Analise-Combinatoria-lista01-Resolucao

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LN CURSOS E CONCURSOS MATEMÁTICA/PMPE PROF JONAS 
LISTA 01 - COMBINATÓRIA 
 
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1 
I. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM (PFC) 
 
01. (FGV - SP) - Um restaurante oferece no cardápio duas saladas 
distintas, quatro tipos de pratos de carne, cinco variedades de be-
bidas e três sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, 
um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas ma-
neiras a pessoa poderá fazer seu pedido? 
 
a) 90 b) 100 c) 110 d) 130 e) 120 
 
Temos: 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos os valores dados: 
 
T = 2 . 4 . 5 . 3 = 120 
 
 
02. (UFBA) Existem cinco ruas ligando os supermercados S1 e S2 
e três ruas ligando S2 e S3. Para ir de S1 a S3, passando por S2, o 
número de trajetos diferentes que podem ser utilizados é: 
 
a) 15 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3 
 
Temos: 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos os valores dados: 
 
T = 5 . 3 = 15 
 
 
03. (ITA - SP) - Quantos números de três algarismos distintos po-
demos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9? 
 
a) 60 b) 120 c) 240 d) 40 e) 80 
 
Temos: ____ ____ ____ 
 
Para a 1ª posição, há 5 possibilidades, para a 2ª, como não pode 
haver repetição, há 4 possibilidades, e, para a 3ª, sobram 3 possi-
bilidades. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos esses números que indicam as 
possibilidades: 
 
T = 5 . 4 . 3 = 60 
 
 
04. (FATEC - SP) – Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, a quantidade de núme-
ros formados por dois algarismos não repetidos e tomados de A é: 
 
a) 20 b) 22 c) 25 d) 28 e) 44 
 
Temos: ____ ____ 
 
Para a 1ª posição, há 5 possibilidades, e, para a 2ª, como não pode 
haver repetição, há 4 possibilidades. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos esses números que indicam as 
possibilidades: 
 
T = 5 . 4 = 20 
 
 
05. (FAAP - SP) - Num hospital existem 3 portas de entrada que 
dão para um amplo saguão no qual existem 5 elevadores. Um vi-
sitante deve se dirigir ao 6º andar utilizando-se de um dos eleva-
dores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? 
 
Temos: 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos os valores dados: 
 
T = 5 . 3 = 15 
 
 
06. (UFGO) - No sistema de emplacamento de veículos que seria 
implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras 
do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número má-
ximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria: 
 
a) 20 b) 60 c) 120 d) 125 e) 243 
 
Temos: ____ ____ ____ 
 
Para a 1ª posição, há 5 possibilidades, pois existem 5 vogais. Para 
a 2ª posição também há 5 possibilidades, pois o enunciado não 
afirma que as letras não possam ser repetidas. O mesmo ocorre 
com a 3ª posião. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos esses números que indicam as 
possibilidades: 
 
T = 5 . 5 . 5 = 125 
 
07. (CEFET - PR) - Os números dos telefones da Região Metro-
politana de Curitiba têm 7 algarismos, cujo primeiro dígito é 2. O 
número máximo de telefones que podem ser instalados é: 
 
a) 1.000.000 
b) 2.000.000 
c) 3.000.000 
d) 6.000.000 
e) 7.000.000 
 
 
Temos: 
 
 
Para a 1ª posição, há uma possibilidade, que deve ser o 2. Para 
cada uma das seis posições restantes há 10 possibilidades, pois o 
enunciado não afirma que os algarismos não possam ser repetidos, 
de modo que qualquer um deles pode assumir um valor de 0 a 9. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos esses números que indicam as 
possibilidades: 
 
T = 1 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 1.000.000 
 
 
 
08. (UEPG-PR) Quantos números pares, distintos, de quatro alga-
rismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4, sem os 
repetir? 
 
a) 156 b) 60 c) 6 d) 12 e) 216 
 
 
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Temos: ____ ____ ____ ____ 
 
 
Para um número natural seja par, é necessário e suficiente que seu 
último algarismo seja par. 
 
