MatBas16 - Medidas de angulos

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Matemática Básica XVI 1 
O 
A 
B 
 
MÓDULO XVI 
 
 
MEDIDAS DE ÂNGULOS 
 
1. Definição de ângulo 
 
Ângulo é a união de duas semi-retas OA e OB de 
mesma origem O e não colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima o vértice é o ponto O e os lados são 
as semi-retas OA e OB . O ângulo é indicado por AÔB ou 
BÔA ou simplesmente por Ô. 
 
Observação: Quando um ângulo for indicado por três 
letras maiúsculas, a letra correspondente ao vértice deve 
ficar no meio, isto é, AOB = AÔB. 
 
2. Ponto interior de um ângulo 
 
Dado um ângulo e um ponto P, dizemos que P é um 
ponto interior ao ângulo quando qualquer reta que passa 
por P interceptar os lados do ângulo em dois pontos 
distintos A e B, de modo que P seja sempre um ponto 
entre A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Setor ou região angular 
 
Chamamos de setor angular à reunião dos pontos 
pertencentes ao ângulo e os seus pontos interiores. A 
figura a seguir mostra o setor angular do ângulo AOB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Classificação de um ângulo quanto a sua medida 
 
Um ângulo é classificado como nulo quando sua 
medida for igual a 0o (duas semi-retas coincidentes). 
 
 
 α = 0o 
 
 
 
Um ângulo é classificado como agudo quando sua 
medida é maior que 0º e menor que 90º. 
 
 
 0o < α < 90o 
 
 
 
Um ângulo é classificado como reto quando sua 
medida for igual a 90º. 
 
 
 
 
 
 α = 90o 
 
 
Um ângulo é classificado como raso quando sua 
medida for igual a 180º (duas semi-retas opostas). 
 
 
 α = 180o 
 
 
 
Um ângulo é classificado como obtuso quando sua 
medida for maior que 90º e menor que 180º. 
 
 
 
 
 90o < α < 180o 
 
 
 
 
Exercício Proposto 
 
EP.01) Observando na figura abaixo os ponteiros das 
horas e dos minutos de um relógio, determine a medida do 
menor e do maior ângulo formado pelos ponteiros quando 
eles estiverem marcando: 
a) 14h 
 
b) 15h 
 
c) 18h 
 
d) 11h 
 
e) 07h 
 
f) 12h 
 
g) 20h 
 
 
Classifique cada um dos ângulos conforme suas medidas. 
 
O 
A 
B 
P 
O 
B 
A 
O 
A ≡ B 
α 
A 
B 
α O 
A 
B 
α 
A 
B 
O 
α 
A B 
α 
O 
5 
4 
10 
9 
11 
7 
8 
6 
3 
2 
1 
12 
Matemática Básica XVI 2 
5. Unidade de medida de ângulos 
 
A unidade principal de medida de ângulos é o grau , 
indicado pelo símbolo °°°°, e os seus submúltiplos são os 
minutos e os segundos . Observe as seguintes 
equivalências: 
• 1 grau equivale a 60 minutos: 
1º = 60’ 
• 1 minuto equivale a 60 segundos: 
1’ = 60’’ 
 
Exemplos: 
 
a) Um ângulo possui 33 graus e 48 minutos. 
Indica-se por: 33º 48’ 
 
b) Um ângulo possui 33 graus, 48 minutos e 12 segundos. 
Indica-se por: 33º 48’ 12’’ 
 
 
 
6. Redução de unidades 
 
Em alguns problemas faz-se necessária a redução 
ou equivalência dos ângulos da unidade principal para os 
seus submúltiplos ou vice-versa. Vejamos algumas dessas 
reduções nos exercícios resolvidos a seguir. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
ER.01) Reduzir cada um dos ângulos abaixo a minutos: 
a) 5º 
b) 5º 20’ 
Resolução: 
 
a) Como 1º = 60’, então 5º = 5 x 60’ = 300’ 
Logo, por equivalência, teremos 5º = 300’ 
 
b) Como 1º = 60’, então: 5º = 5 x 60’ = 300’ 
Assim: 5º 20’ = 300’ + 20’ = 320’ 
Logo, por redução, teremos 5º 20’ = 320’ 
 
