60 QUESTÕES DE PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

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Questão 01 - (FATEC SP) 
No mundo digital, podem-se definir as cores com o 
auxílio de um sistema de códigos que é composto 
pelo sinal de sustenido (#) seguido por seis caracte-
res que podem ser algarismos (que vão de 0 até 9) 
ou letras (de A até F). 
Deste modo, são exemplos de códigos que repre-
sentam cores: 
 
 
<https://tinyurl.com/y4qkz9j5> 
Acesso em: 19.10.2019. Adaptado. 
 
Logo, utilizando esse código, a quantidade de cores 
que é possível representar é igual a 
 
a) 26 
b) 210 
c) 212 
d) 218 
e) 224 
 
Questão 02 - (Univag MT) 
Para uma atividade, serão confeccionados alguns 
cartões. Cada cartão deverá conter um número e a 
figura de um animal, nessa ordem. Os números po-
dem ser de 1 a 9 e os animais podem ser elefante, 
cachorro, gato, pássaro ou zebra. Não serão con-
feccionados cartões com números ímpares cuja 
imagem de animal seja uma zebra. Não serão con-
feccionados cartões com os números 4 ou 5 cuja 
imagem de animal seja um gato ou um pássaro. 
Nessas condições, o número de cartões distintos 
que podem ser criados é 
 
a) 35. 
b) 36. 
c) 37. 
d) 34. 
e) 38. 
 
file:///C:/Users/Maicon/Desktop/PASSEI%20DIRETO%20JULHO/www.praticandomatematica.com
https://www.youtube.com/channel/UCw1x5GDOQsQ9yVrpTrKYxHg?view_as=subscriber
 
 
Questão 03 - (Faculdade Santo Agostinho BA) 
Na escola Bem Viver, a direção e os professores es-
tão preocupados com o lanche hipercalórico e sem 
fonte de vitaminas que os alunos estavam levando 
para escola. Então, eles tiveram a ideia de ofertar 
lanches balanceados para os alunos durante o re-
creio. 
A escola oferece no cardápio 2 tipos de salada de 
fruta, 4 tipos de sanduíches naturais, 3 variedades 
de sucos naturais e 6 tipos diferentes de frutas hi-
gienizadas. 
 
 
SHUTTERSTOCK/Africa Studio 
 
Um aluno da escola decide comprar o lanche na es-
cola, uma salada de fruta, um sanduíche natural, 
um suco e uma fruta, para comer mais tarde. De 
quantas maneiras o aluno poderá fazer seu pe-
dido? 
 
a) 120 maneiras. 
b) 138 maneiras. 
c) 140 maneiras. 
d) 144 maneiras. 
e) 166 maneiras. 
 
Questão 04 - (FGV ) 
Nove bolas numeradas de 2 a 10 deverão ser pinta-
das, cada uma com uma das quatro cores: verde, 
amarelo, azul e branco. A única restrição é que cada 
bola seja pintada com uma cor diferente das cores 
das bolas cujos números sejam divisores próprios 
do número da referida bola. Por exemplo, a bola de 
número 10 não pode ter a mesma cor da bola de 
número 5 nem da bola de número 2. 
O número de maneiras diferentes de pintar as nove 
bolas é 
 
a) 9216 
b) 49 
c) 23328 
d) 18432 
e) 27648 
 
Questão 05 - (FGV ) 
As bandeiras dos cinco países do Mercosul serão 
hasteadas em dois postes, um verde e um amarelo. 
As cinco bandeiras devem ser hasteadas e cada 
poste deve ter pelo menos uma bandeira. Consti-
tuem situações diferentes de hasteamento a troca 
de ordem das bandeiras em um mesmo poste e a 
troca das cores dos mastros associadas a cada con-
figuração. 
 
 
 
O total de configurações possíveis de hasteamen-
tos na condição descrita é igual a 
 
a) 520. 
b) 480. 
c) 420. 
 
 
d) 360. 
e) 240. 
 
Questão 06 - (FGV ) 
Em certo país, as placas de automóveis são forma-
das por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Seja x o 
número de placas que podem ser construídas que 
tenham as seguintes características: 
Sejam utilizadas apenas as letras C,D,E,F,G e H com 
cada letra aparecendo no máximo uma vez na 
placa. 
Entre os algarismos de 0 a 9 possa haver repetição. 
Comecem por F e terminem por 4. 
 
Podemos afirmar que: 
 
a) 15000 x < 16 000 
b) 16 000 x < 17 000 
c) 17 000 x < 18 000 
d) 18 000 x < 19 000 
e) x 19 000 
 
Questão 07 - (Mackenzie SP) 
Quantos números distintos de 4 algarismos são tais 
que o produto de seus algarismos é igual a 420? 
 
a) 38 
b) 44 
c) 46 
d) 48 
e) 56 
 
Questão 08 - (SANTA CASA SP) 
Os crachás dos participantes de um congresso de 
medicina serão identificados com a primeira letra 
do primeiro nome da pessoa, seguida pela primeira 
letra do seu último sobrenome. Por exemplo, o cra-
chá de Sílvio de Paiva Morais será identificado por 
SM. Considerando as 26 letras do nosso alfabeto, o 
número mínimo de participantes desse congresso 
para que se tenha, com certeza, pelo menos dois 
crachás que comecem com uma mesma vogal e 
que terminem com uma mesma letra, dentre as 26 
letras do alfabeto, é igual a 
 
a) 27. 
b) 131. 
c) 32. 
d) 105. 
e) 211. 
 
Questão 09 - (UNICESUMAR PR) 
Em uma comemoração foram feitos vários sorteios 
de agendas e chaveiros e uma mesma pessoa não 
podia ser sorteada duas vezes. Os amigos Adão, 
Bartolomeu, César, Daniel e Emanuel estavam na 
festa, mas somente dois deles foram sorteados. 
Para esses 5 amigos, de quantas maneiras pode ter 
ocorrido o resultado desse sorteio? 
 
a) 10 
b) 40 
c) 25 
d) 35 
e) 50 
 
Questão 10 - (UEPG PR) 
Para escrever um certo número mnpqr de cinco al-
garismos, foram utilizados, uma única vez, os alga-
rismos 1, 2, 3, 4 e 5. Considerando que o número 
de três algarismos mnp é divisível por quatro, que 
o número de três algarismos npq é divisível por 
cinco e que o número de três algarismos pqr é divi-
sível por três, assinale o que for correto. 
 





 
 
01. A soma dos algarismos m, n e r é um número 
divisível por três. 
02. O produto dos algarismos m, n e p é um nú-
mero múltiplo de quatro. 
04. O perímetro do retângulo de lados medindo os 
algarismos p e q é nove. 
08. A diagonal do retângulo de lados medindo os 
algarismos p e r é menor do que cinco. 
16. A soma dos algarismos m, n, p, q e r é um nú-
mero primo. 
 