Nesse caso, o número deve terminar em 0, 2 ou 4. 
 
Vejamos cada caso: 
 
Terminando em 0: 
 
Nesse caso, sobram 4 algarismos para a 1ª posição e, como não 
pode haver repetição, sobrarão 3 para a 2ª posição e 2 para a 3ª 
posição. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos esses números que indicam as 
possibilidades: 
 
T0 = 4 . 3 . 2 = 24 
 
 
Terminando em 2: 
 
Devemos lembrar que o 1º algarismo, o da esquerda, não pode ser 
zero (Lembre-se: “zero à esquerda de um inteiro não vale 
nada”). 
 
Nesse caso, sobram três algarismos para a 1ª posição, que são 1, 
3 e 4. 
Após escolhermos um desses algarismos para a 1ª posição, ficarão 
os dois restantes e, agora, também o zero, para disputarem a 2ª 
posição, ou seja, haverá três possibilidades para esta posição e, 
como não pode haver repetição, sobrarão duas possibilidades para 
a 3ª posição. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos esses números que indicam as 
possibilidades: 
 
T2 = 3 . 3 . 2 = 18 
 
 
Terminando em 4: 
 
O raciocínio é o mesmo feito para o 2. 
 
Logo: T4 = 18 
 
 
Assim, a resposta é 24 + 18 + 18 = 60 
 
 
 
09. (UEL - PR) - Para responder a certo questionário, preenche-se 
o cartão apresentado abaixo, colocando-se um "x" em uma só res-
posta para cada questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questio-
nário? 
 
a) 3125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10 
 
 
Temos: ___ ___ ___ ___ ___ 
 
Para cada questão há duas possibilidades de resposta: Sim ou Não. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos os valores dados: 
 
T = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 
 
 
10. Uma placa de automóvel, em determinado país, possui 3 letras 
e 4 algarismos. Quantas placas pode haver nesse país? 
 
 
Temos: 
 
 
Os três primeiros espaços serão preenchidos com letras, e pode 
haver repetição. Existem 26 letras disponíveis para cada um des-
ses espaços. 
Os quatro espaços seguintes serão preenchidos com algarismos, e 
pode haver repetição. Existem 10 algarismos disponíveis para 
cada um desses espaços. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos as quantidades possíveis para 
cada espaço: 
 
T = 26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000 
 
 
11. No caso das placas de automóveis com 3 letras e 4 algarismos, 
quantas são as placas possíveis atendendo todos os critérios 
abaixo? 
 
 As duas primeiras letras devem ser vogais distintas; 
 A última letra não pode ser vogal e não pode ser W; 
 Os algarismos são maiores do que 2 e são pares. 
 
 
Temos: 
 
 
A primeira letra tem cinco possibilidades: A, E, I, O, U. 
 
Depois de escolhermos a letra da primeira posição, sobrarão qua-
tro possibilidades para a segunda posição. 
 
Para a terceira letra há vinte possibilidades, pois, das 26 letras do 
alfabeto, só não queremos as vogais ou o W para esta posição. 
 
Cada um dos quatro algarismos da placa só pode ser, pelo enunci-
ado, 4, 6 ou 8, ou seja, há três possibilidades para escolhermos 
cada algarismo (Pode haver repetição, conforme o enunciado). 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos as quantidades possíveis para 
cada espaço: 
 
T = 5 . 4 . 20 . 3 . 3 . 3 . 3 = 32.400 
 
 0 
 2 
 4 
 
 
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12. Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e chapéu. O 
organizador do desfile afirma que três modelos de saia, três de 
blusa, cinco de bolsa e um certo número de chapéus permitem 
mais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje. 
Assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de chapéus 
que torna verdadeira a afirmação do organizador. 
 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 11 
 
 
Temos: 
 
A modelo deve escolher uma peça de cada tipo, porém não sabe-
mos a quantidade de chapéus disponíveis, que chamaremos de x. 
 
