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Livro Digital Aula 19 – Equações 
Algébricas 
 
ITA/IME 2020 
 
 
 Professor Victor So 
 
 
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Sumário 
Introdução ............................................................................................................... 3 
1. Equações Algébricas ............................................................................................. 4 
1.1. Teorema Fundamental da Álgebra ................................................................................. 4 
1.2. Teorema da raiz complexa conjugada ............................................................................ 7 
1.3. Teorema das raízes irracionais da forma 𝒂 + 𝒃𝒄 ......................................................... 10 
1.4. Teorema das raízes racionais ........................................................................................ 11 
1.5. Teorema de Bolzano ..................................................................................................... 13 
2. Raiz Múltipla e a Derivada Polinomial ................................................................ 16 
3. Máximo Divisor Comum ..................................................................................... 18 
3.1. Raízes comuns ............................................................................................................... 19 
4. Relações de Girard ............................................................................................. 21 
5. Transformações ................................................................................................. 23 
5.1. Transformada aditiva ................................................................................................... 24 
5.2. Transformada multiplicativa ........................................................................................ 26 
5.3. Transformada inversa ou recíproca .............................................................................. 26 
6. Equações recíprocas ........................................................................................... 27 
6.1. Teorema Fundamental .................................................................................................. 27 
6.2. Resolução de uma equação recíproca .......................................................................... 29 
7. Lista de Questões ............................................................................................... 31 
Questões ITA ........................................................................................................................ 32 
Questões IME ....................................................................................................................... 39 
8. Gabarito ............................................................................................................. 43 
Gabarito das Questões ITA .................................................................................................. 43 
Gabarito das Questões IME ................................................................................................. 44 
9. Lista de Questões Resolvidas e Comentadas ...................................................... 44 
Questões ITA Comentadas ................................................................................................... 52 
Questões IME Comentadas .................................................................................................. 81 
10. Considerações Finais da Aula ......................................................................... 104 
11. Referências Bibliográficas .............................................................................. 104 
 
 
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INTRODUÇÃO 
Olá, 
Chegamos à última aula de álgebra para o ITA/IME. Nesta aula, veremos os teoremas 
envolvendo raízes de equações algébricas polinomiais. São diversos teoremas e, para conseguir 
internalizar todos, o recomendado é resolver muitos exercícios! 
Se você for um aluno que já possui alguma base, você pode passar rapidamente pela teoria 
ou, se preferir, ir direto para a lista de questões. Tente resolver todas e, sempre que tiver dúvidas, 
não hesite em nos procurar no fórum de dúvidas. 
Então, vamos à aula. 
Bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 1. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
Estudamos na aula passada que, se um número 𝛼 ∈ ℂ é raiz do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 +
𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, então 𝑃(𝛼) = 0. Vimos pelo Teorema de D’Alembert que isso é 
equivalente a dizer que 𝑃(𝑥) é divisível pelo fator 𝑥 − 𝛼, isto é, 
𝑃(𝛼) = 0 ⇔ 𝑃(𝑥) ⋮ (𝑥 − 𝛼) 
No estudo das equações algébricas, queremos encontrar todos os números 𝛼 ∈ ℂ que 
resultam 𝑃(𝛼) = 0, ou seja, todas as raízes da equação polinomial 𝑃(𝑥) = 0. Podemos encontrar 
essas raízes através da tentativa e erro e usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para reduzir o 
grau do polinômio, mas isso pode ser muito trabalhoso quando o polinômio possui grau elevado, 
como 𝜕𝑃 = 10. Felizmente, temos diversos teoremas que podem auxiliar-nos a encontrar as raízes 
de um polinômio. Vamos estudar um dos mais importantes, o Teorema Fundamental da Álgebra. 
 
1.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
 
Todo polinômio de grau 𝒏 ≥ 𝟏, com coeficiente reais ou complexos, admite pelo menos 
uma raiz complexa. 
 
O Teorema Fundamental da Álgebra (T.F.A.) é um teorema que ajuda bastante na resolução 
de questões sobre polinômios. Não veremos a demonstração desse teorema, pois foge ao escopo 
do curso. Há diversos enunciados para esse teorema, porém, o mais conhecido é esse. Vejamos o 
que podemos extrair dele. 
 
1.1.1. Teorema da decomposição 
 
 Todo polinômio de grau 𝑛 ≥ 1, com coeficiente reais ou complexos, pode ser decomposto 
em um produto de 𝑛 fatores do 1º grau. 
 
Esse teorema diz que dado um polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, ele 
também pode ser escrito da seguinte forma: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛) 
Em que 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 são as raízes do polinômio 𝑃. 
Demonstração 
Seja o polinômio 𝑃 de grau 𝑛 ≥ 1 dado por 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
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Pelo T.F.A., podemos afirmar que 𝑃 admite pelo menos uma raiz complexa. Então, ∃𝛼1 ∈ ℂ 
tal que 𝑃(𝛼1) = 0. Pelo Teorema de D’Alembert, P é divisível por 𝑥 − 𝛼1, desse modo: 
𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼1)𝑄1(𝑥), 𝜕𝑄1 = 𝑛 − 1 
Se 𝑛 = 1, temos que 𝜕𝑄1 = 1 − 1 = 0 e, assim, o polinômio 𝑄1 é um polinômio constante, 
logo: 
𝑛 = 1 ⇒ 𝑃(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ≡ (𝑥 − 𝛼1)𝑄1 
𝑎1 (𝑥 −
𝑎0
𝑎1
) ≡ (𝑥 − 𝛼1)𝑄1 ∴ 𝑄1 ≡ 𝑎1 
Se 𝑛 > 1, 𝑄1 não é um polinômio constante e possui grau 𝑛 − 1, então, podemos aplicar o 
T.F.A. e afirmar que 𝑄1 possui uma raiz 𝛼2 ∈ ℂ tal que 𝑄1(𝛼2) = 0, então: 
𝑄1(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼2)𝑄2(𝑥), 𝜕𝑄2 = 𝑛 − 2 
Seguindo da mesma forma para os polinômios 𝑄𝑖 , 𝑖 = {2, 3, 4, … , 𝑛}, resultantes, temos: 
∃𝛼3 ∈ ℂ tal que 𝑄2(𝛼3) = 0 ∴ 𝑄2(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼3)𝑄3(𝑥), 𝜕𝑄3 = 𝑛 − 3 
∃𝛼4 ∈ ℂ tal que 𝑄3(𝛼4) = 0 ∴ 𝑄3(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼4)𝑄4(𝑥), 𝜕𝑄4 = 𝑛 − 4 
⋮ 
∃𝛼𝑛 ∈ ℂ tal que 𝑄𝑛−1(𝛼𝑛) = 0 ∴ 𝑄𝑛−1(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼𝑛)𝑄𝑛(𝑥), 𝜕𝑄𝑛 = 𝑛 − 𝑛 = 0 
Assim, temos que 𝜕𝑄𝑛 = 0 e pela identidade, podemos afirmar: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ≡ (𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛)𝑄𝑛 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 (𝑥
𝑛 +
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
𝑥𝑛−1 +⋯+
𝑎1
𝑎𝑛
𝑥 +
𝑎0
𝑎𝑛
) ≡ (𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛)𝑄𝑛 
∴ 𝑄𝑛 ≡ 𝑎𝑛 
Portanto, 𝑃 pode ser escrito como 
𝑃(𝑥)≡ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛) 
Em que 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 ∈ ℂ são raízes do polinômio. 
Vamos demonstrar que o produto dos 𝑛 fatores é único. 
Suponha que 𝑃 admita duas decomposições em 𝑛 fatores: 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛)⏟ 
𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑛
≡ 𝑎𝑚 (𝑥 − 𝛼′1)(𝑥 − 𝛼′2)… (𝑥 − 𝛼′𝑛)⏟ 
𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑛
 
Pela definição da identidade, devemos ter 𝑎𝑛 ≡ 𝑎𝑚, logo: 
(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛) ≡ (𝑥 − 𝛼′1)(𝑥 − 𝛼′2)… (𝑥 − 𝛼′𝑛) 
Para 𝑥 = 𝛼1, o polinômio à esquerda zera, logo: 
(𝛼1 − 𝛼1)(𝛼1 − 𝛼2)… (𝛼1 − 𝛼𝑛) ≡ (𝛼1 − 𝛼′1)(𝛼1 − 𝛼′2)… (𝛼1 − 𝛼′𝑛) 
0 ≡ (𝛼1 − 𝛼′1)(𝛼1 − 𝛼′2)… (𝛼1 − 𝛼′𝑛) 
Assim, para a identidade ser satisfeita, devemos ter 𝛼𝑖
′ = 𝛼1, podemos supor, sem perda de 
generalidade, 𝛼1 = 𝛼1
′ e, assim, 
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(𝑥 − 𝛼2)(𝑥 − 𝛼3)… (𝑥 − 𝛼𝑛) ≡ (𝑥 − 𝛼′2)(𝑥 − 𝛼′3)… (𝑥 − 𝛼′𝑛) 
Novamente, agora para 𝑥 = 𝛼2: 
0 ≡ (𝛼2 − 𝛼
′
2)(𝛼2 − 𝛼
′
3)… (𝛼2 − 𝛼
′
𝑛) ⇒ 𝛼2 = 𝛼2
′ 
∴ (𝑥 − 𝛼3)(𝑥 − 𝛼4)… (𝑥 − 𝛼𝑛) ≡ (𝑥 − 𝛼′3)(𝑥 − 𝛼′4)… (𝑥 − 𝛼′𝑛) 
Seguindo de forma análoga para os outros fatores: 
0 ≡ (𝛼3 − 𝛼′3)(𝛼3 − 𝛼′4)… (𝛼3 − 𝛼′𝑛) ⇒ 𝛼3 = 𝛼3
′ 
⋮ 
0 ≡ (𝛼𝑛 − 𝛼′𝑛) ⇒ 𝛼𝑛 = 𝛼𝑛
′ 
Portanto, a decomposição de 𝑃 de grau 𝑛 em 𝑛 fatores é único. 
 
1.1.2. Corolário 
 
 Todo polinômio de grau 𝒏 ≥ 𝟏, com coeficientes reais ou complexos, possui 𝒏, e somente 
𝒏, raízes complexas, podendo ser todas distintas ou não. 
 
Esse é o resultado mais importante dos teoremas vistos. Dado um polinômio de grau 𝑛, 
podemos afirmar que ele possui exatamente 𝑛 raízes complexas, sendo que elas não precisam ser 
distintas entre si. Na ocorrência de haver raízes repetidas, temos que se 𝛼𝑖 é uma raiz repetida 𝑚𝑖 
vezes, dizemos que a raiz 𝛼𝑖 possui multiplicidade 𝑚𝑖, ou seja, dado um polinômio 𝑃 de grau 𝑛 e de 
raízes 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑘 com multiplicidade 𝑚1, 𝑚2, … ,𝑚𝑘, temos: 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)
𝑚1(𝑥 − 𝛼2)
𝑚2 …(𝑥 − 𝛼𝑘)
𝑚𝑘 
 Em que 𝑚1 +𝑚2 +⋯+𝑚𝑘 = 𝑛. 
 Assim, podemos afirmar: 
 
Se 𝜶 é uma raiz de multiplicidade 𝒎 de um polinômio 𝑃 de grau 𝑛, então: 
𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼)𝑚𝑄(𝑥) 𝑒 𝑄(𝛼) ≠ 0 
 
 Exemplos: 
1.1.2.a) 𝑃(𝑥) = 4𝑥10 + 5𝑥6 − 78𝑥2 + 100 
Pelo corolário, temos que 𝑃 admite 10 raízes. 
1.1.2.b) 𝑃(𝑥) = 10(𝑥 − 2)3(𝑥 − 4)7 
Nesse caso, temos que o polinômio 𝑃 possui 3 + 7 = 10 raízes, sendo a raiz 2 de 
multiplicidade 3 e a raiz 4 de multiplicidade 7. 
 
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1.1.2.c) Sabendo que 3 é uma raiz de multiplicidade dupla, resolva a equação: 
𝑥4 − 6𝑥3 + 5𝑥2 + 24𝑥 − 36 = 0 
Sabemos que 3 é uma raiz dupla, logo, podemos aplicar Briot-Ruffini duas vezes e fatorar a 
expressão do quarto grau: 
3 1 −6 5 24 −36 
3 1 −3 −4 12 0 
 1 0 −4 0 
 Assim, a equação pode ser escrita como: 
(𝑥 − 3)2(𝑥2 − 4) = 0 
 Basta resolver a equação quadrática para encontrar as outras raízes: 
𝑥2 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2 
 Portanto, a solução é 𝑆 = {3;±2}. 
 
1.2. TEOREMA DA RAIZ COMPLEXA CONJUGADA 
Uma propriedade que temos com os polinômios complexos é a seguinte: 
Seja 𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎(𝑛−1)𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0 e 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎0 ∈ ℝ, sendo 𝑧̅ o conjugado 
de 𝑧, então: 
𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑃(𝑧̅) 
Demonstração 
𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑎𝑛𝑧
𝑛 + 𝑎(𝑛−1)𝑧
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑎𝑛𝑧
𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + ⋯+ 𝑎0̅̅ ̅ 
Como os coeficientes do polinômio são todos reais, o conjugado deles não altera seu valor: 
𝑎𝑛𝑧
𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + ⋯+ 𝑎0̅̅ ̅ = 𝑎𝑛𝑧
𝑛̅̅ ̅ + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1̅̅ ̅̅ ̅̅ + ⋯+ 𝑎0 
Das propriedades dos números complexos: 
𝑧𝑛̅̅ ̅ = 𝑧̅𝑛 
Substituindo na equação, encontramos: 
𝑎𝑛𝑧
𝑛̅̅ ̅ + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1̅̅ ̅̅ ̅̅ + ⋯+ 𝑎0 = 𝑎𝑛𝑧̅
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧̅
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0 = 𝑃(𝑧̅) 
Vamos ao teorema: 
 
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 ∈ ℝ e 𝛽 ∈ ℝ∗) como raiz, 
então 𝑎 − 𝑏𝑖 também será raiz da equação. 
 
