Gravitação Universal

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1 Leis de Kepler e Gravitação Universal 
FÍSICA | Prof. Elmar Júnior 
 
REFORÇO ESCOLAR 
FÍSICA 
ALUNO(A):________________________________ 
Primeira Lei de Kepler 
Cada planeta gira em torno do Sol em uma órbita 
elíptica, com o Sol ocupando um dos focos dela. 
-A consequência imediata dessa lei é que a 
distância do planeta ao Sol é variável ao longo da 
órbita. 
 
Periélio (p) → posição em que o planeta está mais 
próximo do Sol. 
Afélio (a) → posição de máximo afastamento em 
relação ao Sol. 
-Em geral, o raio orbital médio do planeta é definido 
por: 
 
 
 
 
Segunda Lei de Kepler 
O segmento que liga o Sol ao planeta (raio orbital) 
“varre” áreas iguais em tempos iguais. 
-A consequência imediata dessa lei é que a 
velocidade orbital do planeta varia ao longo da 
órbita. 
 
𝑨𝟏
∆𝒕𝟏
= 
𝑨𝟐
∆𝒕𝟐
 
 
-Temos então que: 
✓ À medida que o planeta se aproxima do 
Sol, a sua velocidade aumenta. Sendo 
assim, no periélio, posição de menor 
afastamento do planeta em relação ao 
Sol, o módulo da velocidade do planeta 
atinge o valor máximo; 
✓ O módulo da velocidade do planeta é 
mínimo quando ele passa pelo afélio, 
posição de afastamento máximo do Sol. 
Terceira Lei de Kepler 
O quadrado do tempo gasto pelo planeta para 
percorrer sua órbita em torno do Sol é 
proporcional ao cubo do raio orbital médio. 
-O tempo necessário para que um planeta 
complete uma volta em torno do Sol é igual ao seu 
período orbital T. 
-Denominando o raio orbital médio por R, 
podemos expressar a 3ª Lei de Kepler por meio da 
seguinte equação: 
 
 
 
 
-Em que K é uma constante que possui o mesmo 
valor para todos os planetas do Sistema Solar. 
𝑹 = 
(𝒑 + 𝒂)
𝟐
 
𝑻𝟐
𝑹𝟑
= 𝑲 
 
 
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-A consequência dessa lei é que os planetas 
mais distantes do Sol possuem menor 
velocidade orbital. 
-Para provar isso, podemos combinar a 
equação anterior com a equação da 
velocidade orbital do planeta, v = 2πR/T. 
Fazendo isso, obtemos: 
 
 
 
 
-De acordo com a equação, v diminui à medida 
que R aumenta. 
-Isso significa que um planeta muito distante do 
Sol leva muito tempo para completar a sua 
órbita, pois, além de o módulo da velocidade do 
planeta ser pequeno, ele ainda deve percorrer 
uma circunferência de grande perímetro para 
dar uma volta em torno do Sol. 
-É por isso que a Terra, que se encontra 
relativamente próxima ao Sol, gasta apenas 1 
ano para completar a sua órbita. 
-No entanto, Netuno, que se acha quase 30 
vezes mais distante do Sol, gasta 165 anos para 
completar a sua órbita. 
Lei da Gravitação Universal 
-Analisando as leis de Kepler, Newton notou que as 
velocidades dos planetas variam ao longo da órbita 
em módulo e direção. 
-Como a variação da velocidade é devida a forças, 
Newton concluiu que os planetas e o Sol interagem 
a distância, como forças chamadas gravitacionais. 
 
 
-Se a força atrativa exercida pelo Sol sobre a Terra 
fosse muito pequena, a Terra tenderia a seguir uma 
trajetória em linha reta. 
-Se essa força fosse demasiadamente grande, a 
Terra se aproximaria do Sol até “cair” sobre ele. 
-Newton sabia que a órbita da Terra, além de 
estável, era quase circular. Então, ele concluiu que 
a força de atração exercida pelo Sol sobre a Terra 
fazia o papel de força centrípeta, necessária para o 
planeta se manter em órbita. 
 
-Uma tremenda capacidade de generalização e 
um conhecimento profundo de Matemática 
permitiram a Newton descobrir que as forças 
gravitacionais dependem diretamente das 
massas do Sol e do planeta e inversamente do 
quadrado da distância entre eles. 
-Esse resultado tem validade geral, podendo 
ser aplicado a quaisquer corpos materiais, 
constituindo a lei da Gravitação Universal: 
Dois pontos materiais atraem-se com forças 
cujas intensidades são diretamente 
proporcionais às suas massas e inversamente 
proporcionais ao quadrado da distância que 
os separa. 
 
 
𝒗 = 
𝟐𝝅
√𝑲𝑹
 
 
 
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-Se m1 e m2 são as massas de dois pontos 
materiais e r é a distância que os separa, a 
intensidade da força gravitacional é dada por: 
 
 
 
 
 
-Nessa expressão, G é uma constante chamada 
constante de gravitação universal. 
-No Sistema Internacional de Unidades, o valor 
dessa constante é: 
 
 
 
 
-Ela não depende do meio: seu valor é o 
mesmo no ar, vácuo ou qualquer outro meio 
interposto entre os corpos. 
-Note que o valor da constante G é muito 
pequeno. Por isso, a força gravitacional assume 
valores apreciáveis apenas quando pelo menos 
uma das massas é muito grande. 
 
