Física Geral e Experimental - Energia

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Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Unidade 1
Oscilação
Aula 1
Movimento circular
Introdução
O movimento circular trata-se de um movimento no qual determinado corpo ou partícula segue
uma trajetória circular. O corpo permanece equidistante do centro da trajetória em todas as
posições ocupadas. O movimento circular uniforme (MCU) é um tipo especí�co de movimento
circular em que a velocidade do corpo permanece constante em módulo, mesmo variando a
direção. Já no movimento circular variado, a velocidade do corpo varia em módulo e direção. 
O estudo desta aula fornecerá conceitos básicos para compreender diversos fenômenos
naturais, tais como os movimentos vibratórios e oscilatórios: em pêndulos, nos diapasões, nos
tambores, nas cordas de instrumentos musicais, nas colunas de ar de instrumentos de sopro,
nos sistemas massa-mola, em equipamentos industriais entre muitos outros.
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Fundamentos da cinemática do movimento circular
O movimento circular é um caso especial de movimento curvilíneo no qual o raio de rotação
permanece constante. A forma mais simples de movimento circular é o movimento circular
uniforme (MCU). Nele, o módulo da velocidade é constante, mas a direção do vetor velocidade
muda com o movimento, conforme ilustra a Figura 1. 
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Figura 1 | Ponto material em movimento circular uniforme. Fonte: elaborada pelo autor. 
Imagine qualquer ponto de uma hélice girando a uma velocidade constante em módulo: ela está
executando um movimento circular uniforme. Outros exemplos são os ponteiros de segundos,
minutos e horas de um relógio. A Figura 1 reforça essa análise. Nela, um ponto material realiza
movimento circular uniforme, visto que o comprimento dos vetores V1, V2 e V3 permanecem
constantes, porém houve mudança na direção. Essa variação na direção do vetor velocidade, dá
origem a uma aceleração dirigida para o centro da trajetória, denominada aceleração centrípeta.
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Observe na Figura 2, que mostra a direção dos vetores velocidade e aceleração centrípeta de um
ponto material em movimento circular uniforme. 
Figura 2 | Direção dos vetores velocidade e aceleração centrípeta. Fonte: elaborada pelo autor. 
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O vetor aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória circular do movimento e é uma
aceleração na direção radial. O vetor velocidade também é mostrado e é tangente ao círculo. A
palavra centrípeta vem das palavras latinas centrum (que signi�ca “centro”) e petere (que
signi�ca "buscar") e, portanto, assume o signi�cado de “busca de centro”. O módulo da
aceleração centrípeta pode ser calculado por meio da expressão a seguir. 
Em que:
A aceleração centrípeta pode ter uma ampla gama de valores, dependendo da velocidade e do
raio de curvatura da trajetória circular.  
Movimento Circular Variado 
O movimento circular não precisa ser apenas em velocidade constante. Uma partícula pode se
deslocar circularmente e acelerar ou desacelerar, ou seja, variar o módulo da sua velocidade com
o tempo. Esse último movimento é denominado como movimento circular variado. Nele, além da
aceleração centrípeta, haverá uma aceleração tangente à trajetória, denominada como
aceleração tangencial (HIBBELER, 2018). A Figura 3 ilustra as direções dos vetores das
acelerações: centrípeta (ac), tangencial (at) e total (a). 
 = velocidade da partícula em m/s. 
 = raio da trajetória em m. 
= aceleração centrípeta em m/s². 
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Figura 3 | Direção dos vetores aceleração: centrípeta, tangencial e total. Fonte: elaborada pelo autor. 
A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo. Já a tangencial é tangente ao círculo
descrito pelo movimento da partícula. A aceleração total é a soma vetorial das acelerações
tangencial e centrípeta que são perpendiculares, conforme mostra a expressão a seguir
(HIBBELER, 2018). 
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Seu módulo pode ser calculado pelo teorema de Pitágoras, da seguinte forma: 
É possível observar e concluir que a aceleração centrípeta é a taxa de variação no tempo da
direção do vetor velocidade. Caso a velocidade da partícula esteja mudando, também em
módulo, então, haverá uma aceleração tangencial que é a taxa de variação temporal da
magnitude da velocidade e pode ser de�nida matematicamente da seguinte forma, de acordo
com Hibbeler (2018):  
Em outras palavras, podemos de�nir a aceleração tangencial como a derivada primeira da função
velocidade da partícula em relação ao tempo. 
Para o melhor entendimento do movimento circular, é importante apresentarmos algumas outras
grandezas físicas inerentes a este campo de estudo. Observe a Figura 4. 
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Figura 4 | Ponto material em movimento circular. Fonte: elaborada pelo autor. 
A Figura 4 mostra um ponto material se deslocando da posição A0 até a posição At. Este
deslocamento pode ser estudado como um segmento de arco S ou como um ângulo �, descrito
pelo ponto material. Neste último caso, chamaremos o deslocamento de deslocamento angular.
Mais adiante, apresentaremos outras grandezas físicas importantes dentro do movimento
circular, tendo em vista que elas requerem uma demonstração matemática mais cuidadosa.
Modelagem matemática do movimento circular
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Até o momento, estudamos que o movimento circular uniforme trata-se do movimento circular
realizado por uma partícula quando sua velocidade permanece constante em módulo. Caso a
magnitude da velocidade sofra algum tipo de variação, o movimento passa a ser variado. Vamos
considerar o movimento circular de uma partícula em torno de um eixo �xo de rotação, ou seja,
com raio constante, conforme mostra a Figura 5. 
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Figura 5 | Partícula em movimento circular. Fonte: elaborada pelo autor. 
Da trigonometria, temos uma de�nição matemática bastante importante que é a de radiano. 
= arco descrito pela trajetória da partícula. 
= ângulo descrito pela trajetória da partícula. 
= raio da trajetória circular. 
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Observe que a expressão relaciona o arco
com o ângulo
descritos pela partícula durante o movimento circular. Para um determinado ângulo
a razão
é independente do tamanho do círculo. Para ilustrar o conceito de radiano, vamos utilizar o
seguinte exemplo:  
quantos radianos correspondem ao ângulo de 180°, ilustrado na Figura 6?
Figura 6 | Semicírculo. Fonte: elaborada pelo autor. 
Solução: 
A circunferência completa corresponde a um comprimento igual a: 
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Aplicando a de�nição de radiano, temos que:
O ângulo
representa a posição angular e, sua variação, o deslocamento angular. Para realizar as
demonstrações matemáticas de  algumas outras grandezas importantes no movimento circular
retomaremos a de�nição de radiano, em que temos:
Derivando ambos os lados da igualdade em relação ao tempo, a expressão resultante será: 
A parcela
representa a velocidade linear, logo:
Nesse movimento, a velocidade angular é a taxa de variação do deslocamento angular em
relação ao tempo. Já a aceleração angular é de�nida pela derivada da velocidade angular em
relação ao tempo. Para obter uma relação entre a aceleração linear e a aceleração angular, basta
derivar em relação ao tempo a expressão:  
Assim, encontraremos a relação: 
C =  π r
 v = ω. r
 v = ω. r
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Que é equivalente a: 
Lembre-se que no movimento circular as grandezas lineares e angulares podem se relacionar
pelo raio da circunferência (r). É válido reforçar que as equações da cinemática podem ser
reescritas para o movimento circular. Caso o objetivo seja estudar a posição angular, a
velocidade angular e a aceleraçãoqualquer ponto em uma hélice girando a uma velocidade constante em módulo
está executando um movimento circular uniforme. Outros exemplos são os ponteiros de
segundos, minutos e horas de um relógio..  
Esta variação na direção do vetor velocidade dá origem a uma aceleração dirigida para o centro
da trajetória, denominada aceleração centrípeta.  
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Observe, na Figura 2, a direção dos vetores velocidade e aceleração centrípeta de um ponto
material em movimento circular uniforme. 
Figura 2 | Direção dos vetores velocidade e aceleração centrípeta. Fonte: elaborada pelo autor. 
O vetor aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória circular do movimento e é uma
aceleração na direção radial. O vetor velocidade também é mostrado e é tangente ao círculo. A
palavra centrípeta vem das palavras latinas centrum (que signi�ca “centro”) e petere (que
signi�ca "buscar") e, portanto, assume o signi�cado de “busca de centro”. O módulo da
aceleração centrípeta pode ser calculado por meio da expressão a seguir. 
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Em que: 
= velocidade da partícula em m/s. 
= raio da trajetória em m.
= aceleração centrípeta em m/s²  
A aceleração centrípeta pode ter uma ampla gama de valores, dependendo da velocidade e do
raio de curvatura da trajetória circular.  
Movimento Circular Variado 
O movimento circular não precisa ser apenas em velocidade constante. Uma partícula pode se
deslocar circularmente e acelerar ou desacelerar, ou seja, variar o módulo da sua velocidade com
o tempo. Este último movimento é denominado como movimento circular variado. Nele, além da
aceleração centrípeta, haverá uma aceleração tangente à trajetória, denominada como
aceleração tangencial (HIBBELER, 2018).  
A Figura 3 ilustra as direções dos vetores das acelerações: centrípeta (ac), tangencial (at) e total
(a). 
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Figura 3| Direção dos vetores aceleração: centrípeta, tangencial e total. Fonte: elaborada pelo autor. 
A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo. A aceleração tangencial é tangente ao
círculo descrito pelo movimento da partícula. A aceleração total é a soma vetorial das
acelerações tangencial e centrípeta, que são perpendiculares, conforme mostra a expressão a
seguir (HIBBELER, 2018). 
Seu módulo pode ser calculado pelo teorema de Pitágoras, da seguinte forma: 
É possível observar e concluir que a aceleração centrípeta é a taxa de variação no tempo da
direção do vetor velocidade. Caso a velocidade da partícula esteja mudando, também em
módulo, então, haverá uma aceleração tangencial que é a taxa de variação temporal da
magnitude da velocidade e pode ser de�nida matematicamente como (HIBBELER, 2018). 
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Em outras palavras, podemos de�nir a aceleração tangencial como a derivada primeira da função
velocidade da partícula em relação ao tempo.  
Movimento Harmônico Simples 
Um aparato típico de oscilador MHS é constituído de um corpo, de massa , que se encontra em
repouso sobre uma superfície horizontal plana com atrito desprezível, e que está preso por uma
mola, de massa desprezível, a uma parede. 
Para deformações dentro do regime elástico do material, a força restauradora pode ser calculada
pela Lei de Hooke: 
Pelo Sistema Internacional, a força restauradora ou força elástica ( .) possui unidade 
(Newton), o deslocamento ou deformação da mola �  em (metro) e a constante elástica da
mola K, em / .  
Considere o sistema massa-mola ilustrado na Figura 4 em repouso sobre uma superfície sem
atrito. A ação de uma força externa horizontal ., orientada para a direita, desloca a massa 
até uma distância + , alongando a mola que passa a apresentar uma deformação . Então, a
força externa é retirada e o sistema é liberado, passando a oscilar para frente e para trás como
resultado de uma força restauradora, a força elástica (TIPLER, 2014).  
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Figura 4| Oscilador MHS sem atrito com a superfície. Fonte: elaborada pelo autor.  
Podemos ver na Figura 4 que a partir de uma interferência externa, o conjunto é colocado a
oscilar desenvolvendo um movimento harmônico 
Aplicando a 2ª Lei de Newton ao bloco de massa imediatamente após a . ser retirada, tem-
se: 
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Então, se a força necessária para deformar uma mola é variável e aumenta com a sua
deformação, a força resultante de restauração que a mola exerce sobre o corpo de massa 
também não poderá ser constante. Por de�nição, a aceleração pode ser descrita como a taxa de
variação dupla do espaço em relação ao tempo (RAO, 2011): 
Assim: 
No sistema internacional, a grandeza que possui unidade 1/ representa a frequência. No
sistema harmônico oscilatório estudado, a frequência pode ser entendida como a frequência
angular da oscilação ou, simplesmente, velocidade angular. Note que a unidade radiano
representa a razão entre o tamanho de um arco e o tamanho do raio da circunferência que o
contém, ou seja, é uma unidade que traduz a divisão de / . Dessa forma, é coerente admitir que
a unidade 1/ se relaciona com a velocidade angular, ou pulsação do sistema, representada pelo
símbolo .
Então, é possível reescrever a equação do oscilador harmônico simples na forma: 
A equação destacada é uma diferencial ordinária de segunda ordem e sua solução determina a
variação da posição do corpo com o tempo.  
Ondas em Cordas 
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Uma vez que uma perturbação é introduzida na corda, as partículas da corda começam a vibrar
para cima e para baixo. A qualquer momento, uma partícula no meio pode estar acima ou abaixo
da posição de repouso. A crista de uma onda é o ponto que exibe a quantidade máxima de
deslocamento positivo ou ascendente a partir da posição de repouso. Já o vale é o ponto que
exibe a quantidade máxima de deslocamento negativo ou descendente em relação à posição de
repouso, conforme ilustra a Figura 5.   
Figura 5 | Onda gerada em uma corda. Fonte: Mourão Junior e Abramov (2017, p.19). 
A onda mostrada na Figura 4 pode ser descrita por uma variedade de propriedades. Uma delas é
a amplitude que se refere à quantidade máxima de deslocamento de uma partícula no meio a
partir de sua posição de repouso. Quanto maior a amplitude de uma onda, mais energia ela
transporta.  
O comprimento de onda é simplesmente o comprimento de um ciclo de onda completo. Ele se
repete de forma periódica e regular no tempo e no espaço, representando a medida da distância
de crista a crista ou de vale a vale.  
Podemos relacionar o comprimento de onda, com velocidade e frequência, por meio da relação: 
Em que: 
v = velocidade de propagação da onda em m/s. 
λ = comprimento de onda em (m). 
f = frequência de oscilação da onda em Hz.  
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A frequência é o número de oscilações completas por segundo. O símbolo da frequência é o ƒ e
unidade de medida de frequência no SI é o hertz, que tem como símbolo Hz. Um hertz equivale a
1 oscilação por segundo, ou seja, 1 s-1. Outra propriedade importante é o período do movimento
T, que é o tempo necessário para que uma oscilação se complete. Ambas se relacionam por: 
Em um ciclo, são percorridos 2π rad em um período, em que a frequência angular �ca: 
A unidade de medida no SI da frequência ou velocidade angular é radianos por segundo. A
velocidade da onda em uma corda esticada com tensão TC é dada por:
Em que, μ é a razão entre a massa e o comprimento da corda, também chamada de densidade
linear. A unidade para a densidade linear é o kg/m.  
Videoaula: Revisão da unidade
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Nesta videoaula, estudaremosos conceitos dos movimentos circulares e oscilatórios em geral.
Abordaremos um dos principais movimentos oscilatórios periódicos que é o movimento
harmônico simples sob a perspectiva da dinâmica. Veremos que no movimento harmônico
simples, o sistema está sujeito a uma força restauradora que varia linearmente com o
deslocamento a partir da posição de equilíbrio. Por �m, analisaremos algumas aplicações do
movimento do movimento oscilatório dentro da física e da engenharia. Com o conteúdo aqui
apresentado, você terá desenvolvido ótimas competências para conhecer como os sistemas
mecânicos podem vibrar.  
Bons estudos! 
Estudo de caso
A perturbação de uma onda é criada por uma fonte que poderia ser, por exemplo, uma pedra
jogada na água, a sua mão que dedilha um barbante esticado ou um cone de alto-falante que
oscila, empurrando o ar. A perturbação se propaga para longe da fonte, através do meio, com
uma velocidade de onda v. A velocidade da onda em uma corda esticada com uma força de
tração TC é dada por: 
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Em que, μ é a razão entre a massa e o comprimento da corda, também chamada de densidade
linear. A unidade para a densidade linear é o kg/m. Você ainda deve notar que uma corda grossa
tem um valor de μ maior do que o de uma corda �na feita do mesmo material. Ou seja, aqui você
deve considerar que há uniformidade, o que signi�ca que a densidade linear é a mesma em todos
os pontos ao longo do comprimento. É importante observar que a velocidade da corda tem
sempre um valor positivo e todos os pontos de uma onda se propagam com essa velocidade
(KNIGHT, 2009).  
Uma corda de densidade de massa linear de 20 g/m está esticada pelas duas extremidades e
submetida a uma força de tração igual a T = 500 N.  
Calcule a velocidade de propagação de uma perturbação transversal ao longo desta corda. 
Esta velocidade é maior, igual ou menor do que a velocidade do som no ar? 
Re�ita
O estudo dos fenômenos vibratórios, além de ser essencial no desenvolvimento de projetos de
sistemas mecânicos, também é de extrema importância no monitoramento constante para
detecção de qualquer alteração no comportamento das máquinas. O site Inovação Industrial
apresenta um material intitulado ,Os problemas das vibrações mecânicas em equipamentos
industriais, que aborda alguns problemas apresentados nos principais equipamentos industriais
por causa das vibrações mecânicas. Con�ra e bons estudos!
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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 A velocidade da onda em uma corda esticada com uma força de tração TC é dada por: 
https://inovacaoindustrial.com.br/vibracoes-mecanicas/
https://inovacaoindustrial.com.br/vibracoes-mecanicas/
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Em que, μ é a razão entre a massa e o comprimento da corda, também chamada de densidade
linear. A unidade para a densidade linear é o kg/m. Assim: 
A velocidade do som no ar, considerando uma temperatura de 20°C é de 340 m/s. Então, a
velocidade da onda na corda é menor em comparação com este valor. A velocidade de
propagação do som pode ser calculada por uma fórmula parecida, que relaciona a derivada da
pressão com a densidade. Uma vez que o som é uma onda mecânica, ele depende da existência
de um meio para se propagar. O som não se propaga no vácuo, pois não há como de�nir uma
variação de pressão (P = 0), pois não há meio.
Resumo visual
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Referências
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HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson, 2018.
RAO, S. S. Vibrações Mecânicas. Pearson-Prentice Hall, 2008. TIPLER, P; MOSCA, G. Física para
cientistas e engenheiros. 6 ed. v. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2014. 
,
Unidade 2
Dinâmica do Movimento de Rotação
Aula 1
Momento angular
Introdução
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Olá, estudante! 
Iniciaremos, nesta unidade, nossos estudos sobre o momento angular e sobre a lei de
conservação deste.  Veremos, também, a lei de conservação do momento linear, pois a lei de
conservação do momento angular apresenta papel de grande relevância em sistemas físicos,
tanto em escala microscópica, quanto em eventos astronômicos.  
Da mesma forma que o momento linear pode ser utilizado para de�nir a segunda lei de Newton
para translação, o momento angular pode ser utilizado para de�nir a segunda lei de Newton para
o movimento de rotação. Além disso, tal como o momento linear apresenta sua lei de
conservação assegurada quando a força externa resultante que atua sobre o sistema for nula, o
momento angular será conservado quando o torque externo resultante nulo. Portanto, iremos
explorar estes conceitos para obtermos uma boa compreensão sobre o momento angular. Ótima
leitura!  
Conceituação do momento angular
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Podemos compreender o momento angular como sendo a contrapartida angular do momento
linear. Assim, se o momento linear é de�nido como a quantidade de movimento associado a um
sistema em movimento translacional, o momento angular pode ser interpretado como sendo a
quantidade de movimento angular associado a um sistema em rotação em relação a um eixo
particular.  
Como consequência dessa correspondência entre esses dois tipos de movimento, muitos
conceitos que são inerentes ao momento linear acabam, de certa forma, sendo transferidos para
o estudo do momento angular.  
O Quadro 1 apresenta um comparativo entre as grandezas associadas ao movimento
translacional de um sistema, em que se de�nem o momento linear e as grandezas a ele
associadas, e a contrapartida dessas grandezas ao movimento rotacional,que estão ligadas à
de�nição do momento angular.  
As equações apresentadas no Quadro 1 são, por ora, apenas para efeito de comparação. Na
próxima seção será abordada a parte matemática em detalhes. É apresentado que no momento
angular possui propriedades muito semelhantes ao momento linear, inclusive sua de�nição, que
é feita em termos do momento linear. Portanto, ter uma lei de conservação associada ao
momento angular não é surpresa alguma. Podemos dizer até que é uma consequência natural,
pela forma como o momento angular é concebido, seja para uma partícula independente ou um
sistema de partículas, o que inclui um corpo rígido.  
Quadro 1| Relação de correspondência entre algumas grandezas físicas presentes no movimento
translacional e no movimento rotacional. Fonte: adaptado de (HALLIDAY; RESNICK; WALKER,
1996, p. 278).
  
 
 
 
  
  Rotação 
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  Translação   
 
  Força 
 
   
 
  Torque 
 
 
 
  
 
 
Momento lineara 
 
   
 
  Momento angulara 
 
 
 
  
 
 
Momento linearb 
 
 
 
 
 
Momento angularb 
 
 
 
  
 
 
Momento linearc 
 
 
 
 
 
Momento angularc 
 
 
 
  
 
  Segunda lei de 
Newtonb 
 
 
 
 
  Segunda lei de 
Newtonb 
 
 
 
  
 
 
Lei de conservaçãod 
 
 
 = constante 
 
 
Lei de conservaçãod 
 
 
 = constante 
  
 
 
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Pelo Quadro 1, podemos perceber também que tanto a lei de conservação do momento linear
como a lei de conservação do momento angular somente podem existir se uma condição for
satisfeita: se o sistema em questão for um sistema isolado.  
Para que um sistema translacional seja considerado isolado, a força resultante externa aplicada
sobre o sistema deverá ser nula. Já para um sistema rotacional, a condição de sistema isolado é
ligeiramente diferente, haja vista que, conforme exposto no Quadro 1, a variável equivalente da
força F é o torque (τ). Assim, para que um sistema rotacional seja considerado isolado, o torque
externo resultante aplicado sobre o sistema deverá ser nulo.  
O Quadro 1 nos mostra ainda que a lei de conservação, seja do momentoangular, ou do
momento linear, se manifesta da seguinte forma: P = constante para o momento linear e L=
constante para o momento angular. Mas você pode estar se perguntando o que, exatamente,
signi�ca dizer que o momento linear ou o momento angular são constantes? A resposta a essa
pergunta vai de encontro ao signi�cado conceitual da lei de conservação do momento angular (e
linear também). Dizer que o momento linear ou o momento angular se conservam signi�ca dizer
que essas quantidades terão sempre o mesmo valor, ou, ainda, que esse valor é invariável no
tempo, desde que o sistema permaneça isolado.  
Não por acaso, a segunda lei de Newton, para translações e rotações é de�nida em termos da
derivada temporal das grandezas P e L, respectivamente. Portanto, podemos resumir a lei de
conservação do momento angular da seguinte forma: quando um sistema for considerado como
isolado, isto é, quando o torque resultante sobre o sistema for nulo, o momento angular
permanecerá com seu valor inalterado, não importando quais variações internas o sistema possa
vir a sofrer.  
Observando mais uma vez o Quadro 1, ele nos traz outra informação importante: tanto o
momento linear quanto o momento angular são grandezas vetoriais. 
Modelagem matemática do momento angular
a Para partícula independente. 
b Para sistemas de partículas, incluindo corpos rígidos. 
c Para um corpo rígido, rotacionando em torno de um eixo �xo, sendo L a componente paralela 
àquele eixo. 
d Para um sistema isolado. 
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Toda grandeza física que tenha uma natureza vetorial possui três características associadas: um
módulo, uma direção e um sentido. A primeira quantidade diz respeito à magnitude do vetor, já as
outras duas dizem respeito à orientação espacial do vetor.  
Portanto, a lei de conservação do momento angular diz respeito a essas três características do
vetor, não apenas à sua magnitude. Assim, ao dizermos que em um sistema L=constante,
devemos ter em mente que a lei de conservação do momento angular se estende
automaticamente ao seu módulo, à sua direção e ao seu sentido. Sempre que o vetor momento
angular L ou l puder ser de�nido em termos da velocidade angular ω, sua direção e seu sentido
podem ser obtidos mediante a aplicação da regra da mão direita, conforme a convenção
estabelecida pela Figura 1. 
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Figura 1 | Convenção da regra da mão direita utilizada na determinação da direção e do sentido do vetor momento angular.
onte: adaptada de (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012, p. 337). 
A Figura 2 mostra uma pessoa sentada em uma cadeira giratória, a qual pode girar livremente ao
redor do eixo vertical. Inicialmente, o conjunto pessoa + cadeira se encontra em repouso. A
pessoa, no entanto, segura um volante, que rotaciona no sentido anti-horário com velocidade
angular ωwh, conforme representado pela Figura 2a. Em um momento posterior, a pessoa inverte
o sentido do volante, representado pela Figura 2b.  
Qual deve ser a condição para que haja conservação do momento angular para esse sistema? 
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Figura 2 | Um sistema isolado ilustrando a conservação do momento angular. Fonte: adaptada de Shapiro (2010, p.115). 
Pela regra da mão direita, o momento angular inicial Lwh do sistema composto por pessoa +
cadeira + volante possui direção vertical e sentido para cima. Essa situação está indicada pela
Figura 1a.  
A partir da inversão do volante, veri�ca-se que ele continua a girar com a mesma velocidade
angular de antes, ωwh, mas em sentido horário, conforme indicado pela Figura 1b. Com efeito, o
momento angular do volante continua na direção vertical, porém, apresenta agora, sentido para
baixo, – Lwh. O sinal negativo se deve à inversão no sentido do momento angular.  
Para que haja conservação do momento angular inicial, é preciso que o sistema cadeira + pessoa
rotacione no sentido anti-horário com velocidade ωb, a �m de gerar um momento angular Lb que
seja vertical e para cima, opondo-se à inversão do momento angular inicial do sistema.  
Assim, para que o momento angular se mantenha constante, haja vista que o sistema é isolado,
pois nenhum torque externo atua sobre ele, é preciso que a seguinte condição seja satisfeita: 
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Portanto, o momento angular total do sistema pessoa + cadeira + volante será conservado
mediante a seguinte condição: 
A compreensão do exemplo apresentado é de extrema importância, pois ele encerra o princípio
fundamental da lei de conservação associado ao momento angular. Perceba que trabalhamos a
solução apenas com a parte conceitual do momento angular, envolvendo poucas relações
matemáticas. É evidente que, em problemas mais complexos, a modelagem matemática deverá
se fazer presente.  
Para efeitos didáticos, construiremos o arcabouço matemático do momento angular para o caso
de uma partícula pontual. A partir dos resultados obtidos para esse sistema mais simples,
podemos expandi-los para sistemas mais complexos, como um sistema de partículas, incluindo
o corpo rígido.  
Consideremos o caso de uma partícula de massa m e velocidade v executando um movimento
em relação a uma origem. Para essa partícula, vamos de�nir seu momento linear p como sendo: 
O momento angular associado a essa partícula pode ser de�nida mediante a seguinte equação: 
Onde r é o vetor posição que localiza a partícula com relação à origem do sistema. É importante
notar que L é de�nido em termos de um produto vetorial (SHAPIRO; PEIXOTO, 2010, p. 197). 
Se a partícula está se movendo ao longo de uma curva espacial, o momento angular em
componentes cartesianos será:
A Figura 3 ilustra gra�camente o momento angular de uma partícula que se movimenta no
espaço tridimensional. 
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Figura 3 | Representação grá�ca do momento angular. Fonte: adaptada de Beer (2011, p. 725).
Sendo
perpendicular ao plano formado pelos vetores
e 
você pode reescrever a relação: 
em função do ângulo
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A de�nição do vetor momento angular nos informa que a direção dele será sempre perpendicular
ao plano formado pelos vetores r e p, independentemente de qual plano seja esse, levando em
consideração que o momento angular é o resultado de um produto vetorial entre dois vetores. 
Aplicações do momento angular
A conservação do Momento Angular é muito útil para analisar o movimento de objetos giratórios
isolados de torques externos. Por exemplo, uma estrela brilha convertendo hidrogênio em hélio
em uma reação nuclear.  Quando o Hélio é consumido, a gravidade faz com que a estrela imploda
(colapso para dentro), conforme ilustra a Figura 4.  
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Figura 4 | Estrela em colapso. Fonte: elaborada pelo autor. 
À medida que a estrela entra em colapso, ela gira cada vez mais rápido, como forma de
conservar o momento angular do sistema. Existem vários exemplos que podem demonstrar o
princípio da conservação do momento angular, o tornado é um deles.  
Os sistemas de tempestade que criam tornados giram lentamente. Quando o raio de rotação
diminui, a velocidade angular aumenta, às vezes até o nível vem de modo a tornar perigoso um
tornado.  
O sistema solar é outro exemplo de como a conservação do momento angular funciona no
universo,  criado a partir de uma enorme nuvem de gás e poeira que inicialmente tinha energia
rotacional, as forças gravitacionais causaram a contração da nuvem e a taxa de rotação
aumentou devido à conservação do momento angular.  
Para um corpo rígido, podemos representar a lei de conservação do momento angular mediante
a seguinte equação: 
Em que: 
é o momento de inércia de massa de um corpo, ou seja, uma grandeza associada à forma com a
qual a massa está distribuída ao redor do eixo de rotação.
ω é a velocidade angular do corpo. 
Aplicando a lei de conservação do momento angular, ou seja, L= constante, teremos:Podemos interpretar esta equação da seguinte forma: ainda que a velocidade angular ou o
momento de inércia de um corpo rígido se altere, caso essas alterações forem internas, isto é, se
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não ocorrerem mediante a aplicação de um torque externo resultante, o momento angular vai se
conservar.  
Logo, o produto entre o momento de inércia do sistema e a sua respectiva velocidade angular
deverá manter-se constante em qualquer instante de tempo. Esta interpretação exige certa
cautela, pois é preciso considerar que o sistema esteja isolado e que todas as partículas que
compõem o sistema se movam com a mesma velocidade angular. 
Imagine a seguinte situação: uma pessoa está sentada em um banco que pode girar livremente
ao redor do eixo vertical (eixo de rotação), conforme mostra a Figura 5. A pessoa segura dois
halteres, um em cada mão. Inicialmente, o sistema composto pessoa + halteres possui um
momento de inércia Ii e gira, com os braços abertos, com velocidade angular ωi, como mostrado
em (a). O que ocorrerá ao sistema caso a pessoa traga para junto de si os halteres que estão
afastados do corpo? 
Figura 5 | Conservação do momento angular em um pião humano. Fonte: adaptada de Shapiro (2010, p. 119).
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Ao aproximar os halteres do corpo, a pessoa muda seu momento de inércia para uma condição
If, diminuindo-o. Dessa forma, para compensar essa diminuição e manter o momento angular L
constante, sua velocidade de rotação aumenta para ωf, como indicado na situação (b). Assim,
aplicamos a relação de conservação do momento angular. 
Perceba que a todo instante o momento angular permaneceu orientado paralelamente ao eixo de
rotação (vertical), com sentido para cima, como dado pela regra da mão direita. Além disso, a
velocidade angular ωf vai aumentar à medida que o momento de inércia If diminuir, tal que o
produto
jamais se alterará se o sistema permaneça isolado. Consequentemente, o momento angular do
sistema permanecerá constante, conforme a lei de conservação do momento angular impõe aos
sistemas isolados. 
Videoaula: Momento angular
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Nesta videoaula discutiremos sobre o momento angular e sobre a lei de conservação do
momento angular. Mostraremos que da mesma forma como a lei de conservação do momento
linear, a lei de conservação do momento angular apresenta papel de grande relevância em
sistemas físicos, tanto em escala microscópica, quanto em eventos astronômicos. Veremos que
da mesma forma que o momento linear pode ser utilizado para de�nir a segunda lei de Newton
para translação, o momento angular pode ser utilizado para de�nir a segunda lei de Newton para
o movimento de rotação. Bons estudos!   
Saiba mais
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O artigo Uma Proposta Para o Uso do Giroscópio No Estudo Da Conservação do Momento
Angular, publicado em 2018, traz um estudo sobre a conservação do momento angular, por meio
do projeto e uso do giroscópio. Con�ra e bons estudos!
Referências
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Fif.ufmt.br%2Feenci%2Fartigos%2FArtigo_ID460%2Fv13_n1_a2018.pdf&embedded=true&chrome=false&dov=1
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Fif.ufmt.br%2Feenci%2Fartigos%2FArtigo_ID460%2Fv13_n1_a2018.pdf&embedded=true&chrome=false&dov=1
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BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 5 ed. New York, EUA: Mc Graw Hill, 2011. 
BEER, F. P. Mecânica vetorial para engenheiros – Dinâmica. 11 ed. New Yourk: McGraw Hill, 2019. 
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: relatividade, oscilações, ondas e
calor. Porto Alegre: AMGH, 2012. 
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 4. ed. v. 1. Rio de Janeiro:
LTC,1996.  
SHAPIRO, I. L.; PEIXOTO, G. B. Introdução à mecânica clássica. São Paulo: Editora Livraria da
Física, 2010. 
Aula 2
Equilíbrio de rotação de corpos rígidos
Introdução
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Olá, estudante! O projeto de máquinas, mecanismos e seus elementos nada mais é do que o
design de componentes, considerando o conhecimento técnico do engenheiro para desenvolver
sistemas capazes de transmitir movimento, torque e potência. Para isso, é necessário conhecer o
comportamento rotacional dos corpos rígidos.  
Nesta aula, abordaremos a teoria de momento de inércia de massa e de�niremos
matematicamente o conceito de raio de giração. Estudaremos o Teorema dos Eixos Paralelos
para calcular o momento de inércia de superfícies planas em relação a um eixo de rotação
qualquer. Veremos, ainda, como analisar o movimento desses corpos, considerando as forças e
momentos externos atuantes. Portanto, iremos explorar estes conceitos para obtermos uma boa
compreensão sobre o movimento de rotação dos corpos rígidos em geral. Ótima leitura! 
Conceitos e de�nições: momento de inércia, teorema dos eixos paralelos e
raio de giração
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A primeira Lei de Newton a�rma que se um objeto estiver em repouso, ele tende a continuar em
repouso, e se estiver em movimento, tende a permanecer em movimento, com velocidade
constante, até que uma força externa atue sobre ele.  
O conceito de momento de inércia de massa possui forte relação com a primeira lei de Newton,
entretanto, ela se aplica a corpos em rotação. Um corpo com grande momento de inércia de
massa, exige um alto valor de torque externo, tanto para iniciar o movimento de rotação, quanto
para sofrer mudanças na sua velocidade angular, caso já esteja em movimento. Em sistemas de
partículas ou em corpos rígidos, essa resistência à alteração do estado de movimento deve ser
avaliada tanto para o movimento de translação quanto para o movimento de rotação.  
Na análise dos movimentos, a resistência ao movimento de translação se associa à inércia, e a
resistência ao movimento de rotação se vincula ao momento de inércia massa. Considerando o
corpo rígido, o momento de inércia
( )
é de�nido pela integral da distância ao quadrado
( )
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ao eixo de rotação vezes o elemento in�nitesimal de massa
( )
(BEER, 2019): 
Resolvendo a integral, é possível obter o momento de inércia para corpos rígidos das mais
diversas formas em qualquer direção do eixo de rotação, para tanto, podemos utilizar o fato de o
momento de inércia para �guras planas simples ser tabelado Tenha atenção com relação ao eixo
em que o momento de inércia será calculado (BEER, 2019).  
Além do momento de inércia, em algumas aplicações será necessário calcular o momento polar
de inércia, que é uma característica geométrica de um material quando há uma força de torção
atuante. 
Então, podemos de�nir momento polar de inércia como a resistência ao movimento de torção,
de�nido pelo movimento de rotação em que o eixo está contido no corpo estudado. Assim, para
o cálculo do momento polar de inércia, a distância até o eixo de rotação será o próprio raio do
corpo que descreve o movimento.  
Conhecendo o centro de massa da geometria que de�ne o objeto estudado, considerando o
plano cartesiano
( )
podemos obter o momento de inércia em cada direção de acordo com Beer (2019):  
Estas equações fornecem o momento de inércia da superfície
de área
em relação aos eixos x e y, com a origem do sistema cartesiano no centro de massa da
superfície. Ainda, considerando o plano cartesiano, de acordo com os momentos de inércia
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 e 
da área da superfície
em relação aos eixos x e y que passam pelo centroide do objeto, podemos considerar um novo
eixo, x’ e y’, paralelo ao eixo original (Figura 1), e calcular o momento de inérciaem
(BEER, 2019).
Figura 1 | Eixos paralelos para o cálculo do momento de inércia. Fonte: elaborada pelo autor. 
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Nesse caso, podemos aplicar o teorema dos eixos paralelos em que
será a distância horizontal que separa os eixos y de y’. Já
é a distância vertical que separa os eixos x de x’. Para o eixo x’ paralelo a x, o momento de inércia
será: 
De modo análogo, para o eixo y’ paralelo ao eixo y, o momento de inércia será: 
Outra propriedade importante com relação ao movimento de rotação é de�nida como raio de
giro, ou raio de giração. Considere uma superfície de massa m que possui um momento de
inércia de massa
relativamente a um eixo qualquer, conforme equação a seguir. 
A distância
é conhecida como raio de giração e pode ser obtida por: 
Esta variável diz respeito ao momento de inércia de um corpo em relação a um eixo em
especí�co que se encontra a uma distância
do centro de massa desse corpo (BEER, 2019). 
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De�nições matemáticas: massa e momento de inércia de massa
Massa é de�nida por uma quantidade de matéria que possui forma e ocupa lugar no espaço,
sendo descrita  no sistema internacional de unidades (SI) pela unidade quilograma (kg). Quanto
maior a massa de um corpo, maior a resistência à mudança de seu estado de movimento, ou
seja, maior sua inércia.  
Para que um corpo de massa (m) altere seu estado de movimento, saindo do equilíbrio estático
ou dinâmico, é necessário que a inércia seja vencida. Dessa forma, compreender as Leis de
Newton, no estudo da dinâmica dos corpos, é fundamental para analisar a alteração de estado de
movimento de um corpo, devido às forças externas atuantes.  
Para uma partícula ou corpos rígidos homogêneos, a massa pode ser calculada pela densidade
que um corpo apresenta. A densidade
( )
é uma propriedade física que determina quanto de massa
é necessário para ocupar um determinado volume
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Matematicamente, é dada por HALLIDAY (2016): 
Então, ao isolar a massa na equação da densidade, temos: 
Para um caso geral, no espaço, podemos considerar cada elemento in�nitesimal de massa que
compõe o volume do corpo. Assim: 
Integrando os dois lados da equação: 
Para corpos rígidos �nos, como chapas e lâminas, em que a espessura pode ser desconsiderada,
apenas a área da superfície é avaliada. Assim, a integral de volume pode ser simpli�cada em
uma integral de área. Nesse caso, de acordo com Halliday (2016) a densidade utilizada será a  de
área, também chamada de densidade super�cial,
e a massa pode ser descrita como: 
Para corpos de uma dimensão, como �os e barras, é utilizada a densidade linear
e a massa é calculada por: 
Para demonstrar matematicamente o momento de inércia, considere uma massa m no �nal da
haste de luz de comprimento r: Aplica-se uma força F à massa, mantendo a força perpendicular
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ao braço de alavanca, conforme a Figura 2: 
Figura 2 | Corpo. Fonte: elaborada pelo autor. 
Aceleração tangencial será: 
Aplicando: F= m a, ao longo da direção tangencial, teremos: 
Multiplicando ambos os lados por r (para obter torque), obteremos:  
Tendo em vista a Figura 3, pode-se generalizar a de�nição de momento de inércia  
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Figura 3 | Momento de inércia. Fonte: elaborada pelo autor. 
O momento de inércia de um corpo qualquer de massa “m” e com eixo de rotação distante de “r”
será: 
A Figura 4 mostra um sistema composto por duas pequenas massas em hastes de comprimento
r. 
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Figura 4 | Corpo. Fonte: elaborada pelo autor. 
O momento de inércia do um sistema composto por duas pequenas massas em hastes de
comprimento r ilustrado na Figura 4, será: 
Observe que não se trata de um corpo extenso, mas somente de massas concentradas e com
distâncias bem de�nidas em relação ao eixo de rotação. Ainda, segundo Halliday (2016), o
momento de inércia de um aro de massa total M, raio R, com eixo através do centro é ilustrado na
Figura 5:
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Figura 5 | Momento de inércia com eixo através do centro. Fonte: elaborada pelo autor.
Desde que
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para todos
têm-se: 
O momento de inércia de um disco sólido de massa total M e raio R, é ilustrado na Figura 6. 
Figura 6 | Corpo. Fonte: elaborada pelo autor. 
Um disco sólido de massa M, raio R, com eixo de rotação passando através do seu centro, terá
momento de inércia de massa igual a:  
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Momento de inércia é uma espécie de "massa rotacional", quanto maior o momento de inércia de
massa de um corpo, maior deverá ser o torque externo para produzir aceleração angular de
acordo com a relação matemática a seguir: 
Em que: 
= torque ou momento de uma força em N.m. 
= Momento de inércia de Massa em Kg.m². 
= aceleração angular em rad/s².
Vejamos um exemplo de cálculo do raio de giro ou giração de um disco homogêneo de raio R
com eixo de rotação ao longo do eixo z, passando pelo centro do disco, perpendicular a sua
superfície. Pela simetria do disco e por ser homogêneo, podemos a�rmar que o centro de massa
do disco está exatamente em seu centro. O momento de inércia de um disco em relação a um
eixo que passa pelo seu centro de massa é:
Logo, o raio de giração será: 
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Repare que o raio efetivo pelo qual o disco gira não é seu centro de massa, mas sim uma
distância um pouco mais próxima de sua borda.  
Aplicações do momento de inércia de massa
O momento de inércia de massa, também conhecido como inércia rotacional, é uma grandeza
física usada para medir a resistência de um corpo em sofrer mudança em sua de rotação, ou
seja, em apresentar aceleração angular.  
A medida da distribuição da massa de um corpo ao redor de um eixo �xo de rotação, também
está associada diretamente ao conceito de momento de inércia de um corpo. Quando um torque
externo é aplicado em um corpo, quanto maior o momento de inércia da massa do corpo, menor
será sua aceleração angular.  
Se aplicarmos um ou mais torques ao longo do eixo ilustrado na Figura 7, todo o conjunto entrará
em movimento de rotação. Entretanto, para saber a aceleração angular do eixo, é necessário
considerar não apenas os esforços de atrito mas, também, os momentos de inércia do eixo e das
engrenagens (BEER, 2019).
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Figura 7 | Eixo sob efeito do torque. Fonte: Beer (2019, p. 98).   
Outro ponto relevante sobre o sistema mecânica da Figura 7 é que quanto maior o momento de
inércia dos componentes que estão em rotação, maior será a potência gasta para variar a
velocidade angular do conjunto. É importante lembrar que a aceleração angular é a variação
temporal da velocidade. Podemos relacionar potência, torque e velocidade angular por meio da
expressão: 
é a velocidade angular do conjunto em rad/s; 
é a potência consumida para mover todo o sistema mecânico em W (watts).  
Vejamos outro exemplo. Considere um cilindro e uma esfera, ambos maciços (Figura 8), com
massa de 5 kg e raio de 20 cm. Qual deles possui maior momento de inércia?   
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Figura 8 | Cilindro e esfera maciços. Fonte: Wikipedia.  
Considerando que o cilindro gira ao redor de seu eixo central e a esfera em torno de qualquer eixo
passando pelo seu centro. Assim, para o cilindro, teremos o momento de inércia dado por:
E para esfera: 
Nota-se, portanto, que o cilindro oferece maior resistência à rotação do que a esfera de mesma
massa e raio.  
Agora, vamos analisar um volante de inércia, que pode ser simpli�cado como um disco
composto por um material menos denso envolto por um anel de material mais denso. Sabendo
que o raio de rotação de um volante de inércia passa pelo centro do disco e é perpendicularao
próprio disco (Figura 9), qual o momento de inércia do volante de inércia?  
Considere a massa desse volante de inércia composto por um disco de alumínio
( )
de raio 10 cm e espessura 1 cm e um anel de chumbo
( )
de raio interno 10 cm, raio externo 12 cm e espessura 1 cm. 
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Figura 9 | Eixo de rotação do volante de inércia. Fonte: elaborada pelo autor. 
Considerando as coordenadas cilíndricas, o momento de inércia pode ser calculado por: 
Como a função da densidade está de�nida em relação à r, podemos reescrever a integral por: 
Calculando a integral em relação à z, teremos: 
Calculando a integral em relação à
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E por �m, a integral em r será: 
Assim, o momento de inércia será: 
Videoaula: Equilíbrio de rotação de corpos rígidos
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Nesta videoaula discutiremos sobre a teoria de momento de inércia de massa e de�niremos
matematicamente o conceito de raio de giração. Estudaremos o Teorema dos Eixos Paralelos
para calcular o momento de inércia de superfícies planas em relação a um eixo de rotação
qualquer. Veremos, também, como analisar o movimento dos corpos rígidos, considerando as
forças e momentos externos atuantes. Portanto, iremos explorar estes conceitos para obtermos
uma boa compreensão sobre o movimento de rotação dos corpos rígidos em geral. 
Bons estudos!  
Saiba mais
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Estudar a inércia é fundamental no estudo da dinâmica dos corpos rígidos. Entender as
grandezas associadas ao estado de equilíbrio do corpo auxilia a compreender os fatores
necessários para alterar o estado de movimento desse corpo, seja no movimento de translação
ou de rotação. 
Para aprofundar seu conhecimento nesse tema, leia o capítulo 10.5 do livro Fundamentos da
Física. Faça os exemplos e exercícios, eles te ajudarão a �xar o conteúdo.  
Bons estudos!  
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632054/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632054/
Disciplina
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BEER, F. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2019. ISBN.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/. Acesso em:
16 jun. 2023. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física:Vol. 1 – Mecânica. 10. ed. São
Paulo: Grupo GEN, 2016. ISBN 9788521632054. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632054/. Acesso em: 30 mar. 2023
Aula 3
Equilíbrio de corpos rígidos
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632054/
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Olá estudante! 
O estudo dos sistemas de forças e momentos que atuam sobre os corpos rígidos é de extrema
importância para a área de projeto dentro das engenharias. A análise do equilíbrio dos corpos é
necessária desde os sistemas mecânicos mais simples até em obras complexas como pontos,
viadutos e estruturas metálicas. Nesta aula você irá aplicar os conceitos da Mecânica
Newtoniana na análise do equilíbrio dos corpos rígidos. Abordaremos algumas aplicações da
física, sobretudo as que envolvem as equações de equilíbrio de forças e momentos para analisar
o equilíbrio translacional e rotacional de estruturas em geral, tais como: barras, vigas apoiadas,
treliças etc. Portanto, iremos explorar estes conceitos para obtermos uma boa compreensão
sobre o equilíbrio dos corpos rígidos em geral. Ótima leitura!  
Análise do equilíbrio de corpos rígidos
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O torque ou momento de uma força pode ser interpretado como uma medida da intensidade da
tendência de rotação de um corpo rígido em torno de um ponto ou um eixo, devido a atuação de
uma força ou conjunto de forças. Seu efeito é produzir uma variação no estado de rotação do
corpo. Observe na Figura 1, a relação entre força, braço de alavanca e momento.
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Figura 1 | De�nição de momento de uma força. Fonte: Hibbeler (2011, p. 122). 
O torque ou momento de uma força  é de�nido como o produto da força  pela
distância (d) perpendicular do ponto O à linha de ação da força (também conhecido como braço
de alavanca). Assim:
 (1)
Quando uma ou mais forças atuam em um corpo, podemos calcular a força resultante através de
uma soma vetorial. A força, é uma grandeza vetorial, logo, assume todas as características de
um vetor. Para estudar o equilíbrio de um corpo rígido, devemos veri�car as duas condições
(MO) (F)
MO =  d  ×  F
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principais: somatório de forças e de momentos iguais a zero. O somatório das forças que atuam
em um corpo deve ser nulo, pois não há aceleração para o caso de equilíbrio estático, logo:
 (2)
Em aplicações envolvendo duas dimensões, podemos escrever:
 (3)
 (4)
Para análises tridimensionais, o equilíbrio do corpo no espaço deverá considerar uma dimensão
a mais, neste caso, o eixo z.
 (5)
Outra condição fundamental do equilíbrio estático é o equilíbrio rotacional, então, podemos
escrever que a soma dos momentos sobre o corpo deverá ser zero.
 (5)
 
