Livro - Topicos Integradores I (Engenharia Civil)

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UNIDADE I
Tópicos Intregradores I -
Engenharias
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Sumário
Para início de converSa ...................................................................................... 2
cinemática .................................................................................................................. 3
Posição, velocidade e aceleração ......................................................................................... 3
velocidade média .................................................................................................... 4
velocidade inStantânea ...................................................................................... 4
aceleração média ................................................................................................... 6
o que significa uma aceleração de 10 m/s²? ........................................................................ 7
aceleração inStantânea .................................................................................... 7
movimento retilíneo uniformemente variado (mruv) ........................ 8
velocidade como uma função do tempo ............................................................................... 8
Posição em função do tempo .................................................................................................. 9
velocidade com uma função da posição .............................................................................. 9
Grandeza eScalar e Grandeza vetorial ...................................................... 13
vetor ............................................................................................................................. 13
operações vetoriais ................................................................................................................. 14
adição de vetoreS ................................................................................................... 14
regra do paralelogramo .......................................................................................................... 15
regra da construção de polígonos ........................................................................................ 15
Subtração de vetoreS .......................................................................................... 16
lei doS SenoS e lei doS coSSenoS .................................................................... 17
lei do ParaleloGramo ........................................................................................... 17 
notação vetorial carteSiana .......................................................................... 17
Soma de vetoreS: rePreSentação carteSiana .......................................... 19
cinética ........................................................................................................................ 25
equação do movimento: coordenadaS carteSianaS ............................ 26
movimento de PartículaS Sob a ação de forçaS .................................... 26
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Junior, Elias Arcanjo da Silva. 
Tópicos Integradores I - Engenharia: Unidade 1 - Recife: Grupo Ser Educacional, 2019.
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tóPicoS inteGradoreS i
unidade i
Para início de converSa
Olá, querido (a) aluno (a),
Seja bem-vindo (a) à nossa disciplina de Tópicos Integradores I.
Esse é o nosso primeiro encontro desta nova jornada de estudos, aqui você vai receber 
orientações para que no futuro seu trabalho seja bem executado.
Desejo que você tenha um excelente aproveitamento com o estudo do nosso guia. Con-
to com seu comprometimento nesta nova jornada acadêmica e acredito que ao final da 
nossa disciplina, você terá total domínio do assunto estudado.
Podemos começar?
orientaçõeS da diSciPlina
Nesta disciplina você terá a oportunidade de revisar, na unidade I, os conceitos estudados na disciplina 
Física Geral e Experimental. Revisaremos a cinemática das partículas, as operações vetoriais e finalizare-
mos com a cinética das partículas. 
Na unidade II continuaremos com o estudo da cinética de uma partícula com a apresentação do Princípio 
do Trabalho, da Conservação da Energia Mecânica, o Princípio do Impulso, e por fim, apresentaremos o 
Princípio da Conservação do Momento Linear.
Na unidade III estudaremos as colisões e iniciaremos o estudo dos corpos sólidos. Analisaremos o mo-
vimento de rotação de um corpo sólido em torno de um eixo fixo e estudaremos a cinética de um corpo 
sólido com a definição de Torque e a formulação da Segunda Lei de Newton para o movimento de rotação.
Por fim, na unidade IV, apresentaremos os conceitos de pressão e densidade e estudaremos os líquidos 
em equilíbrio, analisando a pressão que eles exercem e a força com que atuam sobre os corpos sólidos 
neles imerso. Finalizaremos esta unidade com o estudo dos líquidos em movimento, apresentaremos a 
formulação da lei de vazão e da equação de Bernoulli. 
Então, você terá ao longo do guia, vários recursos disponíveis para facilitar seu aprendizado. Caso você 
queira fazer alguma pesquisa, utilize a nossa Biblioteca Virtual, esta é uma maneira de agregar novos 
conhecimentos.
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Assista às videoaulas e as webconferências, elas vão ajudar a esclarecer possíveis dúvidas.
Ao final da nossa unidade, acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e responda as atividades.
Caso tenha alguma dúvida, não perca tempo e pergunte ao seu tutor.
Vamos dar início aos nossos estudos?
Então, nessa unidade teremos a oportunidade de revisar alguns dos conceitos físicos que estudamos na 
disciplina de física geral e experimental. Estudaremos a cinemática escalar, as operações vetoriais e a 
cinética. A cinemática é o ramo da mecânica que descreve o movimento independente de suas causas. 
Já na cinética a variação do movimento da partícula é analisado a partir das forças que atuam no corpo, 
sendo a força o agente físico responsável pela variação do movimento. 
cinemática
Caro(a) aluno (a), neste momento iremos analisar o movimento em si e sua variação, sem nos preocupar-
mos com o que gerou esse movimento ou o que gerou a variação. Estudaremos a posição do corpo ao 
longo do tempo, mediremos a velocidade do mesmo, analisaremos se a velocidade está aumentando ou 
se ela está diminuindo. 
Concentramos nossa atenção na cinemática da partícula. Consideraremos que partícula é qualquer objeto 
pontual ou qualquer objeto que se comporte como um corpo pontual (isto é, suas dimensões não serão 
relevantes para a resolução do problema). Para compreender a cinemática precisamos entender alguns 
conceitos básicos como posição, deslocamento, velocidade e aceleração. 
Posição, velocidade e aceleração
Prezado (a), para simplificar a nossa discursão, vamos limitar nossa análise ao movimento em uma só 
dimensão. Por exemplo, o movimento de um carro em linha reta ao longo de uma estrada ou o movimento 
de queda de uma maçã madura na cabeça de um jovem estudante de física sentado à sombra de uma 
macieira. 
Para descrever o movimento, precisamos em primeiro lugar de um referencial, que no caso unidimensio-
nal, é simplesmente uma reta orientada, em que se escolhe a origem O; a distância da partícula até o 
referencial, em um dado instante t, é a posição da partícula. Quando a partícula muda sua posição, ela 
realiza um deslocamento. Quando esse deslocamento acontece, ele leva umtempo para acontecer. Essa 
demora ou intervalo de tempo, necessária para esse deslocamento também é importante. Isso porque o 
deslocamento e o intervalo de tempo definem a rapidez do movimento. A rapidez de um movimento é a 
velocidade desse corpo. 
Na maioria dos movimentos analisados a rapidez da partícula não é constante, assim podemos também 
estudar como a rapidez (velocidade) da partícula está variando ao longo do tempo. A taxa de variação da 
velocidade em relação ao tempo é chamada de aceleração. 
4
velocidade média
Vejamos, a velocidade média de um corpo é definida como a razão entre o deslocamento da partícula e a 
variação do intervalo de tempo decorrido. Traduzindo para a linguagem da física e da matemática, o que 
dissemos foi que: 
Ou 
Essa é a forma mais simples de medir a rapidez da partícula. A velocidade no SI (Sistema Internacional 
de Unidades) é dada em metros por segundo (m/s). A velocidade média determina a distância percorrida 
pela partícula em cada unidade de tempo. Por exemplo, a velocidade de 5 m/s indica a que o corpo per-
corre a distância de 5 m em um 1 segundo e uma velocidade de 80 km/h, indica que o corpo percorre uma 
distância de 80 km em 1 hora, assim em 2,5 h ele percorreria a distância de 200 km.
fique atento!
Quando analisamos o deslocamento de uma partícula e calculamos a sua velocidade 
média, não estamos afirmando que a partícula possui uma velocidade constante, mas 
que estamos determinando uma velocidade constante que permite a partícula realizar 
o mesmo deslocamento no mesmo intervalo de tempo.
velocidade inStantânea
Acredito que nesse momento você deve estar se perguntando: como calcular a velocidade atual de uma 
partícula?
Então, a velocidade atual de uma partícula, ou melhor, a velocidade instantânea de uma partícula é de-
termina tomando valores cada vez menores de ∆t. Assim podemos determinar a velocidade instantânea 
como:
ou 
Ou seja, a velocidade instantânea ou simplesmente velocidade é a derivada com relação ao tempo da 
função posição.
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Observe que ∆t ou dt é sempre positivo, desta forma quem define o sentido da velocidade é o sinal do 
∆x ou dx. Por exemplo, se a partícula está se movendo para a direita (movimento progressivo), figura 1, a 
velocidade é positiva; ao passo que se ela está se deslocando para a esquerda, a velocidade é negativa 
(movimento retrógrado).
fique atento!
Frequentemente, o termo velocidade escalar média é usado. A velocidade escalar mé-
dia é sempre uma grandeza positiva e é definida como a distância total percorrida por 
uma partícula, xT, dividido pelo tempo decorrido, ou seja:
exemPlo
Quando t = 0, a partícula está em A. Em quatro segundos, ela percorre o trajeto até B; 
depois, em outros seis segundos, ela segue até C. Determine a velocidade média e a 
velocidade escalar média da partícula no intervalo de 0 a 10 s. A origem da coordena 
está em O.
6
Solução:
Sistema de coordenada
A coordenada de posição entende-se da origem fixa O até o carro, positiva para a direita.
Velocidade média
A velocidade média da partícula é dada por 
Sendo a posição final e a posição inicial, isso significa que para calcular a velocidade média não precisa-
mos nos preocuparmos com a trajetória, mas apenas com sua posição no início e no final do movimento. 
Logo: 
ATENÇÂO: A posição inicial da partícula é negativa (, porque o ponto A está à esquerda da origem). 
Velocidade escalar média 
A velocidade escalar média da partícula é dada por:
Como é a distância total percorrida pela partícula, a velocidade escalar média depende da trajetória 
da partícula. Sendo a distância do ponto A ao ponto B mais a distância do ponto B até o ponto C, ou 
seja, =|-7-(-1)|+|14-(-7)|=6+21=27 m Logo:
aceleração média
