av2 - calculo integral

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. Unidade 1
Pergunta 1
.
0/0
.
As funções explícitas são aquelas que não possuem variáveis que estejam de
forma isolada na expressão. O estudo delas de modo separado das demais é
relevante, pois esse tipo de função é um impeditivo para o cálculo de algumas
derivadas pelo método condicional. Porém, existem alguns fatores não muito
claros quando se estuda essa categoria de expressão algébrica.
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções
explícitas, implícitas e transcendentes, é correto afirmar que em alguns casos
as funções explícitas sequer são funções, porque:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
não são diferenciáveis.
.
.
não são escritas na forma y=ax + b.
.
.
não respeitam as condições necessárias para serem chamadas de função, tal
como a não atribuição de dois valores diferentes do contra domínio para um
mesmo valor do domínio.
. Resposta correta
.
impedem o cálculo das derivadas.
.
.
apresentam as condições necessárias para serem chamadas de função, porém,
esse nome só é atribuído quando se escreve na forma explícita.
.
.
Pergunta 2
.
0/0
.
Os logaritmos auxiliam, entre outras coisas, na resolução de equações
exponenciais de uma maneira geral. Compreender algumas equivalências
logarítmicas é extremamente útil para o processo de manipulação desses
elementos matemáticos a fim de resolver tais equações.
.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as
manipulações logarítmicas possíveis, analise as afirmativas a seguir com
relação à veracidade das equivalências e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F
para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) log (27) = 3 log (3).
.
II. ( ) log(12) = log (3) + log(4).
.
III. ( ) 2log(2) = log(4).
.
IV. ( ) log(10) = 2log(100) – log(10).
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
V, V, V, F.
. Resposta correta
.
F, V, F, V.
.
.
F, F, V, V.
.
. Incorreta:
V, F, V, F.
.
.
V, V, F, F.
.
.
Pergunta 3
.
0/0
.
A independência algébrica de algumas funções delimita algumas categorias de
funções. Saber reconhecer quando uma função é ou não algébrica auxilia em
algumas manipulações matemáticas, tal como a derivação.
.
Tendo em vista os conhecimentos acerca das funções algébricas, analise as
afirmativas a seguir:
.
I. As funções algébricas são aquelas definidas apenas pelas operações básicas
da álgebra.
.
II. Existem funções explícitas não algébricas.
.
III. As funções transcendentes são funções algébricas.
.
IV. f(x) = ln(x) não é uma função algébrica.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I, III e IV.
.
.
I e IV.
.
.
II, III e IV.
.
.
I, II e IV.
. Resposta correta
.
II e III.
.
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Pergunta 4
.
0/0
.
Os limites fundamentais delimitam as bases do cálculo integral. Por isso,
compreendê-los é compreender como se constituem os alicerces matemáticos
que dão origem às derivadas e integrais.
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Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca dos limites
fundamentais, analise as afirmativas a seguir:
.
I. é um limite fundamental.
.
II. e são equivalentes.
.
III.
.
IV.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I, II, III e IV.
.
.
II e IV.
.
.
II, III e IV.
.
.
I, II e III.
. Resposta correta
.
III e IV.
.
.
Pergunta 5
.
0/0
.
As manipulações algébricas são extremamente importantes para a resolução
de problemas matemáticos. Mudanças de perspectivas são necessárias na
matemática, muitas vezes aplicadas para testar abordagens diferentes sobre
o mesmo problema. Transitar entre as definições explicitas e implícitas de
uma função é uma manipulação algébrica importante para a resolução de
alguns problemas.
.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições
e propriedades das funções implícitas e explícitas, e a possibilidade de
reescrita entre elas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) y=2x+1 →y-2x=1. Forma explicita → forma implícita.
.
II. ( ) ln(x) + x = y→ ln(x) + x – y = 0. Forma explicita → forma implícita.
.
III. ( ) x² + y³ = 0 → y³ =-x². Forma implícita → forma explícita.
.
IV. ( ) y-x=3 → y= 3+x. Forma implícita → forma explícita.
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
V, V, V, F.
.
.
V, V, F, F.
.
.
V, F, V, F.
.
.
F, F, V, V.
.
.
V, V, F, V.
. Resposta correta
.
Pergunta 6
.
0/0
.
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por
exemplo, em física ele é utilizado para descrever as equações horárias de
movimento, que são funções polinomiais. Considere que a derivada da equação
horária do movimento, S’(t), é igual à equação horária da velocidade, v(t), e
a derivada segunda da equação horária do movimento, S’’(t), é a equação
horária da aceleração, a(t).
.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação,
analise as afirmativas a seguir:
.
I. Em movimentos nos quais a v(t) é uma função constante, S(t) também é
constante.
.
II. Para equações horárias de 2ºgrau, a’(t) = constante.
.
III. Se S(t) = x³ + 2x² + 2, no instante 3s a velocidade é de 39m/s.
.
IV. Em movimentos nos quais v(t) é uma função de primeiro grau crescente,
S(t) é uma função quadrática e a aceleração é variável.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I, II e IV.
.
.
III e IV.
.
.
I, II e III.
.
.
II e IV.
.
.
II e III.
. Resposta correta
.
Pergunta 7
.
0/0
.
O estudo dos diferentes tipos de funções é fundamental para um estudante
de exatas. Saber suas particularidades, definições e significados multifacetados
é como aprender palavras para um novo idioma, que no caso é o da
matemática. As funções explícitas e implícitas compõem um pouco desse
campo de estudo, e são fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo.
.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições
e propriedades das funções implícitas e explícitas, analise as afirmativas a
seguir.
.
I. As funções explicitas são meramente algébricas.
.
II. Existem funções implícitas que podem ser reescritas como funções explícitas.
.
III. Uma função implícita pode ser representada por mais de uma função
explícita.
.
IV. está na forma de uma função implícita
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I, III e IV.
.
.
II, III e IV.
. Resposta correta
.
III e IV.
.
.
II e IV.
.