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Atenção nesse teorema! Se uma equação polinomial possui todos os coeficientes reais e uma 
de suas raízes é complexa, então, o conjugado dessa raiz também é raiz! Por exemplo, se a questão 
afirma que 𝑖 é raiz do polinômio 𝑃 de coeficiente reais, então, podemos afirmar que −𝑖 também é 
raiz, ou seja, 𝑃(𝑖) = 𝑃(−𝑖) = 0. 
Demonstração 
𝑧 é raiz ⇒ 𝑃(𝑧) = 0 
Aplicando o conjugado nos dois lados da equação: 
𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 0̅ 
Como 0 é real, temos 0̅ = 0, logo: 
𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 0 
Usando o que acabamos de provar: 
𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑃(𝑧̅) 
Portanto: 
𝑃(𝑧̅) = 0 
 
 Outro teorema que temos é o seguinte: 
 
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 ∈ ℝ e 𝛽 ∈ ℝ∗) como raiz 
de multiplicidade 𝑚, então 𝑎 − 𝑏𝑖 também será raiz da equação com a mesma multiplicidade. 
 
 Demonstração 
 Suponha que a equação polinomial de coeficientes reais 𝑃(𝑥) = 0 admite como raízes 𝑎 +
𝑏𝑖 de multiplicidade 𝑚 e 𝑎 − 𝑏𝑖 de multiplicidade 𝑚′ tal que 𝑚 > 𝑚′. Então, podemos escrever: 
𝑃(𝑥) ≡ [𝑥 − (𝑎 + 𝑏𝑖)]𝑚
′
[𝑥 − (𝑎 − 𝑏𝑖)]𝑚
′
𝑄(𝑥) 
 Como 𝑚 > 𝑚′, temos que 𝑄(𝑥) possui 𝑚 −𝑚′ fatores 𝑥 − (𝑎 + 𝑏𝑖) e nenhum fator 𝑥 −
(𝑎 − 𝑏𝑖). Logo, 𝑄(𝑥) possui coeficientes complexos. 
 Multiplicando os fatores dos divisores acima, temos: 
𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎) + 𝑏𝑖]𝑚
′
[(𝑥 − 𝑎) − 𝑏𝑖]𝑚
′
𝑄(𝑥) 
𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎)2 − (𝑏𝑖)2]𝑚
′
𝑄(𝑥) 
𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑏2]𝑚
′
𝑄(𝑥) 
 Sabemos que 𝑃(𝑥) possui apenas coeficientes reais e o fator [(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑏2]𝑚
′
 também 
possui apenas coeficientes reais, logo 𝑄(𝑥) deve possuir apenas coeficientes reais. Isso é um 
absurdo, dado que 𝑄(𝑥) possui coeficientes complexos. Portanto, 𝑚 = 𝑚′. 
 
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1) Seja 𝑃(𝑧) = 𝑧4 − 𝑧3 − 5𝑧2 − 𝑧 − 6. Sabe-se que 𝑖 é uma das raízes de 𝑃, calcule as outras 
raízes. 
Resolução: 
Como os coeficientes de 𝑃 são todos reais, temos pelo teorema das raízes complexas que 
−𝑖 também é raiz. Logo, aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para fatorar o 
polinômio: 
 
Assim, temos: 
𝑝(𝑧) = (𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖)(𝑧2 − 𝑧 − 6) = 0 
𝑧2 − 𝑧 − 6 = 0 ⇒ 𝑧1 = 3 𝑒 𝑧2 = −2 
 As raízes são: ±𝑖, 3 e − 2. 
Gabarito: ±𝒊, 𝟑 𝐞 − 𝟐. 
 
2) Calcule as raízes do polinômio 𝑃(𝑧) = 1 + 𝑧 + 𝑧2 + 𝑧3 + 𝑧4. 
Resolução: 
O polinômio é a soma de uma PG de razão 𝑧, usando a fórmula da soma de uma PG temos: 
𝑆𝑛 =
𝑎1(𝑞
𝑛−1)
𝑞−1
 
𝑃(𝑧) =
𝑧5−1
𝑧−1
, 𝑧 ≠ 1 
Logo: 
𝑧5 − 1 = 0 ⇒ 𝑧5 = 1 = 𝑐𝑖𝑠(2𝑘𝜋), 𝑘 = 0,1,2, … 
Aplicando a fórmula de Moivre: 
𝑧 = 𝑐𝑖𝑠 (
2𝑘𝜋
5
) 
Encontramos as raízes: 
𝑧1 = 𝑐𝑖𝑠(0) = 1, 𝑧2 = 𝑐𝑖𝑠 (
2𝜋
5
) , 𝑧3 = 𝑐𝑖𝑠 (
4𝜋
5
) , 𝑧4 = 𝑐𝑖𝑠 (
6𝜋
5
) 𝑒 𝑧5 = 𝑐𝑖𝑠 (
8𝜋
5
) 
Gabarito: 𝒛𝟏 = 𝒄𝒊𝒔(𝟎) = 𝟏, 𝒛𝟐 = 𝒄𝒊𝒔 (
𝟐𝝅
𝟓
) , 𝒛𝟑 = 𝒄𝒊𝒔 (
𝟒𝝅
𝟓
) , 𝒛𝟒 = 𝒄𝒊𝒔 (
𝟔𝝅
𝟓
) 𝒆 𝒛𝟓 = 𝒄𝒊𝒔 (
𝟖𝝅
𝟓
) 
 
i 1 -1 -5 -1 -6
-i 1 -1+i -i-6 -6i 0
1 -1 -6 0
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1.3. TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS DA FORMA 𝒂 + 𝒃√𝒄 
 
 Se uma equação polinomial de coeficientes racionais admite 𝑎 + 𝑏√𝑐 como raiz, com 𝑎 ∈
ℚ, 𝑏 ∈ ℚ∗ e 𝑐 ∈ ℚ+
∗ , então 𝑎 − 𝑏√𝑐 também será raiz da equação. 
 
 Esse teorema é parecido com o teorema da raiz complexa conjugada. Vamos demonstrá-la. 
 Demonstração 
 Seja 𝑃 um polinômio de coeficientes racionais que admite 𝑎 + 𝑏√𝑐 como raiz, com𝑎 ∈
ℚ, 𝑏 ∈ ℚ∗ e 𝑐 ∈ ℚ+
∗ . Então, vamos dividir 𝑃 pelos fatores 𝑥 − (𝑎 + 𝑏√𝑐) e 𝑥 − (𝑎 − 𝑏√𝑐). Pela 
definição de divisão: 
𝑃(𝑥) ≡ [𝑥 − (𝑎 + 𝑏√𝑐)][𝑥 − (𝑎 − 𝑏√𝑐)]⏟ 
𝑔𝑟𝑎𝑢 2
𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
 Como o divisor possui grau 2, temos que 𝑅(𝑥) = 𝛼𝑥 + 𝛽. 
 Multiplicando os fatores, obtemos: 
𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎) − 𝑏√𝑐][(𝑥 − 𝑎) + 𝑏√𝑐]𝑄(𝑥) + 𝛼𝑥 + 𝛽 
𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎)2 − (𝑏√𝑐)
2
] 𝑄(𝑥) + 𝛼𝑥 + 𝛽 
𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎)2 − 𝑏2𝑐]𝑄(𝑥) + 𝛼𝑥 + 𝛽 
 Como 𝑃(𝑥) e [(𝑥 − 𝑎)2 − 𝑏2𝑐] possuem apenas coeficientes racionais, temos que 𝑄(𝑥) e 
𝛼𝑥 + 𝛽 também devem possuir apenas coeficientes racionais. Sabendo que 𝑎 + 𝑏√𝑐 é raiz, temos: 
𝑃(𝑎 + 𝑏√𝑐) = 0 ⇒ 𝑅(𝑎 + 𝑏√𝑐) = 0 
𝛼(𝑎 + 𝑏√𝑐) + 𝛽 = 0 
𝑎𝛼 + 𝛽 + 𝑏√𝑐𝛼 = 0 
 Para essa equação ser verdadeira, devemos ter: 
𝑏√𝑐𝛼 = 0 𝑒 𝑎𝛼 + 𝛽 = 0 
 Como 𝑏√𝑐 ≠ 0, temos 𝛼 = 0, o que implica 𝛽 = 0. Logo, o resto da divisão de 𝑃 por 
[(𝑥 − 𝑎) − 𝑏√𝑐][(𝑥 − 𝑎) + 𝑏√𝑐] é nulo. 
𝑅(𝑥) ≡ 0 
 Portanto, 𝑎 − 𝑏√𝑐 também é raiz de 𝑃. 
 
 Desse teorema, podemos enunciar: 
 
 
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Se uma equação polinomial de coeficientes racionais admite 𝑎 + 𝑏√𝑐 como raiz de 
multiplicidade 𝑚, com 𝑎 ∈ ℚ, 𝑏 ∈ ℚ∗ e 𝑐 ∈ ℚ+
∗ , então 𝑎 − 𝑏√𝑐 também será raiz da equação de 
mesma multiplicidade. 
 
 
 A demonstração desse teorema é parecida com aquela realizada para a multiplicidade das 
raízes complexas. 
 
1.4. TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 
 
 Se a equação polinomial de coeficientes inteiros 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 +
𝑎0 = 0 admite 𝑝/𝑞 (𝑝 ∈ ℤ, 𝑞 ∈ ℤ
∗ e 𝑝 e 𝑞 primos entre si) como raiz, então 𝑝 é divisor de 𝑎0 e 𝑞 e 
divisor de 𝑎𝑛. 
 
 Esse teorema nos permite encontrar as raízes de um polinômio de coeficientes inteiros 
através de um método mais refinado da tentativa e erro. Ele é baseado nos coeficientes do 
polinômio. Vejamos sua demonstração. 
 Demonstração 
 Se 𝑝/𝑞 é raiz da equação polinomial de coeficientes inteiros 𝑃(𝑥) = 0, então: 
𝑃 (
𝑝
𝑞
) = 0 ⇒ 𝑎𝑛 (
𝑝
𝑞
)
𝑛
+ 𝑎𝑛−1 (
𝑝
𝑞
)
𝑛−1
+⋯+ 𝑎1 (
𝑝
𝑞
) + 𝑎0 = 0 
𝑎𝑛𝑝
𝑛
𝑞𝑛
+
𝑎𝑛−1𝑝
𝑛−1
𝑞𝑛−1
+⋯+
𝑎1𝑝
𝑞
+ 𝑎0 = 0 
 Multiplicando a equação por 𝑞𝑛: 
𝑎𝑛𝑝
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝
𝑛−1𝑞 + ⋯+ 𝑎1𝑝𝑞
𝑛−1 + 𝑎0𝑞
𝑛 = 0 
 Assim, temos: 
𝑎𝑛𝑝
𝑛 = −(𝑎𝑛−1𝑝
𝑛−1𝑞 + ⋯+ 𝑎1𝑝𝑞
𝑛−1 + 𝑎0𝑞
𝑛) 
⇒ 𝑎𝑛𝑝
𝑛 = −𝑞 (𝑎𝑛−1𝑝
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑝𝑞
𝑛−2 + 𝑎0𝑞
𝑛−1)⏟ 
𝑘1∈ℤ
 
𝑎0𝑞
𝑛 = −(𝑎𝑛𝑝
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝
𝑛−1𝑞 + ⋯+ 𝑎1𝑝𝑞
𝑛−1)⏟ 
⇒ 𝑎0𝑞
𝑛 = −𝑝 (𝑎𝑛𝑝
𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑝
𝑛−2𝑞 + ⋯+ 𝑎1𝑞
𝑛−1)⏟ 
𝑘2∈ℤ
 
 Como os coeficientes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, 𝑝 e 𝑞 são números inteiros, então, considerando 𝑝 ≠
0: 
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𝑎𝑛𝑝
𝑛 = −𝑞𝑘1, 𝑘1 ∈ ℤ 
⇒
𝑎𝑛𝑝
𝑛
𝑞
= −𝑘1 ∈ ℤ 
𝑎0𝑞
𝑛 = −𝑝𝑘2, 𝑘2 ∈ ℤ 
⇒
𝑎0𝑞
𝑛
𝑝
= −𝑘2 ∈ ℤ 
Como 𝑝 e 𝑞 são primos entre si, temos que 𝑝𝑛 e 𝑞 são primos entre si e 𝑝 e 𝑞𝑛 são primos 
entre si, logo: 
𝑎𝑛𝑝
𝑛
𝑞
∈ ℤ ⇒ 𝑞 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑛 
𝑎0𝑞
𝑛
𝑝
∈ ℤ ⇒ 𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎0 
 
Esse teorema que acabamos de provar diz que, se um polinômio de coeficientes inteiros 
admite um número racional 𝑝/𝑞 como raiz, então 𝑝 é um fator do número 𝑎0 e 𝑞 é um fator do 
número 𝑎𝑛. Vejamos na prática como usamos esse teorema. 
1.4.a) Encontre todas as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 4. 
Como o polinômio possui apenas coeficientes inteiros, podemos aplicar o teorema das raízes 
racionais. Então, se 𝑝/𝑞 for raiz do polinômio, temos que 𝑝 divide 𝑎0 = 4 e 𝑞 divide 𝑎3 = 3. Assim, 
analisemos os divisores de 𝑎0 = 4 e 𝑎3 = 3. 
Divisores de 𝑎0 = 4: 
4 = 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⇒ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠(4) ∈ {1, 2, 4}⏟ 
𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝
 
Divisores de 𝑎3 = 3: 
3 = 1 ⋅ 3 ⇒ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠(3) ∈ {1, 3}⏟ 
𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞
 
Dos possíveis valores de 𝑝 e 𝑞, devemos considerar a possibilidade de 𝑝/𝑞 ser um número 
negativo. Desse modo, temos: 
𝑝
𝑞
∈ ± {1; 2; 4;
1
3
;
2
3
;
4
3
} 
Esses são os candidatos às raízes, para saber quem é raiz, precisamos testar cada uma delas. 
Temos 6 possibilidades para os positivos e 6 possibilidades para os negativos, totalizando 12 
possibilidades. Fazendo os testes: 
𝑝(1) = 3(1)3 − 5(1)2 − 4(1) + 4 = −2 
𝑝(−1) = 3(−1)3 − 5(−1)2 − 4(−1) + 4 = 0 ⇒ −1 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 
𝑝(2) = 3(2)3 − 5(2)2 − 4(2) + 4 = 0 ⇒ 2 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 
𝑝(−2) = 3(−2)3 − 5(−2)2 − 4(−2) + 4 = −32 
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𝑝(4) = 3(4)3 − 5(4)2 − 4(4) + 4 = 100 
𝑝(−4) = 3(−4)3 − 5(−4)2 − 4(−4) + 4 = −252 
𝑝 (
1
3
) = 3 (
1
3
)
3
− 5(
1
3
)
2
− 4(
1
3
) + 4 =
20
9
 
𝑝 (−
1
3
) = 3 (−
1
3
)
3
− 5(−
1
3
)
2
− 4(−
1
3
) + 4 =
14
3
 
𝑝 (
2
3
) = 3 (
2
3
)
3
− 5(
2
3
)
2
− 4(
2
3
) + 4 = 0 ⇒
2
3
 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 
𝑝 (−
2
3
) = 3 (−
2
3
)
3
− 5(−
2
3
)
2
− 4(−
2
3
) + 4 =
32
9
 
𝑝 (
4
3
) = 3 (
4
3
)
3
− 5(
4
3
)
2
− 4(
4
3
) + 4 = −
28
9
 
𝑝 (−
4
3
) = 3 (−
4
3
)
3
− 5(−
4
3
)
2
− 4(−
4
3
) + 4 = −
20
3
 
Portanto, as raízes de 𝑝 são os números −1, 2 e 2/3. 
 
