 + 15) . x = 20x
reduzindo a um termo
A ideia de termos semelhantes também ocorre quando 
a expressão contém radicais.
Dois ou mais radicais são classificados como radicais 
semelhantes se, e somente se, possuírem o mesmo índice 
e o mesmo radicando.
Exemplos
1. 2 10 8 10 e
 índice: 2
 radicando: 10
2. 7 103 3x e x −
 índice: 3
 radicando: x
É possível reduzir os radicais em uma soma (adição ou 
subtração) a um radical apenas, desde que eles sejam se-
melhantes. Observe os exemplos:
Exemplos
1. 3 5 7 5 8 5
3 7 8 5 2 5
+ − =
= + − =( )
2. 4 3 12 75+ −
 
Os radicais, a princípio, não são semelhantes. Entretanto, 
como 12 2 3 2 3 75 5 3 5 32 2= ⋅ = = ⋅ = e
Então,
4 3 12 75 4 3 2 3 5 3
4 2 5 3 1 3 3
+ − = + − =
= + − = ⋅ =( )
Observação
Em uma soma de radicais, pode ocorrer que:
 todos os radicais sejam semelhantes entre si;
 os radicais dados não sejam semelhantes a prin-
cípio, tornando-se semelhantes ao se retirar um 
ou mais fatores do radicando;
 existam apenas alguns termos semelhantes entre si;
 não existam radicais semelhantes.
Se os radicais não
são semelhantes, não há
o que fazer com eles, 
a não ser fazer o 
cálculo usando uma 
calculadora.
Th
eo
 C
or
de
iro
Exemplo
2 3+ = ?
 não são radicais semelhantes
Usando calculadora:
2 3 1 4142 1 7321
2 3 3 1463
+ = +
+ ≅
, ,
,
 aproximadamente
Matemática Básica18
Multiplicação de radicais
A multiplicação de radicais semelhantes é efetuada 
utilizando-se a propriedade estudada na aula anterior:
a b a bn n n⋅ = ⋅
desde que os radicais sejam definidos nos reais.
Exemplos
1. 2 8 2 8 16 4⋅ = ⋅ = =
2. 5 2 5 2 103 3 3 3⋅ = ⋅ =
Para se obter o produto de dois 
ou mais radicais com o mesmo ín-
dice, repete-se o índice e multipli-
cam-se os radicandos.
E quando os 
radicais não 
forem seme-
lhantes?
Th
eo
 C
or
de
iro
Para multiplicarmos (ou dividirmos) radicais com índices 
diferentes, transformamos os radicais num mesmo índice. 
Observe:
a b23 34; índices diferentes
 
a a
2
3
3
4; 
 expoentes fracionários
 
a b
8
12
9
12; reduzindo ao denominador comum
 
a b812 912;
 mesmo índice
Assim:
a b a b23 34 812 912. .=
a b a b23 34 8 912. .=
Racionalização de 
denominadores
Racionalizar uma fração consiste em eliminar, por meio de 
propriedades algébricas, o radical ou os radicais que estive-
rem no denominador. Essa operação é obtida multiplicando-
-se o numerador e o denominador da fração correspondente 
pelo fator de racionalização.
Consideram-se três casos de racionalização:
1.º caso:
Quando a expressão fracionária apresen-
tar no denominador apenas um radical da 
forma a :
N
a
N a
a a
N a
a
N a
a
= ⋅
⋅
= ⋅ = ⋅
2
Exemplos
1. 3
3
3
3
3
3
3 3
3
3= ⋅ = ⋅ =
2. 
2
2 3
2
2 3
3
3
2 3
2 3
6
6
= ⋅ = ⋅
⋅
=
3. 10
5
10
5
5
5
10 5
5
2 5= ⋅ = ⋅ =
2 .º caso:
Quando a expressão fracionária apresen-
tar no denominador apenas um radical da 
forma amn , com n > 2:
N
a
N a
a a
N a
amn
n mn
mn n mn
n mn
= =
−
−
−.
.
.
Exemplos
1. 1
4
1
4
4
4
4
4
16
43 3
23
23
23
33
3
= = =.
2. 
2 2 2 2
37 37
47
47
47
77
47
x x
x
x
x
x
x
x
= = =. . .
Multiplicação 
e divisão de 
potências 
com o 
mesmo 
expoente
@MAT2164
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
19
FÍSICAMATEMÁTICA
3 .º caso:
Quando a expressão fracionária apresentar no de-
nominador a adição ou a subtração de radicais:
N
a b
N
a b
N
a b
a b
a b
N a b
a b+
=
+
−
−
= −
−( )
. ( )
( )
( )
Observação
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Exemplos
1. 1
2 3
1
2 3
2 3
2 3
2 3
4 3
2 3
+
=+
−
−
=
−
−
= −
( )
.
( )
( )
( )
2. 
20
5 3
20
5 3
5 3
5 3
20 5 3
5 3+
=
+
−
−
= −
−
=
( )
.
( )
( )
. ( )
 = − = −20 5 3
2
10 5 3
. ( )
( )
 1. (UFES) 8 43 é igual a:
X a) 1/16 b) 1/8 c) 1/6
 d) 6 e) 16
 2. (UEL – PR) Calculando-se −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
1
243
2
5
, obtém-se:
 a) –81
 b) –9
X c) 9
 d) 81
 e) um número não real
 3. (FGV – SP) O valor da expressão 
( , ) . ( , )0 064 0 0625
1
3
1
4 é: 
 a) 0,1
X b) 0,2
 c) 0,01
 d) 0,02
 e) 1
 4. (PUC – SP) A expressão com radicais 
8 18 2 2− + é igual a: 
X a) 2
 b) 12
 c) 8
 d) –3
 e) 3 2
 5. (CESGRANRIO – RJ) Racionalizando o denomi-
nador, vemos que a razão 1 3
3 1
+
−
 é igual a:
X a) 2 3
 b) 2 2 3
 c) 3 2
 d) 1 2 3
 e) 2 3
 6. (UEL – PR) Seja o número real 
x =
− + −
−
500 3 20 2 2 5
5 1
Escrevendo-se x na forma x a b c= + , tem-se 
que a + b + c é igual a:
 a) 5 b) 6 c) 7
 d) 8 X e) 9
 7. (UFSM – RS) Simplificando a expressão 9
2
2
9
, 
obtém-se:
X a) 11 2
6
 b) 3 2
2 3
 c) 85
18
 d) 11
2
 e) 11 2
12
 8. (MACK – SP) Se A = + −1 5 5 1. , então o 
valor de A é: 
 a) 1 X b) 2 c) 2
 d) 5 e) 3
Matemática Básica20
Produtos notáveis
As generalizações estão entre os vários objetivos do 
desenvolvimento e estudo da Álgebra. Ao observarmos, por 
exemplo, a sequência formada por pequenos quadrados, é 
possível obtermos o número de quadrados existentes em 
função da posição da figura na correspondente sequência:
a) Qual a relação que podemos estabelecer 
quanto à figura e o número de quadrados 
que a compõem?
1ª. figura → 1 quadrado 
2ª. figura → 4 quadrados 
3ª. figura → 9 quadrados 
4ª. figura → 16 quadrados
 
b) Quantos quadrados formam a na. figura?
n2 quadrados. 
A fórmula do 
quadrado da 
soma
@MAT1765
n2 é uma expressão algébrica.
A Álgebra é a parte da Matemática em que se empregam 
outros símbolos além dos algarismos. Esses símbolos, ligados 
convenientemente por operações aritméticas, formam as 
expressões algébricas.
Existem determinados produtos entre expressões algé-
bricas que, devido à sua ampla utilização na Matemática, 
são conhecidos por produtos notáveis.
Esta aula tem por objetivo estudá-los.
Os produtos notáveis
que você estudará são:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
(a + b) . (a — b) = a2 2
Th
eo
 C
or
de
iro
O quadrado de uma soma
O quadrado maior, a seguir, foi dividido 
em quatro partes – dois quadrados e dois 
retângulos:
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
21
FÍSICAMATEMÁTICA
É possível mostrar este 
resultado, utilizando a 
Álgebra?
Th
eo
 C
or
de
iro
O resultado anterior (relação entre as áreas) pode ser 
comprovado utilizando a propriedade distributiva da multi-
plicação em relação à adição.
Observe:
(a + b)2 = (a + b) . (a + b)
(a + b)2 = a . (a + b) + b . (a + b)
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 → (ab = ba)
Reunindo os termos semelhantes, teremos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
O quadrado da soma de dois termos é o quadrado 
do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo 
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos
1. (2 + x)2 = 4 + 4x + x2
2. (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
3. (2 2 + α)2 = 8 + 4 2α+ α2
4. (7 + 2)2 = 72 + 2 . 7 . 2 + 22
 92 = 49 + 28 + 4
a) Determine a área do quadrado maior utili-
zando a medida do lado a + b.
(a + b)2
b) Determine a área do quadrado maior utili-
zando as áreas dos dois quadrados menores 
e os dois retângulos iguais.
a2 + b2 + 2 . a . b 
c) O que podemos concluir quanto aos resul-
tados dos itens a e b?
Que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
O quadrado 
de uma diferença
A área do quadrado de lado a – b pode ser calculada 
com base nas áreas das demais figuras geométricas ou pela 
medida do próprio lado:
a) Determine a área do quadrado S utilizando 
as medidas a e b.
S = (a – b)2 
b) Determine a área do quadrado S utilizando 
á área do quadrado maior, a área do qua-
drado S1 e dos dois retângulos S2.
S = a2 – S1 – 2 . S2 = a
2 – b2 – 2 . b . (a – b) = 
= a2 – 2ab + b2
c) O que podemos concluir quanto aos resul-
tados dos itens a e b?
Que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
A fórmula do 
quadrado da 
diferença
@MAT1764
Matemática Básica22
Este resultado também 
pode ser obtido pela 
Álgebra!
Th
eo
 C
or
de
iro
Usando a propriedade distributiva da multiplicação em 
relação à adição, teremos:
(a – b)2 = (a – b) . (a – b)
(a – b)2 = a . (a – b) – b . (a – b)
(a – b)2 = a2 – ab – ba + b2 → (ab = ba)
Reunindo os termos semelhantes, chegaremos ao resul-
tado seguinte:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
O quadrado da diferença de dois termos é o qua-
drado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo 
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos
1. (2 – x)2 = 4 – 4x + x2
2. (x – 2y)2 = x2 – 4xy + 4y2
3. (2 2 – α)2 = 8 – 4 2α + α2
4. (7 – 2)2 = 72 – 2 . 7 . 2 + 22
 52 = 49 – 28 + 4
O produto da 
soma pela diferença
O produto da soma pela diferença de dois termos quais-
quer é o terceiro caso de produtos notáveis. Novamente, para 
que você possa visualizar e compreender melhor um resultado 
algébrico, utilizaremos as áreas de figuras geométricas.
Para calcularmos a área colorida da figura, vamos dividi-la 
em duas partes: A e B.
Recortando as duas partes, poderemos formar o seguinte 
retângulo:
a) Determine a área colorida da figura utili-
zando as medidas a e b.
S = a2 – b2 
b) Determine a área do retângulo de dimen-
sões a + b e a – b.
S = (a + b) . (a – b) 
c) O que podemos concluir quanto aos resul-
tados dos itens a e b?
Que (a + b) . (a – b) = a2 – b2
O produto da soma pela diferença de dois termos é 
o quadrado do primeiro, menos o quadrado do segundo 
termo.
A fórmula do 
produto da 
soma pela 
diferença
@MAT2720
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
23
FÍSICAMATEMÁTICA
Exemplos
1. (2 + x) . (2 – x ) = 4 – x2
2. (x + 2y) . (x – 2y) = x2 – 4y2
3. (2 2 + α) . (2 2 – α) = 8 – α2
4. (7 + 2) . (7 – 2) = 49 – 4
Observação
Os três casos de produtos notáveis aqui estudados são 
muito utilizados na Matemática. Embora, como você viu, 
possam ser sempre obtidos algebricamente por meio da 
tão conhecida propriedade distributiva, a sua memorização 
e compreensão são fundamentais:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b 2
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
 1. (CESCEM – SP) O desenvolvimento de 
(2a – 3b)2 é igual a:
 a) 2a2 – 3b2
 b) 4a2 + 9b2
X c) 4a2 – 12ab + 9b2
 d) 2a2 – 12ab + 3b2
 e) 0
 2. (FCC – SP) A expressão (x – y)2 – (x + y)2 é 
equivalente a:
 a) 0
 b) 2y2
 c) –2y2
X d) –4xy
 e) 2xy
 3. (PUC – SP) A expressão (2a + b)2 – (a – b)2 é 
igual a:
 a) 3a2 + 2b2
X b) 3a2 + 6ab
 c) 4a2b + 2ab2
 d) 4a2 + 4ab + b2
 e) 2a2 + b2
 4. (UEL – PR) Se a ∈ R e a > 0, a expressão 
a
a
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2 
é equivalente a: 
 a) 1
 b) 2
 c) a
a
2 1
 d) a
a
4
2
1
X e) a a
a
2 2 1
 5. (UPF – RS) A expressão 
(a + 2)2 – 5 . (3 – 2a) + (2a – 3)2 é equivalente a:
 a) 2a2 + 8a – 2
X b) 5a2 + 2a – 2
 c) 3a2 – 20a +13
 d) 5a2 + 10a – 2
 e) 5a2 – 18a + 28
 6. Assinale a expressão que não é um trinômio 
quadrado perfeito:
 a) a2 – 2a + 1
 b) x4 – 4x2y + 4y2
 c) 1 – 2a4 + a8
 d) x2 + 2xy + y2
X e) x2 + 6x + 16
 7. Sendo (a + b)2 = 900 e ab = 200, calcule o 
valor de a2 + b2: 
Matemática Básica24
Fatoração
Revertendo a 
aplicação da 
propriedade 
distributiva
@MAT1735
Uma das características da Matemática é a utilização de 
operações inversas. Por exemplo, são inversas as seguintes 
operações:
Adição e Subtração
Multiplicação e Divisão
Potenciação e Radiciação
Para ilustrar essa observação, o diagrama a seguir re-
presenta, por meio da seta no. 1, que obtemos, a partir de 
(a + b)2, o resultado a2 + 2ab + b2.
Note que a seta no. 2 indica o procedimento inverso, 
pelo qual obtemos, a partir de a2 + 2ab + b2, a expressão 
(a + b)2. Saber esse procedimento inverso representa um 
passo importante para fatorar expressões algébricas.
Temos que fatorar expressões algébricas para, a seguir, 
simplificar frações algébricas.
Existem 
as fatorações 
pelo fator comum,
 por agrupamentose por produtos 
notáveis. Você 
vai estudar os
 três casos.
Th
eo
 C
or
de
iro
Fator comum
A figura a seguir possui um total de 160 quadradinhos 
coloridos. Esse número é o resultado da multiplicação do 
número de quadradinhos existentes em cada fila horizontal 
pelo número de filas existentes, ou seja:
16 . (3 + 7)
Observando a existência de filas de cores diferentes, 
poderíamos chegar à quantidade total de quadradinhos, 
considerando a soma das quantidades de cada cor, ou seja:
 16 . 3 + 16 . 7
 
 n.o de quadradinhos verdes
 n.o de quadradinhos rosa
Logo, como os resultados apontam a mesma quantidade, 
podemos dizer que:
16 . 3 + 16 . 7 = 16 . (3 + 7) 
termo
comum
termo comum que foi 
colocado em evidência
O que acabamos de fazer chama-se fatoração, que nada 
mais é do que transformar uma adição ou subtração, quando 
admitem termo comum, em um produto. Assim:
a . x + b . x = x . (a + b)
ou
a . x – b . x = x . (a – b)
Exemplos
1. 2x – 2y = 2(x – y)
2. 4x2 + 3x = x . (4x + 3)
3. x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1)
Fatorar uma expressão algébrica 
é transformá-la em produto.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
25
FÍSICAMATEMÁTICA
Fatoração por agrupamento
Denominamos fatoração por agrupamento aquela em 
que os termos em comum são colocados sucessivamente 
em evidência.
Observe a expressão algébrica:
ax + bx + ay + by
Embora não exista um mesmo fator em comum nos quatro 
termos, é possível fatorá-los dois a dois, ou seja:
ax + bx + ay + by =
= x . (a + b) + y . (a + b) =
= (a + b) . (x + y)
A expressão (a + b) . (x + y) é a forma fatorada de 
ax + bx + ay + by.
A fatoração 
por agrupamento 
nada mais é do que a 
obtenção sucessiva de 
termos em 
comum.
Th
eo
 C
or
de
iro
Exemplos
1. 3a2 + 3 + ba2 + b =
 = 3(a2 + 1) + b(a2 + 1) =
 = (a2 + 1) (3 + b)
2. x3 + 2x2 + x + 2 =
 = x2(x + 2) + (x + 2) =
 = (x + 2) (x2 + 1)
3. 6x + 6y + ax + ay =
 = 6(x + y) + a (x + y) =
 = (x + y) (6 + a)
Fatoração por 
produtos notáveis
Na aula anterior, você trabalhou os três casos de produtos 
notáveis. Vamos recordá-los?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
Agora, você terá de fazer o caminho inverso, ou seja, 
a partir do segundo membro dessas igualdades, obter o 
primeiro membro, que é a forma fatorada:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
a2 – b2 = (a + b) . (a – b)
Fatore as expressões
a) y2 + 2y + 1
y2 + 2y + 1 = y2 + 2 . y . 1 + 12 = (y + 1)2 
b) 4x2 + 12x + 9
4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2 . 2x . 3 + 32 = (2x + 3)2 
c) 9y2 – 6y + 1
9y2 – 6y + 1 = (3y)2 – 2 . 3y . 1 + 12 = (3y – 1)2
d) x2 – 4
x2 – 4 = x2 – 22 = (x + 2) . (x – 2)
Divisores 
comuns e 
fatoração por 
agrupamento
@MAT1533
Matemática Básica26
É muito importante 
a compreensão da 
fatoração por produtos 
notáveis.
Th
eo
 C
or
de
iro
Simplificações
A esta altura, você pode estar se perguntando o motivo 
de estudar fatorações. Para que serve a fatoração de uma 
expressão algébrica?
Dentro da Matemática, a fatoração de expressões algé-
bricas é utilizada para simplificar frações algébricas.
Exemplos
1. 2 2 2 2
x y
x y
x y
x y
−
−
=
−
−
=
( )
( )
2. 2 2 2 2
ax bx
a b
x a b
a b
x
+
+
=
+
+
=
( )
( )
3. x
x x
x
x x x
−
−
=
−
−
=
1 1
1
1
2 ( )
4. x + 2
x2 – 4
 = 
x + 2
(x + 2)(x – 2)
 = 
1
x – 2 
 