.
I, II e IV.
.
.
Pergunta 8
.
0/0
.
O número de Euler possui diversas aplicações em ciências, como a Biologia, a
Química e a Física, por exemplo.
.
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre a relação entre
limites exponenciais e o número de Euler, analise as afirmativas a seguir, com
relação à veracidade das equivalências, e assinale V para a(s) verdadeira(s) e
F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) lim(1+1/x)^x = 1/e.
.
II. ( ) O número de Euler é maior que o número racional 2,72.
.
III. ( ) lim(1+1/x)^7x, com x tendendo ao infinito vale e^7
.
IV. ( ) lim(1 + h)^(1/h) = e com h tendendo a zero.
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
V, F, F, F.
.
.
F, F, V, F.
.
.
F, F, V, V.
. Resposta correta
.
V, F, V, V.
.
.
V, V, V, F.
.
.
Pergunta 9
.
0/0
.
Tendo o conhecimento de funções compostas, sabemos que o domínio de
algumas funções são a imagem de outras, ou seja, uma função composta H(x)
pode ser dada por H(x) = f(g(x)). Muitas funções desse tipo são transcendentes,
o que significa que não possuem formulação algébrica.
.
Dado que se f(x) = sen(x), f’(x) = cos(x), e considerando seus conhecimentos
sobre a regra da cadeia para derivação de funções compostas, analise as
afirmativas a seguir..
I. A derivada de f(x) = (x+2)² é 2x + 4.
.
II. A função H(x) = f(g(x)), onde f(x) = sen(x) e g(x) = x²+x, tem derivada H’(x)
= (2x+1)*cos (x²+x).
.
III. Para derivar funções transcendentes basta aplicar as regras para
derivadas de funções polinomiais.
.
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a cos²(x)sen(x).
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
I e II.
. Resposta correta
.
I e III.
.
.
I, II e IV.
.
.
I, III e IV.
.
.
II, e IV.
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Pergunta 10
.
0/0
.
O estudo acerca dos logaritmos contribui para a resolução de alguns
problemas matemáticos que seriam difíceis de se resolver de outra forma,
como é o caso da derivada de 2^x. Para isso, é necessário que se tenha o
conhecimento básico sobre a definição e propriedades dos logaritmos.
.
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre os logaritmos,
analise as afirmativas a seguir com relação à veracidade e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) log(e) = ln(e).
.
II. ( ) O número de Euler, base do logaritmo neperiano, é definido a partir
de um limite fundamental.
.
III. ( ) A função exponencial é a função inversa da logarítmica
.
IV. ( ) A base de um logaritmo deve ser, somente maior do que zero
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
F, F, V, V.
.
.
F, V, V, F.
. Resposta correta
.
V, V, F, V.
.
.
V, F, F, V.
.
.
V, V, V, F.
T2
.
Pergunta 1
.
0/0
.
A diferenciação implícita é um método de derivação para certos tipos de
funções, isto é, as que não se consegue isolar o valor de uma de suas variáveis.
É necessário conhecer as aplicações e propriedades desse tipo de derivação.
.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca dessas derivadas,
analise as afirmativas a seguir:
.
I. Quando se deriva implicitamente, deve-se derivar ambos os lados da
igualdade.
.
II. Ao derivar implicitamente, utiliza-se a regra da cadeia.
.
III. Derivar implicitamente não exclui a necessidade de utilizar outros
métodos de derivação.
.
IV. A derivação implícita sempre resultará em valores positivos.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I e II.
.
.
II e III.
.
.
II, III e IV.
.
.
I, II e III.
. Resposta correta
.
III e IV.
.
.
Pergunta 2
.
0/0
.
O número de Euler está associado a diversos fenômenos da natureza, tais
como um decaimento radioativo e o crescimento de uma colônia de bactérias.
Porém, ele também se relaciona com questões financeiras, referentes a juros
compostos. Imagine o cenário hipotético:
.
Uma criança de 10 anos recebe de seus pais em seu nome, inicialmente, uma
quantia de R$ 100.000,00 que irá ser investida em uma determinada
aplicação que renderá, em juros compostos, 10% ao ano. A família dessa
criança pretende utilizar esse dinheiro para comprar uma casa para ela,
quando a mesma atingir a maioridade e o dinheiro for suficiente. Supondo
que o valor da casa é de R$ 500.000,00 e .
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre limite
fundamental exponencial e Sistema Neperiano, pode-se afirmar que a então
criança poderá comprar a casa com:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
26 anos.
. Resposta correta
.
21 anos.
.
.
20 anos.
.
.
24 anos.
.
.
23 anos.
.
.
Pergunta 3
.
0/0
.
O estudo acerca dos logaritmos contribui para a resolução de alguns
problemas matemáticos que seriam difíceis de se resolver de outra forma,
como é o caso da derivada de 2^x. Para isso, é necessário que se tenha o
conhecimento básico sobre a definição e propriedades dos logaritmos.
.
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre os logaritmos,
analise as afirmativas a seguir com relação à veracidade e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) log(e) = ln(e).
.
II. ( ) O número de Euler, base do logaritmo neperiano, é definido a partir
de um limite fundamental.
.
III. ( ) A função exponencial é a função inversa da logarítmica
.
IV. ( ) A base de um logaritmo deve ser, somente maior do que zero
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
F, V, V, F.
. Resposta correta
.
V, V, V, F.
.
.
V, F, F, V.
.
.
V, V, F, V.
.
.
F, F, V, V.
.
.
Pergunta 4
.
0/0
.
O estudo dos diferentes tipos de funções é fundamental para um estudante
de exatas. Saber suas particularidades, definições e significados multifacetados
é como aprender palavras para um novo idioma, que no caso é o da
matemática. As funções explícitas e implícitas compõem um pouco desse
campo de estudo, e são fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo.
.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições
e propriedades das funções implícitas e explícitas, analise as afirmativas a
seguir.
.
I. As funções explicitas são meramente algébricas.
.
