Equações de movimento translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral

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DINÂMICA
Ivan Rodrigo Kaufman
Equações de movimento: 
translação, rotação em 
torno de um eixo fi xo e 
movimento plano geral
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Transcrever as equações do movimento plano para os casos de ausência 
de algum termo.
  Escolher a melhor aplicação de forças e momentos de uma força em 
uma situação física.
  Reduzir os casos de muitas forças aplicadas em um corpo em casos 
de uma força resultante.
Introdução
O movimento de translação, rotação e a combinação desses dois movi-
mentos, chamada de movimento plano geral, estão presentes nos mais 
diversos equipamentos, máquinas e no nosso dia a dia, até mesmo quando 
caminhamos. A aplicação de diferentes forças em diferentes pontos de 
um objeto rígido pode causar um movimento, podendo ser descrito 
pelas equações de movimento. Esse conhecimento da dinâmica de 
corpos rígidos é importante para definir situações em que a simplificação 
de forças e momentos de forças pode ser útil para facilitar a realização 
de uma tarefa.
Neste capítulo, você vai aprender sobre as equações de movimento 
plano, podendo ser de translação, rotação e movimento plano geral. 
Algumas situações-problema serão apresentadas para que você entenda 
como esse conhecimento é aplicado na prática.
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Equações do movimento plano 
Um corpo rígido, quando submetido a diferentes forças externas, está sujeito a 
realizar um movimento, podendo ser de translação, rotação ou a combinação 
desses dois movimentos, movimento que chamamos de plano geral. Essa 
dinâmica em relação às forças aplicadas e os movimentos gerados são de 
grande interesse nas mais diversas aplicações do nosso dia a dia. 
Você facilmente consegue imaginar inúmeros exemplos em que temos a 
aplicação de forças em corpos rígidos para realizar algum tipo de trabalho, 
como uma porta (desde o movimento interno da fechadura até o movimento 
de abertura da porta), empurrar uma cadeira, uma mesa, uma caixa, erguer e 
mudar de posição objetos pesados, entre várias outras atividades diárias. Porém, 
talvez a aplicação desses conceitos esteja muito mais presente e perceptível 
aos nossos olhos em áreas da engenharia, em que objetos rígidos pesados são 
transportados e utilizados para diversas finalidades.
Resumidamente, quando temos um movimento de translação linear, as 
seguintes equações devem ser levadas em conta (para um movimento plano 
no plano cartesiano xy):
sendo que Fx são as forças atuando na direção x, Fy são as forças atuando em 
y, m é a massa do objeto rígido, (aG)x e (aG)y são as acelerações lineares em x e 
y, respectivamente, e MG é o momento de força em torno do centro de massa G.
Para translação curvilínea, o somatório dos momentos de força MG con-
tinua sendo igual a zero, mas pode ser conveniente expressar o somatório 
das forças utilizando uma representação dada pelas componentes tangencial 
e normal:
sendo Fn, Ft, (aG)n e (aG)t as forças e acelerações lineares atuando nas direções 
normal e tangencial. Já quando temos um movimento de rotação em torno de 
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um eixo fixo, o somatório das forças Fx e Fy é o mesmo que para o movimento 
de translação linear. Porém o momento de força em torno do centro de massa 
G ou de um ponto P qualquer é dado por:
sendo IG o momento de inércia em torno de um eixo fixo passando pelo 
centro de massa G e α a aceleração angular. MP é o momento de força em 
torno de um ponto P qualquer, sendo r a distância do ponto P ao centro de 
massa G e é a aceleração linear determinada pelo diagrama cinético (no 
sentido da aceleração do centro de massa do sistema).
Quando for conveniente no problema de rotação em torno de um eixo 
fixo, pode-se utilizar uma representação dada pelas componentes tangencial 
e normal, de modo que as equações ficam:
onde é a velocidade angular.
Sempre é aconselhável que você desenhe o diagrama de corpo livre e o diagrama 
cinético e estabeleça um sentido positivo e negativo para as forças e momentos de 
forças atuando sobre o sistema. Isso ajuda no entendimento do problema e facilita 
para não se confundir a respeito dos sinais positivos e negativos utilizados.
Para exemplificar, vamos a um exemplo simples que envolve translação e 
rotação ao mesmo tempo.
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Considere que uma roda de massa 20 kg e raio 0,4 m seja submetida a um 
momento de força de 100 N.m. Sabendo que, com esse momento de força a roda 
“desliza” (coeficiente de atrito cinético μcin. = 0,5), determine a aceleração 
linear e angular que a roda é submetida.
