Aula 2. Limites e continuidade Final

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DMI/FAEF-UEM. 2021
Aula 2: Limite e continuidade de funções
June 4, 2021
Docentes: Américo Matusse& Salvador Manjate Autor: A.Matusse & S. Manjate
Contents
1 Noção do Limite de uma função 2
2 Teorema sobre limites 3
3 Primeiro limite notável 6
4 Limites Laterais 7
5 Limites Infinitos 9
6 Limites no Infinito 12
7 Segundo limite notável. Numero e 16
8 Continuidade de uma função 17
Introdução
O conceito de limite de uma função é uma das ideias fundamentais que destinguem o cálculo de outras áreas
da Matemática, como Álgebra e Geometria. Ela joga um papel importante na construção dos conceitos por
exemplo, do cálculo diferencial e integral. As noções de derivadas e integrais nos tópicos a posterior são o
suporte de toda a construção das variáveis físicas, além disso no cálculo de áreas e volumes.
Objectivos
No final desse tópico o estudante deve ser capaz de:
• Expressar algebricamente a definição de limite de uma função de maneira intuitiva;
• Aplicar os teoremas sobre limites na resolução de problemas;
• Resolver exercícios de limites quando ocorrer um tipo de indeterminação;
• Calcular limites infinitos e limites no infinito, bem como calcular limites através de limites
notáveis;
• Calcular limites laterais e dar sua interpretação;
• Analisar a continuidade de uma função num ponto x = a;
• Analisar os diferentes tipos de decontinuiade e saber classificar
1
1 Noção do Limite de uma função
A ideia de conhecer os valores de f(x) de uma função f quando a variável x está muito próximo de um
número a, mas não necessariamente igual a a aparece frequentemente no cálculo e suas aplicações. Na
realidade, em muitos casos o número a não pertence ao domínio de f , ou seja, f(a) não é definido.
Para darmos a noção intuitiva do limite de uma função, vamos começar por estudar o comportamento
de uma dada função f(x) para valores de x próximos de um dado ponto a. Consideremos, por exemplo,
a função f(x) = x + 1 e observemos como a função se comporta quando x toma valores próximos de 1,
através da tabela que se segue.
x > 1 x+ 1 x < 1 x+ 1
1, 5 2, 5 0, 5 1, 5
1, 1 2, 1 0, 9 1, 9
1, 01 2, 01 0, 99 1, 99
1, 001 2, 001 0, 999 1, 999
↓ ↓ ↓ ↓
1 2 1 2
Graficamente esta situação pode ser descrita como
�
�
�
�
�
�
�
�
��
-
6
x1→ ←
r2↓
↑
r
quando x tende a 1
f(x)
tende
a 2
f(x) = x+ 1
Da tabela acima, vemos que quando x estiver próximo de 1 (de qualquer lado de 1) f(x) estará próximo de 2.
De fato, podemos tomar os valores de f(x) tão próximos de 2 quanto quisermos tomando x suficientemente
próximo de 1. Expressamos isso dizendo que o limite da função f(x) = x+1 quando x tende a 1 é igual a
2.
Definicão 1.1 (Intuitiva). Escrevemos
lim
x→a
f(x) = L
e dizemos o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L se pudermos tomar valores de f(x) arbitrari-
amente próximos de L tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.
2
Observação: Ao procurar o limite quando x tende a a não consideramos x = a. Estamos interessados
no que acontece próximo de a e a função f(x) nem precisa estar definida para x = a. Consideremos os
seguintes exemplos.
Exemplo 1.2. Encontre lim
x→1
x2 − 1
x− 1
.
Resolução: Observe que f(x) =
x2 − 1
x− 1
não está definida quando x = 1. Temos que para x 6= 1,
x2 − 1
x− 1
=
(x− 1)(x+ 1)
x− 1
= x+ 1.
Como os valores das duas funções são iguais para x 6= 1, então os seus limites quando x tende a 1 também.
Portanto,
lim
x→1
x2 − 1
x− 1
= 2.
Exemplo 1.3. Encontre lim
x→9
f(x), quando f(x) =
x− 9√
x− 3
.
Resolução: O número 9 não está no domínio de f , pois, o denominador
√
x − 3 anula-se no ponto x = 9.
Porém, escrevendo
f(x) =
(
√
x− 3)(
√
x+ 3)
(
√
x− 3)
vemos que para valores não negativos de x, excepto x = 9, f(x) é dada por
√
x + 3. Deste modo, quanto
mais próximo o x está de 9 (mas x 6= 9), mais próximo está f(x) de
√
9 + 3, ou 6. Portanto,
lim
x→9
f(x) = lim
x→9
x− 9√
x− 9
= 6.
2 Teorema sobre limites
Nesta seção, enunciaremos, sem demonstrações os teoremas sobre limites de funções e suas aplicações na
resolução de problemas, teoremas estes que desempenharão um papel importante ao longo de todo curso.
Teorema 1. (Unicidade de limite)
Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
f(x) =M então L =M.
Teorema 2. Se f(x) = k para todo x real, então para qualquer número real a, tem-se
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
k = k,
ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.