II. Existem funções implícitas que podem ser reescritas como funções explícitas.
.
III. Uma função implícita pode ser representada por mais de uma função
explícita.
.
IV. está na forma de uma função implícita
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
III e IV.
.
.
II e IV.
.
.
II, III e IV.
. Resposta correta
.
I, III e IV.
.
.
I, II e IV.
.
.
Pergunta 5
.
0/0
.
Os logaritmos auxiliam, entre outras coisas, na resolução de equações
exponenciais de uma maneira geral. Compreender algumas equivalências
logarítmicas é extremamente útil para o processo de manipulação desses
elementos matemáticos a fim de resolver tais equações.
.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as
manipulações logarítmicas possíveis, analise as afirmativas a seguir com
relação à veracidade das equivalências e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F
para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) log (27) = 3 log (3).
.
II. ( ) log(12) = log (3) + log(4).
.
III. ( ) 2log(2) = log(4).
.
IV. ( ) log(10) = 2log(100) – log(10).
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
V, F, V, F.
.
.
V, V, V, F.
. Resposta correta
.
V, V, F, F.
.
.
F, V, F, V.
.
.
F, F, V, V.
.
.
Pergunta 6
.
0/0
.
O estudo dos logaritmos contribui para a resolução de equações exponenciais.
A compreensão da manipulação desses elementos matemáticos a fim de
resolver tais equações torna-se fundamental para os profissionais de exatas.
.
De acordo com essas informações e com os conhecimentos acerca das
manipulações logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) log (1/4) = - log (4).
.
II. ( ) log(a²b³) = [log(a)]² + [log(b)]³.
.
III. ( ) ln(1/e) = e^-1.
.
IV. ( ) log(e) = 1/ln(10).
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
F, V, V, F.
.
.
V, V, F, F.
.
.
V, F, V, V.
.
.
F, F, V, F.
.
.
V, F, F, V.
. Resposta correta
.
Pergunta 7
.
0/0
.
Algumas funções representam com precisão fenômenos físicos e químicos. Elas
muitas vezes servem de modelo preditivo para a avaliação de uma
determinada situação, tal como a que segue:
.
Em um determinado país, há um surto epidêmico. Os centros de pesquisas
epidemiológicos daquele país tentam mensurar a velocidade na qual as
pessoas são acometidas pelo vírus, e estimam isso pela função horária
f(t)=105t-t^2 calculada em dias. Às vésperas de sediar um evento esportivo
muito importante, o governo desse país se preocupa com a taxa de
contaminação quando o evento começar, pois pode haver o risco de uma
pandemia. Imagine que o evento começa em 50 dias, e os centros
epidemiológicos alertaram que uma taxa de variação instantânea aceitável é
numericamente menor ou igual a 5.
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada da
funçãoexponencial, logarítmica e geral, pode-se afirmar que o país deveria
sediar o evento, porque:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
a taxa de variação instantânea a 50 dias do tempo presente será 0.
.
.
o número de doentes será 0.
.
.
a taxa de variação instantânea após 50 dias será maior do que 5.
.
.
a taxa de variação instantânea após 50 dias será numericamente igual a 5.
. Resposta correta
.
a taxa de variação instantânea após 50 dias será menor do que 5.
.
.
Pergunta 8
.
0/0
.
Compreender com quais categorias de funções se está lidando em um
determinado problema pode auxiliar no encaminhamento para a solução. É
fundamental compreender as distinções e semelhanças das funções
transcendentes, explícitas e implícitas.
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções
transcendentes, explícitas e implícitas, associe as funções apresentadas a
seguir com suas respectivas categorias:
.
1) y= cos(x).
.
2) x²+y² = 25.
.
3) y= 2.
.
4) lnx + 2y = 0.
.
( ) Função transcendente definida explicitamente.
.
( ) Função transcendente definida implicitamente.
.
( ) Função algébrica definida implicitamente.
.
( ) Função algébrica definida explicitamente.
.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
4, 2, 3, 1.
.
.
1, 2, 4, 3.
.
.
3, 4, 2, 1.
.
.
1, 4, 2, 3.
. Resposta correta
.
2, 1, 3, 4.
.
.
Pergunta 9
.
0/0
.
As funções explícitas são aquelas que não possuem variáveis que estejam de
forma isolada na expressão. O estudo delas de modo separado das demais é
relevante, pois esse tipo de função é um impeditivo para o cálculo de algumas
derivadas pelo método condicional. Porém, existem alguns fatores não muito
claros quando se estuda essa categoria de expressão algébrica.
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções
explícitas, implícitas e transcendentes, é correto afirmar que em alguns casos
as funções explícitas sequer são funções, porque:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
impedem o cálculo das derivadas.
.
.
não são escritas na forma y=ax + b.
.
.
não respeitam as condições necessárias para serem chamadas de função, tal
como a não atribuição de dois valores diferentes do contra domínio para um
mesmo valor do domínio.
. Resposta correta
.
não são diferenciáveis.
.
.
apresentam as condições necessárias para serem chamadas de função, porém,
esse nome só é atribuído quando se escreve na forma explícita.
.
.
Pergunta 10
.
0/0
.
Tendo o conhecimento de funções compostas, sabemos que o domínio de
algumas funções são a imagem de outras, ou seja, uma função composta H(x)
pode ser dada por H(x) = f(g(x)). Muitas funções desse tipo são transcendentes,
o que significa que não possuem formulação algébrica.
.
Dado que se f(x) = sen(x), f’(x) = cos(x), e considerando seus conhecimentos
sobre a regra da cadeia para derivação de funções compostas, analise as
afirmativas a seguir.
.
I. A derivada de f(x) = (x+2)² é 2x + 4.
.
II. A função H(x) = f(g(x)), onde f(x) = sen(x) e g(x) = x²+x, tem derivada H’(x)
= (2x+1)*cos (x²+x).
.
III. Para derivar funções transcendentes basta aplicar as regras para
derivadas de funções polinomiais.
.
