Capítulo 7

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7.8.2 Verificação de um pilar em perfil I soldado com instabilidade por torção
Propõe-se novamente a verificação do pilar ABC do Subitem 7.8.1, mantendo-se o empenamento e a rotação em 
torno do eixo longitudinal impedidos em A, mas supondo-se que em B e C não haja impedimento dessa rotação nem 
do empenamento.
Solução
Pode-se manter a solução do Subitem 7.8.1, porém, na verificação da instabilidade da barra, deve-se calcular 
adicionalmente a força de flambagem por torção, pois o comprimento de flambagem da barra por torção supera o 
comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo de menor inércia (eixo y). Esse comprimento de flamba-
gem, conforme o Subitem 7.2.3.4 (só a extremidade A tem empenamento e a rotação em torno do eixo longitudinal 
impedidos), é:
KzLz = 2 × 10 m = 20 m = 2.000 cm
A força axial de flambagem elástica por torção é dada por:
Nez =
1 π
ro
2
2 Ea Cw
Kz Lz( )
2 + GaJ
onde
 
ro = rx
2 + ry
2 + xo
2 + yo
2 = 27,362 + 8,952 + 02 + 02 = 28,79 cm 
Cw =
h0
2 I y
4
= −
65 0,95( )2 10.136
4
=10.395.488 cm6
1
3
bt 3( ) = × × ×1
3
2 40 0,953 + 65 – 2 0,95( )0,83 = 33,63 cm4J = Σ
Logo:
Nez =
1 ×π × ×
28,792
2 20.000 10.395.488
2.0002
+ 7.700 33,63 = 931,33 kN
Esse valor de Nez prevalece, pois é menor que o de Ney obtido no exemplo anterior. Assim:
0 =
Q Ag fy
Ne
= 0,43 126,5 34,5
931,33
= 1,42 < 1,5 ⇒ χ = 0,658 = 0,6581,422 = 0,430×× 0
2λ
e
Nc,Sd = 1.500 kN > Nc,Rd =
Qχ Ag fy
a1
= 0,43 0,43 126,5 34,5
1γ ,10
= 733,59× × × kN ⇒ Não atende!
Portanto, com as novas condições de contorno à torção, o perfil não atende aos estados-limites últimos. Verificando 
agora a esbeltez:
π =
20.000 126,5
931, 33
163, 74
E A
Nz
a g
ez
λ = π
×
= < 200 ⇒ Atende!
7.8.2
Antiga Página 163
Resolução dos exemplos 
de aplicação do Capítulo 7
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2 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~~
7.8.5 Força axial resistente de cantoneira simples com e sem travamento central
Agora, será obtida a força axial de compressão resistente de cálculo da diagonal de treliça AB do Subitem 7.8.3, 
supondo-se que seja constituída por uma cantoneira simples (L 88,9 x 7,94) conectada nas duas extremidades pelas 
duas abas, por meio de solda, para as duas situações seguintes (ver figura a seguir):
a) cantoneira sem travamento central; 
b) cantoneira com travamento central, proporcionado por outra barra, no plano da treliça.
Para a situação da cantoneira sem travamento central, propõe-se, ainda, determinar o comprimento da barra (L) 
abaixo do qual a flambagem por flexo-torção prevalece.
B
A
L = 3,4 m
B
A
2 × 1,7 = 3,4 m
Cantoneira com travamento centralCantoneira sem travamento central
a) Cantoneira sem travamento central
a1) Propriedades geométricas relevantes
As propriedades geométricas relevantes do L 88,9 x 7,94 foram determinadas no tópico a1 do Subitem 7.8.3 e 
são reproduzidas a seguir:
x (eixo de
maior inércia)
y (eixo de
menor inércia)
y1
x1
x
y
x1
y1 7,94 mm
25,2 mm
88,9 mm
88,9 mm
S
25,2 mm
Ag = 13,5 cm
2 Iy = 41,34 cm
4
Ix = 162,66 cm
4
rx = 3,47 cm
J = 2,83 cm4
rx1 = ry 1 = 2,75 cm
ry = 1,75 cm
Ix1 = Iy 1 = 102 cm
4
a2) Flambagem local
Q = 1,0 (igual ao tópico a2 do Subitem 7.8.3)
a3) Instabilidade da barra e esbeltez
Em cantoneira simples ligada pelas duas abas, não se aplica o disposto no Subitem 7.2.3.5. Assim, a cantoneira 
deve ser tratada como uma barra de seção monossimétrica, de acordo com o Subitem 7.2.3.3, ou seja, sujeita à flam-
bagem por flexão em relação ao eixo central de inércia y e à flambagem por flexo-torção com flexão em relação ao 
eixo central x. Adicionalmente, de forma conservadora, supõe-se que a cantoneira tenha as extremidades perfeita-
mente rotuladas.
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 Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo 7 3
•	 Força de flambagem por flexão em relação ao eixo y:
 
