8 MHS - Ondas - Acústica - ALUNOS

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FÍSICA
CIÊNCIAS DA NATUREZA 
E SUAS TECNOLOGIAS
Antonio Sérgio Martins de Castro
Compreender e analisar a importância dos fenômenos ondulatórios, visando o desenvolvimento tecnológico e humano.
ONDULATÓRIA
Capítulo 1 Movimento harmônico simples (MHS) 2
Capítulo 2 Ondas 26
Capítulo 3 Fenômenos ondulatórios 44
Capítulo 4 Acústica 65
k
e
rt
lis
/i
S
to
ck
p
h
o
to
/G
e
tt
y 
Im
ag
es
Et_EM_2_Cad8_Fis_c01_01a25.indd 1 9/19/18 8:08 AM
 ► Compreender a importância 
dos movimentos harmônicos 
em aplicações cotidianas.
 ► Analisar o comportamento 
da velocidade em 
movimentos harmônicos.
 ► Identifi car e compreender as 
relações entre o movimento 
harmônico simples e o 
movimento circular.
 ► Identifi car e compreender 
as funções horárias da 
elongação, velocidade e 
aceleração do movimento 
harmônico simples.
 ► Construir e interpretar 
gráfi cos do movimento 
harmônico simples.
 ► Compreender e analisar 
o comportamento das 
energias cinética, potencial e 
mecânica do MHS.
 ► Identifi car e analisar 
movimentos periódicos em 
geral.
Principais conceitos 
que você vai aprender:
 ► Elongação
 ► Movimento harmônico 
simples
 ► Período e frequência
 ► Frequência angular
 ► Constante elástica
 ► Sistema massa-mola 
 ► Pêndulos
2
OBJETIVOS
DO CAPÍTULO
 S
ashkin/S
h
u
tte
rsto
ck
1
MOVIMENTO HARMÔNICO 
SIMPLES (MHS)
 Os movimentos repetitivos são facilmente encontrados em nosso cotidiano. Os reló-
gios antigos apresentavam um sistema composto pelo mecanismo de corda, cujo funcio-
namento era percebido por meio de um movimento pendular, que, oscilando sempre no 
mesmo intervalo de tempo, determinava a marcha dos ponteiros. 
A importância do pêndulo teve seu destaque na experiência do físico francês Jean 
Bernard Léon Foucault (1819-1868), na qual demonstrou que a Terra girava. Uma répli-
ca desse pêndulo fica permanentemente exposta no Panteão (Panthéon), em Paris, e 
é constituída por uma esfera de 28 kg pendurada por um fio de 67 m de comprimento. 
Ao caminhar pelo museu durante algumas horas e retornar ao pêndulo, percebe-se que 
a direção de sua oscilação sofre uma pequena alteração. 
Além de pêndulos, movimentos que utilizam molas e elásticos também podem apre-
sentar movimento harmônico simples (MHS). Como exemplo, poderíamos pensar no mo-
vimento do bungee jump (prática esportiva e/ou atividade recreativa na qual se salta de 
um vão livre, conectado a um cabo de feixe de elásticos paralelos com equipamentos se-
melhantes aos de escalada esportiva), caso fosse desprezível a resistência do ar e pudés-
semos considerar como ideal o elástico utilizado.
• Durante um salto de bungee jump, após o início da distensão do elástico, o frear da 
queda ocorre até que se inverta o sentido e a pessoa seja puxada para cima. Se esses 
elásticos fossem ideais, a pessoa permaneceria oscilando? Em quais outras situações 
você identifi ca o MHS?
Estudaremos neste capítulo as condições para que o MHS se estabeleça, bem como o 
comportamento das energias que se transformar durante as repetições do movimento.
P
u
m
p
ch
n
/S
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e
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ck
 
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3
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S
IC
A
Cinem‡tica do MHS
Há uma versão histórica em que Galileu Galilei (1564-1642), assistindo a uma mis-
sa na Catedral de Pisa, na Itália, observou um candelabro que oscilava levemente. 
Usando as batidas do coração como medida de tempo, ele constatou que, embora as 
oscilações do candelabro fossem cada vez menores, o tempo de cada oscilação era 
praticamente o mesmo. 
Posteriormente, Galileu realizou experimentos com pêndulos constituídos por uma 
esfera e um barbante, usando um relógio de água, e descobriu que o tempo para uma 
oscilação completa era sempre o mesmo, independentemente da massa da esfera e da 
amplitude de oscilação, desde que o comprimento do barbante fosse mantido constante. 
O movimento de um pêndulo pode ser estudado como um movimento harmônico 
simples (MHS). Vamos iniciar nosso estudo do MHS com base na análise de uma mola. 
Considere uma mola apoiada em uma superfície plana e horizontal, com uma das ex-
tremidades fi xa em um suporte rígido e vertical, e a outra presa em um corpo de massa m.
m
Estando inicialmente em repouso e em equilíbrio, o objeto é deslocado de sua posi-
ção de forma que a mola seja comprimida ou distendida. Ao ser abandonado nessa nova 
posição, o objeto passa a realizar um movimento oscilatório e periódico em torno de sua 
posição de equilíbrio ao longo de um segmento de reta, denominado MHS, como mostra 
a fi gura:
m
Nesse movimento, o corpo muda de posição, a velocidade varia com a posição do 
corpo, e a força elástica, que atua na horizontal, varia com a deformação da mola; por-
tanto, a aceleração também varia com a posição do corpo. Então, nesse movimento, va-
riam a posição, a velocidade e a aceleração do corpo. Essas variáveis (e suas equações) 
devem ser conhecidas para que se saiba perfeitamente o que está ocorrendo em um MHS 
qualquer analisado.
Funções horárias do MHS
Pelo exemplo mostrado anteriormente, nota-se que o MHS é mais complexo do que 
o movimento uniforme (MU) e o movimento uniforme variado (MUV), visto que não só a 
posição e a velocidade, mas também a aceleração variam com o tempo. Portanto, para 
descrevermos um MHS é necessário determinarmos três funções horárias: da posição, da 
velocidade e da aceleração.
Relação entre o movimento circular uniforme (MCU) e o MHS
Uma maneira simples de se obterem as equações que determinam a posição, a veloci-
dade e a aceleração de um corpo é pela comparação entre o MCU e o MHS. Vamos recordar 
o MCU e, em seguida, compará-lo com o MHS. No MCU: 
• A trajetória é circular; 
• O módulo do vetor velocidade é constante; 
• O módulo do vetor aceleração é constante; 
• A aceleração vetorial coincide com a aceleração centrípeta; 
• A aceleração tangencial é nula. 
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4 CAPÍTULO 1
Considere uma partícula em movimento circular e uniforme sobre uma circunferência 
de raio R. Vamos marcar, nessa circunferência, o diâmetro na horizontal (ou na vertical) e 
observar como fi ca a projeção (sombra) do MCU sobre esse diâmetro. Podemos observar 
as projeções associadas ao MCU no sistema simplifi cado de uma manivela.
Movimentação
circular de
um disco
Cabo oscilando
entre um máximo
e um mínimo
Perspectiva Perfil
Enquanto a partícula descreve uma volta completa em MCU sobre a circunferência, 
sua projeção horizontal (ou vertical) realiza um movimento de vaivém sobre o diâmetro 
(MHS). Portanto, a projeção horizontal (ou vertical) do MCU realiza um MHS. 1
Vamos aproveitar as equações já estudadas no MCU para obter outras que expliquem 
o movimento da projeção horizontal (ou vertical) da partícula (são as equações do MHS). 
Retomando o estudo do movimento circular e uniforme: 
• T é o período, ou seja, o intervalo de tempo gasto para realizar uma volta completa; 
• f é a frequência, ou seja, o número de voltas dadas na unidade de tempo; 
• v é a velocidade escalar do movimento, ou seja, o deslocamento escalar realizado na 
unidade de tempo; 
• ω é a velocidade angular, ou seja, o ângulo descrito na unidade de tempo; 
• R é o raio da trajetória circular descrita pela partícula. A velocidade angular é dada por:
ω = 
T
2 ⋅π
 = 2 ⋅ π ⋅ f s ω = 
t
∆θ
∆
 = 
t t
–
–
0
0
θ θ
 
Para t
0
 = 0:
θ = θ
0
 + ω ⋅ t (função horária angular do MCU). Relação linear-angular:
v = ω ⋅ R
Aceleração: 
a
t
 = 0 e a
c
 = 
v
R
2
 = ω2 ⋅ R
Função horária da elongação (posição)
A posição da projeção da partícula sobre o eixo horizontal muda com o decorrer do tempo. 
Para se determinar a posição dessa partícula no decorrer do tempo, usa-se a função horária da 
elongação. A elongação (x), portanto, determina a posição da partícula que realiza MHS, sobre 
um eixo, em um instante t, entre os pontos +A e –A (sendo A a amplitude do movimento).θ
R = A
P
– A +Ax0
Na figura:
• P é a posição da partícula 
que descreve MCU;
• x é a posição da projeção 
da partícula que descreve 
MHS.
Assim:
cos θ = 
R
x
 = 
A
x
 s x = A ⋅ cos θ
Como θ = θ
0
 + ω ⋅ t, então: x = A ⋅ cos (θ
0
 + ω ⋅ t)
Atenção
1 Quando uma partícula 
executa um movimento circular 
uniforme (MCU), sua projeção 
no diâmetro da trajetória 
executa um movimento 
harmônico simples (MHS).
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5
FÍ
S
IC
A
em que: 
• x é a elongação (posição da partícula sobre o eixo horizontal); 
• A é a amplitude do movimento (máxima elongação); 
• θ é o ângulo de fase; 
• θ
0
 é o ângulo de fase inicial (t
0
 = 0); 
• ω é a pulsação do MHS (velocidade angular no MCU); 
• t é o instante do movimento.
Função horária da velocidade
No MCU, a partícula tem uma velocidade tangente à circunferência, e seu módulo é 
constante. Para o MHS, vamos projetar essa velocidade no eixo horizontal.
–A +A x0
θ
θ
v
v’
Na figura:
• v’ é a velocidade de 
módulo constante da 
partícula que realiza MCU;
• v é a velocidade da 
partícula em MHS (projeção 
horizontal de v’).
Temos: 
v' = ω ⋅ A (equação do MCU) 
v = –v' ⋅ sen θ (projeção horizontal de v') 
O sinal negativo da velocidade aparece por ela ser contrária à orientação adotada 
para a trajetória. 
v = –ω ⋅ A ⋅ sen θ 
Como θ = θ
0
 + ω ⋅ t, então: v = –ω ⋅ A ⋅ sen (θ
0
 + ω ⋅ t)
Função horária da aceleração
A partícula que descreve o MCU tem aceleração centrípeta de módulo constante e 
com direção variável, ou seja, a aceleração está sempre dirigida para o centro da curva. 
A projeção da aceleração centrípeta determina a aceleração do MHS.
–A +A x0
θ
a
ac
Na figura:
• ac é a aceleração centrípeta 
da partícula que descreve 
MCU;
• a é a aceleração da 
projeção horizontal da 
partícula que descreve MHS.
Temos: a
c
 = 
v
R
2
 = 
v
A
2
 = 
A
A
ω ⋅2 2
 = ω2 ⋅ A
a = –a
c
 ⋅ cos θ (projeção do MCU)
O sinal negativo da aceleração deve-se ao fato de ela estar no sentido contrário ao de 
orientação da trajetória.
a = –ω2 ⋅ A ⋅ cos θ
Como θ = θ
0
 + ω ⋅ t, então: a = –ω2 ⋅ A ⋅ cos (θ
0
 + ω ⋅ t)
E, ainda, como x = A ⋅ cos θ, então: a = –ω2 ⋅ x (equação fundamental do MHS) 1
Observação
1 Essa equação, a = –ω2 ⋅ x,
traduz a propriedade 
fundamental do MHS: 
Uma partícula em MHS tem 
uma aceleração (a) proporcional 
ao deslocamento (x), em 
relação à posição de equilíbrio, 
mas de sentido contrário.
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6 CAPÍTULO 1
Gráfi cos do MHS
Com base nas funções horárias do MHS, notamos que a elongação x, a velocidade v e a aceleração a variam periodica-
mente com o tempo.
Considere o exemplo de uma partícula que executa um MHS com fase inicial θ
0
 = 0 e cujo período de oscilação é T. 
Nesse caso, para t
0
 = 0, a partícula está na máxima elongação x = +A.
Os gráfi cos a seguir mostram a elongação x, a velocidade v e a aceleração a da partícula para os instantes 0, 
T
4
, 
T
2
, 
T3
4
 e T,
ou seja, mostram como variam essas grandezas em função do tempo para um período completo.
x
– A
0
+A
t t
Elongação
T
4
T
2
T3T
4
v
– A
0
+ A
Velocidade
T
4
T
2
T
3T
4
a
– 2A
0
+ 2Aω
ωω
ω
t
Aceleração
T
4
T
2
T
3T
4
Máximos e mínimos no MHS
Com base no exemplo anterior, podemos destacar os valores máximos e mínimos para a elongação x, a velocidade v e a 
aceleração a de um corpo em MHS.
A tabela a seguir mostra os valores algébricos dessas variáveis, nos instantes: 0, 
T
4
, 
T
2
, 
T3
4
 e T.
t 0
T
4
T
2
T3
4
T
x x
máx.
 = +A 0 x
mín.
 = –A 0 x
máx.
 = +A
v 0 v
mín.
 = –ω ⋅ A 0 v
máx.
 = +ω ⋅ A 0
a a
mín.
 = –ω2 ⋅ A 0 a
máx.
 = +ω2 ⋅ A 0 a
mín.
 = –ω2 ⋅ A
Esquematicamente:
T
2
T
4
a = 0
v = – · A
v = 0
a = + 2 · A a = – 2 · A
v = 0
–A +A0
x
t = t = t = 0
ω
ω
ω
 
