Ângulos: Definição e Classificação

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
ÂNGULOS 
Prof. Wellington Nishio 
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Definição 
Chama-se ângulo à reunião de duas semirretas de 
mesma origem, não contidas numa mesma reta (não 
colineares). 
 
O ponto O é o vértice do ângulo. 
As semirretas são os lados do ângulo. 
 
Ângulos Consecutivos 
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um 
lado de um deles é também lado do outro (um lado 
de um deles coincide com um lado do outro). 
 
 
Ângulos adjacentes 
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e 
somente se, não tem pontos internos comuns. 
 
AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
 
Ângulos Opostos pelo Vértive (o.p.v) 
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente 
se, os lados de um deles são as respectivas semirretas 
opostas aos outros lados do outro. 
 
OBS: Duas retas concorrentes determinam dois pares 
de ângulos opostos pelo vértice. 
 
Se os ângulos forem opostos pelo vértice, então eles 
são congruentes. 
 
 
Bissetriz de um ângulo 
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao 
ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide 
em dois ângulos congruentes. 
 
Medida de um ângulo 
A medida de um ângulo é um número real positivo 
associado ao ângulo. 
Ângulos congruentes são ângulos que possuem a 
mesma medida. 
 
Unidades de medidas de um ângulo 
Os ângulos podem ser medidos em grau(°), minuto(') e 
segundo("). 
Um grau é equivalente a sessenta minutos.(1º = 60’) 
Um minuto é equivalente a sessenta segundos.(1’ = 
60”) 
 
Classificação dos Ângulos 
Ângulo reto: ângulo cuja a medida é igual a 90°. 
Ângulo agudo: ângulo cuja a medida é maior do que 
0° e menor que 90°. 
Ângulo obtuso: ângulo cuja a medida é maior do que 
90° e menor que 180°. 
Ângulo raso: ângulo cuja medida é igual a 180°. 
Também conhecido como ângulo de meia volta. 
Ângulo de uma volta: é aquele cuja medida é 360º. 
Ângulo nulo: é aquele cuja medida é 0º. 
 
Observação 
Tanto o ângulo nulo quanto o ângulo de uma volta, são 
formados por retas coincidentes. A diferença é que o 
ângulo nulo não possui abertura e o ângulo de uma 
volta torna-se coincidente após uma volta. 
 
Transformações de Medidas 
Assim como nas unidades de comprimento, área, 
volume, tempo, podemos transformar as unidades de 
medida de ângulos. 
 
Exemplo: Transformar 2º em minutos. 
 
Exemplo: Transformar 3º 15’ em segundos. 
 
Simplificação de Ângulos 
Quando os ângulos possuírem as medidas de minutos 
e segundos maiores ou iguais a 60, devemos 
transformá-los para as medidas maiores. 
 
Exemplo: Simplificar o ângulo 45º 93’ 123” 
 
Medidas fracionárias de um ângulo 
Se a medida de ângulo for um valor fracionário, significa 
que podemos reescrevê-la na forma de grau, minutos e 
segundos. 
E, da mesma maneira, podemos reescrever a forma de 
grau, minutos e segundos na forma fracionária. 
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Exemplo: Transforme 24,5º em graus e minutos. 
 
Operações com Ângulos 
 
Soma e Subtração de Ângulos 
Para somar ou subtrair ângulos, devemos somar ou 
subtrair, na ordem: segundo por segundo, minuto por 
minuto e grau por grau. 
 
Exemplo: 43º 18’ 20'' + 25º 20’ 30‘’ 
 
Exemplo: 70º 25' - 30º 15’ 
 
Multiplicação e Divisão por Número Natural 
Para efetuar a multiplicação, utilizaremos o seguinte 
modelo: iniciaremos pelos segundos, depois para os 
minutos e, por fim, vamos para o grau. 
Na divisão, iniciaremos pelo grau, depois minutos e, por 
fim, segundos. 
 
Exemplo: 2 . (36º 25’) 
 
Exemplo: (40º 20') : 2 
 
Ângulos complementares e ângulos suplementares 
 
Dois ângulos são denominados complementares 
quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Um é 
complemento do outro. 
Dois ângulos são denominados suplementares 
quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Um é 
suplemento do outro. 
 
