Apostila Matemática Básica

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Matemática
Básica
Com Prof. Adilson Longen 
Sumário
Aula 1 e 2 • Sistema de Numeração Decimal
Aula 3 e 4 • Números Racionais
Aula 5 e 6 • Expressões Numéricas
Aula 7 e 8 • Números e Unidades de Medidas Decimais
Aula 9 e 10 • Números e Outras Unidades de Medidas
Aula 11 e 12 • Divisibilidade de Números Naturais
Aula 13 e 14 • Aula 13 e 14 • Problemas de Multiplicação e Divisão
Aula 15 e 16 • Máximo Divisor Comum
Aula 17 e 18 • Mínimo Múltiplo Comum
Aula 19 e 20 • Potenciação: Propriedades
Aula 21 e 22 • Potenciação: Notação Científica
Aula 23 e 24 • Radiciação: Propriedades
Aula 25 e 26 • Radiciação: Operações
Aula 27 e 28 • Aula 27 e 28 • Produtos Notáveis
Aula 29 e 30 • Fatoração De Expressões Algébricas
Aula 31 e 32 • Razão e Proporção
Aula 33 e 34 • Regra de Três Simples
Aula 35 e 36 • Regra de Três Composta
Aula 37 e 38 • Porcentagem
Aula 39 e 40 • Equações do 1° Grau
Aula 41 e 42 • Aula 41 e 42 • Resolução de Problemas do 1° Grau
Aula 43 e 44 • Sistemas de Equações do 1° Grau
Aula 45 e 46 • Equações do 2° Grau
Aula 47 e 48 • Equações do 2° Grau: Propriedades das Raízes
Aula 49 e 50 • Ângulos
Aula 51 e 52 • Circunferência e Ângulos na Circunferência
Aula 53 e 54 • Semelhança de Triângulos
Aula 55 e 56 • Aula 55 e 56 • Triângulos Retângulos
Aula 57 e 58 • Razões Trigonométricas: Triângulo Retângulo
Aula 59 e 60 • Áreas de Figuras Planas
aula 1 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender as principais características do sistema de numeração decimal;
• Reconhecer os valores posicionais dos algarismos na escrita de um número;
• Escrever um número na sua forma polinomial;
• Resolver problemas relacionados ao sistema de numeração decimal.
Utilizamos o sistema de numeração decimal para escrever os números. Nesse sistema cada número pode ser 
representado a partir de 10 símbolos denominados algarismos. Cada um desses símbolos tem um valor no número 
que depende da posição que ele ocupa. 
São três as características principais desse sistema de numeração de base 10 que o tornam o mais difundido e utilizado: 
• O emprego de apenas de 10 algarismos para representar os números;
• Sistema posicional – cada algarismo tem um valor que depende de sua posição no número
• Existência de um símbolo para representar ausência de quantidade (o zero)
O quadro a seguir ilustra algumas classes e ordens nesse sistema de numeração. Nesse quadro está indicado a 
estimativa da população brasileira no ano 2020, já que não houve na época censo demográfico: 
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades 
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem 
C D U C D U C D U 
2 1 1 7 5 5 6 9 2 
Exemplo 1: 
Observe que um número nesse sistema pode ser decomposto a partir dos valores relativos (ou posicionais) de seus 
algarismos e, a seguir, representado na forma polinomial com potências de base 10: 
5 4 3 2
957386 900000 50000 7000 300 80 6
957386 9 10 5 10 7 10 3 10 8 10 6
= + + + + +
=  +  +  +  +  +
Outra vantagem desse sistema é que ele pode ser utilizado na escrita de números decimais. Para isto basta avançar 
para direita no quadro de valores: 
Exemplo 2: 
Observe um número decimal decomposto a partir dos valores relativos de seus algarismos e também sua forma 
polinomial. 
2 1 0 1 2 3
837,972 800 30 7 0,9 0,07 0,002
837,972 8 10 3 10 7 10 9 10 7 10 2 10− − −
= + + + + +
=  +  +  +  +  + 
ALGARISMOS 
Aplicações de apoio teórico 
01. (UNICAMP-SP) – Minha calculadora tem lugar para 8 algarismos. Eu digitei nela o maior número possível, do qual
subtraí o número de habitantes do Estado de São Paulo, obtendo, como resultado, 68 807 181. Qual é a população do
Estado de São Paulo?
02. (UECE) Dado um número natural de dois algarismos, forma-se um novo número de três algarismos colocando “1”
à direita do número original. O novo número é:
a) dez vezes o número original, mais um.
b) cem vezes o número original, mais um.
c) cem vezes o número original.
d) o número original, mais um.
03. (FATEC SP) Seja N um número natural de dois algarismos não nulos. Trocando-se a posição desses dois números,
obtém-se um novo número natural M de modo que N M 63− = . A soma de todos os números naturais N que satisfazem
as condições dadas é
a) 156
b) 164
c) 173
d) 187
e) 198
04. Ao escrever um livro o escritor verificou ao final da numeração das páginas, partindo do número 1, que tinha
utilizado ao todo 270 algarismos. Qual é o número de páginas desse livro?
a) 180
b) 99
c) 212
d) 148
e) 126
05. (ENEM) Usando um computador construído com peças avulsas, o japonês Shigeru Kondo calculou o valor da
constante matemática com precisão de 5 trilhões de dígitos. Com isso, foi quebrado o recorde anterior, de dois trilhões
de dígitos, estabelecido pelo francês Fabrice Bellard.
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 14 dez. 2012. 
A quantidade de zeros que segue o algarismo 5 na representação do número de dígitos de  calculado pelo japonês 
é 
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
06. (UECE) Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única (a menos da ordem das parcelas), como
uma soma onde cada uma das parcelas é uma potência de 2. Por exemplo, 0 1 419 2 2 2= + + . Nessas condições, o
número 45 pode ser escrito como a soma de n dessas parcelas distintas, onde n é igual a 
a) 3
b) 5
c) 6
d) 4
07. (UNICAMP SP) A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma
desses algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos algarismos é igual a
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
http://www.estadao.com.br/
aula 2 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender as principais características do sistema de numeração decimal;
• Reconhecer os valores posicionais dos algarismos na escrita de um número;
• Escrever um número na sua forma polinomial;
• Resolver problemas relacionados ao sistema de numeração decimal.
01. (ENEM) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar
números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma
base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de
argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os
símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de
milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais
ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra
mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.
Nessa disposição, o número que está representado na figura é 
a) 46 171
b) 147 016
c) 171 064
d) 460 171
e) 610 741
02. (IPAD) Dentre os números 4501, 4235, 1536, 4057, 30797 e 41500, quantos têm o algarismo 5 ocupando a ordem
das centenas?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
03. (PUC RJ) O número de dígitos [algarismos] decimais de 10010 é: 
a) 99
b) 100
c) 101
d) 102
e) 103
04. (Instituto Excelência-Taubaté SP) Dado um certo número de três algarismos, forma-se um novo número de quadro
algarismos se colocarmos o número 2 à direita do número original. Sobre esse novo número é correto afirmar que ele
é:
a) Dez vezes o número original, mais 2.
b) Cem vezes o número original, mais 2.
c) O número original, mais 2.
d) Nenhuma das alternativas.
05. Considere um número natural N formado por dois algarismos. Ao inverter as posições desses dois algarismos o
número formado supera N em 45. Quantas são as possibilidades para N?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
06. (UECE) Se X representa um dígito, na base 10, em cada um dos três números 11X, 1X1 e X11, e se a soma desses
números for igual a 777 então,o valor de X é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
07. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo.
Esse número de bactérias pode ser escrito como
a) 910
b) 1010
c) 1110
d) 1210
e) 1310
08. (IFSP) O planeta Terra pertence ao nosso Sistema Solar. Segundo a Comunidade Científica, estima-se que o
planeta Terra tenha cerca de 4 bilhões e 500 milhões de anos. Assinale a alternativa que apresenta como tal número
é escrito
a) 4 000 000 005
b) 4 500 000 000
c) 4 000 500 000
d) 4 000 000 500
e) 4 050 000 000
09. (UECE) No sistema de numeração decimal, a soma dos dígitos do número inteiro 2510 25− é igual a
a) 625
b) 452
c) 219
d) 75
10. (FCC SP) Um número tem dois algarismos, sendo y o algarismo das unidades e x o algarismo das dezenas. Se
colocarmos o algarismo 2 à direita desse número, o novo número será:
Número: xy 
Novo número: xy2 
a) x y+
b) 200 10 y x+  +
c) 100 x 10 y 2 +  +
d) 100 y 10 x 2 +  +
aula 3 
NÚMEROS RACIONAIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Observar que todo número natural, que todo número inteiro é também número racional;
• Conceituar número racional como aquele que pode ser expresso como quociente de dois inteiros;
• Relacionar a forma decimal e a forma fracionária de um número racional;
• Obter a fração geratriz de uma dízima periódica.
Ao iniciar a escolarização o primeiro contato com os números refere-se ao conjunto dos números naturais. 
Esse conjunto está associado à contagem. Quando avançamos na aprendizagem da Matemática, ampliamos o campo 
numérico. Assim surge o conjunto dos números inteiros que é formado por todos os números naturais e seus opostos 
e então uma nova ampliação com o conjunto dos números racionais. O diagrama a seguir dá uma ideia desses três 
conjuntos numéricos. 
Assim, temos: 
• Todo número que é natural é também inteiro;
• Todo número que é inteiro é também racional.
Além dos números inteiros são exemplos de números racionais: 
▪ Os chamados decimais exatos.
Exemplo: 7,15
▪ As chamadas dízimas periódicas.
Exemplo: 4,555...
De modo geral um número é dito racional quando puder ser escrito como o quociente de dois números inteiros. 
Daí a denominação racional: 
Aplicações de apoio teórico 
01. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica do número x representado a seguir:
x 0,888...=
02. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica do número y representado a seguir:
y 0,272727...=
03. Indique V ou F, conforme cada afirmação a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente:
( ) 3 300
0,001
=
( ) 0,6 0,03
2
=
( ) 0,004 100
0,4
= 
( ) 8000 20000
0,4
=
04. (UEGO) Dividir um número por 0,0025 equivale a multiplica-la por
a) 250
b) 500
c) 400
d) 350
05. (CEFET CE) Calculando a expressão 
2 2 4 2
3 2 1 1
4 5 6 3
   