Observe uma aplicação dos conceitos de equilíbrio, reações de apoio e forças internas em
elementos estruturais. Considere a treliça mostrada na Figura 2. Como seria a análise das forças
e das reações nos apoios, em todas as barras, em função da carga externa aplicada P?
Figura 2 | Equilíbrio de força e momento em uma treliça. Fonte: elaborada pelo autor.
O apoio C é do tipo articulado �xo, ou seja, permite apenas a rotação da treliça, esse apoio é
denominado de 2° gênero, logo, haverá duas reações nesse ponto, uma horizontal ( ) e uma
∑
→
F = 0
∑
→
Fx = 0
∑
→
Fy = 0
∑
→
Fz = 0
∑M0 = 0
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vertical ( ). Já apoio F é do tipo rolete, de 1° gênero, e limita o movimento da treliça apenas na
direção x, no ponto. Logo, haverá apenas uma reação, ( ). A Figura 3 apresenta o diagrama de
corpo livre da treliça.
Figura 3 | Reações de apoio em uma treliça. Fonte: elaborada pelo autor.
Pelas condições de equilíbrio da estática:
Equilíbrio da direção x,
 (7)
Logo,
 (8)
Equilíbrio da direção y:
 (9)
 (10)
Equilíbrio de momento em um ponto arbitrário, (escolhendo o ponto c convenientemente):
 (11)
 (12)
 (13)
A próxima etapa consiste em isolar a treliça, cada nó, iniciando-se preferencialmente pelos nós
próximos às reações de apoio, a �m de se obter as relações de semelhança nos triângulos.
Isolando o nó .
∑
→
Fx = 0
RF(x) = Rc(x)
∑
→
Fy = 0
Rc(y) = P
∑Mc = 0
P ⋅ (2a) − RF(x) ⋅ (a) = 0
RF(x) = 2P
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Figura 4 | Nós de uma treliça. Fonte: elaborada pelo autor.
Podemos relacionar os esforços internos nas barras, com o comprimento correspondente, da
seguinte maneira;
 (14)
Sendo, portanto:
 (15)
 (16)
O esforço interno na barra DF pode ser obtido pelo teorema de Pitágoras:
 (17)
 (18)
Por se tratar de uma barra submetida a compressão, podemos escrever o esforço interno na
barra FD sendo . Seguindo o mesmo raciocínio para as demais barras, os valores obtidos
estão relacionados à Figura 5.
RFx .  a  =  REF  .  2.  a
REF = 2RF(x)
REF = 2P
RFD =  2.P   + 2. (2.P)
RFD =  6.P
−√6P
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Figura 5 | Esforços internos em barras de uma treliça. Fonte: elaborada pelo autor. 
Conforme vimos, para analisar as condições de equilíbrio translacional e rotacional de uma
estrutura é necessário aplicar os conceitos das três leis de Newton.
Análise de forças em corpos rígidos: estruturas de engenharia
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As treliças são compostas por barras retilíneas conectadas nas suas extremidades (o encontro
de duas ou mais barras é denominado nó). Essas estruturas são bastante comuns na
Engenharia, podendo oferecer soluções práticas e econômicas em diversas situações, como em
prédios e pontes.  
As treliças podem ser classi�cadas em bidimensionais e tridimensionais. As bidimensionais
recebem essa denominação pelo fato de seus elementos constituintes (barras retas) serem
todos pertencentes a um mesmo plano. Já as tridimensionais ou espaciais são chamadas desse
modo por suas barras retilíneas possuírem uma distribuição nas três dimensões do espaço.  
Como característica fundamental das barras que formam as treliças, as barras sofrem apenas
carregamento axial. Usualmente, as barras podem resistir a pequenos esforços laterais (embora
não sejam projetadas para isto), por esse motivo as cargas são aplicadas nos nós desse tipo de
estrutura. Além disso, considera-se que o peso próprio das barras pode ser negligenciado. Na
Figura 6 são mostrados exemplos de treliças planas. 
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Figura 6 | Exemplo de treliças planas para telhados. Fonte: elaborada pelo autor. 
Na �gura 6 vimos em a) Howe; b) Pratt – e para pontes; c) Howe; d) Pratt e e) Warren. 
A força normal, também chamada de força axial, é aquela que atua perpendicularmente (ou de
forma normal) a seção transversal da peça, como pode ser visto na Figura 7. A força normal em
um elemento retilíneo possui apenas uma direção, mas pode ser de duas formas: de tração
(quando tende a alongar o elemento) ou de compressão (quando tende a encurtar ou comprimir
o elemento). 
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Figura 7 | Força axial aplicada na barra de treliça. Fonte: elaborada pelo autor. 
Na treliça a) tracionando a barra e na b) comprimindo a barra. As convenções de sinais, tal como
os sistemas de referenciais, são importantes no sentido de tornarem inequívocos os resultados
de uma análise. É uma forma de que todos consigam entender os passos feitos e o sentido dos
resultados.  
No caso das barras de treliça, como visto anteriormente, só há força axial sobre elas, que pode
ser de compressão ou de tração. Já na Figura 8 vimos que quando a força é de compressão (b),
convenciona-se que o sinal no diagrama de esforços é negativo; e quando a força é de tração(a),
a convenção é que tenha sinal positivo no diagrama de esforços: 
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Figura 8 | Barra sendo tracionada e comprimida. Fonte: elaborada pelo autor.  
Na resolução por meio do método dos nós, sempre que uma barra estiver tracionada ou
comprimida, o sentido da força, no nó, é divergente, ou seja, no sentido saindo do nó (o
convergente seria entrando no nó).  
Assim como em outros tipos de estrutura, a treliça plana deve respeitar as equações de equilíbrio
estático no plano: isto é, as resultantes de forças nos dois eixos e de momento devem ser nulas.
Como a conexão entre as barras é feita por nós, podendo as barras girarem uma com relação à
outra, o momento nos nós deve ser sempre nulo. Ademais, como as cargas são aplicadas
apenas nos nós (e o peso próprio das barras é desconsiderado), as barras sofrem somente
esforços axiais, que podem ser de compressão ou de tração.  
O método dos nós visa a obtenção dos esforços nas barras a partir da solução das equações de
equilíbrio em cada nó. Para isso, o método pressupõe, primeiramente, a determinação das
reações de apoio da estrutura. As reações são calculadas considerando os carregamentos sobre
a estrutura, solucionando as equações de equilíbrio de forças no plano.  
Uma vez determinadas as reações de apoio da estrutura, identi�cam-se os nós em cada uma das
barras e atribui-se o tipo de solicitação em cada barra (ou a barra está tracionada ou está
comprimida – não necessariamente essa atribuição inicial precisa estar correta). Posteriormente
são aplicadas as equações de equilíbrio, nó a nó. Esse tipo de método envolve a solução de um
sistema linear de equações, que tem a sua quantidade de resoluções diretamente ligadas ao
número de barras e nós que o sistema possui. 
Como exemplo, determine os esforços em cada uma das barras da treliça da Figura 9 (as
dimensões estão em centímetros): 
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Figura 9 | Exemplo para cálculo dos esforços das barras de uma treliça. Fonte: elaborada pelo autor. 
O primeiro passo é resolver as reações de apoio da estrutura (Figura 10). 
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Figura 10 | Cálculo dos esforços das barras de uma treliça – resolução das reações de apoio. Fonte: elaborada pelo autor. 
Este sistema pode ser resolvido através das seguintes equações: 
O segundo passo é identi�car os nós (A até D) e as barras (1 até 5), conforme exemplo daFigura
11: 
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Figura 11 | Cálculo dos esforços das barras de uma treliça – identi�cação dos nós e das barras. Fonte: elaborada pelo autor. 
Atribui-se, inicialmente, um sentido de esforço para cada barra (ou a barra está tracionada, ou
comprimida). Considera-se, aqui, que todas as barras estão comprimidas (o que não é,
necessariamente, verdade). Inicia-se a resolução pelo nó A (considerando que todas as barras
estão comprimidas – se os sinais forem positivos, isso indica que a solicitação na barra é a que
consideramos inicialmente) (Figura 12): 
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Figura 12 | Exemplo para cálculo dos esforços das barras de uma treliça – resolução do nó A. Fonte: elaborada pelo autor. 
Assim na vertical �ca: 
E na horizontal:
De onde se extrai que: F1 = 28,3 kN (compressão) e F4= – 20 kN (tração). Como a estrutura é
simétrica, acontece exatamente a mesma situação no nó C, sendo assim: F2 = 28,3 kN
(compressão) e F5 = – 20 kN (tração).  
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A solicitação na barra 3 pode ser obtida pelo equilíbrio de forças no nó D. Como as forças nas
barras 4 e 5 são iguais, não há componente horizontal (como era o esperado) e a solicitação na
barra 3 é devida apenas a força externa aplicada na treliça (40 kN para baixo). Logo, a barra 3 é
tracionada com 40 kN. 
Figura 13 | Diagrama dos esforços da estrutura (medidas em kN). Fonte: elaborada pelo autor.
Aplicações em estruturas de engenharia
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As estruturas de engenharia são projetadas para estarem em repouso quando submetidas a
forças externas. Uma estrutura em repouso deve satisfazer as condições de equilíbrio que
requerem que a força e o momento resultante agindo sobre ela seja igual a zero (KASSIMALI,
2022). As condições de equilíbrio de uma estrutura podem ser expressas matematicamente da
seguinte forma: 
As estruturas de engenharia devem permanecer em equilíbrio tanto externa quanto internamente
quando submetidas a um sistema de forças binários que estão no plano xy, de modo que. 
permaneça em repouso, devendo satisfazer as três condições de equilíbrio a seguir: 
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As três condições acima são comumente referidas como as equações de equilíbrio para
estruturas planares. Uma estrutura em três dimensões, ou seja, no espaço, deve satisfazer aos
seis requisitos a seguir para permanecer em equilíbrio quando atuada por forças externas: 
É importante ressaltar que antes de se aplicar as equações de equilíbrio para um corpo ou
estrutura, deve-se desenhar o diagrama de corpo livre dela, que mostra todas as forças e
momentos que atuam no todo ou em parte de uma estrutura.  
Um diagrama de corpo livre também deve estar em equilíbrio com a estrutura real. E caso o
segmento da viga seja desejado, ele será isolado usando o método das seções. Em seguida,
todas as forças externas sobre o segmento e as forças internas da parte adjacente da estrutura
serão aplicadas à parte isolada, conforme ilustra a Figura 14. 
Figura 14 | (a) viga biapoiada; (b) diagramade corpo livre da viga biapoiada. Fonte: adaptada de Udoeyo (2020, p.19). 
A Figura 15 apresenta vários exemplos de como construir um diagrama de corpo livre antes de
iniciar a etapa de modelagem matemática com as equações de equilíbrio. Na linha “a” da tabela,
observa-se uma treliça plana com seu respectivo diagrama de corpo livre. Note, que neste caso, o
peso da estrutura não foi representado, somente as reações de apoio e uma força externa “P”
(MCCORMAC, 2009). 
Na Figura 15 temos a representação em: a) treliça plana; b) viga engastada e c) da viga
biapoiada. 
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Figura 15 | Exemplo de estrutura e diagrama de corpo livre correspondente. Fonte: adaptada de Udoeyo (2020, p. 79). 
Mas estruturas ilustradas nas linhas “b” e “c” da tabela são representadas as forças dos apoios,
as demais forças externas e a força peso. Um relevante aspecto em relação às estruturas é se
elas são: determinadas ou indeterminadas. Uma estrutura é determinada se o número de reações
desconhecidas é igual ao número de equações de equilíbrio estático.  
Assim, as equações de equilíbrio estático são su�cientes para a determinação dos apoios para
tal estrutura. Por outro lado, uma estrutura estaticamente indeterminada é uma estrutura que tem
o número de reações desconhecidas em excesso em relação às equações de equilíbrio.  
Para a análise de uma estrutura indeterminada são necessárias equações adicionais, e essas
equações podem ser obtidas considerando a compatibilidade da estrutura. As estruturas
indeterminadas às vezes são necessárias quando há necessidade de reduzir os tamanhos dos
membros ou aumentar a rigidez dos membros (KASSIMALI, 2022).   
Reações de apoio 
Várias representações simbólicas são usadas para modelar diferentes tipos de suportes para
estruturas. Um rolo é usado para modelar um suporte que impede o movimento vertical de uma
estrutura, mas permite uma translação e rotação horizontal. Um pino é usado para modelar um
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suporte que evita movimentos horizontais e verticais, mas permite a rotação. Um suporte �xo
modela um suporte que evita movimentos e rotações horizontais e verticais, conforme ilustra a
Figura 16 (MCCORMAC, 2009). 
Figura 16 | Tipos de apoios ou suportes de estruturas. Fonte: adaptada de Udoeyo (2020, p. 82). 
O tipo de suporte fornecido para uma estrutura é importante para garantir sua estabilidade. Os
suportes conectam a estrutura ao solo ou a alguma parte da própria estrutura. Alguns exemplos
de apoio são: 
Suporte de pino ou dobradiça: um suporte de pino permite a rotação em torno de qualquer
eixo, mas impede o movimento nas direções horizontal e vertical. Sua representação
idealizada e reações são mostradas na Figura 17 (a). 
Suporte de rolo: um suporte de rolo permite rotação em torno de qualquer eixo e translação
(movimento horizontal) em qualquer direção paralela à superfície sobre a qual se apoia. Ele
restringe a estrutura ao movimento na direção vertical. A representação idealizada de um
rolo e sua reação também são mostradas na tabela 3 (b) (MCCORMAC, 2009).  
Suporte de balancim: as características de um suporte de balancim são semelhantes às do
suporte de rolo. Sua forma idealizada está representada na Figura 17 (c) (MCCORMAC,
2009). 
Ligação: um link tem duas dobradiças, uma em cada extremidade. Permite o movimento em
todas as direções, exceto na direção paralela ao seu eixo longitudinal, que passa pelas duas
dobradiças. Em outras palavras, a força de reação de um elo está na direção do elo ao
longo de seu eixo longitudinal. Observe a representação na Figura 17 (d) (MCCORMAC,
2009). 
Suporte �xo: um suporte �xo oferece uma restrição contra a rotação em qualquer direção e
impede o movimento nas direções horizontal e vertical. Observe a representação na Figura
17 (e) (MCCORMAC, 2009).  
Antes da escolha de um método analítico, é importante estabelecer a determinação e
estabilidade de uma estrutura. Uma estrutura determinada é aquela cuja reação externa
desconhecida ou membros internos podem ser determinados usando apenas as condições de
equilíbrio. Uma estrutura indeterminada é aquela cujas forças desconhecidas não podem ser
determinadas apenas pelas condições de equilíbrio estático e exigirá, além disso, a consideração
das condições de compatibilidade de diferentes partes da estrutura para sua análise
completa. Além disso, as estruturas devem ser estáveis para poder cumprir suas funções
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desejáveis. Uma estrutura é considerada estável se mantém sua forma geométrica quando
submetida a forças externas.  
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Figura 17 |  Tipos de suportes. Fonte: adaptada de Udoeyo (2020, p. 54). 
De forma geral, as rótulas são vínculos que têm reações internas verticais e horizontais podendo
transmitir forças nestas direções que se anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo
entre as barras por ela unidas, sendo duas barras livres no espaço e submetidas a um
carregamento plano. Cada barra possui 3 GL e, portanto, o conjunto apresenta 6 GL (KASSIMALI,
2022). 
Neste momento, é importante compreender todas as etapas para analisar uma estrutura e, por
�m, realizar os cálculos das reações de apoio.  
Uma viga com extremidades salientes suporta três cargas concentradas de 12 kN,14 kN e 16 kN
e um momento de 100 kN.m, conforme Figura 16. Determine as reações nos apoios A e B
(MCCORMAC, 2009). 
Figura 18 | Viga biapoiada. Fonte: adaptada de Udoeyo (2020, p. 63). 
O diagrama de corpo livre para a viga é mostrado na Figura 19, a seguir. Observe que os apoios
foram retirados. Na imagem, há somente a vida e os esforços atuantes sobre ela. 
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Figura 19 | Diagrama de corpo livre para a viga biapoiada. Fonte: adaptada de Udoeyo (2020, p. 63). 
Antes de aplicarmos as condições de equilíbrio, iremos nomear algumas variáveis para
utilizamos em todos os exercícios. 
Ay = força de reação vertical exercida pelo apoio A. 
Ax = força de reação horizontal exercida pelo apoio A. 
By = força de reação vertical exercida pelo apoio B.
Bx = força de reação horizontal exercido pelo apoio B. 
∑ MA = somatório dos momentos em relação ao ponto A. 
∑ MB = somatório dos momentos em relação ao ponto B. 
∑ M horário = somatório dos momentos no sentido horário. 
∑ M anti-horário = somatório dos momentos no sentido anti-horário. 
∑ F x= somatório de forças na horizontal ou ao longo do eixo x. 
∑ F y = somatório de forças na vertical ou ao longo do eixo y.  
Aplicando as equações de equilíbrio na viga ilustrada no diagrama de corpo livre (Figura 19), para
garantir o equilíbrio translacional da viga, é necessário que: 
Como não existem forças atuantes no eixo x, então, não há com o que se preocupar. Com relação
ao eixo y, observa-se cinco forças atuantes. As duas forças exercidas pelos apoios devem estar
em equilíbrio com as três forças externas para garantir que o somatório das forças em y seja
zero, então: 
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Desta forma, obtém-se a primeira equação de equilíbrio. A segunda equação de equilíbrio será
encontrada aplicando-se condição de equilíbrio rotacional, ou seja: ∑M =0, para garantir que o
corpo não entre em rotação é necessário que o somatório dos momentos no sentido horário seja
igual ao somatório dos momentos no sentido anti-horário em relação a qualquer ponto de
referência. Tomando como ponto de referência o apoio A, pode-se aplicar a condição de
equilíbrio rotacional. 
Observe que os momentos à esquerda do igual estão no sentido horário, e os momentos à direita
estão no sentido anti-horário. Isso pelo fato de o ponto de referência escolhido ter sido o “A”. 
Substituindo o valor de By, na equação de equilíbrio translacional, encontra-se:  
Atuando sobre uma viga, podem existir esforços e carregamentos de vários tipos. Neste
momento, iremos analisar um problema estrutural um pouco mais completo.Uma viga engastada está submetida a uma carga uniformemente distribuída e uma carga
inclinada concentrada, conforme mostrado na Figura 20. Determine as reações no apoio A
(KASSIMALI, 2022).
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Figura 20 | Viga engastada. Fonte: adaptada de Udoeyo (2020, p. 59). 
O engastamento é um tipo de apoio que também pode reagir gerando momento, além das forças
de reação em x e em y. O diagrama de corpo livre para a viga engastada é mostrado na Figura
21. 
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Figura 21 | Diagrama de corpo livre para a viga engastada. Fonte: adaptada de Udoeyo (2020, p. 60).
É importante ressaltar que um apoio não produz força por vontade própria, ele simplesmente
reage aos esforços externos, assim, para manter a viga em equilíbrio, esse apoio reagiu com um
esforço de momento, no sentido anti-horário, com uma força horizontal para a direita e com uma
força vertical para cima. 
O diagrama de corpo livre de toda a viga é mostrado Figura 21 (b). As reações de apoio,
conforme indicado no diagrama de corpo livre, são Ay, Ax e M. Antes do cálculo das reações de
apoio, o carregamento distribuído deve ser substituído por uma única força resultante e, a força
oblíqua, decomposta para os componentes vertical e horizontal. A magnitude da força resultante
é igual à área sob o carregamento retangular e atua através do centroide do retângulo. 
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e sua localização é no centroide do retângulo.  
Tomando como ponto de referência o apoio A, pode-se aplicar a condição de equilíbrio
rotacional. 
Aplicando as condições de equilíbrio translacional:
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Desta forma, a viga engastada estará em equilíbrio translacional e rotacional. 
Videoaula: Equilíbrio de corpos rígidos
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Você verá neste vídeo aplicações da teoria de equilíbrio dos corpos rígidos, como as equações
de força e momento na análise do equilíbrio translacional e rotacional de estruturas apoiadas.
Estudaremos, também, sobre os esforços atuantes em barras e nós,por �m, aprenderemos a
calcular as reações de apoio. Com o conteúdo discutido aqui, você poderá desenvolver
importantes habilidades para compreender o equilíbrio de corpos rígidos e elementos estruturais
em geral. Bons estudos!  
Saiba mais
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Para mais experiências práticas e conhecimentos sobre seleção de vigas para estruturas, realize
a leitura do catálogo de Per�s Estruturais Gerdau - Informações Técnicas.  
Bons estudos! 
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânica Vetorial para Engenheiros: dinâmica.
9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. 
HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2011. 
NORTON, R. L. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010. 
KASSIMALI, A. Análise estrutural. São Paulo: Cengage Learning, 2016.  
MCCORMAC, J. C. Análise estrutural usando métodos clássicos e métodos matriciais. 4. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2009.  
UDOEYO, F. F. Structural analysis. Philadelphia, Pennsylvania: North Broad Press, 2020.
Aula 4
Momento de uma força
https://mais.gerdau.com.br/cotacao/construcao/perfil-estrutural/
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Introdução
Olá, estudante! 
Conhecer como os sistemas de forças e momentos podem afetar o movimento dos corpos
rígidos é fundamental dentro da área de engenharia. Nesta aula você irá aplicar os principais
conceitos de cinemática e dinâmica para avaliar o movimento rotacional de corpos rígidos em
geral. Abordaremos aplicações do momento de inércia de massa em conjunto com os conceitos
de aceleração angular, torque, velocidade angular, força, dentre outros. Em outras palavras,
veremos como analisar o movimento dos corpos rígidos, considerando as forças e momentos
externos atuantes, explorando essas temáticas para obtermos uma boa compreensão sobre o
movimento de rotação dos corpos rígidos em geral. Ótima leitura!
Conceitos e variáveis importantes na dinâmica de corpos rígidos
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Um dos movimentos que um corpo rígido pode apresentar é o movimento de rotação, em que o
objeto gira em torno de um eixo. Para compreendê-lo, vamos estudar a dinâmica de rotação em
torno de um eixo �xo, considerando os movimentos contidos no plano cartesiano
Além disso, vamos de�nir o eixo de rotação z, perpendicular ao plano
( )
de movimento.  
No movimento de rotação, dois pontos no corpo formam círculos diferentes, com raios distintos,
porém, concêntricos (mesma origem), como o mostrado na Figura 1.
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Figura 1 | Movimento de rotação. Fonte: elaborada pelo autor. 
Observando a Figura 1, é possível notar que, pela característica circular da trajetória, a
coordenada que de�ne o raio R deve permanecer constante para qualquer ponto do corpo,
inclusive o centro de massa. Logo, todo o deslocamento pode ser descrito pela variável
Consequentemente, a velocidade angular
( )
e a aceleração angular
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( )
podem ser descritas por: 
A segunda lei de Newton, para o movimento de rotação, a�rma que uma força externa aplicada
ao material alterará seu estado de movimento, provocando um movimento de rotação. E, por
de�nição, força aplicada ao material provocando rotação é chamada por torque
( )
Assim, o torque será descrito pelo produto entre o momento de inércia com a aceleração
angular: 
Comparando as equações da segunda  lei para o movimento de translação e rotação, o momento
de inércia
( )
está associado à massa
( )
e a aceleração angular
( )
à aceleração linear
( )
Podemos, assim, enxergar a equação apresentada como a segunda lei de Newton para rotação,
que nos permite estudar a dinâmica de um corpo rígido a partir da relação: 
 
