doc_calculo__564608554

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Cálculo I 
3ª Lista de Exercícios – Limites 
 
1) Calcule os limites: 
2 ) 
5
39
 ) 3/2 ) 8/1 ) 0 ) 2 ):.Resp
46
232
 lim) 
34
353
 lim) 
45
332
 lim)
43
523
 lim) 
35
32
 lim))574( lim)
3
2
2 
3
23
2 
2
1 
3
2
2
2 
2
3 
2
1 




















fedcba
x
xx
f
x
xxx
e
x
xx
d
xx
xx
c
x
xx
bxxa
xxx
xxx
 
 
2) Calcule os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58x4xx
46x3xx
 lim f) 
x4
x8
 lim e) 
1x
1x
 lim d)
25x2x
35x2x
 limc)
x2
x4
 limb) 
1x
1x
 lim a)
23
23
1 x2
3
2 x2
3
1 x
2
2
2
1 x
2
2 x
2
1 x














1 ) 3 ) 2/3 ) 3/7) 4 ) 2 ):.Resp fedcba 















 ) ) ) ))))):.Resp
1
1
 lim) 
1
1
 lim) 
3
21
 lim) 
2
4
 lim) 253 lim) 
)1(
31
 lim) 
)1(
32
 lim ) 
)2(
43
 lim)
1 1 
3 2 2
2
0 
21 21 22 
hgfedcba
x
h
x
g
x
x
f
x
x
e
x
xx
d
x
x
c
x
x
b
x
x
a
xx
xxx
xxx
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4) Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








 75
32
)lim x
x
e
x








 12
211
)
3lim x
x
c
x








 1032
74
)
2
3
lim xx
xx
b
x
 253) 2lim 

xxa
x








 12
13
)
2
3
lim xx
xx
d
x








 124
121
)
2
3
lim x
x
f
x








 84
63
)
2
lim x
xx
g
x








 xxx
xx
h
x 533
322
)
23
3
lim
3/2 ) ) )
5/2 ) ) 0 ) ) ):.Resp


hgf
edcba





) ) ) ) ):.Resp
)43(lim) )4(lim)
)345(lim) )54(lim) )32(lim)
3
 
2
 
2
 
edcba
xexd
xxcxbxa
xx
xxx
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Exercícios Complementares 
 
1. Calculando-se , obtém-se 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 4. 
e) 6. 
 
 
2. O é igual a 
a) 1/9. 
b) 1/27. 
c) 1/243. 
d) 1/243. 
e) 1/54. 
 
 
3. O valor de é 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) ∞. 
 
 
4. vale 
a) 7e 
b) e7 
c) 7 – e 
d) 7 + e 
e) 7e 
 
5. Julgue as afirmações abaixo e marque a alternativa correta. 
 
a) I, II e III são falsas. 
b) Apenas as afirmações I e II são falsas. 
c) I, II e III são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmações I e III são falsas. 
e) Apenas as afirmações II e III são falsas. 
 
 
 
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6. Calculando-se , obtém-se 
a) 1/4. 
b) 1/5. 
c) 1/6. 
d) 1/7. 
e) 1/8. 
 
7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira. 
Assinale-a: 
a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical. 
b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical. 
c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0). 
d) 
e) 
 
 
 
9. é igual a 
a) . 
b) 0. 
c) 1. 
d) - . 
e) 4. 
 
10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) f(1) = 2 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E E B D E C D C A C 
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
1) 2) 
3) 4) Não existe pois e 
5) 6) 7) 
 
EXERCÍCIOS ESPECIAIS 
a) RESP 0 b) RESP -2 
c) RESP 1/3 d) RESP 1/2 
e) RESP 2
1
3
A
a

 f) RESP 3X2 
g) RESP 1 h) RESP 1/2 
i) RESP 3 j) RESP 1 
k) RESP -1/56 l) RESP 12 
m) RESP 3/2 n) RESP -1/3 
o) RESP 1 p) RESP 
2
X
: x 
q) RESP 
3 2
1
3 x
 r) RESP -1/3 
 
