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Resumo de Geometria
Sistemas lineares
Eliminação de Gauss:
Equações paramétricas da reta
Equações simétricas da reta
 
Espaços vetoriais
Ver a definição de subespaço e como se mostra que
um conjunto de vetores é um subespaço:
SUBESPAÇOS VETORIAIS
DEFINIÇÃO 2 - Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de
V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial
em relação à
● adição de vetores e
● à multiplicação por escalar definidas em V.
A definição parece indicar que, para um subconjunto S ser subespaço vetorial de
V, se deveria fazer a verificação, em S, dos oito axiomas de espaço vetorial
relativos à adição e à multiplicação por escalar apresentados na Definição 1.
Entretanto, como S é parte de V (que é espaço vetorial), não é necessária essa
verificação. Por exemplo, o axioma da comutatividade da adição é válido para
todos os vetores de V, ela valerá para todos os vetores de S. A seguir, as
condições para um subconjunto S ser um subespaço vetorial de V
Teorema 1 - Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V, é um
subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições:
I. Para quaisquer u, v ∈ S, u + v ∈ S.
II. Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, αu ∈ S.
Exemplo 1 – Sejam V = IR² e S = {(x, y)/ x, y / y = 2x}. S é o conjunto de
vetores do plano que tem a segunda coordenada igual ao dobro da primeira.
Mostre que S é um subespaço vetorial de V.
-SOLUÇÃO-
Temos que mostrar que as duas propriedades (I) e (II) são satisfeitas para os
elementos de S.
Considere ∈ S e ∈ S.
I. u + v = + =
.
II. .
Portanto, as propriedades da adição de vetores e multiplicação por escalar são
preservadas no conjunto S e assim, S é um subespaço vetorial de V.
Geometricamente, S representa uma reta que passa pela origem.
Ao tomarmos dois vetores u e v da reta, o vetor u + v e αu vão continuar sobre a
reta. Por isso dizemos que as propriedades da adição de vetores e multiplicação
por escalar são preservadas em S.
O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem.
Exemplo 2 – Sejam V = IR² e S = {(x, y)/ x, y / y = 4 - 2x}. S é o conjunto
de ponto da reta y = 4 – 2x.
Mostre que S não é um subespaço vetorial de V.
-SOLUÇÃO-
Temos que mostrar que pelo menos uma das duas propriedades (I) e (II) não
será satisfeita para os elementos de S. Ou seja, o vetor resultante cairá fora da
reta.
Considere ∈ S e ∈ S.
I. u + v = + =
, que não
pertence a S.
Aqui nem precisamos testar a condição (II), pois basta que uma condição não
seja satisfeita para que o conjunto dado não seja um subespaço vetorial.
Podemos mostrar que S não é um subespaço, dando um contraexemplo.
Considere u = (1, 2) e v = (2, 0). Observe que u e v pertencem a S.
● u + v = (1, 2) + (2, 0) = (3, 2), que não pertence a S.
Geometricamente:
Observe que o vetor resultante u + v caiu fora da reta S, mostrando que a soma
não é preservada.
Portanto, S não é um subespaço.
Exemplo 3 – Seja V o conjunto das matrizes 2 x 2, ou seja,
e , ou seja, S é
o conjunto de matrizes quadradas de ordem 2, cuja segunda linha é nula.
Mostre que S é um subespaço de V.
- Solução-
Considere
● (I) , que pertence a S (manteve a
segunda linha nula).
● (II) , que pertence a S (manteve a segunda
linha nula).
Logo, S é um subespaço de V.
OBSERVAÇÕES
1. Todo espaço vetorial V ≠ {0} admite, pelo menos, dois subespaços: o
conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo e o
próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços triviais de
V. Os demais são denominados subespaços próprios de V.
2. Os subespaços triviais do IR², por exemplo, são {0, 0} e IR²,
enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem
do sistema de referência. De modo análogo, os subespaços triviais do
R³ são {0, 0, 0} e o R³, os subespaços próprios do R³ são as retas e os
planos que passam pela origem do sistema de referência.
Base de um espaço
Ver como se mostra que um conjunto é uma base
do espaço:
Vimos anteriormente que se B for um conjunto LD, existe pelo menos um vetor
“inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo
pode continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V
(Lembre-se que a eliminação de elementos LD de um conjunto gerador não
modifica o conjunto gerado) é denominado base. Ou seja, o menor conjunto B
de vetores geradores do espaço vetorial V é chamado de base de um espaço
vetorial V, que é o conjunto gerador desse espaço V. É também a maneira mais
simples de “resumir” o espaço V.
