Polinômios: Teoria + Vídeo-Aula + Exercícios Resolvidos (versão gratuita) - elaborado pelo prof. Lafayette (ITA)

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Curso Completo de Polinômios 
Capítulos Gratuitos 
 
 
 
 
 
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Aula 01: Grau, Raízes e Valor Numérico de um Polinômio 
Aula 06: Equações Polinomiais I - Redução de grau de uma Equação Polinomial 
 
• Vídeo Aulas com teoria completa e resolução de exercícios (links) 
• Resumo da Teoria 
• Exercícios propostos 
• Resolução completa 
 
 
Prof. Lafayette Spósito Goyano Jota (ITA-2004) 
professor.lafayette@gmail.com 
www.materiaisdolafa.com.br 2 
Aula 01: Grau, Raízes e Valor Numérico de um Polinômio 
 
Vídeo-Aula completa com teoria e exercícios aqui! 
 
Aula 01, Parte 01 – 17 minutos 
Assista em: https://youtu.be/ySwB94dKsg0 
Ou use o QR code abaixo: 
 
 
Aula 01, Parte 02 – 22 minutos 
Assista em: https://youtu.be/JlUBcsF2fEA 
Ou use o QR code abaixo: 
 
 
 
 
Na aula 01, estudamos sobre o seguinte conteúdo: 
 
Grau de um polinômio 
Grau de um polinômio é o maior dos expoentes de x. Por exemplo, o polinômio 4 3 2( ) 2 2 20P x x x x= + + 
tem grau 4. 
 
Observe que se algum termo qualquer tiver coeficiente nulo, ele não conta para a determinação do grau. 
Por exemplo: 
10 7 3 2( ) 0 0P x x x x x= + − − tem grau 3. 
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Já o polinômio 10 3 2( )P x mx x x= − − tem seu grau dependendo do valor de m. Se m = 0, então o grau é 
3, caso contrário (m diferente de zero) então o grau é 10. 
 
Valor Numérico 
Valor numérico de um polinômio é o resultado de P(x), quando se substitui x por algum valor. 
Por exemplo, ao trabalhar com o polinômio 3( )P x x x= + , podemos calcular P(2): 
 
3(2) 2 2 (2) 10P P= +  = 
 
P(2) é o valor numérico do polinômio quando x vale 2, e neste caso, obtemos P(2) = 10. 
Note que não é correto dizer P(x) = 10. 
 
Da mesma forma, se substituirmos x por 1, obteremos P(1) = 2. Não é correto dizer P(x) = 1. 
 
Raiz de um polinômio 
Raiz é o valor de x que torna o valor numérico do polinômio igual a zero. 
Em muitos casos a raiz pode ser obtida por inspeção. Por exemplo, 
 
3( ) 8P x x= − 
É possível notar que 2 é raiz, porque 3(2) 2 8 0P = − = . 
 
Expressando matematicamente, 
 
( ) 0 a é raiz de P(x)P a =  
 
Quando uma raiz é dada, ela pode ser usada para obter coeficientes faltantes. Por exemplo, caso seja 
dado que 3 é raiz de 3( ) 3P x kx x= − . 
 
Neste caso sabemos que P(3) = 0, e portanto: 
33 3 3 0
27 9
1
3
k
k
k
 −  =
=
=
 
 
Não tente fazer os exercícios abaixo antes de assistir à aula completa, inclusive as resoluções contidas no 
vídeo. Na aula em vídeo você encontrará a explicação de cada modelo de exercício. Ao “travar” em um 
exercício, você pode voltar e assistir de novo a resolução de um exercício parecido. 
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Exercícios Propostos 
Todos os exercícios abaixo possuem resolução disponível para você! As resoluções e o gabarito estão no final do 
material. 
 
01- (PUC Campinas SP) 
 Se os graus dos polinômios f, g, h são respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio: 
a) 3.f é 12 
b) g2 é 9 
c) f.g é 7 
d) f + h é 6 
e) g – h é 1 
 
02 (UNIFOR CE) 
Sabe-se que uma das raízes da equação 
4 3 22 10 4 0x x mx x− − + − = é 
2
1
. A partir dessa informação 
conclui-se que m é um número 
a) primo. 
b) quadrado perfeito. 
c) múltiplo de 3. 
d) cubo perfeito. 
e) divisor de 18. 
 
03- (UNIFOR CE) 
Se os polinômios p, q, r têm graus 2, 3, 4, respectivamente, então o grau do polinômio p  q + r é? 
 
04 - (FMJ SP) 
Se 3 é raiz do polinômio 
3 2( ) 5 2 3p x x x x m= − + − , então o valor de m é: 
a) 13 +− 
b) 339− 
c) 6318 + 
d) )33(3 + 
e) )133(6 − 
 
05 - (UNIFOR CE) 
Os polinômios p e q têm graus iguais a n. Se o grau do polinômio p  q é igual a 10, então o grau do polinômio p + 
q é: 
a) igual a 10. 
b) igual a 5. 
c) no máximo igual a 5. 
d) no mínimo igual a 5. 
e) um número compreendido entre 5 e 10. 
 