Questão 11 - (UEM PR) 
Uma escola identifica as cadeiras e as mesas das sa-
las de aula com etiquetas alfa-numéricas. A eti-
queta de cada cadeira é composta por uma sequên-
cia de duas vogais (escolhidas entre as 5 possíveis) 
e de 4 algarismos escolhidos entre 0, 1, 2, 3 e 4. A 
etiqueta de uma mesa, por sua vez, apresenta duas 
consoantes (escolhidas entre as 10 primeiras con-
soantes do alfabeto) e 4 algarismos escolhidos en-
tre 5, 6, 7, 8 e 9. Por exemplo, uma possível eti-
queta para uma cadeira é AU1302 e uma possível 
etiqueta para uma mesa é CD6787. Com base nes-
sas informações e em conhecimentos correlatos, 
assinale o que for correto. 
 
01. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as mesas é o dobro do número de etiquetas 
distintas possíveis para as cadeiras. 
02. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as mesas, com todas as letras distintas e com 
todos os algarismos distintos, é igual a . 
04. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as cadeiras, com todas as letras distintas e com 
todos os algarismos distintos, é igual a . 
08. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as cadeiras, usando-se apenas as vogais O e U 
e com todos os algarismos distintos, é igual a 
480. 
16. O número de etiquetas distintas possíveis para 
as mesas, em que os algarismos são todos 
idênticos, é igual a 500. 
 
Questão 12 - (PUC RS) 
Em uma dada empresa, cada funcionário tem um 
número de cadastro de três dígitos que varia de 
100 a 999. Quando são contratados, os funcioná-
rios da área financeira são cadastrados com um nú-
mero cujo último dígito deve ser 7, 8 ou 9. Já os 
funcionários da área de vendas podem receber 
qualquer outro algarismo como último dígito. 
 
Considerando a regra estabelecida pela empresa, o 
número máximo de funcionários que ela pode ter 
em cada um dos dois setores acima, sem precisar 
alterar o sistema de cadastro, é 
 
a) 270 e 560 
b) 270 e 630 
c) 300 e 560 
d) 900 e 270 
 
Questão 13 - (UECE) 
Quantos são os números inteiros positivos com três 
dígitos distintos nos quaiso algarismo 5 aparece? 
 
a) 136. 
b) 200. 
c) 176. 
d) 194. 
 
Questão 14 - (Mackenzie SP) 
Diz-se que um inteiro positivo com 2 ou mais alga-
rismos é “crescente”, se cada um desses algaris-
mos, a partir do segundo, for maior que o algarismo 
que o precede. Por exemplo, o número 134789 é 
“crescente” enquanto que o número 2435 não é 
“crescente”. Portanto, o número de inteiros positi-
vos “crescentes” com 5 algarismos é igual a 
 
a) 122 
!5
!8
!10
+
6
)!5( 2
 
 
b) 124 
c) 126 
d) 128 
e) 130 
 
Questão 15 - (Faculdade Cesgranrio RJ) 
Considere uma prova, com um total de 10 questões 
de múltipla escolha, cada uma delas com apenas 
cinco opções de resposta (a, b, c, d, e) e sendo cor-
reta só uma dessas cinco. Existem muitas possibili-
dades de se ter a sequência das 10 respostas. Por 
exemplo, todas as 10 questões podem ter como 
resposta a opção a, o que seria considerada uma 
sequência inadequada. 
Supondo que 20% de todas as sequências possíveis 
sejam consideradas inadequadas, a quantidade de 
sequências inadequadas é 
 
a) 105 
b) 510 
c) 59 
d) 52 
e) 10 
 
Questão 16 - (Faculdade São Francisco de Barrei-
ras BA) 
A execução de um trabalho foi dividida em seis eta-
pas, cabendo cada uma delas a uma única das seis 
pessoas – P1, …, P6 – de uma equipe. Sabe-se que P3 
ou P4 serão encarregados da segunda etapa e que 
P1 e P2 não podem trabalhar na primeira etapa. 
Assim sendo, a atribuição das etapas de trabalho 
para essas seis pessoas pode ser feita de n formas 
distintas, sendo n igual a 
 
a) 144 
b) 96 
c) 72 
d) 48 
e) 36 
 
Questão 17 - (IFAL) 
Quanto vale a soma dos múltiplos de 6 que se es-
crevem com 3 algarismos? 
 
a) 18 
b) 216 
c) 729 
d) 945 
e) 82350 
 
Questão 18 - (UFT TO) 
Segundo estatísticas do Departamento Nacional de 
Trânsito - DENATRAN, em janeiro de 2019, havia 
101.050.113 veículos emplacados no Brasil. Consi-
dere que as placas sejam formadas da maneira 
usual: três letras quaisquer do alfabeto da Língua 
Portuguesa (incluindo as letras K, Y e W) seguidas 
por quatro algarismos quaisquer de 0 a 9, e que não 
existam restrições na escolha das letras e algaris-
mos. Quando o DENATRAN divulgou a estatística 
acima, quantos veículos ainda poderiam ser empla-
cados conforme o sistema utilizado? 
 
a) 74.709.887 
b) 78.624.000 
c) 121.670.000 
d) 175.760.000 
 
Questão 19 - (UniNorte AM) 
Cinco livros de diferentes autores devem ser distri-
buídos entre três estudantes, de modo que cada 
um deles receba, pelo menos, um livro. 
Sendo x o número máximo de formas distintas de 
essa distribuição ser feita, é correto afirmar que 
 
a) x < 60 
 
 
b) 60 x < 100 
c) 100 x < 140 
d) 140 x < 170 
e) x 170 
 
Questão 20 - (UniRV GO) 
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alterna-
tivas. 
 
a) A equação tem como solução n 
= 7. 
b) Em uma reunião, compareceram 25 pessoas. 
Se cada uma delas cumprimentou todas as ou-
tras ao chegar, podemos afirmar que foram re-
alizados 600 apertos de mãos. 
c) Com relação aos anagramas que podem ser 
formados com as letras da palavra SUDOESTE, 
a quantidade que inicia por vogal é de 7560. 
d) Existem 952 números divisíveis por 5 e com 
quatro algarismos distintos formados com os 
dígitos do sistema decimal de numeração. 
 
Questão 21 - (UECE) 
Listando-se, em ordem crescente, todos os núme-
ros de cinco dígitos distintos formados com os al-
garismos 1, 3, 5, 6 e 7, pode-se afirmar correta-
mente que, nesta lista, a quantidade de números 
menores do que 61573 é 
 
a) 74. 
b) 76. 
c) 75. 
d) 77. 
 