Ney =
2Eπ 2πa Iy
K y Ly( )2
= 20.000 41,34××
3402
= 70,59 kN
•	 Força de flambagem por flexo-torção com flexão em relação ao eixo x:
 
Nexz =
Nex + Nez
2 1 – xo / ro( )
2 1 – 1 –
4 Nex Nez 1 – xo / ro( )
2
Nex + Nez( )
2
 = =
π π
( )
× ×
=N
E I
K L
20.000 162,66
340
277,75 kNex
a x
x x
2
2
2
2
 
Nez =
1
ro
2
2E� a Cw
(Kz Lz )
2 + Ga J
 Cw = 0
 
 
ro = rx
2 + ry
2 + xo
2 + yo
2
 yo = 0
 
 
xo =
b0
2
8
= (8,89 – 0,794 / 2)
2
8
= 3,00 cm
 ro = 1,75
2 + 3,472 + 3,002 + 02 = 4,91 cm
 Nez =
1
4,912
0 + ×7.700 2,83( ) = 903,89 kN
 
Nexz =
277,75 + –903,89
2 1 – 3,00 / 4,91( )2
1 – 1 –
4 277,75 903,89 1 3,00 / 4,91( )2
277,75 + 903,89( )2
= 244,05 kN
××
•	 Esbeltez máxima:
A esbeltez máxima está relacionada com a menor força de flambagem, no caso, Ney igual a 70,59 kN. Logo, 
tem-se:
 
máx = y =
Ea Ag
Ney
= 20.000 13,5
70,59
=194�λλ � ,29× < 200 ⇒ Atende!
•	 Valores de Ne,	λ0	e	χ:
Ne = Ney = 70,59 kN (menor valor entre Ney e Nexz )
0 =
Q Ag fy
Ne
= 1,0 13,5 25
70,59
= 2λ ,19× × > 1,5 ⇒ = 0,877
0
2 =
0,877
2,192
= 0,183χ
λ
a4) Força axial de compressão resistente de cálculo
 
Nc,Rd =
Qχ Ag fy
a1
= 0,183 1,0 13,5 25
1γ ,10
= 56,15× × × kN
Notar que essa força resistente é aproximadamente 9% menor que a obtida no tópico c do Subitem 7.8.3, referente à 
cantoneira conectada nas duas extremidades por apenas uma das abas.
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4 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~~
a5) Comprimento abaixo do qual a flambagem por flexo-torção prevalece
A flambagem por flexo-torção prevalece se Nexz ≤		Ney . Logo, deve-se ter:
 
Nexz =
Nex + Nez
2 1 xo / ro( )
2 1 – 1 –
4 Nex Nez 1 – xo / ro( )
2
Nex +– Nez( )
2 	≤	
 
Ney =
2 E� I y
K y Ly( )2
Como a constante de empenamento Cw é nula, Nez independe de L e é igual a 903,89 kN. Tem-se, ainda, que:
 