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06 - (UFG GO/2007) 
Considere o polinômio: p(x) = (x − 1) (x − 3)2 (x − 5)3 (x − 7)4 (x − 9)5 (x − 11)6. 
O grau de p(x) é igual a 
a) 6 
b) 21 
c) 36 
d) 720 
e) 1080 
 
07 - (UEM PR/2006) 
Considere o polinômio ( ) ( )2 3 2( ) 1 2 1 2p x m x m x x= + − + − + . 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Se x = 0, grau do polinômio p(x) é zero. 
b) Se m = −1, o grau do polinômio p(x) é 1. 
c) Se m = −1, p(x) tem 2 como raiz. 
d) Se m = 0, tem −1, 1 e 2 como raízes. 
e) Se m = 1, o grau do polinômio p(x) é 2. 
 
08 - (UESPI/2014) 
O valor de m  IR para que o grau do polinômio ( ) 4 33 2 6 7m x x x+ + − + seja igual a 3 é: 
a) m = 0 
b) m = 1 
c) m = –1 
d) m = –3 
e) m = 3 
 
09 - (FGV /2013) 
Desenvolvendo-se o binômio ( )
5
( ) 1p x x= + , podemos dizer que a soma de seus coeficientes é 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 40 
e) 48 
 
10 - (PUC RS/2012) 
A função Custo Total para produzir x unidades de um certo produto é dada, em reais, por 
3 2( ) 30 400 500C x x x x= − + + . O custo de fabricação de 10 unidades é de _______ reais. 
 
a) 500 
b) 1000 
c) 2500 
d) 3500 
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e) 8500 
 
11 - (ASCES PE/2012) 
Suponha que a função real f seja dada por 
4 2( ) 2 3f x ax bx x= + + + , com a e b constantes reais, e que f(–2) 
= 12. Qual o valor de f(2)? 
 
a) 14 
b) 16 
c) 18 
d) 20 
e) 22 
 
12 - (UFSCar SP/2009 - adaptada) 
Em relação a P(x), um polinômio de terceiro grau, sabe-se que P(−1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2 e P(2) = 7. 
b) Determine P(x). 
 
13 - (PUC RS/2009) 
O número de raízes reais distintas da equação ( ) ( )3 3 3 3 0
3
x
x x x x +  −   = é 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 5 
e) 7 
 
14 - (UNIR RO/2009) 
Se p(x) é o polinômio dado por ( ) ( )1 2 2( ) 1 2 ... + 2n n np x nx n x n x x x− −= + − + − + + , com n inteiro 
positivo, o valor de p(1) é: 
 
a) 
b) 
c) n+1 
d) n 
e) n+2 
 
15 - (UEPG PR/2008 - adaptada) 
Assinale o que for correto. 
01. O número 2 é raiz do polinômio 
3 2( ) 5 12P x x x= − + 
04. O polinômio ( )2 2( ) 1 3P x a x ax= − + + tem grau 2 se a = –1 
 
16 - (CEFET PR/2008) 
2
)1n(n +
2
)2n)(1n( ++
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Se os polinômios p, r e s são de graus 2, 3 e 4, respectivamente, pode-se afirmar que o grau de p + r – s: 
a) não pode ser determinado. 
b) é igual a 1. 
c) é igual a 4. 
d) é igual a 9. 
e) é igual a 2. 
 
17 - (UEPG PR Adaptada) 
Em relação ao polinômio ( ) ( )
24 2( ) 1 2 1P x x x x x x= − − + − , assinale o que for correto. 
01. Se anula para 
04. É do 4º grau 
08. P(2) = 8 
16. Possui raízes imaginárias 
 
18 - (UDESC SC/2005) 
O grau do polinômio que expressa o determinante da matriz 
 
1
2
1 1
x x
A x x
x
 
 
= −
 
  
 é: 
 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
e) 4 
 
19 - (UNIFOR CE/2004) 
Considere os polinômios p = x2 – 2x + 1, q = x3 + x – 2 e r = –x5 + 2x4 – x3 + x2 – x + 1. O grau do polinômio p  q + r 
é: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
Questões Extras e Desafios 
 
20 - (UFU MG/2010) 
Considere o polinômio de variável real 
( )( )( )( )( ) ( )2 3 4 5 15( ) 1 2 4 8 16 ... 16384p x x x x x x x= − − − − − − . 
Então, o grau de p e o valor de p(2) são, respectivamente: 
 
0x =
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a) 120 e 2112 
b) 136 e 2112 
c) 136 e 2105 
d) 120 e 2105 
 
21 - (UEPB) 
Seja P(x) um polinômio do 2º grau tal que: 
 
P(0) = –20 
P(1) + P(2) = –18 
P(1) – 3P(2) = 6 
 
Então, o conjunto de todos os x para os quais P(x) < 0 é: 
a) {x  R | x < –20 ou x > 1} 
b) {x  R | x < –2 ou x > 10} 
c) {x  R | 4 < x < 5} 
d) {x  R | –2 < x < 10} 
e) {x  R | x < 4 ou x > 5}22 - (UNIFOR CE) 
Sejam os polinômios f = (3a + 2)x + 2 e g = 2ax – 3a + 1 nos quais a é uma constante. O polinômio f.g terá grau 2 
se, e somente se, 
a) a  0 
b) 
c) a  0 e 
d) a  0 e 
e) e 
 
Gabaritos da Aula 01 
 
01. C 
02. B 
03. Grau 5. 
04. E 
05. C. 
06. B. 
07. D 
08. D 
09. C 
10. C 
3
2
a −
3
2
a −
3
1
a 
3
1
a 
3
2
a −
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11. D 
12. 
13. C 
14. A 
 