5. x
2 + 2xy + y2
x2 – y2
 = 
(x + y)2
(x + y)(x – y)
 = x + y
x – y
 
6. 
x2 – 4xy + 4y2
x2 – 4y2
 = 
(x – 2y)2
(x + 2y)(x – 2y)
 = 
x – 2y
x + 2y
Importante
As simplificações relacionadas a frações algébricas 
devem ser efetuadas, respeitando-se a restrição de 
que o termo simplificado (na verdade, dividido) deve 
ser diferente de zero.
É bom lembrar que uma 
divisão por zero não 
pode ser efetuada.
Th
eo
 C
or
de
iro
 1. (FAAP – SP) Simplificando a expressão 
ax ay
x xy y
2 2
2 22
−
− +
, obtemos:
 a) a
x y
 X b) a x y
x y
( )+
−
 c) a(x + y)
 d) x y
x y
+
−
 e) 0
 2. (ACAFE – SC) A expressão 36 16
2 2 3
2y x y
x
−
+( )
 é 
equivalente a: 
X a) 2y . (3 – 2x)
 b) 
2
3 4
y
x
 c) y(2x – 3)
 d) 
y x
x
−
+2 3
 e) 4x – 6 
 3. (UMC – SP) Simplificando x
xy y
x y
x xy
2
2
2 2
2−
−
+
. ,
obtemos:
X a) x
y
 b) y
x
 c) x y
x y
−
+
 d) x y
x y
+
−
 e) x
 4. (UNICAMP – SP) A expressão
a ab b
a b
a b
a b
2 2
2 2
2+ +
−
÷
−
+
, para a b, é igual a:
 a) 1
2( )a b
 b) ( )a b
a b
3
2 2
X c) a b
a b
+
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
 d) 1
a b
 e) 2 2
2 2a b ab
a b
+
−
Simplificação 
de frações 
algébricas
@MAT1237
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
27
FÍSICAMATEMÁTICA
 5. (FGV – SP) Simplificando-se a b
a b
1 1
, obtemos:
 a) 1
ab
 X b) ab
 c) a b
a b
+
− −
 d) –ab
 e) 2ab
 6. (UnB – DF) A expressão 3 4
16
1
4
4
2
a
a a
a
−
−
−
−
≠ ±( ) 
é equivalente a: 
 a) 1
4a
 X b) 2
4a
 c) 2
4a
 d) 2a e) a
 7. (USF – SP) Se os números reais x e y são tais que 
y
x
x x x
=
−
−
+
−
2
5
4
253 2 2
, então y é igual a:
X a) 2
5x x( )
 b) 5
5x x( )
 c) 2
5
x
x
 d) 5
5
x
x
 e) x
x x( ).( )− +5 5
 8. (UEL – PR) Efetuando-se 2 1
2
3 2
42
x
x
x
x
−
−
−
+
−
, para
x –2 e x 2, obtém-se:
X a) 2 2
4
2
2
.( )x
x
 b) 2 1
4
2
2
.x
x
 c) 2
4
2
2
. x
x
 d) 1
2
 e) 2
 9. (USF – SP) O valor da expressão 
x y
x y
x xy y
x y
2 2 2 22−
+
⋅
+ +
−
 para x = 1,25 e y = – 0,75 é:
 a) –0,25 b) –0,125 c) 0
 d) 0,125 X e) 0,25
Equações do 1o. grau
O que significa equacionar um problema? Os problemas possíveis de serem solucionados por meio 
dos números podem ser, de modo geral, tratados por equações. O termo equacionar está incorporado 
na linguagem do dia a dia; basta observarmos comentários na imprensa escrita ou falada: “... dessa 
forma, existe uma necessidade de equacionarmos o problema da miséria que impera nas camadas...”
Qual a razão de as equações matemáticas assumirem em nossa vida um papel de destaque?
A busca de respostas dessa e de outras questões similares acaba recaindo na origem da palavra 
“equação”, que é proveniente da mesma raiz latina das palavras “igualdade” e “igual”.
A história da Matemática relata, em um antigo documento chamado Papiro de Ahmes ou de Rhind, a 
utilização de problemas envolvendo números que podem ser resolvidos por equações. Um dos problemas 
é o seguinte:
Uma quantidade, somada a seus dois terços, mais sua metade e mais sua sétima parte é igual 
a trinta e três. Qual é esta quantidade?
Esta unidade tem por objetivos o estudo de equações do 1.º grau numa incógnita e a resolução 
de problemas que podem ser representados por tais equações. O problema citado anteriormente 
pode ser representado e resolvido por meio de uma equação do 1.º grau na incógnita x, ou seja:
x x x x+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =2
3
1
2
1
7
33
Matemática Básica28
Escreva a equação que representa o problema citado e determine o valor da incógnita.
x + 2
3
 . x + 1
2
 . x + 1
7
 . x = 33
42x + 28x + 21x + 6x = 33 . 42 → x = 
1 386
97
Assim, são exemplos de equações do 1o. grau na incógnita x:
1. 2x – 10 = 0 6. 2x – 10 = –7
2. –7x + 51 = 0 7. –9x – 7x = 18 – x
3. 4x – 500 = 0 8. − − =
4
3
1
3
x
x
4. –0,1 . x + 12 = 0 9. –0,01 + 7x = 2x 
5. 3 6 3 0.x + = 10. 9 2 3= −x
Observe que as equações de (1) a (5) estão escritas na forma ax + b = 0, o que não acontece com as 
de (6) a (10). É possível, entretanto, transformá-las na forma ax + b = 0. Para isso, devem-se compre-
ender dois princípios matemáticos relacionados a uma igualdade, os quais podem ser mais facilmente 
entendidos pela comparação com uma balança de dois pratos em equilíbrio.
Uma balança em “equilíbrio” continuará em “equilíbrio” se colocarmos (ou retirarmos) uma mesma 
massa nos dois pratos:
 Ro
be
rt
o 
Ca
rlo
s 
Lo
pe
s
Numa igualdade matemática:
 se adicionarmos (ou subtrairmos) um 
mesmo número aos dois membros 
de uma igualdade, obteremos uma 
igualdade;
Exemplo
2x – 10 = 40
adicionando 10 aos dois membros:
2x – 10 + 10 = 40 + 10
2x = 50
 se multiplicarmos (ou dividirmos) 
dois membros de uma igualdade por 
um mesmonúmero, obteremos uma 
igualdade.
Exemplo
2x = 50
multiplicando por 1/2 os membros da igual-
dade:
1
2
1
2
⋅ = ⋅2 50x
x = 25
Como 
resolver 
problemas 
usando uma 
equação
@MAT2904
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
29
FÍSICAMATEMÁTICA
Ilu
st
ra
çõ
es
: T
he
o 
Co
rd
ei
ro
O número
 que, quando 
colocado no 
lugar de x, torna 
verdadeira a 
igualdade é a 
solução da 
equação.
Resolução de uma equação do 1o. grau
Resolver uma equação do 1o. grau na incógnita x significa obter o valor que pode ser colocado no 
lugar de x e que verifica a igualdade correspondente.
 Mas como podemos resolver uma equação do 1o. grau?
A resolução de uma equação do 1o. grau, com uma incógnita, é feita utilizando-se os princípios 
que não alteram uma igualdade. A ideia central é isolar, em um dos membros que compõem 
a equação, a incógnita. Assim, o número resultante no outro membro será a solução.
Observe o exemplo que utilizamos anteriormente para explicar os princípios que 
não alteram uma igualdade:
 2x – 10 = 40
 2x – 10 + 10 = 40 + 10
 2x = 50
 1
2
1
2
. .2 50x =
 x = 25
O número 25 é a solução da equação.
O quadro a seguir contém outros exemplos de solução de equações do 
1o. grau na incógnita x:
Exemplo 1
 2x + 5 = 15
Resolução:
 2x + 5 – 5 = 15 – 5
 2x = 10
 1
2
1
2
. .2 10x =
 x = 5 (é a solução)
Exemplo 2
 3 . (4x – 2) = 5 . (2x + 3) + 3
Resolução:
 12x – 6 = 10x + 15 + 3
 12x – 6 + 6 = 10x + 18 + 6
 12x = 10x + 24
 12x – 10x = 10x + 24 – 10x
 2x = 24
 1
2
1
2
. .2 24x =
 x = 12 (é a solução)
Exemplo 3
 
x x− − − =1
4
3
6
3
Resolução:
 mmc (4, 6) = 12
 3 . (x – 1) – 2 . (x – 3) = 36
 3x – 3 – 2x + 6 = 36
 x + 3 = 36
 x + 3 – 3 = 36 – 3
 x = 33 (é a solução)
*
Resolução de problemas
A Matemática possui como característica a busca pela resolução de problemas. Embora o objetivo 
desta unidade seja a resolução de problemas que possam ser representados por equações do 1o. grau, 
existem algumas ideias interessantes que servem para a resolução de problemas de um modo geral.
Podemos dividir a resolução de um problema qualquer em quatro etapas, a saber:
 compreender o problema;
 encontrar uma ligação entre os dados e a incógnita;
 verificar cada etapa, ao executar um plano de resolução;
 verificar a solução.
E se 
estiver 
multiplicando, 
passará 
para o 
outro lado divi-
dindo.
Agora entendi: para mudar um número de 
membro numa igualdade, se ele estiver 
subtraindo, passará para o outro lado 
adicionando.
Formas 
diferentes 
para resolver 
uma equação
@MAT2696
Observe na unidade 1 
o procedimento para 
determinar o mmc.
*
Matemática Básica30
Problemas do 1o. grau
Como a própria denominação já esclarece, um problema é identificado como sendo do 1o. grau 
quando a sua resolução puder ser efetuada por meio de uma equação do 1o. grau. Para solucionar um 
problema, é fundamental que, após a leitura de seu enunciado, se execute a resolução evidenciando 
alguns aspectos, tais como:
 identificar a incógnita do problema; 
 representar o problema por meio de uma equação;
 resolver a equação;
 interpretar e verificar a solução do problema.
Antes de seguirmos adiante, é importante destacar que resolver qualquer tipo de problema, não 
necessariamente matemático, significa contornar obstáculos e constitui uma atividade humana fun-
damental.
Agora, tente resolver os problemas a seguir utilizando equações do 1o. grau.
Problema 1
 (FUVEST – SP) O dobro de um número, mais a sua 
terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. De-
termine o número.
Problema 3
 (UNICAMP – SP) Roberto disse a Valéria: “pense em um número, dobre esse número, some 12 ao resultado; divida 
o novo resultado por 2. Quanto deu?” Valéria disse “15”, ao que Roberto imediatamente revelou o número original 
que Valéria havia pensado. Calcule esse número.
– número desconhecido: x
– dobro do número: 2x
– terça parte: x
3
– quarta parte: x
4
Equação:
2
3 4
31x
x x+ + =
mmc (3,4) = 12
12 2
3 4
12 31. .x
x x+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
24x + 4x + 3x = 372 
31x = 372
31
31
372
31
x =
x = 12
Portanto, o número procurado 
é 12.
– número: x
– dobro do número: 2x
– somando 12: 2x + 12
– dividindo por 2: 2 12
2
x +
Equação:
2 12
2
15
x + =
2 . 
2 12
2
x +
 = 2 . 15
2x + 12 = 30
2x + 12 – 12 = 30 – 12
2x = 18
1
2
2
1
2
18. .x =
x = 9
Portanto, o número é 9.
Problema 2
 (UFGO) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha, 
obtêm-se os 3/5 de sua idade. A idade de minha 
filha, em anos, é:
a) 9 b) 10 c) 12
d) 15 e) 18
– idade de minha filha: x
– diminuindo 6 anos: x – 6
– 3/5 de sua idade: 3
5
. x
Equação:
x x− = ⋅6 3
5
5 6 5
3
5
.( ) . .x x− =
5x – 30 = 3x
5x – 30 + 30 = 3x + 30
5x = 3x + 30
5x – 3x = 3x + 30 – 3x 
2x = 30
x = 15
Portanto, a idade de minha 
filha é 15 anos.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
31
FÍSICAMATEMÁTICA
Problema 4
 Uma quantidade, somada a seus dois terços, mais sua metade e mais sua 
sétima parte é igual a trinta e três. Qual é essa quantidade?
Equação:
x
x x x+ + + =2
3 2 7
33
mmc (3, 2, 7) = 42
42
2
3 2 7
42 33. .x
x x x+ + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
42x + 28x + 21x + 6x = 1 386
97 1386
97
97
1386
97
x
x= ⇒ =
x = 1386
97
O número correspondente à quantidade 
procurada é 1386
97
Th
eo
 C
or
de
iro
O problema 
4 é aquele 
apresentado 
no início deste 
tópico.
 1. (ESPM – SP) O valor de x na proporção 
2
1
3
1
1
4
1
2
5
−
+
=
+
x é:
X a) 28
15
 b) 48
13
 c) 51
3
 d) 63
5
 e) 73
23
 2. (UFMG) A raiz da equação
2 1
3
3 2
4
1
6
( ) ( )x x x+
−
+
=
+
pertence ao intervalo:
 a) [0, 2] b) [–3, –1] c) [–2, 0]
X d) [–6, –3] e) [2, 6]
 3. (UTESC – SC) Se x x
3
3
1
5
2 2 4− = + −( ) , 
então o valor de x – 9 é:
 a) 9 b) –9 X c) 0
 d) 2 e) –2
 4. (ITE – SP) Se 1
1
1
1
1
−
−
=
−x x
, então x é igual a:
 a) –2 X b) –1 c) 1
2
 d) 2 e) 3
 5. (UECE – CE) Uma peça de tecido, após a lava-
gem, perdeu 1
10
 de seu comprimento e este 
ficou medindo 36 metros. Nestas condições, o 
comprimento, em m, da peça antes da lavagem 
era igual a:
 a) 44 b) 42 X c) 40
 d) 38 e) 41
 6. (FEI – SP) Uma tarefa foi executada em três dias de 
trabalho. No primeiro dia, realizou-se um quarto 
dessa tarefa. No segundo dia, executaram-se dois 
terços da parte que faltava para completar-se a 
tarefa. Que fração da tarefa foi realizada no ter-
ceiro dia?
 a) Um terço.
 b) Dois terços.
X c) Um quarto.
 d) Dois quintos.
 e) Três quintos.
 7. (UFRGS) Uma tabela tem cinco valores numéri-
cos. Observa-se que, com exceção do primeiro, 
cada valor é 2
3
 do valor numérico anterior. Se a 
soma total dos valores é 211, o primeiro valor da 
tabela é:
X a) 81 b) 87 c) 90
 d) 93 e) 99
 8. (ULBRA – RS) Um tanque de gasolina de um 
carro tem capacidade para 50 litros. O mar-
cador de gasolina mostra que o combustível 
ocupa a quarta parte do tanque. Se o litro da 
gasolina custa R$ 0,475, o motorista gastará 
para completar o tanque:
 a) R$ 5,93 b) R$ 6,50 c) R$ 16,00
X d) R$ 17,81 e) R$ 23,75
Matemática Básica32
 9. (PUC – SP) Um feirante compra maçãs ao pre-
ço de R$ 0,75 para cada duas unidades e as 
vende ao preço de R$ 3,00 para cada seis uni-
dades. O número de maçãs que deverá vender 
para obter um lucro de R$ 50,00 é:
 a) 40
 b) 52
X c) 400
 d) 520
 e) 600
10. (UFF – RJ) Três números naturais e múltiplos 
consecutivos de 5 são tais que o triplo do me-
nor é igual ao dobro do maior. Entre esses nú-
meros, o maior é:
X a) múltiplo de 3
 b) ímpar
 c) quadrado perfeito
 d) divisor de 500
 e) divisível por 4
11. (UFMG) Considere a sequência de operações 
aritméticas na qual cada uma atua sobre o re-
sultado anterior: comece com um número x, 
subtraia 2, multiplique por 3
5
, some 1, multipli-
que por 2, subtraia 1 e finalmente multiplique 
por 3 para obter o número 21. O número x per-
tence ao conjunto: 
 a) {1, 2, 3, 4}
 b) {–3, –2, –1, 0}
X c) {5, 6, 7, 8}
 d) {–7, –6, –5, –4}
 e) ∅
Sistemas de equações do 1o. grau
Observe o diálogo:
Embora sejapossível fazer, pela ilustração, uma estimati-
va das idades das pessoas, não podemos precisar as idades 
devido à falta de mais informações.
Considerando x e y as idades das pessoas, podemos 
representar a situação pela equação:
x + y = 36
Para obtermos algumas soluções da equação acima, atribuímos valores para a incógnita x (ou para 
a incógnita y) e calculamos, a seguir, o valor da outra incógnita.
Exemplos
x = 12 ⇒ 12 + y = 36 ⇒ y = 24
x = 18 ⇒ 18 + y = 36 ⇒ y = 18
x = 21 ⇒ 21 + y = 36 ⇒ y = 15
x = 26 ⇒ 26 + y = 36 ⇒ y = 10
…
Agora, vamos acrescentar uma outra informação à situação apresentada:
A soma
de nossas 
idades é
igual a 36.
Eu sou
mais
velho.
A diferença
entre nossas idades 
é de 6 anos.
Ilu
st
ra
çõ
es
: T
he
o 
Co
rd
ei
ro
Sendo x a idade do mais velho e y a idade do mais novo, 
podemos representar essa nova informação pela equação:
x – y = 6
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
33
FÍSICAMATEMÁTICA
A solução do problema, se existir, é um par de valores 
(x; y) que verifica as duas equações simultaneamente:
x + y = 36 e x – y = 6
⇓
 x + y = 36
 x – y = 6
As equações acima formam um sistema de duas equações 
do 1o. grau com duas incógnitas. Obter e discutir soluções para 
sistemas desse tipo são os objetivos deste tópico.
Métodos de resolução
Vamos destacar aqui três métodos de resolução de um 
sistema de duas equações do 1o. grau com duas incógnitas:
 método da substituição
 método da adição
 método da comparação
Você observará que qualquer um dos três poderá ser utili-
zado na resolução de qualquer sistema de duas equações do 
1o. grau com duas incógnitas. Entretanto, a escolha depende 
das equações.
Método da substituição
Esse processo consiste em isolar, numa das equações, 
uma incógnita em função da outra e, a seguir, substituir a 
expressão obtida na outra equação: a igualdade resultante 
será uma equação do 1o. grau com uma incógnita.
Exemplo
x + y = 36 y = 36 – x
 x – y = 6 
 
