Simulado_N3_1_2018_quadr_cicl_v01

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DRAFT
Estudante: Geometria
Colégio: Quadr. Cı́clicos
Simulado 1 - NIII’vel 3
i) Cada questão tem apenas uma letra correta.
ii) Preencha o gabarito ao lado com as respostas.
iii) Os primeiros dois problemas certos valem 3
pontos, os demais valem 2.
iv) Não é permitido qualquer tipo de consulta.
Gabarito
1 a b c d e
2 a b c d e
3 a b c d e
4 a b c d e
Nota
Problema 1. Na figura, C, D, E, e F são pontos sobre uma circunferência. Além disso, DF = DE e CE é
bissetriz do ângulo ∠DEF. Determine ∠CFE.
a) 90o
b) 100o
c) 110o
d) 120o
e) 130o
.
Problema 2. Em quadriláteros inscritı́veis, o produto das medidas das diagonais é igual à soma dos
produtos das medidas dos lados opostos (Teorema de Ptolomeu), ou seja, em um quadrilátero ABCD,
AC ·BD = AB ·CD+AD ·BC.
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Na figura abaixo, temos um quadrado ABCD de lado medindo 10cm e um triângulo retângulo de catetos
medindo 8cm e 6cm. Se a diagonal de um quadrado mede
√
2 vezes a medida do seu lado, determine a
medida de EF.
a) 6
√
2
b) 7
√
2
c) 8
√
2
d) 9
√
2
e) 10
√
2
.
Problema 3. Numa circunferência, inscreve-se um quadrilátero convexo ABCD tal que ∠ABC = 70o. Se
X = ∠ACB+∠BDC, então:
a) X = 120o.
b) X = 110o.
c) X = 100o.
d) X = 90o.
e) X = 80o.
Problema 4. Na figura, o ponto O é o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B, C, D e E.
Sabendo que o diâmetro AB e a corda CD são perpendiculares e que ∠BCE = 35o o valor em graus do
ângulo ∠DAE é:
a) 35o.
b) 10o.
c) 20o.
d) 30o.
e) 55o.
.
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Problemas Adicionais
i) Os próximos problemas são opcionais.
ii) Cada questão deve ser resolvida em folha separada (com o seu nome) e entregue ao professor.
iii) Escreva de modo claro, objetivo e organizado.
iv) Cada problema vale até 5 pontos, que podem substituir eventuais itens errados nesse simulado.
Problema 5. No triângulo acutângulo ABC, o ângulo ∠BAC mede 45o. Sejam BE e CF alturas com E
sobre AC e F sobre AB, e O o circuncentro de ABC, ou seja, o centro do cı́rculo que passa por A, B e C.
Calcule a medida do ângulo ∠EOF.
Problema 6. Um semicı́rculo de diâmetro EF, situado no lado BC do triângulo ABC, é tangente aos lados
AB e AC em Q e P, respectivamente. As retas EP e FQ se encontram em H. Mostre que AH é a altura do
triângulo.
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Respostas e Soluções.
Problema 1. Na figura, C, D, E, e F são pontos sobre uma circunferência. Além disso, DF = DE e CE é
bissetriz do ângulo ∠DEF. Determine ∠CFE.
a) 90o
b) 100o
c) 110o
d) 120o
e) 130o
.
Soluc, a’‘’o para o Problema 1. .
Como os ângulos ∠CDF e ∠CEF ”olham” para o mesmo arco, eles são congruentes. Temos também que
CE é bissetriz do ângulo ∠DEF e, portanto, ∠CED = ∠CEF = 40o. Assim, ∠DEF = ∠DFE = 80o, pois
DF = DE, e, consequentemente, α = 180o − 80o − 80o = 20o. Por fim, se o quadrilátero CDEF é inscritı́vel,
∠CFE = 180o − 40o − 20o = 120o.
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Problema 2. Em quadriláteros inscritı́veis, o produto das medidas das diagonais é igual à soma dos
produtos das medidas dos lados opostos (Teorema de Ptolomeu), ou seja, em um quadrilátero ABCD,
AC ·BD = AB ·CD+AD ·BC.
Na figura abaixo, temos um quadrado ABCD de lado medindo 10cm e um triângulo retângulo de catetos
medindo 8cm e 6cm. Se a diagonal de um quadrado mede
√
2 vezes a medida do seu lado, determine a
medida de EF.
a) 6
√
2
b) 7
√
2
c) 8
√
2
d) 9
√
2
e) 10
√
2
.