15. VF 
16. C 
17. VFVV. 
18. A 
19. C 
20. D 
21. E 
22. 
2
 e a 0
3
a  −  
 
Resoluções Completas da Aula 01 
 
01. Vamos adotar os polinômios 
4( )f x x= , 3( )g x x= e 2( )h x x= . 
Assim, 
a) 
43 3f x = (grau 4, portanto o item “a” não está correto.) 
b) ( )
2
2 3 6g x x= = (grau 6, portanto o item “b” não está correto. Lembre-se que potência de potência 
multiplica os expoentes.) 
c) 
4 3 7f g x x x =  = (grau 7, item c está correto). 
d) 
4 2f h x x+ = + (grau 4, potências de graus diferentes ‘não se misturam’) 
e) 
3 2g h x x− = − (grau 3, potências de graus diferentes ‘não se misturam’) 
 
02. Lembre-se de que raiz é o valor de x que torna o valor do polinômio zero, ou também, que torna a equação 
verdadeira. Assim, 
4 3 22 10 4 0x x mx x− − + − = 
4 3 2
1 1 1 1
2 10 4 0
2 2 2 2
m
       
 − −  +  − =       
       
 
2 1 10
4 0
16 8 4 2
m
− − + − = 
1 1
5 4 0
8 8 4
m
− − + − = 
1 4
4
m
m− = −  = 
Como 4 é o quadrado de 2, ele é um quadrado perfeito. 
 
1
3
x
x
3
x
)x(P 2
3
+−+=
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03. Vamos adotar 
2p x= , 3q x= e 4r x= . 
Então, 
2 3 4
5 4
p q r
x x x
x x
 + =
 + =
+
 
Cujo grau é 5. 
 
04. Se 3 é raiz, então ( )3 0p = 
Assim, 
( )
3 2
3 5 3 2 3 3 3 0p m=  −  +  − = 
5 3 3 6 3 3 0m − + − = 
15 3 6 3 3 0m− + − = 
18 3 6 m− = 
( )6 3 3 1m = − 
 
05. A única forma de p e q terem graus iguais e p.q ter grau 10, é que os polinômios p e q tenham grau 5. 
Para imaginar o que ocorre com o polinômio p + q devemos imaginar alguns casos. 
Caso 1: vamos considerar que 
5 5( ) e ( )p x x q x x= = . Neste caso, 52p q x+ = e o grau é 5. 
Caso 2: vamos considerar um caso em que os termos de maior grau se cancelem. Por exemplo:
5 4 5 4( ) +x e ( )p x x q x x x= − = + . Neste caso, 42p q x+ = e o grau é 4. 
Assim, o grau pode ser 5 ou menor que 5, caso haja cancelamentos. 
 
06. Não é necessário fazer as distributivas, apenas observar que no primeiro termo o grau é 1, no segundo termo o 
grau é 2, depois 3, e assim sucessivamente. Considerando apenas os maiores expoentes de cada termo teremos: 
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
21
x x x x x x
x
x
+ + + + +
     =
= 
 
07. Analisando cada alternativa. 
a) O grau de um polinômio não depende do valor de x. O item tenta fazer uma confusão entre o valor numérico do 
polinômio e seu grau. 
b) Para m = - 1, teremos: 
( )( ) ( )2 3 2
3 2
3
( ) 1 1 2 1 1 2
( ) 2 0 2
( ) 2 2
p x x x x
p x x x x
p x x x
= − + − − + − +
= − − +
= − +
 
Que tem grau 3. 
c) Para ver se 2 é raiz do polinômio basta substituir x = 2 e verificar se p(2) = 0. 
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3( ) 2 2p x x x= − + 
3(2) 2 2 2 2 16p =  − + = 
E assim, x = 2 não é raiz. 
d) Substituindo m por 0. 
( ) ( )2 3 2
3 2
( ) 0 1 2 0 1 2
( ) 2 2
p x x x x
p x x x x
= + − + − +
= − − +
 
E fazendo as substituições podemos perceber que: 
3 2( ) 2 2p x x x x= − − + 
3 2(1) 1 2 1 1 2 (1) 1 2 1 2 0p p= −  − +  = − − + = 
 
3 2( ) 2 2p x x x x= − − + 
( ) ( ) ( )
3 2
( 1) 1 2 1 1 2 ( 1) 1 2 1 2 0p p− = − −  − − − +  − = − − + + = 
 
3 2( ) 2 2p x x x x= − − + 
3 2(2) 2 2 2 2 2 (2) 8 8 2 2 0p p= −  − +  = − − + = 
 
Portanto, 1, -1 e 2 são raízes. Item correto. 
 
e) Se m = 1, o polinômio se torna: 
( ) ( )2 3 2
3 2
( ) 1 1 2 1 1 2
( ) 2 4 2
p x x x x
p x x x x
= + − + − +
= − − +
 
Que é de grau 3. 
 