+     
   
, encontraremos: 
a) 
1
2
2
b) 
1
3
2
c) 
1
4
2
d) 
1
5
2
e) 
1
6
2
06. (IFCE) Uma fração é equivalente a
2
3
. Se a soma do numerador com o denominador dessa fração é 25, o produto 
do numerador pelo denominador dessa fração vale 
a) 6
b) 96
c) 54
d) 24
e) 150
07. (IFPE) No vestibular 2018.2 do IFPE, tivemos 103 inscritos para o curso de Qualificação em Operador de
Computador, na modalidade Proeja, no campus Barreiros. Sabendo que são ofertadas 40 vagas para esse curso, é
CORRETO afirmar que a razão candidato-vaga para esse curso é
a) 3,575
b) 0,388
c) 2,575
d) 1,575
e) 0,611
aula 4 
NÚMEROS RACIONAIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Observar que todo número natural, que todo número inteiro é também número racional;
• Conceituar número racional como aquele que pode ser expresso como quociente de dois inteiros;
• Relacionar a forma decimal e a forma fracionária de um número racional;
• Obter a fração geratriz de uma dízima periódica.
01. (CEFET RJ) Qual é o valor da expressão numérica
1 1 1 1
5 50 500 5000
+ + + ? 
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
02. (UFRGS) Se x 0,949494...= e y 0,060606...= , então x y+ é igual a 
a) 1,01
b) 1,11
c) 
10
9
d) 
100
99
e) 
110
9
03. (CEFET MG) Considerando a expressão
1
A
23
2
5
4
7
=
+
−
o valor de 9A é
a) 33−
b) 23−
c) 13−
d) 03
04. (PUC RJ) A soma 1,3333...+ 0,1666... é igual a:
a) 
1
2
b) 
5
2
c) 
4
3
d) 
5
3
e) 
3
2
05. (CEFET MG) Se
p
q
 é a fração irredutível equivalente a 
5,666...
2,333...
 
 
 
, o valor de p q+ é igual a 
a) 24
b) 25
c) 27
d) 28
06. (UECE) A soma de todas as frações na forma
n
n 1+
, onde n é um elemento do conjunto  1,2,3,4,5 é 
a) 4,55
b) 6,55
c) 5,55
d) 3,55
07. (UERJ) O segmento XY, indicado na reta numérica abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes pelos
pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I.
Admita que X e Y representem, respectivamente, os números 
1
6
 e 
3
2
. O ponto D representa o seguinte número: 
a) 
1
5
b) 
8
15
c) 
17
30
d) 
7
10
08. (IFAL) A expressão
2
2
0,333... 0,111...
3
 
− + 
 
tem resultado: 
a) 0
b) 1
c) 
1
9
d) 
1
3
e) 
4
9
09. (UPE) A expressão
1,101010... 0,111...
0,0969696...
+
 é igual a 
a) 12,5
b) 10
c) 8,75
d) 5
e) 2,5
10. (CM RJ) Calcule e assinale o valor da multiplicação dos 30 fatores abaixo:
( )
1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 1
40 41 42 68 69
         
+  +  +   +  +         
         
a) 
49
50
b) 
41
69
c) 
7
4
d) 
50
49
e) 
13
23
aula 5 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender a hierarquia das operações na resolução de uma expressão numérica;
• Compreender a hierarquia dos sinais de parênteses, colchetes e chaves na resolução de uma expressão
algébrica;
• Resolver expressões algébricas envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.
Uma expressão numérica é uma sentença matemática que envolve uma ou mais das seis operações aritmética 
entre números. 
A resolução de uma expressão numérica exige uma hierarquia na ordem ao efetuar operações. Essa 
“convenção” tem por objetivo unificar as respostas. Na apresentação de uma expressão numérica aparecem sinais 
gráficos que são utilizados para organizar: parênteses, colchetes e chaves. Também existe uma ordem para eliminá-
los numa expressão numérica: 
• Ordem dos sinais gráficos
Esses sinais gráficos devem ser eliminados na seguinte ordem numa mesma operação: 
1º - parênteses ( )→
2º - colchetes  →
3º - chaves  →
• Ordem das operações
As operações devem ser efetuadas na seguinte ordem:
1ª – Potenciação ou radiciação 
2ª – Multiplicação ou divisão 
3ª – Adição ou subtração 
Se, por exemplo, aparecer numa mesma expressão numérica a potenciação e a radiciação, resolva aquela que 
aparecer antes. O mesmo deve ser feito para multiplicação e divisão, adição e subtração. 
Exemplo: 
Vamos calcular o valor de N na expressão numérica ( )4N 9 3 2 4=  − 
( )
( )
4N 9 3 2 4
N 27 16 4
N 27 4
N 23
=  − 
= − 
= −
=
Aplicações de apoio teórico 
01. (UEL PR) O percurso de Londrina a Floresta, passando por Arapongas e Mandaguari, será feito em um automóvel
cujo consumo médio é de 1 litro de gasolina para cada 10 km. Considere o preço de R$ 1,30 por litro de gasolina e as
informações na tabela abaixo
Distâncias entre as cidades (km) Tarifa do pedágio no trecho (em R$) 
Londrina – Arapongas: 40 
Arapongas – Mandaguari: 38 
Mandaguari – Floresta 
2,30 
2,30 
3,60 
Então, uma expressão para o cálculo do total de despesas, em reais, com combustível e pedágios, para fazer essa 
viagem, é: 
a) ( ) ( ) ( )40 2,30 0,13 38 2,30 0,13 60 3,60 0,13+  + +  + + 
b) 138 0,13 2,30 2,30 3,60 + + +
c) ( ) ( )138 10 / 1,30 8,20 +
d) 40 1,30 2,30 38 1,30 2,30 60 1,30 3,60 + +  + +  +
e) 138 1,30 2,30 2,30 + +
02. Determine o valor numérico da expressão
( ) 2100 15 4 10 2 10 2 − +  − +  
03. O resultado da expressão numérica a seguir é um número inteiro negativo. Calcule esse número:
( ) ( ) ( )
2 2
82 5 3 2 1 3 1 16 1 3  − + − − − + − −  − +
 
04. (IFSUL) O valor da expressão
2 2
31 1 27
5 5
−
   
+ + −   
   
 é 
a) 3
b) -3
c) 
551
25
d) 
701
25
05. Na expressão numérica a seguir você deverá escrever os números racionais não inteiros na forma decimal para
então resolver a expressão. Outra saída seria escrever todos esses números na forma fracionária. Calcule o valor
resultante:
1 4 3
A 1,5 0,3 100
4 5 2
  
= − − + −   
  
06. Na expressão numérica abaixo você deverá determinar o valor de M:
1 1
1 1
3 2M
1 1
2 2
2 2
+ +
= −
+ −
07. (UEL PR) Se
3 3 2
1 1 3
x 1
3 3 2
−
     
= − − +     
     
, calcule x 
aula 6 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender a hierarquia das operações na resolução de uma expressão numérica;
• Compreender a hierarquia dos sinais de parênteses, colchetes e chaves na resolução de uma expressão
algébrica;
• Resolver expressões algébricas envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.
01. (ENEM) Um dos estádios mais bonitos da Copa do Mundo na África do Sul é o Green Point, situado na Cidade do
Cabo, com capacidade para 68 000 pessoas.
Centauro. Ano 2, edição 8, mar/abr, 2010 
Em certa partida, o estádio estava com 95% de sua capacidade, sendo que 487 pessoas não pagaram o ingresso que 
custava 150 dólares cada. A expressão que representa o valor arrecadado nesse jogo, em dólares, é 
a) 0,95 68000 150 487  −
b) ( )0,95 68000 487 150  
c) ( )0,95 68000 487 150 − 
d) ( )95 68000 487 150 − 
e) ( )95 68000 487 150 − 
02. (OBJETIVA RS) Dadas as três expressões numéricas abaixo, é CORRETO afirmar que:
(a) ( )2 5 3 4 2 3 + − +  + 
(b) ( )13 5 2 1 4 2 −  − +  
(c) ( )6 4 2 5 1 7+   − −
a) b a c 
b) a b c 
c) c a b 
d) c b a 
03. (ACAFE SC) Calculando o valor da expressão ( )
2 1 1
1 0,7 0,75
5 2 4
 
 − +  − 
 
, obtemos: 
a) 
13
12
b) 
19
12
c) 
13
100
−
d) 
4
3
e) 
10
3
−
04. (IFSC) Resolva a expressão numérica
2
2 5 1 2 3
3 4 2 5 10
    
 − +     
     
. 
Qual o resultada da expressão, em sua forma irredutível (mais simplificada possível)? Assinale a alternativa correta. 
a) 
5
3
 