Pelo PFC, basta multiplicarmos as quantidades possíveis para en-
contrarmos o total de possibilidades. 
 
Assim, T = 3 . 3 . 5 . x 
 
Esse resultado tem que ser maior do que 200, conforme o enunci-
ado. 
 
Se x = 4, então T = 3 . 3 . 5 . 4 = 180 (Não serve) 
 
Se x = 5, então T = 3 . 3 . 5 . 5 = 225 (serve) 
 
Se x = 6, então T = 3 . 3 . 5 . 6 = 270 (serve) 
 
Se x = 7, então T = 3 . 3 . 5 . 7 = 315 (serve) 
 
Se x = 11, então T = 3 . 3 . 5 . 11 = 495 (serve) 
 
 
Porém, o enunciado pede a menor quantidade de chapéus que faça 
o total de possibilidades ser superior a 200, e, desse modo, a res-
posta é 5. 
 
 
13. (UERJ - 02) Numa cidade, os números telefônicos não podem 
começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatro pri-
meiros constituem o prefixo. Considere que os quatro últimos dí-
gitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia 
VIVAVIDA é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e 
não necessariamente nesta ordem. 
 
O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o 
número telefônico completo dessa farmácia equivale a: 
 
a) 6 b) 24 c) 64 d) 168 e) 200 
 
 
Temos: 
 
 
Dos oito dígitos, os quatro últimos já estão definidos: 0000. 
 
Cada um dos quatro primeiros dígitos pode ser 2, 4, 5 ou 6, e não 
pode haver repetição, conforme o enunciado. 
 
Logo, pelo PFC, T = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
 
14. (FGV) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde 
Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três últimos 
algarismos. Restaram apenas os dígitos 58347. Observador, Teo-
doro lembrou que o número do telefone da linda garota era um 
número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repe-
tidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéri-
cas possíveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade, 
quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até en-
tão, Teodoro havia feito um total de ligações igual a 
 
a) 23 b) 59 c) 39 d) 35 e) 29 
 
 
Temos: 
 
 
Os cinco primeiros dígitos não foram apagados. Teodoro então 
fará tentativas para os três últimos. 
 
Como não há algarismos repetidos, os três últimos devem ser es-
colhidos entre 0, 1, 2, 6 ou 9. 
 
Como o número é par, o último algarismo só pode ser 0, 2 ou 6. 
 
Se o último algarismo for zero: 
 
Sobrarão 4 possibilidades para a primeira posição e 3 para a se-
gunda posição. 
 
Logo, pelo PFC, T0 = 4 . 3 = 12 
 
Se o último for 2, o cálculo é o mesmo, ou seja, T2 = 12 
 
E, se o último for 6, T6 = 12 
 
Assim, o total de possibilidades é 12 + 12 + 12 = 36 
 
Como só falta uma tentativa, significa que Teodoro já fez 35 
tentativas. 
 
 
 
15. (UBA) Num determinado país, todo rádio amador possui um 
prefixo formado por 5 símbolos assim dispostos: um par de letras, 
um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo: 
PY – 6 - CF. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o 
segundo par só pode ser constituído das 10 primeiras letras do al-
fabeto, não havendo letras repetidas. Nesse país o número de pre-
fixos disponíveis é: 
 
a) 270 b) 1230 c) 2430 d) 2700 e) 1200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 0 0 0 
5 8 3 4 7 
 0 
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4 
Pelo PFC, o total de prefixos é: 
 
T = 3 . 9 . 90 = 2430 
 
Obs.: Para as duas últimas letras, segundo o enunciado, só podem 
ser usadas as 10 primeiras letras do alfabeto, elas devem ser dis-
tintas (diferentes). 
 
Assim, o total de possibilidades é, pelo PFC, 10 x 9 = 90. 
 