1.5. TEOREMA DE BOLZANO 
O Teorema de Bolzano nos permite determinar o número de raízes reais em um determinado 
intervalo real. 
Enunciemos. 
 
 Se 𝑃(𝑥) = 0 é uma equação polinomial com coeficientes reais e ]𝑎, 𝑏[ é um intervalo real 
aberto, então: 
 𝑷(𝒂) ⋅ 𝑷(𝒃) > 𝟎 implica que o polinômio 𝑃 possui um número par de raízes ou nenhuma 
raiz no intervalo ]𝑎, 𝑏[. 
𝑷(𝒂) ⋅ 𝑷(𝒃) < 𝟎 implica que o polinômio 𝑃 possui um número ímpar de raízes no intervalo 
]𝑎, 𝑏[. 
 
 Demonstração 
 Seja 𝑃(𝑥) = 0 uma equação polinomial de coeficientes reais tal que grau de 𝑃 é igual a 𝑛. 
Como o polinômio possui grau 𝑛, podemos afirmar que 𝑃 admite 𝑛 raízes complexas. Indiquemos 
as raízes reais por 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑘 e as raízes complexas por 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑚. Pelo teorema da raiz 
complexa conjugada e pelo fato de o polinômio possuir apenas coeficientes reais, podemos afirmar 
que 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑞 também são raízes. Logo, pelo teorema da decomposição, podemos escrever: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑘)(𝑥 − 𝑧1)(𝑥 − 𝑧1)… (𝑥 − 𝑧𝑚)(𝑥 − 𝑧𝑚) 
 Consideremos o produto dos fatores complexos como um polinômio 𝑄(𝑥), desse modo: 
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𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑧1)(𝑥 − 𝑧1)… (𝑥 − 𝑧𝑚)(𝑥 − 𝑧𝑚) 
 Vamos analisar o produto de cada par de fatores (𝑥 − 𝑧𝑖)(𝑥 − 𝑧𝑖) e usar a forma algébrica 
dos complexos: 
𝑧 = 𝛼 + 𝛽𝑖; 𝛼 ∈ ℝ e 𝛽 ∈ ℝ∗ 
(𝑥 − 𝑧)(𝑥 − 𝑧) = [(𝑥 − (𝛼 + 𝛽𝑖)][(𝑥 − (𝛼 − 𝛽𝑖)] = [(𝑥 − 𝛼) − 𝛽𝑖][(𝑥 − 𝛼) + 𝛽𝑖] 
∴ (𝑥 − 𝑧)(𝑥 − 𝑧) = (𝑥 − 𝛼)2 + 𝛽2 > 0; ∀𝑥 ∈ ℝ 
 Assim, cada par de fatores de raízes complexas conjugadas gera uma função em 𝑥 sempre 
maior que zero para qualquer valor de 𝑥. Portanto, podemos afirmar que 𝑄(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ. 
∴ 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑘)𝑄(𝑥); 𝑄(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ ℝ 
 Agora, vamos analisar os valores de 𝑃 no intervalo aberto ]𝑎; 𝑏[. 
 Note que para 𝛼𝑖 , 𝑖 ∈ {1, 2, … , 𝑘}, temos: 
• 𝑎 < 𝛼𝑖 < 𝑏 (𝛼𝑖 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ]𝑎; 𝑏[ ) 
{
𝑎 − 𝛼𝑖 < 0
𝑏 − 𝛼𝑖 > 0
⇒ (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) < 0 
 
• 𝛼𝑖 < 𝑎 < 𝑏 ou 𝑎 < 𝑏 < 𝛼𝑖 (𝛼𝑖 𝑒𝑠𝑡á 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ]𝑎; 𝑏[ ) 
𝛼𝑖 < 𝑎 < 𝑏 ⇒ {
𝑎 − 𝛼𝑖 > 0
𝑏 − 𝛼𝑖 > 0
⇒ (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) > 0 
 
𝑎 < 𝑏 < 𝛼𝑖 ⇒ {
𝑎 − 𝛼𝑖 < 0
𝑏 − 𝛼𝑖 < 0
⇒ (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) > 0 
 
 Analisemos o produto 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏): 
𝑃(𝑎)= 𝑎𝑛 ⋅ 𝑄(𝑎) ⋅ (𝑎 − 𝛼1)(𝑎 − 𝛼2)… (𝑎 − 𝛼𝑘) 
𝑃(𝑏) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑄(𝑏) ⋅ (𝑏 − 𝛼1)(𝑏 − 𝛼2)… (𝑏 − 𝛼𝑘) 
⇒ 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏) = 𝑎𝑛
2⏟
>0
⋅ 𝑄(𝑎) ⋅ 𝑄(𝑏)⏟ 
>0
⋅ (𝑎 − 𝛼1)(𝑏 − 𝛼1)(𝑎 − 𝛼2)(𝑏 − 𝛼2)… (𝑎 − 𝛼𝑘)(𝑏 − 𝛼𝑘) 
 A equação acima nos permite inferir que o produto 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏) possui o mesmo sinal do 
produto (𝑎 − 𝛼1)(𝑏 − 𝛼1)(𝑎 − 𝛼2)(𝑏 − 𝛼2)… (𝑎 − 𝛼𝑘)(𝑏 − 𝛼𝑘). Vimos que, se a raiz 𝛼𝑖 estiver 
dentro do intervalo ]𝑎; 𝑏[, o produto (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) < 0, e se ela estiver fora do intervalo ]𝑎; 𝑏[ 
esse produto será positivo. Logo, devemos analisar apenas a quantidade de raízes dentro do 
intervalo. Assim, temos as seguintes possibilidades: 
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• 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏) > 0 
Nesse caso, temos um número par de fatores negativos (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) e, portanto, 
um número par de raízes no intervalo ]𝑎; 𝑏[. 
 
• 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏) < 0 
Aqui, temos um número ímpar de fatores negativos (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) e, 
consequentemente, um número ímpar de raízes no intervalo ]𝑎; 𝑏[. 
 
 Portanto, está provado o Teorema de Bolzano. 
 Vejamos um exemplo de aplicação para o teorema. 
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 1.5.a) Determine os possíveis valores de 𝑎 ∈ ℝ, de modo que a equação 𝑎𝑥4 + 3𝑥2 − 2 = 0 
tenha um número par de raízes no intervalo ]0; 3[. 
 Vamos aplicar o Teorema de Bolzano e calcular os valores de 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 3𝑥2 − 2 para os 
extremos do intervalo ]0; 3[: 
𝑃(0) = −2 
𝑃(3) = 𝑎 ⋅ 34 + 3 ⋅ 32 − 2 = 81𝑎 + 25 
 Queremos um número par de raízes no intervalo, logo, devemos ter 𝑃(0) ⋅ 𝑃(3) > 0: 
−2 ⋅ (81𝑎 + 25) > 0 
81𝑎 + 25 < 0 
∴ 𝑎 < −
25
81
 
 
2. RAIZ MÚLTIPLA E A DERIVADA POLINOMIAL 
Vimos que um polinômio 𝑃 possui raiz 𝛼 de multiplicidade 𝑚 se, e somente se, puder ser 
escrito da seguinte forma: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑚 ⋅ 𝑄(𝑥); 𝑄(𝛼) ≠ 0 
Há uma ferramenta muito poderosa que nos permite analisar a multiplicidade da raiz de um 
polinômio. Ela envolve a derivada da função polinomial. Enunciemos o teorema. 
 
 O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 é divisível por (𝑥 − 𝛼)
𝑚 tal que 𝑚 ≤
𝑛 se, e somente se, 𝑃(𝛼) = 𝑃′(𝛼) = 𝑃′′(𝛼) = ⋯ = 𝑃𝑚−1(𝛼) = 0. 
 
Esse teorema afirma que se um polinômio admite uma raiz com multiplicidade 𝑚, então, as 
derivadas de ordem 𝑘 desse polinômio, com 𝑘 ∈ {1, 2, 3, … ,𝑚 − 1}, também possuem a mesma 
raiz. 
Demonstração 
Para demonstrar esse teorema, lembremos da derivada do produto de funções e da derivada 
de um monômio: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ′(𝑥) 
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 ⇒ 𝐹′(𝑥) = 𝑛𝑎𝑛𝑥
𝑛−1 
Assim, tomemos o polinômio 𝑃: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑚 ⋅ 𝑄(𝑥) 
⇒ 𝑃′(𝑥) = 𝑚(𝑥 − 𝛼)𝑚−1 ⋅ 𝑄(𝑥) + (𝑥 − 𝛼)𝑚 ⋅ 𝑄′(𝑥) 
⇒ 𝑃′(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑚−1[𝑚 ⋅ 𝑄(𝑥) + (𝑥 − 𝛼) ⋅ 𝑄′(𝑥)] 
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Como 𝛼 é uma raiz de multiplicidade 𝑚 ≠ 0, temos que 𝑚 ⋅ 𝑄(𝛼) ≠ 0. Desse modo, temos: 
𝑚 ⋅ 𝑄(𝛼)⏟ 
≠0
+ (𝛼 − 𝛼)⏟ 
=0
⋅ 𝑄′(𝛼) = 𝑚 ⋅ 𝑄(𝛼) 
Portanto, 𝛼 é raiz de multiplicidade 𝑚 − 1 do polinômio 𝑃′(𝑥). 
Usando o mesmo raciocínio, conseguimos provar que se 𝛼 é raiz de multiplicidade 𝑚, então: 
𝑃(𝛼) = 𝑃′(𝛼) = 𝑃′′(𝛼) = ⋯ = 𝑃𝑚−1(𝛼) = 0 
 
Exemplo 
2.a) Sabendo que a equação 𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 − 8 = 0 possui uma raiz de multiplicidade 
3, determine as raízes da equação. 
Seja 𝑎, a raiz de multiplicidade 3. Então, para 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 − 8, devemos 
ter: 
𝑃(𝑎) = 𝑃′(𝑎) = 𝑃′′(𝑎) = 0 
Calculando as derivadas: 
𝑃′(𝑥) = 4𝑥3 − 15𝑥2 + 12𝑥 + 4 
𝑃′′(𝑥) = 12𝑥2 − 30𝑥 + 12 
Como 𝑎 é raiz de multiplicidade 3, temos: 
𝑃′′(𝑎) = 0 ⇒ 12𝑎2 − 30𝑎 + 12 = 0 
𝑎 =
15 ± √225 − 144
12
=
15 ± 9
12
= 2 𝑜𝑢
1
2
 
Encontramos duas possíveis raízes, uma delas é a raiz da equação polinomial 𝑃(𝑥) = 0. 
Vamos testar os valores em 𝑃′(𝑥) = 0: 
𝑃′ (
1
2
) = 4 (
1
2
)
3
− 15 (
1
2
)
2
+ 12 (
1
2
) + 4 =
27
4
 
𝑃′(2) = 4(2)3 − 15(2)2 + 12(2) + 4 = 0 
Assim, verificamos que 2 é a raiz de multiplicidade 3 da equação, pois 𝑃′′(2) = 𝑃′(2) = 0. 
Podemos testar a raiz no polinômio 𝑃: 
𝑃(2) = (2)4 − 5(2)3 + 6(2)2 + 4(2) − 8 = 0 
Para determinar a última raiz, podemos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
2 1 −5 6 4 −8 
2 1 −3 0 4 0 
2 1 −1 −2 0 
 1 1 0 
 Pelo diagrama acima, temos: 
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𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 − 2)3(𝑥 + 1) 
 Portanto, a última raiz é 𝑥 = −1. 
 
3. MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
O máximo divisor comum (𝑀𝐷𝐶) entre os polinômios 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥) é um polinômio 𝐻(𝑥) tal 
que 𝐻 é o divisor de maior grau de 𝐹 e 𝐺. 
 