Questão 22 - (UNIPÊ PB) 
O médico receitou para um paciente que teve alta 
após uma cirurgia de sucesso, que realizasse as 
refeições com 2 tipos de grão, 2 tipos de legumes e 
1 tipo de proteína. 
Se estão disponíveis 4 tipos de grão, 4 de legumes 
e 3 opções de carne, o número de refeições que po-
dem ser montadas, sem que haja duas idênticas, é 
igual a 
 
01. 4 
02. 11 
03. 15 
04. 72 
05. 108 
 
Questão 23 - (Universidade Iguaçu RJ) 
Numa competição com dez nadadores, serão clas-
sificados o 1º, o 2º e o 3º lugares. 
Com base nessa informação, pode-se afirmar que o 
número de resultados distintos dessa competição é 
igual a 
 
01) 720 
02) 480 
03) 360 
04) 240 
05) 120 
 
Questão 24 - (IFMT) 
Cada nível da estrutura construída a partir de círcu-
los deverá ser pintado com uma cor, mas níveis di-
ferentes devem possuir cores diferentes. 
 




n7
)!1n(
!n)!1n(
=
−
−+
 
 
 
 
Considerando que as cores disponíveis são verde, 
amarelo, azul e vermelho, o número de formas de 
se pintar a estrutura é: 
 
a) 24 
b) 48 
c) 64 
d) 108 
e) 112 
 
Questão 25 - (Fac. Israelita de C. da Saúde Albert 
Einstein SP) 
O almoxarifado de uma prefeitura utiliza chapas 
metálicas para identificar bens materiais adquiri-
dos por uma das 8 secretarias municipais. Nas cha-
pas são gravados códigos com 10 dígitos numéri-
cos, a fim de identificar o bem em questão. O es-
quema apresenta um exemplo dessas chapas. 
 
 
 
Dado que o número sequencial de entrada é com-
posto por 4 dígitos e iniciado em 0001 para cada 
uma das secretarias, o sistema de codificação per-
mite a essa prefeitura, considerando as 8 secreta-
rias, ao longo de um ano, a codificação de, no má-
ximo, 
 
a) 8 000 bens. 
b) 7 992 bens. 
c) 80 000 bens. 
d) 989 901 bens. 
e) 79 992 bens. 
 
Questão 26 - (SANTA CASA SP) 
Três amigos decidiram ir ao teatro. No momento de 
escolherem os assentos, depararam-se com a se-
guinte disponibilidade: 
 
 
 
Dado que os amigos querem sentar um ao lado do 
outro, sem cadeiras vagas ou ocupadas entre eles, 
o número de diferentes maneiras que podem ocu-
par seus assentos, considerando a troca de posi-
ções entre eles, é igual a 
 
a) 4. 
b) 16. 
c) 7. 
d) 24. 
e) 42. 
 
Questão 27 - (FGV ) 
As regras de formação de uma senha de 8 espaços 
são: 
 
 
 
1. O primeiro espaço tem que ser uma letra do 
alfabeto. 
2. Conter pelo menos um espaço com algarismo. 
3. Conter pelo menos um dos caracteres especi-
ais @, #, $, %, &. 
4. Qualquer letra do alfabeto pode ser usada em 
maiúscula ou minúscula. 
 
Considerando as 26 letras do alfabeto e os 10 alga-
rismos do nosso sistema de numeração, o total de 
senhas diferentes é igual a: 
 
a) 50 526 
b) 52 (677 – 577 – 627 + 527) 
c) 52 (677 – 577 – 627) 
d) 
e) 
 
Questão 28 - (UniCerrado GO) 
Cápsulas de medicamentos são formadas por duas 
partes diferentes: uma delas é a tampa e a outra é 
o recipiente para o medicamento. Os laboratórios 
farmacêuticos, ao produzirem as cápsulas, apre-
sentam essas duas partes em cores diferentes, para 
facilitar a identificação. Considerando que, em um 
laboratório, há 25 cores diferentes para a confec-
ção de cápsulas, a quantidade de cápsulas que po-
dem ser formadas cujas partes tenham cores dife-
rentes é calculada por 
 
a) 252 
b) A25,2 
c) C25,2 
d) P25 
e) 
 
Questão 29 - (OBMEP) 
Uma mesa circular tem seis lugares com cadeiras 
de cores diferentes. De quantos modos três casais 
de namorados podem ocupar esses seis lugares de 
forma que os três rapazes fiquem juntos e as três 
moças também, mas nenhum rapaz fique junto de 
sua namorada? 
 
a) 36 
b) 54 
c) 72 
d) 108 
e) 144 
 
Questão 30 - (OBMEP) 
As 6 cadeiras de uma fila são numeradas de 1 a 6 e 
devem ser ocupadas uma de cada vez de modo 
que, sempre que possível, é escolhida uma cadeira 
sem vizinhas ocupadas. 
Por exemplo, é válida a ordem de ocupação 1 6 3 2 
4 5, em que a primeira pessoa ocupa a cadeira 1, a 
segunda, a cadeira 6, a terceira, a cadeira 3, a 
quarta, a cadeira 2, a quinta, a cadeira 4 e a última, 
a cadeira 5. Já a ordem 1 5 2 3 6 4 não é válida, pois 
a terceira pessoa sentou-se ao lado da primeira 
quando poderia terse sentado em uma cadeira 
sem vizinhas ocupadas. Quantas ordens de ocupa-
ção válidas existem? 
 
 
 
a) 72 
b) 108 
c) 144 
d) 192 
e) 216 
 
Questão 31 - (Encceja) 



!60
!6752 
!62
!672600 
2
25P
 
 
Uma empresa de cosméticos fez um estudo 
para a elaboração de novas bases para maquiagem. 
A decisão tomada foi a de fabricar diferentes tipos 
de base, que serão apresentadas em 5 tonalidades 
diferentes, cada uma à disposição do público com 
2 tipos de cremosidade, e preparadas de modo a 
atender 3 tipos de pele. As bases poderiam, ainda, 
conter ou não filtro solar. Segundo pesquisas, ba-
ses com protetor solar são as mais vendidas na atu-
alidade, por isso todas as bases do primeiro lote 
conterão filtro solar. 
 
O número de tipos de bases diferentes que essa 
empresa poderá fabricar no primeiro lote é 
 
a) 10. 
b) 12. 
c) 30. 
d) 60. 
 
Questão 32 - (Fac. Direito de São Bernardo do 
Campo SP) 
Em uma turma de 6 meninos e 8 meninas serão for-
mados 6 grupos das seguintes maneiras: 
 
• 4 duplas, cada uma com 1 menino e 1 menina 
• 2 trios, cada um com 1 menino e 2 meninas. 
 