 
16. (UFSM-RS) Considere o número de 5 algarismos distintos: 
 
 
 
O número de formas possíveis para preencher as lacunas, de modo 
a obter um múltiplo de 5, é: 
 
a) 75 b) 80 c) 82 d) 84 e) 120 
 
Temos: 
 
O último algarismo só pode ser 0 ou 5. 
 
Se o último for zero, sobram 7 algarismos para as duas vagas que 
ficaram. 
 
Logo, pelo PFC: T0 = 7 . 6 = 42 
 
Se o último for 5, o cálculo é o mesmo: 
 
Logo, T5 = 42 
 
Assim, o total é 42 + 42 = 84 
 
 
17. (Mack-SP) A quantidade de senhas de três algarismos que têm 
pelo menos 2 algarismos repetidos é: 
 
a) 30 b) 280 c) 300 d) 414 e) 454 
 
Temos: 
 
Cada algarismo da senha, sem qualquer restrição, tem 10 possibi-
lidades: 0, 1, 2, 3, ..., 9. 
 
O total de senhas de três algarismos, repetidos ou não, é, pelo PFC, 
dado por: 
T = 10 . 10 . 10 = 1.000 
 
O total de senhas de três algarismos, sem repetição, é, pelo PFC, 
dado por: 
TSR = 10 . 9 . 8 = 720 
 
Logo, subtraindo essas quantidades, teremos a resposta do pro-
blema: 
1.000 - 720 = 280. 
 
Obs.: Prezados, reflitam sobre essa resposta e, caso não tenha 
ficado claro, ajudo vocês na sala de aula ou respondo por e-mail, 
quanto às dúvidas que surgirem. 
 
 
 
18. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 
outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A à C, 
passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utili-
zar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha? 
 
a) 144 b) 12 c) 24 d) 72 e) 98 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
Para ir e voltar haverá quatro etapas, que consistem em escolher 
uma linha de ônibus em cada trecho: 
 
Para a ida, de A para B, há 3 possibilidades, e de B para C há 4 
possibilidades. 
 
Para a volta, como não podemos repetir as escolhas da ida, de C 
para B, agora, há 3 possibilidades, e de B para A, agora, há 2 pos-
sibilidades. 
 
Assim, pelo PFC, o total de possibilidades de ida e volta, é dado 
por: 
 T = 3 . 4 . 3 . 2 = 72 
 
 
II. COMBINAÇÕES 
 
 
19. (UFF - 05) Niterói é uma excelente opção para quem gosta de 
fazer turismo ecológico. Segundo dados da prefeitura, a cidade 
possui oito pontos turísticos dessa natureza. Um certo hotel da re-
gião oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade de escolher 
três dos oito pontos turísticos ecológicos para visitar durante sua 
estada. O número de modos diferentes com que um hóspede pode 
escolher, aleatoriamente, três destes locais, independentemente da 
ordem escolhida, é: 
 
a) 50 b) 56 c) 60 d) 75 e) 82 
 
Temos: 
 
Como a ordem é independente, devemos calcular o total de com-
binações de 8 elementos, tomados 3 a 3. 
 
𝐶8,3 = 
8!
3! . (8 − 3)!
=
8!
3! . 5!
= 
8 . 7 . 6 . 5!
3 . 2 . 1 . 5!
= 𝟓𝟔 
 
 
20. Marcam-se 12 pontos em uma circunferência. Quantos triân-
gulos podemos desenhar com vértices escolhidos dentre esses 
pontos? 
 
a) 12 x 11 x 10 
 
b) 2 x 11 x 10 
 
c) 4 x 11 x10 
 
d) 5 x 11 x 7 
 
e) 4 x 6 x 9 
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Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, devemos calcular o total de combinações de 12 pon-
tos, tomados 3 a 3. 
 