Estudante, se conhecemos a velocidade de uma partícula em dois pontos, a aceleração média da partí-
cula durante um intervalo de tempo ∆t é defino como:
Nesse caso, ∆t representa a variação da velocidade durante o intervalo de tempo ∆t, ou seja, . 
A unidade de aceleração no SI é o m/s² (metro por segundo ao quadrado). 
7
o que significa uma aceleração de 10 m/s²?
Se uma partícula possui uma aceleração de 10 m/s², isso significa que a cada segundo a sua velocidade 
está variando em 10 m/s. Por exemplo, se uma partícula parte do repouso com aceleração de 10 m/s², 
decorrido um segundo sua velocidade será de 10 m/s, decorrido mais um segundo sua velocidade será de 
20 m/s; ou seja, a cada segunda a velocidade está variando em + 10m/s. 
Agora se uma partícula inicia seu movimento com uma velocidade de 12 m/s e uma aceleração constante 
é de – 2m/s², decorrido 1 segundo sua velocidade será de 10 m/s; mais um segundo será de 8 m/s, mais 
um segundo será de 6 m/s e assim sucessivamente. Observe que nesse segundo exemplo a variação da 
velocidade foi de – 2m/s a cada segundo.
fica a dica
Quando a aceleração da partícula é negativa não podemos afirmar que a velocidade da 
partícula está diminuindo (movimento retardado), mas que a variação da velocidade é 
negativa. Uma partícula tem sua velocidade diminuída quando a aceleração e a veloci-
dade têm sinais opostos. Veja o quadro resumo abaixo:
Movimento Acelerado e Movimento Retardado
Movimento acelerado progressivo a>0 v>0
Movimento acelerado retrógrado a<0 v<0
Movimento retardado retrógrado a>0 v<0
Movimento retardado progressivo a<0 v>0
aceleração inStantânea
A aceleração instantânea no tempo t é determinado tornando-se valores cada vez menores de ∆t e cor-
respontentes valores cada vez menores de ? De maneira que:
ou 
8
Assim podemos definir que a aceleração é a taxa de variação temporal da velocidade. Em alguns proble-
mas de cinemática a velocidade é uma função da posição, ou seja , Nesse caso, precisamos 
eliminar o da equação acima. Fazendo uso da regra da cadeia podemos escrever:
Como é a velocidade instantânea da partícula, podemos reescrever a equação da aceleração da 
seguinte forma:
Embora tenhamos produzidos três importantes equações cinemáticas, perceba que a equação não 
é independente das equações: 
fica a dica
Se uma relação é conhecida entre quaisquer duas das quatros variáveis, a, v, x e t, 
uma terceira variável pode ser, então, obtida usando-se uma das equações cinemáti-
cas, , e , visto que cada equação relaciona 
três variáveis.
movimento retilíneo uniformemente variado (mruv) 
Caro (a) aluno (a), nesse conteúdo usaremos as equações cinemáticas para determinar funções que nos 
permitam descrever o movimento de um corpo com aceleração constante. Quero deixar claro que o pro-
cedimento que iremos desenvolver nesse momento poder ser aplicado em qualquer problema, ou seja, o 
procedimento não é exclusivo para análise de movimentos com aceleração constante; mas, as equações 
que iremos obter serão exclusivas para o MRUV. 
Considerando que conhecemos a aceleração, cada uma das três equações da cinemática 
 , e pode ser integrada para se obter fórmulas que relacionam a, v, x e t. 
velocidade como uma função do tempo
Integrando , supondo que, incialmente quando t = 0.
9
Integrando em ambos os lados da equação anterior, temos
Posição em função do tempo
Integrando , supondo que, inicialmente, quando t = 0.
Integrando ambos os lados da equação acima e substituindo o , obtemos;
velocidade com uma função da posição
Integrando , supondo que inicialmente .
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Integrando ambos os lados da equação anterior, obtemos:
exemPlo
Neste exemplo, inicialmente, o carro move-se ao longo de uma estrada reta com velocidade de 35 m/s. Se 
os freios são aplicados e a velocidade do carro é reduzida a 10 m/s em 15 s,determine a desaceleração 
constante do carro e o seu deslocamento.
SOLUÇÃO:
Sistema de coordenada
A coordenada de posição estende-se da origem fixa O até o carro, positiva para a direita.
Aceleração
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Deslocamento
O deslocamento da partícula pode ser determina pela equação de Torricelli, que é utilizada apenas em 
problemas em que a aceleração é constante.
Você também poderia resolver esse problema usando a equação horária da posição para o MRUV.
exemPlo
O carro da figura abaixo move-se em uma linha reta de tal maneira que, por um curto período, sua velo-
cidade é definida por v = (0,6t² + t) m/s, onde t está em segundos. Determine sua posição e aceleração 
quando t = 3s. Quando t = 0, s = 0.
Solução:
Sistema de coordenada
A coordenada de posição estende-se da origem fixa O até o carro, positiva para a direita.
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Posição
Visto que v = f(t), a posição do carro pode ser determinada a partir de v = dx/dt, pois essa equação rela-
ciona v, x e t. Observe que s = 0 quando t = 0, temos: 
Aceleração
Visto que v=f(t), a aceleração é determinada a partir de a = dv/dt, pois essa equação relaciona a, v e t.
ATENÇÃO: as fórmulas para a aceleração constante não podem ser usadas para solucionar esse proble-
ma, porque a aceleração é uma função do tempo.
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Grandeza eScalar e Grandeza vetorial
Praticando
Meu querido (a) estudante, vamos analisar o seguinte problema?
Então, qual a aceleração do corpo com massa de 5 kg, que está sobre uma superfície com atrito 
(µc = 0,2) e sob ação de duas forças com intensidades de 12 N e 20 N?
Fica claro que será impossível resolver esse problema, pois ele está incompleto. Sem conhecer as dire-
ções e os sentidos das forças não teremos como aplicar a segunda lei de Newton para a resolução do 
problema. Assim, podemos observar que algumas grandezas físicas só possuem sentido completo quando 
definimos seu módulo, sua direção, seu sentido e sua unidade. Essas grandezas são chamadas de gran-
dezas vetoriais. Por outro lado, quando afirmamos que a massa do bloco é 5 kg, temos o entendimento 
completo da grandeza massa. Isso significa que algumas grandezas podem ser completamente especifi-
cas quando definimos seu módulo e sua unidade. Essas grandezas são chamadas de grandezas escalares. 
Assim em resumo temos:
•	 Grandeza escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente 
especificada por seu módulo (intensidade) e sua unidade. São grandezas escalares: massa, tempo, com-
primento etc.
•	 Grandeza vetorial é qualquer quantidade física que requer uma intensidade, um sentido, uma 
direção e sua unidade de medida para sua completa descrição. São grandezas vetoriais: velocidade, força, 
momento etc.
De uma forma geral meu caro (a), quando trabalhamos com grandezas escalares precisamos ter um cui-
dado especial com suas unidades, para não somarmos grandezas com unidades diferentes. E quando 
trabalhamos com grandezas vetoriais precisamos considerar não só o módulo e a unidade, mas também a 
direção e o sentido de cada grandeza. Para auxiliar nas operações com grandezas vetoriais, vamos iniciar 
o estudo dos vetores e da matemática vetorial.
vetor
Para a representação de uma grandeza vetorial utilizamos os vetores. O vetor é um ente matemática 
caracterizado por possuir um módulo (intensidade), uma direção e um sentido. Graficamente, um vetor 
é representado por um segmento de reta orientado, indicado por uma letra em negrito ou por uma letra 
sobre o qual colocamos uma seta.
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Lembre-se que o uso dos vetores nos auxilia nas operações matemáticas com grandezas vetoriais.
operações vetoriais
Multiplicação de um vetor por um escalar.
Se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, sua intensidade é alterada por essa quantidade. Se o 
escalar for um número positivo maior que 1, o vetor será ampliado. Se o escalar for positivo entre 0 e 1 a 
intensidade será reduzida.  Quando multiplicado por um escalar negativo, além da mudança da intensida-
de ele também mudará o sentido do vetor.
fica a dica
A multiplicação de um escalar por um vetor não altera a direção do vetor. Tudo bem até 
agora meu caro (a) aluno (a)? Caso você precise de ajuda, sinalize o seu tutor, ele vai te 
ajudar no que for preciso.
Vamos continuar com nossos estudos?
adição de vetoreS
Estudante, frequentemente é necessário se trabalhar com combinações de quantidades vetoriais. Note 
que para se somar escalares, primeiro devemos verificar se eles têm a mesma unidade e então simples-
mente somamos os números. Quando somamos vetores, devemos considerar tanto a magnitude quanto a 
orientação de cada quantidade vetorial. Para a soma de vetores podemos utilizar a regra do paralelogra-
mo ou a regra da construção de polígonos. 
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regra do paralelogramo
Para ilustrar a regra do paralelogramo na adição de vetores, os vetores A e B, figura abaixo, são somados 
para formar um vetor resultante R = A + B usando o seguinte procedimento:
1º Desenhe os vetores com suas origens em um mesmo ponto, mantendo suas intensidades, sentidos e 
direções originais.
2º A partir da extremidade de A desenhe uma linha paralela ao vetor B e na sequência desenhe uma 
nova linha a partir da extremidade de B paralela ao vetor A. Essas duas linhas se cruzam e formam um 
paralelogramo.
3º A diagonal desse paralelogramo, com mesma origem dos vetores A e B e extremidade no vértice opos-
to, represente o vetor resultante R = A + B.    
regra da construção de polígonos
A regra da construção de polígonos é muito útil quando devemos somar mais de dois vetores. Para somar 
os vetores A, B e C usando a Regra da construção de Polígonos devemos usar o seguinte procedimento:
1º Desenhe o vetor A, mantendo módulo, direção e sentido originais, e na extremidade de A desenhe o 
vetor B, também mantendo suas características iniciais e na sequência desenho o vetor C, mantendo seu 
módulo, direção e sentido.
2º O vetor com a origem na origem do primeiro vetor e sua extremidade na extremidade do último vetor é 
o vetor soma ou vetor resultante R = A + B + C.
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PalavraS do ProfeSSor
Meu caro (a) estudante, a regra da construção de polígonos é chamada de construção 
de triângulos, quando a soma é apenas de dois vetores. Você também pode usar a lei do 
paralelogramo para somar mais de dois vetores, para isso, você soma os dois primeiros 
vetores e a resultante deles você soma com o terceiro, e a resultante deles soma com 
o quarto e assim por diante.     
Subtração de vetoreS
Para subtração de vetores podemos usar a lei do paralelogramo ou a regra da construção de polígonos, 
para isso, você deve transformar a operação de subtração em uma operação de soma de vetores. Assim o 
vetor diferença D = A – B deve ser escrito como D = A + (-B). O vetor -B é o vetor oposto ao vetor B, ou seja, 
o vetor com mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto a B. Procedimento para calcular a diferença 
entre (D = A – B) dois vetores utilizando a regra da construção de polígonos:
1º Desenhe o vetor A, mantendo módulo, direção e sentido originais, e na extremidade de A desenhe o 
vetor -B, que tem o mesmo módulo e mesma direção do vetor B, mas o sentido é o oposto ao de B. 
2º O vetor com a origem no início do primeiro vetor e sua extremidade no fim do segundo vetor é o vetor 
resultante D = A + (-B), ou seja, o vetor D = A – B. 
 
