gravitação

Prévia do material em texto

Gravitação
 Prof: Mucio Costa 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ
Campus Fortaleza
Os seres humanos, em geral, sempre se sentiram atraídos pela beleza e pelo movimento dos corpos celestes como o sol, as estrelas, a lua e os planetas. Até os poetas, através da sua arte, já homenagearam esses “seres do espaço”.
Ouvir Estrelas (Olavo Bilac)
"Ora (direis) ouvir estrelas! Certo
Perdeste o senso!" E eu vos direi, no entanto,
Que, para ouvi-las, muitas vezes desperto
E abro as janelas, pálido de espanto...
E conversamos toda a noite, enquanto
A Via-Láctea, como um pálio aberto,
Cintila. E, ao vir do sol, saudoso e em pranto,
Inda as procuro pelo céu deserto.
Direis agora: "Tresloucado amigo!
Que conversas com elas? Que sentido
Tem o que dizem, quando estão contigo?"
E eu vos direi: "Amai para entendê-las!
Pois só quem ama pode ter ouvido
Capaz de ouvir e de entender estrelas.“
http://www.aindamelhor.com/poesia/poesias13-olavo-bilac.php
Imagem: NASA / Domínio Público.
As Leis de Kepler dão uma precisa descrição cinemática do nosso sistema solar. Mas, do ponto de vista dinâmico, as Leis de Kepler não dizem que tipo de força o sol exerce sobre os planetas, obrigando-os a se moverem de acordo com as órbitas previstas. Ele suspeitava que essa força fosse de origem magnética.
JOHANNES KEPLER
1571 - 1630
Imagem: Brandmeister / Retrato de Johannes Kepler / Domínio Público.
Imagem: Lookang / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
ISAAC NEWTON
1642 - 1727
Na obra Philosophiaie Naturalis Principia Mathematica, Newton apresentou em 1687 a Lei da Gravitação Universal. Para estabelecer essa lei, procurou entender o movimento da lua com base nas três leis da dinâmica e fundamentou-se também nas Leis de Kepler.
Imagem: Sir Godfrey Kneller / Domínio Público
Imagem: Isaac Newton / Domínio Público
Existem duas ideias que são muito difundidas na literatura sobre o percurso geral que conduziu Newton à Gravitação Universal:
Newton teria desenvolvido a lei da Gravitação quase que por completo durante os anni mirabili (1665, 1666), embora viesse a publicá-la somente em 1687, no Principia; 
a outra sustenta que a lei da Gravitação foi deduzida por Newton diretamente das Leis de Kepler.
Muitas controvérsias ainda se fazem presentes nos tempos atuais sobre quais foram os caminhos que Newton trilhou desde as suas primeiras investidas nos assuntos da Mecânica, em particular referente à dinâmica planetária, até a escrita do Principia, quando praticamente completou tais assuntos. Esses caminhos foram construídos com uso de instrumentos tanto típicos do fazer científico, quanto de natureza externa a este. Fazer, portanto, uma reconstrução de tais caminhos não é tarefa simples nem fácil, sobretudo, porque o próprio Newton, ao que parece, com a preocupação excessiva de firmar indelevelmente algumas das suas pegadas, resultou por apagá-las ou, ao menos, deformá-las.
Teixeira, E. S. et al. Os caminhos de Newton para a Gravitação Universal: uma revisão do debate historiográfico entre Cohen e Westfall. Cad. Bras. Ens. Fís., v. 27, n. 2: p. 215-254, ago. 2010.
E A MAÇÃ?
A Lei da Gravitação Universal foi desenvolvida por Isaac Newton, durante o fechamento da Universidade de Cambridge, na Inglaterra, devido à peste que assolou Londres em 1665. Essa Lei deu início aos pensamentos que mudariam os fundamentos da ciência. Em 1672 foi publicado o primeiro trabalho científico de Newton que tratava de suas descobertas sobre a natureza da luz. Devido a críticas de alguns, dentre eles Robert Hooke, Newton relutou, a partir de então, a apresentar novos trabalhos. Mas em 1679, devido às correspondências que trocavam, na qual Hooke sugeriu que os planetas eram atraídos por uma força central que diminuía como quadrado da distância, as ideias de Newton sobre essas questões reviveram. Edmond Halley se interessou pelo tema e ao visitar Newton em Cambridge em 1684 perguntou especificamente qual seria a forma da órbita de um planeta que fosse atraído por uma força da forma descrita por Hooke. Newton imediatamente disse que era uma elipse, dizendo que havia provado esse fato há tempo. Mais tarde Halley recebeu duas provas sobre a questão, e percebendo a importância deste trabalho decidiu, com o apoio da Royal Society, persuadir Newton a publicar suas descobertas, o que levou a publicação, em 1687, de um dos mais importantes livros da ciência, o Principia.
Fonte: http://pt.scribd.com/doc/60543906/Surpresas-Sobre-a-Lei-da-Gravitacao-Universal
UM POUCO DE HISTÓRIA