T
2
3T
4
a = 0
v = + · A
v = 0
a = + 2 · A a = – 2 · A
v = 0
–A +A0
x
t = t = t = T
ω
ω
ω
Atividades
 1. (Fuvest-SP) Dois corpos, A e B, descrevem movimentos periódicos. Os gráfi cos de suas posições x em função do tempo estão 
indicados na fi gura.
0
x
t
A
B
Podemos afi rmar que o movimento de A tem: 
a) menor frequência e mesma amplitude. 
b) maior frequência e mesma amplitude. 
c) mesma frequência e maior amplitude. 
d) menor frequência e menor amplitude. 
e) maior frequência e maior amplitude. 
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7
FÍ
S
IC
A
 2. (Unifesp) Um estudante faz o estudo experimental de um 
movimento harmônico simples (MHS) com um cronôme-
tro e um pêndulo simples como o da fi gura, adotando o 
referencial nela representado.
–A +A0
Ele desloca o pêndulo para a posição +A e o abandona 
quando cronometra o instante t = 0. Na vigésima passagem 
do pêndulo por essa posição, o cronômetro marca t = 30 s.
a) Determine o período (T) e a frequência (f) do movi-
mento desse pêndulo. 
b) Esboce o gráfi co x (posição) × t (tempo) desse movi-
mento, dos instantes t = 0 a t = 3,0 s; considere des-
prezível a infl uência de forças resistivas. 
 3. Ao observar uma partícula realizando um movimento har-
mônico simples, um estudante descreveu o comportamento 
da elongação usando a função horária x = 4 ⋅ cos (π + 2π ⋅ t) 
(unidades no SI). Com base nessa função horária, obtenha:
a) a amplitude desse movimento;
b) a fase inicial desse movimento;
c) a pulsação;
d) o período;
e) a frequência;
f) a elongação no instante t = 0,25 s.
 4. Ao observar uma partícula que realiza MHS, um técni-
co constatou que a velocidade máxima de 4π m/s ocorre 
numa trajetória de amplitude 40 cm. Com base nessas 
informações, determine:
a) a pulsação do movimento;
b) a frequência;
c) o período;
d) a elongação máxima;
e) a aceleração máxima.
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8 CAPÍTULO 1
 5. (Ifsul-RS) O gráfico a seguir representa a posição de uma 
massa presa à extremidade de uma mola.
Com base neste gráfico, afirma-se que a velocidade e a 
força no instante indicado pela linha tracejada são res-
pectivamente: 
a) positiva; a força aponta para a direita.
b) negativa; a força aponta para a direita.
c) nula; a força aponta para a direita.
d) nula; a força aponta para a esquerda.
 6. (UFPI) O gráfico da elongação de uma partícula que exe-
cuta um movimento harmônico simples está representado 
na figura.
0
–2
–1
2
1
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
0,5
1,5
x (m)
t (s)
Com base no gráfico, podemos afirmar que a fase inicial 
e a velocidade angular são, respectivamente:
a) 
2
π
 rad e 
2
π
 rad/s 
b) 
4
π
 rad e 
2
π
 rad/s
c) 
3
π
 rad e 
2
π
 rad/s
d) 
4
π
 rad e 
3
π
 rad/s
e) 
3
π
rad e 
4
π
 rad/s
 7. (Ifsul-RS) Uma partícula, executando um movimento har-
mônico simples, move-se ao longo de um eixo Ox e sua 
posição, em função do tempo ao longo desse eixo é re-
presentada no gráfico da figura abaixo.
A partir da análise do gráfico, a função horária, em uni-
dades SI, que representa corretamente o movimento har-
mônico simples descrito por essa partícula é:
a) x = 2cos (π ⋅ t) 
b) x = 2sen (π ⋅ t) 
c) x = 4sen (π ⋅ t + π)
d) x = 4cos t
2
π ⋅ +
π



 8. +Enem [H1] Um experimento simples ilustra como a ve-
locidade de um pêndulo varia em função da posição do 
objeto. Um pêndulo formado por um fio e uma esfera 
oca, cheia de areia, com um orifício em sua extremidade 
inferior, é posto a oscilar entre as extremidade A e B, con-
forme a figura:
BA
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 /
 I
fs
u
l-
R
S
.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 /
 I
fs
u
l-
R
S
.
Et_EM_2_Cad8_Fis_c01_01a25.indd 8 9/19/18 8:09 AM
9
FÍ
SI
CA
Ao oscilar com amplitude constante, a areia escoa regularmente pelo orifício, depositando-se sobre uma mesa plana e 
horizontal entre as marcas A e B. Assim, das fi guras a seguir, aquela que melhor representa o perfi l da areia depositada na 
mesa é:
a) 
A B
b) 
A B
c) 
A B
d) 
A B
e) 
AB
Complementares Tarefa proposta 1 a 10
 9. Uma partícula realiza MHS e sua elongação varia de acordo 
com a seguinte equação horária:
x = 4 ⋅ cos 
2 4
π
+
π
⋅



t (SI)
a) Preencha a tabela a seguir.
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x (m)
b) Determine o módulo da velocidade máxima para essa 
partícula.
 10. (Aman-RJ) Peneiras vibratórias são utilizadas na indústria de 
construção para classifi cação e separação de agregados em 
diferentes tamanhos. O equipamento é constituído de um 
motor que faz vibrar uma peneira retangular, disposta no 
plano horizontal, para separação dos grãos. Em uma certa 
indústria de mineração, ajusta-se a posição da peneira de 
modo que ela execute um movimento harmônico simples 
(MHS) de função horária x = 8 cos (8π ⋅ t), onde x é a posição 
medida em centímetros e t, o tempo em segundos. 
O número de oscilações a cada segundo executado por 
esta peneira é de:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 32
 11. (UEM-PR) A função que representa o movimento 
de uma onda transversal unidimensional (uma onda 
em uma corda, por exemplo) pode ser escrita como 
y(x, t) = A sen (kx ± ω ⋅ t + ϕ), onde A é a amplitude da 
onda. k = 
2π
λ
, é o número de onda, ω = 
2
T
π
 é a frequên-
cia angular, ϕ é a fase da onda, λ é o comprimento de 
onda e T é o período. Considerando as medidas do es-
paço e do tempo em unidades do Sistema Internacional, 
assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
(01) Uma onda que se propaga segundo a função
y(x, t) = 0,05 sen 
2
(10 – 40 ) –
4
π π



x t possui 
amplitude, número de onda e frequência angular 
iguais a 0,05 π m, 5 m–1 e 20 rad/s respectivamente.
(02) Uma onda que se propaga segundo a função
y(x, t) = 0,05 sen 
2
(10 – 40 ) –
4
π π



x t possui 
comprimento de onda, período e frequência 
iguais a 0,4 m, 0,1 s e 10 Hz, respectivamente.
(04) Duas ondas senoidais, com a mesma frequência e 
amplitude, se propagando em uma corda em dire-
ções opostas, podem formar um padrão de onda 
estacionária.
(08) Uma onda em que a direção de vibração é per-
pendicular à direção de propagação da onda é 
denominada onda transversal.
(16) Uma função que descreve a propagação de uma 
onda utilizando as variáveis x e t é denominada fun-
ção do tempo.
Dê a soma dos números dos itens corretos.
 12. (Ufes) Uma partícula descreve uma trajetória circular, 
no sentido anti-horário, centrada na origem do sistema 
de coordenadas, com velocidade de módulo constante. 
A fi gura a seguir é a representação gráfi ca da equação 
horária da projeção do movimento da partícula sobre o 
eixo x.
0
–5,0
5,0
4π
2π
t (s)
x (m)
–2,5
2,5
Com base nas informações contidas no gráfi co, e saben-
do que a partícula no instante t = 0 se encontra no primei-
ro quadrante, determine: 
a) o raio da trajetória da partícula; 
b) o módulo da velocidade da partícula; 
c) a equação horária da projeção do movimento da par-
tícula sobre o eixo x.
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10 CAPÍTULO 1
Energia no MHS
Considere que um corpo de massa m está preso a uma mola de constante elástica k 
disposta na horizontal. Colocando esse corpo para realizar um MHS, temos duas energias 
envolvidas: a cinética e a potencial elástica.
– A +A0 x
• x é a elongação;
• A é a amplitude da oscilação.
No esquema:
Durante o movimento do corpo, em MHS, as dissipações na mola e os atritos com o 
corpo são desprezíveis, ou seja: a energia mecânica do sistema se mantém constante.
Energia cinética
Em razão do movimento do corpo, a energia cinética será máxima quando a veloci-
dade for máxima em módulo (quando o corpo passar pela origem da trajetória), e nula 
quando a velocidade for nula (nos pontos de elongação máxima e mínima).
E
c
 = m v
2
2
m v⋅m v
Graficamente:
Na expressão:
• E
cin.
 é a energia cinética;
• m é a massa do corpo;
• v é a velocidade.
x0
E
cin.
–A +A
Energia potencial
A energia potencial elástica que o corpo armazena durante o movimento varia 
com a elongação. A energia potencial será máxima quando a elongação for máxima, 
ou seja, nos extremos da trajetória (+A e –A), e nula quando a elongação for nula, ou 
seja, na origem.
E
p
 = 
k x
2
2k x⋅k x
 