Propriedades das operações Vetoriais
Comutativa: A ordem em que os vetores são somados não altera a soma, ou seja,
A + B = B + A.
Associativa: A soma dos vetores não é alterada pela associação dos vetores de diferentes formas, ou 
seja,
(A + B) + C = A + (B + C).
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fica a dica
Agora que já sabemos representar graficamente o vetor soma e o vetor diferença, es-
tamos prontos para determinar o módulo, a direção e o sentido desses vetores resul-
tantes. Para isso usamos a lei dos senos, a lei dos cossenos, a lei do paralelogramo e o 
fato que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 
 
lei doS SenoS e lei doS coSSenoS
A lei dos senos e doscossenos são duas relações matemáticas que nos permite relacionar os ângulos 
internos dos triângulos com as medidas nos seus lados.
Lei dos senos: Em um triângulo qualquer, a razão entre a medida de um lado do triângulo e o seno do 
ângulo interno oposto a esse lado é constante, ou seja,
Lei dos cossenos: O quadrado da medida e um dos lados, de triângulo qualquer, é igual à soma dos 
quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo 
entre eles, nominalmente, 
lei do ParaleloGramo
O quadrado da medida da diagonal, de um paralelogramo qualquer, é igual à soma dos quadrados dos 
dois lados adjacentes, mais o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles, 
nominalmente, 
 
 
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notação vetorial carteSiana
Ângulo diretor
 
É possível representar um vetor em termos de vetores cartesianos unitários   . Eles são chamados 
de vetores unitários porque possuem módulo 1 e são usados para determinar as direções cartesianas x e 
y, respectivamente.
Assim podemos notar o vetor como um vetor cartesiano da forma
onde Ax e Ay são as componentes ortogonais do vetor A, ou seja, são as projeções do vetor A sobre os 
eixos x e y, respectivamente. Como essas componentes formam um triângulo retângulo, podemos deter-
minar suas intensidades a partir das razões trigonométricas do triângulo retângulo da seguinte forma:
No intuito de “simplificar” seu estudo, alguns alunos decoram algumas fórmulas sem entender o seu 
real significado, que resulta em erros na resolução de problemas. Um bom exemplo é decorar que 
a , onde na realidade ele precisa entender que a componente do 
vetor A na direção do cateto adjacente do ângulo diretor é igual ao módulo de vezes o cosseno do 
ângulo diretor e a componente do vetor que está da direção do cateto oposto ao vetor diretor é igual 
ao módulo de vezes o seno do ângulo diretor.  
 
Triângulo diretor 
A direção de um vetor pode ser dada através de seu triângulo diretor. 
Nesse caso o vetor pode ser escrito na forma cartesiana do seguinte modo:
 
 
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Onde as componentes ortogonais do vetor são obtidas das razões de proporcionalidade entre os lados 
correspondentes dos triângulos semelhantes abc e AxAyA.
Se você ficou com alguma dúvida na representação dos vetores cartesianos a partir do seu 
triângulo diretor, assista a web conferência da UNIDADE I, utilize seu material de estudo e 
principalmente não esqueça do seu tutor, ele pode te ajudar no que for preciso.  
Soma de vetoreS: rePreSentação carteSiana
 
Módulo e Direção do Vetor resultante
Para determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante usamos as se-
guintes equações:
Módulo do vetor resultante: 
A direção e o sentido do vetor resultante: 
PalavraS do ProfeSSor
Meu caro (a), agora que você aprendeu com a aplicação dos conceitos estudados até 
aqui, recomento que acompanhe a resolução dos exemplos a seguir, para que você 
aprenda realmente não terá outra opção a não ser praticar. 
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exemPlo
Determine a intensidade da força e a intensidade da força resultante de se estiver direcionada ao 
longo do eixo y positivo. 
 
Solução 
Utilizando a regra dos paralelogramos traçamos uma reta com início na extremidade do vetor F e paralela 
ao vetor força de intensidade 200 N e na sequência desenhamos uma nova reta com origem na extremi-
dade do vetor com intensidade de 200 N e paralela ao vetor F. A interseção das retas estará sobre o eixo 
y, pois o problema afirma que a resultante das forças está sobre esse eixo. Com o paralelogramo formado, 
encontramos os ângulos internos e utilizamos a lei dos senos para determinar a intensidade do vetor 
resultante e do vetor F.
Se você observar apenas o lado esquerdo do paralelogramo verá um triângulo com os ângulos de 45° e 
30°. Como a soma dos internos é igual a 180°, o terceiro ângulo será de θ = 75°.
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Aplicando a lei dos senos para determinar o módulo de F, temos:
e
Aplicando novamente a lei dos senos para determinar a intensidade da força resultante, temos:
exemPlo
O anel mostrado na figura está submetido a duas forças F1 e F2. Se for necessário que a força resultante 
tenha intensidade de 1 kN e seja orientada verticalmente para baixo, determine (a) a intensidade de F1 e 
F2, desde que Ɵ = 30°, e (b) as intensidades de F1 e F2, se F2 for mínima. 
 
22
Solução 
Letra a: Utilizando a regra da construção de triangulo, você deve desenhar o vetor F1 com sua origem na 
extremidade do vetor F2, mantendo módulo direção e sentido. O vetor resultante tem origem no início do 
vetor F2 e sua extremidade a fim do vetor F1. Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, o 
ângulo entre F2 e F1 é 130°. Já que a intensidade do vetor resultante é 1 kN podemos determinar as inten-
sidades de F1 e F2 usando a lei dos senos.
e
Letra b: Observando a figura ao lado você pode concluir que a força F2 será mínima se o ângulo entre F1 e 
F2 for igual a 90°. E usando as razões trigonométricas do triângulo retângulo, temos: 
 
e
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Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança mostrada na figura. Expresse cada 
força como um vetor cartesiano.
 
Solução: Na figura b temos o desenho das componentes do vetor F1 nas direções x e y. A componente F1x 
pode ser deslocada verticalmente para cima para formar um triângulo retângulo, regra da construção de 
triângulos, no intuito de ser usada a definição de seno e de cosseno na determinação das intensidades 
das componentes de F1. 
Como é cateto adjacente ao ângulo de 30°, você pode escrever que:
Já F1x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, assim podemos escrever que:
Nota1: O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente horizontal de F1 
aponta no sentido negativo do eixo x.
Para determinar as componentes de F2 iremos usar a semelhança de triângulos. Agora F2x pode ser deslo-
cado de maneira a formar um triangulo retângulo semelhante ao triangulo diretor 5, 12, 15.
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Nota1: O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente vertical de F2 
aponta no sentido negativo do eixo y.
exemPlo
A ponta de uma lança O na figura (a) está submetida a três forças coplanares e correntes. Determine a 
intensidade e a direção da força resultante.
Solução
Cada força deve ser decomposta em suas componentes x e y (figura b). 
 