Newton agora precisa verificar se a relação que ele havia encontrado condizia com os dados da natureza e ele parte para testá-la usando a Lua.
Q’
P
Q
60R
60R
θ
“Durante esse ano (1665), comecei a estender a ideia de gravidade à órbita da Lua e fiz uma comparação entre a força que era necessária para manter esse astro na órbita e as forças de gravidade que agiam na superfície da Terra. [...]Deduzi que as forças que mantêm os planetas em suas órbitas estão na razão recíproca dos quadrados das distâncias aos centros do qual orbitam; e assim, comparei a força necessária para manter a Lua na sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra; e verifiquei que as duas respostas são quase iguais”. 
Isaac Newton
http://www.cpenelopefournier.com/index2_ficheiros/Page370.htm
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
A partir das Leis de Kepler, Newton deduziu que tipos de forças devem ser necessárias para manter os planetas em suas órbitas. Ele calculou como a força deveria ser na superfície da Terra. Essa força provou ser a mesma que dá à massa sua aceleração. Com isso Newton unifica a física terrestre e a celeste, sepultando assim a teoria aristotélica do mundo sublunar e supralunar.
Imagem: Roland Geider / GNU Free Documentation License.
d
CONSEQUÊNCIAS DA LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
sol
Em seu livro de 1728, A Treatise of the System of the World (Um Tratado do Sistema do Mundo), Isaac Newton descreveu o que deveria acontecer se alguém atirasse uma pedra horizontalmente do pico de uma montanha que se projetasse acima da atmosfera. Quão maior fosse a força com se lançasse a pedra, ele argumentou, mais longe em torno da Terra ela viajaria. Se atirada com força suficiente, contudo, a pedra retornaria ao pico e “mantendo a mesma velocidade, ela descreveria a mesma curva várias vezes, pela mesma lei”.
Assim, Newton ilustrou o princípio de uma órbita, não somente responsável pela senda de objetos em um sistema solar, mas que também explica a trajetória de milhares de satélites e espaçonaves que foram lançadas desde que o Sputnik 1 decolou há meio século. Na base desse princípio está, naturalmente, a Lei do Quadrado Inverso da Gravitação de Newton.
Robert P. Crease
Tradução: Leonardo Soares Quirino da Silva
http://www.educacaopublica.rj.gov.br/biblioteca/fisica/0017.html
COMO COLOCAR UM OBJETO EM ÓRBITA DA TERRA
Imagem: Esta figura é apresentada no Livro III da obra de Isaac Newton denominada "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural". Pedras são lançadas do alto de uma montanha com velocidades cada vez maiores, até que uma delas entra em órbita da Terra e, portanto, não atinge mais o solo.
Fonte: http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/UAI/lua-cai.htm 
Licença: Domínio Público
V
A
B
G
F
  “- Que por intermédio das forças centrípetas os planetas são mantidos em certas órbitas, podemos facilmente entender, se considerarmos os movimentos dos projéteis; pois uma pedra arremessada [do alto de uma montanha] é forçada pela ação de seu próprio peso para fora de uma trajetória retilínea -- a qual ela descreveria devido apenas ao arremesso inicial --, e impelida a descrever uma linha curva no ar; e através dessa forma arqueada é finalmente trazida para baixo, ao chão; e quanto maior é a velocidade com que ela é arremessada, tanto maior é a distância que ela percorre antes de cair na Terra. Podemos portanto supor a velocidade de tal maneira aumentada que ela descreveria arcos de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 milhas antesde atingir a Terra, até que, finalmente, excedendo os limites da Terra, ela passaria ao espaço, sem tocá-la.”
Isaac Newton
Fonte: http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/UAI/lua-cai.htm
Vemos então que ao mesmo tempo que a Lua cai em direção ao centro da Terra, ela simultaneamente move-se na direção transversal. E faz isso na medida certa de tal forma a manter-se sempre acima da superfície. Ou seja, de forma a manter-se em órbita na Terra.
Imagem: A Lua se movimenta de L1 para L2. Simultaneamente ao movimento tangencial L1-H ela realiza o movimento centrípeto H-L2 e assim progressivamente descreve uma órbita ao redor da Terra, sem atingir a sua superfície. Em outras palavras, ela não "cai" na Terra.
Fonte:http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/UAI/lua-cai.htm
Crédito: Domingos Soares
Terra
C
tangente
L1
L2
H
COMPROVAÇÃO DAS LEIS DE KEPLER
equação
Imagem: Roland Geider / GNU Free Documentation License.
por
A CONSTANTE DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
 