08. Para o grau ser 3, o coeficiente do termo em 
4x deve ser nulo. 
Para isso, m + 3 = 0 
E portanto, m = - 3 
 
09. Observe um polinômio qualquer (neste exemplo vamos usar um polinômio de terceiro grau): 
3 2( )p x ax bx cx d= + + + . 
Veja agora o que ocorre ao substituirmos x por 1, ou seja, calcularmos o valor de p(1): 
3 2(1) 1 1 1
(1)
p a b c d
p a b c d
=  +  +  +
= + + +
 
 
Observe que p(1) é a soma dos coeficientes a, b, c, d. 
O que ocorreu para este polinômio ocorre para todos: a soma dos coeficientes é sempre igual a p(1). Por isso, a soma 
dos coeficientes será: 
( )
5
( ) 1p x x= + 
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( )
5
5
(1) 1 1
(1) 2 32
p
p
= +
= =
 
 
10. O custo de fabricação será o valor numérico quando x = 10. Assim, 
3 2( ) 30 400 500C x x x x= − + + 
3 2(10) 10 30 10 400 10 500
(10) 1000 3000 4000 500
(10) 2500
C
C
C
= −  +  +
= − + +
=
 
 
11. Como f(-2) = 12, vamos substituir x por -2. 
4 2( ) 2 3f x ax bx x= + + + 
( ) ( ) ( )
4 2
( 2) 2 2 2 2 3f a b− =  − +  − +  − + 
( 2) 16 4 4 3f a b− = + − + 
Como f(-2) = 12, 
12 16 4 4 3 16 4 13a b a b= + − +  + = 
 
Agora, vamos à pergunta, que é f(2). 
4 2( ) 2 3f x ax bx x= + + + 
4 2(2) 2 2 2 2 3f a b=  +  +  + 
13
(2) 16 4 4 3
(2) 13 4 3 20
f a b
f
= + + +
= + + =
 
 
12. Escrevendo o polinômio em sua forma geral: 
3 2( )P x ax bx cx d= + + + . 
Substituindo os dados do exercício, começando do P(0), que nos dará o valor do termo independente, d: 
 
1) P(0) = 1, portanto, 
3 2(0) 0 0 0P a b c d=  +  +  + 
1 0 0 0 d= + + + 
1d = 
 
Com isso, 
3 2( ) 1P x ax bx cx= + + + 
 
2) P(-1) = 2, portanto, 
( ) ( ) ( )
3 2
( 1) 1 1 1 1
2 1
1
P a b c
a b c
a b c
− =  − +  − +  − +
= − + − +
 − + = −
 
 
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3) P(1) = 2, portanto, 
3 2(1) 1 1 1 1
2 1
1
P a b c
a b c
a b c
=  +  +  +
= + + +
 + + =
 
 
4) P(2) = 7, portanto, 
3 2(2) 2 2 2 1
7 8 4 2 1
8 4 2 6
P a b c
a b c
a b c
=  +  +  +
= + + +
 + + =
 
 
O que nos conduz ao sistema: 
1
1
8 4 2 6
a b c
a b c
a b c
− + = −

+ + =
 + + =
 
 
Uma das técnicas de resolver um sistema de três equações e três incógnitas é isolar uma variável em uma e substituir 
nas outras duas. Por isso, isolando “c” na primeira equação. 
 
1 1
1
8 4 2 6
a b c c a b
a b c
a b c
 − + = −  = − − +

+ + =
 + + =

 
 
Substituindo nas outras duas: 
1a b c+ + = 
1 1
2 2
1
a b a b
b
b
+ − − + =
=
=
 
 
( )
8 4 2 6
8 4 2 1 6
a b c
a b a b
+ + =
+ + − − + =
 
8 4 2 2 2 6
6 6 8
a b a b
a b
+ − − + =
+ =
 
Como já obtivemos que b = 1, 
1
6 6 8
3
a a+ =  = 
 
E finalmente, 
1c a b=− − + 
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1 1
1 1
3 3
c c= − − +  = − 
Chegando, assim, a: 
 
 
13. 
 ( ) ( )3 3 3 3 0
3
x
x x x x +  −   = 
Como a equação já se encontra fatorada, observe que basta igualar cada um dos fatores a zero. 
3 0 0x x=  = 
3 0 3x x+ =  =− 
3 0 3x x− =  = 
0 0
3
x
x=  = 
3 0 0x x=  = 
 
Existem somente três valores distintos entre si: 0, - 3 e 3. 
 
14. 
( ) ( )1 2 2( ) 1 2 ... + 2n n np x nx n x n x x x− −= + − + − + + 
( ) ( )1 2 2(1) 1 1 1 2 1 ... + 2 1 1n n np n n n− −=  + −  + −  +  + 
( ) ( )(1) 1 2 ... + 2 1p n n n= + − + − + + 
Lendo a soma da direita para a esquerda, nota-se que é a soma dos termos de uma progressão aritmética: 
( ) ( )(1) 1 2 3 .... 2 1p n n n= + + + + − + − + 
Primeiro termo: 1 
Último termo: n 
Número de termos: n (porque quem conta de 1 até n conta n termos). 
Assim, usando a fórmula da soma de P.A.: 
( )1
2
na a n
S
+ 
= 
( )1
2
n n
S
+ 
= 
 
15. 
01. 
3 2(2) 2 5 2 12
(2) 8 20 12 0
P
P
= −  +
= − + =
 
Como P(2) = 0, então 2 é raiz. 
 