Exemplo 
3.a) Se 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 2)3(𝑥 − 3)2(𝑥 − 5)5 e 𝐺(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)3(𝑥 + 10), então 
𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)2. 
3.b) Se 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 2)2(𝑥 − 1) e 𝐺(𝑥) = (𝑥 + 5)𝑥, então 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 1, ou seja, 𝐹 e 𝐺 
são primos entre si. 
Para determinar o MDC, podemos usar a divisão euclidiana entre polinômios. 
Antes de proceder, devemos saber que se 𝐹(𝑥) ≡ 𝐺(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥), então: 
𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝑀𝐷𝐶(𝐺, 𝑅) 
Demonstração 
Se 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝐻, então 𝐻 é divisor de 𝐹 e 𝐺, logo: 
𝐹(𝑥) = 𝐻(𝑥)𝑄1(𝑥) (𝑖) 
𝐺(𝑥) = 𝐻(𝑥)𝑄2(𝑥) (𝑖𝑖) 
Se 𝑅 é o resto da divisão de 𝐹 por 𝐺, então: 
𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) ⇒ 𝑅(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)𝑄(𝑥) (𝑖𝑖𝑖) 
Substituindo (𝑖) e (𝑖𝑖) em (𝑖𝑖𝑖): 
𝑅(𝑥) = 𝐻(𝑥)𝑄1(𝑥) − 𝐻(𝑥)𝑄2(𝑥)𝑄(𝑥) = (𝑄1(𝑥) − 𝑄2(𝑥)𝑄(𝑥))𝐻(𝑥) 
Assim, 𝐻 é divisor de 𝑅. 
Se 𝑀𝐷𝐶(𝐺, 𝑅) = 𝐻′, então 𝐻′ é divisor de 𝐺 e 𝑅. Como 𝐻 também é divisor de 𝐺 e 𝑅, temos 
que 𝐻 é divisor de 𝐻′. 
Pela definição de 𝐻′ ser divisor de 𝐺 e 𝑅, temos: 
𝐺(𝑥) = 𝐻′(𝑥)𝑄3(𝑥) 
𝑅(𝑥) = 𝐻′(𝑥)𝑄4(𝑥) 
Da relação 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥), temos: 
𝐹(𝑥) = 𝐻′(𝑥)𝑄3(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝐻
′(𝑥)𝑄4(𝑥) = (𝑄3(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑄4(𝑥))𝐻
′(𝑥) 
Ou seja, 𝐻′ é divisor de 𝐹. Como 𝐻′ também é divisor de 𝐺, temos que 𝐻′ é divisor de 𝐻. 
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Portanto, 𝐻′ é divisor de 𝐻 e 𝐻 é divisor de 𝐻′, logo, 𝐻 = 𝐻′. 
∴ 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝑀𝐷𝐶(𝐺, 𝑅) 
 Vejamos, na prática, a aplicação da divisão euclidiana pelas divisões sucessivas, usando a 
propriedade 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝑀𝐷𝐶(𝐺, 𝑅). 
 3.c) Determine o máximo divisor comum entre 𝐹(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 e 𝐺(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 − 6. 
 Vamos usar o método das chaves e dividir o polinômio de maior grau 𝐹 por 𝐺: 
𝑥4 −5x2 +4 𝑥3 − 7𝑥 − 6 
−𝑥4 +7x2 +6𝑥 𝑥 
 2x2 +6𝑥 +4 
 Agora, dividimos o divisor 𝑥3 − 7𝑥 − 6 pelo resto 2𝑥2 + 6𝑥 + 4. Devemos repetir esse 
processo até encontrar um resto nulo, ou seja, tomamos o divisor e dividimos pelo resto não nulo 
e, assim, sucessivamente. Nessa divisão, podemos evidenciar o 2 do divisor 2𝑥2 + 6𝑥 + 4 =
2(𝑥2 + 3𝑥 + 2) e dividir 𝑥3 − 7𝑥 − 6 por 𝑥2 + 3𝑥 + 2 para simplificar as contas. 
𝑥3 −7x −6 𝑥2 + 3𝑥 + 2 
−𝑥3 −3𝑥2 −2x 𝑥 − 3 
 −3𝑥2 −9x −6 
 +3𝑥2 +9x +6 
 0 
 
 Encontramos um resto nulo, logo, o máximo divisor comum entre 𝐹 e 𝐺 é o divisor da divisão 
que resultou em resto nulo. Portanto: 
𝑀𝐷𝐶(𝑥4 − 5𝑥2 + 4; 𝑥3 − 7𝑥 − 6) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2 
No caso em que o resto da divisão euclidiana de 𝐹 por 𝐺 for uma constante diferente de zero, 
podemos afirmar que 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 1, isto é, 𝐹 e 𝐺 são primos entre si. 
 
3.1. RAÍZES COMUNS 
Note que quando𝐹 e 𝐺 não são primos, temos que o 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) terá fatores comuns dos 
polinômios 𝐹 e 𝐺. Assim, podemos afirmar que as raízes desses fatores são as raízes comuns de 𝐹 e 
𝐺, ou seja, as raízes comuns de 𝐹 e 𝐺 são também raízes do 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺). 
 
𝛼 é uma raiz comum dos polinômios 𝐹 e 𝐺 se e somente se 𝛼 é raiz do 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺). 
 
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Vamos tomar os polinômios do exemplo anterior e encontrar as raízes comuns entre eles. 
3.1.a) Encontre as raízes comuns entre 𝐹(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 e 𝐺(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 − 6. 
Como vimos, o máximo divisor comum entre 𝐹 e 𝐺 é 
𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝑀𝐷𝐶(𝑥4 − 5𝑥2 + 4; 𝑥3 − 7𝑥 − 6) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2 
Se 𝛼 é uma raiz de 𝐹 e 𝐺, então ele deve ser raiz do 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺). Assim, basta encontrar as 
raízes da equação 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0: 
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 
𝑥 =
−3 ± √1
2
⇒ 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = −1 
Assim, as raízes comuns entre 𝐹 e 𝐺 são os números −2 e −1. 
 
Há outro modo de encontrar as raízes comuns entre dois polinômios. Vejamos outro 
exemplo. 
 
3.1.b) Encontre as raízes comuns entre 𝑥4 − 2𝑥3 − 7𝑥2 + 8𝑥 + 12 = 0 e 𝑥4 − 4𝑥3 −
13𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0. 
Suponha 𝛼 ∈ ℂ uma raiz comum das equações. Substituindo esse número nas equações e 
subtraindo: 
𝛼4 − 2𝛼3 − 7𝛼2 + 8𝛼 + 12 = 0
−𝛼4 + 4𝛼3 + 13𝛼2 − 4𝛼 − 12 = 0
2𝛼3 + 6𝛼2 + 4𝛼 = 0
 
As candidatas às raízes comuns são também raízes de 2𝛼3 + 6𝛼2 + 4𝛼 = 0. 
2𝛼3 + 6𝛼2 + 4𝛼 = 0 
2𝛼(𝛼2 + 3𝛼 + 2) = 0 
2𝛼(𝛼 + 2)(𝛼 + 1) = 0 
𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠: 0; −1;−2 
Para saber quais são as raízes comuns, podemos substituir esses valores em cada equação e 
verificar qual satisfaz a igualdade ou aplicar Briot-Ruffini e verificar qual resulta em resto nulo. 
Vamos usar o segundo método. Perceba que 0 não é raiz de ambas equações, pois o coeficiente 
independente deles é 12. Logo, basta testar −1 e −2. Fazendo a divisão das expressões de cada 
equação por Briot-Ruffini: 
𝑥4 − 2𝑥3 − 7𝑥2 + 8𝑥 + 12 = 0 
−1 1 −2 −7 8 12 
−2 1 −3 −4 12 0 
 1 −5 6 0 
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⇒ (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = 0 
𝑥4 − 4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0 
−1 1 −4 -13 4 12 
−2 1 −5 -8 12 0 
 1 −7 6 0 
⇒ (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥2 − 7𝑥 + 6) = 0 
Portanto, como as divisões são exatas, temos que −1 e −2 são as raízes comuns das 
equações. 
 
4. RELAÇÕES DE GIRARD 
 
As relações de Girard nos permitem relacionar as raízes de uma equação polinomial com seus 
coeficientes. Elas nos ajudam bastante na resolução de questões do ITA/IME. Vejamos do que se 
trata. 
Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, tal que suas raízes sejam 𝛼1 e 𝛼2. 
Então, podemos escrever a seguinte identidade: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≡ 𝑎(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2) 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≡ 𝑎[𝑥2 − (𝛼1 + 𝛼2)𝑥 + 𝛼1𝛼2] 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≡ 𝑎𝑥2 − 𝑎(𝛼1 + 𝛼2)𝑥 + 𝑎𝛼1𝛼2 
Para que a identidade seja satisfeita, devemos ter: 
{
𝑏 = −𝑎(𝛼1 + 𝛼2)
𝑐 = 𝑎𝛼1𝛼2
⇒ {
𝛼1 + 𝛼2 = −
𝑏
𝑎
𝛼1𝛼2 =
𝑐
𝑎
 
Essas são as relações de Girard para uma equação algébrica do segundo grau. 
Note que a soma das raízes é igual à razão 𝑏/𝑎 e o produto delas é igual à 𝑐/𝑎. 
Vejamos o caso de um polinômio do terceiro grau. 
Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, com 𝑎 ≠ 0, tal que suas raízes sejam 
𝛼1, 𝛼2 e 𝛼3. Então, escrevendo 𝑃 como produto de fatores, temos: 
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ≡ 𝑎(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)(𝑥 − 𝛼3) 
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Desenvolvendo o membro à direita: 
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ≡ 𝑎(𝑥2 − (𝛼1 + 𝛼2)𝑥 + 𝛼1𝛼2)(𝑥 − 𝛼3) 
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ≡ 𝑎[𝑥3 − (𝛼1 + 𝛼2)𝑥
2 + 𝛼1𝛼2𝑥 − 𝛼3𝑥
2 + 𝛼3(𝛼1 + 𝛼2)𝑥 − 𝛼3𝛼1𝛼2] 
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ≡ 𝑎[𝑥3 − (𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3)𝑥
2 + (𝛼1𝛼2 + 𝛼1𝛼3 + 𝛼2𝛼3)𝑥 − 𝛼3𝛼1𝛼2] 
Assim, pela identidade polinomial, temos: 
{
 
 
 
 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = −
𝑏
𝑎
𝛼1𝛼2 + 𝛼1𝛼3 + 𝛼2𝛼3 =
𝑐
𝑎
𝛼1𝛼2𝛼3 = −
𝑑
𝑎
 
Essas são as relações de Girard para uma equação do terceiro grau. É possível generalizar o 
resultado para uma equação algébrica de grau 𝑛. 
Seja 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 +⋯𝑎𝑛−𝑘𝑥
𝑘 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 cujas raízes são 
𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛, as relações de Girard são dadas por: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 𝛼1 + 𝛼2 +⋯+ 𝛼𝑛 = −
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
 (𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠)
𝛼1𝛼2 + 𝛼1𝛼3 +⋯+ 𝛼𝑛−1𝛼𝑛 =
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛
 (𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎 𝑑𝑜𝑖𝑠)
⋮
𝛼1𝛼2…𝛼𝑘 +⋯ = (−1)
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑎𝑛
 (𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑘 𝑎 𝑘)
⋮
𝛼1𝛼2…𝛼𝑛 = (−1)
𝑛
𝑎0
𝑎𝑛
 (𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑛 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠)
 
A demonstração dessas relações pode ser feita por indução finita. 
Vejamos alguns exemplos de aplicação. 
4.a) Sabendo que as raízes da equação 𝑥3 − 21𝑥2 + 126𝑥 − 216 = 0 estão em progressão 
geométrica, determine-as. 
Resolução: 
Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 as raízes da equação dada. Como estão em PG, temos: 
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞
2) 
Pelas relações de Girard: 
𝑥3 − 21𝑥2 + 126𝑥 − 216 = 0 
𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2 = −
−21
1
⇒ 𝑎(1 + 𝑞 + 𝑞2) = 21 (𝐼) 
𝑎 ⋅ 𝑎𝑞 ⋅ 𝑎𝑞2 = −
−216
1
= 216 ⇒ 𝑎3𝑞3 = 216 ⇒ 𝑎𝑞 = 6 (𝐼𝐼) 
Fazendo a divisão de (𝐼) por (𝐼𝐼): 
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𝑎(1 + 𝑞 + 𝑞2)
𝑎𝑞
=
21
6
=
7
2
⇒ 2(1 + 𝑞 + 𝑞2) = 7𝑞 ⇒ 2𝑞2 − 5𝑞 + 2 = 0 
Raízes: 
𝑞 =
5 ± √9
4
= 2 𝑜𝑢
1
2
 
Podemos escolher qualquer uma das raízes, pois o resultado das raízes será o mesmo. Logo, 
para 𝑞 = 2, temos: 
𝑎 ⋅ 2 = 6 ⇒ 𝑎 = 3 
Portanto, as raízes são: 
𝑎 = 3; 𝑎𝑞 = 6; 𝑎𝑞2 = 12 
4.b) Determine a soma do cubo raízes da equação 𝑥3 + 𝑥 − 1 = 0. 
Resolução: 
Sejam 𝛼, 𝛽, 𝛾 as raízes da equação. Como elas são raízes, temos: 
{
𝛼3 + 𝛼 − 1 = 0
𝛽3 + 𝛽 − 1 = 0
𝛾3 + 𝛾 − 1 = 0
 
 Somando as três equações: 
𝛼3 + 𝛽3 + 𝛾3 + 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 3 = 0 
⇒ 𝛼3 + 𝛽3 + 𝛾3 = 3 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) 
Pelas relações de Girard, podemos obter a soma das raízes: 
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0 
Logo: 
𝛼3 + 𝛽3 + 𝛾3 = 3 
 
5. TRANSFORMAÇÕES 
Ao longo do curso, resolvemos muitas equações algébricas e, em algumas delas, aplicamos a 
transformação algébrica para simplificar a resolução. Um exemplo é a equação 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0. 
Nós sabemos como encontrar as raízes de uma equação quadrática e, observando a equação, vemos 
que ela lembra muito uma equação desse tipo. Se fizermos 𝑦 = 𝑥2, obtemos: 
𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0 ⇒ 𝑦2 − 5𝑦 + 6 = 0 
E resolvendo a equação em 𝑦, encontramos as raízes 𝑦1 = 3 ou 𝑦2 = 2. 
Para encontrar as soluções em 𝑥, usamos a relação que estabelecemos 𝑦 = 𝑥2: 
𝑦1 = 𝑥1
2 ⇒ 𝑥1
2 = 3 ⇒ 𝑥1 = ±√3 
𝑦2 = 𝑥2
2 ⇒ 𝑥2
2 = 2 ⇒ 𝑥2 = ±√2 
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O que fizemos foi mudar a aparência da equação inicial para recair em um problema 
conhecido. Então, transformar uma equação algébrica 𝑃1(𝑥) = 0 em uma outra 𝑃2(𝑦) = 0 significa 
obter uma lei de transformação 𝑦 = 𝑓(𝑥) tal que as raízes das equações estejam relacionadas. 
Definimos a equação original 𝑃1(𝑥) = 0 como equação primitiva e a equação resultante 
𝑃2(𝑦) = 0 como equação transformada. Vamos estudar os principais tipos de transformações e 
algumas propriedades relacionadas a elas. 
 