b) 
10
6
 
c) 
260
123
d) 
90
54
e) 
12
25
05. (IFAL) Resolvendo a expressão numérica ( ) 2 230 16 3 3 2 2 − − +  +  , encontramos o valor 
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 24
06. (IFSP) A cidade fictícia de Martim Afonso é uma das mais antigas de seu país. A expressão abaixo indica o ano
em que ela foi fundada
2 210 25 3 4 16  + +
Assinale a alternativa que apresenta o ano em que a cidade de Martim Afonso foi fundada.
a) 1524
b) 1532
c) 1542
d) 1632
e) 1624
08. (IFAL) Seja ( ) 0 2A 3 2 3 6 4 3 4 2 1 4 = − − +  + −  − − +  . Assinale a alternativa que corresponde ao dobro de A.
a) -7
b) -21
c) 49
d) 14
e) -14
09. (ACAFE SC) Calculando o valor numérico da expressão ( )2a 2a 3a b+ − − , sendo a = 8 e b = 128, 
encontramos: 
a) 1
b) 4
c) 6
d) 8
e) 16
10. (IFSP) Com relação à potenciação e à radiciação, analise as assertivas abaixo.
I. O resultado da expressão 35 3 36 16 7 +  − é igual a 137. 
II. O resultado da expressão 416 2 4 225 27−  +  está entre 420 e 440.
III. A raiz quadrada de oitenta e um é igual a três elevado ao quadrado.
É correto o que se afirma em 
a) III, apenas.
b) I, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II, apenas.
e) I, II e III.
aula 7 
NÚMEROS E UNIDADES DE MEDIDAS DECIMAIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que medir é comparar;
• Identificar as unidades de medidas de comprimento, de área, de volume, de capacidade, de massa;
• Reconhecer a relação entre medidas de volume e de capacidade;
• Transformar unidades de medidas conforme significados de prefixos;
• Resolver problemas envolvendo unidades de medidas;
• Associar medidas decimais com a escrita dos números na forma decimal quando da transformação de unidades
Uma simples avaliação de quantidades de uma coleção qualquer corresponde à operação mais elementar dos 
números: a contagem. Os números também são empregados para a comparação entre grandezas. Nesse sentido são 
utilizados como medidas. 
Medir é comparar! 
Quando efetuamos uma medição, estamos comparando. Nessa comparação podemos utilizar unidades não 
convencionais ou unidades convencionais como padrão de comparação. As unidades que mais utilizamos são: 
• Unidades de comprimento
Temos o metro como unidade padrão de medida e também os múltiplos e submúltiplos:
As transformações de unidades mais importantes são efetuadas observando os significados dos prefixos: quilo 
(mil), deci (décima parte), centi (centésima parte) e mili (milésima parte). 
• Unidades de área
A unidade principal é o metro quadrado, isto é, a área de um quadrado cujo lado mede 1 m de comprimento.
Os múltiplos e submúltiplos principais do metro quadrado podem ser assim obtidos: 
( ) ( ) ( )
22 22 3 6 21km 1km 1000 m 10 m 10 m= = = =
( ) ( ) ( )
22 22 2 4 21cm 1cm 0,01m 10 m 10 m− −= = = =
( ) ( ) ( )
22 22 3 6 21mm 1mm 0,001m 10 m 10 m− −= = = =
A partir dessas ideias, você pode fazer as transformações entre unidades. 
• Unidades de volume
A unidade principal de volume é o metro cúbico, isto é, o volume de um cubo cuja aresta mede um metro de
comprimento. Os submúltiplos principais do metro cúbico podem ser assim obtidos: 
( ) ( ) ( )
33 33 1 3 31dm 1dm 0,1m 10 m 10 m− −= = = =
( ) ( ) ( )
33 33 2 6 31cm 1cm 0,01m 10 m 10 m− −= = = =
( ) ( ) ( )
33 33 3 9 31mm 1mm 0,001m 10 m 10 m− −= = = =
A partir dessas ideias, como no caso das unidades de área, você pode fazer as transformações entre unidades 
de volume. 
• Unidades de capacidade
A unidade principal de capacidade é o litro. O submúltiplo principal é o mililitro e podem ser assim obtido:
31mL 0,001 L 10 L−= =
O mililitro representa a milésima parte do litro. 
Observação: 
Há uma relação entre capacidade e volume que pode ser interpretada a partir da ilustração abaixo: 
• Unidades de massa
As unidades de massa podem ser baseadas no grama. Seus múltiplos e submúltiplos principais podem assim
ser obtidos: 
31kg 1000 g 10 g= =
31mg 0,001 g 10 g−= =
Observação: 
Outra unidade muito utilizada é a tonelada: 1 t 1000 kg= 
Aplicações de apoio teórico 
01. Indique V ou F, conforme cada afirmação a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente:
( ) 27,5 m 7,5 10 cm= 
( ) 36 mm 6 10 m−= 
( ) 185 m 0,185 km= 
( ) 4500g 45 kg=
( ) 9800mL 10L
02. Uma piscina tem 308 metros cúbicos na sua parte interna. Se essa piscina estiver completamente cheia de água,
qual será sua capacidade em litros?
03. (ENEM) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar,
cobrindo um terreno de 8 hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o
valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina?
a) 8
b) 80
c) 800
d) 8 000
e) 80 000
04. (UFRGS) A atmosfera terrestre contém 12 900 quilômetros cúbicos de água. Esse valor corresponde, em litros, a
a) 
91,29 10
b) 
121,29 10
c) 
151,29 10
d) 
161,29 10
e) 
181,29 10
05. (CEFET MG) O hectare (ha) é a unidade de medida mais empregada em áreas rurais e 1 ha equivale a 10 000 m2.
Um engenheiro agrônomo recomendou a um fazendeiro aplicar 500 kg/ha de adubo em uma área de 2 500 m2 de
plantação de milho. Dessa forma, a quantidade de adubo necessária, em kg, é igual a
a) 125
b) 250
c) 375
d) 500
06. Um determinado produto de limpeza é vendido em embalagens com 500 mL de capacidade. Quantas serão as
embalagens necessárias para distribuir 15 litros desse mesmo produto?
a) 15
b) 30
c) 7,5
d) 45
e) 150
07. (CETAP PA) Devo dividir 5000 litros de um produto em frascos de 2,5 dm3 cada um. Quantos frascos vou precisar?
a) 200
b) 250
c) 2200
d) 2000
08. (FADESP) Um centímetro cúbico de um certo material de construção tem 1,5 gramas de massa. Um metro cúbico
desse materialterá massa de
a) 15 kg
b) 150 kg
c) 1,5 toneladas
d) 750 kg
e) 1,7 toneladas
aula 8 
NÚMEROS E UNIDADES DE MEDIDAS DECIMAIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender que medir é comparar;
• Identificar as unidades de medidas de comprimento, de área, de volume, de capacidade, de massa;
• Reconhecer a relação entre medidas de volume e de capacidade;
• Transformar unidades de medidas conforme significados de prefixos;
• Resolver problemas envolvendo unidades de medidas;
• Associar medidas decimais com a escrita dos números na forma decimal quando da transformação de unidades
01. (UTFPR) 0,01 km + 1 m + 1000 cm + 1000 mm é igual a:
a) 22 000 m
b) 2 200 m
c) 220 m
d) 22 m
e) 2,2 m
02. (ENEM) Atendendo à encomenda de um mecânico, um soldador terá de juntar duas horas de metais diferentes. A
solda tem espessura de 18 milímetros, conforme ilustrado na figura.
Qual o comprimento, em metros, da peça resultante após a soldagem? 
a) 2,0230
b) 2,2300
c) 2,5018
d) 2,5180
e) 2,6800
03. (UTFPR) Convertendo 843 dm (decímetros) e 35 km (quilômetros) para metros, obtemos, respectivamente:
a) 8,43 e 3500 metros
b) 84,3 e 35000 metros
c) 0,843 e 350 metros
d) 8430 e 3,5 metros
e) 84300 e 35 metros
04. (FGV SP) Estima-se que, em determinado país, o consumo médio por minuto de farinha seja 4,8 toneladas. Nessas
condições, o consumo médio por semana de farinha de trigo, em quilogramas, será aproximadamente:
a)
54,2 10
b) 
64,4 10
c) 
64,6 10
d) 
74,8 10
e) 
75,0 10
05. (UFRGS) Na última década do século XX, a perda de gelo de uma das maiores geleiras do hemisfério norte foi
estimada em 96 km3. Se 1 cm3 de gelo tem massa de 0,92 g, a massa de 96 km3 de gelo, em quilogramas, é
a) 
128,832 10
b) 
138,832 10
c) 
148,832 10
d) 
158,832 10
e) 
168,832 10
06. (UECE) Deseja-se construir um reservatório para armazenar água, que tenha capacidade suficiente para satisfazer
as necessidades básicas de cada um dos 3500 habitantes de uma cidade durante 16 dias. Se cada um dos habitantes
utiliza diariamente, para as suas necessidades básicas, exatamente 0,028 m3 de água, então, a capacidade mínima,
em litros, do reservatório a ser construído é
a) 15 680
b) 156 800
c) 1 568 000
d) 15 680 000
07. (UTFPR) Um salão pode ser revestido totalmente com 540 ladrilhos de 3600 cm2, cada um. Assinale qual a área
do salão.
a) 19,40 dm2
b) 1,94 km2
c) 0,194 hm2
d) 194 000 mm2
e) 194,40 m2
08. (UEPB) Os organizadores de um show sobre música popular brasileira, a ser realizado em uma praça com área
livre e plana de 10 000 m2, tomaram como padrão que o espaço ocupado por uma pessoa equivaleria a um retângulo
de dimensões 40 cm por 50 cm. Considerando que toda a área livre da praça seja ocupada pelo público presente,
conclui-se que o número de pessoas presentes ao evento será aproximadamente
a) 60 000
b) 40 000
c) 50 000
d) 55 000
e) 30 000
09. (UNICAMP SP) Prazeres, benefícios, malefícios, lucros cercam o mundo dos refrigerantes. Recentemente, um
grande fabricante nacional anunciou que havia reduzido em 13 mil toneladas o uso de açúcar na fabricação de seus
refrigerantes, mas não informou em quanto tempo isso ocorreu. O rótulo atual de um de seus refrigerantes informa que
200 mL do produto contêm 21 g de açúcar. Utilizando apenas o açúcar “economizado” pelo referido fabricante seria
possível fabricar, aproximadamente,
a) 124 milhões de litros de refrigerante
b) 2,60 bilhões de litros de refrigerante
c) 1 365 milhões de litros de refrigerante
d) 273 milhões de litros de refrigerante
10. (IPEFAE SP) Um campo de futebol é um retângulo com dimensões 100 metros por 64 metros, como mostra a
figura. Desejamos plantar grama em todo o campo. Sabendo que um grama de sementes é necessário para se plantar
1 metro quadrado. Para se plantar todo o campo serão necessários aproximadamente:
a) 6,5 quilogramas de sementes.
b) 13 quilogramas de sementes.
c) 65 quilogramas de sementes.
d) 1 quilograma de semente.
100 m 
64 m 
11. (OMNI SP) Renato quer mandar fazer um anel de 8 g de ouro para sua namorada e, como não pode pagar tudo de
uma vez, está comprando pepitas de 200 mg cada. Quantas pepitas Renato terá que comprar?
a) Renato terá que comprar 200 pepitas.
b) Renato terá que comprar 400 pepitas.
c) Renato terá que comprar 40 pepitas.
d) Renato terá que comprar 20 pepitas.
aula 9 
NÚMEROS E OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar as unidades de medidas de ângulo e suas subunidades;
• Identificar as unidades de medidas de tempo e suas subunidades;
• Transformar medidas de ângulos (grau, minuto e segundo);
• Transformar medidas de tempo (hora, minuto e segundo);
• Resolver problemas envolvendo unidades de medidas de ângulos e unidades de medidas de tempo.
Além das medidas denominadas decimais, também temos as chamadas medidas sexagesimais. As unidades 
de medidas de tempo e também as unidades de medidas de ângulos estão entre elas. 