1
3
x
x
3
x)x(P 2
3
+−+=
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04. 
Caso a = -1: 
( )2 2( ) 1 3P x a x ax= − + + 
( )( )2 2
2
( ) 1 1 1 3
( ) 0 3
( ) 3
P x x x
P x x x
P x x
= − − − +
= − +
= − +
 
Que é de primeiro grau. 
 
16. Podemos adotar polinômios representativos, como: 
2p x= , 3r x= e 4s x= . Ao efetuar a soma proposta 
teremos: 
2 3 4p r s x x x+ − = + − 
Que é um polinômio de grau 4. 
Como não há operação possível entre potências distintas de x, este resultado é válido para quaisquer outros 
polinômios destes graus, não precisando ser o exemplo que usamos. 
 
17. Inicialmente vamos desenvolver P(x). 
( ) ( )
24 2( ) 1 2 1P x x x x x x= − − + − 
( )4 2 2 2( ) 1 2 2 2P x x x x x x x= − − + + − 
4 2 3 4 2( ) 2 2 2P x x x x x x x= − + − + − 
3 2( ) 2 3 2P x x x x= − + 
 
Item 01: Verdadeiro. 
3 2(0) 2 0 3 0 2 0 (0) 0P P=  −  +   = 
Item 02: Falso. Após desenvolver todos os termos, o polinômio é de terceiro grau. 
Item 08: Verdadeiro: 
3 2( ) 2 3 2P x x x x= − + 
3 2(2) 2 2 3 2 2 2
(2) 16 12 4 8
P
P
=  −  + 
= − + =
 
 
Item 16: Verdadeiro. Igualando o polinômio a zero: 
( )
3 2
2
2 3 2 0
2 3 2 0
x x x
x x x
− + =
− + =
 
 
Na forma fatorada, podemos concluir que x = 0 ou 
22 3 2x x− + = 0. 
O discriminante da equação é ( )
2
3 4 2 2 = − −   , que resultará - 7. Portanto, as raízes são complexas. 
 
18. O grau do polinômio que expressa o determinante da matriz 
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1
2
1 1
x x
A x x
x
 
 
= −
 
  
 é: 
 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
e) 4 
 
Resolução: primeiro devemos desenvolver o determinante de acordo com a Regra de Sarrus: 
1
det 2 2 
1 1 1
x x x x
A x x x
x x
= − 
2 2 3
3
det 2 2
det
A x x x x x x
A x x
= − + − + −
= −
 
Que é um polinômio de terceiro grau. 
 
19. Considere os polinômios p = x2 – 2x + 1, q = x3 + x – 2 e r = –x5 + 2x4 – x3 + x2 – x + 1. O grau do polinômio p  q + r 
é: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
Resolução: ( )( ) ( )2 3 5 4 3 22 1 2 2 1p q r x x x x x x x x x + = − + + − + − + − + − + 
5 3 2 4 2 3 5 4 3 22 2 2 4 2 2 1p q r x x x x x x x x x x x x x + = + − − − + + + − − + − + − + ¨ 
Fazendo as contas, os termos de quinto grau se cancelam e os de quarto grau também. 
3 23 4 1p q r x x x + = − + − 
Que é um polinômio de terceiro grau. 
 
Questões Extras e Desafios 
 
20. O grau de p será obtido imaginando que, na distributiva, teremos a seguinte multiplicação: 
1 2 3 4 5 15x x x x x x     = 
1 2 3 4 5 ... + 15x + + + + + 
Somando, ou usando soma de P.A., obteremos: 
( )1 15 15
1 2 3 4 ... 15 120
2
+ 
+ + + + + = = 
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Portanto, obtemos o termo: 
1 2 3 4 5 ... + 15 120x x+ + + + + = 
 
Já substituindo x por 2, vamos calcular os primeiros termos: 
( )( )( )( )( ) ( )
14
2 3 4 5 15
1 2 4 8 16 2
(2) 2 1 2 2 2 4 2 8 2 16 ... 2 16384p = − − − − − − 
 
Observando que os resultados são potências de 2, multiplicando, 
0 1 2 3 4 14
0 1 2 3 ... 14
(2) 2 2 2 2 2 ...2
(2) 2
p
p + + + + +
=    
=
 
( )0 14 15
1052(2) 2 2p
+ 
= = 
 
21. Escrevendo o polinômio na forma genérica, temos
2( )P x ax bx c= + + . 
Agora substituindo as informações do enunciado podem ser obtidos os valores de a, b, c. 
2(0) .0 0 20
20
P a b c
c
= +  + = −
 = −
 
E portanto, 
2( ) 20P x ax bx= + − 
 
Em seguida, partindo de P(1)+P(2) = - 18: 
2 2
(1) (2) 18
1 1 20 2 2 20 18
5 3 22
P P
a b a b
a b
+ = −
 +  − +  +  − = −
+ =
 
 
E de: P(1) – 3P(2) = 6 
( )2 2
(1) 3 (2) 6
1 1 20 3 2 2 20 6
20 12 6 60 6
11 5 34 11 5 34
P P
a b a b
a b a b
a b a b
− =
 +  − −  +  − =
+ − − − + =
− − = −  + =
 
 
Chegando ao sistema: 
5 3 22
11 5 34
a b
a b
+ =

+ =
` 
Isolando a na primeira equação: 
22 3
5
b
a
−
= 
Substituindo na segunda: 
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22 3
11 5 34
5
242 33 25
34
5
242 8 170 9
b
b
b b
b b
− 
+ = 
 