 
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Ou seja, a soma de todos os torques que agem sobre um corpo rígido (ou torque resultante) é
igual ao momento de inércia total do corpo multiplicado pela aceleração angular, ambos
de�nidos em função do eixo de rotação do sistema. Repare que tanto o momento de inércia
quanto a aceleração angular dependem não só das características do corpo, mas também da
trajetória circular.  
Lembre-se que para um mesmo corpo, o momento de inércia é diferente quando o eixo de giro
passa em diferentes pontos do corpo, ao mesmo tempo que a aceleração angular depende do
referencial polar construído em função da trajetória. Por isso, toda a análise de uma rotação em
torno de um eixo �xo passa primeiro pela análise de onde se encontra o eixo �xo.  
O torque ou momento de uma força é o análogo de uma “força rotacional”; é uma medida da
intensidade da tendência de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo, devido a ação de
esforços externos.  
Entendido como uma grandeza vetorial, o torque pode ser de�nido como o produto da força (F)
pela distância perpendicular da linha de ação de uma força ao eixo de rotação (r). Para
compreender melhor essa de�nição, observe a equação a seguir: 
A unidade de torque no SI é o newton-metro [N m]. Dentro da cinemática rotacional, o torque é
expresso por
onde I é o momento de inércia de massa do corpo rotatório e α é a aceleração angular. No nosso
caso, estamos interessados na potência mecânica e sua relação com o torque, que se dá por: 
É comum, também, utilizarmos uma relação matemática relacionado torque T, potência P e
rotação n, conforme expressão a seguir: 
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Portanto, estas são as relações matemáticas mais aplicadas no estudo da transmissão de
movimento, torque e potência. 
A dinâmica rotacional de corpos rígidosPara demonstrarmos matematicamente a dinâmica de rotação dos corpos rígidos, considere
uma massa m no �nal da haste de luz de comprimento r: Aplica-se uma força F à massa,
mantendo a força perpendicular ao braço de alavanca, conforme a Figura 2. 
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Figura 2 | Corpo. Fonte: elaborada pelo autor. 
Assim, a aceleração tangencial será:  
Aplicando RF= m a, ao longo da direção tangencial, teremos:
Multiplicando ambos os lados por r (para obter torque), encontraremos:
Observe que, quanto maior o momento de inércia de massa de um corpo, maior deverá ser o
torque externo para produzir aceleração angular de acordo com a relação matemática a seguir:
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Em que: 
= torque ou momento de uma força em N.m. 
= Momento de inércia de Massa em Kg.m². 
= aceleração angular em rad/s².  
Imagine que uma força F atue sobre uma polia que consiste em um disco sólido de raio R, massa
M, conforme ilustra a Figura 3.  
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Figura 3 | Corpo. Fonte: elaborada pelo autor. 
Podemos determinar a expressão para a aceleração angular α realizando a seguinte análise.
É possível considerar o momento de inércia de massa da polia igual ao de um disco sólido,
então:
Para calcular a energia cinética de rotação, em um corpo qualquer, como o da Figura 4, considere
que o corpo extenso é composto por vários elementos de massa (HIBBELER, 2018). 
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Figura 4 | Distância dos elementos de massa em relação ao eixo de rotação. Fonte: elaborada pelo autor. 
A energia cinética total do corpo será a soma das energias cinéticas das massas menores,
então: 
A velocidade linear de cada massa menor será:
Substituindo a velocidade linear individual de cada massa na equação da energia cinética,
teremos:
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Assim, a energia cinética de rotação de um corpo pode ser escrita em função do momento de
inércia de massa e da velocidade angular:
Considerando a soma das energias de translação e de rotação na Figura 5.
Figura 5 | Corpo em translação e rotação. Fonte: elaborada pelo autor. 
A energia total do corpo será: 
Para aprofundarmos mais, vamos calcular o momento de inércia de um corpo rígido composto
por duas partículas em relação a um eixo de rotação passando pelo seu centro de massa. Em
seguida, encontraremos o momento de inércia de massa do mesmo corpo, porém em relação a
um eixo que passa pela extremidade esquerda da barra, conforme mostra a Figura 6. Se ambos
os sistemas fossem submetidos a um mesmo torque, qual apresentaria maior aceleração
angular?
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Figura 6 | Corpo rígido composto por duas partículas. Fonte: adaptada de Halliday, Resnick e Walker (2016, p. 156). 
Como temos apenas duas partículas no corpo rígido, podemos calcular o momento de inércia em
relação ao eixo que passa no centro de massa do corpo usando a equação:
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Com o eixo de rotação localizado na extremidade esquerda, o momento de inércia passa a ser:
Observe que a partícula localizada à esquerda se encontra sobre o eixo de rotação, portanto seu
momento de inércia será zero. Já a partícula da direita �cou distante em “L” do eixo de rotação. 
Agora, iremos responder a pergunta: Se ambos os sistemas fossem submetidos a um mesmo
torque, qual apresentaria maior aceleração angular? A relação entre torque, momento de inércia e
aceleração angular é: 
Para o mesmo torque
Observe que o momento de inércia de massa é o dobro quando o eixo de rotação se encontra em
uma das extremidades. Logo, nesta con�guração seria necessário o dobro de torque para que a
aceleração angular seja a mesma nos dois casos.
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Aplicações da dinâmica na transmissão de movimento por engrenagens
Existem diversos tipos de engrenagens, classi�cadas por sua geometria: cilíndricas de dentes
retos, cilíndricas de dentes helicoidais, cônicas, cremalheira de dentes retos, coroa e parafuso
sem-�m, entre outras variações. Em teoria, dentes de qualquer formato evitam o deslizamento
das rodas.  
Antigamente, moinhos de água e vento usavam engrenagens de madeira, cujos dentes eram
simples estacas arredondadas presas entre os aros dos cilindros, embora a geometria das
estacas não permita transmissão suave de velocidade e violem a Lei Fundamental do
Engrenamento.  
Dentro da Teoria do Dente da Engrenagem, a Lei Fundamental do Engrenamento diz que a razão
de velocidade angular (mV) de um par de engrenagens permanecer constante durante o
engrenamento é dada por (HIBBELER, 2018): 
Visto isto, um sistema de engrenagens é basicamente um mecanismo que troca torque
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por rotação (n) ou seja:
Um conjunto de engrenagens pode reduzir a velocidade e aumentar o torque para dirigir cargas
pesadas, tal como a transmissão de um automóvel. Para aumento na velocidade, uma redução
no torque deve ser aceita. De qualquer forma, é desejado que se mantenha constante a razão
entre as engrenagens quando elas rotacionam. Qualquer variação na razão aparecerá como uma
oscilação na velocidade e no torque de saída. 
Um trem de engrenagens, trata-se de um sistema de duas ou mais engrenagens acopladas. O par
de engrenagens é a forma mais simples de um trem, porém sua razão máxima é limitada a 10:1
e, a �m de gerar razões maiores, aplicamos o uso de trens. Os trens podem ser simples,
compostos ou elípticos.  
Lembre-se que ao reduzir a velocidade, o torque aumenta. Isso acontece quando uma
engrenagem menor (pinhão) é a motora em um par de engrenagens e move uma  maior em uma
relação de redução de velocidade. O oposto também é verdade, uma vez que se aumenta a
velocidade, o torque diminui. Nesse caso, a ampli�cação de velocidade ocorre quando a
engrenagem motora é maior do que a engrenagem movida (overdrive).  
Um trem de engrenagens simples consiste em um sistema em que cada eixo carrega uma única
engrenagem (HIBBELER, 2018). Um sistema simples é mostrado na Figura 7, no qual a
transmissão de potência é feita entre dois pares. 
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Figura 7 | Trem de engrenagens simples. Fonte: elaborada pelo autor.
A razão de velocidades é dada por mv e, para um trem simples, é:
O sinal negativo exprime o fato de uma das engrenagens em cada par ter seu sentido de rotação
anti-horário. Os efeitos de todas as engrenagens intermediárias (vazias ou sem carga) em um
trem simples se cancelam e, dessa forma, a razão é simpli�cada para a razão entre o número de
dentes da primeira e da última engrenagem.
Em um trem de engrenagens composto, por sua vez, pelo menos um eixo possui mais de uma
engrenagem. Ele tem um arranjo paralelo ou série-paralelo, em vez das conexões puras em série
do trem simples.
A Figura 8 (a) mostra um trem composto de 4 engrenagens, sendo que duas delas, engrenagens
3 e 4, estão no mesmo eixo (e mesma velocidade angular). Um trem composto revertido é visto
na Figura 8 (b), no qual os eixos de entrada e de saída são coincidentes. 
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Figura 8 | Trem de engrenagens compostos (a) sem reversão e (b) com reversão. Fonte: Norton (2010, p. 697).
Para um trem de engrenagens composto, a relação de velocidades é:
Essa relação pode ser generalizada para qualquer número de engrenagens no trem da seguinte
forma:
E a razão do engrenamento é a recíproca da razão de velocidades, tal como visto anteriormente.
Na literatura, a razão de velocidades também é dada como:
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Ou seja, a razão de velocidade, ou razão de trem, na forma apresentada acima, é a relação da
velocidade de entrada (para a primeira engrenagem no trem) pela velocidade de saída. (NORTON,
2015).
Videoaula: Momento de uma força
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Para assistir este conteúdo é necessárioangular de uma partícula em movimento circular, então, são
válidas as relações: 
Se α = constante, então:  
A velocidade angular também pode ser escrita em função do tempo (período de rotação) e da
frequência de rotação, da seguinte forma.
ou
Em que: 
f é a frequência de rotação em rev/s = hertz (Hz). 
T é o período de tempo necessário para um ciclo completo em segundos (s). 
é a velocidade angular em rad/s. 
Aplicações do movimento circular: transmissão por engrenagens
1)ω = ω0 + αt
3)ω2 = ω2
0 + 2α(θ − θ0)
ω = 2 π f
 ω 
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Dentro da área de projetos de engenharia, o conceito de velocidade angular está associado com
a relação entre deslocamento angular e o intervalo de tempo gasto. Usa-se a letra grega ômega
(ω) para representá-la. A velocidade angular média (ωm) se dá pelo deslocamento angular (Δ )
dividido pela variação de tempo (Δt): 
A velocidade angular é medida em radianos por segundo (rad/s) no SI, embora rotações por
minuto (rpm) seja uma unidade mais utilizada na prática. Como um giro completo é 360º (ou 2π),
pode-se estimar o período (T) em segundos e o inverso do período que é a frequência (f) em
Hertz. 
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A velocidade angular independe do raio. Diferentemente da velocidade linear ou tangencial que é
de�nida como:
ou seja, uma grandeza vetorial resultante do produto da velocidade angular e do raio.  
Outro conceito físico dentro da mecânica aplicada é o torque. O conceito de torque, ou momento
de uma força , surgiu com Arquimedes e seu estudo do uso de alavancas que pode ser descrito
como  análogo de uma “força rotacional” ou angular, e atua no âmbito de movimento rotacional; é
uma medida da intensidade da tendência de giro de um corpo rígido em torno de um ponto ou
um eixo, devido a uma força ou conjunto de forças. Seu efeito é produzir uma variação no estado
de rotação do corpo (MOTT, 2015). 
O torque é o produto da magnitude da força (F) e a distância perpendicular da linha de ação de
uma força ao eixo de rotação (r). Para compreender melhor a de�nição de torque, observe a
equação a seguir: 
A unidade de torque no SI é o newton-metro [N m]. Dentro da cinemática rotacional, o torque
ocupa o lugar de força da cinemática linear e existe uma equivalência direta com a 2ª Lei de
Newton
sendo que 
onde I é o momento de inércia do objeto rotatório e α é a aceleração angular. No nosso caso,
estamos interessados na potência mecânica e sua relação com o torque, que se dá por: 
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É comum, também, utilizarmos uma relação matemática relacionado torque T, potência P e
rotação n, conforme expressão a seguir: 
Portanto, estas são as relações matemáticas mais aplicadas no estudo da transmissão de
movimento, torque e potência.  
A maneira mais simples de transferir movimento rotatório de um eixo a outro é através de um par
de cilindros rolantes; esses cilindros podem ser externos ou internos, tal como mostra a Figura 7.
Se há o atrito necessário na interface de rolagem dos cilindros, o mecanismo funciona
plenamente. Não há deslizamento entre as faces dos cilindros desde que a força de atrito
máximo entre elas não seja excedida pelo torque transferido (NORTON, 2010). 
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Figura 7 | Rodas de atrito. Fonte: elaborada pelo autor.
Um exemplo extrapolado desse mecanismo é a roda de um veículo viajando por uma estrada. O
pneu é um cilindro rolante, enquanto a estrada é outro (tendo um raio muito maior). O atrito é a
força que impede o deslizamento, mas o coe�ciente de atrito não é constante e depende dos
materiais envolvidos. Assim sendo, uma pista coberta de gelo pode provocar o deslizamento do
pneu, uma vez que o coe�ciente de atrito entre a borracha e o gelo é menor do que o coe�ciente
de atrito entre a borracha e o asfalto. Fazendo com que a baixa capacidade de torque e a
possibilidade de deslizamento das rodas de atrito não as tornem viáveis em todas as aplicações.
Para resolver esses problemas, dentes são adicionados às rodas de atrito, o que as tornam
engrenagens. Quando duas engrenagens estão unidas, chamamos tal mecanismo de par de
engrenagens e, por convenção, o nome de pinhão é dado para a menor e coroa para a maior,
como mostra a Figura 8. 
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Figura 8 | Par de engrenagens externas, evidenciando pinhão e coroa. Fonte: elaborada pelo autor. 
Existem diversos tipos de engrenagens classi�cadas por sua geometria: cilíndricas de dentes
retos; cilíndricas de dentes helicoidais; cônicas; cremalheira de dentes retos; coroa e parafuso
sem-�m, entre outras variações.  
Em teoria, dentes de qualquer formato evitam o deslizamento das rodas. Antigamente, moinhos
de água e vento usavam engrenagens de madeira, cujos dentes eram simples estacas
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arredondadas presas entre os aros dos cilindros, embora a geometria das estacas não permita
transmissão suave de velocidade e violem a Lei Fundamental do Engrenamento. Dentro da Teoria
do Dente da Engrenagem, a Lei Fundamental do Engrenamento nos diz que “a razão de
velocidade angular mV das engrenagens de um par de engrenagens permanece constante
durante o engrenamento”. A razão de velocidades é dada por mv e, para um trem simples, é: 
Visto isto, um sistema de engrenagens é basicamente um mecanismo que troca torque
por rotação (n) ou seja.
Um conjunto de engrenagens pode reduzir a velocidade e aumentar o torque para dirigir cargas
pesadas, tal qual a transmissão de um automóvel. Para aumento na velocidade, uma redução no
torque deve ser aceita. De qualquer forma, é desejado que se mantenha constante a razão entre
as engrenagens quando elas rotacionam. Qualquer variação na razão aparecerá como uma
oscilação na velocidade e no torque de saída.
Videoaula: Movimento circular
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Nesta videoaula discutiremos que o movimento circular uniforme (MCU) é um tipo especí�co de
movimento circular em que a velocidade do corpo permanece constante em módulo, mesmo
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variando a direção. Estudaremos que no movimento circular variado, a velocidade do corpo difere
em módulo e direção. Por �m, analisaremos algumas aplicações do movimento circular na
transmissão de movimento de polias e engrenagens. Com o conteúdo aqui apresentado, você
terá desenvolvido ótimas competências para ser um projetista de mecanismos desta natureza.
Bons estudos!
Saiba mais
O livro Cinemática e Dinâmica de Engrenagens apresenta, da página 8 a 15, o estudo do
movimento, a classi�cação das engrenagens e a descrição dos tipos existentes para o projeto de
transmissão de movimento. Faça a leitura deste trecho para complementar seus estudos.  
Referências
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Fcore.ac.uk%2Fdownload%2Fpdf%2F55632297.pdf&embedded=true&chrome=false&dov=1
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HIBBELER, R.C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson, 2018. 
MOTT, R. L. Elementos de máquinas. São Paulo: Pearson, 2015. 
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010.
Aula 2
Oscilador harmônico
Introdução
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Olá, estudante! 
Um dos movimentos naturais mais importantes e que aparece frequentemente em aplicações de
física e engenharia é o movimento vibratório (ou oscilatório). Em sistemas mecânicos, ele ocorre,
por exemplo, em pêndulos, diapasões, tambores, cordas de instrumentos musicais, colunas de ar
de instrumentos de sopro e sistemas massa-mola.  
Em sistemas eletromagnéticos, pode modular a tensão e a intensidade da corrente alternada
advindas das usinas de produção de energia elétrica. Nesta aula, a abordagemque você acesse o AVA pelo
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Nesta videoaula iremos aplicar os principais conceitos de cinemática e dinâmica para avaliar o
movimento rotacional de corpos rígidos em geral. Abordaremos aplicações do momento de
inércia de massa em conjunto com os conceitos de aceleração angular, torque, velocidade
angular, força, dentre outros. Em outras palavras, veremos como analisar o movimento dos
corpos rígidos, considerando as forças e momentos externos atuantes, explorando essas
temáticas para obtermos uma boa compreensão sobre o movimento de rotação dos corpos
rígidos em geral.  
Bons estudos!   
Saiba mais
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Para uma revisão dos tipos de movimentos que um corpo rígido pode apresentar, cinemática e
dinâmica deles, incluindo a aceleração para referenciais inerciais e não inerciais, dê uma olhada
nos capítulos 17 do livro Mecânica Vetorial para Engenheiros. Faça os exemplos e exercícios
para aprofundar seu conhecimento nesse assunto. 
Bons estudos!
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/
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BEER, F. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica. Grupo A, 2019. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/. Acesso em: 16 jun. 2023.  
HIBBELER, R.C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson, 2018. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10 ed. v. 1. Rio de Janeiro: LTC,
2016.  
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010.
Aula 5
Revisão da unidade
Dinâmica da rotação dos corpos rígidos
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/
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Em sistemas de partículas ou em corpos rígidos, essa resistência à alteração do estado de
movimento deve ser avaliada tanto para o movimento de translação quanto para o movimento de
rotação. Na análise dos movimentos, a resistência ao movimento de translação associa-se com
a inércia e a resistência ao movimento de rotação vincula-se com o momento de inércia massa.  
Considerando o corpo rígido, o momento de inércia
( )
é de�nido pela integral da distância ao quadrado 
( )
ao eixo de rotação vezes o elemento in�nitesimal de massa
( )
(BEER, 2019): 
Resolvendo a integral, é possível obter o momento de inércia para corpos rígidos das mais
diversas formas em qualquer que seja a direção do eixo de rotação. Não se esqueça de que o
momento de inércia para �guras planas simples é tabelado e podemos utilizá-lo na resolução
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dos exercícios. Tenha atenção com relação ao eixo em que o momento de inércia será calculado
(BEER, 2019).  
Ainda, de acordo com o autor, além do momento de inércia, em algumas aplicações será
necessário calcular o momento polar de inércia, que é uma característica geométrica de um
material quando há uma força de torção atuante. Então, podemos de�nir momento polar de
inércia como a resistência ao movimento de torção, de�nido pelo movimento de rotação em que
o eixo está contido no corpo estudado.  
Assim, para o cálculo do momento polar de inércia, a distância até o eixo de rotação será o
próprio raio do corpo que descreve o movimento. Conhecendo o centro de massa da geometria
que de�ne o objeto estudado, considerando o plano cartesiano
( )
podemos obter o momento de inércia em cada direção por: 
Estas equações fornecem o momento de inércia da superfície
 de área 
em relação aos eixos x e y, com a origem do sistema cartesiano no centro de massa da
superfície. Ainda, considerando o plano cartesiano, se conhecermos os momentos de inércia
 e 
da área da superfície
em relação aos eixos x e y que passam pelo centroide do objeto, podemos considerar um novo
eixo, x’ e y’, paralelo ao eixo original (Figura 1), e calcular o momento de inércia em
 
 
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Figura 1 | Eixos paralelos para o cálculo do momento de inércia. Fonte: elaborada pelo autor. 
Nesse caso, podemos aplicar o teorema dos eixos paralelos em que
será a distância horizontal que separa os eixos y de y’. Já
é a distância vertical que separa os eixos x de x’. Para o eixo x’ paralelo a x, o momento de inércia
será: 
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De modo análogo, para o eixo y’ paralelo ao eixo y, o momento de inércia será:
Outra propriedade importante com relação ao movimento de rotação é de�nida como raio de
giro, ou raio de giração. Considere uma superfície de massa m que possui um momento de
inércia de massa
relativamente a um eixo qualquer, conforme equação a seguir. 
A distância
é conhecida como raio de giração e pode ser obtida por: 
Esta variável diz respeito ao momento de inércia de um corpo em relação a um eixo em
especí�co que se encontra a uma distância
do centro de massa desse corpo. 
Para demonstrarmos matematicamente a dinâmica de rotação dos corpos rígidos, considere
uma massa m no �nal da haste de luz de comprimento r: Aplica-se uma força F à massa,
mantendo a força perpendicular ao braço de alavanca, conforme a Figura 2.
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Figura 2 | Corpo. Fonte: elaborada pelo autor. 
Aceleração tangencial será:
Aplicando RF= m a, ao longo da direção tangencial, teremos:
Multiplicando ambos os lados por r (para obter torque), encontraremos:
Observe que, quanto maior o momento de inércia de massa de um corpo, maior deverá ser o
torque externo para produzir aceleração angular de acordo com a relação matemática a seguir:
Em que:
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Imagine que uma força F atue sobre uma polia, que consiste em um disco sólido de raio R,
massa M, conforme ilustra a Figura 3.  
Figura 3 | Corpo. Fonte: elaborada pelo autor. 
Podemos determinar a expressão para a aceleração angular α realizando a seguinte análise: 
É possível considerar o momento de inércia de massa da polia igual ao de um disco sólido,
então: 
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Já para calcular a energia cinética de rotação, em um corpo qualquer, como o da Figura 4,
considere que o corpo extenso é composto por vários elementos de massa (HIBBELER, 2018).
Figura 4 | Distância dos elementos de massa em relação ao eixo de rotação. Fonte: elaborada pelo autor. 
A energia cinética total do corpo será a soma das energias cinéticas das massas menores,
então: 
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A velocidade linear de cada massa menor será:
Substituindo a velocidade linear individual de cada massa na equação da energia cinética,
teremos:
Assim, a energia cinética de rotação de um corpo pode ser escrita em função do momento de
inércia de massa e da velocidade angular:
Considerando a soma das energias de translação e de rotação na Figura 5:
Figura 5 | Corpo em translação e rotação. Fonte: elaborada pelo autor. 
A energia total do corpo será: 
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Para aprofundarmos mais, vamos calcular o momento de inércia de um corpo rígido composto
por duas partículas em relação a um eixo de rotação passando pelo seu centro de massa. Em
seguida, encontraremos o momento de inércia de massa do mesmo corpo, porém em relação a
um eixo que passa pela extremidade esquerda da barra, conforme mostra a Figura 6.
Se ambos os sistemas fossem submetidos a um mesmo torque, qual apresentaria maior
aceleração angular?
Figura 6 | Corpo rígido composto por duas partículas. Fonte: adaptada de Halliday, Resnick e Walker (2016, p. 156).
Como temos apenas duas partículas no corpo rígido, podemos calcular o momento de inércia em
relação ao eixo que passa no centro de massa do corpo usando a equação:
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Com o eixo de rotação localizado na extremidade esquerda, o momento de inércia passa a ser:
Observeque a partícula localizada à esquerda se encontra sobre o eixo de rotação, portanto, seu
momento de inércia será zero. Já a partícula da direita �cou distante em “L” do eixo de rotação.
Agora, iremos responder a pergunta: Se ambos os sistemas fossem submetidos a um mesmo
torque, qual apresentaria maior aceleração angular?. A relação entre torque, momento de inércia
e aceleração angular é:
Para o mesmo torque
Observe que o momento de inércia de massa é o dobro quando o eixo de rotação se encontra em
uma das extremidades. Logo, nesta con�guração seria necessário o dobro de torque para que a
aceleração angular seja a mesma nos dois casos.
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Videoaula: Revisão da unidade
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Nesta videoaula discutiremos sobre a teoria de momento de inércia de massa e de�niremos
matematicamente o conceito de raio de giração. Estudaremos o Teorema dos Eixos Paralelos
para calcular o momento de inércia de superfícies planas em relação a um eixo de rotação
qualquer. Veremos como analisar o movimento dos corpos rígidos, considerando as forças e
momentos externos atuantes. Exploraremos esses conceitos para obtermos uma boa
compreensão sobre o movimento de rotação dos corpos rígidos em geral. 
Bons estudos!  
Estudo de caso
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O torque ou momento de uma força pode ser interpretado como uma medida da intensidade da
tendência de rotação de um corpo rígido em torno de um ponto ou um eixo devido a atuação de
uma força ou conjunto de forças. Seu efeito é produzir uma variação no estado de rotação do
corpo.  
O torque ou momento de uma força
é de�nido como o produto da força 
 
pela distância (d) perpendicular do ponto O à linha de ação da força (também conhecido como
braço de alavanca). Assim:
Quando uma ou mais forças atuam em um corpo, podemos calcular a força resultante através de
uma soma vetorial. A força é uma grandeza vetorial, logo, assume todas as características de um
vetor.
Para estudar o equilíbrio de um corpo rígido, devemos veri�car as duas condições principais:
somatório de forças e de momentos iguais a zero. O somatório das forças que atuam em um
corpo deve ser nulo, pois não há aceleração para o caso de equilíbrio estático:
Outra condição fundamental do equilíbrio estático é o equilíbrio rotacional, então, podemos
escrever que a soma dos momentos sobre o corpo deverá ser zero.
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Um guindaste �xo, com 1000 kg de massa, ergue uma caixa de 2400 kg. O equipamento está
�xado por um pino no ponto A e um suporte basculante no ponto B. Seu centro de gravidade está
representado pelo ponto G. Determine as reações nos suportes de conexão A e B (Figura 7).
Figura 7 | Guindaste �xo. Fonte: adaptada de Beer et al. (2011, p. 168).
Re�ita
O artigo intitulado Dimensionamento do sistema de transmissão por corrente de um carro BAJA
SAE apresenta o dimensionamento de uma transmissão por corrente de um veículo off-road tipo
BAJA SAE. No artigo, foram consideradas duas etapas de redução, e a relação de redução foi
calculada, chegando a uma relação de redução de 9,5:1. Con�ra e bons estudos! 
https://www.confea.org.br/sites/default/files/antigos/contecc2017/mecanica/10_ddsdtducbsb.pdf
https://www.confea.org.br/sites/default/files/antigos/contecc2017/mecanica/10_ddsdtducbsb.pdf
https://www.confea.org.br/sites/default/files/antigos/contecc2017/mecanica/10_ddsdtducbsb.pdf
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Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Para esta situação, desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre: 
Figura 8 | Diagrama Guindaste �xo. Fonte: elaborada pelo autor.
Aplicando as condições de equilíbrio rotacional, tomando como referência o ponto A, teremos:
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Aplicando a condição de equilíbrio translacional para o eixo horizontal, x:
Pelos cálculos, Ax = -107,1kN, mas como o resultado foi negativo, concluímos que o componente
tem sentido contrário ao estabelecido inicialmente, ou seja, é para a esquerda. Então:
para esquerda.
Aplicando a condição de equilíbrio translacional para o eixo vertical, y:
Logo, pelos cálculos
Aplicando o teorema de Pitágoras: A² = 107,1² + 33,3² = 112,15kN
Resumo visual
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Fonte: elaborada pelo autor.
Referências
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 5 ed. New York, EUA: Mc Graw Hill, 2011. 
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BEER, F. P. Mecânica vetorial para engenheiros – Dinâmica. 11 ed. New Yourk: McGraw Hill,
2019.  
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10 ed. v. 1. Rio de Janeiro: LTC,
2016 
HIBBELER, R.C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson, 2018. 
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010. 
,
Unidade 3
Mecânica dos Fluidos
Aula 1
Pressão em �uidos
Introdução
Olá, estudante! Abordaremos nesta Unidade conceitos fundamentais relacionados à Mecânica
dos Fluidos, parte da física responsável por estudar o efeito de forças em �uidos em equilíbrio
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estático (hidrostática) ou em equilíbrio dinâmico (hidrodinâmica).  
Para dar início às de�nições relacionadas a esse tema, nesta aula veremos a descrição de
Pressão em Fluidos, com o objetivo compreender o que é um �uido, quais suas principais
propriedades e como o conceito de pressão se relaciona com o �uido. 
Os �uidos desempenham um papel fundamental em muitos aspectos em nosso cotidiano, isso
porque bebemos, respiramos e nadamos em �uidos, circulando pelo nosso corpo. São
responsáveis, ainda, pelo clima, os aviões voam através deles e os navios �utuam sobre eles.
Essas são apenas algumas das aplicações de �uidos. Por isso, compreender essa temática é tão
importante!  
Vamos juntos desbravar esses conceitos tão signi�cativos para análises físicas?! Então �que
atento aos detalhes e deixe o conhecimento �uir! Bons estudos!
De�nição de �uido
Na física, de�nimos matéria por aquilo que possui massa e ocupa um determinado lugar no
espaço; os estados dela mais conhecidos são: sólido, líquido e gasoso. Cada um deles apresenta
diferentes estados de organização e livre movimentação entre os seus constituintes básicos
(átomos ou moléculas). A �gura 1 ilustra os principais estados da matéria com foco no
ordenamento ou não dos átomos ou moléculas que constituem um material. 
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Figura 1 | Principais estados da matéria: (a) sólido, (b) líquido e (c) gasoso. Fonte: Existem ([s. d.]).
O estado sólido apresenta volume e forma de�nida e os átomos ou moléculas estão mais
próximos entre si, tornando as ligações químicas entre eles mais intensas. Por possuir forma
de�nida, os objetos que estão no estado sólido não assumem a forma do recipiente ao qual são
alocados, mantendo sua forma original. 
O estado líquido apresenta volume de�nido, mas forma variada. Ou seja, o corpo no estado
líquido se moldará à forma do recipiente ao qual será alocado. E, ainda nesse estado da matéria,
os átomos possuem maior agitação térmica, ao comparado ao estado sólido, possibilitando
liberdade de movimento, fazendo com que ocorra choque entre as moléculas, estabelecendo
relação entre a temperatura e a velocidade das partículas. 
Por �m, as moléculas apresentam intensa movimentação e não possuem uma organização
de�nida ao longo de sua composição, apresentando volume e forma variáveis, de acordo com o 
local onde estão inseridas.Caso não esteja em um recipiente, como o gás de cozinha em um
botijão, o composto irá permanecer disforme, semelhante aos gases presentes na atmosfera. 
Mas o que é um �uido? E como está relacionado com os estados da matéria? Por de�nição,
�uido é descrito como uma substância capaz de escoar e que não possui forma própria,
adquirindo o formato do recipiente que a envolve. Por essa razão, tanto líquidos quanto gases
são considerados �uidos. 
Quando submetido a uma força, essa substância pode se deformar, não atingindo uma condição
de equilíbrio estático. Essa de�nição pode ser melhor entendida pela análise de um experimento
conhecido como “Experiência de duas placas”. Esse experimento compara o comportamento de
um sólido e um �uido entre dois planos paralelos, limitados por superfícies sólidas (Figura 2). 
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Figura 2 | Comportamento de um �uido e de um sólido entre dois planos paralelos. Fonte: adaptada de Fox, Pritchard e
McDonald (2013, p. 4). 
A Figura 2 (a) mostra as duas substâncias (em estado sólido e �uida) em repouso. Ao aplicar
uma força tangencial sobre as substâncias sólida e �uida, a partir da superfície superior (Figura 2
b), as duas substâncias sofrerão uma deformação angular devido à tensão de cisalhamento
desenvolvida a partir da força aplicada.  
Se a força agindo sobre o sólido não ultrapassar o seu regime elástico de deformação, o sólido
entrará em repouso, ou seja, alcançará um equilíbrio estático. Para esse caso, retirada a força
tangencial, o sólido voltará à sua posição inicial (Figura 2 a), já o �uido continuará se deformando
continuamente enquanto a força tangencial for aplicada sobre ele (Figuras 2 c e d), não
alcançando uma condição de equilíbrio estático quando submetido a uma força tangencial,
diferentemente dos sólidos.  
Ao analisar o experimento descrito pela Figura 2 percebe-se também que a partícula de �uido em
contato com a superfície sólida não desliza sobre ela, o que chamamos de condição de não
deslizamento ou de princípio da aderência. Portanto, a partícula de �uido em contato com a
superfície inferior, que está em repouso, tem velocidade nula e a partícula de �uido em contato
com a superfície superior, que está em movimento, adquire a mesma velocidade da placa. 
Os materiais se comportam como �uidos em determinadas condições e como sólidos em outras,
dependendo da grandeza da tensão aplicada. O estudo do comportamento das deformações
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Energia
desses materiais é chamado de reologia e não será abordado neste texto. 
Importante ressaltar que mesmo os materiais que se apresentam no estado sólido, em
temperatura ambiente, podem sofrer transformação de fase para o estado líquido ou gasoso
absorvendo energia em forma de calor, tornando-se um �uido.
Propriedades dos �uidos
Os �uidos são caracterizados de acordo com as propriedades que apresentam. As propriedades
de um �uido são importantes para descrever o seu comportamento quando estão em repouso
(hidrostática) ou em movimento (hidrodinâmica). Dentre elas, as propriedades mais importantes
para os �uidos são densidade e pressão. 
( )
também conhecida como massa especí�ca, é uma propriedade de�nida como massa
( )
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por unidade de volume
( )
Ou seja, quanto de massa de uma substância ocupa um determinado volume. Matematicamente,
descrevemos densidade por: 
 