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a cos²(x)sen(x).
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I e III.
.
.
I e II.
. Resposta correta
.
I, II e IV.
.
.
II, e IV.
.
.
I, III e IV.
.
Unidade 2
.
Pergunta 1
.
0/0
.
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a
derivada são operações contrárias. As integrais indefinidas são extremamente
importantes para a determinação da função primitiva F(x), que é obtida
realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma
forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x).
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais
definidas, analise as afirmativas a seguir.
.
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios.
.
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para
o problema de função primitiva.
.
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva.
.
IV. é um exemplo de integral definida.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I e IV.
.
.
I, II e III.
. Resposta correta
.
II e III.
.
.
I, III e IV.
.
.
II, III e IV.
.
.
Pergunta 2
.
0/0
.
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de
cálculo integral, já que este valor possui um significado prático para análise
da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de
variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação
referente a outra função ou algo similar, o que implica na possibilidade de se
aplicar a operação reversa à derivada.
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral
indefinida, pode-se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é
relevante porque:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função
que a gerou.
. Resposta correta
.
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada.
.
.
passa a ser possível derivar outros tipos de funções.
.
.
vale para qualquer tipo de função e intervalo.
.
.
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha.
.
.
Pergunta 3
.
0/0
.
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para
inúmeras áreas do conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no
estudo das leis horárias que descrevem movimentos de partículas e corpos,
possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a
propiciar o descobrimento de uma nova informação.
.
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à
equação horária da velocidade v(t), e a derivada segunda da equação horária
do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De acordo com
essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as
afirmativas a seguir:
.
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x).
.
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x).
.
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x).
.
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x).
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I, II, III.
.
.
III e IV.
.
.
I, II, III.
.
.
I, III e IV.
. Resposta correta
.
II e IV.
.
.
Pergunta 4
.
0/0
.
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para
a resolução de inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de
indeterminações, apenas derivando o numerador e o denominador de uma
função que é escrita em forma de razão.
.
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e
com base nos seus conhecimentos acerca da regra do limite fundamental
trigonométrico e da regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5.
.
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2.
.
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1.
.
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0.
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
V, F, F, V.
.
.
V, F, V, V.
. Resposta correta
.
F, V, F, F.
.
.
F, F, V, V.
.
.
V, F, V, F.
.
.
Pergunta 5
.
0/0
.
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno,
vimos que as derivadas alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão
interminável. Um exemplo disso é derivar uma função cosseno duas vezes,
onde na primeira vez ela se torna uma funçãoseno e, na segunda,
novamente uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das
derivadas de maneira mais rápida e simples.
.
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com
base nos seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e da interpretação
geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
falsa(s).
.
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3.
.
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto
onde x = 0, é igual a 0.
.
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)*
cos(cos(2sen(3x))).
.
IV. ( ) f’’(x) = -f(x).
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
F, F, V, F.
.
.
V, F, V, V.
.
.
V, V, F, F.
.
.
F, F, V, V.
. Resposta correta
.
V, V, F, V.
.
.
Pergunta 6
.
0/0
.
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação
de uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa
de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas situações
é preferível que, ao se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-
se a operação inversa a ela, para se descobrir a função que a gerou, chamada
função primitiva ou antiderivada.
.
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre
integrais indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir.
.
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x).
.
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma
antiderivada.
.
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida.
.
IV. é uma propriedade de uma integral definida.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
II e III.
.
.
I e IV.
.
.
I, III e IV.
.
.
I e III.
. Resposta correta
.
II, III e IV.
.
.
Pergunta 7
.
0/0
.
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de
indeterminações. Com essa regra tenta-se resolver o que não é solucionável
apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também,
inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em
que cessam.
.
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
.
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra.
.
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
.
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de
L’Hospital.
.
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização.
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
F, F, F, V.
.
.
F, V, V, F.
. Resposta correta
.
V, V, F, V.
.
.
V, V, V, F.
.
.
F, F, V, V.
.
.
Pergunta 8
.
0/0
.
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por
exemplo, em física, é utilizado para descrever as equações horárias de
movimento, que são funções polinomiais. Essas funções polinomiais podem ser
integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a partir
daí, obter outros conhecimentos.
.
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à
equação horária da velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação
horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o conteúdo
estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir.
.
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é
uma função do primeiro grau.
.
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) =
cos(x).
.
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que
S(t) é uma função do primeiro grau.
.
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) =
6m/s e que a aceleração é constante e vale 2m/s².
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
II e IV.
.
.
I, II, III.
.
.
III e IV.
. Resposta correta
.
II, III.
.
.
I, II e IV.
.
.
Pergunta 9
.
0/0
.
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno,
podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado
dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino
Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde
aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a algum valor
(nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam
indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das
funções para o cálculo do limite desconhecido.
.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir:
.
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia
gerar respostas incorretas.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
III e IV.
.
.
I, II, III e IV.
.
.
I, II, III.
.
.
II, e IV.
.
.
II, III e IV.
. Resposta correta
.
Pergunta 10
.
0/0
.
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações
geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à
curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a
área abaixo da curva que a descreve.
.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com
base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica
dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer
ponto é igual a 2.
.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo
eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x).
.
III. ( ) h(x) é uma função.
.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
V, F, V, V.
. Resposta correta
.
F, F, V, V.
.
.
V, V, F, F.
.
.
V, V, V, F.
.
.
V, F, V, F.
.
T2
.
Pergunta 1
.
0/0
.
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes
para a matemática, sem usar uma ideia mais rebuscada, como a de limite.
Porém, também é possível extrair novas relações quando se alia o estudo de
limites à trigonometria. Um exemplo disso é o limite fundamental
trigonométrico.
.
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se
afirmar que o limite fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo
porque:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
torna dispensável a utilização de qualquer outro limite.
.
.
relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre esses
dois elementos.
. Resposta correta
.
torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico.
.
.
relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão valha 1.