Teorema 3. Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) =M , então
a) lim
x→a
(f(x)± g(x)) = lim
x→a
f(x)± lim
x→a
g(x) = L±M
3
b) Para qualquer número real k, tem-se lim
x→a
(k · f(x)) = k · lim
x→a
f(x) = k · L
c) lim
x→a
(f(x) · g(x)) = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x) = L ·M.
d) lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
=
L
M
, se M 6= 0.
e) lim
x→a
(f(x))n = (lim
x→a
f(x))n = Ln.
Teorema 4. Se lim
x→a
f(x) = b e lim
x→b
g(y) = L, com L = g(b) então lim
x→a
g(f(x)) = g( lim
x→a
f(x)).
Teorema 5. Sejam b ∈ R, b 6= 1 e n ∈ N. Se lim
x→a
f(x) = L
a) lim
x→a
(sin f(x)) = sin( lim
x→a
f(x)) = sinL
b) lim
x→a
(cos f(x)) = cos( lim
x→a
f(x)) = cosL
c) lim
x→a
bf(x) = b
lim
x→a
f(x)
= bL
d) lim
x→a
(logb f(x)) = logb( limx→a
f(x)) = logb L, L > 0
e) lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x) = n
√
L para todo n se L ≥ 0 e só para ímpar L < 0.
Indeterminações. No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo
os símbolos de mais infinito (+∞) e menos infinito (−∞), que representam quantidades de módulo infinita-
mente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim, uma tendência
de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.
Por outro lado, na resolução de exercícios sobre limites, é muito comum chegarmos a expressões inde-
terminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação,
usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:
||∞ −∞||, ||∞ · 0||, ||0
0
||, ||∞
∞
||, ||∞0||, ||1∞||, ||00||, . . .
Vamos agora calcular alguns limites utilizando artifícios algébricos para levantar a indeterminação...
Exemplo 2.1. Calcule lim
x→5
x− 5
x2 − 25
.
Resolução: Subistituindo directamente x por 5 no limite dado obtemos
lim
x→
x− 5
x2 − 25
= ‖0
0
‖.
Neste caso, para levantar a indeterminação podemos factorizar o denominador x2 − 25 utilizando o caso
notável a2 − b2 = (a− b)(a+ b), pelo que
lim
x→
x− 5
x2 − 25
= lim
x→5
(x− 5)
(x− 5)(x+ 5)
= lim
x→5
1
x+ 5
=
1
10
.
4
Exemplo 2.2. Calcule lim
x→2
x3 − 5x2 + 6x
x2 − 7x+ 10
.
Resolução: Temos lim
x→2
x3 − 5x2 + 6x
x2 − 7x+ 10
=
8− 20 + 12
4− 14 + 10
= ‖0
0
‖. Para levantar este tipo de indeterminação
vamos utilizar a seguinte proposição
“Um número a é raiz ou zero de um polinómio p(x), se e somente se, p(x) é divisível por x− a”.
Como x − 2 é uma raiz do numerador ou do denominador podemos efectuar a divisão de ambos por
(x− 2) utilizando o algoritmo da divisão ou pela regra de Rufini para obter
x3 − 5x2 + 6x = x(x− 2)(x− 3) e x2 − 7x+ 10 = (x− 2)(x− 5).
Logo,
lim
x→2
x3 − 5x2 + 6x
x2 − 7x+ 10
= lim
x→2
x(x− 3)
(x− 2)(x− 5)
= lim
x→2
x(x− 2)(x− 3)
(x− 5)
=
2
3
.
Exemplo 2.3. Calcule lim
x→0
√
x+ 3−
√
3
x
.
Resolução: Temos lim
x→0
√
x+ 3−
√
3
x
=
√
3−
√
3
0
= ‖0
0
‖. Para levantar esta indeterminação, vamos
transformar a expressão de modo conveniente, mais precisamente racionalizar o numerador. Para tal vamos
multiplicar o numerador e o denominador por
√
x+ 3+
√
3 que é o par conjugado de
√
x+ 3+
√
3 ou seja,
√
x+ 3−
√
3
x
·
√
x+ 3 +
√
3
√
x+ 3 +
√
3
=
x+ 3− 3
x(
√
x+ 3 +
√
3)
=
1
√
x+ 3 +
√
3
.
Logo,
lim
x→0
√
x+ 3−
√
3
x
= lim
x→0
1
√
x+ 3 +
√
3
=
1
2
√
3
.
Observação: Ao calcular limites envolvendo expressões irracionais frequentemente aplicam-se um dos
seguintes procedimentos:
a) Translação da irracionalidade do numerador ou do denominador e vice-versa;
b) Introdução de uma nova variável (sempre que possível) para obter uma expressão racional.
Exemplo2.4. Calcular lim
x→8
3
√
x− 2
x− 8
.
Resolução: Temos uma indeterminação do tipo ‖0
0
‖. Para levantar esse tipo de indeterminação, vamos
introduzir uma nova variável x = u3. Deste modo, quando x tende a 8, u tende a 2 e assim passamos do
limite irracional em x para limite racional em u, isto é,
lim
x→8
3
√
x− 2
x− 8
para lim
u→2
u− 2
u3 − 8
.