Imagem: Henry Cavendish / Domínio Público
12
EXEMPLOS
1. Calcule a força de atração gravitacional entre duas pessoas de 70 kg e 80 kg de massa, separadas pela distância de 2m. Considere G = 6,67 . 10-11 N.m2/kg2 a constante de gravitação universal.
2. O que acontece com a força de atração gravitacional entre dois corpos quando a distância entre eles é dobrada?
3. Um satélite artificial terrestre, cuja massa é de 200 kg, descreve uma trajetória perfeitamente circular com velocidade constante, em módulo. A aceleração centrípeta sobre o satélite é de 8 m/s2. Qual é, em N, o módulo da força de atração gravitacional da Terra sobre o satélite?
12 800 b) 1 96 0 c)1 600 d) 0,04 e) 0
4. O módulo da força de atração gravitacional entre duas pequenas esferas de massa m iguais, cujos centros estão separados por uma distância d, é F. Substituindo-se uma das esferas por outra de massa 2m e reduzindo-se a distância entre os centros das esferas para d/2, resulta uma força gravitacional de módulo:
a) F b) 2F c) 4F d) 8F e) 16F
5. Considere o planeta BÓSON e seu satélite natural HIGGS, cuja órbita circular tem 940 mil quilômetros e um período de 8 dias. Calcule a massa de BÓSON, supondo que a massa de HIGGS é desprezível, quando comparada à massa do planeta.
NOVAS TRAJETÓRIAS POSSÍVEIS
Newton descobriu que todas as órbitas de corpos que estão em interação gravitacional com outro são secções cônicas: podem ser elipses, as únicas que são curvas fechadas, parábolas ou hipérboles.
Como as elipses são órbitas fechadas e periódicas, os corpos que têm esse tipo de órbita estão “ligados” ao corpo o qual orbitam. Nas órbitas hiperbólicas (e também nas parabólicas, que são a 'fronteira' entre as órbitas elípticas e as hiperbólicas) o corpo orbita o outro uma única vez: aproxima-se vindo de distâncias ilimitadas, e volta a afastar-se, perdendo-se nas grandes distâncias.
Círculo Elipse Parábola Hipérbole
Hipérbole
Parábola
Elipse
Círculo
14
O astrônomo Edmond Halley, em 1705, conseguiu identificar que os cometas observados em 1531, 1607 e 1682 tinham suas posições pertencentes a uma órbita elíptica de grande excentricidade em torno do sol e que de 76 em 76 anos passa perto da Terra. Com base nos cálculos usando a lei da gravitação, previu que o cometa voltaria a passar pela Terra em 1758. Infelizmente morreu em 1742. Naquele ano o cometa apareceu no céu e foi batizado como o COMETA DE HALLEY.
COMETA DE HALLEY
Imagem: SITCK / Retrato de Edmond Halley / Domínio Público
Imagem: Fer31416 / GNU Free Documentation License
VARIAÇÃO DA INTENSIDADE DO CAMPO GRAVITACIONAL DE UM ASTRO – EXEMPLO: TERRA
O corpo estando no equador terrestre (h=0) e sem levar em conta a rotação do astro.
 
 
Corpo nos polos do planeta – não se percebe a rotação.
 