x0–A +A
Epot.
Graficamente:
• E
pot.
 é a energia potencial;
• k é a constante da mola;
• x é a deformação da mola.
Na expressão: E, ainda:
2
E
pot. máx.
=
k A
2
x
máx.
= + A
x
mín.
= – A
s
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11
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A
A
la
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in
 Y
IL
D
IR
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h
u
tt
e
rs
to
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k
Energia mecânica
A energia mecânica do corpo que realiza um MHS, em determinado ponto de sua traje-
tória, é dada pela soma das energias cinética e potencial e é constante.
E
mec.
 = E
cin.
 + E
pot.
Nos pontos x = ± A 
E
E
E
A
0
k x
2
k
2
cin.
pot.
2
mec.
2
=
=
⋅
=
⋅









 
E
mec.
k · A2
2
x0–A +A
No diagrama a seguir, podemos observar que, à medida que a energia cinética aumen-
ta, a energia potencial elástica diminui, e vice-versa, mantendo-se, assim, a energia mecâ-
nica constante.
–A 0
E
+A
k · A2
2
x
Epot.
Ecin.
Emec.
Movimentos peri—dicos
A tecnologia digital dos relógios vem substituindo gradativamente a tecnologia 
analógica. Os relógios digitais são modernos, precisos (não adiantam, nem atrasam), 
além de serem mais baratos que os analógicos. Ainda que mais raros, é possível en-
contrar versões contemporâneas dos relógios de pêndulo ou mesmo exemplares de 
colecionadores.
O pêndulo de um relógio realiza um movimento chamado peri—dico, ou seja, em inter-
valos iguais de tempo, o pêndulo faz um movimento de ida e volta que tende a se repetir. 
Às vezes, esses relógios adiantam, quando o pêndulo realiza um movimento de vaivém 
muito rápido, ou atrasam, quando esse movimento é mais demorado. 
Em nosso estudo dos movimentos periódicos, além do MHS, poderemos entender 
como é possível, por exemplo, regular um relógio de pêndulo que está adiantando 
ou atrasando.
Sistema massa-mola
Considere um corpo de massa m apoiado em uma superfície plana e horizontal, 
preso a uma mola de constante elástica k. Coloca-se esse corpo para realizar movi-
mento harmônico simples.
–A
x
+A0
F
el‡st.
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12 CAPÍTULO 1
Desprezando-se as possíveis dissipações de energia, a única força aplicada na direção 
do movimento é elástica. Portanto, essa força é a resultante das forças aplicadas no corpo. 
F
R
 = F
elást.
 s m ⋅ a = k ⋅ x (I)
Assim:
a = ω2 ⋅ x (II)
ω = 
T
2 ⋅π
 (III)
Substituindo (III) em (II), temos:
a = 
T
2
2
⋅



π
 ⋅ x (IV)
Substituindo (IV) em (I), temos:
m ⋅ 
T
2
2
⋅



π
 ⋅ x = k ⋅ x s T2 = (2 ⋅ π)2 ⋅ 
m
k
 s
T = 2π ⋅ m
k
Essa relação do período é válida para qualquer que seja o plano de oscilação do corpo, 
conforme mostram as fi guras.
• O período depende da massa do corpo e da constante elástica da mola.
• O período n‹o depende da amplitude do movimento nem do plano de oscilação.
P•ndulo simples
Considere um corpo de massa m preso ao teto por um fi o de comprimento L, que é 
posto para realizar oscilações em um plano vertical. 
A trajetória descrita pelo corpo, que é um pêndulo, é a de um arco de circunferência, 
portanto esse corpo não realiza um MHS perfeito. Para pequenos ângulos de oscilação, 
podemos aproximar o arco de um segmento de reta. Assim, o movimento do corpo pode 
ser considerado um MHS. 
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13
FÍ
S
IC
A
Para marcarmos as forças e demonstrarmos a equação do período de um pêndulo sim-
ples, vamos considerar um ângulo de abertura grande. Para que seja um MHS, porém, o 
ângulo de abertura deve ser bem pequeno.
T
T
y
P
x
T
x
α
α
L
Para pequenos ângulos de oscilação, a relação trigonométrica seno tem valor muito 
parecido com o da relação trigonométrica tangente. Nesse caso:
tg α H sen α = 
x
L
 (II) s a = 
T
2
2
⋅



π
 ⋅ x (III)Substituindo (II) e (III) em (I), temos: 
T
2
2
⋅



π
 ⋅ x = g ⋅ 
x
L
 
Logo: T2 = (2π)2 ⋅ 
g
L
 s T = 2π ⋅ 
g
L
• A equação do período é válida apenas para pequenos ângulos de oscilação.
• O período de um pêndulo simples não depende da massa do corpo que está oscilando. 
• O período de um pêndulo simples depende do comprimento do fi o e da aceleração da 
gravidade local. 
Rel—gio de p•ndulo
Por que o relógio de pêndulo às vezes adianta ou atrasa? O relógio não funciona correta-
mente por dois motivos: a gravidade e o comprimento do fi o. O mesmo relógio funcionando 
em cidades com diferentes latitudes ou altitudes pode apresentar marcações diferentes. 
Isso ocorre porque a aceleração da gravidade g (parâmetro importante na determinação 
do período de oscilação do pêndulo) sofre pequenas variações com a alteração da latitude 
e da altitude. Além disso, em um período de inverno rigoroso ou em um verão de tempera-
turas elevadas, a haste do pêndulo sofre contração ou dilatação térmica mais acentuada, 
respectivamente, e isso compromete o bom funcionamento do relógio, pois o comprimento 
da haste também é fundamental na determinação do período de oscilação do pêndulo. Se o 
relógio precisar de ajustes, deve-se proceder da seguinte forma:
• Relógio adiantando: O movimento oscilatório do pêndulo é muito rápido, portanto é pre-
ciso aumentar o período. Para isso, basta aumentar o comprimento da haste do pêndulo. 
• Relógio atrasando: O pêndulo demora mais para fazer o movimento oscilatório, portanto é 
preciso diminuir o período. Para isso, basta diminuir o comprimento da haste do pêndulo.
Decifrando o enunciado Lendo o enunciado
Observe que a informação sobre 
a velocidade máxima implica 
que, nesse momento o corpo 
está passando pela posição de 
equilíbrio, ou seja, em que a 
energia cinética é máxima.
Fique atento à informação 
solicitada. A elongação, nesse 
caso, não é a máxima distensão/
contração da mola, já que 
não houve a totalidade de 
transformação da energia 
cinética em potencial.
A velocidade máxima de um corpo de massa 2 kg que realiza um MHS preso a uma mola 
de constante elástica 200 N/m é de 4 m/s. Calcule a elongação desse corpo no momento 
em que a energia potencial elástica for igual a 
1
16
 do valor da energia cinética máxima.
Resolução
Calculando a energia cinética máxima, temos: E
cin. máx.
 = 
2
2⋅m v
 = 
2 4
2
2⋅
 = 16 J
Já a energia potencial elástica, sendo 
1
16
 da cinética, será dada por:
E
pot.
 = 
1
16
 · E
cin. máx.
 s 
k x
2
2⋅
 = 
1
16
 ⋅ 16 s 
200 x
2
2⋅
 = 1 s x = –0,1 m ou x = 0,1 m
T
T
x
y
 = 
T
T
sen
cos
⋅ α
⋅ α 
 = 
F
P
R s
s tg α = 
m a
m g
⋅
⋅
 s
s a = g ⋅ tg α (I)
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14 CAPÍTULO 1
Conexões
As equações da elongação, da velocidade do MHS e os gráficos
das funções trigonométricas seno e cosseno 
A Trigonometria defi ne objetivamente as funções seno e cosseno de um ângulo da seguinte forma: 
I. Função seno 
Dado um ângulo cuja medida dada em radianos é x, chamamos de função seno a função que associa a cada x 3 ® o número 
(sen x) 3 ®. Indicamos essa função por: f(x) = sen (x) 
O gráfi co da função seno, no plano cartesiano, será uma curva denominada senoide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se 
chegar ao gráfi co.
π
2
π
2
3π
2
–
3π
2
–
π–2π x
y
0
–1
1
2π
2π rad
Período
– π
Propriedades:
• Domínio: ® • Imagem: [−1; 1] • Período: 2π rad
II. Função cosseno 
Dado um ângulo cuja medida dada em radianos é x, chamamos de função cosseno a função que associa a cada x 3 ® o 
número (cos x) 3 ®. Indicamos essa função por: f(x) = cos (x) 
O gráfi co da função cosseno, no cartesiano, será uma curva denominada cossenoide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se 
chegar ao gráfi co.
π
2
π
2
3π
2
–
3π
2
–
π–2π x
y
0
–1
1
2π
2π rad
Período
–π
Propriedades: 
• Domínio: ® • Imagem: [–1; 1] • Período: 2π rad
Disponível em: <www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/>. Acesso em: 13 jul. 2015. (Adaptado.)
A função horária da elongação de um corpo em MHS é uma função cosseno:
x = A ⋅ cos (θ
0
 + ω ⋅ t)
Em que o símbolo f(x) é substituído simplesmente por x, e, por ser uma função horária, esta é uma função da variável t.
Entretanto, os fatores A, da função cosseno, ω, da variável t e a parcela θ
0
, do argumento da função, conferem a essa fun-
ção horária maior complexidade. 
Da mesma forma, a função horária da velocidade de um corpo em MHS é uma função seno:
v = –ω ⋅ A ⋅ sen (θ
0
 + ω ⋅ t) 
Em que: f(x) = v, sendo os fatores multiplicativos: –ω ⋅ A, da função seno; ω, da variável t e a parcela θ
0
, do argumento 
da função. 
Com base nessas comparações, questione o professor de Matemática com relação à infl uência, nos gráfi cos, domínios, 
imagens e períodos dessas funções, de cada uma das variáveis: 
a) fatores A e –A; 
b) fator ω; 
c) parcela θ
0
.
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15
FÍ
S
IC
A
Atividades
 13. Sobre um segmento de reta, uma partícula realiza um MHS 
de amplitude 10 cm, presa a uma mola de constante elás-
tica 100 N/m. Calcule: 
a) a energia potencial elástica da partícula em uma extre-
midade do movimento;
b) a energia cinética da partícula na posição de equilíbrio.
 14. (Vunesp) Em um parque de diversões, existe uma atração 
na qual o participante tenta acertar bolas de borracha na 
boca da fi gura de um palhaço que, presa a uma mola ideal, 
oscila em movimento harmônico simples entre os pontos 
extremos A e E, passando por B, C e D, de modo que em 
C, ponto médio do segmento AE a mola apresenta seu 
comprimento natural, sem deformação.
Uma pessoa, ao fazer suas tentativas, acertou a primeira 
bola quando a boca passou por uma posição em que o 
módulo de sua aceleração é máximo e acertou a segunda 
bola quando a boca passou por uma posição onde o mó-
dulo de sua velocidade é máximo. Dos pontos indicados 
na fi gura, essas duas bolas podem ter acertado a boca da 
fi gura do palhaço, respectivamente, nos pontos:
a) A e C
b) B e E
c) C e D
d) E e B
e) B e C
 15. (Ufl a-MG) Um corpo de massa 10 kg é preso a uma mola 
e oscila horizontalmente sobre uma superfície totalmente 
isenta de atrito.
x
x
x
0,20 m
–0,20 m
O gráfi co da energia potencial elástica E
pot. elást.
 em função 
da elongação da mola é mostrado a seguir.
0 x (m)
Epot. elást.
20
– 0,2 0,2
Desse modo, a constante elástica da mola e a velocidade 
do corpo na posição 0,1 m são, respectivamente: 
a) 100 N/m e 0,5 m/s 
b) 100 N/m e 1,0 m/s 
c) 1 000 N/m e 2 m/s 
d) 1 000 N/m e 3 m/s 
e) 1 000 N/m e 2 m/s
R
e
p
ro
d
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 V
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2
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.
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16 CAPÍTULO 1
 16. (UFPB) Um bloco de 1 kg, preso a uma mola de constante 
elástica k = 800 N/m e massa desprezível, oscila sobre um 
plano horizontal sem atrito com amplitude A = 0,5 m. 
No instante em que a energia cinética do bloco se iguala 
à energia potencial da mola, a velocidade do bloco vale: 
a) 10 m/s 
b) 20 m/s 
c) 30 m/s 
d) 40 m/s 
e) 50 m/s
 17. (PUCC-SP) Alguns relógios utilizam-se de um pêndulo sim-
ples para funcionarem. Um pêndulo simples é um objeto 
preso a um fio que é colocado a oscilar, de acordo com a 
figura abaixo.
Desprezando-se a resistência do ar, este objeto estará su-
jeito à ação de duas forças: o seu peso e a tração exercida 
pelo fio. Pode-se afirmar que enquanto o pêndulo oscila, 
a tração exercida pelo fio: 
a) tem valor igual ao peso do objeto apenas no ponto 
mais baixo da trajetória.
b) tem valor igual ao peso do objeto em qualquer ponto 
da trajetória.
c) tem valor menor que o peso do objeto em qualquer 
ponto da trajetória.
d) tem valor maior que o peso do objeto no ponto mais 
baixo da trajetória.
e) e a força peso constitui um par ação-reação.
 18. (UPE) Um pêndulo ideal de massa m = 0,5 kg e comprimen-
to L = 1,0 m é liberado do repousoa partir de um ângulo θ 
muito pequeno. Ao oscilar, ele interage com um obstáculo 
em forma de cubo, de aresta d, que está fixado ao teto.
Sabendo que o período de oscilação do pêndulo é igual 
a T = 1,5 s, e que a aceleração da gravidade no local do 
experimento tem módulo a = π2 m/s2, determine o valor 
de d em metros. 
a) 0,25 m
b) 0,50 m
c) 0,75 m
d) 1,00 m
e) 1,50 m
 19. (UPF-RS) Um pêndulo simples, de comprimento de 100 cm, 
executa uma oscilação completa em 6 s, num determinado 
local. Para que esse mesmo pêndulo, no mesmo local, 
execute uma oscilação completa em 3 s, seu comprimento 
deverá ser alterado para: 
a) 200 cm
b) 150 cm
c) 75 cm
d) 50 cm
e) 25 cm
R
e
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d
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 2
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1
7.
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17
FÍ
SI
CA
 20. +Enem [H1] Um modelo simples para descrever a emissão 
de radiação por um metal aquecido é considerar que os 
elétrons que o constituem oscilam em movimento harmô-
nico simples, como se fossem massas presas em uma mola. 
Nesse modelo, a frequência f de oscilação é dada por:
f = 
1
2π
 ⋅ 
k
m
 