𝐶12,3 = 
12!
3! . (12 − 3)!
=
12!
3! . 9!
= 
12 . 11 . 10 . 9!
3 . 2 . 1 . 9!
= 𝟐 . 𝟏𝟏 . 𝟏𝟎 
 
Obs.: Perceba que dividi 12 por 6 (3x2), o que gerou o 2 na res-
posta. 
 
 
21. Com um grupo de 10 professores e 5 coordenadores pedagó-
gicos, uma escola escolherá 6 pessoas para representá-la em um 
congresso. De quantos modos podem ser feitas as comissões de 
forma que haja 3 professores e 3 três coordenadores? 
 
Temos: 
 
Total de comissões de três professores: 𝐶10,3 = 
10!
3! .(10−3)!
= 120 
 
Total de comissões de três coordenadores: 𝐶5,3 = 
5!
3! .(5−3)!
= 10 
 
Perceba que a ordem das pessoas escolhidas não muda a comissão. 
 
Veja: (Clodoaldo, Hércules, Jonas) e (Hércules, Jonas, Clodoaldo) 
correspondem à mesma comissão. 
 
Por isso, usamos o cálculo das combinações, e não dos arranjos. 
 
Temos então 120 comissões possíveis de professores e 10 comis-
sões possíveis de coordenadores. 
 
Temos que escolher uma comissão de professores e uma comissão 
de coordenadores, para formarmos a comissão única. 
 
Lembram-se das calças e camisas? Foi em nossa primeira aula no 
LN Cursos e Concursos! 
 
Assim, pelo PFC, a resposta é T = 120 x 10 = 1.200 
 
 
22. (PUC) Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4 pontos sobre 
outra reta paralela a r. O número de triângulos que existem, com 
vértices nesses pontos, é 
 
a) 60 b) 35 c) 30 d) 9 e) 7 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos escolher 3 pontos, dentre os 7 destacados. Como vimos 
na questão 20, a ordem dos pontos não é importante. 
 
Assim, usaremos a fórmula do total de combinações simples: 
 
𝐶7,3 = 
7!
3! . (7 − 3)!
=
7!
3! . 4!
= 
7 . 6 . 5 . 4!
3 . 2 . 1 . 4!
= 35 
 
Temos, então, 35 maneiras distintas de escolhermos os três pon-
tos, dentre os sete destacados. Porém, perceba que alguns desses 
35 trios de pontos, quando ligados, não formam triângulos. 
 
Por exemplo, se nós escolhermos três pontos da reta s, e os ligar-
mos, dois a dois, em linha reta, não formaremos um triângulo, e, 
sim, apenas um segmento de reta. 
 
Desse modo, escolhendo três pontos apenas da reta r ou apenas da 
reta s, não formaremos triângulo. 
 
Assim, devemos excluir as combinações apenas dos pontos de r e 
devemos excluir as combinações apenas dos pontos de s. 
 
Vejamos: 
 
Em r: 𝐶3,3 = 
3!
3! .(3−3)!
=
3!
3! .0!
= 
6
6 .1
= 1 
 
Em s: 𝐶4,3 = 
4!
3! .(4 − 3)!
=
4!
3! .1!
= 
4 . 3!
3! . 1
= 4 
 
Assim, existem 5 trios de pontos que não formam triângulo. 
 
Logo, a resposta é 35 - 5 = 30. 
 
 
23. Quantos cartões de seis dezenas devemos jogar na Mega-Sena 
para que tenhamos a certeza de eu vamos ganhar? 
 
Temos: 
 
Vejam dois jogos que foram feitos na Mega-Sena e foram vitori-
osos no mesmo sorteio: 
 
Jogo de vencedor de Recife: 
 
Jogo de vencedor de Campinas: 
 
Perceba que os jogos são os mesmos, apesar da ordem diferente 
dos seis números. 
 
Assim, a ordem dos números não muda o jogo, ou seja, não é im-
portante. 
 
Logo, devemos jogar todas as combinações possíveis de 60 deze-
nas existentes, tomadas 6 a 6. 
 