O número de maneiras distintas em que esses 6 
grupos podem ser formados é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Questão 33 - (ESPM SP) 
O número de anagramas da palavra COLEGA em 
que as letras L, E e G aparecem juntas em qualquer 
ordem é igual a: 
 
a) 72 
b) 144 
c) 120 
d) 60 
e) 24 
 
Questão 34 - (UNCISAL) 
Um anagrama é a transposição ou o rearranjo de 
letras de uma palavra ou frase, com o intuito de for-
mar outras palavras ou frases com ou sem sentido. 
Um aluno ficou interessado em descobrir quantos 
são os anagramas da palavra UNCISAL que come-
çam com vogal ou terminam com consoante. Fa-
zendo os cálculos corretos, esse aluno obterá como 
resultado o número 
 
a) 3 600. 
b) 3 800. 
c) 4 040. 
d) 4 800. 
e) 5 040. 
 
Questão 35 - (FATEC SP) 
João vai criar uma senha para o seu roteador. Para 
ter mais segurança, 
 
• a senha terá nove caracteres que não se repetem, 
sendo 4 algarismos, 3 letras e 2 caracteres não al-
fanuméricos; 
• a senha ou começará ou terminará por um carac-
tere não alfanumérico; 
• as três letras serão seguidas por um único carac-
tere não alfanumérico seguido por quatro algaris-
mos; 
!8 !6 
!7 !6 2 
!8 !6
!12

!8 !6
!14

 
 
• há distinção entre letra maiúscula e letra minús-
cula; 
• as letras serão escolhidas entre a, i, p, g, k e v, 
apenas; 
• os caracteres não alfanuméricos serão escolhidos 
entre !, %, & e >, apenas. 
 
Observe dois exemplos de senhas nas condições 
dadas: 
!pGk&8460 ou AiV%3841> 
 
Assim sendo, a quantidade de senhas distintas que 
João pode formar é 
 
a) 123  104  42 
b) 122  11  102  9  8  7  2 
c) 122  11  102  9  8  7  3 
d) 122  11  10  9  8  7  4 
e) 122  11  10  9  8  7  2 
 
TEXTO: 1 - Comuns às questões: 36, 37 
LOTOGOL é um jogo de loteria em que o apos-
tador marca seu palpite de placar em 5 jogos de fu-
tebol de uma rodada. Ganha premiação aquele que 
acerta 3, 4 ou 5 dos palpites. Estas são as instruções 
do jogo: 
 
Como jogar 
Acerte a quantidade de gols feitos pelos times 
de futebol na rodada e concorra a uma bolada. Para 
apostar, basta marcar no volante o número de gols 
de cada time de futebol participante dos 5 jogos do 
concurso. Você pode assinalar 0, 1, 2, 3 ou mais gols 
(esta opção está representada pelo sinal +). Os clu-
bes participantes estão impressos nos bilhetes emi-
tidos pelo terminal. 
 
Exemplo de aposta 
 
 
(http://loterias.caixa.gov.br. Adaptado) 
 
Questão 36 - (IBMEC SP Insper) 
O número total de diferentes apostas que podem 
ser feitas no LOTOGOL é igual a 
 
a) 56 
b) 510 – 5 
c) 55 
d) 510 
e) 55 – 5 
 
Questão 37 - (IBMEC SP Insper) 
Laura acredita que, nos 5 jogos da rodada, serão 
marcados um total de 4 gols. Além disso, ela tam-
bém acredita que em apenas um dos jogos o placar 
será zero a zero. O número de apostas diferentes 
que Laura poderá fazer, seguindo sua crença, é 
 
a) 64. 
b) 96. 
c) 80. 
d) 84. 
e) 75. 
 
Questão 38 - (Mackenzie SP) 
 
 
Se somarmos todos os números obtidos, permu-
tando-se os algarismos em 1234, o resultado ob-
tido é igual a 
 
a) 54320 
b) 55990 
c) 59660 
d) 66660 
e) 69960 
 
Questão 39 - (FAMEMA SP) 
Três tubos de ensaio, com rótulos A, B e C, serão 
colocados em um suporte que possui cinco lugares 
alinhados e encontra- se fixado em uma parede. A 
figura mostra uma das possíveis disposições dos tu-
bos. 
 
 
 
Sabendo que o tubo com o rótulo A não pode ocu-
par as extremidades do suporte, o número de ma-
neiras distintas de esses tubos serem colocados 
nesse suporte é 
 
a) 12. 
b) 24. 
c) 36. 
d) 18. 
e) 30. 
 
Questão 40 - (FGV ) 
Uma senha é formada por 8 caracteres, permu-
tando-se os elementos do conjunto{a, b, c, d, e, 1, 
3, 5}. Quantas senhas diferentes podem ser 
formadas de modo que na 2ª posição haja uma le-
tra e na 6ª posição um algarismo? 
 
a) 40 320 
b) 10 800 
c) 720 
d) 4 320 
e) 14 400 
 
Questão 41 - (PUC SP) 
Uma pessoa coloca, em seu celular, uma senha de 
4 dígitos, todos diferentes de zero, de modo que o 
primeiro e o quarto dígitos sejam iguais, e o se-
gundo dígito seja o dobro do terceiro. Sabendo que 
o segundo e o terceiro dígitos são sempre diferen-
tes do primeiro, então o número de possibilidades 
que essa pessoa tem de montar essa senha é 
 
a) 36. 
b) 32. 
c) 28. 
d) 24. 
 
Questão 42 - (UEFS BA) 
Daniela tem 5 pulseiras diferentes e as utiliza ne-
cessariamente colocando-as uma após a outra. Ela 
pode usar todas as pulseiras em apenas um braço 
ou distribuí-las entre os braços direito e esquerdo. 
Daniela considera como um arranjo diferente tanto 
o braço em que as pulseiras são colocadas quanto 
a ordem como elas são distribuídas. As figuras mos-
tram três arranjos diferentes que Daniela pode fa-
zer. 
 
 
 
O número de arranjos diferentes que Daniela pode 
fazer usando todas essas pulseiras é 
 
 
 
a) 240. 
b) 360. 
c) 480. 
d) 600. 
e) 720. 
 
Questão 43 - (UFRGS) 
Tomando os algarismos ímpares para formar nú-
meros com quatro algarismos distintos, a quanti-
dade de números divisíveis por 5 que se pode obter 
é 
 
a) 12. 
b) 14. 
c) 22. 
d) 24. 
e) 26. 
 
Questão 44 - (UniRV GO) 
Um país é formado por quatro regiões A, B, C e D, 
como mostra o mapa seguinte: 
 
 
 
Sabendo-se que esse mapa deve ser colorido de 
modo que regiões com uma fronteira comum te-
nham cores distintas, assinale V (verdadeiro) ou F 
(falso) para as alternativas. 
 
a) É possível colorir o mapa usando apenas três 
cores distintas. 
b) Usando quatro cores distintas, o número de 
maneiras de colorir o mapa é 24. 
c) Com 8 cores distintas disponíveis, e colorindo 
A e D com cores diferentes, existem 1680 ma-
neiras distintas de colorir o mapa. 
d) Com 5 cores distintas disponíveis, e colorindo 
A e D com a mesma cor, existem 60 maneiras 
distintas de colorir o mapa. 
 