DEFINIÇÃO 2 - Considerando o espaço vetorial V, finitamente gerado. Uma
Base de V é um subconjunto finito B⊂V, para o qual se verificam as condições:
(I) Os vetores de B são Linearmente Independentes (LI).
(II) [B] = V, isto é, B é um gerador de V.
O número de vetores de uma Base de V é chamado de Dimensão de V.
Escreve-se: dim V = n.
Exemplo – O conjunto de vetores B = { = (1, 1), = (-1, 0)} é uma base de
IR².
De fato, pois:
(I) B é LI, pois
+ = (0, 0)
(1, 1) + (-1, 0) = (0, 0)
e assim, = = 0, que é a solução trivial.
Portanto, B é LI.
(II) B gera o IR², pois para todo (x, y) , (x, y) pode ser escrito como
combinação linear de e . De fato:
(x, y) = +
(x, y) = (1, 1) + (-1, 0)
e assim, = y e = y - x.
Por exemplo, se (3, 5) , então tome = 5 e = 5 – 3 = 2. E neste caso,
podemos contatar que o vetor (3, 5) pode ser escrito como combinação linear
dos vetores de B. Vejamos:
(1, 1) + (-1, 0) = 5(1, 1) + 2(-1, 0) = (5, 5) + (-2, 0) = (3, 5)
EXERCÍCIOS
1- Determine o valor de “k" para que o conjunto {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (k, 1, −1)}
seja LI.
2- Determine “m” para que o conjunto {(2, −3, 2m), (1, 0, m+ 4), (−1, 3, m− 2)}
seja L.I.
3- Mostre que (1, -1), (1, 2) e (2, 1) são linearmente dependentes.
4- Dados V = R² e v1 = (1, -1) , v2 = (1, 2) e v3 = (3, 6).
(a) v1 e v2 são linearmente independentes?
(b) v1,v2 e v3 são linearmente independentes?
5- Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R².
(a) v1 = (2, 1) e v2 = (3, 2)
(b) v1 = (-2, 1) , v2 = (1, 3) e v3 = (2, 4)
6- Calcule o valor de m e n para os vetores sejam LD u = (2, m, n) e v = (5, 10,
15).
Resposta: m = 4 e n = 6
7- Calcule o valor de m para os vetores sejam LD u = (2, 1, 3) , v = (3, 1, 5) e w =
(7, 3, m)
Resposta: m = 11
8- Responda qual afirmação abaixo é correta em relação aos conjuntos de
vetores
● Conjunto 1: u = (1, 3, 0); v = (2,-1, 1); w = (3, 2, 1)
● Conjunto 2: u = (3, 0, 2); v = (2, -1, 1); w = (5, 1, 0)
● Conjunto 3: u = (1, 3, 1); v = (2, -1, 1); w = (3, 2, 1)
(a)Os vetores do conjunto 1 são LD e os vetores dos conjuntos 2 e 3 são LI.
(b) Os vetores do conjunto 2 são LD e os vetores dos conjuntos 1 e 3 são
LI.
(c)Os vetores do conjunto 3 são LD e os vetores dos conjuntos 1 e 1 são LI.
(d) Todos os vetores são LD.
(e)Todos os vetores são LI.
9- Verificar se o conjunto A = {v1 = (1, 2), v2 = (3, 5)} gera o IR².
10- Mostrar que os vetores u = (1, 1, 1); v = (0, 1, 1); w = (0, 0, 1) geram o R³.
11- Determinar os subespaços do IR³ gerados pelos seguintes conjuntos:
(a) A = {(2, -1, 3)}
(b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)}
(c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1, 0)}
(d) A = {(1, 1, 0), (1, 2, 1)}
Respostas:
(a) {(x, y, z) IR³/ x = -2y e z = -3y}
(b) {(x, y, z) IR³/ 7x + 5y - 4z = 0} ou {(x, y, z) IR³/
}
(c) {(x, y, z) IR³/ x + y - z = 0} ou {(x, y, z) IR³/ (z – y, y z), }
(d) {(x, y, z) IR³/ x - y + z = 0} ou {(x, y, z) IR³/ (y – z, y z), }
Matrizes e determinantes
Toda matriz quadrada está associada a um número real ao qual
damos o nome de determinante. É um operador matemático que
transforma uma matriz em um número. Ou seja, podemos calcular o
determinante de qualquer matriz desde que essa seja quadrada
(mesmo número de linhas e de colunas).
A RETA
Resolve o sistema que dá: a = 7 e b =-5