A densidade é uma propriedade tabelada e intrínseca do material, isto é, independe da forma que
o material se apresenta. Sua unidade no Sistema Internacional (SI) é quilograma por metro
cúbico
( )
mas a unidade gramas por centímetro cúbico
( )
também é muito utilizada. O fator de conversão entre as unidades é: 
A densidade relativa de um material
( )
também chamada de massa especí�ca relativa é a razão entre a densidade do material e a da
água. Como resultado, temos um número adimensional, ou seja, sem unidade de medida. Por
exemplo, a densidade relativa do alumínio é 2,7. 
Além da desta, outra propriedade importante para a caracterização de um �uido é a pressão
( )
Quando em repouso, ele exerce uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em
contato, tal como a parede de um recipiente ou um corpo imerso no �uido. Embora o �uido esteja
em repouso, as moléculas que o constituem estão em movimento e as forças exercidas por ele
são oriundas das colisões moleculares com as superfícies vizinhas. Dessa forma, o �uido exerce
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forças iguais e perpendiculares às superfícies do corpo submerso e essa força sobre a área da
superfície é denominada pressão, conforme apresentado na Figura 3. 
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Figura 3 | Forças exercidas por um �uido nas superfícies de um corpo submerso. Fonte: Serway e Jewett (2014, p. 97). 
A pressão em um ponto especí�co de �uido pode ser medida com o aparelho mostrado na Figura
4. O aparelho consiste em um cilindro sem matéria (vácuo) que contém um pistão conectado a
uma mola. Conforme o aparelho é submerso em um �uido, pressiona o topo do pistão e
comprime a mola até que a força para dentro do �uido seja equilibrada pela força que a mola
exerce para fora. A força exercida sobre o êmbolo pelo �uido pode ser medida se a mola for
calibrada com antecedência.
Figura 4 | Aparelho simples para medir pressão exercida por um �uido. Fonte: Serway e Jewett (2014, p. 97).
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Se
é o módulo da força exercida pelo �uido no pistão e
é a área da superfície dele, a pressão
do �uido no nível do qual o aparelho foi submerso é de�nida por:
A unidade no SI para a pressão é Newton por metro quadrado
( )
também chamada de Pascal (Pa), em que
Existe outra unidade relevante para pressão, conhecida como atm, que equivale a pressão
exercida pela atmosfera sobre os objetos que se encontram ao nível do mar. Assim: 
Como exemplo, vamos provar que uma coluna de
de mercúrio em um tubo de raio
exerce sobre a extremidade inferior a mesma pressão que uma atmosfera. Para isso, considere a
densidade do mercúrio de
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aceleração da gravidade de
 e que 
Assim, inicialmente será necessário calcular a área do tudo, por: 
Com o valor de área, calcular o volume em que
Assim:
A força exercida na coluna é dada pela força peso da coluna de mercúrio, exercida sobre
extremidade inferior: 
Assim, a pressão é dada por: 
Como a pressão é de�nida com relação à força aplicada em uma área de superfície, quanto
menor for a área de contato entre dois corpos, maior será a pressão exercida. 
Aplicando os conteúdos
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Física Geral e Experimental -
Energia
Para análise de um �uido, é fundamental compreender as propriedades que o de�nem. Dentre as
principais propriedades, temos a densidade, de�nida pela massa em função do volume.
Podemos obter, também, o volume especí�co 
( )
do �uido, de�nido como sendo equivalente a uma força aplicada em um volume, ou como a
densidade submetida a uma aceleração gravitacional. Sua unidade no SI é Newton por metro
cúbico
( )
e matematicamente é dado por: 
Como exemplo, considere um reservatório graduado com 500 ml de um líquido que pesa 6 N.
Para determinar o peso especí�co
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( )
a massa especí�ca
( )
e a densidade relativa
( )
desse líquido, vamos adotar
Assim, aplicando as equações necessárias para obter o valor de cada grandeza, temos que: 
O peso especí�co
( )
é dado pela razão entre o peso do �uido e seu volume: 
Uma vez encontrado o peso especí�co do �uido, basta dividi-lo pelo valor da aceleração da
gravidade para obter a massa especí�ca
( ):
E, por �m, a densidade relativa
( )
é de�nida pela razão entre a densidade do material e a densidade da água: 
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Outra propriedade importante para a de�nição de um �uido é a análise da pressão. Dentreas
unidades de medidas para pressão, uma muito utilizada é a atm (atmosférica). A pressão
atmosférica é de�nida como o peso que o ar exerce sobre a superfície terrestre. Sua
manifestação está diretamente relacionada à força da gravidade e à in�uência que ela realiza
sobre as moléculas gasosas que compõem a atmosfera. Como o valor da pressão varia com a
altura e/ou profundidade, chamamos de pressão manométrica aquela cujo valor está acima ou
abaixo do valor da pressão atmosférica, denominada respectivamente por pressão positiva ou
negativa. 
Uma maneira muito conhecida de medir a pressão atmosférica é por meio do barômetro de
mercúrio, que foi um dos primeiros instrumentos de medida de pressão com base em coluna de
�uido desenvolvido por Torricelli.  
Esse equipamento consiste em um tubo de vidro com um metro de comprimento, fechado em
uma das extremidades que, após ser preenchido com mercúrio, é despejado em uma cuba que
também contém mercúrio, conforme apresentado na Figura 6: 
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Figura 6 | Barômetro de Mercúrio. Fonte: Barômetro ([s .d.]) 
A coluna de mercúrio no tubo vertical sofre redução de altura em razão da fuga do �uido pela
abertura inferior, diminuindo o comprimento (H). Esse fenômeno provoca o aparecimento de um
espaço sobre a coluna de mercúrio que é ocupado por seu vapor. A pressão atmosférica
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pode ser determinada em função da altura de mercúrio H por: 
Um aparelho comum para medir a pressão manométrica é através de um manômetro de tubo
aberto (Figura 7). Ele possui um tubo em forma de U contendo um �uido de densidade
geralmente mercúrio ou água. Uma extremidade do tubo é conectada a um recipiente de �uido de
densidade
conhecida cuja pressão deseja-se medir. A outra extremidade é aberta para a atmosfera a uma
pressão
Assim, a pressão manométrica
( )
é dada por: 
Em que P é a pressão absoluta e
a pressão atmosférica: 
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Figura 7 | Manômetro de tubo aberto. Fonte: Halliday e Resnick (2016. p. 58). 
Como exemplo, considere um tanque de armazenamento de 12 m de profundidade que está
cheio de água. O topo do tanque é aberto ao ar. Qual é a pressão absoluta no fundo do tanque?
Qual a pressão manométrica? 
Para resolver esse problema, vamos considerar o nível da parte superior do tanque corresponde à
pressão atmosférica 
( )
e o nível do fundo do tanque corresponde à pressão absoluta
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( )
Como o tanque apresenta 12 m de profundidade,
Assim:
Por �m, a pressão manométrica será: 
Importante ressaltar que quando um tanque possui um manômetro, normalmente ele é calibrado
para medir a pressão manométrica e não a pressão absoluta, tendo a variação de pressão na
atmosfera em uma altura de poucos metros desprezível. 
Videoaula: Pressão em �uidos
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Olá, estudante! 
Estudar a Mecânica dos Fluidos é fundamental para compreender situações práticas em nosso
dia a dia. Para que isso seja possível, é necessário entender corretamente a de�nição de �uido e
quais as principais propriedades que o de�nem. Na videoaula falaremos sobre de�nição e
propriedades com foco na resolução de exercícios.
Saiba mais
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A de�nição mais simples de �uido está relacionada com o estado físico da matéria: sólido,
líquido e gasoso. Por isso, é importante compreender quais as condições em que a matéria se
apresente em um desses estados e o porquê ocorrem as transformações de fases. 
Para saber mais desse assunto, leia o Capítulo 1 do livro Química, de Chang and Kenneth.  
Bons estudos!
Referências
https://login.vitalsource.com/?redirect_uri=https%3A%2F%2Fintegrada.minhabiblioteca.com.br%2Freader%2Fbooks%2F9788580552560&brand=integrada.minhabiblioteca.com.br
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CHANG, R.; GOLDSBY, K. A. Química. Porto Alegre: Grupo A, 2013. ISBN 9788580552560.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552560/. Acesso em:
22 mar. 2023.  
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Vol. 2 - Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 10. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2016. ISBN 9788521632078. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/. Acesso em: 22 mar. 2023.  
KNIGHT, R. D. Física uma abordagem estratégica: termodinâmica óptica. v.2. Porto Alegre: Grupo
A, 2009. ISBN 9788577805389. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577805389/. Acesso em: 22 mar. 2023.  
BARÔMETRO. Museu de Astronomia e Ciências a�ns. On-line, [s.d]. Disponível em:
http://site.mast.br/multimidia_instrumentos/barometro_funcao.html. Acesso em 22/03/2023.  
EXISTEM somente 3 estados da matéria? Saber atualizado. On-line, [s.d].  Disponível em:
https://www.saberatualizado.com.br/2016/01/existem-somente-3-estados-da-materia.html.
Acesso em: 22 mar. 2023.  
SERWAY, R. A.; JR., J. W J. Princípios de Física. vol. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2014.
ISBN 9788522116874. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116874/. Acesso em: 22 mar. 2023.  
Young, H. D. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. ISBN
9788588639331. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0.
Acesso em: 22 mar. 2023.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552560/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577805389/
http://site.mast.br/multimidia_instrumentos/barometro_funcao.html
https://www.saberatualizado.com.br/2016/01/existem-somente-3-estados-da-materia.html
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116874/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0
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Aula 2
Fluidos em repouso
Introdução
Olá, Estudante!  
Nesta aula daremos continuidade ao estudo de �uidos, discutindo os conceitos relacionados a
situações em que consideramos o �uido estático, ou seja, os princípios da hidrostática. Para
isso, abordaremos leis que fundamentam essa teoria: Lei de Stevin, Lei de Pascal e Princípio de
Arquimedes.   
Veremos como a pressão varia com a profundidade e em quais situações ela se mantém
constante, avaliaremos  o comportamento de corpos imersos em um �uido e como a força de
empuxo atua sobre eles. 
Está preparado?! Então se mantenha em equilíbrio e não se deixe afundar! Bons estudos!  
Lei de Stevin
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A hidrostática é um ramo da física que estuda o comportamento dos �uidos em condições de
equilíbrio estático, ou seja, em repouso. Para isso, torna-se necessário a aplicação dos conceitos
de pressão e densidade e a relação deles entre si, considerando a profundidade ou altitude do
�uido estudado. Essa relação é expressa por leis matemáticas, dentre elas, temos a lei de Stevin, 
que a�rma que a pressão em um �uido em equilíbrio, com densidade constante, varia
linearmente com a profundidade. 
Como exemplo, a pressão atmosférica, em altitudes elevadas, é menor do que a pressão
atmosférica ao nível do mar, e é justamente por essa razão que a cabine de um avião deve ser
pressurizada. A pressão também varia conforme a profundidade, nesse caso, quanto mais fundo,
mais alta a pressão, e é por essa razão que os mergulhadores sentem desconforto no ouvido
quando retornam rapidamente à superfície.  
Para entender essa relação, vamos imaginar em cilindro circular reto, com área A, altura h e face
superior em contato com a atmosfera, preenchido por um �uido (Figura 1). Para todos os efeitos,
essa porção de �uido mantém sua forma cilíndrica como se fosse um corpo rígido e,por isso,
tem sentido falarmos nas forças que atuam nele. 
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Figura 1 | Porção imaginária de �uido em forma de cilindro circular reto. Fonte: elaborada pela autora. 
Analisando a Figura 1, a atmosfera exerce uma pressão na face superior do cilindro imaginário
causando o aparecimento da força
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Nesse caso, considerando que a pressão é descrita por
a força será
á a porção de �uido abaixo da face inferior do cilindro imaginário exerce uma pressão
uma pressão no interior do �uido a uma profundidade h, causando o aparecimento de uma força
Assim, a força será:
E, ainda, sobre o cilindro atua a força gravitacional
considerando a gravidade no planeta Terra de
A força gravitacional pode ser reescrita considerando a densidade do �uido 
( )
e seu volume pode ser de�nido em termos de área
( )
assim:
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Como o fluido em repouso, podemos escrever que:
Dividindo ambos os lados pela área: 
A pressão atmosférica
pode ser considerada como pressão inicial
já que estamos avaliando a profundidade. Dessa forma:
Essa expressão de�ne a Lei de Stevin e a�rma que a pressão em um �uido em equilíbrio varia
linearmente com a profundidade, independente do formato do recipiente. A Figura 2 exempli�ca
essa teoria: 
  
 
  
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Figura 2 | Análise da pressão de um �uido em um recipiente. Fonte. adaptada de White (2018, p. 62). 
Considerando a Figura 2, os pontos a, b, c e d estão em profundidades iguais na água e, portanto,
apresentam pressões idênticas, ou seja, de mesmo valor, considerando a altura h relacionada à
profundidade 1.  
Já os pontos A, B e C também estão em profundidades iguais na água e possuem mesma
pressão, maiores que em a, b, c e d pelo fato de considerar a altura h relacionada à profundidade
2. Por �m, o ponto D possui pressão diferente de A, B e C pelo fato de ser um �uido diferente da
água, apresentando outro valor de densidade. 
Sendo assim, pelo Princípio de Stevin, a pressão no interior de um recipiente sob a in�uência da
gravidade dependerá apenas dos fatores: pressão externa, densidade do �uido, gravidade local e
altura com relação ao ponto de aplicação da pressão externa. Ela não dependerá do formato do
recipiente. 
Princípio de Pascal
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Dentre as leis que compõe a hidrostática, o princípio de Pascal, ou lei de Pascal, a�rma que
qualquer variação de pressão atuando sobre algum ponto do �uido será transmitida igualmente
para todos seus pontos e para as paredes do recipiente que o contém. Ou seja, uma pressão
externa aplicada sobre uma região do �uido é transmitida igualmente em toda sua extensão e,
também, para as paredes do recipiente. 
Se a pressão é transmitida igualmente, apresenta o mesmo valor, indicando que sua variação é
igual a zero, ou seja: 
Considerando 2 pontos do �uido: 
Lembrando que
teremos: 
  
 
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Uma das aplicações mais importantes do Princípio de Pascal consiste em descrever o princípio
de funcionamento de um elevador hidráulico, que permitem levantar objetos de elevada massa
usando forças reduzidas. 
Como a pressão aplicada em um �uido se distribui igualmente em todos os pontos do recipiente
que o contém, vamos considerar um recipiente perfeitamente vedado, em que duas superfícies a
e b são móveis e que uma força
seja aplicada sobre a superfície a, conforme Figura 3.   
Figura 3 | Princípio de funcionamento de um elevador hidráulico. Fonte: elaborada pela autora. 
Analisando a Figura 3, vemos que a superfície b possui área de contato com o �uido muito maior
que a superfície a. Assim, pelo princípio de Pascal, a força resultante sobre a superfície b
 será maior que 
proporcionalmente à razão das áreas.  
Aplicando o princípio de Pascal, temos: 
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Sendo
descrita por:
Como exemplo, vamos considerar que um elevador hidráulico se encontra cheio de óleo. As
partes móveis a e b são discos de raio 5 cm e 30 cm, respectivamente. A força aplicada sobre a
superfície a é de 30N, verticalmente para baixo. Qual será a massa do objeto que pode ser
equilibrado sobre a superfície de b? 
Para resolver esse exercício, inicialmente precisamos calcular as áreas de cada superfície. Para
isso temos: 
Assim, pelo Princípio de Pascal: 
Note que a área do disco a é 36 vezes maior do que a área do disco b (ou seja, raio 6 vezes
maior). Assim, a força resultante pode ser descrita pela intensidade original multiplicada em 36
vezes.  
Descobrimos a força em b, agora é necessário saber qual a massa do objeto que pode ser
equilibrado: 
Além do elevador hidráulico, cadeiras de dentista, elevadores de carros, macacos hidráulicos e
freios hidráulicos são exemplos de aplicação desse princípio. 
Como a lei de Pascal estabelece que uma variação de pressão produzida em um elemento de
superfície do �uido homogêneo em equilíbrio é transmitida integralmente a todos os outros
elementos de superfície do mesmo �uido, é possível justi�car esse resultado pela Lei de Stevin. 
 
 
 
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Para isso, podemos considerar um �uido homogêneo em repouso contido em um recipiente. A lei
de Stevin garante que a diferença de pressão entre dois elementos de superfície horizontais
quaisquer desse �uido é constante e depende apenas do desnível entre eles. Assim, se a pressão
em um elemento de superfície aumenta, após o equilíbrio ter sido restituído, a pressão em todos
os outros elementos de superfície deve ser aumentada do mesmo valor para que a diferença de
pressão entre elementos de superfície dependa apenas do desnível entre eles.
Empuxo e o princípio de Arquimedes
Em algum momento você já deve ter se deparado com um jogo do tipo “afunda ou boia”. Esse
jogo consiste em colocar objetos em um recipiente com água e adivinhar se aquele objeto irá
afundar ou boiar. Como a física explica esse fenômeno? Pelo empuxo e a relação das densidades
entre o objeto que será mergulhado e o �uido escolhido.   
O empuxo é um fenômeno bem familiar que já o sentimos em algum momento de nossa vida,
como exemplo mais simples, você já se sentiu mais leve dentro de uma piscina? Devido ao
fenômeno de empuxo, um corpo imerso na água parece possuir um peso menor que no ar pois
quando o corpo possui densidade menor que a do �uido que está submerso, ele �utua.  
É justamente por essa razão que o corpo humano
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( )
normalmente �utua em água
( )
e, também, um balão cheio de gás hélio
( )
�utua no ar 
( )
Foi o �lósofo, matemático, físico, engenheiro e astrônomo Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) que
descobriu essa força de empuxo e como calculá-la. Através de experimentos cientí�cos, ele
compreendeu que todo o corpo imerso em um �uido em equilíbrio, dentro de um campo
gravitacional, está sob a ação de uma força vertical aplicada pelo �uido, com sentido oposto ao
campo, cuja intensidade é igual a intensidade do peso do �uido que é ocupado pelo corpo. 
Assim, o Princípio de Arquimedes a�rma que quando um corpo está parcial ou completamente
imerso em um �uido, o �uido exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual ao peso
do volume do �uido deslocado pelo corpo
Tanto a força do peso
( )
quanto a força de empuxo
( )
atuam ao mesmo tempo sobre o objeto e o resultado depende de qual delas vence a disputa. Ou
seja: 
 
  
 
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Se a força peso for menor do que o empuxo
( )
a força resultante fará o objeto acelerar para cima. 
Se a força peso for maior do que o empuxo
( )
a força resultante fará o objeto acelerar para baixo e afundar. 
Se a força peso for igual a de empuxo
o objeto irá �utuar. 
A Figura 4 apresenta um exemplo da relação das forças peso e empuxo de um cubo de aço
submerso em um recipiente comágua. Nesse caso, a força peso foi maior que a de empuxo,
fazendo com que o objeto afundasse. 
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Figura 4 | Cubo de aço submerso em água. Fonte: Bauer et al. (2012, p. 40). 
Pelo Princípio de Arquimedes, um corpo �utuante desloca seu próprio peso de �uido,
independentemente da quantidade de �uido presente. , como um copo com metade de seu
volume preenchido com água líquida. Ao adicionarmos algumas pedrinhas de gelo (sólido), o
volume de água líquida referente ao volume de gelo é deslocado, aumentando o volume total do
copo. Quando o gelo derreter, o volume total permanecerá o mesmo. 
E como explicar a sensação de estarmos mais leves dentro de uma piscina? O peso aparente!  
O peso aparente
( )
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relaciona o peso real
( )
do corpo com a força de empuxo
( )
atuante quando submerso. Nesse caso, o peso aparente será:
Dessa forma, o peso aparente é descrito pela resultante das forças peso e empuxo que agem
sobre um corpo inserido em um �uido. Por essa razão que quando imerso em �uido, o corpo
parecerá mais leve do que realmente é, devido à força de empuxo que atua sobre ele na direção
vertical, apontando sempre para cima.
Videoaula: Fluidos em repouso
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Olá, Estudante! 
Os conceitos relacionados à Hidrostática são fundamentais para Mecânica dos Fluidos. 
No vídeo da aula falaremos sobre os conceitos e de�nições das Leis da Hidrostática (Lei de
Stevin, Pascal e Princípio de Arquimedes) com exemplos práticos do dia a dia e curiosidades
sobre aplicações. Te espero lá! 
Saiba mais
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Observe a dependência da pressão com a variação da altura do �uido e a independência da
pressão com relação ao formato do recipiente, consultando o capítulo 15 do livro: Física - Vol. 2.  
Bons estudos!  
Referências
https://login.vitalsource.com/?redirect_uri=https%3A%2F%2Fintegrada.minhabiblioteca.com.br%2Freader%2Fbooks%2F978-85-216-1946-8&brand=integrada.minhabiblioteca.com.br
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para Universitários. Porto Alegre: Grupo A, 2012.
ISBN 9788580551600. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551600/. Acesso em: 29 mar. 2023.  
BREITHAUPT, J. Física. 4. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. ISBN 9788521635109. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635109/. Acesso em: 29 mar.
2023.  
DAVID, H.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física - Vol. 2, 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2003. ISBN
978-85-216-1946-8. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-
216-1946-8/. Acesso em: 29 mar. 2023.  
WHITE, F. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2018. ISBN 9788580556070.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/. Acesso em:
29 mar. 2023.  
Aula 3
Fluido em movimento
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551600/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635109/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-1946-8/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-1946-8/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/
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Olá, Estudante!  
Nesta aula discutiremos de�nições fundamentais relacionadas à hidrodinâmica, também
chamada de cinemática dos �uidos, que é um o ramo da mecânica dos �uidos que estuda o
comportamento daqueles que estão em movimento.  
Basicamente, a hidrodinâmica é dividida em duas grandes áreas de estudo: a hidráulica, que 
estuda os líquidos em movimento, e a aerodinâmica, que estuda os gases em movimento. 
Com o foco na hidráulica, teremos como objetivo aqui compreender a cinemática dos �uidos,
considerando o número de Reynolds, tipo de escoamento dos �uidos e análise de linha corrente. 
As aplicações do princípio da hidrodinâmica são extensas. Por exemplo, utilizadas no cálculo das
forças de arrasto e de sustentação em aeronaves, no cálculo da vazão de petróleo em um poço
ou através de gasodutos, na modelagem do escoamento através de um corpo aerodinâmico
(como um automóvel), e assim por diante. 
Vamos juntos compreender esses conceitos tão importantes para análise de �uidos em
movimento? Bons estudos!  
Métodos de análise do escoamento de um �uido
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Para estudar a hidrodinâmica, considerando os conceitos da cinemática dos �uidos, é necessário
compreender como analisar o comportamento do escoamento de um �uido. Para isso, dois
métodos podem ser utilizados: o método de análise lagrangeano e o método de análise
euleriano. Vamos entender cada um deles separadamente.   
Lagrange (1736 – 1813) desenvolveu um método de análise que acompanha a trajetória de uma
única partícula de �uido ao longo do escoamento. A trajetória é de�nida como o lugar
geométrico dos pontos ocupados por uma única partícula em instantes de tempo sucessivos e
as características do escoamento são descritas pela especi�cação dos parâmetros necessários
em função do tempo.  
Esse método apresenta grande di�culdade nas aplicações práticas da mecânica dos �uidos, uma
vez que é impraticável acompanhar todas as partículas de um fluido durante um intervalo de
tempo grande. A exemplo da utilização dessa abordagem, temos o acompanhamento das
partículas de óleo no oceano, no caso de um vazamento ou derramamento de óleo, causando
impacto ambiental devido à contaminação. 
Euler (1707 – 1783) inventou um outro método de análise que estuda as propriedades de um
escoamento de �uido em pontos �xos no espaço em função do tempo que é adotar um intervalo
de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas
que passam por este local. As características do escoamento são descritas pela especi�cação
dos parâmetros necessários em função das coordenadas espaciais, além do tempo. Esse
método é preferencial para estudar o movimento dos fluidos, porque coleta informações sobre o
escoamento por meio de pontos �xos em instantes diferentes, sem se preocupar com o
movimento realizado por partícula. 
Para compreender a aplicação desses métodos, considere uma situação em que há a
necessidade em medir a temperatura dos gases de exaustão de uma chaminé industrial.
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Utilizando o método de Lagrange, um termômetro teria que ser instalado em cada uma das
partículas que saem pela chaminé, e o valor de sua temperatura registrado ao longo de seu
movimento seria algo impensável de se obter.  
Utilizando o método de Euler, um termômetro seria instalado perto da abertura e indicaria a
temperatura de diversas partículas em instantes diferentes, sendo obtida a variação da
temperatura nesse ponto em função de suas coordenadas espaciais e do tempo, podendo ser
instalados vários termômetros em pontos �xos do escoamento que forneceriam o campo de
temperatura. 
Para estudar o escoamento de um �uido, vamos considerar as seguintes classi�cações: quanto à
variação no tempo, espaço, movimento de rotação e variação da trajetória. 
Quanto à classi�cação do escoamento em relação à variação no tempo, são possíveis dois tipos
de escoamento:  
Regime permanente: nesse regime de escoamento, as propriedades do �uido não variam
em relação ao tempo. 
Regime variado: nesse regime, as propriedades do �uido variam em relação ao tempo.   
Assim, considerando como exemplo o estudo de um reservatório, teremos um regime
permanente quando a quantidade de �uido que entra no reservatório for a mesma que sai, ou
seja, o volume de �uido no reservatório permaneça constante. Por outro lado, se a entrada de
�uido no reservatório for interrompida, o volumeirá diminuir, variando com relação ao tempo. 
A classi�cação em relação ao movimento de rotação considera escoamentos irrotacionais, ou
seja, o movimento das partículas em relação ao seu próprio centro de massa pode ser
desprezado, desconsiderando a velocidade angular das partículas em torno do centro de massa.
A classi�cação do escoamento quanto à variação no espaço e à variação da trajetória será
descrita no mais adiante. 
Número de Reynolds e os tipos de escoamentos
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Osborne Reynolds (1842 – 1912) foi um grande cientista britânico que contribuiu em diversas
áreas, como a eletricidade e o magnetismo, além da hidrodinâmica. Em mecânica dos �uidos, é
considerado como pioneiro no estudo sobre os regimes de escoamento.  
Em seus experimentos, utilizando um tubo transparente, Reynolds adaptou uma sonda com
corante para criar um contraste no escoamento do �uido e veri�car o seu comportamento
variando a vazão do �uido.  A vazão
é de�nida pelo volume do �uido que cruza uma determinada seção do escoamento por unidade
de tempo
Uma aplicação prática dessa formulação é o cálculo do tempo de enchimento de um
reservatório, com um volume
a partir de uma vazão especi�cada. 
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Matematicamente, é expressa por: 
No Sistema Internacional, vazão
é dada em metros cúbicos por segundo (
( ),
volume
em metros cúbicos
( )
e o tempo
em segundos
( )
Observe sempre as unidades das grandezas quando realizar os cálculos e, sempre que possível,
utilize as unidades do SI, para garantir que os resultados estejam corretos tanto numericamente
quanto com relação às unidades. 
Outra maneira de calcular a vazão volumétrica consiste em relacionar a velocidade média
em
do escoamento e a área 
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de seção transversal da tubulação, em
Assim:
Na análise dos dados experimentais, Reynolds veri�cou que o contraste de corante apresentava
comportamentos diferentes de acordo com as diferentes características do tubo, do fluido e do
escoamento, como mostra a Figura 1: 
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Figura 1 | Experimento de Reynolds para ilustrar o tipo de escoamento. Fonte: adaptada de Vilanova (2011).  
Para baixas vazões, o escoamento ocorre através de camadas paralelas, chamadas de lâminas,
ou seja, as partículas de �uido seguem linhas de corrente retas e contínuas, bem de�nidas.
Reynolds nomeou esse regime de escoamento laminar (Figura 2). 
Figura 2 | Ilustração de um regime de escoamento laminar. Fonte: adaptada de Vilanova (2011).  
Linhas de corrente são de�nidas como linhas tangentes aos vetores de velocidade, de diferentes
partículas ao mesmo instante. Ou seja, uma linha de corrente num escoamento é a que a
velocidade é tangente em todos os seus pontos (Figura 3). 
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Figura 3 | Exemplo de linha corrente. Fonte: Uribe (2020).
Partindo do escoamento laminar, aumentando um pouco a vazão, Reynolds percebeu que em
alguns pontos o escoamento deixa de seguir uma linha de corrente bem de�nida, passando a ter
uma trajetória irregular (Figura 4), denominando esse comportamento de regime de transição,
pois ele ora é laminar, ora é turbulento.
Figura 4 | Ilustração de um regime de escoamento laminar. Fonte: adaptada de Vilanova (2011).  
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Aumentando ainda mais a vazão, Reynolds notou que o escoamento não ocorria mais em
lâminas, passando a ter uma trajetória não de�nida, chamada de desordenada, caótica (Figura 5).
Esse regime de escoamento foi classi�cado como turbulento. 
Figura 5| Ilustração de um regime de escoamento laminar. Fonte: adaptada de Vilanova (2011).    
Para identi�car o tipo de escoamento presente e de�nir os limites de transição entre os regimes
de escoamento, Reynolds propôs um parâmetro, adimensional, que relaciona a massa especí�ca
(densidade) e a viscosidade dinâmica do �uido
considerando o diâmetro do tubo
e velocidade média do escoamento
Esse parâmetro �cou conhecido como número de Reynolds
em homenagem as descobertas relacionadas ao escoamento dos �uidos. Matematicamente, é
descrito por: 
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Considerando o Sistema Internacional (SI), a unidade da massa especí�ca
é dada em
viscosidade dinâmica do �uido
dada em
o diâmetro do tubo
dado em
e a velocidade média do escoamento
dada em
A �m de de�nir os regimes de escoamento, teremos que: 
Para valores de
o escoamento será laminar. 
Para valores de número de Reynolds entre
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o escoamento será de transição.  
Para valores de
o escoamento será turbulento. 
Assim, o número de Reynolds nada mais é do que uma relação entre as forças de inércia e
viscosa. Quanto maior o seu valor, menor a in�uência da força viscosa no escoamento. 
Classi�cação dos movimentos de �uidos
O escoamento unidimensional (Figura 6) é o tipo mais simples de escoamento quanto à variação
no espaço. Nesse escoamento, uma única coordenada é utilizada para descrever as
propriedades do �uido.
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Figura 6 | Ilustração de um escoamento unidimensional. Fonte: Engenharia & Cia.
Nele, as propriedades variam com relação a uma única coordenada constante em relação à
outras coordenadas, motivo pelo qual esse escoamento é também chamado de escoamento
uniforme na seção. Esse modelo é bastante utilizado em situações em que os valores médios 
das propriedades do �uido são relevantes para a análise do problema, como no cálculo do
número de Reynolds do escoamento, em que precisamos saber qual é a velocidade média do
escoamento. 
Contudo, se a variação da velocidade do �uido for uma função de duas coordenadas x e y, o
escoamento será bidimensional (Figura 7). Finalmente, se a variação da velocidade do �uido for
uma função das três coordenadas x, y e z, o escoamento será tridimensional.
Figura 7| Ilustração de um escoamento bidimensional. Fonte: Engenharia & Cia.
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Assim, ao aumentar o número de dimensões do escoamento, a modelagem desse escoamento
torna-se mais complexa. Dependendo do tipo de solução exigida em um problema proposto, deve
ser escolhido o tipo de escoamento adequado. Por exemplo, para modelar o escoamento em
torno de um per�l aerodinâmico (um automóvel ou uma aeronave) em uma 
simulação em um túnel de vento, pode ser utilizado computacionalmente um escoamento
tridimensional. 
Considerando o escoamento de um �uido através de um tubo ou de um duto, o per�l de
velocidade de escoamento na entrada do sistema é normalmente uniforme. A medida em que o
�uido avança na direção do escoamento, os efeitos da viscosidade são percebidos pela
aderência de uma camada de �uido sobre a parede do tubo, e há o surgimento de tensões de
cisalhamento entre as camadas adjacentes.  
A camada do escoamento que é in�uenciada por esse efeito da viscosidade é chamada de
camada limite. A velocidade da camada aderida à parede do tubo é zero e a velocidade do �uido
cresce no sentido da direção do centro do tubo onde é máxima.  
Com isso, o per�l de velocidade do escoamento apresenta, em um determinado comprimento do
tubo ou duto, um comportamento variável que vai de um per�l uniforme, na entrada, até assumir
um per�l parabólico com um escoamento completamente desenvolvido (Figura 8). A região onde
o per�l de velocidade é variável é chamada de região de entrada.
  Figura 8 | Per�l de velocidade do escoamento na região de entrada e no escoamento completamente desenvolvido. Fonte:
adaptada de Vilanova (2011). 
O comprimento da região de entrada
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depende desse o escoamento é laminar ou turbulento, podendo ser determinado por: 
Escoamento laminar 
Escoamento turbulento: 
Podendo ser classi�cado como interno ou externo, um escoamento será interno quando ocorrer
em um espaçocon�nado, isto é, quando o fluido estiver inteiramente limitado por superfícies
sólidas. É o caso do escoamento em tubulações ou dutos ou através de bombas ou turbinas. 
Por outro lado, o escoamento será externo quando não for con�nado de um fluido sobre uma
superfície. Corpos imersos em um fluido estão sujeitos a esse tipo de escoamento. 
A viscosidade é uma medida da resistência do fluido em se movimentar, relacionando com as 
forças de atrito que impedem diferentes porções dos fluidos de escorregarem entre si
livremente.  
Não existe fluido com viscosidade nula, mas existem situações em que ela pode ser
desconsiderada. Nesse caso, escoamentos viscosos são descritos como aqueles em que os
efeitos da viscosidade são signi�cativos, quando se torna desprezível, é classi�cado como não
viscoso ou invíscido. 
Quanto à compressibilidade ou não, devemos analisar a variação da massa especí�ca do fluido
durante o escoamento. Se ela for desprezível, esse escoamento será incompressível. Contudo,
quando não, o escoamento será denominado compressível. A massa especí�ca dos líquidos é
essencialmente constante, por isso, os líquidos são chamados de substâncias incompressíveis.
Videoaula: Fluido em movimento
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Olá, Estudante! 
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Os conceitos relacionados à hidrodinâmica são importantes para compreendermos as
propriedades na análise do movimento de um �uido. Por isso, assista à  videoaula para discutir
sobre esses conceitos e resolver exercícios relacionados ao tema.
Saiba mais
O número de Reynolds nada mais é do que uma relação entre as forças de inércia e viscosa.
Quanto maior o seu valor, menor a in�uência da força viscosa no escoamento.  
Pesquise mais sobre o número de Reynolds no livro Introdução à mecânica dos �uidos, p. 35-41.
Aproveite e leia todo o capítulo, resolvendo os exemplos e exercícios para aprofundar seu
conhecimento sobre o assunto.  
Bons estudos!
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/
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BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para Universitários. Grupo A, 2012. ISBN
9788580551600. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551600/. Acesso em: 29 mar. 2023.  
BREITHAUPT, J. Física. 4. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. ISBN 9788521635109. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635109/. Acesso em: 29 mar.
2023.  
DAVID, H.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física - Vol. 2. 5. ed.. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2003. ISBN
978-85-216-1946-8. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-
216-1946-8/. Acesso em: 29 mar. 2023.  
ENGENHARIA & CIA. Trajetória e Linha de Corrente – Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais.
Disponível em: https://www.engenhariaecia.eng.br/youtube-mecanica-dos-�uidos/trajetoria-linha-
de-corrente. Acesso em: 16 jun. 2023.   
FOX, Robert W.; et. al. Introdução à Mecânica dos Fluidos 9. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018.
ISBN 9788521635000. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/. Acesso em: 05 abr. 2023.  
URIBE, G. Apertem os cintos… O pitot entupiu!. 2020. Disponível em:
https://www.deviante.com.br/noticias/apertem-os-cintos-o-pitot-entupiu//. Acesso em: 16 jun.
2023.  
VILANOVA, L. C. Mecânica de Fluidos. 3. ed. Santa Maria, RS: Colégio Técnico Industrial de Santa
Maria, Curso em Automação Industrial, 2010. Disponível em:
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/eixo_ctrl_proc_indust/tec_autom_ind/mec_�uido/
161012_mec_�uidos.pdf. Acesso em: 04 abr. 2023.  
WHITE, F. M. Mecânica dos �uidos. Grupo A, 2018. ISBN 9788580556070. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/. Acesso em: 29 mar. 2023.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551600/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635109/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-1946-8/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-1946-8/
https://www.engenhariaecia.eng.br/youtube-mecanica-dos-fluidos/trajetoria-linha-de-corrente
https://www.engenhariaecia.eng.br/youtube-mecanica-dos-fluidos/trajetoria-linha-de-corrente
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/
https://www.deviante.com.br/noticias/apertem-os-cintos-o-pitot-entupiu
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/eixo_ctrl_proc_indust/tec_autom_ind/mec_fluido/161012_mec_fluidos.pdf
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/eixo_ctrl_proc_indust/tec_autom_ind/mec_fluido/161012_mec_fluidos.pdf
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/
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Aula 4
Princípios de conservação
Introdução
Olá, Estudante! 
Nesta aula, abordaremos os conceitos de conservação de massa e de energia e como é descrita
na hidrodinâmica, avaliando o comportamento do movimento de um �uido e, consequentemente,
o tipo de escoamento que apresenta. Para isso, temos como objetivo, de�nir a equação da
continuidade e a equação de Bernoulli, compreendendo as temáticas e aplicações práticas. 
As aplicações dos princípios de conservação de mecânica dos �uidos são extensas. Por
exemplo, em tubulações, em projetos de asas de uma aeronave, no funcionamento de
vaporizadores, em medidores de velocidade de um �uido, entre outros tantos casos. 
Vamos juntos compreender a teoria, desenvolvimento matemático e aplicações desses
conceitos? Bons estudos!
Equação da continuidade
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A vazão pode ser de�nida como a quantidade volumétrica ou mássica de um �uido que escoa
através de uma seção de uma tubulação ou canal por unidade de tempo. Nesse caso, chamamos
de vazão volumétrica
a vazão de�nida pelo volume
do �uido que cruza uma determinada seção do escoamento por unidade de tempo
Outra maneira de calcular a vazão volumétrica é considerando a velocidade média
do escoamento de um �uido que cruza a área da seção transversal
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de uma tubulação. 
Já a vazão mássica
descreve a quantidade de massa de um �uido que passa por uma extremidade em um
determinado tempo. Ela é expressa pela multiplicação da vazão volumétrica
pela massa especí�ca
do �uido. Matematicamente, teremos: 
Considerando às formas pelas quais podemos descrever à vazão volumétrica
teremos a vazão mássica
de�nida em relação ao volume
do �uido e o tempo
por: 
Considerando, então, a velocidade do �uido
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e a área da seção transversal
da tubulação:
Em ambos os casos, a unidade no Sistema Internacional (SI) para vazão mássica é quilograma
por segundo 
( ).
Durante o escoamento, a massa do �uido não varia, ou seja, ela é conservada. Em Mecânica dos
Fluidos há uma importante equação que descreve essa conservação de massa através da vazão
mássica. Dessa forma, considerando as vazões mássicas de entrada
e de saída
em um escoamento em regime permanente, ou seja, em que não exista variação das
propriedades em relação ao tempo, teremos: 
Em termos de vazão volumétrica, essa igualdade leva em consideração à massa especí�ca
Como a vazão volumétrica pode ser descrita pela velocidade do �uido
e a área da seção transversal
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da tubulação, teremos: 
Para um �uido incompressível, massa especí�ca não varia. Assim: 
Essa equação é conhecida como equação da continuidade para um �uido incompressível. Como
exemplo, imagine que água escoe em regime permanente na tubulação com uma contração,
ilustrada na Figura 1, e calcule a velocidade média na seção (2). Para isso, vamos considerar
, , e 
Figura 1 | Tubulação com uma região de contração. Fonte: Brunetti (2008, p. 79). 
Paradeterminar a velocidade média na seção (2), vamos aplicar o princípio da continuidade: 
Nesse caso, segundo a Figura 1, a região de entrada do �uido é dada pela seção (1) e a região de
saída, pela seção (2). Assim: 
Aplicando os dados, a velocidade média na seção (2) é dada por: 
Para entender melhor esse conceito de equação da continuidade, vamos considerar um tubo de
escoamento delimitado por duas seções retas estacionárias
 