Tanto as medidas de ângulo quanto as medidas de tempo, que utilizamos, estão relacionadas com a base 60. 
Daí a denominação medidas sexagesimais. 
• Unidade de medida de tempo
Entre as principais unidades de medidas de tempo está o ano, o dia, a hora, o minuto e o segundo. 
1 dia = 24 horas 
1 hora = 60 minutos 
1 minuto = 60 segundos 
Observe nas transformações entre essas unidades valem as relações: 
1
1min h
60
1
1s min
60
=
=
• Unidades de medidas de ângulos
A unidade de medida de ângulo que mais utilizamos é o grau e também seus submúltiplos: minutos e segundos. 
São as seguintes relações: 
1 grau (1º) 
1
360
→ da volta
1 minuto (1´) o60́ 1→ = 
1 segundo (1´´) 60́ ´ 1́→ = 
Observações: 
1. São válidas as seguintes relações entre as unidades:
o11´ 1
60
1
1´´ 1́
60
= 
= 
2. Além do grau, também utilizamos o radiano (rad), sendo que 180º corresponde a  radianos.
APLICAÇÕES DE APOIO TEÓRICO 
01. Indique V ou F, conforme cada afirmação a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente:
( )A medida de um ângulo de 35º30´, transformada apenas em graus, é 3,5º.
( )Se a medida de 140́ ´ = e a de 2́ 20́ ´ = , então  e  têm as mesmas medidas. 
( )A quarta parte de um ângulo de 50º é igual a 22º30´. 
( ) 1º = 3600´´ 
02. Observe as duas posições dos ponteiros das horas e dos minutos representado abaixo e indique V ou F, conforme
cada afirmação seja verdadeira ou falsa, respectivamente.
( )O ponteiro pequeno deslocou 100º nesse intervalo de tempo. 
( )Passou exatamente 180 minutos do primeiro para o segundo momento.
( )O ponteiro grande deu 3 voltas completas, isto é, 1080º.
( )Quando o ponteiro grande faz 360º no relógio o ponteiro pequeno faz 30º 
03. (ENEM) Enquanto as lâmpadas comuns têm 8 mil horas de vida útil, as lâmpadas LED têm 50 mil horas. De acordo
com a informação e desprezando possíveis algarismos na parte decimal, a lâmpada LED tem uma durabilidade de
a) 1 750 dias a mais que a lâmpada comum.
b) 2 000 dias a mais que a lâmpada comum.
c) 2 083 dias a mais que a lâmpada comum.
d) 42 000 dias a mais que a lâmpada comum.
e) 1 008 000 dias a mais que a lâmpada comum.
04. (UFRGS) Uma torneira com vazamento pinga, de maneira constante, 25 gotas de água por minuto. Se cada gota
contém 0,2 mL de água, então, em 24 horas o vazamento será de
a) 0,072 L
b) 0,72 L
c) 1,44 L
d) 7,2 L
e) 14,4 L
05. (UECE) Uma torneira está gotejando de maneira regular e uniforme. Observa-se que a cada 12 minutos o
gotejamento enche um recipiente com volume de 0,000020 m3. Considerando um litro equivalente ao volume 1 dm3, é
correto afirmar que o volume, em litros, do gotejamento ao final de 30 minutos é
a) 0,15
b) 0,36
c) 0,24
d) 0,05
06. (UFRN) A velocidade de 27 km/s, quando expressa em cm/h, é equivalente a
a) 8972 10 cm/h 
b) 7972 10 cm/h 
c) 6270 10 cm/h 
d) 5270 10 cm/h 
07. Dois ângulos são ditos complementares quando a soma de suas medidas resulta 90º. Já, se a soma das medidas
de dois ângulos resulta 180º, esses ângulos são ditos suplementares. Qual é ocomplementar do suplementar do
ângulo de medida 123,5º?
08. Um carro percorre uma rodovia com uma velocidade média de 100 km/h. Transforme essa velocidade em metros
por segundo.
aula 10 
NÚMEROS E OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar as unidades de medidas de ângulo e suas subunidades;
• Identificar as unidades de medidas de tempo e suas subunidades;
• Transformar medidas de ângulos (grau, minuto e segundo);
• Transformar medidas de tempo (hora, minuto e segundo);
• Resolver problemas envolvendo unidades de medidas de ângulos e unidades de medidas de tempo.
01. (UFPR) Um dia sideral corresponde ao tempo necessário para que a Terra complete uma rotação em torno do seu
eixo relativo a uma estrela fixa no espaço sideral, nos possibilitando aferir um tempo de aproximadamente 23,93447 h.
O dia solar médio é o tempo correspondente a uma rotação da Terra, em que vemos o Sol voltar a sua posição no céu
após um tempo de 24 h. A diferença entre o dia sideral e o dia solar médio é de:
a) 3 min e 45 s
b) 6 min e 55 s
c) 6 min e 56 s
d) 3 min e 56 s
e) 3 min e 30 s
02. (IFCE) Um supercomputador foi ligado às 18 h para executar um procedimento durante 500 horas consecutivas. O
procedimento foi encerrado alguns dias depois às
a) 2 h
b) 10 h
c) 14 h
d) 18 h
e) 20 h
03. (PUC RJ) Uma máquina demora 27 segundos para produzir uma peça. O tempo necessário para produzir 150
peças é:
a) 1 hora, 7 minutos e 3 segundos.
b) 1 hora, 7 minutos e 30 segundos.
c) 1 hora, 57 minutos e 30 segundos.
d) 1 hora, 30 minutos e 7 segundos.
e) 1 hora, 34 minutos e 3 segundos.
04. (UDESC) Dois amigos viajaram juntos por um período de sete dias. Durante esse tempo, um deles pronunciou,
precisamente, 362 880 palavras. A fim de saber se falara demais, ele se questionou sobre quantas palavras enunciaram
por minuto. Considerando que ele dormiu oito horas diárias, o número médio de palavras ditas por minuto foi:
a) 54
b) 36
c) 189
d) 264
e) 378
05. (UEPB) A velocidade da luz, que é de trezentos mil quilômetros por segundo, expressa em centímetros por
segundo, será igual a:
a) 
93,0 10 cm/s 
b) 
83,0 10 cm/s 
c) 
103,0 10 cm/s 
d) 
113,0 10 cm/s 
e) 
63,0 10 cm/s
06. (CONESUL) Um intervalo de tempo de 4,15 horas corresponde, em horas, minutos e segundos a
a) 4 h 1 min 5 s
b) 4 h 15 min 0 s
c) 4 h 9 min 0 s
d) 4 h 10 min 5 s
e) 4 h 5 min 1 s
07. (ENEM) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização
geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude
de 124º3´0´´ a leste do Meridiano de Greenwich.
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é
a) 124,02º
b) 124,05º
c) 124,20º
d) 124,30º
e) 124,50º
08. (IFCE) Se uma vela de 28 cm de altura diminui 1,4 mm por minuto, levará para se consumir
a) 3 horas e 20 minutos
b) 3 horas e 15 minutos
c) 3 horas e 10 minutos
d) 3 horas e 5 minutos
e) 4 horas.
09. (VUNESP) Pizzas redondas costumam ser repartidas em fatias que são setores circulares, como mostra a figura a
seguir. O ângulo de medida  é chamado de ângulo central.
A medida do ângulo central, de uma pizza redonda que foi repartida em 6 setores circulares iguais, é maior que a 
medida do ângulo central, de uma pizza que foi repartida em 8 setores iguais, em 
a) 8º
b) 9º
c) 10º
d) 12º
e) 15º
10. (VUNESP) A figura a seguir representa as dobras feitas em um círculo de papel, dividindo-o em partes iguais
(setores circulares congruentes).
A medida do ângulo x, indicado na parte sombreada da figura, é igual a 
a) 45º25´
b) 22º30´
c) 18º30´
d) 16º00´
e) 11º25´
aula 11 
DIVISIBILIDADE DE NÚMEROS NATURAIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que um número natural é divisível por outro quando o resto da divisão é igual a zero;
• Utilizar os critérios de divisibilidade por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 9 e por 10 para reconhecer a
divisibilidade de um número natural.
• Identificar um número natural primo como sendo aquele que possui apenas dois divisores naturais;
• Decompor um número natural em fatores primos;
• Determinar os divisores de um número natural a partir de seus fatores primos.
A divisão envolvendo números naturais é a quarta operação e aquela que apresenta uma maior dificuldade de 
compreensão. Em situações envolvendo o cálculo mental, principalmente, na divisão o conhecimento dos chamados 
critérios de divisibilidade representa um facilitador. 
Exemplos: 
8607 um número divisível por 3; 
17 948 é um número divisível por 4; 
• Um número natural é divisível por outro número natural não nulo quando o resto da divisão for igual a zero.
Caso o resto não seja zero, dizemos que não é divisível.
• Se A é divisível por B (A e B dois números) então A é múltiplo de B e, reciprocamente, se A é múltiplo de B
então A é divisível por B.
Critérios de divisibilidade 
Existem regras que permitem verificar se um número inteiro é divisível por outro sem a necessidade de efetuar 
a correspondente divisão. Tais regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Destacamos a seguir as regras mais 
utilizadas. 
• Divisibilidade por 2
Todos os números pares são divisíveis por 2. Número par é aquele que tem o algarismo das unidades igual a
0, 2, 4, 6 ou 8.
• Divisibilidade por 3
Um número inteiro é divisível por 3 quando a soma de todos os algarismos que compõem o número resultar
em um número divisível por 3.
• Divisibilidade por 6
Um número inteiro é divisível por 6 quando for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
• Divisibilidade por 4
Um número inteiro é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos (dezena e unidade)
for divisível por 4.
• Divisibilidade por 5
Um número inteiro é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for igual a zero ou 5.
• Divisibilidade por 10
Um número inteiro é divisível por 10 quando o algarismo das unidades for igual a zero.
• Divisibilidade por 9
Um número inteiro é divisível por 9 quando a soma de todos os algarismos que compõe o número resultar em
um número divisível por 9.
Números primos 
Um número natural é primo quando admite apenas dois divisores naturais: ele mesmo e a unidade. Existem infinitos 
números naturais que são primos. No quadro a seguir estão os números naturais primos que são menores que 100. 
Observações: 
1. Se um número natural não é primo e for diferente da unidade ele é dito número composto;
2. Qualquer número natural composto poderá ser escrito como o produto de fatores primos.
3. A partir da decomposição em fatores primos podemos encontrar os divisores de um número natural.
4. Dois números naturais são denominados primos entre si se o único divisor natural em comum for a unidade.
Exemplo: 
Aplicações de apoio teórico 
01. Utilizando os critérios de divisibilidade você deverá marcar um X somente quando o número que está na primeira
linha da tabela for divisível pelo número que está na primeira coluna. Por exemplo, o número 3240 é divisível por 4, por
isso foi indicado o X na linha que está o 4 e na coluna que está o 3240.
2 016 40 355 9 980 8 346 3 240 652 976 80100 
2 
3 
4 X 
5 
6 
02. Escreva o número 180 como o produto de fatores primos.
2 3 5 7 11 13 
17 19 23 29 31 37 
41 43 47 53 59 61 
67 73 79 83 89 97 
Divisores de 120 
Fatores primos de 120 
03. Utilizando a decomposição em fatores primos obtenha todos os divisores naturais do número 144.
04. A partir da decomposição de um número em fatores primos você pode obter todos os divisores naturais desse
número. Obtenha todos os divisores naturais do número N, sendo:
3 2N 2 5= 
05. O número natural A foi decomposto em fatores primos e o resultado foi:
 