− +
=
− =  =
 
 
E portanto, 
22 3 22 27
1
5 5
b
a
− −
= = = − 
Assim, 
2( ) 9 20P x x x= − + − 
 
Agora devemos resolver a inequação: 
2 9 20 0x x− + −  
As raízes da equação associada são: x = 4 e x = 5. Por isso, o estudo do sinal é: 
 
 
Como a inequação busca os valores de x, que tornarão negativa a expressão 
2 9 20x x− + − , então a solução é {x  
R | x < 4 ou x > 5} 
 
22. ( )3 2 2f a x= + + e 2 3 1g ax a= − + 
O polinômio fg será: 
( )( ) ( )3 2 2 2 3 1f g a x ax a = + +  − + 
Analisando apenas o termo de segundo grau que ocorre após a distributiva: 
( ) 23 2 2a a x+   
É necessário que este coeficiente seja diferente de zero: 
( )3 2 2 0
3 2 0 e 2a 0
2
 e a 0
3
a a
a
a
+  
+  
 − 
 
 
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Aula 06: Equações Polinomiais I - Redução de grau de uma Equação 
Polinomial 
 
Vídeo-Aula completa com teoria e exercícios aqui! 
Aula 06 – 20 minutos 
Assista em: https://youtu.be/Q8deW0KG7xQ 
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Pequeno Resumo Teórico 
 
O que são equações polinomiais 
Equações polinomiais podem sempre ser expressas na forma 
P(x) = 0 
 
E nelas, estamos procurando os valores de x que tornam a igualdade verdadeira. 
 
Assim, equações polinomiais podem ter graus maiores que 2, como: 
3 27 8 1 0x x x− − + = 
4 3 24 6 4 1 0x x x x− + − + = 
5 28 0x x− = 
 
Os exemplos acima são equações polinomiais. Em cada uma delas, procuramos os valores de x que tornam 
as equações verdadeiras. Esses valores são as raízes da equação. 
 
 
Redução de Grau (para equações de grau 3 ou maior) 
 
Não faz parte do ensino médio resolver qualquer equação de terceiro ou quarto grau. Essas equações 
podem ser resolvidas e existem métodos para isso, mas não fazem parte do conteúdo de ensino médio. 
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O vestibular se restringe a casos em que já conhecemos previamente uma raiz. É isto que vamos estudar 
agora. 
 
Para isso, vamos a um problema de exemplo. 
PROBLEMA: “Sabendo que x = 1 é uma das raízes da equação 3 26 11 6 0x x x− + − = , obtenha as outras 
duas raízes.” 
 
Justificativa/Demonstração 
Para usar essa informação – de que x = 1 é uma das raízes – devemos pensar na forma fatorada (vimos 
algumas aulas atrás....). 
A forma fatorada da expressão dada é: ( )( )( )1 2 3( )p x a x x x x x x= − − − 
Sabendo que 1 é raiz, então a expressão fica: ( )( )( )2 3( ) 1p x a x x x x x= − − − 
 
Neste caso, podemos reduzir o grau do polinômio. Veja o que acontece se dividirmos por (x – 1): 
( )1( )
1
a xp x
x
−
=
−
( )( )
( )
2 3
1
x x x x
x
− −
−
( )( )2 3
( )
1
p x
a x x x x
x
= − −
−
 
 
E o termo do lado direito é uma expressão de segundo grau, com as raízes desconhecidas. 
 
Aplicação 
“Sabendo que x = 1 é uma das raízes da equação 3 26 11 6 0x x x− + − = , obtenha as outras duas raízes.” 
 
Não é necessário repetir os passos acima, apenas notar que podemos dividir o polinômio por (x – 1) obtendo 
um polinômio de segundo grau. 
Assim: 
3 2
3 2 2
2
2
 6 11 6 1
 5 6
 5 11 6
 5 5 
 6 6
 6 6 
 0
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− + − −
− + − +
− + −
+ −
−
− +
 
 
Veja o que aconteceu: ao dividir o polinômio 3 26 11 6x x x− + − por (x – 1), obtemos o quociente 
2 5 6x x− + , onde estão as outras duas raízes. 
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Basta resolver 2 5 6 0x x− + = , obtendo as raízes x = 2 e x = 3. 
Assim, a solução é: S = {1, 2, 3}. 
 
Portanto: 
 
Conhecida uma raiz de um polinômio, 
basta dividi-lo por (x – raiz) para abaixarseu grau. 
As demais raízes continuarão sendo raízes do resultado da divisão. 
 
Exercícios Propostos 
 
1. (IFPE/2014) 
Uma das raízes do polinômio 
3 26 30P x x x= + − − é – 5. A soma das outras duas é: 
 
a) –6 
b) –5 
c) –2 
d) –1 
e) 3 
 
2. (UNCISAL/2015) 
 
Funções polinomiais: uma visão analítica 
 
 Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é 
determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função 
f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo 
da Matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes 
exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para 
o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito 
complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo: 
 
• Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter? 
• Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter? 
• Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de 
uma equação polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este 
problema foi completamente resolvido. [...] 
Disponível em: 
<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/ 
sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html>. 
Acesso em: 24 out. 2014 (adaptado). 
 