Nex =
Ea Ix
Kx Lx( )
2 =
2 20.000 162,66
L2
= 32.107.797
L2
××π2π
 
Ney =
2 Ea I y
K y Ly( )2
=
2 20.000�� 41,34
L2
= 8.160.189
L2
××
Logo, a condição em que a flambagem por flexo-torção prevalece é:
 
32.107.797
L2
+
−
− −
−903,89
2 1 3,00 / 4,91( )2
1 1
4 32.107.797
L2
903,89 1 3,00 / 4,91( )2
32.107.797
L2
+
≤
903,89
2
8.160.189
L2
Essa condição fornece L	≤	100,88	cm.	Em	resumo,	se	o	comprimento	da	barra	não	superar	100,88	cm,	prevalecerá	
a flambagem por flexo-torção com flexão em relação ao eixo x. 
b) Cantoneira com travamento central
b1) Flambagem local
Q = 1,0 (igual ao tópico a2 do Subitem 7.8.3)
b2) Instabilidade da barra e esbeltez
•	 Força axial de flambagem por flexão em relação ao eixo y1:
Simplificadamente, conforme a prática usual, pode-se considerar que o travamento no centro da cantoneira im-
pede esse ponto de transladar na direção perpendicular aos eixos centrais de inércia x e y e ao eixo x1. Assim, 
o comprimento total da barra, de 3,4 m, somente pode flambar por flexão em relação ao eixo y1 (ver figura a 
seguir). Logo:
 
 
Ney1 =
2 Ea I y1
Ky1Ly1( )
2 =
2 20.000 102
3402
= 174,17 kN××��
x
y
y1
x1
Travamento
•	 Força axial de flambagem por flexão em relação ao eixo y:
Para o movimento de flexão no plano da treliça, o travamento funciona e o comprimento de flambagem fica 
igual a 1,70 m. Nesse comprimento, pode ocorrer flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia 
y e flambagem por flexo-torção com flexão em relação ao eixo central x. Sabe-se, no entanto, com base no 
resultado do tópico a5 anterior, que a flambagem por flexão em relação a y prevalece, pois o comprimento é 
superior a 100,88 cm. Logo:
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 Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo 7 5
Ney =
2 Eπ π ××a I y
K y Ly( )2
=
2 20.000 41,34
1702
= 282,36 kN 
•	 Esbeltez máxima:
A esbeltez máxima está relacionada com a menor força de flambagem, no caso, Ney1 igual a 174,17 kN. Logo:
 
Ea Agλmáx = λy1 = � Ney1
= � 20.000 × 13,5
174,17
= 123,69 < 200 ⇒ Atende!
•	 Valores de Ne,	λ0	e	χ:
Ne = Ney1 = 174,17 kN(menor valor entre Ney1 e Ney )
 