2 3 1A 2 3 5=   
Obtenha, a partir dessa decomposição, a quantidade de divisores do número A. 
aula 12 
DIVISIBILIDADE DE NÚMEROS NATURAIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreenderque um número natural é divisível por outro quando o resto da divisão é igual a zero;
• Utilizar os critérios de divisibilidade por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 9 e por 10 para reconhecer a
divisibilidade de um número natural.
• Identificar um número natural primo como sendo aquele que possui apenas dois divisores naturais;
• Decompor um número natural em fatores primos;
• Determinar os divisores de um número natural a partir de seus fatores primos.
01. (FUNDATEC RS) Considere as seguintes afirmações sobre os critérios de divisibilidade dos números inteiros:
I) Todo número par é divisível por 8
II) 221376 é divisível por 6
III) 968732512 é divisível por 4
IV) Todo número ímpar é divisível por 3
Quais são corretas? 
a) Apenas I e II
b) Apenas I e III
c) Apenas II e III
d) Apenas II e IV
e) I, II, III e IV
02. (UFRGS) Considere as afirmações sobre números inteiros
I) Todo número primo é ímpar.
II) Se a é um número múltiplo de 3, então 2a é múltiplo de 6
III) Se a é um número par, então a2 é um número par.
Quais são corretas? 
a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas III
d) Apenas II e III
e) I, II e III
03. (UERJ) A soma de dois números naturais diferentes é 68. Ambos são múltiplos de 17. A diferença entre o maior
número e o menor é:
a) 35
b) 34
c) 33
d) 32
04. (UECE) Assinale a opção que corresponde à quantidade de números inteiros positivos que são fatores do número
30030.
a) 32
b) 34
c) 64
d) 66
05. (STA CASA SP) Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é
divisível por 4, então o valor máximo que A pode assumir é:
a) 0
b) 4
c) 6
d) 8
06. (IFCE) Se abc é o maior número de três algarismos divisível por 11, então a soma a+b+c vale
a) 18
b) 22
c) 20
d) 17
e) 16
07. (UEMS) Considere-se o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são
iguais a 2, ou seja:
22222222n. 
O valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é: 
a) 2 ou 8
b) 2 ou 7
c) 0 ou 6
d) 3 ou 6
08. (ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de
decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão x y zN 2 5 7=   , na qual x, y e z são números
inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes
de N, é:
a) x y z 
b) ( ) ( )x 1 y 1+  +
c) x y z 1  −
d) ( ) ( )x 1 y 1 z+  + 
e) ( ) ( ) ( )x 1 y 1 z 1 1+  +  + −
09. (UECE) Seja n um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos de n são os números 1, 3 e 13,
e se a soma dos três maiores divisores de n é igual a 3905, então, n é igual a
a) 2535
b) 2847
c) 2769
d) 2028
10. (UNIGRANRIO) Uma mulher tem três filhas matriculadas no ensino fundamental. O produto da sua idade com as
idades de suas 3 filhas é 37 037. Dessa forma, pode-se afirmar que a diferença entre as idades de sua filha mais velha
e sua filha mais nova é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
aula 13 
PROBLEMAS DE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Utilizar o algoritmo da divisão para relacionar os termos envolvidos numa divisão;
• Identificar os possíveis restos de uma divisão conhecendo-se o divisor;
• Relacionar dividendo, divisor, quociente e resto por meio de uma igualdade;
• Resolver problemas envolvendo divisão e multiplicação.
Quando um número natural A é divisor de outro número natural B então podemos dizer que B é um múltiplo 
de A. A resolução de situações envolvendo múltiplos e divisores de números naturais leva em conta o conhecimento 
da relação entre multiplicação e divisão. Nesse sentido, é indispensável a internalização da chamada tabuada da 
multiplicação: 
Observação: 
No quadro acima os números que figuram na diagonal destacada são chamados de quadrados perfeitos. 
Afirmar que um número é divisível por outro equivale a dizer que o resto da divisão correspondente é igual a 
zero. Assim, em problemas relacionam a multiplicação e a divisão também devemos saber trabalhar com a 
possibilidade de o resto não ser igual a zero. Nesse sentido é fundamental saber relacionar os quatro elementos 
associados a uma divisão: 
A B 
R Q 
1 4 9 16 25 ... 
Dividendo Divisor 
Quociente Resto 
Dividendo = (Divisor) x (Quociente) + Resto 
Aplicações de apoio teórico 
01. Um número natural N, maior que 9 foi dividido pelo número 9. Quais são os possíveis restos dessa divisão?
02. Encontre o número natural que ao ser dividido por 13 resulta um quociente 4 e o resto maior possível.
03. Qual é a quantidade de múltiplos de 7 existentes entre 50 e 1000?
04. (PUCCAMP SP) Seja x um número natural, que ao ser dividido por 9 deixa resto 5, e ao ser dividido por 3 deixa
resto 2. Sabendo-se que a soma dos quocientes é 9, podemos afirmar que x é igual a:
a) 28
b) 35
c) 27
d) 33
e) 23
05. (ENEM) Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis possíveis brindes disponíveis,
conforme sua ordem de chegada na loja. Os brindes a serem distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um
refrigerante, um sorvete e um CD, nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um
chaveiro, o terceiro recebe uma caneta, o quarto recebe um refrigerante, o quinto recebe um sorvete, o sexto recebe
um CD, o sétimo recebe uma bola, o oitavo recebe um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos
brindes. O milésimo cliente receberá de brinde um(a)
a) bola
b) caneta
c) refrigerante
d) sorvete
e) CD
06. (IFPE) O Sr. Fernando comprou um terreno retangular que mede 18 metros de largura por 30 metros de
comprimento. Para cercar completamente sua propriedade, ele combrou estacas de madeira e rolos de arame farpado.
A pessoa contratada para fazer o serviço sugeriu que fossem colocados cinco fios de arame contornando todo o
perímetro, conforme a figura.
Fernando acatou a sugestão. Sabendo que o arame farpado é vendido em rolos de 50 metros, determine quantos rolos, 
no mínimo, serão comprados. 
a) 13
b) 12
c) 11
d) 9
e) 10
aula 14 
PROBLEMAS DE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Utilizar o algoritmo da divisão para relacionar os termos envolvidos numa divisão;
• Identificar os possíveis restos de uma divisão conhecendo-se o divisor;
• Relacionar dividendo, divisor, quociente e resto por meio de uma igualdade;
• Resolver problemas envolvendo divisão e multiplicação.
01. Assinale a alternativa que contém o número natural N que quando dividido por 12 o quociente é igual a 10 e o resto
é o maior possível
a) N = 121
b) N = 131
c) N = 141
d) N = 151
02. (CEFET RJ) João faz caminhada a cada 4 dias. Pedro, vizinho de João, faz caminhada no mesmo local, a cada 6
dias. Considerando que Pedro e João se encontraram hoje fazendo caminhada, eles se encontrarão novamente daqui
a n dias. Qual das alternativas abaixo indica um valor possível para n?
a) 30
b) 32
c) 36
d) 42
03. (PUC MG) Multiplicam-se o dividendo e o divisor por 2 numa divisão não exata; então o quociente fica:
a) acrescido de 2
b) diminuído de 2
c) dividido por 2
d) inalterado
e) multiplicado por 2
04. (UFGO) O quociente de um número inteiro b por 20 é 7 e o resto é o maior possível. O número b é:
a) 140
b) 147
c) 146
d) 150
e) 159
05. (IFSUL) As corridas com obstáculos são provas de atletismo que fazem parte do programa olímpico e consistem
em corridas que têm no percurso barreiras que os atletas têm de saltar. Suponha que uma prova tenha um percurso
de 1000 metros e que a primeira barreia esteja a 25 metros da largada, a segunda a 50 metros, e assim
sucessivamente. Se a última barreira está a 25 metros da linha de chegada, o total de barreiras no percurso é
a) 39
b) 41
c) 43
d) 45
06. Responda:
Quantos números naturais tem de 20 até 36? 
07. (CN RJ) Suponha que durante a pandemia uma distribuidora de medicamentos tivesse estoque de álcool gel com
distribuições diárias iguais, suficiente para atender 18 farmácias durante 64 dias. Após16 dias, 6 farmácias fecharam
e, passados mais 17 dias, a distribuidora aceitou um pedido do governo para que atendesse a mais 10 farmácias. As
farmácias fechadas não irão abrir mais. É correto afirmar que a partir do dia em que aceitou o pedido do governo a
distribuidora terá estoque suficiente para atender a todos as farmácias durante:
a) 26 dias
b) 28 dias
c) 30 dias
d) 32 dias
Se você considerar que são n números, observe que fazemos o último menos o primeiro e acrescentamos 1 
(referente ao primeiro que excluímos) 
n 36 20 1
n 17
= − +
=
Pense a respeito! 
e) 34 dias
08. (FATEC SP) Um grupo de 8 alunos da Fatec do curso de Têxtil e Moda está prestando consultoria a 32 startups.
Cada uma dessas startups é auxiliada precisamente por 3 alunos desse grupo, e cada aluno auxilia o mesmo número
de startups. Nessas condições, a quantidade de startups que cada aluno auxilia é
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
09. (IFBA) Tertulino irá viajar e deseja guardar seus CDs de arrocha em sacolas plásticas. Para guardar os CDs em
sacolas que contenham 60 unidades, serão necessárias 15 sacolas plásticas. Na mesma proporção, se os CDs forem
guardados em sacolas com 75 unidades, quantas sacolas serão necessárias?
a) 11
b) 13
c) 12
d) 14
e) 10
10. (ESPM SP) Na multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo do sistema decimal de numeração. O
valor A + B + C + D é:
a) 22
b) 20
c) 24
d) 21
e) 23
11. (ACAFE SC) Na divisão de um número natural n por 12, o resto é igual a 7 e o número natural r é o resto da divisão
do mesmo número por 4. Então, o valor de 7 + r é igual a:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 13
aula 15 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir de seus divisores comuns;
• Obter o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir da decomposição simultânea em fatores
primos;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo do máximo divisor comum.
Considere a seguinte situação: 
Num determinado município, por ocasião das eleições, três partidos políticos A, B e C tiveram direito, por dia, a 80 s, 
100 s e 120 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes aparições. O tempo de cada aparição, 
para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. Qual o número total de aparições desses três partidos? 
• Note que devemos determinar não apenas um divisor comum entre os tempos que indicam a quantidade de
segundos dos três partidos, mas o maior deles, isto é:
mdc(80,100,120)
O maior divisor comum de dois ou mais números naturais é chamado de máximo divisor comum desses números. 
Um procedimento para a determinação do máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é a 
decomposição simultânea em fatores primos desses números. O produto dos fatores primos que dividem 
simultaneamente esses números é o máximo divisor comum. 
• Assim, na situação apresentada, vamos fazer a decomposição simultânea em fatores primos dos números 80,
100 e 120:
• Cálculo do número de vezes que cada partido irá aparecer:
A 80 20 4
B 100 20 5
C 120 20 6
→  =
→  =
→  =
• Total de aparições dos três partidos:
4 + 5 + 6 = 15 
Aplicações de apoio teórico 
80 100 120 2 
40 50 60 2 
20 25 30 2 
10 25 15 2 
5 25 15 3 
5 25 5 5 
1 5 1 5 
1 1 1 
Máximo divisor comum entre os números 80, 100 e 120. 
2, 2 e 5 dividem simultaneamente os três 
números dados: 
01. Determine o máximo divisor comum entre os números 135 e 90.
02. Determine o máximo divisor comum entre os números 24, 36 e 72 fazendo a decomposição simultânea desses
números em fatores primos.
03. Laura precisava obter o máximo divisor comum entre os números A e B, isto é, mdc(A, B). Para isso ela fez a
decomposição em fatores primos de cada um desses números, obtendo:
3 2
3 2
A 2 3 5
B 2 3 5
=  
=  
Como calcular o máximo divisor comum a partir da decomposição em separado desses dois números em fatores 
primos? 
04. (PUC RJ) A Editora do livro Como ser aprovado no Vestibular recebeu os seguintes pedidos, de três livrarias:
LIVRARIA Número de exemplares 
A 1 300 
B 1 950 
C 3 900 
A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possível. Calcule n. 
05. (VUNESP) Uma gráfica recebeu a encomenda de imprimir 2500 panfletos sobre um curso de enfermagem e 3200
panfletos sobre um curso de primeiros socorros. Esses panfletos deverão ser separados em blocos, cada um deles
como o mesmo número de panfletos e na maior quantidade possível. Sabendo que cada bloco só pode ter panfletos
sobre o mesmo curso, o maior número de blocos que poderão ser feitos será
a) 100
b) 85
c) 68
d) 57
e) 50
06. (CM RJ) A direção do Colégio Militar do Rio de Janeiro contratou uma empresa com o objetivo de construir uma
nova sala para o Clube Literário. A sala terá 3,36 m de largura e 4,00 m de comprimento. No piso, o pedreiro vai colocar
peças de cerâmica quadradas, do mesmo tamanho. Admitindo-se que não haverá perda de material, a menor
quantidade dessas peças, que ele vai usar para cobrir completamente o piso, é um número
a) ímpar e menor que 500
b) múltiplo de 10
c) maior que 570
d) igual a 525
e) primo.
07. (GS Assessoria e Concursos) Em uma caixa, há 18 bolinhas azuis, 24 bolinhas verdes e 42 bolinhas vermelhas.
Marta quer organizar as bolinhas em sacolas, de modo que cada sacola tenha o mesmo número de bolinhas e cada
cor fique igualmente distribuídas nas sacolas e que possa usar a quantidade máxima de sacolas possíveis para isso.
Qual a soma das bolinhas azuis, verdes e vermelhas que ficaram em cada sacola?
a) 7
b) 14
c) 12
d) 6
aula 16 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir de seus divisores comuns;
• Obter o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir da decomposição simultânea em fatores
primos;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo do máximo divisor comum.