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www.materiaisdolafa.com.br 22 
Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros 
zeros? 
 
a) –6 
b) –5 
c) 0 
d) 5 
e) 6 
 
3. (UEPA/2014) 
Girolamo Cardano (1501 – 1576) apresentou no livro Ars Magna, demonstrações sobre como resolver equações 
cúbicas. Ele propôs para equações da forma x3 + px + q = 0 a solução . 
Sabe-se que Rafael Bombelli (1526 – 1572) estendeu às ideias de Cardano e encontrou uma das raízes da equação 
x3 – 15.x – 4 = 0, o número 4. Nessas condições, a soma dos inversos das outras raízes dessa equação é: 
 
a) 4 
b) 2 
c) 0 
d) –2 
e) –4 
 
4. (UFRGS/2015) 
 
Considere o polinômio p(x) = x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12. Se p(2) = 0 e p(–2) = 0 , então as raízes do polinômio p(x) 
são 
 
a) –2, 0, 1 e 2. 
b) –2, –1, 2 e 3. 
c) –2, –1, 1 e 2. 
d) –2, –1, 0 e 2. 
e) –3, –2, 1 e 2. 
 
5. (FM Petrópolis RJ/2016) 
 
Seja f : R → R a função polinomial definida por 
f(x) = x4 – 3x3 + 3x – 9. 
O fato de x = 3 ser um zero da função f é equivalente ao fato de o polinômio x4 – 3x3 + 3x – 9 ser divisível por 
 
a) x2 – 9 
b) x + 3 
c) 3 
d) x – 3 
e) x 
3
32
3
32
27
p
4
q
2
q
27
p
4
q
2
q
x +−−+++−=
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6. (MACK SP/2015) 
 
Seja P (x) = 2x3 – 11x2 + 17x – 6 um polinômio do 3º grau e 2x – 1 um de seus fatores. A média aritmética das raízes de 
P (x) é 
 
a) 
2
7
 
b) 
2
8
 
c) 
2
9
 
d) 
2
10
 
e) 
6
11
 
 
7. (UNICAMP SP/2015) 
 
Considere o polinômio P(x) = x3 – x2 + ax – a, onde a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então 
podemos afirmar que 
 
a) a < 0 
b) a < 1 
c) a > 0 
d) a > 1 
 
8. (PUC RJ/2011) 
 
A fatoração do polinômio 
3( ) 7 6p x x x= − + é: 
 
a) (x − 1) (x − 2) (x + 3) 
b) (x + 1) (x + 2) (x − 3) 
c) (x − 1) (x + 2) (x − 3) 
d) (x + 1) (x − 2) (x + 3) 
e) (x + 1) (x + 2) (x + 3) 
 
9. (UNIMONTES MG/2015) 
 
Considere a função polinomial f:IR → IR, definida por f(x) = –x3 – x. O esboço que melhor representa o gráfico de 
f é 
 
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a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
 
Gabaritos da Aula 06 
1. D 
2. D 
3. E 
4. E 
5. D 
6. E 
7. C 
8. A 
9. D 
 
Resoluções da Aula 06 
 
1. 
Como estudado, para reduzir o grau da equação basta dividir por (x – raiz). 
 
Assim, dividiremos por x – (–5), ou seja, por x + 5. 
 
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3 2
3 2 2
2
2
 6 30 5
 5 6
 30
 5 
 6 30
 6 30 
 0
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
+ − − +
− − + −
− −
− −
− −
+ +
 
 
As outras raízes são as raízes de 
2 6 0x x+ − = . 
Resolvendo a equação obtemos raízes 2 e -3, cuja soma é – 1. 
Gab: D 
 
2. 
Dividindo 
3 26 11 6x x x− + − por (x – 1): 
3 2
3 2 2
2
2
 6 11 6 1
 5 6
 5 11 6 
 5 5 
 6 6
 6 6
 0
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− + − −
− + − +
− + −
−
−
− +
 
 
As outras raízes são as raízes de 
2 5 6 0x x− + = , que são 2 e 3. 
A soma das outras 2 raízes é 2 + 3 = 5. 
Gab: D 
 
3. 
Do longo texto, basta extrairmos que 4 é raiz da equação. Portanto iremos dividir a expressão por (x – 4). 
3
3 2 2
2
2
 15 4 4
 4 4 1
 4 15 4
 4 16 
 4
 4
 0
x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− − −
− + + +
− −
− +
−
− +
 
 
As outras duas raízes são as raízes de 
2 4 1 0x x+ + = . 
Resolvendo: 
24 4 1 1 12 = −   = 
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4 12 4 2 3
2 2
x
−  − 
= = 
( )
1
1
2 2 34 2 3
2 2
2 3
x
x
− +− +
= =
= − +
 
 
( )
2
2
2 2 34 2 3
2 2
2 3
x
x
− −− −
= =
= − −
 
 
E o exercício pede a soma dos inversos. Chamando de S esta soma: 
1 1
2 3 2 3
S = +
− + − −
 
Tirando o mínimo: 
( )( )
2 3 2 3
2 3 2 3
4
4 2 3 2 3 3
4
4
1
S
S
S
− − − +
=
− + − −
−
=
+ − −
−
= = −
 