Questão 45 - (Faculdade Cesgranrio RJ) 
Existe uma quantidade finita de números naturais 
compreendidos em 1000 e 10000 que, lidos da es-
querda para a direita ou da direita para a esquerda, 
são iguais. Os números 7227 e 1111, por exemplo, 
se enquadram nesse padrão. 
 
Em quantos desses números o algarismo 3 aparece 
exatamente duas vezes? 
 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
Questão 46 - (Faculdade Cesgranrio RJ) 
Em um pequeno restaurante, há pratos amarelos e 
pratos azuis, jogos americanos lisos nas cores 
verde, azul, vermelha ou branca e guardanapos li-
sos nas cores branca ou amarela. Cada lugar, nas 
mesas, é arrumado com um conjunto de três peças 
(um prato, um jogo americano e um guardanapo), 
de tal forma que não haja em um mesmo conjunto 
duas peças de mesma cor. 
 
Dessaforma, quantos lugares, no máximo, podem 
ser arrumados com conjuntos distintos? 
 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
 
 
d) 10 
e) 12 
 
Questão 47 - (OBMEP) 
Um número inteiro positivo é chamado de interes-
sante quando termina com um algarismo que é 
igual ao produto de seus demais algarismos. Por 
exemplo, 326 e 1020 são interessantes, pois 3 × 2 = 
6 e 1× 0 × 2 = 0 . 
 
a) Qual deve ser o valor do algarismo A para que 
o número 14A8 seja interessante? 
b) Quantos números interessantes de quatro al-
garismos terminam com o algarismo 6? 
c) Quantos números interessantes de cinco alga-
rismos terminam com o algarismo 0? 
 
Questão 48 - (OBMEP) 
Um enfeite é formado por um dado encaixado em 
uma cavidade quadrada sobre uma base, como 
mostra a figura. As faces do dado estão numeradas 
de 1 a 6. 
 
 
 
a) De quantas maneiras o dado pode ser encai-
xado na base com a face 1 para cima? 
b) De quantas maneiras o dado pode ser encai-
xado na base? 
c) De quantas maneiras o dado pode ser encai-
xado na base, de modo que pelo menos um 
dos vértices da face 6 fique em contato com a 
base? 
d) De quantas maneiras um dado, encaixado 
como na figura, pode ser reposicionado na 
base, de modo que nenhum número perma-
neça em sua posição original? 
 
Questão 49 - (OBMEP) 
Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. Ele 
quer pintar cada região da figura de uma cor de 
modo que regiões vizinhas tenham cores diferen-
tes. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer 
isso? 
 
 
 
a) 16 
b) 24 
c) 64 
d) 72 
e) 256 
 
Questão 50 - (OBMEP) 
Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da 
outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e 
um carro rosa chegam a esse estacionamento. De 
quantas maneiras diferentes esses carros podem 
ocupar duas vagas de forma que haja pelo menos 
uma vaga livre entre eles? 
 
 
 
a) 56 
b) 70 
c) 71 
d) 72 
 
 
e) 80 
 
Questão 51 - (OBMEP) 
João tem lápis nas cores verde, amarela e preta e 
quer colorir o tabuleiro da figura, de modo que: 
 
 
 
• cada quadradinho deve ser colorido com uma 
única cor; 
• quaisquer dois quadradinhos com um lado co-
mum devem ser coloridos com cores diferentes. 
 
De quantas maneiras diferentes ele pode colorir 
esse tabuleiro? 
 
a) 12 
b) 18 
c) 24 
d) 54 
e) 81 
 
Questão 52 - (OBMEP) 
Para fazer um percurso do ponto P ao ponto Q da 
figura, uma formiguinha deve andar sobre os seg-
mentos horizontais sempre para a direita e nunca 
passar duas vezes por um mesmo segmento verti-
cal. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer 
esse percurso? 
 
 
 
a) 3 
b) 10 
c) 20 
d) 1024 
e) 1536 
 
Questão 53 - (UPE) 
A prova final de Geografia de uma escola é com-
posta de 10 itens com alternativas do tipo “verda-
deiro ou falso”. De quantas maneiras diferentes um 
estudante poderá responder esta prova, de forma 
que ele só assinale apenas uma alternativa em cada 
questão? 
 
a) 20 
b) 64 
c) 256 
d) 512 
e) 1024 
 
Questão 54 - (ESPM SP) 
Usando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 em 
ordem estritamente crescente da esquerda para a 
direita, podemos formar vários números de 3 alga-
rismos. A quantidade desses números que são múl-
tiplos de 15 é igual a: 
 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
e) 2 
 
Questão 55 - (FGV ) 
a) Um código de três algarismos para certas fe-
chaduras usa os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 
de acordo com as seguintes restrições: o 
 
 
primeiro algarismo não pode ser 1 ou 2; o se-
gundo algarismo tem de ser 1 ou 2; e o se-
gundo e terceiro algarismos não podem ser, 
ambos, 1 no mesmo código. Quantos códigos 
diferentes são possíveis? 
b) Cada um dos 11 participantes de um con-
gresso de cardiologia vai ser identificado com 
uma senha diferente consistindo ou de uma 
simples letra ou de um par de letras distintas 
escritas em ordem alfabética. Qual é o menor 
número de letras que pode ser usado? 
 
Questão 56 - (UNIC MT) 
Visando preparar sugestões de cardápios, o Depar-
tamento de Nutrição de um hospital, para montar 
a refeição saudável de um paciente, concluiu que 
deverão ser combinados um tipo de grão e 3 legu-
mes, ou então 2 tipos de grão e 2 legumes. Além 
disso, deverá ser incluída também uma carne. 
Se estão disponíveis 3 opções de grãos, 4 de legu-
mes e 3 de carnes, o número de refeições distintas 
que podem ser montadas é 
 
01. 24 
02. 52 
03. 76 
04. 90 
05. 128 
 
Questão 57 - (Universidade Iguaçu RJ) 
Para organizar o fichário de uma Clínica, um funci-
onário escreveu n números de 4 algarismos com os 
símbolos 2, 3, 4, 5 e 6. 
Calculando, corretamente, pode-se afirmar que n é 
igual a 
 
01) 48 
02) 60 
03) 96 
04) 120 
05) 240 
 
Questão 58 - (IFMT) 
No lançamento de uma moeda, os resultados obti-
dos podem ser "cara" ou "coroa". Considerando 
uma sequência de 5 lançamentos e representando 
a face "cara" por C e a "coroa" por K, uma possível 
sequência obtida após os lançamentos é CKCKC. 
Então, as possibilidades de sequência dos resulta-
dos de 5 lançamentos em que sejam obtidas pelo 
menos 3 coroas é igual a : 
 
a) 30 
b) 16 
c) 24 
d) 21 
e) 18 
 
Questão 59 - (Escola Bahiana de Medicina e Sa-
úde Pública) 
Uma estudo foi dividido em quatro tópicos distin-
tos, ficando cada um deles sob a responsabilidade 
de dois pesquisadores, de modo que nenhum pes-
quisador fizesse parte de mais de um grupo. Para 
uma apresentação pública do referido estudo, de-
seja-se formar uma equipe com quatro desses pes-
quisadores de modo que nenhuma dupla responsá-
vel por um mesmo tópico faça parte da equipe. 
 