01. (MAPOFEI SP) O m.d.c. dos números 36, 40 e 56 é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
02. (UFGO) Para que o máximo divisor comum dos números 3 m 22 3 5  e n 22 3 5  seja 20, os valores de m e n, nesta 
ordem, são:
a) 0 e 2
b) 2 e 0
c) 2 e 3
d) 3 e 2
e) 1 e 2
03. Num colégio todos os alunos irão participar de uma competição preparatório para OBMEP. Para essa competição,
cada equipe será formada por alunos de um mesmo ano e com o mesmo número de participantes. No quadro abaixo
está a distribuição de alunos por ano:
ANO NÚMERO DE ALUNOS 
1º ano 120 
2º ano 108 
3º ano 100 
Qual o número máximo de alunos por equipe? 
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
04. (UEFS BA) Uma equipe de professores corrigiu, em três dias de correção de um vestibular, números de redações
iguais a 702, 728 e 585. Em cada dia, as redações foram igualmente divididas entre os professores. O número de
professores na equipe é um divisor de
a) 52
b) 54
c) 60
d) 68
e) 77
05. (IFMT) João decide reformar sua casa, mas, como não dispõe de muito dinheiro, decide economizar na reforma
contratando o carpinteiro José para reaproveitar as tábuas de madeira retiradas da casa. José tem à sua disposição
40 tábuas de 5,4 metros, 30 tábuas de 8,10 metros e 10 tábuas de 10,80 metros, todas de mesma espessura e largura.
Para atender às especificidades da reforma da casa de João, José decide cortar as tábuas em pedaços de mesmo
comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças fiquem com o maior tamanho possível, mas de
comprimento menor que 2 metros. Qual a quantidade de tábuas que José conseguiu produzir?
a) 395 tábuas
b) 399 tábuas
c) 312 tábuas
d) 420 tábuas
e) 429 tábuas
06. (VUNESP) Tem-se duas cordas, uma com 60 m e outra com 80 m, e pretende-se cortar essas cordas, sem
desperdício, em pedaços de mesmo tamanho, de modo que cada pedaço cortado de corda tenha a maior medida
possível. O número total de pedaços de corda que será possível obter é
a) 20
b) 14
c) 10
d) 7
e) 5
07. (Faculdade Albert Einstein SP) Um torneio de xadrez teráalunos de 3 escolas. Uma das escolas levará 120 alunos;
outra, 180 alunos; e outra, 252 alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha
representantes das três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira,
o maior número de grupos que podem ser formados é
a) 12
b) 23
c) 46
d) 69
08. (PUC PR) Um estagiário recebeu a tarefa de organizar documentos em três arquivos. No primeiro arquivo, havia
apenas 42 contratos de locação; no segundo arquivo, apenas 30 contratos de compra e venda; no terceiro arquivo,
apenas 18 laudos de avaliação de imóveis. Ele foi orientado a colocar os documentos em pastas, de modo que todas
as pastas devem conter a mesma quantidade de documentos. Além de não poder mudar algum documento do seu
arquivo original, deveria colocar na menor quantidade possível de pastas. O número mínimo de pastas que ele pode
usar é:
a) 13
b) 15
c) 26
d) 28
e) 30
09. (IFPE) Na Escola Pierre de Fermat, foi realizada uma gincana com o objetivo de arrecadar alimentos para a
montagem e doação de cestas básicas. Ao fim da gincana, foram arrecadados 144 pacotes de feijão, 96 pacotes de
açúcar, 192 pacotes de arroz e 240 pacotes de fubá. Na montagem das cestas, a diretora exigiu que fosse montado o
maior número de cestas possível, de forma que não sobrasse nenhum pacote de alimento e nenhum pacote fosse
partido. Seguindo a exigência da diretora, quantos pacotes de feijão teremos em cada cesta?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. (ACAFE SC) Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504 maçãs entre várias famílias de um bairro
carente. A exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo que cada família receba o mesmo e o menor
número possível de frutas de uma mesma espécie. A quantidade total de frutas recebida por cada família representa
um número:
a) divisível por 9
b) múltiplo de 7
c) múltiplo de 12
d) entre 40 e 50.
aula 17 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da regularidade dos múltiplos comuns;
• Obter o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da decomposição simultânea em fatores
primos;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo do mínimo múltiplo comum.
Considere a seguinte situação: 
Três pessoas A, B e C estão se exercitando num grande parque. A pessoa A dá uma volta completa nesse parque a 
cada 15 minutos, a pessoa B dá uma volta completa nesse mesmo parque em 18 minutos. Já a pessoa C leva 24 
minutos para dar uma volta completa. Se elas estão percorrendo o parque num mesmo sentido e em determinando 
momento estão juntas no ponto correspondente à largada, depois de quantos minutos elas voltarão a se encontrar no 
ponto de largada, considerando suas velocidades constantes? Quantas voltas cada uma terá dado? 
• Note que devemos determinar não apenas um múltiplo comum entre os tempos que indicam a quantidade de
segundos que cada um leva para dar uma volta, mas o menor desses múltiplos, isto é:
mmc(15,18,24)
O menor múltiplo comum, diferente de zero, de dois ou mais números naturais é chamado de mínimo múltiplo comum 
desses números. 
Um procedimento para a determinação do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é a 
decomposição simultânea em fatores primos desses números. O produto de todos os fatores primos obtidos é o mínimo 
múltiplo comum desses números. 
• Assim, na situação apresentada, vamos fazer a decomposição simultânea em fatores primos dos números 15,
18 e 24.
• Cálculo do número de voltas que cada uma dessas pessoas deu:
A 360 15 24
B 360 18 20
C 360 24 15
→  =
→  =
→  =
Portanto, A deu 24 voltas, B deu 20 voltas e C deu 15 voltas. 
15 18 24 2 
15 9 12 2 
15 9 6 2 
15 9 3 3 
5 3 1 3 
5 1 1 5 
1 1 1 
Mínimo múltiplo comum entre os números 12 e 18. 
1 volta: 24 minutos 
A 
B 
C 
1 volta: 18 minutos 
1 volta: 15 minutos 
O mínimo múltiplo comum entre 15, 18 e 24: 
Aplicações de apoio teórico 
01. Determine o mínimo múltiplo comum entre os números 60 e 25.
02. Laura precisava obter o mínimo múltiplo comum entre os números A e B, isto é, mmc(A,B). Para isso ela fez a
decomposição em fatores primos de cada um desses números, obtendo:
3 2
3 2
A 2 3 5
B 2 3 5
=  
=  
Como calcular o mínimo múltiplo comum a partir da decomposição em separado desses dois números em fatores 
primos? 
03. (FUVEST SP) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com frequências diferentes.
A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam
simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
04. (UEL PR) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo
sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações,
depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida pela primeira vez, e quantas
voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?
a) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
b) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
c) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
d) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
e) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
05. (UFPE) Um ônibus chega a um terminal rodoviário a cada 4 dias. Um segundo ônibus chega ao terminal a cada 6
dias e um terceiro, a cada 7 dias. Numa ocasião, os três ônibus chegaram ao terminal no mesmo dia. A próxima vez
em que chegarão juntos novamente, ao terminal ocorrerá depois de:
a) 60 dias
b) 35 dias
c) 124 dias
d) 84 dias
e) 168 dias
06. (ESAN) O máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é 12 e o mínimo múltiplo comum destes
números é 360. Então estes números podem ser:
a) 24 e 36
b) 36 e 120
c) 90 e 180
d) 60 e 120
e) 12 e 72
aula 18 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da regularidade dos múltiplos comuns;
• Obter o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da decomposição simultânea em fatores
primos;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo do mínimo múltiplo comum.
01. (IFCE) Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 20 minutos, e um terceiro relógio C a cada
25 minutos. O menor intervalo de tempo decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios, em horas, é igual
a
a) 3
b) 6
c) 4
d) 5
e) 7
02. (PUCCAMP SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina
B a cada 4 dias e na máquina C a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a
próxima vez em que a manutenção das três ocorreu no mesmo dia foi em
a) 5 de dezembro
b) 6 de dezembro
c) 8 de dezembro
d) 14 de dezembro
e) 26 de dezembro
03. (CM RJ) Três amigos, Marcelo, Márcio e João, estão na rodoviária do Rio de Janeiro, esperando os seus respectivos
ônibus. Marcelo vai para São Paulo (SP), Márcio vai para Salvador (BA) e João vai para Vitória (ES). Os ônibus partem
para São Paulo, Salvador e Vitória de 12 em 12 minutos, de 20 em 20 minutos e de 18 em 18 minutos, respectivamente.
O relógio abaixo mostra o último horário em que os três ônibus saíram juntos à tarde.
Como os três amigos querem partir, para as suas cidades ao mesmo tempo, qual é a próxima hora em que isso será 
possível? 
a) 16h20min
b) 17h15min
c) 18h20min
d) 19h15min
e) 20h20min
04. (UTFPR) Uma médica, ao prescreve uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente,
de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 3 em 3 horas, remédio B, de 4 em 4 horas e remédio C,
de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 6 horas da manhã, o próximo horário coincidente de
ingestão dos mesmos será:
a) 12 h
b) 14 hc) 16 h
d) 18 h
e) 20 h
05. (CESGRANRIO) O mínimo múltiplo comum entre os números m2 , 3 e 5 é 240. O expoente m é: 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 15
06. (FAMEMA SP) Sílvia e Márcio moram em cidades diferentes no interior. Sílvia vai à capital uma vez a cada 10 dias,
e Márcio vai à capital uma vez a cada 12 dias. A última vez em que eles se encontraram na capital foi um sábado. O
próximo encontro dos dois na capital ocorrerá em
a) uma terça-feira
b) uma quarta-feira
c) um domingo
d) um sábado
e) uma segunda-feira
07. (UNESP) Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em
B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro de 1982. Coincidirão novamente em:
a) outubro de 1984
b) setembro de 1983
c) setembro de 1992
d) algum mês de 1994
e) depois do ano 2000
08. (FATEC SP) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B. O planeta gira em torno do Sol e os
satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos Sol – Planeta – Lua A ocorre cada 18 anos e Sol –
Planeta – Lua B ocorre a cada 48 anos. Se hoje ocorrer o alinhamento Sol – Planeta – Lua A – Lua B, então esse
fenômeno se repetirá daqui a:
a) 48 anos
b) 66 anos
c) 96 anos
d) 144 anos
e) 860 anos
09. (PUCCAMP SP) De uma estação rodoviária, partem ônibus para São Paulo a cada 2 horas, para Araraquara a
cada 6 horas e para Ribeirão Preto a cada 8 horas. No dia 05/12/99, às 7 h, partiram ônibus para as três cidades. Essa
coincidência deverá ter ocorrido uma outra vez às
a) 19 h do dia 05/12/99
b) 23 h do dia 05/12/99
c) 12 h do dia 06/12/99
d) 15 h do dia 06/12/99
e) 7 h do dia 06/12/99
10. (PUC MG) A partir das 07h00min, as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Sete Lagoas, Ouro Preto e Monlevade
obedecem à seguinte escala:
• Para Sete Lagoas: de 35 em 35 minutos.
• Para Ouro Preto: de 40 em 40 minutos.
• Para Monlevade: de 70 em 70 minutos.
Às sete horas, os ônibus saem juntos. Após as sete horas, os ônibus para essas cidades voltarão a sair juntos às: 
a) 10h20min
b) 11h40min
c) 12h10min
d) 13h00min
aula 19 
POTENCIAÇÃO: PROPRIEDADES 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que uma potência com expoente natural é uma forma simplificada de representar uma
multiplicação com fatores iguais;
• Identificar as propriedades de potenciação;
• Utilizar as propriedades de potenciação para a simplificação de cálculos numéricos;
• Resolver problemas envolvendo o conhecimento dos termos e propriedades da potenciação.
No lançamento de uma moeda, existem 2 resultados possíveis para a face voltada para cima. E se lançarmos 
essa mesma moeda n vezes, qual o total de possíveis sequências formadas por todos os resultados? 
A potenciação, nessa situação, representa uma multiplicação de fatores iguais. O expoente natural indica 
quantas vezes esse fator está sendo utilizado. Resumimos a seguir algumas propriedades relacionadas à potenciação. 
Essas propriedades são importantes, pois minimizam o trabalho nos cálculos envolvendo potências. 
1ª propriedade 
Na multiplicação de potências de mesma base, o resultado é obtido conservando-se a base e adicionando-se os 
expoentes. Em símbolos: 
m n m na a a + =
Número de possíveis sequências de resultados: 
 ( )      = n
n vezes
2 2 2 2 2 ... 2 2
2ª propriedade 
Na divisão de potências de mesma base, o resultado é obtido conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes. 
Em símbolos: 
m
m n m n
n
a
a a a
a
− = =
Observação: 
A partir dessas duas propriedades destacamos duas consequências para uma base diferente de zero: 
(I) 
0a 1= (II) n
n
1
a
a
− =
3ª propriedade 
Na potência de uma potência, o resultado é obtido conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes. Em 
símbolos: 
( ) =
n
m m na a
Cuidado! 
Algumas representações matemáticas, embora parecidas, têm significados diferentes: ( ) 
nnm ma a . 
4ª propriedade 
Na potência de um produto, o resultado é obtido elevando-se cada fator do produto ao mesmo expoente. Em símbolos: 
( )
n n na b a b = 
5ª propriedade 
Na potência de um quociente, o resultado é obtido elevando-se o numerador e o denominador ao mesmo expoente. 
Em símbolos, considerando b diferente de zero: 
n n
n
a a
b b
 