5.1. TRANSFORMADA ADITIVA 
A transformação aditiva é uma relação de transformação do tipo: 
𝑦 = 𝑥 + 𝑎 
Em que 𝑎 ∈ ℂ é uma constante. 
Nessa transformação, a equação transformada 𝑃2(𝑦) = 0 terá as raízes de 𝑃1(𝑥) = 0 
acrescidas de uma constante 𝑎. 
Exemplo: 
6.1.a) 𝑃1(𝑥) = 𝑥
3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 
Façamos a transformação 𝑦 =𝑥 + 1. 
Dessa relação, temos: 
𝑥 = 𝑦 − 1 
Substituindo em 𝑃1: 
𝑃1(𝑥) = 𝑃1(𝑦 − 1) = (𝑦 − 1)
3 + 2(𝑦 − 1)2 − 3(𝑦 − 1) − 4 = 0 
Assim, obtemos a equação transformada na variável 𝑦: 
𝑃2(𝑦) = 𝑦
3 − 𝑦2 − 4𝑦 = 0 
Que pode ser escrita na variável 𝑥: 
𝑃2(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)
3 − (𝑥 + 1)2 − 4(𝑥 + 1) = 0 
É possível obter esta transformação diretamente pelo algoritmo de Horner-Ruffini, este é 
parecido com o algoritmo de Briot-Ruffini. Vejamos. 
5.1.1. Algoritmo de Horner-Ruffini 
Antes de aprendermos o algoritmo, relembremos o conceito de divisões sucessivas. 
Dado um polinômio 𝑃1(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, vamos analisar as divisões 
sucessivas deste polinômio pelo divisor 𝑥 + 𝑎. Pela definição de divisão: 
𝑃1(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)𝑄1(𝑥) + 𝑅1 
O quociente da divisão é de grau 𝑛 − 1 e o resto é uma constante. 
Procedendo com a divisão e dividindo 𝑄1 por 𝑥 + 𝑎, obtemos 𝑄2 tal que 𝜕𝑄2 = 𝑛 − 2: 
𝑄1(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)𝑄2(𝑥) + 𝑅2 
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Substituindo essa identidade em 𝑃1: 
𝑃1(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)[(𝑥 + 𝑎)𝑄2(𝑥) + 𝑅2] + 𝑅1 
𝑃1(𝑥) = 𝑄2(𝑥)(𝑥 + 𝑎)
2 + 𝑅2(𝑥 + 𝑎) + 𝑅1 
Continuando com a divisão sucessiva, obtemos da divisão de 𝑄2 por 𝑥 + 𝑎: 
𝑄2(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)𝑄3(𝑥) + 𝑅3 
Substituindo em 𝑃1: 
𝑃1(𝑥) = [(𝑥 + 𝑎)𝑄3(𝑥) + 𝑅3](𝑥 + 𝑎)
2 + 𝑅2(𝑥 + 𝑎) + 𝑅1 
𝑃1(𝑥) = 𝑄3(𝑥)(𝑥 + 𝑎)
3 + 𝑅3(𝑥 + 𝑎)
2 + 𝑅2(𝑥 + 𝑎) + 𝑅1 
Assim, fazendo as divisões sucessivas e as respectivas substituições, obtemos: 
𝑃1(𝑥) = 𝑄𝑛(𝑥 + 𝑎)
𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥 + 𝑎)
𝑛−1 +⋯+ 𝑅2(𝑥 + 𝑎) + 𝑅1 
Com base nisso, temos o dispositivo prático de Horner-Ruffini: 
−𝑎 𝑃1 
−𝑎 𝑄1 𝑅1 
−𝑎 𝑄2 𝑅2 
 ⋯ 
 𝑄𝑛 𝑅𝑛 
 
Perceba que esse algoritmo é baseado nas divisões sucessivas. Para cada linha, obteremos 
um resto 𝑅𝑖 e estes serão os coeficientes dos termos (𝑥 + 𝑎)
𝑖−1. O coeficiente do termo (𝑥 + 𝑎)𝑛 
será o quociente da última divisão. Note que serão 𝑛 restos resultantes de 𝑛 divisões sucessivas. 
Vejamos um exemplo. 
6.1.1.a) Façamos a transformação do polinômio do exemplo anterior 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 4 em 
potências crescentes de 𝑥 + 1. 
Como o polinômio possui grau 3, devemos fazer 3 divisões sucessivas. Pelo algoritmo de 
Horner-Ruffini: 
 
−1 1 2 −3 −4 
−1 1 1 −4 0 = 𝑅1 
−1 1 0 −4 = 𝑅2 
 1 = 𝑄3 −1 = 𝑅3 
 
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𝑃1(𝑥) = 𝑄3(𝑥 + 1)
3 + 𝑅3(𝑥 + 1)
2 + 𝑅2(𝑥 + 1) + 𝑅1 
𝑃1(𝑥) = (𝑥 + 1)
3 − (𝑥 + 1)2 − 4(𝑥 + 1) 
 
5.2. TRANSFORMADA MULTIPLICATIVA 
A transformação multiplicativa é uma relação de transformação do tipo: 
𝑦 = 𝑘𝑥; 𝑘 ≠ 0 
Em que 𝑘 ∈ ℂ é uma constante. 
Nessa transformação, a equação transformada 𝑃2(𝑦) = 0 terá as raízes de 𝑃1(𝑥) = 0 
multiplicadas por uma constante 𝑘. 
Exemplo. 
6.2.a) Obtenha a equação cujas raízes são os triplos das raízes de 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 = 0. 
Queremos uma transformação do tipo 𝑦 = 3𝑥. Fazendo a substituição 𝑥 = 𝑦/3: 
(
𝑦
3
)
3
− 6(
𝑦
3
)
2
+ 11 (
𝑦
3
) − 6 = 0 
𝑦3
27
−
2𝑦2
3
+
11𝑦
3
− 6 = 0 
Eliminando os denominadores, obtemos a equação pedida: 
𝑦3 − 18𝑦2 + 99𝑦 − 162 = 0 
 
5.3. TRANSFORMADA INVERSA OU RECÍPROCA 
A transformação recíproca é uma relação de transformação do tipo: 
𝑦 =
1
𝑥
; 𝑥 ≠ 0 
Nessa transformação, as raízes da equação resultante serão os inversos das raízes da equação 
original. 
Exemplo: 
6.3.a) Obtenha uma equação cujas raízes são inversas das raízes de 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 5 = 0. 
Queremos uma transformação do tipo 𝑦 = 1/𝑥, fazendo a substituição: 
(
1
𝑦
)
3
− 2(
1
𝑦
)
2
+ (
1
𝑦
) − 5 = 0 
1
𝑦3
−
2
𝑦2
+
1
𝑦
− 5 = 0 
⇒ −5𝑦3 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 0 
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Perceba que em uma transformação recíproca, mudamos a ordem dos coeficientes e 
substituímos 𝑥 por 𝑦. 
 
6. EQUAÇÕES RECÍPROCAS 
Dizemos que uma equação polinomial 𝑃(𝑥) = 0 é recíproca se e somente se a sua 
transformada recíproca 𝑃 (
1
𝑥
) = 0 for equivalente à equação original. 
Exemplo: 
6.a) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 
𝑃 (
1
𝑥
) = (
1
𝑥
)
4
− 2(
1
𝑥
)
3
+ (
1
𝑥
)
2
− 2(
1
𝑥
) + 1 = 0 
𝑃 (
1
𝑥
) =
1
𝑥4
−
2
𝑥3
+
1
𝑥2
−
2
𝑥
+ 1 = 0 
 Multiplicando a equação por 𝑥4: 
𝑃 (
1
𝑥
) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 
 𝑃(𝑥) = 0 e 𝑃 (
1
𝑥
) = 0 são equações equivalentes, logo 𝑃(𝑥) = 0 é uma equação recíproca. 
 
6.1. TEOREMA FUNDAMENTAL 
Se a equação recíproca admite 𝛼 ∈ ℂ∗ como raiz de multiplicidade 𝑚, então 1/𝛼 também 
será raiz com a mesma multiplicidade. 
Exemplo: 
6.1.a) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 3𝑥 + 2 é uma equação que admite 2 como raiz. Como ela é 
recíproca, a outra raiz da equação é 1/2. 
6.1.b) 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 − 1) é uma equação recíproca que admite 3 e 1/3 como 
raízes. 
Agora que sabemos o que é uma equação recíproca, vamos aprender a reconhecer quando 
uma equação é recíproca. 
Seja a equação polinomial dada por 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
A sua transformada recíproca é 
𝑃 (
1
𝑥
) = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 + ⋯+ 𝑎2𝑥
𝑛−2 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎0𝑥
𝑛 
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Se 𝑃(𝑥) = 0 é uma equação recíproca, então 𝑃(𝑥) = 0 e 𝑃 (
1
𝑥
) = 0 são equações 
equivalentes, logo, os coeficientes dessas equações são proporcionais. Sendo 𝑘 a constante de 
proporcionalidade, então, igualando-se os coeficientes das respectivas equações: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎𝑛 = 𝑘𝑎0
𝑎𝑛−1 = 𝑘𝑎1
𝑎𝑛−2 = 𝑘𝑎2
⋮
𝑎𝑛−𝑚 = 𝑘𝑎𝑚
⋮
𝑎𝑚 = 𝑘𝑎𝑛−𝑚
⋮
𝑎0 = 𝑘𝑎𝑛
 
Tomando-se, sem perda de generalidade, 𝑎𝑚 = 𝑘𝑎𝑛−𝑚 e 𝑎𝑛−𝑚 = 𝑘𝑎𝑚, com 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛, 
temos: 
𝑎𝑚 = 𝑘(𝑘𝑎𝑚) ⇒ 𝑎𝑚 = 𝑘
2𝑎𝑚 ⇒ 𝑘
2 = 1 
Assim, obtemos 𝑘 = 1 ou 𝑘 = −1. 
Essas são as únicas possibilidades de constantes para as equações recíprocas. 
Para 𝒌 = 𝟏, temos que os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos da equação 
recíproca 𝑃(𝑥) = 0 são iguais: 
 
Essa equação é chamada de equação recíproca de primeira espécie. 
Para 𝒌 = −𝟏, temos que os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos da equação 
recíproca 𝑃(𝑥) = 0 são opostos ou simétricos (mesmo módulo mas com sinais trocados): 
 
Essa equação é chamada de equação recíproca de segunda espécie. 
 
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6.2. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO RECÍPROCA 
Até agora vimos a definição de equação recíproca e como classificá-la. Vamos aprender a 
resolver cada tipo de equação recíproca que pode ser cobrada no vestibular. Sem perda de 
generalidade, veremos como resolver as equações para graus menores, a resolução para graus 
maiores usará a mesma ideia. 
6.2.1. 1ª espécie e grau par 
Seja a equação 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0. Para resolver essa equação, dividimos a 
equação por 𝑥2: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 +
𝑏
𝑥
+
𝑎
𝑥2
= 0 
Associamos o coeficiente dos termos equidistantes: 
𝑎 (𝑥2 +
1
𝑥2
) + 𝑏 (𝑥 +
1
𝑥
) + 𝑐 = 0 
Fazemos a transformação: 
𝑥 +
1
𝑥
= 𝑦
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇒ 𝑥2 +
2𝑥
𝑥
+
1
𝑥2
= 𝑦2 ⇒ 𝑥2 +
1
𝑥2
= 𝑦2 − 2 
E obtemos uma equação do segundo grau em 𝑦: 
𝑎(𝑦2 − 2) + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 
𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 − 2𝑎 = 0 
Essa equação resultará em duas raízes 𝑦1 e 𝑦2. Para cada uma dessas raízes, encontramos 
uma equação em 𝑥: 
𝑦1 = 𝑥 +
1
𝑥
⇒ 𝑥2 − 𝑦1𝑥 + 1 = 0 
𝑦2 = 𝑥 +
1
𝑥
⇒ 𝑥2 − 𝑦2𝑥 + 1 = 0 
Resolvendo essas equações, encontramos a solução da equação. 
 
6.2.2. 1ª espécie e grau ímpar 
Seja a equação 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3+ 𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0. Note que −1 é raiz dessa equação: 
𝑎(−1)5 + 𝑏(−1)4 + 𝑐(−1)3 + 𝑐(−1)2 + 𝑏(−1) + 𝑎 
= −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑐 − 𝑏 + 𝑎 = 0 
Assim, podemos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para simplificar a equação: 
−1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏 𝑎 
 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 𝑏 − 𝑎 𝑎 0 
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 Obtemos a seguinte equação: 
(𝑥 + 1) [𝑎𝑥4 + (𝑏 − 𝑎)𝑥3 + (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥2 + (𝑏 − 𝑎)𝑥 + 𝑎]⏟ 
1ª 𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑟
= 0 
 𝑎𝑥4 + (𝑏 − 𝑎)𝑥3 + (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥2 + (𝑏 − 𝑎)𝑥 + 𝑎 = 0 é uma equação recíproca de 1ª 
espécie de grau par e já aprendemos como resolver esse tipo de equação. 
 Portanto, quando encontrarmos uma equação recíproca de 1ª espécie de grau ímpar, temos 
que −1 será raiz da equação e, assim, podemos fatorá-lo usando o algoritmo de Briot-Ruffini. A 
equação resultante terá como fator uma equação recíproca de grau par, cuja solução é conhecida. 
 