 
ER.02) Reduzir cada um dos ângulos abaixo a segundos: 
a) 5º 
b) 5º 20’ 
c) 5º 20’ 30’’ 
Resolução: 
 
a) Como 1º = 60’, então 5º = 5 x 60’ = 300’ 
Como 1’ = 60’’, então 300’ = 300 x 60’’ = 18.000’’ 
Logo, por equivalência, teremos 5° = 18.000’’ 
 
b) Como 1º = 60’, então 5º = 5 x 60’ = 300’ 
Assim obtemos 5º 20’ = 300’ + 20’ = 320’ 
Como 1’ = 60’’, então 320’ = 300 x 60’’ = 19.200’’ 
Logo, por redução, teremos 5º20’ = 19 200’’ 
 
c) Como 1º = 60’, então 5º = 5 x 60’ = 300’ 
Assim: 5º 20’ = 300’ + 20’ = 320’ 
Como 1’ = 60’’, então 320’ = 300 x 60’’ = 19.200’’ 
Assim: 5º 20’ 30’’ = 19.200’’ + 30’’ = 19.230’’ 
Logo, por redução, 5º 20’ 30’’ = 19.230’’ 
 
ER.03) Converter 150’ em graus e minutos. 
Resolução: 
Como 1º = 60’, então teremos: 
150’ 60 
 30’ 2º 
Logo, 
150’ = 2º 30' 
 
ER.04) Converter 200’’ em minutos e segundos. 
Resolução: como 1’ = 60’’, então teremos: 
200’’ 60 
 20’’ 3’ 
Logo, 
200’’ = 3’ 20'' 
 
ER.05) Converter 15.740” em graus, minutos e segundos. 
Resolução: 1’ = 60’’, então teremos: 
15.740’’ 60 
 20’’ 262’ 
Assim, 
15.740’’ = 262’ 20'' 
 
Convertendo 262’ em graus e minutos: 
262’ 60 
 22’ 4º 
Assim, 
262’ = 4º 22’ 
Logo, 
15.740’’ = 262’ 20'' = 4º 22’ 20'' 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.02) Reduzir os seguintes ângulos a minutos: 
a) 10º 
b) 10º 35’ 
 
 
 
 
EP.03) Reduzir os seguintes ângulos a segundos: 
a) 2º 
b) 2º 30’ 
 
 
 
 
EP.04) Reduzir os seguintes ângulos a graus e minutos: 
a) 100’ 
b) 250’ 
 
 
 
 
EP.05) Reduzir os seguintes ângulos a graus, minutos e 
segundos: 
a) 8460’’ 
b) 9864’’ 
 
 
 
 
 
Matemática Básica XVI 3 
7. Operações matemáticas com ângulos 
 
As operações de adição, subtração, multiplicação e 
divisão realizadas com números reais também podem ser 
aplicadas com ângulos, lembrando de algumas 
particularidades: 
90º = 89º 60’ = 89º 59’ 60’’ 
180º = 179º 60’ = 179º 59’ 60’’ 
Nos exercícios resolvidos a seguir serão realizadas 
algumas operações envolvendo ângulos. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
ER.06) Efetuar a adição dos ângulos em cada item abaixo: 
a) 12º 20’ 40’’ + 30º 15’ 10’’ 
b) 12º 20’ 40’’ + 30º 50’ 45’’ 
Resolução: 
a) 12º 20’ 40’’ + 30º 15’ 10’’ 
 12º 20’ 40’’ 
+ 30º 15’ 10’’ 
 42º 35’ 50’’ 
Logo, 
12º 20’ 40’’ + 30º 15’ 10’’ = 42º 35’ 50’’ 
 
b) 12º 20’ 40’’ + 30º 50’ 45’’ 
 12º 20’ 40’’ 
+ 30º 50’ 45’’ 
 42º 70’ 85’’ 
Como 85’’ = 1’ 25’’ , então: 
42º 70’ 85’’ = 42º 70’ 00’’ + 85’’ = 42º 70’ 00’’ + 1’ 25’’ = 
= 42º 71’ 25’’ 
 42º 70’ 00’’ 
+ 1’ 25’’ 
 42º 71’ 25’’ 
Como 71’ = 1º 11’ , então: 
42º 71’ 25’’ = 42º 00’ 00’’ + 71’ 00’’ + 25’’ = 42º 00’ 00’’ + 
1º 11’ 00’’ + 25’’ = 43º 11’ 25’’ 
 42º 00’ 00’’ 
+ 1º 11’ 00’’ 
 25’’ 
 43º 11’ 25’’ 
Logo, 
12º 20’ 40’’ + 30º 50’ 45’’ = 43º 11’ 25’’ 
 
ER.07) Efetuar a subtração dos ângulos em cada item 
abaixo: 
a) 90º – 40º 20’ 45’’ 
b) 20º 20’ 20’’ – 10º 60’ 40’’ 
Resolução: 
a) 90º – 40º 20’ 45’’ 
 