na qual k é a constante da mola, e m é a massa presa à 
mola. Considere, por exemplo, um elétron do fi lamento 
de uma lâmpada incandescente que oscila preso a uma 
“mola” de constante elástica k e que emite luz verme-
lha, cuja frequência é de, aproximadamente, 4 ⋅ 1014 Hz.
Sabendo-se que a massa do elétron é 9 ⋅ 10–31 kg, o valor 
que mais se aproxima da constante k da “mola” a qual o 
elétron deve estar ligado é: 
a) 6 N/m 
b) 60 N/m 
c) 600 N/m 
d) 6 000 N/m 
e) 60 000 N/m
Complementares Tarefa proposta 11 a 32
 21. (UEM-PR) Um corpo com massa igual a 2,0 kg oscila sobre 
uma mesa horizontal lisa, preso a uma mola também hori-
zontal, cuja constante elástica vale 200 N/m. A amplitude 
da oscilação é 10 cm. Analise as afi rmativas a seguir. 
(01) A força que a mola exerce sobre o corpo é constante 
e vale 20 N. 
(02) Se nenhuma força externa agir sobre o sistema, ele 
oscilará indefi nidamente. 
(04) A frequência angular de oscilação é 10 rad/s. 
(08) O módulo da velocidade máxima do corpo é 1,0 m/s 
e ocorre no ponto de máximo deslocamento, em 
relação à posição de equilíbrio. 
(16) O período de oscilação é 
5
π
 s. 
Dê a soma dos números dos itens corretos.
 22. (UFSC) Pedro, Tiago, João e Felipe resolveram comprar 
um carro do ano 2000, mas se esqueceram de verifi-
car os registros sobre as revisões periódicas. A fim de 
evitar problemas físicos devido ao excesso de oscilação 
do carro durante viagens longas, decidem analisar a 
qualidade dos amortecedores. Eles modelam o carro, 
na situação em que estão os quatro como passageiros, 
como um único corpo sobre uma mola ideal, realizando 
um MHS. Então, eles fazem três medidas, obtendo os 
seguintes valores:
a) 1 000 kg para a massa do carro;
b) 250 kg para a soma de suas massas;
c) 5,0 cm para a compressão da mola quando os quatro 
estavam dentro do carro parado.
Sobre o MHS e com base no exposto acima, é correto 
afi rmar que: 
(01) a frequência e o período do MHS realizado depen-
dem da amplitude.
(02) a frequência de oscilação do carro com os passagei-
ros é de 
5
π
 2 Hz.
(04) A energia cinética é máxima na posição de equilíbrio.
(08) a constante elástica da mola é 25 ⋅ 104 N/m. 
(16) o período de oscilação do carro vazio é de 1,0 s.
Dê a soma dos números dos itens corretos.
23. (Ufes) Um projétil de massa m = 50 g colide frontalmente 
com um bloco de madeira de massa M = 3,95 kg, fi cando 
alojado em seu interior. O bloco está preso a uma mola de 
constante elástica k = 1,0 N/m, como mostra a fi gura.
k
m
M
Antes da colisão, o bloco estava na posição de equilíbrio da 
mola. Após a colisão, o sistema realiza um movimento har-
mônico simples de amplitude A = 30 cm. A resistência do ar 
e o atrito entre a superfície e o bloco são desprezíveis. O mó-
dulo da velocidade do projétil, pouco antes de atingir o blo-
co, e a frequência das oscilações, valem, respectivamente: 
a) 10 m/s e (2π)–1 Hz 
b) 10 m/s e (4π)–1 Hz 
c) 12 m/s e (2π)–1 Hz 
d) 12 m/s e (4π)–1 Hz 
e) 16 m/s e (3π)–1 Hz
 24. (Fuvest-SP) Um pêndulo simples, constituído por um fi o 
de comprimento L e uma pequena esfera, é colocado 
em oscilação. Uma haste horizontal rígida é inserida per-
pendicularmente ao plano de oscilação desse pêndulo, 
interceptando o movimento do fi o na metade do seu 
comprimento, quando ele está na direção vertical. 
A partir desse momento, o período do movimento da es-
fera é dado por:
Note e adote:
• A aceleração da gravidade é g.
• Ignore a massa do fi o.
• O movimento oscilatório ocorre com ângulos pequenos.
• O fi o não adere à haste horizontal. 
a) 2π
L
g
 