 Campo gravitacional e campo de 
gravidade 
-Um corpo colocado nas proximidades da Terra 
fica sujeito a uma força de atração 
gravitacional. 
-Dizemos, neste caso, que a Terra origina, no 
espaço que a envolve, um campo 
gravitacional. 
 
-Considerando a Terra esférica e homogênea, 
de massa M e raio R, a intensidade da força de 
atração gravitacional que a Terra exerce no 
corpo de massa m, colocado a uma distância r 
do centro da Terra, é dada pela lei da 
Gravitação Universal: 
 
 
 
-Além da força de atração gravitacional 
terrestre, outras forças agem no corpo, devido 
à presença do sol, da Lua, dos planetas e da 
rotação da Terra. 
-Tem-se, então, um novo campo particular para 
a Terra: o campo de gravidade da Terra. 
-A força resultante que age no corpo, nestas 
condições, é o seu peso �⃗� = 𝑚𝑔 . 
 
 Aceleração da gravidade 
-Vamos desprezar a ação do Sol, da Lua e de 
outros astros (Terra isolada no Universo) e não 
vamos levar em conta sua rotação. 
-Nessas condições, o campo gravitacional 
coincide com o campo de gravidade. 
 
𝑭 = 𝑮
𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝟐
 
𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟕 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟏
𝑵𝒎𝟐
𝒌𝒈𝟐
 𝑭 = 𝑮
𝑴𝒎
𝑹𝟐
 
 
 
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-Assim, a força de atração gravitacional 𝐹 é o 
próprio peso �⃗� . Para um corpo situado na 
superfície da Terra, temos: 
 
 
 
 
Caso 1 (aceleração da 
gravidade nos pontos 
da superfície terrestre) 
(1) 
Caso 2 (aceleração da gravidade à altitude h da 
superfície da Terra) 
-A uma altitude h a aceleração da gravidade é 
menor que na superfície: 
 
 
 
(2) 
-Da equação (1) vem GM = gR2 que, substituída 
em (2), resulta: 
 
 
 
-Logo, 
 
 
 
-Sendo h pequeno em comparação com R (h 
bem menor que R), resulta 𝑔ℎ ≅ 𝑔. 
-Portanto, nas vizinhanças da Terra, a 
aceleração da gravidade é praticamente 
constante. 
-Lembre-se: 
g → aceleração da gravidade na superfície da 
Terra; 
G → constante de gravitação universal; 
M → massa da Terra; 
R → raio da Terra; 
gh → aceleração da gravidade à altitude h da 
superfície da Terra; 
r → distância entre o corpo e a Terra; 
h → altitude (altura do corpo em relação à 
superfície da Terra). 
 
 Corpos em órbita 
-Considere um 
planeta de raio 
R e massa M. 
Seja m a massa 
de um satélite 
em órbita 
circular em torno 
do planeta à 
altitude h. 
Velocidade 
 
 
 
 
 
Energia potencial gravitacional 
-Demonstra-se que a energia potencial 
gravitacional, adotando-se referencial no infinito, 
é dada por: 
 
𝑭 = 𝑷 ↔ 𝑮
𝑴𝒎
𝑹𝟐
= 𝒎𝒈 
𝒈 = 𝑮
𝑴
𝑹𝟐
 
𝒈𝒉 = 𝑮
𝑴
𝒓𝟐
=
𝑮𝑴
(𝑹 + 𝒉)𝟐
 
𝑔ℎ =
𝐺𝑀
(𝑅 + ℎ)2
= 𝑔
𝑅2
(𝑅 + ℎ)2
 
𝒈𝒉 = 𝒈(
𝑹
𝑹 + 𝒉
)𝟐 
𝒗 = √
𝑮𝑴
𝒓
= √
𝑮𝑴
𝑹 + 𝒉
 
 
 
5 Leis de Kepler e Gravitação Universal 
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-O sinal negativo significa que, em todos os pontos 
do campo gravitacional, a energia potencial 
gravitacional é menor do que no infinito. 
 
Energia cinética 
 
 
 
 
OBS.: No campo gravitacional, a energia mecânica 
se conserva, isto é, Emec = Ep + Ec = constante. 
 
Referências 
RAMALHO-JUNIOR, F.; FERRARO, N. G.; 
SOARES, P. A.DE T. Os fundamentos da física. 
Vol. 1. 10ª Ed. São Paulo: Moderna, 2009. 
 
Sistema Bernoulli de Ensino. Física. Vol. 5. 
Coleção Estudo. São Paulo: Editora Bernoulli, 
2018. 
Anotações 
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𝑬𝒑 = −𝑮
𝑴𝒎
𝒓
 
𝑬𝒄 = 𝑮
𝑴𝒎
𝟐𝒓