Reescrevendo 90º = 89º 60’ = 89º 59’ 60’’, teremos: 
 
 90º 89º 59’ 60’’ 
– 40º 20’ 45’’ � – 40º 20’ 45’’ 
 43º 11’ 25’’ 49º 39’ 15’’ 
 
Logo, 
90º – 40º 20’ 45’’ = 49º 39’ 15’’ 
 
b) 20º 20’ 20’’ – 10º 60’ 40’’ 
 
Reescrevendo 20º 20’ 20’’ = 19º 80’ 20’’ = 19º 79’ 80’’, 
teremos: 
 20º 20’ 20’’ 19º 79’ 80’’ 
– 10º 60’ 40’’ � – 10º 60’ 40’’ 
 9º 19’ 40’’ 
Logo, 
20º 20’ 20’’ – 10º 60’ 40’’ = 9º 19’ 40’’ 
 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.06) Calcule a soma dos seguintes ângulos: 
a) 30º + 25º 40’ 
b) 10º 35’ 35’’ + 28º 12’ 55’’ 
 
 
 
EP.07) Calcule as diferenças dos seguintes ângulos: 
a) 90º – 45º 40’ 40’’ 
b) 45º 20’ 20’’ – 30º 30’ 30’’ 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
ER.08) Efetuar a multiplicação do ângulo por um número 
real em cada um dos itens abaixo: 
a) 3 x 25º 12’ 
b) 5 x 25º 30’ 32’’ 
Resolução: 
a) 3 x 25º 12’ 
 25º 12’ 
x 3 
 75º 36’ 
Logo, 
3 x 25º 12’ = 75º 36’ 
 
b) 5 x 25º 30’ 32’’ 
 25º 30’ 32’’ 
x 5 
 125º 150’ 160’’ 
 
Como 160’’ = 2’ 40’’ , então: 
125º 150’ 160’’ = 125º 150’ 00’’ + 160’’ = 125º 150’ 00’’ + 
+ 2’ 40’’ = 125º 152’ 40’’ 
 125º 150’ 00’’ 
+ 2’ 40’’ 
 125º 152’ 40’’ 
 
Como 152’ = 2º 32’ , então: 
125º 152’ 40’’ = 125º 00’ 00’’ + 152’ 00’’ + 40’’ = 
= 125º 00’ 00’’ + 2º 32’ 00’’ + 40’’ = 127º 32’ 40’’ 
 125º 00’ 00’’ 
+ 2º 32’ 00’’ 
 40’’ 
 127º 32’ 40’’ 
Logo, 
5 x 25º 30’ 32’’ = 127º 32’ 40’’ 
Matemática Básica XVI 4 
ER.09) Efetuar a divisão do ângulo por um número real em 
cada um dos itens abaixo: 
a) 32º 20’ ÷ 4 
b) 35º 20’ ÷ 4 
c) 35º 14’ 30’’ ÷ 3 
Resolução: 
 
a) 32º 20’ ÷ 4 
 32º 20’ 4 
– 32º 8º 5’ 
 00º 20’ 
– 20’ 
 00º 00’ 
Logo, 
32º 20’ ÷ 4 = 8º 5’ 
 
b) 35º 20’ ÷ 4 
 35º 20’ 4 
– 32º 8º 50’ 
 03º 20’ (3º = 180’) 
 200’ (180’ + 20’ = 200’) 
– 200’ 
 00º 00’ 
Logo, 
35º 20’ ÷ 4 = 8º 50’ 
 
c) 35º 14’ 30’’ ÷ 3 
 35º 14’ 30’’ 3– 33º 11º 44’ 50’’ 
 02º 14’ 30’’ (2º = 120’) 
 134’ 30’’ (120’ + 14’ = 134’) 
– 132’ 
 02’ 30’’ (2’ = 120’’) 
 150’’ (120’’ + 30’’ = 150’’) 
– 150’’ 
 00º 00’ 00’’ 
Logo, 
35º 14’ 30’’ ÷ 3 = 11º 44’ 50’’ 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.08) Calcule os produtos abaixo: 
a) 5 x 25º 12’ 15’’ 
b) 8 x 12º 30’ 
 
 
 
 
 
EP.09) Calcule os quocientes abaixo: 
a) 15º ÷ 4 
b) 25º 17’ ÷ 3 
 
 
 
 
 
8. Ângulos complementares 
 
Dois ângulos são complementares quando a soma 
de suas medidas for igual a 90º. Dizemos que um é o 
complemento do outro. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso os ângulos AOB e COD são 
complementares pois a soma de suas medidas é igual a 
90º. 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.10) Sabendo que os ângulos AOB e BOC (figura a 
seguir) são adjacentes e complementares, determine o 
ângulo BOC. 
Observação: ângulos adjacentes são aqueles que 
possuem o mesmo vértice, um lado comum e não 
possuem pontos internos em comum. Quando possuem 
pontos internos em comum são chamados de 
consecutivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP.11) Encontre a medida do complemento do ângulo cuja 
medida é igual a 40º 25’. 
 