Assim: 
Note que o triângulo ADJ continua sendo o mesmo, 
caso a ordem das letras mude: JDA, AJD, DJA, ... são 
o mesmo triângulo. Assim, a ordem não é importante. 
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6 
14 19 
 
 
 
Essa conta nos dá 50.063.860. 
 
Obs.: Perceba que a conta final ficou 59 x 58 x 19 x 14 x 55. 
 
 
III. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES 
 
 
24. De quantos modos podemos escolher três mulheres, dentre 8 
existentes, para contratá-las para três cargos distintos: secretária, 
recepcionista e atendente comercial, considerando que todas são 
aptas aos cargos? 
 
Temos: 
 
Perceba que podemos contratar Ana, Beatriz e Carol, nessa ordem, 
para os cargos de secretária, recepcionista e atendente comercial, 
nessa ordem, mas, se mudarmos a ordem, e contratarmos Beatriz, 
Carol e Ana, para os respectivos cargos, teremos um novo con-
trato: 
 
 Veja: I.) 
 
 
 
 
 
 II.) 
 
 
 
 
 
Temos, então, que levar em consideração a ordem dos elementos. 
 
Nesse caso, devemos calcular o total de arranjos simples de 8 ele-
mentos, tomados 3 a 3. 
 
Assim, 𝐴8,3 = 
8!
 (8−3)!
=
8!
5!
= 
8 . 7 . 6 . 5!
5!
= 𝟑𝟑𝟔 
 
 
25. Para o campeonato de basquete deste ano, dentre as 12 equi-
pes, o Spike já é o grande vencedor, e o Lineares será desclassifi-
cado por conduta indevida. Se os 5 primeiros colocados são pre-
miados com diferentes prêmios, conforme a classificação, de 
quantos modos, os prêmios podem ser distribuídos? 
 
Temos: 
 
Das 12 equipes, iremos levar em consideração apenas 10, haja 
vista o Spike já estar garantido como campeão, ou seja, ele é o 
primeiro colocado, e o Lineares já estar desclassificado. 
 
Assim, temos 10 equipes lutando pelas 4 premiações que resta-
ram. 
 
Dessa forma, como a ordem de classificação é importante, deve-
mos calcular o total de arranjos simples de 10 elementos, tomados 
4 a 4. 
Assim, 𝐴10,4 = 
10!
 (10−4)!
=
10!
6!
= 
10 . 9 . 8 . 7 . 6!
6!
= 𝟓. 𝟎𝟒𝟎 
 
 
26. Em um campeonato de futebol, todos os clubes jogaram entre 
si, em jogos de ida e volta, gerando um total de 210 jogos. Quantos 
clubes há no campeonato? 
 
Temos: 
 
Suponha que havia n clubes. Devemos contar de quantos modos 
podemos escolher 2 deles para uma partida de futebol, levando em 
consideração que o jogo AB é diferente do jogo BA. No primeiro 
caso, o jogo é no campo de A, enquanto no segundo, é no campo 
de B. 
 
Perceba que o total de jogos é o total de arranjos dos n elementos, 
tomados 2 a 2. 
 
Assim, 𝐴𝑛,2 = 
𝑛!
 (𝑛−2)!
=
𝑛.(𝑛−1).(𝑛−2)!
(𝑛−2)!
= 𝑛. (𝑛 − 1) 
 
E esse resultado, conforme o enunciado, deve dar 210. 
 
Ou seja: 𝑛. (𝑛 − 1) = 210 
 
Note que 15 . 14 = 210, e, desse modo, a resposta é 15. 
 
 
27. Quantos são os anagramas da palavra DELMIRO? 
 
Temos: 
 
Como todas as 7 letras são distintas, aplicaremos a fórmula do to-
tal de permutações simples: 
 
 𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
Assim, 𝑃7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 𝟓𝟎𝟒𝟎 
 
 
28. Quantos são os anagramas da palavra ARARAS? 
 
Temos: 
 
Como há repetição de letras, aplicaremos a fórmula do total de 
permutações com repetição: 
 
 𝑃𝑛
𝑎,𝑏,𝑐,… =
𝑛!
𝑎! . 𝑏! . 𝑐! ...
 