A primeira coisa que devemos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre 
e o diagrama cinético, conforme ilustrado na Figura 1. No diagrama de corpo 
livre, identificamos todas as forças envolvidas e adotamos um sistema de 
coordenadas adequado. As forças presentes no sistema são a força peso (mg), 
a força normal ao peso (N) e a força de atrito cinético (Fa).
Figura 1. Roda de carro submetida a um momento de força M, bem como as representações 
com o diagrama de corpo livre e diagrama cinético.
Fonte: ARTSIOM ZAVADSKI/Shutterstock.com.
Já no diagrama cinético, identificamos o momento angular e a força re-
sultante atuando sobre o centro de massa, bem como adotamos o sentido do 
movimento de rotação na direção horária. Vamos agora ao somatório das forças 
atuando em x e em y. Começamos com x: a única força atuando em x é a força 
de atrito cinético, responsável por “empurrar” a roda. Assim:
Já o somatório das forças atuando em y é igual a zero, uma vez que não 
existe movimento na direção y. Logo:
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Desse modo, temos o valor da normal igual ao peso da roda e substituímos 
esse resultado na equação de cima, de modo que:
Podemos dividir ambos os lados da equação por m e, assim, obtemos o 
valor da aceleração linear em x:
Para encontrar a aceleração angular, não podemos simplesmente usar a 
equação a = α.r, uma vez que a roda desliza e, portanto, a aceleração linear a 
da borda da roda é diferente da aceleração . Dessa maneira, precisamos 
usar a equação do momento de força em torno do centro de massa G ou em 
torno do eixo passando pelo ponto P, indicado no diagrama cinético. Vamos 
primeiro resolver a equação do momento de força em torno do centro de 
massa G (supondo a roda como sendo um aro circular, IG = mr
2). Para tanto, o 
somatório dos momentos de força em torno de G é igual ao momento de força 
que a roda é submetida (M = 100 N.m) menos o momento de força da força 
de atrito. Note que é “menos” porque a força de atrito se opõe ao movimento 
no sentido horário que a roda gira. Portanto:
Agora vamos considerar os momentos de força em torno do ponto P. Nesse 
caso, aplicamos a seguinte equação:
Podemos notar que as duas maneiras para resolver o problema são válidas. 
Em algumas situações, é desejável utilizar um eixo que não coincida com o 
centro de massa do sistema, de modo a eliminar algumas variáveis desconhe-
cidas e, assim, facilitar a resolução do problema.
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No link abaixo você encontrará uma lista de objetos sólidos 
e os seus respectivos momentos de inércias em relação 
a um eixo de rotação predefinido. Essa informação é útil 
para calcular o momento de inércia de objetos rígidos nos 
problemas envolvendo dinâmica de rotação.
https://goo.gl/wnASFo 
Situações físicas envolvendo forças 
e momentos de força
O que acontece quando você acelera um carro? Você logo sente uma acelera-
ção tanto do carro como sua, uma vez que você faz parte do sistema carro + 
motorista. Masde onde vem essa aceleração? Como ela é transmitida para as 
rodas de um carro? Pois bem, quando você acelera um carro, não está fazendo 
nada mais do que injetando mais gasolina para dentro dos pistões do motor, 
de modo a aumentar o poder de explosão interna. Essa explosão acaba por 
gerar força no pistão que, por meio de um sistema de transmissão automotivo, 
é transmitido para as rodas, tracionando-as sobre o solo e, consequentemente, 
impulsionando o carro para frente (ou para trás, se for dada marcha ré). Esse 
é um exemplo prático de transformação de força da explosão da gasolina em 
momento de força para as rodas. 
Agora suponha que você furou o pneu do carro e precisa trocá-lo. Para 
tanto, terá que usar uma chave para abrir os parafusos que prende a roda 
ao carro. Digamos que você tenha uma chave de boca conforme Figura 2. 
Pergunta: se o parafuso se encontra indicado em P e você aplica uma força 
F1 sobre a chave, é aconselhável aplicá-la mais próxima do parafuso ou mais 
longe dele, de modo a ser necessária a menor força possível? Pense um pouco 
antes de prosseguir.
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Figura 2. Aplicações de forças em diferentes pontos de uma chave 
abrindo um parafuso e um martelo.
Fonte: Stock Vector, Ilya Akinshin/Shutterstock.com.