Nessas condições, o maior número de equipes dis-
tintas que pode ser formado é igual a 
 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
 
Questão 60 - (UEFS BA) 
 
 
Uma estudante ainda tem dúvidas quanto aos qua-
tro últimos dígitos do número do celular de seu 
novo colega, pois não anotou quando ele lhe infor-
mou, apesar de saber quais são não se lembra da 
ordem em que eles aparecem. 
 
Nessas condições, pode-se afirmar que o número 
de possibilidades para a ordem desses quatro dígi-
tos é 
 
01. 240 
02. 160 
03. 96 
04. 24 
05. 16 
 
GABARITO: 
1) Gab: E 
 
2) Gab: B 
 
3) Gab: D 
Resolução: Cada item do cardápio da escola pode 
ser combinado com as quantidades dos outros. 
Pelo princípio multiplicativo, temos, 2 x 4 x 3 x 6 = 
144 maneiras diferentes de os pedidos serem fei-
tos. 
 
4) Gab: C 
 
5) Gab: B 
 
6) Gab: E 
 
7) Gab: D 
 
8) Gab: B 
 
9) Gab: B 
 
10) Gab: 03 
 
11) Gab: 28 
 
12) Gab: B 
 
13) Gab: B 
 
14) Gab: C 
 
15) Gab: C 
 
16) Gab: A 
 
17) Gab: E 
 
18) Gab: A 
 
19) Gab: D 
 
20) Gab: VFFV 
 
21) Gab: C 
 
22) Gab: 05 
 
23) Gab: 01 
 
 
 
24) Gab: D 
 
25) Gab: E 
 
26) Gab: E 
 
27) Gab: B 
 
28) Gab: B 
 
29) Gab: D 
Os rapazes devem se sentar juntos ao redor da 
mesa; escolhemos primeiramente três posições vi-
zinhas e a ordem dos rapazes nas posições escolhi-
das: isso pode ser feito de 6 6 = 36 modos diferen-
tes. Fixemos uma dessas escolhas. Para raciocinar, 
digamos que foi escolhida a seguinte acomodação 
para os rapazes (observe que não há perda de ge-
neralidade aqui): 
 
Vamos pensar na acomodação das moças. Na ca-
deira de número 6 não deve se sentar a namorada 
do rapaz 1 e, assim, há dois casos a considerar: 
 Na cadeira 6 senta-se a moça que namora o ra-
paz 2. Nesse caso, como na cadeira 4 não deve se 
sentar a moça que namora o rapaz 3, há somente 
uma possibilidade de acomodação das moças. Fa-
zendo variar a posição dos rapazes, há, portanto, 
um total de 1 36 = 36 possibilidades. 
 Na cadeira 6 senta-se a moça que namora o ra-
paz 3. As cadeiras 4 e 5 podem ser usadas pelas na-
moradas dos rapazes 1 e 2 (duas possibilidades). 
Fazendo variar a posição dos rapazes, há, portanto, 
um total de 2 36 = 72 possibilidades.Somando os 
dois casos acima, concluímos que há 36 + 72 = 108 
possibilidades de ocupar as cadeiras, de acordo 
com as exigências do enunciado. 
 
OUTRA SOLUÇÃO: 
Pensando primeiramente no trio de homens, 
chamaremos o que fica entre os outros dois de “ho-
mem central” e os outros dois de “homem da di-
reita” e “homem da esquerda”. 
Em qual cadeira ficará o homem central? 6 possibi-
lidades. 
Qual será o homem central? 3 possibilidades. 
Qual será o homem da direita? 2 possibilidades. 
Qual será o homem da esquerda? 1 possibilidade. 
Após posicionados os homens, vamos chamá-los de 
A, B e C, e as respectivas namoradas de A’, B’ e C’. 
 
Basta decidir agora em qual cadeira B’ (namorada 
do homem central) se sentará, pois, após ela se 
sentar, as posições das outras namoradas ficarão 
amarradas. 
Qual será a posição de B’? 3 possibilidades. 
Qual será a posição de A’? 1 possibilidade. 
Qual será a posição de C’? 1 possibilidade. 
Assim, o número de maneiras de arrumar os 3 ca-
sais nas condições estabelecidas é: 
N = 6 3 2 1 3 1 1 = 108. 
 
30) Gab: D 
A ocupação dos lugares se dá em duas etapas: 
 Inicialmente, os lugares são ocupados de modo 
que não haja cadeiras vizinhas ocupadas, até que 
isto não seja mais possível. 

•

•

     
•
 
 
 A seguir, os demais lugares são ocupados em 
qualquer ordem. Para contar o número de possibi-
lidades de ocupação, vamos, inicialmente, encon-
trar as configurações maximais, para as quais não 
há cadeiras vizinhas ocupadas, mas tais que o pró-
ximo a chegar necessariamente precisará sentar ao 
lado de alguém. Há dois tipos de configurações ma-
ximais: 
 Com 2 pessoas, que devem ocupar os lugares 2 
e 5 
 Com 3 pessoas, que podem ocupar os lugares 1, 
3, 5; 1, 3, 6; 1, 4, 6; ou 2, 4, 6. 
No primeiro caso, há 2 possibilidades para a ordem 
de ocupação dos assentos 2 e 5; para cada uma 
dessas possibilidades os lugares podem ser ocupa-
dos em qualquer ordem, ou seja, há 4 x 3 x 2 x 1 = 
24 possibilidades. 
Para cada uma das 4 situações do segundo caso, há 
3 x 2 x 1 = 6 possibilidades de ordem de ocupação 
dos lugares da configuração maximal; a seguir, para 
cada uma dessas possibilidades, os demais lugares 
também podem ser ocupados em qualquer ordem, 
com um total de 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades. 
Logo, o número total de possibilidades de ocupa-
ção é igual a: 
2 x 24 + 4 x 6 x 6 = 192 possibilidades. 
 