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 e 
conforme Figura 2.  
Nessas seções, as velocidades do �uido são, respectivamente,
 e 
Nenhum �uido pode escoar pelas paredes laterais do tudo porque a velocidade do �uido é
tangente à parede em cada um de seus pontos. Durante um pequeno intervalo de tempo
o �uido de volume
, em escoa a uma distância 
para o interior do tubo e, durante esse mesmo intervalo de tempo, o �uido de volume
, em 
escoa para fora do tubo.  
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Figura 2 | Tubo de escoamento com seção reta variável. Fonte: Sears e Zemansk (2008, p. 83). 
Considerando um �uido incompressível, a densidade
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possui o mesmo valor em todos os pontos do �uido. E ainda, a massa
que �ui para o interior do tubo através da área
no tempo
 é dada por 
Analogamente, a massa
que �ui para fora do tubo através da área
no mesmo tempo é dada por
No escoamento estacionário, a massa total no tubo permanece constante, logo: 
Para manter a igualdade, se houver redução de área da tubulação, deverá ocorrer um aumento da
velocidade do �uido. Por outro lado, se houver um aumento na área da tubulação, a velocidade
será reduzida. 
Já para o caso do escoamento de um �uido que não seja incompressível, devemos considerar as
densidades
 e 
 
 
 
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nas seções 1 e 2, respectivamente. Assim, a equação da continuidade para um �uido
compressível será dada por: 
Se o �uido for mais denso no ponto 2 do que no ponto 1
( )
a vazão volumétrica no ponto 2 será menor do que no ponto 1
( )
Equação de Bernoulli
De acordo com a equação da continuidade, a velocidade de escoamento de um �uido pode variar
com as trajetórias dele. Contudo, a pressão do �uido também pode variar, dependendo da altura
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e da velocidade do escoamento, mas a equação da continuidade não leva em consideração à
variação da pressão. 
Podemos, então, deduzir uma relação importante entre a pressão, velocidade e a altura no
escoamento de um �uido ideal, denominada equação de Bernoulli. Essa equação é uma
ferramenta essencial para analisar escoamentos em sistemas de encanamentos, usinas
hidrelétricas e nos voos de aeronaves. 
Para deduzir a equação de Bernoulli, podemos aplicar o teorema do trabalho-energia ao �uido em
uma seção do tubo de escoamento, ou seja, analisar a energia mecânica e sua conservação de
um �uido, considerando seu escoamento. 
Para isso, algumas hipóteses simpli�cadoras são necessárias: 
Escoamento em regime permanente, tem suas as propriedades constantes em relação ao
tempo. 
Propriedades uniformes na seção,  não variam ponto a ponto na área da seção. 
Fluido ideal, ou seja, o escoamento ocorre sem perdas por atrito com a parede da
tubulação. 
Fluido incompressível, aquele que não há variação de massa especí�ca. 
Energia térmica desprezível, quando não há trocas de calor.  
Não há máquinas hidráulicas instaladas no trecho em estudo. 
Para obter a equação de Bernoulli a partir da conservação da energia mecânica, consideremos
um desenho esquemático de um tubo, de seções (1) e (2), apresentado na Figura 3.  
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Figura 3| Desenho esquemático de um tubo, com seções (1) e (2). Fonte: elaborada pela autora. 
Analisando a Figura 3, aplicando a conservação da energia mecânica, temos que a energia
mecânica na seção 1
( )
é igual à energia mecânica na seção 2
( )
Assim: 
Na Mecânica Newtoniana, energia mecânica é descrita pela soma da energia potencial
cinética
 e trabalho 
Considerando cada uma delas: 
A energia potencial gravitacional
é de�nida pelo estado de energia em que um sistema se encontra, devido à posição em relação a
um campo gravitacional e em relação a uma referência adotada. Sendo
a altura do sistema em relação à superfície de referência, a energia potencial gravitacional é dada
por
Sua variação entre os pontos A e B é representada por
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A energia cinética
representa o trabalho realizado por uma força quando um corpo está em movimento ao longo de
uma trajetória. Ela depende da massa do corpo 
e da velocidade desse corpo
, por 
O trabalho
é representado por uma energia de pressão que corresponde ao potencial de realização de
trabalho das forças de pressão que atuam em um escoamento �uido, dado por
sendo
a pressão do �uido e
seu volume.  
Assim, a energia mecânica total de um escoamento �uido é a soma de todas as energias
associadas ao movimento do �uido. Matematicamente, temos: 
  
 
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No Sistema Internacional (SI), energia é dada em Joule (J). Em unidades fundamentais, é
descrita por
Nesse caso,
Retomando a análise da Figura 3, em que
teremos: 
Dividindo ambos os lados da equação pela massa
termos: 
Essa equação é conhecida como equação de Bernoulli. 
Uma aplicação clássica da equação de Bernoulli é o cálculo da velocidade do jato que sai de um
orifício em um tanque de grandes dimensões, ilustrado na Figura 4:  
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Figura 4 | Desenho esquemático do exemplo proposto. Fonte: elaborada pela autora. 
Considerando em �uido ideal e que a altura
do nível do reservatório seja constante. E, ainda, a pressão nos pontos (1) e (2) seja a pressão
atmosférica, teremos: 
Uma vez que
, 
(nível do reservatório constante)
, e  
teremos a equação de Bernoulli reduzida a: 
Isolando
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a velocidade do jato será: 
E, por �m, dividindo a equação de Bernoulli pela aceleração da gravidade
teremos:
Sendo
o peso especí�co do �uido, nessa equação, os termos expressam um tipo de energia de uma
partícula de peso unitário, ou seja, energia por unidade de peso. Essa de�nição dá origem ao
termo “carga”, portanto, temos uma carga potencial, uma carga cinética e uma carga de pressão.
Equação de Bernoulli na resolução de exercícios
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A equação de Bernoulli é utilizada para analisar a conservação de energia no movimento de
�uidos. Ela pode ser aplicada em casos de escoamento estacionário de um �uido incompressível
sem viscosidade, tendo sido deduzida a partir do teorema trabalho-energia, descrita pelas
energias potencial gravitacional, cinética e energia de pressão que compõe o sistema. 
Para resolver problemas que envolvam os conceitos da equação de Bernoulli, sempre comece
identi�cando claramente os pontos 1 e 2 que serão avaliados. Feito isso, de�na o sistema de
coordenadas, principalmente o ponto em que
Por �m, faça uma lista das grandezas necessárias e as que o exercício forneceu os valores, para
facilitar a identi�cação do que precisa ser calculado. Vejamos um exemplo simples. 
Um grande reservatório de água tem um pequeno furo 1,8m abaixo do nível da água (Figura 5).
Qual será a velocidade com a qual a água escapará na horizontal por meio do furo? 
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Figura 5| Reservatório com furo. Fonte: elaborada pela autora. 
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Para resolver esse exercício, apesar da única informação dada no enunciado ser a altura entre o
nível da água no reservatório e o furo, podemos aplicar equação de Bernoulli. Para isso, sabemos
que:
Resolvendo a integral de volume: 
Dividindo ambos os lados pelo volume
teremos a equação de Bernoulli dada por:
No exemplo, a altura
é representadapor
Assim: 
Ambos os pontos são submetidos à pressão atmosférica
Como o �uido é água, sua densidade é dada por
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Com relação à altura, se de�nirmos
, então 
Já com relação à velocidade, queremos obter seu valor no ponto 1, mas no ponto 2 ela não é
fornecida; contudo, sabemos que o reservatório é grande e o furo é pequeno.  
Faremos, então, uma aproximação, supondo que
e, com isso, é possível dizer que o reservatório é tão grande que a redução em seu nível ocorre
muito vagarosamente. 
Assim, substituindo as informações na equação de Bernoulli, teremos: 
Como aplicação da equação de Bernoulli, podemos calcular a pressão de água em uma casa.
Vamos considerar que a água entra em uma casa através de um tubo, com diâmetro de
e pressão absoluta de
 (cerca de )
Um tubo, com diâmetro interno de
conduz a água ao banheiro do segundo andar a
 
 
 
 
 
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de altura. Sabendo que no tubo de entrada a velocidade da água é de 
qual deve ser a velocidade do escoamento e a pressão no banheiro? 
Para resolver esse exercício, vamos considerar que a água escoe a uma taxa constante. E como
o tubo apresenta diâmetro relativamente grande, é razoável desprezar o atrito interno. O �uido
que estamos analisando, água, é bastante incompressível, então podemos utilizar a equação de
Bernoulli.  
Para identi�carmos os pontos, eles devem ser colocados no tubo de entrada (ponto 1) e no
banheiro (ponto 2). O problema fornece a velocidade
 e a pressão
no tubo de entrada, e os diâmetros nos pontos 1 e 2, que podemos calcular às áreas
 e 
respectivamente. E, por �m, tomamos a entrada como
e no banheiro
Para encontrarmos a velocidade do escoamento
( )
que é a velocidade no banheiro, podemos utilizar a equação da continuidade: 
E, para encontrar o valor da pressão no banheiro
 
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podemos aplicar a equação de Bernoulli: 
As aplicações para a equação de Bernoulli são imensas. Dentre elas, podemos citar: 
Em aviões: A asa de um avião é mais curva na parte de cima, fazendo com que o ar passe
mais rápido na parte de cima do que na de baixo. De acordo com a equação de Bernoulli, a
pressão do ar em cima da asa será menor do que na parte de baixo, criando uma força de
empuxo que sustenta o avião no ar. 
Em vaporizadores: Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado paralelamente ao
extremo de um tubo que está imerso em um líquido. A pressão nesse ponto diminui, e a
diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra o �uido para cima. O ar rápido
também divide o �uido em pequenas gotas, que são empurradas para frente. 
Em medidores de velocidade de um �uido: São conhecidos como medidores de Venturi,
utilizado para medir a velocidade do escoamento e a vazão de um líquido incompressível
através da variação da pressão durante a passagem deste líquido por um tubo de seção
mais larga e depois por outro de seção mais estreita. 
Videoaula: Princípios de conservação
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Olá, estudante!  
No vídeo serão apresentadas aplicações considerando princípios de conservação em �uidos,
avaliando situações e resolvendo exercícios práticos.  
 
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Bons estudos!  
Saiba mais
Nas condições de �uxo laminar (tranquilo, na ausência de turbulência), não 
viscoso e incompressível (qualquer elemento do �uido sempre mantém seu volume constante),
podemos utilizar a equação da continuidade e a equação de Bernoulli para analisar o
comportamento do �uido ao longo de um caminho no qual ocorrem alterações de pressão,
altura, área do condutor e velocidade. Elas são, respectivamente: 
Veja mais sobre esse assunto no capítulo 15 do livro Princípios de Física vol. 2. Aproveite e faça
os experimentos e exercícios propostos para aprofundar seu conhecimento na área.
Referências
 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116874/
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BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para Universitários. Grupo A, 2012. ISBN
9788580551600. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551600/. Acesso em: 11 de abr.
2023.  
BREITHAUPT, J. Física. 4. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. ISBN 9788521635109. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635109/. Acesso em: 11 de abr.
2023. 
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fuidos. 2. Ed. São Paulo: Pearson, 2008. Disponível em:
https://www.academia.edu/48911792/Mecanica_dos_Fluidos_2a_Edi%C3%A7%C3%A3o_Franco_
Brunetti. Acesos em 16 jun. 2023.   
DAVID, H.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física - Vol. 2. 5. ed.. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2003. ISBN
978-85-216-1946-8. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-
216-1946-8/. Acesso em: 11 de abr. 2023.  
FOX, R. W.; et al. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018.
ISBN 9788521635000. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/. Acesso em: 11 abr. 2023.  
SERWAY, R. A.; JR., J. W. J. Princípios de Física vol. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2014.
ISBN 9788522116874. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116874/. Acesso em: 11 abr. 2023.
Aula 5
Revisão da unidade
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Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Revisão de mecânica dos �uidos
Olá, estudante! Chegamos ao �m dessa unidade em que vimos os conceitos relacionados à
Mecânica dos Fluidos e suas aplicações, a qual tivemos como objetivo compreender o
comportamento do �uido quando em repouso ou em movimento. 
Na física, de�nimos matéria por aquilo que possui massa e ocupa um determinado lugar no
espaço e os estados da matéria mais conhecidos são sólido, líquido e gasoso. Cada um deles
apresenta diferentes estados de organização e livre movimentação entre os seus constituintes
básicos (átomos ou moléculas). 
Por de�nição, �uido é descrito como uma substância capaz de escoar e que não possui forma
própria, adquirindo o formato do recipiente que a envolve. Por essa razão, tanto líquidos quanto
gases são �uidos. 
Os �uidos são caracterizados de acordo com as propriedades que apresentam, pois elas são
importantes para descrever o seu comportamento quando estão em repouso (hidrostática) ou
em movimento (hidrodinâmica). Dentre elas, as propriedades mais importantes para os �uidos
são densidade e pressão. 
A densidade
( )
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
também conhecida como massa especí�ca, é uma propriedade intrínseca de�nida como massa
( )
por unidade de volume
( )
Ou seja, quanto de massa de uma substância ocupa um determinado volume. Matematicamente,
descrevemos densidade por: 
Sua unidade no Sistema Internacional (SI) é quilograma por metro cúbico
( )
Já a pressão é de�nida pela força aplicada sobre uma superfície. Ou seja, se
é o módulo da força exercida por um �uido sobre uma superfície de área
a pressão
é de�nida por:
A unidade no SI para a pressão é Newton por metro quadrado
( )
também chamada de Pascal (Pa), em que
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Energia
Existe outra unidade relevante para pressão, conhecida como atm, que equivale à pressãoserá direcionada
às oscilações mecânicas, obedientes a 2ª lei de Newton. O movimento harmônico simples (MHS)
pode ser de�nido como um movimento que descreve a projeção ortogonal do movimento circular
uniforme (MCU) sobre uma reta qualquer. Também pode ser de�nido considerando a perspectiva
da dinâmica, como um movimento de um sistema que está sujeito a uma força restauradora que
varia linearmente com o deslocamento a partir da posição de equilíbrio. 
Tenha uma ótima leitura! 
Oscilações harmônicas
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
No movimento harmônico, um corpo ao ser perturbado tende a recuperar sua posição de
equilíbrio por meio de uma força proporcional à perturbação (força restauradora), desenvolvendo
como consequência uma oscilação periódica em torno de uma posição de equilíbrio. Todavia, em
sistemas com a presença constante de atrito, os corpos perdem energia e oscilam entre
posições limites cada vez menores até cessar o movimento.  
O movimento harmônico simples pode ser estudado tanto como um movimento que descreve a
projeção ortogonal do movimento circular sobre uma reta, quanto pela perspectiva da dinâmica,
utilizando a Segunda Lei de Newton em combinação com a Lei de Hooke. Esses fundamentos
dão origem a uma equação diferencial de movimento de segunda ordem, que possuem como
solução uma função seno ou cosseno. Todos os Movimentos Harmônicos Simples são
oscilatórios e, também, periódicos, mas nem todos os movimentos oscilatórios são MHS
(TIPLER, 2014).  
Qualquer movimento oscilatório que não seja harmônico simples pode ser expresso como uma
superposição de vários movimentos harmônicos de diferentes frequências. A superposição de
oscilações e ondas é tão real e importante que é elevada ao nível de um princípio (chamado de
princípio da superposição) e desempenha um papel muito importante no estudo da interferência,
difração de ondas mecânicas e eletromagnéticas (TIPLER, 2014).  
Para facilitar seu entendimento sobre a relação entre o movimento circular e o movimento
oscilatório, observe a Figura 1. 
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Energia
Figura 1 | Sistema massa mola. Fonte: elaborada pelo autor. 
Uma característica do movimento oscilatório é a sua repetitividade, ou seja, ocorre em intervalos
regulares e sucessivos, portanto, é classi�cado como movimento periódico, o qual pode ser
descrito matematicamente através de funções trigonométricas, denominadas como funções
harmônicas de seno e cosseno.  
Um parâmetro importante do movimento oscilatório é o período T, que se trata do intervalo de
tempo necessário para o movimento completar um ciclo ou uma oscilação. Essa grandeza
possui unidade de tempo e é expressa em
no Sistema Internacional. Associada ao período está a frequência, simbolizada por
que retrata a quantidade de oscilações ou ciclos completos por unidade de tempo e, no Sistema
internacional, é dada em Hz (TIPLER, 2014).   
Energias do Movimento Harmônico Simples 
A energia mecânica total de um sistema oscilante ideal, sem a presença de forças dissipativas
como o atrito, é conservada e mantida constante durante todo o movimento. Assim, a soma da
energia potencial com a energia cinética em qualquer ponto da trajetória e, em qualquer instante,
deve ter módulo constante, ao que se escreve: 
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Energia
Na amplitude máxima de oscilação de um corpo em MHS, há a inversão do sentido da trajetória
e, para tal, a velocidade e a energia cinética da massa oscilante é nula. Todavia, nesse mesmo
ponto, há uma energia potencial acumulada responsável por recolocar a massa em movimento, a
qual se apresenta a partir de uma força restauradora advinda, no caso do sistema massa-mola,
da força elástica da mola (energia potencial elástica) e, no caso do pêndulo simples, da força
peso (energia potencial gravitacional). Observe a Tabela 1. 
Tabela 1 | Amplitude máxima de oscilação. Fonte: elaborada pelo autor. 
x = ± A
 
θ = ± θo
Ec = 0
ETotal = Ep
Epmax
Quando o corpo, então, passa a utilizar a energia potencial para retornar ao ponto de equilíbrio,
ele ganha velocidade transformando energia potencial em energia cinética, que atinge seu valor
máximo exatamente no ponto de equilíbrio quando a energia potencial é totalmente consumida
(TIPLER, 2014). Observe a tabela 2. 
Tabela  2 | Ponto de equilíbrio. Fonte: elaborada pelo autor.
x = 0
 