 x – (36 – x) = 6
 x – 36 + x = 6
 2x = 42
 x = 21 
Portanto, os valores que satisfazem o sistema são 
x = 21 e y = 15
Observação
É comum representarmos a solução de um sistema por 
um par ordenado. No caso, o conjunto-solução é S, onde:
S = {(21; 15)}
Eu 
tenho 21
anos.
Eu, 15
anos.
Th
eo
 C
or
de
iro
Método da adição
O método da adição consiste em fazer uma das incógnitas 
“desaparecer”. Por isso, para utilizá-lo, verifique se uma mes-
ma incógnita possui coeficientes opostos nas duas equações. 
Caso esse fato se confirme, basta adicionar as duas igualdades 
membro a membro.
Exemplo
x y
x y
x
x
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
=
=
36
6
2 42
21
Substituindo na 1.ª equação (poderia ser na 2.ª equação), 
obtemos a outra incógnita:
21 + y = 36
 y = 36 – 21
 y = 15
Portanto: S = {(21; 15)}
E se os
coeficientes
de uma mesma
incógnita
não forem 
opostos?
Th
eo
 C
or
de
iro
Multiplicando os dois membros de uma igualdade por um 
mesmo número é possível obtermos coeficientes opostos. 
Observe o exemplo:
2 3 5
5
x y
x y
− =
+ = −
⎧
⎨
⎩
y = 36 – 21
y = 15
1
2
3
4
Resolvendo 
sistemas de 
equações 
lineares
@MAT955
Matemática Básica34
 Vamos multiplicar a 2ª. equação membro a membro 
por (–2):
2 3 5
2 2 10
x y
x y
− =
− − =
⎧
⎨
⎩
 Como os coeficientes de x são opostos, podemos 
adicionar membro a membro as duas equações:
2 3 5
2 2 10
5 15
3
x y
x y
y
y
− =
− − =
− =
= −
 Substituindo na 2ª. equação dada (poderia ser na 1ª. 
equação):
 x + y = –5 
 x – 3 = –5 ⇒ x = –2
 Portanto: S = {(–2; –3)}
Método da comparação
Processo de resolução de um sistema de duas equações 
do 1o. grau com duas incógnitas que consiste em isolar uma 
mesma incógnita nas duas equações dadas e, a seguir, com-
parar os resultados obtidos.
Vamos ao exemplo:
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
36
6
 Isolando x na 1ª. equação (poderia ser o y):
 x + y = 36
 x = 36 – y (I)
 Isolando x na 2ª. equação:
 x – y = 6
 x = 6 + y (II)
 Comparando (I) com (II):
 36 – y = 6 + y 
 – y – y = 6 – 36
 – 2y = – 30
 y = 15
 Substituindo em (II):
 x = 6 + y
 x = 6 + 15 ⇒ x = 21
 Portanto: S = {(21; 15)}
Classificação de um sistema
Quanto ao número de soluções de um sistema de duas 
equações do 1o. grau com duas incógnitas, existem três pos-
sibilidades:
 nenhuma solução;
 uma solução apenas;
 infinitas soluções.
E eu que 
pensava que um
sistema de duas
equações do 1º. grau
com duas incógnitas
 sempre admitia uma
única solução.
Th
eo
 C
or
de
iro
Vamos considerar três situações para evidenciar as pos-
sibilidades quanto à solução de um sistema:
1.ª situação
Em um estacionamento, há carros e motos num total de 
23 veículos e 76 rodas. Quantas motos e quantos carros há 
no estacionamento?
Th
eo
 C
or
de
iro
nº. de carros: x
nº. de motos: y
 sistema x + y = 23
 4x + 2y = 76
 
 
total de rodas de carro
total de rodas de moto
Multiplicando a 1ª. equação por (–2):
 –2x – 2y = –46
 4x + 2y = 76
Adicionando: 2x = 30 → x = 15
Substituindo na 1ª. equação:
x + y = 23 → 15 + y = 23 ⇒ y = 8
Portanto, são 15 carros e 8 motos.
Importante:
O sistema possui apenas uma solução, 
S = {(15; 8)}. Quando isso ocorre, tal sistema é dito possível 
e determinado.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
35
FÍSICAMATEMÁTICA
3 .ª situação
Resolva o seguinte sistema de equações do 1o. grau:
2 10
2 9
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
Multiplicando a 2a. equação por (–1):
 2x + y = 10
 –2x – y = –9
Adicionando: 0 = 1 ⇒ Chegamos a uma identidade numérica 
(um absurdo).
O sistema não apresentará solução.
Importante: Quando um sistema não admite solução, é dito 
impossível.
2 .ª situação
A soma de dois números é igual a 13. Calcule esses dois 
números, sabendo que a soma do dobro do primeiro com o 
dobro do segundo é igual a 26.
 x + y = 13
 2x + 2y = 26
Multiplicando a 1a. equação 
por (–2):
 –2x – 2y = –26
 2x + 2y = 26
Adicionando: 0 = 0 ⇒ 
Chegamos a uma identidade 
numérica.
O sistema apresentará 
infinitas soluções que 
verificam a equação:
y = 13 – x
As soluções podem ser 
representadas por pares 
ordenados da forma:
(x; y) = (x; 13 – x)
Observe alguns exemplos:
(0; 13); (1; 12); (–1; 14); 
(5; 8); ...
Importante: Quando um 
sistema apresenta infinitas 
soluções, é dito possível e 
indeterminado.
 1. (PUC – SP) A solução do sistema 3 1
2 2 1
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
é:
 a) 0
1
4
;⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ b) −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
0; c) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
1;
 d) 1
2
1
4
;⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ X e) 
1
4
1
4
;⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 2. (UEL – PR) Se o par (a; b) é a solução do sistema 
x y
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
5
3 7 , então é verdade que:
 a) a = 3 b) b = –3 c) a . b = 1
X d) ab = 8 e) a . b = 9
 3. (UNITAU – SP) A solução do sistema de equações 
algébricas lineares x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
2
2 1
é dada por:
 a) x = 1, y = 1 X b) x = 1, y = –1
 c) x = –1, y = 1 d) x = –1, y = –1
 e) x = y = 0 
 4. (UCS – RS) Considere o sistema de equações 
2 4 2
3 3 6
x y
x y
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
, no qual x é a primeira variável 
e y é a segunda variável.
A afirmação verdadeira sobre esse sistema é:
 a) O sistema não tem solução.
 b) O sistema tem como única solução o par 
ordenado 0
1
2
,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
 c) Qualquer par ordenado de números reais é 
solução do sistema.
X d) Qualquer par ordenado da forma a
a
,
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
 