 
Somando as componentes x, temos:
 
O sinal negativo indica que a resultante na direção x atua para a esquerda. E somando as componentes 
y, temos:
 
A força resultante, figura (c), tem intensidade:
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A direção do vetor resultante é dada por:
Esse ângulo é medido com relação ao eixo negativo de x no sentido horário. É comum a direção do ângulo 
ser determinado com relação ao semieixo x positivo no sentido anti-horário. Nesse caso θ = 180° - 37,8° 
= 142,2°. 
cinética
Bom meu caro (a) aluno (a), cinética é o ramo da dinâmica que trata da relação entre a variação do 
movimento de uma partícula e as forças que causam esta variação. A base para a cinética são as leis de 
Newton, em especial a sua segunda Lei, que afirma que quando uma força resultante atua sobre uma 
partícula, a partícula acelerará na direção da força com uma intensidade que é diretamente proporcional 
a força resultante. 
Se a massa da partícula é m, a segunda lei do movimento de Newton pode ser escrita em forma mate-
mática como;
É importante lembrar que essa é uma equação vetorial, assim se mais de uma força atua sobre uma partí-
cula a força resultante é determinada por uma soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícu-
la. A unidade de força no SI é Newton (N). Newton postulou mais duas leis de movimento. Vamos a elas:
Primeira Lei: Todo corpo permanece em estado de repouso ou movimento retilíneo e uniforme, a menos 
que atuem sobre ele uma força resultante diferente de zero.
Segunda lei:A toda ação existe sempre uma reação igual em módulo e direção, mas sentido contrário.
fica a dica
Fica a dica, na determinação das forças que atuam em um corpo é importante que você 
entenda que as força de ação e reação sempre possuem o mesmo módulo, a mesma 
direção e o sentido oposto. Além disso, a forças de ação e reação sempre atuam em 
corpos diferentes, ou seja, se o corpo A exerce uma força sobre o porco B de módulo 
F, direção horizontal e no sentido da direita para a esquerda; isso significa que o corpo 
B exercerá sobre o corpo A uma força com módulo F, direção horizontal e sentido da 
esquerda para direita.
Logo, a força Normal não pode ser a reação da força Peso, pois elas atuam sobre o 
mesmo corpo e sua direção e módulo não são necessariamente iguais. 
26
equação do movimento: coordenadaS carteSianaS
Como a equação do movimento é uma equação vetorial precisamos determinar o sistema de coordenas 
para a análise do movimento da partícula. Nessa disciplina utilizaremos o sistema de coordena retangular. 
O sistema de coordenada retangular é um sistema fixo com três direções ortogonais, que chamaremos 
de x, y e z. A direções x, y e z serão representadas pelo versores . Assim podemos escrever a 
equação do movimento da seguinte forma:
Uma vantagem em se usar um sistema de coordenada retangular é o fato de que suas componentes são 
independentes, ou seja, a componente x da aceleração depende exclusivamente da componente x da 
força resultante, assim como as demais componentes. Isso nos permite transformar a equação vetorial 
acima em três equações escares, como representado abaixo:
leitura comPlementar
Caro (a) aluno (a), com intuito de aprofundar o entendimento das leis de Newton suge-
rimos a leitura complementar do livro-texto do professor Hugh D Young, Curso de Física 
Básica, vol. 01, ed. Pearson Education do Brasil, capítulos 4 e 5. Livro disponível da 
Biblioteca Virtual da Pearson.
movimento de PartículaS Sob a ação de forçaS
Para determinarmos a velocidade e a trajetória de uma partícula precisamos resolver a equação . 
Em um problema real é preciso conhecer a função força, ou seja, a expressão matemática que descreve a 
dependência da força com as variáveis do problema, como a posição, a velocidade, o tempo etc. A partir 
da força determinamos a aceleração e como auxílio das equações da cinemática determinamos a veloci-
dade e a posição (trajetória) da partícula. Se você, caro aluno (a) entender este ponto, já terá ganho o dia! 
27
exemPlo
A caixa mostrada na figura (a) repousa sobre uma superfície horizontal para a qual o coeficiente de atrito 
cinético é =0,3. Se a caixa está sujeita a uma força de 400 N como mostrado, determine a velocidade da 
caixa após 3 s partindo do repouso.
 
SOLUÇÃO
Podemos utilizar a equação do movimento para determinarmos a aceleração da caixa a partir das forças 
que agem sobre a caixa e a velocidade da caixa pode então ser determinada utilizando-se a cinemática.
Diagrama de corpo livre 
A construção do diagrama de corpo livre é uma etapa essencial para resoluções de problema de cinética. 
O diagramada consiste em desenhar o contorno do corpo analisado, sem as informações ao seu redor e 
sem riqueza de detalhes, indicando todas as forças que atuam no corpo, como respectivos valores e dire-
ções, ver figura (b). O peso da caixa é P = mg = 509,81 = 409,5 N. A força de atrito tem uma intensidade 
Fat = µcNc e atua para a esquerda, visto que ela se opõe ao movimento da caixa. Como a componente da 
vertical da força F é menor que o peso da caixa, a aceleração da caixa será na direção horizontal positiva. 
Temos duas incógnitas, a saber, Nc e a. 
Equação do movimento
Utilizando os dados do diagramada de corpo livre:
Solucionando a equação 2 para Nc e substituindo o resultado na equação (1), obtemos:
28
Cinemática
Como a aceleração é constante, podemos utilizar a equação horárias do MRUV para determinarmos a 
velocidade em t = 3s. Observe que a velocidade inicial é 0, pois a partícula parte do repouso, assim temos:
v = v0 + at
v = 0 + 5,185·3
v = 15,6 m/s
exemPlo
Um projétil de 10 kg é disparado para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 50 m/s. Deter-
mine a altura máxima que ele atingirá se a resistência atmosférica for medida como FD = (0,00v²) N, onde 
v é a velocidade escalar do projétil a qualquer instante, medida em m/s.
Solução 
Diagrama de corpo livre
Além da força peso, a força FD também tende a retardar o movimento para cima do projétil, elas atuam 
para baixo, como mostra o diagramada de corpo livre.
Equação do movimento 
 
 
29
Cinemática
Aqui, a aceleração não é constante, visto que FD depende da velocidade. Como , podemos 
relacionar a aceleração à posição utilizando:
 
Separando as variáveis e integrando, percebemos que z0 = 0, v0 = 50 m/s (positivo para cima) e em z = h, 
v = 0, temos:
PalavraS do ProfeSSor
Finalizamos o nosso primeiro encontro e espero que você tenha aproveitado todas as 
informações aqui apresentadas com muita responsabilidade.
Em breve, teremos outro momento para aprendermos muitos conteúdos importantes 
para sua formação.
Até o próximo encontro.
UNIDADE II
Tópicos Intregradores I -
Engenharias
2
Sumário
Para início de converSa ...................................................................................... 2
TraBaLHo de uma ForÇa ....................................................................................... 3
equação do movimento e o Princípio do trabalho ............................................................... 3
conServaÇÃo da enerGia cinÉTica .................................................................. 7
cenTro de maSSa ..................................................................................................... 11
centro de massa para um Sistema formado por duas partículas ..................................... 11
centro de massa para um Sistema formado por n partículas ........................................... 12
centro de massa de um sistema de partículas no espaço ................................................ 12
centro de massa de corpos maciços .................................................................................... 13
momenTo Linear e imPuLSo Linear .................................................................. 17
momento linear ......................................................................................................................... 17
Teorema do impulso Linear ..................................................................................................... 18
impulso Linear .......................................................................................................................... 19
conservação do momento linear ............................................................................................ 19
1
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qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou 
qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, 
por escrito, do Grupo Ser Educacional.
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Junior, Elias Arcanjo da Silva. 
Tópicos Integradores I - Engenharia: Unidade 2 - Recife: Grupo Ser Educacional, 2019.
___________________________________________________________________________
Grupo Ser Educacional
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PABX: (81) 3413-4611
2
TóPicoS inTeGradoreS i
unidade ii
Para início de converSa
Olá, meu querido (a) aluno (a)!
Tudo bem com você? Então estamos agora na segunda unidade da sua disciplina Tópi-
cos Integradores I. Espero que esteja preparado (a) para darmos continuidade ao nosso 
estudo. Contocom a sua dedicação em nossa jornada de estudos. Seu comprometi-
mento é essencial para que você ao final das nossas unidades tenha total domínio da 
nossa disciplina.
orienTaÇõeS da diSciPLina
 
Olá pessoal, nesta unidade convido você, caro (a) aluno (a), ao estudo de duas das prin-
cipais leis da física, a lei da conservação da energia mecânica e a lei da conservação 
do momento linear. Essas leis nos permitirão resolver de forma simples problemas de 
cinética que seriam trabalhosos demais, ou até mesmo de impossível resolução a partir 
da equação Fr = ma. No decorrer desta unidade você saberá identificar quais classes de 
problemas poderão ser resolvidos a partir das leis de conservação. 
Também vamos estudar o trabalho de uma força, apresentar o princípio do trabalho e da 
energia cinética, o centro de massa de um sistema de partículas, o momento linear de 
um sistema de partículas, o Impulso Linear e o Princípio do Impulso Linear.
Lembre-se, você tem à sua disposição a nossa Biblioteca virtual para fazer pesquisas e 
buscar novas informações. Ao final da nossa II unidade, acesse o ambiente e responda 
as atividades. Em caso de dúvida, pergunte ao seu tutor e assista às webconferências.
 