= 
 
Aplicações de apoio teórico 
01. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), conforme cada afirmação a seguir:
I. ( ) ( ) ( )
3 3
2 2− = +
II. ( ) ( )
4 45 5− = −
III. ( )
2
3 4
2 9
−
 
= 
 
IV. ( ) ( )
2
3 2 18 
V. ( ) ( ) ( )
3 3
3 37 7
−
− =
VI. ( ) ( )
2 23 3x x= 
02. Considerando que o número a é diferente de zero a expressão algébrica E dada a seguir pode ser escrita na forma
de uma só potência de base a. Determine essa potência.
( )
( )
−  
=
2
8 2 4
5
2
a a a
E
a
03. Utilizando propriedades de potenciação, determine o valor numérico da expressão x abaixo independentemente do
valor do expoente m.
+ +
−
+
=
m 3 m 1
m 1
7 7
x
7
04. Sabe-se que x3 2= para algum número real x. Calcule, a partir dessa informação o valor numérico de y na 
igualdade abaixo:
2x 3x 4x 5xy 3 3 3 3= + + +
05. Utilizando propriedades de potenciação e fatoração, calcule o valor numérico da expressão E considerando que:
98 50 34
99 25 101
3 9 27
E
3 81 3
− +
=
− +
06. (UFMG) O valor da expressão ( )
2
1 1a b
−
− −+ é: 
a) 
( )
2
ab
a b+
b) 
( )
2
2 2
ab
a b+
c) 2 2a b+
d) 
( )
2 2
2
a b
a b

+
aula 20 
POTENCIAÇÃO: PROPRIEDADES 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender que uma potência com expoente natural é uma forma simplificada de representar uma
multiplicação com fatores iguais;
• Identificar as propriedades de potenciação;
• Utilizar as propriedades de potenciação para a simplificação de cálculos numéricos;
• Resolver problemas envolvendo o conhecimento dos termos e propriedades da potenciação.
01. (UFV MG) Na última etapa de uma Gincana de Matemática, foi proposto aos finalistas Júlio e Elza que calculassem
o valor numérico da expressão:
( ) ( )
2 32 31 2 2 3 3+ + − + + − 
A resposta de Júlio foi 32 e de Elza foi 9. Portanto, é correto afirmar que: 
a) ambos erraram
b) ambos acertaram
c) apenas Júlio acertou
d) apenas Elza acertou.
02. (URCA CE) Qual é a oitava parte de 32 162 3 ?
a) 25 162 3 
b) 26 82 3 
c) 4 22 3 
d) 29 162 3
e) 29 132 3
03. (FATEC SP) Das três sentenças abaixo:
I. x 3 x 32 2 2+ = 
II. ( )
x 2x25 5=
III. x x x2 3 5+ =
a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
e) somente a III é falsa.
04. (FATEC SP) Se x e y são números reais tais que
0,25x 0,25= e 0,125y 16−= , é verdade que: 
a) x y=
b) x y
c) x y− é um número irracional 
d) x y+ é um número racional não inteiro. 
05. (UNIPAR) O valor de b na expressão abaixo é igual a:
9 9 9
10
2 3 5
b
30
 