θ = 0
Ec max
ETotal = Ec
Ep = 0
Note, todavia, que o corpo não para no ponto de equilíbrio, pois a energia cinética armazenada
(inércia), traduzida em velocidade, é su�ciente para ultrapassar esse ponto e continuar o
movimento. Assim, a energia do corpo oscilante é transformada repetidamente de energia
potencial para energia cinética e vice e versa, enquanto a soma das duas, a energia mecânica
permanece constante (TIPLER, 2014).  
As relações de energia de um corpo oscilando em movimento harmônico simples podem ser
traduzidas através da Figura 2, na qual se observa que a energia cinética e a energia potencial
são sempre complementares de forma a somarem um valor numérico constante igual à energia
mecânica total do sistema. 
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Figura 2 | Comparação entre as curvas de energia em função do tempo e posição. Fonte: elaborada pelo autor. 
As condições de contorno para o ponto de equilíbrio e para os pontos extremos, que
proporcionam os grá�cos da Figura 2, são importantes para a resolução de problemas práticos.
Modelagem matemática do movimento oscilatório
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Um aparato típico de oscilador MHS é constituído de um corpo, de massa , que se encontra em
repouso sobre uma superfície horizontal plana com atrito desprezível, e que está preso por uma
mola, de massa desprezível, a uma parede. O ponto de equilíbrio do sistema é a condição na qual
a mola se encontra com seu comprimento natural, ou seja, sem deformação. A deformação da
mola tem seu valor máximo, quando a amplitude do movimento é máxima. Ao se deformar, a
mola exerce no corpo uma força variável, denominada força elástica (força de mola),
proporcional a sua deformação, que busca ou tende a restaurar seu comprimento original. A essa
força, que age sempre no sentido contrário ao deslocamento, atribui-se a designação de força
restauradora.  
Para deformações dentro do regime elástico do material, a força restauradora pode ser calculada
pela Lei de Hooke
Pelo Sistema Internacional, a força restauradora ou força elástica ( .) possui unidade 
(Newton), o deslocamento ou deformação da mola �  em (metro) e a constante elástica da
mola K, em / . Considere o sistema massa-mola em repouso sobre uma superfície sem atrito,
ilustrado na Figura 3. A ação de uma força externa horizontal ., orientada para a direita,
desloca a massa até uma distância + , alongando a mola que passa a apresentar uma
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deformação . Então, a força externa é retirada e o sistema é liberado, passando a oscilar para
frente e para trás como resultado de uma força restauradora, a força elástica (TIPLER, 2014).
Figura 3 | Oscilador MHS sem atrito com a superfície. A partir de uma interferência externa, o conjunto é colocado a oscilar
desenvolvendo um movimento harmônico. Fonte: elaborada pelo autor. 
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Aplicando a 2ª Lei de Newton ao bloco de massa , imediatamente após a . ser retirada, tem-
se: 
Observe que se a força necessária para deformar uma mola é variável e aumenta com a sua
deformação, a força resultante de restauração que a mola exerce sobre o corpo de massa 
também não poderá ser constante. Por de�nição, a aceleração pode ser descrita como a taxa de
variação dupla do espaço em relação ao tempo (RAO, 2011): 
Assim: 
No sistema harmônico oscilatório estudado, a frequência pode ser entendida como a frequência
angular da oscilação ou, simplesmente, velocidade angular. Note que a unidade radiano
representa a razão entre o tamanho de um arco e o tamanho do raioexercida pela atmosfera sobre os objetos que se encontram ao nível do mar. Assim: 
Para o estudo da hidrostática, torna-se necessário a aplicação dos conceitos de pressão e
densidade e a relação deles entre si, considerando a profundidade ou altitude do �uido estudado.
Essa relação é expressa por leis matemáticas, como a lei de Stevin, Pascal e o Princípio de
Arquimedes. 
A Lei de Stevin a�rma que a pressão em um �uido em equilíbrio, com densidade constante, varia
linearmente com a profundidade, independente do formato do recipiente. Matematicamente, é
descrita por: 
Onde
é a pressão �nal, a uma profundidade
, 
a pressão inicial
a densidade do �uido e
a aceleração da gravidade.   
A lei de Pascal veri�ca que qualquer variação de pressão atuando sobre algum ponto do �uido
será transmitida igualmente para todos seus pontos e para as paredes do recipiente que o
contém. Matematicamente, ele é expresso por: 
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Uma das aplicações mais importantes dessa lei consiste em descrever o princípio de
funcionamento de um elevador hidráulico que permite levantar objetos de elevada massa usando
forças reduzidas. 
Já o Princípio de Arquimedes a�rma que quando um corpo está parcial ou completamente
imerso em um �uido, este exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima
chamada de empuxo, igual ao peso do volume do �uido deslocado pelo corpo
Matematicamente, o empuxo
é dada por:
Em que
 e 
são, respectivamente, a densidade e o volume do �uido. 
Para o estudo da hidrodinâmica é necessário compreender o comportamento do escoamento de
um �uido, podendo ser laminar, transiente ou turbulento. Sua identi�cação depende do valor do
número de Reynolds
dado por:
Esse parâmetro relaciona a massa especí�ca
(densidade) e a viscosidade dinâmica do �uido
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considerando o diâmetro do tubo
e velocidade média do escoamento
No Sistema Internacional (SI), a unidade da massa especí�ca
é dada em
viscosidade dinâmica do �uido
dada em
o diâmetro do tubo
 dado em 
e a velocidade média do escoamento
 dada em 
A �m de de�nir os regimes de escoamento, teremos que: 
Para valores de
o escoamento será laminar. 
Para valores de número de Reynolds entre
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o escoamento será de transição.  
Para valores de
escoamento será turbulento. 
E, por �m, para análise do comportamento dos �uidos é importante avaliar os princípios de
conservação de massa, pela equação da continuidade, e de energia, pela equação de Bernoulli. 
A equação da continuidade relaciona a velocidade de escoamento laminar de um �uido (em que
a velocidade do �uido em qualquer ponto �xo não muda com o tempo) com a área disponível
para o seu �uir. Matematicamente, para um �uido incompressível ela é dada por: 
Em que a velocidade do �uido é dada por
e a área da seção transversal da tubulação descrita por
A equação de Bernoulli descreve o comportamento de um �uido que se move ao longo de um
tubo ou conduto, considerando as energias envolvidas no processo. Matematicamente, é
descrita por: 
De outra forma,
Assim, podemos dizer que a análise da equação de Bernoulli descreve o comportamento de um
�uido que se move ao longo de uma linha de corrente e traduz para os �uidos o princípio da
conservação da energia. 
Videoaula: Revisão da unidade
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Olá, estudante! 
Vamos assistir ao vídeo e revisar os conceitos discutidos nesta unidade. 
Estudo de caso
Nosso estudo de caso consiste na análise de uma tubulação industrial. Para isso, considere um
engenheiro que trabalha em uma indústria que contém grandes tubulações de água, usada para
resfriar um tanque que ocorrem reações exotérmicas (em que há liberação de calor). Em
determinado ponto, a tubulação se eleva em
como mostra a Figura 1. Existem sensores de pressão na tubulação em ambas as alturas que
indicam um mesmo valor na leitura. 
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Figura 1 | Tubulação industrial. Fonte: elaborada pela autora. 
Foi solicitado ao engenheiro que forneça o valor da velocidade da água no nível mais alto,
sabendo que ela entra no nível mais baixo com velocidade 5 m/s. Qual ferramenta podemos
utilizar para resolver esse problema e qual a velocidade da água no nível mais alto
( )?
Em um segundo momento, foi solicitado ao engenheiro que obtivesse o tipo de escoamento do
�uido na tubulação, nos pontos 1 e 2. Alguns dados foram fornecidos, dentre eles, o diâmetro da
tubulação que é de 200 mm por onde a água escoa a
em regime permanente e a viscosidade dinâmica da água, nessa temperatura, é de
Como podemos resolver esse problema? 
Re�ita
No estudo de caso proposto, em um primeiro momento, estamos veri�cando a velocidade do
�uido no ponto mais alto da tubulação.  
Contudo, como poderíamos modi�car a velocidade da água no ponto 2, para maior ou menor do
que a encontrada, sem alterar a pressão e a altura da tubulação estudada?
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Para a resolução do problema proposto, temos que considerar a água como um �uido
aproximadamente incompressível e com baixa viscosidade. Por essa razão, a equação de
Bernoulli pode ser utilizada, permitindo relacionar as grandezas pressão, altura e velocidade de
um �uido. 
Pela equação de Bernoulli, temos que: 
Não sabemos o valor da pressão lida pelo engenheiro, mas sabemos que o valor da pressão nos
pontos 1 e 2 são idênticos, então, dizemos que
Considerando como referência de Altura a tubulação inferior (altura zero) e com a inserção da
velocidade conhecida na equação de Bernoulli, podemos encontrar a velocidade no ponto mais
alto
( ).
Para isso, lembremos que a água possui densidade de
e, para facilitar os cálculos, podemos considerar a aceleração da gravidade
Assim:
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Realizando os cálculos e isolando
teremos que:
É importante ressaltar que, se a velocidade obtida for diferente da pretendida, é possível
modi�cá-la alterando a área da tubulação. Pela equação da continuidade, temos que:
Assim, caso seja necessário aumentar a velocidade da água no ponto 2, a área da tubulação
nesse ponto deve ser reduzida. Agora, se necessário diminuir a velocidade nesse ponto, a área da
tubulação deve ser aumentada. 
Para analisar o tipo de escoamento que a água apresenta nos pontos 1 e 2, precisamos veri�car
o número de Reynolds, lembrando que: 
De modo que: 
Para valores de
o escoamento será laminar. 
Para valores de número de Reynolds entre
o escoamento será de transição.  
Para valores de
o escoamento será turbulento. 
Assim, no ponto 1, com velocidade de escoamento de 5 m/s, teremos:
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Como
teremos escoamento laminar. 
Para o ponto 2, com velocidade de escoamento de 1 m/s, teremos: 
Como
teremos escoamento laminar.
Resumo visual
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Referências
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
CHANG, R.; GOLDSBY, K. A. Química. Grupo A, 2013. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552560/. Acesso em: 14 abr. 2023.  
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física - Vol. 2 - Gravitação, Ondas e
Termodinâmica, 10. ed. Grupo GEN, 2016. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/. Acesso em: 14 abr. 2023.  
KNIGHT, R. D. Física uma abordagem estratégica: termodinâmica óptica. v.2.Grupo A, 2009. E-
book. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577805389/.
Acesso em: 14 abr. 2023.  
SERWAY, R. A.; JR., J. W J. Princípios de Física vol. 2. Cengage Learning Brasil, 2014. E-book.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116874/. Acesso em:
14 abr. 2023.  
Young, H. D. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. E-book.
Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0. Acesso em: 14
abr. 2023.
,
Unidade 4
Temperatura e Calor
Aula 1
Temperatura
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552560/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577805389/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116874/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0
Disciplina
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Olá, estudante! Nesta aula, você verá um dos conceitos fundamentais da termodinâmica: a Lei
Zero. Esta lei estabelece que, quando dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro
corpo, eles também estão em equilíbrio térmico entre si. É um conceito simples, mas com muitas
aplicações importantes, como a de�nição das escalas usuais de temperatura, como Celsius e
Fahrenheit. 
Ao longo dos nossos estudos, você entenderá a importância da Lei Zero e a sua relação com
outros conceitos, como temperatura e pressão. Além disso, vai contribuir para o seu aprendizado
em relação aos princípios básicos da termometria, e como eles se aplicam na vida cotidiana e na
prática pro�ssional. 
Lembre-se, que a termodinâmica é um dos pilares da física e um conhecimento sólido deste
assunto é fundamental para diversas áreas de atuação, desde engenharia e física até biologia e
química.  
Então, vamos começar?
Fundamentos da termodinâmica: temperatura, pressão e escalas de
temperaturas
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A temperatura é um dos conceitos centrais da termodinâmica. Desde a infância, conhecemos a
importância de tomar cuidado com objetos quentes e a necessidade de manter alimentos na
geladeira, além disso, entendemos que devemos controlar a temperatura dentro de casa e nos
proteger do frio e do calor excessivos. 
Ambos os autores Hewitt (2008) e Halliday (2016) concordam que a temperatura é uma grandeza
termodinâmica que quanti�ca o quão quente ou frio está um objeto em relação a algum padrão
escolhido. Ela também está relacionada com a energia cinética das moléculas de uma
substância, onde uma temperatura mais elevada indica que as moléculas estão se movendo
mais rapidamente com energia cinética maior. 
Ela pode ser medida em diferentes escalas, como a Celsius, a Fahrenheit e a Kelvin, conforme
apresentado na Figura 1. A escala Celsius é a mais utilizada no dia a dia, baseada na temperatura
de fusão do gelo
e na temperatura de ebulição da água
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Já a escala Fahrenheit foi proposta pelo físico alemão Daniel Gabriel Fahrenheit é mais usada
nos Estados Unidos, baseada na temperatura de fusão do gelo 
Por �m, a escala termodinâmica de temperatura no Sistema Internacional (SI) é a escala Kelvin,
onde a menor temperatura é o zero absoluto corresponde a
que representa a ausência completa de energia térmica. 
Figura 1 | Escalas usuais de temperatura. Fonte: adaptada de Concursos no Brasil. 
A pressão é outra grandeza física relacionada aos fenômenos térmicos. Ela é de�nida como a
força exercida por unidade de área e pode ser medida em diferentes unidades, como atmosferas,
pascal, entre outras. A pressão está relacionada a variação de temperatura e o volume do
sistema, o que pode levar a mudanças de estado físico, como a evaporação ou a condensação
de um líquido. A unidade de pressão é de�nida força por unidade área, ou seja, newtons por
metro quadrado
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( )
conhecida como Pascal (Pa), pelo fato de ser uma unidade muito pequena para quanti�car as
pressões, outras unidades são utilizadas com frequência como Bar (bar) e Atmosferas (atm),
etc. 
Agora, vamos falar sobre a lei zero da termodinâmica.  que estabelece
“se dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro, então eles também
estão em equilíbrio térmico entre si” (TIPLER, 2009, p. 572). 
 Em outras palavras, observando a Figura 2, se um objeto A está em equilíbrio térmico com um
objeto B e um objeto C está em equilíbrio térmico com o objeto B, então os objetos A e C também
estarão em equilíbrio térmico. Essa lei é fundamental para a compreensão dos conceitos de
temperatura e equilíbrio térmico. 
Figura 2 | Equilíbrio térmico entre objetos. Fonte: elaborada pelo autor. 
É importante destacar que os conceitos apresentados nesta aula não são recentes. Na verdade,
eles remontam a muitos séculos atrás. O estudo da temperatura, por exemplo, já era realizado
pelos antigos gregos que usavam termômetros de água para medir a temperatura corporal.  
Já a pressão foi estudada por muitos físicos ao longo da história, como o italiano Evangelista
Torricelli, que inventou o primeiro barômetro em 1643. Por �m, a lei zero da termodinâmica foi
recentemente formulada na década de 1930 por cientistas como Ralph Fowler e Lars Onsager. 
Ao �nal desta aula, você será capaz de de�nir e reconhecer os conceitos de temperatura,
pressão, escalas usuais de temperatura e lei zero da termodinâmica. Esses conceitos estão
interligados e têm uma importância crucial em muitas áreas da ciência e tecnologia. 
Relações de temperatura e pressão
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A pressão absoluta
( )
e manométrica 
( )
é a pressão medida no vácuo, ou seja, é o valor de pressão total exercida pelo �uido em um
sistema, incluindo a pressão atmosférica
( )
Já a pressão manométrica é medida em relação a pressão atmosférica local, ou seja, é a
diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica, dada pela expressão matemática
(1): 
(1)
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Ambos os conceitos de pressão e temperatura estão intimamente relacionados pois a
temperatura de um sistema pode afetar sua pressão e vice-versa. Por exemplo, em um pneu de
carro, a pressão é mantida constante dentro dele, mas pode variar de acordo com a temperatura.
Por isso, é importante veri�car a pressão dos pneus regularmente e ajustá-la de acordo com as
variações de temperatura. 
As escalas de temperatura são utilizadas para medí-la de acordo com um sistema, e as mais
comuns são a Escala Celsius (°C) e a Escala Fahrenheit (°F). No entanto, para �ns cientí�cos, é
mais utilizada a Escala Kelvin (K), porque permite medir a temperatura absoluta. Nesta escala, o
zero absoluto é a temperatura mais baixa possível, que corresponde a -273,15 °C. A relação entre
as escalas Celsius e Kelvin é dada pela fórmula:  
(2)
A escala Fahrenheit, a mais comum nos Estados Unidos, utiliza um grau menor que o grau
Celsius e um zero de temperatura diferente, dada pela relação: 
(3)
Isolando
da equação (2) e substituindo em (3), você consegue encontrar a relação de escalas de
temperatura Fahrenheit e Kelvin (4):
(4)
Para entender melhor a relação entre temperatura e pressão, é importante compreender o
conceito de gás ideal. Um gás ideal é um modelo simpli�cado de um gás que não possui
interações entre suas partículas, e sua pressão, volume e temperatura podem ser facilmente
relacionados através da Equação de Estado dos Gases Ideais:  
(5)
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Em que P é a pressão absoluta, V é o volume, n é a quantidade de matéria em mols do gás, R é a
constante dos gases ideais e T é a temperatura absoluta em kelvins. A equação (5) mostra que,
mantendo-se a pressão e o volume constantes, a temperatura do gás aumentará
proporcionalmente ao aumento da quantidade de matéria presente no sistema. 
As escalas de temperatura estão presentes em nosso cotidiano e são utilizadas emdiversas
situações, desde a temperatura ambiente até a temperatura corporal. No entanto, é importante
destacar que, para �ns cientí�cos e de engenharia, a Escala Kelvin é a mais adequada, pois ela
mede a temperatura absoluta, sem se basear em referências arbitrárias como o ponto de fusão
do gelo ou o ponto de ebulição da água. 
De maneira mais simples, você sabia que a lei zero da termodinâmica nos diz que todos os
corpos têm uma propriedade chamada temperatura e quando dois corpos estão em equilíbrio
térmico, suas temperaturas são iguais. Isso signi�ca que podemos usar um termômetro como na
Figura 3 para medir a temperatura, desde que esteja calibrado corretamente. 
Figura 3 | Termômetro. Fonte: Pexels. 
O corpo da criança e o termômetro na Figura 3 estão em equilíbrio térmico, portanto, produzem a
mesma leitura de temperatura, um terceiro corpo – a mão ao tocar a criança vai ter a sensação
mais quente de temperatura mais alta quando a criança estiver febril. 
A Lei zero é fundamental para a compreensão dos conceitos de equilíbrio térmico e temperatura,
pois estabelece a necessidade de um sistema de referência para a medição da temperatura e
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permite a criação de escalas de medida de temperatura padronizadas e con�áveis. 
Termometria: medindo a temperatura e a pressão
Agora, vamos aplicar os conceitos aprendidos na termometria e como medir a temperatura e a
pressão em diferentes escalas. 
A temperatura é uma grandeza física que mede a agitação térmica das moléculas em um
sistema. Pela lei zero da termodinâmica, aprendemos que um termômetro em contato com
corpo, o calor �ui do corpo mais quente para o mais frio até as temperaturas se igualarem,
atingido o estado de equilíbrio térmico.  
Então, a temperatura pode ser medida com termômetros, que utilizam materiais com
propriedades termométricas para indicar a temperatura de um corpo. Os materiais
termométricos mais comuns são o mercúrio e o etanol, que se expandem facilmente quando
aquecidos e se contraem quando resfriados.  
Na Figura 4 mostra um conhecido sistema de medir temperatura, quando o sistema se torna
mais quente, um líquido se expande e sobre no tubo, por consequência, o valor do seu volume
aumenta. 
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Figura 4 | Variação de volume e temperatura. Fonte: Young e Freedman (2009). 
Você sabe onde encontramos esse sistema? Na construção de termômetros, um dispositivo de
medição de temperatura que utiliza um �uido sensível a variação de temperatura. Normalmente,
esse tipo de termômetro é composto de um bulbo com um �uido, conectado a um tubo capilar,
conforme apresenta a Figura 4. O bulbo é mantido em contato com o corpo cuja temperatura
está sendo medida, e o aumento da temperatura faz com que o �uido se expanda, movendo-se
pelo capilar. A equação (5) é destinada para medir a temperatura em termômetro a volume
constante: 
(5)
Disciplina
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Nessa equação, T é a temperatura a ser medida em Kelvins (K),
é a temperatura do ponto triplo da água,
é a pressão absoluta do gás à temperatura T, e
é a pressão do gás no ponto triplo da água. 
O ponto triplo da água é a condição de temperatura e pressão em que a água pode coexistir
simultaneamente em seus três estados físicos: sólido, líquido e gasoso. É uma condição
termodinâmica única e especí�ca, representada pela temperatura de 273,16 K correspondente a
e pela pressão de 611,73 Pa (ou 0,006 atm). Esse ponto é importante na calibração de
instrumentos de medição de temperatura, como termômetros, pois é uma condição em que a
água tem uma densidade especí�ca conhecida e é útil na determinação de escalas de
temperatura. Logo, substituindo a temperatura do ponto triplo
na equação (5) e isolando a temperatura a ser medida T, encontramos a equação (6) para
calcular temperatura em um termômetro a volume constante: 
(6)
(8)
Disciplina
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Além da temperatura, também é importante medir a pressão em diferentes situações, como em
sistemas de ar-condicionado e refrigeração, motores de combustão e processos químicos.  
A pressão é a força exercida por uma substância por unidade de área e pode ser medida com um
manômetro, que utiliza um �uido para transmitir a pressão do sistema para um indicador.
Existem vários tipos de manômetros, como o manômetro de tubo em U e o manômetro de
Bourdon, cada um adequado para uma faixa de pressão especí�ca. 
A Figura 5 mostra um manômetro de tubo aberto para medir uma pressão desconhecida P,
conhecendo a pressão atmosférica local
a diferença
é conhecida por pressão manométrica
Disciplina
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Figura 5 | Manômetro de tubo aberto. Fonte: Tipler (2009). 
A equação (9) é utilizada para calcular a pressão no manômetro de tubo aberto: 
(9)
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Nessa expressão,
representa a massa especí�ca do líquido no tubo, g é a gravidade e h é diferença de altura entre
um líquido e outro. A pressão medida em um pneu é conhecida como pressão manométrica.
Quando o pneu é esvaziado, a pressão manométrica é reduzida a zero, enquanto a pressão
absoluta do ar que ainda está dentro iguala-se a pressão atmosférica. 
Um engenheiro precisa realizar a medição da pressão com um manômetro de coluna, também
denominado de manômetro de tubo U aberto ilustrado na Figura 5, o local apresenta pressão
atmosférica de 96 kPa, a diferença de altura entre os �uidos era de 1,0 m. Considerando que a
gravidade local é de
e a densidade �uido é de
para encontrar o valor da pressão, você deve aplicar a equação (9): 
(10)
Próximo passo, conhecendo que
para fazer as conversões de unidades podemos dividir o termo da direita da equação (10) por
1000 e, por �m, simpli�cando a solução, calculando o valor de pressão indicado pelo manômetro
em (12):
(11)
(12)
Disciplina
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Um exemplo prático que engloba todos esses conceitos é em um sistema de ar-condicionado
apresentado na Figura 6. Para manter a temperatura ambiente confortável, o ar-condicionado
precisa medir a temperatura do ambiente e da serpentina de refrigeração. Isso é feito com
termômetros e sensores de temperatura. Já a pressão é medida com um manômetro para
garantir que o sistema esteja operando com a pressão correta. Se a pressão estiver muito baixa,
o ar-condicionado pode não resfriar o ambiente adequadamente. Se estiver muito alta, pode
dani�car o sistema. 
Figura 6 | Ambiente refrigerado por ar-condicionado. Fonte: adaptada do Pixabay.
Videoaula: Temperatura
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Olá, estudante! Preparado para aprender mais sobre temperatura e pressão? Neste vídeo vamos
explorar os conceitos básicos da termodinâmica, incluindo as escalas usuais de temperatura e a
importantíssima lei zero da termodinâmica. Você verá como esses conceitos são aplicados em
Disciplina
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situações práticas, com exemplos claros e ilustrações para ajudar a consolidar o
conhecimento.   
Não perca essa oportunidade de aprofundar seus estudos! 
Saiba mais
Aprofunde seus conhecimentos sobre termômetro de gás na página 146 no livro de
Fundamentos de Física: Vol. 2 – Gravitação, Ondas e Termodinâmica, de Halliday e Resnick.
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521632078/epubcfi/6/36%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dchapter18%5D!/4/100/4%4048:57
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521632078/epubcfi/6/36%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dchapter18%5D!/4/100/4%4048:57
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521632078/epubcfi/6/36%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dchapter18%5D!/4/100/4%4048:57
Disciplina
Física Geral e Experimental -
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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Vol.2 - Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 10. ed. Barueri: Grupo GEN, 2016. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/. Acesso em: 19 mar. 2023. 
HEWITT, P. G. Fundamentos de física conceitual. Porto Alegre: Grupo A, 2008. ISBN
9788577803989. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577803989/. Acesso em: 17 mar. 2023. 
TIPLER, P. A; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros: Mecânica, Oscilações e Ondas,
Termodinâmica. Barueri: Grupo GEN, 2009. v. 1. ISBN 9788521626183. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/. Acesso em: 20 mar.
2023. 
YOUNG, H. D; FREEDMAN, R. A. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2009. 332 p. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0. Acesso em: 20 mar. 2023. 
Aula 2
Substâncias e propriedades termodinâmicas
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577803989/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0
Disciplina
Física Geral e Experimental -
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Olá, estudante! Nesta aula ,você vai aprender sobre gases perfeitos e reais, e misturas de
substâncias e suas aplicações na termodinâmica.  
Os gases são componentes essenciais da atmosfera terrestre e estão presentes em muitos
processos industriais e tecnológicos. Compreender o comportamento desses gases é
fundamental para diversos campos da engenharia.  
Portanto, você aprenderá sobre as diferenças entre eles, bem como os princípios de mistura de
substâncias e seus efeitos nas propriedades dos gases.  
Ao �nal, você estará equipado com conhecimentos essenciais para analisar e projetar sistemas
que envolvem gases. Vamos começar a explorar como esses conceitos se aplicam em nosso
cotidiano e como você pode se bene�ciar ao compreendê-los melhor.
Teoria dos gases
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Os gases perfeitos ou ideais são um modelo teórico utilizado na física para estudar o
comportamento dos gases. O modelo ideal assume que as partículas deles não possuem volume
e não interagem entre si, ou seja, a pressão, o volume e a temperatura são diretamente
proporcionais e obedecem à equação de estado dos gases ideais. 
De acordo com Tipler (2009), o produto da pressão pelo volume de uma amostra de gás de
pequena massa especí�ca é uma constante, quando a temperatura é constante, e �cou
conhecido como Lei de Boyle da equação (1): 
(1)
A equação (2) estado é a de estado, sendo uma evolução da equação (1) após vários
experimentos, relacionando P - pressão, V - volume, T - temperatura com n – número de mols da
substância e R – constante universal dos gases, dada por: 
(2)
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Essa simpli�cação matemática é muito útil em diversos cálculos na indústria, como em
processos de produção de gases, em simulações de motores a combustão, em previsões
meteorológicas, entre outros. 
O que é, a�nal, um gás ideal e o que ele tem de especial? A resposta está na
simplicidade da lei que governa as propriedades macroscópicas de um gás ideal.
Usando essa lei, como veremos em seguida, podemos deduzir muitas propriedades
de um gás real. Embora não exista na natureza um gás com as propriedades exatas
de um gás ideal, todos os gases reais se aproximam do estado ideal em
concentrações su�cientemente baixas, ou seja, em condições nas quais as moléculas
estão tão distantes umas das outras que praticamente não interagem. Assim, o
conceito de gás ideal nos permite obter informações úteis a respeito do
comportamento limite dos gases reais. (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016, p. 172)  
O conceito de gás ideal é importante porque nos permite fazer cálculos precisos de propriedades
deles em determinadas condições, como a pressão, temperatura, volume e número de mols. Isso
é especialmente útil em engenharia, onde a compreensão do comportamento dos gases é
essencial em muitas áreas, como na concepção de motores de combustão interna, refrigeração e
até turbinas a gás de aviões, como mostra a Figura 1.  
Figura 1 | Turbina a gás. Fonte: Wikipedia Commons. 
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No entanto, é importante lembrar que em muitas condições os gases reais não se comportam
como tal, o que pode levar a erros nos cálculos. Portanto, é fundamental entender as limitações
do modelo de gás ideal e usar outras equações e modelos quando as condições não atenderem
aos critérios de um gás ideal. 
Ao misturar substâncias, é possível encontrar gases, líquidos ou sólidos. Com os gases, as
propriedades da mistura são determinadas pela soma dos gases individuais. A pressão parcial
de um gás em uma mistura gasosa é a pressão que o gás exerceria se estivesse sozinho no
mesmo volume e temperatura. A lei de Dalton das pressões parciais a�rma que a pressão total
de uma mistura gasosa é a soma das pressões parciais dos gases componentes. 
Essa lei é aplicável em diversas situações, desde o uso de nitrox (ar enriquecido com oxigênio),
pressurizados dentro dos cilindros de mergulho, ilustrados na Figura 2, para aumentar o tempo
de mergulho, até o uso de heliox (mistura de oxigênio e hélio), em mergulhos de grande
profundidade para reduzir a chance de narcose pelo nitrogênio. 
Figura 2 | Cilindros de Mergulho. Fonte: Pixabay. 
Já em misturas líquidas ou sólidas, as propriedades podem ser diferentes das substâncias
individuais devido a interações intermoleculares entre as moléculas dos diferentes componentes.
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Por exemplo, a solubilidade de uma substância em um líquido pode ser afetada pela presença de
outras substâncias na mistura. Além disso, em misturas líquidas e sólidas é possível que
ocorram reações químicas entre os componentes da mistura, levando a mudanças nas
propriedades da mistura. 
Por �m, a mistura de substâncias é um processo no qual duas ou mais substâncias diferentes
são combinadas. Nesse contexto, é importante entender como as propriedades dos gases se
comportam em misturas, já que a presença de mais de uma substância pode in�uenciar nas
propriedades físicas dos gases, como pressão, volume e temperatura. 
Interpretando os gases e suas misturas
Vimos que os gases perfeitos são modelos teóricos utilizados para entender o comportamento
dos gases em condições ideais. Eles são caracterizados por terem partículas com massa
homogênea, sem interações entre si, além de terem alta compressibilidade e baixa densidade.  
Observaremos, agora, o comportamento de um gás perfeito, em um diagrama pressão versus
volume com temperatura constante ilustrado na Figura 3, as curvas são conhecidas como
isotermas, ou seja, uma curva que liga os pontos de mesma temperatura. 
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Figura 3 | Diagrama PV. Fonte: Tipler (2009, p. 580). 
Portanto, a equação (3) representa relação matemática P – V – T acrescida da lei de Boyle entre
os estados físicos 1 e 2 para os gases perfeitos: 
(3)
Disciplina
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Agora, para compreender o trabalho realizado por um gás perfeito a temperatura constante,
imagine que esse gás se expande de volume inicial
 para final 
esse processo com a temperatura constante é conhecido como expansão isotérmica (e o
processo inverso é denominado de compressão isotérmica). 
Para calcular o trabalho W realizado por um gás perfeito durante a expansão isotérmica,
resolvemos a integral da equação (4): 
(4)
Novamente, aplica-se a mesma  integral para determinar o trabalho W realizado com o volume
constante e a pressão constante em um processo termodinâmico, dada pela equação (5). 
(5)
No caso, de utilizar a equação (5) quando o volume for constante, poderá notar quando a
variação de volume
 será nula ,
portanto, o trabalho W também será nulo 
Já os gases reais são aqueles que não seguem asleis dos gases perfeitos representados na
Figura 4 (a), apresentando variações nas suas propriedades em relação às condições ideais,
devido às interações entre as partículas do gás. Na maioria dos casos, sendo misturas gasosas,
por sua vez, envolvem duas ou mais substâncias diferentes. 
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Figura 4 | Representação molecular dos modelos de gás ideal e real. Fonte: Young (2009, p. 222). 
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Portanto, o comportamento dos gases reais pode ser representado com maior precisão através
da equação de estado de van der Waals, proposta em 1873, como uma tentativa de aperfeiçoar a
equação de estado do gás ideal para um modelo mais realista como representado na Figura 4
(b), que não levava em conta as interações intermoleculares entre as partículas do gás, dada pela
equação (6). 
(6)
As variáveis P – V – T já são conhecidas das equações anteriores, e agora surgem as constantes
a e b de van der Waals, que dependem da natureza do gás. A constante a leva em conta as
interações atrativas entre as moléculas do gás, enquanto a constante b leva em conta o volume
ocupado pelas moléculas do gás. Essas constantes são determinadas a partir do
comportamento de uma substância no ponto crítico, em que as fases líquida e gasosa coexistem
em equilíbrio. 
No entanto, a equação (6) não é capaz de descrever todas as propriedades de gases reais com
precisão, e existem outras equações de estado mais complexas que são mais adequadas para
diferentes tipos de gases. 
Além de tudo, através da Lei de Dalton, cada componente de uma mistura gasosa exerce uma
pressão parcial que é proporcional a sua fração representada pela equação (7), ou seja, à
quantidade de moléculas desse componente em relação ao número total de moléculas na
mistura. Essa pressão parcial
é a pressão que o componente q exerceria se estivesse presente sozinho em um recipiente com
o mesmo volume da mistura.
(7)
A equação (8) corresponde a fração mássica da mistura x, onde N representa a massa molar
total da mistura, os índices podem ser i = 1, 2, ou q representam as massas molares de cada
componente dentro desta mistura. 
(8)
A união da equação (7) e (8) resultam na equação (9), que possibilita determinar a pressão
parcial do gás de índice i dentro da mistura. 
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(9)
A partir dos conceitos apresentados, é possível compreender a importância de se considerar o
comportamento dos gases em engenharia, pois isso permite que os engenheiros possam
projetar sistemas e equipamentos que utilizam gases, tais como sistemas de refrigeração,
compressão de gases e aquecimento.  
Além disso, é importante compreender como a mistura de substâncias pode afetar o
comportamento dos gases, sendo essencial para a compreensão de fenômenos como a
combustão, que é uma reação química que envolve a mistura de gases.
Turbina a gás
A turbina a gás apresentada na Figura 1 é uma máquina térmica que converte energia térmica em
energia mecânica por meio da combustão de um combustível e ar em uma câmara de
combustão. Esse processo gera gases quentes que são direcionados para uma turbina, que por
sua vez aciona um gerador elétrico ou um compressor, dependendo da aplicação. 
Um exemplo de aplicação da turbina a gás é em usinas termelétricas, onde a energia mecânica
produzida pela turbina é usada para acionar um gerador elétrico e gerar eletricidade. As usinas
Disciplina
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termelétricas a gás são uma opção popular devido à sua alta e�ciência e capacidade de produzir
energia rapidamente em períodos de pico de demanda. 
Além disso, as turbinas a gás também são amplamente utilizadas na aviação, onde são usadas
como motores de aeronaves. Nesse caso, a energia mecânica produzida pela turbina é usada
para gerar empuxo e propulsionar a aeronave. As turbinas a gás de aviação são projetadas para
serem leves e compactas, além de terem alta e�ciência em altas altitudes. 
Agora é momento de aplicar os conceitos vistos anteriormente, resolvendo um exercício com
uma turbina a gás de um avião voando, opera com ar ambiente a uma temperatura de 300 K e a
pressão de 1 atm. Na entrada da turbina, o ar sofre uma compressão isotérmica reduzindo seu
volume inicial em 10 vezes para depois liberar energia na expansão dos gases ar e combustível
na saída com temperatura de 1200 K. A composição do ar nessa altitude é de 78% de nitrogênio
e 21% de oxigênio, sendo o restante de outros gases. Determine: 
1. A fração molar de cada componente presente no ar ambiente. 
2. A densidade do ar ambiente em
3. A pressão parcial de oxigênio e nitrogênio em kPa.
4. O trabalho de compressão isotérmica realizado em kJ/mo
Resolução: 
Primeiramente, representamos o processo termodinâmico através da Figura 5, onde temos as
condições de entrada na admissão e saída na turbina a gás. 
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Figura 5 | Esquema da turbina a gás. Fonte: elaborada pelo autor. 
1. A fração mássica de cada componente presente no ar ambiente pode ser determinada
utilizando a composição do ar e as massas molares dos gases correspondentes: 
Nitrogênio
( ): 78 % (28 g/mol) = 0,78 x 28 = 21,84 g/mol.
Oxigenio
( ): 21 % (32 g/mol) = 0,21 x 32 = 6,72 g/mol.
Considerando que os outros gases podem ser desprezados neste exemplo. Para determinar a
fração usamos a equação (8):
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Portanto a fração mássica do nitrogênio é 0,764 e a fração mássica de oxigênio é 0,235.  
2. A densidade do ar ambiente pode ser determinada pela equação dos gases perfeitos
(2):  
Sabendo que a massa molar é dada por
e a densidade através de
substituindo na equação acima, resulta em:
É conhecido que pressão de 1 atm, N = 28,56 g/mol de ar (mistura de nitrogênio e oxigênio),
constante R = 0,082 L.atm/mol.K e temperatura 300 K, substituindo encontramos que: 
3. A pressão parcial do oxigênio e nitrogênio, considerando que 1 atm = 101,325 kPa, então
determina-se as pressões parciais pela equação (9):  
Pressão parcial para o nitrogênio: 
Pressão parcial para o oxigênio: 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Para calcular o trabalho por compressão isotérmica utilizou-se a equação (4): 
O sinal do trabalho -22,96 kJ/mol é negativo porque nesse processo de compressão isotérmica, a
pressão e o volume variam de forma inversamente proporcional, ou seja, quando a pressão
aumenta, o volume diminui e vice-versa, mantendo a temperatura constante. Assim, para
comprimir o gás, é necessário fornecer energia para reduzir o volume e aumentar a pressão. Esse
trabalho é realizado pelo agente externo que executa a compressão. Como a energia é
transferida do agente externo para o sistema, o sinal do trabalho é negativo, indicando que há
uma saída de energia do sistema. Por isso, o trabalho de compressão isotérmica é considerado
um trabalho negativo. 
Videoaula: Substâncias e propriedades termodinâmicas
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Você já se perguntou o que é um gás ideal e como ele se comporta na prática? Neste vídeo,
compilamos diversas informações sobre gases perfeitos e reais, além de misturas de
substâncias. Você verá exemplos práticos, cálculos de pressão parcial e trabalho realizado. Com
esse conteúdo, você será capaz de interpretar e compreender esses conceitos e suas aplicações
em diversas áreas da engenharia. Assista ao vídeo e aprimore seus conhecimentos!  
Saiba mais
 
 
 