5
Note que neste último, ainda temos uma indeterminação do tipo ‖00‖. Esta indeterminação é levantada
dividindo o denominador u3 − 8 pelo numerador u− 2 cujo quociente é u2 + 2u+ 4. Então
u3 − 8 = (u− 2)(u2 + 2u+ 4),
logo,
lim
x→8
3
√
x− 2
x− 8
= lim
u→2
u− 2
u3 − 8
= lim
u→2
u− 2
(u− 2)(u2 + 2u+ 4)
= lim
u→2
1
u2 + 2u+ 4
=
1
12
.
Exemplo 2.5. Calcule lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1
.
Resolução: Temos uma indeterminação do tipo ‖0
0
‖. Para levantar esse tipo de indeterminação, vamos
introduzir uma nova variável. Supondo que
1 + x = y6, onde m.m.c(2, 3) = 6, e como x→ 0 então y → 1.
Logo,
lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1
= lim
y→1
y3 − 1
y2 − 1
= lim
y→1
(y − 1)(y2 + y + 1)
(y − 1)(y + 1)
= lim
y→1
y2 + y + 1
y + 1
=
3
2
.
Exercícios
1. Explique em palavras o que se pretende dizer pela equação lim
x→2
f(x) = 5. É possível que esta afir-
mação seja verdade e ainda f(2) = 3?
2. Determinar os valores dos seguintes limites:
(a) lim
x→5
x2 − 6x+ 5
x− 5
;
(b) lim
x→−1
x2 − 4x
x2 − 3x− 4
;
(c) lim
h→0
(−5 + h)2 − 25
h
(d) lim
t→1
t4 − 1
t3 − 1
;
(e) lim
x→4
√
2x+ 1− 3
√
x− 2−
√
2
;
(f) lim
x→−4
1
4
+
1
x
4 + x
;
(g) lim
x→−1
x2 + 2x+ 1
x4 − 1
;
(h) lim
t→0
√
1 + t−
√
1− t
t
;
(i) lim
x→16
4−
√
x
16x− x2
;
(j) lim
x→1
(
1
1− x
− 3
1− x3
)
;
(k) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
;
(l) lim
h→0
1
(x+ h)2
− 1
x2
h
(m) lim
x→1
3
√
x− 2 3
√
x+ 1
(x− 1)2
;
(n) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1
;
(o) lim
x→64
√
x− 8
3
√
x− 4
.
3 Primeiro limite notável
A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa
aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas. Sem demonstrar, vamos definir
o primeiro limite notável e mostrar como é aplicados em exercícios concretos:
6
Teorema 6 (O Primeiro Limite notável).
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Os exemplos a seguir mostram como aplicamos o primeiro limite notável na resolução de exercícios
concretos.
Exemplo 3.1. Calcule lim
x→0
sen5x
x
.
Resolução:
lim
x→0
sen5x
x
= 5 lim
x→0
sen 5x
5x
u=5x
= 5 lim
u→0
sen u
u
= 5.
Exemplo 3.2. Calcule lim
x→0
tan(2x)
x
.
Resolução:
lim
x→0
tan(2x)
x
= lim
x→0
sen(2x)
2x
2
cos(2x)
= 2.
Exemplo 3.3. Calcule lim
x→0
1− cosx
x2
.
Resolução:
lim
x→0
1− cosx
x2
= lim
x→0
(1− cosx)
x2
(1 + cosx)
1 + cosx
= lim
x→0
1− cos2 x
x2
1
1 + cosx
= lim
x→0
sen2x
x2
1
1 + cosx
=
1
2
.
Exercícios
1. Utilizando o primeiro limite notável, Ache o valor dos seguintes limites:
(a) lim
x→π
sin 5x
sin 2x
(b) lim
x→0
√
1 + sinx−
√
1− sinx
x
(c) lim
x→0
tanx− sinx
sin3 x
(d) lim
x→0
1−
√
cosx
x2
(e) lim
x→0
x− sin 2x
x+ sin 3x
(f) lim
x→0
arctan 2x
sin 3x
(g) lim
x→1
(1− x) tan πx
2
(h) lim
x→−2
tanπx
x+ 2
(i) lim
x→π
1− sin x
2
x− π
4 Limites Laterais
Considere a seguinte função
f(x) =

−1 , x < 0
1 , x ≥ 0 ,
cujo seu gráfico é
7
1
−1
-
6
x
f(x)
a
q
0
Quando x tende a 0 pela esquerda, f(x) tende a −1. Quanto x tende a 0 pela direita, f(x) tende a 1. Não há
um número único para o qual f(x) se aproxima quando x tende a 0. Portanto, lim
x→0
f(x) não existe. Porém,
nesta situação podemos definir os limites laterais.
Definicão 4.1 (Intuitiva).
• Escrevemos
lim
x→a−
f(x) = L
e dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p pela esquerda é igual a L se pudermos tomar os
valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tomando x suficientemente próximo de p e x menor
do que a.
• Escrevemos
lim
x→a+
f(x) = L
e dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p pela direita é igual a L se pudermos tomar os
valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tomando x suficientemente próximo de p e x maior
do que a.