Vamos começar? 
Bons estudos!
 
 
 
3
TraBaLHo de uma ForÇa
Caro (a) estudante, neste momento, vamos analisar o movimento de uma partícula utilizando os conceitos 
de trabalho e energia. A equação resultante será útil para resolver problemas que envolvem força, deslo-
camento e velocidade.
Vamos juntos?
equação do movimento e o Princípio do trabalho
Se considerarmos uma partícula de massa m sob ação de uma força resultante FR que faz um ângulo Ɵ 
com a direção do movimento (eixo x), podemos escrever:
A componente horizontal da força resultante pode ser escrita como e da cinemática temos 
que , assim podemos escrever:
Separando as variáveis e integrando os dois lados da equação, temos:
A integral a esquerda é chamada de Trabalho da força e representado pela letra . O termo da 
direita é chamado de energia cinética da partícula e representado pela letra . Assim podemos escre-
ver que o trabalho realizado pela força resultante é igual a variação da energia cinética, ou seja,
Ou simplesmente
4
PraTicando
EXEMPLO 1: O bloco de 10 kg mostrado na figura repousa sobre o plano inclinado liso. Se a mola está 
originalmente 0,5 m deformada, determine o trabalho total realizado por todas as forças atuantes sobre 
o bloco quando uma força F = 400 N empurra o bloco plano acima de s = 2m. considere o coeficiente de 
atrito cinético µc=0,2.
SOLUÇÃO:
Diagrama de corpo livre
O agente físico responsável por realizar trabalho é a força, pois isso, devemos desenhar o diagrama de 
corpo livre para identificar todas as forças que atuam no bloco. Como pode ser observado na Figura (b), 
sobre o bloco atuam as forças Peso (P = mg), a força de atrito (fat = µCNC), força elástica (Fe = ks), força 
normal (NC) e a força F (F = 400 N). 
Com a identificação das forças, iremos usar a definição de trabalho para determinar 
o trabalho realizado por cada força e assim calcular o trabalho total (Trabalho resultante). 
Trabalho da força horizontal F
Como a força F é constante podemos escrever a equação do trabalho sem o uso da integral da seguinte 
forma:
 
(Trabalho de uma força constante)
5
Assim o trabalho realizado pela força F será:
Trabalho da força normal NB
A força Normal não realiza trabalho, visto que a força é sempre perpendicular ao deslocamento, ou seja,
Força de atrito.
A força de atrito também é uma força constante, assim podemos escrever
Como a força de atrito é oposta ao deslocamento, o ângulo entre a força de atrito e o deslocamento é 
180°. E como NC = 85 N, podemos escrever;
Trabalho da força Peso
Considerando que a força peso é constante e sempre na direção vertical para baixo podemos escrever 
que o trabalho da força peso é dado: 
Na prática o trabalho da força peso é positivo quando o corpo está descendo, negativo se o corpo está 
subindo e zero se o deslocamento vertical for nulo. Assim o trabalho realizado pela força peso será;
Trabalho da força elástica 
Como a força elástica não é constante, precisamos usar a definição de trabalho, ou seja,
6
O módulo da força elástica é dado por , onde k é a constante elástica da mola e s é a deformação da 
mola. Como a força elástica é contrária ao deslocamento da mola temos que . É importante lembrar que 
s, na equação da força elástica, representa a deformação da mola. Desta forma a equação do trabalho 
para a força elástica é:
Na posição inicial, a mola está deformada e na posição final, ela está deformada 
 . O trabalho da força elástica é, portanto; 
Trabalho resultante 
O trabalho resultante ou o trabalho total é obtido somando o trabalho de todas as forças, ou seja,
 
EXEMPLO 2: Por um curto período de tempo, o guindaste da figura (a) iça a viga de 2500 kg com força 
F = (28+3s²) kN, onde s é dado em metros. Determine a velocidade da viga quando ela for erguida s = 3 m.
SOLUÇÃO
Esse problema pode ser resolvido utilizando a segunda lei de Newton, mas como é um problema que 
envolve força, deslocamento e velocidade também podemos resolver utilizando o princípio do trabalho. 
É importante observar que em s = 0 (posição inicial) a força F é maior que a força peso, possibilitando o 
deslocamento da viga.
 
7
Diagrama de corpo livre
Como mostrado no diagrama de corpo livre, a força F de içamento realiza trabalho positivo, o qual deve ser 
determinado por meio de integração , visto que essa força é variável. Já a força peso 
é constante e realizará um trabalho negativo , visto que o deslocamento é para cima.
Princípio do trabalho e energia 
conServaÇÃo da enerGia cinÉTica
Então meu caro (a) estudante, em problemas em que apenas forças conservativas (força peso e força 
elástica) realizam trabalho, nós podemos utilizar o princípio da conservação da energia mecânica para a 
sua resolução. O princípio da conservação da energia mecânica pode ser escrito como:
Onde:
 é a energia cinética da partícula, 
 é a energia potencial gravitacional da partícula, 
 é a energia potencial elástica da partícula, 
8
Assim podemos escrever a equação da conservação da energia mecânica da seguinte forma:
 
Fique aTenTo!
Quando usamos o princípio da conservação da energia mecânica, precisamos determi-
nar um ponto de referência para energia potencial, ou seja, o local onde a altura h é 
zero e consequentemente a energia potencial gravitacional é nula. A escolha do ponto 
de referência fica a seu critério, mas lhe aconselho a sempre escolher o ponto mais 
baixo da trajetória; essa escolha evita erros de sinais, pois o h sempre será positivo. 
Com relação a energia potencial elástica, a referência será sempre o tamanho natural 
da mola. Assim, se a mola não está deformada a sua energia elástica será zero. 
PraTicando
EXEMPLO 3: A esfera do pêndulo de 2 kg é solta do repouso quando está em A. determine a velocidade 
da esfera quando ele passa pela posição mais baixa em B.
 