0 =λ
Q Ag fy
Ne
= 1,0 13,5 25
174,17
=1,39× × < 1,5 ⇒ = 0
λ,658 0
2
= 0,6581,39
2
= 0,445χ
b3) Força axial de compressão resistente de cálculo
Nc,Rd =
Q Ag fy
a1
= 0,445 1,0 13,5 25
1,10γ
χ × × × = 136,53 kN 
Observa-se que a barra de travamento central deve ser dimensionada para suportar 1% dessa força axial resistente 
de cálculo, da forma como apresentado no tópico e do Subitem 7.8.4.
7.8.8 Dimensionamento de escoras
Agora, sugere-se a realização do dimensionamento das escoras do Subitem 7.8.7 quanto à capacidade resistente 
usando perfil laminado H da Gerdau, em aço ASTM A572 – Grau 50. Sabe-se que essas escoras possuem compri-
mento de 7 m e que suas extremidades têm rotação em torno do eixo longitudinal e empenamento impedidos.
a) Aço estrutural 
ASTM A572 – Grau 50 ⇒ fy = 345 MPa = 34,5 kN/cm2
b) Força axial solicitante de cálculo
Conforme a Equação (5.11), a força axial solicitante de cálculo nas três escoras, de tração ou compressão, é dada por:
Nbr,Sd = αred [0,01(ΣNcont,Sd)] = 1,0 [0,01(3.114)] = 31,14 kN 
Notar que Ncont,Sd, no caso em foco, é a força axial de compressão solicitante de cálculo no elemento contraven-
tado (pilar ABC) travado pelas escoras, ou seja, o valor de Nc,Sd obtido no tópico e	do	Subitem	7.8.7,	e	αred é igual a 
1,0, pois as escoras travam um único elemento.
Neste exemplo, será considerado, como normalmente ocorre, que a situação mais desfavorável de dimensiona-
mento das escoras se dá quando a força axial é de compressão. Portanto, as escoras serão dimensionadas para uma 
força axial de compressão solicitante de cálculo igual a 31,14 kN.
c) Escolha preliminar do perfil e propriedades geométricas relevantes
Da mesma forma que no tópico c	do	Subitem	7.8.6,	inicialmente	supõe-se	χ	=	0,658	e	Q = 1,0. Logo:
31,14kN
1,10
1,51 cm2, ,
1
N N
Q A f 0,658 × 1,0 × Ag × 34,5 Abr Sd c Rd
g y
a
g≤ ≤
χ
γ
= ≥⇒ ⇒ 
Como se deseja usar um perfil laminado H da Gerdau, o mais leve deles é o W 150 x 22,5, que possui as seguintes 
dimensões e propriedades geométricas principais:
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6 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~~
152 mm
6,6 mm
5,8 mm
152 mm
y
x
R = 10 mm
Ag = 29 cm
2
Iy = 387 cm
4
rx = 6,51 cm
ry = 3,65 cm
Ix = 1.229 cm
4
d) Flambagem local
•	 Mesas:
= =152 / 2
6,6
11,52b
t
0,56 0,56 20.000
34,5
13, 48
lim
b
t
E
f
a
y
= = =





2 111,5 3, 48 1,0
lim
b
t
b
t
Qs= < = =⇒




•	 Alma:
152 2 10 6,6
5,8
118,8
5,8
20, 48b
t
( )
=
− +
= =
= =1, 49 1, 49 20.000
34,5
35,87
lim
b
t
E
f
a
y
=





820, 4 35,87 1,0
lim
b
t
b
t
Qa= < = =⇒




•	 Fator de redução total:
Q = Qs Qa = 1,0 × 1,0 = 1,0
e) Instabilidade da barra e esbeltez
•	 Força axial de flambagem:
A seção transversal tem constante de empenamento não nula, e a barra tem comprimentos de flambagem em re-
lação aos eixos x e y iguais (700 cm), maiores que o comprimento de flambagem por torção (0,5 × 700 = 350 cm). 
Dessa forma, conclui-se que a menor força axial de flambagem se dará para flambagem por flexão em relação 
ao eixo y (que possui o menor momento de inércia), cujo valor é:
20.000 387
700
155,90 kN
2
2
2
2N
E I
K L
ey
a y
y y( )
=
π
= π × × = 
•	 Esbeltez máxima:
A esbeltez máxima é: 
= <20.000 29
155,90
191,62 200 Atende!máx
E A
Ny
a g
ey
λ = λ = π π × ⇒= 
•	 Valores de Ne,	λ0	e	χ:
Ne = Ney = 155,90 kN 
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 Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo 7 7
1,0 × 29 × 34,5
155,90
2,530
Q A f
N
g y
e
λ = = = ⇒ Tabela 7.1 ⇒	χ	=	0,137
f) Verificação dos estados-limites últimos
31,14 kN 0,137 × 1,0 × 29 × 34,5
1,10
124,61 kN, ,
1
N N
Q A f
br Sd c Rd
g y
a
≤ ⇒ <
χ
γ
= = ⇒ Atende!
Observa-se uma folga grande quando se usa o perfil escolhido. No entanto, esse perfil será mantido por ser o de 
menor área entre os integrantes da tabela de perfis da Gerdau.
7.8.9 Verificação de banzo de treliça em perfil T
O banzo comprimido (banzo BCD) da treliça do Subitem 6.10.9, em aço com resistência ao escoamento de 
345 MPa, será verificado, lembrando que nesse subitem foi determinada a força axial de compressão solicitante de 
cálculo no banzo, Nc,Sd, cujo valor é de 575,95 kN.
x
y ½ perfil W 250 x 73
(dimensões e propriedades
geométricas no Subitem 6.10.9)
y
Seção transversal do banzo BCD
x
2 m
2 m
B
C x
x
y
y
D
A
Pd = 364 kN
3 m 3 m
a) Flambagem local
•	 Mesa (elemento AL):
254 / 2
14,2
8,94b
t
= =
= =0,56 0,56 20.000
34,5
13, 48
lim
b
t
E
f
a
y
=