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LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS 
Seja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x + a0 
( ) nn
x x
Lim f x Lima x
 
 Para o cálculo de limite com x toma-se o termo de maior grau da função 
e aplica-se o limite . 
Exemplos : 2 2(2 3) 2
x x
Lim x x Lim x
 
    
 
Exercícios complementares: 
1) 
3 2
4
2 4 1
3 2 2x
x x
Lim
x x
 
 
 R 0 
2) 
4
4 3
4 3
3 1x
x x
Lim
x x
 
 
 R 4/3 
3) 
3 2
2
4 2 3
2 3 8x
x x x
Lim
x x
  
 
 R  
 
4) 
4
2
2 1
2 1x
x x
Lim
x
 

 R ½ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LIMITES DE FUNÇÕES 
 
Seja  xf uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número ""a , exceto possivelmente 
no próprio ""a . Então, diz-se que o limite de  xf quando x tende a ""a  ax é L, e representa-se 
por 
 
   Lxf
ax


lim 
se  ax0 para todo 0 há um número correspondente 0 tal que   Lxf sempre que 
 ax0 , isto é, se    Lxfax0 . 
 
Exemplo: Provar que   754lim
3


x
x
 
Solução: 
 
(a) Encontrar um valor para  : 
 
Uma análise preliminar do problema indica que se 0 , deve encontrar-se um  tal que 
   754x sempre que  30 x , 
mas 
   3434124754 xxxx sempre que  30 x , 
isto é, 
4
3

x sempre que  30 x , logo 
4

 . 
 
(b) Prova: 
Por tanto, dado 0 , escolhe-se 
4

 , e se  30 x , então, 
  






4
443434124754 xxxx 
Assim 
   754x sempre que  30 x , 
por tanto 
  754lim
3


x
x
 
 
Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, 
 3x 
donde 
   751253454lim
3


x
x
 
 
Exemplos: 
a) 93lim 22
3


x
x
 
 
b)   2774575lim
4


x
x
 
c) 
 
 
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Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função 
 
  
2
443 2



x
xx
xf , com 2x , isto é, 
 
0
0
2
443
lim
2
2




 x
xx
xf
x
 Indeterminação, 
 
estudando-se esta função, tem-se que o domínio de  xf abrange todos os números reais, com exceção de 
2x que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, 
ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja, 
  02 cbxax
a
acbb
x
2
42
 . 
Assim, 
 
 










32
2
6
84
6
48164
2
1
x
x
x 
 
   23
2
)2)(23(
2
443 2






 x
x
xx
x
xx
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, tem-se que 
 
  823lim
2
)2)(23(
lim
2
443
lim
22
2
2








x
x
xx
x
xx
xf
xxx
, 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico mostra que para x aproximando de 2 ,  xf se aproxima de 8 , mas 
se substituir-se 2x na 1a expressão,  xf não está definida naquele ponto. 
 
 
  223  xxxf
 Ponto  8,2 
deve ser 
excluído do 
gráfico, pois 
naquele 
ponto a 
função é 
indefinida. 
X
 
2 
8 Y
 
 x  xf 
 
300,8100,2
030,8010,2
003,8001,2
000,8000,2
997,7999,1970,7990,1
700,7900,1
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
0
0
4
16
lim
2
4



 x
x
x
 Indeterminação, 
onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto. 
Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja, 
 48)4(lim
)4(
)4)(4(
lim
44




xyx
x
xx
xx
 
Em   4xxf , o ponto  8,4 deve ser excluído do gráfico, pois 4x , pois o domínio de  xf é: 
     ,44,/: xD e tem como imagem 
     ,88,/: yI . 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 - Propriedades dos Limites 
 
1)          xvvexuuparavuvu
axaxax


limlimlim 
 
2)       xuuparauCuC
axax


limlim e C é uma constante 
 
3)          xvvexuuparavuvu
axaxax


limlimlim 
4) 
 