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Para aprofundar seus conhecimentos sobre o modelo cinético-molecular de um gás ideal, uma
ótima opção é ler o capítulo 18 do livro Física II: Termodinâmica e Ondas, de Young e Freedman
(2016). Nele, você encontrará uma simulação interativa e conseguirá visualizaro comportamento
das moléculas de um gás ideal em diferentes condições de temperatura, pressão e volume.
Referências
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36877
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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física:  Vol. 2 - Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 10. ed. Barueri: Grupo GEN, 2016. ISBN 9788521632078. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/. Acesso em: 19 mar. 2023.  
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas,
Termodinâmica. v.1. Barueri: Grupo GEN, 2009. ISBN 978-85-216-2618-3. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/. Acesso em: 20 mar.
2023.  
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2009. 332 p. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0. Acesso em: 20 mar. 2023. 
Aula 3
Dilatação térmica
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0
Disciplina
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Olá, estudante! Nesta aula vamos abordar o tema da dilatação térmica, que é um fenômeno
presente no nosso dia a dia e que é de extrema importância em diversas áreas da engenharia.  
Em particular, vamos discutir a dilatação linear e volumétrica, que são dois tipos de dilatação que
ocorrem em diferentes direções. A dilatação linear é a variação de comprimento que um material
sofre quando aquecido, enquanto a dilatação volumétrica é a variação de volume.  
Esses conceitos são importantes para o projeto de estruturas que precisam suportar variações
de temperatura e, também,  para a fabricação de peças de alta precisão dimensional. 
Esperamos, assim, que você compreenda os conceitos de dilatação linear e volumétrica, e seja
capaz de calcular o coe�ciente de dilatação de diferentes materiais. Além disso, aprender a
identi�car situações em que a dilatação térmica pode ser um problema e aplicar estratégias para
lidar com essas situações.
Expansão térmica
Disciplina
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A dilatação térmica é um fenômeno que ocorre quando um material é exposto a uma variação de
temperatura. Quando um material é aquecido, as moléculas que o compõem ganham energia e
passam a vibrar com mais intensidade, o que faz com que as ligações entre elas se afastem e o
material se expanda.  
Hewitt (2008) a�rma que quando um material é resfriado, as moléculas perdem energia e vibram
com menos intensidade, o que faz com que as ligações entre elas se aproximem e o material se
contraia.  
Os físicos Halliday e Resnick (2016) explicam  a dilatação térmica como um fenômeno que afeta
uma grande variedade de materiais, incluindo líquidos, sólidos e gases. É por isso que a maioria
dos termômetros utilizam líquidos que se expandem quando aquecidos. 
Pelo mesmo motivo, as estruturas das pontes e edifícios são projetadas com juntas de
expansão, como a ilustrada na Figura 1, para permitir que as partes se movimentem livremente
conforme a variação de temperatura.  
Já no caso da garrafa, a tampa metálica pode se contrair mais do que o vidro quando resfriada, o
que pode levar à quebra da garrafa se a tampa estiver muito �rme. Jogar água quente sobre a
tampa metálica faz com que ela se expanda mais rapidamente do que o vidro, o que pode ajudar
a afrouxá-la e evitar que a garrafa quebre. 
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Figura 1 | Junta de expansão na Ponte em Causeway na Australia. Fonte: Wikipedia Commons.  
A dilatação térmica pode ocorrer de diferentes formas, sendo as mais comuns a dilatação linear
e a dilatação volumétrica. A dilatação linear ocorre quando um objeto é aquecido ou resfriado e
sofre uma alteração em seu comprimento, enquanto a dilatação volumétrica ocorre quando há
alteração no volume de um objeto.  
Essa variação ocorre porque quando um material é aquecido, suas moléculas e átomos passam
a vibrar mais intensamente, o que faz com que eles se separem e aumentem o espaço entre si,
resultando em um aumento de volume. 
O coe�ciente de dilatação é uma grandeza física que determina a variação dimensional que um
material sofre em função da variação de temperatura. Ele pode ser calculado de diferentes
formas, dependendo do tipo de dilatação em questão.  
Para a dilatação linear, o coe�ciente de dilatação é dado pela variação no comprimento do
objeto, dividido pelo comprimento original dele e pela variação de temperatura. Já para a
dilatação volumétrica, o coe�ciente de dilatação é dado pela variação no volume do objeto
dividido pelo seu volume original e pela variação de temperatura. 
A maioria dos materiais se expande quando aquecida e se contrai quando resfriada. A
água, entretanto, é uma importante exceção. O volume ocupado por 1 g de água como
função da temperatura. O volume mínimo e, portanto, a massa especí�ca máxima,
está a 4,00°C. Assim, quando a água a 4,00°C é resfriada, ela se expande em vez de se
contrair. Esta propriedade da água tem consequências importantes para a ecologia de
lagos (TIPLER, 2009).   
Uma das primeiras observações sobre a dilatação térmica foi feita pelo físico francês Jean-
Charles-Athanase Peltier, em 1834, quando viu que um circuito elétrico formado por dois metais
diferentes sofria uma alteração de temperatura quando uma corrente elétrica era aplicada a ele.
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Essa descoberta �cou conhecida como o Efeito Peltier e é um exemplo da relação entre
temperatura e eletricidade. 
Outra descoberta importante relacionada à dilatação térmica foi feita pelo físico alemão Adolf
Fick, em 1855. Ele descobriu que o coe�ciente de dilatação de um material dependia da
temperatura em que ele era medido.  
Essa descoberta foi fundamental para o desenvolvimento de teorias mais precisas sobre a
dilatação térmica e ajudou a entender melhor como os materiais se comportam em diferentes
condições. 
Dilatação linear e volumétrica
A relação matemática que expressa a dilatação linear é dada pela equação (1) onde relaciona a
variação do comprimento de um material ΔL com a variação de temperatura ΔT a que ele é
submetido.  
Essa equação pode ser deduzida a partir da hipótese de que a variação de comprimento de um
material é diretamente proporcional à variação de temperatura a que ele é submetido. Essa
proporção é dada pelo coe�ciente de dilatação linear do material. 
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
O coe�ciente de dilatação linear α é uma grandeza física que indica o quanto um material se
dilata por unidade de variação de temperatura. No Sistema Internacional (SI), geralmente ele é
expresso em unidades de 1/°C (ou 1/K) e varia de acordo com o tipo de material.  
Ele indica o quanto o comprimento da barra irá aumentar para cada unidade de variação de
temperatura. Por exemplo, o coe�ciente de dilatação linear do alumínio é de aproximadamente
o que signi�ca que uma barra de alumínio de 1 metro de comprimento irá aumentar seu
comprimento em 23 micrômetros
para cada grau Celsius de aumento na temperatura. 
Assim, ao conhecer o coe�ciente de dilatação linear do material da barra, é possível prever o
quanto ela irá se expandir ou contrair para uma determinada variação de temperatura. Isso é
importante em projetos de engenharia onde é necessário considerar a dilatação térmica para
evitar danos estruturais ou falhas no funcionamento de dispositivos. 
A Figura 2 mostra o funcionamento de uma tira bimetálica, que é um dispositivo composto por
duas tiras de metais diferentes, latão e aço, com coe�cientes de dilatação térmica distintos, que
estão unidas de modo a formar uma única tira.  
Quando essa tira é aquecida, as duas tiras se dilatam em diferentes graus, fazendo com que a
tira bimetálica se curve para baixo. Esse fenômeno ocorre porqueo metal com maior coe�ciente
de dilatação térmica se expande mais do que o metal com menor coe�ciente de dilatação,
causando a curvatura da tira.  
Esse princípio é utilizado em muitos dispositivos, como termostatos, que funcionam com base
na variação de temperatura para fazer ou desfazer um contato elétrico, permitindo controlar a
temperatura de um ambiente.  
Figura 2 | Comportamento da tira bimetálica. Fonte: Halliday e Resnick (2016, p. 149). 
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
A equação (2) demonstra que o aumento da temperatura geralmente produz aumento de volume,
tanto em líquidos, quanto em sólidos. Em analogia à dilatação linear, a experiência mostra que
quando a variação de temperatura ΔT não é muito grande, o aumento de volume ΔV é
aproximadamente proporcional à variação de temperatura ΔT e o volume inicial
(2)
O coe�ciente de dilatação volumétrica β é uma constante que mede a variação do volume de um
material em função da variação de temperatura. Essa constante é especí�ca para cada material e
é expressa em unidades de 1/K ou 1/ºC.  
O conhecimento do coe�ciente de dilatação volumétrica de um material é importante para o
projeto e construção de estruturas na engenharia que possam ser afetadas pela variação
térmica, como tubulações, pontes, edifícios, entre outros.  
Em materiais sólidos, existe uma relação simples entre o coe�ciente de dilatação volumétrica e o
coe�ciente de dilatação linear dado pela equação (3). 
(3)
A água é o líquido mais comum no mundo e não se comporta como os outros líquidos. Acima de
4 ºC, a água se dilata quando a temperatura aumenta, como era de se esperar. Entre 0 e 4 ºC,
porém, a água se contrai quando a temperatura aumenta. Assim, por volta de 4 ºC, a massa
especí�ca da água passa por um máximo. 
Isso ocorre porque a água é uma substância polar e sua estrutura molecular é diferente de outros
líquidos. Abaixo de 4ºC, as ligações de hidrogênio na água se tornam mais fortes, o que leva a
um encurtamento da distância entre as moléculas e, consequentemente, à diminuição do volume
quando a temperatura aumenta.  
Esse comportamento peculiar da água é de extrema importância na natureza, pois ela é a única
substância que se expande quando congelada, o que permite a formação de lagos e rios
congelados com camadas de gelo �utuante, protegendo a vida aquática em seu interior.
Dilatação de sólidos e líquidos
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
A dilatação térmica é um fenômeno físico que ocorre quando um material é submetido a
variações de temperatura. Essa variação pode ser linear ou volumétrica, dependendo da
geometria do material.  
A dilatação linear ocorre em materiais unidimensionais, como barras ou �os, e é calculada
através do coe�ciente de dilatação linear, que varia de acordo com o material. Por exemplo um
engenheiro agrônomo precisa medir um terreno com uma �ta de aço de 50000 m de
comprimento a temperatura 15 ºC. Qual será o comprimento total da �ta em dias de verão, se a
temperatura chegar a 35 ºC? O coe�ciente de dilatação linear para é de
Para resolver o problema do engenheiro agrônomo, aplicou-se a equação (4): 
(4)
A variação de comprimento da �ta de aço foi de 12 m, para encontrar o comprimento total faz-
se: 
(5)
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Física Geral e Experimental -
Energia
Já a dilatação volumétrica ocorre em materiais tridimensionais, como sólidos e líquidos, e é
calculada através do coe�ciente de dilatação volumétrica. Uma aplicação da dilatação
volumétrica é a construção de dutos para transportar líquidos ou gases quentes, que devem ser
dimensionados levando em consideração a dilatação dos materiais para evitar danos ou
vazamentos. 
Em dias de calor no Nordeste, o motorista de uma transportadora carregou um caminhão tanque
com 37 mil litros de óleo diesel na re�naria. Ele encontrou tempo frio na entrega do combustível,
onde estava com 25 ºC abaixo da temperatura do Nordeste.  
Considerando o coe�ciente de dilatação volumétrica do óleo diesel é
e o coe�ciente de dilatação linear do aço do tanque é de
Quantos litros de óleo diesel foram entregues? 
Para resolver o problema, utilizou-se a equação (6). Sabendo que o volume de óleo diesel é
diretamente proporcional à temperatura, a temperatura diminuiu, então, o volume de combustível
também reduziu, de acordo com
(6)
Note que a dilatação térmica do tanque de aço não vai in�uenciar na resposta porque o todo
combustível foi descarregado, e agora �ca a pergunta “quem vai pagar pelo óleo que
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
desapareceu?” 
Por outro lado, a reposta desse problema seria diferente se o motorista �zesse a conferência do
nível de óleo antes da entrega, porque o tanque de aço sofreria dilatação térmica juntamente
com o combustível, reduzindo de tamanho provocando alterações na quantidade de óleo que
“desapareceu”. 
Os coe�cientes de dilatação são importantes para entender e prever o comportamento dos
materiais em diferentes condições de temperatura. Além disso, o conhecimento sobre dilatação
térmica é fundamental para o projeto e construção de estruturas que serão submetidas a
variações térmicas, como pontes, edifícios e tubulações industriais. 
No cotidiano pro�ssional, a dilatação térmica pode ser aplicada em diversos setores, como na
indústria de petróleo e gás, na construção civil, na engenharia e em outras áreas que envolvam a
manipulação de materiais em diferentes condições térmicas.  
Portanto, é importante que você compreenda a teoria da dilatação térmica e suas aplicações
práticas para desenvolver habilidades e competências que possam ser utilizadas no mercado de
trabalho. 
Videoaula: Dilatação térmica
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Neste vídeo, você verá um resumo completo sobre os três conteúdos abordados na disciplina de
Física: dilatação linear, dilatação volumétrica e coe�ciente de dilatação.  
Aprenderá como esses conceitos se relacionam e como podem ser aplicados no cotidiano
pro�ssional, além de desenvolver habilidades como análise, interpretação e resolução de
problemas.  
Saiba mais
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Olá, estudante! Para aprofundar seus conhecimentos sobre dilatação térmica, uma ótima opção
é ler sobre tensão térmica e como é aplicada na engenharia. O capítulo 17 do livro Física II:
Termodinâmica e Ondas aborda esse assunto. Con�ra!  
Bons estudos!
Referências
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36877
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36877
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. vol. 2 - Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 10. edição. Barueri: Grupo GEN, 2016. E-book. ISBN 9788521632078. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/. Acesso em: 19 mar.
2023.  
HEWITT, P. G. Fundamentos de física conceitual. Grupo A, 2008. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577803989/. Acesso em: 14 abr. 2023.  
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas,
Termodinâmica. v.1. Barueri: Grupo GEN, 2009. E-book. ISBN 978-85-216-2618-3. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/. Acesso em: 20 mar.
2023.  
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2009. 332 p. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0. Acesso em: 20 mar. 2023.
Aula 4
Calorimetria
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577803989/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0
Disciplina
Física Geral e Experimental-
Energia
Olá, estudante! Vamos explorar três conceitos fundamentais na área de termodinâmica: calor
latente, condução do calor e variação da energia interna. Esses conceitos são essenciais para
compreender como a energia térmica se comporta em diferentes situações e processos. 
Ao longo desta aula, você terá a oportunidade de aprender em detalhes sobre cada conceito,
entender suas aplicações práticas e como eles estão relacionados entre si. Compreender a
natureza do calor latente, como ocorre a sua condução e como a variação da energia interna
afeta os sistemas termodinâmicos, pois é primordial para uma sólida compreensão dos
princípios termodinâmicos e suas aplicações em diversos contextos. 
Calor e energia
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Vamos explorar os conceitos de calor latente, condução do calor e variação da energia interna.  
Quando você pega um sorvete no freezer e o coloca em uma mesa, conforme ilustrado na Figura
1, a temperatura do sorvete aumenta, a princípio rapidamente e depois mais devagar, até que se
torne igual à temperatura ambiente. Da mesma forma, se você deixa uma xícara de café quente
na mesa, sua temperatura diminui até se tornar igual à temperatura ambiente, atingindo o
equilíbrio térmico. 
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Figura 1 | Sorvete sobre a mesa. Fonte: Wikipedia Commons.
De acordo com Halliday e Resnick (2016), essa variação de temperatura se deve a uma mudança
da energia térmica do sistema por causa da troca de energia entre o sistema e o ambiente.  
A energia térmica é interna e consiste na energia cinética e potencial, associadas aos
movimentos aleatórios dos átomos, moléculas e outros corpos microscópicos que existem no
interior de um objeto.  
A energia transferida é chamada de calor e simbolizada pela letra Q. O calor é positivo se a
energia é transferida do ambiente para a energia térmica do sistema, dizemos que o calor é
absorvido pelo sistema. O calor é negativo se a energia é transferida da energia térmica do
sistema para o ambiente, dizemos que o calor é cedido ou perdido pelo sistema. 
Portanto, para Young e Freedman (2009) o calor é de�nido como a energia transferida entre um
sistema e o ambiente devido a uma diferença de temperatura. 
A variação de energia interna de um sistema é igual ao calor transferido para o sistema mais o
trabalho realizado sobre o sistema (TIPLER e MOSCA, 2009). 
Além disso, a energia interna de um sistema é a soma de todas as formas de energia associadas
às partículas que compõem o sistema, como a energia cinética das partículas em movimento, a
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
energia potencial das interações entre as partículas e a energia térmica associada à temperatura
do sistema.  
Ela acontece devido à transferência de calor para o sistema, ao trabalho realizado sobre o
sistema ou realizado pelo sistema ou, ainda, devido as mudanças na composição ou estado
físico do sistema.  
Existem três formas de transferência de calor:convecção, a radiação e a condução. 
A convecção ocorre tipicamente em um �uido e é caracterizada pelo fato de que o calor é
transferido pelo movimento do próprio �uido, criando correntes de convecção. Quando uma
região de um �uido é aquecida, ela diminui de densidade e tende a subir, sendo substituída por
�uido mais frio, o que gera correntes de convecção.  
Essas correntes podem ocorrer naturalmente, como na circulação atmosférica e correntes
marinhas, ou podem ser produzidas arti�cialmente com o auxílio de bombas ou ventiladores. Um
exemplo comum de convecção é a distribuição de água quente em um sistema de aquecimento
central. 
A radiação é único mecanismo de transferência de calor que pode propagar sem um meio físico,
ou seja, de um ponto a outro por meio de radiação eletromagnética, como a luz visível, que pode
aumentar mesmo através do vácuo, onde tem ausência total de matéria. A radiação térmica é
emitida por qualquer corpo aquecido e, quando absorvida por outro corpo, pode aquecê-lo,
convertendo-se em calor. Um exemplo de radiação térmica é a radiação solar, que é emitida pelo
Sol a uma temperatura muito elevada e pode aquecer a Terra. 
A condução de calor ocorre somente em meios materiais, sejam eles �uidos ou sólidos, e não
envolve o movimento do próprio meio, ao contrário da convecção. A condução de calor ocorre
por meio da estrutura microscópica do meio, quando há diferenças de temperatura. Um exemplo
de condução de calor é quando colocamos uma panela com água sobre uma chama ilustrada na
Figura 2, em que o calor é transferido da chama para a água através da parede metálica da
panela. 
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Física Geral e Experimental -
Energia
Figura 2 | Panela ao fogo. Fonte: Pixabay.
Calorimetria e seus fundamentos
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
A importância da termodinâmica na compreensão dos processos de transferência de calor e
variação de energia interna é fundamental para entender os princípios básicos do
comportamento térmico dos sistemas. Neste momento, vamos aprofundar os conceitos de calor
latente, condução de calor e variação de energia interna, relacionando-os e destacando suas
características e aplicações. 
A capacidade térmica C é expressa pela relação matemática apresentada na equação (1), de�ne
uma propriedade importante na compreensão dos processos de transferência de calor e variação
de energia interna, uma vez que in�uencia a quantidade de calor absorvida ou liberada por um
material em um processo termodinâmico. Basicamente, ela é proporcionalidade entre o calor Q
recebido ou cedido pelo objeto e a variação de temperatura ΔT. 
(1)
A capacidade térmica C é medida em unidades de energia Joules por grau Celsius (J/ºC) ou
energia Joules por Kelvin (J/K) no Sistema Internacional de Unidades (SI).  
Importante notar que a grandeza está em função de temperatura, como a variação de
temperatura é a mesma, pois
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Física Geral e Experimental -
Energia
logo o valor da capacidade térmica também será o mesmo tanto em função de Celsius ou Kelvin.
A capacidade térmica C de uma pedra de mármore, por exemplo, pode ser 179 cal/C°. Outra
de�nição importante, o calor especí�co, também conhecido como capacidade térmica por
unidade de massa c, dada pela equação (2). 
(2)
A unidade padrão calor especí�co é geralmente expressa em joules por quilograma por Kelvin
(J/kg·K) no Sistema Internacional de Unidades (SI). Esta unidade indica a quantidade de calor
necessária para elevar a temperatura de um quilograma de uma substância em um kelvin (ou
grau Celsius).
Outras unidades de medida, como calorias por grama por grau Celsius (cal/g·°C), também podem
ser usadas, especialmente em contextos especí�cos. É importante utilizar a unidade mais
adequada nos cálculos e análises relacionadas ao calor especí�co, garantindo assim a
consistência e precisão dos resultados obtidos.
O calor latente, representado pela letra L também conhecido como calor de transformação,
refere-se à quantidade de energia térmica necessária para promover a mudança de fase de uma
substância sem que haja alteração de temperatura. Essas mudanças de fase incluem a fusão,
que é a transformação de uma substância do estado sólido para o estado líquido, e a
vaporização, que é a transformação de uma substância do estado líquido para o estado gasoso.
Cada substância possui seu próprio valor de calor latente diretamente proporcional a massa m,
que é expresso em unidades de energia por unidade de massa, como joules por quilograma
(J/kg) no Sistema Internacional de Unidades (SI) dado pela equação (3):
 (3)
O calor latente ou transformação é uma propriedade característica de cada substância e
desempenha um papel importante em diversos processos, como na climatização de ambientes,
na indústria de alimentos e na produção de energia.  
Compreender o conceito de calor latente e as transformações de fase associadas é fundamental
para entender o comportamento térmico das substâncias em diferentes condições de
temperatura e pressão. 
Se uma panelacom alça de metal como o da Figura 2 é deixada ao fogo por um tempo, a alça da
panela pode �car tão quente que pode causar queimaduras na mão. Esse processo de
transferência de energia da panela para a alça é chamado de condução de calor.  
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Física Geral e Experimental -
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A alta temperatura da panela faz com que os elétrons e átomos vibrem intensamente. Essas
vibrações, juntamente com a energia associada, são transferidas para o cabo por meio de
colisões entre os átomos. Como resultado, uma região de temperatura crescente se propaga em
direção ao cabo, aquecendo-o.  
Figura 3 | Transferência constante de energia na forma de calor. Fonte: Halliday e Resnick (2016, p. 158). 
Observe a ilustração da Figura 3, onde você nota uma placa de área A com espessura L, cujos
lados são mantidos, as temperaturas da fonte quente e fria, e conhecendo Q como transferência
de calor através da placa no sentido do lado quente para o lado frio, em um intervalo de tempo t,
logo, é possível determinar a taxa de condução de calor pela Equação de Fourier, em que q taxa
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de transferência de calor em Joules por segundos (J/s), ou seja, também conhecida como
potência em Watts (W), apresentada pela equação (4) a seguir. 
(4)
Sendo k a condutividade térmica, uma constante que depende do material do qual é composto a
placa, a�rmamos que um material transfere facilmente energia por condução quando ele é um
bom condutor de calor e tem um alto valor de k, característica típica de alguns metais como
cobre e alumínio. 
A primeira lei da termodinâmica, também conhecida como o princípio da conservação de energia,
enuncia que a energia total de um sistema isolado permanece constante. Em outras palavras, a
energia não pode ser criada nem destruída, apenas convertida de uma forma para outra. Essa lei
estabelece a relação entre a variação de energia interna de um sistema ΔU, o trabalho realizado
W sobre o sistema e o calor Q adicionado ou retirado do sistema, dada pela equação a seguir:  
(5) 
Além disso, estabelece que o trabalho realizado W em um sistema termicamente isolado para
levá-lo de um estado inicial a um estado �nal é independente do caminho ou do processo
utilizado. Isso signi�ca que a quantidade total de trabalho realizado no sistema será sempre a
mesma, independentemente de quais etapas intermediárias foram seguidas.  
A primeira lei da termodinâmica pode ser aplicada a diversos casos especiais na análise de
processos termodinâmicos observando a equação (5). Alguns exemplos incluem:  
Processos adiabáticos: não há troca de calor com o ambiente (Q = 0), e a variação de
energia interna (ΔU) é igual ao trabalho realizado (W), com sinal negativo (ΔU = – W). 
Processos a volume constante: o volume do sistema permanece constante (W = 0), toda a
variação de energia interna (ΔU) é devida à troca de calor (Q) com o ambiente (ΔU = Q). 
Processos cíclicos: completam um ciclo, a variação de energia interna do sistema (ΔU) é
zero, uma vez que o sistema retorna ao seu estado inicial. Portanto, o trabalho realizado
(W) é igual ao calor trocado (Q) durante o ciclo (ΔU = 0, Q = W). 
Expansões livres: não há troca de calor (Q = 0), trabalho realizado (W = 0) ou variação de
energia interna (ΔU = 0). Esses processos ocorrem sem restrições externas e não realizam
trabalhos nem trocam calor com o ambiente.
Condução de calor e transição de fase
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Agora você vai aplicar os conhecimentos aprendidos com conceitos de calor especí�co e calor
latente em processo de mudança de fase.  
Por exemplo, um estudante de engenharia deseja resfriar 0,25 kg de refrigerante da Figura 4 (com
a composição, em sua maior parte, por água), incialmente a uma temperatura ambiente de 25 ºC,
adicionando gelo a – 20 ºC. Qual quantidade de gelo deve usar para que a temperatura �nal seja
igual a 0 ºC, sabendo que todo gelo se funde e que o calor especí�co do recipiente pode ser
desprezado?  
Adote o calor especí�co de 4190 J/kg·K para a água líquida e 2100 J/kg·K para o gelo. E, o calor
latente do gelo igual 334000 J/kg. 
Na solução, a mistura gelo e refrigerante são objetos que trocam calor. O refrigerante sofre
apenas uma variação de temperatura, enquanto o gelo passa tanto por uma variação de
temperatura quanto por uma transição de fase sólido para líquido, a incógnita do problema é a
massa do gelo
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Energia
Figura 4 | Mistura refrigerante e gelo. Fonte: Unsplash.  
Utilizamos a Equação 2 para determinar a quantidade de calor envolvida no aquecimento do gelo
de até o 0 ºC. 
(6)
Com a mesma equação, vamos determinar a quantidade de calor envolvida no resfriamento do
refrigerante até 0 ºC.
(7)
Disciplina
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Energia
Com a Equação 3 calculamos a quantidade calor envolvido na mudança de fase do gelo.
(8)
Para acontecer o equilíbrio térmico, a soma das três quantidades de calor calculadas deverá ser
igual a zero.
(9)
Logo, a massa de gelo necessária para resfriar o refrigerante é 69 g, na prática esse resultado
corresponde a quatro cubinhos de gelo. 
A condução de calor, que será abordada em detalhes a seguir, é um processo que ocorre
somente por meio de um material, seja em �uidos ou sólidos, sem que haja movimento do
próprio ambiente, ao contrário da convecção. A condução é mediada pela estrutura microscópica
do meio e é induzida por diferenças de temperatura.  
Exempli�cando como uma parede de concreto com uma área de 20 m² e espessura de 0,3
metros pode ser utilizada em um projeto de engenharia para isolar termicamente um ambiente
interno. A temperatura do ambiente externo é de – 10 ºC, enquanto a temperatura do ambiente
interno é de 25 ºC. A condutividade térmica do concreto (k) é de 1,2 W/(m·K). Calcule a taxa de
transferência de calor através da parede. 
A solução encontrada para calcular a taxa de transferência de calor é dada através da equação
(10) de condução de calor a seguir:
(10)
A temperatura do lado interno (quente) é 25 ºC e a temperatura do lado externo (fria) é – 10 ºC,
portanto, realizando a substituição na equação acima, tem-se:
(11)
Disciplina
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O valor da transferência de calor obtido -2,8 kW é negativo porque o calor está sendo transferido
do ambiente interno para o ambiente externo, resultando em uma taxa de transferência de calor
negativa.
O conhecimento desse fenômeno é muito útil em projeto de climatização de ambientes
interiores, onde o engenheiro precisa conhecer a taxa de transferência de calor para dimensionar
corretamente aparelhos mais adequado de aquecimento.
Videoaula: Calorimetria
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Olá, estudante! Assista ao vídeo da aula de Calorimetria, em que abordamos os conceitos e as
aplicações na engenharia para calor latente, condução de calor e variação de energia interna (a
primeira lei da termodinâmica).  
Neste vídeo, você irá explorar de forma aprofundada esses conceitos essenciais, com exemplos
práticos e aplicações na engenheira. Prepare-se para compreender melhor esses fenômenos
térmicos. 
Saiba mais
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Para aprofundar seus conhecimentos sobre transferência de calor, entender como os processos
de convecção e radiação relacionam-se com a condução de calor visto na aula, uma ótima opção
de leitura da parte III (p. 283)  do livro Fundamentos de física conceitual, de Paul G. Hewitt. 
Referências
https://www.academia.edu/42606537/CONCEITUAL_CONCEITUAL_12a_Edi%C3%A7%C3%A3o
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Física Geral e Experimental -
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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.t; WALKER, J. Fundamentos de Física - Vol. 2 - Gravitação, Ondas e
Termodinâmica, 10ª edição. Barueri: Grupo GEN, 2016. E-book. ISBN 9788521632078. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/.Acesso em: 19 mar.
2023.  
HEWITT, P. G. Fundamentos de física conceitual. São Paulo: Grupo A, 2008. E-book. ISBN
9788577803989. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577803989/. Acesso em: 12 abr. 2023.  
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas,
Termodinâmica. v.1. Barueri: Grupo GEN, 2009. E-book. ISBN 978-85-216-2618-3. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/. Acesso em: 20 mar.
2023.  
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2009. 332 p. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0. Acesso em: 20 mar. 2023.
Aula 5
Revisão da unidade
Fundamentos da termometria e calorimetria
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577803989/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0
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Olá, estudante! Neste estudo sobre temperatura e calor foram abordados conceitos
fundamentais da termodinâmica para a compreensão do comportamento térmico de
substâncias e materiais. 
Inicialmente, você aprendeu sobre a temperatura, que é uma grandeza que indica o grau de
agitação das partículas de um corpo, podendo ser medida em diferentes escalas, como Celsius,
Fahrenheit e Kelvin, para realizar a conversão lembre-se das equações (1) e (2).  
Ainda, foi apresentada a Lei Zero da Termodinâmica, que estabelece a igualdade de temperatura
entre dois corpos em equilíbrio térmico. 
(1)
(2)
Na sequência, você estudou os gases perfeitos e reais, que são importantes modelos teóricos
para a compreensão do comportamento térmico de substâncias gasosas. Os gases perfeitos
são caracterizados por possuírem partículas com volume desprezível e sem interações entre si
dado pela Equação de Estado dos Gases Ideais (3). 
(3)
Disciplina
Física Geral e Experimental -
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Onde R = 8,31 J/molK é a constante universal dos gases no Sistema Internacional (SI), razão
essa que a temperatura deve ser sempre em Kelvin (K). 
Através do diagrama pressão versus temperatura para gás ideal, é possível relacionar dois ou
mais estados para observar seu comportamento pela relação matemática (4). 
(4)
Enquanto os gases reais levam em consideração o volume das partículas e as forças de atração
entre elas visto no modelo de van der Waals da equação (5). A constante a leva em conta as
interações atrativas entre as moléculas do gás, enquanto a constante b leva em conta o volume
ocupado pelas moléculas do gás
(5)
Os valores da constante a e b de van der Waals são determinadas baseadas nas propriedades do
ponto crítico do gás, no Sistema Internacional (SI), constante a é dado na unidade
e constante b em 
seus valores geralmente são apresentados em tabelas ou aplicativos de propriedades
termodinâmicas. 
Além disso, abordamos a dilatação térmica, que é o aumento de volume de um material devido à
variação de sua temperatura. Para quanti�car a dilatação, é utilizada a medida do coe�ciente de
Disciplina
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dilatação volumétrico β ou linear α, que é especí�co para cada material. Para calcular a dilação
linear foi proposta a equação (6) e a volumétrica pela equação (7). 
(6)
(7)
Também aprendemos sobre o calor especí�co da equação (8) e o calor latente da equação (9),
que é a quantidade de calor necessária para mudar o estado físico de uma substância.
(8) 
(9)
E a variação da energia interna, que é a diferença entre a energia interna �nal e inicial de um
sistema, relacionada com trabalho e calor através da 1ª Lei da Termodinâmica apresentado pela
equação (10).
(10)
Por �m, discutimos sobre os mecanismos de transferência de calor, que pode ocorrer pelos
fenômenos de condução, convecção ou radiação, apresentados pela  Equação de Fourier (11).
Para determinar essa taxa de transferência de calor para o processo de condução de calor em
um meio físico, sendo k a condutividade térmica, uma constante que depende do material do
qual é composto este meio físico.
(11)
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Dessa forma, realizou-se um experimento de calorimetria para contribuir com a compreensão
dos conceitos fundamentais sobre temperatura e calor, que são essenciais para a aplicação em
diferentes áreas, como na indústria, na engenharia e na física.
A partir desse conhecimento, é possível entender o comportamento térmico de materiais e
substâncias e aplicá-los em situações práticas, como em projeto de sistemas de refrigeração e
aquecimento. 
Videoaula: Revisão da unidade
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Neste vídeo, vamos explorar conceitos fundamentais que vão te ajudar a desenvolver as
competências em termodinâmica. Vamos abordar desde as escalas de temperatura, a Lei Zero
da Termodinâmica, gases perfeitos e reais, dilatação térmica, calor latente, condução do calor e
variação da energia interna. Prepare-se para uma aula dinâmica e envolvente, com um breve
roteiro do conteúdo proposto. Não perca essa oportunidade de aprofundar seu conhecimento! 
Estudo de caso
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Imagine que você trabalha para uma empresa de engenharia que projeta sistemas de
aquecimento de água industrial. A empresa foi contratada para projetar um sistema de
aquecimento para um tanque cilíndrico de aço que contém água quente ilustrado na Figura 1.  
O tanque possui um diâmetro interno de 0,550 m e uma altura interna de 1,20 m. Ele está
envolvido por uma camada isolante de lã de vidro de 5,00 cm de espessura, cuja condutividade
térmica é 0,0350 W/(m·K). O isolamento é coberto por uma �na camada metálica.  
Sua tarefa é determinar a potência elétrica que deve ser fornecida a esse tanque para aquecê-lo e
mantê-lo na temperatura desejada, mesmo quando a temperatura externa for baixa. 
Para resolver esse problema, você precisa aplicar os conceitos de temperatura, escalas usuais de
temperatura, lei zero da termodinâmica, calor latente e condução do calor, que foram estudados
anteriormente. Além disso, precisará considerar os dados fornecidos sobre o tanque, a camada
isolante e a temperatura externa. 
Para começar, calcule a quantidade de calor que é transferida através da camada isolante de lã
de vidro, utilizando a Equação de Fourier para a condução do calor. A condutividade térmica da lã
de vidro e a espessura da camada são informações importantes para esse cálculo.  
Em seguida, você poderá desprezar as taxas de transferência de calor de a condução do calor
para a �na camada metálica, considerando que a temperatura da água no interior deverá ser
mantida em 75 ºC e não haverá perdas signi�cativas durante o processo. 
Após calcular a quantidade de calor transferida pela camada isolante, você pode utilizar os
conceitos de calor especí�co para determinar a quantidade de calor necessária para aquecer a
água no tanque até a temperatura desejada, conhecendo o calor especí�co da água de 4180
J/kg·K e densidade da água sendo 1000 kg/m³. 
 Lembre-se de considerar as dimensões do tanque e as propriedades térmicas dos materiais
envolvidos. 
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Figura 1 | Aquecedor de água. Fonte: adaptada da Joule. 
Por �m, você pode calcular a potência elétrica que deve ser fornecida ao sistema para aquecer
durante uma hora e manter a temperatura da água no tanque em equilíbrio a 75,0°C, mesmo
quando a temperatura externa é de 1,0°C. Utilize os conceitos de transferência de calor e as
equações estudadas para determinar a potência necessária. 
É importante apresentar suas respostas de forma clara e organizada, utilizando unidades
adequadas e justi�candoda circunferência que o
contém, ou seja, é uma unidade que traduz a divisão de / . Dessa forma, é coerente admitir que
a unidade 1/ se relaciona com a velocidade angular, ou pulsação do sistema, representada pelo
símbolo . 
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Então, é possível reescrever a equação do oscilador harmônico simples na forma: 
A equação destacada é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e sua solução
determina a variação da posição do corpo com o tempo. É importante reconhecer que a solução
geral desta equação diferencial é dada por:
Em que e são constantes, é a velocidade ou frequência angular ( / ) e é a constante de
fase (fase para = 0), em . Para transformar a equação geral de um fenômeno em uma
equação especí�ca relativa às condições experimentadas é necessário aplicar condições de
contorno, ou seja, condições de valor conhecidas, na equação genérica. No caso representado na
Figura 3, sabe-se que no tempo inicial ( = 0), a posição do corpo é = e que a fase é = 0.
(TIPLER, 2014). Assim, a equação pode ser reduzida a: 
Portanto: =   
Perceba, todavia, que a condição de contorno aplicada não foi su�ciente para se determinar as
duas constantes na equação e, por esse motivo, uma nova condição de contorno precisa ser
trabalhada. Essa condição é a da velocidade, que no instante inicial também é nula. A função
horária da velocidade é dada pela derivada da função horária do espaço, de modo que: 
Finalmente, reescrevendo a função horária do espaço e da velocidade do Movimento Harmônico
Simples: 
x(t)  =  a . cos  (ωot  +  φo)  +  b . sen (ωot  +  φo)
A  =  a . cos  (0  +  0)  +  b . sen (0  +  0)
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Ainda é possível escrever a função horária da aceleração derivando a função horária da
velocidade (RAO, 2011):
A Figura 4 apresenta gra�camente as funções características do espaço, da velocidade e da
aceleração em função do tempo do oscilador harmônico simples. Através desses grá�cos, o
movimento harmônico �ca visualmente melhor representado e facilita a percepção de algumas
particularidades dessas oscilações (RAO, 2011):  
1. No instante imediato em que a força externa ( ) deixa de agir no sistema massa-mola    
( = 0), a posição do corpo é máxima ( = + ) e sua velocidade é nula. 
2. Em um instante qualquer que o bloco passa pela posição de equilíbrio ( = 0), sua posição
coincide com a origem, sua velocidade é máxima e sua aceleração é nula.  
3. Imediatamente após passar pela posição de equilíbrio, a aceleração, que até então era
favorável e provinha da tendência da mola a voltar ao seu tamanho natural, passa a atuar
como uma resistência, uma vez que a mola passa a ser comprimida e tende a empurrar o
bloco no sentido contrário ao movimento. 
4. No instante
em que o bloco atinge sua posição mínima
ele para e muda o sentido de seu movimento. Nesse instante, a sua velocidade é nula e sua
aceleração é máxima, porém com sentido oposto ao observado na fase de contração da mola. 
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Figura 4| Comparação entre as curvas da Posição, Velocidade e Aceleração em função do tempo, considerando uma fase
inicial = 0. Fonte: elaborada pelo autor (2018). 
É importante reforçar que Sistemas massa-mola oscilantes sem atrito constituem a “categoria”
oscilador harmônico simples linear. À vista disso, um parâmetro muito importante para  estudar
esse tipo movimento é o período de oscilação
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 (RAO, 2011)
Aplicações do movimento oscilatório na física e na engenharia
O pêndulo simples consiste em um corpo, de massa
suspenso por um �o inextensível, de massa desprezível e comprimento
preso a um ponto �xo. Esse pêndulo, uma vez afastado da posição central de equilíbrio pela ação
de uma força externa, oscila em um plano vertical descrevendo uma trajetória curvilínea de raio
igual a
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Sendo pequena a amplitude de oscilação (ângulo máximo de
o movimento desse pêndulo se caracteriza como movimento harmônico simples (RAO, 2011),
conforme ilustra a Figura 5.  
Figura 5 | Pêndulo simples e sua representação de posição ao longo de um período
Fonte: elaborada pelo autor. 
Para determinar o movimento da massa
em torno da posição central de equilíbrio, é necessário analisar o conjunto de forças que age
sobre o sistema, como será apresentado na Figura 6.  
Note que, na vertical, há a ação da força da gravidade, ou força peso
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apontando para baixo e, no �o, uma tração
atuando ao longo do �o para cima. Decompondo a força peso nos eixos de apoio
o componente
(projeção da força peso no eixo
é anulada pela tração na corda. Porém, o componente
permanece operacional e age na direção tangencial à circunferência produzindo um torque
restaurador que tende a sempre puxar o conjunto de volta ao ponto de equilíbrio (central) (RAO,
2011).
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Figura 6 | Ação das forças sobre a massa do pêndulo simples. Fonte: elaborada pelo autor. 
Antes de continuarmos com o desenvolvimento matemático do movimento harmônico do
pêndulo simples, é importante re�etir sobre a natureza da força restauradora que age nos
sistemas oscilantes analisados.  
No caso do sistema massa-mola, a força restauradora é proveniente de um elemento elástico, a
mola, e é proporcional a sua deformação. Já no pêndulo simples, ela é oriunda da força da
gravidade, ou força peso.  
Um pêndulo em repouso, a partir da aplicação de uma força externa
orientada para a direita (por exemplo), é deslocado angularmente até uma posição angular
máxima, ou amplitude máxima, representada por 
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Então, essa força externa é retirada e o pêndulo inicia seu movimento oscilatório. Isso acontece
pois, na direção tangencial à trajetória, a força resultante composta pela componente 
do peso é não nula (RAO, 2011). Assim:
Lembrando que é possível relacionar a aceleração angular
com a aceleração linear
através do raio da circunferência, obtém-se: 
Em termos diferenciais: 
Assim, observa-se que a combinação das dimensões das constantes do pêndulo simples
também representa a dimensão de frequência angular elevada a segunda potência, ou seja,
a = α.R
a = α.L
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E lembra lá no início da descrição de pêndulo simples quando foi mencionado que se
comportavam como osciladores lineares para ângulos pequenos, de até 10°? Isso ocorre porque
é possível descrever, para essa faixa de ângulo (dado em radiano), que:
Finalmente, é possível reescrever a equação do pêndulo simples na forma:
Analogamente ao sistema massa-mola, a resolução dessa equação diferencial ordinária de
segunda ordem fornece:
Em que e são constantes, é a velocidade ou frequência angular ( / ) e é a constante de
fase (fase para
em . As condições de contorno são:
1.  No tempo inicial
a posição angular do corpo é
Se θ = θ
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e a fase é
Assim, a equação pode ser reduzida a:
Portanto:
2. No tempo inicial ( = 0), a velocidade angular é nula. Logo:
Reescrevendo as funções horárias do Pêndulo Simples (equivalente as do oscilador harmônico
simples:
O período de oscilação de um pêndulo simples pode ser determinado por:
Oscilações e fenômenos vibratórios na indústria 
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O estudo dos fenômenos vibratórios além de ser essencial no desenvolvimento de projetos de
sistemas mecânicos, também é de extrema importância no monitoramento constante para
detecção de qualquer alteração no comportamento das máquinas. O objetivo da análise