Retas paralelas cortadas por transversal 
 
Nomenclatura 
Correspondentes: São ângulos que ocupam posições 
análogas em relação às paralelas 
Alternos internos: São ângulos que estão em lados 
opostos em relação à transversal e entre as paralelas 
Alternos externos: São ângulos que estão em lados 
opostos em relação à transversal e exteriores às 
paralelas 
Colaterais internos: São ângulos que estão do mesmo 
lado da transversal e entre as paralelas 
Colaterais externos: São ângulos que estão do 
mesmo lado da transversal e exteriores às paralelas 
Dois ângulos correspondentes ou alternos são 
congruentes. 
Dois ângulos colaterais são suplementares. 
 
 
 
 
 
EXERCÌCIOS 
 
1. Simplifique as seguintes medidas: 
a) 30°70' b) 45°150' c) 65°39'123" 
d) 110°58'300" e) 30°56'240" 
 
2. Determine as somas: 
a) 30°40' + 15°35' b) 10°30'45" + 15°29'20" 
 
3. Determine as diferenças: 
a) 20°50'45" - 5°45'30" b) 31°40' - 20°45' 
c) 90°15'20" - 45°30'50" d) 90° - 50°30'45" 
 
4. Determine os produtos: 
a) 2 x (10°35'45") b) 5 x (6°15'30") 
 
5. Determine as divisões: 
a) (46°48'54") : 2 b) (31°32'45") : 3 
c) (52°63'42") : 5 
 
6. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) Dois ângulos consecutivos são adjacentes. 
b) Dois ângulos adjacentes são consecutivos. 
c) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice. 
d) Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes. 
e) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos. 
 
7. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) Dois ângulos suplementares são adjacentes. 
b) Dois ângulos complementares são adjacentes. 
c) Dois ângulos adjacentes são complementares. 
d) Os ângulos de medida 10°, 20° e 60° são 
complementares. 
e) Os ângulos de medida 30°, 60° e 90° são 
suplementares. 
 
8. Dois ângulos são complementares se um deles mede 
30º quanto mede o outro? 
a) 20º b) 40° c) 15° d) 60° 
 
9. O ângulo AOC=80° seja OB sua bissetriz. Então o 
ângulo AOB é igual a: 
a) 60° b) 40° c) 20° d) 30° 
 
10. Determine o valor de x nos casos: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Um ângulo mede 120° quanto mede a terça parte 
do seu suplemento? 
a) 20° b) 10° c) 40° d) 60° 
 
12. O replemento de 20° somado ao suplemento de 
100° dá: 
a) 380° b) 420° c) 380° d) 200° 
 
 
 
−102x 
+40x 
x 
−153y + 35y 
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s 
u 
a r 
 b 
t 
 
13. Calcule 𝑥 + 𝑦 sendo 𝑟 ∥ 𝑠. 
 
 
a) 40° b)20° c)50° d)60° 
 
14. Indique qual afirmação é falsa. 
a) 30° e 60° são complementares. 
b) Um ângulo reto mede 90°. 
c) 300° e 60° são replementares. 
d) 100°, 40° e 40° são suplementares. 
 
15. Na figura, ED//BC, med(BAE) = 80° e 
med(ABC) = 35°. Assim, a medida de AED é: 
 
a) 100° b) 110° c) 115° d) 120° 
 
16. Observe a figura abaixo: 
 
A reta r é paralela a reta s, então o valor de x+y é: 
a)180° b) 230° c) 250° 
d) 280° e) 300° 
 
17. Seja 𝛼 um ângulo agudo. Se somarmos a medida 
de um ângulo reto à medida de 𝛼 e em seguida, 
subtrairmos dessa soma a medida do suplemento de 𝛼, 
obteremos sempre a medida de um ângulo 
a) nulo, qualquer que seja a medida de 𝛼. 
b) reto, qualquer que seja a medida de 𝛼. 
c) agudo, desde que 45° < 𝛼 < 90°. 
d) raso, desde que 𝛼 < 45°. 
 
18. Na figura, r // s e t ⊥ u. O valor de a – b é 
 
a) 100° 
b) 90° 
c) 80° 
d) 70° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. Na figura, BA//EF. A medida x é 
 
a) 105° b) 106° c) 107° d) 108° 
 
20. Nesta figura, as retas r e s são paralelas entre si. 
Os valores de “x”, “y” e “z” são, respectivamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 23o45’, 85o e 95o. 
b) 25o, 90o e 90o. 
c) 23o7’5’’, 95o e 85o. 
d) 26o15’, 85o e 95o. 
 