 
 
 
EP.12) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao 
dobro do seu complemento. 
 
 
 
 
EP.13) O dobro da medida do complemento de um ângulo 
mais a sua terça parte é igual a 140º. Determine a medida 
desse ângulo. 
 
 
 
 
EP.14) A medida de um ângulo é igual a metade do seu 
complemento. Quanto mede o ângulo? 
 
 
 
 
 
40º 
O 
A 
B C 
50º 
D 
O 
30º 
x=? 
B 
A 
C 
O 
Matemática Básica XVI 5 
9. Ângulos suplementares 
 
Dois ângulos são suplementares quando a soma 
de suas medidas for igual a 180º. Dizemos que um é o 
suplemento do outro. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso os ângulos AOB e COD são 
suplementares pois a soma de suas medidas é igual a 
180º. 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.15) Dado os ângulos AOB e BOC (figura a seguir) que 
são adjacentes e suplementares, determine a medida do 
ângulo BOC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP.16) Encontre a medida do suplemento do ângulo cuja 
medida é igual a 52º 55’. 
 
 
 
 
 
 
EP.17) Qual a medida do ângulo que é igual ao triplo de 
seu suplemento? 
 
 
 
 
 
EP.18) A soma da medida de um ângulo com a quinta 
parte da medida de seu suplemento é 60º. Calcule a 
medida desse ângulo. 
 
 
 
 
 
 
EP.19) O quádruplo do complemento de um ângulo 
aumentado de 40º é igual ao dobro do suplemento do 
ângulo. Determinar a medida desse ângulo. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Complementares 
 
EC.01) Classificar os ângulos em nulo, agudo, reto, obtuso 
ou raso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EC.02) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). 
a) ( ) 90º = 89º 60’ 
b) ( ) 90º = 89º 59’ 60’’ 
c) ( ) 180º = 179º 60’ 
d) ( ) 180º = 179º 59’ 60’’ 
e) ( ) 50º = 49º 59’ 
 
EC.03) Determine o valor da medida do ângulo x em cada 
situação a seguir: 
a) x = (32º 10’ + 15º 26’ 40’’) – 31º 45’ ‘12’’ 
b) x = 180º – 42º 17’ 16’’ 
c) x = 360º – 275º 12’ 56’’ 
d) x = 42º + (75º 16’ 43’’ – 36º 47’ 12’’). 
 
EC.04) Efetue as multiplicações envolvendo as medidas 
de ângulos: 
a) 4 x (22º 22’ 13’’) 
b) 3 x (7,5º) 
c) 15 x (1º 01’ 01’’) 
d) 2 x (2,5º) 
e) 0,5 x 12º 
f) 4 x 1,6º 
g) 4 x (1º 36’) 
 
EC.05) Determine o valor da medida do ângulo x em cada 
situação a seguir: 
a) x = (45º) ÷÷÷÷ 2 + 13º 30’ 
b) x = (61º 10’ 20’’) ÷÷÷÷ 2 – 2º 31’ 18’’ 
c) x = (3600’’) ÷÷÷÷ 120 + 41º 10’ 26’’ 
d) x = (5º) ÷÷÷÷ 2 – 1º 30’ 
 
 
EC.06) Dado um ângulo de medida x (x < 90º), escreva 
em linguagem simbólica: 
a) o dobro da medida desse ângulo; 
b) o seu complemento; 
c) o seu suplemento; 
d) o triplo de seu complemento; 
e) a quinta parte do seu complemento; 
f) a metade da medida do suplemento. 
 
 
50º 
O 
A 
B 
130º 
O C 
D 
C 30º 
y=? 
A 
B 
O 
78º 
O 
A 
B 
A 
B 
90º 
O 
160º 
O A 
B 
O 
180º 
B A 
(a) (b) 
(d) (c) 
Matemática Básica XVI 6 
EC.07) Calcule o complemento dos seguintes ângulos: 
a) 28° 
b) 32° 25’ 
c) 47° 20’ 47’’ 
d) 73° 49’ 08’’ 
 
EC.08) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos: 
a) 45° 
b) 62° 28’ 
c) 103° 45’ 25’’ 
d) 74° 9’ 37’’ 
 
EC.09) Calcular os 
3
2
 da medida do complemento do 
ângulo de 36° 42’. 
 