Numa altitude h
Terra (M)
C
R
h
0
FG
(m)A
Corpo no interior do planeta
 
Terra 
R
r
Ramos da
Hipérbole cúbica
g
9,8 m/s²
gi = Kr
0 R = 6,4 . 106m
C
Polo
m
Linha do 
Equador
(φ = O)
Polo
(φ = 90º)
φ 
C
R
Fcp
F
P
Na superfície – numa latitude qualquer – influência da rotação
Mineradores que procuravam ouro em minas do Alaska(perto do polo) foram acusados de roubo injustamente, pois havia uma diferença no peso do ouro feito no Alaska e nos Estados Unidos quando era pesado novamente. A diferença de gramas em alguns quilos não poderia ser desprezada. Como explicar tal fato?
CURIOSIDADE
Devido ao efeito da rotação da Terra, a força peso(leitura do instrumento) só coincide com a força gravitacional nos polos. A aceleração da gravidade é variável com a latitude, pois a força gravitacional é decomposta em peso P(aparente) e numa força centrípeta Fc.
 
Tabela 2: variação de g com a latitude, ao nível do mar, 
na superfície da Terra.
 
Alguns valores de g 
Fonte - http://www.colegioweb.com.br/fisica/aceleracao-da-gravidade.html
Tabela 3: variação de g com a altitude, à latitude de 45°,nas proximidades da Terra: 
 
Tabela 1: valor de g na superfície dos planetas e na Lua: 
 
	planeta	Mercúrio	Vênus	Terra	Marte	Júpiter	Saturno	Urano	Netuno	Plutão	Lua
	g(m/s²)	3,6	8,7	9,8	3,7	25,9	11,3	11,5	11,6	3,9	1,6
	Latitude	g(m/s²)
	0°	9,78030
	10°	9,78186
	20°	9,78634
	30°	9,79321
	40°	9,80166
	50°	9,81066
	60°	9,81914
	70°	9,82606
	80°	9,83058
	90°	9,83216
	h(km)	g(m/s²)
	0	9,806
	1,0	9,803
	4,0	9,794
	8,0	9,782
	16,0	9,757
	32,0	9,708
	100,0	9,598
VELOCIDADE ORBITAL – SATÉLITES EM ÓRBITA CIRCULAR
Imagem: Lookang / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
SATÉLITES EM ÓRBITA DA TERRA
Lua
Veja nos links abaixo imagens com a quantidade atual de satélites na órbita terrestre:
http://www.youtube.com/watch?v=42amqKU2Hjo
http://www.mdig.com.br/imagens/tecnologia/satelites_terra.jpg
VELOCIDADE DE ESCAPE – VELOC. MÍNIMA 
Vamos imaginar o astro sem atmosfera, esférico e que no infinito a velocidade seja nula.
 