-
6
L
p xx→
f(x)
↑
lim
x→a−
f(x) = L
xp
L
f(x)
↓
f
-
6
← x
lim
x→a+
f(x) = L
Exemplo 4.2. Calcule lim
x→0+
|x|
x
e lim
x→0−
|x|
x
.
8
Resolução: Note que f(x) =
|x|
x
não está definida em 0. Temos
|x|
x
=

1 , x > 0
−1 , x < 0.
Portanto
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0
1 = 1 e lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0
−1 = −1.
Segue das definições de limites laterais o seguinte teorema.
Teorema 7.
lim
x→a
f(x) = L ⇐⇒ lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = L.
Corolário 1. Segue do Teorema 7 que
• se f admite limites laterais em a, e
lim
x→a+
f(x) 6= lim
x→a−
f(x),
então não existe lim
x→a
f(x);
• se f não admite um dos limites laterais em a, então não existe lim
x→a
f(x).
Exemplo 4.3. Verifique se o limite lim
x→0
|x|
x
existe.
Resolução: Pelo exemplo anterior (Exemplo 4.2),
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0
1 = 1 e lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0
−1 = −1.
Portanto, não existe lim
x→0
|x|
x
.
5 Limites Infinitos
Consideremos a função f(x) =
1
x2
. Quando x se aproxima de 0, x2 também se aproxima de 0 e
1
x2
fica
muito grande. De fato, os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente grandes se tomarmos valores de x
próximos de 0. Para indicar este comportamento usamos a notação
lim
x→a
f(x) = +∞.
Definicão 5.1 (Intuitiva). Seja f uma função definida em ambos lados de a, exceto possivelmente no próprio
a.
9
Figure 1: Quando x está próximo de zero, f(x) tende ao infinito.
•
lim
x→a
f(x) = +∞,
significa que podemos tornar os valores de f(x) arbitrariamente grandes tomando os valores de x
suficientemente próximos de a.
•
lim
x→a
f(x) = −∞,
significa que podemos tornar os valores de f(x) arbitrariamente grandes, porém negativos, tomando
valores de x suficientemente próximos de a.
• Definições análogas no caso de limites laterais.
Exemplo 5.2. lim
x→0
(
− 1
x2
)
= −∞.
Exemplo 5.3. Determine lim
x→3+
2
x− 3
e lim
x→3−
2
x− 3
.
Resolução: Para valores x > 3 próximos de 3, x − 3 é um número positivo muito pequeno, e 2
x− 3
é um número positivo grande. Então, intuitivamente lim
x→3+
2
x− 3
= +∞. Analogamente, vemos que
lim
x→3−
2
x− 3
= −∞.
Definicão 5.4. A reta x = a chama-se de assímptota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das
seguintes condições é satisfeita:
lim
x→a
f(x) = +∞, lim
x→a+
f(x) = +∞, lim
x→a−
f(x) = +∞,
lim
x→a
f(x) = −∞, lim
x→a+
f(x) = −∞, lim
x→a−
f(x) = −∞.
Exercício: Mostre que
(a) lim
x→0−
1
x
= −∞; (b) lim
x→0
1
|x|
= +∞.
Propriedades dos limites infinitos. Seja L um número real. Temos:
10
•
{
lim
x→a
f(x) = +∞
lim
x→a
g(x) = +∞ =⇒
{
lim
x→a
(f + g)(x) = +∞
lim
x→a
(f · g)(x) = +∞
•
{
lim
x→a
f(x) = L
lim
x→a
g(x) = +∞ =⇒
{
lim
x→a
(f · g)(x) = +∞, L > 0
lim
x→a
(f · g)(x) = −∞, L < 0
•
{
lim
x→a
f(x) = −∞
lim
x→a
g(x) = +∞ =⇒ limx→a(f · g)(x) = −∞
•
{
lim
x→a
f(x) = L
lim
x→+a
g(x) = +∞ =⇒ limx→a(f + g)(x) = +∞
•
{
lim
x→a
f(x) = L
lim
x→a
g(x) = −∞ =⇒ limx→a(f + g)(x) = −∞
•
{
lim
x→a
f(x) = −∞
lim
x→a
g(x) = −∞ =⇒
{
lim
x→a
(f + g)(x) = −∞
lim
x→a
(f · g)(x) = +∞
•
{
lim
x→a
f(x) = L
lim
x→a
g(x) = −∞ =⇒
{
lim
x→a
(f · g)(x) = −∞, L > 0
lim
x→a
(f · g)(x) = +∞, L < 0.
Observação: As propriedades acima são válidas se, em lugar de x→ a, usarmos x→ a+ ou x→ a−.
Observação: As propriedades acima sugerem como operar com os símbolos +∞ e −∞. Assim, por
exemplo,
+∞ · (−∞) = −∞ e L · (−∞) = +∞ se L < 0.
Exemplo 5.5. Calcule lim
x→0
cosx
x2
.
Resolução:
lim
x→0
cosx
x2
= lim
x→0
cosx
1
x2
= 1 · (+∞) = +∞.
Exemplo 5.6. Calcule lim
x→0
sen x2
x4
.
Resolução:
lim
x→0
sen x2
x4
= lim
x→0
sen x2
x2
1
x2
= 1 · (+∞) = +∞.