 
Das 6 letras, a letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes, e a 
letra S ocorre 1 vez. 
 
Assim, 𝑃6
3,2,1 =
6!
3! . 2! . 1! 
= 
6 . 5 . 4 . 3!
3! . 2 . 1 . 1
= 𝟔𝟎 
 
29. Quantos são os anagramas da palavra DELMIRO que come-
çam por M e terminam em L? 
 
Temos: 
 
Fixemos as letras M e L como pedido: 
 
 
 
Nome Cargo 
Ana Secretária 
Beatriz Recepcionista 
Carol Atendente Comercial 
Nome Cargo 
Beatriz Secretária 
Carol Recepcionista 
Ana Atendente Comercial 
M L 
 LN CURSOS E CONCURSOS MATEMÁTICA/PMPE PROF JONAS 
LISTA 01 - COMBINATÓRIA 
 
Tel. (75)3281-2285www.lnconcursos.com.br 
 
7 
Sobraram 5 letras distintas para ocuparem as 5 posições do meio. 
 
Devemos, então, calcular o total de permutações de 5 elementos 
distintos. 
 
Assim: 𝑃5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 𝟏𝟐𝟎 
 
 
30. De quantos modos 7 pessoas podem ficar em fila indiana? 
 
Temos: 
 
De forma idêntica às letras da palavra DELMIRO, aplicaremos a 
fórmula do total de permutações simples: 
 
 𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
Assim, 𝑃7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 𝟓𝟎𝟒𝟎 
 
Obs.: Lembrem-se do exemplo dos três irmão que vão ficar em 
fila (Roberto, Ícaro e Otávio). 
 
 
31. De quantos modos 7 pessoas podem ficar em fila indiana, de 
modo que Paula e Ricardo fiquem juntos? 
 
Temos: 
 
Vamos imaginar que as duas pessoas são uma só. Dessa forma, 
onde Paula estiver, Ricardo estará do lado. 
 
 Não 
 
 Sim 
 
Aplicaremos a fórmula do total de permutações simples para 6 
elementos, e não para 7. 
 
𝑃6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 
 
Mas, esse resultado deve ser multiplicado por 2, pois há duas ma-
neiras de Paula e Roberto estarem juntos na fila: PR ou RP. 
 
Logo, a resposta é 2 x 720 = 1.440 
 
 
32. De quantos modos 7 pessoas podem ficar em fila indiana, de 
modo que Paula e Ricardo fiquem separados? 
 
Temos: 
 
De quantas maneiras 7 pessoas podem ficar em fila indiana? 
 
Vimos que a resposta é 𝑃7 = 7! = 5.040. 
 
Paula e Ricardo estão nessas possibilidades, e vimos que em 1.440 
dessas possibilidades (questão 31) eles estão juntos. 
 
Então, nas demais eles estão separados: 
 
Resposta: 5.040 - 1.440 = 3.600 
 
 
 
33. De quantos modos 6 pessoas podem ficar em fila indiana, de 
modo que Ana, Ricardo e Débora fiquem juntos? 
 
Temos: 
 
Como na questão 31, vamos contabilizar Ana, Ricardo e Débora 
como uma só pessoa. 
 
 
 Não 
 
 Sim 
 
Aplicaremos a fórmula do total de permutações simples para 4 
elementos, e não para 6. 
 
𝑃4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
 
Mas, esse resultado deve ser multiplicado por 6, pois há seis ma-
neiras de Ana, Ricardo e Débora estarem juntos na fila: 
 
 Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a resposta é 6 x 24 = 144 
 
Obs.: Se juntarmos dois elementos, devemos multiplicar a conta 
por 2!. Se juntarmos três elementos, devemos multiplicar por 3!, 
e, assim, por diante. 
 