 
SOLUÇÃO 
Como podemos observar na figura da direita duas forças atuam sobre a bola, mas apenas a força peso 
realiza trabalho, visto que a força de tração é perpendicular a trajetória da bola ao longo do movimento 
de queda. Assim podemos utilizar o princípio da conservação da energia, pois a força peso é uma força 
conservativa.
Conservação da energia mecânica
9
Nesse momento precisamos definir um referencial para a altura da bola. Vamos considerar o ponto em 
B com altura zera, ou seja, h2 = hB = 0 e como consequência teremos h1 = hA = 1,5 m. Como a partícula 
parte do repouso temos v1 = vA= 0. Como nesse problema não tem mola podemos desconsiderar a energia 
potencial elástica. Assim podemos escrever
EXEMPLO 4: Um anelliso de 2 kg encaixa-se folgadamente na barra vertical, figura a. Se a mola não está 
deformada quando o anel está no posição A, determine a velocidade com a qual o anel está se deslocando 
quando y = 1 m, se (a) ele é solto do repouso em A e (b) se ele é solto em A com velocidade para baixo.
Solução
Nesse problema apenas a força elástica e a força peso realizam trabalho, desta forma podemos utilizar 
o princípio da conservação da energia para a determinação da velocidade. Como vamos usar a energia 
potencial gravitacional, precisamos definir um ponto de referência para determinar os valores de h1 e h2. 
Assim, escolheremos h = 0 no ponto C, mas se você escolher um outro referencial a velocidade em C será 
a mesma. Também é importante lembrar que s1 e s2 são as deformações da mola.
Parte (a) Conservação da energia mecânica, 
10
Nesse momento é importante que você identifique cada variável do problema. Quando definimos h = 0 no 
ponto C, temos que h1 = 1 m e h2 = 0. Como a mola não está deformada em A, temos s1 = 0 e a deforma-
ção da mola em C será s2 = sCB= 0,5 m, nesse caso foi necessário determinar o tamanho da mola em C e 
determinar a deformação como sCB = lCB-l0, onde lCB é o tamanho da mola em C e l0 é o tamanho da mola 
sem deformação, ver figura (b). Substituindo os valores temos:
Parte (b) Conservação da energia mecânica, 
A única diferença na letra b é que a energia cinética inicial não é zero, visto que o anel é arremessado 
com uma velocidade inicial de 2 m/s.
Fica a dica
Os princípios do trabalho e da conservação da energia mecânica não deveram ser uti-
lizados quando a força for uma função do tempo. Quando a força for uma função do 
tempo você deverá utilizar a segunda lei de Newton para determinar a aceleração e 
na sequência utilizar uma das equações da cinemática para determinar a velocidade, a 
posição etc. Na próxima unidade apresentarei o princípio do impulso que irá lhe auxiliar 
na resolução de problemas de cinética relacionados com o tempo. 
LeiTura comPLemenTar
Caro (a) aluno (a), com intuito de facilitar o entendimento do Trabalho e o uso dos 
princípios do trabalho e da energia cinética e da conservação da energia mecânica, 
sugerimos a leitura complementar do livro-texto do professor Hugh D Young, Curso de 
Física Básica, vol. 01, ed. Pearson Education do Brasil, capítulos 6 e 7. Livro disponível 
da Biblioteca Virtual da Pearson.
Podemos continuar?
Se precisar de ajuda, sinalize o seu tutor.
11
cenTro de maSSa
Aluno (a), nessa seção, definiremos o centro de massa de um sistema de partículas para podemos deter-
minar com mais facilidade o movimento de um sistema.
Centro de massa de um sistema de partículas é definido como o ponto do espaço que conteria 
toda a massa de um corpo, caso esse corpo fosse reduzido a uma única partícula.
Para facilitar nosso raciocínio, primeiro analisaremos um sistema formado por duas partículas, na sequên-
cia iremos estender o resultado para um sistema formado por n partículas e concluiremos analisando o 
centro de massa de um corpo maciço.
centro de massa para um Sistema formado por duas partículas
A figura 1 mostra duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância d. A partícula 1 está 
localizada na origem do sistema de coordenadas e a partícula dois a uma distância d da origem. Definimos 
o centro de massa (CM) desse sistema de partícula como:
 (1)
Agora vamos supor, por exemplo, que m2 = 0. Nesse caso, existe apenas uma partícula, de massa m1, e 
o centro de massa deve estar na posição dessa partícula; é o que realmente acontece, já que a equação 
se reduz a xCM = 0. Se m1=0, novamente temos uma única partícula ( de massa m2) e a posição do centro 
de massa será xCM = d, ou seja, na posição da partícula 2, como deveria ser. Se m1 = m2, o centro de 
massa deve estar em um ponto equidistante das duas partícula; a equação se reduz a xCM = d/2, como 
seria de se esperar. Assim, se as partículas possuem massas m1 e m2, segundo a equação (1), o centro 
de massa desse sistema de partícula deve estar entre 0 e d, ou seja, o centro de massa deve estar em 
algum lugar entre as duas partículas. 
Outra análise que podemos fazer com relação a figura 1, é sobre a distância do centro de massa das partí-
culas. Se m1 > m2, isso significa que o centro de massa do sistema estar na primeira metade do segmento 
entre as partículas, ou seja, mais próximo de m1 do que de m2, e vice-versa.
12
A figura 2 mostra uma situação mais genérica, onde a massa m1 está localizada na posição x1 e a massa 
m2 está localizada na posição x2, separa de m1 pela mesma distância d. A posição do centro de massa é 
agora definida como:
Observe meu caro (a), que se fizemos x1 = 0, x2 ficará igual a d, e a equação (2) se reduzirá a equação (1), 
como seria de se esperar. Note também que, apesar do deslocamento da origem do sistema de coordena-
das, o centro de massa continua a mesma distância de cada partícula.
Podemos escrever a equação (2) na forma:
onde M é a massa total do sistema de partículas. No exemplo que estamos estudando M = m1 + m2.
centro de massa para um Sistema formado por n partículas
Podemos estender a equação (2) a uma situação ainda mais geral na qual n partículas estão posicionadas 
ao longo do eixo x. Nesse caso, a massa total é M = m1 + m2 + ... + mn e a posição do centro de massa é 
dado por:
onde o índice i assume todos os valores de 1 a n.
centro de massa de um sistema de partículas no espaço
Se as partículas estão localizadas em um ponto do espaço (sistema com três dimensões) a posição do 
centro de massa deve ser especificada por três coordenadas. Por analogia da equação (4), as coordenas 
do centro de massa serão dadas por:
PaLavraS do ProFeSSor
Podemos escrever o centro de massa de um sistema de partícula no espaço usando a notação de vetores. 
Nesse caso, a posição da partícula com coordenas xi, yi e zi é dada pelo vetor posição;
Onde o índice identifica a partícula e são os vetores unitários que apontam, respectivamente, no sentido 
positivo dos eixos x, y e z. Analogamente, a localização do centro de massa de um sistema de partículas 
é dada por um vetor posição:
13
centro de massa de corpos maciços
Um corpo maciço, como um a bola de sinuca, é formado por um número tão grande de partículas (átomos) 
que podemos aproximá-lo a uma distribuição contínua de massa. Cada átomo se torna um elemento 
infinitesimal de massa e os somatórios da equação (5) se tornam integrais e as coordenas do centro de 
massa do corpo maciço são dadas através das equações:
onde M é a massa do objeto.
Determinar o centro de massa de um objeto real (como um carro ou garrafa térmica) não é uma tarefa 
fácil. Nesse guia de estudo iremos calcular apenas o centro de massa de objetos homogêneos, ou seja, 
objeto que possui massa específica constante. A massa específica é a massa por unidade de volume e 
será representada pela letra grega rô .E para facilitar a resolução das integrais da equação (6), pode-
mos escrever para corpos homogêneos que:
onde é o volume ocupado por um elemento infinitesimal de massa e é o volume total do objeto. Desta 
forma um elemento de massa pode ser escrito como:
Assim, a equação (6) pode ser reescrita da forma:
Agora como o elemento de integração é o volume, você será capaz de resolver essas integrais a partir da 
geometria (forma) do objeto. Por exemplo, para objetos com simetria cartesiana, o elemento de 
volume e as integrais serão escritas como:
Guarde eSSa ideia!
Fique atento (a), quando o objetivo possui um ponto, uma reta ou um plano de simetria, 
o seu centro de massa está no ponto, reta ou plano de simetria. Por exemplo: o centro 
de massa de uma esfera (que possui um ponto de simetria) está no centro da esfera 
(que é o ponto de simetria). O centro de massa de um cone (cujo eixo é uma reta de 
simetria) estásobre esse eixo. O centro de massa de uma banana (que tem plano de 
simetria que divide em duas partes iguais) está em algum ponto desse plano.
O centro de massa de um objeto não precisa estar no interior do objeto. Não existe 
massa no centro de uma bola de futebol, assim como não existe alumínio no centro de 
uma rosca de parafuso. 
14
PraTicando
EXEMPLO 5: Cinco pontos materiais de massas m1 = 2 kg, m2 = 4 kg, m3 = 2 kg, m4 = 1 kg e m5 = 3 kg, 
estão situadas nas posições indicadas na figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sis-
tema constituídos pelos cinco pontos materiais. 
Solução
 
Coordenadas do centro de massa
A abscissa do centro de massa é dada por;
Para a ordenada do centro de massa, temos:
X (cm)
15
PraTicando
EXEMPLO 6: Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura cons-
tante, cujas dimensões estão indicadas na figura.
 
SOLUÇÃO 
Simetria 
Se um corpo admite um elemento de simetria, então o centro de massa do sistema pertence a esse ele-
mento. A placa acima não possui nenhum elemento de simetria, mas podemos dividir a placa em dois 
quadrados, ou seja, duas figuras com ponto de simetria. O primeiro, de lado 2a e cujo centro de massa é 
o ponto A de coordenas (a, a), e o segundo, de lado a e de centro de massa B cujas coordenadas são (2,5 
a, 0,5 a).
Coordenadas do centro de massa.
Agora que conhecemos as coordenadas do centro de massa de cada quadrado e pela definição de centro 
de massa podemos concluir que o centro de massa da placa é igual ao centro de massa dos pontos A e B. 
Assim A abscissa do centro de massa da placa toda é dada por: 
 