Exemplo 5.7. Calcule os limites seguintes e interprete-os graficamente:
lim
x→1+
1
x− 1
, lim
x→1−
1
x− 1
, lim
x→1
1
x− 1
.
Resolução: Temos
• lim
x→1+
(x− 1) = 0 = lim
x→1−
(x− 1);
11
• se x > 1, então x− 1 > 0;
• se x < 1, então x− 1 < 0.
Portanto
lim
x→1+
1
x− 1
= +∞; lim
x→1−
1
x− 1
=−∞ e lim
x→1
1
x− 1
não existe.
Exemplo 5.8. Calcule lim
x→2+
x2 + 3x
x2 − 4
.
Resolução:
lim
x→2+
x2 + 3x
x2 − 4
= lim
x→2+
x2 + 3x
(x− 2)(x+ 2)
= lim
x→2+
1
x− 2
x2 + 3x
x+ 2
= +∞ · 5
2
= +∞.
Exemplo 5.9. Calcule lim
x→1−
x3 − 1
x2 − 2x+ 1
.
Resolução: Observe que
x3 − 1
x2 − 2x+ 1
=
(x− 1)(x2 + x+ 1)
(x− 1)2
. Assim,
lim
x→1−
x3 − 1
x2 − 2x+ 1
= lim
x→1−
1
x− 1
(x2 + x+ 1) = −∞ · 3 = −∞.
6 Limites no Infinito
Vamos analisar o comportamento de uma função f(x) quando os valores de x ficam arbitrariamente grandes.
Consideremos a função f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
. Então f(x) assume os seguintes valores:
x f(x)
0 −1
±1 0
±10 0, 98
±100 0, 9998
±1000 0, 99999
Observemos que, quando x for muito grande, então f(x) será aproximadamente igual a 1. Este fato pode
ser escrito da seguinte forma
lim
x→+∞
f(x) = 1 e lim
x→−∞
f(x) = 1.
Definicão 6.1 (Intuitiva).
• Seja f uma função definida em algum intervalo (a,+∞). Então,
lim
x→+∞
f(x) = L
significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L tomando x suficiente-
mente grande.
12
• Seja f uma função definida em algum intervalo (−∞, a). Então,
lim
x→−∞
f(x) = L
significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L tomando x suficiente-
mente grande em valor absoluto, mas negativo.
Eis alguns limites especiais que ocorrem frequentemente. Seja k uma constante não nula
1. lim
x→∞
k
x
= 0
k
∞
= 0;
2. lim
x→∞
k · x =∞ k · ∞ =∞;
3. lim
x→∞
x
k
=∞ ∞
k
=∞;
Observação: As propriedades do limite dadas na seção 2 são também válidas se x→ a for substituído por
x→ +∞ ou x→ −∞.
Exemplo 6.2. Calcule lim
x→+∞
1
xn
onde n é um inteiro positivo.
Resolução:
lim
x→+∞
1
xn
= lim
x→+∞
(1
x
)n
= 0.
Em geral, temos que lim
x→±∞
1
xr
= 0 onde r é um número racional positivo.
Exemplo 6.3. Prove que lim
x→∞
2x3 − 3x2 + 4
5x− x2 − 7x3
= −2
7
.
Resolução: Dividimos o numerador e denominador por x3, a mais alta potência de x. Temos
lim
x→∞
2x3 − 3x2 + 4
5x− x2 − 7x3
= lim
x→∞
x3
(
2− 3
x
+
4
x3
)
x3
(
5
x2
− 1
x
− 7
) = lim
x→∞
2− 3
x
+
4
x3
5
x2
− 1
x
− 7
.
O limite de cada termo do numerador ou denominador contendo x é zero, ou seja
lim
x→∞
2− 3
x
+
4
x3
5
x2
− 1
x
− 7
= −2
7
.
Exemplo 6.4. Calcule lim
x→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x+ 1
.
13
Resolução:
lim
x→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x+ 1
= lim
x→+∞
x5
(
1 + 1x +
1
x5
)
x5
(
2 + 1
x4
+ 1
x5
) = lim
x→+∞
1 + 1x +
1
x5
2 + 1
x4
+ 1
x5
=
1 + 0 + 0
2 + 0 + 0
=
1
2
.
Um cálculo análogo mostra que o limite, quando x→ −∞, também é 1
2
.
Observação: A estratégia para calcular limites no infinito de uma função racional consiste em colocar em
evidência a mais alta potência de x no denominador e numerador.
Exemplo 6.5. Calcule lim
x→∞
(
√
x2 + 7−
√
x2 − 7).
Resolução: Substituindo x por infinito, obtemos uma indeterminação do tipo ‖∞ − ∞‖, que como no
exemplo anterior para levantar precisamos racionalizar o numerador, então
lim
x→∞
(
√
x2 + 7−
√
x2 − 7) = lim
x→∞
(
√
x2 + 7−
√
x2 − 7) · (
√
x2 + 7 +
√
x2 − 7)
(
√
x2 + 7 +
√
x2 − 7)
= lim
x→∞
14√
x2 + 7 +
√
x2 − 7)
= lim
x→∞
14
x
(√
1− 7
x2
+
√
1 +
7
x2
)
= lim
x→∞
14
x
= 0.