com a ∈ R é solução do sistema.
 e) As equações do sistema representam duas 
retas que não se interceptam. 
 5. (EFEI – MG) Dois números naturais são tais 
que a sua soma é igual a 209 e o quociente do 
maior deles pela diferença entre eles é igual a 
6. Encontre esses números.
 6. (CEFET – RJ) Para que as equações 
(m – 2)x – (m – 1) = 0 e 2x – 4 = 0 
sejam equivalentes, devemos ter m igual a:
 a) 2 X b) 3
 c) 4 d) 5
 e) 3/2
Matemática Básica36
 7. (PUC – SP) Um certo número de alunos faziaprova em uma sala. Em um dado momento, re-
tiraram-se da sala 15 moças, ficando o número 
de rapazes igual ao dobro do número de mo-
ças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, fican-
do na sala igual número de moças e rapazes. O 
total de alunos que fazia prova nessa sala era:
 a) 96 b) 98 X c) 108
 d) 116 e) 128
 8. (UNICENP – PR) Sabendo que o sistema 
ax y b
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
2
3 2 4
 é possível e indeterminado, 
calcule o valor de ea + b:
 a) 1 b) zero c) 1
e
X d) e e) e7
 9. (ULBRA – RS) Num estacionamento, existem 
automóveis e motos. O número total de rodas 
é 120, e o número de motos é o dobro de au-
tomóveis. O número total de veículos que se 
encontram no estacionamento é:
 a) 15 b) 30 c) 36
X d) 45 e) 60
Equações do 2o. grau
Na Índia Antiga, havia um passatempo extre-
mamente curioso entre os matemáticos, que era a 
resolução de quebra-cabeças. As soluções apareciam 
em meio a competições públicas, em que os compe-
tidores “bolavam” problemas matemáticos para que 
outros os resolvessem. Muitos desses problemas 
atravessavam gerações sem que soluções fossem 
encontradas. Existia, além disso, uma preocupação 
em apresentá-los numa linguagem às vezes poética. 
Versos e problemas matemáticos jorravam nesses 
concursos populares. Eis um exemplo:
Alegravam-se os macacos
Divididos em dois bandos:
Sua oitava parte ao quadrado
No bosque brincava.
Com alegres gritos, doze
Gritando no campo estão.
Sabes quantos macacos há
Na manada no total?
A resolução desse problema indiano recai sobre 
uma equação do 2º. grau numa incógnita. Muito tempo 
se passou para que os matemáticos descobrissem uma fórmula para a resolução de equações do 2º. grau. 
Bhaskara Akaria, matemático indiano nascido em 1114, ficou famoso pela descoberta de uma fórmula que 
resolvia uma equação do 2º. grau. Hoje, sabemos que Bhaskara foi o responsável não pela descoberta, mas, 
sim, pela divulgação.
Ta
lit
a 
Ka
th
y 
Bo
ra
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2009. Adaptação.
ÍNDIA – território atual
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
37
FÍSICAMATEMÁTICA
Vamos ter
de isolar a
incógnita!
Th
eo
 C
or
de
iro
Equações completas
Escreva a equação que representa o problema citado e determine o valor da incógnita.
x
x
x
x
x x
8
12
64
12
768 64
2
2
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ =
+ =
+ =
x x
x
64 768 0
64 64
2 − + =
=
− − ± −( ) ( )) . .
.
2 4 1 768
2 1
−
As raízes são x = 48 ou x = 16
Vamos ver inicialmente o que é uma equação do 2º. grau.
Uma equação, na incógnita x, é 
denominada do 2o. grau quando puder 
ser escrita na forma 
ax2 + bx + c = 0
onde a, b e c são números reais, com 
a ≠ 0.
Assim, são exemplos de equações do 2º. grau 
na incógnita x:
(1) 2x2 – 7x + 1 = 0
(2) –3x2 + 6x + 2 = 0
(3) 7x2 – 7x + 1 = 0
(4) 2x2 – 4x = 0
(5) 2x2 – 5 = 0
(6) x2 = 0
Observe que as três primeiras equações apresentam todos os seus coeficientes não nulos. Tais 
equações são ditas equações completas, enquanto as outras são incompletas.
Resolver uma equação do 2º. grau, na incógnita x, significa obter, por meio de processos algébricos, 
o valor ou os valores de x que verifiquem a igualdade correspondente à equação.
Algumas equações podem ser resolvidas utilizando-se trinômios quadrados perfeitos (são os 
produtos notáveis). Observe o exemplo:
x2 – 4x + 4 = 0
Resolução:
Como x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, é possível isolar o x no primeiro 
membro, ou seja:
x2 – 4x + 4 = 0 
(x – 2)2 = 0
x – 2 = 0 ⇒ x = 2
A partir dos coeficientes a, b e c da equação ax2 + bx + c = 0, é possível de-
monstrar a existência de uma relação entre as raízes (valores de x) e aqueles 
coeficientes. Observe:
ax2 + bx + c = 0
 multiplicando por 4a: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
 subtraindo 4ac: 4a2x2 + 4abx = –4ac
 somando b2 membro a membro: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 –4ac
E como resolver equações 
do 2o. grau em que o trinômio 
não é quadrado perfeito?
O quadrado 
perfeito e as 
equações de 
2.o grau
@MAT2618
Matemática Básica38
 fatorando o trinômio no 1.º membro:
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
2 42ax b b ac+ = ± −
2 42ax b b ac= − ± −
 isolando x:
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
Observe que a igualdade obtida permite encontrar o valor de x a partir dos coeficientes da equa-
ção. Então, a equação ax2 + bx + c = 0 pode ser resolvida pela fórmula x
b b ac
a
= − ± −
2 4
2
, que é 
conhecida como Fórmula de Bhaskara.
Bhaskara foi o último matemático medieval importante da Índia, e sua obra representa a culminação de 
contribuições hindus anteriores. Em seu tratado mais conhecido, o Lilavati, ele compilou problemas de Brah-
magupta e outros, acrescentando observações próprias novas. O próprio título dessa obra pode ser tomado 
como indicação da qualidade desigual do pensamento hindu, pois o nome do título é o da filha de Bhaskara 
que, segundo a lenda, perdeu a oportunidade de se casar por causa da confiança de seu pai nas predições 
astrológicas. Bhaskara tinha calculado que sua filha só poderia casar de modo propício numa hora determi-
nada de um dia dado. No dia que deveria ser o de seu casamento a jovem ansiosa estava debruçada sobre 
um relógio de água quando se aproximava da hora do casamento, quando uma pérola em seu cabelo caiu, 
sem ser observada, e deteve o fluxo de água. Antes que o acidente fosse notado, a hora propícia passava. 
Para consolar a infeliz moça, o pai deu seu nome ao livro que estamos descrevendo.
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 2008. p. 152.
Alguns exemplos
a) 4x2 – 5x – 6 = 0
x = − − ± − − −( ) ( ) . .( )
.
5 5 4 4 6
2 4
2
x x= ± ⇒ = ±5 121
8
5 11
8
x1
5 11
8
2= + =
x2
5 11
8
3
4
= − = −
Logo, o conjunto-solução da 
equação é:
S = ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
2
3
4
;−
b) 2x2 – 18 = 0
x = − ± − −0 0 4 2 18
2 2
2 . .( )
.
x x= ± ⇒ = ±0 144
4
12
4
x1
12
4
3= = ou
x2
12
4
3=
− = −
Logo, o conjunto-solução da 
equação é:
S = { }−3 3;
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FÍSICA
39
FÍSICAMATEMÁTICA
c) Qual é a medida do lado de um quadrado que tem o perímetro numericamente igual à área?
• área: x
2
• perímetro: 4x
 x2 = 4x
 x2 – 4x = 0
x = − − ± − −( ) ( ) . .
.
4 4 4 1 0
2 1
2
 ∴ x =
±4 4
2
x1
4 4
2
4= + = ou x2
4 4
2
0= − =
Como x ≠ 0 (medida de lado), a solução é x = 4.
Equações incompletas
Os exemplos b e c, apresentados anteriormente, representam equações incompletas do 2º. grau. 
Estas são assim conhecidas por não possuírem todos os termos.
A solução de equações incompletas pode ser obtida por meio da Fórmula de Bhaskara (observe a 
resolução dos exemplos b e c). Entretanto, existem procedimentos algébricos que facilitam a resolução 
de equações incompletas.
Vamos considerar duas situações:
1ª. situação
Equações incompletas da forma ax2 + c = 0
Exemplo
2x2 – 18 = 0 
2x2 = 18
x2 = 9 
x = ± 9
x1 = 3 ou x2 = –3
Portanto, S = {–3; 3}.
As equações incompletas do 2º. grau da forma ax2 + c = 0, em que b = 0, são resolvidas isolando-se o x.
Antes de observarmos a outra situação de equações incompletas do 2º. grau, procure obter uma 
resposta para a seguinte questão:
Quais os valores de x e y que verificam a igualdade x . y = 0?
Uma outra maneira de fazer a pergunta anterior é questionar “quando o produto de dois números 
reais é igual a zero?”.
2ª. situação
Equações incompletas da forma ax2 + bx = 0
Exemplo
 x2 – 4x = 0
Como existe um termo em comum no 1º. membro, é possível colocá-lo em evidência, ou seja:
 x . (x – 4) = 0
Se um produto vale zero, então, necessariamente, um de seus fatores será igual a zero. Assim:
 x = 0 ou x – 4 = 0
 x = 0 ou x = 4
 Portanto: S = {0; 4}.
Equações da forma ax² + bx = 0 podem ser resolvidas colocando o x em evidência.
Basta 
isolar o x no 
primeiro membro
 da igualdade.
Th
eo
 C
or
de
iro
Coeficientes 
iguais a zero 
da equação 
de 2.o grau
@MAT2014
Matemática Básica40
O discriminante
 é o radicando da 
Fórmula de Bhaskara.
Th
eo
 C
or
de
iro
Discriminante
Experimente resolver as três equações do 2.º grau que estão no quadro a seguir:
 2x2 – 7x + 10= 0
 x2 – 10x + 25 = 0
 x2 – 4x + 3 = 0
Agora, responda:
 Quantos elementos tem o conjunto-solução de cada uma dessas equações?
 Se você tiver a curiosidade de resolver essas equações com o auxílio da Fórmula de Bhaskara, 
perceberá que a primeira equação não apresenta solução real, a segunda possui duas soluções 
iguais e a terceira possui duas soluções distintas.
 Porém, não é necessário resolver a equação do 2º. grau para se chegar a essas conclusões. 
Basta entender o que é discriminante na Fórmula de Bhaskara.
Na Fórmula de Bhaskara, a expressão b2 – 4ac é denominada discriminante.
Representando o discriminante pela letra grega delta, temos:
x
b
a
=
− ± Δ
2
 onde Δ = b2 – 4ac. Conforme o valor de Δ, têm-se as seguintes possi-
bilidades quanto à natureza das raízes:
 Δ > 0: duas raízes reais e distintas;
 Δ = 0: duas raízes reais e iguais;
 Δ < 0: não admite raízes reais.
Observe os três exemplos a seguir, relacionados à discussão das possibilidades quanto a raízes 
de uma equação do 2º. grau.
Alguns exemplos
a) Verifique a existência de raízes na equação 2x2 + 4x – 5 = 0.
Δ = b2 – 4ac
Δ = 42 – 4 . 2 . (–5)
Δ = 56
Δ > 0 ⇒ existem duas raízes reais e distintas.
b) Verifique a existência de raízes na equação x2 – 2x + 6 = 0.
Δ = b2 – 4ac
Δ = (–2)2 – 4 . 1 . 6
Δ = –20
Δ < 0 ⇒ não existe raiz real na equação.
c) Para que valor de m a equação x2 – 4x + m = 0 admite duas raízes reais e iguais?
Δ = 0
b2 – 4ac = 0
(–4)2 – 4 . 1 . m = 0
16 = 4m
m = 4
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FÍSICA
41
FÍSICAMATEMÁTICA
 1. (UFES) A equação x2 – 10x + 25 = 0 tem as 
seguintes soluções no conjunto dos números 
reais:
X a) somente 5 b) somente 10
 c) –5 d) 5 e 10
 e) 0
 2. (PUC – SP) As raízes da equação 2x2 – 10 – 8x = 0 
são:
 a) {1; 5} b) {2; 3} X c) {–1; 5}
 d) {–1; –5} e) ∅
 3. (UNITAU – SP) A solução {x1, x2}, no conjunto 
dos reais, da equação x2 – x – 6 = 0, é:
 a) {3; 2}
 b) {–3; 2}
 c) {6; –4}
X d) {3; –2}
 e) {4; –1}
 4. (CESGRANRIO – RJ) A maior raiz da equação
–2x2 + 3x + 5 = 0 vale: 
 a) –1 b) 1 c) 2
X d) 2,5 e) 3 19
4
 5. (FUVEST – SP) Se x x.( )1
1
4
− = , então: 
 a) x = 1 X b) x
1
2
 c) x = 0
 d) x
1
4
 e) x = 3
 6. (PUC – RJ) Quando o polinômio x2 + x – a tem 
raízes iguais?
 7. (UFRGS) Um valor de x na equação 
ax2 – (a2 + 3)x + 3a = 0 é: 
 a) 3a b) a
3
 c) a
3
X d) 3
a
 e) 3
a
Relação entre coeficientes e raízes
Neste tópico, você verá que é possível estabelecer relações entre as 
raízes de uma equação do 2º. grau e seus coeficientes numéricos. Como con-
sequência, podem-se obter a soma e o produto das raízes sem determiná-las.
No diagrama abaixo, a seta 1 indica que, a partir da equação do 2º. grau, 
utilizando-se a Fórmula de Bhaskara, obtêm-se as raízes da equação:
ax2 + bx + c = 0 S = {x1, x2}
(1)
(2)
Acho que 
isto não é 
possível.
Eu sei obter a soma e o 
produto das raízes sem resolver 
a equação do 2º. grau.
Th
eo
 C
or
de
iro
A seta 2 indica que, conhecendo-se as raízes de uma equação do 2º. grau, pode ser obtida uma 
equação que as admite. Isso vai ser possível pelo teorema da decomposição, assunto a ser estudado.
Soma das raízes
A soma das raízes de uma equação do 2º. grau, na incógnita x, pode ser obtida por meio de dois 
coeficientes da correspondente equação.
Vamos considerar a equação genérica do 2º. grau e a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 ax2 + bx + c = 0
 x
b
a
=
− ± Δ
2
 As raízes x1 e x2 são: 
x
b
a
x
b
a
1
2
2
2
= − + Δ
= − − Δ
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪Matemática Básica42
 ax2 + bx + c = 0
 x
b
a
=
− ± Δ
2 As raízes x1 e x2 são: 
x
b
a
x
b
a
1
2
2
2
=
− + Δ
=
− − Δ
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
Vamos obter a soma S dessas raízes:
S = x1 + x2 ⇒ S
b
a
b
a
=
− + Δ
+
− − Δ
2 2
 ⇒ S b b
a
=
− + Δ − − Δ
2
 ⇒ S b
a
=
−2
2
Portanto: S
b
a
= −
Vamos obter o produto P dessas raízes:
P = x1 . x2
P
b
a
b
a
=
− + Δ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
− − Δ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟2 2
.
P
b
a
=
− − Δ( ) ( )2 2
24
P
b b ac
a
=
− −2 2
2
4
4
( )
P
ac
a
4
4 2
Portanto: P
c
a
=
Se você 
resolver a equação 
2x2 – 3x – 2= 0 
encontrará os 
valores 2 e –1/2, 
cuja soma é 3/2.
Th
eo
 C
or
de
iro
Em outras palavras, a soma das raízes de uma equação do 2o. grau é o oposto do 
coeficiente de x dividido pelo coeficiente de x2. Observe o exemplo a seguir:
Obtenha a soma das raízes da equação:
 2x2 – 3x – 2 = 0
S
b
a
= − S = − −3
2
S = 3
2
Produto das raízes
O produto das raízes de uma equação do 2º. grau, na incógnita x, pode ser obtido por meio de dois 
coeficientes da correspondente equação.
Vamos considerar a equação genérica do 2º. grau e a fórmula resolutiva de Bhaskara:
Em outras palavras, o produto das raízes de uma equação do 2o. 
grau é o quociente entre o termo independente de x e o coeficiente 
de x2. Observe o exemplo:
Obtenha o produto das raízes da equação:
 2x2 – 3x – 2 = 0
P
c
a
= P = −2
2
P = –1
As soluções
 da equação do 
exemplo são 
2 e –1/2; logo, 
o produto 
é –1.
Th
eo
 C
or
de
iro
Obtenção da equação
Utilizando as propriedades da soma e do produto das raízes, é possível, a partir delas, a obtenção 
da correspondente equação.
Observe as operações a seguir, que são efetuadas com base na equação do 2o. grau:
ax2 + bx + c = 0
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FÍSICA
43
FÍSICAMATEMÁTICA
multiplicando os dois membros por 1
a
:
1
a
 . (ax2 + bx + c) = 
1
a
 . 0
x2 + b
a
 . x + 
c
a
 = 0
x2 – −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
b
a
 . x + c
a
 = 0
substituindo por S e P: 
x2 – Sx + P = 0
É esta relação que nos permite obter mentalmente as raízes inteiras de uma equação do 2o. grau.
Utilizando essa igualdade, podemos fatorar a equação do 2o. grau. Vejamos:
x2 – Sx + P = 0
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
x2 – x1x – x2x + x1x2 = 0
x (x – x1) – x2 (x – x1) = 0
Fatorando (x – x1):
(x – x1) . (x – x2) = 0
Forma fatorada
 1. Calcule a soma e o produto das raízes das se-
guintes equações na incógnita x:
 a) 2x2 – x – 1 = 0
 b) 5x2 – 10x – 7 = 0
 c) 4x2 – 7x – 4 = 0
 d) x2 + 5x – 2 = 0
 2. Utilizando as propriedades da soma e do pro-
duto, determine as raízes, mentalmente, das 
seguintes equações do 2o. grau:
 a) x2 – 7x + 6 = 0
 b) x2 – x – 6 = 0
 c) x2 + 4x + 3 = 0
 d) x2 – 2x – 35 = 0
 e) x2 +10x + 25 = 0
 f ) x2 – 8x + 15 = 0
 g) x2 – 6x + 9 = 0
 h) x2 + 7x + 12 = 0
 i ) x2 – 13x + 36 = 0
 j) x2 – 6x – 7 = 0
 3. (UnB – DF) A soma das raízes da equação 
3x2 + 6x – 9 = 0 é igual a:
 a) 4 b) 1 X c) –2
 d) –3 e) –4 
 4. (PUCPR) A soma e o produto das raízes da equa-
ção x2 + x – 1 = 0 são respectivamente:
 a) –1 e 0 b) 1 e –1
 c) –1 e 1 X d) –1 e –1
 e) 0 e 0 
 5. (UFSM – RS) A soma e o produto das raízes da 
equação 2x2 – 7x + 6 = 0, respectivamente, 
são:
 a) –7 e 6 b) 
7
2
 e 3
 c) 7
2
3e X d) 
7
2
3e 
 e) 7 e –6
 6. (UFAM) Quais os valores de b e c, para que a 
equação x2 + bx + c = 0 tenha como raízes 5 
e –3?
X a) –2 e –15 b) 5 e –3 
 c) 15 e 3 d) –5 e 3 
 e) 5 e 5
 7. (USU – RJ) Sabemos sobre a equação 
ax x c2 2 2 0− + = com coeficientes reais a e c, 
são, necessariamente:
 a) iguais e inteiras; 
 b) iguais e racionais;
 c) iguais e irracionais;
X d) iguais e reais;
 e) números imaginários puros.
Matemática Básica44
 8. (UNESP – SP) Dada a equação x x2 2 0+ − = , 
calcule a soma dos inversos de suas raízes. 
 9. (PUC – MG) Uma das raízes da equação 
x2 + mx + m2 – m – 12 = 0 é nula, e a outra é 
positiva. O valor do parâmetro m é:
 a) –4 X b) –3 c) 0
 d) 3 e) 4
10. (UCPel – RS) As raízes da equação x2 – px + 18 = 0 
são números inteiros e positivos. Então, os pos-
síveis valores de p são: 
 a) 2, 9 ou 12
 b) 2, 11 ou 12
X c) 9, 11 ou 19
 d) 3, 6 ou 19
 e) 3, 11 ou 12
11. (FEI – SP) Na equação do 2o. grau 4x2 + px + 1 = 0, 
a soma dos inversos das raízes é –5. O valor de 
p é:
 a) 6 X b) 5 c) 4
 d) 0 e) –1
12. (UFMA) A soma e o produto das raízes da 
equação px2 – 2(q – 1) x + 6 = 0 são, respec-
tivamente, –3 e 3. O valor de p + q é:
 a) 2 b) 4 X c) 0
 d) –2 e)1
13. (FEI – SP) A equação x2 – x + c = 0 possui raí-
zes reais r e s, tais que r = 2s. Os valores de r 
e s são:
X a) 2
3
1
3
e b) 2 e 1 c) 
1
3
1
6
e
 d) –2 e –1 e) 6 e 3
14. (UNITAU – SP) Qual é o valor da soma dos inver-
sos dos quadrados das duas raízes da equação 
x2 + x + 1 = 0?
15. (CESGRANRIO – RJ) Se x1 e x2 são raízes de 
x2 + 57x – 228 = 0, então 
1 1
1 2x x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 vale:
 a) 1
4
 X b) 1
4
 c) 1
2
 d) 1
2
 e) 1
6
1
6
ou
16. (UEL – PR) Sabe-se que os números reais α e β 
são as raízes da equação x2 – kx + 6 = 0, na 
qual k ∈ R. A equação do 2o. grau que admite 
raízes α + 1 e β + 1 é:
 a) x2 + (k + 2)x + (k + 7) = 0
X b) x2 – (k + 2)x + (k + 7) = 0
 c) x2 + (k + 2)x – (k + 7) = 0
 d) x2 – (k + 1)x + 7 = 0
 e) x2 + (k + 1)x + 7 = 0
Equações especiais
A denominação “equações especiais” refere-se a dois 
tipos de equações que estudaremos:
 equações redutíveis às do 2o. grau;
 equações irracionais.
Equações redutíveis 
às do 2o. grau
Você estudou anteriormente a resolução de equações do 
2.º grau por meio da Fórmula de Bhaskara. Assim, uma equação 
da forma ax2 + bx + c = 0 pode ser resolvida pela fórmula:
Ensino Médio | Modular
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45
FÍSICAMATEMÁTICA
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
Podemos, usando essa fórmula, resolver outras equações 
(que não são do 2o. grau). Nenhuma das equações a seguir é 
do 2o. grau, mas elas podem ser resolvidas usando a fórmula 
de Bhaskara:
 x4 – 17x2 + 16 = 0
 x10 – 33x5 + 32 = 0
 32x – 12 . 3x + 27 = 0
 x x23 3 2 0− − =
 |x|2 – 4|x| + 3 = 0
Todas as equações apresentadas no quadro são equa-
ções redutíveis às do 2º. grau. Tais equações, mediante 
uma mudança adequada de incógnitas, são transformadas 
em equações do 2o. grau. Observe:
 x4 – 17x2 + 16 = 0
 Fazendo x2 = m 
 m2 – 17m + 16 = 0
 Resolvendo a equação do 2o. grau 
 m = 16 ou m = 1
 Desfazendo a troca de incógnitas 
x x ou x
ou
x x ou x
2
2
16 4 4
1 1 1
= ⇒ = = −
= ⇒ = = −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
 Portanto: S = {4; – 4; 1; – 1}
Observação
Toda equação da forma ax4 + bx2 + c = 0, onde a, b e c ∈ R, 
com a ≠ 0, é conhecida por equação biquadrada.
Alguns exemplos:
a) x10 – 33x5 + 32 = 0
 Fazendo x5 = m 
 m2 – 33m + 32 = 0
 Resolvendo a equação do 2o. grau 
 m = 32 ou m = 1
 Desfazendo a troca de incógnitas
Portanto, as soluções reais da 
equação dada são 
S = {2; 1}.
x x
ou
x x
5
5
32 2
1 1
= ⇒ =
= ⇒ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Th
eo
 C
or
de
iro
Entendi!
Eu faço uma troca 
de incógnitas para obter 
uma equação do 
2º. grau.
b) 32x – 12 . 3x + 27 = 0
 Fazendo 3x = m 
 m2 – 12 . m + 27 = 0
 Resolvendo a equação do 2o. grau
 m = 3 ou m = 9
 Desfazendo a troca de incógnitas
Portanto: S = {2; 1}.
3 3 1
3 9 2
x
x
x
ou
x
= ⇒ =
= ⇒ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Observação
A equação 32x – 12 . 3x + 27 = 0 é uma equação expo-
nencial. 
c) x x23 3 2 0− − =
 Fazendo x m
3 =
 m2 – m – 2 = 0
 Resolvendo a equação do 2o. grau
 m = 2 ou m = –1
 Desfazendo a troca de incógnitas
Portanto: S = {8; –1}.
x x
ou
x x
3
3
2 8
1 1
= ⇒ =
= − ⇒ = −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
d) |x|2 – 4|x| + 3 = 0
 Fazendo |x| = m
 m2 – 4m + 3 = 0
 Resolvendo a equação do 2o. grau
 m = 1 ou m = 3
 Desfazendo a troca de incógnitas
Portanto: 
S = {–1; 1; 3; –3}
x x ou x
ou
x x ou x
= ⇒ = = −
= ⇒ = = −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1 1 1
3 3 3
Como é 
possível resolver 
uma equação 
que não 
é do 2º. grau usando 
a Fórmula de 
Bhaskara?
Th
eo
 C
or
de
iro
Matemática Básica46
Assim como as equações anteriormente resolvidas, exis-
tem diversos tipos de equações que são redutíveis às do 2o. 
grau por meio de troca de incógnitas.
Equações irracionais
Quando conhecemos a área de um quadrado e queremos 
obter a medida do correspondente lado, podemos representar 
tal problema geométrico por uma equação do 2o. grau. Observe 
o problema:
Qual a medida do lado do quadrado cuja área é 100 cm2?
Equação: x2 = 100
Agora, reciprocamente, quando conhecemos a medida 
do lado e queremos obter a área, tal problema geométrico 
pode ser resolvido por uma equação que tem a incógnita no 
radicando de um radical. Vamos exemplificar:
Qual a área do quadrado cujo lado mede 10 cm?
Como a área do quadrado é o quadrado da medida do lado, 
bastaria elevar ao quadrado a medida do lado. Entretanto, 
uma outra possibilidade seria resolver a equação:
x =
⇓
10��� ��
Equações que possuem a incógnita sob um ou mais 
radicais são denominadas de equações irracionais.
A resolução de uma equação irracional consiste na elimi-
nação dos radicais. Para que isso ocorra, devemos elevar os 
membros da igualdade correspondente à equação a potências 
convenientes.
Assim, o problema geométrico anterior pode ser resol-
vido elevando membro a membro ao quadrado na equação 
irracional:
 x 10
 Elevando ao quadrado 
 ( )x 2 210
 Eliminando o radical 
 x = 100
Cuidado!
Após resolver uma equação irracional, é necessário veri-
ficar se a(s) solução(ões) verifica(m) a equação dada. Quando 
elevamos uma igualdade a uma potência, podemos introduzir 
raízes estranhas à equação dada.
Observe alguns exemplos:
a) Resolva a equação:
 4 3− =x x
4 3− =x x
 Elevando ao quadrado 
( )4 3 2 2− =x x
 Eliminando o radical 
4 – 3x = x2
ou
x2 + 3x – 4 = 0
 Resolvendo a equação do 2º. grau 
 x = – 4 ou x = 1
 Verificando as soluções 
x = − ⇒ − − = −4 4 3 4 4( )
 16 = –4
 4 = –4 (falso)
 x = ⇒ − =1 4 3 1 1.
 1 1=
 1 = 1 (verdadeiro)
 Portanto: S = {1}
10 cm
10 cm
Transformando 
uma equação em 
uma equação 
de 2.o grau 
@MAT2012
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FÍSICA
47
FÍSICAMATEMÁTICA
Às vezes, 
é necessário elevar os mem-
bros de uma igualdade mais 
de uma vez, para conseguir-
mos eliminar os radicais.
Th
eo
 C
or
de
iro
b) Resolva a equação:
 2 1 33 x + =
2 1 33 x + =
 Elevando ao cubo 
( )2 1 33 3 3x + =
 Eliminando o radical 
2x + 1 = 27
 Resolvendo a equação do 1º. grau 
 x = 13
 Verificando a solução 
x = ⇒ + =13 2 13 1 33 .
 27 33 =
3 = 3 (verdadeiro)
Portanto: S = {13}
c) Resolva a equação:
 2 1 2 4 5x x+ + − =
Deixamos, inicialmente, uma raiz em cada 
lado da igualdade.
2 1 5 2 4x x+ = − −
 Elevando ao quadrado 
( ) ( )2 1 5 2 42 2x x+ = − −
 Eliminando um radical 
2 1 25 10 2 4 2 4x x x+ = − − + −.
 Isolamos o radical 
10 2 4 20. x − =
 Dividimos por 10 
2 4 2x − =
 Elevamos ao quadrado 
( )2 4 22 2x − =
 Eliminamos o radical 
2x – 4 = 4
 Resolvendo a equação do 1º. grau 
 x = 4
 Verificamos a solução 
x = ⇒ + + − =4 2 4 1 2 4 4 5. .
 9 4 5+ =
 3 + 2 = 5
5 = 5 (verdadeiro)
Portanto: S = {4}
 1. (FAAP – SP) O conjunto-solução da equação 
q4 – 13q2 + 36 = 0 é:
 a) {2; 3}
 b) {0; 2; 3}
 c) {–3; –2}
X d) {–3; –2; 2; 3}
 e) {–3; –2; 0; 2; 3} 
 2. (UFRN) Uma das soluções da equação 
x4 – 8x2 + 16 = 0 é:
 a) –1 X b) –2 c) –3
 d) –4 e) –5
 3. (FESO – RJ) O número de raízes reais da equa-
ção x4 + 3x2 – 4 = 0 é:
 a) 0 b) 1 X c) 2
 d) 3 e) 4
 4. (CESGRANRIO – RJ) O produto das raízes posi-
tivas de x4 – 11x2 + 18 = 0 vale: 
 a) 2 3 X b) 3 2 c) 4 3
 d) 4 2 e) 5 3
 5. Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-
-se o dobro da sua raiz quadrada. Qual é esse 
número?
 a) 2 b) 3 c) 7
X d) 9 e) 1
 6. (PUC – MG) A solução da equação 
( )x x+ = −2 4 pertence ao intervalo:
 a) ]2; 7] b) ]2; 3] c) [0; 1]
X d) [–1; 3] e) [–1; 1]
 7. A solução da equação x x− + =( )2 2 3 é:
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 5 X e) 7
Matemática Básica48
Números proporcionais – I
Um dos principais conceitos da Matemática é o relacionado à proporção. A esse conceito estão liga-
dos outros, tais como: razão, grandezas direta e inversamente proporcionais e, ainda, a utilização de 
porcentagem.
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2009. Adaptação.
M
ar
ilu
 d
e 
So
uz
a
BRASIL – político
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
49
FÍSICAMATEMÁTICA
Como exemplo de aplicação do conceito de proporcionalidade, podemos citar a 
construção de mapas. Neles, a escala indica uma proporção existenteentre a medida 
da planta e a medida real do que está representado na planta.
Assim, uma escala 1 : 1 000 significa que uma medida real de 1 000 unidades de 
comprimento é representada no desenho por 1 unidade apenas.
Uma ampliação ou redução de um desenho qualquer, quando não aparecem de-
formações, caracteriza-se por manter uma proporcionalidade entre as medidas de 
comprimento.
Proporção
As medidas do comprimento e da largura do retângulo ABCD são, respectivamente, 8 cm e 6 cm.
O retângulo A’B’C’D’ é uma redução do retângulo ABCD. As medidas do comprimento e da largura 
são 4 cm e 3 cm, respectivamente.
É aí que entra a ideia de proporcionalidade. Vamos tomar dois segmentos 
correspondentes nas duas figuras e calcular a razão entre as suas medidas:
AB
A B
cm
cm′ ′
= = =
8
4
8
4
2
 Razões iguaisAD
A D
cm
cm′ ′
= = =
6
3
6
3
2
Como as razões são iguais, podemos escrever a igualdade:
AB
A B
AD
A D′ ′ ′ ′
=
� �� ��
Proporção
Portanto:
Denomina-se proporção a igualdade entre duas ou mais razões. A igualdade
a
b
c
d
 é uma proporção que é lida da seguinte forma: a está para b à mesma 
proporção que c está para d.
Th
eo
 C
or
de
iro
Como eu 
verifico se um desenho
 é ou não uma redução
 do outro?
Equações 
na forma de 
proporção
@MAT2404
Matemática Básica50
Isto pode 
ser facilmente 
verificado. 
Observe a seguir!
Th
eo
 C
or
de
iro
1
200
5=
x
 ⇒ 
x
x x200
1000
200. .
=
x = 1 000
Portanto, a medida real correspondente é de 
1 000 cm = 100 dm = 10 m.
Observação
Os termos a e c são chamados de antecedentes da proporção, e os termos b e d são os conse-
quentes. Outra denominação usual é meios e extremos de uma proporção:
a
b
c
d
Meios
Extremos
Exemplo
 Uma planta de uma casa está na escala 1 : 200. Um segmento de 5 cm na planta corresponde 
a uma medida real x. Calcular x:
Propriedades
A utilização prática da ideia de proporção está, como no exemplo anterior, no cálculo de um dos 
termos desconhecidos. Para facilitar a resolução de problemas envolvendo termos desconhecidos 
numa proporção, observe as duas propriedades a seguir.
1a. propriedade
Verificação:
 Vamos considerar a proporção:
a
b
c
d
multiplicando por bd 
bd
a
b
bd
c
d
. .
simplificando 
ad = bc
 Agora, reciprocamente:
ad = bc
 dividindo por bd 
ad
bd
bc
bd
 simplificando 
a
b
c
d
2a. propriedade
As proporções se mantêm ao serem adicionados a elas os dois (ou mais) 
antecedentes e os correspondentes consequentes:
a
b
c
d
a c
b d
= =
+
+
Em uma proporção, o produto dos extremos é igual 
ao produto dos meios:
a
b
c
d
a d b c= ⇒ =. .
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
51
FÍSICAMATEMÁTICA
Exemplo
 Calcular x e y na proporção 
x y
4 5
, sabendo que x + y = 36:
x y x y
4 5 4 5
= = +
+
x y
4 5
36
9
= =
x y
4 5
4= =
Fazendo 
x
4
4= , temos x = 16; 
e 
y
5
4= , temos y = 20.
Logo, x = 16 e y = 20.
Teorema de Tales
Tales foi um matemático que surgiu para a história no sexto século a.C. Ele, como mostraremos 
oportunamente, teria calculado a altura da grande pirâmide de Quéops, utilizando semelhança de 
triângulos (consequência de proporcionalidade).
Observe agora o Teorema de Tales sobre retas paralelas.
Um feixe de retas paralelas, intersectando duas retas transversais, determina nessas transversais 
segmentos proporcionais.
Assim:
a
x
b
y
c
z
a b
x y
a b c
x y z
= = =
+
+
= =
+ +
+ +
...
Matemática Básica52
Exemplo
 (UFSM – RS) Sendo as retas r, s, t e u paralelas, os valores dos segmentos x e y, na figura abaixo, 
são, respectivamente:
2 3 4
9x y
= =
2 4
9
4 18 4 5
x
x x= ⇒ = ⇒ = ,
3 4
9
4 27 6 75
y
y y= ⇒ = ⇒ = ,
Grandezas diretamente proporcionais
O perímetro de um quadrado é a medida de seu contorno. Assim, se a medida do lado do quadrado 
é x, então a medida de seu perímetro y será 4x:
Perímetro: y
y = x + x + x + x
y = 4x
Observe que, segundo a tabela abaixo, ao duplicar a medida do lado do quadrado, o perímetro 
também duplica.
Lado x Perímetro y = 4x
3 12
6 24
9 36
. 3 . 2 . 3
. 2
Quando isso ocorre, dizemos que as grandezas são diretamente propor-
cionais.
Duas ou mais grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, 
aumentando ou diminuindo uma delas, a outra (ou outras) aumenta(m) ou 
diminui(em) na mesma proporção.
Triplicando a 
medida do lado, o 
perímetro 
também triplica.
Th
eo
 C
or
de
iro
Proporção 
direta – 
Consumo de 
combustível
@MAT2807
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
53
FÍSICAMATEMÁTICA
Voltando ao exemplo do quadrado, observe que o quociente entre o perímetro e a medida do lado é 
sempre constante, ou seja:
y = 4x ⇒ y
x
4
Dessa forma, conforme os valores da tabela:
y
x
12
3
24
6
36
9
4...
Constante de proporcionalidade
 
