Integração por partes

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Integração por Parte
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Escrito em 30/03/2016 e Atualizado em 24/11/2017
Quando se usa?
O objetivo da integração por partes é resolver integrais do tipo:
∫
h() d
(quando h(x) pode ser escrita como produto de duas outras funções).
Como se usa?
Devemos encontrar um valor  e um d e aplicar a equação:
∫
 d =  −
∫
d
Dica:
Existe um método (não muito confiável), para escolher  e d e a memorização
do acrônimo LIATE, que significa: Logarítmica, Inversa, Algébrica, Trigonométrica
e Exponencial o ajudará a lembra-lo.
Nesse caso, costumamos ter sucesso tomando  como a função mais à esquerda
da lista acima e d como o resto do integrando.
Exemplo 1: Calcule
∫
e3d
Solução:
Observando a dica dada, funções algébricas são melhores candidatos a  do que
funções exponenciais.
Fazendo então  =  e d = e3 d então:
d
d
 =
d
d
⇒ d = 1d
e também
1
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d = e3d⇒  =
∫
e3 d
e como
∫
e3 d =
1
3
e3 então  =
e3
3
(sem constante mesmo).
Assim:
∫
d =  −
∫
d
⇒
∫
e3d = 
�
e3
3
�
−
∫
1
3
e3d
⇒
∫
e3d = 
e3
3
−
1
9
e3 + k, onde k ∈ R
Exemplo 2: Calcule
∫
 · sn(5)d
Solução:
Fazendo  =  e d = sn(5)d então d = d e  = −
1
5
cos(5).
Assim,
∫
d =  −
∫
 d
⇒
∫
 · sn(5)d = −

5
cos(5) −
∫
−
1
5
cos(5)d
= −

5
cos(5) +
∫
1
5
cos(5)d
= −

5
cos(5) +
1
25
sn(5) + k onde k ∈ R.
Em alguns casos é necessário aplicar a integração por partes mais de uma vez
além de utilizar de certa álgebra para chegarmos ao resultado.
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Exemplo 3: Encontre
∫
ecos()d
Solução:
Fazendo  = e e d = cos()d então:
d
d
 =
d
d
e ⇒ d = ed
e também  = sen().
Sendo assim:
∫
ecos()d =  −
∫
d
= esen() −
∫
sen() · ed
Para resolver esta segunda integral recorremos, novamente, a integração por
parte.
Fazendo  = e e d = sen()d, então d = ed e  = −cos() então:
∫
ecos()d = esen() −
∫
sen()ed
⇒
∫
ecos()d = esen() −
�
−ecos() +
∫
ecos()d
�
⇒
∫
ecos()d = esen() + ecos() −
∫
ecos()d
Observe que voltamos a integral inicial. Mas, agora podemos operar algebrica-
mente com ela.
∫
ecos()d +
∫
ecos()d = esen() + ecos()
⇒ 2
∫
ecos()d = esen() + ecos()
⇒
∫
ecos()d =
e
2
(sen() + cos())
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E por fim acrescentamos a contante k.
∫
ecos()d =
e
2
(sen() + cos()) + k
OBS.: A constante de integração na integração por parte é inserida SEMPRE no
final do processo, então nunca se esqueça disso.
Exemplo 4: Calcule
∫
sn5()d
Solução:
Essa integral poderia ser calculada muito mais facilmente usando a técnica de
substituição por . Mas, vamos usar a integração por partes.
Fazendo  = sn4() e d = sn()d então d = 4sn3()cos()d e  = −cos().
Assim:
∫
sn5()d = −sn4()cos() + 4
∫
cos2()sn3()d
= −sn4()cos() + 4
∫
(1 − sen2())sn3()d
= −sn4()cos() + 4
∫
(sn3() − sen5())d
= −sn4()cos() + 4
∫
sn3()d − 4
∫
sen5()d
= 4
∫
sen5()d +
∫
sn5()d = −sn4()cos() + 4
∫
sn3()d
= 5
∫
sen5()d = −sn4()cos() + 4
∫
sn3()d (1)
Podemos calcular
∫
sn3()d usando novamente a integração por partes fazendo
 = sen2() e d = sen()d. Outra possibilidade é fazer a substituição por . Veja:
∫
sn2()sn()d
4
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=
∫
(1 − cos2())sn()d
chamando  de cos() então:
∫
(2 − 1)d =
1
3
3 −  + c
=
∫
sn2()sn()d =
1
3
cos3() − cos() + c (2)
Substituindo (2) em (1) chegamos a solução:
5
∫
sen5()d = −sn4()cos() + 4
�
1
3
cos3() − cos() + c
�
= 5
∫
sen5()d = −sn4()cos() +
4
3
cos3() − 4cos() + 4c
=
∫
sen5()d = −
sn4()cos()
5
+
4
15
cos3() −
4
5
cos() + k
Onde k =
4
5
c e c ∈ R.
5
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