= ⇒ =8,94 13,48 1,0
lim
b
t
b
t
Qs= < 




•	 Alma (elemento AL):
= =
112, 3 14,2
8,6
126,5
8,6
14, 71b
t
=
+
= =0, 75 0, 75 20.000
34,5
18,06
lim
b
t
E
f
a
y
=





1 1= <14, 7 8,06 1,0
lim
b
t
b
t
= ⇒ =




 Qs
 
M07_FAKU__Sala_Virtual_.indd 7 28/10/16 10:29 AM
8 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~~
•	 Fator de redução total:
Q = Qs = 1,0
b) Instabilidade da barra e esbeltez
•	 Força de flambagem por flexão em relação ao eixo x:
20.000 412
316
814, 43 kN
2
2
2
2
N E I
K Lex
a x
x x( )
= π = π ×× =
•	 Força de flambagem por flexo-torção com flexão em relação ao eixo y:
2 1 /
1 1
4 1 /
eyz
ey ez
o o
2
ey ez o o
2
ey ez
2N
N N
y r
N N y r
N N( )( )
( )
=
+
−


− −
−


+














 20.000 1.940
632
958, 73 kN
2
2
2
2N
E I
K L
ey
a y
y y( )
=
π
= π × × =
 1
( )2
2
2N r
EaCw
K L
Ga Jez
o z z
=
π
+









 Cw = 0 
 = =56,94
2
28, 47J cm4
 2 2 2 2r r r x yo x y o o= + + +
 xo = 0
 yo = 2,05 – 1,42/2 = 1,34 cm
 2,98 6, 47 0 1, 34 7,25 cm2 2 2ro = + + + =
 = + =1
7,25
0 7.700 28, 47 4.171 kN2Nez ( )×
( )
( )958, 73 4.171
2 1 1, 34 / 7,25
1 1
4 958, 73 4.171 1 1, 34 / 7,25
958, 73 4.171
949,18 kNeyz 2
2
2N
( )
= +
−
− −
× × −
+
=C S




 
•	 Esbeltez máxima:
A esbeltez máxima está relacionada com a menor força de flambagem, no caso, Nex igual a 814,43 kN. Logo, 
tem-se: 
λ = π = 20.000 46, 35
814, 43
105,99 200máx
E A
Nx
a g
ex
λ = π × = < ⇒ Atende! 
•	 Valores de Ne,	λ0	e	χ:
Ne = Nex = 814,43 kN (menor valor entre Nex e Neyz) 
1,0 × 46,35 × 34,5
814, 43
1, 400
Q A f
N
g y
e
λ = = = < 1,5 ⇒ 
λ
0,658 0,658 0, 4400
2
1,402= = =χ
c) Verificação final
575,95 kN
0,440 × 1,0 × 46,35 × 34,5
1,10
639,63 kN, ,
1
N N
Q A f
c Sd c Rd
g y
a
≤ <
χ
γ
= =⇒ ⇒ Atende!
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