Gab: E 
 
4. 
Observe que p(2) = 0 indica que 2 é raiz; e p(-2) = 0 indica que – 2 é raiz. Portanto iremos reduzir o grau do 
polinômio duas vezes seguidas. 
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
2
2
 2 7 8 12 2
2 4 6
 4 7 8 12
 4 8 
 8 12
 2 
 
x x x x x
x x x x x
x x x
x x
x x
x x
+ − − + −
− + + + −
− − +
− +
− +
− +
 6 12
 6 12
 0
x
x
− +
−
 
 
As outras três raízes estão no quociente, que é 
3 24 6x x x+ + − . Note que já usamos a raiz 2 ao dividir por (x – 2), 
não podemos usá-la novamente. Agora iremos usar a outra raiz fornecida, que é -2. 
Para isso, dividindo por x + 2. 
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3 2
3 2 2
2
2
 4 6 2
2 2 3
 2 6 
 2 4 
 3 6
 3 6 
 0
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
+ + − +
− − + −
+ −
− −
− −
+
 
 
As outras duas raízes são as raízes de: 
2 2 3 0x x+ − = 
Que são x = 1 e x = - 3. 
Logo, as raízes são: 1, 2, -2 e -3. 
Gab: E 
 
5. Como estudamos, o fato de 3 ser uma raiz indica que existe o termo (x – 3) na forma fatorada do polinômio, e por 
isso ele é divisível por (x – 3). 
Gab: D 
 
6. 
Dizer que (2x – 1) é um dos fatores é equivalente a dizer que é um dos termos da fatoração. Isso tem duas 
consequências: 
• Uma das raízes é a raiz de 2x – 1, portanto: 
1
2 1 0
2
x x− =  = 
• Podemos proceder da mesma forma que na aula para achar as outras raízes, dividindo o polinômio por (2x – 
1). (Também poderíamos dividir por 
1
2
x − ) 
3 2
3 2 2
2
2
 2 11 17 6 2 1
2 5 6
 10 17 6 
 10 5 
 12 6
 12 6
 0
x x xx
x x x x
x x
x x
x
x
− + − −
− + − +
− + −
−
−
− +
 
 
E as outras raízes são as raízes de 
2 5 6 0x x− + = , que são 2 e 3. 
A média aritimética pedida é: 
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1
2 3
2
3
1 4 6
112
3 6
M
M
+ +
=
+ +
= =
 
Gab: E 
 
7. 
Tendo sido dada uma raiz, podemos abaixar o grau: 
3 2
3 2 2
 1
 
 
 
 0
x x ax a x
x x x a
ax a
ax a
− + − −
− + +
−
− +
 
 
As outras raízes do polinomio são as raízes de 
2 0x a+ = . 
Agora devemos usar a informação do enunciado: x = 1 é a única raiz real do polinômio. 
Ora, se é a única, então 
2 0x a+ = não pode ter outras raízes reais, pode apenas ter raízes imaginárias. 
Isolando o x chegamos a: 
2x a= − 
 
Esta equação não vai ter raiz se o termo –a for negativo. Para isso, precisamos que a seja positivo. 
Por isso a resposta pedida é a > 0. 
 
Neste ponto já chegamos à resposta pedida. Apenas para compreender melhor a ideia de não ter raízes você 
poderia substituir valores de “a”. Por exemplo, 
4a = − 4a = 
2 4 0x − = 
2 4 0x + = 
2 4
2
x
x
=
= 
 
2 4
4
Não tem raiz real
x
x
= −
=  − 
 
Assim, para a = - 4, a equação tem raízes, exatamente o contrário do que o enunciado pede. 
E para a = 4, a equação não tem raízes, que é o que procuramos. 
 
Gab: C 
 
8. 
Nenhuma raiz é fornecida. Como visto na aula, quando isso ocorre, devemos procurar as chamadas “raízes óbvias”, 
que são 1, -1 ou 0. 
Fazemos isso por tentativa. Testando x = 1: 
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3
3
7 6 0
1 7 1 6 0
0 0 (ok!)
x x− + =
−  + =
=
 
 
Então 1 é raiz. 
Abaixando o grau, dividindo por x – 1, obteremos: 
3
3 2 2
2
2
 7 6 1
 6
 7 6
 
 6 6
 +6 6 
 0
x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− + −
− + + −
− +
− +
− +
−
 
 
E as outras raízes são 2 e – 3. 
A forma fatorada é: 
( )( )( )1 2 3( )p x a x x x x x x= − − − 
( )( ) ( )( )( ) 1 1 2 3p x x x x= − − − − 
( )( )( )( ) 1 2 3p x x x x= − − + 
Gab: A 
 
9. 
Vamos obter as raízes: 
( )
3
3
2
0 (-1)
0
1 0
x x
x x
x x
− − = 
+ =
 + =
 
 
O produto de dois fatores é zero. Por isso, um dos dois fatores tem que ser zero: 
0x = ou 2 1 0x + = 
 (não tem raízes reais) 
 
Por isso, o gráfico pode ter apenas uma raiz real. Isso já exclui as alternativas a e b. 
As alternativas que sobram, c e d se comportam diferente no primeiro quadrante. Por isso podemos substituir um 
valor de x positivo e ver qual o resultado que obtemos para y. Vamos usar x = 1. 
3
3
( )
(1) 1 1
(1) 2
f x x x
f
f
= − −
= − −
= −
 
 
Logo, para x = 1, y = -2. 
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Assim, só a alternativa D é possível. 
 
 
 
 
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