b) 2π
L
2g
 
c) π
L
g
L
2g
+ 
d) 2π
L
g
L
2g
+
e) π
L
g
L
2g
+




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18 CAPÍTULO 1
 1. (Enem) Um enfeite para berço é constituído de um aro 
metálico com um ursinho pendurado, que gira com ve-
locidade angular constante. O aro permanece orientado 
na horizontal, de forma que o movimento do ursinho seja 
projetado na parede pela sua sombra.
Enquanto o ursinho gira, sua sombra descreve um 
movimento: 
a) circular uniforme.
b) retilíneo uniforme.
c) retilíneo harmônico simples.
d) circular uniformemente variado.
e) retilíneo uniformemente variado.
 2. (Ufl a-MG) O gráfi co a seguir representa a elongação de 
um corpo em movimento harmônico simples (MHS) em 
função do tempo.
0
–5
+5
2 6 84 t (s)
x (m)
A amplitude, o período e a frequência para esse movi-
mento são dados, respectivamente, por: 
a) 10 m; 4 s; 
1
8
 Hz 
b) 5 m; 4 s; 
1
4
 Hz 
c) 10 m; 8 s; 
1
4
 Hz 
d) 5 m; 8 s; 
1
8
 Hz 
e) 0; 8 s; 
1
8
 Hz
 3. (UFPB) Uma criança encontra uma mola em repouso, pendu-
rada no teto da garagem de sua casa. Resolve então prender 
nessa mola um objeto, sustentando-o inicialmente com a 
mão. Ao soltá-lo, verifi ca que esse objeto desce 50 cm em 
1 s, quando então volta a subir, passando a executar um 
MHS, com amplitude e período dados respectivamente por: 
a) 1 m e 1 s 
b) 50 cm e 1 s 
c) 25 cm e 2 s 
d) 1 m e 2 s 
e) 25 cm e 1 s 
 4. (UFPR) A peça de uma máquina está presa a uma mola e 
executa um movimento harmônico simples, oscilando em 
uma direção horizontal. O gráfi co a seguir representa a 
posição x da peça em função do tempo t, com a posição 
de equilíbrio em x = 0. 
Com base no gráfi co, determine:
a) O período e a frequência do sistema peça-mola;
b) Os instantes em que a velocidade da peça é nula. Jus-
tifi que a sua resposta;
c) Os instantes em que a aceleração da peça é máxima. 
Justifi que a sua resposta.
 5. (Enem) A corrida dos 100 m rasos é uma das principais 
provas do atletismo e qualifi ca o homem mais rápido do 
mundo. Um corredor de elite foi capaz de percorrer essa 
distância em 10 s, com 41 passadas. Ele iniciou a corrida 
com o pé direito.
O período de oscilação do pé direito desse corredor foi 
mais próximo de: 
a) 
1
10
 s
b) 
1
4
 s
c) 
1
2
 s
d) 2 s
e) 4 s
 6. (UFPB) Para agilizar o preparo de massa de cimento, uma 
construtora adquire uma peneira automática do tipo vai-
vém, conforme fi gura a seguir.
Disponível em: <www.patentesonline.com.br>. Acesso em: 30 set. 2010.
O motor acoplado à peneira está programado para produ-
zir um movimento de vaivém que simule um movimento 
harmônico simples. Suponha que a peneira tenha sido ins-
talada sobre um terreno plano e que suas bases estão fi xa-
das ao solo, de modo que toda a vibração na peneira seja 
exclusivamente produzida pelo motor. Dessa maneira, ao 
Tarefa proposta
Re
pro
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çã
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se ligar o motor, constata-se que o movimento de vaivém 
periódico impresso à peneira se repete a cada 2 s e que 
a amplitude do movimentoé de 0,5 m. Com base nessas 
informações, julgue (V ou F) estas afi rmativas: 
(Dado: π = 3) 
 I. O período do movimento de vaivém é de 4 s. 
 II. A frequência do movimento de vaivém é de 0,5 Hz. 
 III. A frequência angular do movimento de vaivém é de 
3 rad/s. 
 IV. A velocidade máxima da peneira é de 1,5 m/s. 
 V. A aceleração máxima da peneira é de 4,5 m/s2.
 7. (UFSC) Assinale a afi rmativa incorreta. 
a) A velocidade de um corpo em MHS pode ter sentido 
oposto ao de sua aceleração, quando não nula. 
b) A velocidade e a aceleração de um corpo em MHS 
nunca são simultaneamente nulas. 
c) Nos extremos do MHS, a elongação tem o mesmo va-
lor da amplitude, em módulo. 
d) A aceleração de um corpo em MHS é constante em 
módulo. 
e) A velocidade de um corpo em MHS é máxima na po-
sição de elongação zero e nula nos pontos de elonga-
ção máxima (em módulo).
 8. +Enem [H17] Quando a corda de uma guitarra é tocada, 
seus pontos vibram executando movimentos harmônicos 
simples. Nesse tipo de movimento, a distância x de um 
ponto da corda até sua posição de equilíbrio varia com 
o tempo t de acordo com uma função periódica senoidal 
dada por: 
x = A ⋅ sen (θ
0
 + ω ⋅ t) 
em que: A é a amplitude de oscilação, θ
0
 é ângulo de 
fase inicial e ω é a frequência angular que se relaciona 
com a frequência f de vibração da corda de acordo com 
ω = 2π ⋅ f. 
A fi gura a seguir mostra o gráfi co do deslocamento x 
de um ponto da corda de uma guitarra em função 
do tempo.
0
–1,0
1,0
0,5 1,0 1,5 2,0
0,5
–0,5
t (ms)
x (mm)
Para esse ponto da corda, temos que a amplitude A e a 
frequência angular ω são respectivamente: 
a) A = 0,5 mm e ω = 100π rad/s 
b) A = 1,0 mm e ω = 1 000π rad/s 
c) A = 1,0 mm e ω = 500π rad/s 
d) A = 2,0 mm e ω = 500π rad/s 
e) A = 2,0 mm e ω = 1 000π rad/s
 9. (Ifsul-RS) Uma partícula oscila em movimento harmônico 
simples ao longo de um eixo x entre os pontos x
1
 = –35 cm 
e x
2
 = 15 cm. Sabe-se que essa partícula leva 10 s para sair 
da posição x
1
 e passar na posição x = –10 cm.
Analise as seguintes afi rmativas referentes ao movimento 
dessa partícula:
 I. A amplitude do movimento é igual a 50 cm e a posi-
ção de equilíbrio é o ponto x = 0.
 II. Na posição x = –10 cm, a velocidade da partícula atin-
ge o valor máximo.
 III. Nos pontos x
1
 = –35 cm e x
2
 = 15 cm, a velocidade da 
partícula é nula.
 IV. O período do movimento é 10 s.
Estão corretas apenas as afi rmativas:
a) I e II
b) II e III
c) I e IV
d) III e IV
 10. (AFA-SP)
Como a hipermetropia acontece na inf‰ncia:
É muito comum bebês e crianças apresentarem algum 
tipo de erro refrativo, e a hipermetropia é o caso mais 
constante. Isso porque este tipo de ametropia (erro de re-
fração) pode se manifestar desde a fase de recém-nascido. 
A hipermetropia é um erro de refração caracterizado pelo 
modo em que o olho, menor do que o normal, foca a ima-
gem atrás da retina. Consequentemente, isso faz com que 
a visão de longe seja melhor do que a de perto. (...)
De acordo com a Dra. Liana, existem alguns fatores 
que podem infl uenciar a incidência de hipermetropia 
em crianças, como o ambiente, a etnia e, principalmente, 
a genética. “As formas leves e moderadas, com até seis 
dioptrias, são passadas de geração para geração (autos-
sômica dominante). Já a hipermetropia elevada é herdada 
dos pais (autossômica recessiva)”, explicou a especialista.
A médica ainda relatou a importância em identifi car, 
prematuramente, o comportamento hipermétrope da 
criança, caso contrário, esse problema pode afetar a rotina 
visual e funcional delas. “A falta de correção da hiperme-
tropia pode difi cultar o processo de aprendizado, e ainda 
pode reduzir, ou limitar, o desenvolvimento nas atividades 
da criança. Em alguns casos, pode ser responsável por 
repetência, evasão escolar e difi culdade na socialização, 
requerendo ações de identifi cação e tratamento”, concluiu 
a Dra. Liana.
Os sintomas relacionados à hipermetropia, além da 
difi culdade de enxergar de perto, variam entre: dores de 
cabeça, fadiga ocular e difi culdade de concentração em 
leitura. (...)
O tratamento utilizado para corrigir este tipo de ano-
malia é realizado através da cirurgia refrativa. O uso de 
óculos (com lentes esféricas) ou lentes de contato corre-
tivas é considerado método convencional, que pode solu-
cionar o problema visual do hipermétrope.
Disponível em: <www.cbo.net.br/novo/publicacao/
revista_vejabem>. Acesso em: 18 fev. 2017.
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20 CAPÍTULO 1
De acordo com o texto acima, a hipermetropia pode 
ser corrigida com o uso de lentes esféricas. Dessa ma-
neira, uma lente corretiva, delgada e gaussiana, de 
vergência igual a +2di, conforme figura a seguir, é 
utilizada para projetar, num anteparo colocado a uma 
distância p' da lente, a imagem de um corpo luminoso 
que oscila em movimento harmônico simples (MHS). 
A equação que descreve o movimento oscilatório des-
se corpo é y = (0,1) sen 4
2
+
π



t .
Considere que a equação que descreve a oscilação proje-
tada no anteparo é dada por y' = (0,5) sen 4
3
2
+
π



t (SI).
Nessas condições, a distância p', em cm, é:
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
 11. (Escola Naval-RJ) Analise a figura abaixo.
A figura acima mostra duas molas ideais idênticas presas 
a um bloco de massa m e a dois suportes fixos. Esse bloco 
está apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito e 
oscila com amplitude A em torno da posição de equilíbrio 
x = 0.
Considere duas posições do bloco sobre o eixo x: x
1
 = 
4
A
 
e x
2
 = 
3
4
A
. Sendo v
1
 e v
2
 as respectivas velocidades do 
bloco nas posições x
1
 e x
2
, a razão entre os módulos das 
velocidades, 
v
v
1
2
, é:
a) 
15
7
 
b) 
7
15
c) 
7
16
d) 
15
16
e) 
16
7
 12. (Uece) Um bloco de massa m, que se move sobre uma su-
perfície horizontal sem atrito, está preso por duas molas de 
constantes elásticas k
1
 e k
2
 e massas desprezíveis com rela-
ção ao bloco, entre duas paredes fixas, conforme a figura.
Dada uma velocidade inicial ao bloco, na direção do eixo x, 
este vibrará com frequência angular igual a: 
a) 
k k
m k k
1 2
1 2( )+
 