.
.
as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o limite.
.
.
Pergunta 2
.
0/0
.
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para
a resolução de inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de
indeterminações, apenasderivando o numerador e o denominador de uma
função que é escrita em forma de razão.
.
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e
com base nos seus conhecimentos acerca da regra do limite fundamental
trigonométrico e da regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5.
.
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2.
.
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1.
.
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0.
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
V, F, F, V.
.
.
F, F, V, V.
.
.
F, V, F, F.
.
.
V, F, V, V.
. Resposta correta
.
V, F, V, F.
.
.
Pergunta 3
.
0/0
.
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno,
vimos que as derivadas alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão
interminável. Um exemplo disso é derivar uma função cosseno duas vezes,
onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda,
novamente uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das
derivadas de maneira mais rápida e simples.
.
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com
base nos seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e da interpretação
geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
falsa(s).
.
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3.
.
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto
onde x = 0, é igual a 0.
.
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)*
cos(cos(2sen(3x))).
.
IV. ( ) f’’(x) = -f(x).
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
F, F, V, V.
. Resposta correta
.
V, V, F, F.
.
.
F, F, V, F.
.
.
V, F, V, V.
.
.
V, V, F, V.
.
.
Pergunta 4
.
0/0
.
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para
inúmeras áreas do conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no
estudo das leis horárias que descrevem movimentos de partículas e corpos,
possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a
propiciar o descobrimento de uma nova informação.
.
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à
equação horária da velocidade v(t), e a derivada segunda da equação horária
do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De acordo com
essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as
afirmativas a seguir:
.
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x).
.
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x).
.
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x).
.
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x).
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I, II, III.
.
.
II e IV.
.
.
III e IV.
.
.
I, III e IV.
. Resposta correta
.
I, II, III.
.
.
Pergunta 5
.
0/0
.
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para
encontrar retas tangentes e taxas de variações. Derivar funções
trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no Cálculo,
já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta
disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos simples e de
correntes alternadas, por exemplo.
.
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca
das derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas
respectivas características:
.
1) f(x) = sen(x).
.
2) f(x) = cos(x).
.
3) f(x) = tg(x).
.
4) f(x) = sec(x).
.
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1).
.
( ) Sua derivada é
.
( ) Sua derivada terceira é sen(x).
.
( ) Sua derivada é sec²(x).
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
2, 1, 3, 4.
.
.
4, 2, 1, 3.
.
.
4, 1, 2, 3.
.
.
1, 3, 2, 4.
.
.
1, 4, 2, 3.
. Resposta correta
.
Pergunta 6
.
0/0
.
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por
exemplo, em física, é utilizado para descrever as equações horárias de
movimento, que são funções polinomiais. Essas funções polinomiais podem ser
integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a partir
daí, obter outros conhecimentos.
.
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à
equação horária da velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação
horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o conteúdo
estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir.
.
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é
uma função do primeiro grau.
.
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) =
cos(x).
.
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que
S(t) é uma função do primeiro grau.
.
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) =
6m/s e que a aceleração é constante e vale 2m/s².
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
III e IV.
. Resposta correta
.
I, II, III.
.
.
II e IV.
.
.
I, II e IV.
.
.
II, III.
.
.
Pergunta 7
.
0/0
.
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno,
podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado
dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino
Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde
aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a algum valor
(nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam
indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das
funções para o cálculo do limite desconhecido.
.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir:
.
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia
gerar respostas incorretas.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
II, III e IV.
. Resposta correta
.
I, II, III e IV.
.
.
II, e IV.
.
.
I, II, III.
.
.
III e IV.
.
.
Pergunta 8
.
0/0
.
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações
geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à
curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a
área abaixo da curva que a descreve.
.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com
base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica
dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer
ponto é igual a 2.
.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo
eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x).
.
III. ( ) h(x) é uma função.
.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
F, F, V, V.
.
.
V, V, F, F.
.
.
V, F, V, V.
. Resposta correta.
V, V, V, F.
.
.
V, F, V, F.
.
.
Pergunta 9
.
0/0
.
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a
derivada são operações contrárias. As integrais indefinidas são extremamente
importantes para a determinação da função primitiva F(x), que é obtida
realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma
forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x).
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais
definidas, analise as afirmativas a seguir.
.
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios.
.
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para
o problema de função primitiva.
.
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva.
.
IV. é um exemplo de integral definida.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
I, II e III.
. Resposta correta
.
II e III.
.
.
I, III e IV.
.
.
II, III e IV.
.
.
I e IV.
.
.
Pergunta 10
.
0/0
.
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como
aplicá-lo através de manipulações das expressões matemáticas pode salvar
muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é prático
deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções
trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem
como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em
indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos.
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite
fundamental trigonométrico e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a
seguir.
.
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero.
.
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x).
.
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n.
.
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x).
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
II e III.
.
.
I, II e III.
. Resposta correta
.
II, III e IV.
.
.
I e IV.
.
.
I, II e IV.
.
Unidade 3
T1
.
Pergunta 1
.
0/0
.
O estudo acerca das funções exponenciais é extremamente relevante para o
estudante de exatas, ainda mais aquele que busca aplicações no dia a dia.
Compreender algumas operações, tais como derivada e integral, passa a ser
essencial para o desenvolvimento desse aluno.
.
Com base nos seus conhecimentos acerca das integrais exponenciais, associe os
itens a seguir com os significados descritos:
.
1) Integral exponencial geral.
.
2) Integral exponencial.
.
3) Integral com número de Euler na base.
.
4) Função exponencial.
.
( )
.
( ) , em que d é uma constante.
.
( )
.
( )
.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
3, 4, 2, 1.
.
.
2, 1, 4, 3.
. Resposta correta
.
2, 1, 3, 4.
.
.
1, 2, 4, 3.
.
.
1, 2, 3, 4.
.
.
Pergunta 2
.
0/0
.