Portanto, duas grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente entre os valores 
correspondentes for constante.
Grandezas inversamente proporcionais
Considere agora um automóvel percorrendo uma distância em linha reta de 400 km, a uma velo-
cidade constante.
Como:
velocidade = espaço percorrido 
tempo
 ⇒ v
km
t
= 400 ⇒ v . t = 400 km
Observe, na tabela a seguir, alguns valores das grandezas velocidade (em km/h) e tempo (em h). 
Velocidade (km/h) Tempo (h)
25 16
50 8
100 4
. 4 . 2 ÷4÷ 2
Duplicando a velocidade, o tempo gasto para percorrer a distância fica dividido por dois. Analoga-
mente, quadruplicando a velocidade, o tempo necessário para o deslocamento fica dividido por quatro.
Quando isso ocorre, dizemos que tais grandezas são inversamente proporcionais.
Duas ou mais grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, aumentando ou 
diminuindo uma delas, a outra (ou outras) diminui(em) ou aumenta(m) na proporção inversa.
Voltando ao nosso exemplo, temos que o produto das grandezas envolvidas é constante:
v . t = 400
Observando alguns valores atribuídos, temos:
25 . 16 = 50 . 8 = 100 . 4 = ... = 400
 
Constante de proporcionalidade 
Uma outra maneira de verificar se duas grandezas são inversamente proporcionais é pelo produto 
de seus correspondentes valores:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre os valores corres-
pondentes for constante.
Th
eo
 C
or
de
iro
Proporção 
inversa – Tempo 
necessário para 
percorrer 360 km
@MAT2927
Matemática Básica54
Regra de três simples
A regra de três simples é um procedimento prático para resolver problemas relacionados com 
grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Th
eo
 C
or
de
iro
Numa proporção, 
quando três valores são 
conhecidos, a determinação 
do quarto valor é pela regra 
de três simples.
O processo consiste em:
(1) reunir em uma mesma coluna as grandezas de igual espécie e de mesma unidade de medida;
(2) verificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais;
(3) escrever a proporção correspondente e solucioná-la.
Observe alguns exemplos a seguir.
Exemplo 1
Se 10 m de um certo tecido custam R$ 60,00, qual o valor de 25 m do mesmo tecido, supondo que 
não houve desconto?
Tecido (m) Valor (R$)
10 60
25 x
As grandezas são diretamente proporcionais, pois aumentando-se a quantidade de tecido, o valor 
aumenta na mesma proporção.
10
25
60
x
 ⇒ 10 . x = 25 . 60 ⇒ x = 150 Portanto, R$ 150,00.
Exemplo 2
Uma obra é construída por 12 operários em 90 dias. Em quantos dias essa obra seria construída 
por 36 operários, supondo o caso ideal em que todos eles tenham a mesma capacidade de produção?
Operários Tempo (dias)
12 90
36 x
As grandezas são inversamente proporcionais, pois aumentando-se a quantidade de operários, a 
quantidade de dias diminui na proporção inversa.
12
36 90
x
 ⇒ 12 . 90 = 36 . x ⇒ x = 30 Portanto, 30 dias.
Regra de três 
– O tempo 
necessário 
para pintar 17 
quartos
@MAT2558
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
55
FÍSICAMATEMÁTICA
 1. (CESGRANRIO – RJ) As retas r1, r2 e r3 são pa-
ralelas,e os comprimentos dos segmentos de 
transversais são os indicados na figura. Então, 
x é igual a:
 a) 4
1
5
 b) 
15
2
 c) 5
 d) 8
5
 X e) 6
 2. (UFES) A escala da planta de um terreno, na 
qual o comprimento de 100 m foi representa-
do por um segmento de 5 cm, é:
 a) 
1
200
 b) 
1
1000 X c) 
1
2 000
 d) 
1
10 000
 e) 
1
100
 3. (PUC – SP) Para que se verifique a igualdade 
9
8
5
20y
x
, os valores de x e y devem ser, 
respectivamente:
 a) 2 e 5 b) 
1
4
 e 
1
5
 X c) 2 e 36
 d) 5 e 35 e) 1 e 5
 4. (UFRN) Uma gravura de forma retangular, me-
dindo 20 cm de largura por 35 cm de compri-
mento, deve ser ampliada por 1,2 m de largu-
ra. O comprimento correspondente será:
 a) 0,685 m 
 b) 6,85 m
X c) 2,1 m
 d) 1,35 m
 e) 0,135 m
 5. (FMJ – SP) A razão entre dois números é 3/8. 
Se a soma do maior com o dobro do menor é 
42, o maior deles é:
 a) 9
 b) 15
X c) 24
 d) 30
 e) 40
 6. (FAAP – SP) Considere as duas figuras A e B a 
seguir:
O valor de x para que as medidas das bases 
e das alturas das duas figuras sejam propor-
cionais é:
X a) 4,3 b) 5,0 c) 3,2
 d) 2,0 e) 6,2
 7. Se a, b e c são diretamente proporcionais a 3, 
4 e 5 e sabendo-se que a + b + c = 17, con-
cluímos que 4a + 3b – c é igual a:
 a) 
85
12
 b) 17
 c) 34
 d) 1
X e) 
323
12
Matemática Básica56
Números proporcionais – II
O gráfico ao lado foi publicado em 
jornais, recentemente, tendo como fon-
te a Radiobrás. Ele representa as fontes 
de recursos em alguns setores, assim 
divididos:
 transportes;
 energia;
 telecomunicações;
 desenvolvimento social;
 informação e conhecimento;
 meio ambiente.
Em cada setor, a fonte de recursos é 
pública ou privada.
Observe que, nos gráficos, em vez do 
uso dos valores em reais, aparecem os 
percentuais correspondentes.
Vamos observar um dos setores e a partir dele compreender qual o significado do símbolo % e por que 
as “porcentagens” são muito utilizadas nos levantamentos estatísticos. Tomando o caso do meio ambiente:
Dizer que 80% dos recursos usados no meio am-
biente têm como fonte o setor público significa o mes-
mo que, de cada R$ 100,00, R$ 80,00 têm origem no 
setor público.
Analogamente, os 20% indicam que, de cada 
R$ 100,00, R$20,00 têm origem no setor privado.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
57
FÍSICAMATEMÁTICA
Th
eo
 C
or
de
iro
81 centésimos 
é o mesmo 
que 81%?
Porcentagem
As razões cujos consequentes são iguais ao número 100 são denominadas razões centesimais.
Exemplo
7
100
0 07, 7 centésimos
15
100
0 15, 15 centésimos
81
100
0 81, 81 centésimos
Porcentagem ou percentagem é uma razão 
centesimal representada pelo símbolo %, que 
significa por cento.
Assim:
7
100
7
1
100
7 0 01 7. . , %
15
100
15
1
100
15 0 01 15. . , %
81
100
81
1
100
81 0 01 81. . , %
Essa forma de representação (7%, 15%, 81%) denomina-se taxa percentual.
Observação
Os problemas relacionados à porcentagem podem ser resolvidos por meio do processo denominado 
“regra de três simples”.
Exemplo 1
 Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo 
time A. Quantas pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time A?
• Regra de três:
 % no. pessoas
 100 840 
 25 x 
 