21. Na figura abaixo, onde r e s são retas paralelas e t 
é uma transversal, ficam determinados os ângulos não 
nulos, que têm medidas em graus dadas pelas 
expressões 7𝑥, 𝑥² − 2𝑥, 
7𝑦−4
2
 e 3𝑧. É correto afirmar que 
 
a) 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 b) 𝑦 < 𝑧 < 𝑥 c) 𝑦 − 𝑥 = 𝑧 d) 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 
 
22. De um ponto O, tomado sobre uma reta AB (O entre 
A e B), traçam-se para um mesmo semi-plano de AB, 
as semi-retas ON, OP e OQ. Os ângulos AÔN, NÔP,PÔQ e QÔB medem, respectivamente, 80° – 3x, 
5x – 14°, x e 4x + 9°. O complemento do menor ângulo 
é 
a) 68° b) 75° c) 78° d) 80° 
 
23. Considere as retas r e s (r//s) e os ângulos ê, î e â 
da figura abaixo 
 
Pode-se afirmar que 
a) ê + î + â = 270° c) ê + î = â 
b) ê + î + â = 180° d) ê + î = â + 90° 
85o z 
s 
r y 
x 
3x-10o 
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24. Sejam r e s, retas paralelas. Sabendo que o ângulo 
y mede 90º, a medida do ângulo 𝛼 na figura abaixo é 
 
a) 115° b)125° c) 135° d) 145° 
 
25. Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. A 
medida do ângulo x é igual a 
 
a) 230° b) 225° c) 220° d) 210 
 
26. Duas retas paralelas são cortadas por uma terceira 
reta de modo que dois ângulos colaterais internos são 
dados, em graus, pelas expressões ( )20x10A += e 
( )20x6B −= . Calcular B . 
a) 20' º62 b) 12' º52 c) 30' º47 
d) 30' º67 e) 15' º72 
 
27. Das figuras abaixo, a que representa dois ângulos 
adjacentes suplementares é: 
 
(A) (B) (C) (D) 
 
 
 
28. Dividindo o ângulo de 32 em 6 partes iguais, 
obtemos: 
a) 530' b) 620' d) 420' d) 520' 
 
29. O ângulo cujo suplemento é o triplo de seu 
complemento mede: 
(A) 60 (B) 45 (C) 90 (D) 30 
 
30. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. 
Quanto mede o ângulo z se y é o triplo de x? 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 45 
(D) 30 
 
31. Calculando-se a medida de â, obtém-se: (Obs: r //s) 
a) 48 
b) 18 
c) 132 
d) 126 
 
32. Se dois ângulos â e b são opostos pelo vértice, 
então â e b são necessariamente: 
a) suplementares b) replementares 
c) adjacentes d) congruentes 
 
33. Na figura abaixo a = c = 30 e a + b + c = 120. 
Então, x é: 
a) agudo 
b) obtuso 
c) reto 
d) raso 
 
34. Sendo A = 33 53' 41" e B = 14 12' 49", o resultado 
da operação A – B é: 
a) 19 41'52" b) 19 41'08" 
c) 19 40'52" d) 19 40'08" 
 
35. Num triângulo retângulo os ângulos agudos são 
a = 2x – 5° e b = 3x –10°. Determine a , b: 
a) a = 37º e b = 53º b) a = 47º e b = 43º 
c) a = 57º e b = 33º d) a = 27º e b = 63º 
e) a = 17º e b = 73º 
 
36. O quádruplo da medida do complemento de um 
ângulo é igual a 108°. A medida desse ângulo é um 
valor múltiplo de 
a) 5. b) 7. c) 15. d) 17. 
 
37. Na figura AÔC é reto e OX é bissetriz de BÔC. O 
valor de AÔX, sabendo que BÔX é o dobro de AÔB. 
a) 54° 
b) 18° 
c) 36° 
d) 45° 
 
 
38. Observe o esquema e determine o valor de x e y 
respectivamente. 
a) 20° e 80° 
b) 136° e 34° 
c) 34° e 80° 
d) 34° e 136° 
 
 
39. Na figura abaixo r // s. O valor de a é: 
(A) 124 
(B) 148 
(C) 132 
(D) 172 
 
 
40. Na figura, AÔC é um ângulo raso. O valor de x é 
a) 133° 32’ 
b) 133° 28’ 
c) 134° 32’ 
d) 134° 28’ 
41. Algumas pessoas têm o hábito de “cortar” o sete. 
No “sete cortado” da figura, o “corte” é paralelo ao traço 
horizontal de cima dele. O valor de x é 
a) 40° 
b) 41° 
c) 42° 
d) 43° 
 
 
 
r 
s z 
y 
x 
x + 30 
7x + 6 
r 
s 
a 
r 
s a 
2x 
3x 
60 
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42. Dois ângulos são adjacentes se eles forem 
consecutivos e 
a) os lados de um forem semirretas 
coincidentes com os lados do outro. 
b) os lados de um forem semirretas opostas aos lados 
do outro. 
c) não possuírem ponto interno comum. 
d) possuírem ponto interno comum. 
 