Como não conhecemos a massa das placas precisamos fazer uma mudança de variável. Já que a placa é 
homogênea de espessura constante, sua densidade superficial de massa é constante, ou seja:
16
Logo o centro de massa da placa possui as coordenadas (1,3 a, 0,9 a).
Exemplo 7: Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura constan-
te de formato triangular, conferir figura.
Solução 
17
momenTo Linear e imPuLSo Linear
Quando você concluiu a disciplina de Física Geral e Experimental ficou com a impressão de que todos os 
problemas que envolvem forças podem ser resolvidos utilizando a Segunda Lei de Newton, Mas, 
há muitos problemas que não podem ser solucionados pela segunda lei de Newton, mesmo envolvendo 
forças. Isso acontece em situações em que você não conhece a função força que atua nos objetos. Por 
exemplo, na colisão de um caminhão com um carro, ou melhor, na colisão de um caminhão com um fusca, 
como determinar a velocidade (módulo, direção e sentido) dos destroços logo após a colisão? Num jogo 
de sinuca, o que determina o manejo do taco para que você possa acertar a bola da vez de modo que ela 
empurre a bola oito para dentro da caçapa? Numa explosão, como determinar a velocidade e o sentido de 
cada pedaço da bomba após a explosão?
você SaBia?
Você sabia que uma observação comum nas repostas a essas perguntas é que elas 
envolvem forças sobre as quais pouco se sabe: as forças que atuam entre o caminhão 
e o fusca, entre as bolas de sinuca ou sobre a bomba? Como veremos nessa unidade, é 
um fato notável que você não precise conhecer nada sobre essas forças para responder 
a essas perguntas! 
Para resolução desses problemas usaremos dois conceitos novos, momento linear e o 
impulso linear, e uma nova lei de conservação, a lei da conservação do momento linear. 
Esses novos conceitos nos permitiram resolver muitos problemas de mecânica que se 
tornariam extremamente difíceis se tentássemos resolver diretamente pela segunda 
lei de Newton. Os principais problemas que poderemos resolver a partir dessa nova lei 
de conservação são situações que envolvem colisões, disparo de arma de fogo e explo-
sões. Nesse material iremos destacar os problemas que envolvem colisões.
momento linear
Ainda na disciplina de Física geral e Experimental, reformulamos a segunda lei de Newton, , 
para obtermos o teorema do trabalho e energia cinética. Esse teorema nos auxiliou na resolução de mui-
tos problemas de física e nos conduz ao princípio da conservação da energia. Vamos retomar à 
expressão e mostrar uma nova reformulação dessa importante lei da física. 
A segunda lei Newton em relação ao momento linear
Se considerarmos uma partícula com uma massa constante, a força resultante sobre ela é dada pela 
equação,
???
18
Como vimos na cinemática a aceleração de um corpo é dada pela equação, 
e assim a segunda lei de Newton pode ser reescrita da forma,
Como a massa m da partícula é constante, podemos colocá-la dentro dos parênteses. Nesse caso, a força 
resultante é igual a derivada temporal do produto da massa pela velocidade vetorial da partícula. Esse 
produto m é denominado momento linear. Se usarmos para essa nova grandeza o símbolo , teremos:
Assim podemos afirmar que a força resultante que atua sobre uma partícula é a derivada com relação ao 
tempo do momento linear da partícula. 
Observe que o momento linear depende da massa, quanto maior a massa maior o momento linear, e da 
velocidade vetorial da partícula. Assim, o momento linear é uma grandeza vetorial, possui módulo direção 
e sentido. Frequentemente nos exercícios da cinética escrevemos o momento linear em termos de suas 
componentes. Se a partícula possui componentes de velocidade vx, vy e vz, então os componentes de 
momento px, py e pz são dados por; 
 px =mvx py = mvy pz = mvz
No SI, as unidades do momento linear são 
Teorema do impulso Linear
19
Essa equação é denominada de teorema do impulso linear e a integral é denominada de impulso linear.
Teorema do Impulso Linear
O momento linear inicial mais o impulso resultante sobre a partícula em um intervalo de tem-
po é igual ao momento linear final.
impulso Linear 
O impulso linear é uma grandeza vetorial; ele possui a mesma direção e o mesmo sentido da força re-
sultante. Seu módulo é igual ao módulo da força resultante multiplicado pelo intervalo de tempo o qual 
a força resultante atua. No SI, as unidades de impulso são dadas por ou , ou seja, o impulso possui as 
mesmas unidades de momento linear. O impulso da força resultante será representado pelo símbolo e 
está definido da seguinte forma:
Se a força resultante que atua em uma partícula está sendo representada por meio de um gráfico (Fr x t) 
a área sob a curva no intervalo de atuação da força é igual ao módulo do impulso da força resultante, ou 
seja,
.
conservação do momento linear
O conceito de momento linear é particularmente importante quando ocorre interação entre dois ou mais 
corpos. Quando temos um sistema de partícula formado por n partículas, o momento linear do sistema 
será dado por;
20
Atenção
Quando o impulso resultante sobre o sistema de partícula for igual a zero teremos que o momento linear 
do sistema de partícula é conservado. Assim, podemos formular o seguinte enunciado:
Quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre um sistema é igual a zero, o 
momento linear total do sistema permanece constante.
Esse é o enunciado mais simples da conservação do momento linear. Matematicamente podemos escre-
ver:
Atenção
•	 O Impulso resultante das Forças Internas em um sistema de partículas é nulo, pois, as forças 
internas são forças de ação e reação.
•	 Forças internas são forças que surgem devido a interação entre as partículas que formam o sis-
tema. 
21
PraTicando
EXEMPLO 8: A caixa de 100 kg mostrada na figura está originalmente em repouso sobre a superfície 
horizontal lisa. Se uma força de reboque de 200 N, atuando em um ângulo de 45°, for aplicada à caixa 
por 10 s, determine a velocidade final e a força normal que a superfície exerce sobre a caixa durante esse 
intervalo de tempo.
 
SOLUÇÃO
Esse problema pode ser resolvido a partir da segunda lei de Newton, Mas iremos resolver utili-
zandoo princípio do impulso linear, visto que é um problema que envolve força, velocidade e tempo.
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
Na figura b podemos observar as forças que atuam no bloco. Como a componente y da força de reboque 
é menor que o peso da caixa não há movimento vertical.
PRINCÍPIO DO IMPULSO 
Como o movimento é unidimensional podemos escrever o princípio do impulso na formulação escalar,
22
EXEMPLO 9: Por um curto período de tempo, a força motriz de atrito que atua sobre os pneus do 
automóvel de 2500 kg é F = (600t²) N, onde t é dado em segundos. Se a van tem velocidade de 18 km/h 
quando t = 0, determine sua velocidade quando t = 5 s.
SOLUÇÃO(I)
Como esse é um problema que envolve força, tempo e velocidade, então podemos utilizar o princípio do 
Impulso Linear.
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
Na figura da direita podemos observar as forças que atuam no carro. Na direção vertical o sistema está 
em equilíbrio, ou seja, o módulo da força peso é igual ao módulo da força normal. Na direção horizontal 
temos uma força resultante no sentido da esquerda para direita que resulta no movimento do carro.
PRINCÍPIO DO IMPULSO LINEAR 
SOLUÇÃO (II)
Esse problema pode ser resolvido com o auxílio da segunda Lei de Newton.
SEGUNDA LEI DE NEWTON 
Aplicando a segunda lei de Newton na direção horizontal temos:
23
EQUAÇÃO DA CINEMÁTICA
SOLUÇÃO 
Esse é um outro problema que pode ser resolvido utilizando a Segunda Lei de Newton ou pelo princípio 
do Impulso Linear. Mas em ambos os casos é preciso observar que a tração inicial no cabo é menor que 
a força de atrito estático máximo. Isso significa que precisamos, em primeiro lugar, determinar o instante 
em que a caixa estará na iminência de entrar em movimento, ou seja, no instante em que a força de tração 
é igual a força de atrito estática máxima.
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
Como podemos observar na figura da direita quatro forças atuam sobre a caixa. Na vertical o sistema está 
em equilíbrio, ou seja, a força peso é igual a força normal. Na horizontal precisaremos determinar o tempo 
a partir do qual a caixa entrará em movimento a partir da equação abaixo:
24
PRINCÍPIO DO IMPULSO LINEAR
PaLavraS do ProFeSSor
Meu estimado (a) estudante, chegamos a mais uma finalização de conteúdo.
Ainda temos mais dois encontros muito importantes, no qual só fará crescer o seu 
leque de conhecimento.
Nos encontramos então na próxima unidade.
Sucesso e bons estudos.
UNIDADE III
Tópicos Intregradores I -
Engenharias
2
Sumário
ColiSõeS ....................................................................................................................... 3
Colisões e a conservação do momento linear .......................................................... 3
Colisões e a conservação da energia cinética ......................................................... 3
Colisões Perfeitamente inelásticas ............................................................................ 4
movimento de rotação com aceleração constante ................................................. 12
energia cinética de rotação ......................................................................................... 15
momento de inercia para um corpo rígido ................................................................ 16
Teorema dos eixos paralelos ........................................................................................ 18
TorQue .......................................................................................................................... 18
A SegundA lei de newTon PArA A roTAção .................................................. 19
1
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qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou 
qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, 
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Junior, Elias Arcanjo da Silva
. 
Tópicos Integradores I - Engenharia: Unidade 3 - Recife: Grupo Ser Educacional, 2019.
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PABX: (81) 3413-4611
2
TÓPiCoS inTegrAdoreS i – engenHAriAS
unidAde - 3
PArA iníCio de ConverSA
Olá, meu querido (a) aluno (a)!
Chegamos a terceira unidade da disciplina de tópicos integradores I. Espero que esteja 
tendo uma experiência gratificante com a busca de novos conhecimentos. Preparado (a) 
para iniciar mais uma etapa dessa jornada? 
Acredito que sim.
orienTAçõeS dA diSCiPlinA
Bem-vindo (a) ao guia de estudo da terceira unidade da disciplina tópico integradores 
da sua graduação a distância (EAD). A finalidade deste guia de estudos é facilitar sua 
compreensão dos assuntos que compõem essa importante disciplina de seu curso de 
graduação.
Iniciaremos esta unidade com o estudo das colisões que representa uma aplicação 
da lei da conservação do momento linear que estudamos na unidade II. Se você julgar 
necessário, antes que começar a leitura deste guia faça uma pequena revisão da Lei de 
conservação do momento. 
Nesta unidade também iniciaremos o estudo dos corpos sólidos (ou corpos rígidos), 
com a análise do movimento de rotação do corpo sólido em torno de um eixo fixo. 
Definiremos a posição, a velocidade e aceleração para o movimento de rotação, assim 
como fizemos para o movimento de translação. 
Na sequência definiremos uma importante grandeza física na análise de estruturas 
em equilíbrio, o torque. O torque, no movimento de rotação, é o análogo a força para o 
movimento de translação. 
Lembre-se: Após o término de cada unidade realize as atividades avaliativas que estão 
disponibilizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). 
Caso tenha alguma dúvida, consulte o seu tutor. Ele está à sua disposição para ajudá-lo 
(a) no que for necessário.
Vamos começar? Bons estudos!
3
ColiSõeS
Nessa seção concentraremos nossa atenção ao estudo das colisões.
Vamos iniciar?
Colisões e a conservação do momento linear
Imagine duas partículas com velocidades opostas e aptas a realizarem uma colisão frontal. No momento 
do choque, a partícula 1 exerce uma força de contato sobre a partícula 2 durante um determinado instante 
de tempo ∆t e, pela terceira lei de Newton, a partícula 2 também exerce a mesma força sobre a partícula 
1 no mesmo intervalo de tempo. Assim, o impulso aplicado de uma partícula sobre a outra é igual em 
módulo, porém em sentidos opostos. Assumindo que a colisão acontece em uma dimensão, dispensamos 
a notação vetorial. Assim: 
I12 = -I21,
em que I12 é o impulso da partícula 1 sobre a partícula 2 e I21 é o impulso da partícula 2 sobre a partícula 
1. Por meio do princípio da conservação do momento linear temos:
A equação acima mostra que a soma de todos os momentos antes da colisão é igual à soma de todos os 
momentos após a colisão. Como não há aplicação de forças externas, o momento linear é conservado, 
pois as forças responsáveis pelo impulso são forças internas.
FiCA A diCA
Na colisão entre dois carros só poderemos aplicar a conservação do momento linear, 
para determinar o movimento imediatamente antes ou o movimento imediatamente 
depois da colisão, se os freios não foram acionados, ou seja, se não existir uma força 
resultante externa diferente de zero. 
Colisões e a conservação da energia cinética
Para estudar e classificar as colisões, é importante entender a energia cinética do sistema antes e após a 
colisão. A energia cinética é a energia associada ao movimento de um corpo e matematicamente é dada 
pela equação:
4
em que K é a energia cinética, m é a massa do corpo e v é sua velocidade. A energia cinética é dada em 
joule (J), sendo 1 J = 1 kg · m2 /s2. Observe que a energiacinética é nula quando o corpo está parado (v = 
0). Em um sistema conservativo, a energia cinética é a mesma antes e após a colisão. Combinando a de-
finição do momento linear (p = mv) com a equação (40), a energia cinética pode também ser escrita como:
 