100
25
840=
x
 100 . x = 840 . 25
 x = 210
• Outra maneira:
 25% de 840 = 0,25 . 840 = 210
 Portanto, 210 pessoas.
Exemplo 2
 Em uma escola com 1 810 alunos, 1 086 são meninas. Qual é o percentual de meninas?
• Regra de três:
 % no. alunos
 100 1 810 
 x 1 086
 
100 1810
1086x
=
 1 810 . x = 100 . 1 086
 x = 60
• Outra maneira:
 x = = = =
1086
1810
0 60
60
100
60, %
 Portanto, 60%.
Matemática Básica58
Exemplo 3
 Uma fatura de R$ 1.250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor 
total pago.
• Regra de três:
 R$ %
 1.250 100 
 x 3,5
 
1 250 100
3 5
.
,x
=
 100 . x = 1.250 . 3,5
 x = 43,75 (multa)
O valor pago foi R$ 1.293,75, resultado de 
R$ 1.250,00 + R$ 43,75.
• Outra maneira:
 x = 1,035 . 1.250 = 1.293,75
 1 + 0,035 =
 = +100
100
3 5
100
,
Regra de três composta
Assim como a regra de três simples, a composta não constitui um conhecimento matemático, 
mas, sim, um procedimento prático para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas.
Observe os dois exemplos a seguir:
Exemplo 1
 30 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintam uma escola em 4 dias.
 Quantos dias serão necessários para que 12 pintores, trabalhando 10 horas por dia, pintem a 
mesma escola?
Th
eo
 C
or
de
iro
Resolução:
no. pintores h/dia dias
30 6 4
12 10 x
inversa
inversa
Assim, o tempo (dias) é inversamente proporcional à 
quantidade de pintores e ao tempo de horas diárias. 
Logo:
4 12
30
10
6x
= .
 
4 2
3x
x = 6
Portanto, 6 dias.
 fração mantida fração invertida
 fração invertida
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FÍSICA
59
FÍSICAMATEMÁTICA
Exemplo 2
Um vendedor percorre 1 200 km em 5 dias, viajando 8 horas por dia. Em quantos dias ele percorrerá 
3 600 km, viajando 12 horas por dia?
Th
eo
 C
or
de
iro
Resolução:
distância
(km)
dias h/dia
1 200 5 8
3 600 x 12
inversadireta
O número de dias é diretamente proporcional à distância 
e inversamente proporcional ao número de horas por dia. 
Assim:
5 1200
3600
12
8x
.
 