Se você pensar em momento de força, ou torque, sendo aplicado na chave, 
você precisará aplicar uma força menor quando o braço de alavanca (distância 
do eixo de rotação até onde é aplicada a força) for maior, uma vez que o torque 
é definido como a força aplicada multiplicada pelo braço de alavanca (multi-
plicação vetorial). Ainda, é importante destacar que a força aplicada gerará 
um torque máximo quando a força aplicada e o braço de alavanca formarem 
um ângulo θ de 90°. Pensando matematicamente, o torque M (ou momento de 
força, como preferir) é o produto vetorial entre a força e o braço de alavanca, 
M = Fxd, e tem magnitude de M = F.d.senθ. 
Agora, digamos que o parafuso esteja enferrujado e você não consiga abri-
-lo mesmo aplicando toda a sua força em um ponto na chave que seja o mais 
longe possível do parafuso. Esse problema, se um dia acontecer com você, 
pode ser resolvido utilizando um cano metálico acoplado ao final da chave, 
aumentando o braço de alavanca. Com isso, provavelmente você conseguirá 
abrir a chave sem muito esforço.
Outro exemplo é quando você utiliza um martelo para pregar um prego, 
por exemplo. Em quem posição você segura o martelo de modo a aplicar 
a maior força possível sobre o prego sendo martelado? Se você segurar 
na extremidade oposta da cabeça do martelo, quando fizer o movimento 
para martelar, a velocidade linear que a cabeça do martelo terá será maior 
e com maior força do que segurando o martelo próximo da sua cabeça. 
Portanto, da próxima vez que for martelar um prego, você já sabe que 
impulsionará maior momento de força sobre o prego se pegar o martelo 
pela sua extremidade.
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A ideia por trás dos dois últimos exemplos é a mesma para a localização 
de uma maçaneta na porta. Você já parou para pensar por que a maçaneta 
sempre está localizada na extremidade oposta da porta em relação ao seu 
eixo de rotação? Justamente para que, quando aplicarmos uma força para 
abri-la (ou fechá-la), ela seja a mínima possível, pois o braço de alavanca 
já é o maior possível para a posição da maçaneta em relação ao eixo de 
rotação da porta.
O manual de uma empilhadeira determina um peso (na verdade, massa) 
máximo a ser levantado. Se o operador da máquina não obedecer essa instrução 
e quiser carregar mais peso do que é determinado no manual, ele correrá o 
sério risco de contrabalancear a máquina, de modo a empinar a parte traseira 
da empilhadeira e deixar cair a carga que estava carregando. A Figura 3 ilustra 
essa situação.
Figura 3. Uma empilhadeira de massa m1 
erguendo uma caixa de massa m2.
Fonte: Johavel/Shutterstock.com.
É fácil observar que, se o motorista da empilhadeira carregar muito peso, 
a empilhadeira como um todo rotacionará em relação à roda dianteira, o que 
é ilustrado pela flecha curvada sobre a roda. Na figura, são indicadas duas 
distâncias distintas, r1 e r2. A primeira distância, r1, é referente à distância 
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do centro de massa G1 em relação ao eixo de rotação da roda dianteira 
da empilhadeira. G1 é o centro de massa de toda massa m1 concentrada 
à esquerda da roda dianteira da empilhadeira. Já G2 é o centro de massa 
de toda massa m2 concentrada à direita da roda dianteira. r2 é a distância 
do centro de massa G2 em relação ao eixo de rotação da roda dianteira. 
Portanto, a empresa que fabrica esse tipo de máquina coloca o peso do 
motor na parte traseira da empilhadeira, de modo a deslocar o centro de 
massa G2 o máximo possível para trás. Dessa forma, mais peso poderá ser 
carregado pela empilhadeira sem que ela desequilibre e empine para frente. 
Mas, então, quanto de massa uma empilhadeira pode carregar? O máximo 
de massa que ela pode carregar é quando o momento de força M1 da força 
peso de m1 é igual ao momento de força M2, induzido pela massa m2. Em 
termos matemáticos, temos:
Força resultante e torque resultante
Em muitos problemas de engenharia você pode ter várias forças sendo 
aplicadas no mesmo corpo rígido. Nesses casos, muitas vezes é necessário 
o cálculo da força resultante que atua sobre o sistema. Digamos que você 
seja um engenheiro civil e precise determinar o peso máximo que uma viga 
pode sustentar, sendo que essa viga está sob o peso de vários outros corpos 
rígidos. Nesse caso, é importante descobrir onde o peso vai se concentrar 
mais e determinar qual é o peso resultante naquele ponto. Se você não tiver 
conhecimento sobre como determinar uma força resultante atuando sobre 
um sistema, corre o risco de não garantir a estática de um prédio, que poderá 
desabar a qualquer momento. Esse seria um caso em que se procura uma 
força resultante igual a zero. Quando a força resultante não é igual a zero, 
temos um movimento associado, podendo ser de translação, rotação ou, 
ainda, a combinação dos dois.