vibratória é minimizar as vibrações indesejadas, eliminando ou reduzindo os efeitos das
ressonâncias geradas em função do aumento das forças e tensões atuantes. Veja a seguir, na
Figura 7, um infográ�co exempli�cando como detectar falhas porsuas escolhas. Além disso, re�ita sobre os resultados obtidos e como
eles se relacionam com a realidade pro�ssional de projetar sistemas de aquecimento de água
para indústrias. Isso ajudará você a promover a articulação do conteúdo com a realidade e
aprofundar seu entendimento sobre os conceitos estudados.
Re�ita
Olá, estudante! Vamos re�etir sobre como os conceitos aprendidos se aplicam a realidade do
problema do tanque cilíndrico de aço com água quente e isolamento térmico?  
Essa re�exão irá te ajudar a aprofundar o entendimento do caso e a resolver o desa�o proposto. 
É fundamental compreender as leis da termodinâmica, como a lei zero, que estabelece que
corpos em equilíbrio térmico estão na mesma temperatura. Além disso, o conceito de calor
especí�co, que é a quantidade de energia necessária para aquecer uma substância e elevar sua
temperatura, também será relevante para entender a transferência de calor no sistema. 
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Outro ponto importante é compreender as propriedades dos materiais envolvidos. A
condutividade térmica da lã de vidro, utilizada como isolamento térmico e dos materiais
metálicos, que possuem alta condutividade térmica, in�uenciam na transferência de calor entre o
tanque e o ambiente externo. 
É necessário também entender as escalas de temperatura, como Celsius e Kelvin, e como
convertê-las, assim como a dilatação térmica dos materiais, que pode afetar o comportamento
do tanque e do isolamento térmico. 
Além disso, é importante considerar o contexto pro�ssional e a aplicação prática do problema.
Você pode se imaginar trabalhando em uma empresa que utiliza tanques cilíndricos com água
quente e isolamento térmico em suas operações. Como engenheiro ou técnico responsável, você
precisa garantir que a temperatura da água seja mantida em um nível especí�co, mesmo com
variações de temperatura externa, e calcular a potência elétrica necessária para isso. 
Essas re�exões serão essenciais para a resolução do estudo de caso, pois irão te auxiliar na
aplicação dos conceitos estudados e na compreensão de como eles se relacionam com a
realidade pro�ssional.  
Agora, com esse aprofundamento, você estará mais preparado para encontrar a solução para o
problema proposto!  
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Vamos agora resolver o estudo de caso do tanque cilíndrico de aço com água quente e
isolamento térmico com base nos conceitos que estudamos até agora. Para resolver esse
problema, é importante seguir algumas etapas. 
Leia o enunciado do problema e identi�que as informações relevantes, como as dimensões do
tanque, a temperatura interna da água, a temperatura externa do ambiente, a espessura e as
propriedades do isolamento térmico, e a potência elétrica do aquecedor, esboce um esquema do
problema como na Figura 2. 
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Figura 2 | Tanque aquecedor de água em corte. Fonte: elaborada pelo autor.
Calcule a transferência de calor através do isolamento térmico com base na diferença de
temperatura entre o interior do tanque e a temperatura exterior do ambiente, utilizando a Equação
de Fourier: 
(12)
Onde: 
q é a taxa de transferência de calor (J/s = W). 
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k é a condutividade térmica do material isolante (W/mK). 
A é a área da superfície da qual o calor está sendo transferido (m²). 
Ti é a temperatura interna do tanque com água a 75 ºC. 
Te é a temperatura externa do tanque (do ambiente) a 1 ºC. 
L é a espessura do material isolante em 5,0 cm = 0,005 m.  
Para calcular a área da superfície do tanque cilíndrico, utilizamos área da base do círculo
vezes 2 (lado esquerdo e direito) e área da seção cilíndrica dada por
(13)
Onde: 
r é o raio do tanque d/2 = 0,55/2 m. 
h é a altura do tanque 1,2 m.  
Substituindo os valores fornecidos na equação acima, temos: 
(14)
Agora podemos calcular a taxa de transferência de calor através do isolamento:
(15)
Isso signi�ca que precisamos fornecer uma potência elétrica de pelo menos 1315 W para manter
a temperatura da água no interior do tanque em equilíbrio a 75,0°C quando a temperatura externa
for de 1,0°C. 
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Para calcular a potência necessária para aquecer a água de 1°C a 75°C, precisamos saber a
quantidade de água no interior tanque e o tempo desejado para aquecê-la será de 1 hora. Com
essas informações, podemos usar a equação de transferência de calor para calcular a potência
necessária: 
(16)
Onde:
Q é a transferência de calor em J.
m é a massa de água contida no tanque.
c é o calor especí�co da água de 4180 J/kgK.
ΔT é a variação de temperatura em K ou ºC.
Para calcular a massa da água no tanque, precisamos saber o volume do tanque e a densidade
da água. O volume do tanque pode ser calculado usando a fórmula do volume de um cilindro:
(17)
Onde:
r é o raio do tanque d/2 = 0,55/2 m.
h é a altura do tanque 1,2 m.
Substituindo os valores fornecidos na equação acima, temos:
(18)
A densidade da água é aproximadamente 1000 kg/m³, então a massa da água no tanque é:
(19)
Considerando que ΔT(ºC) = ΔT(K), não será necessário fazer a conversão de temperatura. Agora
podemos calcular o calor necessário para aquecer a água de 1°C a 75°C, então temos:
(20)
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Para determinar a potência necessária, ou seja, a taxa de transferência de calor em W = J/s,
dividimos o calor necessário pelo tempo em segundos, para aquecer a água no interior do tanque
em 1 hora que é igual a 3600 segundos, temos que:
(21)
Isso signi�ca que a potência elétrica do aquecedor deverá ser su�ciente para compensar a perda
de calor através do isolamento térmico e manter a temperatura da água no nível desejado.  
Portanto, este equipamento pode ser projetado com duas resistências elétricas uma de 25 kW
que seria utilizada para realizar o aquecimento da água no interior do tanque, e a segunda de 1,5
kW que seria ligada para manter a temperatura interna do tanque considerando as perdas de
calor para o ambiente.
Resumo visual
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Figura | Infográ�co de temperatura e calor 
Fonte: elaborada pelo autor.
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Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física - Vol. 2 - Gravitação, Ondas e
Termodinâmica, 10. ed. Barueri: Grupo GEN, 2016. E-book. ISBN 9788521632078. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/. Acesso em: 19 mar. 2023.  
HEWITT, P. G. Fundamentos de física conceitual. São Paulo: Grupo A, 2008. E-book. ISBN
9788577803989. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577803989/. Acesso em: 12 abr. 2023.  
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas,
Termodinâmica. v.1. Barueri: Grupo GEN, 2009. E-book. ISBN 978-85-216-2618-3. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/. Acesso em: 20 mar.
2023.  
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2009. 332 p. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/37/pdf/0. Acesso em: 20 mar. 2023.
Aula 6
Roteiro de Aula Prática
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078
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Figura 7 | Infográ�co exempli�cando como detectar falhas por meio das análises de vibração. Fonte: elaborada pelo autor.
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Videoaula: Oscilador harmônico
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Nesta videoaula, estudaremos o conceito de movimento oscilatório. Abordaremos um dos
principais movimentos oscilatórios periódicos que é o movimento harmônico simples sob a
perspectiva da dinâmica. Veremos que no movimento harmônico simples, o sistema está sujeito
a uma força restauradora que varia linearmente com o deslocamento a partir da posição de
equilíbrio.  
Por �m, analisaremos algumas aplicações do movimento do movimento oscilatório dentro da
física e da engenharia. Com o conteúdo aqui apresentado, você terá desenvolvido ótimas
competências para conhecer como os sistemas mecânicos podem vibrar.
Saiba mais
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A indústria Petronas discute, no texto intitulado Os problemas das vibrações mecânicas em
equipamentos industriais, os principais problemas apresentados nos equipamentos industriais
por causa das vibrações mecânicas.  
Bons estudos!
Referências
RAO, S. S. Vibrações Mecânicas. Pearson-Prentice Hall, 2008. MENDES, R.U.,2011. 
TIPLER, P; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. v. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
Aula 3
Oscilações amortecidas
Introdução
https://inovacaoindustrial.com.br/vibracoes-mecanicas/
https://inovacaoindustrial.com.br/vibracoes-mecanicas/
Disciplina
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Olá, estudante! 
O estudo das oscilações apresenta aplicações em áreas tão distintas quanto projeto de
estruturas e circuitos elétricos em corrente alternada. O estudo dos diferentes fenômenos
oscilatórios permite projetar circuitos que selecionem canais de TV, pontes e passarelas que
suportem a passagem de carros e pedestres e até explica porque os cachorros respiram de
maneira ofegante em dias quentes. Nesta Unidade, você vai aprender sobre as oscilações
amortecidas, seus diferentes tipos e quais as diferenças para oscilações não amortecidas,
oscilações forçadas capazes de controlar a amplitude do movimento e, também, o efeito de
ressonância e como seus efeitos positivos e negativos são aplicados. Tenha uma ótima leitura! 
Oscilações amortecidas
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As oscilações amortecidas ocorrem em três tipos distintos: subamortecido, superamortecido e
criticamente amortecido. É muito importante saber diferenciar esses casos não só do ponto de
vista das equações, mas também do ponto de vista grá�co, pois suas aplicações dependem da
correta compreensão do desenrolar do fenômeno ao longo do tempo (RAO, 2011).  
Vamos ver as principais características dos grá�cos das oscilações amortecidas:
subamortecida, superamortecida e crítica, como compará-las, bem como a relação entre os
picos e vales dos grá�cos com a dinâmica do movimento.  
Um sistema sem amortecimento segue oscilando inde�nidamente, como mostra a Figura 1:  
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Figura 1 | Sistema sem amortecimento. Fonte: elaborada pelo autor. 
O amortecimento causa perda de energia, fazendo com que o movimento se encerre e que o
objeto retorne à posição de equilíbrio natural após certo tempo. Essa taxa de decaimento não é
linear, mas exponencial. Observe as Figuras 2, 3 e 4 e veja exemplos de tipos de oscilações
amortecidas. 
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Figura 2 |  Sem amortecimento. Fonte: elaborada pelo autor.  
Conforme ilustra a Figura 2, sem amortecimento
não há perda de energia e a amplitude do movimento se mantém constante ao longo do tempo.  
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Figura 3 | Subamortecida. Fonte: elaborada pelo autor. 
Na ilustração da Figura 3, subamortecida,
há perda de energia, a amplitude do movimento diminui exponencialmente ao longo do tempo e,
ao �nal o oscilador retorna à posição de equilíbrio.
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Figura 4 | Superamortecida. Fonte: elaborada pelo autor.
Na ilustração da Figura 4, superamortecida, 
há perda de energia e o sistema retorna à posição de equilíbrio.  
Como vimos nas Figuras 2, 3 e 4, letra b é uma constante que descreve a capacidade de
amortecimento do sistema, denominada como constante de amortecimento. As oscilações
amortecidas ocorrem quando uma força atua de modo a resistir ao movimento de oscilação,
diminuindo sua amplitude de movimento ao longo do tempo.  
Fenômenos de oscilação do cotidiano, como o badalar dos sinos ou o movimento do
amortecedor de um carro, são exemplos de oscilações amortecidas. Além disso, é possível
controlar a amplitude do movimento aplicando uma força externa no sistema, situação na qual
pode acontecer o efeito de ressonância.  
Tipos de oscilações mecânicas 
As oscilações ou vibrações são de�nidas como vibrações livres — no caso de os movimentos
serem mantidos somente por forças restauradoras — ou vibrações forçadas — quando houver
forças periódicas aplicadas aos sistemas. Já quando o efeito do atrito pode ser desprezado,
teremos vibrações amortecidas.  
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Entretanto, o movimento pode ser muito maior, a impedir qualquer vibração verdadeira — nesse
caso, o sistema retorna vagarosamente a sua posição original. Uma vibração forçada amortecida
é mantida durante o tempo em que a força periódica que produz a vibração é aplicada. Observe
na Figura 5 as curvas para alguns regimes de oscilação. 
Figura 5 | Regimes de oscilação Livre. Fonte: Adaptado de (FEYNMAN, 2006, p. 89). 
Antes de entrarmos na análise de um sistema amortecido, vamos entender os principais tipos de
amortecimento que podemos encontrar (RAO, 2011).  
 Amortecimento viscoso: é o mais comum. Nesse caso, o amortecimento se dá por meio de
�uidos (ar, gás, água), ou seja, a vibração acontece em um desses meios. A força
dissipadora do amortecimento é proporcional à velocidade. 
Amortecimento de Coulomb: é mais típico em máquinas, pois ocorre devido ao atrito seco
no contato entre duas partes sem ou com de�ciência de lubri�cação. 
Amortecimento por histerese: a dissipação de energia vai acontecer pela deformação do
material. Está mais ligado às mudanças microestruturais dos materiais quando se
encontram em movimento vibratório. Parte da energia do sistema é utilizada para
deslizamento e escorregamento de planos internos.  
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Há diferentes formas de classi�car as vibrações em sistemas mecânicos de acordo com Rao
(2011): 
Quanto à excitação, as vibrações podem ser livres ou forçadas. 
Quanto ao amortecimento, as vibrações podem ser amortecidas ou não amortecidas. 
Quanto ao deslocamento, podem ser retilíneas ou torcionais, ou a combinação de ambas.  
Ressonância 
A ressonância é um caso particular de oscilação forçada. À medida em que a diferença de
frequência entre o sistema e a força externa reduz, a amplitude resultante das oscilações
aumenta. Assim, quando as duas frequências coincidem, ocorre a ressonância. Nela, a amplitude
da oscilação é máxima e a frequência de oscilação natural do sistema é igual à frequência da
força motriz periódica. Alguns dos exemplos reais são: 
Violão: nos violões, uma corda dedilhada vibra e retransmite a energia sonora para a caixa
de ressonância. O ar dentro da caixa de som ressoa e ampli�ca o som tornando-o mais
alto.  
Cantores de ópera: se a frequência da voz de um cantor corresponder à frequência
ressonante de um objeto de vidro, ocorre uma transferência de energia, fazendo com que o
vidro se estilhace. 
Ponte: no caso de um grupo de soldados marchando sobre uma ponte, se a frequência de
sua marcha sincronizadacorresponder à frequência natural da ponte, a ponte pode entrar
em colapso devido às vibrações extremas.  
A frequência natural de um sistema é a frequência na qual o sistema oscilará se não for afetado
por forças motrizes ou de amortecimento. Uma força periódica que atua em um oscilador
harmônico em sua frequência natural, produz ressonância. Diz-se que o sistema ressoa. Quanto
menor a capacidade de amortecimento de um sistema, maior será a amplitude das oscilações
forçadas perto da ressonância. 
Modelagem matemática das oscilações amortecidas
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Física Geral e Experimental -
Energia
Para nos aprofundarmos em oscilação amortecida, considere os seguintes exemplos: o
amortecedor de um carro depois de passar por um desnível ou, então, as badaladas de um sino
quando abandonado para balançar por si mesmo. Em todos esses casos, o sistema não oscila
inde�nidamente, havendo uma diminuição na amplitude do movimento e, consequentemente, em
sua velocidade, até que o sistema atinja o repouso em sua posição de equilíbrio.  
A diminuição da amplitude de oscilação desses sistemas signi�ca que existe uma força oposta
ao movimento agindo de modo a desacelerá-lo até o repouso. No caso do sino, por exemplo,
essas forças são a resistência do ar e o atrito no ponto de sustentação, chamadas de forças
amortecedoras, cujo movimento passa a ser denominado oscilação amortecida.  
Uma das forças amortecedoras mais comuns em sistemas mecânicos é a força de arraste, que é
função da velocidade. Para velocidades não muito grandes, a força de arraste que atua sobre um
corpo é dada pela equação (1). 
 (1)  
O sinal negativo indica que a força de arraste atua em um sentido contrário ao da velocidade do
corpo, e b é uma constante que descreve a intensidade da força de amortecimento, conhecida
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como constante de amortecimento (YOUNG; FREEDMAN, 2015). 
A Figura 6 mostra as forças atuando em um sistema massa-mola e seus respectivos diagramas
de corpo livre; observe que Fγ é sempre contrária à força restauradora Fx, uma vez que a
velocidade tem o mesmo sentido do deslocamento. 
Figura 6 | Forças atuantes no sistema massa-mola. Fonte: adaptada de Young e Freedman (2015, p. 92). 
Vimos na Figura 6 o diagrama de corpo livre envolvendo a força restauradora (Fx), a força de
arraste (Fγ), a normal (N) e o peso (W) para cada uma as situações: em (a), a mola está em
repouso em sua posição de equilíbrio; em (b), está esticada; e, em (c), está comprimida. 
A equação do movimento do sistema  pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton. Nesse
caso: 
(2)
(3)
Substituindo as relações
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na Equação (3), teremos: 
(4)
A equação diferencial de segunda ordem (4) descreve o movimento de oscilação amortecido.
Apesar do termo
esta equação é muito similar à equação que descreve o movimento MHS.  
Para a comodidade de todos os motoristas, o amortecedor do carro, quando em boas condições,
é criticamente amortecido ou ligeiramente superamortecido (YOUNG; FREEDMAN, 2015). O super
amortecimento é contraproducente para a suspensão, pois, uma vez que ele retorna à posição de
equilíbrio de maneira mais lenta, caso encontre uma sequência de desníveis na pista, as molas
da suspensão ainda estão comprimidas em razão da saliência anterior e não conseguirão
absorver o impacto.  
A Figura 7 representada por (a) e (b), apresentam, respectivamente, o grá�co da oscilação
subamortecida e uma comparação entre a oscilação sem amortecimento e a subamortecida, em
que se pode observar que, com o passar do tempo, a amplitude de oscilação diminui até atingir
que o sistema alcance a condição de repouso.  
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Figura 7 | Traçado das curvas: (a) oscilação subamortecida (b) oscilação sem amortecimento. Fonte: elaborada pelo autor. 
O subamortecimento está presente na vibração das cordas dos violões a �m de obter o menor
amortecimento possível, uma vez que uma vibração amortecida seria prejudicial para o som
produzido pelo violão.  
As forças de arraste reduzem a amplitude de um sistema oscilante, que se deixado livre, atingirá
a sua posição de equilíbrio. Porém, é possível controlar a amplitude do movimento se uma força
externa for aplicada ao sistema. Por exemplo, você pode controlar o movimento de um balanço,
de um sino ou fazer uma nota soar de maneira mais intensa se modi�car a amplitude de vibração
com uma palhetada.  
A força
denominada força propulsora, pode ter várias formas, mas, em geral, para diferentes sistemas
físicos, é periódica no tempo, o que também facilita a abordagem matemática do problema. Uma
vez que uma força externa é aplicada ao sistema, a frequência de oscilação deixa de ser a
frequência natural
calculada em termos de
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e passa a ser 
determinada pela força exercida (YOUNG; FREEDMAN, 2015).
Como mostra a equação (5):
(5)
A amplitude de oscilação para um oscilador forçado é determinada em função da frequência
angular
da força propulsora, da frequência natural de oscilação
e do parâmetro b da força de amortecimento (YOUNG; FREEDMAN, 2015).
como podemos ver na equação a seguir (6).
(6)
Observe que, para
ou seja, quando a força de arraste é muito pequena, a Equação (6) toma a forma da Equação (7):
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  (7)
Desse modo, �ca evidente que há uma singularidade no ponto
ou seja, quando a frequência de oscilação forçada se aproxima do valor da frequência de
oscilação natural do sistema, surge uma singularidade. É importante reforçarmos um ponto
conceitual, neste momento.
É comum, na literatura técnica de vibrações mecânicas para a engenharia, o termo 
ser chamado de frequência de oscilação, entretanto, a rigor, sabemos que seu nome correto é
velocidade angular. Apesar da incoerência formal, este costume pouco interfere nos cálculos,
pois,
ou seja, a análise que é feita para a velocidade angular 
acaba valendo para a frequência.
A ressonância é um fenômeno que ocorre quando existe um pico de amplitude provocado pela
ação de uma força, cuja frequência de oscilação está próxima da frequência de oscilação natural
do sistema. A ressonância pode ter efeitos devastadores, em especial nas estruturas mecânicas
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e da construção civil, quando estas são submetidas a ação de uma força externa cuja frequência
coincide com sua frequência natural de vibração (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016).
Aplicações das oscilatório amortecidas na física e na engenharia
No estudo das oscilações amortecidas, um tipo de amortecimento bastante comum em nosso
cotidiano é o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipada
proporcionada por um �uido viscoso. Essa força tem a característica principal de ser
proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento, quando existe um �uido
que as separa. Essa proporcionalidade garante que a equação diferencial do movimento não
perca nenhuma de suas características. A força de amortecimento viscoso tem como
expressão: 
Em que
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é a constante de amortecimento.
A Figura 8 mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento
viscoso.
Figura 8 | Amortecedor com �uido. Fonte: elaborada pelo autor.
Outros vários exemplos das aplicações das oscilações nas engenharias são listados a seguir:  
Engenharia civil e arquitetura: Obras civis devem ser construídas com especial atenção
quanto às suas dimensões, de modo que intempéries naturais, como ventanias e
terremotos não consigam forçá-los a oscilar em frequências próximas da ressonância. Um
exemplo clássico é a Tacoma Narrows Bridge, uma ponte pênsil (suspensa) localizada no
estado de Washington nos Estados Unidos, cuja estrutura sofreu oscilação em razão dos
fortes ventos, o que contribuiu para o seu colapso.
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Física Geral e Experimental -
EnergiaPara evitar a ressonância, soldados caminham sobre pontes em vez de marchar, pois a
cadência da marcha é capaz de estimular a vibração da estrutura em frequências próximas
às da ressonância. Porém, pedestres caminhando em marcha, podem forçar as vibrações
indesejadas, como no caso da Millenium London Bridge, localizada em Londres, no Reino
Unido, cuja estrutura sofreu oscilações nas laterais quando 2.000 pedestres caminharam
sobre ela, passando a vibrar próximo da frequência de ressonância (BAUER; WESTFALL;
DIAS, 2013).   
Circuitos elétricos: Uma das características de um circuito RLC (resistores, indutores e
capacitores) de corrente alternada reside no fato de que apresenta uma frequência natural
de vibração, caso em que a ressonância tem uma aplicação prática muito importante, que
são os circuitos sintonizadores. Os circuitos sintonizadores de rádio e TV respondem
fortemente a ondas com uma frequência próxima, da sua frequência natural de oscilação, o
que nos permite selecionar uma emissora e rejeitar outras (YOUNG; FREEDMAN, 2015).  
Equipamentos sonoros: A ressonância tem um efeito indesejado em caixas de som. Quando o
som emitido pelo alto-falante tem uma frequência próxima da frequência de oscilação natural da
caixa ou do cone do alto-falante, ouvimos ruídos indesejáveis (YOUNG; FREEDMAN, 2015).  
Motores: O efeito de ressonância é sentido, neste caso, quando uma forte vibração ocorre em um
carro no momento em que o motor gira em determinadas rotações. Por isso, projetistas de
aeronaves devem levar em consideração a frequência de oscilação natural das asas dos aviões,
para que nunca coincidam com as frequências de oscilação dos motores (HALLIDAY; RESNICK;
WALKER, 2016).  
É natural que as pessoas imaginem apenas oscilações de motores, de cordas de violões e
guitarras e até das asas de um avião. No entanto, oscilações devem ser levadas em
consideração, também em projetos de estruturas estáticas, como vigas. Para que esses projetos
sejam bem executados, existem normas que regulamentam os parâmetros que devem ser
atendidos de acordo com suas especi�cidades. 
Videoaula: Oscilações amortecidas
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Nesta videoaula, você aprenderá que diferentes tipos de forças podem atuar em um sistema
oscilante, causando uma alteração do seu movimento natural, como as forças de arraste, que
promovem uma diminuição da amplitude com o passar do tempo em três modos distintos: as
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oscilações subamortecidas, as superamortecidas e as críticas. Por meio de comparações com
equações e grá�cos, você aprenderá a respeito dessas oscilações para diferenciar o movimento
harmônico simples, no qual não há amortecimento, tanto do ponto de vista da análise de forças
quanto da energia. Com o conteúdo apresentado, você terá desenvolvido ótimas competências
para conhecer como os sistemas mecânicos podem vibrar.   
Bons estudos!
Saiba mais
No artigo Sistema de monitoramento de vibração estrutural baseado em IOT (Internet das
Coisas), você pode conferir uma solução de baixo custo utilizando a plataforma Arduino para
realizar medições de vibrações em vigas. 
Bons estudos!
Referências
https://lyceumonline.usf.edu.br/salavirtual/documentos/3100.pdf
https://lyceumonline.usf.edu.br/salavirtual/documentos/3100.pdf
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BAUER, W. WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: relatividade, oscilações, onda e
calor. Porto Alegre: AMGH, 2013.  
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e
termodinâmica. 10. ed. v. 2. São Paulo: LTC, 2016.   
RAO, S. S. Vibrações Mecânicas. Pearson-Prentice Hall, 2008.  
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física II: termodinâmica e ondas. 14. ed. v. 2. São Paulo:
Pearson, 2015.
Aula 4
Ondas
Introdução
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Olá, estudante! 
Uma onda é um �uxo ou transferência de energia na forma de oscilação através de uma região
do espaço, e muitas delas são estudadas na Física e nas Engenharias. Algumas ondas precisam
de um meio material para se propagar, enquanto outras, não. Com base na orientação do
movimento das partículas e na direção da energia, existem três categorias: ondas mecânicas,
ondas eletromagnéticas e ondas de matéria.  
Nesta unidade, iremos focar no estudo das ondas mecânicas e em alguns fenômenos
relacionados, como Interferência e Re�exão. Aprenderemos, também, sobre as principais
grandezas físicas utilizadas para caracterizar as ondas, tais como: velocidade, comprimento de
onda, período, frequência e amplitude. Por �m, estudaremos, o princípio da superposição. Tenha
uma ótima leitura!
Ondas: Conceito, tipos e características
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As ondas podem ser observadas em diversos fenômenos naturais. Você pode percebê-las, por
exemplo, em pequenas ondulações em um lago, no solo que oscila durante um terremoto, em
uma corda de violão que vibra, no som de uma flauta e, também, nas cores do arco-íris.  
Para todos os tipos de ondas emprega-se uma descrição matemática similar. As ondas
mecânicas incluem ondas sonoras e ondas aquáticas. Elas se propagam através de um meio
elástico e podem ser originadas por uma perturbação inicial em um ponto desse meio. Em
função das propriedades elásticas do meio, a perturbação se propaga através dele.
Considerando o nível microscópico, as forças entre os átomos são responsáveis pela
propagação das ondas mecânicas.  
Um dos exemplos é uma folha que �utua em um lago. Ela pode oscilar para cima e para baixo
quando uma onda estiver passando, mas logo volta a uma posição muito próxima da original
(RESNICK; HALLIDAY; KRANE, 2017).  
Tipos de Ondas 
Uma onda mecânica pode ser classificada de acordo com a relação entre as suas direções de
propagação e as direções do movimento das partículas do meio em que ela se move. Assim, se o
movimento das partículas for perpendicular à direção da propagação da onda, tem-se uma onda
transversal. Mas, se o movimento das partículas da onda mecânica for para frente e para trás ao
longo da direção de propagação, tem-se uma onda longitudinal. 
Ondas transversais: quando você faz a extremidade de uma mola tensa oscilar para frente
e para trás, surge uma onda transversal na mola. A perturbação move-se ao longo da mola,
mas as partículas vibram em ângulos retos com a direção de propagação da perturbação,
como mostra a Figura 1 (a). As ondas luminosas, apesar de não serem ondas mecânicas,
também são ondas transversais. 
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Ondas longitudinais: quando você faz a extremidade de uma mola tensa oscilar para frente
e para trás, surge uma onda longitudinal ao longo da mola. As espiras vibram para frente e
para trás, paralelamente à direção em que a perturbação se dá ao longo da mola, como
mostra a Figura 1 (b). As ondas sonoras em um gás são ondas longitudinais. 
  Figura 1 |  Molas. Fonte: Resnick, Halliday e Krane (2017, p. 52.). 
Vimos, então, na Figura 1 as seguintes molas: (a) Envio de uma onda transversal ao longo de
uma corda. Cada elemento da corda vibra em ângulos retos com direção de propagação da onda.
(b) Envio de uma onda longitudinal através da corda. Cada elemento da corda vibra
paralelamente com a direção de propagação da onda. (c) Envio de um pulso transversal simples
ao longo da corda. 
Para compreender esse conceito, imagine uma pedra jogada em um lago parado. Do ponto em
que a pedra toca a água partem ondas circulares, como mostra a Figura 2. Todos os pontos de
uma mesma onda têm o mesmo estado de movimento. Esses pontos definem uma superfície
chamada frente de onda. Se o meio é de massa específica uniforme, a direção de movimento das
ondas é perpendicular à frente de onda. Uma linha normal às frentes de onda indicando a direção
do movimentodas ondas é chamada raio.  
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Figura 2 | Ondas na superfície de um lago. Fonte: Resnick, Halliday e Krane (2017, p. 54). 
Na Figura 2, as costelas circulares representam frentes de onda. Os raios, que são
perpendiculares à frente de onda, indicam a direção do movimento das ondas. 
Por outro lado, uma vara muito longa largada horizontalmente na água produz (próximo ao seu
centro) perturbações que se propagam como linhas retas nas quais os raios são linhas paralelas.
De modo análogo, para o caso tridimensional, a onda será plana quando todas as perturbações
se propagarem em uma mesma direção.  
Em dado instante, as condições são as mesmas em qualquer ponto de qualquer plano
perpendicular à direção de propagação. Nesse caso, as frentes de onda serão planas e os raios
serão linhas retas, como mostra a Figura 3 (a). A analogia tridimensional das ondas circulares
são as ondas esféricas. Nesse caso, a perturbação se propaga para fora em todas as direções a
partir de uma fonte pontual de ondas.  
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Figura 3 | Frentes de onda. Fonte: Resnick, Halliday e Krane (2017, p.56). 
Na Figura 3 temos: (a) Uma onda plana. Os planos representam as frentes de onda espaçadas de
um comprimento de onda, e as setas representam os raios. (b) Uma onda esférica. As frentes de
onda, espaçadas de um comprimento de onda, são superfícies esféricas, e os raios estão em
direções radiais. 
As frentes de onda são esféricas e os raios são linhas radiais partindo da fonte pontual para
todas as direções, como você pode ver na Figura 3 (b). Longe da fonte pontual, as frentes de
onda têm uma curvatura muito pequena e, respeitando uma região limitada, podem ser
consideradas planas. Há, naturalmente, muitos outros tipos possíveis de per�s de frente de onda.
Dois fenômenos importantes envolvendo ondas mecânicas que serão estudados mais adiante
são: a interferência e a re�exão.  
A interferência é o fenômeno que ocorre quando duas ondas se encontram enquanto viajam ao
longo do mesmo meio, fazendo com que o meio assuma uma forma resultante do efeito
combinado das duas ondas, de modo que duas ondas podem interferir de maneira construtiva ou
destrutiva.  
Já o fenômeno da re�exão ocorre quando uma onda se encontra com um obstáculo que a faz
retornar ao meio de propagação com grande parte das suas características preservadas.
Ondas em cordas e o fenômeno da superposição
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Uma vez que uma perturbação é introduzida na corda, as partículas da corda começam a vibrar
para cima e para baixo. A qualquer momento, uma partícula no meio pode estar acima ou abaixo
da posição de repouso.  
A crista de uma onda é o ponto que exibe a quantidade máxima de deslocamento positivo ou
ascendente a partir da posição de repouso. Já o vale é o ponto que exibe a quantidade máxima
de deslocamento negativo ou descendente em relação à posição de repouso, conforme ilustra a
Figura 4.  
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Figura 4 | Onda gerada em uma corda. Fonte: Mourão Junior e Abramov (2017, p.19). 
A onda mostrada na Figura 4 pode ser descrita por uma variedade de propriedades. Uma delas é
a amplitude, querefere-se à quantidade máxima de deslocamento de uma partícula no meio a
partir de sua posição de repouso. Quanto maior a amplitude de uma onda, mais energia ela
transporta. O comprimento de onda é simplesmente o comprimento de um ciclo de onda
completo. Ele se repete de forma periódica e regular no tempo e no espaço. O comprimento de
onda representa a medida da distância de crista a crista ou de vale a vale. Podemos relacionar o
comprimento de onda, com velocidade e frequência, por meio da relação: 
Em que: 
v = velocidade de propagação da onda em m/s. 
λ = comprimento de onda em (m). 
f = frequência de oscilação da onda em Hz. 
A frequência é o número de oscilações completas por segundo. O símbolo da frequência é o ƒ e
unidade de medida de frequência no SI é o hertz, que tem como símbolo Hz. Um hertz equivale a
1 oscilação por segundo, ou seja, 1 s-1.  
Outra propriedade importante é o período do movimento T, que é o tempo necessário para que
uma oscilação se complete. Ambas se relacionam por: 
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Em um ciclo, são percorridos 2π rad em um período, temos que a frequência angular �ca: 
A unidade de medida no SI da frequência ou velocidade angular é radianos por segundo.
A velocidade da Onda em Cordas
O modelo matemático para ondas mecânicas, conforme Knight (2009), é quando a perturbação
de uma onda é criada por uma fonte que poderia ser, por exemplo, uma pedra jogada na água, a
sua mão que dedilha um barbante esticado ou um cone de alto-falante que oscila, empurrando o
ar. A perturbação se propaga para longe da fonte, através do meio, com uma velocidade de onda
v. A velocidade da onda em uma corda esticada com uma força de tração TC em N (Newton) é
dada por:
Em que, μ é a razão entre a massa e o comprimento da corda, também chamada de densidade
linear. A unidade para a densidade linear é o kg/m. Nota-se que uma corda grossa tem um valor
de μ maior do que o de uma corda �na feita do mesmo material. Ou seja, aqui você deve
considerar que há uniformidade, o que signi�ca que a densidade linear é a mesma em todos os
pontos ao longo do comprimento. É importante observar que a velocidade da corda tem sempre
um valor positivo e todos os pontos de uma onda se propagam com essa velocidade (KNIGHT,
2009).  
Superposição de Ondas e o Fenômeno da Interferência 
A superposição de ondas é mais comum do que se imagina. No cotidiano de uma cidade
movimentada, por exemplo, escutamos vários sons simultaneamente, o que nos leva a ouvir uma
mistura de todos esses sons combinados, como se fosse apenas um único som. No entanto,
essa soma, dependendo do caso, não é apenas a soma das ondas, pois algumas ondas podem
ter sido suprimidas por outras ondas, e, assim, perdemos parte do que acontece no ambiente. 
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Considere que as ondas longitudinais se propagam simultaneamente em um mesmo meio físico
e no mesmo sentido, conforme ilustra a Figura 5. 
Figura 5 | Superposição de duas ondas (tracejadas curta e longa) e sua onda resultante (contínua). Fonte: elaborada pelo
autor. 
Quando há ondas defasadas (i.e., podem ter a mesma frequência e amplitude, mas há um
atraso/adiantamento entre elas), a superposição pode levar a uma interferência, também
chamada de supressão (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2013). Ocorre a chamada interferência
totalmente construtiva, quando as ondas se somam por completo. No caso de haver uma
interferência totalmente destrutiva, a onda resultante será nula. A Figura 6 ilustra exemplos de
interferência.  
Figura 6 | Interferência entre ondas. Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016, p. 131). 
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Temos, então, na Figura 6, (a–d) totalmente construtiva; (b–e) totalmente destrutiva; (c–f)
intermediária. Portanto, a interferência pode aumentar, neutralizar ou criar uma onda resultante
composta. Além disso, as ondas que estão em caminhos opostos geram, devido à interferência,
ondas estacionárias, as quais quando com frequências iguais, geram o fenômeno de ressonância
ondulatória. 
Aplicações da ondulatória
Avaliar a intensidade sonora é um processo que fazemos quando ouvimos uma música ou
ajustamos o volume do toque de chamada de um celular; nessas situações, estamos
aumentando ou diminuindo a intensidade de emissão da onda sonora. Intensidade é a
propriedade do som relacionada ao volume em que ouvimos.  
Pelo fato de compreender uma propagação de ondas, o som é um processo de transporte de
energia mecânica (variando entre energia cinética e potencial). Em resumo, podemos dizer que,
em termos acústicos, a intensidade corresponde ao valor médio do �uxo de energia por segundo
por unidade área, medida em Watts por metro quadrado (W/m²). Matematicamente,a
intensidade sonora é dada pela Equação: 
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Em que: P é a potência da onda sonora e A, a área da superfície que intercepta o som. O nível de
intensidade sonora é expresso em decibéis (dB), tomando como referência 1 dB =1.10–12 W/m2:
sons com intensidade abaixo de 0 dB não podem ser ouvidos e aqueles com intensidade superior
a 120 dB são desconfortáveis e até mesmo dolorosos.  
A Figura 7 apresenta alguns exemplos de níveis de som e situações a eles associadas. 
Figura 7 | Níveis sonoros e exemplos de emissores. Fonte: adaptado de BAUER (2013, p. 145). 
O nível de intensidade sonora (β) é dado pela Equação:
Em que: 
I0 é  igual a 10–12 W/m2 (que corresponde a 0 dB e não podem ser ouvidos). 
I= intensidade sonora a ser medida em W/m2. 
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= nível sonoro em dB.
Para modular a amplitude das ondas sonoras que chegam ao tímpano e são transmitidas até a
orelha interna por ossículos da orelha média, o ouvido conta com um músculo chamado
estapédio (MOURÃO JUNIOR; ABRAMOV, 2017). Esse músculo, ao se contrair, aumenta a tensão
sobre os ossículos, limitando a amplitude da onda em propagação.  
O músculo estapédio é ativado quando as pessoas são submetidas a sons muito intensos e
duradouros, como em uma boate. Uma fonte sonora como um alto-falante produz pequenos
“tapinhas”, que são forças, no ar contíguo a ele. Em frequência variável, eles se propagam pelo ar
como ondas de compressão e rarefação (MOURÃO JUNIOR; ABRAMOV, 2017).  
Você pode ver um exemplo que ilustra essa situação, na Figura 8, em que há a representação de
uma onda sonora (rarefação e compressão) como uma oscilação bidimensional em um grá�co.
A rarefação representa os “vales” —os pontos mais baixos da trajetória de uma onda, do grá�co
da onda — e a compressão representa as “cristas” —os pontos mais altos da trajetória de uma
onda, do grá�co. 
Figura 8 | Onda sonora e sua representação grá�ca. Fonte: Mourão Junior e Abramov (2017, p. 23).   
Os “tapinhas” produzidos pelo alto-falante podem ter frequência e amplitude variáveis. Então,
nem sempre as ondas que se propagam precisam ser monótonas e idênticas. Uma grande
variabilidade de padrões de frequência e amplitude pode se somar, fazendo surgir um composto
complexo de oscilações que, a princípio, parecem caóticas. Esse complexo é chamado de onda
complexa. A Figura 9 apresenta um composto de quatro ondas com frequências e amplitudes
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diferentes, reconhecidamente comuns na composição dos sons. Observe que, à esquerda, são
apresentados os componentes e, à direita, a onda resultante.  
Figura 9 | Representação grá�ca do composto de ondas. Fonte: Mourão Junior e Abramov (2017, p. 29). 
Na natureza, várias fontes emitem ondas do mesmo tipo que se cruzam simultaneamente. Por
exemplo, se você falar no celular enquanto caminha pelo centro de uma grande cidade às 18h,
diversas ondas sonoras vão se encontrar no seu ouvido: a voz ao telefone, as buzinas, os gritos
de ambulantes, o som dos motores dos carros, entre outras. Provavelmente, essas ondas
interagirão continuamente.  
Aplicações na Engenharia 
A superposição de ondas é um dos fenômenos que ocorrem em ondas, que pode levar à
interferência construtiva, destrutiva ou intermediária em ondas que seguem o mesmo sentido
(NUSSENZVEIG, 2013).  
Para ondas vindas de diferentes sentidos, por exemplo, imagine uma fábrica que tem como
principal serviço a estampagem em ligas de aço. As máquinas alternativas (prensas, geradores a
diesel, motores de combustão interna etc.) vizinhas podem gerar ondas que estão em sentidos
opostos, podendo sofrer interferência. Se essa interferência gerar ondas estacionárias a partir de
uma coincidência de frequências, tem-se, então, o fenômeno de ressonância.  
Vários estudos sobre a ressonância são feitos durante o projeto de estruturas, máquinas e outros
equipamentos (Figura 10), pois ela eleva as amplitudes das ondas de maneira signi�cativa e
destrutiva (JEWETT JR.; SERWAY, 2011).  
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Figura 10 | Avaliação de ressonância entre dois motores em campo. Fonte: Mourão Junior e Abramov (2017, p. 32). 
Portanto, a interferência pode aumentar, neutralizar ou criar uma onda resultante composta.
Além disso, as ondas que estão em caminhos opostos geram, devido à interferência, ondas
estacionárias, que, quando possuem frequências iguais, geram o fenômeno de ressonância
ondulatória. 
Videoaula: Ondas
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Nesta videoaula você estudará o conceito de onda e aprenderá que existem muitos tipos de
ondas que são estudados na Física e nas Engenharias. Algumas ondas precisam de um meio
material para se propagar, enquanto outras, não. Verá que, com base na orientação do
movimento das partículas e na direção da energia, existem três categorias: ondas mecânicas,
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ondas eletromagnéticas e ondas de matéria. Abordaremos alguns fenômenos relacionados,
como: interferência e re�exão. Por �m, aprenderemos sobre as principais grandezas físicas
utilizadas para caracterizar as ondas, tais como: velocidade, comprimento de onda, período,
frequência e amplitude. Bons estudos! 
Saiba mais
O pesquisador Erick Silva, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso
(IFMT), desenvolveu um artigo em que apresenta a vídeo análise do movimento de uma bicicleta
utilizando os dados para estudar a relação entre o movimento circular uniforme e o movimento
harmônico simples. O artigo foi publicado em 2017 na Revista Brasileira de Ensino de Física,
intitulado Estudo da relação entre o movimento circular uniforme e o movimento harmônico
simples utilizando a vídeo análise de uma roda de bicicleta. Vale a pena conferir e ampliar seus
conhecimentos. 
Referências
https://www.scielo.br/j/rbef/a/crLMjh3wCV57RZpJJ7RsVbD/?lang=pt%22%20\l%20%22c1
https://www.scielo.br/j/rbef/a/crLMjh3wCV57RZpJJ7RsVbD/?lang=pt%22%20\l%20%22c1
https://www.scielo.br/j/rbef/a/crLMjh3wCV57RZpJJ7RsVbD/?lang=pt%22%20\l%20%22c1
https://www.scielo.br/j/rbef/a/crLMjh3wCV57RZpJJ7RsVbD/?lang=pt%22%20\l%20%22c1
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
BAUER, W. WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: relatividade, oscilações, onda e
calor. Porto Alegre: AMGH, 2013.  
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e
termodinâmica. 10. ed. v. 2. São Paulo: LTC, 2016.   
JEWETT JR., J. W.; SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: oscilações, ondas e
termodinâmica. 2. ed. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.   
KNIGHT, R. Física 2: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.  
MOURÃO JÚNIOR, C. A.; ABRAMOV, D. M. Biofísica essencial. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,
2017.  
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor 5. ed. v. 2. São
Paulo: Blucher, 2013. ().  
RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. Física 2. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
Aula 5
Revisão da unidade
O movimento ondulatório
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
O movimento circular é um caso especial de movimento curvilíneo, no qual o raio de rotação
permanece constante. A forma mais simples de movimento circular é o movimento circular
uniforme (MCU). Nele, o módulo da velocidade é constante, mas a direção do vetor velocidade
muda com o movimento, conforme ilustra a Figura 1. 
Disciplina
Física Geral e Experimental -
Energia
Figura 1| Ponto material em movimento circular uniforme. Fonte: elaborada pelo autor. 
Exempli�cando a Figura 1 em que um ponto material realiza movimento circular uniforme, visto
que, o comprimento dos vetores V1, V2 e V3 permanece constante, porém houve mudança na
direção, imagine