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“ Respondeu Jesus: Em verdade, em verdade te digo: quem não nascer da 
água e do Espírito não pode entrar no reino de Deus.” Jo 3:5 
 
1) Em eletromagnética, o potencial magnético em um ponto no eixo de uma bobina 
circular é dado por ò
+¥
+
=
a xr
dx
k
Nlr
u
2
3
)(
2
22
p
 onde N, I, r, k e a são constantes. Ache u. 
 
2) Uma espaçonave leva um carregamento de combustível de massa m. Como medida 
de conservação, o capitão decide queimar combustível a razão de sgmketR kt /)( -= , 
para uma constante positiva k. Determine ò
+¥
0
)( dttR . 
 
3) Determine o domínio das funções abaixo e represente-o graficamente: 
 
a) 
2
1
1
1
2 -
+
-
=
yx
z b) )ln(.42 yxyz --= c) ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
x
yx
z
1
ln
22
 
d) 
22
2
yx
xy
z
-
-
= e) )arccos( yxz -= f) ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-
--
=
12
1
ln
2
yx
xy
z 
 
4) Determine o domínio, trace as curvas de nível e esboce o gráfico das funções: 
 
a) 22 49),( yxyxf += b) 2216),( yxyxf --= 
c) 2216),( yxyxf --= d) 2),( xyxf = e) 22),( yxyxf += 
f) yxyxf 428),( --= g) 
ïî
ï
í
ì
=
¹
+=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;
1
),( 22
yxse
yxse
yxyxf 
 
5) Determine os limites a seguir: 
 
a) 
22
3223
)0,0(),(
lim
yx
yxyyxx
yx +
-+-
®
 b) 
)3()1(
))(4(
lim
2
)3,1(),( -+-
+-+
® yx
xyxyx
yx
 
 
6) Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos 
indicados: 
 
a) )2,1();.ln(),( 0Pyxeyxf
x= b) )1,0();cos(),( 0Py
x
xyxf p+= 
c) )1,1(;4),( 0
22 Pyxarctgyxf -= d) )
4
,
4
,4(;)(),,( 0
2 ppPtgzysenxzyxf += 
 
Curso: Engenharia Industrial Elétrica e Mecânica 
Disciplina: Cálculo II Data: 01/07/10 
Turma: 01 Semestre: 2010.1 
Professora: Edmary S. Barreto Araújo Lista de Exercícios 
Aluno(a): 
7) Considere a função 
22
2
yx
xy
z
+
= . Mostre que z
y
z
y
x
z
x =
¶
¶
+
¶
¶
. 
Respostas: 
 
1) ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-=
22
1
2
ar
a
kr
Nl
u
p
 2) m 
3) 
a) }21;),{()( 2 ¹±¹Î= yexRyxfD 
b) }22;),{()( 2 yxeyouyRyxfD >>-<Î= 
c) }0101;),{()( 22222 <<+>>+Î= xeyxouxeyxRyxfD 
d) 0000;),{()( 2222222 £-£-³-³-Î= yxexyouyxexyRyxfD 
e) }11;),{()( 2 £-£-Î= yxRyxfD 
f) }0121101201;),{()( 222 <+-<-->+->--Î= yxexyouyxexyRyxfD 
 
4) 
a) 2)( RfD = 
b) }016;),{()( 222 ³--Î= yxRyxfD 
c) 2)( RfD = 
d) 2)( RfD = 
e) }0;),{()( 222 ³+Î= yxRyxfD 
f) 2)( RfD = 
g) 2)( RfD = 
 
5) 
a) 0 
b) 4 
 
6) 
a) 
2
)()2ln1()( 00
e
PfePf yx =+= b) 0)(1)( 00 =-= PfPf yx 
c) 
12
3
)(
3
3
)( 00
-
== PfPf yx d) 1)(1)(4
1
)( 000 === PfPfPf zyx