EC.10) Calcular os 
5
4
 da medida do suplemento do 
ângulo de 64° 12’. 
 
EC.11) Calcular os 
4
3
 da medida do complemento do 
ângulo cuja metade mede 27° 36’. 
 
EC.12) Calcular os 
6
5
 da medida do suplemento do 
ângulo cuja terça parte mede 32º. 
 
EC.13) Determinar um ângulo sabendo que a diferença 
entre a metade da medida do seu complemento e a quinta 
parte da medida do seu suplemento resulta em 6º. 
 
EC.14) Calcule um ângulo sabendo que a diferença entre 
a metade da medida do seu suplemento e a medida do 
seu complemento resulta em 30º. 
 
EC.15) Determinar um ângulo sabendo que a diferença 
entre os 
3
2
 da medida do seu suplemento e a metade da 
medida do seu complemento resulta em 70º. 
 
EC.16) Determinar um ângulo sabendo que a soma da 
metade de seu complemento com a medida do seu 
suplemento resulta em 105º. 
 
EC.17) O triplo do complemento de um ângulo aumentado 
de 50º é igual ao suplemento do mesmo ângulo. 
Determinar a medida desse ângulo em graus. 
 
EC.18) A diferença entre as medidas de dois ângulos é 
40º. O ângulo formado por suas bissetrizes mede 50º. 
Calcule a medida dos ângulos. 
Observação: a reta bissetriz divide um ângulo em dois 
outros ângulos de mesma medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.01) 
a) menor = 60o (agudo) e maior = 300o (obtuso). 
b) menor = 90o (reto) e maior = 270o (obtuso). 
c) menor e maior ângulo = 180o (raso). 
d) menor 30o (agudo) e maior = 330o (obtuso). 
e) menor = 150o (obtuso) e maior = 210o (obtuso). 
f) menor = 0o (nulo) e maior = 360o (pleno). 
g) menor = 120o (obtuso) e maior = 240o (obtuso). 
EP.02) a) 600’ b) 635’ 
EP.03) a) 7200’’ b) 9000’’ 
EP.04) a) 1º 40’ b) 4º 10’ 
EP.05) a) 2º 21’ b) 2º 44’ 24’’ 
EP.06) a) 55º 40’ b) 38º 48’ 30’’ 
EP.07) a) 44º 19’ 20’’ b) 14º 49’ 50’’ 
EP.08) a) 126º 1’ 15’’ b) 100º 
EP.09) a) 3º 45’ b) 8º 25’ 40’’ 
EP.10) 60º 
EP.11) 49º 35’ 
EP.12) 60º 
EP.13) 24º 
EP.14) 30º 
EP.15) 150º 
EP.16) 127º 5’ 
EP.17) 135º 
EP.18) 30º 
EP.19) 20º 
 
Exercícios Complementares 
 
EC.01) a) agudo b) reto c) obtuso d) raso 
EC.02) V – V – V – V – F 
EC.03) a) 15º 51’ 28’’ b) x = 137º 42’ 44’’ 
 c) x = 84º 47’ 04’’ d) x = 80º 29’ 31’’ 
EC.04) a) 89º 28’ 52’’ b) 22º 30’ 
 c) 15º 15’ 15’’ d) 5º 
 e) 6º f) 6,4º = 6º 24’ 
 g) 6º 24’ 
EC.05) a) 36º b) x = 28º 03’ 52’’ 
 c) x = 41º 10’ 56’’ d) x = 1º 
EC.06) 
a) 2x b) 90º – x 
c) 180º – x d) 3.(90º – x) 
e) ( )x90
5
1 −° f) ( )x180
2
1 −° 
EC.07) a) 62° b) 57° 35’ 
c) 42° 39’ 13’’ d) 16° 10’ 52’’ 
EC.08) a) 135° b) 117° 32’ 
c) 76° 14’ 35’’ d) 105° 50’ 23’’ 
EC.09) 35° 32’ 
EC.10) 92° 38’ 24’’ 
EC.11) 26° 06’ 
EC.12) 70º 
EC.13) 10º 
EC.14) 60º 
EC.15) 30º 
EC.16) 80º 
EC.17) 70º 
EC.18) 70º e 30º