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e
o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e
negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como
integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida,
precisamos analisar a continuidade da função.
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais
indefinidas de funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação
proposta entre elas.
.
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual
a 1.
.
Porque:
.
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição
de sen(x) por outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) =
(1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada
em uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta
calcular F(π/2) – F(π/3).
.
A seguir, assinale a alternativa correta.
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
.
.
As asserções I e II são proposições falsas.
.
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa
correta da I.
.
.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
. Resposta correta
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
.
.
Pergunta 3
.
0/0
.
Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando
comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de
forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o
resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o
logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o
expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus
conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é
correto afirmar que:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.
.
.
No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.
. Resposta correta
.
No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
.
.
Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
.
.
Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.
.
.
Pergunta 4
.
0/0
.
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e
o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e
negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como
integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida,
precisamos analisar a continuidade da função.
.
Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação
proposta entre elas.
.
I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo
conjunto domínio é D = [-6,0].
.
Porque:
.
II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-
3)(x+3)/(x+3), de forma que f(x) = x-3, sendo então uma função definida em
todo o intervalo [-6,0] e, integrando, temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x +
C e, calculando a integral definida, temos F(0) – F(-6) = 0 – 0 + C – (18 +
18 + C) = -36.
.
A seguir, assinale a alternativa correta.
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
As asserções I e II são proposições falsas.
.
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
.
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa
correta da I.
.
.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
. Resposta correta
.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
.
.
Pergunta 5
.
0/0
.
No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida
da função, é necessário substituir os limites do intervalo na fórmula da
primitiva e realizar um cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva
da função e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é
positiva e negativos caso contrário.
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de
funções polinomiais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas.
.
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral
definida no intervalo [1,2] vale 4.
.
Porque:
.
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida
pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor
equivale a F(b) – F(a).
.
A seguir, assinale a alternativa correta.
.
Ocultar opções de resposta
.
.
As asserções Ie II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
.
.
As asserções I e II são proposições falsas.
.
.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
. Resposta correta
.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
.
. Incorreta:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
.
.
Pergunta 6
.
0/0
.
O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial,
possibilitando o cálculo de integrais definidas a partir da seguinte igualdade:
.
.
Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema
Fundamental do Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma
resposta apenas, e não uma família de soluções.
.
II. ( ) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais.
.
III. ( ) Para utilizá-lo, não é necessário definir os limites de integração.
.
IV. ( )
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
V, V, V, F.
.
.
V, F, V, V.
.
.
V, V, F, V.
. Resposta correta
.
V, F, F, F.
.
.
F, F, V, V.
.
.
Pergunta 7
.
0/0
.
O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm
fundamental importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma
série de fenômenos observados nas ciências naturais.
.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da
derivada como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de
velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir:
.
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função.
.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio
de limites.
.
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
.
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta
y = x.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
II e IV.
.
.
I, e IV.
.
.
II, III e IV.
. Resposta correta
.
II e III.
.
.
I, II e III.
.
.
Pergunta 8
.
0/0
.
O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas
dado um intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é
muito importante por um outro fator.
.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental
do Cálculo é relevante para o Cálculo, também porque:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
ele é o único teorema que envolve integrais.
.
.
ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial.
. Resposta correta
.
ele permite o cálculo de integrais definidas.
.
.
ele refuta a integral de Riemann.
.
.
ele torna dispensável a utilização das derivadas.
.
.
Pergunta 9
.
0/0
.
As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são
definidas a partir do círculo trigonométrico. Elas possuem um caráter
periódico e suas variáveis e integrais estão relacionadas entre si.
.
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno.
.
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante.
.
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais.
.
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x).
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
V, V, F, V.
. Resposta correta
.
F, V, F, F.
.
.
V, F, F, V.
.
.
F, F, V, V.
.
.
V, F, V, F.
.
.
Pergunta 10
.
0/0
.
Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental
nos estudos de Cálculo pelas limitações teóricas que cada uma impõe. Em
uma situação aplicada, a integral definida funciona como uma ferramenta de
mensuração de área para uma determinada curva, já a integral indefinida
consegue identificar uma família de soluções para uma determinada situação.
.
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
.
I. ( ) é uma integral indefinida.
.
II. ( ) é uma integral definida.
.
III. ( ) é uma integral definida.
.
IV. ( ) é uma integral definida.
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
V, F, V, V.
. Resposta correta
.
F, F, V, V.
.
.
V, V, F, F.
.
.
V, V, V, F.
.
.
V, F, F, F.
.
T2
.
Pergunta 1
.
0/0
.
Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando
comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de
forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o
resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o
logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o
expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus
conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é
correto afirmar que:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
.
.
Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.
.
.
No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.
. Resposta correta
.
Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
.
.
Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.
.
.
Pergunta 2
.
0/0
.
O estudo acerca das funções exponenciais é extremamente relevante para o
estudante de exatas, ainda mais aquele que busca aplicações no dia a dia.
Compreender algumas operações, tais como derivada e integral, passa a ser
essencial para o desenvolvimento desse aluno.
.
Com base nos seus conhecimentos acerca das integrais exponenciais, associe os
itens a seguir com os significados descritos:
.
1) Integral exponencial geral.
.
2) Integral exponencial.
.
3) Integral com número de Euler na base.
.
4) Função exponencial.
.
( )
.
( ) , em que d é uma constante.
.
( )
.
( )
.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
1, 2, 4, 3.
.
. Incorreta:
2, 1, 3, 4.
.
.
3, 4, 2, 1.
.
.
2, 1, 4, 3.
. Resposta correta
.
1, 2, 3, 4.
.
.
Pergunta 3
.
0/0
.
O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas
dado um intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é
muito importante por um outro fator.
.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental
do Cálculo é relevante para o Cálculo, também porque:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
ele refuta a integral de Riemann.
.
.
ele permite o cálculo de integrais definidas.
.
.
ele é o único teorema que envolve integrais.
.
.
ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial.