VELOCIDADE DE ESCAPE 
+
V<Vesc
V>Vesc
 Desde a época de Galileu, apenas 6 planetas eram conhecidos. Em 1781, WILLIAM HERSCHEL descobriu um objeto que se movia entre as estrelas, que seria batizado de URANO. A comunidade científica ficou maravilhada com a descoberta e se pôs a calcular sua órbita de acordo com a lei de Newton da Gravitação Universal. Com o passar dos anos, Urano pareceu se comportar diferente das previsões, mesmo levando em consideração a atração gravitacional de JÚPITER e SATURNO. Até o ano de 1822, Urano parecia acelerar na sua órbita e depois começou a atrasar seu movimento em relação ao movimento previsto. Sugeriu-se então que essas divergências poderiam estar sendo causadas por um oitavo planeta com órbita, além de Urano. o novo planeta foi então imediatamente descoberto e batizado como NETUNO.
DESCOBERTA DE NOVOS PLANETAS
Imagem: Lemuel Francis Abbott / Retrato de William Herschel / National Portrait Gallery, London / Domínio Público
WILLIAM HERSCHEL
Imagem: Colin Macfarquhar and Andrew Bell / Domínio Público
Netuno
Saturno
Urano
Júpter
AS MARÉS
Imagem: Club Yachting / Creative Commons Attribution 3.0 Unported
A LEI DA IMPONDERABILIDADE
 A nave está em uma órbita onde toda aceleração da gravidade é usada para mantê-la em órbita, ou seja, a força da gravidade é igual à forca centrípeta. Quando estamos em queda livre dentro de outro objeto, segundo as leis de Newton, nós flutuamos, experimentando assim a “ausência de peso” ou gravidade nula. Mas ela existe. Segundo Newton estar em órbita, fisicamente falando, significa que estamos caindo em direção à Terra. O que sentimos na superfície da Terra não é a força exercida pela gravidade, mas a reação a essa força exercida pela superfície contra nossos pés.
Imagem: jurvetson / Disponibilizada: Edward / Creative Commons Attribution 2.0 Generic.
Imagem: avião simulando gravidade zero
Fonte: http://fisicamoderna.blog.uol.com.br/arch2006-09-24_2006-09-30.html
Imagem: imponderabilidade
Fonte:http://www.if.ufrgs.br/cref/maikida/imponderabilidade.htm
22s
Início
término
parábola
V
R
Terra
Órbitav
U
U
V +U
O desenho de missões espaciais é o mais moderno triunfo da gravitação newtoniana. O Slingshot (estilingue) é uma técnica usada pela NASA e pela ESA para defletir as trajetórias de naves espaciais sem gastar combustível. A técnica em si é muito simples de perceber e assenta em 2 princípios gerais da mecânica newtoniana: conservação da energia e conservação do momento. Quando falamos no sistema solar dizemos que é conservativo, isto é, a energia é conservada. Isso quer dizer que o resultado da interação gravitacional entre dois corpos, por exemplo Júpiter e uma missão espacial, mantém a energia do sistema inalterada: a nave aproxima-se de Júpiter e ganha velocidade (transforma energia potencial em energia cinética), mas como um Skate que desce de um half pipe e torna a subir, a nave traça uma hipérbole e volta a transformar a energia cinética que ganhou em energia potencial, quando se afasta do planeta. Do ponto de vista de Júpiter, num encontro próximo rápido, a velocidade que a nave trazia antes de passar por si é a velocidade que a nave leva ao afastar-se. No entanto, Júpiter não está parado. O que o Sol vê (ver figura) é que Júpiter, ao encurvar a trajetória da nave, acelera-a, transferindo-lhe uma parte do seu momento: apesar do momento linear do sistema Júpiter/nave ser conservado num encontro rápido, há troca de momento entre os dois corpos. No caso mais frequente, a nave aumenta de velocidade à custa da velocidade do planeta. Como o momento é o produto da massa pela velocidade e a massa do planeta é muito maior que a da nave, essa perda de velocidade é desprezível.
Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo1/modulo5/topico7.php
O EFEITO ESTILINGUE
Viagem total de 3,2 bilhões de km. Leva 420 kg só de instrumentos. Leva uma segunda sonda (Huygens) que vai pousar em Titã, uma das luas de Júpiter.
Imaggem:NASA / Domínio Público.
Encontro com Vênus
26-abril-1988
Encontro com Vênus
24-junho-1999
Órbita da Terra
Órbita de Vênus
Lançamento 15-10-1997
Encontro com a Terra 18-agosto-1999
Órbita de Júpiter
Órbita de Saturno
Encontro da Nave Cassini e Júpiter 30-dezembro-2000
Encontro com Saturno 
01-julho-2004
14.000 km/h 
74.000 km/h
A decisão estabelece três categorias principais de objetos no Sistema Solar: Planetas de Mercúrio a Netuno, planetas-anões – objetos esféricos que não sejam dominantes em suas órbitas nem satélites e corpos pequenos – qualquer objeto que orbite o Sol. De acordo com a nova definição, um corpo celeste tem de preencher três requisitos para que seja considerado planeta:
tem que estar em órbita em torno de uma estrela;
ter a forma aproximadamente esférica;
ser o astro dominante da região de sua órbita.
Os oito planetas giram no mesmo plano e com órbitas parecidas, o que não acontece com Plutão. Além dele outros dois corpos celestes se enquadram na classificação de planetas anões, o asteroides CERES e XENA, objeto com massa maior que a de Plutão.
 EXERCÍCIOS 
 LISTA 1
EXERCÍCIOS 
 LISTA 2
Imagem: Terraflorin / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
PLANETAS
PLANETAS
ANÕES
F
r
c
F
r
t
F
r
V
r
h
R
M
G
v
h
R
v
m
h
R
m
M
G
F
F
orb
C
G
+
=
+
=
+
=
.
)
(
.
)
(
.
.
2
2