 
 
 
   xvvexuupara
v
u
v
u
ax
ax
ax








 lim
lim
lim 
5)       xuuparauu m
ax
m
ax


limlim 
6)    xuuparauu m
ax
m
ax


limlim 
7)       xuuparauu
ax
aa
ax


limlogloglim 
8)           xvvexuuparauu v
ax
v
ax
ax  

limlimlim 
9)   ,,0,00,00 


 e       0,,0   kk 
10) Indeterminações de limites: 


 1,0,,,
0
0
,0, 00 
Y 
 
X 
 
4 
 
4 
 
4
 
 
8 
 
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Exemplos: 
 
1) 
2
3
4
9
3lim
18lim
3
18
lim
1
1
1








 x
x
x
x
x
x
x
 
2) 
0
0
1
34
lim
2
2
1



 x
xx
x
 Indeterminação 
 
Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se 
 
Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é, 
 0342 xx
2
12164 
x (Baskara) 








3
1
2
24
2
1
x
x
x 
     31342212  xxxxxxxxcbxax 
 
donde, 
 
 
)1(
)3)(1(
lim
21 

 z
zz
z
 
 
Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é, 
 
  1111101 222  zzzzzz 
 
assim, 
 1
2
2
)1(
)3(
lim
)1)(1(
)3)(1(
lim
11








 z
z
zz
zz
zz
 
 
3) 
     12lim
3
23
lim
0
0
3
65
lim
33
2
3







x
x
xx
x
xx
xxx
 
 
4) 
0
024
lim
0


 x
x
x
 Indeterminação 
 
Neste caso, para eliminar a indeterminação 
0
0
 , se deve racionalizar o numerador , isto é, 
    22 bababa  . Desta forma, tem-se: 
 
  
24
44
lim
24
2424
lim
24
lim
000 






 xx
x
xx
xx
x
x
xxx
 
 
4
1
24lim
1
24
1
lim
24
lim
0
00







 xxxx
x
x
xx
 
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3.2 - Limites Notáveis 
Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco)  tende a diminuir, o 
valor do  asen tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 1, e o limite 
notável no caso é 
 
3.2.1 - Limite do seno 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Calcular 
 
 
 
x
x
x
5sen
lim
0
 faz-se 
5
5
t
xtx  , para 00  tx 
 
 
        515senlim5sen5lim
5
sen
lim
000

 t
t
t
t
t
t
ttt
 
 
7) 
 
 
 
 
   
    3
2
31
21
3
3
3sen
2
2
2sen
lim
3sen
2sen
lim
00







 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
 
 
8) 
   
 
 
 
  1
1
1
1
cos
1
lim
sen
lim
cos
1sen
lim
tan
lim
0000
























 xx
x
xx
x
x
x
xxxx
 
 
 
Limite que define o número “e ” 
 
 O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo. 
 
 
e
x
y
x
x





 

1
1lim 
 
x y 
 1 2 
 10 5937,2 
 100 7048,2 
 1000 7169,2 
 10000 7181,2 
 x 7182818,2e 
 
1
sen
lim
0

 


 
s 
 sen 
 
 arS sen  , se 
 aSr sen;1   
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Exemplo: 
 
a
x
x
e
x
a





 

1lim põe-se azx
zx
a

1
 para  zx 
 
a
az
z
az
z
x
x
e
zzx
a














 




 




 

1
1lim
1
1lim1lim 
 
 
Limites infinitos de funções racionais 
 
 Se a função for do tipo  )()(lim xQxPy
x 
 , isto é, 
 




















01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1lim
bxbxbxbxbxb
axaxaxaxaxa
y
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x 

, 
 
que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador 
pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se mn , tem-se: 
 
























n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
























nnnn
m
m
n
m
m
n
m
m
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 























nnnmn
m
mn
m
mn
m
nnn
nn
n
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
y
0
1
1
2
2
2
2
1
1
0
1
1
2
2
2
21
lim


, 
 
e passando ao limite, tem-se: 
 




0000000
00000 nn aay


. 
 