b) 
k k
2m
1 2( )+ 
c) 
k – k
2m
1 2( ) 
d) 
k k
m
1 2( )+
 13. (UEL-PR) Um corpo de massa m é preso à extremidade de 
uma mola helicoidal que possui a outra extremidade fixa. 
O corpo é afastado até o ponto A e, após abandonado, 
oscila entre os pontos A e B.
OA B
Pode-se afirmar corretamente que a: 
a) aceleração é nula no ponto O. 
b) aceleração é nula nos pontos A e B. 
c) velocidade é nula no ponto O. 
d) força é nula nos pontos A e B. 
e) força é máxima no ponto O.
 14. (UFG-GO) Um sistema massa-mola consiste de uma partí-
cula de massa m presa a uma mola de constante elástica k, 
conforme figura a seguir. Esse sistema é posto a oscilar 
sobre uma superfície plana sem atrito, executando um mo-
vimento de vaivém em torno de uma posição de equilíbrio.
Considerando-se que o deslocamento seja medido em re-
lação à posição de equilíbrio, é correto afirmar:
m
x = 0 x
(01) O movimento executado é harmônico simples, e o 
maior valor de x é chamado de amplitude. 
(02) A mola aplica à massa uma força de intensidade 
dada por k ⋅ x, sempre orientada para a posição de 
equilíbrio. 
(04) Nesse sistema, a energia mecânica total se conserva, 
apesar de as energias cinética e potencial elástica 
variarem. 
(08) No ponto de maior valor de x, a velocidade é máxi-
ma e, no ponto de equilíbrio (x = 0), a energia po-
tencial elástica é mínima. 
(16) O gráfico da energia potencial elástica em função 
da posição é um arco de parábola com concavidade 
voltada para cima. 
(32) O período de oscilação do sistema é dado por 
2π ⋅ m
k
, que indica que, quanto maior a ampli-
tude do movimento, maior será o intervalo de 
tempo para uma oscilação. 
Dê a soma dos números dos itens corretos.
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 15. (UFSM-RS) A fi gura a seguir representa um bloco que, 
deslizando sem atrito sobre uma superfície horizontal, se 
choca frontalmente contra a extremidade de uma mola 
ideal, cuja extremidade oposta está presa a uma parede 
vertical rígida. Selecione a alternativa que preenche cor-
retamente as lacunas no parágrafo a seguir, na ordem em 
que elas aparecem.
v
0
m
Durante a etapa de compressão da mola, a energia cinética 
do bloco e a energia potencial elástica armazenada no 
sistema massa-mola . No ponto de inversão do movi-
mento, a velocidade do bloco é zero e sua aceleração é .
a) aumenta – diminui – zero 
b) diminui – aumenta – máxima 
c) aumenta – diminui – máxima 
d) diminui – aumenta – zero 
e) diminui – diminui – zero
 16. (Unicamp-SP) Os átomos de carbono têm a propriedade de se 
ligarem, formando materiais muito distintos entre si, como o 
diamante, a grafi te e os diversos polímeros. Há alguns anos, 
foi descoberto um novo arranjo para esses átomos: os na-
notubos, cujas paredes são malhas de átomos de carbono. 
O diâmetro desses tubos é de apenas alguns nanômetros 
(1 nm = 10–9 m). Mais recentemente, foi possível montar 
um sistema no qual um “nanotubo de carbono” fechado 
nas pontas oscila no interior de outro nanotubo de diâme-
tro maior e aberto nas extremidades, conforme a ilustração 
adiante. As interações entre os dois tubos dão origem a uma 
força restauradora, representada no gráfi co a seguir.
(Dado: 1 nN = 10–9 N)
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
–1,0
–0,5
–1,5
–20 –10
0,5
–30 2010 30 x (nm)
A
1,0
1,5
Força (nN)
F
E
D
B
C
a) Encontre, por meio do gráfi co, a constante da mola 
desse oscilador. 
b) O tubo oscilante é constituído de 90 átomos de carbono. 
Qual é a velocidade máxima desse tubo, sabendo-se 
que um átomo de carbono equivale a uma massa de 
2 ⋅ 10–26 kg?
 17. (Uece) Em um oscilador harmônico simples, a energia po-
tencial na posição de energia cinética máxima: 
a) tem um máximo e diminui na vizinhança desse ponto.
b) tem um mínimo, aumenta à esquerda e se mantém 
constante à direita desse ponto.
c) tem um mínimo e aumenta na vizinhança desse ponto.
d) tem um máximo, aumenta à esquerda e se mantém 
constante à direita desse ponto.
 18. (UEM-PR) Uma das extremidades de uma mola está fi xa 
ao teto. Um estudante coloca e retira algumas vezes uma 
massa de 0,5 kg na extremidade livre dessa mola. A massa 
é solta lentamente até atingir o equilíbrio. Para cada vez, 
ele registra a distensão sofrida pela mola, (x
i
), como mos-
tram os dados a seguir:
x
1
 = 9,9 cm; x
2
 = 10,2 cm; x
3
 = 9,8 cm; x
4
 = 10,3 cm; 
x
5
 = 9,8 cm.
Considere a aceleração da gravidade de 10 m/s2. Sobre a 
experiência acima, assinale o que for correto. 
(01) O valor médio dessas distensões é 10,1 cm.
(02) A constante elástica da mola vale 5 N/m.
(04) Se o estudante deixar essa massa realizar movimento 
harmônico simples vertical, o período de oscilação é 
de aproximadamente 1,25 s.
(08) Independentemente da amplitude inicial, o período é 
sempre o mesmo no movimento harmônico simples.
(16) A energia mecânica desse oscilador é 25 A2 J, onde A 
é a amplitude desse movimento harmônico simples.
Dê a soma dos números dos itens corretos.
 19. (PUC-MG) Uma partícula de massa 0,50 kg move-se sob 
a ação apenas de uma força, à qual está associada uma 
energia potencial U(x), cujo gráfi co em função de x está 
representado na fi gura adiante. Esse gráfi co consiste em 
uma parábola passando pela origem. A partícula inicia o 
movimento a partir do repouso, em x = –2,0 m.
U (J)
– 1,0 1,0
1,0
x (m)
Sobre essa situação, é falso afi rmar que: 
a) a energia mecânica dessa partícula é 8,0 J. 
b) a velocidade da partícula, ao passar por x = 0, é 4,0 m/s. 
c) em x = 0, a aceleração da partícula é zero. 
d) quando a partícula passar por x = 1,0 m, sua energia 
cinética será 3,0 J.
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22 CAPÍTULO 1
 20. (UEPG-PR) Um objeto de massa m = 0,1 kg está preso a 
uma mola de constante elástica k = 0,4π2 N/m. A mola é 
esticada em 10 cm, pela aplicação de uma força externa, 
o conjunto é então solto e começa a oscilar, efetuando 
um movimento harmônico simples. Na ausência de forças 
dissipativas, assinale o que for correto. 
(01) O período do movimento é 1 s.
(02) A amplitude de oscilação é 10 cm.
(04) A energia potencial elástica da mola quando ela 
está esticada em 10 cm é 4 ⋅ 10–2 π2 J.
(08) O módulo da força elástica exercida pela mola para 
um alongamento de 10 cm é 2 ⋅ 10–2 π2 N.
(16) A energia cinética do objeto no ponto de equilíbrio 
é 4 ⋅ 10–2 π2 J.
Dê a soma dos números dos itens corretos.
 21. (UPM-SP) Um oscilador harmônico é constituído de um 
corpo de massa igual a 0,50 kg preso a uma mola he-
licoidal de constante elástica k = 450 N/m, conforme 
a ilustração. No instante em que o corpo se encon-
tra na posição A, situada 10 cm abaixo da posição de 
equilíbrio, o conjunto é abandonado e passa a oscilar 
livremente. Na posição de equilíbrio, a velocidade do 
corpo tem módulo:
Posição 
de
equilíbrio
Direção do 
movimento
durante a
oscilação
A
a) nulo. 
b) igual a 1,0 m/s. 
c) igual a 2,0 m/s. 
d) igual a 3,0 m/s. 
e) que depende da aceleração da gravidade local.
 22. (AFA-SP) Uma partícula de massa m pode ser colocada a 
oscilar em quatro experimentos diferentes, como mostra 
a Figura 1 abaixo.
Para apenas duas dessas situações, tem-se o registro do grá-
fico senoidal da posição da partícula em função do tempo, 
apresentado na Figura 2.
Considere que não existam forças dissipativas nos quatro 
experimentos; que, nos experimentos II e IV, as molas se-
jam ideais e que as massas oscilem em trajetórias perfei-
tamente retilíneas; que no experimento III o fio conectado 
à massa seja ideal e inextensível; e que nos experimentos 
I e III a massa descreva uma trajetória que é um arco de 
circunferência.
Nessas condições, os experimentos em que a partícu-
la oscila certamente em movimento harmônico simples 
são, apenas:
a) I e III
b) II e III
c) III e IV
d) II e IV
 23. (Uece) Se fossem desprezados todos os atritos e retirados 
os amortecedores, um automóvel parado em uma via 
horizontal poderia ser tratado como um sistema massa 
mola. Suponha que a massa suspensa seja de 1 000 kg e 
que a mola equivalente ao conjunto que o sustenta tenha 
coeficiente elástico k.
Como há ação também da gravidade, é correto afir-
mar que, se o carro oscilar verticalmente, a frequência 
de oscilação:
a) não depende da gravidade e é função apenas do coe-
ficiente elástico k.
b) é função do produto da massa do carro pela gravidade.
c) não depende da gravidade e é função da razão entre 
k e a massa do carro.
d) depende somente do coeficiente elástico k.
 24. (Fuvest-SP) Considere três pêndulos, conforme indica 
a figura. As massas de A e B são iguais e de valor 
1 kg, e a massa de C é igual a 2 kg. Quando eles são 
postos a oscilar, com pequenas amplitudes, podemos 
afirmar que:
A
B
C
1 m 1 m
2 m
a) os três pêndulos possuem a mesma frequência. 
b) a frequência do pêndulo B é maior que a dos pêndulos 
A e C. 
c) os pêndulos B e C possuem a mesma frequência. 
d) os pêndulos A e C possuem a mesma frequência. 
e) o pêndulo C possui a maior frequência.
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 25. (UFV-MG) Um pêndulo é solto, a partir do repouso, do 
ponto A indicado na fi gura a seguir. Ele gasta um tem-
po igual a 2,0 segundos para percorrer a distância AC.
É correto afi rmar que a frequência, o período e a amplitude 
de oscilação do pêndulo são, respectivamente:
A
B
C
a)0,25 Hz; 4,0 s e AB 
b) 0,50 Hz; 2,0 s e AB 
c) 0,50 Hz; 2,0 s e AC 
d) 0,25 Hz; 4,0 s e AC
 26. (Uece) Considere um pêndulo de relógio de parede feito 
com um fi o fl exível, inextensível, de massa desprezível 
e com comprimento de 24,8 cm. Esse fi o prende uma 
massa puntiforme e oscila com uma frequência próxima 
a 1 Hz. Considerando que a força de resistência do ar 
seja proporcional à velocidade dessa massa, é correto 
afi rmar que: 
a) a força de atrito é máxima onde a energia potencial 
gravitacional é máxima.
b) a energia cinética é máxima onde a energia potencial 
é máxima.
c) A força de atrito é mínima onde a energia cinética é 
máxima.
d) a força de atrito é máxima onde a energia potencial 
gravitacional é mínima.
 27. (Vunesp) Um estudante pretendia apresentar um relógio 
de pêndulo numa feira de ciências com um mostrador de
5 cm de altura, como mostra a fi gura. Sabendo-se que, 
para pequenas oscilações, o períod o de um pêndulo sim-
ples, é dado pela expressão T = 2π ⋅ 
L
g
, pede-se: 
5 cm
0
a) Se o pêndulo for pendurado no ponto O e tiver um 
período de 0,8 segundos, qual deveria ser a altura 
mínima do relógio? Para facilitar seus cálculos, admi-
ta g = π2 m/s2. 
b) Se o período do pêndulo fosse de 5 segundos, haveria 
algum inconveniente? Justifi que.
 28. (AFA-SP) Três pêndulos simples 1, 2 e 3 que oscilam em 
MHS possuem massas respectivamente iguais a m, 2m e 
3m são mostrados na fi gura abaixo.
Os fi os que sustentam as massas são ideais, inextensíveis 
e possuem comprimento respectivamente L
1
, L
2
 e L
3
.
Para cada um dos pêndulos registrou-se a posição (x), em 
metro, em função do tempo (t) em segundo, e os gráfi -
cos desses registros são apresentados nas fi guras 1, 2 e 
3 abaixo.
Considerando a inexistência de atritos e que a aceleração 
da gravidade seja g = π2 m/s2, é correto afi rmar que: 
a) L
1
 = 
L
3
2 ; L
2
 = 
2
3
 L
3
 e L
3
 = 3L
1
b) L
1
 = 2L
2
; L
2
 = 
L
2
3 e L
3
 = 4L
1
c) L
1
 = 
L
4
2 ; L
2
 = 
L
4
3 e L
3
 = 16L
1
d) L
1
 = 2L
2
; L
2
 = 3L
3
 e L
3
 = 6L
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24 CAPÍTULO 1
 29. (UEG-GO) Leia o texto a seguir: 
Os dez mais belos experimentos da F’sica 
A edição de setembro de 2002 da revista Physics World 
apresentou o resultado de uma enquete realizada entre 
seus leitores sobre o mais belo experimento da física. 
Na tabela a seguir, são listados os dez experimentos 
mais votados.
1
Experimento da dupla fenda de Young, realizado com 
elétrons
2 Experimento da queda dos corpos, realizada por Galileu
3 Experimento da gota de óleo, realizada por Millikan
4
Decomposição da luz solar com um prisma, realizada por 
Newton
5 Experimento da interferência da luz, realizada por Young
6
Experimento com a balança de torção, realizada por 
Cavendish
7
Medida da circunferência da Terra, realizada por 
Eratóstenes
8
Experimento sobre o movimento de corpos em um plano 
inclinado, realizado por Galileu
9 Experimento de Rutherford
10 Experiência do pêndulo de Foucault
O décimo mais belo experimento da física é o pêndulo 
de Foucault. Nesse experimento, realizado em 1851, o 
francês Jean Bernard Léon Foucault:
a) calculou o módulo da aceleração da gravidade local. 
b) reforçou a existência do campo magnético terrestre. 
c) demonstrou que a Terra tem forma arredondada. 
d) provou que a Terra gira em torno de seu eixo.
 30. (Unicamp-SP) Numa antena de rádio, cargas elétricas 
oscilam sob a ação de ondas eletromagnéticas em dada 
frequência. Imagine que essas oscilações tivessem sua ori-
gem em forças mecânicas e não elétricas: cargas elétricas 
fixas em uma massa presa a uma mola. A amplitude do 
deslocamento dessa “antena-mola” seria de 1 mm e a 
massa de 1 g para um rádio portátil. Considere um sinal 
de rádio AM de 1 000 kHz. 
a) Qual seria a constante de mola dessa “antena-mola”? 
A frequência de oscilação é dada por: f = 
1
2π
k
m
em 
que k é a constante da mola e m é a massa presa à mola. 
b) Qual seria a força mecânica necessária para deslocar 
essa mola de 1 mm?
 31. (UFJF-MG)
O pêndulo simples ideal consiste em uma massa m pe-
quena (para que o atrito com o ar possa ser desprezado) 
presa a um fio de massa desprezível e comprimento L, 
como mostra a figura acima. Para oscilações pequenas, 
o período T e a frequência angular ω são relacionados 
de forma que T = 
2π
ω
 = 2π · 
L
g