Soluc, a’‘’o para o Problema 2. Se as diagonais de um quadrado são perpendiculares, então ∠AFB+
∠AEB = 90o + 90o = 180o e, consequentemente, o quadrado AEBF é inscritı́vel. Aplicando o Teorema de
Ptolomeu, temos:
EF · 10 = 6 · 5
√
2 + 8 · 5
√
2
EF · 10 = 30
√
2 + 40
√
2
EF · 10 = 70
√
2
EF = 7
√
2cm.
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Problema 3. Numa circunferência, inscreve-se um quadrilátero convexo ABCD tal que ∠ABC = 70o. Se
X = ∠ACB+∠BDC, então:
a) X = 120o.
b) X = 110o.
c) X = 100o.
d) X = 90o.
e) X = 80o.
Soluc, a’‘’o para o Problema 3. (ITA)
Se o quadrilátero é inscritı́vel, então ∠ACB = ∠BDA e 70o +∠ADC = 180o, segue que ∠ADC = 110o.
Temos assim, X = ∠ACB+∠BDC = ∠BDA+∠BDC = ∠ADC = 110o. Resposta B.
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Problema 4. Na figura, o ponto O é o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B, C, D e E.
Sabendo que o diâmetro AB e a corda CD são perpendiculares e que ∠BCE = 35o o valor em graus do
ângulo ∠DAE é:
a) 35o.
b) 10o.
c) 20o.
d) 30o.
e) 55o.
.
Soluc, a’‘’o para o Problema 4. (OBM − 2013)
∠BCE é ângulo inscrito à circunferência ”olhando”para o arco BE, assim ∠BOE = 70o e ∠AOC =
70o, opostos pelo vértice. Pelo triângulo formado pelos vértices C, O e intersecção entre AB e CD
temos ∠DCE+ 70o + 90o = 180o, segue que ∠DCE = 20o. Como ∠DAE e ∠DCE são ângulos inscritos
”olhando”para o mesmo vértice, são congruentes, ou seja, ∠DAE = 20o. Resposta C.
Problema 5. No triângulo acutângulo ABC, o ângulo ∠BAC mede 45o. Sejam BE e CF alturas com E
sobre AC e F sobre AB, e O o circuncentro de ABC, ou seja, o centro do cı́rculo que passa por A, B e C.
Calcule a medida do ângulo ∠EOF.
Soluc, a’‘’o para o Problema 5. (OBM − 2015)
O arco BC mede 2 ·∠BAC = 2 · 45o = 90o, logo ∠BOC = 90o = ∠BEC. Portanto o quadrilátero BOEC é
inscritı́vel e ∠EOC = ∠EBC = 90o −∠ACB. Analogamente, ∠FOB = 90o −∠ABC. Portanto:
∠EOF = ∠FOB+ 90o +∠EOC
= 90o −∠ACB+ 90o + 90o −∠ABC
= 90o +∠BAC
= 90o + 45o
= 135o.
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Problema 6. Um semicı́rculo de diâmetro EF, situado no lado BC do triângulo ABC, é tangente aos lados
AB e AC em Q e P, respectivamente. As retas EP e FQ se encontram em H. Mostre que AH é a altura do
triângulo.
Soluc, a’‘’o para o Problema 6. (BQ OBMEP − 2016)
Sejam K o pé da perpendicular de H ao segmento BC e O o centro do semicı́rculo. Suponha sem perda de
generalidade que K está no segmento OC.
Como EF é um diâmetro, segue que ∠EQF = ∠HKE = 90o e consequentemente EQHK é um quadrilátero
inscritı́vel em um cı́rculo de diâmetro EH. Daı́ segue que ∠HKQ = ∠QEH = ∠QEP =
∠QOP
2
. Analisando
os triângulos AQO e AOP, temos QA = AP, QO = OP e AO = AO. Portanto, pelo caso de congruência
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LLL, os triângulos AQO e APO são congruentes. Assim
∠QOP
2
= ∠QOA e:
∠QKO = 90o −∠HKQ
= 90o −
∠QOP
2
= 90o −∠QOA
= ∠QAO,
pois ∠OQA = 90o. Consequentemente, QAKO é um quadrilátero inscritı́vel. Lembrando que ∠OQA =
90o, o diâmetro de tal cı́rculo é AO. Daı́, ∠AKO = 90o e tanto AK quanto HK são perpendiculares a BC.
Portanto, A, H e K são colineares e, finalmente, AH é altura do triângulo.
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Elaborado pelo professor:
Cleber Assis