Definicão 6.6. A reta y = L chama-se assímptota horizontal da curva y = f(x) se
lim
x→+∞
f(x) = L ou lim
x→−∞
f(x) = L.
Exemplo 6.7. Ache as assímptotas horizontais de f(x) =
√
2x2 + 1
3x+ 5
.
Resolução: Consideremos x→ +∞, então x > 0.
lim
x→+∞
√
2x2 + 1
3x+ 5
= lim
x→+∞
√
x2(2 + 1
x2
)
x(3 + 5x)
= lim
x→+∞
|x|
√
2 + 1
x2
x(3 + 5x)
= lim
x→+∞
√
2 + 1
x2
3 + 5x
=
√
2
3
.
Agora, consideramos x→ −∞, então x < 0.
lim
x→−∞
√
2x2 + 1
3x+ 5
= lim
x→−∞
|x|
√
2 + 1
x2
x(3 + 5x)
= lim
x→−∞
−
√
2 + 1
x2
3 + 5x
= −
√
2
3
.
Logo, a reta y =
√
2
3
é assímptota para x→ +∞ e y = −
√
2
3
é assímptota para x→ −∞.
Exercícios
1. Explique o que significa dizer que lim
x→1−
f(x) = 3 e lim
x→1+
f(x) = 1? Nesta situação é possível que
exista o limite lim
x→1
f(x)? Explique.
2. Para a função f cujo gráfico é dado, ache o valor de cada quantidade, se este existir. Caso não exista
explique porquê.
14
(a) lim
x→1
f(x);
(b) lim
x→3−
f(x);
(c) lim
x→3+
f(x);
(d) f(2);
(e) lim
x→4
f(x);
(f) f(4).
3. Esboce o gráfico da função f(x) =

1 + sinx, x < 0
cosx, 0 ≤ x ≤ π
sinx, x > π
e use este para determinar os valores de
a para os quais lim
x→a
f(x) existe.
4. Desenhe o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaz todas as condições dadas.
(a) lim
x→0−
f(x) = −1, lim
x→0+
f(x) = 2, f(0) = 1;
(b) lim
x→0−
f(x) = 1, lim
x→3−
f(x) = −2, lim
3+
f(x) = 2, f(0) = −1, f(3) = 1;
(c) lim
x→0−
f(x) = 2, lim
x→0+
f(x) = 0, lim
4−
f(x) = 3, lim
4+
f(x) = 0, f(0) = 2, f(4) = 1.
5. Encontre o limite, se este existir, se o limite não existir, explique porquê.
(a) lim
x→3
(2x+ |x− 3|);
(b) lim
x→0.5−
2x− 1
|2x3 − x2|
;
(c) lim
x→−2
2− |x|
2 + x
;
(d) lim
x→0−
(
1
x
− 1
|x|
)
;
(e) lim
x→0+
(
1
x
− 1
|x|
)
.
6. Demonstre que se Pn(x) = a0xn+a1xn−1+ · · ·+an−1x+am e Qm(x) = b0xm+ b1xm−1+ · · ·+
bm−1x+ bm, então:
lim
x→∞
Pn(x)
Qm(x)
=

0 , se n < m,
a0
b0
, se n = m,
∞ , se n > m.
7. Ache o valor dos seguintes limites no infinito
(a) lim
x→∞
(2x+ 3)3(3x− 2)2
x5 + 5
(b) lim
x→∞
2x2 − x+ 3
x3 − 8x+ 5
(c) lim
x→∞
2x2 − 3x− 4√
x4 + 1
(d) lim
x→∞
3
√
x2 + 1
x+ 1
(e) lim
x→∞
x2
10 + x
√
x
;
(f) lim
x→∞
√
x√
x+
√
x+
√
x
.
15
8. Determine os limites infinitos
(a) lim
x→π−
cotx;
(b) lim
x→2π−
x cscx;
(c) lim
x→2−
x2 − 2x
x2 − 4x+ 4
; (d) lim
x→2+
x2 − 2x− 8
x2 − 5x+ 6
.
7 Seja f(x) uma função definada por f(x) =
x2 + 1
3x− 2x2
. Encontre as assímptotas verticais e horizontais
da função, e confirme a sua resposta de esboçando o gráfico.
7 Segundo limite notável. Numero e
Definimos o número e como o segundo limite notável, assumindo que ele existe
Teorema 8 (O segundo limite notável).
e = lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
.
Observação: O segundo limite notável também é definido no menos infinito, isto é,
lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
De facto, fazendo x = −(t+ 1), com t > 0, temos(
1 +
1
x
)x
=
(
1− 1
1 + t
)−t−1
=
(
1 +
1
t
)t( t+ 1
t
)
.
Para x→ −∞, t→ +∞, assim
lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= lim
t→+∞
(
1 +
1
t
)t( t+ 1
t
)
= e.
Observação: O número e também pode ser definido como um número tal que satisfaz o seguinte limite
notável
lim
x→0
(
1 + x
) 1
x
= e.
Observação: O número e também pode ser definido também tomando o logaritmo natural em ambos mem-
bros deste último limite notável lembrando que ln e = 1 e deduzirmos que
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
e por conseguinte
lim
x→0
ex − 1
x
= 1.