, onde g é a acelera-
ção da gravidade. Com o intuito de determinar o valor da 
aceleração da gravidade em sua casa, um aluno montou 
um pêndulo simples e mediu o período de oscilação para 
diferentes comprimentos do fio. Ele usou uma régua gra-
duada em centímetros e um sensor de movimento para 
determinar a posição horizontal x do pêndulo em função 
do tempo.
a) O gráfico abaixo mostra a posição horizontal do pên-
dulo para dois experimentos, com comprimentos de 
fios diferentes, em função do tempo. Com base nesses 
resultados, calcule a razão entre os comprimentos dos 
fios para os dois experimentos.
b) O aluno realizou novas medidas e montou o gráfico do 
período do pêndulo ao quadrado em função do com-
primento do fio. Com base nesses resultados, calcule 
o valor da gravidade encontrado pelo aluno.
 32. +Enem [H17] Conta a lenda que o físico e matemático ita-
liano Galileu Galilei, quando estava assistindo a uma missa, 
percebeu que um grande lustre pendurado no teto da igreja 
oscilava suavemente ao sabor de uma fraca brisa que aden-
trava pelas janelas. Usando sua própria pulsação, ele mediu o 
tempo de ida e volta do lustre e descobriu, para sua surpresa, 
que este não dependia da amplitude de oscilação. De fato, 
hoje sabemos que o período T de oscilação de um pêndulo 
simples que oscila com pequenas amplitudes é dado por:
T = 2π ⋅ 
g
L
 