31) Gab: C 
 
32) Gab: B 
 
33) Gab: B 
 
34) Gab: A 
 
35) Gab: B 
 
36) Gab: D 
 
37) Gab: C 
 
38) Gab: D 
 
39) Gab: C 
 
40) Gab: B 
 
41) Gab: C 
 
42) Gab: E 
 
43) Gab: D 
 
44) Gab: VFVV 
 
45) Gab: B 
 
46) Gab: B 
 
47) Gab: 
a) Para que o número 14A8 seja interessante de-
vemos ter: 1 x 4 x A = 8; logo, A = 2. 
b) Queremos os números interessantes do tipo 
ABC6. Isso implica que A x B x C = 6. Temos dois 
casos a considerar: 
● O número 6 é obtido pelo produto de 1, 2, e 3. 
Pelo Princípio Multiplicativo da Contagem, te-
mos 3 x 2 x 1 = 6 números interessantes distin-
tos (permutações de três elementos). É fácil 
encontrá-los: 1236, 1326, 2136, 2316, 3126 e 
3216. 
● O número 6 obtido pelo produto de 1, 1 e 6. Te-
mos 3 números interessantes (basta escolher 
a posição do 6); são eles: 1166, 1616 e 6116. 
Portanto, temos um total de 9 números interessan-
tes de quatro algarismos cujo algarismo da 
unidade é 6. 
•
•
•
 
 
c) Neste item queremos contar quantos são os 
números interessantes da forma ABCD0 Para 
que o produto de 4 números naturais seja 0, 
isto é, para que A x B x C x D = 0, pelo menos 
um deles deve ser 0. Podemos, assim, separar 
os números ABCD de acordo com o número de 
0's que comparecem entre seus algarismos. 
● Com apenas um 0 temos 3 x 9 x 9 x 9 escolhas 
possíveis, três para a posição do 0 (que não 
pode ser na posição A) e, além disso, as outras 
três posições podem ser ocupadas por quais-
quer dos algarismos de 1 a 9. 
● Com dois 0's temos 3 x 9 x 9 possibilidades; o fa-
tor 3 aparece devido às escolhas das posições 
dos dois 0's; as outras duas posições restantes 
podem ser ocupadas por quaisquer algarismos 
de 1 a 9. 
● Com três 0's temos 9 possibilidades. 
Logo, existem 3 x 93 + 3 x 92 + 9 = 2439 números 
interessantes de 5 algarismos que terminam 
com o algarismo 0. 
 
48) Gab: 
a) Se a face 1 fica fixada para cima, então, ao es-
colhermos a número da face que ficará para 
frente a posição do cubo fica determinada. A 
face que ficará na frente pode ser qualquer 
uma desde que não seja a de número 1, nem a 
face oposta à de número 1. Portanto, há qua-
tro possibilidades do dado ser encaixado na 
base com a face 1 para cima. 
b) Há 6 possibilidades para escolher o número 
que fica na base. Depois, para escolher o nú-
mero da face que fica na frente há 4 possibili-
dades. Portanto, pelo princípio multiplicativo, 
há 6 x 4 = 24 possibilidades do dado ser encai-
xado na base. 
c) Das 24 possibilidades encontradas no item b), 
só não servem as quatro em que a face 6 fica 
para cima. Portanto, o número de maneiras de 
reposicionar o cubo de modo a pelo menos um 
dos vértices da face 6 fique em contato com a 
base é 24 4 = 20. 
d) Suponha que inicialmente a face com o nú-
mero 6 esteja em contato com a base e que o 
número escrito na face oposta ao 6 seja o 1. 
Retiramos agora o dado da base. Ao recolocá 
lo na base, a fim de que nenhum número per-
maneça na sua posição original, há três casos 
a considerar: 
● Existem exatamente 2 reposicionamen-
tos em que a face 1 está em contato com 
a base e nenhum outro número perma-
nece na sua mesma posição. 
● Para cada um dos números do conjunto 
{2,3,4,5}, existem exatamente 3 reposici-
onamentos em que ele está em contato 
com a mesa e os demais números não es-
tão na mesma posição. 
● Como não queremos que o 6 permaneça 
em contato com a mesa, este caso não 
conta. 
Logo, o total de reposicionamentos em que 
nenhum número permanece na sua posição 
original é 2 + 3 x 4 = 14. 
 
Outra solução: 
Vamos contabilizar em quantas das 24 possibilida-
des um par de faces opostas se mantém na mesma 
posição original. Para cada um dos 3 pares de faces 
opostas que se mantenham na posição original há 
quatro maneiras de se girar o cubo (sendo que em 
uma delas o cubo inteiro repete a posição original). 
A quantidade de reposicionamentos em que pelo 
menos uma face fica na posição original é igual a 3 
x 4 – 2 = 10 (retiram se dois casos pois a posição 
original foi contada 3 vezes). Portanto, a quanti-
dade de reposicionamentos em que nenhuma face 
fica na posição original é igual a 24 – 10 = 14 casos. 
Para ilustrar o que ocorre, suponha que original-
mente o dado estivesse encaixado como fosse o 
primeiro dado abaixo (o que está sendo apontado 
pela seta). Para facilitar, imagine que as somas dos 
números das faces opostas é 7, como é usual nos 
dados (isto não é, entretanto, essencial). Observe 
que há dez casos ruins, onde os números em ver-
melho (e os correspondentes nas faces opostas) 
permanecem na mesma posição que estavam an-
tes do reposicionamento. Logo, há 14 casos em que 
nenhum número permanece na posição original 
depois do dado ser reposicionado. 
 
 
 
 
49) Gab: D 
 
O círculo é composto de quatro regiões. Rotulamos 
as regiões como na figura. Se começarmos a pintar 
as regiões a partir da menor (c), teremos quatro co-
res para fazê-lo. A região em volta, (d), terá apenas 
três cores disponíveis. As duas outras regiões são 
vizinhas à região (d) e vizinhas entre si; portanto, a 
próxima região a ser pintada tem três cores dispo-
níveis e a última, apenas duas, já que é vizinha de 
duas regiões. Pelo Princípio Multiplicativo, o nú-
mero total de maneiras possíveis de pintar as regi-
ões do círculo é, portanto, 4 x 3 x 3 x 2 = 72. 
Observação: A ordem em que começamos a pintar 
pode ser outra, mas isso pode exigir mais cuidado.Por exemplo, podemos pintar a figura na seguinte 
ordem: a, c, b e d. Para (a), temos 4 possibilidades 
e precisamos dividir em casos. Para a região (c), de-
pende de a cor ser igual ou não à de (a). Se for igual, 
o número total de possibilidades é 4 x 1 x 3 x 2 = 24, 
e se a cor de (a) for diferente da de (c), o número 
de possibilidades é 4 x 3 x 2 x 2 = 48. Assim, se-
guindo este procedimento, o número total de pos-
sibilidades é 48 + 24 = 72. 
 