6.2.3. 2ª espécie e grau par 
Seja a equação 𝑎𝑥6 + 𝑏𝑥5 + 𝑐𝑥4 − 𝑐𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0. Essa é uma equação recíproca de 2ª 
espécie de grau par. Note que ela possui o termo central nulo (coeficiente de 𝑥3 é zero). Nesse caso, 
1 e −1 são raízes. Assim, podemos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para fatorá-lo. 
−1 𝑎 𝑏 𝑐 0 −𝑐 −𝑏 −𝑎 
1 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑎 − 𝑏 −𝑎 0 
 𝑎 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 𝑎 0 
 
 Obtemos a seguinte equação: 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) [𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + (𝑎 + 𝑐)𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎]⏟ 
1ª 𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑟
= 0 
Assim, basta resolver a equação recíproca 1ª espécie de grau par para encontrar as outras 
raízes. 
 
6.2.4. 2ª espécie e grau ímpar 
Seja a equação 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 − 𝑐𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0. Perceba que 1 é raiz da equação, pois 
a soma dos coeficientes é zero: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑐 − 𝑏 − 𝑎 = 0 
Assim, podemos aplicar Briot-Ruffini: 
1 𝑎 𝑏 𝑐 −𝑐 −𝑏 −𝑎 
 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑎 0 
 
Obtemos a seguinte equação: 
(𝑥 − 1) [𝑎𝑥4 + (𝑎 + 𝑏)𝑥3 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎]⏟ 
1ª 𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑟
= 0 
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Para encontrar as outras raízes, basta resolver a equação de 1ª espécie de grau par. 
 
7. LISTA DE QUESTÕES 
 
3) (EN/2013) 
Sejam 𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝐺(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 6 dois polinômios na variável real 𝑥, com 
𝑎 𝑒 𝑏 números reais. Qual valor de (𝑎 + 𝑏) para que a divisão 
𝐹(𝑥)
𝐺(𝑥)
 seja exata? 
a) −2 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
4) (Rússia) 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑓(𝑓(𝑥)) = 0 tem quatro raízes reais distintas, e que a 
soma de duas dessas raízes é −1. Prove que 𝑏 ≤ −
1
4
. 
 
5) (Putnam and Beyond) 
Se 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, prove que 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
2
∙
𝑥5 + 𝑦5 + 𝑧5
5
=
𝑥7 + 𝑦7 + 𝑧7
7
. 
 
6) (Putnam and Beyond) 
Encontre as raízes do polinômio: 
𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 18𝑥2 − 30𝑥 + 25 
Sabendo que a soma de duas delas é 4. 
 
7) (Putnam) 
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Encontre todos os polinômios que possuem coeficientes todos iguais a 1 𝑜𝑢 − 1 e que possuem 
raízes reais. 
 
QUESTÕES ITA 
8) (ITA/2019) 
Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em 
progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar 
que a soma das raízes de 𝑝(𝑥) é igual a 
a) 9 
b) 8 
c) 3 
d) 
9
2
 
e) 10 
 
9) (ITA/2019) 
Considere as seguintes afirmações: 
I. Se 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 são as raízes da equação 𝑥
3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0, então 𝑦1 = 𝑥2𝑥3, 𝑦2 =
𝑥1𝑥3 e 𝑦3 = 𝑥1𝑥2 são as raízes da equação 𝑦
3 − 𝑦2 − 4𝑦 − 4 = 0. 
II. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9. 
III. √
3+√5
2
=
1+√5
2
 
É(são) VERDADEIRA(S) 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas II e III. 
e) Todas. 
 
10) (ITA/2019) 
Determine os valores reais de 𝑎 e 𝑏 para os quais as equações 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 18 = 0 e 𝑥3 + 𝑏𝑥 +
12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes. 
 
11) (ITA/2018) 
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Considere a matriz [
1 𝑥 𝑥2 𝑥3
1 2 3 4
−1 3 4 5
−2 2 1 1
], 𝑥 ∈ ℝ. Se o polinômio 𝑝(𝑥) é dado por 𝑝(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡𝐴, 
então o produto das raízes de 𝑝(𝑥) é 
a) 
1
2
 
b) 
1
3
 
c) 
1
5
 
d) 
1
7
 
e) 
1
11
 
 
12) (ITA/2018) 
Seja 𝑝(𝑥) um polinômio não nulo. Se 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 2 e 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 são divisores de 
𝑝(𝑥), determine o menor grau possível de 𝑝(𝑥). 
 
13) (ITA/2016) 
Seja 𝑝 o polinômio dado por 𝑝(𝑥) = 𝑥8 + 𝑥𝑚 − 2𝑥𝑛, em que os expoentes 8,𝑚, 𝑛 formam, 
nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as 
seguintes afirmações: 
I. 𝑥 = 0 é uma raiz dupla de 𝑝. 
II. 𝑥 = 1 é uma raiz dupla de 𝑝. 
III. 𝑝 tem quatro raízes com parte imaginária não nula. 
Destas, é (são) verdadeira(s) 
a) Apenas I. 
b) Apenas I e II. 
c) Apenas I e III. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
14) (ITA/2016) 
Considere o polinômio 𝑝 com coeficientes complexos definido por 
𝑝(𝑧) = 𝑧4 + (2 + 𝑖)𝑧3 + (2 + 𝑖)𝑧2 + (2 + 𝑖)𝑧 + (1 + 𝑖). 
Podemos afirmar que 
a) Nenhuma das raízes de 𝑝 é real. 
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b) Não existem raízes de 𝑝 que sejam complexas conjugadas. 
c) A soma dos módulos de todas as raízes de 𝑝 é igual a 2 + √2. 
d) O produto dos módulos de todas as raízes de 𝑝 é igual a 2√2. 
e) O módulo de uma das raízes de 𝑝 é igual a √2. 
 
15) (ITA/2014) 
Considere os polinômios em 𝑥 ∈ ℝ da forma 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎3𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥. As raízes de 
𝑝(𝑥) = 0 constituem uma progressão aritmética de razão 
1
2
 quando (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) é igual a 
a) (
1
4
, 0,
5
4
). 
b) (
1
4
, 1,
5
4
). 
c) (
1
4
, 0, −
5
4
). 
d) (
5
4
, 0,
1
4
). 
e) (
1
4
, −1,−
1
4
). 
 
16) (ITA/2013) 
Considere o polinômio 𝑃(𝑚) = 𝑎𝑚2 − 3𝑚 − 18, em que 𝑎 ∈ ℝ é tal que a soma das raízes de 
𝑃 é igual a 3. Determine a raiz 𝑚 de 𝑃 tal que duas, e apenas duas, soluções da equação em 𝑥, 
𝑥3 +𝑚𝑥2 + (𝑚 + 4)𝑥 + 5, estejam no intervalo ] − 2,2[. 
 
17) (ITA/2012) 
As raízes 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3 do polinômio 𝑝(𝑥) = 16 + 𝑎𝑥 − (4 + √2)𝑥
2 + 𝑥3 estão relacionadas 
pelas equações: 
𝑥1 + 2𝑥2 +
𝑥3
2
= 2 𝑒 𝑥1 − 2𝑥2 − √2𝑥3 = 0 
Então, o coeficiente 𝑎 é igual a 
a) 2(1 − √2). 
b) √2 − 4. 
c) 2(2 + √2). 
d) 4 + √2. 
e) 4(√2 − 1). 
 
18) (ITA/2010) 
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Sabe-se que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 1, 𝑎 ∈ ℝ, admite a raiz −𝑖. Considere as 
seguintes afirmações sobre as raízes de 𝑝: 
I. Quatro das raízes são imaginárias puras. 
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. 
III. Apenas uma das raízes é real. 
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e III. 
e) II e III. 
 
19) (ITA/2010) 
Um polinômio real 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛5
𝑛=0 , com 𝑎5 = 4, tem três raízes reais distintas, 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, que 
satisfazem o sistema 
{
𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐 = 0
𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 = 6
2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 5
 
Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais tem multiplicidade dois, pode-se 
afirmar que 𝑝(1) é igual a 
a) −4. 
b) −2. 
c) 2. 
d) 4. 
e) 6. 
 
20) (ITA/2010) 
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛6
𝑛=0 , com coeficientes reais, sendo 𝑎0 ≠ 0 e 𝑎6 = 1. 
Sabe-se que se 𝑟 é raiz de 𝑝, −𝑟 tambémé raiz de 𝑝. Analise a veracidade ou falsidade das 
afirmações: 
I. Se 𝑟1 𝑒 𝑟2, |𝑟1| ≠ |𝑟2|, são raízes reais e 𝑟3 é raiz não real de 𝑝, então 𝑟3 é imaginário 
puro. 
II. Se 𝑟 é raiz dupla de 𝑝, então 𝑟 é real ou imaginário puro. 
III. 𝑎0 < 0. 
 
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21) (ITA/2009) 
Considere as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1. A multiplicidade das 
raízes não reais da função composta 𝑓 ∘ 𝑔 é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
22) (ITA/2009) 
O polinômio de grau 4 
(𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥4 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥3 − (𝑎 − 𝑏)𝑥2 + (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 2(𝑎 + 𝑐), 
Com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a 
a) 3 + √3. 
b) 2 + 3√3. 
c) 2 + √2. 
d) 1 + 2√2. 
e) 2 + 2√2. 
 
23) (ITA/2006) 
Sobre o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 − 2 podemos afirmar que 
a) 𝑥 = 2 não é raiz de 𝑝. 
b) 𝑝 só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais. 
c) 𝑝 admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira. 
d) 𝑝 só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras. 
e) 𝑝 admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais. 
 
24) (ITA/2006) 
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑥 + 1, com raízes reais. O coeficiente 𝑎 é racional 
e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a 
seguinte afirmação é verdadeira: 
“Se uma das raízes de 𝑝(𝑥) é racional, então todas as suas raízes são racionais.” 
 
25) (ITA/2008) 
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Sejam 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ. Considere o polinômio 𝑝(𝑥) dado por 
𝑥5 − 9𝑥4 + (𝛼 − 𝛽 − 2𝛾)𝑥3 + (𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2)𝑥2 + (𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1)𝑥 + (2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1). 
Encontre todos os valores de 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 de modo que 𝑥 = 0 seja uma raiz com multiplicidade 3 
de 𝑝(𝑥). 
 
26) (ITA/2006) 
Seja 𝑝 um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 − 𝑖 como raiz de 
multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de 𝑝 são, respectivamente, 
10 e −40. Sendo afirmado que três raízes de 𝑝 são reais e distintas e formam uma progressão 
aritmética, então, tais raízes são 
a) 
3
2
√
193
6
 ,3,
3
2
+ √
193
6
. 
b) 2 − 4√13, 2, 2 + 4√13. 
c) −4, 2, 8. 
d) −2, 3, 8. 
e) −1, 2, 5. 
 
27) (ITA/2005) 
O número complexo 2 + 𝑖 é raiz do polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑥 + 𝑞, com 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ. 
Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de 𝑓 é 
a) 4. 
b) −4. 
c) 6. 
d) 5. 
e) −5. 
 
28) (ITA/2004) 
Para algum número real 𝑟, o polinômio 8𝑥3 − 4𝑥2 − 42𝑥 + 45 é divisível por (𝑥 − 𝑟)2. Qual 
dos números abaixo está mais próximo de 𝑟? 
a) 1,62. 
b) 1,52. 
c) 1,42. 
d) 1,32. 
e) 1,22. 
 
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29) (ITA/2001) 
O valor da soma 𝑎 + 𝑏 para que as raízes do polinômio 4𝑥4 − 20𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 25𝑥 + 𝑏 estejam 
em progressão aritmética de razão 1/2 é: 
a) 36. 
b) 41. 
c) 26. 
d) -27. 
e) -20. 
 
30) (ITA/2001) 
O polinômio com coeficientes reais 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎4𝑥
4 + 𝑎3𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 tem duas 
raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e 𝑖. Então a 
soma dos coeficientes é igual a: 
a) −4. 
b) −6. 
c) −1. 
d) 1. 
e) 4. 
 
31) (ITA/1998) 
Seja 𝑎 um número real tal que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥5 + 𝑎𝑥4 − 𝑎𝑥2 − 2𝑥 − 1 admite 
apenas raízes reais. Então: 
a) 𝑎 ∈ [2,∞[. 
b) 𝑎 ∈ [−1,1]. 
c) 𝑎 ∈ ] − ∞,−7]. 
d) 𝑎 ∈ [−2,−1[. 
e) 𝑎 ∈ ]1,2[. 
 
32) (ITA/1996) 
Considere o polinômio 𝑝(𝑧) = 𝑧6 + 2𝑧5 + 6𝑧4 + 12𝑧3 + 8𝑧2 + 16𝑧. 
Sobre as raízes da equação 𝑝(𝑧) = 0, podemos afirmar que: 
a) Apenas uma é real. 
b) Apenas duas raízes são reais e distintas. 
c) Apenas duas raízes são reais e iguais. 
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d) Quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas. 
e) Quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais. 
 