Exemplo 7.1. Demonstre que lim
x→0
log(1+x)a
x
=
1
ln a
, para a > 0, a 6= 1
16
Resolução: Escrevemos
log(1+x)a
x
= log(1+x)
1/x
a . Da continuidade de limite da função logarítmica, temos
lim
x→0
log
(1+x)
a
x
= loga lim
x→0
(1 + x)1/x,
e de acordo com a identidade e = lim
x→∞
(
1 + 1x
)x
, temos
lim
x→0
log(1+x)a
x
= logea =
1
ln a
.�
Exemplo 7.2. Demostre que lim
x−0
ax − 1
x
= ln a, para a > 0, a 6= 1.
Resolução: Vamos introduzir a substituição y = ax− 1. Então, x = log(1+y)a e se x→ 0, então y → 0. Por
isso,
lim
x→0
ax − 1
x
= lim
y→0
y
loga(1 + y)
=
1
lim
y→0
loga(1 + y)
y
= ln a.�
Exercícios
2. Utilizando o segundo limite notável e sua consequências, determine o valor dos seguintes limites
(a) lim
x→∞
(
1 +
2
x
)x
(b) lim
x→∞
(
x− 2
x+ 3
)x
(c) lim
x→∞
(
x2 + 2
2x2 + 1
)x2
(d) lim
x→0
(1 + sinx)
1
x
(e) lim
x→0
(cosx)
1
x2
(f) lim
x→0
(
1
x
ln
√
1 + x
1− x
)
(g) lim
x→0
lg(1 + 10x)
x
(h) lim
x→0
eax − ebx
x
8 Continuidade de uma função
As funções cujo limite, quando x aproxima-se do ponto a, pode ser encontrado caulculando simplismente o
valor da função no ponto a chamam-se funções contínuas no ponto a.
Definicão 8.1. A função f é contínua no ponto a se
lim
x→a
f(x) = f(a).
A definição 8.1, implicitamente, exige três condições para que f seja contínua no ponto a :
•f(a) esteja definida (isto é, a está no domínio de f );
• Existe lim
x→a
f(x) (ou seja, lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x));
• lim
x→a
f(x) = f(a).
Se f está definida na vizinhança de a, diremos que f é descontínua no ponto a (ou f tem descontinuidade
no ponto a) se f não é contínua no ponto a.
Exemplo 8.2. Em que pontos as seguintes funções são contínuas
17
Figure 2: Exemplo de função contínua
(a) f(x) =
x2 − 5x+ 6
x− 2
;
(b) g(x) =
−
1
x2
, x 6= 0
2, x = 0
;
(c) h(x) =

x2 − 5x+ 6
x− 2
, x 6= 2
2, x = 2
;
(d) k(x) =
{
−x2 − 1, x ≤ 0
x2 + 1, x > 0
.
Resolução:
(a) f(2) não está definida, então f é descontínua no ponto x = 2.
(b) g(0) = 2 mas lim
x→0
− 1
x2
não existe.
(c) h(2) está definida e
lim
x→2
h(x) = lim
x→2
x2 − 5x+ 6
x− 2
= lim
x→2
(x− 2)(x− 3)
x− 2
= lim
x→2
(x− 3) = −1,
existe mas lim
x→2
h(x) 6= 2. Então, h(x) é descontínua no ponto x = 2.
(d) A função k é descontínua no ponto x = 0, pois lim
x→0
k(x) não existe.
Figure 3: (a) Função f(x). Figure 4: (b) Função g(x).
18
Figure 5: (c) Função h(x). Figure 6: (d) Função k(x).
(a) e (c) chama-se descontinuidade removível porque podemos remover a descontinuidade redefinindo a
função. (b) chama-se descontinuidade infinita e (d) descontinuidade tipo salto porque temos um salto no
ponto de descontinuidade de um ponto para o outro.
Definicão 8.3. A função f é continua à direita no ponto a se
lim
x→a+
f(x) = f(a)
e f é contínua à esquerda do ponto a se
lim
x→a−
f(x) = f(a).
Exemplo 8.4. No ponto x = 0 a função k(x) =
{
−x2 − 1, x ≤ 0
x2 + 1, x > 0
é contínua à esquerda pois
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0+
(−x2 − 1) = −1 = f(0)
mas
limx→ 0+f(x) = limx→ 0+(x2 + 1) = 1 6= f(0).
Definicão 8.5. A função f é contínua num intervalo se esta é contínua em cada ponto desse intervalo
(se f está definida apenas num lado de uma das extremidades do intervalo, assumimos continuidade na
extremidade como sendo continuidade à direita ou continuidade à esquerda.)
Exemplo 8.6. Mostre que f(x) = 2
√
3− x é contínua no intervalo (−∞; 3].
Resolução: Se −∞ < a < 3, então da definição de limite, temos
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
2
√
3− x = 2 lim
x→a
√
3− x
= 2
√
lim
x→a
(3− x) =
√
3− lim
x→a
x
= 2
√
3− a = f(a).
Então, por definição, f é contínua no ponto a. Similarmente, para x = 3, temos
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
2
√
3− x = 2
√
3− 3− = 0.
