I UNIDADE - TEORIA-RESUMO DE GEOMETRIA ANALITICA

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Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 
 
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DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
 
Combinação Linear 
 
Se nnvvvu
rrrr
ααα +++= ...2211 dizemos que u
r
 é 
combinação linear de 1v
r
, 2v
r
 ... nv
r
, ou que ur é 
gerado por 1v
r
, 2v
r
 ... nv
r
. Os escalares 1α , 2α ... nα 
são chamados de coeficientes da combinação linear. 
 
 
Dependência Linear 
 
O conceito de dependência linear de uma seqüência 
( )nvvv rrr , ... ,, 21 será definido caso a caso, conforme o 
valor de n. 
 
(a) Uma seqüência ( )vr é linearmente 
dependente se 0
rr
=v e linearmente 
independente se 0
rr
≠v . 
 
(b) Um par ordenado ( )vu rr, é linearmente 
dependente se ur e vr são paralelos 
( vu rr λ= ). Caso contrário, ( )vu rr, é 
linearmente independente. 
 
(c) Uma tripla ordenada ( )wvu rrr ,, é linearmente 
dependente se ur , vr e wr são paralelos a um 
mesmo plano. Caso contrário, ( )wvu rrr ,, é 
linearmente independente. 
 
 
 
Linearmente Dependente (LD) 
 
Uma seqüência ( )nvvv rrr , ... ,, 21 , com 2≥n é LD se, e 
somente se, algum vetor da seqüência é gerado pelos 
demais. 
 
Linearmente Independente (LI) 
 
Uma seqüência ( )nvvv rrr , ... ,, 21 , em que 31 ≤≤ n , LI 
se, e somente se, a equação 
0...2211 =+++ nnvvv
rrr
ααα admite apenas a solução 
nula: 0...21 === nααα 
 
BASE 
 
Uma tripla ordenada linearmente independente 
( )321 ,, eeeE rrr= chama-se base de 3V . 
 
 
Tome nota: Verifique se ur e vr são LI ou LD. 
 
Se os vetores ur e vr forem paralelos, ( )vu rr, é LD. 
Caso contrário, ( )vu rr, é LI. 
 
Tome nota: Verifique se ( )321 ,, xxxx =r , 
( )321 ,, yyyy =r e ( )321 ,, zzzz =r são LI ou LD. 
 
Se 
LI 0
LD 0
333
222
111
→≠
→=
⇒
zyx
zyx
zyx
 
 
Base Ortonormal 
 
 
 
Uma base ( )321 ,, eee rrr é 
ortonormal se 1e
r
, 2e
r
, 3e
r
 são 
unitários e dois a dois 
ortogonais. 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 
 
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PRODUTO ESCALAR (PRODUTO INTERNO) 
 
Sendo ( )321 ,, uuuu =r e ( )321 ,, vvvv =r , define-se 
produto escalar dos vetores ur e vr como 
 
332211 vuvuvuvu ++=•
rr
 
 
 ou 332211, vuvuvuvu ++>=<
rr
 
 
Daí, podemos calcular o ângulo entre ur e vr 
 
vu
vu
rr
rr
⋅
•
=θcos
 
 
Algumas Propriedades do Produto Escalar 
 
(a) 
vu
vu
rr
rr
⋅
•
=θcos ou vuvu rrrr ⋅⋅=• θcos 
 
(b) uuu rrr •= 
 
(c) 0=•⇔⊥ vuvu rrrr (condição de ortogonalidade) 
 
(d) uvvu rrrr •=• 
 
 
Projeção Ortogonal 
 
 
Seja ur um vetor não-nulo. Dado vr qualquer, o vetor 
pr é chamado de projeção ortogonal de vr sobre ur , 
e indicado por vu
r
rproj . 
 
u
u
uv
vu
r
r
rr
r
r
2proj
•
=
 
 
E a expressão de sua norma é 
u
uv
vu r
rr
r
r
•
=proj 
PRODUTO VETORIAL (PRODUTO EXTERNO) 
 
Sejam os vetores ( )321 ,, uuuu =r e ( )321 ,, vvvv =r . 
Vamos determinar o vetor ( )321 ,, wwww =r tal que 
uw
rr ⊥ e vw rr ⊥ . 
 
0=•⇔⊥ wuwu rrrr 0=•⇔⊥ wvwv rrrr 
 
Defini-se como produto vetorial dos vetores ur e vr , 
o vetor w
r
 como: 
 
vuvuw
rrrrr
×=∧= 
 
Escrevendo sobre a forma de “determinante” 
 
321
321
ˆˆˆ
vvv
uuu
kji
vu =∧
rr
 
 
 
ATENÇÃO!! 
 
Produto ESCALAR de dois vetores é um NÚMERO REAL 
 
Produto VETORIAL de dois vetores é um VETOR 
 
 
 
Propriedades do Produto Vetorial 
 
(a) 0
rrr
=∧ uu 
 
(b) vuvu rr
rrr //0 ⇔=∧ 
 
(c) uvvu rrrr ∧−=∧ 
 
(d) uvu rrr ⊥∧ e vvu rrr ⊥∧ (direção) 
 
(e) θsin⋅⋅=∧ vuvu rrrr (módulo) 
 
 
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OBS: O produto vetorial não é associativo, ou seja, 
em geral ( ) ( ) wvuwvu rrrrrr ∧∧≠∧∧ 
 
Interpretação Geométrica do Produto Vetorial 
 
 
 
vuABCD rr ∧= amoParalelogr do Área
 
 
 
OBS: Conclui-se que a área do triângulo é: 
 
ACABA ∧=∆ 2
1
 
 
 
CAP 12 – PRODUTO MISTO 
 
 
 
O produto misto dos vetores ur , vr e wr nessa ordem, 
é o número real: 
 
[ ] ( ) wvuwvu rrrrrr •∧=,,
 
 
O produto misto é o Volume do Paralelepípedo ABCDEFGH 
 
 
[ ]
321
321
321
,,
www
vvv
uuu
wvu =
rrr
 
 
Propriedades do Produto Misto 
 
(a) ],,[ wvuV rrr= 
 
(b) [ ] ( )wvuwvu rrrrrr ,,0,, ⇔= é LD 
 
(c) [ ] [ ] [ ]vuwuwvwvu rrrrrrrrr ,,,,,, == 
 (permutações cíclicas não afetam o produto 
misto) 
 
(d) ( ) ( )wvuwvu rrrrrr ∧•=•∧ 
 (os sinais • e ∧ permutam entres si no 
produto misto de três vetores) 
 
(d) [ ] [ ]wuvwvu rrrrrr ,,,, −= 
 (o produto misto troca de sinal quando se trocam as 
posições de dois vetores consecutivos) 
 
 
OBS: O produto misto e produto vetorial só são 
definidos no espaço. 
 
Volume do Tetraedro 
 
 
 
],,[
6
1 ADACABV = 
 
 
 
* Geometria Analítica – Um tratamento vetorial – 
Ivan de Camargo e Paulo Boulos – 3ª edição 
* Geometria Analítica – Reis/Silva – 2ª edição 
* Geometria Analítica – Steinbruch e Winterle – 2ª 
edição