. Resposta correta
.
ele torna dispensável a utilização das derivadas.
.
.
Pergunta 4
.
0/0
.
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e
o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e
negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como
integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida,
precisamos analisar a continuidade da função.
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais
indefinidas de funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação
proposta entre elas.
.
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual
a 1.
.
Porque:
.
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição
desen(x) por outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) =
(1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada
em uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta
calcular F(π/2) – F(π/3).
.
A seguir, assinale a alternativa correta.
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
As asserções I e II são proposições falsas.
.
.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
.
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
.
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa
correta da I.
.
.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
. Resposta correta
.
Pergunta 5
.
0/0
.
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e
o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e
negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como
integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida,
precisamos analisar a continuidade da função.
.
Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação
proposta entre elas.
.
I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo
conjunto domínio é D = [-6,0].
.
Porque:
.
II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-
3)(x+3)/(x+3), de forma que f(x) = x-3, sendo então uma função definida em
todo o intervalo [-6,0] e, integrando, temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x +
C e, calculando a integral definida, temos F(0) – F(-6) = 0 – 0 + C – (18 +
18 + C) = -36.
.
A seguir, assinale a alternativa correta.
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
As asserções I e II são proposições falsas.
.
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
.
.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
.
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa
correta da I.
.
.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
. Resposta correta
.
Pergunta 6
.
0/0
.
As funções exponenciais e logarítmicas estão ligadas, uma é inversa da outra.
Apesar de serem inversas, o logaritmo natural está presente na integral de
uma função exponencial qualquer. A relação de ambos se dá da seguinte
forma:
.
.
Utilizando seus conhecimentos sobre as integrais logarítmicas e exponenciais,
analise as afirmativas a seguir:
.
I. Ao calcular por essa relação, obtém-se
.
II. O a pode assumir qualquer valor real.
.
III. Ao calcular por essa relação, obtém-se
.
IV.Ao calcular por essa relação, obtém-se
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
III e IV.
.
.
I, II e III.
.
.
II e IV.
.
.
I, III e IV.
. Resposta correta
.
I, II e IV.
.
.
Pergunta 7
.
0/0
.
O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam
Cálculo. Por meio delas, tem-se uma medida analítica de algumas áreas,
volumes e comprimentos, portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial.
.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração
indefinida, analise as afirmativas a seguir:
.
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma .
.
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só
há uma resposta possível.
.
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um
determinado ponto.
.
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família
de respostas possível para o cálculo.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
II, III.
.
.
I, II e IV.
.
.
II e IV.
.
.
I e IV.
. Resposta correta
.
I, II, III.
.
.
Pergunta 8
.
0/0
.
O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial,
possibilitando o cálculo de integrais definidas a partir da seguinte igualdade:
.
.
Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema
Fundamental do Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma
resposta apenas, e não uma família de soluções.
.
II. ( ) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais.
.
III. ( ) Para utilizá-lo, não é necessário definir os limites de integração.
.
IV. ( )
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
F, F, V, V.
.
.
V, F, V, V.
.
.
V, F, F, F.
.
.
V, V, F, V.
. Resposta correta
.
V, V, V, F.
.
.
Pergunta 9
.
0/0
.
As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que
nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento
ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes,
pressões etc.
.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida
e definida e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada
dividindo a figura formada pela curva e o eixo x no maior número possível de
retângulos de mesmo comprimento e somando as áreas dos mesmos.
.
II. ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243.
.
III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2,
onde A1 é a área entre a curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é
área das regiões onde f(x) < 0.
.
IV. ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é
uma função par.
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
.
F, F, V, F.
.
.
V, V, V, F.
. Resposta correta
. Incorreta:
F, V, F, V.
.
.
V, V, F, F.
.
.
V, F, F, V.
.
.
Pergunta 10
.
0/0
.
As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo
que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento
ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes,
pressões etc.
.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida
e definida e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C.
.
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois,
diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um
número real para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto.
.
III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x).
.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0.
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
F, V, F, V.
.
.
V, V, F, F.
.
.
V, F, F, V.
.
.
V, F, F, V.
. Resposta correta
.
F, F, V, F.
.
Unidade 4
T1
.
Pergunta 1
.
0/0
.
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do
cálculo por nos possibilitar a encontrar uma função primitiva F(x) de uma
certa função f(x). Além do método da substituição, outra técnica de
integração importante é o da integração por partes, na qual tomamos uma
função e a separamos em duas partes para acharmos sua integral indefinida.
.
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e
de acordo com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as
afirmativas a seguir.
.
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia
para a derivação.
.
II. Integrar por partes significa fazer a integral deu.dv igual a uv menos a
integral de v.du.
.
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente
para a derivação.
.
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a
obtenção da integral indefinida de uma função.
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I, e IV.
.
.
II e IV.
.
.
I, II e III.
.
.
II e III.
.
.
I e II.
. Resposta correta
.
Pergunta 2
.
0/0
.
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus
axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições
inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são
gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins.
Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente.
.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da
derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por
partes porque:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
.
.
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução
do método de integração por partes.
. Resposta correta
.
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
.
.
ambas são axiomas da matemática.
.
.
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que
envolvem integral por partes.
.
.
Pergunta 3
.
0/0
.
Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar
pela forma de seus integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão
dentro das integrais. Certos tipos de métodos só são aplicáveis a integrandos
específicos, como é o caso do método de integração por substituições
trigonométricas.
.
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por
substituições trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para
a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição
trigonométrica.
.
II. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição
trigonométrica.
.
III. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição
trigonométrica.
.
IV. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição
trigonométrica.
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
F, V, F, V.
.
.
V, V, F, F.
.
.
V, F, F, V.
.
.
F, F, V, F.
.
.
V, V, V, F.
. Resposta correta
.
Pergunta 4
.
0/0
.
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de
uma integral indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para
encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma,
dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por diferentes
técnicas de integração, como o método da substituição, o da integração por
partes, o das frações parciais, e etc.