 
34. De quantos modos 5 pessoas podem sentar em 5 cadeiras em 
uma mesa circular? 
 
Temos: 
 
Prezados, conforme veremos na revisão, temos duas situações: 
 
I.) Com n elementos em fila indiana, o total de maneiras será: 
 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
I.) Com n elementos dispostos em círculo, o total de maneiras 
será: 
 
𝑃𝐶𝑛 = (𝑛 − 1)! 
 
Logo, para essa questão, a resposta para esta questão é: 
 
𝑃𝐶5 = (5 − 1)! = 4! = 𝟐𝟒 
 
 
35. Em uma fila indiana devem ficar 4 mulheres e 3 homens, po-
rém, nesse lugar, mulher e homem não podem ficar lado a lado. 
De quantos modos podemos formar a fila? 
 
Do jeito que está, supondo que as pessoas ficam lado a lado em 
uma fila, a questão não tem solução. Vejamos o enunciado cor-
reto! 
 
 PR 
 
 ARD 
ARD 
ADR 
DAR 
DRA 
RAD 
RDA 
Lembre-se da questão feita em 
sala: De quantos modos Roberto, 
Ícaro e Otávio podem ficar em fila 
indiana? 
 
Resp.: P3 = 3! = 6 
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Tel. (75)3281-2285 www.lnconcursos.com.br 
 
8 
35. Em uma fila indiana devem ficar 4 mulheres e 3 homens, po-
rém, nesse lugar, pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a 
lado. De quantos modos podemos formar a fila? 
 
Temos: 
 
Vamos colocar as 7 pessoas na fila de forma alternada: Homem, 
mulher, homem, mulher, ... 
 
Perceba que a fila não pode começar com uma mulher, pois dois 
homens ficariam juntos. Veja: 
 
M1 H1 M2 H2 M3 H3 H4 
 
Dessa forma, a fila deve começar com o sexo que está em maior 
quantidade, ou seja, um homem. Veja: 
 
H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 
 
Devemos pensar: De quantos modos 4 homens podem ocupar qua-
tro lugares pré-definidos em uma fila indiana? 
 
A resposta é P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
 
E, ainda: De quantos modos 3 mulheres podem ocupar três lugares 
pré-definidos em uma fila indiana? 
 
A resposta é P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
 
Logo, devemos escolher uma das 24 maneiras dos homens ocupa-
rem a fila, e uma das 6 maneiras das mulheres ocuparem a fila, o 
que nos dá, pelo PFC, 
 
 24 x 6 = 144 
 
 
Obs.: Suponha que as mulheres sejam Ana, Bete e Cida, e vamos 
colocá-las na fila. Veja: 
 
 Ana Bete Cida 
 
 Ana Cida Bete 
 
 Bete Ana Cida 
 
 Bete Cida Ana 
 
 Cida Ana Bete 
 
 Cida Bete Ana 
 
Ou seja, há 6 maneiras de dispormos as mulheres. Em qualquer 
das 24 disposições que fiquem os homens, haverá seis possibili-
dades para dispô-los com as mulheres. 
 
 
Fim. 
 
 
 
 
 
 
Prezados, algumas questões de PFC podem ser resolvidas usando 
os conhecimentos de arranjos simples, como alguns alunos estão 
fazendo, e isso demonstra que está havendo entendimento do con-
teúdo. Ótimo. 
Vamos para a lista de Probabilidade, que será entregue na próxima 
aula. 
 
Prometi a alguns alunos enviar a solução pelo zap, mas tive pro-
blemas com meu celular. Foi mal! 
 
Havendo dúvidas nessa lista, entrem em contato! 
 
Até mais! 
 
 
Prof. Jonas 
 
E-mail: jucaferreira2003@yahoo.com.br 
Tel (zap): 75-98843 7833 (Já está beleza!) 
 
 
 
 
mailto:jucaferreira2003@yahoo.com.br