 
 
 
 
 
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Se nm , tem-se: 
























m
m
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
























mmmm
m
m
m
m
m
m
m
m
mmmm
n
n
m
n
n
m
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 























mmm
mm
m
mmmmn
n
mn
n
nm
n
n
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
xa
y
0
1
1
2
2
2
21
0
1
1
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
e passando ao limite, tem-se: 
 
0
0
00000
000000




mm bb
y


. 
 
Se mn , tem-se: 
 
























n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
























n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
























nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 




















nnn
nn
n
nnn
nn
n
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
y
0
1
1
2
2
2
21
0
1
1
2
2
2
21
lim


, 
 
e passando ao limite, tem-se: 
n
n
n
n
b
a
b
a
y 



00000
00000


. 
 
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Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos os 
limites menos os de maior expoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja, 
 


















01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1lim
bxbxbxbxbxb
axaxaxaxaxa
y
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x 

 
 




















 

mn
m
n
xm
m
n
n
xm
m
n
n
x
x
b
a
xb
xa
xb
xa
y limlim00000
00000
lim


. 
 
Assim, se  ymn , se 
m
n
b
a
ymn  e se 0 ynm . 
Exemplos: 
1) 





 32
5
lim
2
2
x
x
x
, o resultado daria 


 (indeterminação) 
 
Aplicando a técnica exposta anteriormente se tem: 
 
2
5
02
5
3
lim2
5
3
2
5
lim
32
5
lim
2222
2
2
2







































xxxx
x
x
x
x
xx
 , 
 
ou simplesmente 
  
2
5
1lim
2
5
lim
2
5
2
5
lim
32
5
lim
2
2
2
2
2
2


















  xxxx x
x
x
x
x
x
 
 
2) Calcular o limite 
 








 









































 0
1
00
01
11
lim
1
lim1
11
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
2
3
3
3
33
2
33
3
2
3
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
xxx
 
ou 
 














x
x
x
x
x
xxx
limlim
1
1
lim
2
3
2
3
 
 
3) Calcular o limite 
 
  33
3
3 3
3
3 33
3 7
5
3
lim7
5
37
1
5
lim
37
1
5
lim
37
5
lim 









































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
ou 
  
 
3333 333 33 3 7
5
1lim
7
5
lim
7
5
7
5
lim
7
5
lim
37
5
lim 































  xxxxx x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
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4) Calcular o limite 
 
    30lim37lim37lim37lim 33
3
3
3
2
332 










 













x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxx
 
 
         

3lim33lim30lim 333 xxx
xxx
 
 
ou simplesmente 
 
      

3232 lim3lim737lim xxxx
xxx
 
 
 
Limites Laterais 
 
a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de  xf quando x tende a a (ou que o limite de  xf quando x 
tende a a pela esquerda) é L e representa-se por 
 
   Lxflim
ax


 
se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .ax 
 
Exemplo:     
 
































 0
1
0
1
2
2
22 cos
sen
xcos
xsen
limxtanlim
xx
 
 
b) Definição: Diz-se que o limite direito de  xf quando x tende a a (ou que o limite de  xf quando x 
tende a a pela direita) é L e representa-se por 
 
   Lxflim
ax


 
se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .ax 
 
Exemplo:     
 
































 0
1
0
1
2
2
22 cos
sen
xcos
xsen
limxtanlim
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
 
2) Resolver os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.   y
y
y 1
0
1lim 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11. 
2
65
lim
2
2 

 x
xx
x
 
 12. 
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
 
 13. 
1
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 
16. 
h
h
h
9)3(
lim
2
0


 
 
17. 
h
h
h


42
lim
0
 
18. 3
23 26
4
lim


 x
x
x
 
 19.   y
y
ay 1
0
1lim 

 
 15. 








 3 3 37
5
lim
x
x
x
 20)  32 37lim xx
x