.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida
e definida pelo método de integração por partes e com seus conhecimentos
sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
.
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra
da integração por partes, por se tratar do produto de duas funções.
.
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula:
.
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é
aproximadamente igual a 6,28.
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
V, F, F, V.
.
.
F, V, V, V.
.
.
V, V, F, F.
.
.
F, F, V, F.
.
.
F, V, V, V.
. Resposta correta
.
Pergunta 5
.
0/0
.
A escolha de um método de integração para a resolução de uma
determinada integral pauta-se na identificação dos integrandos presentes
nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem
resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso
são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes
e afins.
.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as
afirmativas a seguir:
.
I. pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
.
II. pode ser resolvida pelo método de substituição u du.
.
III. é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
.
IV. pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
.
Está correto apenas o que se afirma em:
.
Ocultar opções de resposta
.
. Incorreta:
I, II e III.
.
.
II, III e IV.
.
.
III e IV.
.
.
II e IV.
.
.
I, II e IV.
. Resposta correta
.
Pergunta 6
.
0/0
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O método da integração por partes possui fundamental importância no que
diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais,
que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a
função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja
mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar.
.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de
integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas.
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I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a
(e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
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Porque:
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II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u
= e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a
função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral
parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após
isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x)
da função f(x).
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Agora, assinale a alternativa correta:
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Ocultar opções de resposta
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. Incorreta:
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
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A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
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As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
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As asserções I e II são proposições falsas.
.
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As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
. Resposta correta
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Pergunta 7
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O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no
que diz respeito à integração de funções mais complexas do que as habituais,
que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em substituir
um dos termos por uma função trigonométrica, para que se encontre alguma
identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua integração.
.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de
integração por substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e a
relação proposta entre elas.
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I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada
pelo método da substituição trigonométrica, por meio da substituição x =
2sec(w).
.
Porque:
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II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com
x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como
sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e
integrando, encontramos a expressão dada.
.
Agora, assinale a alternativa correta:
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Ocultar opções de resposta
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As asserções I e II são proposições falsas.
. Resposta correta
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A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
.
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A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
.
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As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
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As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I
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Pergunta 8
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0/0
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As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas,volumes e comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre
curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações
para a determinação de uma área de interesse.
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Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
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Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por
meio de integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares,
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para
a(s) falsa(s).
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I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de
um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2.
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II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as
seguintes integrais:
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IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma
integral.
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Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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Ocultar opções de resposta
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F, V, V, F.
. Resposta correta
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V, F, F, V.
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V, F, V, F.
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F, V, F, F.
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F, F, V, V.
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Pergunta 9
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0/0
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Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou
seja, auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente
determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um
dos métodos importantes de integração é o método conhecido como integral
por partes.
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Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e
ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os
passos para a utilização desse método de integração:
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( ) Orientar-se pelo LIATE.
.
( ) Determinação de du e v.
.
( ) Identificar os tipos de funções.
.
( ) Substituição do u e dv.
.
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral.
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Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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Ocultar opções de resposta
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2, 4, 1, 3, 5.
. Resposta correta
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2, 4, 1, 5, 3.
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3, 4, 2, 1, 5.
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5, 2, 3, 4, 1.
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2, 1, 3, 4, 5.
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Pergunta 10
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0/0
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O método da integração de funções racionais por frações parciais possui
fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais
complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração.
Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos
denominadores são fatores do denominador original e, apenas após isso,
realizar a integração de fato.
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Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de
integração por frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação
proposta entre elas.
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I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode
ser calculada pelo método da integração de frações parciais.
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Porque:
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II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois
fazemos essas divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-
1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral da
soma de vários termos.
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Agora, assinale a alternativa correta:
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Ocultar opções de resposta
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. Incorreta:
As asserções I e II são proposições falsas.
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A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
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As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
. Resposta correta
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As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
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A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
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T2
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Pergunta 1
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0/0
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O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que
a integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações no
escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são as
únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale,
por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou translação,
ao comprimento de um arco, etc.
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De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de
integração, analise as afirmativas a seguir:
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I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito
substituições trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz
de a² – x².
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II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas
fazendo a substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem na
identidade 1-sen²w = cos²w.
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III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da
substituição para integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer
a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para
chegar a expressões integráveis.
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IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de
substituições trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x
original.
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Está correto apenas o que se afirma em:
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Ocultar opções de resposta
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I, II e IV.
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. Incorreta:
II e IV.
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I e III.
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II e III.
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I, II e III.
. Resposta correta
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Pergunta 2
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0/0
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O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo.
Por meio delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e
comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem
inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método
de integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a
integração de uma categoria de funções.
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De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração
por partes, analise as afirmativas a seguir:
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I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de
funções.
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II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto
das derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados
da igualdade.
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III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em
termos de dv em outra em termos de du e um termo independente de
integral.
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IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
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Está correto apenas o que se afirma em:
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Ocultar opções de resposta
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I, II e III.
. Resposta correta
. Incorreta:
II e IV.
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II e III.
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I, II e IV.
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I, III e IV.
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Pergunta 3
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0/0
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A escolha de um método de integração para a resolução de uma
determinada integral pauta-se na identificação dos integrandos presentes
nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem
resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso
são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes
e afins.
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Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as
afirmativas a seguir:
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I. pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
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II. pode ser resolvida pelo método de substituição u du.
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III. é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
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IV. pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
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Está correto apenas o que se afirma em:
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Ocultar opções de resposta
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III e IV.
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. Incorreta:
II e IV.
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II, III e IV.
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I, II e IV.
. Resposta correta
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I, II e III.
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Pergunta 4
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Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os
estudantes de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de
algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos
importantes de integração é o método conhecido como frações parciais.
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Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e
ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os
passos para a utilização desse método de integração:
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( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os
cálculos dessas integrais.
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( ) Reescrever o denominador da