Logo, f é contínua à esquerda de 3. Da definição, concluímos que f é continua no intervalo (−∞; 3].
19
Figure 7: f(x) = 2
√
3− x
Teorema 9. Se f e g são contínuas no ponto a e c é uma constante, então as seguintes funções são contínuas
no ponto a.
(a) f ± g; (b) cf ; (c) f · g; (d) f
g
se g(a) 6= 0.
Teorema 10. 1. Qualquer polinómio é contínuo em todos pontos, i.e, é contínuo em R;
2. Qualquer função racional é contínua em todos pontos onde esta está definida,i.e, contínua no seu
domínio.
Exemplo 8.7. Encontre lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x
.
Resolução: A função f(x) =
x3 + 2x2 − 1
5− 3x
é racional, então pelo Teorema 10, é contínua no seu domínio
que é
{
x ∈ R : x 6= 53
}
. Deste modo,
lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x
= f(−2) = − 1
11
.
Teorema 11. As seguintes funções são contínuas no seu domínio
(a) Polinómios;
(b) Função racional;
(c) Funções radicais;
(d) Funções trigonométricas.
Teorema 12. Se f é contínua em b e lim
x→a
g(x) = b, então lim
x→a
f (g(x)) = f(b). Isto é,
lim
x→a
f (g(x)) = f
(
lim
x→a
g(x)
)
.
Teorema 13. Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a composição de funções f ◦ g dada por
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) é contínua em a
Exemplo 8.8. Indique o conjunto de valores onde a função F (x) =
1√
x2 + 7− 4
é contínua.
20
Resolução: A função F pode ser escrita como composição de quatro funções contínuas:
F = f ◦ g ◦ h ◦ k ou F (x) = f (g (h (k(x)))) ,
onde
f(x) =
1
x
, g(x) = x− 4, h(x) =
√
x, k(x) = x2 + 7.
Sabemos que cada uma dessas funções é contínua no seu domínio (Teoremas 10 e 11. Então, pelo Teorema
13, F é contínua no seu domínio que é{
x ∈ R :
√
x2 + 7 6= 4
}
= {x ∈ R : x 6= ±3} = (−∞,−3) ∪ (−3, 3) ∪ (3,∞)
Uma propriedade importante de funções contínuas é expressa através do teorema que se segue.
Teorema 14. (Teorema do valor intermediário) Suponhamos que f é contínua num intervalo fechado [a; b]
e seja N qualquer número entre f(a) e f(b), onde f(a) 6= f(b). Então, existe um número c em (a, b) tal
que f(c) = N.
O teorema do valor intermediário diz-nos que uma função contínua toma todos valores intermediários
entre os valores da função f(a) e f(b).
Exercícios
1. Considere o gráfico uma função f dado por
(a) Indique os valores nos quais a função f é discontínua e explique porquê.
(b) Para cada um dos valores na alínea (a), determine se f é contínua a esquerda, a direita ou em
nenhum dos casos.
2. Suponhamos que f e g são funções contínuas tais que g(2) = 6 e lim
x→2
[3f(x) + f(x)g(x)] = 36.
Encontre f(2).
3. Expique porque a função é discontínua no ponto a dado. Esboce o gráfico da função
(a) f(x) =
1
x+ 1
, a = −1
(b) f(x) =
1− x
2, x < 1
1
x
, x ≥ 1
, a = 1
21
(c) f(x) =

cosx, x < 0
0, x = 0
1− x2, x > 0
, a = 0
4. Como é que "removeria a discontinuidade" de f? Em outras palavras, como é que você definiria f(2)
de modo a tornar a função f contínua no ponto 2?
(a) f(x) =
x2 − x− 2
x− 2
(b) f(x) =
x3 − 8
x2 − 4
5. Encontre os pontos nos quais a função f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua da
esquerda, da direita ou em nenhum dos casos? Esboce o gráfico de f
(a) f(x) =

1 + x2, x ≤ 0
2− x, 0 < x ≤ 2
(x− 2)2, x > 2
(b) f(x) =

√
2− x, x ≤ 1
1
x
, 1 < x < 3
x+ 1, x ≥ 3
6. Quais das seguintes funções f tem discontinuidade removível no ponto a? Se a discontinuidade é
removível, encontre a função g que coincide com g para x 6= a e é contínua no ponto a.
(a) f(x) =
x4 − 1
x− 1
, a = 1 (b) f(x) =
x3 − x2 − 2x
x− 2
, a = 2
7. Determine os valores dos parâmetros a e b de modo que as função dadas se tornem contínuas em todos
os pontos:
(a) f(x) =

x2 − 4
x− 2
, x < 2
ax2 − bx+ 3, 2 ≤ x < 3
2x− a+ b, x ≥ 3
(b) f(x) =

ax+ 1 , x ≤ π
2
,
sinx+ b , x >
π
2
;
(c) f(x) =

x2 + x− 2
x3 + 8
, x < −2,
a− b , x = −2
x2 − ax+ 2x− 2a
x+ 2
, x > −2;
(d) f(x) =

x2 − 4
x− 2
, x 6= 2,
a , x = 2;
.
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