43. Na figura, OC⃑⃑⃑⃑ ⃑ é bissetriz de BÔD. Então CÔE mede 
a) 140°. 
b) 130°. 
c) 120°. 
d) 110°. 
 
 
44. Na figura, r // s. O valor de x + y é 
a) 18°. 
b) 38°. 
c) 42°. 
d) 60°. 
 
 
 
 
45. O suplemento do ângulo 45° 17’ 27’’ foi dividido em 
três partes iguais. A medida de cada parte é: 
a) 22° 54’ 41’’ 
b) 44° 54’ 11’’ 
c) 54° 44’ 33’’ 
d) 34° 42’ 33’’ 
e) 11° 34’ 51’’ 
 
46. Quatro semirretas AO, OB, OC e OD formam os 
ângulos adjacentes AÔB, BÔC, CÔD e DÔA, 
respectivamente proporcionais aos números 1, 2, 4 e 5. 
As bissetrizes de AÔB e CÔD formam: 
a) 90º b) 120º c) 135º d) 150º 
 
47. Seja AÔB um ângulo e r uma reta do seu plano, que 
contém O, e situada na região não convexa. Sejam OX 
e OY as bissetrizes dos ângulos agudos que OA e OB 
formam com r. Se AÔB = 150º, XÔY mede: 
a) 135º b) 145º c) 155º d) 165º e) 175º 
 
48. Quando duas retas paralelas coplanares r e s são 
cortadas por uma transversal t, elas formam: 
a) Ângulos alternos externos suplementares. 
b) Ângulos colaterais internos complementares 
c) Ângulos alternos externos congruentes 
d) Ângulos alternos internos suplementares 
e) Ângulos correspondentes suplementares. 
 
49. Dois ângulos adjacentes a e b, medem 
respectivamente, 1/5 do seu complemento e 1/9 do seu 
suplemento. Assim sendo, a medida do ângulo formado 
por suas bissetrizes é: 
a) 80º 30' 
b) 74º 30’ 
c) 35º 30' 
d) 24º 30' 
e) 16º 30' 
 
50. A semirreta OY é interna ao ângulo XOZ. O ângulo 
XOY é de 60º e YOZ é de 100º. A semirreta OR é 
bissetriz de XOZ, então YOR mede 
a) 20o b) 30o c) 40o d) 50o 
 
51. Na figura abaixo, OM é a bissetriz do ângulo AÔB, 
ON é a bissetriz do ângulo BÔC e OP é a bissetriz do 
ângulo CÔD. A soma PÔD + MÔN é igual a 
a) 90º 
b) 60º 
c) 45º 
d) 30º 
 
 
52. As semirretas OA e OB e a reta r (O  r) formam 
em um mesmo semiplano três ângulos adjacentes 
expressos em graus por 2x + 10, 5x – 3 e x + 25. O 
maior desses ângulos mede: 
a) 34º b) 62º c) 84º d) 96º e) 92º 
 
53. Calcule x em função de a e b. Sabe-se que OJ é a 
bissetriz de AÔC. 
 
a) x = a + b b) x = 2(a + b) c) 
a 2b
x
2
+
= d) 
a 3b
x
2
+
= 
 
GABARITO 
1. a) 31°10' b) 47°30' c) 65°41'3" d) 
111°3' e) 31° 
2. a) 46°15' b) 26°5" 
3. a) 15°5'15" b) 10°55' c) 44°44'30" d) 
39°29'15" 
4. a) 21°11'30" b) 31°17'30" 
5. a) 23°24'27" b) 10°30'55" c) 10°36'44,4" 
6. a) F b) V c) F d) F e) F 
7. a) F b) F c) F d) F e) F 
A) 11, 20, 23, 35, 37, 40, 50, 51 
B) 9, 12, 16, 18, 19, 22, 29, 36, 45 
C) 15, 17, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 34, 39, 42, 44, 46, 48, 
52 
D) 8, 13, 14, 21, 28, 32, 38, 41, 43, 47, 53 
E) 49