33) (ITA/1994) 
Seja 𝑃(𝑥) um polinômio de grau 5, com coeficientes reais, admitindo 2 e 𝑖 como raízes. Se 
𝑃(1)𝑃(−1) < 0, então o número de raízes reais de 𝑃(𝑥) pertencentes ao intervalo ] − 1,1[ é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
QUESTÕES IME 
34) (IME/2019) 
Seja a inequação: 
6𝑥4 − 5𝑥3 − 29𝑥2 + 10𝑥 < 0 
Seja (𝑎, 𝑏) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível 
para 𝑏 − 𝑎 é: 
a) 2 
b) 13/6 
c) 1/3 
d) 5/2 
e) 8/3 
 
35) (IME/2019) 
Sejam 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 raízes da equação 𝑥
3 − 𝑎𝑥 − 16 = 0. Sendo 𝑎 um número real, o valor de 
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 𝑥3
3 é igual a: 
a) 32 − 𝑎 
b) 48 − 2𝑎 
c) 48 
d) 48 + 2𝑎 
e) 32 + 𝑎 
 
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36) (IME/2017) 
O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 80𝑥 − 𝑐 possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se 
que duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de 𝑐 
menores do que 𝑐 é 𝑐2. Qual é o valor de 𝑏? 
a) 11 
b) 13 
c) 17 
d) 23 
e) 29 
 
37) (IME/2016) 
O polinômio 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tem raízes reais 𝛼,−𝛼 𝑒
1
𝛼
. Portanto o valor da soma 𝑏 + 𝑐2 +
𝑎𝑐 +
𝑏
𝑐2
 é: 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
38) (IME/2016) 
Seja 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑃(𝑥) e 𝑃(𝑃(𝑃(𝑥))) têm uma raiz em comum. Pode-se 
afirmar que para todo valor de 𝑎 e 𝑏 
a) 𝑃(−1)𝑃(1) < 0 
b) 𝑃(−1)𝑃(1) = 0 
c) 𝑃(−1) + 𝑃(1) = 2 
d) 𝑃(0)𝑃(1) = 0 
e) 𝑃(0) + 𝑃(1) = 0 
 
39) (IME/2015) 
Os coeficientes 𝑎0, … , 𝑎2014 do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥
2015 + 𝑎2014𝑥
2014 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 são tais 
que 𝑎𝑖 ∈ {0,1}, para 0 ≤ 𝑖 ≤ 2014. 
a) Quais são as possíveis raízes inteiras de 𝑃(𝑥)? 
b) Quantos polinômios da forma acima têm duas raízes inteiras distintas? 
 
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40) (IME/2014) 
O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 + 10𝑥3 − 30𝑥2 + 81𝑥 − 243 possui raízes complexas 
simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas as 
raízes do polinômio. 
 
41) (IME/2013) 
Os polinômios 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 18 e 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥 + 12 possuem duas raízes comuns. 
Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação 
a) 𝑎 = 𝑏 
b) 2𝑎 = 𝑏 
c) 𝑎 = 2𝑏 
d) 2𝑎 = 3𝑏 
e) 3𝑎 = 2𝑏 
 
42) (IME/2010) 
Seja o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + (ln 𝑎)𝑥 + 𝑒𝑏, onde 𝑎 𝑒 𝑏 são números reais positivos diferentes 
de zero. A soma dos cubos das raízes de 𝑝(𝑥) depende 
a) Apenas de 𝑎 e é positiva. 
b) De 𝑎 e 𝑏 e é negativa. 
c) Apenas de 𝑏 e é positiva. 
d) Apenas de 𝑏 e é negativa. 
e) De 𝑎 𝑒 𝑏 e é positiva. 
Obs.: 𝑒 representa a base do logaritmo neperiano e 𝑙𝑛 a função logaritmo neperiano. 
 
43) (IME/2008) 
Encontre o polinômio 𝑃(𝑥) tal que 𝑄(𝑥) + 1 = (𝑥 − 1)3𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) + 2 é divisível por 𝑥4, 
onde 𝑄(𝑥) é um polinômio do 6º grau. 
 
44) (IME/2007) 
Seja 𝑝(𝑥) = 𝛼𝑥3 + 𝛽𝑥2 + 𝛾𝑥 + 𝛿 um polinômio do terceiro grau cujas raízes são termos de 
uma progressão aritmética de razão 2. Sabendo que 𝑝(−1) = −1, 𝑝(0) = 0 e 𝑝(1) = 1, os 
valores de 𝛼 e 𝛾 são, respectivamente: 
a) 2 e -1 
b) 3 e -2 
c) -1 e 2 
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d) −
1
3
 e 
4
3
 
e) 
1
2
 e 
1
2
 
 
45) (IME/2007) 
Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2+ 𝑒𝑥 + 𝑓 um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-
se que as cinco raízes de 𝑝(𝑥) são números inteiros positivos, sendo quatro deles pares e um 
ímpar. O número de coeficientes pares de 𝑝(𝑥) é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
46) (IME/2006) 
Considere o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 − 3𝑥3 + 27𝑥2 − 44𝑥 + 30. 
Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a 3 − 𝑖 e que as partes reais 
e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não-nulas, calcule todas as raízes 
do polinômio. 
 
47) (IME/2005) 
Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑟𝑥 − 𝑡, onde 𝑟 𝑒 𝑡 são números reais não 
nulos. 
a. Determine o valor da expressão 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 em função de 𝑟 𝑒 𝑡. 
b. Demonstre que 𝑆𝑛+1 + 𝑟𝑆𝑛−1 − 𝑡𝑆𝑛−2 = 0 para todo número natural 𝑛 ≥ 2, onde 𝑆𝑘 =
𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘 para qualquer número natural 𝑘. 
 
48) (IME/2004) 
Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 de coeficientes reais, com 𝑏 ≠ 0. Sabendo que 
suas raízes são reais, demonstre que 𝑎 < 0. 
 
49) (IME/2002) 
a) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio 𝑃(𝑥) de 
quarto grau para que 𝑃(𝑥) = 𝑃(1 − 𝑥). 
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b) Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 16𝑥4 − 32𝑥3 − 56𝑥2 + 72𝑥 + 77. Determine todas as suas 
raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à condição do item acima. 
 
50) (IME/1988) 
a) Mostre que se 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥
3 + 𝑎0𝑥
4, então existe um polinômio 𝑔(𝑥) 
do 2º grau, tal que 𝑝(𝑥) = 𝑥2𝑔(𝑥 + 𝑥−1). 
b) Determine todas as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) = 1 + 4𝑥 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4. 
 
51) (IME/1980) 
Determine o polinômio 𝑓(𝑥) de coeficientes racionais e do 7º grau, sabendo-se que: 𝑓(𝑥) + 1 
é divisível por (𝑥 − 1)4 e que 𝑓(𝑥) − 1 é divisível por (𝑥 + 1)4. 
 
52) (IME/1974) 
Seja 𝑝(𝑥) um polinômio a coeficientes reais de grau maior ou igual a 1 e 𝑞(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥. 
Determine todos os possíveis máximos divisores comuns de 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥). 
 
8. GABARITO 
 
3. b 
4. Demonstração. 
5. Demonstração. 
6. {2 ± 𝑖, 1 ± 2𝑖}. 
7. ±(𝑥 + 1),±(𝑥 − 1), ±(𝑥2 + 𝑥 − 1),±(𝑥2 − 𝑥 − 1),±(𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1),±(𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 +
1). 
 
GABARITO DAS QUESTÕES ITA 
8. a 
9. e 
10. 𝑎 = 1; 𝑏 = 1; 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠: {1 − 𝑖√5; 1 +
𝑖√5} 
11. d 
12. 4 
13. c 
14. e 
15. c 
16. 𝑚 = 6. 
17. e 
18. c 
19. a 
20. V, V, F. 
21. c 
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22. e 
23. e 
24. Verdadeira. 
25. 𝛼 = 0; 𝛽 = 1; 𝛾 = 0. 
26. e 
27. e 
28. b 
29. b 
30. a 
31. c 
32. b 
33. b 
 
GABARITO DAS QUESTÕES IME 
34. b 
35. c 
36. e 
37. a 
38. d 
39. (2014
1006
). 
40. 3, ±√−5 + 2√14𝑖, ±√−5 − 2√14𝑖 . 
41. b 
42. d 
43. 𝑃(𝑥) = 10𝑥3 + 6𝑥2 + 3𝑥 + 1. 
44. d 
45. e 
46. 2 + 𝑖, 2 − 𝑖, 1 + 𝑖, 1 − 𝑖, −3. 
47. Item a) 𝑡; Item b) Demonstração. 
48. Demonstração. 
49. a) 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎4 𝑒 𝑎3 = −2𝑎4 , para 
𝑎4 ∈ ℝ − {0} 𝑒 𝑎0 ∈ ℝ; 
b) {
1
2
± √3,
1
2
± √2}. 
50. {
−1±√3𝑖
2
,
−3±√5
2
}. 
51. 𝑓(𝑥) =
5
16
𝑥7 −
21
16
𝑥5 +
35
16
𝑥3 −
35
16
𝑥 
52. 𝑎, 𝑏𝑥, 𝑐(2𝑥 + 1) 𝑒 𝑑(2𝑥2 + 𝑥) . 
9. LISTA DE QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 
 
3) (EN/2013) 
Sejam 𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝐺(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 6 dois polinômios na variável real 𝑥, com 
𝑎 𝑒 𝑏 números reais. Qual valor de (𝑎 + 𝑏) para que a divisão 
𝐹(𝑥)
𝐺(𝑥)
 seja exata? 
a) −2 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
Comentários 
Para que a divisão seja exata, devemos ter que as raízes de 𝐺(𝑥) também são raízes de 𝐹(𝑥). 
Note que as duas raízes de 𝐺(𝑥) são reais, pois: 
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Δ = 4 − 4 ∙ (−6) ∙ 2 > 0 
Além disso, temos que 𝐹(𝑥) possui grau 3, logo, se ele possui duas raízes reais, a terceira 
deve ser real, pois as raízes complexas vêm aos pares. Disso, seja 𝛼 a raiz real de 𝐹(𝑥) que não é raiz 
de 𝐺(𝑥). 
Sabemos, por Girard em 𝐺(𝑥), que a soma de suas raízes é dada por −
2
2
= −1. Aplicando 
Girard para a soma das raízes em 𝐹(𝑥), temos: 
𝛼 − 1 = 0 ⇒ 𝛼 = 1 
Como 1 é raiz de 𝐹(𝑥): 
𝐹(1) = 1 + 𝑎 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = −1 
Gabarito: “b”. 
4) (Rússia) 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑓(𝑓(𝑥)) = 0 tem quatro raízes reais distintas, e que a 
soma de duas dessas raízes é −1. Prove que 𝑏 ≤ −
1
4
. 
Comentários 
Primeiramente, perceba que se 𝑠 𝑒 𝑟 são as raízes de 𝑓(𝑥), então se 𝑓(𝑥0) = 0 devemos ter, 
obrigatoriamente: 
𝑥0 = 𝑠 𝑜𝑢 𝑥0 = 𝑟 
Dessa forma, se 𝑓(𝑓(𝑥)) = 0 para algum 𝑥, devemos ter, necessariamente: 
𝑓(𝑥) = 𝑟 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 𝑠 
Ou ainda: 
𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑟 𝑜𝑢 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑠 
Conforme o enunciado, temos quatro raízes distintas, ou seja, o discriminante de ambas as 
equações obtidas logo acima deve ser positivo. 
Se a soma de duas dessas raízes é −1, temos dois casos a considerar: 
1º caso: Ambas as raízes vêm da mesma equação quadrática. 
Sem perda de generalidade, suponha que ambas vêm de 𝑓(𝑥) = 𝑟. Das relações de Girard, 
temos que: 
−𝑎 = −1 ⇒ 𝑎 = 1 
Além disso, de 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, temos: 
𝑟 + 𝑠 = −𝑎 = −1 
Olhe agora para as equações: 
𝑥2 + 𝑥 + 𝑏 − 𝑟 = 0 𝑜𝑢 𝑥2 + 𝑥 + 𝑏 − 𝑠 = 0 
Seus discriminantes devem ser positivos, logo: 
1 − 4(𝑏 − 𝑟) > 0 𝑒 1 − 4(𝑏 − 𝑠) > 0 
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Somando as desigualdades membro a membro: 
2 − 4(𝑏 − 𝑟 + 𝑏 − 𝑠) = 2 − 4(2𝑏 − (𝑟 + 𝑠)) > 0 
Ou seja: 
2 − 4(2𝑏 − (−1)) > 0 ⇒ 𝑏 < −
1
4
 
2º caso: As raízes vêm de equações distintas. 
Sejam 𝑝 𝑒 − 1 − 𝑝 essas raízes. Se elas vêm de equações distintas, temos que: 
𝑝2 + 𝑎𝑝 + 𝑏 − 𝑟 = 0 
(−1 − 𝑝)2 + 𝑎(−1 − 𝑝) + 𝑏 − 𝑠 = 0 
Somando essas equações, temos que: 
𝑝2 + 𝑎𝑝 + 𝑏 − 𝑟 + 𝑝2 + 2𝑝 + 1 − 𝑎 − 𝑎𝑝 + 𝑏 − 𝑠 = 0 
Do que resulta: 
2𝑝2 + 2𝑝 + 2𝑏 − 𝑎 − (𝑟 + 𝑠) + 1 = 0 
Lembrando que 𝑟 + 𝑠 = −𝑎, temos: 
2𝑝2 + 2𝑝 + 2𝑏 + 1 = 0 
Como 𝑝 ∈ ℝ, o discriminante dessa equação deve ser não negativo, isto é: 
Δ = 4 − 4 ∙ 2 ∙ (2𝑏 + 1) ≥ 0 ⇒ 𝑏 ≤ −
1
4
 
Gabarito: Demonstração. 
5) (Putnam and Beyond) 
Se 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, prove que 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
2
∙
𝑥5 + 𝑦5 + 𝑧5
5
=
𝑥7 + 𝑦7 + 𝑧7
7
. 
Comentários 
À primeira vista, essa questão não parece ter nada a ver com polinômios. 
Mas vamos pensar em 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 como raízes do seguinte polinômio: 
𝑃(𝑤) = 𝑤3 − 𝜎1𝑤
2 + 𝜎2𝑤 − 𝜎3 
Além disso, faça 𝑆𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 + 𝑧𝑘. Queremos provar, então, que: 
𝑆2
2
∙
𝑆5
5
=
𝑆7
7
 