Em outras situações, é interessante determinar o torque (ou momento de 
força) resultante, como ilustrado no exemplo das Figuras 2 e 3. 
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Essa dinâmica aplicada sobre corpos rígidos é extremamente importante em todas 
as áreas das engenharias, que aplicam esse conhecimento de forma prática. Isso nos 
gera uma gama de aplicações que facilitam e melhoram a nossa vida. Na verdade, 
antes mesmo de existir o termo engenharia, esses conhecimentos já eram conhecidos, 
mesmo que somente de forma qualitativa. É só pensar como o ser humano iniciou 
construindo as suas casas, na forma como lavrava a terra utilizando equipamentos 
rústicos, como pescava, como caçava, etc.
Para ilustrar sobre força e torque resultantes, vamos voltar ao exemplo 
da chave abrindo um parafuso. A Figura 4 mostra a chave e três forças 
distintas (F1, F2 e F3) sendo aplicadas em três distâncias relativas diferentes 
(r1, r2 e r3) em relação ao parafuso P. Digamos que queremos eliminar 
as forças F2 e F3 do problema, permanecendo somente com F1. A que 
distância (rx) F1 deve ser aplicada para permanecermos com o mesmo 
torque da situação inicial?
Figura 4. Três forças distintas sendo aplicadas em uma chave para abrir um 
parafuso, bem como a representação de uma dessas forças sendo aplicada a 
uma distância rx do parafuso.
Fonte: Stock Vector/Shutterstock.com.
O que você deve fazer aqui é somar todos os torques da primeira situação e 
igualar ao torque da segunda situação. É importante primeiro definir a direção 
do torque.Eventualmente, o torque gerado por F3 na primeira situação será 
maior do que o torque somado das forças F1 e F2; nesse caso, o momento 
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de força total será dirigido no sentido horário. Caso contrário, o sentido do 
movimento será no sentido anti-horário. Se você encontrar uma distância rx 
negativa, adotou o movimento da chave no sentido contrário. Vamos resolver 
esse problema de forma algébrica, adotando o movimento no sentido anti-
-horário. Vetorialmente, temos que:
sendo MF1’o torque gerado por F1 em uma distância rx.
Agora digamos que temos um disco com raio r3 e eixo de rotação fixado 
ao seu centro, como ilustrado na Figura 5. O disco é submetido a 5 forças 
diferentes. F1 e F3 são aplicados a uma distância r1 do centro, F2 é aplicada 
a uma distância r2, F4 é aplicado na borda do disco e F5 aplicado ao centro 
do disco. Qual é a força resultante que deverá ser aplicada à borda do disco 
para resultar em um mesmo torque da primeira situação?
Figura 5. Um disco rígido submetido a 5 forças diferentes, bem como a sua 
representação por uma força resultante sendo aplicada na borda do disco.
Novamente igualamos os torques gerados por cada uma das forças nas 
duas situações. Note que F3 forma um ângulo de −45° com a horizontal, de 
modo que a força atuando na direção perpendicular a r1 é F3cos(−45°). Como 
F5 está aplicado ao eixo de rotação, essa força não gera torque no sistema. 
Novamente precisamos adotar um sentido para o movimento. Digamos que 
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o movimento aconteça no sentido horário, então somamos todos os torques
das forças atuando nesse sentido e subtraímos as forças atuando no sentido
contrário. Resolvendo o problema, temos:
E, assim, encontramos a força resultante necessária para causar o mesmo 
momento de força na segunda situação.
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BEER, P. F. et al. Vector mechanics for engineers: statics and dynamics. 9. ed. New York: 
McGraw-Hill, 2010.
HIBBELER, R. C. Statics and dynamics. 14. ed. New Jersey: Pearson, 2016.
WALKER, J.; HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentals of physics. 10. Ed. New Jersey: 
John Wiley & Sons, 2014.
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da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
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