PArA reFleTir
Vamos refletir sobre isso a partir do cotidiano: suponha que, após uma colisão frontal, dois veículos parem 
subitamente. Considerando que ambos estivessem com energia cinética antes da colisão, essa energia 
foi convertida em outras formas de energia, por exemplo, energia térmica gerada pelo aquecimento da 
superfície de contato com os pneus durante a frenagem. Nos casos em que há perda de energia cinética 
após uma colisão, temos uma colisão inelástica. Nos casos em que a perda de energia cinética é máxima, 
temos uma colisão perfeitamente inelástica.
Agora, imagine uma colisão frontal entre duas bolas num jogo de bilhar. Durante a colisão, a energia 
cinética é convertida em energia potencial elástica devido à deformação das bolas. As bolas de bilhar 
são feitas de um material que reproduz uma mola durante a colisão. Essa energia potencial elástica é 
convertida novamente em energia cinética, e as bolas dão continuidade a seus movimentos. Porém, no 
instante da colisão há conversão de energia cinética em energia sonora, mas em quantidade tão mínima 
que podemos desprezar essa perda. Logo, a energia cinética antes e após a colisão é conservada. Esse 
tipo de colisão é classificado como colisão elástica. Pelo teorema do trabalho e da energia cinética: W = 
∆K sabemos que o trabalho total realizado é zero para um sistema isolado. Assim: 
Colisões Perfeitamente inelásticas 
Como vimos na seção anterior, em uma colisão perfeitamente inelástica a perda de energia cinética é 
máxima, mas o momento linear é conservado. Assim, considerando uma colisão perfeitamente inelástica 
entre duas partículas 1 e 2, podemos escrever que:
5
Como numa colisão perfeitamente inelástica os corpos permanecem juntos, podemos reescrever a equa-
ção acima como:
Assim, podemos afirmar que a velocidade final (velocidade após a colisão) é a média ponderada das ve-
locidades iniciais das partículas. 
Colisão Elástica
Na colisão elástica o momento linear e a energia cinética são conservadas. Assim podemos escrever as 
seguintes equações para a colisão de duas partículas 1 e 2:
 
Esses dois resultados nos permitem realizar análises muito interessantes sobre colisões elásticas unidi-
mensionais. Vamos supor inicialmente que as partículas têm massas iguais m = m1 = m2. Assim:
e
o que indica que a velocidade final da partícula 1 é igual a velocidade inicial da partícula 2 e a velocidade 
final da partícula 2 é igual a velocidade final para partícula 1. 
Ainda analisando uma colisão elástica, se considerarmos que a partícula 2 está parada (partícula alvo), 
podemos considerar três situações: (i) m1 = m2, (ii) m1 << m2 e (iii) m1 >> m2. 
6
Na situação (i):
o que indica que a partícula alvo que inicialmente estava parada, se move com a velocidade inicial da 
partícula 1 e a velocidade final da partícula 1 será 0, ou seja, a velocidade inicial para partícula 2 (partí-
cula alvo). Você poderá observar esse fenômeno no brinquedo chamado pêndulo de Newton. 
No caso (ii), m1 << m2, podemos considerar que m1 + m2 m2 e m1 – m2 - m2 e assim teremos:
o que indica que a velocidade final da partícula 1 será igual a velocidade inicial da partícula 1, com o sen-
tido contrário. E a velocidade final da partícula 2 terá o mesmo sentido da velocidade inicial da partícula 1 
mais com um valor muito pequeno, pois sua velocidade é proporcional a sendo m2 >> m1. Para ilustrar 
essa situação você pode imaginar uma bola “dente de leite” colidindo com uma bola de boliche inicial-
mente parada. A bola dente de leite após a colisão se deslocará no sentido oposto ao movimento inicial 
e a bola de boliche sofrerá um pequeno deslocamento no sentido do movimento inicial da bola “dente de 
leite”. A bola de boliche sofrerá apelas um pequeno deslocamento devido ao atrito da bola com o solo, 
numa situação ideal, sem atrito, a bola teria uma velocidade pequena, mas constante, após a colisão. 
No caso (iii), m1 >> m2, podemos considerar que m1 + m2 m1 e m1 – m2 m1 e assim teremos:
7
o que indica que a velocidade (módulo e sentido) da partícula 1 não será alterada e a partícula dois, que 
inicialmente estava parava começa a se mover com uma velocidade igual a dobro da velocidade inicial da 
partícula 1. Você agora pode ilustrar essa situação, jogando uma bola de boliche em uma bola “bico de 
leite” incialmente parada. Após a colisão a bola “bico de leite” é impulsionada com uma velocidade igual 
ao dobro da velocidade da bola de boliche, antes da colisão. E a bola de boliche continua seu movimento 
com a mesma velocidade e no mesmo sentido. 
PrATiCAndo
EXEMPLO 1: O vagão de carga A, de 15000 kg, está se movendo a 1,5 m/s sobre os trilhos horizontais, 
quando encontra um vagão-tanque B, de 12000 kg, que está se movendo em sua direção a 0,75 m/s, como 
mostra figura. Se os vagões colidirem e se acoplarem, determine: (a) a velocidade de ambos os vagões 
logo após o acoplamento; (b) a força média entre eles se o acoplamento acontecer em 0,8 s.
SOLUÇÃO
Diagrama de corpo livre
Nesse caso consideraremos os vagões como um único sistema. Como F é uma força interna, o momento 
linear do sistema é conservado. Supõe-se que os dois vagões, quando acoplados, movam-se a v2 na di-
reção x.
Conservação do momento linear;
Força F
A força média de acoplamento, Fmédia, pode ser determinada ao se aplicar o princípio da quantidade de 
movimento linear a qualquer um dos vagões. Como mostra a figura c, ao se isolar o vagão de carga, a força 
de acoplamento será externa ao vagão.
8
Princípio do impulso, 
SOLUÇÃO: Os carros bate-bate a e B na figura têm, cada um, massa de 150 kg e estão se movendo às 
velocidades mostradas, antes de colidirem de frente, livremente. Se nenhuma energia é perdida durante 
a colisão, determine suas velocidades após a colisão.
SOLUÇÃO
Os carros serão considerados um sistema único. O diagrama de corpo livre é mostrado na figura b.
Conservação do momento linear
Conservação da energia 
Visto que nenhuma energia é perdida, o teorema da conservação da energia produz;
9
Substituindo-se a Equação (1) na (2) e simplificando, obtemos;
Resolvendo para as duas raízes,
Rotação
Nesse momento iremos estudar o movimento de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, 
ver figura 3. Para análise do movimento precisamos definir o sistema de coordenadas fixas, uma linha 
de referência e o eixo de rotação, com o intuito de definirmos as grandezas angulares: deslocamento, 
velocidade e aceleração. 
Vamos considerar o eixo z como o eixo em torno do qual o corpo rígido executará o seu movimento. Por 
conversão o sentido anti-horário será considerado como o movimento positivo. É importante que você 
observe que ao girar o corpo rígido o ponto P, e todos os demais que formam o corpo rígido, descreve 
trajetórias circulares com o centro sobre o eixo z e descrevem o mesmo deslocamento angular.
 
10
Posição angular 
Assim como fizemos no movimento de translação, precisamos iniciar o estudo do movimento de rotação, 
definindo a posição do objeto. Na realidade precisaremos escolher um ponto pertencente ao corpo rígido 
para analisar o seu movimento. Se utilizamos o sistema de coordenada x0y, o movimento do ponto P, 
ponto pertencente ao corpo rígido, poderá ser definido por meio das variáveis x e y. Isso resultará em dois 
problemas: o primeiro resultado do fato que precisaremos da informação de dois valores numéricos (x e 
y) para definir a posição e o segundo resultado do fato que pontos distintos pertencentes ao corpo rígido 
realizará deslocamentos x e y diferentes do deslocamento realizado pelo ponto P. Isso implica que cada 
ponto pertencente ao corpo rígido terá uma velocidade escalar