 fração invertida
5 1
2
10
x
x= ⇒ = Portanto, 10 dias.
 1. (CESCEA – SP) A razão 5
8
 pode ser representa-
da por:
 a) 63% X b) 62,5%
 c) 64,5% d) 67,5%
 e) 6,25%
 2. (FGV – SP) Trinta por cento da quarta parte de 
6 400 é igual a:
X a) 480 b) 640
 c) 240 d) 160
 e) 120
 3. (FUVEST – SP) (10%)2 é igual a:
X a) 1% b) 10%
 c) 20% d) 100%
 e) 1 000%
 4. (UFSC) Paguei, com multa, R$ 18.450,00 por 
uma prestação cujo valor era de R$ 15.000,00. 
Qual a taxa porcentual da multa?
 5. (UDESC – SC) De 150 candidatos que partici-
param de um concurso, 60 foram aprovados. 
Isso significa que:
 a) 20% reprovaram; 
 b) 30% foram aprovados;
 c) 40% reprovaram;
 d) 50% foram aprovados;
X e) 60% reprovaram.
 6. (VUNESP – SP) Se um entre cada 320 habi-
tantes de uma cidade é engenheiro, então a 
porcentagem de engenheiros nessa cidade é 
dada por:
 a) 0,32% b) 3,2%
 c) 0,3215% X d) 0,3125%
 e) 3,125%
 7. (UNIFOR – CE) Um instrumento para analisar 
as condições de vida de um país são os grá-
ficos de mortalidade. O gráfico a seguir mos-
tra a frequência relativa de mortes, no ano de 
1998, distribuída por faixa etária e reflete a 
situação de um país bastante pobre:
Matemática Básica60
De acordo com o gráfico, é verdade que:
 a) a maior quantidade de mortes referiu-se a 
pessoas com idade acima dos 70 anos;
 b) entre as pessoas com mais de 60 anos, pou-
cas morrem e a maioria sobrevive;
 c) mais de 50% da população morre após os 
50 anos de idade;
 d) o número de mortes aumenta com o au-
mento da idade;
X e) cerca de 30% das mortes atingiram crian-
ças com até 10 anos de idade.
 8. (MACK – SP) Numa loja, o preço de um pro-
duto tem um desconto de 15% se for pago à 
vista ou um acréscimo de 5% se for pago com 
cartão de crédito. Tendo optado pelo cartão, 
uma pessoa pagou R$ 80,00 de acréscimo em 
relação ao que pagaria, com desconto, à vista. 
Então, a soma dos preços do produto à vista 
com desconto no cartão é:
 a) R$ 740,00
 b) R$ 720,00
 c) R$ 700,00
 d) R$ 780,00
X e) R$ 760,00
 9. (MACK – SP) Numa faculdade com 48 pro-
fessores, apenas 25% são doutores. Foram 
contratados novos professores sem o título 
de doutor e, com isso, a porcentagem de pro-
fessores doutores diminuiu para 24%. Nessas 
condições, o número atual de professores da 
faculdade é:
 a) 84
 b) 62
 c) 60
 d) 52
X e) 50
10. (ETFC – CE) Se 10 operários gastam 12 dias 
para abrir um canal de 20 m de comprimento, 
16 operários, para abrir um canal de 24 m de 
comprimento, gastarão:
 a) 1/3 do mês; 
 b) 2/5 do mês;
 c) 1/2 do mês;
X d) 3/10 do mês;
 e) 1/10 do mês.11. (COLÉGIO NAVAL) Certa máquina, trabalhan-
do 5 horas por dia, produz 1 200 peças em 3 
dias. O número de horas que deverá trabalhar 
no 6.º dia para produzir 1 840 peças, se o regi-
me de trabalho fosse 4 horas diárias, seria:
 a) 18 h
 b) 3,75 h
 c) 2 h
X d) 3 h
 e) nenhuma hora 
 1. (FFFCMPA – RS) Uma loja estava vendendo um 
produto e o valor da etiqueta era x reais. Três 
amigas, na compra desse produto, conseguiram 
desconto da seguinte forma:
 • Ana conseguiu inicialmente 10% de desconto so-
bre o valor da etiqueta, e após insistir com a ven-
dedora, conseguiu mais 10% sobre o valor a ser 
pago. No caixa, conseguiu do proprietário mais 
10% de desconto sobre o valor que iria pagar;
 • Bia conseguiu da vendedora 20% de desconto so-
bre o valor da etiqueta e com o proprietário mais 
10% de desconto sobre o valor que iria pagar;
 • Déa conseguiu, de imediato, 30% de desconto 
sobre o valor da etiqueta.
Nessas condições, na compra desse produto, 
pode-se afirmar que:
 a) Ana, Bia e Déa pagaram o mesmo valor.
 b) Déa pagou o maior valor dentre as três amigas.
 c) Bia pagou um valor maior do que o valor pago 
por Ana.
 d) Déa pagou um valor maior do que o valor 
pago por Bia.
X e) Déa pagou um valor menor do que o valor 
pago por Ana.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
61
FÍSICAMATEMÁTICA
 2. (PUC-Rio – RJ) 30% de 30% são:
 a) 3 000%. b) 300%.
 c) 900%. X d) 9%.
 e) 0,3%. 
 3. (ACAFE – SC) Em uma usina de álcool existe um 
galpão dividido em quatro depósitos e um hall 
de entrada de 30 m2, conforme a figura abaixo. 
Os depósitos l, ll, lll e lV serão construídos para o 
armazenamento de, respectivamente, 80, 60, 40 
e 70 fardos de cana-de-açúcar de igual volume, e 
suas áreas devem ser proporcionais a essas capa-
cidades.
I
II
hall
30 m2
III
IV
23 m
10 m
A área do depósito l, em m2, é igual a:
 a) 56 b) 70 
 c) 48 X d) 64
 e) 60
 4. (UPE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma ca-
minhada de duas horas em uma pista circular. 
Rebeca gasta 18 minutos para completar uma 
volta, e Neto, 12 minutos para completar a vol-
ta. Se eles partem do mesmo ponto P da pista e 
caminham em sentidos opostos, pode-se afirmar 
que o número de vezes que o casal se encontra 
no ponto P é:
 a) 1 b) 2
X c) 3 d) 4
 e) 5
 5. (UFRJ) Em um campeonato de futebol, o vencedor 
de cada partida ganha 3 pontos, o perdedor não 
ganha pontos e, em caso de empate, cada time 
ganha 1 ponto. Todas as equipes jogam o mesmo 
número de partidas e, se duas ou mais chegam 
ao final do campeonato com o mesmo núme-
ro de pontos, classifica-se na frente a que tiver 
obtido maior número de vitórias. José Eduardo, 
que tem umas ideias um tanto heterodoxas, pro-
põe alterar este critério, classificando na frente a 
equipe com o maior número de derrotas. No fi-
nal do campeonato, as equipes X e Y alcançaram 
o mesmo número de pontos, mas X se classificou 
na frente de Y. A adoção do critério proposto por 
José Eduardo mudaria as posições de X e Y na 
tabela de classificação? 
Apresente suas soluções de forma clara, indican-
do, em cada caso, o raciocínio que conduziu à 
resposta. 
Os dois times jogaram o mesmo número de partidas de 
futebol, logo: v1 + e1 + d1 = v2 + e2 + d2
Como as equipes alcançaram o mesmo número de pontos, 
3v1 + e1 = 3v2 + e2 
3v1 – 3v2 = e2 – e1
3(v1 – v2) = e2 – e1
O 1o. time teve mais vitórias que o 2o., logo v1 – v2 > 0. Dessa 
forma, e2 – e1 > 0. Assim, da equação inicial, temos:
v1 – v2 + d1 = e2 – e1 + d2
d1 = – (v1 – v2 ) + (e2 – e1) + d2
d1 = – (v1 – v2 ) + 3(v1 – v2) + d2
d1 = 2(v1 – v2) + d2
Como 2(v1 – v2) + d2 > d2, o número de derrotas do 1
o. time 
é maior que o do 2o. Dessa forma, apesar da mudança do 
critério, o 1o. time ainda seria o vencedor.
 6. (UPE) Na população de uma espécie rara de 
1 000 aves da Floresta Amazônica, 98% tinham 
cauda de cor verde. Após uma misteriosa epide-
mia que matou somente aves com cauda verde, 
esta porcentagem caiu para 95%. Quantas aves 
foram eliminadas com a epidemia?
 a) 300 b) 400
 c) 500 X d) 600
 e) 700
 7. (UFG – GO) Uma pequena empresa, especiali-
zada em fabricar cintos e bolsas, produz mensal-
mente 1 200 peças. Em um determinado mês, a 
produção de bolsas foi três vezes maior que a 
produção de cintos. Nesse caso, a quantidade de 
bolsas produzidas nesse mês foi:
 a) 300 b) 450 c) 600 d) 750 X e) 900
 8. (PUC Minas – MG) Uma pessoa tem 36 moedas. 
Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um 
terço é de 5 centavos, e as restantes são de 10 
centavos. Essas moedas totalizam a quantia de:
 a) 8,75 b) 7,35 c) 5,45 X d) 4,35
Matemática Básica62
 9. (UFMG) Um carro bicombustível percorre 8 km 
com um litro de álcool e 11 km com um litro do 
combustível constituído de 75% de gasolina e de 
25% de álcool, composição adotada, atualmen-
te, no Brasil. Recentemente, o governo brasileiro 
acenou para uma possível redução, nessa mistu-
ra, da porcentagem de álcool, que passaria a ser 
de 20%. Suponha que o número de quilômetros 
que esse carro percorre com um litro dessa mistu-
ra varia linearmente de acordo com a proporção 
de álcool utilizada. Então, é correto afirmar que, 
se for utilizado um litro da nova mistura proposta 
pelo governo, esse carro percorrerá um total de:
X a) 11,20 km b) 11,35 km
 c) 11,50 km d) 11,60 km
10. (FUVEST – SP) Uma fazenda estende-se por dois 
municípios A e B. A parte da fazenda que está em 
A ocupa 8% da área desse município. A parte da 
fazenda que está em B ocupa 1% da área desse 
município. Sabendo-se que a área do município B 
é dez vezes a área do município A, a razão entre a 
área da parte da fazenda que está em A e a área 
total da fazenda é igual a:
 a) 2/9 b) 3/9 X c) 4/9 d) 5/9 e) 7/9
11. (MACK – SP) Na divisão 108 k
 r 5
, k e r são núme-
ros naturais com 0 r < k. Os possíveis valores 
de k são em número de: 
X a) 3 b) 4 c) 5
 d) 6 e) 7
12. (UNOPAR – PR) Dividindo-se um número inteiro 
D por 64, obtém-se um quociente Q e um resto R. 
Sabendo-se que o quociente é um número múlti-
plo de 30 e o resto, um múltiplo de 18, pode-se 
afirmar que D é um número: 
 a) ímpar X b) divisível por 6
 c) menor que 500 d) múltiplo de 48
 e) quadrado perfeito
13. (UEL – PR) Para levar os alunos de certa escola a 
um museu, pretende-se formar grupos que te-
nham iguais quantidades de alunos e de modo 
que, em cada grupo, todos sejam do mesmo 
sexo. Se nessa escola estudam 1 350 rapazes e 
1 224 garotas e cada grupo deverá ser acompa-
nhado de um único professor, o número mínimo 
de professores necessários para acompanhar to-
dos os grupos nessa visita é: 
 a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 X e) 143
14. (UNESP – SP) O produto de dois números posi-
tivos consecutivos é 240. O dobro do máximo 
divisor comum desses números é:
 a) 1 X b) 2 c) 30
 d) 240 e) 480
15. (UNIMEP – SP) São dados dois números naturais, 
não primos entre si, cujo produto é 630. O máxi-
mo divisor comum entre eles é: 
X a) 3 b) 9 c) 90
 d) 7 e) 1
16. (UEL – PR) Considere dois rolos de barbante, 
um com 96 m e outro com 150 m de compri-
mento. Pretende-se cortar todo o barbante dos 
dois rolos em pedaços de mesmo comprimen-
to. O menor número de pedaços que poderá 
ser obtido é: 
 a) 38 X b) 41 c) 43
 d) 52 e) 55
17. (UEL – PR) Sobre os números 2, 3, 5, 7 e 11, é 
verdade que:
 a) somente um deles é divisor de 280
 b) somente dois deles são divisores de 60
 c) somente três deles são divisores de 3 300
X d) somente quatro deles são divisores de 1 260
 e) todos eles são divisores de 2 100
18. (PUCPR) Qual o menor número natural de três 
algarismos que verifica as condições seguintes:
 I. dividido por 8 dá resto 3
 II. o quociente anterior, dividido por 7, dá resto 2
 III. o novo quociente, dividido por 5, dá resto 1
 a) 515 b) 179 c) 259
X d) 355 e) 315
19. (UEM – PR) Para distribuir 105 litros de álcool, 
120 litros de azeite e 75 litros de água em barris 
de mesma capacidade, de modo que a quantida-
de de barris seja a menor possível, a capacidade 
de cada barril,em litros, deve ser de:
Para uma menor quantidade de barris devemos ter uma 
maior capacidade por barril. Como a capacidade dos barris 
deve ser a mesma, então calculamos o maior valor que 
divide 105, 120 e 75;
105 = 3 . 5 . 7, 120 = 23 . 3 . 5 e 75 = 3 . 52
mdc (105, 120, 75) = 15
A capacidade de cada barril deve ser de 15 L.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
63
FÍSICAMATEMÁTICA
20. (UEM – PR) Um perito foi chamado para desmon-
tar uma bomba encontrada na garagem de um 
prédio. Ao examiná-la, ele constatou que a bom-
ba continha um marcador circular graduado, se-
melhante a um relógio, com um único ponteiro. 
O perito verificou, ainda, que a bomba já fora 
acionada e que explodiria assim que o pontei-
ro do marcador retornasse ao ponto de partida, 
após completar uma volta.
Observou, também, que o ponteiro percorria 12° 
sempre que 4 lâmpadas piscavam simultanea-
mente e que estas piscavam, respectivamente, 
a cada 1/4 de minuto, 3/20 de minuto, 3/10 de 
minuto e 1/5 de minuto. Se, no momento em 
que começou a desativar a bomba, o ponteiro 
já havia percorrido 60o, o tempo, em minutos, 
disponível para o perito realizar a tarefa foi de:
1.a lâmpada pisca a cada 15 segundos
2.a lâmpada pisca a cada 9 segundos
3.a lâmpada pisca a cada 18 segundos
4.a lâmpada pisca a cada 12 segundos
A partir do momento em que 
as lâmpadas piscaram, elas 
piscarão de novo no menor tempo 
que seja múltiplo dos tempos das lâmpadas, ou seja, 
mmc (15, 9, 18, 12) = 180 segundos.
Assim concluímos que as lâmpadas piscarão juntas a cada 3 
minutos (180 segundos). Então serão 12o a cada 3 minutos. Para 
o ponteiro completar a volta faltam 300o, logo
 3 minutos — 12o
 x — 300o
Assim, x = 75 minutos.
Resposta: 75 minutos.
21. (UEL – PR) Se x e y são números reais, então:
 a) (3x)y = 3x
y
X b) (2x . 3y)2 = 22x . 32y 
 c) (2x – 3x)y = 2xy – 3xy = –1xy
 d) 5x + 3x = 8x
 e) 3 . 2x = 6x
22. (UNISINOS – RS) Dados a e b números reais posi-
tivos, considere as afirmações: 
 I. (ax)y = axy, 
A
 x, y ∈ R
 II. (a . b)x = ax . bx, 
A
 x ∈ R
III. ax + y = ax . ay, 
A
 x, y ∈ R
Das afirmações acima: 
X a) I, II e III são corretas;
 b) somente II e III são corretas;
 c) somente III é correta;
 d) somente I e II são corretas;
 e) somente II é correta.
23. (FATEC – SP) Considere que a massa de um pró-
ton é 1,7 x 10–27 kg, o que corresponde a cerca 
de 1 800 vezes a massa de um elétron.
Dessas informações, é correto concluir que a 
massa de um elétron é, aproximadamente:
 a) 9 x 10–30 kg 
X b) 0,9 x 10–30 kg
 c) 0,9 x 10–31 kg 
 d) 2,8 x 10–31 kg
 e) 2,8 x 10–33 kg 
24. (FATEC – SP) Se A = (–3)2 – 22, B = – 32 + (–2)2 e 
C = (–3 – 2)2, então C + A x B é igual a: 
 a) –150 b) –100 c) 50
 d) 10 X e) 0
25. (UFMG) A expressão a a
a a
− −
−
−
1
9
1
3
2
2
2
1⋅( ) ÷ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, com 
a ≠ 0, é equivalente a:
 a) −a59 b) a59
X c) − −a 79 d) a79
 e) a−79
26. (CESGRANRIO – RJ) O número de algarismos do 
produto 517 x 49 é igual a:
 a) 17 X b) 18 c) 26
 d) 34 e) 35
27. (EPCAR – MG) Se 
A = 
− −
−
5 6
7
3 2
2 e B = 
− + −
−
5 6
7
3 2
2
( ) ( )
( )
, 
então A – B = 
K
49
, onde K é igual a:
X a) 250 b) 72 c) –72
 d) zero e) 178
28. (UNOPAR – PR) A expressão A = 
3 9
3 1 3
2 2
2 2
+
+.( )
é igual a:
X a) 1 b) 3 c) 5
 d) 3
2
 e) 5 2
Matemática Básica64
29. (FUVEST – SP) 
a) Qual a metade de 222 ? 
b) Calcule ( )8 923 
30. (PUCCAMP – SP) Simplificando-se a expressão
( )2 3
1
5 2 6
2 , obtém-se:
X a) 10 b) 25 c) 10 2 6
 d) 10 2 6 e) 10 4 6
31. (PUC – RJ) Seja a b ec= − = =12 2 1 4 2 3 3( ), . 
Então: 
X a) a < c < b b) c < a < b
 c) a < b < c d) b < c < a
 e) b < a < c
32. (UNICAMP – SP) Dados os dois números positivos, 
33 e 44 , determine o maior:
mmc (3,4) = 12
3 3 81
4 4 64
3 412 12
4 312 12
= =
= =
Logo, 3 43 4> . O maior é 33 .
33. (UFMG) O valor de
m = + − + −( ). [ ]2 8 3 5 7 2 72 20 4 2 é:
 a) 6 b) 6 2 c) 16
X d) 18 e) 12/5
34. (UFRGS) A expressão 3 5 5 3/ / é igual a:
X a) 8
15
 b) 3
5
 c) 1
 d) 34
15
 X e) 8 15
15
.
35. (PUC – MG) O valor da expressão
( ) ( )2 1 2 1 3 22 23 + − − − é:
 a) 2
3
2 b) 3
2
3 c) 6
1
2
 d) 3
1
2 X e) 2
1
6
36. (UFV – MG) A expressão 
7
7[ ( ) ]+ −a a
, onde a é 
um número real positivo, equivale a:
 a) 7 X b) ( )7 a a c) 7
 d) 7
7
 e) 1
37. (UI – MG) Simplificando a expressão 9 4 5 , 
obtém-se:
 a) 2 3 5 
 b) 3 5 
 c) 3 2 5
X d) 2 5 
 e) 2 2 5
38. (CEFET – RJ) Qual a expressão que deve ser soma-
da a x2 – 6x + 5 para que resulte o quadrado de 
(x – 3)?
 a) 3x b) 4x c) 3
X d) 4 e) 3x + 4x
39. (ULBRA – RS) Se x = a e y = b é uma solução do 
sistema 
x y
x y
2 2 20
6
+ =
=
⎧
⎨
⎩ .
, então, a + b é igual a:
 a) 20 X b) 4 2 c) 2
 d) 26 e) 3 2
40. (MACK – SP) Se a a
1
2
1
2 10
3
+ =
−
, então a + a–1 vale:
 a) 100
9
 b) 82
3
 X c) 82
9
 d) 100
82
 e) 16
9
41. (UNIFOR – CE) Se o polinômio 4x2 – 12x + k é um 
quadrado perfeito, então k é um número:
 a) divisível por 2 
 b) maior que 10
 c) divisível por 5 
 d) menor que 4
X e) divisível por 3
42. (FESO – RJ) Se x2 = 2x + 1, então x4 é igual a:
 a) 4x + 2 b) 4x + 3 c) 6x + 3
 d) 10x + 4 X e) 12x + 5
43. (UFSC) Calcule (a – b)2, sendo a e b números 
reais positivos, sabendo que: 
a b
a b
2 2 117
54
+ =
⋅ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ Ensino Médio | Modular
FÍSICA
65
FÍSICAMATEMÁTICA
44. (PUC – MG) A diferença entre os quadrados de 
dois ímpares, positivos e consecutivos, é 40. Es-
ses números pertencem ao intervalo:
 a) [3, 9] b) [4, 10]
X c) [8, 14] d) [10, 15]
 e) [11, 14]
45. (FATEC – SP) Sejam os números reais A e B tais que
A
x
y
y
x
e B
x
y
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +1 
A expressão A
B
1 é igual a:
 a) 1 b) 
x
y
 X c) y
x
 d) ( )y
x
1 e) − +( )y
x
1
46. (PUCCAMP – SP) Seja x um número real diferente 
de 2 e –2. Efetuando-se
x
x
x
x
+
−
+ −
−
1
2
2 7
42
, obtém-se:
 a) − +
−
( )
.( )
x
x
1
2 2
 b) x
x
+
−
2
2
X c) x
x
−
+
2
2
 d) –4x – 1
 e) x x
x
2
2
7 4
4
− +
−
47. (UFMS) Reduza à forma mais simples a expressão 
1
1
4
1
1
12
+
−
+
−
−
−
+
a
a a
a
a
=
+ + + − + −
−
=
+
+ −
=
+
+ −
=
−
1 2 4 1 2
1
4 4
1 1
4 1
1 1
4
1
2 2
2
a a a a
a
a
a a
a
a a( ) ( )
( )
( ) ( ) aa
1
1
4
1
1
1
1 1 4 1 1
12 2
+
−
+
−
− −
+
=
+ + + − − −
−
=a
a a
a
a
a a a a
a
( ) ( ) ( ) ( )
48. (PUCCAMP – SP) Seja x ∈ R – {0}. Simplificando-
-se a expressão
1 1
6
1
3
1
6
1
2
3
2
2
x x x
x x x
− −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
, obtém-se:
X a) 21
27 8
x
x
 b) 15
27 8x
 c) 7
9 4
x
x
 d) 21
9 4
x
x
 e) 3
5
49. (UEL – PR) Sobre as sentenças
 I. −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ( ) = −
2
3
3
4
22xy abx xy. . abx3y3
 II. −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
8
2
3
1
12
6 3 6 2a b y a by b:
III. −( ) + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =a b ab ab a b
2 3 2 32
5
3
4
5
3
 = − +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ab ab.
7
20
2
3
2
é correto afirmar que somente:
 a) I é verdadeira;
 b) II é verdadeira;
 c) III é verdadeira;
 d) I e II são verdadeiras;
X e) I e III são verdadeiras.
50. (FATEC – SP) Simplificando-se a expressão
m
m n
n
m n
n
m n
m
m n
m
n
m n
mn
n
m
+
+
−
+
−
−
+
+
+ −
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1
4
12( )
. ,
com m ∈ R, n ∈
 a) 0 b) 1 c) 2
X d) 3 e) [ ( )]5
3
m n
mn
+
m m n n m n
m n m n
n m n m m n
m n m n
n m
n
mn m
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
(
− + +
+ −
− − +
+ −
+
+
+ −4 nn
mn
m n
m)
.2
4
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
m mn mn n
m n m n
mn n m mn
m n m n
n m
n
m n
mn m
2 2
2 2 2
4
4
− + +
+ −
− − −
+ −
+ +
+ −
( ) ( )
( ) ( )
.
22 2mn n
m n
m+
+ =.
= +
− +
+ +
+ +
=m n
m n
n m
m mn n
2 2
2 2
2
2 2
4
2( )
( )
= +
− +
+
+
+
= − + =m n
m n
n m
m n
2 2
2 2
2
2
4
1 4 3
( )
( )
( )
Matemática Básica66
51. (UFMG) Considere o conjunto e todos os valo-
res de x e y para os quais a expressão a seguir 
está definida. 
Neste conjunto, a expressão equivalente a M é 
M
x
y
yx
x xy y
=
−
+ +
2
2
2
2
2 2
1 2 1
 a) (x – y)(x + y) b) (x – y)(x2 + y2)
 c) (x – y)/(x2 + y2) d) (x – y)/(x + y)
X e) (x – y)(x2 + y2)/(x + y)
52. (UEL – PR) O número 625 pode ser escrito como 
uma soma de cinco números inteiros ímpares e 
consecutivos. Nessas condições, uma das parce-
las dessa soma é um número: 
 a) menor que 120 b) maior que 130 
X c) quadrado perfeito d) divisível por 9
 e) múltiplo de 15
53. (UNICAMP – SP) Um copo cheio de água pesa 
385 g; com 
2
3
 de água, pesa 310 g. Pergunta-se:
 a) Qual é o peso do copo vazio? 
 b) Qual é o peso do copo com 3
5
 de água?
54. (UNICAMP – SP) Após ter corrido 2
7
 de um percur-
so e, em seguida, caminhado 5
11
 do mesmo per-
curso, um atleta verificou que ainda faltavam 600 
metros para o final do percurso. 
 a) Qual o comprimento total do percurso?
 b) Quantos metros o atleta havia corrido?
 c) Quantos metros o atleta havia caminhado?
55. (UNESA – RJ) Guilherme tinha um viveiro com cer-
to número de pássaros. Fugiu-lhe a metade dos 
pássaros mais 6 pássaros. Logo depois, fugiu-lhe 
a metade dos que sobraram mais 4, ficando en-
tão sem qualquer pássaro. Sobre a quantidade de 
pássaros que Guilherme possuía inicialmente, po-
demos afirmar que:
 a) é múltiplo de 3
 b) é múltiplo de 5
X c) é múltiplo de 7
 d) é múltiplo de 9
 e) é múltiplo de 11
56. (CEFET – PR) Em um cassino, uma pessoa intro-
duz em uma máquina um determinado número 
de fichas e recebe dela o dobro da quantidade 
original, decrescido de dez unidades. Em uma se-
gunda máquina, coloca essa nova quantidade e 
recebe novamente o dobro, mas agora decrescido 
de trinta unidades. Finalmente, em uma terceira 
máquina, coloca a nova quantidade obtida e re-
cebe mais uma vez o dobro, menos quarenta uni-
dades. Coincidentemente, o valor final é o mesmo 
que a quantidade introduzida na primeira máqui-
na. Essa quantidade original de fichas era de: 
 a) 5 b) 10 c) 15
X d) 20 e) 25
57. (UEM – PR) Uma certa quantia em dinheiro foi 
deixada para que três pessoas a dividissem igual-
mente. A primeira pessoa pegou 
1
3
 do dinheiro; 
a segunda, pensando que era a primeira a fazer a 
retirada, pegou 
1
3
 do dinheiro encontrado; a ter-
ceira, supondo que era a última e encontrando 
8 notas de cem reais, pegou todas elas. Nessas 
condições, é correto afirmar que:
 (01) a segunda pessoa foi a mais beneficiada;
 (02) a terceira pessoa foi a mais prejudicada;
 (04) a quantia inicial foi superior a 2.000 reais;
X (08) a quantia restante, após a retirada do di-
nheiro pela segunda pessoa, corresponde a 
4
9
 da quantia inicial;
X (16) a fração correspondente à quantia retirada 
pelas duas primeiras pessoas é menor que 2
3
;
 (32) a quantia restante, após a retirada do di-
nheiro pela primeira pessoa, corresponde a 
60% da quantia inicial.
58. (UERJ – RJ) Nicole pediu a seu irmão João que 
pensasse em um número e efetuasse as seguin-
tes operações, nesta ordem: 
1ª. multiplicar o número pensado por 5
2ª. adicionar 6 ao resultado
3ª. multiplicar a soma obtida por 4
4ª. adicionar 9 ao produto
5ª. multiplicar a nova soma por 5
João comunicou que o resultado é igual a K. As 
operações que Nicole deve efetuar com K, para 
“adivinhar” o número pensado, equivalem às da 
seguinte expressão:
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FÍSICA
67
FÍSICAMATEMÁTICA
X a) (K – 165) : 100 b) (K – 75) : 100
 c) K : 100 + 165 d) (K + 165) : 100
 e) K – 100 
59. (UEM – PR) Uma dívida está sendo paga em par-
celas. Ao pagar uma das parcelas, o devedor veri-
fica que, para a penúltima parcela, faltam ainda 
2/3 do resto da dívida e que, ao quitar a penúlti-
ma parcela, ainda restará 1/5 da dívida. Então, é 
correto afirmar que:
 (01) o devedor já pagou mais da metade da dívida;
X (02) o devedor já pagou 8/20 da dívida; 
 (04) o devedor já pagou 3/5 da dívida;
X (08) ainda faltam pagar 9/15 da dívida;
 (16) ainda falta pagar 1/3 da dívida;
X (32) o devedor já pagou 2/3 dos 3/5 da dívida.
60. (UEL – PR) Num bar, paga-se R$ 5,80 por 5 pas-
téis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 
pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$ 3,60. 
Nesse caso, cada copo de refrigerante custa: 
 a) R$ 0,70.
 b) R$ 0,50.
 c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel.
 d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel.
X e) R$ 0,20 a menos do que o preço de cada pastel.
61. (PUCCAMP – SP) Um artesão está vendendo pul-
seiras (a x reais a unidade) e colares (a y reais 
a unidade). Se 3 pulseiras e 2 colares custam 
R$ 17,50 e 2 pulseiras e 3 colares custam 
R$ 20,00, o preço de cada pulseira é:
 a) R$ 3,20 b) R$ 3,00 
 c) R$ 2,70 X d) R$ 2,50 
 e) R$ 2,00 
62. (ESPM – SP) José, João e Pedro foram juntos à 
padaria. José tomou duas médias e comeu três 
pães com manteiga, pagando R$ 1,74.
João tomou três médias e comeu dois pães com 
manteiga, pagando R$ 1,96.
Pedro tomou uma média e comeu dois pães com 
manteiga.
Quanto pagou Pedro? 
X a) R$ 1,00 b) R$ 1,04
 c) R$ 1,08 d) R$ 1,12
 e) R$ 1,16
63. (UFSC) Considere o sistema S
x y
x y1
3 0
2 6 0
:
+ =
− − =
⎧
⎨
⎩
e determine a soma dos números associados à(s) 
proposição(ões) verdadeira(s):
X (01) O par ordenado (–15, 5) é uma solução do 
sistema S1.
X (02) O sistema S
x y
x y2
2 6 0
10 30 0
:
+ =
− − =
⎧
⎨
⎩
é equivalente 
ao sistema S1.
 (04) A solução do sistema S1 é uma reta que não 
passa pela origem.
 (08) O sistema S1 é possível e determinado.
64. (FUVEST – SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada 
filho tem o número de irmãos igual ao núme-
ro de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos 
igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o 
total de filhos e filhas do casal? 
 a) 3
 b) 4
 c) 5
 d) 6
X e) 7
65. (UNI-RIO – RJ) Num concurso, a prova de Ma-
temática apresentava 20 questões. Para cada 
questão respondida corretamente, o candidato 
ganhava 3 pontos e, para cada questão respon-
dida erradamente ou não respondida, perdia 1 
ponto. Sabendo-se que para ser aprovado de-
veria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 
pontos, o menor número de questões respon-
didas corretamente para que o candidato fosse 
aprovado era de:
X a) 12
 b) 13
 c) 14
 d) 15
 e) 16
66. (UNICAMP – SP) Em um restaurante, todas as 
pessoas de um grupo pediram um mesmo prato 
principal e uma mesma sobremesa. Com o pra-
to principal, o grupo gastou R$ 56,00, e com a 
sobremesa, R$ 35,00; cada sobremesa custou 
R$ 3,00 a menos do que o prato principal.
 a) Encontre o número de pessoas neste grupo.
 b) Qual o preço do prato principal?
Matemática Básica68
67. (MED. CATANDUVA – SP) Eu tenho o dobro da 
idade que você tinha quando eu tinha a idade 
que você tem. Quando você tiver a idade que eu 
tenho, a soma das nossas idades será 72 anos. A 
minha idade é:
 a) 24 anos X b) 32 anos
 c) 8 anos d) 40 anos
 e) 16 anos
68. (UFCE) Se x1 e x2 são as raízes da equação 
3x2 – 2x – 8 = 0, sendo x1 < x2, então 3x
2
2 – 2x1 – 8 
é igual a: 
 a) 2
3
 b) 8
3
 c) 16
3
X d) 20
3
 e) 1
3
69. (UFPE) Se x é um número real positivo, tal que, 
ao adicionarmos 1 ao seu inverso, obtemos 
como resultado o número x, qual é o valor de x?
 a) 1 5
2
− X b) 1 5
2
+
 c) 1 d) 1 3
2
+
 e) 1 2
2
+
70. Dê a soma dos itens verdadeiros:
X (01) A equação x2 + x = 0 possui duas raízes 
reais e distintas.
X (02) A equação x2 + 4 = 0 não possui raiz real.
X (04) As raízes da equação –x2 + 25 = 0 são nú-
meros opostos.
X (08) Para m = 2, a equação x2 + 3x – 4m = 0 
possui duas raízes reais e distintas.
71. (UFOP – MG) Resolva a equação fracionária:
2
1 1
1
1
1
2
1
2
x
x
x
x x+
−
−
+
−
+ =
72. (UFF – RJ) Uma das soluções da equação
2
11
2 1
2x x
x
+
= + é um número inteiro múltiplo de:
 a) 2 b) 3 c) 5
 d) 7 X e) 11
73. (VUNESP – SP) Para todo número real a, o núme-
ro –a chama-se oposto de a, e para todo número 
real a, a ≠ 0, o número 1
a
 chama-se inverso de a. 
Assim sendo, determine todos os números reais 
x, x ≠ 1, tais que o inverso do oposto de (1 – x) 
seja x + 3: 
 