50) Gab: D 
 
Consideramos dois casos: 
 
a) O motorista do primeiro carro decide estacio-
nar em uma das vagas marcadas com os nú-
meros 1 ou 10. Para cada uma dessas escolhas, 
o segundo motorista terá 8 opções disponíveis 
de estacionamento; logo, nesse caso, há um 
total de 2×8=16 maneiras diferentes para o es-
tacionamento dos carros (utilizamos aqui o 
Princípio Multiplicativo da Contagem). 
b) O motorista do primeiro carro decide estacio-
nar em uma das vagas marcada com os núme-
ros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Para cada uma dessas 
escolhas, o segundo motorista terá 7 opções 
disponíveis de estacionamento; logo, nesse 
caso, há um total de 8×7=56 maneiras diferen-
tes para o estacionamento dos carros. 
De acordo com as situações anteriores, há um total 
de 16+56=72 maneiras diferentes para o estaciona-
mento dos carros (utilizamos aqui o Princípio Adi-
tivo da Contagem). 
 
51) Gab: B 
Solução: Vamos dividir em dois casos: 
 
Caso 1: As casas I e IV devem ser pintadas da 
mesma cor. 
Neste caso, há 3 possibilidades de se pintar a casa 
I, uma só possibilidade de se pintar a casa IV (pois 
sua cor deve ser a mesma que a da casa I), duas 
possibilidades para a casa II e também duas possi-
bilidades para a casa III. Pelo Princípio Multiplica-
tivo da Contagem, há, neste caso, 3 x 1 x 2 x 2 = 12 
possibilidades de pinturas. 
Caso 2: As casas I e IV devem ser pintadas de cores 
diferentes. Neste segundo caso, podemos usar três 
cores para pintar a casa I e duas cores para pintar a 
 
 
casa IV. Como as cores das casas I e IV são diferen-
tes, resta apenas uma possibilidade para se pintar 
a casa II e uma possibilidade para se pintar a casa 
III. Novamente pelo Princípio Multiplicativo, temos, 
neste segundo caso, 3 x 2 x 1 x 1 = 6 possibilidades 
de pinturas. 
Juntando os casos 1 e 2, temos, então, 12 + 6 = 18 
possibilidades no total. 
Tudo o que fizemos foi contar organizadamente as 
possibilidades abaixo, sem a necessidade, entre-
tanto, de listá-las uma a uma. 
 
 
52) Gab: E 
Destacamos os pontos A, B, C e D, conforme a fi-
gura: 
 
I) Há 3 formas distintas de a formiga chegar, 
saindo de P, a um dos pontos A ou B sem andar 
pelo segmento vertical AB (duas maneiras de 
chegar a A – horizontal/vertical ou vertical/ho-
rizontal – e uma só de chegar a B – verti-
cal/vertical/horizontal). 
II) A partir de A, fazendo percursos do tipo H (ho-
rizontal) ou VH (vertical – horizontal), a for-
miga chega de 28 formas distintas a um dos 
pontos C ou D, sem passar pelo segmento CD. 
Além disso, a partir de cada ponto C ou D há 
duas formas distintas de chegar até Q (sendo 
agora permitido passar pelo segmento CD). 
Portanto, pelo princípio multiplicativo, há um 
total de 28×2=29 percursos distintos que a for-
miga pode fazer para chegar de A até Q. Raci-
ocínios similares nos dão um total de 29 
percursos distintos que a formiga pode fazer 
para chegar de B até Q. 
Considerando os casos I) e II), segue do Princípio 
Multiplicativo da Contagem que há um total de 3 x 
29 = 1536 percursos diferentes que a formiga pode 
fazer para sair de P e chegar a Q, seguindo as regras 
do enunciado. 
Segunda solução: 
I) Primeiro consideramos o problema restrito à se-
guinte figura reduzida: 
 
Ou seja, se deseja determinar de quantas maneiras 
diferentes a formiga pode fazer o percurso de A até 
Q, nas mesmas condições do enunciado. As seguin-
tes observações são importantes: 
a) a formiga deverá percorrer exatamente 9 seg-
mentos horizontais até chegar a Q; 
b) como os pontos A e Q não estão situados 
numa mesma linha horizontal, a formiga de-
verá percorrer um número ímpar de segmen-
tos verticais até chegar a Q; 
c) dois movimentos verticais consecutivos não 
podem ser realizados. 
Usaremos a letra H para indicar cada movimento 
sobre um segmento horizontal e V para indicar 
cada movimento sobre um segmento vertical. Na 
tabela a seguir, contendo 19 casas, colocamos 9 le-
tras H que indicam os 9 movimentos horizontais re-
alizados pela formiga em cada caminho. 
 
Cada caminho, realizado pela formiga, é definido 
preenchendo as 10 casas vazias com um número 
ímpar de letras V e as restantes com 0, onde 0 in-
dica que não foi realizado movimento vertical antes 
do início ou depois do final de um segmento hori-
zontal. Por exemplo, a tabela 
 
representa o caminho: 
 
 
 
Finalmente, para cada uma das primeiras 9 casas 
vazias podemos colocar 0 ou V sem distinção, tota-
lizando 29 escolhas distintas. Para cada uma dessas 
escolhas, a última casa vazia fica completamente 
determinada pelo preenchimento das anteriores, 
pois o total de letras V deve ser ímpar; logo, há um 
total de 29 percursos diferentes de A até Q. 
II) Uma análise análoga nos dá que a resposta é a 
mesma (29 escolhas distintas) se trocamos o ponto 
A de partida da formiga pelo ponto B, conforme a 
figura a seguir: 
 
Observação: Nesse caso a número de letras V é par. 
III) Na figura completa: 
 
basta observar que há 3 formas distintas de a for-
miga chegar a um dos pontos A ou B sem andar 
pelo segmento vertical AB. Logo, usando a conta-
gem realizada nos casos I) e II) temos um total de 3 
x 29 = 1536 percursos diferentes que a formiga 
pode fazer. 
 
53) Gab: E 
 
54) Gab: E 
 
55) Gab: 
a) Se o primeiro algarismo não pode ser nem 1, 
nem 2, há 7 possibilidades para o primeiro al-
garismo do código. 
Como o segundo algarismo tem de ser 1 ou 2, 
há 2 possibilidades para o segundo algarismo. 
Se não houvesse restrições, teríamos 9 possi-
bilidades para o terceiro algarismo. 
O número de códigos possíveis seria 7x2x9 = 
126. 
Mas com as restrições, temos de eliminar 3-1-
1; 4-1-1; ...; 9-1-1, ou seja, 7 códigos. São pos-
síveis 126 – 7 = 119 códigos diferentes. 
b) Com duas letras, por exemplo a e b : a ,b ,ab 
temos 3 senhas. 
Com três letra a ,b e c : a ,b ,c ,ab ,ac ,bc temos 
6 senhas. 
Com quatro letras a ,b ,c e d : a ,b ,c ,d ,ab ,ac 
,ad ,bc ,bd ,c d temos 10 senhas. 
Já seria suficiente para afirmarmos que com 
mais de quatro letras teríamos mais de 10 se-
nhas. 
O menor número de letras que pode ser usado 
são 5 letras. 
 
56) Gab: 04 
 
57) Gab: 04 
 
58) Gab: B 
 
59) Gab: C 
 
60) Gab: 04