em que: L é o seu comprimento e g é a aceleração da 
gravidade local. 
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Um relógio de pêndulo fabricado e calibrado em uma indústria de Oslo, na Noruega, é exportado para Belém do Pará, no 
Brasil. Sabe-se que, em razão da forma da Terra e ao seu movimento de rotação, a aceleração da gravidade varia com a 
latitude de acordo com o gráfi co.
9,78
9,77
302010 40 50 60 70 80 90
9,79
9,80
9,81
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9,83
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Gravidade x Latitude
Latitude (°)
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Considerando que Belém está localizada aproximadamente sobre a linha do equador e que Oslo localiza-se a 60° de latitu-
de norte, pode-se dizer que o período de oscilação do pêndulo do relógio em Belém, em relação ao período de oscilação 
em Oslo, é: 
a) 2,0% maior. 
b) 1,1% menor. 
c) igual. 
d) 0,2% maior. 
e) 0,11% menor.
 Vá em frente 
Acesse
<https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_pt_BR.html>. Acesso em: 30 mai. 2018.
No site, você poderá interagir com um simulador de pêndulo. Controle a amplitude, a velocidade e a força de resistência 
do ar e observe os resultados. Além disso, verifi que as transformações de energia durante o movimento oscilatório.
Autoavalia•‹o:
V‡ atŽ a p‡gina 95 e avalie seu desempenho neste cap’tulo.
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 ► Identifi car e classifi car as 
ondas quanto à natureza e à 
forma de propagação.
 ► Compreender que uma onda 
é uma perturbação que se 
propaga.
 ► Compreender que uma onda 
transporta energia e não 
matéria.
 ► Compreender e analisar 
fenômenos relacionados à 
propagação de ondas.
 ► Compreender e avaliar as 
relações entre comprimento 
de onda, frequência e 
velocidade de propagação.
Principais conceitos 
que você vai aprender:
 ► Onda mecânica
 ► Onda eletromagnética
 ► Pulso de onda
 ► Frente de onda, frequência
 ► Comprimento deonda
 ► Período
 ► Onda longitudinal e 
transversal 
 ► Onda mista
26
OBJETIVOS
DO CAPÍTULO
Lorado/G
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ONDAS
No Brasil, a energia elétrica é produzida, na maioria das vezes, por usinas hidrelétricas. 
Além das “polêmicas” termelétricas e das usinas nucleares de Angra, o país investe em 
outras duas fontes de produção de energia elétrica renováveis. 
Inaugurada em 2012, o projeto da Usina de Pecém, no Ceará, traz um novo conceito 
na busca de fontes renováveis de energia. Com tecnologia 100% nacional e com mínimo 
impacto ambiental, a estimativa é de que a usina esteja totalmente pronta para funcionar 
em 2020.
A usina é composta de módulos, com um fl utuador, um braço mecânico e uma bomba 
conectada a um circuito de água doce. Com a passagem das ondas, os fl utuadores reali-
zam movimento de subida e de descida, o que aciona bombas hidráulicas que fazem com 
que a água doce confi nada em tubulações circule em alta pressão. Em seguida, essa água 
vai para um acumulador com água e ar comprimidos em uma câmara hiperbárica.
Com um litoral de mais de 8 km de extensão, o Brasil tem um enorme potencial para 
ampliar essa tecnologia.
• Todo projeto tem suas vantagens e desvantagens. Quais são as vantagens desse tipo 
de usina? E as desvantagens? Os movimentos periódicos das ondas se mantêm sem-
pre da mesma forma?
Veremos neste capítulo que o estudo das ondas tem grande impacto em nossas vidas.
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O ndas
Vamos iniciar o estudo das ondas imaginando uma experiência simples: É colocada 
uma folha sobre a superfície de uma poça de água em repouso. Nota-se que a folha fl utua 
na água, porque sua massa específi ca é menor que a massa específi ca da água. 
Bate-se várias vezes uma varinha na superfície da água e esses choques produzem 
perturbações. Observa-se, então, que a folha realiza apenas movimentos de sobe e des-
ce, sem se deslocar ao longo da superfície do líquido. Isso acontece porque a água não é 
arrastada durante a perturbação – ela simplesmente efetua um movimento oscilatório 
vertical. Assim, pode-se concluir que, ao bater com a varinha na superfície da água, forne-
ce energia a ela. Essa energia manifesta-se na forma de perturbação, denominada onda. 
Algumas ondas, como as eletromagnéticas, propagam-se pelo meio sem vibrar os pon-
tos desse meio. 
Quando, em determinado meio, apenas uma perturbação é produzida, ela é deno-
minada pulso. Uma sucessão contínua de pulsos é denominada onda. Veja este outro 
exemplo: Duas pessoas seguram as extremidades de uma corda, que é mantida esticada. 
Uma das pessoas dá um solavanco na corda, gerando uma perturbação em uma de suas 
pontas. Essa perturbação irá se propagar pela corda até atingir a outra extremidade. No-
vamente, temos o exemplo de um movimento ondulatório no qual a energia fornecida 
pelo solavanco se propaga de uma ponta a outra da corda, mas os pontos da corda ape-
nas fazem um movimento para cima e para baixo, sem se deslocar com o pulso.
Pulso
Classifi cação das ondas
As ondas podem ser classifi cadas quanto a três critérios básicos: natureza, forma e 
direção de propagação.
Quanto à natureza
Onda mecânica
Tipo de onda que se propaga somente em meios materiais (não se propaga no vácuo) 
e necessita, para a propagação, da vibração dos pontos do meio. São exemplos o som, as 
ondas produzidas na superfície da água ou em uma corda. O som é uma onda mecânica 
(pelo fato de ser uma onda mecânica, não se propaga no vácuo).
Onda eletromagnética
Tipo de onda que se propaga em alguns meios materiais (transparentes) e também 
no vácuo. Quando a onda se propaga por um meio material, ela não vibra os pontos do 
meio. É o caso, por exemplo, da luz, das ondas de rádio e das ondas de TV. A luz é uma 
onda eletromagnética, que pode se propagar tanto no vácuo quanto em certos meios ma-
teriais. De forma simplifi cada, pode-se dizer que onda eletromagnética é formada pelas 
oscilações de campos elétricos e magnéticos que se propagam no espaço. Dependendo 
da frequência dessas oscilações, podemos ter vários tipos de ondas eletromagnéticas.
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x
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Defi nição
 Onda : perturbação produzida 
em um meio que se propaga 
por meio deste, transportando 
energia, mas não arrastando a 
matéria.
Uma pessoa gera uma perturbação 
em uma das extremidades de uma 
corda, gerando um pulso que se 
propaga pela corda.
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Antenas de rádio, TV e celular 
transmitem informações por meio 
de ondas eletromagnéticas.
Forma combinada de duas ondas 
transversais que compõem a 
onda eletromagnética.
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28 CAPÍTULO 2
Para ilustrar, na fi gura a seguir, temos o espectro eletromagnético, que mostra os prin-
cipais tipos de ondas eletromagnéticas em ordem decrescente de frequência.
Frequência diminui
1023 1022 1021 1020 1019 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106 105
InfravermelhasRaios gama Raios X Ultravioleta Micro-ondas Ondas de rádio
f (Hz)
Quanto à forma
Onda longitudinal
Uma onda é classifi cada como longitudinal quando sua direção de propagação coinci-
de com a direção de vibração dos pontos do meio.
 Considere, por exemplo, uma mola mantida na horizontal, com uma das extremidades 
presa em um suporte e a outra extremidade segura por uma pessoa. Em dado instante, 
a pessoa comprime alguns anéis da mola e, em seguida, solta-a. Essa perturbação vai se 
propagar pela mola em direção ao extremo oposto preso no suporte, conforme a fi gura:
Direção da propagação da onda: horizontal
Direção de vibração dos pontos da mola: horizontal
Outro exemplo de onda longitudinal são as ondas sonoras se propagando no ar; nelas 
as moléculas do ar vibram na mesma direção em que a onda se propaga.
Direção de propagação
da onda
Direção de vibração das molŽculas do ar
Onda transversal
Onda cuja direção de propagação é perpendicular à direção de vibração dos pontos 
do meio. 
Considere, agora, uma corda, mantida na horizontal, com uma extremidade fi xa em 
um suporte e a outra segura por uma pessoa. Em dado instante, a pessoa faz um movi-
mento rápido de sobe e desce com a mão. Esse movimento forma um pulso (perturbação) 
que se propaga pela corda.
Direção da propagação da onda: horizontal
Direção de vibração dos pontos da corda: vertical
Outro exemplo de ondas transversais são as ondas eletromagnéticas.
Onda mista
Onda que combina ondas transversais com longitudinais. Sendo assim, os pontos do 
meio oscilam tanto perpendicularmente como tangencialmente à direção de propagação 
da onda.
A perturbação produzida na mola 
se propaga e vibra na mesma 
direção, ou seja, na horizontal.
A perturbação produzida na corda se 
propaga na horizontal, enquanto os 
pontos da corda vibram na vertical 
(movimento de sobe e desce).
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Quanto à direção de propagação
Unidimensional
Onda que se propaga em uma única direção, como as produzidas em uma corda.
Direção de propagação da onda.
Bidimensional
Onda que se propaga em uma superfície, como as que são produzidas na superfície da água.
Tridimensional
Onda que se propaga no espaço, ou seja, em todas as direções. É o caso das ondas sonoras.
Desenvolva
 H18 Relacionar propriedades físicas, químicas ou biológicas de produtos, sistemas ou procedimentos tecnológicos às fi nalidades a 
que se destinam.
A radiografi a é uma técnica de obtenção de imagens do interior do corpo humano, por meio de raios X.
A técnica e os aparatos da radiografi a foram desenvolvidos por Wilhelm Roentgen em 1895, na Alemanha. Inicialmente, 
sem saber dos perigos da radiação, inúmeras pessoas começaram a utilizar a técnica indiscriminadamente para diversos fi ns. 
Imagine entrar emuma loja de calçados e, ao experimentar alguns modelos, colocar os pés num aparelho para ver até onde 
seus dedos estariam dentro deles? Os usos foram os mais diversos possíveis, chegando ao ponto de fotografar (radiografar) 
uma pessoa de corpo inteiro. Não se conheciam ainda os riscos da radiação a que as pessoas eram submetidas, mas todos 
estavam maravilhados com os raios desconhecidos (daí a denominação raios X), que podiam atravessar corpos opacos e “fo-
tografar” o interior deles, incluindo o corpo humano. Em função do uso indiscriminado, muitas pessoas acabaram morren-
do por desconhecimento dessa importante e perigosa técnica. A técnica e os aparatos da radiografi a foram desenvolvidos 
por Wilhelm Roentgen em 1895, na Alemanha. O primeiro aparelho de radiografi a para uso médico chegou ao Brasil em 1897 
e a primeira radiografi a foi feita em 1898. A tomada das radiografi as antigas era demorada (de 30 a 40 minutos) , expondo os 
pacientes por um tempo prolongado aos raios X. 
Com o tempo, o uso da radiação passou a ser 
normatizado e controlado; a radiografia tornou-
-se o mais tradicional e conhecido método para 
se obter imagem do interior do corpo; e Roent-
gen ganhou o Prêmio Nobel de Física de 1901 
pelo seu invento. 
Pesquise quais as vantagens e as desvantagens 
do uso da radiografi a e monte um quadro com 
as informações obtidas. Acrescente à pesquisa 
os tipos de diagnóstico para os quais ela pode 
ser utilizada.
As ondas que são produzidas 
em uma corda de violão, por 
exemplo, propagam-se em uma 
única direção (unidimensional), 
assim como a onda da ilustração.
Ondas bidimensionais (como as 
mostradas na foto) propagam-se 
em superfícies.
O fato de o som se propagar 
em todas as direções (onda 
tridimensional) permite que, em um 
show, todas as pessoas possam ouvir 
a música, e não apenas aquelas que 
estão diante das caixas de som.
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30 CAPÍTULO 2
Contextualize
Se conseguíssemos visualizar a infi nidade de ondas que 
cruzam o espaço em que vivemos, certamente fi caríamos 
espantados. Ao caminhar pelas ruas da cidade, é possível 
ouvir o som dos motores dos automóveis, suas buzinas, o 
som de uma serra vindo de uma construção de alguma edi-
fi cação, todas ondas mecânicas, que podem ser facilmente 
percebidas pelo nosso aparelho auditivo. Em relação às on-
das eletromagnéticas, conseguimos perceber as cores das 
luzes dos semáforos, as luzes de um show de rock, a luz dos 
postes de iluminação e dos faróis dos automóveis, mas não 
conseguimos visualizar as ondas de rádio, os sinais das ope-
radoras de telefonia fi xa ou móvel, os sinais dos canais de 
TV aberta e a radiação UV que chega aos nossos olhos pela 
luz solar.
Mesmo com esse congestionamento de ondas, por con-
ta das características específi cas de cada uma, tudo parece 
funcionar sem grandes problemas.
Não conseguimos ver as ondas sonoras (mecânicas), porém, dependendo das suas frequências, podem ser facilmente per-
cebidas, o que não ocorre com a maioria das ondas eletromagnéticas que não fazem parte do espectro visível. Algumas delas 
podem ser nocivas ao nosso organismo e conhecê-las torna-se importante para que possamos nos proteger de seus efeitos. 
Faça uma pesquisa e liste as características e os tipos de ondas que fazem parte desse congestionamento ondulatório.
Atividades
 1 . (PUC-MG) Os morcegos são capazes de emitir ondas de ul-
trassom com comprimento aproximadamente de 0,003 m.
Sobre as ondas emitidas por esses animais, assinale a op-
ção correta. 
a) São ondas eletromagnéticas que se propagam no vá-
cuo das cavernas.
b) São ondas longitudinais.
c) São ondas transversais.
d) São ondas mecânicas que se propagam no vácuo.
 2. (FCMMG) Em ortopedia, o Tratamento por Ondas de 
Choque pode ser prescrito para tratar de diversos tipos 
de lesões. Especialmente indicado para problemas nas 
inserções entre tendões e ossos, tais como as tendinites. 
O dispositivo usado nesse tratamento está mostrado na 
fi gura abaixo.
Fonte: <http://ortocenter.com.br/wp-content/uploads/2015/04/
ortocenter-tratamento-ondas-choque-1040x555.jpg>.
As ondas de choque podem ser entendidas como: 
a) ondas luminosas que causam um pequeno aqueci-
mento nos pés.
b) ondas sonoras curtas que provocam uma reação no 
organismo.
c) ondas elétricas que produzem pequenos choques nos 
nervos.
d) ondas eletromagnéticas que atuam nos músculos le-
sionados.
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 3. (UEMG) A fi gura mostra três ondas diferentes. 
• Onda 1: mão produzindo ondas numa mola.
• Onda 2: mão produzindo ondas numa corda.
• Onda 3: pessoa produzindo ondas sonoras no ar.
Assinale a alternativa que classifi ca corretamente cada 
um desses movimentos ondulatórios: 
a) Onda 1: transversal; onda 2: longitudinal; onda 3: 
transversal. 
b) Onda 1: transversal; onda 2: longitudinal; onda 3: lon-
gitudinal. 
c) Onda 1: longitudinal; onda 2: transversal; onda 3: lon-
gitudinal. 
d) Onda 1: longitudinal; onda 2: transversal; onda 3: 
transversal. 
 4. (UEPB) Uma onda sísmica pode ser classifi cada como lon-
gitudinal ou transversal. A respeito dessa classifi cação, 
analise as proposições a seguir e julgue (V ou F): 
( ) Na onda longitudinal, a direção em que ocorre a vi-
bração é igual à direção de propagação da onda. 
( ) Na onda longitudinal, a direção em que ocorre a vibra-
ção é diferente da direção de propagação da onda. 
( ) Na onda transversal, a direção em que ocorre a vibra-
ção é igual à direção de propagação da onda. 
( ) Na onda transversal, a direção em que ocorre a vibra-
ção é diferente da direção de propagação da onda.
 5. (IFSP) Em 24 de agosto de 2016, a região central da Itália 
sofreu um terremoto de magnitude 6,2 na escala Richter, 
causando a morte de 291 pessoas, pelo menos. Em geral, 
terremotos de magnitude acima de 3,87 causam grandes 
estragos e mortes. Assinale a alternativa que apresenta os 
fenômenos que causam os terremotos. 
a) Infl uência gravitacional da Lua.
b) Eclipses solares.
c) Deslizamentos de montanhas.
d) Movimentos de placas tectônicas.
e) Explosões solares.
 6. (UFMG) Enquanto brinca, Gabriela produz uma onda 
transversal em uma corda esticada. Em certo instante, 
parte dessa corda tem a forma mostrada nesta fi gura:
Direção de
propagação da onda
P
A direção de propagação da onda na corda também está 
indicada na fi gura. 
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32 CAPÍTULO 2
Assinale a alternativa em que estão representados corre-
tamente a direção e o sentido do deslocamento do ponto 
P da corda, no instante mostrado.
a) Direção de propagação
P
b) Direção de propagação
P
c) Direção de propagação
P
d) Direção de propagação
P
 7. (UFMG) As ondas eletromagnéticas, ao contrário das on-
das mecânicas, não precisam de um meio material para se 
propagar. Considere as seguintes ondas: som, ultrassom, 
ondas de rádio, micro-ondas e luz.
Sobre essas ondas é correto afi rmar que:
a) luz e micro-ondas são ondas eletromagnéticas e as ou-
tras são ondas mecânicas.
b) luz é onda eletromagnética e as outras são ondas me-
cânicas.
c) som é onda mecânica e as outras são ondas eletro-
magnéticas.
d) som e ultrassom são ondas mecânicas e as outras são 
ondas eletromagnéticas.
 8. +Enem [H1] Ondas eletromagnéticas foram previstas por 
Maxwell e comprovadas experimentalmente por Hertz (fi m 
do século XIX). Essa descoberta revolucionou o mundo mo-
derno, a partir do controle e aplicações desse tipo de onda. 
Quanto às suas propriedades, ondas eletromagnéticas: 
a) são ondas longitudinais que se propagam no vácuo e 
em meios materiais. 
b) são constituídas por variações dos campos magnético 
e elétrico no tempo.