11
3
− −
= +
( )x
x
– 1 = (x + 3) (1 – x) ∴ – x2 – 2x + 4 = 0
x =
− − ± − − −
−
= − ±
( ) ( ) .( ).
.( )
2 2 4 1 4
2 1
1 5
2
74. (UEL – PR) Sejam a e b, com a < b, as raízes reais 
da equação 3x2 – 10x – 8 = 0. Nessas condições, 
é verdade que:
X a) a2
4
9
 b) b− =1
1
2
 c) ab
2
3
 d) b2 = 4 e) a− =1
3
2
75. (UFV – MG) Dada a equação 
(m – 1)x2 + 2mx – (m + 1) = 0, determine m de 
forma que a equação tenha uma raiz real dupla:
Para uma equação do 2º. grau possuir uma raiz real dupla, então: 
Δ = b2 – 4ac = 0
(2m)2 – 4 (m – 1) [ – (m + 1) ] = 0
4m2 + 4m2 – 4 = 0
8m2 – 4 = 0 ∴ m = ± 2
2
76. O trinômio ax2 + bx + c = 0 tem duas raízes 
reais e distintas. Então, é correto afirmar: 
X (01) Se a e b são dois números reais não nulos, 
então o trinômio 
a
x bx c
α
β αβ. .2 2 0+ + = 
tem duas raízes reais e distintas.
X (02) O trinômio ax2 + 2bx + c = 0 tem duas 
raízes reais e distintas.
X (04) Se as raízes representam números opostos, 
então b = 0.
 (08) O trinômio ax bx
c2
4
0+ + = não admite raiz 
real.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
69
FÍSICAMATEMÁTICA
77. O conjunto-verdade da equação mostrada a se-
guir é:
x x− + − =1 2 2 2
 a) V = ∅ X b) V = {3}
 c) V = {4} d) V = {3, 9}
 e) V = {9}
78. (FAC. EVANGÉLICA DE GOIÁS – GO) A soma das 
raízes da equação |x + 2|2– |x + 2| – 2 = 0 
vale:
 a) –8 X b) –4 c) 0
 d) 4 e) 1
79. (FAC. EVANGÉLICA DE GOIÁS – GO) A equação 
x x+ + =7 5 tem como solução:
 a) uma raiz inteira negativa;
X b) uma raiz natural;
 c) duas raízes reais;
 d) conjunto vazio;
 e) uma raiz fracionária.
80. (USS – RJ) Seja A o conjunto dos números reais x 
que satisfazem x x2 1 1+ = + . Quantos elemen-
tos possui o conjunto A?
 a) 0 X b) 1 c) 2
 d) 4 e) infinitos
81. (PUC – MG) A soma das raízes da equação
1 1 2 2− − =x x é:
 a) –2 b) –1 X c) 0
 d) 1 e) 2
82. (UFPI) A soma das raízes da equação 
|x|2 + 2 |x| – 15 = 0 é:
X a) 0 b) –2 c) –4
 d) 6 e) 2
83. (UNITAU – SP) Os valores reais de x que satisfa-
zem à equação: |x|2 – 4 |x| + 4 = 0 são dois 
números:
 a) ímpares 
 b) divisores de 3
X c) de mesmo módulo 
 d) positivos
 e) múltiplos de 3
84. (UEL – PR) No universo R, a equação 
|x|2 + |x| – 12 = 0:
 a) não admite soluções;
 b) admite quatro soluções distintas;
 c) admite duas soluções positivas;
 d) admite duas soluções negativas;
X e) admite duas soluções opostas entre si.
85. (MACK – SP) Se o número x é solução da equação
x x+ − − =9 9 33 3 , então x2 está entre:
 a) 0 e 25 b) 25 e 55
 c) 55 e 75 X d) 75 e 95
 e) 95 e 105
86. (UPF – RS) Um veículo de transporte coletivo 
tem capacidade para transportar 30 adultos ou 
36 crianças. Se 20 adultos já estão no coletivo, 
quantas crianças a viatura ainda poderá trans-
portar? 
 a) 18 b) 8 c) 10
X d) 12 e) 16
87. (FEI – SP) Duas máquinas que fabricam o mesmo 
tipo de peças, funcionando em conjunto, produ-
zem um lote de peças em 3 horas. Se apenas a 
máquina A funciona, a produção de um lote de-
mora 12 horas. Quanto tempo a máquina B leva 
para produzir um lote?
X a) 4 horas.
 b) 3 horas.
 c) 2,5 horas.
 d) 2 horas.
 e) 1 hora.
88. (UFES) Dois pedreiros, trabalhando juntos, fazem 
um certo trabalho em 15 dias. Um deles faria so-
zinho esse trabalho em 24 dias. Quantos dias se-
riam gastos pelo outro para executar sozinho o 
mesmo trabalho?
X a) 40
 b) 36
 c) 30
 d) 39
 e) 27
Matemática Básica70
89. (UFMA) Temos duas plantas de um mesmo terreno 
retangular, uma na escala 1 : 20 e outra na escala 
1 : 25. Qual é a razão entre as áreas dos retângu-
los da primeira e da segunda planta? 
 a) 
16
25
 b) 
4
5
 c) 
24
25
 d) 
5
4
 X e)
25
16
90. (MACK – SP) Um hospital tem um médico para 
cada 10 pacientes e 6 enfermeiros para cada 9 mé-
dicos. Então, o número de pacientes para cada en-
fermeiro é:
 a) 12 X b) 15 c) 16
 d) 18 e) 20
91. (UEM – PR) Para realizar uma expedição científi-
ca, um grupo de pesquisadores planejou percor-
rer, todos os dias, a mesma quilometragem, de 
um total de 2 520 km. Como a partida foi atra-
sada em 3 dias, o grupo precisou aumentar em 
70 km sua quilometragem diária, para chegar na 
data prevista. Assim, o número de dias utilizados 
para realizar o percurso foi de:
 Dias km/dia
 x —— 2 520
x
 x – 3 —— 2 520
x
 + 70
 
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
+
−x +⎛
⎝⎜
⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠⎟
⎞⎞
⎠⎠
=
3
2 520
70
2 520
2 520
3
2 520
70
2 520520 2 520 7020 +
. (x )
− −−−
7 560
210
x
 
70
7 560
210 0x
x
− − =
 70x2 – 210x – 7 560 = 0
 x2 – 3x – 108 = 0 ∴ x = 12 ou x = –9 
 Número de dias: 12 – 3 = 9 dias
(não convém)
92. (FAFEOD – MG) Os fazendeiros João e José estão 
trabalhando sozinhos, cada um em sua planta-
ção de soja. A terra em que João está plantando 
tem 15 hectares de área, ao passo que a de José 
tem 9 hectares. No dia em que se encontraram, 
na divisa de suas propriedades, eles verificaram 
que ambos já haviam plantado uma mesma fra-
ção de suas terras. Para plantar a parte restante 
delas, resolveram se juntar e contrataram um aju-
dante por 200 reais. Assim, os três começaram a 
trabalhar juntos (em igualdade de condições) e 
concluíram ambas as plantações. Para pagarem 
o salário do ajudante, seguindo o critério da pro-
porcionalidade, João e José deverão desembolsar 
as seguintes quantias, em reais, respectivamente:
 a) 155 e 45 X b) 125 e 75
 c) 175 e 25 d) 145 e 55
 e) 55 e 35
93. (UNICAMP – SP) Uma torneira enche um tanque 
em 12 minutos, enquanto uma segunda torneira 
gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. 
Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a pri-
meira torneira durante x minutos: ao fim desse 
tempo fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, 
a qual termina de encher o tanque em x + 3 minu-
tos. Calcule o tempo gasto para encher o tanque.
94. (ENEM) Se compararmos a idade do planeta Ter-
ra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos 
(4,5 x 109 anos), com a de uma pessoa de 45 
anos, então quando começaram a florescer os 
primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela 
só conviveu com o homem moderno nas últi-
mas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o 
começar a plantar e a colher. Há menos de um 
minuto, percebeu o ruído de máquinas e de in-
dústrias e, como denuncia uma ONG de defesa 
do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta 
segundos que se produziu todo o lixo do planeta!
Na Teoria do Big-Bang, o Universo surgiu há cerca 
de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e ex-
pansão de uma densíssima gota. De acordo com 
a escala proposta no texto, essa teoria situaria o 
início do Universo há cerca de:
 a) 100 anos; X b) 150 anos;
 c) 1 000 anos; d) 1 500 anos;
 e) 2 000 anos.
95. (UNISINOS – RS) O Instituto de Pesquisas Tecno-
lógicas de São Paulo enviou, em 1995, para as 
prefeituras brasileiras, um questionário para ave-
riguar a questão do lixo. Com base nas respostas, 
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
71
FÍSICAMATEMÁTICA
os pesquisadores ficaram sabendo que 76% do 
lixo brasileiro é depositado em lixões a céu aberto, 
13% é destinado a aterros controlados, 10% aca-
ba em aterros sanitários e somente 1% dos resídu-
os passa por algum tipo de tratamento. No litoral 
norte do Rio Grande do Sul, na época de vera-
neio, são recolhidas diariamente 300 toneladas de 
lixo, em valor aproximado. Conforme estes dados, 
podemos afirmar que, em nosso litoral norte, a 
quantidade de lixo depositada diariamente a céu 
aberto, agredindo a natureza, em toneladas, é:
 a) 99 b) 128 X c) 228 d) 250 e) 293
96. (UNIOESTE – PR) Uma escola divulga um descon-
to de 20% no preço das matrículas efetivadas até 
30 de janeiro, apresentando a seguinte tabela:
Preço até 
30 de janeiro
R$ 110,00 
(matrícula e material)
Preço após 
30 de janeiro
R$ 126,00 
(matrícula e material)
A partir das informações dadas, conclui-se que o 
preço do material (sobre o qual não há descon-
to) é, em reais, igual a: 
Matrícula → m e Material → d
m m d
m d
m d
m d
− 20 110
126
0 8 110
126
%
,
⋅ + =
+ =
⎧
⎨
⎩
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
m = 80 e d = 46
Resposta:R$ 46,00
97. (PUCCAMP – SP) Sabe-se que 5 máquinas, todas 
de igual eficiência, são capazes de produzir 500 
peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. 
Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 
10 horas por dia durante 10 dias, o número de 
peças produzidas seria:
 a) 1 000
 b) 2 000
X c) 4 000
 d) 5 000
 e) 8 000
98. (UnB – DF) Julgue os itens abaixo:
figura I
figura II
0N 0C
0 14
100 39
 1) Se a escala da figura I é linear, então o valor 
correspondente ao ponto indicado pela seta é 
53,75.
 2) Se duas grandezas, X e Y, são inversamente pro-
porcionais e X é acrescido de 25%, então Y de-
cresce 20%.
 3) Considere que, a partir das temperaturas má-
xima e mínima na cidade do Rio de Janeiro, 
construiu-se uma nova escala linear, mostrada 
na figura II, em que a temperatura é indicada 
por oN e a correspondência com a escala Cel-
sius é mostrada na tabela que segue. Nessas 
condições, o ponto de ebulição da água, na-
quela cidade, é igual a 400 oN.
 4) Considere que, em um sistema de aposen-
tadoria, um trabalhador pode se aposentar 
quando a soma de sua idade com o número 
de anos de serviço totaliza 95 anos. Nesse 
caso, quem começar a trabalhar com 25 anos 
só poderá se aposentar com, no mínimo, 65 
anos de idade.
Matemática Básica72