=
a) 30
b) 300
c) 1/3
d) 1/300
e) 1/30
06. (EPCAR) Considere 50a 11= , 100b 4= e 150c 2= e assinale a alternativa correta 
a) c a b 
b) c b a 
c) a b c 
d) a c b 
07. (IFSC) Sabendo que 100x 20= e 
50y 400= pode-se afirmar que: 
a) x é igual a y
b) x é a metade de y
c) x é o dobro de y
d) x é igual ao quadrado de y
e) x é igual ao quádruplo de y
08. (PUC RJ) Simplificando a expressão
6 5
4 3
3 3
2
3 3
 +
  
− 
 , encontramos: 
a) 12
b) 13
c) 3
d) 36
e) 1
09. (UECE) Se 
2 2a 3 e b a= = , então o valor do produto a b é igual a 
a) 63
b) 83
c) 69
d) 89
10. (PUC MG) Se n2 15= e p2 20= , o valor de n p 32 − + é: 
a) 6
b) 8
c) 14
d) 16
aula 21 
POTENCIAÇÃO: NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar potências inteiras de base 10, observando a quantidade de algarismos na sua escrita;
• Reconhecer a necessidade de uniformizar a representação de grandezas microscópicas e grandezas
macroscópicas;
• Identificar um número na notação científica;
• Transformar um número para a notação científica;
• Comparar grandezas de mesma espécie quando representadas pelanotação científica.
A distância da Terra a Júpiter pode variar de 628 milhões de quilômetros a 928 milhões de quilômetros. Essa 
distância é um exemplo de grandezas macroscópicas. Assim como existem grandezas macroscópicas, também temos 
as grandezas microscópicas. É comum na manipulação dos cálculos envolvendo tais grandezas a utilização de 
potências de base 10. 
Outro exemplo de grandeza macroscópica é a idade da Lua, estimada em 
94,53 10 anos. Essa grandeza está 
representada na notação científica. Observe que nessa notação utilizamos uma potência de base 10 multiplicada por 
um número real. O expoente inteiro da potência de base 10 pode indicar a quantidade de zeros após o algarismo 1 ou 
a quantidade de casas decimais depois da vírgula. Assim, sendo n um inteiro positivo temos: 
n
n n
10 10 10 10 10 (...) 10 10000(...)0=      =
n
n
n
1
10 0,0000(...)001
10
− = =
• Na Química e na Física as potências mais utilizadas recebem denominações especiais (os prefixos):
10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 101 102 103 106 109 1012 
PICO NANO MICRO MILI CENTI DECI DEKA HECTO KILO MEGA GIGA TERA 
A notação científica representa uma forma especial utilizada não apenas para comunicar as grandezas, mas 
também como proceder nos cálculos. Essa notação envolve tanto grandezas microscópicas quanto grandezas 
macroscópicas. Daí sua importância. 
Um número está representado em notação científica quando for escrito a partir de um produto entre um número real, 
maior ou igual a 1 e menor que 10, com uma potência inteira de base. Em símbolos: 
  n10
Aplicações de apoio teórico 
01. Escreva cada um dos seguintes números com todos os algarismos, isto é, na forma decimal:
6A 10= 5B 10−=
n - número inteiro 
4C 6,75 10=  4D 1,2 10−= 
02. Escreva cada um dos seguintes números reais na notação científica
x 970000=
y 0,000032=
63z 10
4
= 
( ) ( )2t 200 10 0,0001−=  
03. (FUVEST SP) Comparando-se os números racionais 
49 50a 10 e b 2 10− −= =  é correto afirmar 
a) a excede b em 18 10−
b) a excede b em 12 10−
c) a excede b em 498 10−
d) a excede b em 5
e) a é igual a 5 vezes b.
04. (UFPB) Na revista Superinteressante, foi publicado um artigo afirmando que um fio de cabelo de uma pessoa cresce
a uma taxa de 0,06 cm ao dia. Sabendo-se que a distância entre duas camadas de átomos desse fio de cabelo é de
1,0 angstrom (10-10 m) aproximadamente, é correto afirmar que o número de camadas de átomos que surgem, a cada
hora, é:
a)
52,5 10 b) 
54,0 10
c) 
63,5 10
d) 
41,5 10
e) 
63,0 10
05. (ENEM) No depósito de uma biblioteca há caixas contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em cada
uma delas estão anotados 10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma torre vertical
de 1 m de altura. Qual a representação, em potência de 10, correspondente à quantidade de títulos de livros registrados
nesse empilhamento?
a) 102
b) 104
c) 105
d) 106
e) 107
06. (FGV SP) Quantos algarismos tem o produto 18 274 5 escrito no sistema de numeração decimal? 
aula 22 
POTENCIAÇÃO: NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar potências inteiras de base 10, observando a quantidade de algarismos na sua escrita;
• Reconhecer a necessidade de uniformizar a representação de grandezas microscópicas e grandezas
macroscópicas;
• Identificar um número na notação científica;
• Transformar um número para a notação científica;
• Comparar grandezas de mesma espécie quando representadas pela notação científica.
01. (FUVEST SP) O valor de ( ) ( )
3 2
0,2 0,16+ é: 
a) 0,0264
b) 0,0336
c) 0,1056
d) 0,2568
e) 0,6256
02. (CESGRANRIO) A representação decimal de 
30,01 é: 
a) 0,03
b) 0,001
c) 0,0001
d) 0,00001
e) 0,000001
03. (FEI SP) O valor da expressão 8 3B 5 10 4 10−=    é: 
a) 620
b) 62 10
c) 92 10
d) 420 10−
04. (UECE) Marque a alternativa que indica a quantidade de dígitos que tem o número representado pela soma
2 3 20109 9 10 9 10 9 10 (...) 9 10+  +  +  + + 
a) 2009
b) 2010
c) 2011
d) 2012
e) 2013
05. (FGV SP) Se x 3200000 e y 0,00002= = , então x y vale: 
a) 0,64
b) 6,4
c) 64
d) 640
e) 6400
06. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo.
Esse número de bactérias pode ser escrito como
a) 910
b) 1010
c) 1110
d) 1210
e) 1310
07. (UFJF MG) Para representar números muito grandes, ou muito pequenos, usa-se a notação científica. Um número
escrito em notação científica é do tipo pn 10 , em que 1 n 10  e p é um número inteiro. Leia as afirmativas abaixo: 
I – A distância entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 149 600 000 000 metros. 
II – O diâmetro de uma célula é de aproximadamente 0,0045 centímetros. 
As medidas citadas nas afirmativas I e II escritas em notação científica são, respectivamente, 
a) 11 31,496 10 e 4,5 10− 
b) 8 21,496 10 e 4,5 10− 
c) 11 31,496 10 e 4,5 10 
d) 8 41,496 10 e 45 10− 
08. (FUVEST SP) As células da bactéria Escherichia coli têm formato cilíndrico, com 78 10− metros de diâmetro. O 
diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente 41 10− metros. Dividindo-se o diâmetro de um fio de cabelo pelo 
diâmetro de uma célula de Escherichia coli, obtém-se, como resultado, 
a) 125
b) 250
c) 500
d) 1000
e) 8000
09. (UFRGS) A distância que a luz percorre em um ano, chamado ano-luz, é de aproximadamente 5 1238 4 5 
quilômetros. A notação científica desse número é:
a) 
109,5 10
b) 
120,95 10
c) 
129,5 10
d) 1295 10
e) 
149,5 10
10. (ENEM) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no
nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias
respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus influenza é uma partícula que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é
a) 11,1 10−
b) 21,1 10−
c) 31,1 10−
d) 41,1 10−
e) 51,1 10−
aula 23 
RADICIAÇÃO: PROPRIEDADES 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que uma raiz é uma potência de expoente racional não inteiro;
• Identificar as propriedades de radiciação;
• Utilizar as propriedades de radiciação para a simplificação de cálculos numéricos;
• Resolver problemas envolvendo o conhecimento dos termos e propriedades da radiciação.
A radiciação pode ser definida como sendo uma potência de expoente racional não inteiro. Também pode ser 
interpretada como a operação inversa da potenciação, isto é, como sendo uma potenciação em que não se conhece o 
valor do da base. 
1
5 55x 243 x 243 243= → = =
Como a radiciação pode ser explicada a partir da potenciação, a ligação entre essas duas operações é a 
relação: 
m
n m na a=
Observações: 
1.Quando o índice de um radical for par, a raiz só existirá no conjunto dos números reais se o radicando for não
negativo.
2.Quando o índice for par, o resultado será um número real não negativo.
16 4= → Verdadeiro
16 4= − → Falso 
3.Não confundir 2x 16= , em que x 4=  com 16 4= . 
Além da definição de raiz, indicada acima como potência de expoente racional não inteiro, temos as seguintes 
propriedades cujas validades estão restritas às existências dos radicais. 
1ª propriedade 
A raiz do produto de números reais é o produto das raízes, desde que sejam definidas. Em símbolos: 
 = n n nA B A B
2ª propriedade 
A raiz do quociente de números reais é o quociente das raízes, desde que sejam definidas. Em símbolos: 
Raiz índice 2 
Raiz índice n 
Radiciação: potência de expoente racional não inteiro 
=
n
n
n
A A
B B
3ª propriedade 
A raiz da raiz de um número real é uma raiz com o índice obtido pelo produto dos índices, desde que sejam definidas. 
Em símbolos: 
=
n m nmA A
Aplicações de apoio teórico 
01. Marque V ou F conforme cada afirmação a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente
I. ( ) Se 2x 25= , então x 5=  
II. ( ) 81 9= 
III. ( ) 0,01