Do polinômio que foi criado, temos que: 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝜎1𝑥
2 + 𝜎2𝑥 − 𝜎3 = 0 
𝑃(𝑦) = 𝑦3 − 𝜎1𝑦
2 + 𝜎2𝑦 − 𝜎3 = 0 
𝑃(𝑧) = 𝑧3 − 𝜎1𝑧
2 + 𝜎2𝑧 − 𝜎3 = 0 
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Multiplicando a primeira por 𝑥𝑘−3, a segunda por 𝑦𝑘−3 e a terceira por 𝑧𝑘−3, temos: 
𝑥𝑘 − 𝜎1𝑥
𝑘−1 + 𝜎2𝑥
𝑘−2 − 𝜎3𝑥
𝑘−3 = 0 
𝑦𝑘 − 𝜎1𝑦
𝑘−1 + 𝜎2𝑦
𝑘−2 − 𝜎3𝑦
𝑘−3 = 0 
𝑧𝑘 − 𝜎1𝑧
𝑘−1 + 𝜎2𝑧
𝑘−2 − 𝜎3𝑧
𝑘−3 = 0 
Somando membro a membro, temos: 
𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 + 𝑧𝑘 − 𝜎1(𝑥
𝑘−1 + 𝑦𝑘−1 + 𝑧𝑘−1) − 𝜎2(𝑥
𝑘−2 + 𝑦𝑘−2 + 𝑧𝑘−2) − 𝜎3(𝑥
𝑘−3 + 𝑦𝑘−3 + 𝑧𝑘−3)
= 0 
Usando a notação estabelecida, temos a recorrência: 
𝑆𝑘 − 𝜎1𝑆
𝑘−1 + 𝜎2𝑆
𝑘−2 − 𝜎3𝑆
𝑘−3 = 0 
Note que, das relações de Girard: 
𝜎1 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 
𝜎3 = 𝑥𝑦𝑧 
Além disso, temos que: 
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 𝑆2 + 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) = 𝑆2 + 2𝜎2 = 0
2 ⇒ 𝑆2 = −2𝜎2 
Além disso, a recorrência fica: 
𝑆𝑘 = −𝜎2𝑆
𝑘−2 + 𝜎3𝑆
𝑘−3 
Para 𝑘 = 3: 
𝑆3 = −𝜎2𝑆
1 + 𝜎3𝑆
0 
Temos: 
𝑆1 = 𝜎1 = 0 𝑒 𝑆
0 = 𝑥0 + 𝑦0+ 𝑧0 = 3 
Ou seja: 
𝑆3 = −𝜎2(−2𝜎2) + 𝜎3(0) ⇒ 𝑆
3 = 3𝜎3 
Para 𝑘 = 4: 
𝑆4 = −𝜎2(−2𝜎2) + 𝜎3(0) = 2𝜎2
2 
Para 𝑘 = 5: 
𝑆5 = −𝜎2(3𝜎3) + 𝜎3(−2𝜎2) = −5𝜎2𝜎3 
Finalmente, para 𝑘 = 7: 
𝑆7 = −𝜎2(−5𝜎2𝜎3) + 𝜎3(2𝜎2
2) = 7𝜎2
2𝜎3 ⇒
𝑆7
7
= 𝜎2
2𝜎3 
Além disso: 
𝑆2
2
∙
𝑆5
5
=
−2𝜎2
2
∙
−5𝜎2𝜎3
5
= 𝜎2
2𝜎3 
Disso, temos que: 
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𝑆2
2
∙
𝑆5
5
=
𝑆7
7
, 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
Gabarito: Demonstração. 
6) (Putnam and Beyond) 
Encontre as raízes do polinômio: 
𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 18𝑥2 − 30𝑥 + 25 
Sabendo que a soma de duas delas é 4. 
Comentários 
Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 𝑒 𝑥4 as raízes desse polinômio. 
Sem perda de generalidade, seja: 
𝑥1 + 𝑥2 = 4 
Das relações de Girard, temos: 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 6 ⇒ 4 + 𝑥3 + 𝑥4 = 6 ⇒ 𝑥3 + 𝑥4 = 2 
Ainda das relações de Girard, podemos escrever: 
𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥4 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥2𝑥4 + 𝑥3𝑥4 = 18 
Veja ainda que: 
𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 + 𝑥1(𝑥3 + 𝑥4) + 𝑥2(𝑥3 + 𝑥4) = 𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 + (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥3 + 𝑥4) = 18 
Ou seja: 
𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 + 4 ∙ 2 = 18 ⇒ 𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 = 10 
Das relações de Girard para o produto das raízes, temos: 
(𝑥1𝑥2)(𝑥3𝑥4) = 25 
Por conveniência, façamos: 
𝑥1𝑥2 = 𝑝 𝑒 𝑥3𝑥4 = 𝑞 
Temos, portanto: 
𝑝 + 𝑞 = 10 𝑒 𝑝𝑞 = 25 
Disso, temos que 𝑝 𝑒 𝑞 são raízes da equação quadrática: 
𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 ⇒ (𝑥 − 5)2 = 0 ⇒ 𝑥 = 5 
Ou seja: 
𝑝 = 𝑞 = 5 
Logo, obtemos o seguinte resultado: 
𝑥1𝑥2 = 𝑥3𝑥4 = 5 𝑒 𝑥1 + 𝑥2 = 4 𝑒 𝑥3 + 𝑥4 = 2 
Concluímos que 𝑥1 𝑒 𝑥2 são raízes da equação quadrática: 
𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0 
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De raízes 𝑥1 = 2 + 𝑖 𝑒 𝑥2 = 2 − 𝑖. 
E que 𝑥3 𝑒 𝑥4 são raízes de: 
𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0 
De raízes 𝑥3 = 1 + 2𝑖 𝑒 𝑥4 = 1 − 2𝑖. 
Gabarito: {𝟐 ± 𝒊, 𝟏 ± 𝟐𝒊}. 
7) (Putnam) 
Encontre todos os polinômios que possuem coeficientes todos iguais a 1 𝑜𝑢 − 1 e que possuem 
raízes reais. 
Comentários 
Essa questão parece nebulosa à primeira vista, pois quase não temos nenhuma informação 
acerca de 𝑃(𝑥). Nesse caso, vamos tomar um polinômio de grau 𝑛 qualquer, isto é: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0 
E sejam seus zeros 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. 
As únicas informações que temos são sobre suas raízes, que devem ser reais, e sobre seus 
coeficientes que pertencem ao conjunto {1, −1}. 
Sendo assim, vamos relacionar suas raízes aos seus coeficientes, usando as relações de 
Girard: 
𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 = −
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
 
𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛 =
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛
 
Temos, ainda, a seguinte relação: 
(𝑥1 +⋯+ 𝑥𝑛)
2 = 𝑥1
2 + 𝑥2
2 +⋯+ 𝑥𝑛
2 + 2(𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛) 
Visando o vestibular do IME, seria interessante provar que isso é verdade usando o P.I.F. 
Então, vamos lá: 
Para 𝒏 = 𝟐: 
(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)
𝟐 = 𝒙𝟏
𝟐 + 𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟐
𝟐 
Que é verdadeiro. 
Suponha válido para 𝒏 = 𝒌, ou seja: 
(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌)
𝟐 = 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒙𝟐
𝟐 +⋯+ 𝒙𝒌
𝟐 + 𝟐(𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟏𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝒌−𝟏𝒙𝒌) 
Vamos olhar para 𝒏 = 𝒌 + 𝟏: 
(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌 + 𝒙𝒌+𝟏)
𝟐 = (𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌)
𝟐 + 𝟐𝒙𝒌+𝟏(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌) + 𝒙𝒌+𝟏
𝟐 
Usando a hipótese de indução, temos: 
(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌 + 𝒙𝒌+𝟏 )
𝟐 = 
= 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒙𝟐
𝟐 +⋯+ 𝒙𝒌
𝟐 + 𝟐(𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟏𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝒌−𝟏𝒙𝒌) + 𝟐𝒙𝒌+𝟏(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌) + 𝒙𝒌+𝟏
𝟐 = 
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= 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒙𝟐
𝟐 +⋯+ 𝒙𝒌
𝟐 + 𝒙𝒌+𝟏
𝟐 + 𝟐(𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟏𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝒌𝒙𝒌+𝟏) 
Logo, se vale para 𝒏 = 𝒌, vale para 𝒏 = 𝒌 + 𝟏, do que temos que a afirmação é 
verdadeira. 
Voltando à questão. 
(𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛)
2 = (−
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
)
2
= 
= 𝑥1
2 + 𝑥2
2 +⋯+ 𝑥𝑛
2 + 2(𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛) 
Porém, das relações de Girard, podemos escrever: 
(−
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
)
2
= 𝑥1
2 + 𝑥2
2 +⋯+ 𝑥𝑛
2 + 2(
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛
) 
Ou ainda: 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 +⋯+ 𝑥𝑛
2 = (−
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
)
2
− 2(
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛
) 
Como 𝑥1
2 + 𝑥2
2 +⋯+ 𝑥𝑛
2 ≥ 0, o único valor possível para essa soma, dada a relação acima, é 
3. Lembre-se que os coeficientes são 1 ou −1, do que temos que os termos do lado esquerdo 
assumem somente ±1 como valor, isto é: 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 +⋯+ 𝑥𝑛
2 = (±1)2 − 2(±1) ≥ 0 ⇒ 𝑥1
2 + 𝑥2
2 +⋯+ 𝑥𝑛
2 = 3 
Além disso, das relações de Girard, temos ainda: 
𝑥1𝑥2…𝑥𝑛 = (−1)
𝑛
𝑎0
𝑎𝑛
= ±1 ⇒ 𝑥1
2𝑥2
2…𝑥𝑛
2 = 1 
Usando a desigualdade entre as médias geométricas e aritméticas, temos: 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 +⋯+ 𝑥𝑛
2 ≥ 𝑛√𝑥1
2𝑥2
2…𝑥𝑛
2
𝑛
⇒ 3 ≥ 𝑛√1
𝑛
⇒ 𝑛 ≤ 3 
Só podemos aplicar a desigualdade entre as médias porque as raízes são todas reais, que é o 
nosso caso. Concluímos, então, que seu grau é no máximo 3. 
Para os polinômios de grau 1 e de grau 2, podemos fazer caso a caso, do que obtemos: 
𝑃(𝑥) = ±(𝑥 + 1)𝑒 𝑃(𝑥) = ±(𝑥 − 1) 
𝑃(𝑥) = ±(𝑥2 + 𝑥 − 1)𝑒 𝑃(𝑥) = ±(𝑥2 − 𝑥 − 1) 
Para 𝑛 = 3, devemos ter a igualdade na desigualdade entre as médias, que somente ocorre 
quando: 
𝑥1
2 = 𝑥2
2 = ⋯ = 𝑥𝑛
2 ⇒ |𝑥1| = |𝑥2| = ⋯ = |𝑥𝑛| = 𝑟 > 0 
Sejam 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3 as raízes de 𝑃(𝑥). 
Temos as seguintes possibilidades para as suas raízes: 
1ª possibilidade: Todas positivas. 
𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 𝑟 
Das relações de Girard: 
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𝑟3 = ±1 
Nesse caso, a única possibilidade de raiz real e positiva é 𝑟 = 1. 
Ou seja, 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)3, que não possui os coeficientes em {1, −1} para nenhum 𝑎 ∈ ℝ. 
2ª possibilidade: Uma negativa e duas positivas. 
𝑥1 = 𝑥2 = 𝑟 𝑒 𝑥3 = −𝑟 
Da soma das raízes, devemos ter: 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑟 + 𝑟 − 𝑟 = ±1 ⇒ 𝑟 = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟 > 0 
Se 𝑟 = 1: 
𝑥1 = 𝑥2 = 1 𝑒 𝑥3 = −1 
Do que segue que: 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)2(𝑥 + 1) = 𝑎(𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1) 
Nesse caso, devemos ter 𝑎 = ±1. 
3ª possibilidade: Duas negativas e uma positiva. 
𝑥1 = 𝑥2 = −𝑟 𝑒 𝑥3 = 𝑟 
Da soma das raízes, devemos ter: 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑟 − 𝑟 + 𝑟 = ±1 ⇒ 𝑟 = ±1 ⇒ 𝑟 = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟 > 0 
Ou seja: 
𝑥1 = 𝑥2 = −1 𝑒 𝑥3 = 1 
Do que temos: 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1) = 𝑎(𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1) 
Para cumprir o enunciado, devemos ter 𝑎 = ±1. 
4ª possibilidade: Todas negativas. 
𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = −𝑟 
Do produto das raízes, vem: 
𝑥1𝑥2𝑥3 = (−𝑟)
3 = −
𝑎0
𝑎3
= ±1 ⇒ 𝑟3 = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟 > 0 
A única solução real dessa equação é 𝑟 = 1, do que teríamos: 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)3 
Que não atende ao enunciado para nenhum valor real de 𝑎. 
Gabarito: ±(𝒙 + 𝟏),±(𝒙 − 𝟏),±(𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏),±(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏),±(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏),±(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 −
𝒙 + 𝟏). 
 
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QUESTÕES ITA COMENTADAS 
8) (ITA/2019) 
Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em 
progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar 
que a soma das raízes de 𝑝(𝑥) é igual a 
a) 9 
b) 8 
c) 3 
d) 
9
2
 
e) 10 
Comentários 
Analisando o polinômio, podemos descobrir uma das raízes. Vamos colocar 𝑥 em evidência: 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
Logo, 𝑥 = 0 é raiz. 
Como as raízes são não negativas e elas estão em progressão aritmética, a PA deve ser do 
tipo: 
(0, 𝑟, 2𝑟), com 𝑟 ≥ 0 
Então, temos que encontrar o valor de 𝑟. 
Ainda, do enunciado, temos que a soma dos coeficientes é igual a 10: 
1 + 𝑎 + 𝑏 = 10 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 9 (𝐼) 
Vamos usar as relações de Girard na seguinte equação: 
𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 (𝐼𝐼) 
Desse modo: 
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑟 + 2𝑟 = −𝑎 ⇒ 𝑎 = −3𝑟 
De (𝐼), podemos encontrar o valor de 𝑏: 
𝑎 + 𝑏 = 9 ⇒ 𝑏 = 9 + 3𝑟 
Substituindo os valores encontrados em (𝐼𝐼) e fazendo